negative zahlen in jahrgangsstufe 5 – ein erfahrungsbericht · pdf file6...

STAATSINSTITUTFÜR SCHULPÄDAGOGIKUND BILDUNGSFORSCHUNGMÜNCHEN

Methodiküberlegungen für denmathematisch-naturwissenschaftlichenUnterricht

Negative Zahlen in Jahrgangsstufe 5 –ein Erfahrungsbericht

Erarbeitet im Auftrag des

Bayerischen Staatsministeriumsfür Unterricht und Kultus

März 2003

Vorwort

Der Arbeitskreis „Methodiküberlegungen für den mathematisch-naturwissenschaftlichen Unter-richt“ wurde im Rahmen der Bildungsoffensive Mathematik gegründet und ist demnach auch imZusammenhang mit der TIMS-Studie1 zu sehen.

TIMSS und insbesondere die TIMS-Videostudie mit Aufnahmen zum Unterricht in Japan, denUSA und Deutschland geben zahlreiche Anregungen zur Gestaltung eines effizienten mathema-tisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts, die in die Arbeit des Arbeitskreises eingeflossen sind.

Im Rahmen der bisherigen Arbeit des Arbeitskreises erschienen Beiträge zu den Prinzipien „Of-fene Aufgaben“, „Sinnstiftende Kontexte“, „Wiederholen als bewusstes Unterrichtselement“,„Zusammenarbeit in der Fachschaft“ und „Zusammenspiel von Unterrichtsmethoden“.

Der vorliegende Beitrag stellt im Gegensatz zu den oben genannten die konkrete Umsetzung ei-nes speziellen Fachinhalts dar. Das Thema „Negative Zahlen“ wurde im Schulversuch Europäi-sches Gymnasium neu in Jahrgangsstufe 5 aufgenommen – während es im noch gültigen allge-meinen Lehrplan in Jahrgangsstufe 7 behandelt wird. Die folgenden Ausführungen können vonden in diesen Schulversuchen arbeitenden Kollegen als zusätzliches Material verwendet werdenund erleichtern angesichts fehlender Schulbücher die Arbeit.

Nach einführenden Abschnitten zu methodischen und didaktischen Aspekten (Kapitel 1 bis 3)folgt in Kapitel 4 die Skizze einer Unterrichtssequenz, die sich nicht mit der eigentlichen Einfüh-rung der negativen Zahlen, sondern mit der Behandlung der vier Grundrechenarten befasst. DerAnhang bietet Aufgaben, die speziell auf die Anforderungen der Jahrgangsstufe 5 abgestimmtsind.

Die vorliegende Fassung des Artikels ist als eine Vorabveröffentlichung im Internet konzipiert.Anregungen und Vorschläge können in einer künftigen Fassung problemlos berücksichtigt wer-den und sind herzlich willkommen.

Den Arbeitskreismitgliedern danken wir für die geleistete Arbeit im Rahmen des Arbeitskreises.

München, im März 2003Helmut EllrottReferat Biologie und Chemie

Andrea Hechenleitner/Marion KellyReferat Mathematik und Informatik

Dr. Roman WorgReferat Physik

1 Auf den Internetseiten des Referats http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf finden sich zahlreiche Informationenund Literaturhinweise zur TIMS-Studie und zur Bildungsoffensive Mathematik.

math.-naturwissensch. Unterricht 3

Inhaltsverzeichnis

1 Zur Einordnung des Artikels ............................................................................................... 4

2 Methodik ............................................................................................................................. 4

3 Didaktische Vorüberlegungen ............................................................................................. 5

4 Die Grundrechenarten ......................................................................................................... 8

4.1 Voraussetzungen........................................................................................................... 8

4.2 Die Addition ganzer Zahlen ......................................................................................... 9

4.3 Die Subtraktion ganzer Zahlen................................................................................... 16

4.4 Die Multiplikation ganzer Zahlen .............................................................................. 21

4.5 Die Division ganzer Zahlen ....................................................................................... 22

Literatur .................................................................................................................................... 24

Anhang: Aufgabenmaterial ...................................................................................................... 25

Bemerkungen

Der Kürze halber ist im Text von `Lehrern´ und `Schülern´ die Rede (gelegentlich auch imSingular). Dass das Kollegium eines Gymnasiums aus Frauen und Männern, die Schüler-schaft aus Mädchen und Buben besteht, wurde überall mit bedacht.

Weitere Bausteine des Arbeitskreises befassen sich mit den Themen: Diagramme und Stati-stiken, Offene Aufgaben, Sinnstiftende Kontexte, Wiederholen als bewusstes Unterricht-selement, Zusammenarbeit in der Fachschaft und Zusammenspiel von Unterrichtsmethoden.(vgl. http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf/akmethodik/akmethod.htm).

Mitglieder des Arbeitskreises

Wolfgang Bernegger Gymnasium BerchtesgadenStefan Ernst Johann-Christian-Reinhart-Gymnasium, HofRudolf Herbst Max-Born-Gymnasium, GermeringBrigitte Niederweis Emil-von-Behring-Gymnasium, SpardorfWalter Scharl Asam-Gymnasium, MünchenErnst Schiller Katharinen-Gymnasium, IngolstadtDr. Günther Schmid Siebold-Gymnasium, WürzburgMax Schmidt Gymnasium GrafingAnton Thanner Gymnasium Weilheim

Methodiküberlegungen für den4

1 Zur Einordnung des ArtikelsIm Lehrplan Mathematik für die am Schulversuch „Europäisches Gymnasium“ beteilig-ten Schulen ist bereits in der Jahrgangsstufe 5 die erste Erweiterung des Zahlenbereichsvorgesehen. Für die Einführung der negativen Zahlen und das Erlernen des Rechnens mitden ganzen Zahlen sind ca. 16 Stunden eingeplant.

Der folgende Beitrag stellt einen Erfahrungsbericht dar über Planung und Verlauf einerUnterrichtssequenz zur Einführung der Grundrechenarten in der Menge der ganzen Zah-len in Jahrgangsstufe 5. Die vorgestellten Konzepte sollen in erster Linie als Anregungdienen und – mangels entsprechender Teile in den Schulbüchern – eine erprobte Mög-lichkeit der Behandlung negativer Zahlen in Jahrgangsstufe 5 aufzeigen.

Um das grundlegende Thema „Negative Zahlen“ nicht als Randerscheinung der Jahr-gangsstufe 5 wirken zu lassen, erfolgt die Einführung im Anschluss an die Behandlungund Verbindung der vier Grundrechenarten in der Menge der natürlichen Zahlen. Einenatürliche Anbindung wird dadurch erreicht, dass bereits beim Rechnen in N im Rahmender Subtraktion Aufgaben angesprochen werden, bei denen der Minuend kleiner als derSubtrahend ist, was neben der in Kapitel 4.1 erwähnten „Sternchenrechnung“ zu erstenDiskussionen über die negativen Zahlen führte. Im Rahmen des Geometrieunterrichtskönnen dann im weiteren Verlauf des Schuljahres von Anfang an auch negative Koordi-naten verwendet werden und in diesem Zusammenhang Kenntnisse über die negativenZahlen aufgefrischt und vertieft werden.

In den Kapiteln 2 bzw. 3 werden methodische und didaktische Vorüberlegungen darge-stellt, die der Sequenz zugrunde liegen.

In Kapitel 4, dem Hauptteil, wird die Planung und Durchführung einer Unterrichtsse-quenz zur Behandlung der Grundrechenarten bei den negativen Zahlen beschrieben. Da-bei wird auf die Einführung der negativen Zahlen nicht näher eingegangen. Die im Unter-richt gemachten Erfahrungen sind in grau unterlegten Kästen skizziert.

Im Anhang finden sich Aufgaben zum Einüben der Grundrechenarten und auch zu nega-tiven Koordinaten.

2 MethodikEntsprechend dem bereits veröffentlichten Baustein „Zusammenspiel von Unterrichts-methoden“ des Arbeitskreises ([2]) wird in der vorgestellten Sequenz eine Mischung ver-schiedener Unterrichtsformen angestrebt.

• Einzelarbeitzur Einstimmung in ein neues Thema, als Vorbereitung für den weiteren Unterrichts-fortgang, aber auch zum Einüben und Festigen der Lerninhalte. So überlegt zuerstjeder Schüler für sich, wie die Regel zur Multiplikation ganzer Zahlen formuliertwerden könnte, bevor sie dann im fragend-entwickelnden Unterricht erarbeitet wird.

• Fragend-entwickelnder Unterrichtzur gemeinsamen Erarbeitung neue Erkenntnisse

• Lehrervortragzur Einführung in neue Bereiche, Bereitstellung von Sachinformationen, bei Zusam-menfassungen, z. B. wenn nach Behandlung der Division als Umkehrung der Multi-plikation rückblickend auch die Subtraktion als Umkehrung der Addition betrachtetwird.


• Partner-/Kleingruppenarbeitdort, wo mehrere Alternativen bestehen, oder wo es erwünscht ist, dass die SchülerGedanken miteinander austauschen, z. B. beim Ausfüllen der Multiplikationstabelle,an der anschließend die Regeln für die Multiplikation erarbeitet werden.

• Materialgeleitete Freiarbeitinsbesondere, um Lerninhalte zu festigen und zu wiederholen. Lehrmittelverlage bie-ten auch Spiele an, bekannte Konzepte wie Bingo, Domino oder Memory lassen sichfür diesen Themenbereich gestalten.

Die Schüler waren durchwegs interessiert bei der Sache. Einerseits mag dies an der Ab-wechslung in den verwendeten Methoden liegen, bei denen die Schüler häufig aktiv seinmussten, andererseits aber auch an der Attraktivität des Themas. Die Schüler waren ge-spannt auf die negativen Zahlen und stolz darauf, endlich etwas zu lernen, das sie nichtschon von der Grundschule her kannten.

Nur wenige Schüler wirkten an einzelnen Stellen der Unterrichtssequenz überfordert.Diese hatten aber auch in zuvor behandelten Themenkreisen, in denen der Wechsel derMethoden weniger konsequent praktiziert wurde, keine besseren Leistungen gezeigt. DieErgebnisse bei den Leistungserhebungen lagen etwas über dem Durchschnitt der zuvorgeschriebenen Arbeiten, bewegten sich aber im üblichen Rahmen.

Die Klasse bestand aus 27 Schülern. Für die Gruppenarbeit wurden jeweils 4 bzw. einmal3 Schüler zu 7 Kleingruppen zusammengefasst. Um für mehrfache Wechsel zwischenEinzel-, Partner- und Gruppenarbeit die Organisation und den Zeitaufwand möglichst ge-ring zu halten, bildeten je zwei Schüler mit den direkt hinter ihnen Sitzenden eine Grup-pe.

3 Didaktische VorüberlegungenVom ersten (überlieferten) Auftauchen der negativen Zahlen an dauerte es rund ein halbesJahrtausend, bis man zur heutigen Betrachtungsweise dieser Zahlen kam. In diesem Zeit-raum durchliefen die negativen Zahlen einen Entwicklungsprozess. Geistige Hindernissemussten überwunden werden - Hindernisse, mit denen auch die Schüler bei der Durch-dringung dieses Themenbereichs zu kämpfen haben.

So gut sich die im Laufe der Zeit entwickelten didaktische Modelle zum Rechnen mit dennegativen Zahlen in einigen Spezialsituationen erweisen, bergen sie doch ein Dilemma.Keines dieser Modelle (z. B. „Guthaben-Schulden-Modell“, „Pfeilmodell“ und weitere),lässt sich problemlos auf alle Rechenarten anwenden. Bereits bei einfachen Termen (z. B.(−5) – (−7) ) sind kleinere Kunstgriffe erforderlich. Der Erfahrungsbereich muss passendzur gewünschten algebraischen Struktur interpretiert werden, obwohl er eigentlich dieAusbildung eines theoretischen Standpunktes erst motivieren soll.

Obiges Beispiel wird gewöhnlich erläutert, indem man den Schülern klar macht, dass dasWegnehmen von 7 DM Schulden den selben Effekt hat, wie das Dazugeben von 7 DMGuthaben. Man rechnet somit (−5) + (+7). Die Aufgabe wird also uminterpretiert. DieSchüler fragen sich dann, warum man überhaupt Aufgaben der Art 5 – (−7) stellt. DesWeiteren bleiben die Schüler oft bei den anschaulichen Betrachtungsweisen hängen undhaben dann enorme Probleme, mit ihren bisherigen Strategien z. B. die Vorzeichenregelnbeim Multiplizieren zu verstehen. So meinte während einer früheren Erprobung einSchüler (Sohn eines Autohändlers): „Das gibt’s doch nicht. Wenn ich Minus in der Ta-


sche habe, habe ich schon nichts. Es ist dann vollkommen egal, womit ich es multiplizie-re, mehr wird es sicherlich nicht. Es gibt doch keinen Grund, dass aus Schulden durchMultiplizieren Guthaben entstehen soll.“ Es ist zwar möglich, dieses Problem mit einpaar weiteren Kunstgriffen im Guthaben-Schulden-Modell „anschaulich“ zu erklären,überzeugend war es jedoch für diesen, wie auch für die meisten anderen Schüler nicht.

Auch im „Pfeilmodell“ sind definitorische Momente versteckt (Hinzunahme linksgerich-teter Pfeile für die „Minuszahlen“, Beibehaltung der sonstigen Regeln für die Pfeile beimRechnen), die auch ehrlicher bei den Zahlen selbst getroffen werden können.

Empirische Befunde [4] zeigen, dass das Behandeln der negativen Zahlen in verschiede-nen, der jeweiligen Situation angepassten Modellen den Schülern die negativen Zahlennicht als eigenständige Objekte erscheinen lässt, sondern vielmehr als eine der Situationangepasste Interpretation positiver Zahlen. In [1] weisen beispielsweise Günther Malle,Bernhard Andelfinger und Lisa Hefendehl-Hebeker darauf hin, dass der Übergang zumformalen Standpunkt sich nicht kontinuierlich aus dem konkreten entwickeln lässt. Es istbei solchem Vorgehen zwangsläufig eine Unstetigkeitsstelle im Lernprozess zu überwin-den ([1], Seite 49).

Trotz dieser Bedenken kommt man gerade in Jahrgangsstufe 5, aber auch in höherenJahrgangsstufen nicht umhin, anschauliche Modelle aus der Erfahrungswelt der Schülerzu benützen. Dies gilt allein schon deshalb, um die negativen Zahlen in sinnstiftendeKontexte einbinden zu können. In Anlehnung an einen Kurs von Frau Prof. Dr. Hefen-dehl-Hebeker ([1], Seite 48 ff.) wird im Folgenden versucht, zur Herleitung der Rechen-regeln nicht ein einziges anschauliches Modell als Ausgangspunkt zu benutzen. Anhandvon Aufgaben sollen die Regeln mittels verschiedener Überlegungen an mehreren Mo-dellen erschlossen werden, die die Lernenden selbst entsprechend ihren Vorstellungenund ihrer Erfahrungswelt einbringen. Die Strichrechenarten wurden zudem mittels„Plus“- und „Minussteinen“ veranschaulicht. Dieses Vorgehen kennen die Schüler vonder Behandlung der Grundrechenarten in der Grundschule her, so dass hier an Vertrautesangeschlossen werden kann. Ein weiterer Vorteil dieses Modells ist, dass sich allgemeineRechenregeln verhältnismäßig einfach ablesen lassen. Den Schülern wird deutlich ge-macht, dass es sich bei den Regeln um Festlegungen handelt, die man vielleicht auch an-ders hätte treffen können. Aber es gibt gute Gründe, unter anderem die von ihnen bei derHerleitung gelieferten, die die getroffenen Vereinbarungen rechtfertigen. Ergeben dochdie aufgestellten Regeln Ergebnisse, die mit allen Ergebnisse übereinstimmen, die dieSchüler mit ihren Modellen ermittelt haben. Da die Menge der natürlichen Zahlen in derMenge der ganzen Zahlen enthalten ist, müssen die Rechenregeln für die natürlichenZahlen in denen für die ganzen Zahlen enthalten sein. Für jede neu festgelegte Regel wirddies überprüft werden.

Zum Einüben empfiehlt es sich, neben rein innermathematischen Aufgaben Anknüp-fungspunkte aus dem Erfahrungsbereich der Schüler zu wählen. Diese Aufgaben könnendann mit dem erworbenen „Kalkül“ behandelt werden. Eine anschauliche Interpretationder Ergebnisse zeigt, dass die Rechenregeln die „richtigen“ Ergebnisse liefern. Das Vor-gehen wird im Nachhinein noch einmal bestätigt, der Sinn der Festlegungen wird erkannt,der Kompetenzzuwachs für die Schüler unmittelbar erfahrbar gemacht.

Obwohl es möglich ist, die Sequenz ohne die Begriffe Betrag und Gegenzahl durchzufüh-ren, wurden diese hier benutzt, da sie sich in fast natürlicher Weise ergeben. Es ist für dieSchüler offensichtlich, dass zu jeder positiven Zahl genau eine negative „gehört“ undumgekehrt. Auf der Zahlengeraden liegt die eine der anderen bezüglich der Null „gegen-über“ (ein Schüler benutzte sogar den Fachausdruck symmetrisch zueinander), sie sindsomit Gegenzahlen. Zahl und Gegenzahl haben von der Null den selben Abstand, wo-


durch es sinnvoll wird, diesem Abstand einen Namen zu geben, den Betrag. Die Schülerempfinden die abkürzende Schreibweise −3 für „Betrag von −3“ (Abstand der Zahl −3von der 0) als zeitsparend. Selbst in Rechenausdrücken kann diese Schreibweise verwen-det werden und bereitet wenig Schwierigkeiten. Problematisch werden die beiden Begrif-fe für die Schüler erst, wenn Variablen mit im Spiel sind, was in Jahrgangsstufe 5 ver-mieden wurde. Wem die symbolische Schreibweise für den Betrag in Jahrgangsstufe 5 zufrüh erscheint, kann diese ebenso gut weglassen, für die Durchführung der vorgestelltenUnterrichtseinheit ist sie nicht erforderlich.

Die Behandlung von Vor- und Rechenzeichen sowie das Vorgehen beim Einsparen vonZeichen und Klammern werden in Fachkreisen widersprüchlich diskutiert. In dieser Se-quenz wird zur besseren Unterscheidung auch den positiven Zahlen ein Vorzeichen zuge-ordnet und dieses wird eine ganze Zeit lang beibehalten, nur vereinzelt bei einigen Auf-gaben weggelassen.Mit dem Vereinfachen von Klammern und Zeichen könnte man im Prinzip bereits bei denRegeln für die Addition anfangen. Um diesen Sachverhalt losgelöst von den Regeln derAddition und Subtraktion behandeln zu können, wird damit in der dargestellten Sequenzsystematisch erst nach der Behandlung der Subtraktion begonnen. Damit wird vermieden,dass die Schüler diese beiden Aspekte vermischen, oder sogar glauben, dass das eine vomanderen abhängt. Beide Schreibweisen werden aber weiterhin gleichberechtigt behandelt,die Schüler werden darauf hingewiesen, dass die ausführliche Schreibweise in einigenFällen die Situation klarer erkennen lässt. Falls ein neuer Zusammenhang erarbeitet wer-den soll, wird immer erst die ausführliche Schreibweise benutzt, um sie dann wieder inden Hintergrund treten zu lassen.


4 Die Grundrechenarten

4.1 Voraussetzungen

Den meisten Fünftklässlern ist die Existenz negativer Zahlen bereits vor ihrer Behand-lung im Mathematikunterricht „bekannt“. Bei der Einführung wird somit an bereits be-stehende Kenntnisse angeknüpft, das vorhandene Wissen wird zusammengetragen undstrukturiert. Die Schüler lernen die negativen Zahlen auf verschiedene Arten kennen, et-wa durch „Zurückzählen“ unter Null, bei Differenzen, bei denen der Minuend kleiner alsder Subtrahend ist. So kommt man auf das Ergebnis von 3 − 5, indem man 5 „rückwärts“zählt, z. B. 2, 1, 0, (−1), (−2). Die Schüler können damit ebenso umgehen wie mit All-tagssituationen, in denen Zahlen „unter Null“ auftauchen (Temperaturen unter Null, Ge-biete, die unter dem Meeresspiegel liegen, Schulden usw.). Zur Veranschaulichung wirdder Zahlenstrahl zur Zahlengeraden erweitert und daran werden die Ordnungsrelationenerarbeitet. Die Begriffe Gegenzahl und Betrag werden aus den in Kapitel 3 aufgeführtenGründen in elementarer Form behandelt. Danach werden Aufgabentypen, bei denen amZahlenstrahl über die Null vor- bzw. rückwärts hinweggezählt wird, betrachtet und analogden Gepflogenheiten in der Grundschule als Addition bzw. Subtraktion einer natürlichen(positiven) Zahl aufgefasst. Sinnstiftende Kontexte ergeben sich im Rahmen von anwen-dungsbezogenen Aufgaben, wie bei Temperaturänderungen, Höhenunterschieden, Bank-konten, Bevölkerungsbewegungen, Handelsbilanzen, Fahrten im Fahrstuhl usw.

Wie bereits in Kapitel 1 erläutert, wird auf die Einführung der negativen Zahlen im Rah-men dieses Artikels nicht näher eingegangen. Dass mit den „neuen“ Zahlen auch gerech-net werden soll, erscheint den Kindern selbstverständlich und muss nicht besonders moti-viert werden.

Bereits von Beginn des Schuljahres anwurde in der betrachteten Klasse in An-lehnung an einen Artikel in „Mathema-tik lehren“ ([1], Seite 18) folgendes Ver-fahren in Gruppenarbeitsphasen ver-folgt: Gruppen, die sich vorbildlich ver-halten, erhalten ein Sternchen, Gruppenbei denen es laut und störend zugeht,bzw. in denen nicht konstruktiv gear-beitet wird, erhalten einen „Sternchen-fresser“. Die Sternchen bzw. die Sternchenfresser werden über längere Zeit notiert (vgl.Abbildung). Hat eine Gruppe 5 Sternchen gesammelt, so erhält sie eine Belohnung. Ma-thematisch wird es, wenn mehrere Sternchen und Sternchenfresser eingetragen sind, ins-besondere wenn sich schon mehr Sternchenfresser als Sternchen auf dem Plakat befinden.Man kann dann „Berechnungen“ der folgenden Art durchführen:

Gruppe 3 muss noch 7 Sternchen erzielen, um die Belohnung zu erhalten. Zur Zeit habensie nämlich

nur 1 Sternchen + 3 Sternchenfresser = − 2 Sternchen,weiters 2 Sternchenfresser + 7 Sternchen = 5 Sternchen,oder: − 2 Sternchen + 7 Sternchen = 5 Sternchen.

Gruppe 1

Gruppe 2

Gruppe 3

Gruppe 4


Gruppe 4 benötigt noch 5 Sternchen, Zur Zeit haben sie

2 Sternchenfresser + 2 Sternchen = 0 Sternchen,oder − 2 Sternchen + 2 Sternchen = 0 Sternchen.

Die Schüler selbst formulieren für die jeweiligen Situationen verschiedene zugehörigeRechnungen.

4.2 Die Addition ganzer Zahlen

4.2.1 Die Einführung der Addition

Der Einstieg mit der Addition ist den Lernenden einleuchtend, da diese Rechenart bisherauch die einfachste war. Er erfolgt in einer Stunde, in der zunächst noch Aufgaben wie in4.1 beschrieben, sowie Aufgaben zum Größenvergleich behandelt wurden. Als Ziel gibtder Lehrer vor, herauszufinden, wie denn nun beim Addieren ganzer Zahlen vorgegangenwerden muss, um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Es wird mit einfachen Spezialfällenbegonnen. Da kein Buch vorhanden ist, wird ein Übungsblatt mit vorgefertigten Aufga-benreihen verwendet. Die Aufgaben werden ins Heft übernommen und sind in Stillarbeitzu lösen.

1. a) (+2) + 0 = b) 0 + (+231) =

c) (−2) + 0 = d) 0 + (−142) =

2. a) (+2) + (−2) = b) (−2) + (+2) =

c) (+379) + (−379) = d) (−968) + (+968) =

Anschließend begründen einzelne Schüler ihre Lösungen. Im Idealfall hat der Lehrer da-bei nur die Rolle des Gesprächsleiters inne, die Inhalte liefern die Schülern. Sie tragendabei ihre eigenen Gedankengänge vor, begründen diese mit Hilfe des von ihnen ge-wählten Modells und vertreten ihre Ergebnisse vor der Klasse. Überlegungen bzw. Vor-gehensweisen anderer Schüler mittels weiterer Modelle bestätigen die Richtigkeit, Ge-genargumente zeigen eventuell aufgetretene Fehler auf. Die Klasse soll zu einem Kon-sens bzgl. der als richtig zu akzeptierenden Ergebnisse gelangen.

Bei der ersten Aufgabenreihe werden die Kinder wohl dahingehend argumentieren, dassdie 0 als Summand nichts bewirkt (wie das ja auch schon bisher so war). Der Lehrer be-stätigt sie in ihrer Meinung und trifft mit ihnen die Vereinbarung: Der Summand 0 ändertden Wert einer Summe (auch mit negativen Zahlen) nicht.

Bei der zweiten Aufgabenreihe ist womöglich die Entscheidung der Schüler nicht so ein-deutig wie in obigem Fall. Dennoch kann man erwarten, dass die Überlegungen derMehrheit der Schüler in den von ihnen benutzten Modellen, z. B. dem Guthaben-Schulden-Modell oder Fahrstuhl-Modell, auf die 0 als vernünftiges Ergebnis führen.Kommen Ergebnisse wie +2 bei Aufgabe 2a), wird darauf eingegangen, dass diese nichtvollkommen unberechtigt sind und in der Geschichte der Mathematik auch eine Rolle ge-spielt haben. Aber es gibt gute Gründe (die auch in der Argumentation der Schüler auf-getaucht sind), die letztendlich dazu führen, die 0 als einziges Ergebnis zu akzeptieren.Somit wird vereinbart: Die Summe aus Zahl und Gegenzahl hat immer den Wert 0.

Falls die Schüler bei ihren Erklärungsversuchen die Sternchenrechnung (vgl. 4.1) nichtals Argumentationshilfe aufgeführt haben, kann man sie hier darauf hinweisen. Auf demOverhead-Projektor werden dann die Aufgaben a) und b) mit blauen „Plussteinen“ und


roten „Minussteinen“ (auf Folie gedruckten Farbkreisen) gelegt. Die Anzahl der für eineZahl benötigten Steine, ist durch den Betrag bestimmt. Die Farbe entspricht dem Vor-zeichen. Dabei gilt die Regel, dass ein roter und ein blauer Stein, wie bei Sternchenfres-ser und Sternchen, sich beim Addieren jeweils gegenseitig aufheben.

Aufgabe 2 a) sieht dann so aus:

Die Schüler hatten bereits bei der Einführung der negativen Zahlen mehrere Modelle ken-nengelernt, so das Guthaben-Schulden-Modell, das Temperatur-Modell, das Fahrstuhl-Modell und das Höhenmeter-Modell. Bei ihren Argumentationen machten sie von diesenModellen rege Gebrauch, wobei sich herausstellte, dass mit der Zeit jeder Schüler eineArt Lieblingsmodell entwickelte, das er immer wieder benutzte. Die gewünschten Ergeb-nisse waren sehr schnell erarbeitet und dass Rechenregeln festgelegt wurden, nach denenin Zukunft immer gerechnet werden muss, bereitete keine Probleme. Der zeitliche Rah-men erlaubte eine erneute Betrachtung der 2. Aufgabenreihe unter Zuhilfenahme der„Plus-“ und „Minussteine“. Das Legen von Aufgaben mittels Steinen war den Schülernvon der Grundschule her geläufig, wodurch an Bekanntes angeknüpft wurde.

In der nächsten Stunde hat man zum Erarbeiten der allgemeinen Regeln für die Additiongenügend Zeit. Die Schüler sollen dazu folgende Aufgaben in Gruppenarbeit lösen.

3. a) (+3) + (+5) = b) (+4) + (+1) =

c) (−3) + (+5) = d) (−4) + (+1) =

e) (+3) + (−5) = f) (+4) + (−1) =

g) (−3) + (−5) = h) (−4) + (−1) =

Zur Erarbeitung der Ergebnisse in Gruppen werden am Pult liegende „Plus-“ und „Mi-nussteine“ angeboten (vom Lehrer auf Papier ausgedruckt und laminiert), um die Aufga-ben durch Legen der Steine zu lösen. Andere, bereits in den Spezialfällen benutzte Mo-delle, sind zur Erarbeitung der Lösungen ebenso erlaubt, sogar erwünscht.

Der Lehrer beobachtet die Schüler bei ihrer Arbeit und vermerkt sich, welche Gruppewelches Modell verwendet. Arbeiten viele Gruppen mit dem selben Modell, so wird denschnellsten Gruppen als Zusatz die Behandlung in einem anderen Modell aufgetragen.Anschließend wird eine Gruppe, die mit den Spielsteinen gearbeitet und die richtigen Er-gebnisse erhalten hat, nach vorne geholt. Ein Mitglied schreibt die Ergebnisse an die Ta-fel, die anderen sollen die Aufgabenbeispiele a), c), e) und g) am Overhead-Projektornachlegen.

Man erhält dann folgendes Bild:

heben sich gegenseitig auf, werden des-halb vom Overhead-Projektor entfernt.

+ = =43421


Weitere Gruppen erläutern ihre Vorgehensweise anhand anderer Modelle und bestätigenauf vielfältige Weise die obigen Ergebnisse. Auch Betrachtungsweisen, die in der Grup-penarbeit nicht aufgetaucht sind, können in der Diskussion aufgegriffen werden. Auf ab-weichende Meinungen muss eingegangen werden, vielleicht schaffen es sogar die Kinderselbst, diese zu entkräften. Man einigt sich darauf, dass die durch das Legen der Steineerzielten Ergebnisse sinnvoll sind, d. h. man legt sie als richtig fest. Es fehlt noch eineallgemeine Regel, nach der die Ergebnisse ohne Legen mit Steinen erhalten werden kön-nen, denn bei Aufgaben mit größeren Zahlen scheint dies sehr umständlich, wenn nichtfast unmöglich.

Ausgehend von den Spielsteinen auf dem Overhead-Projektor werden nun im Unterrichtdie Regeln für das Addieren ganzer Zahlen herausgearbeitet. Die Schüler beraten sich da-zu im Rahmen einer Partnerarbeit kurz mit ihren Banknachbarn. Im darauffolgenden Un-terrichtsgespräch werden die Erkenntnisse zusammengetragen, die Regeln erarbeitet.

Die Unterscheidung, ob beide Summanden gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben,fällt durch die visuelle Darstellung direkt ins Auge. Die Regeln lassen sich zumindest aufanschaulicher Ebene mit Farbe und Anzahl der Steine leicht formulieren. Im ersten Fallwird die Anzahl der Spielsteine addiert, die gemeinsame Farbe wird beibehalten. Sind dieVorzeichen verschieden, hat der Wert der Summe die Farbe des Summanden mit mehrSteinen. Die Anzahl der Steine erhält man, in dem man von der größeren Anzahl vonSteinen die kleinere Anzahl von Steinen abzieht.

Die so gefundenen Regeln müssen nur noch in die Fachsprache übersetzt werden, indemman Farbe durch Vorzeichen und Anzahl der Steine durch Betrag ersetzt.

Für den Fall, dass die Schüler nur mit 1. und 2. Summanden argumentieren (z. B. bei c)und e): „Vom Betrag des 2. Summanden zieht man den Betrag des 1. Summanden ab undgibt dem Ergebnis das Vorzeichen des 2. Summanden“), ist es zweckmäßig, eine Foliemit den Legesituationen für die Teilaufgaben b), d), f) und h) zur Hand zu haben.

a)

(++++3) ++++ (++++5) ==== (++++8)

c)

(−−−−3) ++++ (++++5) ==== (++++2)

e)

(++++3) ++++ (−−−−5) ==== (−−−−2)

g)

(−−−−3) ++++ (−−−−5) ==== (−−−−8)


Zum Abschluss werden die Regeln im Heft festgehalten. Im Lehrervortrag wird ein kur-zer Überblick über den Ablauf gegeben, den Schülern noch einmal klar gemacht, dass sieselbst Regeln aufgestellt haben, an die sie sich in Zukunft halten müssen. Die Vielzahlder verwendeten Modelle, die alle zu diesem Ergebnis geführt haben, überzeugt von des-sen Richtigkeit. Des Weiteren sollen die Schüler einsehen, dass sie durch die vier bespro-chenen Möglichkeiten alle Fälle abgehandelt, die Addition für ganze Zahlen somit er-schöpfend behandelt haben. Das bisherigen Addieren in N ist in diesen Regeln enthalten,man hat sich also keine Widersprüche „eingefangen“. Einige Ergebnisse sind zwar unge-wohnt, insbesondere dass der Wert einer Summe kleiner sein kann als ein Summand. Dasmuss aber in Kauf genommen werden und man gewöhnt sich daran.

Zum Einüben der neu erarbeiteten Regeln und zur Lernzielkontrolle werden Additions-aufgaben mit größeren Beträgen, teilweise im Kopf, gelöst.

Als Hausaufgabe sind einige „reine“ Additionsaufgaben sowie Formalreihen (vgl. An-hang Seite 25, Aufgabe 4) zu berechnen, abgerundet durch Aufgaben aus anwendungsbe-zogenen Kontexten. Die Hausaufgaben sollen in erster Linie das Vertrauen der Schüler indie Regeln stärken und den Kompetenzzuwachs für die Schüler (besonders bei Summan-den mit größeren Beträgen) erfahrbar machen. Die Formalreihen sind auch als Vorberei-tung zur Herleitung der Multiplikationsregel gedacht.

Die vorhergehende Behandlung der einfachen Spezialfälle und die Verlagerung des all-gemeinen Falls in eine neue Stunde brachte mehrere Vorteile. Erstens stand so genügendZeit zur Abhandlung des Themas in verschiedenen Modellen mit Hilfe verschiedenerUnterrichtsformen zur Verfügung. Die Schüler konnten sich an einfachen Beispielen mitder Verwendung verschiedener Modelle weiter vertraut machen. Außerdem waren dieSchüler gespannt, wie im allgemeinen (schwierigeren) Fall gerechnet werden muss. Eineweitere zusätzliche Motivation war nicht mehr notwendig, die Schüler arbeiteten gut undkonzentriert mit.

Die Möglichkeit, die Aufgaben mit Hilfe der „Plus-“ und „Minussteine“ zu lösen, nahmein Teil der Gruppen gerne an, die restlichen benutzten lieber eines der bereits in derStunde zuvor verwendeten Modelle, so dass die Ergebnisse erneut auf vielfältige Weiseerzielt wurden. Eine Einigung auf die Ergebnisse erfolgte schnell, da die auf dem Over-head-Projektor mit den Steinen gelegten Ergebnisse mit den Betrachtungen andererGruppen im Guthaben-Schulden-Modell, im Fahrstuhl-Modell und im Temperatur-Modell übereinstimmten.Durch die visualisierte Darstellung der Aufgaben und der Ergebnisse mit Hilfe der Steine

(++++4) ++++ (++++1) ==== (++++5)

(−(−(−(−4) ++++ (++++1) ==== (−−−−3)

(+(+(+(+4) ++++ (−−−−1) ==== (++++3)

(−(−(−(−4) ++++ (−−−−1) ==== (−−−−5)


auf dem Overhead-Projektor bereitete die Unterscheidung der beiden Fälle und die For-mulierung der Regeln mittels Farbe und Anzahl der Steine für die Klasse kein großesProblem. Zäh verlief hingegen, das so Gefundene in die Fachsprache zu übertragen. Beieinigen Schülern hatte man den Eindruck, dass sie sich richtiggehend weigerten, diesenSchritt mit zu vollziehen. Für sie war das Problem bereits gelöst, warum sollten sie sichnoch weitere Gedanken machen? Dieses Problem, das bereits bei der Formulierung inWorten der K- und A-Gesetze bzw. des D-Gesetzes in der Menge der natürlichen Zahlenfestzustellen war, tauchte im weiteren Unterrichtsverlauf wiederholt auf.

4.2.2 Einübung der Addition ganzer Zahlen

In den nächsten Stunden folgt eine Einübungs- und Vertiefungsphase, die insbesondereauch die Verwendung von Rechenvorteilen beinhaltet.

Zum Einstieg und zur Wiederholung werden Kopfrechenaufgaben gestellt, anschließendwird die Aufgabenreihe 3 (vgl. S. 10) unter einem anderen Gesichtspunkt betrachtet: Diemittels der festgelegten Regeln erhaltenen Ergebnisse werden mit dem bereits behandel-ten Vor- und Zurückzählen am Zahlenstrahl, was als Addition bzw. Subtraktion einer na-türlichen Zahl (vgl. 4.1) interpretiert wurde, in Zusammenhang gebracht.

Durch Vergleichen erhält man

(+3) + (−5) = (−2)(−2) = 3 – 5 ( = (+3) – (+5))

(−3) + (−5) = (−8)(−8) = (−3) – 5 ( = (−3) − (+5))

Es bedeutet also dasselbe, ob man (–5) addiert oder ob man (+5) subtrahiert. Summenganzer Zahlen, bei denen der erste Summand positiv und vom Betrag her größer als derzweite, negative Summand ist, können somit in Differenzen natürlicher Zahlen umge-schrieben und mit Grundschulkenntnissen berechnet werden, z. B. 17 + (−11) = 17 − 11.

Die Gültigkeit des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes der Addition ganzer Zahlenwird im Rahmen einer Partnerarbeit erkannt, ohne die Gesetze formal zu behandeln. Vonje zwei Banknachbarn ist dazu folgende Aufgabenreihe möglichst schnell zu berechnen,die Ergebnisse sind gegenseitig zu kontrollieren:

a) (−7) + (+4) b) (+4) + (−7)

c) (−23) + (−42) d) (−42) + (−23)

e) (+721) + (−93) f) (−93) + (+721)

g) (−34) + [(−26) + (+50)] h) [(−34) + (−26)] + (+50)

i) [(+72) + (−52)] + (−33) k) (+72) + [(−52) + (−33)]

5

+5+30−2−5 +50−3−8 −5

5

Nach den Festlegungen fürdas Addieren

Man kommt von (−3) auf (−8),indem man 5 zurückzählt(Interpretation des Ergebnisses)

Nach den Festlegungen fürdas Addieren


Die Schüler sollen dabei das Kommutativ- und das Assoziativgesetz als Rechenvorteilewiederentdecken. Eine (exemplarische) Begründung kann beispielsweise mit Hilfe dervereinbarten Rechenregeln erfolgen, könnte jedoch auch (für einfache Zahlenbeispiele)mittels Legen von Steinen geschehen, bzw. durch Betrachtungen in anderen Modellen,um bei den Schülern noch mehr Vertrauen in die Gesetze zu wecken.

Es werden einfache Additionsaufgaben gestellt, bei denen das Kommutativ- bzw. das As-soziativgesetz nützlich sind (vgl. unten), darunter auch Aufgaben aus Anwendungszu-sammenhängen.

a) 46 + (– 18) + (–26) b) 83 + 69 + (–83) c) 84 + 67 + 71 + (–34)

d) [13 + (–8)] + (–1) + 57 e) 72 + [(–56) + 28] f) 289 + [150 + (–39)]

Für die weitere Übungsphase bietet sich das „Filmdosenspiel“ ([2], S. 28) an. Sehr beliebtwaren, sowohl in der Gruppen- als auch in der Stillarbeit, Spiele mit Wettbewerbscha-rakter (vgl. [2], Seite 33).

Weitere Aufgaben für die Übungsphase finden sich im Anhang.

Beim Umdeuten einer Summe mit negativem zweiten Summanden in eine Differenzwurde das vor ein paar Stunden behandelte Vor- und Zurückzählen auf dem Zahlenstrahlwieder aufgegriffen. Die Schüler hatten in der Zwischenzeit jedoch dazugelernt undbrachten von selbst zur weiteren Erläuterung wieder ihre Modelle ins Spiel. Eine Schüle-rin meinte: „Ist ja klar, denn es kommt auf das Gleiche raus, wenn ich mit einem Lift vom17. Stock aus (−11) Stockwerke nach oben fahre oder (+11) Stockwerke nach unten.“

Es war allgemein festzustellen, dass die Schüler zum Erläutern von Aufgaben nach einempassenden Modell suchten, wobei sie sich nicht scheuten, Situationen so umzuinterpretie-ren, dass sie zur Aufgabe (dem Term) passten.

Bei der Partnerarbeit zur Behandlung der Rechengesetze für die Addition arbeitete in denmeisten Fällen je ein Schüler eine Spalte ab, erst bei der gegenseitigen Korrektur er-kannten sie die Zusammenhänge. Ganz wenige Schüler überblickten, dass die Summan-den nur vertauscht, bzw. die Klammern „versetzt“ waren und verwendeten die Gesetze,ohne sich über deren Gültigkeit Gedanken zu machen.

4.2.3 Alternative zur Einführung der Addition ganzer Zahlen

Im Hinblick auf die noch folgende Multiplikationstabelle können die Regeln für die Ad-dition auch mit Hilfe einer Additionstabelle hergeleitet werden. Günstig ist es, dazu be-reits Formalreihen im Rahmen des Vor- und Zurückzählens über die Null betrachtet zuhaben. Bei dieser Methode kommt der definitorische Charakter der Regeln für die Addi-tion noch deutlicher hervor, außerdem fällt den Schülern dann das Erarbeiten der Regelnfür die Multiplikation mit der Multiplikationstabelle leichter, da sie das Vorgehen bereitskennen.

Im Lehrervortrag wird den Schülern das Ausfüllen der leeren Tabelle erläutert, das an-schließend in Partnerarbeit erfolgt. Die folgenden Aufträge sind ebenfalls in Partnerarbeitzu bewältigen:

− Kennzeichne die Grenzlinie zwischen positiven und negativen Ergebnissen hellblau.

− Schraffiere den Bereich, in dem man im Kopf addieren muss grün.

− Schraffiere den Bereich, in dem man im Kopf subtrahieren muss gelb.


Die Schüler können zum Ausfüllen ihre eigenen Anschauungen bzw. Modelle benutzen.Anschließend werden die Ergebnisse von einzelnen Schülern vorgestellt und begründet,die Klasse „einigt“ sich auf das Ergebnis.

Additionstabelle

Ausgehend von der ausgefüllten Tabelle werden die Regeln hergeleitet. Dazu erhalten dieSchüler in einer kurzen Stillarbeitsphase die Gelegenheit, sich Gedanken zu machen, be-vor die Erarbeitung im Rahmen eines fragend−entwickelnden Unterrichtsgesprächs er-folgt.

Diese Alternative wurde durch einen Kollegen in seiner „europäischen“ Klasse erprobt.Er zeigte sich zufrieden mit dem Unterrichtsverlauf und dem Lernerfolg. Die Behandlungder Multiplikation mit der Multiplikationstabelle lief besonders unproblematisch.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−2 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−3 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

−4 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

−5 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0


4.3 Die Subtraktion ganzer Zahlen

4.3.1 Hinführung

Begonnen wird die Stunde mit Aufgaben zu Rechenvorteilen bei der Addition (vgl. An-hang). Als Vorentlastung wird erneut die Möglichkeit des Umschreibens von Aufgabendes Typs 7 + (−5) in eine Differenz aufgegriffen. Gewissermaßen als Umkehrung davonsollen die Schüler in den nächsten zwei Stunden erkennen, dass Differenzen allgemein inSummen umgeschrieben und dadurch berechnet werden können.

Im zweiten Teil der Stunde wird das Ziel, möglichst einfache Regeln zum Berechnen vonDifferenzen zu finden, formuliert. Der Beginn erfolgt wie bei der Addition mit einfachenSpezialfällen. Auch methodisch wird analog zur Addition vorgegangen.

1. a) (+8) – 0 = b) (−4) – 0 = c) 0 – 0 =

2. a) (+7) – (+7) = b) (+3) – (+3) =

c ) (−7) – (−7) = d) (−3) – (−3) =

Diese ersten Aufgabenreihen werden zügig in Stillarbeit ausgeführt. Der Schüler wähltdazu das Modell bzw. die Vorgehensweise, die ihm am meisten zusagt. Die Richtigkeitseines Ergebnisses wird bestätigt, wenn Betrachtungen weiterer Schüler in anderen Mo-dellen zum gleichen Ergebnis führen. Zur weiteren Bestärkung bringt der Lehrer die be-reits bekannten Plus- und Minussteine ins Spiel, indem er damit die Aufgaben auf demOverhead-Projektor legt. Es ist dabei zu beachten, dass sich beim Subtrahieren zweiblaue bzw. zwei rote Steine gegenseitig aufheben. Um auch einen formalen Unterschiedzum Addieren zu erhalten, werden die Subtraktionsaufgaben „untereinander“ gelegt.

Teilaufgabe 2b) hat dannnebenstehendes Aussehen:

Für Differenzen, bei denen Minuend und Subtrahend gleich sind, wird die Null als sinn-volles Ergebnis anerkannt.

Die erste Aufgabenreihe war sofort abgehandelt, für die Schüler war es klar, dass dieSubtraktion von 0 nichts bewirkt.

2a) und b) konnten mit Grundschulkenntnissen gelöst werden, bei c) und d) hielten einigeSchüler Betrachtungen in Modellen für überflüssig, denn dass sich immer 0 ergibt, wennzwei gleiche Zahlen voneinander abgezogen werden, erschien ihnen völlig einleuchtend.

Diese Meinung wurde von den restlichen Schülern, die wieder alle bisher verwendetenModelle heranzogen, bestätigt. Ein Schüler meinte: „Wenn mir einer von 7 DM Schulden7 DM Schulden wegnimmt, dann habe ich keine Schulden mehr, aber auch kein Gutha-ben, also 0 DM“.

−−−−

Je zwei Steine der gleichen Far-be heben sich auf, werden alsovom Overhead genommen.


Anschließend erhalten die Schüler folgende Aufgaben:

3. a) (+5) – (+3) = b) (+5) – (+7) =

c) (−5) – (+3) = d) (−5) – (+7) =

e) (+5) – (−3) = f) (+5) – (−7) =

g) (−5) – (−3) = h) (−5) – (−7) =

In Partnerarbeit sind sinnvolle Ergebnisse mit Begründungen für diese Differenzen zuüberlegen, die der Klasse vorgestellt und über die diskutiert werden soll. Wie bei der Ad-dition können die Schüler die Vorgehensweise selbst bestimmen.

Bei der Erprobung erzielten die Schüler mit den verschiedenen Vorgehensweisen wiederfast alle die gleichen Resultate; dort wo es Abweichungen gab, einigte sich die Klasseschnell auf ein Ergebnis.Teilaufgabe a) war aus der Grundschule bekannt, b) bis d) wurden durch Betrachtungenin den verschiedenen, von den Schülern gewählten Modellen gelöst. Einige Schüler er-hielten ihre Ergebnisse durch das bereits behandelte Zurückzählen auf dem Zahlenstrahl.Bei den Teilaufgaben e) bis h) kamen die Schüler durch Betrachtungen im Schul-den−Guthaben−Modell bzw. im Höhenmeter−Modell auf ihre Ergebnisse. Ein Schülerzog die Zahlengerade heran.

Auch wenn dies in der betrachteten Klasse nicht auftrat, wäre es denkbar, dass Schüler,auch aufgrund der Vorarbeiten in den vorausgegangenen Stunden, erkennen, dass Diffe-renzen in Summen umgewandelt werden können, analog zur Möglichkeit eine Additionals Subtraktion aufzufassen. Nachfolgende Betrachtungen würden dann nur noch eineBestätigung liefern. Der Unterrichtsverlauf dürfte hier von Klasse zu Klasse stark variie-ren.

Unabhängig davon, wie die Schüler die Aufgaben lösen, gilt es nun, Regeln zu findenund zu formulieren. Die entscheidende Hilfe beim Auffinden der Additionsregeln brachteeinige Stunden zuvor das Legen der Aufgaben mit den Plus- und Minussteinen. Damitsollen nun auch die Regeln für das Vorgehen beim Subtrahieren ganzer Zahlen erarbeitetwerden.

4.3.2 Finden und Formulieren der Regeln

In einem stark lehrergeleiteten Unterrichtsgespräch wird das Vorgehen an einer Aufgabein mehreren Schritten exemplarisch vorgeführt. Das Legen erfolgt auf einer Folie mit Hil-fe entsprechend gefärbter Plättchen; die Schüler erhalten ein entsprechendes Arbeitsblatt.

1. Schritt

Betrachtet wird die Aufgabe (++++3) – (−−−−2):Die Subtraktion kann sonicht durchgeführt werden, da Minussteine nurvon Minussteinen weg−

genommen werden können.

Du brauchst also im Minuenden minde-stens 2 Minussteine. Der Wert der Diffe-

renz muss aber gleich bleiben.

2. Schritt

(++++3) – (−−−−2):

Durch das Hinzufügen von Paaren aus Mi-nus- und Plussteinen wird der Wert der Dif-

ferenz nicht geändert.

−−−−? ? ? −−−−

Hinzugefügt


Die Schüler sollen danach in Gruppen die Aufgaben 3 a), c), e) und g) durch Legen vonPlus- und Minussteinen veranschaulichen. Bei den Teilaufgaben a) und g) geht dies di-rekt, in den anderen beiden Fällen wieder durch Hinzufügen gleich vieler Plus- und Mi-nussteine.

Um alle Schüler auf den gleichen Stand zu bringen, erfolgt eine Vorstellung der richtigenErgebnisse durch die Schüler. Der Lehrer hat die Gruppen bei der Arbeit beobachtet undbittet einzelne Schüler an den Overhead.

Ausgehend von Schritt 5 in der zuvor gemeinsam bearbeiteten Aufgabe sollte im Rahmender Gruppenarbeit auch erkannt werden, dass letztlich in den Beispielen c) und e) dieSubtraktionsaufgabe in eine gleichwertige Additionsaufgabe umgeschrieben wird.

Davon ausgehend kann man - motiviert durch das Ziel einer gemeinsamen Regel - versu-chen, auch die Teilaufgaben a) und g) in eine Additionsaufgabe umzuformen.

4. Schritt

(++++3) – (−−−−2) ==== (++++5)

Wie kann man nun dieses Ergebnis in eine„einfache“ Rechnung umdeuten?

3. Schritt

(++++3) – (−−−−2):

Beim Subtrahieren dürfen gleich vieleSteine der selben Farbe im Minuenden und

Subtrahenden weggenommen werden.

5. Schritt

(+3) – (−2) = (+5):

Man rechnet eigentlich (++++3) ++++ (++++2), d.h.(++++3) −−−− (−−−−2) ==== (++++3) ++++ (++++2)

−−−−−

Heben sichgegenseitigauf.

−−−−

entspricht(+3) + (+2)


Für Teilaufgabe a) ergibt sich beispielsweise:

Ausgangssituation Situation nach dem Ergänzen

a)

(++++5) – (++++3) ==== (++++2) ==== (++++5) ++++ (−−−−3)

Damit erhält man zusammenfassend folgendes Bild:

Ausgangssituation Situation nach dem Ergänzen

a)

(++++5) – (++++3) ==== (++++2) ==== (++++5) ++++ (−−−−3)

c)

(−−−−5) – (++++3) ==== (–8)

e)

(++++5) – (−−−−3) = (+8)

g)

(−−−−5) – (−−−−3) ==== (−−−−2)

==

−−−−

==

−−−−

wird erstergänzt

wird dannentfernt

====

−−−−

⇔

====

−−−−

====

++++

⇔

====

−−−−

====

−−−−

⇔

====

++++

==

==== (−−−−5) ++++ (−−−−3

==== (++++5) ++++ (++++3

==== (−−−−5) ++++ (++++3

⇔

====

⇔

====

==

)

)

)

++++

++++


Die für alle vier Fälle geltende Regel kann man nun direkt ablesen: Subtrahieren einerZahl bedeutet dasselbe wie Addieren ihrer Gegenzahl.

An das Umschreiben von Summen der Art (+3) + (−5) in Differenzen kann erinnert wer-den. Wiederum wird klargestellt, dass durch die besprochenen vier Fälle alle möglichenVorzeichenkombinationen abgehandelt, die Subtraktion somit umfassend gelöst ist. Zu-dem liefern die neuen Regeln für die Subtraktion natürlicher Zahlen Ergebnisse, die mitdenen aus der Grundschule übereinstimmen.

Die gemeinsame Erarbeitung eines Beispiels am Overhead erwies sich als notwendig füreinen reibungslosen weiteren Ablauf in der Gruppenarbeitsphase. Ein Versuch, das Ver-anschaulichen der Aufgaben 3a), c), e) und g) nicht mit gemeinsamer Vorbereitung, son-dern unter Einsatz von Hilfekärtchen gänzlich als Gruppenarbeit zu behandeln, war in ei-ner anderen Lerngruppe gescheitert. Die Schüler waren überfordert und die Hilfekärtchenerwiesen sich bei diesem Thema in dieser Altersstufe als zu abstrakt.

Die Übersetzung des erarbeiteten Sachverhalts in die Fachsprache gelang den Schülerndiesmal bereits recht gut.

Als Hausaufgabe berechnen die Schüler unter anderem wieder Permanenzreihen, zum ei-nen als vertrauensbildende Maßnahme, zum anderen als Vorbereitung für die noch kom-mende Multiplikationstabelle.

1. (+3) − (+2) = 2. (+3) − (+1) = 3. (+3) − (+1) =

(+3) − (+1) = (+2) − (+2) = (+2) − 0 =

(+3) − 0 = (+1) − (+3) = (+1) − (−1) =

(+3) − (−1) = 0 − (+4) = 0 − (−2) =

(+3) − (−2) = (−1) − (+5) = (−1) − (−3) =

(+3) − (−3) = (−2) − (+6) = (−2) − (−4) =

(+3) − (−4) = (−3) − (+7) = (−3) − (−5) = M M M

In den nächsten Stunden werden weitere Aufgaben aus dem Anhang behandelt. Das Ver-einfachen mehrerer Zeichen (Rechen-, Vorzeichen) hintereinander wird jetzt systematischerarbeitet. Dadurch, dass jede Differenz in eine Summe umgeschrieben werden kann, las-sen sich die Regeln zu Rechenvorteilen bei der Addition übertragen.

Die Regeln beim Setzen und Weglassen von Klammern werden aber nicht systematischeingeführt, da dies in dieser Jahrgangsstufe nicht unbedingt notwendig ist. Sollen Klam-mern gesetzt werden, so muss die algebraische Summe in eine echte Summe umgeschrie-ben werden. Dazu werden Aufgaben des folgenden Typs berechnet:

a) 46 – 18 – 26 b) 83 + 69 – 83 c) 84 + 67 + 71 – 34

d) 13 + (−8) – 1 − (−57) e) 72 – 56 − (−28) f) 289 + 150 – 39


4.4 Die Multiplikation ganzer Zahlen

Bei der Addition und der Subtraktion konnte man zum Erarbeiten der Ergebnisse stets an-schauliche Modelle heranziehen.

Bei der Multiplikation finden die Kinder zum Fall „(−) · (−)“ keine Veranschaulichung ineinem der bisher verwendeten Modelle.

Die Regeln für das Multiplizieren werden mit Hilfe der folgenden Multiplikationstabelle([1], S. 56) hergeleitet:

Multiplikationstabelle

Die Schüler werden in die gewohnten Kleingruppen eingeteilt, eine Folie der leeren Ta-belle wird aufgelegt und jede Gruppe erhält ebenfalls eine Folie. In einem kurzen Lehrer-vortrag wird den Schülern erläutert, wie die Tabelle auszufüllen ist. Durch Kontrollfragenkann der Lehrer feststellen, ob die Schüler die Aufgabenstellung verstanden haben.

Je nach Leistungsstand der Klasse können zu Beginn noch Tipps geben werden, etwa mitdem bereits Bekannten, d. h. der Multiplikation von positiven Zahlen, zu beginnen. Auchkann zusätzlich noch eine Hilfe für das Nullkreuz gegeben werden.

Der Lehrer beobachtet die einzelnen Gruppen und notiert sich deren Ergebnisse.

Haben die Gruppen die Tabellen ausgefüllt, holt der Lehrer Vertreter einzelner Gruppenan den Projektor und lässt ihr Vorgehen erläutern. Treten verschiedene Ergebnisse auf,wird über die Qualität der Lösungen gesprochen. In dieser Diskussion kann zur Überzeu-gung der Schüler neben der Fortsetzung der Folgen in den einzelnen Spalten und Reihen,wie sie in den Formalreihen für die Addition und Subtraktion abgehandelt worden sind,auch auf andere Argumente, z. B. (+3) · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = (−6) zurückgegriffenwerden. Ebenso können bereits bekannte Modelle, wie das Schulden−Guthabenmodellzur Erläuterung von Ergebnissen, z. B. von (+3) · (−2) herangezogen werden.

Nachdem die Schüler eine Kopie der ausgefüllten Tabelle erhalten haben, haben sie in ei-ner kurzen Stillarbeit die Möglichkeit, sich über die Formulierung der Rechenregeln Ge-

5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

5 25 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −25

4 20 16 12 8 4 0 −4 −8 −12 −16 −20

3 15 12 9 6 3 0 −3 −6 −9 −12 −15

2 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10

1 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−3 −15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15

−4 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20

−5 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25


danken zu machen. Die dann im fragend-entwickelnden Stil erarbeiteten Rechenregelnwerden im Heft notiert. Es wird festgestellt, dass durch das Abhandeln der vier Fällewieder alle Möglichkeiten, die auftreten können, erfasst worden sind.

Diese Vorgehensweise zeigt gut den definitorischen Charakter der Regeln auf. Die Regelnsind Festlegungen, die von der Klasse „vereinbart“ wurden. Natürlich sind diese nichtwillkürlich, sondern sinnvoll begründet und führen zu keinen Widersprüchen. Da die ne-gativen Zahlen die natürlichen Zahlen beinhalten, müssen die Rechenregeln der negativenZahlen die der natürlichen Zahlen beinhalten. Dies ist bei der Multiplikation, wie auchbereits bei Addition und Subtraktion der Fall.

Aus der Tabelle werden auch die Gesetze für die Multiplikation mit 0, mit 1 und mit −1abgelesen. In der nachfolgenden Übungsphase wird wieder Wert auf die Berücksichti-gung von Rechenvorteilen gelegt.

Der bei der Addition und Subtraktion betriebene Aufwand hatte zur Folge, dass dieSchüler den Umgang mit Formalreihen bereits gewohnt waren. Die Tabellen wurden vonden Gruppen fast durchwegs richtig ausgefüllt. Es bereitete keinem Schüler Probleme „+“als Ergebnis von „−“ mal „−“ zu akzeptieren.

In bisherigen Kursen hatte es immer Bedenken gegeben - wieso sollten Schulden „mal“Schulden Guthaben ergeben. Da bei der hier dargestellten Herleitung Modelle eine unter-geordnete Rolle spielten, blieben Fragen diesbezüglich aus. Die Schüler waren „zufrie-den“ mit den Ergebnissen. Sie freuten sich darüber, selbst darauf gekommen zu sein, wie„−“ · „−“ zu rechnen ist.

Kein Schüler kam auf die Idee, einen Anwendungszusammenhang zu suchen, bei dem ei-ne negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert wird. Trotzdem war es für sievöllig normal, Aufgaben wie (−17) · (−13) zu berechnen. Die negativen Zahlen wurdenals eigenständige mathematische Gebilde, losgelöst von der Anschauung und von Mo-dellen anerkannt.

4.5 Die Division ganzer Zahlen

Die Regeln für die Division ergeben sich zwangsläufig aus der Betrachtung der Divisionals Umkehrung der Multiplikation.

Im Rahmen einer kurzen Wiederholungsphase über die Multiplikation werden auch dieAufgaben

(+3) · (+4) = (+12) (−3) · (+4) = (−12)

(−3) · (−4) = (+12) (+3) · (−4) = (+12)

gerechnet und an der Tafel so festgehalten, dass man sie am Ende der Wiederholungsein-heit weg klappen kann.

Anschließend werden die folgenden Aufgaben an die Tafel geschrieben und von denSchülern in kurzer Stillarbeit bearbeitet:

(−12) : (+4) = (+12) : (−4) = und (−12) : (−4) =

Während die erste Aufgabe auch im Guthaben−Schulden−Modell leicht zu lösen ist (12 €Schulden aufgeteilt auf drei Personen, dann hat jeder 3 € Schulden) gibt es für die beidenanderen keine Entsprechung. Einige Schüler kommen in Analogie zur Multiplikation zurichtigen Ergebnissen. Eventuell können bereits einige Schüler diesen Zusammenhang


nach der Vorentlastung in der Wiederholungsphase richtig erläutern, anderenfalls wird erim fragend−entwickelnden Unterrichtsgespräch erarbeitet.

Wurde die Tafelanschrift geeignet angeordnet, so stehen die Aufgabengruppen nach demWiederhereinklappen der Wiederholungsaufgaben direkt nebeneinander. Nach kleinenErgänzungen wird als Hefteintrag übernommen:

(+12) : (+4) = (+3) denn für die Probe gilt:

(−12) : (+4) = (−3)

(+12) : (−4) = (−3)

(−12) : (−4) = (+3)

(+3) · (+4) = (+12)

(−3) · (+4) = (−12)

(−3) · (−4) = (+12)

(+3) · (−4) = (−12)Die Regeln für die Division zweier ganzer Zahlen werden in Anlehnung an die Gesetzeder Multiplikation formuliert.

Auf die Sonderstellung der 0 bei der Division muss noch eingegangen werden. Dies ge-schieht im Rahmen von Aufgabenreihen, bei denen Typen der Art

0 : (−3) = und (−12) : 0 =

vorkommen. Begründet werden können die Ergebnisse wie oben über die Probe oder mitHilfe der Überlegung, dass ja auch die Division einer natürlichen Zahl durch 0 bereitsverboten ist.

Wurde bei der Einführung von den Schülern nicht auf das Guthaben−Schulden−Modellzurückgegriffen, so bietet es sich an, dies nachfolgend noch zu tun. Aufgaben der Art(−12) : (+3) können damit auch anschaulich interpretiert werden. Die mit Hilfe der An-schauung erzielten Ergebnisse entsprechen denen, die man mit der gerade erarbeitetenRegel erhält.

Ein Rückblick auf die Strichrechenarten zeigt, dass die Subtraktion auch als Umkehrungder Addition aufgefasst werden kann. Wie eine Überprüfung zeigt, erfüllen die festge-legten Rechenregeln auch dieses Kriterium.

Durch das Zurückführen der Division auf die Umkehrung der Multiplikation waren dieRegeln schnell erarbeitet und rasch formuliert. Auch hier wurden die Regeln weitgehendohne Bezugnahme auf ein Modell gefunden, Modelle nur in einigen Spezialfällen zurweiteren Bestätigung der Rechenregeln verwendet. Ein weiteres Mal lernten die Schülerdie negativen Zahlen losgelöst von Anwendungszusammenhängen zu betrachten, waskeine Schwierigkeiten bereitete.


Literatur

[1] mathematik lehren, Heft 35, Friedrich Verlag, Seelze, August 1989

[2] ISB, Baustein Zusammenspiel von Unterrichtsmethoden, Arbeitskreis „Metho-diküberlegungen für den mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht",München 1999http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf/akmethod/akmethod.htm

[3] P. Gallin, U. Ruf, Dialogischer Mathematikunterricht, Vortrag Gotha, Sommer2000 (Stand 19.06.01)http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/mathe.html

[4] B. Andelfinger, B. Bekermeier, H. N. Jahnke, Zahlbereichserweiterungen alsKennlinie des Lehrplans – Probleme und Alternativen, Occasional Paper 31,IDM, Bielefeld 1983

http://www.isb.bayern.de/gym/math_inf/akmethod/akmethod.htm

http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/mathe.html


Anhang: Aufgabenmaterial

Übungen zur Addition

1. a) (+2) + 0 = b) 0 + (+231) = c) (−2) + 0 = d) 0 + (−142) =

2. a) (+2) + (−2) = b) (−2) + (+2) = c) (+379) + (−379) = d) (−968) + (+968) =

3. a) (+3) + (+5) = b) (+4) + (+1) = c) (−3) + (+5) = d) (−4) + (+1) =e) (+3) + (−5) = f) (+4) + (−1) = g) (−3) + (−5) = h) (−4) + (−1) =

4. Erkläre die Ergebnisse folgender Aufgaben mit Hilfe des Guthaben-Schulden-Modells:a) 200 € + (–300 €) = b) (–200 €) + (–300 €) = c) (–200 €) + 300 € =

5. Setze die Reihen jeweils noch um 5 Glieder fort:a) (+3) + (+2) = b) (+3) + (+1) = c) (+3)+(+1) =

(+3) + (+1) = (+2) + (+2) = (+2) + 0 =(+3) + 0 = (+1) + (+3) = (+1) + (−1) =(+3) + (−1) = 0 + (+4) = 0 + (−2) =(+3) + (−2) = (−1) + (+5) = (−1) + (−3) =(+3) + (−3) = (−2) + (+6) = (−2) + (−4) =(+3) + (−4) = (−3) + (+7) = (−3) + (−5) = M M M

d) In den Teilaufgaben a) – c) sind jeweils die ersten 7 Zeilen der Reihen angegeben.Wie lautet jeweils die einhunderttausendste und die einmillionste Zeile der Reihen?

6. Addiere:a)( −17) + (+13) b) (–17) + (−13) c) (+17) + (+13) d) (+17) + (−13)e)(+2) + (+29) f) (+2) + (−29) g) (−2) + 29 h) (−2) + (−29)i) 27 + 0 k) 0 + (−27) l) (−4) + 17 m) 4 + (−17) n)(−4) − (17) o) 4 + 17 p) −125 + 375 q) −623 + (−165)r) −385 + (−17) s) 672 − 52 t) |−391 − 416| u) 290 − |−415|v) –23 401 + 98 702 w) 678 – 123 456 x) –50 001 – 456 y) –50 001 + 456

7. Peters Eltern zahlten ihm zu seinem neuen Fahrrad 250 € dazu. Da das gewünschteRad aber teurer war, machte er Schulden bei seinen Eltern. Seit 5 Monaten zahlt ermonatlich 4 € von seinem Taschengeld zurück, seine Oma zahlte 20 € für ihn zurück.Jetzt hat er noch 49 € Schulden. Was kostete das Fahrrad? Wie viele Monate langmuss er noch zurückzahlen?

8. 13 579 – 45 778a) Mache eine Überschlagsrechnung, berechne dann genau und runde das Ergebnis

auf Tausender.b) Streiche im 1. Summanden 2 Ziffern so, dass das Ergebnis möglichst groß ist.c) Streiche im 2. Summanden 2 Ziffern so, dass das Ergebnis möglichst groß ist.d) Streiche im 1. oder 2. Summanden insgesamt 4 Ziffern so, dass das Ergebnis

möglichst klein ist.


9. Beim Werfen auf die abgebildete Dart-Scheibe erhält man zwischen 10 Punktenfür einen Volltreffer und 1 Punkt für dasTreffen des dritten Ringes von außen.Trifft man jedoch nur die beiden äußers-ten Ringe oder gar keinen Ring, so erhältman einen, zwei oder fünf Minus-Punkte. Jeder Spieler wirft je Rundedreimal, die Summe der 3 Einzelwürfewird notiert.

a) Bestimme die fünf besten sowie diefünf schlechtesten möglichen Resul-tate eines Dreier−Wurfes.

b) Teste, welche Resultate zwischen –10und 10 mit einem Dreier–Wurf er-reicht werden können.

c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 0 (2, 12) als Ergebnis eines Dreier−Wurfes zuereichen?

10. Ursula, Marion, Thomas und Herbert spielen Wizard. Bei diesem Kartenspiel ist eswichtig, nach Sichtung der eigenen Karten vorauszusagen, wie viele Stiche man indieser Runde selbst machen wird. In der ersten Spielrunde hat jeder Spieler nur eineKarte, in der zweiten Runde zwei Karten usw. Gewertet wird wie folgt:Fall 1: Die Zahl der eigenen Stiche wird richtig vorhergesagt.

Dann bekommt man 2 Punkte für die richtige Vorhersage und zusätzlich einenPunkt für jeden Stich.Beispiel: Thomas sagt vier Stiche an und dies tritt im Spielverlauf auch so ein,dann erhält er 2 + 4 = 6 Punkte.

Fall 2: Die Zahl der eigenen Stiche wird nicht richtig vorhergesagt.Dann bekommt man für jeden Stich, den man „daneben“ liegt, einen Minus-punkt.Beispiel: Thomas sagt vier Stiche an, macht aber sieben (oder einen), dann er-hält er –3 Punkte.

a) Thomas sagt 3 Stiche an. Das Spiel ist in der 7. Runde, jeder Spieler hat also 7Karten. Welche Punktzahlen für Thomas sind theoretisch möglich?

b) Der Tabellenausschnittzeigt die Vorhersagen undErgebnisse der vier Spielerin den ersten 6 Runden (Efür Ergebnis, V für Vor-hersage). Beschreibe denSpielverlauf in den erstenbeiden Runden. Berechneden aktuellen Punktestandder vier Spieler.

Ursula Marion Thomas HerbertE V E V E V E V

Runde 1 –1 1 2 0 2 0 3 1Runde 2 3 1 –2 2 –1 0 2 0Runde 3 2 0 3 1 –1 1 –1 1Runde 4 –1 2 2 0 5 3 –1 1Runde 5 3 1 –1 2 –3 0 2 0Runde 6 –2 2 –1 1 3 1 5 3Runde 7

c) Herbert sagt in der nächsten Runde 3 Stiche an, Ursula 2. Erkläre, ob Ursula Her-bert im Gesamtstand einholen kann.

10

1053

31

−2

2

−1

−5


Übungen zu Rechenvorteilen1. Berechne zusammen mit deinem Partner die Aufgaben möglichst geschickt:

a) (−7) + (+4) b) (+4) + (−7)c) (−23) + (−42) d) (−42) + (−23)e) (+721) + (−93) f) (−93) + (+721)g) (−34) + [(−26) + (+50)] h) [(−34) + (−26)] + (+50)i) [(+72) + (−52)] + (−33) k) (+72) + [(−52) + (−33)]

2. Berechne:a) −12 + 27 b) 27 − 12 c) 33 – 85 d) −85 + 33

3. Berechne:a) −32 + (45 − 80) b) (−32 + 45) – 80 c) 32 − 45 + 80.

4. Zeichne zwei verschiedene Rechenbäume zu 254 − 123 − 117, indem du 254 − 123 –117 einmal als Differenz und einmal als Summe deutest. Wie rechnet sich leichter?

5. Addiere geschickt:a) −17 + [(+13) + (−27)] b) [(−13) + (−17)] + (+13) c) 182 + [(+38) + 18]d) [(−154) + 97] + (−56) e) −67 + (92 − 33) f) −422 + 297 − 588g) (87−195) + (205 −87) + (−205 + 195)h) Erkläre in Worten, was du machst, um deinen Rechenaufwand möglichst gering zu

halten.

6. a) Die Zahlen von 1 bis 16 lassen sich in einem„magischen Quadrat“ anordnen, d. h., dass ineiner quadratischen Anordnung der 16 Zahlendie Summe der Zahlen aller Spalten und allerZeilen sowie der beiden Diagonalen gleich ist.Ergänze zu einem magischen Quadrat:

b) Nachdem Claudia die Aufgabe gelöst hat, ruft sie blitzschnell: „Ich kenne noch an-dere magische Quadrate“ und schreibt an die Tafel:

Überprüfe, ob es sich wirklich um magische Quadrate handelt. Wie hat Claudia sieso schnell gefunden?

c) Gib magische Quadrate an, bei denen alle Summen −6 (−18, −120) sind.d) Wenn alle Einzelsummen eines magischen Quadrats jeweils –14 sind, wie groß ist

dann die Summe aller 16 Zahlen des Quadrats?e) Gibt es ein magisches Quadrat von 16 aufeinander folgenden Zahlen, bei dem alle

Summen 0 sind?

1 14 15 4

7

11 10 5

−7 6 7 −4 −7 4 3 −10 −14 8 6 −204 −1 −2 1 −2 −5 −4 1 −4 −10 −8 20 3 2 −3 −6 −1 0 −3 −12 −2 0 −65 −6 −5 8 5 −8 −9 2 10 −16 −18 4


Übungen zur Subtraktion

1. a) (+8) – 0 = b) (−4) – 0 = c) 0 – 0 =

2. a) (+7) – (+7) = b) (+3) – (+3) = c) (−7) – (−7) = d) (−3) – (−3) =

3. a) (+5) – (+3) = b) (+5) – (+7) = c) (−5) – (+3) = d) (−5) – (+7) =e) (+5) – (−3) = f) (+5) – (−7) = g) (−5) – (−3) = h) (−5) – (−7) =

4. Berechne:a) (−17) − (+13) b) (−17) − (−13) c) 7 − (+13) d) 17 − (−13)e) 2 − (+29) f) 2 − (−29) g) (−2) − (+29) h) (−2) − (−29)i) 27 − 0 k) 0 − (−27)

5. Berechne:a) −4 + 17 b) 4 − 17 c) −4 − 17 d) 4 + 17 e) −125 + 375 f) −623 − 165 g) −385 + (−17) h) 672 − 52i) −391 − 416 k) 290 – (−415)

6. Berechne jeweils die Differenzen und setze um drei weitere Glieder fort:a) (+3) − (+2) = b) (+3) − (+1) = c) (+3) − (+1) =

(+3) − (+1) = (+2) − (+2) = (+2) − 0 =(+3) − 0 = (+1) − (+3) = (+1) − (−1) =(+3) − (−1) = 0 − (+4) = 0 − (−2) =(+3) − (−2) = (−1) − (+5) = (−1) − (−3) =(+3) − (−3) = (−2) − (+6) = (−2) − (−4) =(+3) − (−4) = (−3) − (+7) = (−3) − (−5) =(+3) − (−5) = (−4) − (+8) = (−4) − (−6) =

M M M

d) In den Teilaufgaben a) – c) sind jeweils die ersten 8 Zeilen der Reihen angegeben. Wie lautet jeweils die einhunderttausendste und die einmillionste Zeile der Reihe?

7. Sebastian hat in einem Spiel 56 Punkte weniger als Gabi, die 38 Punkte hat. Sebasti-an bekommt 15 Punkte dazu. Wie viele Punkte hat er und um wie viel ist er "schlech-ter" als Gabi?

8. Ersetze x so durch eine ganze Zahl, dass eine wahre Aussage entsteht:a) −4 − x = 13 b) x −(− 4) = −3 c) 5 − x = 10 d) x − 22 = −33

9. Welche Zahl muss ich von 48 subtrahieren, um 60 zu erhalten?

10. Von welcher Zahl muss ich 15 subtrahieren, um 26 zu erhalten?

11. Berechnea) −45 + 24 − 83 + 46 b) 71 − 23 − 97 + 49 c) 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 −10

12. Prüfe an Beispielen, ob der Betrag der Differenz zweier Zahlen stets ihr Abstand aufder Zahlengeraden ist.


Vermischtes zur Addition und Subtraktion

1. a) Addiere zur Summe von –19 und 21 die Zahl 23.b) Subtrahiere die Zahl –19 von der Summe aus 17 und –4.c) Bilde die Differenz aus der Zahl 234 und der Summe der Zahlen –123 und –227.d) Subtrahiere die Differenz von 17 und 4 von der Differenz von –4 und –17.e) Addiere zum Betrag von −54 die Differenz aus –17 und 4.

2. Welche Zahl fehlt in der Klammer?a) (+13) + ( ) = 7 b) ( ) + (+6) = −6 c) (−9) + ( ) = (−8)d) (−14) + ( ) = (−14) e) ( ) + (−20) = 0 f) (−12) + ( ) = −24g) (+5) – ( ) = −5 h) (−7) – ( ) = −7 i) (−12) – ( ) = 0k) ( ) – 9 = −5 l) ( ) – (−9) = −5 m)( ) – (−9) = 5

3. Ergänze die Vorzeichen passend.a) ( 2) + ( 10) = −8 b) (−5) + ( 7) = ( 2) c) ( 19) + 11 = ( 8)d) ( 10) + ( 10) = 0 e) ( 12) + 0 = ( 12) f) ( 13) + ( 13) = ( 26)g) ( 12) – ( 4) = 8 h) ( 12) – ( 4) = 16 i) ( 9) – ( 5) = −4k) (−17) – ( 12) = ( 5) l) ( 16) – ( 8) = ( 8) m) ( 18) – ( 10) = ( 8)

4. Berechne der Reihe nach.a) 4 – 5 + (−9) b) 7 – (−9) – 3 c) 18 + (−17) – (−12)d) −11 – 22 – (−11) e) 33 – 13 + (−14) f) −11 – 13 – (−9)g) 14 + (−22) – 9 h) −20 – 13 + 16 i) −12 + (−12) – (+12)k) −20 – (−60) – 40 l) –26 – (−13) – 39 m) 26 + (−13) + (−39)

5. Rechne unter Ausnutzung von Rechenvorteilen:a) 46 – 18 – 26 b) 83 + 69 – 83 c) 84 + 67 + 71 – 34d) 13 – 8 – 1 + 57 e) 72 – 56 + 28 f) 289 + 150 – 39

6. Gib zwei ganze Zahlen an,a) deren Summe größer ist als ihre Differenz.b) deren Summe kleiner ist als ihre Differenz.c) deren Summe gleich ist ihrer Differenz.

7. Frau Maiers Konto hat einen Stand von –1205,89 €.Sie bekommt ihr Gehalt von 2327,67 € überwiesen, zahlt aber am gleichen Tag dieMiete von 670 €.Welchen Stand hat ihr Konto jetzt?

8. Löse durch Nachdenken. G = Z.a) −4 – x = 3 b) x − 4 = −3 c) x + 17 = −4 d) 13 + x = 6

9. Welche ganzen Zahlen ...a) ... sind höchstens so groß wie die Differenz aus 17 und –54 und mindestens so

groß wie die Summe aus 17 und –54?b) ... liegen zwischen 5 – (7 + 4) und 4 + (–7 – 5)?c) ... haben einen Betrag, der kleiner als die Differenz von –11 und 23 ist?


10. In den folgenden Rechenpyramiden entsteht eine Zahl durch Addition oder Subtrakti-on aus den beiden unteren. In den Kreisen steht das entsprechende Rechenzeichen.Ergänze die Lücken. Oft gibt es mehrere Möglichkeiten.

Beispiel: mögliche Lösungen:

a) b) c)

d) Erfinde selbst eine solche Pyramide und lasse deinen Banknachbarn lösen.

11. DreierkombiSpiele mit deinem Banknachbarn zusammen. Ihr braucht drei Würfel und jeweils 7Spielmarken, z. B. Centstücke.Spielregel:Es wird mit drei Würfeln gewürfelt. Die Augenzahlen dürfen addiert oder subtrahiertwerden. Wer auf diese Weise zuerst eine Zahl bilden kann, die auf dem Spielplan zufinden ist, darf diese abdecken. Wer einen falschen Vorschlag macht, muss eine derbereits gelegten Marken wieder vom Spielplan nehmen. Wer als erster seine 7 Spiel-marken abgelegt hat, hat gewonnen.Beispiel:Gewürfelt werden die Zahlen 2, 3 und 5.Man kann bilden: 2 + 3 + 5 = 10 oder 5 – 3 – 2 = 0 usw.(aber nicht: – 2 – 3 – 5 = –10)

–11 –10 –9 –8 –7

–6 –5 –4 –3 –2

–1 0 1 2 3

4 5 6 8 10

12 13 15 16 18

10

7

–12

–12 3

1–64 11–23

10

3 7

–15–12 19

10

–3 7

–9–12 19

1

–510


Übungen zur Multiplikation mit ganzen Zahlen

1. Berechne:a) 2 · (−14) b) 4 · (−11) c) (−14) · 4 d) (−14) · (−4) e) (−7) · (−8)f) (−24) · 38 g) 24 · (−19) h) (−38) · 48 i) (−8) · (−19) k) (−32) · (−190)

2. Bestimme mehrere Produkte aus zwei Faktoren mit dem Wert –36 (20, 37, −111)

3. Berechnea) (−3) · (−4) · (−5) b) 3 · (−4) · 2 c) 6 · (−2) · (−3) d) (−4) · 5 · (−7)e) −5 · (−7) · 12 f) 12 · 3 · (−5) g) −11 · 12 · (−13) h) 8 · (−9) · (−12)i) 21 · (−4) · (−7) k) −17 · (−21) · (−12)

4. Berechnea) 17 – 8 · (−3) b) 18 · (−5) + 32 c) 3 · 7 − (−4) · (−9)d) 8 · 237 + (−17) · 28 e) 25 + (−26) · (−27) f) 25 – 26 · 27g) (25 − 26) · 27 h) (25 − 26) · (−27)

5. Berechnea) die Differenz aus dem Produkt von 17 und −4 und der Zahl –38.b) das Produkt aus der Differenz von 17 und −4 und der Zahl –38.c) die Summe aus dem Produkt und der Differenz der Zahlen –4 und –38.

6. Wie viele Produkte aus zwei der Zahlen −12, −11, ..., 11, 12 sind größer als 100, wieviele haben einen Betrag größer als 100, wie viele haben einen Betrag kleiner als 4?

7. Welche Zahl fehlt in der Klammer?a) (−6) · ( ) = −36 b) (−5) · ( ) = 30 c) ( ) · (−13) = −52d) (−14) · ( ) = 196 e) 3 · ( ) = −3 f) 17 · ( ) = −289

8. Susi glaubt, dass das Produkt zweier Zahlen immer größer ist als beide Faktoren.a) Erkläre am Produkt 2 · 5, was mit obigem Satz gemeint ist.b) Finde Beispiele aus dem Zahlenbereich N0, bei denen diese „Regel“ verletzt ist.c) Beurteile diese „Regel“ bei der Multiplikation von ganzen Zahlen.

9. a) In den folgenden Multiplikationspyramiden beinhaltet jeder Baustein das Produktder Zahlen der beiden Bausteine, auf denen er ruht. Fülle fertig aus.

b)Wie ändert sich die Zahl an der Spitze, wenn man jede Zahl der untersten Reihe mit–1 (−2) multipliziert?

c) In der untersten Reihe einer Pyramide mit 8 Schichten stehen abwechselnd positiveund negative Zahlen. Welches Vorzeichen trägt die Zahl an der Spitze?

0

−−−−17 30 −−−−122 −−−−3 4 −−−−5


10. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Entscheide, ohne zu be-rechnen.a) 529 · 83 > 528 · 83 b) 712 · 103 < 102 · 711c) 529 · (–83) > 528 · (–83) d) 139 · (–721) > 138 · (–712)

11. Welche Produktwerte sind gleich? Die Produktwerte sollen nicht berechnet werden.a) (–7) · 19 · (–23); –7 · (–19) · 23; 7 · 19 · (–23)b) 22 · (–9); 2 · 11 · (–9); –2 · 11 · 9c) –27 · (–15) · 2; –27 · (–30); 78 · 10; 54 · (–15)

12. Berechnea) (−2)2, (–2)3, (–2)4, (–2)5, (–2)6, (−2)7, (−2)8.b) (−3)2, (−3)3, (−3)4, (−8)2, (−19)2.c) (−6)2, − 62, (−4)3, − 43.

13. Es lassen sich auch magische Quadrate bilden, bei denen alle Produkte der Zahlen ei-ner Zeile, Spalte oder Diagonale gleich sind.

a) Überprüfe, ob wirklich alle entsprechenden Produkte gleich sind.b) Verändere dieses magische Quadrat, so dass wieder magische Quadrate entstehen

(Vorzeichenveränderungen, Spiegelungen).c) Fällt dir an den Zahlen des Quadrats etwas Besonderes auf? Wenn ja, dann gelingt

es dir bestimmt, ein magisches Quadrat mit völlig anderen Zahlen zu finden.

14. Berechne geschickt:a) (−129 · 25) · 4 b) 4 · (−375) · (−25) c) 8 · (−3) · 13 · (−125)d) −32 · 125 e) 44 · (−25) f) 50 · (−125 · 20) · (−8)

15. Denke dir eine Zahl, verdoppele sie und addiere die Gegenzahl der gedachten Zahl.Welche Zahl erhältst du? Begründung?

−4 128 −64512 −32 −2−16 −8 256


Übungen zur Division mit ganzen Zahlen

1. Bestimme den Wert des Quotienten:a) 12 : 4 b) (−12) : (−4) c) (−12) : 4 d) 12 : (−4) e) −15 : 3f) 15 : (−3) g) −15 : (−3) h) −225 : 15 i) −196 : (−14) k) 324 : (−18)

2. Berechne:a) 153 : (−9) b) (−153) : (−9) c) 256 : (−4) f) 8400 : (−25)g) (−374) : (−17) h) (−80000) : 200 i) (−69550) : 214 k) 352080 : (−489)

3. Berechne:a) –17 + 63 : (−7) b) 400 – (−39) : (−3) c) 4 + 5 · (−6)d) 17 + [−38 + (8 – 24 : (−8)] e) (−800) : 25 + 200 f) 35 : (15 – 22)

4. Beschreibe die Terme aus Aufgabe 3 in Wortform.Beispiel 3a: Addiere den Quotienten aus 63 und –7 zu –17.

5. Berechne den Wert des Terms:a) [(−45) : (−3) + 10 : (−2)] : (−5) b) [18 : (−2) – 90 : (−3)] : (−7)

c) [18 – 8 : (−2)2] : [−4 + (−2)3] d) [−45 : 9 + 5 · 25 : (−8)] : (−5)2

6. Gib alle Quotienten „ohne Rest“ an, die sich aus den Zahlen –7, −4, −1, 0, 12, 35 bil-den lassen und berechne ihren Wert.

7. Aus den Zahlen –48, −32, −24, −3, 2, 6, 15, 30 lassen sich sehr viele Quotienten bil-den. Suche den mit dem kleinsten Wert, größten Wert und betragskleinsten Wert.

8. Finde die richtigen Rechenzeichen:a) 8 (−6) (−2) = −4 b) (−15) (−3) 4 = 1 c) (−2) 1 (−3) = 1d) Erfinde selbst eine solche Aufgabe und stelle sie deinem Nachbarn.e) Finde Aufgaben dieser Art mit mehr als einer Lösung.

9. Setze „>“ , „<“ oder „=“ ein, so dass eine wahre Aussage entsteht. Begründe deineEntscheidung, ohne die Terme zu berechnen:

a) (−408) : 17 408 : (−17) b) 112 · (−4) 112 + 4

c) 93 −−−− 39 −−−− d) (−9545) : (−415) 9545 : 415 – (−1)

10. Welche Zahl liegt in der Mitte zwischen den Zahlen 478 und –536?

11. In Werchojansk in Sibirien betragen die mittleren Monatstemperaturen von Januarbis Dezember:–50°C, –45°C, –30°C, –13°C, 2°C, 12°C, 15°C, 11°C, 2°C, –14°C, –37°C, –47°Ca) Zeichne ein Diagramm, das die mittleren Temperaturen in den einzelnen Monaten

veranschaulicht.

b) Zwischen welchen Monaten ist der Unterschied der mittleren Temperaturen amgrößten bzw. am kleinsten?

c) Berechne die mittlere Jahrestemperatur.


Aufgaben zu negativen Koordinaten

1. Trage die Punkte A(−2;−3), B(2;−3), C(2;1), D(−2,1) und E(0;3) in ein Gitternetz einund verbinde ABCDACEDB.

2. Lies die Koordinaten der Punkte in der Abbildung ab.

Spiegle jeden Punkt an der y-Achse. Was fällt dir am Rechts- und am Hochwert auf?

3. Trage die Punkte A(−2;−3), B(2;−3), C(2;1), D(−2,1) und E(0;3) in ein Gitternetz einund verbinde ABCDACEDB.Stelle Dir vor, die entstehende Figur würde um eine Einheit nach links verschoben.Wie lauten dann die Koordinaten der Eckpunkte?Welche Eckpunkte ergeben sich, wenn man die Figur mit ihrer Spitze nach (2, 1) ver-schiebt?

4. Hier siehst Du einen Ausschnitt desStadtplans der Stadt Utopia. AlleKreuzungen der Stadt werden durchdie Koordinaten im eingezeichnetenQuadratnetz bezeichnet. Was die Si-tuation für Autofahrer recht stark er-schwert, sind die viele Einbahnstra-ßen. Aber die Bewohner von Utopiasind damit vertraut.a) Suche die kürzesten Wege zwi-

schen zwei Punkten und beschreibedie Wege durch die Abfolge vonKreuzungen, an denen man ab-biegt:von (−3; 2) nach (2; −2)von (−4; −2) nach (−3; −1)von (2; −3) nach (1; −1)von (−1; 2) nach (−1; −1)

b) Suche 2 benachbarte Kreuzungen,deren Verbindung durch die Einbahnstraßen besonders stark erschwert wird.

y

x1

1

-1-1

A

C

B D

F

E


5. Zeichne in ein Gitternetz und verbinde:a) Acht Punkte, deren Rechtswert um 1 kleiner als der Hochwert ist.b) Acht Punkte, bei denen der Rechtswert um 2 größer als der Hochwert ist.c) Acht Punkte, deren Hochwert halb so groß ist wie der Rechtswert.d) Acht Punkte, bei denen die Summe aus Rechts- und Hochwert 5 ergibt.

6. Zeichne in einem Gitternetza) rot alle Punkte, mit Rechtswert kleiner als 1 und Hochwert größer als –3.b) grün alle Punkte, deren Rechtswert den Betrag 5 und deren Hochwert einen Betrag

kleiner als 3 besitzt.

7. In der Zeile "Rechtswert" werden nach rechts von jeder Spalte zur nächsten 2 addiert,in der Spalte "Hochwert" wird jeweils −1 addiert. Ergänze die Tabelle und zeichnedann die Punkte in ein Gitternetz. (Einheit 1 Kästchen)

8. In der Zeile "Rechtswert" werden nach rechts von jeder Spalte zur nächsten –2 addiert,in der Spalte "Hochwert" wird jeweils −3 addiert. Ergänze die Tabelle und zeichnedann die Punkte in ein Gitternetz. (Einheit 1 Kästchen)

9. Nach rechts werden zum Rechtswert jeweils 2 und zum Hochwert −2 addieren. Nachlinks werden vom Rechtswert 2 und vom Hochwert −2 subtrahieren. Ergänze die Ta-belle und zeichne dann die Punkte A bis H in ein Gitternetz.

10. Wenn "Minusminus" nicht "Plus" wäre, dann würde die Tabelle aus Aufgabe 9 soaussehen, wie sie unten abgedruckt ist. Zeichne wieder die Punkte in ein Gitternetz.

A B C D E F G HRechtswert −6 −4

Hochwert 3 2

A B C D E F G HRechtswert 5 3

Hochwert 9 6

A B C D E F G HRechtswert 1

Hochwert 3

A B C D E F G HRechtswert −7 −5 −3 −1 1 3 5 7

Hochwert −5 −3 −1 1 3 1 −1 −3

negative zahlen in jahrgangsstufe 5 – ein erfahrungsbericht · pdf file6...

Documents