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GeodesiaCartografıa

Sistemas de referencia. Tiempos

Navegacion AereaTema 1: Geodesia. Cartografıa. Sistemas de referencia.

Tiempos.



La geodesia a traves de la HistoriaModelos de TierraModelos gravitatorios de la Tierra

Geodesia

Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida yrepresentacion de la Tierra y de su campo gravitatorio.Tambien estudia otros fenomenos, como por ejemplo elmovimiento de las placas tectonicas, la rotacion de la Tierra,el desplazamiento de los Polos o las mareas.

Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales(utiles para una cierta region, como por ejemplo oun paıs) o globales.

Medida de la Tierra: A pequena escala (topografıa:estudios geodesicos, triangulaciones geodesicas conteodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra,aplanamiento, etc...).

Representacion de la Tierra: En este aspecto,ıntimamente ligada a la cartografıa.

Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto sedenomina geodesia fısica (rotacion, mareas,densidad de las capas de la Tierra...). 2 / 70




Modelos de Tierra en la Antiguedad

En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), losdesplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de lacurvatura muy poco apreciable.

Por tanto, tıpicamente se asumıa un modelo de Tierra plana1.

No obstante ya habıa algunos efectosapreciables para una mente observadora:

En un eclipse de Luna, la sombra de laTierra es circular (¿y si la Tierra fuera undisco?).Cuando un barco se adentra en el mar, loultimo que desaparece son las velas!

Los griegos fueron los primeros en proponerotro modelo de Tierra diferente: una Tierraesferica.

1Aun existe quien ası lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society.3 / 70




Modelos de Tierra en la Antiguedad

Los griegos eligieron una esfera por coherencia con lasobservaciones, pero sobre todo por motivos filosoficos: laesfera es el solido mas perfecto.Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esferaPitagoras, Aristoteles, Platon o Arquımedes.

El primero en estimar la circunferencia de laesfera terrestre fue Eratostenes, alrededordel ano 240 A.C.

Eratostenes de Cirene era un matematico,poeta, atleta, geografo y astronomo griego.

Tambien estimo la inclinacion del eje de laTierra con respecto a la eclıptica (planodonde orbita la Tierra en torno al Sol), y sele atribuye estimar la distancia Tierra-Sol yla invencion del ano bisiesto. 4 / 70




Midiendo la circunferencia de la Tierra

Eratostenes uso trigonometrıa para medir el radio de la Tierra,supuesta esta esferica (el radio real es aproximadamente 6370kilometros).En Asuan, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontrabatotalmente vertical. ¿Que es el Solsticio de Verano yque implica que el Sol este vertical?

El mismo dıa, en Alejandrıa, un obeliscoproyectaba una sombra de angulo 7,12o.

Eratostenes sabıa que la distancia entreAlejandrıa y Asuan era de unos 5000estadios.

En unidades modernas, 1 estadio = 157.5metros.

Ejercicio: Reproducir el calculo deEratostenes. 5 / 70




Modelo de Tierra esferico

Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estimo elperımetro de la Tierra en 29000 kilometros (realmente sonunos 40000 kilometros). Dado el prestigio de Ptolomeo, estaestimacion se mantuvo durante la Edad Media y Renacimientoy fue la utilizada por Colon para planear su viaje a las Indias.

Si la Tierra es esferica, se pueden definirlatitud, longitud, meridianos y paralelos.

¿Cual es la latitud y longitud de Sevilla?

¿que longitud tiene un cierto arco dadosobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo?

Tomando el radio de la Tierra como 6366.7kilometros, ¿que longitud cubre un minutode arco de meridiano? (1’=1/60 grados)

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Modelo de Tierra elipsoidal

Cassini (Francia, s.XVIII) midio con precision un arco demeridiano y observo el siguiente fenomeno: tomando comoreferencia Parıs, 1 grado de arco medido hacia el Norte eramas largo que un grado de arco medido hacia el Sur.

Para resolver la discrepancia, propuso unmodelo elipsoidal (de revolucion) de laTierra, de forma que el radio en el Polo esmayor que el radio en el Ecuador.

Huygens y Newton habıan propuestodecadas atras el modelo opuesto, unelipsoide de revolucion con mayor radio en elEcuador que en el Polo.

El asunto se convertio en una cuestion deorgullo nacional, Francia vs. Gran Bretana.

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La geodesia en tiempos modernos

La academia de Ciencias francesa mando una expedicion aregiones polares para hacer medidas mas precisas.Las medidas dieron la razon a los ingleses.Este fue el primer avance importante en geodesia en casi 20siglos.

En el siglo XIX, la geodesia aparece comociencia independiente gracias a lascontribuciones de Bessel, Gauss, etc...

En tiempos modernos, la geodesia haexperimentado un nuevo auge gracias a laexploracion del espacio.

Sistemas basados en satelites como GPS yotros permiten determinar medidasgeodeticas con una precision antesinalcanzable. 8 / 70




Modelos de Tierra

Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, endiferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos deTierra.En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana(p. ej. en Mecanica del Vuelo).En el otro extremo esta la superficie topografica de la Tierra:es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacenfalta infinitos puntos: no es practica en la mayor parte de loscasos.Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matematica, dereferencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no esexactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades:

Esfera: mas simple pero menos precisa.Elipsoide de revolucion achatado en los polos.

Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproximabien la topografica, definida en base al modelo geopotencial(gravitatorio y de rotacion terrestre). 9 / 70




Elipsoides de referencia

Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamenteelipsoidal, este modelo tiene el merito de ser losuficientemente simple como para ser manejable y losuficientemente preciso como para ser util en la practica.

Para definir un elipsoide son necesarios dos parametros:

re = semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a].rp = semieje polar (menor) [a veces llamado b].

Tıpicamente no se emplea b, sino que seutiliza el “factor de achatamiento” o deaplanamiento (flattening): f = 1− rp/re .

En tablas se suele dar mas bien 1/f .

Otra alternativa a f es la excentricidade =

√1− r2

p/r2e .

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Elipsoides de referencia

Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejordiferentes zonas de la Tierra.

Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro.

En la actualidad ha emergido un estandarcomunmente aceptado en todo el mundo.

Se denomina Elipsoide Internacional deReferencia WGS84.

Para el WGS84, re = 6378,137 kilometros y1/f = 298,257224.

El uso del WGS84 se debe a que esempleado por los satelites GPS; todos losreceptores GPS trabajan con coordenadasdefinidas por el elipsoide WGS84.

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Otros elipsoides de referencia

Ejemplos de otros elipsoides de referencia:

En Espana hasta hace poco se usaba el ED50, basado en elInternacional, pero ahora se usa el GRS80, que es equivalente(por milımetros) al WGS84.

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Sistema Geografico de referencia

Tambien llamado ejes Tierra o ECEF (EarthCentered, Earth Fixed).

Ligado a la Tierra, rota con ella.

Util para referenciar posiciones en toda laTierra.

Coordenadas cartesianas:xECEF = [xECEF yECEF zECEF]T.

El plano Oxey e contiene al Ecuador y elplano Oxeze al Meridiano de Greenwich.

La forma de la Tierra se asimila al elipsoideWGS84.

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Coordenadas geodeticas o geodesicas

Un punto queda determinado por sualtitud h, latitud geodesica φ y longitudgeodesica λ.

Observese que h mide la altitud sobreuna perpendicular al suelo (verticallocal) que no coincide en general conuna lınea que una el punto con elcentro de la Tierra.

Relacion con las coordenadas cartesianas:

xECEF =

(h +

re√1− f (2− f ) sen2 φ

)cosφ cosλ =

(h +

re√1− e2 sen2 φ

)cosφ cosλ,

yECEF =

(h +

re√1− f (2− f ) sen2 φ

)cosφ senλ =

(h +

re√1− e2 sen2 φ

)cosφ senλ,

zECEF =

(h +

re (1− f )2√1− f (2− f ) sen2 φ

)senφ =

(h +

re (1− e2)√1− e2 sen2 φ

)senφ.

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Coordenadas geocentricas

Tambien se pueden emplear coordenadasesfericas tradicionales:Un punto P quedadeterminado por el radio r (medido desde elcentro de la Tierra), la latitud geocentrica φC yla longitud geocentrica λC .

Es evidente que λC = λ, al ser el elipsoide derevolucion. No obstante, φ 6= φC .

En la figura se ha elegido un meridiano β por elque se ha “cortado” el elipsoide.

Usando la figura se pueden demostrar lasformulas de la anterior transparencia.

Relacion con las coordenadas cartesianas:

xECEF = r cosφC cosλC , r =√

(xECEF)2 + (yECEF)2 + (zECEF)2,

yECEF = r cosφC senλC , tanλC = yECEF

xECEF ,

zECEF = r senφC , tanφC = zECEF√(xECEF)2+(yECEF)2

.15 / 70




Pasar de coordenadas cartesianas a geodesicas

Dadas las coordenadas geodesicas, es inmediato obtener lascoordenadas xECEF.

El procedimiento inverso ha de hacerse numericamente.Unicamente se puede calcular con facilidad λ de

tanλ = yECEF

xECEF .

Para ello conviene definir la funcion N(φ) = re√1−e2 sen2 φ

y

escribir p =√

(xECEF)2 + (yECEF)2.

1 Asumir h0 = 0. Entonces tanφ0 = zECEF

p(1−e2).

2 Iterar para i = 0, 1, . . .:a Calcular Ni = re√

1−e2 sen2 φi

.

b Calcular hi+1 = pcos φi

− Ni .

c Calcular φi+1 de tanφi+1 = zECEF

p(

1−e2 NiNi +hi+1

) . Volver a (a).

3 Parar cuando el procedimiento iterativo converja.16 / 70




Sistema de referencia local y radios de curvatura

En la figura se ve un sistema de ejesdefinido localmente, llamado NED:North-East-Down.

Coincide con el sistema definido por lascoordenadas curvilineas φ, λ, h, deforma que N=eφ, E=eλ, D=−eh.

Dicho sistema es fundamental ennavegacion aerea, a veces se llama“navigation frame”.

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano

(λ =cte) es Rmer = re(1−e2)

(1−e2 sen2 φ)3/2 .

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo(φ =cte) es Rnormal cosφ, donde Rnormal = re√

1−e2 sen2 φ.

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Modelos gravitatorios

Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogenea por capasesfericas (como una cebolla), la aceleracion de la gravedad g

serıa igual a G = −µer3 r , donde r = xECEF.

En realidad, se tiene que G = G (r , λ, φ).

Para estudiar G es mas sencillo usar un potencial UG yutilizar coordenadas geocentricas r , λC , φC .

Por tanto G = ∇UG , es decir, en esfericas:G = ∂UG

∂r er + 1r∂UG

∂φCeφC + 1

r cosλC∂UG

∂λCeλC .

Modelo esferico: UG = µer .

Modelo elipsoidal (J2):

UG = µer

[1 + J2

2

(rer

)2(1− 3 sen2 φC )

], donde J2 es un

coeficiente.

Modelo EGM96: hasta 360 terminos realizando correcionespor la forma de la Tierra y la distribucion masica.

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La rotacion de la Tierra

La Tierra rota con una velocidad ωe en torno al eje ze . Puestoque los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejeshay que anadir las fuerzas de inercia ficticias.

Concretamente aparece una aceleracion centrıfuga, dada poracent = −ωe × (ωe × xECEF).

Se tiene que acent = −ω2e

[xECEF yECEF 0

]T.

Si escribimos Uω = ω2e r

2 cos2 φC2 , se tiene que acent = ∇Uω.

Notese que desde el punto de vista de un observador, laaceleracion centrıfuga es completamente indistinguible de lagravitatoria.

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El geopotencial

Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleracioncentrıfuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la“gravedad sentida” g .

Se tiene por tanto g = G + acent .

A nivel de potenciales, Ug = UG + Uω.

La funcion Ug se denomina geopotencial.

Observese que esta misma operacion no se puede realizar conla otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad delsistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis.

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El geoide

El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficieque aproxima la forma verdadera de la Tierra.Se define el geoide como la superficie equipotencial (conrespecto al geopotencial Ug ) que mejor aproxima (en elsentido de mınimos cuadrados) el nivel medio del mar global.

Un geoide (exagerado).

Con los modelos gravitatorios antesexpuestos:

1 Si se considera la gravedad de una esfera yse desprecia la rotacion de la Tierra, setiene que el geoide es una esfera.

2 Si se considera la gravedad con el modeloJ2 (de un elipsoide) y con la rotacion de laTierra, se obtiene el elipsoide WGS84.

3 Si se considera el modelo completo degravedad EGM96 se obitene el llamadogeoide EGM96.

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El geoide

En las figuras se puede ver la relacion entre la superficie de laTierra (topografica), el geoide, y el elipsoide.Se define N como la undulacion del geoide. Se tieneN ≤ 100 m (para el geoide EGM96 respecto al elipsoideWGS84). En la figura de la izquierda aparece la altura

elipsoidal (como h) y la altura ortometrica oelevacion geoidal (como H).

La altura AGL hAGL es la distancia a lasuperficie, y se define como altitud menosaltura elipsoidal.

Un modelo de terreno vendra dado comouna funcion que da la altura elipsoidaldependiendo de los valores de λ y φ. 22 / 70




Otros modelos gravitatorios de referencia

Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos massimples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, sise quiere una gran precision habra que utilizar el modelo mascomplejo disponible.

La mayor parte de los sistemas de navegacion empleanmodelos simplificados, donde se define g como un escalar yluego se escribe gn = [0 0 g ], donde n es el sistema dereferencia NED (luego D es “hacia abajo”).

Nosotros usaremos g = µe(re+h)2 .

El WGS84 define un modelo simplificado con algunoscoeficientes (no lo usaremos).

Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir laposibilidad de que tenga errores (anomalıas gravitatorias):gn = [ξg − ηg g ], donde ξ y η son pequenos angulos, que semantendran constantes en pequenas distancias.

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Lınea de plomada y deflexion vertical

La linea de plomada o vertical astronomicaes perpendicular al geoide, y es hacia dondeen la realidad se dirige g .

La linea perpendicular al elipsoide es haciadonde se dirige g segun el modelo de laanterior transparencia.

La diferencia entre ambas es la llamada“deflexion vertical”.

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Proyecciones. Mapas y CartasRutas ortodromicas y loxodromicas

Cartografıa

Cartografıa: es la disciplina que estudia la teorıa y laconfeccion de mapas geograficos y cartas.Para ello combina ciencia, tecnica e incluso estetica, partiendode la premisa de que se puede comunicar informaciongeografica de forma efectiva modelando adecuadamente larealidad fısica.

Los principales problemas que encuentra lacartografıa son:

Seleccionar los aspectos geograficos que semuestran en una representacion.Eliminar la complejidad innecesaria oirrelevante contenida en una representacion.Combinar los elementos representativos quetiene una representacion para comunicar deforma efectiva la informacion deseada.Plasmar la representacion de la realidadtridimensional sobre una superficie plana (elmapa o carta): mediante proyecciones. 25 / 70




Proyecciones. Mapas y Cartas

Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tamanoreducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella.Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no escompletamente fiel a la realidad) debido a que la superficieque se pretende representar tiene curvatura.Esto fue demostrado matematicamente por Euler.

Para crear un mapa se emplea una proyeccion.Concretamente, se proyecta el plano terraqueo sobre unacierta superficie:

Un plano (proyeccion tipo azimutal).Un cilindro (proyeccion cilındrica).Un cono.

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Proyecciones.

Otras formas de clasificar una proyeccion podrıan ser:Por la orientacion de la superficie respecto al Ecuador:normales, trasversales u oblicuas.Por la posicion del globo terraqueo respecto a la superficie:tangente (podrıa tener una lınea sin deformacion) o secante(podrıa tener dos lıneas sin deformacion).

Mas importante es el tipo de proyeccion; p.ej. para el casode un plano:

Gnomonica (la proyeccion pasa por el centro de laTierra).Estereografica (pasa por el punto antipodal).Ortografica (la proyeccion tiene una direccion fija).Escenografica (la proyeccion viene desde fuera delglobo terrestre).

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Propiedades de una proyeccion

Las propiedades mas importantes de una proyeccion son:

Conformidad. Una proyeccion es conforme si preserva losangulos (y por tanto los rumbos); ademas preserva las formasa nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendoperpendiculares. Muy utiles en navegacion.Conservacion de areas. Una proyeccion es equiareal si mantienela proporcion entre areas. Utiles sobre todo en aplicacionesadministrativas/polıticas.Equidistancia: una proyeccion NO puede mantener laproporcion correcta entre TODAS las distancias. No obstantesı pueden existir algunas lıneas con esta propiedad: lıneasautomecoicas. Una carta que tenga “muchas” lıneasautomecoicas se denomina equidistante.

Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lofuera, serıa una representacion perfecta del globo terrestre.Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades.

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Proyeccion de Mercator.

Muy utilizada en navegacion marıtima.

Inventada en el siglo XVI.

Cilındrica, trasversal y conforme.

Ecuaciones matematicas:x = λ−λ0, y = ln

(tan(

π4 + φ

2

)).

No acotada en y : se suele cortar aaltas latitudes.

Cuanto mas cerca de los polos, mas

se distorsiona el mapa (observar

como se amplıa la distancia en

proyeccion entre paralelos

equidistantes en la realidad).29 / 70




Proyeccion cilındrica equidistante.

Permite ver la Tierra completa.

Cilındrica, trasversal, tangente, ortografica.

Tıpicamente usada para representar trazas de satelites.

Ecuaciones matematicas:x = λ− λ0, y = φ.

Acotada en y . Por tanto, noconforme.

Tampoco es equiareal.

Su sencillez la hace popular en

representaciones generadas por

ordenador.

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Proyeccion estereografica.

Util para estudiar las proximidades deun punto, p.ej. el Polo.

Conforme.

Plana, normal, tangente, estereografica.

Ecuaciones matematicas:x = cosφ sen(λ− λ0),

y = cosφ0 senφ− senφ0 cosφ cos(λ− λ0).

No acotada: se suele cortar apuntos cercanos al antipodal delcentro de la proyeccion.

Util para estudiar las proximidades

de un punto.

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Proyeccion de Lambert.

Utilizada en navegacion aerea.

Conica, normal, secantey estereografica.

Las lineas rectas aproximan rutasortodromicas (ver mas adelante).

Ecuaciones matematicas:x = ρ sen(n(λ− λ0)), y = ρ0 − ρ cos(n(λ− λ0)),

donde: n =ln(cosφ1 secφ2)

ln(tan(π/4−φ2/2) cot(π/4−φ1/2)),

ρ = F cotn(π/4 +φ/2), ρ0 = F cotn(π/4 +φ0/2),

F = 1/n cosφ1 tann(π/4 + φ1/2).

No acotada se suele reducir a unazona de interes.

2 paralelos automecoicos (φ1, φ2).

Suelen ser locales y no globales.

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Proyeccion azimutal equidistante.

En el emblema de la ONU.

Azimutal, escenografica,tangente, normal.

Ecuaciones matematicas:x = c

sen ccosφ sen(λ− λ0),

y = csen c

[cosφ0 senφ− senφ0 cosφ cos(λ− λ0)], donde

cos c = senφ0 senφ− cosφ0 cosφ cos(λ− λ0).

Acotada: convierte el punto antipodal enuna circunferencia limıtrofe.

Solo libre de distorsion en torno al puntocentral.

Todas las distancias medidas desde el

punto central son verdaderas (lıneas

automecoicas).33 / 70




Rutas mas usuales

Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problemade encontrar el camino mas apropiado para ir de uno a otro.

En la realidad, esta eleccion del camino (que se plasma en elplan de vuelo) esta sujeta a numerosas restricciones. A dıa dehoy, se vuela entre “waypoints”.

Ademas habrıa que tener en cuenta los vientos.

No obstante, en esta leccion vamos a simplificar el problema yvamos a suponer que en principio cualquier camino es volable.Ademas supondremos que la Tierra es una esfera de radio Re .

Veremos dos posibilidades:

El camino mas corto: Ruta ortodromica.El camino mas simple de volar: Ruta loxodromica.

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Rutas ortodromicas. Cırculos maximos

Una Ruta ortodromica entre dos puntos de la Tierra es elcamino mas corto entre dichos puntos.

Podemos traducir el problema a terminos matematicos,considerando un modelo de Tierra esferica.

Dados dos puntos PA y PB en la esfera, dados como (φA,λA)y (φB ,λB), de todas las curva sobre la esfera que unen dichospuntos, ¿cual es la de mınima distancia?

Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una lınea recta.En una superficie con curvatura, dicha curva se denominageodesica y en general no es una recta.

La geometrıa diferencial da unas ecuaciones para hallar lageodesica en funcion de la primera forma diferencial, lossımbolos de Christoffel, etc...

Para el caso de la esfera, la solucion es simple y solo requiereel uso de geometrıa elemental.

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Cırculos maximos

®

En una esfera, un “cırculo mayor” (grancırculo, cırculo maximo) viene dado por lainterseccion de un plano que pasa por elcentro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esfericas” (geodesicas) sonlos cırculos mayores. Observese quecualesquiera dos rectas esfericas cortansiempre en dos puntos; por tanto, noexisten paralelas en geometrıa esferica.

El problema queda reducido a:

Dados dos puntos, determinar el cırculo mayor que contiene aambos. ¿Es dicho cırculo unico?Medir la distancia sobre dicho cırculo: dara la distancia entrelos dos puntos.

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Cırculo maximo entre dos puntos

Dados dos puntos PA = (φA, λA), PB = (φB , λB), se dice quePA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180o + λA.

Si PA y PB NO son antipodales, existe un unico cırculomaximo que contenga a ambos. La ortodromica sera el arcomas corto que los una.

Si PA y PB son antipodales, existen infinitos cırculos maximosque los unen; cualquier semicircunferencia de dichos cırculosmaximos es una ortodromica. ¿Por que? ¿Cual es por tanto ladistancia entre dos puntos antipodales (en millas nauticas)?

¿Son los meridianos ortodromicas?

¿Son los paralelos ortodromicas?

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Calculo de la ruta ortodromica. Rumbo

Recordemos que en una esfera,r = Re [cosφ cosλ cosφ senλ senφ].Recordemos ademas los vectores que definen la base local encoordenadas curvilıneas:

er =

cosφ cosλcosφ senλ

senφ

, eφ =

− senφ cosλ− senφ senλ

cosφ

, eλ =

− senλcosλ

0

.Fısicamente er apunta hacia el cenit, eφ hacia el Norte y eλhacia el Este.Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo(tambien llamado azimut) en un punto de la curva como elangulo que forma el vector eφ con el vector tangente de dichacurva et , medido en el sentido de las agujas del reloj.¿Que significado fısico tienen los rumbos 0o, 90o, 180o y 270o?En general el rumbo cambiara segun el punto de la curva y elsentido en que se recorra. 38 / 70




Calculo de la ruta ortodromica

Escribamos los vectores de los puntos:

rA = Re

cosφA cosλAcosφA senλA

senφA

, rB = Re

cosφB cosλBcosφB senλB

senφB

.Geometricamente, se puede ver que el arco que abarca laortodromica es el angulo α formado por los vectores.

Por tanto:rA · rB = ‖rA‖‖rB‖ cosα,

y se llega a:

cosα = senφA senφB + cosφA cosφB cos(λB − λA)

¿Cual serıa la ecuacion implıcita que verificarıan todos lospuntos de la ortodromica?

Una vez se tiene α, dA,B = αRe .39 / 70




Calculo del rumbo en la ortodromica I

¿Como calcular el rumbo del que habrıa que partir desde Apara recorrer la ortodromica? Recordemos que el rumbo serıael angulo entre el vector eφ en A y la tangente et en A.

En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano quedefine la ortodromica sera:

n = rA × rB

Por otro lado, et sera perpendicular tanto a n como a er enA. Por tanto:

et(A) = n × er (A) = (rA × rB)× er (A)

Usando la identidad: a× (b × c) = (a · c)b − (a · b)c , se llegaa:

et(A) = −er (A)× (rA × rB) = (er (A) · rA)rB − (er (A) · rB)rA

= Re (rB − cosαrA)40 / 70




Calculo del rumbo en la ortodromica II

El modulo de dicho vector et es:

‖et(A)‖ = ‖Re (rB − cosαrA) ‖= Re

√(rB − cosαrA) · (rB − cosαrA)

= Re

√R2e + cos2 αR2

e − 2R2e cos2 α = R2

e senα

Por tanto el vector et normalizado es:

e∗t (A) =er (B)− cosαer (A)

senα

El rumbo χ(A) se encontrara de

cosχ(A) = eφ(A)·e∗t (A) =eφ(A) · er (B)− cosαeφ(A) · er (A)

senα

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Calculo del rumbo en la ortodromica III

Luego finalmente:

cosχ(A) =eφ(A) · er (B)

senα

Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a:

cosχ(A) =cosφA senφB − cosφB senφA cos(λB − λA)

senα

¿Es el rumbo constante en todos los puntos de laortodromica?

¿Como se resolverıa el problema inverso? (Dado un puntoinicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar elpunto al que se llega siguiendo una ortodromica).

¿Cual es el rumbo en el caso antipodal?

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Rutas loxodromicas

En la practica, un piloto no puede volar una ruta ortodromicaporque el rumbo de la ruta se modifica continuamente.

La ruta mas facil de volar es una que mantenga el rumboconstante.

Una ruta loxodromica entre dos puntos de la Tierra es elcamino mas corto entre dichos puntos tal que el rumbo dedicho camino es constante.

Por tanto, son faciles de volar para un piloto humano.

Una ruta ortodromica sera mas corta, pero no volable; portanto se puede aproximar por varios segmentos loxodromicos.

¿Son los meridianos loxodromicas?

¿Son los paralelos loxodromicas?

¿Son las loxodromicas curvas cerradas?

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Calculo de la loxodromica I

En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado unrumbo χ y un punto inicial, ¿que curva se obtiene si se vuelacon dicho rumbo constante? La solucion esta clara en el casode meridianos y paralelos.Supongamos, en el caso general, que describimos la curvasobre la esfera con una ecuacion del tipo φ = φ(λ). Por tantose tendrıa:r(λ) = Re [cosφ(λ) cosλ cosφ(λ) senλ senφ(λ)]T

De geometrıa diferencial sabemos que et = ddλ r(λ). Por

tanto: et = Re

(eφφ

′ + eλ cosφ). Se calcula facilmente que

‖et‖ = Re

√φ′2 + cos2 φ.

Puesto que cosχ = eφ ·et‖et‖

, obtenemos: cosχ = φ′√φ′2+cos2 φ

,

y despejando φ′ llegamos a la ecuacion diferencial

φ′

cosφ=

1

tanχ 44 / 70




Calculo de la loxodromica II

Puesto que se tiene∫ dφ

cosφ = − ln tan (π/4− φ/2), integrandollegamos a la siguiente solucion:

ln

(tan (π/4− φA/2)

tan (π/4− φ/2)

)=λ− λAtanχ

¿Cual serıa la distancia entre dos puntos de una loxodromica?Recordar:

d =

∫ λ

λA

‖et‖dλ = Re

∫ λ

λA

√φ′2 + cos2 φdλ

Usando la ecuacion diferencial:

d = Re

∫ λ

λA

φ′√

1 + tan2 χdλ = Re1

cosχ

∫ λ

λA

φ′dλ = Re1

cosχ

∫ φ

φA

dφ

Se llega a: d = Reφ−φAcosχ .

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Calculo de la loxodromica III

Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos Ay B, hallar la loxodromica que los une y la distancialoxodromica que los separa.

En primer lugar hallar el rumbo de la ecuacion:

ln

(tan (π/4− φA/2)

tan (π/4− φB/2)

)=λB − λA

tanχ

En segundo lugar calcular la distancia de: d = ReφB − φA

cosχ.

Tener cuidado con los casos especiales!!

En una proyeccion de Mercator las loxodromicas son rectas.

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Rutas ejemplo

Estudiemos las rutas entre Sevilla (λ = 5o59′W,φ = 37o24′N) y las ciudades:

Madrid (λ = 4o1′W, φ = 40o46′N).Nueva York (λ = 73o58′W, φ = 40o47′N).Melbourne (λ = 144o58′E, φ = 37o49′S).

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 411.01 23.78 411.02 24.38

NY 5728.8 296.27 5877.2 273.67Melbourne 17466 100 17641 118.3

Si numericamente se calculan los mismos casos sobre elelipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 410.64 23.86 410.65 24.47

NY 5742.7 296.26 5891.5 273.65Melbourne 17469 99.86 17644 118.16

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Rutas ejemplo: Sevilla-Madrid

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−6

−5.5

−5

−4.5

−4

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

OrtodromicaLoxodromica

0 50 100 150 200 250 300 350 400 45037

38

39

40

41

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45023.5

24

24.5

25

25.5

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Rutas ejemplo: Sevilla-Nueva York

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−80

−60

−40

−20

0

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

LoxodromicaOrtodromica

0 1000 2000 3000 4000 5000 600035

40

45

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000240

260

280

300

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Rutas ejemplo: Sevilla-Melbourne

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−50

0

50

100

150

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−40

−20

0

20

40

distancia (km.)

latit

ud (

grad

.)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 1800090

100

110

120

130

distancia (km.)

Rum

bo (

grad

.)


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Aproximacion de ortodromicas por loxodromicas

En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra deforma que la ortodromica se aproxima por tres loxodromicas.

La proyeccion de la figura es tipo Mercator.

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El “Jet Stream”

Se conoce como “Jet Stream” (corriente de chorro) unascorrientes de aire que se pueden encontrar en la atmosferaterrestre a la altura de la tropopausa.Fluyen fundamentalmente hacia el Este por caminos“sinuosos”, en forma de tubos estrechos.Pueden alcanzar velocidades desde 100 km/h hasta incluso400 km/h (mas velocidad en invierno que en verano).

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Uso del “Jet Stream”

En los vuelos largos hacia el Este se busca el “Jet Stream”para economizar combustible y disminuir considerablemente eltiempo de vuelo (incluso hasta un 30 %!). Ejemplo: Tokyo -Los Angeles.

Tambien se utiliza en vuelos continentales en Norteamerica.

Volando hacia el Oeste, simplemente se evita el “Jet Stream”.53 / 70



Sistemas de referenciaTiempos

Sistemas de referencia usuales en Navegacion Aerea

Veremos los siguientes sistemas de referencia:

Sistema inercial geocentrico (ECI: Earth Centered Inertial).Sistema de Ejes Tierra (ECEF: Earth Centered, Earth Fixed)Sistema de referencia topocentrico.Sistema de ejes horizonte local (LLS: Local Level System,NED: North East Down).Sistema de referencia de azimut de deriva (Wander azimuthframe).Sistema de ejes cuerpo (BFS: Body Fixed System).

Ademas estudiaremos las relaciones entre los diferentessistemas de referencia y como pasar de uno a otro.

En este proceso se definiran cantidades utiles, como lavelocidad respecto a Tierra y los angulos de Euler que definenla actitud de una aeronave.

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Sistema Inercial Geocentrico (ECI)

Util para el estudio del movimiento decuerpos orbitando la Tierra, porejemplo los satelites GPS, y comosistema de referencia inercial absoluto.

El eje Oz coincide con el eje derotacion de la Tierra.

El plano Oxy contiene al Ecuador yOx apunta a �, el primer punto deAries (una direccion fija en lasestrellas).

No es realmente inercial (seesta despreciando el movimiento de laTierra en torno al Sol, y el movimientopropio del Sol respecto a las estrellas).

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Sistema de Ejes Tierra (ECEF)

Ligado ıntimamente a la Tierra, rota con ella.

Util para referenciar posiciones terrestres.

El plano Oxy contiene al Ecuador y el plano Oxz al Meridianode Greenwich.

La forma de la Tierra se asimila a un elipsoide de revolucion(Elipsoide Internacional WGS84) alrededor del eje Oz (derotacion de la Tierra).

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Sistema Topocentrico

Ligado ıntimamente a la Tierra,con origen en el donde seencuentre el observador (E ).

Se usa para tomar medidasdesde Tierra.

El plano Exy es tangente al Elipsoide Internacional WGS84 enla superficie, la direccion Ex apunta al Este, la direccion Ey alNorte, y la Ez sigue la vertical local “hacia arriba” (cenit). Ladireccion local “hacia abajo” se denomina nadir.

Las observaciones se componen de tres medidas: r o ρ(distancia al objeto); A, azimut; y h, la altura o elevacionsobre el plano horizontal.

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Sistema de ejes horizonte local (LLS,NED)42 APPLIED MATHEMATICS IN INTEGRATED NAVIGATION SYSTEMS

Fig. 3.1 ECEF coordinate frame with z axis along Earth's rotation axis.

Earth-Centered, Earth-Fixed Frame The Earth-centered, Earth-fixed (ECEF) frame is fixed within the Earth and its

rotation, and it is centered at the Earth's center. Axis definitions in current use vary. Shown in Figs. 3.1, 3.2, and 3.3 are illustrations of three possible ECEF frames. In the first frame, shown in Fig. 3.1, the z axis is parallel to and aligned with the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the x axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. In Fig. 3.2, the y axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the z axis locates the Greenwich meridian and the x axis completes the right- hand system. In the third frame, Fig. 3.3, the x axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. The z axis locates the Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system.

Earth-Centered Inertial Frame In each of these figures, the corresponding Earth-centered inertial (ECI) frame is

established by the direction of the Earth's rotation. This inertial frame is fixed to an inertial reference. The further specification of the inertial reference is not necessary for the following developments; however, if, for example, navigation aids are based on stellar updates, then the inertial reference would have to be specified.

Local Geodetic Frame Also shown in Figs. 3.1,3.2, and 3.3 are local geodetic (geographic) frames that

are usually associated with the ECEF frame indicated.

Llamada en ingles LLS=Local LevelSystem o NED=North East Down.Tambien “ejes geodeticos ogeodesicos locales”.

Es un sistema local centrado en unpunto que puede o no estar en lasuperficie de la Tierra.

Por tanto cambia al moverse elpunto.

Esta definida respecto al elipsoide: la direccion Norte es eφ, ladireccion Este es eλ y la direccion abajo es −eh.

Es el sistema de referencia fundamental usado en navegacion,aunque a veces es sustituido por el de azimut errante (versiguiente transparencia).

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Sistema de referencia de azimut de deriva

Llamada en ingles “Wanderazimuth frame”.

Se usa frecuentemente ennavegacion en vez del sistemade referencia horizonte localdebido a que, en lasproximidades de los polos, dichosistema esta mal definido yocasiona problemas numericos.

Se rota un angulo α respecto a la direccion N/E. Dichoangulo y su variacion se puede definir por el disenador delsistema de navegacion.

Con α = α = 0 recuperamos el sistema de ejes horizonte local.

Tıpicamente se define α = λ sinφ.59 / 70




Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)

Llamada en ingles BFS=Body Fixed System.Se utiliza para definir la actitud (orientacion) de la aeronave,respecto el sistema de ejes de navegacion (NED o wanderazimuth). 60 / 70




Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)

Los ejes estan definidos como en lafigura.

El centro del sistema de referencia,en el centro de masas del avion.

El eje xb contenido en el plano desimetrıa del avion, hacia el morro.El angulo rotado en torno a xb es ϕ(alabeo o roll).

El eje zb contenido en el plano de simetrıa del avion, haciaabajo. El angulo rotado en torno a zb es ψ (guinada o yaw).

El eje yb completa el triedro (direccion aproximada del aladerecha). El angulo rotado en torno a yb es θ (cabeceo opitch).

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Relacion entre sistemas de referencia

Dado un sistema de referencia A y un sistema de referencia B,para pasar de uno a otro habra que tener en cuenta doshechos:

Cuando no coinciden los orıgenes de A y B, habra que realizaruna translacion: rA = rB + rBA.Cuando A y B estan rotados entre sı, habra que realizar unarotacion: rA = CA

B rB , donde CA

B sera la matriz del cambio debase entre A y B (ortogonal).

Ademas, a la hora de estudiar derivadas, hay que tener encuenta que la derivada tomada en dos sistema de referenciadistintos cambia si dichos sistemas rotan uno en relacion alotro con velocidad angular ωB/A. Lo estudiaremos masadelante.

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Algunas definiciones de interes

Velocidad inercial: es la derivada de la posicion, tomada en elsistema de referencia inercial, es decir, v i = r i .

Velocidad respecto a Tierra: es la derivada de la posicion,tomada en el sistema de referencia ejes Tierra, es decir,v e = r e .

Observese que ambas definiciones no coinciden puesto que laTierra rota; ademas v e 6= C e

i vi porque las derivadas no estan

tomadas en el mismo sistema de referencia. Mas adelanteveremos como estan relacionadas ambas cantidades.

Posicion en los ejes de navegacion: es la posicion respecto aTierra r e tomada en el sistema de referencia de navegacion, esdecir, rn = Cn

e re .

Velocidad en los ejes de navegacion: es la velocidad respecto aTierra v e tomada en el sistema de referencia de navegacion,es decir, vn = Cn

e ve . Observese que vn 6= rn!

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Algunas definiciones de interes

Esta velocidad vn es la velocidad “percibida” en el avion.Cuando n es el sistema de referencia horizonte local, estavelocidad se suele descomponer en:

Modulo: velocidad respecto a Tierra, a veces llamada Vg . Serıala velocidad real del avion respecto al suelo.Angulo formado entre vn y el plano horizonte local: angulo detrayectoria γ (flight path angle).Angulo formado entre la proyeccion de vn en el plano horizontelocal y la direccion Norte: angulo de rumbo χ (heading angle).

Hay que tener en cuenta que el angulo de rumbo χ y el deguinada ψ pueden no coincidir, especialmente en presencia deviento.

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Relacion entre ECEF y ECI.

Para encontrar C ei , hay que tener en cuenta que la Tierra gira

con velocidad angular ωi/e = [0 0 ωE ]T , es decir, ambossistemas de referencia estaran rotados una cantidadθE = θE0 + ωE t. Luego:

ECIθE−→z i

ECEF

Por tanto:

C ei =

cθE sθE 0−sθE cθE 0

0 0 1

Donde c = cos y s = sen.

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Relacion entre LLS y ECEF.

Para encontrar C ge (donde g hace referencia al caracter

geodesico de LLS), hay que tener en cuenta la posicion (λ, φ)y realizar las siguientes operaciones:

Rotar λ grados en torno a ze .Rotar −φ grados en torno al nuevo eje y .El sistema resultante tiene x en la direccion −z y z en ladireccion x . Por tanto girar -90 grados adicionales.

ECEFλ−→ze

S−φ−→yS

S ′−90−→yS′

LLS

Por tanto:

CSe =

cλ sλ 0−sλ cλ 0

0 0 1

CS′S =

cφ 0 sφ0 1 0−sφ 0 cφ

Cg

S′ =

0 0 10 1 0−1 0 0

Cge = C

g

S′CS′S CS

e =

−sφcλ −sφsλ cφ−sλ cλ 0−cφcλ −cφsλ −sφ

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Relacion entre LLS y azimut errante (n).

Para encontrar Cng , hay que tener en cuenta que la rotacion de

angulo α en torno al eje z . Por tanto:

LLSα−→z

WA

Por tanto:

Cng =

cα sα 0−sα cα 0

0 0 1

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Relacion entre n y BFS

Para encontrar Cbn hay que tener en cuenta los angulos de

Euler (ψ, θ, ϕ).

MATHEMATICAL PRELIMINARIES

Fig. 2.3 Single rotation in three-axis coordinate frame.

A vector's components described in one frame can be described in another frame of arbitrary orientation with respect to the original frame by a transformation ma- trix composed of three sequential rotations (Euler angles) starting from the original frame's axes. These rotations are illustrated in Fig. 2.4. In this figure, the primes are used to represent the corresponding transformed axis. The final y frame cor- responds to the triple primed x axes. Written in vector form, the transformation is

where the transformation DCM, c:, transforms the components of the r vector from the x frame to the y frame.

Fig. 2.4 Three rotations in three-axis coordinate frame.

Las operaciones son:

Rotar ψ grados en torno a zn.Rotar θ grados en torno al nuevo eje y .Rotar ϕ grados en torno al nuevo eje x .

nψ−→zn

Sθ−→yS

S ′ϕ−→xS′

BFS

Se llega a:

Cbn = Cb

S′CS′S CS

n =

cθcψ cθsψ −sθ−cϕsψ + sϕsθcψ cϕcψ + sϕsθsψ sϕcθsϕsψ + cϕsθcψ −sϕcψ + cϕsθsψ cϕcθ

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Tiempos de interes en Navegacion Aerea

Tiempo Universal Coordinado (UTC):

Medido por relojes atomicos a lo largo del mundo.Cada cierto tiempo (a lo largo de anos) se anaden o restansegundos para compensar la pequena irregularidad de larotacion de la Tierra.El huso horario se define como UTC±n. Ademas hay que teneren cuenta el cambio de horario de verano. Por ejemplo, Sevillaes UTC+1, y en verano UTC+2.A efectos practicos UTC coincide con el viejo GMT.

Tiempo GPS (GPST):

Sirve de referencia para las aplicaciones relacionadas con GPS.Medido en los relojes atomicos a bordo de los Navstar.No se anaden ni restan segundos: no coincide con UTC (difiereen segundos).

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Husos horarios

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