Nastavni predmet: Matematika

Škola: Opća gimnazija

Razred: Treći ( III. )

Nastavna cjelina: KRIVULJE DRUGOG REDA

Nastavna jedinica: Elipsa, hiperbola i parabola

Broj sati: 5

Literatura: B. Dakić, N. Elezović: MATEMATIKA 3, 2.dio, Udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije

Kružnica, elipsa, hiperbola i parabola su krivulje drugog reda. Jednim imenom ponekad se zovu konike ili

konusni presjeci, jer se mogu dobiti presijecanjem stožaste ili konusne plohe ravninom.

U ovom poglavlju učit ćemo o krivuljama drugog reda.

E L I P S A

Konstrukcija i jednadžba elipse

Definicija elipse

U Descartesovoj Dioptriji, jednom od triju dodataka njegovu djelu Rasprava o metodi iz 1637. godine nalazi

se i ovaj crtež. Pozorno ga promotrite, jer riječ je o crtanju elipse na temelju njezine definicije. Takvu

konstrukciju zovemo vrtlarskom jer je to najjednostavniji način crtanja elipse za praktične potrebe.

Elipsa se dobije povlačenjem olovke pri vrhu B trokuta HIB danog opsega.

Što je elipsa?

Elipsa je skup svih točaka ravnine kojima je zbroj udaljenosti od dviju zadanih točaka uvijek isti.

Neka su zadane dvije točke 1F i 2F . Njihovu udaljenost označimo s 2e: eFF 221

Definicija elipse. Zbroj duljina radijvektora je stalan i iznosi 2a.

Udaljenost točke T u ravnini do točaka 1F i 2F označimo s 1r i 2r :

,11 TFr .22 TFr

Neka je a bilo koji broj veći od e.

Definicija elipse

Elipsa je skup svih točaka T ravnine za koje vrijedi

.221 arr

Točke 1F i 2F nazivaju se žarišta (fokusi) elipse. Polovica udaljenosti između žarišta je broj e koji nazivamo

linearni ekscentricitet elipse. Vektore TF1 i TF2 nazivamo radijvektorima elipse.

1r i 2r su, dakle, duljine radijvektora elipse. Polovište O dužine 21FF zovemo središte (centar) elipse.

Pravac kroz žarišta siječe elipsu u točkama A i B. Dužina AB naziva se velika os elipse, pa su dužine

OA i OB velike poluosi elipse. Duljina velike osi je 2a, pa je duljina velike poluosi jednaka a. Pravac koji

prolazi središtem okomito na veliku os siječe elipsu u točkama C i D. Dužinu CD nazivamo mala os, pa su

OC i OD male poluosi elipse. Njihove duljine označavamo s b. Točke A, B, C i D nazivaju se tjemenima

elipse.

Za točku D vrijedi pak DFDF 21 , pa kako je zbroj ovih udaljenosti jednak 2a, onda je aDF 2 .

Iz Pitagorinog poučka za pravokutni trokut DOF2 onda je

.222 eba

U graditeljstvu su mnogobrojni primjeri građevina kod kojih je na neki način 'ubačena' elipsa. Na slici vidimo

primjer građevine Znanstvenog i svemirskog centra u Edmontonu u Kanadi (lijevo) i Tycho Brahe

Planetariuma u Copenhagenu (desno).Ovdje je zgodno uočiti kako je u oba slučaja elipsa dobivena presjekom

valjka ravninom.

U nas je vjerojatno najpoznatija elipsa tlocrt pulske arene. No sve do nedavno nije baš bilo jasno je li on

uistinu elipsa. Inženjer geodezije Hrvoje Čuljak proveo je 2001. godine mjerenja kojima je dokazao da jest.

Velika je os te elipse 34.1312 a metra, a mala os 53.1042 b metra.

Konstrukcija elipse

Za razliku od pravca ili kružnice, za čiju konstrukciju postoje jednostavne naprave pa je dovoljno ravnalom

spojiti dvije točke pravca ili šestarom opisati kružnicu kojoj su zadani središte i polumjer, elipsu ne možemo

nacrtati tako brzo i spretno. Doduše, nekada su u školi postojali krivuljari, kakav je i ovaj na slici s kraja

XIX.stoljeća. No njime se može nacrtati jedna jedina elipsa, a i to crtanje nije geometrijska konstrukcija.

Elipsu konstruiramo na temelju njezine definicije. Za konstrukciju trebaju biti zadane osi elipse ili pak jedna

od osi i žarišta.

Konstruirati elipsu znači odrediti po volji mnogo njezinih točaka. Za razliku od pravca i kružnice, za čije

konstrukcije postoje jednostavne naprave ( ravnalo i šestar) pa je dovoljno odrediti dvije točke pravca,

odnosno jednu točku i središte kružnice da bi se one nacrtale, elipsu nije tako jednostavno nacrtati.

Zadovoljavamo se time da odredimo po volji mnogo njezinih točaka te povučemo glatku krivulju kroz te

točke. (Posebni mehanički uređaji elipsografi za crtanje elipsi danas se mogu naći samo u muzejima. S druge

strane, crtanje elipse standardna je naredba svih grafičkih računalih programa.).

Nacrtajmo veliku os AB i sa strane pomoćnu dužinu iste duljine. Odredimo najprije središte elipse i povucimo

okomitu os na kojoj će ležati druga dva tjemena. Ako su zadana žarišta (tj.njihova udaljenost do središta

elipse), tada ih ucrtamo na veliku os i šestarom otvora a zasiječemo iz bilo kojeg žarišta malu os. Dobit ćemo

druga dva tjemena elipse, C i D. Ako su pak zadana velika i mala os, tada iz tjemena C šestarom otvora a

zasiječemo veliku os i dobijemo žarišta elipse.

Podijelimo sada pomoćnu dužinu na dva dijela duljina 1r i 2r . Šestarom otvora 1r povucimo lukove iz oba

žarišta. Zatim šestarom otvora 2r povucimo nova četiri luka koji sijeku navedena četiri u točkama koje

pripadaju elipsi. Postupak možemo ponoviti s po volji odabranim novim udaljenostima 1r i 2r i tako svaki put

odrediti nove četiri točke elipse. Na kraju spojimo dobivene točke glatkom krivuljom.

***

Zakrivljenost elipse. Dijelovi elipse nalikuju na kružni luk. To znači da se može povući kružnica koja dobro

prianja uz dio elipsu. Polumjer te kružnice bit će različit za različite točke elipse. Ako je taj polumjer malen,

kažemo da elipsa ima u pripadnoj točki veliku zakrivljenost, ako je polumjer velik onda je riječ o točki

u kojoj elipsa ima malu zakrivljenost. Tjemena elipse su točke u kojima elipsa ima najmanju, odnosno najveću

zakrivljenost. ( Kružnica je poseban slučaj elipse, kada oba žarišta padnu u istu točku. Kružnica u svakoj

svojoj točki ima istu zakrivljenost. Zato kružnica nema tjemena.)

Elipsu možemo preciznije nacrtati pomoću kružnica koje je diraju u njezinim tjemenima. Polumjere tih

kružnica odredimo ovako.

Nacrtajmo pravokutnik kojemu stranice prolaze tjemenima, paralelno s osima elipse. Iz vrha pravokutnika

povucimo okomicu na spojnicu susjednih tjemena A i D. Neka ona siječe pravce s osima elipse u točkama

1T i 1S . Označimo s 2T i 2S njima simetrične točke s obzirom na središte elipse. Onda su 1T i 2T središta

kružnica koje diraju elipsu u tjemenima A i B, a 1S i 2S središta kružnica koje je diraju u tjemenima C i D.

Nacrtajmo dijelove lukova tih kružnica i uvjerimo se da oni dobro priliježu uz elipsu. Tako se sama elipsa

može nacrtati preciznije.

Jednadžba elipse

Odredimo jednadžbu koju zadovoljavaju sve točke na elipsi. Ona će ovisiti o položaju elipse u koordinatnom

sustavu. Najjednostavniju ćemo jednadžbu dobiti ako položaj elipse odaberemo tako da njezino središte bude

u ishodištu sustava, te da velika os leži na osi apscisa, a mala na osi ordinata. Tjemena elipse su onda u

točkama 0,aA , 0,aB , bC ,0 , bD ,0 , a žarišta su 0,1 eF , 0,2 eF . Pokazat ćemo da jednadžba

elipse tada glasi:

Kanonska jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u ishodištu i osima koje leže na koordinatnim osima glasi

222222 bayaxb , tj. .12

2

2

2

b

y

a

x (1)

Moramo dokazati da vrijede dvije tvrdnje.

1. Ako točka leži na elipsi, njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1).

2. Ako koordinate točke yxT , zadovoljavaju jednadžbu (1), onda točka T leži na elipsi.

Dokažimo prvu tvrdnju.

Izaberimo bilo koju točku yxT , elipse. Duljine njezinih radijvektora su

2211 yexTFr , .22

22 yexTFr

Znamo da za točku elipse vrijedi arr 221 , pa dobivamo

.22222 ayexyex

Prebacimo jedan korijen na drugu stranu jednadžbe i nakon toga kvadrirajmo obje strane:

22222 yexayex ,

.44 2222222yexyexaayex

Nakon sređivanja dobivamo:

.222exayexa

Ponovnim kvadriranjem slijedi

,2 2224222 xeexaayexa

.22222222 eaayaxea

Budući je 222 bea , dobivamo

.222222 bayaxb

Time je prva tvrdnja dokazana.

Primjer 1. Velika os elipse iznosi 8 cm, a linearni ekscentricitet 3 cm. Nacrtajmo elipsu i odredimo njezinu

jednadžbu.

Velika poluos je 4a cm, a mala poluos 734 22 b cm.

Jednadžba elipse je .1716

22

yx

Crtamo je tako da najprije na velikoj osi odredimo tjemena A i B, zatim žarišta 1F i 2F . Potom šestarom

odredimo položaj drugih dvaju tjemena i onda konstruiramo elipsu na poznati način.

Primjer 2. Odredimo jednadžbu elipse koja prolazi točkama 2,41 T i 3,62T .

Trebamo odrediti duljine poluosi a i b. Točke 1T i 2T leže na elipsi pa njihove koordinate zadovoljavaju

jednadžbu elipse. Dakle, vrijedi:

1

24

2

2

2

2

ba

,

,136

2

2

2

2

ba

tj. 1416

22

ba, .1

96

22

ba

Ovo je sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama 2

1

a i

2

1

b.

Pomnožimo prvu jednadžbu s 9, a drugu s -4 i zbrojimo ih: .496

416

922

aa

Odavde je 5120

2

a, pa slijedi .242 a Sada lako dobivamo .122 b

Jednadžba elipse glasi .11224

22

yx

***

Dokažimo sada drugu tvrdnju: ako koordinate točke yxT , zadovoljavaju jednadžbu (1), onda točka T leži na

elipsi. Označimo TFr 11 i TFr 22 . Koordinate točke 1F su 0,e pa vrijedi

.2

2

222222

1 xa

bbexyexr

Ovdje smo uvrstili 2y izračunat iz jednadžbe (1). Dalje je

.22

22

2

222

2

22222

1

x

a

eax

a

eexax

a

baexber

Na potpuno isti način dobivamo .

222

x

a

ear

Primijetimo da je uvijek ax , jer inače (1) ne bi bila ispunjena. Zato je ,aea

ex pa su x

a

ea i x

a

ea

pozitivni brojevi. Tako smo dobili

a

exar 1 ,

a

exar 2 ,

pa zbrajanjem slijedi .221 arr

Dakle, točka T leži na elipsi i druga tvrdnja je dokazana.

***

Količnik a

e označavamo s i nazivamo numerički ekscentricitet elipse. Za njega vrijedi .10

Za kružnicu je 0 (jer je 0e ). Što je bliži nuli, elipsa je sličnija kružnici., a kad se približava broju 1,

elipsa postaje sve spljoštenija. Za duljine radijvektora točaka elipse vijedi, dakle,

xar 1 , xar 2 .

Primjer 3. Zemlja se giba oko Sunca po elipsi kojoj je Sunce u jednom žarištu, tako da je njihova najveća

udaljenost 152.1 milijuna km, a najmanja 147.1 milijuna km.

Koliki je numerički ekscenticitet te elipse?

Najveća i najmanja udaljenost jednake su duljinama raijvektora tjemena B elipse. Naime, ako je 1r udaljenost

tog tjemena do žarišta 1F (u kojem se nalazi Sunce), onda je udaljenost 2r tjemena B do drugog žarišta 2F

jednaka udaljenosti tjemena A do žarišta 1F . Apscisa tjemena B je a. Zato vrijedi

,1.15211 aaar

.1.14712 aaar

Odavde je (zbrajanjem jednadžbi) 2.2992 a pa je 6.149a mil.km, a za numerički ekscentricitet je

a

r11 .0167.06.149

5.21

a

ar

Staza Zemlje neznatno je deformirana kružnica. Njezin linearni ekscenticitet je 5.2 ae mil.km, pa je mala

poluos 58.14922 eab mil.km.

Vidimo da je ona kraća od velike poluosi za (samo) 20000 km—dakle, za otprilike tri Zemljina polumjera.

Simetrija elipse

Elipsa je simetrična obzirom na obje svoje osi. U to se najlakše možemo uvjeriti pomoću njezine jednadžbe.

Naime, ako točka yxT , leži na elipsi, onda ona zadovoljava jednadžbu 12

2

2

2

b

y

a

x. Tu istu jednadžbu

zadovoljavaju i koordinate točaka yx, , yx , i yx , . Ove točke leže simetrično točki yx, u odnosu

na koordinatne osi i ishodište O (vidi sliku).

Elipsa sa žarištima na osi ordinata

Što predstavlja jednadžba 12

2

2

2

b

y

a

x ako je ab ?

Tu su velika i mala os zamijenile mjesta uz nepoznanice pa ćemo ponovno dobiti elipsu, ali s glavnom osi na

osi ordinata. Tako će i žarišta biti na osi ordinata, u točkama eF ,01 i eF ,02 . Linearni ekscentricitet

očitava se iz pravokutnog trokuta koji čine žarište, središte i tjeme elipse, pa je 22 abe .

Dakako, za radijvektore točke na elipsi sada vrijedi brr 221 , jer je b2 duljina velike osi.

Jednadžba elipse

Jednadžbom

12

2

2

2

b

y

a

x

definirana je elipsa. Ako je ba , njezina velika os (duljine 2a) i žarišta leže na osi apscisa, a ako je ba ,

onda velika os (duljine 2b) i žarišta leže na osi ordinata. Ako je ba , elipsa postaje kružnica.

Primjer 4. Nacrtajmo u istom koordinatnom sustavu elipse 1164

22

yx

, 1416

22

yx

.

Primjer 5. Mehanička konstrukcija elipse. Zadana je dužina MN duljine ba i na njoj točka T koja dijeli

tu dužinu u omjeru .: ba Prislonimo dužinu uz osi koordinatnog sustava tako da točka M klizi duž

osi ordinata, a točka N duž osi apscisa.

Dokažimo da će tada točka T opisati elipsu s poluosima a i b. Uvjerimo se u to.

Točke M i N klize duž koordinatnih osi i pritom točka T opisuje elipsu.

U mislima prati promjene položaja dužine MN

Odredimo jednažbu krivulje koju opisuje točka T. Označimo s yx, njezine koordinate, te s c duljinu dužine

SN . Onda je

,:: bacxbc tj. ,cxbbac odakle slijedi ,bxac dakle

,22 bxyba

22222 xbyba ,

.222222 bayaxb

Jednadžba translatirane elipse

Središte elipse ne mora biti u ishodištu niti njezine osi moraju biti paralelne s koordinatnim osima. Međutim,

jednadžbe takvih elipsa postat će složenije. Opišimo jednadžbu elipse kojoj je središte pomaknuto u točku

qpS , , a osi su i dalje paralelne koordinatnim osima.

Neka ishodište translatiranog sustava yxO ,; bude točka qpO , . U tom je sustavu elipsa središnja, pa je

njezina jednadžba .12

2

2

2

b

y

a

x

Veza koordinata početnog i translatiranog sustava je ,pxx .qyy

Zato jednadžba translatiran elipse u sustavu yxO ,; glasi

.12

2

2

2

b

qy

a

px

Kutak plus

GIBANJE OKO SUNCA

Zemlja i Mjesec čine cjelinu pri gibanju oko Sunca. Zato se po elipsi giba težište T sustava Zemlja –Mjesec.

Kako Zemlja ima približno 81 puta veću masu od Mjeseca, težište tog sustava nalazi se na spojnici središta

Zemlje i središta Mjeseca, a udaljeno je oko 4700 km od središta Zemlje i Mjeseca (dakle, nalazi se još uvijek

unutar zemaljske kugle). Središte Zemlje giba se oko Sunca po krivulji koja je otprilike oblika sinusoide ( s

amplitudom 4700 km) koja se obavija oko spomenute elipse.

Odnosi na slici nisu stvarni, odstupanje putanje središta Zemlje od eliptične putanje je u naravi zanemarivo

prema veličini elipse.

H I P E R B O L A

Konstrukcija i jednadžba hiperbole

Definicija hiperbole slična je definiciji elipse. Neka su 1F i 2F dvije čvrste točke ravnine (žarišta hiperbole).

Označimo s 2e udaljenost između njih: 212 FFe , a s 1r , 2r duljina radijvektora neke točke T hiperbole:

TFr 11 , .22 TFr Neka je a pozitivan realni broj manji od e.

Definicija hiperbole

Hiperbola je skup svih točaka T u ravnini za koje vrijedi

.221 arr

Definicija hiperbole. Hiperbola sadrži sve točke za koje je apsolutna vrijednost razlike duljina radijvektora

uvijek ista.

Razlika 21 rr predstavlja razliku duljina dviju stranica trokuta TFF 21 i zato je uvijek manja od duljine

treće stranice. Dakle, mora biti

2121 FFrr , tj. ,22 ea

pa zato zahtijevamo da bude ea .

Označimo s O središte hiperbole. Točka O polovište je dužine .21FF

Povucimo pravac kroz žarišta i na njemu s A i B označimo točke kojima je udaljenost do središta jednaka a.

Za točku A vrijedi:

,22 121212 aOFOFAOAOOFOFAOAFAF

pa točka A pripada hiperboli. Isto vrijedi i za točku B. Točke A i B nazivamo tjemenima hiperbole.

Dužinu AB zovemo realna (glavna) os hiperbole. Njezina je duljina 2a, pa se a naziva realna poluos

hiperbole. Udaljenost e žarišta do središta O hiperbole naziva se linearni ekscentricitet hiperbole.

Zapamtite da sada vrijedi .ae

U Močnikovom udžbeniku iz 1867. godine kojeg smo spomenuli kod elipse, nailazimo i na hiperbolu-

kosaticu. Tu se kaže:

Kosatica ima svojstvo, da je razlika među daljinama svake njezine točke od obijuh ognjištah jednaka zadanom

pravcu. Ovo svojstvo prenešeno u razglobno-znakovni jezik, dade nam jednadžbu kosatice.

A kao što je tada u školama postojao krivuljar za crtanje elipse, tako je postojao krivuljar za crtanje hiperbole.

Konstrukcija hiperbole

Nacrtajmo pravac na kojem će ležati realna os hiperbole. Na njemu naznačimo središte O hiperbole. Na

udaljenostima a od središta nalaze se tjemena A i B, a na udaljenostima e žarišta 1F i 2F . Nacrtajmo pomoćni

polupravac i na njemu naznačimo veličinu 2a. Izaberimo bilo koji radijvektor s duljinom .21 ar

Šestarom otvora 1r povucimo iz svakog žarišta po dva luka. Nakon toga šestarom otvora arr 212

zasijecimo iz svakog žarišta prije povučene lukove. Dobili smo četiri točke koje leže na hiperboli. Postupak

nastavimo s promijenjenom vrijednošću za 1r dok ne dobijemo dovoljan broj točaka hiperbole.

Jednadžba hiperbole

Definicija hiperbole slična je definiciji elipse, pa će i njihove jednadžbe biti slične.

Jednadžba hiperbole ovisi o njezinom položaju u koordinatnom sustavu. Izabrat ćemo najjednostavniji

položaj: središte hiperbole bit će u ishodištu, arealna os na osi apscisa

Udaljenosti točke yxT , od žarišta 1F i 2F su

2211 yexTFr , .22

22 yexTFr

Ako točka leži na hiperboli, onda vrijedi arr 221 , tj.

.22222ayexyex

Prebacimo jedan korijen na drugu stranu i kvadrirajmo. Identičnim postupkom kao i za elipsu dobit ćemo

22222 yexayex ,

.44 2222222yexyexaayex

222 yexaaex

22224222 22 yeexxaaxeaxe

.22222222 aeayaxae

Označimo: 222 bae .

Tako smo dobili:

Kanonska jednadžba hiperbole

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa, ima jednadžbu

,222222 bayaxb

tj.

.12

2

2

2

b

y

a

x

Žarišta hiperbole su ,0,1 eF ,0,2 eF a tjemena ,0,aA .0,aB

***

Morali bismo dokazati i obratnu tvrdnju: ako koordinate točke yxT , zadovoljavaju jednadžbu

,12

2

2

2

b

y

a

x onda ta točka leži na hiperboli. Dokaz te tvrdnje izvodi se na potpuno identičan način kao i za

elipsu. Tako su, na primjer, duljine radijvektora za hiperbolu ,1 axaa

exr .2 axa

a

exr

Tu je a

e numerički ekscentricitet hiperbole. Primijetimo da za njega vrijedi .1

Imaginarna poluos hiperbole

Iz jednadžbe hiperbole dobivamo

.22 axa

by

Da bi postojala točka hiperbole kojoj je apscisa jednaka x, mora biti .ax Za ax i ax dobivamo

;0y točke 0,a i 0,a tjemena su hiperbole.

Ako je ax ili ,ax onda postoje dvije točke hiperbole s apscisom x, a ordinate im računamo iz gornje

jednadžbe.

Ako je ,axa tad ne postoji točka na hiperboli s tom apscisom. Zato će se hiperbola sastojati od dviju

odvojenih grana:

- desne grane , za koju vrijedi ,221 arr odnosno ;ax te

- lijeve grane, za koju vrijedi ,212 arr odnosno .ax

Stavimo li ,0x slijedi biy . Po analogiji s elipsom, s bC ,0 , bD ,0 označavamo imaginarna

tjemena hiperbole, a dužinu CD nazivamo imaginarna (sporedna) os hiperbole. Njezina je duljina 2b pa

broj b nazivamo imaginarna poluos hiperbole. Zapamtimo da broj b nije ničim uvjetovan, on može biti i

manji i veći od a.

Ako točka yx, leži na hiperboli, tada iz jednadžbe hiperbole vidimo da isto vrijedi i za točke yx, , yx ,

i yx , . Zato je hiperbola, baš kao i elipsa, simetrična obzirom na svoju glavnu i sporednu os, te obzirom

na središte.

Asimptote hiperbole

Elipsa je omeđena krivulja: pravokutnik sa stranicama duljina 2a i 2b paralelnih s osima i središtem u središtu

elipse potpuno je obuhvaća. Hiperbola, međutim, nije omeđena krivulja, jer se za ma kako velik x može

odrediti ordinata točke na hiperboli.. Crtamo li precizno hiperbolu, primijetit ćemo da se udaljene točke

hiperbole približavaju jednom pravcu. Jednadžba tog pravca je xa

by , odnosno .x

a

by

Da je to istina, naslućujemo iz same jednadžbe hiperbole

.22 axa

by

Promotrimo, jednostavnosti radi, točke s desne strane hiperbole, za koje je .0x

Ako se vrijednost apscise točke x povećava, tada broj a postaje zanemariv prema x, pa vrijedi

.222 xxax (Usporedite, npr.za 2a i .1000x )

Zato za točke na hiperboli vrijedi

.22 xa

bax

a

by

Asimptote hiperbole

Asimptote hiperbole 12

2

2

2

b

y

a

x su pravci x

a

by i .x

a

by

Udaljenost točaka s hiperbole do jednog od tih pravaca teži k nuli kada se točka udaljava od ishodišta.

***

Pokažimo kako se crtaju asimptote ako su zadana tjemena na realnoj osi i žarišta hiperbole. Iz jednog od

tjemena (iz tjemena B) zasijecimo šestarom otvora e imaginarnu os. Neka su C i D presječne točke.

Tada je .22 beeOD

Nacrtajmo pravokutnik sa središtem u ishodištu, a koji prolaz tjemenima B i D, kao na slici. Povucimo pravce

koji prolaze dijagonalama tog pravokutnika. Njihove su jednadžbe xa

by , ,x

a

by te su to asimptote

hiperbole.

Pri crtanju hiperbole vrlo je korisno nacrtati njezine asimptote, jer se pomoću njih i tjemena hiperbola može preciznije i

lakše nacrtati.

Primjer 1. Nacrtajmo hiperbolu .149

22

yx

Realna poluos je 3a , imaginarna 2b pa su asimptote xy3

2 i .

3

2xy

Linearni ekscentricitet je .1322 bae

To je upravo duljina polovine dijagonale pravokutnika koji prolazi tjemenima hiperbole. Zato žarišta konstruiramo tako

da iz središta hiperbole šestarom kojem je polumjer e zasiječemo pravac s realnom osi.

Uvjerimo se da udaljenost točaka na hiperboli do njezine asimptote teži k nuli kada se točka udaljava od

ishodišta.

Primjer 2. Izračunajmo udaljenost točaka hiperbole 14

22

yx do asimptote .2xy

Računat ćemo za točke s apscisama ,101 x ,1002 x .10003 x

Udaljenost točke yxT , do pravca p … 02 yx je .5

2

12

2

2

yxyxd

Koordinate točaka kojima tražimo udaljenost su (uzimamo točke s pozitivnom ordinatom, jer su one bliske

asimptoti):

992,101T ,0447.05

99220

1

d

99992,1002T ,00447.05

99992200

2

d

9999992,10003T .000447.05

99999922000

3

d

Vidimo da se te udaljenosti smanjuju i teže k nuli kada se točka T udaljava po grani hiperbole.

Hiperbola s tjemenima na osi ordinata

Promotrimo jednadžbu

,12

2

2

2

b

y

a

x

koja se od jednadžbe hiperbole razlikuje po drukčijem odabiru predznaka. Ona će također definirati hiperbolu,

ali sa zamijenjenim ulogama realne i imaginarne osi.

Potražimo presjek te hiperbole s koordinatnim osima. Ako je ,0y onda ne postoji realni x koji zadovoljava

Danu jednadžbu, zato hiperbola ne siječe os apscisa. Stavimo li pak ,0x dobit ćemo .by

Tjemena ove hiperbole su točke bA ,0 i bB ,0 na osi ordinata, pa njezina realna poluos iznosi b.

Imaginarna je poluos a, a za linearni ekscentricitet vrijedi ista formula 22 bae . Zato su žarišta ove

hiperbole u točkama eF ,01 i eF ,02 na osi ordinata.

Odredimo njezine asimptote. Kada je apscisa x vrlo velika, onda vrijedi

2

2

2

2

1a

x

b

y x

a

bax

a

by 22

pa su pravci xa

by asimptote ove hiperbole.

Dakako, za radijvektore točke hiperbole vrijedi ,221 brr pa je sada 2b realna os.

Hiperbola s tjemenima na osi ordinata

Jednadžbom

12

2

2

2

b

y

a

x

Zadana je hiperbola kojoj je realna poluos b, a leži na osi ordinata. Imaginarna poluos je a i leži na osi apscisa.

Tjemena su točke bA ,0 i bB ,0 , a žarišta eF ,01 i eF ,02 . Asimptote ove hiperbole su

pravci xa

by

Primjer 3. Nacrtajmo hiperbole 194

22

yx

i .149

22

yx

Drugu hiperbolu dobijemo iz prve zrcaljenjem prema pravcu .xy

Zadatak 1. Nacrtaj hiperbole 11625

22

yx

i .12516

22

yx

Usporedi jednadžbe dviju krivulja i njihove slike. Što možeš zaključiti?

Jednakostranična hiperbola

Za hiperbolu kažemo da je jednakostranična ako vrijedi .ba Njezina je jednadžba onda 12

2

2

2

a

y

a

x,

odnosno .222 ayx

Linearni ekscentricitet je 222 aaae . Asimptote jednakostranične hiperbole su .xy

Primijetimo da su to međusobno okomiti pravci.

Zamislimo da smo zarotirali jednakostrničnu hiperbolu oko njezinog središta za kut 45 u pozitivnom smjeru.

Tada njezine asimptote postanu koordinatne osi , a realna os leži na pravcu .xy Udaljenost žarišta od

ishodišta koordinatnog sustava je 2ae , pa su žarišta u točkama aaF ,1 , aaF ,2 .

Za radijvektore bilo koje točke hiperbole vrijedi: ,212 arr tj. arr 212

Sa slike čitamo

,22

1 ayaxr

,22

2 ayaxr

pa je tražena jednadžba

.22222

aayaxayax

Korijena ćemo se riješiti na uobičajeni način. Razdvojimo ih, kvadrirajmo jednadžbu i sredimo dobiveni izraz.

Dobivamo

.22

ayaxayx

Nakon još jednog kvadriranja slijedi

,2 2axy tj. .2

2axy

To je tražena jednadžba.

Rotirana jednakostranična hiperbola

Jednadžbom

2

2axy

Određena je hiperbola kojoj je realna os 2a, a asimptote koordinatne osi . Njezina su žarišta u točkama

aaF ,1 , aaF ,2 , a tjemena u točkama

2,

2

aaA ,

2,

2

aaB . Dobiva se vrtnjom središnje

hiperbole za kut 45 .

***

Hiperbola kojoj je središte translatirano u točku qp, , a asimptote paralelne koordinatnim osima ima

jednadžbu: .2

2aqypx

Primjer 4. Pokažimo da je jednadžbom 2

1

x

xy određena hiperbola. Odredimo njezine osi i koordinate

tjemena.

Napišimo jednadžbu ovako ,2

11

2

12

2

1

xx

x

x

xy odnosno .112 yx

Usporedimo ovu jednadžbu s jednadžbom 2

2axy jednakostranične hiperbole. Vidimo da je tu 22 a , a

središte hiperbole translatirano je u točku 1,2S . Poluosi hiperbole su, dakle, 2 ba .

Tjemena hiperbole su točke 0,12

,2

aq

apA , 2,3

2,

2

aq

apB .

Uvjeri se da ove točke zadovoljavaju jednadžbu hiperbole.

Jednadžbom 2

1

x

xy određena je hiperbola. Njezine su asimptote pravci 2x i 1y , a središte u točki .1,2

PARABOLA

Konstrukcija i jednadžba parabole

Parabolu smo upoznali u drugom razredu. Naime, graf kvadratne funkcije cbxaxxf 2 je parabola

kojoj je os usporedna s osi ordinata, a tjeme se nalazi u točki s koordinatama

a

bac

a

bT

4

4,

2

2

.

Graf kvadratne funkcije je parabola. Ovisno o predznaku vodećeg koeficijenta a, ona je 's otvorom prema

gore' (ako je 0a ), ili pak 's otvorom prema dolje' (ako je 0a ).

Os simetrije parabole je pravac .2a

bx

No grafom kvadratne funkcije koristili smo se kako bismo izučavali njezina svojstva ili za učinkovitije

rješavanje nekih zadataka, prije svega rješavanje kvadratnih nejednadžbi. Pritom nismo izučavali samu

parabolu, nismo je niti definirali niti konstruirali, već smo je samo skicirali, što je bilo sasvim dovoljno za naše

tadašnje potrebe.

Parabola je vrlo važna krivulja i to ne samo u matematici. O njezinoj ulozi u fizici zasigurno ste se i sami

osvjedočili. U sljedećem odjeljku podrobnije ćemo je upoznati.

Košarkaška lopta u letu opisuje parabolu, slično kao i golf kuglice.

No na početku ne zaboravimo ni ovdje na Močnikovu knjigu. U njoj se navodi:

Značajno svojstvo hitnice je u tom, što je svaka njezina točka od ognjišta i od smernice jednako udaljena.

Jeste li razumjeli ovu definiciju? Pokušajte je analizirati. Ako vam nije uspjelo, nastavite s čitanjem.

Definicija i konstrukcija parabole

Definicija parabole. Svaka točka parabole jednako je udaljena od pravca d (ravnalice parabole) i jedne točke

(žarišta parabole) F.

Definicija parabole.

Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d i jedne čvrste točke

F u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu.

Pravac d nazivamo ravnalica (direktrisa) parabole, a točku F žarište (fokus) parabole.

Udaljenost žarišta do ravnalice označavamo s p i nazivamo poluparametar parabole.

Na temelju definicije možemo odmah opisati i konstrukciju parabole.

Nacrtajmo po volji odabran pravac d u ravnini. Obično ga crtamo vertikalnog u ravnini crtnje, no to ne mora

biti slučaj. Zaokrenemo li list s crtežom parabole, promijenit će se jednadžba parabole u koordinatnom

sustavu, ali ne i sama parabola.

Neka je F po volji odabrana točka koja ne leži na pravcu d. Povucimo pravac s kroz točku F okomito na

ravnalicu d. Taj pravac nazivamo os parabole.

Neka je b pravac paralelan s ravnalicom, udaljen od nje za barem 2/p ( polovica udaljenosti do žarišta).

Izmjerimo udaljenost r tog pravca do ravnalice. Tom veličinom kao polumjerom kružnice zasijecimo luk iz

žarišta F. Neka je R presječna točka luka i pravca b. Tada točka R pripada paraboli.

Paraboli pripada i polovište O dužine OF . To je točka parabole najbliža ravnalici.

Nju nazivamo tjeme ili vrh parabole.

Primjer 1. Nacrtajmo parabolu za koju je udaljenost žarišta do ravnalice jednaka 2 cm.

Uporabit ćemo opisani postupak i odrediti dovoljan broj točaka na paraboli.

Povucimo pravce usporedne ravnalici na udaljenostima od 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm,… od nje. S malo iskustva

vidjet ćemo da je dovoljno iscrtati samo manji dio pravca, tamo gdje očekujemo da će se nalaziti točke

parabole. Zatim s tim iznosima povucimo kružne lukove iz žarišta parabole, i to onaj njihov dio koji zasijeca

odgovarajuće pravce (lukom polumjera 2.5 cm zasjeći ćemo pravac 2.5 cm udaljen od ravnalice). Posebno

istaknimo položaj tjemena V i na temelju nekoliko dobivenih točaka skicirajmo parabolu.

Zadatak 1. Konstruiraj parabolu kojoj je žarište udaljeno od ravnalice 1 cm. Usporedi sliku sa slikom iz

primjera 1. Što uočavaš?

Jednadžba parabole

Konstrukcija parabole ovisi samo o udaljenosti žarišta od ravnalice, a ne ovisi, na primjer, o tome gdje se u

koordinatnom sustavu nalaze ravnalica i žarište. Međutim, jednadžba parabole bitno ovisi o tom položaju.

Prošle smo se godine upoznali s parabolom kojoj je jednadžba bila ,2 cbxaxy a os paralelna s osi

ordinata.

Zapravo, tek sada ćemo pokazati da je graf kvadratne funkcije uistinu parabola.

Postavimo koordinatni sustav tako da se tjeme (vrh) parabole podudara s ishodištem koordinatnog sustava, os

s osi apscisa, a žarište leži na pozitivnom dijelu osi apscisa. Takvu parabolu zvat ćemo vršna parabola.

Tjeme V raspolavlja udaljenost od žarišta do ravnalice. Ta je udaljenost jednaka poluparametru p parabole.

Zato su koordinate žarišta

0,

2

pF , a jednadžba ravnalice .

2

px

Izaberimo bilo koju točku yxT , na paraboli. Njezina udaljenost do ravnalice je .2

px

Po definiciji parabole ta udaljenost mora biti jednaka udaljenosti točke T do žarišta parabole:

.22

22

yp

xp

x

Budući da su obje strane u ovoj jednadžbi pozitivne veličine, kvadriranjem ćemo dobiti ekvivalentnu

jednadžbu:

,44

22

22

2 yp

pxxp

pxx

tj. .2 2ypx

Dakle, točka leži na paraboli onda i samo onda ako njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu.

Jednadžbu parabole koja je dobivena translacijom iz vršne tako da joj vrh bude točka 00 , yxV dobivamo na

uobičajeni način.

Jednadžba parabole

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa, ima jednadžbu

.22 pxy

Translatirana parabola s tjemenom u točki 00 , yxV ima jednadžbu

.2 02

0 xxpyy

Primjer 2. Odredimo jednadžba parabole kojoj je tjeme u točki 2,1V , prolazi točkom

4,1A , a os joj je paralelna s osi apscisa.

Tjeme je translatirano u točku 2,1 , pa je u jednadžbi parabole .2,1 00 yx

Poluparametar p odredit ćemo iz uvjeta da A leži na paraboli.

02

0 2 xxpyy ,

.112242

p

Dobivamo: p44 pa jednadžba glasi: .1222

xy

***

Tanjuri za paraboličke antene satelitskih prijamnika su paraboloidnog oblika: presjek tanjura s ravninom koja

prolazi kroz os je parabola. Prijamnik antene smješten je u žarištu parabole, jer parabola ima svojstvo da

paralelne zrake koje stižu u nju usmjeruje u žarište.

Primjer 3. Tanjuri za antene satelitskih prijamnika proizvode se u tvornici Veliki tanjur. Njih kupuje tvornica

Extra satelit i ugrađuje elektroničke dijelove antene. Ako je promjer tanjura a, a dubina b

(vidi sliku), koliko daleko od tjemena tanjura treba ugraditi prijamnik signala?

Postavimo tanjur u koordinatni sustav tako da mu tjeme bude u ishodištu.

Jednadžba parabole (presjeka tanjura s okomitom ravninom) neka je .22 pxy

Točka s koordinatama

2,a

b leži na paraboli, pa je .24

2

pba

Odavde je ,8

2

b

ap pa je tražena duljina polovica ovog iznosa: .

4

2

b

ad

Primjer 4. Odredi skup točaka ravnine zadan jednadžbom .2

1 2xy

Ako u jednadžbi parabole pxy 22 zamijenimo x sa y, dobit ćemo jednadžbu pyx 22 , tj. .2

1 2xp

y

Kako smo zamjenom koordinata x i y zapravo zrcalili svaku točku parabole pxy 22 prema pravcu ,xy

onda je dobivena krivulja sukladna parabola kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava, a os simetrije je

os ordinata.

Sada smo tek dokazali činjenicu da je graf kvadratne funkcije 2axxf ( koju smo obrađivali u II.razredu)

parabola.

Usporedbom koeficijenata u jednadžbama 2axy i 2

2

1x

py dobijemo .

2

1

pa

Žarište parabole 2

2

1xy je točka

2

1,0F , njezina je ravnalica pravac .012 y