nama : kelas : npm : tutor : asbar - ma … · modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu...

NAMA :

KELAS :

NPM :

PJ :

KP :

TUTOR :

ASBAR :

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

MATEMATIKA EKONOMI 2

ATA 2017/2018

MATEMATIKA EKONOMI 2 SUSUNAN TIM LITBANG

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ii

SUSUNAN TIM LITBANG

MATEMATIKA EKONOMI 2

ATA 2017/2018

STAF PENANGGUNG

JAWAB

LISTA KUSPRIATNI, SE., MM

DESTI DIRNAENI, SE., MM

PENANGGUNG JAWAB

ASISTEN

PENANGGUNG JAWAB

PROGRAMMER

Laras Manjari

Afra Mikyal Z

Dionesia Sesilia

Mutiara Cindy W

Rizma Cania W

Anggita Azizah A

DERIVATIF

Rana Atiqah M

Khansa Shabirah Z

M Geri Setiawan

Rosdiana

Ika Nurfitriana

INTEGRAL TAK

TENTU

Rolan Pradana

Mickael Clinton S

Mustika Rahmi

Nurul Fauziah

Rita Darniati

M Rizky Anindisa

INTEGRAL

TERTENTU

Lusi Setiani

Ersa Bita D

Gita Fitri K

Jodie Immanuel N

Sarah Amanda

TRANSENDENTAL

YUNUS PATTY BAGAS ARDIAN

MATEMATIKA EKONOMI 2 KATA PENGANTAR

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat,

dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini

tepat pada waktunya. Dalam rangka meningkatkan mutu pembelajaran dalam

perkuliahan, modul dapat menjadi salah satu penunjang yang efektif. Modul ini

disusun sebagai panduan kegiatan praktikum Laboratorium Manajemen Dasar

Universitas Gunadarma.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum

sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan

pemahaman dasar materi praktikum khususya Matematika Ekonomi 2, serta sebagai

pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu

modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat

keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Penyusun sangat menyadari bahwa modul praktikum ini masih perlu

disempurnakan lagi, maka saran dan kritik untuk penyajian modul ini kedepan sangat

diperlukan.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah

membantu dalam peyusunan modul ini.

Jakarta, 20 Januari 2018

Tim Litbang Matek 2 (ATA 2017/2018)

MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR ISI

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 iv

DAFTAR ISI

SUSUNAN TIM LITBANG ....................................................................................... ii

KATA PENGANTAR ................................................................................................ iii

DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. vi

DERIVATIF ................................................................................................................ 1

1. KONSEP DASAR TURUNAN ............................................................................ 1

2. KAIDAH DIFERENSIASI .................................................................................. 2

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA .................................. 7

3.1 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ...................... 7

3.2 Titik Ekstrim Fungsi Parabolik ................................................................. 7

4. PENERAPAN EKONOMI .................................................................................. 9

4.1 Elastisitas .................................................................................................... 9

4.2 BIAYA ...................................................................................................... 22

4.3 PENERIMAAN ........................................................................................ 27

4.4 LABA MAKSIMUM ................................................................................ 32

INTEGRAL TAK TENTU ....................................................................................... 36

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU .................................................... 36

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU .................................. 37

3. PENERAPAN EKONOMI ................................................................................ 39

3.1 FUNGSI BIAYA ........................................................................................... 39

3.2 FUNGSI PENERIMAAN .............................................................................. 44

MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR ISI

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 v

3.3 FUNGSI PRODUKSI .................................................................................... 49

3.4 FUNGSI UTILITAS ...................................................................................... 54

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN .................................. 55

INTEGRAL TERTENTU ........................................................................................ 63

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU ..................................................... 63


2.1 SURPLUS KONSUMEN .............................................................................. 64

2.2 SURPLUS PRODUSEN ................................................................................ 77

TRANSENDENTAL ................................................................................................. 84

1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL ............................................................. 84

1.1 Fungsi Eksponensial ...................................................................................... 85

1.2 Fungsi Logaritmik.......................................................................................... 88


2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK ..................................................................... 91

2.2 MODEL PERTUMBUHAN .......................................................................... 95

2.3 KURVA GOMPERTZ ................................................................................... 99

2.4 KURVA BELAJAR ..................................................................................... 101

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 105

MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR GAMBAR

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif .................................................................. 13

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................... 13

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data ............................................................... 14

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan .................................................. 14


Gambar 1.6 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................... 17

Gambar 1.7 Tampilan Menu Input Data .............................................................. 17

Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran ................................................... 18


Gambar 1.10 Tampilan Pangkat Terbesar ............................................................. 20

Gambar 1.11 Tampilan Menu Input Data ............................................................. 21

Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi ..................................................... 21

Gambar 1.13 Tampilan Menu Derivatif ................................................................ 25


Gambar 1.15 Tampilan Menu Input Data ............................................................. 26

Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya ............................................................... 26



Gambar 1.19 Tampilan Menu Input Data ............................................................ 31

Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan ..................................................... 31


LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 vii


Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba ................................................................ 35

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ........................................ 41

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu......................................... 42

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya.............................................. 42

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ......................................... 43

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya ...................................... 44

Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ........................................ 46

Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu......................................... 47

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan .................................... 47

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ............................... 48

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ........................... 49

Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ...................................... 51

Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ....................................... 52

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ....................................... 52

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi .................................. 53

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ............................... 54

Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ...................................... 59

Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ....................................... 60

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi ..................................... 60

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ................................ 61

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi konsumsi .............................. 62

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan .............................. 62


LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 viii

Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen ................................................................. 64

Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1 ....................................... 68

Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu ...................................................... 68

Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1 ......................................................... 69

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1............................................ 69

Gambar 3.6 Tampilan Awal Integral Tertentu ...................................................... 70

Gambar 3.7 Tampilan Surplus Konsumen 2 ......................................................... 70

Gambar 3.8 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2............................................ 71

Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2 ....................................... 73

Gambar 3.10 Tampilan Awal Integral Tertentu .................................................... 74

Gambar 3.11 Tampilan Surplus Konsumen 1 ....................................................... 74

Gambar 3.12 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1.......................................... 75


Gambar 3.14 Tampilan Surplus Konsumen 2 ....................................................... 76

Gambar 3.15 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 2.......................................... 76

Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen .................................................................. 77

Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3 ....................................... 80


Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1 ......................................................... 81

Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1 ............................................ 82


Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2 ......................................................... 83

Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2 ............................................ 83


LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 ix

Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk ....................................... 95

Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan ............................................ 98

Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz .................................................. 101

Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar....................................................... 104

MATEMATIKA EKONOMI 2 DERIVATIF

LAB. MANAJEMEN DASAR LITBANG ATA 2017/2018 1

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN

Diferensial membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan

(Dumairy, 2012).

Bentuk ∆y/∆x disebut sebagai hasil bagi perbedaan atau kuosien

diferensi (difference quotient), mencerminkan tingkat perubahan rata-rata

variabel terikat y terhadap variabel bebas x. Proses penurunan sebuah fungsi,

disebut juga proses pendiferensian atau diferensiasi. Hasil yang diperoleh

dari proses diferensiasi tersebut dinamakan turunan atau derivatif. Turunan

diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana: ∆x → 0.

Dengan demikian,

Jika y = f(x), maka fungsi turunannya adalah

lim∆x → 0 ∆𝑦

∆𝑥= lim∆x → 0

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥

∆𝒚

∆𝒙=𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇( 𝒙 )

∆𝒙

Jika y = f (x), maka



2. KAIDAH DIFERENSIASI

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka yI = 0

Contoh : y = 7 maka yI = 0

2. Diferensiasi fungsi linier

Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka yI = b

Contoh : y = 15 + 8x maka yI = 8

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y

I = n.ax

n-1

Contoh : 8x2 maka y’ = 2.8x

2-1 = 16x

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = n(x), maka yI = u

I ± v

I

Contoh : y = 7x4 ± 7x

3

u = 7x4 maka u

I = 4.7x

4-1 = 28x

3

v = 7x3 maka v

I = 3.7x

3-1 = 21x

2

karena yI = u

I ± v

I, maka y

I = 28x

3 ± 21x

2

5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta



Jika y = k . u, dimana u = g(x), maka yI = k . u

I

Contoh : y = 5. x2

u = x2 maka u

I = 2.1x

2-1= 2x

karena yI = k . u

I, maka y

I = 5 . 2x = 10x

b. Perkalian fungsi

Jika y = u . v dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka yI = u

I.v + u.v

I

Contoh : y = (x5 – 2)(5x

2 – 7)

u = (x5 – 2) u’ = 5.1x

5-1 = 5x

4

v = (5x2 – 7) v’ = 2.5x

2-1 = 10x

karena yI = u

I.v + u.v

I

yI = (5x

4)(5x

2 – 7) + (x

5 – 2)(10x)

= 25x6 – 35x

4 + 10x

6 – 20x

= 35x6 – 35x

4 – 20x

6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika y = 𝑢

𝑣 dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y

I =

𝒖′.𝒗−𝒖.𝒗′

𝒗𝟐

Contoh : (7𝑥2 − 5)

( 5𝑥3 − 6)

u = (7x2 – 5) u

I = 2.7x

2-1 = 14x

v = (5x3 – 6) v

I = 3.5x

3-1 = 15x

2



karena yI =

𝒖′.𝒗−𝒖.𝒗′

𝒗𝟐

yI =

(14𝑥)(5𝑥3−6)−(7𝑥2−5)(15𝑥2)

(5𝑥3−6)2

= 70𝑥4−84𝑥−105𝑥4+75𝑥2

(5𝑥3−6)2

= −35𝑥4+75𝑥2−84𝑥

25𝑥6−60𝑥3+36

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f (u) sedangkan u = g (x), dengan kata lain y = f [ g(x) ] , maka

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒅𝒚

𝒅𝒖𝒙𝒅𝒖

𝒅𝒙

Contoh 1:

y = (6x2 + 4)

2

Misalkan : u = 6x2 + 4 sehingga y = u

2

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 12x

𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 2u

Maka 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒅𝒚


𝒅𝒙

= 2u . 12x

= 2(6x2 + 4)(12x) = 144x

3 + 96x

Contoh 2:

y = √3𝑥2 + 4𝑥 − 5

y = (3𝑥2 + 4𝑥 − 5)1/2



misalkan : u = 3x2 + 4x – 5 , sehingga y = u

1/2

𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 6x + 4

𝑑𝑦

𝑑𝑢 = ½ u

-1/2

Maka 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒅𝒚


𝒅𝒙

= ½ u-1/2

. (6x + 4)

= ½ (3x2 + 4x – 5)

-1/2 . (6x + 4)

= 1

2 𝑥

1

√3𝑥2+4𝑥−5 x (6x + 4)

= 6𝑥+4

2√3𝑥2+4𝑥−5

8. Diferensiasi tingkat tinggi (derivatif dari derivatif)

Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) diperoleh dengan mendiferensiasikan

sebanyak n kali

Derivatif ke n dilambangkan dengan 𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏 atau f

n(x) atau y

n

Contoh : y = 6𝑥5 + 5𝑥4 + 4𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 maka

yI atau

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 30𝑥4 + 20𝑥3 + 6𝑥 + 1

yII atau

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 120𝑥3 + 60𝑥2 + 6

9. Diferensiasi implisit

Adalah suatu kaidah diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0

suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari

persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx.



Contoh : xy2 – x

2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

y2 – 2x dx + 2xy + 1 dy = 0

(2xy + 1) dy = (-y2 + 2x) dx

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−𝑦2+2𝑥

2𝑥𝑦+1

10. Diferensiasi fungsi logaritmik

y = alog x →

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝟏

𝐱 𝐥𝐧𝒂

Contoh : jika y = 5log 2 maka tentukan dy/dx

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

1

2 ln5

11. Diferensiasi fungsi eksponensial

▪ y = ex →

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

▪ y = ax →

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎𝑥 ln 𝑎

12. Diferensiasi fungsi trigonometric

Beberapa turunan fungsi trigonometric yang penting adalah :

y = sin x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = cos x

y = cos x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = - sin x

y = tan x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = sec

2 x

y = cot x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = -cosec

2 x



y = sec x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = sec x . tan x

y = cosec x → 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = cosec x . cot x

Catatan :

sec x = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝒙

cosec x = 𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝒙

cot x = 𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝒙

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

3.1 MENENTUKAN KEADAAN FUNGSI MENAIK DAN FUNGSI

MENURUN

Derivatif pertama dari sebuah fungsi non-linier dapat digunakan untuk

menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik ataukah

menurun pada kedudukan tertentu.

1. Fungsi y = f (x) menaik jika f I(x) > 0

2. Fungsi y = f (x) menurun jika f I(x) < 0

3. Jika derivatif pertama f I(x) = 0, berarti fungsi berada pada titik ekstrim

3.2 TITIK EKSTRIM FUNGSI PARABOLIK

Dalam sebuah fungsi parabolik, derivatif pertama berguna untuk

menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivatif kedua digunakan

untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.

Jenis-jenis Titik Ekstrim Fungsi Parabolik adalah:



• Jika fII(x) > 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim minimum

• Jika fII(x) < 0, maka (x , y) merupakan titik ekstrim maksimum

Contoh Soal:

Diketahui y = 50x – 5x², tentukanlah titik ekstrim maksimum atau minimum

dari fungsi tersebut!

Jawab:

yI = 50 – 10x

yII = -10 < 0 (Titik ekstrim maksimum)

Letak titik ekstrim

yI = 0

50 – 10x = 0

50 = 10x



5 = x

y = 50(5) – 5(5)2

y = 125

Jadi letak titik ekstrim maksimum adalah pada koordinat (5,125).

4. PENERAPAN EKONOMI

4.1 ELASTISITAS

Elastisitas adalah perubahan persentase suatu variabel terikat (dependent

variable) sebagai akibat adanya perubahan persentase suatu variabel bebas

(independent variable) (Kalangi, 2015).

4.1.1 ELASTISITAS HARGA

Adalah perubahan persentase jumlah yang diminta oleh konsumen atau

ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga

barang itu sendiri. Untuk fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk Q

= f(P) maka rumus elastisitas harga titik permintaan adalah

Jika fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk P = f(Q) maka rumus

elastisitas harga titik permintaan adalah

Ƞh = 𝟏

𝒅𝑷/𝒅𝑸 .𝑷

𝑸

Ƞh = 𝐝𝐐/𝐐

𝐝𝐏/𝐏=

𝐝𝐐

𝐐 .𝐏

𝐝𝐏=

𝐝𝐐

𝐝𝐏 .𝐏

𝐐



CONTOH KASUS 1

Jika fungsi permintaan suatu barang di tunjukkan oleh Q = 150 – 5P, berapakah

elastisitas harga pada tingkat harga P = 10?

Penyelesaian:

Diketahui : Q = 150 – 5P

P = 10

Ditanya : Ƞh?

Jawab :

Jika P = 10 , maka Q = 100 dan 𝑑𝑄

𝑑𝑃= -5

Ƞh = 𝑑𝑄

𝑑𝑃 .

𝑃

𝑄= −5 (

10

100) = |-0,5| = 0,5 < 1 → inelastis

Analisis :

Jadi elastisitas harga permintaan pada tingkat harga sebesar 10 adalah sebesar -

0,5 yang mempunyai arti apabila harga barang naik 1%, maka jumlah

permintaan terhadap barang itu turun 0,5%.

Umumnya elastisitas harga dari permintaan di setiap titik pada kurva

permintaan yang menurun akan bernilai negatif, tetapi dalam mengukur

koefisien elastis harga biasanya diambil dari nilai mutlaknya (absolut) sehingga

nilai koefisien elastis harga paling kecil adalah 0 dan paling besar adalah ∞ (0 ≤

Ƞh ≤ ∞). Dari nilai absolut ini dapat dikategorikan menjadi lima macam

elastisitas yaitu :



a. |Ƞ| > 1 elastis

Contoh : Barang mewah

b. |Ƞ| < 1 inelastis

Contoh : Kebutuhan pokok

c. |Ƞ| = 1 unitary elastis

Contoh : Barang – barang elektronik

d. |Ƞ| = 0 inelastis sempurna

Contoh : Bahan bakar minyak

e. |Ƞ| = ∞ elastis tak hingga

Contoh : Bumbu dapur

4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase

perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya persentase perubahan

harga. Istilah yang lengkap adalah elastisitas harga-per-permintaan. Jika

fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas

permintaannya adalah

Ƞd = QdI .

𝑷

𝑸𝒅



CONTOH KASUS 2

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 70 –

8P2. Tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 10!

Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : Qd = 70 – 8P2

Qd

I = -16P

P = 10

Ditanya : Ƞd ?

Jawab :

Ƞd = QdI. P

Qd

Ƞd = -16P . P

70−8P2

Ƞd = -16(10) . 10

70−8(10)2

Ƞd = 2,19 > 1 Elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 2,19 pada saat tingkat harga sebesar

Rp.10. Jika harga tersebut mengalami perubahan sebesar 1% maka barang

yang diminta akan mengalami perubahan sebanyak 2,19%.



Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math, Pilih Derivatif, kemudian pilih Mencari

Elastisitas Permintaan.

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter

Gambar 1.2 Tampilan Pangkat Terbesar



3. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal.

Gambar 1.3 Tampilan Menu Input Data

4. Kemudian tekan Enter,maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Gambar 1.4 Output Data Elastisitas Permintaan



4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya persentase

perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya persentase

perubahan harga. Istilahnya yang lengkap adalah elastisitas harga-per-

penawaran. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka

elastisitas penawarannya adalah

CONTOH KASUS 3

Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 60 + 5P².

Tentukanlah elastisitas penawaran pada saat P = Rp5 per unit. Bagaimana sifat

elastisitasnya? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : Qs = 60 + 5P² QsI = 10P

P = 5

Ditanya : Ƞs ?

Jawab :

Ƞs = 𝑄𝑠′ . 𝑃

𝑄𝑠

= 10𝑃 . 𝑃

60+5𝑃2

Ƞs = 𝑸𝒔′.𝑷

𝑸𝒔



= 10(5) . 5

60+5(5)2

Ƞs = 1,35 > 1 Elastis

Analisis :

Jadi, besarnya elastisitas penawaran adalah 1,35 pada saat harga produk

sebesar Rp5. Jika harga tersebut mengalami perubahan 1% maka barang yang

diminta akan mengalami perubahan sebesar 1,35%.

Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas

Penawaran






3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal




4. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah berikut

Gambar 1.8 Output Data Elastisitas Penawaran

4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan

(input) yang digunakan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan

sedangkan X melambangkan jumlah input yang digunakan, dan fungsi produksi

dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas produksinya adalah

CONTOH KASUS 4

Diketahui fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 5x³ - 8x².

Hitunglah elastisitas pada X = 7 unit dan analisislah!

Ƞp = 𝑷′.𝑿

𝑷



Penyelesaian:

Diketahui : P = 5x³ – 8x² PI = 15x² - 16x

X = 7

Ditanya : Ƞp ?

Jawab :

Ƞp = 𝑃′ . 𝑋

𝑃

= (15𝑥2 − 16𝑥) . 𝑋

5𝑥3−8𝑥2

= 15𝑥3−16𝑥2

5𝑥3−8𝑥2

= 15(7)3−16(7)2

5(7)3−8(7)2

= 4361

1323

Ƞp = 3,30 > 1 Elastis

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas produksi adalah 3,30 pada saat jumlah masukkan

(input) produk sebanyak 7 unit. Jika terjadi perubahan masukkan sebesar 1%

maka barang yang diproduksi akan mengalami perubahan sebesar 3,30%.




1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Elastisitas

Produksi






3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui

di soal



Gambar 1.12 Output Data Elastisitas Produksi



TC = F(Q) atau TC = FC + VC

4.2 BIAYA

4.2.1 BIAYA TOTAL (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau

memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau

biaya variabel.

Dimana:

TC = Biaya Total (Total Cost)

FC = Biaya Tetap (Fixed Cost)

VC = Biaya Variabel (Variabel Cost)

Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.2.2 BIAYA RATA-RATA (AC)

Biaya untuk memproduksi satu unit barang disebut sebagai biaya rata-

rata (average cost). Biaya rata-rata diperoleh dari biaya total dibagi dengan

jumlah unit barang yang diproduksi.

Dimana :

AC = Biaya rata-rata (Average Cost)

𝑨𝑪 =𝑻𝑪

𝑸=𝑭(𝑸)

𝑸



TC = Biaya Total (Total Cost)

Q = Jumlah Barang (Quantity)

4.2.3 BIAYA MARGINAL (MC)

Adalah tingkat perubahan biaya total sebagai akibat adanya perubahan

satu unit produk yang diproduksi.

Dimana :

MC = Biaya Marginal (Marginal Cost)

∆TC = Perubahan Biaya Total

∆Q = Perubahan Satu Unit Produk

CONTOH KASUS 5

Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan sabun mandi PT UNILOVER di

tunjukkan oleh persamaan TC = 50Q3 + 70Q

2 – 10Q + 15. Tentukan besarnya

biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit?

Berikan Analisisnya!

Penyelesaian:

Diketahui : TC = 50Q3 + 70Q

2 – 10Q + 15

Q = 5

𝑴𝑪 = 𝑻𝑪′ =∆𝑻𝑪

∆𝑸



Ditanya : TC, AC, MC pada saat Q = 5?

Jawab :

TC = F(Q)

= 50Q3 + 70Q

2 – 10Q + 15

= 50(5)3 + 70(5)

2 – 10(5) + 15

= 6250 + 1750 – 50 + 15

= 7965

AC = 𝑇𝐶

𝑄

= 7965

5

= 1593

MC = TCI

= 150Q2 + 140Q – 10

= 150(5)2 + 140(5) – 10

= 3750 + 700 – 10

= 4440

Analisis :

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 5 unit maka biaya total yang

dikeluarkan sebesar Rp 7.695 dengan biaya rata-rata sebesar Rp 1.593 dan

biaya marginal Rp 4.440.




1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi

Biaya






3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal



Gambar 1.16 Output Data Fungsi Biaya



4.3 PENERIMAAN

4.3.1 PENERIMAAN TOTAL (TR)

Adalah hasil kali antara jumlah produk yang diminta atau yang terjual

dengan harga produk per unit.

4.3.2 PENERIMAAN RATA-RATA (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan

suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average revenue sama

dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

4.3.3 PENERIMAAN MARGINAL (MR)

Adalah tambahan penerimaan total yang diakibatkan oleh adanya

tambahan satu unit produk yang terjual.

𝐀𝐑 =𝐓𝐑

𝐐=𝐏𝐱𝐐

𝐐= 𝐏

TR = F(Q) = P . Q

𝐌𝐑 = 𝐓𝐑′ =∆𝐓𝐑

∆𝐐



CONTOH KASUS 6

Fungsi permintaan perusahaan batik ditunjukkan oleh P = -7Q + 85.

Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Lalu berapakah besarnya

penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika

penjualannya sebesar 10 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : P = -7Q + 85

Q = 10

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR, MR pada saat Q = 10?

Jawab :

TR = P x Q

= (-7Q + 85) x Q

= -7Q2 + 85Q

Jika Q = 10, maka :

TR = F(Q)

= -7Q2 + 85Q

= -7(10)2 + 85(10)

= -700 + 850

= 150



AR = TR/Q

= 150 / 10

= 15

MR = TRI

= -14Q + 85

= -14(10) + 85

= -55

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan batik saat penjualan 10 unit

sebesar Rp 150 dengan penerimaan rata-rata sebesar Rp 15 dan penerimaan

marginal sebesar –Rp 55.


1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi

Penerimaan



3. Maka akan muncul tampilan dibawah ini. Masukkan angka yang diketahui di

soal

Gambar 1.19 Tampilan Menu Input data


Gambar 1.20 Output Data Fungsi Penerimaan



4.4 LABA MAKSIMUM

Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau

dapat dinyatakan dengan rumus :

Dimana :

𝜋 = Laba

TR = Penerimaan Total

TC = Biaya Total

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu :

1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach)

3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum

dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba

dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan

Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan

pertama fungsi (dπ/dQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai

turunan pertama TC (dTC/dQ atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan

demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian

minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

𝝅 = TR – TC atau 𝝅 = (P . Q) – (FC + VC)



CONTOH KASUS 7

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -18Q +

5.000 dengan biaya variabel VC = 10Q2 – 100Q. Biaya tetap yang dikeluarkan

perusahaan sebesar 70.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa

perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba

tersebut? Berikan Analisisnya!

Penyelesaian:

Diketahui : TC = VC + FC = 10Q2 – 100Q + 70.000

TR = P x Q = (-18Q + 5.000)Q

= -18Q2 + 5.000Q

Ditanya : Q pada saat laba maksimum, dan besar laba (π)?

Jawab :

MR = TRI

MR = -36Q + 5.000

MC = TCI

MC = 20Q – 100

Perhitungan Laba Maksimum (πmax)

MR = MC

-36Q + 5.000 = 20Q – 100

5.000 + 100 = 20Q + 36Q



5.100 = 56Q

Q = 91,07 ≈ 91

TR = -18(91)2 + 5.000(91) = 305.942

TC = 10(91)2 – 100(91) + 70.000 = 143.710

πmax = 305.942 – 143.710 = 162.232

Analisis :

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual

produknya sebanyak 91 unit sehingga keuntungan maksimum yang didapat

sebesar Rp162.232.


1. Buka aplikasi EC-Math. Pilih Derivatif, kemudian pilih mencari Fungsi Laba




2. Kemudian masukkan data-data yang ada di soal, maka akan muncul output

seperti ini

Gambar 1.22 Output Data Fungsi Laba

MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TAK TENTU


INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu

Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) dan Integral Tertentu (Definite

Integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep

yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan

atau derevatif dari fungsinya diketahui, sedangkan Integral tertentu adalah suatu

konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-

batas limit dari area tersebut sudah tertentu (Dumairy, 2012).

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral

atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x)dx = F(x) + k

Keterangan :

∫ = Tanda integral

f(x)dx = Diferensial dari F(x)

F(x) = Integral particular

k = Konstanta pengintegralan



Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal

dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)

maka:

Untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5

Fungsi turunannya : f(x)dx = 𝑑 𝐹(𝑥)

𝑑𝑥 = 2x

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :

∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k

Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita

mengintegralkan fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Nilai k tidak

dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai k tersebut sudah

ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral

yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRASI TAK TENTU

Karena integrasi tak tentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari

diferensial, maka kaidah-kaidah integrasi tak tentu akan dapat dipahami

berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensiasi.

Kaidah 1. Formula Pangkat

∫ xn dx =

𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑘

Contoh :



∫ x4 dx =

𝑥𝑛+1

𝑛+1 + k =

𝑥5

5 + k = 0,2 x

5 + k

Kaidah 2. Formula Logaritmis

∫ 1

𝑥 dx = ln x + k

Contoh :

∫ 3

𝑥 dx = 3 ln x + k

Kaidah 3. Formula Eksponensial

∫ ex dx = e

x + k

∫ eu du = e

u + k u = f(x)

Contoh :

∫ ex + 2

dx = ex + 2

d(x + 2 ) = ex + 2

+ k

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

∫ {f(x) + g(x)} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = F(x) + G(x) + k

Contoh :

∫ (x4 + 3x

2) dx = ∫ x

4 dx + ∫ 3x

2 dx = 0,2x

5 + x

3 + k

Kaidah 5. Formula Perkalian

∫ nf(x)dx = n ∫ f(x)dx

Contoh :

∫ 3x2 dx = 3 ∫ x

2 dx = 3 (

𝑥2+1

2+1+ 𝑘) = x

3 + k



Kaidah 6. Formula Substitusi

∫ f(u) 𝑑𝑢

𝑑𝑥 dx =

𝑥𝑛+1

𝑛+1 f(u) du = F(u) + k

Contoh :

Selesaikanlah ∫ 𝑥+3

𝑥2+6𝑥 dx

Misalkan u = x2 + 6x, maka du = 2x + 6 dx

Karena pembilang (x + 3) = 1

2 (du/dx). Sehingga :

∫ 𝑥+3

𝑥2+6𝑥 dx = ∫

1/2(𝑑𝑢/𝑑𝑥)

𝑢 dx

= ∫ 1/2𝑑𝑢

𝑢 =

1

2 ∫ 𝑑𝑢

𝑢

= 1

2 ∫

1

𝑢 du =

1

2 ln u + k


Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan

fungsi total dari suatu variable ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya

diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi

total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari

fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 FUNGSI BIAYA

BIAYA TOTAL (TC) = ∫ MC dQ = ∫ f (Q) dQ

BIAYA RATA-RATA (AC) = 𝑻𝑪

𝑸



CONTOH KASUS 1

Diketahui fungsi biaya marginal pada suatu perusahaan sebesar MC = 15Q2 +

18Q + 5. Bentuklah persamaan biaya total dan biaya rata-rata apabila diketahui

konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika

kuantitasnya sebesar 11? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MC = 15Q2 + 18Q + 5

k = 5

Q = 11

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC dan AC jika Q = 11 ?

Jawab :

TC = ∫ MC dQ

TC = ∫ 15Q2 + 18Q + 5 dQ

TC = 15𝑄3

3+

18 𝑄2

2+ 5𝑄 + 𝑘

TC = 5Q3 + 9Q

2 + 5Q + 5

AC = 𝑇𝐶

𝑄

AC = 5𝑄3+ 9𝑄2 + 5Q + 5

𝑄

AC = 5Q2 + 9Q + 5 +

5

𝑄

Jika Q = 11, maka :

TC = 5Q3 + 9Q

2 + 5Q + 5

TC = 5(11)3 + 9(11)

2 + 5(11) + 5

TC = 5(1.331) + 9(121) + 55 + 5



TC = 6.655 + 1.089 + 55 + 5

TC = 7.804

AC = 𝑇𝐶

𝑄

AC = 7.804

11

AC = 709,45

Analisis:

Apabila MC = 15Q2 + 18Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total

dan fungsi biaya rata-ratanya adalah TC = 5Q3 + 9Q

2 + 5Q + 5 dan AC = 5Q

2 +

9Q + 5 + 5

𝑄. Pada saat kuantitasnya sebesar 11 unit, maka biaya total sebesar Rp.

7.804 dan biaya rata-ratanya sebesar Rp. 709,45.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math

1. Buka aplikasi EC-Math

Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software Ec-Math



2. Pilih Integral Tak Tentu

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya



4. Masukkan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya

Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC

sebesar k, yaitu: 5. Kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di

soal. Klik Calculate.

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di

soal,yaitu 11. Kemudian klik Calculate.



Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya

3.2 FUNGSI PENERIMAAN

PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫MR dQ = ∫ f (Q) dQ

PENERIMAAN RATA-RATA (AR) = 𝑻𝑹

𝑸

CONTOH KASUS 2

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan

MR = 15Q2 + 10Q + 5, maka bentuklah persamaan TR dan AR jika k = 0?

Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas

yang terjual sebesar 15 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MR = 15Q2 + 10Q + 5



k = 0

Q = 15

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 15?

Jawab :

TR = ∫ MR dQ

TR = ∫15Q2 + 10Q + 5 dQ

TR = 15𝑄3

3 +

10𝑄2

2 + 5Q + k

TR = 5Q3 + 5Q

2 + 5Q

AR = 𝑇𝑅

𝑄

AR = 5𝑄3+ 5𝑄2+5𝑄

𝑄

AR = 5Q2 + 5Q + 5

Jika Q = 15, maka :

TR = 5Q3 + 5Q

2 + 5Q

TR = 5(15)3 + 5(15)

2 + 5(15)

TR = 5(3.375) + 5(225) + 75

TR = 16.875 + 1.125 + 75

TR = 18.075

AR = 𝑇𝑅

𝑄

AR = 18.075

15

AR = 1.205



Analisis:

Apabila MR = 15Q2 + 10Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan

total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 5Q3 + 5Q

2 + 5Q dan AR =

5Q2 + 5Q + 5. Pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka penerimaan total

sebesar Rp. 18.075 dan penerimaan rata-ratanya sebesar Rp. 1.205.








3. Pilih Fungsi Penerimaan

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan




Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian

masukkan persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan

5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di




Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan

3.3 FUNGSI PRODUKSI

TOTAL PRODUKSI (TP) = ∫ MP dX = ∫ f (X) dX

PRODUKSI RATA-RATA (AP) = 𝑻𝑷

𝑿

Keterangan :

X = Masukan atau Input



CONTOH KASUS 3

Produksi marginal PT. PakaBopa ditunjukkan oleh persamaan MP = 75X2 + 50X

+ 10. Bentuklah persamaan produksi total dan produksi rata-ratanya jika k = 0?

Berapakah besarnya produksi total dan produksi rata-rata jika masukan yang

digunakan sebesar 10 unit? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MP = 75X2 + 50X + 10

k = 0

X = 10

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 10?

Jawab :

TP = ∫ MP dX

TP = ∫ 75X2 + 50X + 10 dX

TP = 75𝑋3

3 +

50𝑋2

2 + 10X + k

TP = 25X3 + 25X

2 + 10X

AP = 𝑇𝑃

𝑥

AP = 25𝑋3+ 25𝑋2+10𝑋

𝑥

AP = 25X2 + 25X + 10

Jika X = 10, maka :

TP = 25X3 + 25X

2 + 10X

TP = 25(10)3 + 25(10)

2 + 10(10)

TP = 25(1000) + 25(100) + 100

TP = 25.000 + 2.500 + 100

TP = 27.600



AP = 𝑇𝑃

𝑋

AP = 27.600

10

AP = 2.760

Analisis :

Apabila MP = 75X2 + 50X + 10 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produksi

total dan fungsi produksi rata-ratanya adalah TP = 25X3 + 25X

2 + 10X dan AP =

25X2 + 25X + 10. Pada saat kuantitasnya sebesar 10 unit, maka produksi total

sebesar 27.600 unit dan produksi rata-ratanya sebesar 2.760 unit.








3. Pilih Fungsi Produksi

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi




Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Kemudian

masukkan persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai X seperti yang ada di




Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi

3.4 FUNGSI UTILITAS

UTILITAS TOTAL (TU) = ∫ MU dQ = ∫ f (Q) dQ

CONTOH KASUS 4

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 18Q2 + 18Q + 18 dan

konstantanya sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 18?

Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MU = 18Q2 + 18Q + 18

k = 0



Q = 18

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 18?

Jawab :

TU = ∫ MU dQ

TU = ∫18Q2 + 18Q + 18 dQ

TU = 18𝑄3

3 +

18𝑄2

2 + 18 + k

TU = 6Q3 + 9Q

2 + 18Q

Jika Q = 18, maka :

TU = 6Q3 + 9Q

2 + 18Q

TU = 6(18)3 + 9(18)

2 + 18(18)

TU = 6(5.832) + 9(324) + 324

TU = 34.992 + 2.916 + 324

TU = 38.232

Analisis:

Apabila MU = 18Q2 + 18Q + 18 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas

total TU = 6Q3 + 9Q

2 + 18Q. Pada saat kuantitasnya sebesar 18 unit, maka

utilitas total sebesar 38.232.

3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional

terhadap pendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + bY



Karena, Y = C + S

Maka, S = -a + ( 1 – b )Y

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan

tabungan (S) adalah integral dari MPS.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a

S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a

Keterangan :

MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya

perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang

mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

k = a = Autonomous Consumption = Konsumsi otonom menunjukkan besarnya

konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya

tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

Dimana :

0,5 < MPC < 1



MPC + MPS = 1

MPC < 1 = Menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan

digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu

sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > 0,5 = Menunjukkan lebih dari 50% pendapatan yang diperoleh

digunakan untuk konsumsi.

CONTOH KASUS 5

Carilah persamaan konsumsi dan persamaan tabungan masyarakat sebuah Negara

jika diketahui konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar dan MPC = 0,70. Berapa

besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan nasional Negara

sebesar 555 milyar? Analisislah!

Penyelesaian:

Diketahui : MPC = 0,70

k = a = 50 milyar

Y = 555 milyar

Ditanya : fungsi (C) dan fungsi (S) ?

Besar C dan S ?

Jawab :

MPC + MPS = 1

MPS = 1 – 0,70



MPS = 0,30

Fungsi (C) f(Y) = ∫ MPC dY

f(Y) = ∫ 0,70 dY

f(Y) = 0,70Y + k

f(Y) = 0,70Y + 50

Fungsi (S) f(Y) = ∫ MPS dY

f(Y) = ∫ 0,30 dY

f(Y) = 0,30Y – k

f(Y) = 0,30Y – 50

Jika Y = 555, maka :

C = 0,70Y + k

= 0,70 (555) + 50

= 388,5 + 50

= 438,5 milyar

S = 0,30Y – k

= 0,30 (555) – 50

= 166,5 – 50

= 116,5 milyar

Analisis :

Apabila MPC = 0,70 dan konsumsi otonomnya sebesar 50 milyar, maka

persamaan konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,70Y + 50 dan persamaan

tabungannya adalah S = 0,30Y – 50. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar



555 maka konsumsi dan tabungan masyarakat Negara sebesar Rp. 438,5 dan Rp.

116,5 milyar.

Langkah-langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math







3. Pilih Fungsi Konsumsi

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi



4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 50,

kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,70. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi

5. Masuk nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung

nilai konsumsinya, klik Calculate.



Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi

6. Masukkan nilai k atau a sebesar -50 dan MPS sebesar 0,30. Kemudian

masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 555 pada kolom Y untuk menghitung

nilai tabungannya, klik Calculate.

Gambar 2.21 Tampilan Menu Output Data Fungsi Tabungan

MATEMATIKA EKONOMI 2 INTEGRAL TERTENTU


INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai

variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu (Dumairy, 2012). Integral

tertentu juga memiliki penafsiran sebagai suatu metode untuk menentukan

luas daerah di bawah suatu kurva dengan batasan-batasan yang sudah

ditentukan.

Rumus integral tertentu :

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Keterangan :

a = batas bawah

b = batas atas

dimana a < b

Contoh :

∫ 8x2+ 8x + 8 dx = …

5

1

Penyelesaian

∫ 8x2 + 8x + 8 dx = [

8

3x3 +

8

2x2 + 8x]

1

55

1



∫ 8x2 + 8x + 8

5

1

= [8

3(5)

3 + 4(5)

2 + 8(5)] - [

8

3(1)

3 + 4(1)

2 + 8(1)]

∫ 8x2 + 8x + 8

5

1

= [8

3(125) + 4(25) + 8(5)] - [

8

3(1) + 4(1) + 8(1)]

∫ 8x2 + 8x + 8

5

1

= [1000

3 + 100 + 40] - [

8

3 + 4 + 8]

∫ 8x2 + 8x + 8

5

1

= 473,33 - 14,67

∫ 8x2 + 8x + 8

5

1

= 458,66


Integral tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan

konsumen (surplus konsumen) dan besarnya keuntungan produsen (surplus

produsen).

2.1 SURPLUS KONSUMEN

Surplus konsumen (Consumers’ Surplus) mencerminkan suatu

keuntungan lebih atas surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu

berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang (Dumairy, 2012).

Besarnya surplus konsumen (CS) ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva

permintaan (P = f(Q)) tetapi di atas tingkat harga pasar (Pe).

Gambar 3.1 Kurva Surplus Konsumen

Q

P

0 Qe

Pe (Qe, Pe)

P

Q

Surplus Konsumen (CS)

P = f(Q)



Rumus surplus konsumen :

𝐶𝑆 = ∫ 𝑓(𝑄) 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒

𝑄𝑒

0

atau

𝐶𝑆 = ∫ 𝑓(𝑃) 𝑑𝑃𝑃

𝑃𝑒

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar

Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar

P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0

CONTOH KASUS 1

Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 80 – 5Q dan fungsi penawaran

Ps = 8 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah dan buat

kurvanya!

Penyelesaian:

Diketahui : Pd = 80 – 5Q

Ps = 8 + Q

Ditanya : CS = ?

Jawab :

Catatan:

Untuk mencari surplus konsumen

maka menggunakan fungsi

permintaan.



P = 80 – 5Q

P = 80 – 5(12)

Pe = 20

CARA 1

CS =∫ f(Q) dQ - QePe

Qe

0

CS =∫ (80 - 5Q) dQ - (12)(20)

12

0

CS = [80Q - 2,5Q2]

0

12 - 240

CS = [80(12) - 2,5(12)2] - [80(0) - 2,5(0)2] - 240

CS = 600 - 0 - 240

CS = 360

CARA 2

Pd = 80 – 5Q 5Q = 80 – P

Qd = 16 – 0,2P

Jika Q = 0 ; P = 80

Pd = Ps

80 – 5Q = 8 + Q

-5Q - Q = 8 – 80

-6Q = -72

Qe = 12



CS =∫ f(P) dP

P

Pe

CS=∫ (16 - 0,2P) dP

80

20

CS = [16P - 0,1P2]20

80

CS = [16(80) - 0,1(80)2] - [16(20) - 0,1(20)2]

CS = 640 - 280

CS = 360

Analisis:

Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 360 karena

konsumen dapat membeli dengan harga Rp 20 padahal konsumen sanggup

membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 20.

Langkah membuat kurva

1. Pd = 80 – 5Q

Misalkan P = 0 Q = 16

Misalkan Q = 0 P = 80

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 12) dan harga

keseimbangan pasar (Pe = 20)

3. Untuk area surplus konsumen dapat dihitung dengan rumus luas segitiga

(L = 1

2 a.t).



Gambar 3.2 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 1


CARA 1

1. Buka software EC-Math, pilih materi Integral Tertentu, lalu pilih Surplus

Konsumen 1.

Gambar 3.3 Tampilan Awal Integral Tertentu

Q

P

12 16

20

80 L =

1

2 a.t

L = 1

2 12.60

L = 360

Area Surplus Konsumen (CS) :



2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi permintaan),

pilih 1 variabel.

Gambar 3.4 Tampilan Surplus Konsumen 1

3. Masukkan data-data sesuai pada soal, jika sudah klik Hitung maka akan

muncul tampilan jawaban.

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Surplus Konsumen 1



CARA 2


Konsumen 2.



pilih 1 variabel.







CONTOH KASUS 2

Jika fungsi permintaan P = 58 – 8Q dan tingkat kuantitas keseimbangan

pasarnya sebesar 5, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara! Analisislah

dan buat kurvanya!

Penyelesaian:

Diketahui : P = 58 – 8Q

Qe = 5

Ditanya : CS = ?

Jawab :

P = 58 – 8Q



P = 58 – 8(5)

Pe = 18

CARA 1

CS =∫ f(Q) dQ - QePe

Qe

0

CS =∫ (58 - 8Q) dQ - (5)(18)

5

0

CS = [58Q - 4Q2]

0

5 - 90

CS = [58(5) - 4(5)2] - [58(0) - 4(0)2] - 90

CS = 190 - 0 - 90

CS = 100

CARA 2

P = 58 – 8Q 8Q = 58 – P

Q = 7,25 – 0,125P

Jika Q = 0 ; P = 58

CS =∫ f(P) dP

P

Pe

CS=∫ (7,25 - 0,125P) dP

58

18

CS = [7,25P - 0,0625P2]18

58



CS = [7,25(58) - 0,0625(58)2] - [7,25(18) - 0,0625(18)2]

CS = 210,25 - 110,25

CS = 100

Analisis:

Jadi surplus yang diterima konsumen tersebut sebesar Rp 100 karena

konsumen dapat membeli dengan harga Rp 18 padahal konsumen sanggup

membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan sebesar Rp 18.


1. P = 58 – 8Q

Misalkan P = 0 Q = 7,25





(L = 1

2 a.t).

Gambar 3.9 Kurva Surplus Konsumen Contoh Kasus 2

Q

P

5 7,25

18

58 L =

1

2 a.t

L = 1

2 5.40

L = 100

Area Surplus Konsumen (CS) :




CARA 1


Konsumen 1.



pilih 1 variabel.







CARA 2


Produsen 1.





pilih 1 variabel.







2.2 SURPLUS PRODUSEN

` Surplus produsen (Produsers’ Surplus) mencerminkan suatu

keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu

berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya

(Dumairy, 2012). Besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di

atas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe).

Gambar 3.16 Kurva Surplus Produsen

Rumus surplus produsen :

𝑃𝑆 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 −∫ 𝑓(𝑄) 𝑑𝑄𝑄𝑒

0

atau

𝑃𝑆 = ∫ 𝑓(𝑃) 𝑑𝑃𝑃𝑒

𝑃

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan pasar

Pe = Tingkat harga keseimbangan pasar

Q

P

0 Qe

Pe

(Qe, Pe)

Surplus Produsen (PS)

P = f(Q)

P

Catatan:

Untuk mencari surplus produsen

maka menggunakan fungsi

penawaran.



P = Tingkat harga pasar pada saat Q = 0

CONTOH KASUS 3

Diketahui fungsi penawaran suatu barang yang dijual PT Pledis adalah Ps = 51

+ Q dan fungsi permintaannya Pd = 87 – Q. Hitunglah surplus PT Pledis

sebagai produsen dengan menggunakan dua cara! Analisis dan buatlah

kurvanya!

Penyelesaian:

Diketahui : Pd = 87 – Q

Ps = 51 + Q

Ditanya : PS = ?

Jawab :

P = 51 + Q

P = 51 + 18

Pe = 69

CARA 1

PS = QePe - ∫ f(Q) dQ

Qe

0

PS = (69)(18) - ∫ (51 + Q) dQ

18

0

Pd = Ps

87 – Q = 51 + Q

-Q - Q = 51 – 87

-2Q = -36

Qe = 18



PS = 1242 - [51Q + 0,5Q2]

0

18

PS = 1242 - [51(18) + 0,5(18)2] - [51(0) - 0,5(0)2]

PS = 1242 - 1080 - 0

PS = 162

CARA 2

Ps = 51 + Q -Q = 51– P

Qs = -51 + P

Jika Q = 0 ; P = 51

PS =∫ f(P) dP

Pe

P

PS=∫ (-51 + P) dP

69

51

PS = [-51P + 0,5P2]51

69

PS = [-51(69) + 0,5(69)2] - [-51(51) + 0,5(51)2]

PS = -1.138,5 - (-1.300,5)

PS = 162

Analisis:

Jadi surplus yang diperoleh PT Pledis adalah sebesar Rp 162 karena PT Pledis

dapat menjual barang dengan harga Rp 69 padahal sebenarnya perusahaan



tersebut bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga

keseimbangan sebesar Rp 69.


1. Ps = 51 + Q

Misalkan P = 0 Q = -51





(L = 1

2 a.t).

Gambar 3.17 Kurva Surplus Produsen Contoh Kasus 3


CARA 1


Produsen 1.

Q

P

0 18 -51

51

L = 1

2 a.t

L = 1

2 18.18

L = 162

Area Surplus Produsen (PS) :

69

Ps = 51 + Q




4. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran),

pilih 1 variabel.

Gambar 3.19 Tampilan Surplus Produsen 1





Gambar 3.20 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 1

CARA 2


Produsen 2.




2. Pilih jumlah variabel Q yang tertera pada soal (lihat fungsi penawaran),

pilih 1 variabel.

Gambar 3.22 Tampilan Surplus Produsen 2



Gambar 3.23 Hasil Perhitungan Surplus Produsen 2

MATEMATIKA EKONOMI 2 TRANSENDENTAL


TRANSENDENTAL

1. KONSEP DASAR TRANSENDENTAL

Pada dasarnya fungsi diklasifikasikan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan

non aljabar. Fungsi non aljabar biasa disebut juga sebagai fungsi transendental

(transcendent function). Disebut fungsi transendental karena fungsi ini adalah

fungsi yang “melampaui” fungsi aljabar, dengan kata lain tidak dapat dinyatakan

dalam istilah aljabar. Yang termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi

eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, dan fungsi hiperbolik.

Penemu dari fungsi transendental dan fungsi yang terdapat dalam transendental

adalah Leonhard Euler.

Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat

adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu

konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana

konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk

menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 72 = 49, ini berarti eksponen 2

sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat

ditulis 7Log 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel

bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x.

Fungsi trigonometrik, trigonometri diambil dari bahasa yunani, trigonos

dan metron. Trigonos berarti segitiga dan metron berarti ukuran sehingga

trigonometri dikenal sebagai ilmu ukur segitiga. Contoh dari fungsi

trigonometrik y = sin x, y = cos 2x



Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan

fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun logaritmik keduanya

memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balilk

(inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.

1.1 FUNGSI EKSPONENSIAL

Fungsi eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat

adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu

konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana

konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebas.

Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :

Dimana : n > 0

Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :

Hukum – hukum Eksponensial, antara lain :

1. 𝑎0 = 1

2. 𝑎−𝑘 = 1

𝑎𝑘

3. 𝑎1/𝑞 = √𝑎𝑞

4. 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

5. 𝑎𝑚 / 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

6. (𝑎𝑚)𝑘 = 𝑎𝑚𝑘

y = 𝒏𝒙

y = 𝒏𝒆𝒌𝒙+ c Dimana :

n ≠ 0

e = 2,71828

k,c = konstanta

k



Berikut salah satu contoh soal dari hukum – hukum eksponensial :

1. Z = 50

jawab :

Z = 50

Z = 1

2. Z = 5−5

jawab :

Z = 1

55

Z = 0,00032

3. Z = 71/5

jawab :

Z = √75

Z = 1,476

4. Z = 81. 85

jawab :

Z = 81+5

Z = 86

Z = 262.144

5. Z = 75 / 71

jawab :

Z = 75−1

Z = 74

Z = 2.401

6. Z = (55)1

jawab :

Z = 55𝑥1

Z = 3.125



Contoh soal fungsi eksponensial dengan fungsi yang umum :

Tentukan titik potong kurva eksponensial, y = 𝑒0,15𝑥 − 5, pada masing – masing

sumbu dan hitunglah f(7)!

jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

𝑒0,15𝑥 − 5 = 0

𝑒0,15𝑥 = 5

Ln 𝑒0,15𝑥 = Ln 5

0,15x Ln e = Ln 5

0,15x = 1,609

x = 10,726

Titik potong nya ( 10,726 ; 0 )

Ket :

Pada sumbu y ; x = 0

y = 𝑒0,15𝑥 − 5

y = 𝑒0,15(0) − 5

y = 𝑒0 – 5

y = 1 - 5

Ln e = 1

Ln 1 = 0



y = - 4

Titik Potongnya (0 ; -4)

Pada x = 7

y = 𝑒0,15𝑥 − 5

y = 𝑒0,15(7) − 5

y = 𝑒1,05 – 5

y = 2,718281,05 − 5

y = 2,8576 – 5

y = -2,1423

Titik potongnya ( 4 ; -2,1423 )

1.2 FUNGSI LOGARITMIK

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk

menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 72 = 49, ini berarti eksponen 2

sebagai logaritma dari 49 dengan bilangan pokok 7. Dan pernyataan ini dapat

ditulis Log7 49 = 2. Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel

bebasnya merupakan logaritma, seperti y = a log x atau y = a + b log x.

Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling sederhana :

Dimana : n > 0

n ± 1

Bentuk Fungsi Logaritmik yang paling umum adalah :

y = 𝒏𝒍𝒐𝒈𝒙



Dimana : x > -1

Hukum – hukum logaritma, antara lain:

1. log a.b = log a + log b

2. log a/b = log a – log b

3. alog b = c, maka 𝑎𝑐 = b

4. alog a = 1

5. alog 𝑥𝑛 = n

alog x

6. alog 1 = 0

7. alog b.

blog c =

alog c

Contoh soal hukum logaritma :

1. 5log 5

jawab :

5log 5= 1

2. 8log 1

jawab :

8log 1= 0

3. log (100)(1.000)

jawab :

log (100)(1.000) = log 100 + log 1.000

y = a Ln ( 1 + x ) + b



= 2 + 3

= 5

Contoh soal logaritmik dalam bentuk fungsi yang umum :

Tentukan titik potong kurva logaritmik, y = -1,5 Ln ( 1 + x ) – 1, pada masing-

masing sumbu dan hitunglah f(5) ?

jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

-1,5 Ln (1 + x) – 1 = 0

-1,5 Ln ( 1 + x) = 1

Ln (1 + x) = -0,67

1 + x = 𝑒−0,67

1 + x = 0,5117

x = -0,4883

Titik potongnya (-0,4883 ; 0)

Pada sumbu y ; x = 0

y = -1,5 Ln (1 + x) – 1

y = -1,5 Ln (1 + 0) – 1

y = -1,5 Ln 1 – 1

y = -1,5 . 0 – 1

y = -1

Titik potongnya ( 0 ; -1)

Untuk x = 5



y = -1,5 Ln (1 + x) – 1

y = -1,5 Ln (1 + 5) – 1

y = -1,5 Ln 6 – 1

y = -2,6876 – 1

y = -3,6876

Titik potongnya ( 5 ; -3,6876 )


Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relavan ditelaah dan

diimplementasikan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya

model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang

menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik antara lain:

2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK

Bunga majemuk merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model bunga

majemuk digunakan untuk menghitung jumlah nilai dimasa yang akan datang

ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, misalnya besarnya pembelian

kredit dimasa yang akan datang berdasarkan tingkat suku bunga nya, dan jumlah

investasi yang akan diterima dimasa yang akan datang dengan diketahui jumlah

nilai sekarang dan tingkat suku bunga nya.

Jika modal awal atau (Present) dibunga majemukkan secara tahunan pada

suku bunga (interest) selama n tahun, maka rumus yang digunakan:

Fn = P (1 + i)𝒏



Jika bunga dimajemukan lebih dari satu kali (misal setiap triwulan,

caturwulan, atau semester) dalam setahun, maka menggunakan rumus:

Keterangan rumus:

Fn : Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun

P : Jumlah saldo sekarang atau awalnya

i : Tingkat suku bunga pertahun

m : Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

n : Jumlah tahun

Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat ( dependent variable) dan n

sebagai variabel bebas ( independent variable). Dengan demikian, prinsip-prinsip

penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan pada model ini.

Model Bunga Majemuk Sinambung

Apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m

sangat besar atau bunga diperhitungkan secara terus menerus) maka untuk

mencari jumlah nilai dimasa yang akan datang Fn adalah :

Dimana e = 2,71828

Fn = P (1 + 𝒊

𝒎)𝒎.𝒏

Fn ≈ P.𝒆𝒊.𝒏



Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continous

compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam

seringkali dipraktekan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah

darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang

yang dipinjamkannya secara harian (m = 360).

CONTOH KASUS 1

Bu Nisa akan menyekolahkan anak nya di jenjang perkuliahan, untuk membayar

setoran pertama bu Nisa memutuskan untuk meminjam uang pada Bank.

Diketahui bu Nisa meminjam uang sebesar Rp. 10.555.888-, untuk jangka waktu

5 tahun dengan tingkat suku bunga 5% pertahun. Berdasarkan data tersebut maka

a. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh

tempo, jika suku bunga diperhitungkan per caturwulan!

b. Hitunglah jumlah uang yang harus dikembalikan bu Nisa pada saat jatuh

tempo, jika suku bunga diperhitungkan per jam!

Penyelesaian :

Diketahui : P = Rp. 10.555.888 i = 0,05

n = 5 m = 3

Ditanya : F5 per caturwulan ?

F5 per jam ?

Jawab :

a. Per caturwulan (menggunakan rumus bunga majemuk biasa)

1) Tanpa menggunakan logaritma

Fn = P (1 + 𝑖

𝑚 )𝑛.𝑚

F5 = 10.555.888 (1 + 0,05

3 )15

F5 = 10.555.888 (1,017)15



F5 = 10.555.888 (1,2876)

F5 = 13.591.761

2) Dengan menggunakan logaritma

F5 = 10.555.888 (1,017)15

Log F5 = Log 10.555.888 + 15 log 1,017

Log F5 = 7,0234 + 0,1098

Log F5 = 7,1332

F5 = 13.589.391

b. Per jam (menggunakan rumus bunga majemuk sinambung)

1) Tanpa menggunakan logaritma natural

Fn = P . 𝑒𝑖.𝑛

F5 = 10.555.888 x 𝑒0,25

F5 = 10.555.888 x 1,2840

F5 = 13.553.760

2) Dengan menggunakan logaritma natural

F5 = 10.555.888 x 𝑒0,25

Ln F5 = Ln 10.555.888 + 0,25 Ln e

Ln F5 = 16,1721 + 0,25

Ln F5 = 16,4221

F5 = 13.552.749

Analisis:

Maka jumlah uang yang harus dikembalikan oleh bu Nisa saat jatuh tempo

apabila pembayaran bunga dihitung per caturwulan adalah sebesar Rp.

13.391.761,-. Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah

uang yang harus dikembalikan bu Nisa saat jatuh tempo adalah sebesar Rp.

13.553.760.



Langkah – Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math:

1. Buka software Ec-Math.

2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental.

3. Pilih Model Bunga Majemuk, kemudian masukan data yang ada pada soal ke

software. Setelah itu klik hasil.

Gambar 4.1 Hasil Perhitungan Model Bunga Majemuk

Catatan:

Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software Ec-Math tidak

persis sama karena pada perhitungan secara manual menggunakan pembulatan 4

angka dibelakang koma, sedangkan pada software Ec-Math tidak menggunakan

pembulatan.

2.2 MODEL PERTUMBUHAN

Model pertumbuhan merupakan bentuk dari fungsi eksponensial. Model ini

dapat digunakan untuk menghitung pertumbuhan beberapa variabel, seperti



penduduk dan makhluk hidup lainnya. Namun, kali ini hanya variabel

pertumbuhan penduduk yang akan dibahas. Rumus yang digunakan adalah :

Dimana R didapatkan dengan cara

Keterangan rumus:

Pt : Jumlah penduduk pada tahun ke-t

t : Jumlah tahun

P1 : Jumlah penduduk pada tahun pertama (tahun basis)

r : Tingkat pertumbuhan

R : Tingkat pertumbuhan setelah ditambah 100% pertumbuhan pada tahun basis

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam

variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan,

maka persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi :

Dimana R didapatkan dengan cara

Keterangan rumus :

N : Variabel yang sedang diamati

r : Persentase pertumbuhan per satuan watu

t : Indeks tahun

Pt = P1. 𝑹𝒕−𝟏 R = 1 + r

Nt = N1. 𝑹𝒕−𝟏 R = 1 + r



CONTOH KASUS 2

Diketahui jumlah Anggota yang menjadi pengurus Bank Alpha di kota Depok

pada tahun 2011 berjumlah 578 anggota, diketahui dengan tingkat pertumbuhan

5% per tahun. Berdasarkan data tersebut hitunglah jumlah anggota Bank Alpha

di kota Depok pada tahun 2017!

Penyelesaian :

Diketahui : N1 = 578

r = 0,05

R = 1 + 0,05 = 1,05

t = 7

Ditanya : N7 ?

Jawab :


Nt = N1 x 𝑅𝑡−1

N7 = 578 x 1,056

N7 = 578 x 1,3401

N7 = 774 orang


Nt = N1 x 𝑅𝑡−1

N7 = 578 x 1,056

Log N7 = log 578 + 6 log 1,05

Log N7 = 2,7619 + 0,1271

Log N7 = 2,889

N7 = 774 orang



Analisis:

Maka dalam jangka waktu 7 tahun ke depan diperkirakan jumlah anggota Bank

Alpha akan meningkat menjadi 774 orang, dengan jumlah peningkatan sebanyak

196 orang.


1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental

2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental

3. Pilih menu Model Pertumbuhan, kemudian masukan angka yang terdapat pada

soal ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya.

Gambar 4.2 Hasil Perhitungan Model Pertumbuhan

Catatan:

Dalam mencari jumlah pertumbuhan makhluk hidup, hasil yang ditulis sebagai

jawaban adalah angka awal saja tanpa pembulatan, angka dibelakang koma



diabaikan karena hal yang berhubungan dengan jiwa seseorang tidak dapat

dibulatkan ke atas.

2.3 KURVA GOMPERTZ

Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara

eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya

sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan. Rumus yang

digunakan dalam kurva gompertz adalah sebagai berikut :

Keterangan : N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati

c = Batas jenuh Pertumbuhan

a = Proporsi pertumbuhan awal (𝑋

𝐶)

x = Pertumbuhan awal

r = Tingkat pertumbuhan rata – rata

t = Indeks waktu

CONTOH KASUS 3

PT. Sinar Kencana adalah perusahaan yang memproduksi sepatu, yang setiap

tahunnya mengalami peningkatan penjualan sebesar 55%, dengan penjualan awal

sebesar 758 unit. Jika batas jenuh penjualan sebesar 1.777 unit, berapakah jumlah

produk yang akan terjual setelah perusahaan beroperasi selama 8 tahun?

Penyelesaian :

N = c. 𝒂𝒓𝒕



Diketahui : c = 1.777 x = 758 r = 0,55

a = 758

1.777 = 0,4265 t = 8

Ditanya : N8 ?

Jawab :


N = c x 𝑎𝑟𝑡

N = 1.777 x 0,42650,558

N = 1.777 x 0,42650,008

N = 1.777 x 0,9931892562

N = 1.764


N = 1.777 x 0,42650,558

N = 1.777 x 0,42650,008

Log N = Log 1.777 + 0,008 Log 0,4265

Log N = 3,249687428 + 0,008 ( -0,370080964)

Log N = 3,249687428 + ( -0,002960647)

Log N = 3,246726958

N = 1.764

Analisis :

Jadi setelah beroperasi 8 tahun, PT. Sinar Kencana akan menjual 1.764 unit

sepatu jika penjualan awalnya sebesar 758 unit dengan tingkat pertumbuhan 55%

setiap tahun, dan batas jenuh penjualan 1.777.


1. Buka software Ec-Math, kemudian pilih materi Transedental



2. Pilih menu Transedental, kemudian klik Transedental

3. Pilih menu Kurva Gompertz, kemudian masukan angka yang terdapat pada soal

ke dalam software, klik hasil untuk melihat jawaban nya.

Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Kurva Gompertz

2.4 KURVA BELAJAR

Kurva belajar merupakan bagian penerapan ekonomi dalam transendental.

Model ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk

menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan

variabel waktu.

a. Bentuk Dasar

y = m - s𝒆−𝒌𝒙



Dimana : m = Batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai k,m,s > 0

b. Perilaku Produksi

Keterangan rumus :

P : Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu

Pm : Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu

Ps : Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t=0)

t : Indeks waktu

r : Tingkat pertumbuhan produksi

c. Perilaku Biaya

Keterangan rumus :

C : Biaya total per satuan waktu

Cm : Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)

per satuan waktu

Cs : Sisa anggaran pada permulaan periode ( pada t = 0)

t : Indeks waktu

r : Persentase kenaikan biaya per satuan waktu

CONTOH KASUS 4

Koperasi karyawan PT. Indosap atau KOPINDOSAP mampu menghasilkan

produksi sebesar 75% dari kapasitas maksimum saat pertama kali berproduksi.

Kepala Bagian memberikan keyakinan bahwa kegiatan produksinya dapat

P = Pm – Ps. 𝒆−𝒓.𝒕

C = Cm – Cs. 𝒆−𝒓.𝒕



ditingkatkan 15% setiap bulan. Jika kapasitas produksi maksimum yang

diperkenanan KOPINDOSAP sejumlah 1.555 perbulan, hitunglah besarnya

jumlah produksi perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan!

Penyelesaian :

Diketahui : Pm = 1.555

Ps = 25% ( 1.555) = 388,25

r = 15% = 0,15

t = 5

Ditanya : P5 ?

Jawab :


P5 = Pm – Ps x 𝑒−𝑟.𝑡

P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,15.5

P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,75

P5 = 1.555 – 388 ( 0,4723)

P5 = 1.555 – 183,2524

P5 = 1.371,7476 ≈ 1.371

2) Dengan menggunakan logaritma natural

P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,15.5

P5 = 1.555 – 388 x 𝑒−0,75

Ln P5 = 1.555 – 388 (-0,75 ln e )

Ln P5 = 1.555 – 388 ( -0,75 x 1 )

Ln P5 = 1.555 – 388 ( anti ln -0,75 )

Ln P5 = 1.555 – 388 (0,4723)

P5 = 1555 – 183,2524

P5 = 1.371,7476 ≈ 1.371



Analisis:

Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar 1.555 unit perbulan dan

peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang dihasilkan

perusahaan setelah beroperasi selama 5 bulan adalah 1.371 unit.


1. Buka software Ec-Math

2. Pilih menu Transedental, klik Transedental kemudian pilih Model Kurva Belajar

3. Pilih mencari P, kemudian masukkan angka yang diketahui pada soal ke dalam

software klik hasil untuk melihat jawaban.

Gambar 4.4 Hasil Perhitungan Kurva Belajar

Catatan:

Untuk model kurva belajar dalam mencari unit produksi, maka hasil akhir nya

tidak dilakukan pembulatan angka, karena unit produksi berkaitan dengan benda

yang hanya dihitung barang yang sudah jadi saja.

MATEMATIKA EKONOMI 2 DAFTAR PUSTAKA


DAFTAR PUSTAKA

A-Arif, M. Nur Rianto. 2013. Matematika Terapan Untuk Ekonomi. Jakarta:

Pustaka Setia.

Dowling, Edward T. Matematika Untuk Ekonomi. Erlangga.

Dumairy. 2012. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta:

BPFE-Yogyakarta.

Kalangi, Josep Bintang. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba

Empat.

Kustituanto, Bambang. 1994. Seri Diktat Kuliah, Matematika Ekonomi. Jakarta:

Penerbit Gunadarma.

Lab Manajemen Dasar. Modul Matematika Ekonomi 2 ATA 2016/2017.

Nugroho, Yulianto, Ferdinand D. Saragih, dkk. 2015. Matematika Ekonomi dan

Bisnis. Rajawali Press.

Sessu, A. 2014. Pengantar Matematika Ekonomi. Jakarta: Bumi Aksara.

www.mathworld.wolfram.com/TranscendentalFunction.html

nama : kelas : npm : tutor : asbar - ma … · modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu...

Documents