Projekt badawczy:„Czy istnieje prosta zależność między liczbą ścian S,

krawędzi K i wierzchołków W wielościanu lub związek między jego kątami i S, K, W ?”.

W naszej prezentacji będziemy omawiać wyniku naszego projektu badawczego dotyczącego wielościanów i ich zastosowaniu w życiu codziennym i różnych dziedzinach nauki…

Na początek zbadamy jak obliczyć sumie miar n-kąta wypukłego.

Wielościan w przestrzeni jest analogiczny do wielokąta na płaszczyźnie. Wiadomo, na przykład, że suma kątów trójkąta jest jednakowa dla wszystkich trójkątów i wynosi , niezależnie od ich wielkości i kształtu.

 Suma kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego wynosi . Z dowolnego wierzchołka wielokąta prowadzimy przekątne. W ten sposób dzielimy wielokąt na trójkąty.

Suma miar kątów tych trójkątów jest równa sumie miar kątów wielokąta. Mamy więc:

180221 nn

Teraz zdefiniujemy kąt dwuścienny:

Kąt dwuścienny . Dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi dzielą przestrzeń na dwie części. Każdą z tych części nazywamy kątem dwuściennym. Rozważane półpłaszczyzny nazywamy ścianami kąta dwuściennego. Prostą będącą ich częścią wspólną nazywaną krawędzią kąta dwuściennego. 

 

Czy suma kątów dwuściennych czworościanu jest taka sama dla każdego czworościanu?

Rozpatrujemy szczególne czworościany.W czworościanie foremnym mamy 6 jednakowych kątów dwuściennych.Miara α każdego z nich jest taka, że :

W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

o nieskończenie dużej wysokości mamy trzy kąty dwuścienne o mierze (między ścianą boczną i podstawą) oraz trzy kąty dwuścienne o mierze (między dwiema ścianami bocznymi), czyli

W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o zerowej wysokości (spłaszczonym ostrosłupie) mamy trzy kąty dwuścienne o mierze każdy, oraz trzy kąty dwuścienne o mierze każdy, czyli

Wniosek: suma miar kątów dwuściennych czworościanu (i ogólnie: wielościanu) nie jest niezależna od kształtu czworościanu (wielościanu).

Podczas projektu zasatanawiałyśmy się także o istocie kąta bryłowego:

Kąt bryłowy –  część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię stożkową, czyli wszystkie półproste wychodzące z pewnego ustalonego punktu, zwanego wierzchołkiem, przechodzące przez pewną ustaloną krzywą zamkniętą.

Miarą kąta bryłowego jest pole powierzchni części sfery o jednostkowym promieniu wyciętej przez powierzchnię stożkową o wierzchołku w jej środku. Miara kąta bryłowego przyjmuje więc wartości z przedziału (0,4π).

Stwierdziłyśmy, że suma  miar kątów bryłowych wielościanu nie jest niezależna od kształtu wielościanu.

.

Na wielu przykładach wykazałyśmy jaka jest różnica między iloczynem wierzchołków i kątem pełnym, a sumą kątów płaskich wszystkich ścian. Doszłyśmy do bardzo ciekawych wniosków i przedstawiłyśmy je w poniższej tabeli…

Wniosek:Dla każdego ze zbadanych przez nas wielościanów zachodzi

Możemy więc postawić hipotezę: Hipoteza:Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi: 

Udało nam się ustalić także jaka jest suma kątów płaskich wszystkich ścian dowolnego wielościanu mającego K krawędzi i S ścian. Przedstawimy dokonane przez nas obliczenia.

Niech będzie szukaną sumą miar kątów wewnętrznych wszystkich ścian danego wielościanu, a ,K1 , K2…Ks, niech oznaczają odpowiednio liczbę krawędzi zawartych w ścianie pierwszej, drugiej, …, ostatniej. Przy tych oznaczeniach .

Biorąc pod uwagę to, że każda krawędź zawarta jest w dwóch ścianach, mamy : K1 + K2 +… +Ks = 2K

Ostatecznie

Kolejnym etapem rozważań było ustalenie związku między liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi dowolnego wielościanu.

Porównując dwa poprzednio otrzymane wyniki Oraz

mamy:

czyli po przekształceniu: Możemy więc postawić hipotezę: Hipoteza:Dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzi:

 .

Związek , gdzie K oznacza liczbę krawędzi dowolnego wielościanu, a S liczbę jego ścian został już przez nas ściśle wykazany, zaś równość zostanie udowodniona, o ile uda się nam ogólnym rozumowaniem wykazać, że dla każdego wielościanu zachodzi

W oznacza tu liczbę wierzchołków wielościanu, zaś to suma wszystkich kątów płaskich wszystkich ścian tego wielościanu.

Jak można wykazać, że dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi

Możesz założyć, że rozważany wielościan zmienia w sposób ciągły swój kształt, tak, że liczba ścian, krawędzi i wierzchołków nie ulega zmianie i podany związek wykazać dla przekształconego wielościanu.

Wielościan przekształcamy tak, aby wyznaczenie w zależności od W było najłatwiejsze. Najwygodniej to zrobić dla zdegenerowanego, „spłaszczonego” wielościanu. Zakładamy, że jedna ze ścian została rozciągnięta na tyle, że rzuty prostokątne pozostałych ścian na podstawę są w niej zawarte. Ścianę tę nazwijmy umownie podstawą, a liczbę jej boków oznaczmy przez b). Po zrzutowaniu S-1 ścian na podstawę otrzymujemy spłaszczony wielościan, który możemy uważać za sumę dwóch wielościennych płytek: dolnej – jednolitej i górnej – składającej się z S-1 wielokątów.

Oto przykład wielościanu, na którego przykładzie, omówimy rozwiązanie zadania.

Suma składa się z trzech składników:- z sumy kątów dolnej płytki („rozciągniętej podstawy”)

równej - z identycznej sumy kątów brzegu płytki górnej,- z sumy kątów wnętrza płytki górnej, które zawiera W- b

wierzchołków. Suma ta jest więc równa

Po dodaniu, otrzymujemy: Tym samym udowodniona została

również hipoteza:

Następnie wykazałyśmy ,że wielościan wypukły nie może mieć dokładnie 7 krawędzi.

Wykorzystujemy wzór Eulera: Niech K=7 , wówczas W+S=9 . Musi być spełniony warunek: W>=4 i S>=4. A zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami są: 1)  W=4 i S=5. 2)  W=5 i S=4 . Takie sytuacje są jednak niemożliwe.   Ad 1) jeśli wielościan ma 4 wierzchołki, to musi to być ostrosłup

trójkątny i wówczas liczba ścian musi być równa 4, co wyklucza pierwszy przypadek.

  Ad2) jeśli liczba ścian wynosi 4, to wówczas wielościan będzie

ostrosłupem trójkątnym a ten ma 4 wierzchołki, co wyklucza nam przypadek drugi.

 

Niczego nie rysując policzyłyśmy, ile ścian ma bryła, w której każda ściana jest trójkątemi w każdym wierzchołku schodzi się pięć ścian

Każda ściana jest trójkątem, więc 2k=3S . W każdym wierzchołku schodzi się pięć ścian,

wobec tego 2K=5W. Pamiętaliśmy przy tym, że każdej krawędzi

odpowiadają zarówno dwa wierzchołki, jak i dwie ściany.

Dołączając do tych dwóch równań wzór S+W=K+2 mamy układ, z którego wynika, że S=20 .

Rozważany wielościan ma więc 20 ścian. Może nim być np. dwudziestościan foremny.

 

. Podczas naszego projektu badawczego dotyczącego różnorakich zależności w wielościanach, znalazłyśmy podobne zależności w dziedzinach życia codziennego.

Fullereny Fulleren to związek chemiczny, w którym

atomy węgla są rozmieszczone w wierzchołkach pewnego wielościanu wypukłego, a krawędzie tego wielościanu odpowiadają wiązaniom chemicznym. Różne rodzaje fullerenów odpowiadają różnym wielościanom; wielościany te mają następujące wspólne własności:

(i) wszystkie ich ściany są pięcio- lub sześciokątne;

(ii) w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany.

 

Pokazaliśmy, że gdy z każdego wierzchołka wychodzą dokładnie 3 krawędzie, to W=2S-4.

Tak więc liczba wierzchołków fullerenu jest zawsze parzysta.

 

Czy fulleren może mieć nieparzystą liczbę wierzchołków?

Ile ścian pięciokątnych może mieć fulleren?

Wprowadźmy oznaczenia:S5 - liczba pięciokątnych ścian fullerenu,

S6 - liczba sześciokątnych ścian fullerenu.

Wszystkie ściany są pięcio- lub sześciokątne, więc S=S5 + S6 .

Skoro w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany, mamy W=2/3 K . Uwzględniając to oraz we wzorze Eulera, dostajemy: 2/3K +S5 + S6

=K+2

Skąd K+6=3 S5 +3 S6 .

Krawędzi przynależnych ścianom pięciokątnym jest 5S5 , a krawędzi przynależnych ścianom sześciokątnym jest 6S6 . Pamiętając, że każda

krawędź jest zawarta w dwóch ścianach, mamy: 2K= 5S5 + 6S6

Z ostatnich dwóch równości dostajemy: 5S5 =12

Każdy fulleren ma więc 12 ścian pięciokątnych. 

Zastanowiłyśmy się także, jaką bryłą jest najmniejszy możliwy fulleren …

Każdy Fulleren ma 12 ścian pięciokątnych: S5=12 i S= S5+S6, to S=12+S6

Uwzględniając to we wzorze Eulera, mamy: W+12+S6= K+2

Stąd i z tego, że w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany

(czyli K= 3/2 W ), otrzymujemy: S6= 1/2 W - 10

Najmniejszy fulleren ma możliwie najmniejszą liczbę wierzchołków (atomów węgla). Dla W=20 otrzymujemy więc S6= 0, S5= 12

Warunki te spełnia dwunastościan foremny.

Wielościany znalazły przede wszystkim szerokie zastosowanie w architekturze

Wielościanem wykorzystywanym już od czasów starożytnych jest ostrosłup czworokątny.

Najbardziej znane budowle to budowane kilka tys. lat temu piramidy w Gizie oraz

współczesne wejście do muzeum Luwr

Obecnie konstrukcje wielościanów wykorzystywane są na szeroką skalę.

1. Ogród zoologiczny w Libercu: schronienie flamingów to wielościan zbudowany z 36

ścian.

2. Geoda w miasteczku La Vilette utworzona jest z trójkątów, a swoim wyglądem przypomina kulę.

3. Wieżowiec Swiss Tower w Londynie.

4. Kopuły geodezyjne

Dodatkowo wykonałyśmy modele wielościanów aby wykonać projekt nie tylko w teorii ale także zapoznać się z problemem w sposób doświadczalny.

Graniastosłup pięciokątny

Sześcio – ośmiościan przycięty

Hebeklinorotunda trójkątna

Antygraniastosłup sześciokątny (dół) i ostrosłup sześciokątny (góra)

Graniastosłup dziesięciokątny

Dwudziesto -ścian foremny potrójnie przycięty

Graniastosłup sześciokątny + kopuła trójkątna

Sześcio – ośmiościan rombowy wielki

Antygraniastosłup sześciokątny + kopuła trójkątna

Dwunastościan rombowy

Podwójna kopuła trójkątna

Prostopadłościan + klin

Graniastosłup trójkątny

Graniastosłup ośmiokątny, antygra - niastosłup ośmiokątny, dwudziesto – dwunastościan (pomarańczowy),

Wielościany

Rombościan

Klinokorona

• Graniastosłup pięciokątny

+dwudziesto –

dwunastościan

Podwójna kopuła trójkątna

Graniastosłup sześciokątny

Autorki prezentacji i uczestniczki kursu przy pracy:

Aldona ChechelskaAgnieszka KucielAleksandra Turkot