BETONDA BETONDA ŞŞEKEKİİL L DEDEĞİŞİĞİŞİMLERMLERİİ

İİNNŞŞ2024 YAPI MALZEMES2024 YAPI MALZEMESİİ IIII

Dokuz Eylül Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Bölümü

BETONUN DBETONUN DİĞİĞER ER ÖÖZELLZELLİİKLERKLERİİ

•• BETONUN fBETONUN f-- DAVRANIDAVRANIŞŞII

fc

f

00

bmbm

fc

3

GERGERİİLMELME--ŞŞEKEKİİL DEL DEĞİŞĞİŞTTİİRME RME İİLLİŞİŞKKİİSSİİ

ve ve ELASTELASTİİK DAVRANIK DAVRANIŞŞ

YYüük altk altıında belirli mertebede nda belirli mertebede şşekil deekil değğiişştirme gtirme göösteren, ysteren, yüük k kaldkaldıırrııldldığıığında ilk haline dnda ilk haline döönen malzemelere elastik malzemeler nen malzemelere elastik malzemeler denilmektedir. Malzemenin bu tdenilmektedir. Malzemenin bu tüür davranr davranışıışı

elastik davranelastik davranışış

olarak olarak

tantanıımlanmaktadmlanmaktadıır. Bu tr. Bu tüür davranr davranışışta ta HookeHooke

Kanuna uygun olarak Kanuna uygun olarak gerilmelerle gerilmelerle şşekil deekil değğiişştirmeler oranttirmeler orantııllııddıır. r.

= ε

× E

Burada;: gerilmeε: Birim şekil değiştirme E. Elastisite

modülünü

ifade etmektedir.

agrega ve agrega ve ççimento hamurunun tipik gerilmeimento hamurunun tipik gerilme--şşekil ekil dedeğğiişştirme etirme eğğrileri dorileri doğğrusal iken, rusal iken, ekseneleksenel

basbasıınnçç

altaltıında betonun davrannda betonun davranışıışı

dodoğğrusal derusal değğildir. ildir.

Gerilme

Birim şekil değiştirme

agrega

beton

Çimento hamuru

betonun basbetonun basıınnçç

yyüüklemesi ve yklemesi ve yüükküün kaldn kaldıırrıılmaslmasıı ssıırasrasıındaki gerilmendaki gerilme--birim deformasyon ilibirim deformasyon ilişşkisikisi

gerilme

Birim deformasyon

yükün boşaltılması

kalıcı

deformasyon

basınç

dayanımı

ŞŞekil ekil ’’de farklde farklıı

dayandayanıım sm sıınnııflarflarıındaki betonlarndaki betonlarıın tipik gerilmen tipik gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrileri grileri göösterilmisterilmişştir. Ayntir. Aynıı

gerilme/dayangerilme/dayanıım oranm oranıında nda

beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar yyüüksektir. 100 ksektir. 100 MPaMPa

basbasıınnçç

dayandayanıımmıına sahip bir betonda en bna sahip bir betonda en büüyyüük k

gerilmede birim deformasyonun tipik degerilmede birim deformasyonun tipik değğeri 3eri 3--4.104.10--3 iken 20 3 iken 20 MPaMPa’’llııkk bir betonda bu debir betonda bu değğer 2.10er 2.10--33’’e kare karşışı

gelir. Ancak, dayangelir. Ancak, dayanıım bir kenara m bir kenara

bbıırakrakııldldığıığında ynda yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı

betonlarbetonlarıın n elastisiteelastisite

modmodüüllüü

daha daha yyüüksek olduksek olduğğundan aynundan aynıı

gerilme degerilme değğerinde mukavemeti yerinde mukavemeti yüüksek ksek

olan beton daha az deformasyon yaparolan beton daha az deformasyon yapar..

Birim Şekil Değiştirme (10-6)

20

0

40

60

80

1000 2000 3000

Dayanım (MPa)

4000

C80

C40

C25

Betonun fBetonun f--

İİlilişşkisini Tankisini Tanıımlamak mlamak İİççin in GeliGelişştirilmitirilmişş

BaBağığıntntıılar lar

YYapapıısal analiz isal analiz iççin oldukin oldukçça kullana kullanışışllııddıır. Bu r. Bu sebeple betonun gerilmesebeple betonun gerilme--birim deformasyon birim deformasyon iliilişşkisini bakisini bağığıntntıılarla temsil edebilmek ilarla temsil edebilmek iççin bir in bir ççok ok ççalalışışma yapma yapıılmlmışışttıır. r.

Bunlar arasBunlar arasıında, enda, eğğrinin rinin öözelliklerine bazelliklerine bağğllıı olarak tanolarak tanıımlananmlanan::

VoellmyVoellmy

babağığıntntııssıı

Denklem Denklem şşu u şşekilde kurulmuekilde kurulmuşştur: Bir tur: Bir ii

’’ye ye karkarşışıt ft fii

, al, alıınsnsıın, n, şşekil deekil değğiişşimi imi

ii

’’den den itibaren itibaren

kadar artarsa, gerilme de kadar artarsa, gerilme de f f

kadar artacaktkadar artacaktıır. Yalnr. Yalnıız (z ( ii

), (), ( oo

) ) ’’a ne kadar a ne kadar

yakyakıın ise, aynn ise, aynıı

''nana

karkarşışıt gelen t gelen f o f o kadar kkadar küçüüçüktktüür.r.

Bu Bu öözellik gzellik gööz z öönnüüne alne alıınarak narak aaşşaağığıdaki diferansiyel denklem daki diferansiyel denklem yazyazıılabilir:labilir:

d

df

f

0εεKdεdf

denkleminin integrali

şu şekilde hesaplanabilir:

0

2ε.ε

2εKf

0ε2εK.εf

0εε cff Sınır şartlarından iken

olmaktadır. Bu nedenle K parametresi şu şekilde hesaplanabilir:

2εK - ε

2εK.εf

20

00

0c

20

c

εf2 - K

K yerine konulursa, K yerine konulursa,

2εε ε .

εf2ε

2ε ε .

εf2- f 02

0

c02

0

c

ε2ε.ε

εff 020

c

00c ε

ε2 εεff

Bu denklem 1εε

0

değerleri için geçerlidir

VoellmyVoellmy

babağığıntntııssıı

Bir diBir diğğer baer bağığıntntıı

SmithSmith

ve ve YoungYoung taraftarafıından ndan öönerilminerilmişştir. tir. SmithSmith

ve ve YoungYoung

babağığıntntııssıınnıın deney verilerine daha iyi uyum n deney verilerine daha iyi uyum sasağğladladığıığı

ifade edilmektedir.ifade edilmektedir.

0εε - 1

0c e εεff

PoissonPoisson

OranOranıı

EksenelEksenel

yyüüke maruz kalmke maruz kalmışış

bir malzemede elastik bir malzemede elastik bböölge ilge iççerisinde yanal birim deformasyonlarerisinde yanal birim deformasyonlarıın n ekseneleksenel

birim deformasyona oranbirim deformasyona oranıı

PoissonPoisson

oranoranıı

olarak adlandolarak adlandıırrııllıır. Betonun r. Betonun PoissonPoisson

oranoranıı

0.15 ile 0.15 ile 0.22 aras0.22 arasıında denda değğiişşir. ir.

y

x

εεμ

εx

: yanal birim şekil

εy

: eksenel

birim şekil değiştirme

ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

Malzemenin Malzemenin rijitlirijitliğğinininin

bir bir ööllçüçüssüü

ŞŞekil deekil değğiişştirmeye kartirmeye karşışı

koyabilme kapasitesikoyabilme kapasitesi

ŞŞekil ekil dedeğğiişştirmelerin ve gerilmelerin hesabtirmelerin ve gerilmelerin hesabıı

iiççin in gerekligerekli

YYüük altk altıındaki basit elemanlarda gerilmelerin ve ndaki basit elemanlarda gerilmelerin ve karmakarmaşışık yapk yapıılarda momentlerin ve sehimlerin larda momentlerin ve sehimlerin hesabhesabıı

iiççinin

gerekligerekli

BasBasıınnçç

veya veya ççekme altekme altıında betonun statik nda betonun statik elastisiteelastisite

modmodüüllüü

ekseneleksenel

yyüükleme altkleme altıında nda

gerilmegerilme--birim deformasyon ebirim deformasyon eğğrisinin erisinin eğğimi imi olarak verilir. Betonun gerilmeolarak verilir. Betonun gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin dorisinin doğğrusal olmayan rusal olmayan karakterinden dolaykarakterinden dolayıı

elastisiteelastisite

modmodüüllüünnüün n

bulunmasbulunmasıında zorluklar yanda zorluklar yaşşanmaktadanmaktadıır. Bu r. Bu nedenle nedenle elastisiteelastisite

modmodüüllüünnüün hesabn hesabıında nda

farklfarklıı

tantanıımlar gelimlar gelişştirilmitirilmişştir tir

ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

0.4 fc

Teğet Modülüf

fc

f -

eğrisine herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimine ise Teğet Modülü

denir. Uygulamada bu teğet yaklaşık

olarak eğrinin 0.4 fc

gerilmesine karşıt gelen noktası

esas alınarak çizilir.

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

Başlangıç Modülüf

fc

Betonun bir başka elastisite

modülü, Et

ile gösterilen, f-

eğrisinin başlangıçtaki teğetinin

eğimidir (Et

= tan).

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

Sekant Modülü

f

fc

Sekant modülü, f -

eğrisinin herhangi bir noktasını, koordinat merkezine birleştiren doğrunun eğimidir. Gerilmenin değeri ile değişir. Bu nedenle, sekant modülünün hesaplandığı

gerilme değeri belirtilmelidir.

Gerilme değeri, dayanımın (fc) belirli bir oranı

olarak seçilir. Bu oran İngiliz standardında %33 Amerikan standardında ise %40 olarak öngörülmüştür.

YukarYukarııdaki tandaki tanıımlamalar basmlamalar basıınnçç

dayandayanıımmıınnıın mertebesine n mertebesine

ve yve yüükleme hkleme hıızzıına gna gööre farklre farklıı

dedeğğerler alabilir. Daha erler alabilir. Daha ggüüvenilir bir devenilir bir değğer olarak, Ed ile ger olarak, Ed ile göösterilen sterilen Dinamik Dinamik ElastisiteElastisite

modmodüüllüü

tantanıımmıı

geligelişştirilmitirilmişştir. tir.

ff--

eeğğrisinin risinin şşekli uygulanan gerilmenin hekli uygulanan gerilmenin hıızzıına bana bağğllıı

olduolduğğundan, yundan, yüükleme hkleme hıızzıına bana bağğllıı

olarak Et de deolarak Et de değğiişşir. Hir. Hıız z arttarttııkkçça Et daha ba Et daha büüyyüük dek değğerler alerler alıır. Yalnr. Yalnıız Etz Et‘‘ninnin

bu bu

şşekilde artekilde artışıışınnıın da bir sn da bir sıınnıırrıı

vardvardıır. Gerilmenin artr. Gerilmenin artıım hm hıızzıı belirli bir debelirli bir değğerin erin üüststüüne ne ççııkacak olursa, elde edilecek fkacak olursa, elde edilecek f-- eeğğrileri hep barileri hep başşlanglangııççtaki ayntaki aynıı

bir OA dobir OA doğğrusuna terusuna teğğet olur. et olur.

Bu karakteristik baBu karakteristik başşka bir deyika bir deyişşle, Etle, Et‘‘ninnin

alabilecealabileceğği en i en fazla defazla değğerdir. erdir. Genel olarak en Genel olarak en ççok 2ok 2--4 dakika s4 dakika süüren, bir ren, bir basbasıınnçç

deneyinden elde edilen, fdeneyinden elde edilen, f--

eeğğrisinin barisinin başşlanglangııçç

teteğğetinin eetinin eğğimi Ed, dinamik imi Ed, dinamik elastisiteelastisite

modmodüüllüü

olarak olarak kabul edilebilir.kabul edilebilir.

Dinamik Dinamik elastisiteelastisite

modmodüüllüü

ultrasonikultrasonik

ööllçüçümlerle de bulunabilmektedir. Dinamik mlerle de bulunabilmektedir. Dinamik elastisiteelastisite modmodüüllüü, gerilmenin b, gerilmenin büüyyüüklklüüğğüüne ve gerilme artne ve gerilme artıım hm hıızzıına na

babağğllıı

olmadolmadığıığından, dindan, diğğer er elastisiteelastisite

modmodüüllerine kllerine kııyasla yasla daha gdaha güüvenilirdir. Yvenilirdir. Yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı

betonlarda daha betonlarda daha

bbüüyyüük dek değğerler alerler alıır. r.

Bazen deney sBazen deney sıırasrasıında, gerilmenda, gerilme--

birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin barisinin başşlanglangııccıı

iiççbbüükey olarak key olarak

ggöözlenir. Bzlenir. Bööyle durumlarda gerilmeyle durumlarda gerilme--

birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisi risi üüzerindeki iki nokta araszerindeki iki nokta arasıında nda ççizilmiizilmişş

dodoğğrunun erunun eğğimi olan imi olan ChordChord

(kiri(kirişş) )

ModModüüllüünnüün n kullankullanıımmıı

tercih edilebilir.tercih edilebilir.

ÇÇooğğu standart betonun u standart betonun elastisiteelastisite

modmodüüllüünnüün ve n ve

PoissonPoisson

oranoranıınnıın bulunmasn bulunmasıı

iiççin kiriin kirişş

metodunu metodunu tantanıımlar. Bu amamlar. Bu amaççla, 150 x 300 la, 150 x 300 mmmm’’liklik

silindir silindir

öörnekler kullanrnekler kullanııllıır. Deformasyonlar r. Deformasyonlar komparatkomparatöörr ((dialdial

gagegage) veya ) veya strainstrain

gagegage

ile ile ööllçüçüllüür (r (ŞŞekil ekil

11.10). S11.10). Süünme olaynme olayıınnıı

devre ddevre dışıışı

bbıırakmak ve rakmak ve komparatkomparatöörrüünn

oturmasoturmasıınnıı

sasağğlamak amaclamak amacııyla yla

deney sdeney sıırasrasıında en az iki nda en az iki öön yn yüükleme yapkleme yapııllıır. r.

ElastisiteElastisite

modmodüüllüü

deneysel ydeneysel yööntemler ntemler ddışıışında nda şşu u şşekillerde de hesaplanabilir:ekillerde de hesaplanabilir:

ff--εε

eeğğrisi irisi iççin kabul edilen fonksiyonun in kabul edilen fonksiyonun εε

''nana ggööre tre tüürevi, revi,

= 0 durumunda betonun = 0 durumunda betonun

elastisiteelastisite

modmodüüllüünnüü

verir. verir. ÖÖrnerneğğin, in, VoellmyVoellmy parabolparabolüü

betonun fbetonun f--

eeğğrisini simgeliyorsa ;risini simgeliyorsa ;

c0

2

0

c

00c f

εε -

ε.ε2.f

εε2

εεff 2

bağıntısının

’na

göre türevi

c00

c fε2ε -

ε2.f

dεdf

2 ε

2.f dεdf

0

c ε

2.f E0

c=0 için

SmithSmith

--

YoungYoung

fonksiyonunun betonun ffonksiyonunun betonun f--

davrandavranışıışınnıı

simgeledisimgelediğği varsayi varsayııllıırsa ;rsa ;

0εε - 1

0c e εεff

00 ε

ε - 1

00c

εε - 1

0c e

ε1.

εεf e

ε1f

dεdf

fonksiyonunu n ’na

göre

türevi alınırsa

00 ε

ε - 1

00c

εε - 1

0c e

ε1.

εεf e

ε1f

dεdf

=0 için

ε

e.f E0

c

AyrAyrııca deneysel ca deneysel ççalalışışmalardan yararlanarak, malardan yararlanarak, elde edilen ampirik formelde edilen ampirik formüüllerden llerden elastisiteelastisite

modmodüüllüü

tahmin edilebilir tahmin edilebilir

Bu baBu bağığıntntıılardan biri lardan biri L'HermiteL'Hermite

formformüüllüüddüür r

cfKE

İlişkideki K parametresi 18000-23000 arasında değerler alabilmektedir.

Amerikan Beton EnstitAmerikan Beton Enstitüüssüünce belirlenen nce belirlenen babağığıntntııya gya gööre (ACI re (ACI BuildingBuilding

CodeCode

318318--92) 92)

Normal aNormal ağığırlrlııklklıı

betonlar ibetonlar iççin (in (=2300 kg/m=2300 kg/m33) )

cc f4.73E fc<40 MPa

6.9f3.32E cc 40<fc<80 MPa

cc f3.65E 80<fc<140 MPa

TS 500TS 500’’de ise betonun basde ise betonun basıınnçç

dayandayanıımmıına na babağğllıı

olarak olarak elastisiteelastisite

modmodüüllüünnüün an aşşaağığıdaki daki

babağığıntntııyla hesaplanabileceyla hesaplanabileceğğini belirtmektedir ini belirtmektedir

14000f3250E ckjcj

ElastisiteElastisite

modmodüüllüü

ayrayrııca ca ultrasesultrases yyööntemiyle de saptanabilir ntemiyle de saptanabilir

L uzunluL uzunluğğunda bir beton unda bir beton üüzerinde zerinde öözel aygzel aygııtlarla tlarla üüretilen retilen ultrasesultrases

dalgalardalgalarıınnıın, beton elemann, beton elemanıın bir n bir

ucundan diucundan diğğer ucuna varabilmesi ier ucuna varabilmesi iççin, gein, geççen (t) en (t) zamanzamanıı

mikrosaniyemikrosaniye

mertebesinde mertebesinde ööllçüçüllüür. Beton r. Beton

iiççindeki V ses hindeki V ses hıızzıı

;;

tLV olarak cm/s boyutunda bulunur

gδxVE 2

bağıntısından E hesaplanabilir. Burada

betonun birim hacim ağırlığı, g yerçekimi ivmesidir

Boyut değişimi yapıldığında bağıntı

şu şekle gelir :

9.81δxxV10E 25

Burada, V km/sn,

kg/lt, E kgf/cm2

birimlerinde alınır

Tablo Tablo ’’da farklda farklıı

ssıınnııflardaki betonlarflardaki betonlarıın basn basıınnçç dayandayanıımlarmlarıı

kullankullanıılarak larak elastisiteelastisite

modmodüülleri delleri değğiişşik ik

standartlara veya bastandartlara veya bağığıntntıılara glara gööre hesaplanmre hesaplanmışışttıır. r.

Elastisite

Modülü

(MPa)

fc

(MPa) TS500 ACI CEBSmith-

Young Voellmy

20 28534 21153 27088 27100 20000

30 31801 25907 31008 35348 26087

40 34555 29915 34129 43360 32000

50 36981 30376 36764 45167 33333

80 43069 36595 43000 72267 53333

ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR

20 cm ayr20 cm ayrııtltlıı

bir beton kbir beton küüp p üüzerinde yapzerinde yapıılan lan basbasıınnçç

deneyinde; 12 tonluk ydeneyinde; 12 tonluk yüük altk altıında nda

betonun 1,6x10betonun 1,6x10--2 2 mm kmm kıısaldsaldığıığı, 6 ton y, 6 ton yüük k altaltıında ise 0,83x10nda ise 0,83x10--22mm kmm kıısaldsaldığıığı

ööllçüçülmlmüüşşttüür. r.

Bu sonuBu sonuççlara glara gööre betonun re betonun --

(f(f--) davran) davranışıışı ““VoellmyVoellmy

ParabolParabolü”ü”

ile simgelenmekte ise ile simgelenmekte ise

betonun olasbetonun olasıı

basbasıınnçç

dayandayanıımmıınnıı

bulunuz.bulunuz.

ÖRNEK -

1

ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR

15 cm 15 cm ççaplaplıı, 30 cm y, 30 cm yüükseklikli beton silindir kseklikli beton silindir öörnekleri rnekleri ortalama 56 ton basortalama 56 ton basıınnçç

yyüükküünde knde kıırrıılmlmışışlardlardıır. Kr. Kıırrıılma anlma anıında nda

ise 0,6 mm kise 0,6 mm kıısalmsalmışışlardlardıır. Betonun fr. Betonun f--

davrandavranışıışı

SmithSmith

YoungYoung fonksiyonu ile simgelenmektedir.fonksiyonu ile simgelenmektedir.

a)Basa)Basıınnçç

dayandayanıımmıınnıı

ve kve kıırrıılma anlma anıındaki birim ndaki birim şşekil deekil değğiişşimini imini hesaplayhesaplayıınnıız.z.b)b)ElastisiteElastisite

modmodüüllüünnüü

hesaplayhesaplayıınnıız.z.

c)Bu malzemeden yapc)Bu malzemeden yapıılmlmışış

40*20 cm 40*20 cm enkesitlienkesitli, 2,50 m , 2,50 m yyüükseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kkseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kıısalma yapmassalma yapmasıına izin na izin verilmektedir. Sverilmektedir. Sööz konusu kolona kaz konusu kolona kaçç

ton yton yüük emniyetle k emniyetle

yyüüklenebilir?klenebilir?(Emniyet katsay(Emniyet katsayııssıı=2,5)=2,5)

ÖRNEK -

2

ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR

10*10*50 cm ayr10*10*50 cm ayrııtltlıı

bir beton prizma bir beton prizma üüzerinde zerinde ekseneleksenel

dodoğğrultuda yaprultuda yapıılan lan ultrasesultrases

deneyinde sesin 50 deneyinde sesin 50 cmcm’’liklik

boyu boyu 128 128 mikrosaniyemikrosaniye

de gede geççtitiğği saptani saptanııyor. Bu betondan yor. Bu betondan

yapyapıılacak 275 cm ylacak 275 cm yüükseklikli ve 40*40 cm kseklikli ve 40*40 cm enkesitlienkesitli

bir kolon bir kolon 91200 91200 kgkg’’llııkk

ddüüşşey ve ey ve ekseneleksenel

yyüük altk altıında ani olarak ne nda ani olarak ne

miktarda kmiktarda kıısalsalıır?r?VarsayVarsayıımlar; mlar; betonun fbetonun f--

davrandavranışıışı

voellmyvoellmy

parabolparabolüüne uymaktadne uymaktadıır.r.

LL’’

HermitteHermitte

formformüüllüü

gegeççerlidir. K=20000 alerlidir. K=20000 alıınacaktnacaktıır.r.Betonu birim hacim aBetonu birim hacim ağığırlrlığıığı

2,4 kg/2,4 kg/ltlt’’dirdir..

Kolonun kendi aKolonun kendi ağığırlrlığıığı

ve burkulma ihmal edilecektir.ve burkulma ihmal edilecektir.

ÖRNEK -

3