muy bueno levitacion

8/8/2019 muy bueno levitacion

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CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOSAVANZADOS DEL INSTITUTO POLITCNICO

NACIONAL

DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMTICO

Control de un sistema de levitacinmagntica con compensacin de redes

neuronalesTesis que presenta

Ing. Panuncio Cruz Francisco

Para obtener el grado de

Maestro en ciencias

En la especialidad de

Control Automtico

Director de tesis:

Dr. Wen Yu Liu

Mxico, D.F. Octubre, 2009.


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AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por permitirme llegar a culminar mis estudios deposgrado en el CINVESTAV y por darme la vida a pesar de mis errores y

paciencia al presentar el presente trabajo, a Jesucristo por mantener la

esperanza en mi, de ser mejor ser humano mediante sus consejos y apoyo

total en mis metas y proyectos, a la Virgen de Guadalupe que como madre

me ha sabido guiar y valorar trazando un nuevo destino y cumpliendo este

sueo, ella sabe que se la dedico especialmente con todo mi amor y mi

corazn.

Agradezco a mis padres Panuncio Cruz y Matilde Francisco quienes han

credo en mi a pesar de mis tropiezos y los amo con toda mi alma, a mis

hermanos Analilia , Martha, Juan Carlos, Armando, Mara del Carmen,

Froylan, Gladys, Minerva, Luis Fernando y Hugo Enrique que son los

mejores hermanos que dios me ha dado. Gracias a mi ta Florencia y Priscila

por tantos aos de compartir escenas de la vida con nosotros.

A mis abuelos Armando (Q.E.P.D.), Minerva, Froylan (Q.E.P.D.) y

Melitona, por haberme dado unos padres nobles y vivir momentos

inmemorables de mi vida.


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A mis amigos de generacin de Maestra, que compartieron esta

experiencia, a Martha Belem, Martha Patricia, Omar, Ivn Gonzlez, Pedro,

Erick, Juan Luis, Cesar, Giovanny, Manuel, Rafael, Xavier e Ivn Torres y

quienes me ayudaron en las dudas de este trabajo a Dulce Citlali, Rita, Jess,

Jacob y Antonio.

Al Dr. Wen Yu Liu por permitirme realizar este trabajo bajo su tutela, por su

paciencia, consejos y apoyo en este trabajo el cual agradezco sinceramente.

Al Dr. Ieroham Barouh Solomon por sus comentarios de correccin en este

trabajo.

Un especial agradecimiento al Dr. Rafael Castro Linares por su valioso

aportacin y apoyo en esta tesis, apoyndome en las dudas y aclaraciones y

por corregir la redaccin final. Gracias por su paciencia.

Mis ms sinceros agradecimientos a la Dra. Martha Rzedowski Caldern por

su paciencia y apoyo en los cursos propeduticos de la maestra.

Un agradecimiento a la seora Graciela Meza Castellanos por los prestamos

de libros de la biblioteca de Ingeniera Elctrica, de ante mano gracias.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa el apoyo brindado

para cursar los estudios de Maestra en el Centro de Investigacin y de

Estudios Avanzados del IPN, en el Departamento de Control Automtico, a

travs de la beca que me fue otorgada durante la estancia del mismo.


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Resumen

Este trabajo presenta el modelado matemtico de un sistema de levitacin

magntica de atraccin con un grado de libertad aproximada al de

laboratorio experimental del departamento de control automtico. Este tipo

de sistema es altamente no lineal y es muy utilizado en trenes de alta

velocidad, industrias y aplicaciones acadmicas, la planta es linealizada

sobre un punto de operacin y se presenta la implementacin de un control

no lineal que logra estabilizar al sistema en lazo cerrado. Se realiza el

anlisis de estabilidad, se implementa el control no lineal en lazo cerrado, un

control PID y una compensacin neuronal, donde la red neuronal hace lafuncin de compensador para eliminar las incertidumbres y otras dinmicas

no modeladas. Tericamente, el control no lineal-red neuronal no presenta

errores en estado estacionario mientras que el control PID presenta errores

en estado estacionario que se refleja en la posicin final de la esfera.

Finalmente, la implementacin del sistema es en tiempo real, comparando

los controladores PID, no lineal y la compensacin con redes neuronales,

obteniendo mejor desempeo el controlador PID-red neuronal.


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Abstract

This work presents mathematical modeling of a magnetic levitation system

to attract with a degree of freedom approximate the experimental laboratoryof the department of automatic control. This type of system is highly

nonlinear and is widely used in high speed trains, industrial and academic

applications, the plant is linearized about an operating point and presents an

implementation of a nonlinear control that fails to stabilize the closed loop

system. There is an analysis of stability control is implemented nonlinear

closed loop PID control and neural compensation, where the neural network

serves as the compensator to eliminate uncertainties and other non-modeled

dynamics. Theoretically, the non-linear neural network has no steady state

error while the PID control crashes on steady state which is reflected in thefinal position of the sphere. Finally, implementation of the system is in real

time, comparing the PID controllers, nonlinear and compensation with

neural networks, giving better performance PID-neural network controller.


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ndice general

1. Introduccin 1

1.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Contribuciones de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Redes neuronales 7

2.1. Modelo de una neurona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Estructuras de las redes neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa. . . . . . . . . . . 112.2.2. Redes de alimentacin hacia delante multicapa. . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3. Redes de funciones radiales bsicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.4. Redes neuronales dinmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica 19

3.1. La fuerza electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1. Diferentes modelos matemticos de la fuerza electromagntica . . . . 23

3.2. Modelo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1. Descripcin de modelos mecnicos para diferentes levitadores . . . . . 28

3.3. Modelo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Varios modelos elctricos de diferentes levitadores . . . . . . . . . . . 31


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ii NDICE GENERAL

3.4. Modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1. Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2. Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.3. Modelo del levitador de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5. Aproximacin de un modelo lineal continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Control de levitacin magntica 45

4.1. Linealizacin exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1. Teora elemental de retroalimentacin para sistemas no lineales SISO 46

4.1.2. Linealizacin exacta va retroalimentacin del modelo matemtico del

levitador de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1. Valores de las ganancias de control y de los parmetros del levitador

magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2. Sistema no lineal con control no lineal por retroalimentacin . . . . . 56

4.3.3. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.4. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Control de levitacin magntica con compensacin neuronal. 65

5.1. Regulacin con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2. Seguimiento con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3. Redes neuronales multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4. y son desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5.1. Regulacin y seguimiento cuando f es desconocida . . . . . . . . . . . 82

5.5.2. Regulacin y seguimiento cuando f y g son desconocidas . . . . . . . 945.5.3. Regulacin y seguimiento cuando f es desconocida con red neuronal

multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.4. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


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NDICE GENERAL iii

6. Aplicacin real 109

6.1. Sistema de Levitacin Magntica de Laboratorio Experimental . . . . . . . . 1096.1.1. Caractersticas del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.1.2. Aplicaciones tpicas para enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.3. Elementos fsicos del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.4. Optoacoplador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.5. Tarjeta de adquisicin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.2. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3. Control no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.2. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4. Control con redes neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.1. Regulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.2. Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.4.3. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7. Conclusiones y trabajos a futuro 153


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ndice de figuras

1.1. Tren pasajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Modelo no lineal de una neurona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Perceptrn multicapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Esquema de una red neuronal dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Sistemas dinmicos y estticos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1. Sistema de suspensin electromagntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2. Parte electrica del levitador magnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. La inductancia de la bobina como una funcin de separacin. . . . . . . . . . 223.4. El comportamiento de la fuerza electromagntica como funcin de la posicin

y la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5. Grfica de la fuerza electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6. La fem como funcin decreciente que depende de la corriente y la posicin. . 26

3.7. Grfica de la fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.8. Levitador de laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9. Levitador de repulsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10. Diagrama esquemtico del levitador de atraccin. . . . . . . . . . . . . . . . 323.11. Diagrama esquemtico del sistema de suspensin electromagntica. . . . . . 33

3.12. Levitador de repulsion de anillo de Thomsons. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.13. Diagrama a bloques del sistema de levitacin magntica. . . . . . . . . . . . 35


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vi NDICE DE FIGURAS

3.14. Familia de entradas caracteristicas PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.15. Caractersticas aproximadas de Corriente vs Voltaje consumidas por la bobinadel electroimn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.16. Diagrama de bloques funcional del LMD18200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.17. Diagrama a bloques de la etapa de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.18. Calibracin del sensor respecto al desplazamiento de la esfera . . . . . . . . . 40

4.1. Diagrama a bloques de un sistema por linealizacin retroalimentado. . . . . . 47

4.2. Seguimiento de la posicin para coordenadas z. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3. Seal de posicin llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4. Seal de velocidad llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5. Seal de corriente en el punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6. Posicin llevada al punto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7. Seguimiento de la seal de posicion con el controlador PID. . . . . . . . . . . 62

5.1. Seal de posicion sin compensar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2. Regulacion de posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . 87

5.4. Regulacin con compensacin neuronal de la posicin en forma matricial. . . 895.5. Seguimiento en la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . 90

5.6. Seguimiento de posicion con compensacion neuronal. . . . . . . . . . . . . . 91

5.7. Seguimiento con compensacin neuronal de la posicin en forma matricial. . 92

5.8. Error de aprendizaje para la red neuronal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.9. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal. . . . . . . . . . . . . . 96

5.10. Regulacion de la posicin con compensacin neuronal . . . . . . . . . . . . . 97

5.11. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.12. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.13. Error de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.14. Regulacin de posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.15. Regulacin de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


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NDICE DE FIGURAS vii

5.16. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.17. Seguimiento de la posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.18. Seal de error de aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1. Prototipo del Sistema de Levitacin Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Esquema de Levitacin Magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3. Componentes no ensambladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4. Sistema de medicion con fotoemisor y fotoreceptor . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.5. Diagrama fsico de la tarjeta de adquisicin de datos RT-DAC4/PCI . . . . . 116

6.6. Conexin de la tarjeta de aquisicion de datos con el levitador . . . . . . . . . 1176.7. Experimento PID en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.8. Simulacin en tiempo real de la posicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.9. Simulacin en tiempo real de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.10. Simulacin en tiempo real de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.11. Simulacin en tiempo real del control PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.12. Simulacin en tiempo real de la posicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.13. Simulacin en tiempo real de la velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.14. Simulacin en tiempo real de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.15. Simulacin en tiempo real del control PWM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.16. Simulacin de la esfera en el prototipo experimental. . . . . . . . . . . . . . 127

6.17. Esfera levitada en el prototipo experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.18. Esfera levitada en el laboratorio en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.19. Diagrama de bloques del prototipo experimental para regulacin. . . . . . . 130

6.20. Regulacin de la posicin experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.21. Seal de velocidad en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.22. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.23. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.24. Diagrama en bloques de simulink del prototipo experimental. . . . . . . . . . 135

6.25. Regulacin de la posicin en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


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viii NDICE DE FIGURAS


6.27. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.28. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.29. Diagrama de bloques en simulink del PID mas una red neuronal. . . . . . . . 141

6.30. Regulacin de la seal de posicin con redes neuronales. . . . . . . . . . . . . 142


6.32. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.33. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.34. Diagrama en bloques de simulink del prototipo experimental de PID mas redes

neuronales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.35. Seguimiento de la posicin en tiempo real de PID con redes neuronales. . . . 147


6.37. Seal de corriente en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.38. Seal de control en tiempo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150


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2 Introduccin

Figura 1.1: Tren pasajero

Figura 1.2: Giroscopio

nentes superconductores ofrece el potencial para eliminar los sistemas de control y ms all

reduce la dispersin de potencia del sistema. La desventaja principal de los superconductores

es la necesidad de un refrigerante criognico que los utilizan para soportar altas densidades

de corriente y fuertes campos magnticos.

1.1. Motivacin

Aun cuando las desventajas del levitador magntico en repulsin se han estudiado ampli-

amente e implementados exitsamente en un gran nmero de veces, el levitador magntico de

atraccin enriquece las orientaciones que se tienen para estudiar, analizar y contruir dichos


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4 Introduccin

A grandes rasgos estas son las consideraciones ms importantes y otras que quizs no se

mencionan , pero tratar con estos prototipos son una lnea de investigacin interesante y queprogresivamente va dando resultados aproximados en la teora tomando el comportamiento

real de la planta.

Adems, estos tipos de sistemas son inestables en lazo abierto y en general se disean

controladores para estabilizarlos y lograr un funcionamiento adecuado. Debido a las no lin-

ealidades existentes , las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinmica del levitador

son transformados a un cambio de coordenadas y linealizadas en algn punto de operacin

para obtener un comportamiento estable del sistema cuando se presentan pequeas pertur-

baciones. Los mtodos mas utilizados para el diseo de estos controladores son las accionesproporcionales, integrales y derivativas (PID) y controladores de atraso-adelanto [7], mto-

do de control cuadrtico lineal con un filtro de Kalman para la estimacin de los estados

[9], controladores que aplican la tcnica de modos deslizantes [7] donde se muestra que un

controlador por modos deslizantes es superior al de un controlador clsico y controlador LQ.

1.2. Objetivos de la tesis

1. Analizar y disear el modelo matemtico del sistema de levitacin magntica del lab-oratorio, para disear y evaluar diferentes leyes de control tales como un control PID,

un control no lineal y uno usando redes neuronales.

2. Utilizar redes neuronales como trmino de compensacin en un controlador no lineal ,

para obtener una mejor respuesta del desplazamiento del objeto levitado.

3. Aplicacin real en el laboratorio de los controladores diseados.

1.3. Contribuciones de este trabajo

La contribucin de este trabajo de tesis , adems del anlisis del modelo matemtico y

diseo de los controladores , fue su aplicacin en la parte experimental dentro de algn rango


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1.4 Estructura de la tesis 5

de operacin en espacio de milmetros con respecto a la regulacin y seguimiento del objeto

levitado.

1.4. Estructura de la tesis

Este trabajo se organiza de la forma siguiente:

El captulo 1 menciona las descripciones tericas de la levitacin magntica y las

redes neuronales.

El captulo 2 describe la obtencin del modelo matemtico aproximado al de labora-torio., tanto no lineal como un modelo lineal continuo.

En el captulo 3 se enfoca al diseo del controlador no lineal y un controlador PID.

El captulo 4 muestra la compensacin de controlador no lineal con redes neuronales

con el anlisis de estabilidad.

Finalmente , en el captulo 5 concluye con la implementacin en tiempo real de los

controladores diseados en esta tesis.


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Captulo 2

Redes neuronales

Los sistemas biolgicos proveen de muchas pistas para el desarrollo del aprendizaje robus-

to (altamente estable) y de algoritmos adaptables. Dichos sistemas procesan la informacin

en forma diferente a los esquemas de control convencionales, ya que no estn basados en

ningn modelo , sin embargo son muy eficientes para tratar con incertidumbres y compleji-

dades.

Tales sistemas no requieren del desarrollo de un modelo matemtico para ejecutar tareas

complejas. Ciertamente, pueden aprender a ejecutar nuevas tareas y adaptarse fcilmentea cambios en el ambiente. Si los principios fundamentales de la computacin encajaran en

los sistemas biolgicos (por ejemplo: el cerebro), entonces una generacin totalmente nueva

de mtodos de control podra ser desarrollada mas all de las capacidades de las tcnicas

actuales, basadas en un modelo matemtico explcito.

Se dice que un sistema de control tiene la habilidad de aprender si adquiere informacin

durante la operacin, de comportamientos desconocidos de la planta y de su ambiente, tal que

la ejecucin completa sea mejorada. Con este enriquecimiento el controlador podra expandir

su regin de operacin, implementado as un sistema autnomo.Una clase de modelos, con la potencialidad de implementar este aprendizaje, son las redes

neuronales artificiales. Y aunque la morfologa neuronal del sistema nervioso es mucho ms

compleja, una analoga simplificada puede ser desarrollada, la cual podra ser utilizada en


19/167

8 Redes neuronales

aplicaciones de ingeniera. Tomando como base esta comprensin simplificada, las estructuras

de las redes neuronales artificiales pueden ser desarrolladas.

2.1. Modelo de una neurona.

Una red neuronal artificial (RNA) [20]es un elemento capaz de procesar gran cantidad de

informacin en forma paralela y distribuida, inspirada en las redes neuronales biolgicas, las

cuales pueden almacenar conocimiento experimental y tenerlo disponible para su uso [17].

Algunas de sus similaridades con el cerebro son:

1. El conocimiento es adquirido a travs del proceso de aprendizaje.

2. La conectividad entre neuronas es llamada pesos sinpticos y estos son utilizados para

almacenar el conocimiento.

El procedimiento para el proceso de aprendizaje es conocido como algoritmo o ley de

aprendizaje. Su funcin es modificar los pesos sinpticos de la red neuronal para alcanzar

una meta preestablecida. La modificacin de los pesos provee el mtodo tradicional para el

diseo e implementacin de las redes neuronales.La neurona es la unidad fundamental para la operacin de la red neuronal . La figura

(2.1) muestra el esquema de una neurona.

Los elementos bsicos de la RNA son:

1. Un conjunto de uniones sinpticos, en cada elemento, caracterizadas por su propio

peso.

2. Un sumador , el cual suma los componentes de la seal de entrada multiplicados por

su respectivo peso sinptico.

3. Una funcin de activacin no lineal que transforma la salida del sumador en la entrada

de la siguiente neurona.


20/167

2.1 Modelo de una neurona. 9

1x

2x

px

1kw

2kw

kpw

ky

Sealesdeentrada

Pesossinpticos

k

Umbral

Salida

Funcin deactivacin

k

kb

Bias

Figura 2.1: Modelo no lineal de una neurona.

4. Un umbral externo para reducir la entrada de la funcin de activacin.

En trminos matemticos, la -sima neurona se describe como:

=P

=1

= ( + )(2.1)

donde:

: -simo componente de la entrada.

: peso de la conexin entre la -sima componente de la entrada y la -sima neurona.

: salida del sumador.

: umbral.

() : funcin de activacin no lineal. : salida de la -sima neurona.

El uso del bias tiene el efecto de aplicar una transformacin afn a la salida de la

combinacin lineal del modelo de la figura (2.1), como se puede mostrar por:


21/167

10 Redes neuronales

= + (2.2)

Por lo tanto, combinando la ecuacin (2.1) y (2.2), se puede obtener equivalentemente:

=

X=0

(2.3)

La funcin de activacin no lineal es denotado por () y genera el elemento de la salida

por lo tanto de (2.3), se obtiene:

= () (2.4)Una clasificacin para este tipo de funciones de activacin es la siguiente:

Diferenciable y No-diferenciable.

Tipo pulso y Tipo escaln.

Positiva y Promedio cero.

La primera clasificacin se distingue por tener funciones suaves y discontinuas. Las fun-

ciones suaves son necesarias para algunos algoritmos de adaptacin como el de propagacinhacia atrs (backpropagation), mientras que las funciones discontinuas (por ejemplo: las fun-

ciones de umbral) son necesarias para generar una salida binaria. La segunda clasificacin

se distingue por tener funciones con un solo valor significativo de salida cuando las entradas

estn cerca del cero, porque las funciones solo cambian significativamente alrededor del cero.

La ltima clasificacin se refiere a las funciones positivas que cambian de 0 en a 1 en

y a las funciones de promedio cero que cambian de 1 en a 1 en .

2.2. Estructuras de las redes neuronales.

La forma en que las neuronas de una red neuronal estn interconectados determina su

estructura. Para propsitos de identificacin y control, las estructuras ms usadas son:


22/167

2.2 Estructuras de las redes neuronales. 11

1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa.

2. Redes de alimentacin hacia adelante multicapa.

3. Redes de funciones radiales bsicas.

4. Redes neuronales dinmicas.

2.2.1. Redes de alimentacin hacia adelante de una capa.

Esta es la forma ms simple de una red neuronal. Tiene slo una capa de neuronas. La ms

conocida es llamada Perceptrn. Bsicamente consta de una neurona con pesos sinpticosajustables y de una funcin de activacin.

El algoritmo de aprendizaje que ajusta los pesos de estas redes neuronales apareci por

primera vez en [48], [14]. Ah es probado que los vectores de informacin, usados para en-

trenar el perceptrn, son tomados de dos clases lineales separables, entonces el algoritmo de

aprendizaje del perceptrn converge y define una superficie de decisin : un hiperplano que

separa las dos clases. La prueba de convergencia, respectiva, es conocida como el teorema de

convergencia del perceptrn.

El perceptrn bsico es el llamado modelo de McCulloch-Pitts [37], en el cual la funcinde activacin () es de lmites extremos.

El propsito del perceptrn es el de clasificar la seal de entrada, con componentes 1,

2, . . . , , en una o dos clases: 1 o 2. La regla de decisin para la clasificacin consiste

en asignar a cada punto que corresponde a una entrada 1, 2, . . . , , la clase 1 si la

salida del perceptrn es igual a +1 y la clase 2 si es 1.

Usualmente el umbral es tratado como un peso sinptico conectado a una entrada fijada

en 1, as el vector de entrada queda definido por:

( ()) = (1 1 () 2 () ()) (2.5)

donde es la k-sima entrada.

El sumador que produce la salida es calculado por:


23/167

12 Redes neuronales

() = () () = () () (2.6)

donde es el vector de los pesos sinpticos.

Para cualquier , en el espacio -dimensional, la ecuacin , con coordenadas 1, 2,

. . . , , define un hiperplano que separa las entradas en dos clases: 1 y 2. Si estas clases

son linealmente separables existe un vector tal que:

0 1

y

0 2

(2.7)

El algoritmo de aprendizaje adapta el vector de los pesos como sigue:

1 ( + 1) = () si 0 1 o 0 22 ( + 1) = () () () si 0 2 o

( + 1) = () + () () si 0 1

(2.8)

donde () es la constante de aprendizaje.

La convergencia de este algoritmo puede ser demostrada utilizando un argumento por

contradiccin.Si se observa nicamente la salida () , se define el error como:

() = () () (2.9)

donde () es una referencia deseada.

El algoritmo de mnimos cuadrados puede ser aplicado para minimizar el error. La ob-

tencin de este algoritmo esta basado en el mtodo del gradiente descendente. El cual da

por resultado la siguiente ley de aprendizaje:

( + 1) = () + () () (2.10)

donde es la tasa de aprendizaje, () es el vector de seal de entrada, () es el vector

de pesos y () es el vector de error el cual esta dado por:


24/167


Primercapa

oculta

Segundacapa

oculta

Capa desalida

Figura 2.2: Perceptrn multicapa.

() = () () () (2.11)

Puesto que el error depende linealmente de los pesos, este algoritmo asegura la obtencin

de un mnimo global.

2.2.2. Redes de alimentacin hacia delante multicapa.

Estas redes se distinguen por la presencia de una o mas capas ocultas, (ver figura 2.2),

cuyos nodos computacionales se llaman neuronas ocultas. Tpicamente, las neuronas en cada

capa tiene como seal de entrada las seales de salida de la capa precedente. Si cada neurona,

en cada capa, es conectada con todas las neuronas de las capas adyacentes la red neuronal se

dice que est totalmente conectada, en el caso opuesto , es llamada parcialmente conectada.

El perceptrn multicapa tiene las siguientes tres caractersticas:

1. La funcin de activacin para cada neurona es suave, en oposicin a la de lmites

extremos usada en el perceptrn de una sola capa. Usualmente, esta funcin no lineal

es una sigmoide definida por:


25/167

14 Redes neuronales

() =1

1 + (2.12)

2. La red esta compuesta por una o mas capas ocultas de neuronas.

3. La red presenta un alto grado de conectividad.

El perceptrn multicapa obtiene su poder computacional a travs de la combinacin de

esta caractersticas y su habilidad de aprender de la experiencia. Sin embargo, la presencia

de no linealidades distribuidas y la alta conectividad de la red hacen el anlisis terico difcil

de realizar.

2.2.3. Redes de funciones radiales bsicas.

En el contexto de una red neuronal , los nodos de la capa escondida proveen una serie

de "funciones"que constituyen una "base arbitraria"para los patrones de entrada (vectores)

cuando estos se expanden a los espacios de los nodos de la capa escondida; esas funciones se

les denomina "funciones radiales bsicas". Las funciones radiales bsicas fueron introducidas

por primera vez para la solucin de problemas de interpolacin multivariable reales.

Cuando una red estndar de funciones radiales bsicas se usa para desarrollar una tareade clasificacin de patrones complejos, el problema se soluciona bsicamente al transformalo

a un espacio de muchas dimensiones de una manera no lineal. La justificacin para hacer

esto, esta provista por el teorema de Cover (1965) sobre los patrones de separabilidad, en

donde se establece que un problema de clasificacin de patrones complejos, enmarcada en

un espacio no lineal multidimensional, es ms fcil de separar de manera lineal, que si se

enmarca en un espacio de baja dimensin lineal.

Bsicamente el mapeo no lineal se usa para transformar un problema de clasificacin

separable no linealmente en uno separable linealmente.De forma similar, se puede utilizar un mapeo no lineal para aproximar una funcin no

lineal en un contexto mas sencillo.

ste tipo de red neuronal tiene tres capas totalmente diferentes:


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1. La capa de nodos de entrada.

2. La capa oculta, en donde cada nodo ejecuta una transformacin no lineal de la entrada

denotada como funcin radial bsica.

3. La capa de salida, formada por una combinacin lineal de las salidas de las neuronas

de la capa oculta.

Los primeros trabajos en este tema se llevaron a cabo por Powell [44]. La primera apli-

cacin de las funciones radiales bsicas en el diseo de redes neuronales fue reportado en

[5]. Contribuciones especficas a la teora, diseo y aplicacin de estas funciones a las redes

neuronales, se encuentran en [39], [46] y [43].

2.2.4. Redes neuronales dinmicas.

ste tipo de redes se distinguen de las redes neuronales estticas porque tienen al menos

un ciclo de retroalimentacin. stos ciclos involucran el uso del tiempo discreto y de bifurca-

ciones compuestas por elementos de una unidad de retraso. sta unidad se denota por 1,

tal que ( 1) = 1 (), con indicando el -simo muestreo en el tiempo. La ecuacin

de las redes neuronales dinmicas es:

:

( + 1) = ( () ( + 1) ( ) ; () ( + 1) ( ))

:

b =

b + 1 (1 ) + 2 (2 )

(2.13)

donde () y () son funciones sigmoidales que dependen de los pesos 1 y 2 y de losestados de la planta, 1 y 2 son los pesos de la red neuronal, es la matriz Hurwirtz,

es la entrada de control yb es la derivada de los estados de la red neuronal y son los

estados de entrada a la red neuronal.


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16 Redes neuronales

A

s

1

1v

2v

1w

2w

MLP

Figura 2.3: Esquema de una red neuronal dinmica

Los ciclos de retroalimentacin traen como resultado un comportamiento dinmico no

lineal debido a la funcin de activacin no lineal de las neuronas. Como consecuencia, se les

llama redes neuronales dinmicas.

Estas redes neuronales ofrecen grandes ventajas computacionales. De hecho es bien sabido

que un sumador lineal esttico finito es equivalente a un sistema lineal retroalimentado deun solo polo, como se ve en la figura 2.4.

De la figura 2.4, el sumador de salida para la red esttica es:

() = () + ( 1) + + ( ) =X

=0

( ) (2.14)

El sistema lineal est descrito por:

() = ( 1) + () (2.15)

()

()=

1

1 1= 1 + 1 + + (2.16)


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kx

kx 1kx

2kx

nkx

kv1

z

1z

1z

1z

kv 1kv

Figura 2.4: Sistemas dinmicos y estticos equivalentes.

donde 111

es una forma cerrada de un serie de tiempo y 1 + 1 + + es una forma

abierta de una serie de tiempo, por lo tanto para la red dinmica:

() = () 1 + 1 + + = () + ( 1) + + ( ) (2.17)De las ecuaciones (2.14) y (2.17), se ve que es claro que las dos estructuras son equiv-

alentes, pero desde el punto de vista computacional , el sistema con retroalimentacin es

equivalente a una muy grande, posiblemente infinita, estructura esttica. Esta propiedad es

muy interesante para identificacin y control, y abre el camino para las aplicaciones de las

redes neuronales dinmicas en estos campos.


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Captulo 3

Modelado y anlisis matemtico de

levitacin magntica

Ya que los sistemas de levitacion magnetica de atraccin que se analizan en este capitulo

son capaces de suspender objetos (ver figura 3.1), eliminando o reduciendo por completo la

friccin mecnica, de ah que la suspension de la esfera metlica en un campo magntico se

ha considerado de mucho inters desde el ao de 1930. Aparte de su impacto visual que sirve

para ilustrar muchos de los principios fundamentales de la ingeniera elctrica y electrnicacomo : electromagnetismo y electrodinmica, teora de control y circuitos de diseo analgico

y digital. La modelacin matemtica es una parte esencial que registra el comportamiento

aproximado a un levitador real , y con tcnicas de anlisis clsicos se desarrolla en forma

clara y precisa dicha modelo, analizando el origen del modelo matemtico y construyendo

la parte mecnica y elctrica, as como sus caractersticas electromagnticas.

En este capitulo se presenta un conjunto de reglas de diseo que se presenta permite

al lector un gran inters para el diseo del desplazamiento de la esfera determinado en el

rango de operacin. Todas las ecuaciones se derivan de principios electromagnticos, fsicos yelctricos, a fin de destacar el valor del sistema como una herramienta educativa. Se describen

modelos de diferentes levitadores y al final se obtiene un modelo aproximado al levitador de

laboratorio.


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20 Modelado y anlisis matemtico de levitacin magntica

Marco de soporte

Bobina

Electroimn

Fuente de luz

Esfera metlica levitada

Foto sensor

Figura 3.1: Sistema de suspensin electromagntica.


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3.1 La fuerza electromagntica 21

bobinaR xL

xR

Figura 3.2: Parte electrica del levitador magnetico.

3.1. La fuerza electromagntica

La estabilidad de la suspensin vertical de la esfera del levitador magntico del laboratorio

puede ser deducida mediante la suposicin de una dependencia funcional de la inductancia

terminal y usando mtodos de energa para calcular la fuerza de levitacin [52]. Un modelo

elctrico para evaluar el manejo del punto de impedancia de la bobina es como se muestra

en la figura (3.2). es la resistencia de la bobina en el espacio libre debido a la con-

ductividad elctrica finita del alambre, () es la inductancia como se ven en sus terminales.

() es la resistencia debido a las corrientes de remolino perdidas en la esfera levitada.Cuando la bobina es atraido cerca de la esfera , () se incrementa y la inductancia

terminal de la bobina decrece ya que el campo debajo de la bobina es modificada debido

a las corrientes inducidas. Es importante notar que tambin tiene una funcional

dependiente de la frecuencia de operacin, debido a la entrada del campo magntico hacia

la esfera. Un campo magntico que incide sobre un cuerpo o metal , induce corrientes de

remolino en la superficie del mismo que disminuyen exponencialmente y que depende de

igual modo de la distancia del objeto levitado hacia la bobina y un trmino de escala de

longitud.La variacin de inductancia entre esas dos terminales y que depende tambin de la

variacin de la esfera , ver figura (3.3) ,puede ser aproximada mediante una funcin ex-

ponencial [21]:


32/167


0 0.005 0.01 0.015 0.020

1

2

3

4

0 0.005 0.01 0.015 0.020

1

2

3

4 1xL

rLL 0

rL

Inductancia

aDistancia de la esfera a la bobina,

Figura 3.3: La inductancia de la bobina como una funcin de separacin.

() = 0 +

(3.1)

El trmino 0 es la inductancia terminal de la bobina cuando est lejos de la esfera

( = ), el trmino es la inductancia terminal que decrece cuando la bobina esta cerca

de la esfera ( = 0), debido a las corrientes de remolino inducidas. La inductancia es una

funcin de la posicin de la bobina por encima de la esfera , y decae con caractersticas de

escala de longitud . La escala de longitud depende del tamao de la esfera y las dimensionesde la bobina.

La co-energa magntica del sistema es una funcin de la corriente de la bobina y la

separacin :


33/167


( ) = 12()2 (3.2)

La fuerza de origen magntico que acta sobre la esfera es dada por:

=

=

2

2 (3.3)

3.1.1. Diferentes modelos matemticos de la fuerza electromag-

ntica

Primero analizamos varios modelos matemticos para la fuerza electromagntica y su

comportamiento

Para darle un mejor sentido al modelo matemtico total del sistema y para su simulacin,

se realiza la transformacin a ecuaciones en espacio de estados, definiendo la siguientes

equivalencias:

1 =

2 =

3 =

= ()

(3.4)

donde (1 2 3 ) son la posicin, velocidad, corriente y el control ,respectivamente.

1) La fuerza electromagntica que aqu se analiza es del levitador del laboratorio (figura

3.4) y es una funcin exponencial debido a las propiedades de inductancia anteriormente

descritas y a la posicin de la esfera levitada con la bobina [21].

=2

2 (3.5)

2) En esta ecuacin de la fuerza electromagntica es una funcin lineal decreciente convalores negativos de la ganancia 1 , y es para aproximar el comportamiento del levitador

debido al movimiento de la esfera (figura 3.5), aunque la posicin real no puede ser cero

porque la esfera siempre va estar en una posicin deseada diferente de cero; matemticamente


34/167


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0

1

2

30

5

10

15

20

Posicion x1Corriente x3

Fuerzaelectromagnetica

Figura 3.4: El comportamiento de la fuerza electromagntica como funcin de la posicin y

la corriente.


35/167


00.005

0.010.015 0.02

0

12

30

2000

4000

6000

PosicinCorriente

Fuerzaelectromagntica

Figura 3.5: Grfica de la fuerza electromagntica

la fuerza electromagntica puede ser infinito y eso particularmente presentara un problema

de simulacin numrica [10].

= 1

31

2(3.6)

3) La expresin de esta fem (figura 3.6), muestra una aproximacin del modelo matemti-

co dinmico el cual , y son constantes determinadas por modelos numricos o por

mtodos empricos. La ecuacin (3.7) tiene que ser aproximado por parmetros constantes

en la regin de inters. Sin embargo, debido a la nolinealidad del campo magntico, esas

constantes pueden variar cuando esta fuerza que pasa por el sistema es grande [40]-[45].

=

(1 + )

(3.7)

4) ste modelo est aproximada mediante un polinomio de cuarto orden de acuerdo al


36/167


-20

0

20

40

60

-5

0

50

0.5

1

1.5

2

2.5

x 107

PosicinCorriente


Figura 3.6: La fem como funcin decreciente que depende de la corriente y la posicin.


37/167

3.2 Modelo mecnico 27

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0

1

2

30

50

100

150

200

PosicinCorriente


Figura 3.7: Grfica de la fem

comportamiento real del levitador al que se este analizando o implementado [16], as la fem

depende de la corriente y de la posicin de la esfera (ver figura 3.7).

=23

119944 091653 + 07159 + 00304(3.8)

3.2. Modelo mecnico

Usando el principio fundamental de la dinmica(segunda ley de Newton), la dinmica dela esfera ferromagntica es dada por:

= (3.9)


38/167


Donde la es la fuerza electromagntica que se genera en el efecto electromagnti-

co del sistema, es la masa y es la fuerza de gravedad que contrarrestra a la fuerzaelectromagntica basndonos en la definicin de la segunda ley de Newton.

Por consiguiente, sustituyendo el valor de la fuerza electromagntica calculada (3.3),

sustituimos ese valor en (3.9) y obtenemos:

+ = 2

2 (3.10)

Finalmente el modelo mecnico del sistema queda como:

=

22

+ (3.11)

3.2.1. Descripcin de modelos mecnicos para diferentes levita-

dores

Se muestran las partes mecnicas de diferentes modelos matemticos de levitadores mag-

nticos. stas ecuaciones estn gobernadas por la segunda ley de Newton donde la fuerza

electromagntica compensa a la fuerza de gravedad en el objeto levitado. y (1 2 3) de-scriben como variables de estado a la posicin, velocidad y corriente, respectivamente.

1) Modelo mecnico del levitador de la tesis, aproximada al de laboratorio (ver figura

3.8):

1 = 2

2 = 2

23

+

(3.12)

2) Modelo mecnico del levitador del laboratorio ms un trmino de perturbacin

(figura 3.8)

1 = 2

2 =

23

+ +

(3.13)


39/167

3.2 Modelo mecnico 29

Figura 3.8: Levitador de laboratorio.


40/167


Tabla ptica

Electroimn moviblede tierras raras

Sensor de laser

retroalimentado

Condicionamiento

electrnico dellaser

Amplificadorde alto flujo

de corriente

Figura 3.9: Levitador de repulsin.

3) Modelo mecnico de un levitador de repulsin con un trmino de friccin (figura 3.9),

esta caracterstica es debida al roce del anillo con el ncleo, donde = 2 es el trmino de

friccin [33].

= 2 (3.14)

1 = 2

2 = 2

23

2

(3.15)

4) Modelo mecnico con friccin mas una perturbacin que afecta al sistema (ver figura

3.9).

1 = 2

2 = 2

23

2

+

(3.16)


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3.3 Modelo elctrico 31

3.3. Modelo elctrico

Para la modelizacin de la parte elctrica del levitador (actuador dinmico) se utiliza la

ley de voltajes de kirchhoff y se aplica al diagrama elctrico del sistema, se sigue que:

() = () + ()()

(3.17)

Donde es la resistencia total del circuito, () es el trmino de inductancia el cual se

puede expresar como en la ecuacin (3.1) (ms adelante se sustituye su valor correspondiente)

y () es el voltaje instantneo que cruza a la bobina del imn y es la que controla la corriente

de excitacin ().Finalmente realizando las equivalencias de las variables de inters (1 2 3) como

la posicin, velocidad y corriente , respectivamente, se obtiene el modelo matemtico del

sistema de levitacin magntica del laboratorio en un sistema de ecuaciones en espacio de

estados. Aunque por cuestiones de diseo y construccin del levitador, la ecuacin (3.17) se

puede expresar como

3 =

0 +

1

3

0 +

1

+

0 +

1

(3.18)

El trmino y se tomarn como constantes de corriente remanentes debido a la histre-

sis que se genera por el calentamiento en la bobina con el voltaje de dc con la que trabaja

el sistema, aunque tambin pueden ser consideradas como trminos de compensacin de

corriente.

1 = 2

2 = 2

23

1 +

3 =

0+

1

3

0+

1

+

0+

1

(3.19)

3.3.1. Varios modelos elctricos de diferentes levitadores

La parte elctrica de algunos modelos de levitadores son las siguientes:


42/167


Tarjeta

I/OCalculadora

Circuitoamplificador

Sensor

de corriente

Electroim

n

Foto emisor

Foto detectores

Figura 3.10: Diagrama esquemtico del levitador de atraccin.

1) Modelo elctrico del levitador aproximado al de laboratorio (figura 3.8), donde es el

control el cual esta controlado por voltaje, = 1

es la resistencia total del circuito y son constantes de remanencia en la bobina.

3 =

0 +

1

+

0 +

1

3

0 +

1

(3.20)

2) Modelo elctrico sin trminos remanentes de la bobina debido al calentamiento a la

excitacin con corriente directa.(ver figura 3.10),donde es el voltaje aplicado (control),

es la induccin de la bobina,y es la resistencia de la bobina.[16].

3 =

3 (3.21)

3) Modelo elctrico [51], el cual en particular el tercer trmino denota un voltaje el cual

vara con los cambios de la posicin de la esfera y su tasa de cambio es similar a un fuerza


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3.3 Modelo elctrico 33

m flujo magntico

txposicin dela esfera

abertura de aire

numero de vueltas

ti corriente tv voltaje

instantneo

imn

ixF ,fuerza

electromagntica

Figura 3.11: Diagrama esquemtico del sistema de suspensin electromagntica.

contraelectromotriz introducida en un motor de corriente directa.,adems = 02

2es un

factor de fuerza y es la resistencia total de circuito (ver figura 3.11)

3 =1

1

13 +

231

(3.22)

4) Modelo elctrico[3], que consta de una expresin de inductancia mutua (ver figura

3.12). Con frecuencia el flujo magntico a travs de un circuito vara con el tiempo como

consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos. sto da origen a

una fem inducida mediante un proceso conocido como induccin mutua, llamada as porque

depende de la interaccin de dos circuitos (dos actuadores), esta depende de la geometra

de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas entre s. Es claro que al incrementarse laseparacin entre los circuitos, la inductancia mutua decrece ya que el flujo que une a los dos

circuitos decrece.

3 =

3

(3.23)


44/167


Figura 3.12: Levitador de repulsion de anillo de Thomsons.

3.4. Modelo completo

El siguiente diagrama muestra el modelo completo el cual esta sometido el sistema de

levitacin magntica del laboratorio.

3.4.1. Actuador

Modulacin de ancho de pulso

La modulacin por ancho de pulsos ( PWM) de una seal o fuente de energa es una

tcnica en la que se modifica el ciclo de trabajo de una seal peridica (una sinusoidal o

una cuadrada, por ejemplo), ya sea para transmitir informacin a travs de un canal de


45/167

3.4 Modelo completo 35

CircuitoPWM Circuito de

potencia

Tarjeta deadquisicinde datos

Expansor desalidasanalgicas

PC

Sensorespticos

U1=V cd

Planta

iU2=i Posicin (x) V=f(x) V

U2

t

Figura 3.13: Diagrama a bloques del sistema de levitacin magntica.


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ControlCicloPWM

t

Figura 3.14: Familia de entradas caracteristicas PWM.

comunicaciones o para controlar la cantidad de energa que se enva a una carga. La modu-lacin de ancho de pulso es una tcnica utilizada para controlar dispositivos, proporcionando

un voltaje de corriente continua. Se puedan controlar fuentes conmutadas, controles de mo-

tores, controles de elementos termoelctricos, choppers para sensores en ambientes ruidosos

y algunas otras aplicaciones .

Puesto que la respuesta del PWM es no lineal en relacin al voltaje de control y la

corriente que consume la bobina. El algoritmo en la computadora es la fuente del valor

deseado del control en la forma de seal de voltaje PWM. Debido a la alta frecuencia de la

seal PWM los valores de corriente medidos corresponden al valor de la corriente promedioen la bobina. sta caracterstica ha sido construida por el fabricante. Para una frecuencia fija

y un ciclo de trabajo variable PWM, se mide el amperaje en la bobina. Los datos medidos

son dados en la siguiente tabla.


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Ciclo de trabajo PWM Amperaje [] Voltaje []0 0 0374811

01 025 0262899

02 051 0510896

03 077 0752465

04 102 0993620

05 128 1229133

06 152 1459294

07 174 165142408 199 1875539

09 221 2076814

1 243 2269865

Adems, se grafic el control de voltaje PWM contra la corriente que consume la bobina,

ver figura (3.15) y su comportamiento se aproxim mediante el siguiente polinomio, el cual

es de tendencia lineal.

() = 001682

+ 10451 00317 (3.24)

Circuito de potencia

El circuito de potencia o driver es el encargado de elevar el nivel de corriente con la que

trabajara la bobina, como se ha visto en los datos anteriores se ve que para que se origine

el efecto electromagntico la bobina consume hasta 2.43 A como mximo . La etapa de

potencia es controlada por el LMD18200 que es un Puente-H 3A diseado para aplicaciones de

control de movimiento . El dispositivo est construido utilizando una tecnologa multiproceso

que combina circuitera bipolar y control CMOS con dispositivos de potencia DMOS en lamisma estructura monoltica. Ideal para la conduccin de los motores DC y paso a paso,

el LMD18200 acomoda a las corrientes de pico de salida de hasta 6A. Es un dispositivo

innovador que facilita el circuito de baja prdida de deteccin de la corriente de salida.


48/167


0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Seal de voltaje medido [V]

Corriente[A]

Figura 3.15: Caractersticas aproximadas de Corriente vs Voltaje consumidas por la bobina

del electroimn.


49/167


Figura 3.16: Diagrama de bloques funcional del LMD18200

Circuito de potencia MagLevSeal PWM

Etapa de potencia

Figura 3.17: Diagrama a bloques de la etapa de potencia.


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0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Distancia (m)

Sealdelsensor(v)

Figura 3.18: Calibracin del sensor respecto al desplazamiento de la esfera

3.4.2. Sensor

La referencia de la figura (6.2) sirve para que, a travs de la calibracin del sensor, muestre

una relacin no lineal entre la salida del sensor (voltaje) y la posicin del objeto a levitar.

El experimento para esta identificacin se realiz en el laboratorio colocando la esfera a una

determinada posicin fija y mediante un tornillo ir ajustando los valores para que despus se

obtenga una curva y despus de tantas pruebas se encuentra en particular una que describe

mejor el desempeo del sistema.Esta grfica puede ser aproximada mediante un polinomio de un orden dado. Para este

caso usamos un polinomio de quinto orden. El cual es lo que obtenemos a la salida del sistema

total.


51/167


= () = () (3.25)

= 25697073504595 +124505001125418773635923 +7933024215021 + 5015

(3.26)

Realmente nuestra regin de trabajo consistir en tomar una pequea regin de inters

el cual consideraremos como una funcin lineal ya que la esfera se mover en espacios de

milmetros, con el fin de lograr un objetivo ms preciso sin implicarnos en la funcin no

lineal del sensor contra la posicin de la esfera. Una descripcin muy importante es que lamedicin se realiza del actuador hacia la esfera y no del tornillo de ajuste hacia la esfera.

3.4.3. Modelo del levitador de laboratorio

Primero introducimos las siguientes suposiciones para derivar un modelo nominal del

sistema mediante leyes fsicas.

La densidad de flujo magntico y el campo magntico no tienen ningn histresis.

No hay flujo de fuga en el circuito magntico

La permeabilidad magntica del electroimn es infinito

Las corrientes de remolino en el polo magntico pueden ser despreciados.

La inductancia en la bobina es constante alrededor del punto de operacin , y toda la

fuerza electromotriz debido al movimiento de la esfera de hierro puede ser despreciada.

Estas suposiciones no son muy fuertes y adecuadas alrededor del estado de equilibrio.Bajo esas suposiciones, derivamos las siguientes tres ecuaciones, el cual muestra una

ecuacin del movimiento de la esfera, la fuerza electromagntica y la ecuacin del circuito

electromagntico, respectivamente, asi, obtenemos el modelo completo que es similar a del


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levitador del laboratorio, que nos servir para la aplicacin de la ley de control as como su

estabilizacin.

1 = 2

2 = 2

23

1 +

3 =

0+

1

+ 0+

1 3

0+

1

= 1

(3.27)

3.5. Aproximacin de un modelo lineal continuo

El modelo del levitador magntico es altamente no lineal. Puede ser aproximado en

algn punto de operacin por un modelo lineal. El modelo lineal puede ser descrito por tres

ecuaciones diferenciales por el mtodo de aproximacin lineal por series de Taylor de primer

orden, en la forma:

= () + ()

= ()(3.28)

El cual, es aproximado a:

+

= (3.29)

donde =

=0

, =

=0

y = [1 0 0], ya que solo se esta tomando a la

posicin como salida.

Y sean las variables de desviacin lineal

1 = 1 1

2 = 2

2

3 = 3

3

=

(3.30)


53/167

3.5 Aproximacin de un modelo lineal continuo 43

donde (1

2

3 ) son los puntos de equilibrio del sistema el cual son la posicin,

velocidad, corriente y el control en estado estacionario respectivamente, y de acuerdo almanual de levitador de laboratorio y tomando como referencia a la corriente, se obtuvieron

las siguientes constantes:

1 = 0004

2 = 0

3 = 08456

= 03264

(3.31)


54/167

Captulo 4

Control de levitacin magntica

Muchas tcnicas lineales y no lineales se han propuesto para el control de estos sistemas, y

es bien conocido que para un rango de movimiento pequeo, el sistema no lineal se comporta

similarmente a su aproximacin lineal. Sin embargo, el desempeo de un control lineal sedeteriora rpidamente cuando el sistema se desva de su punto de operacin original. Es por

ello que en este capitulo se considera el diseo de un controlador no lineal mediante la tcnica

de linealizacin exacta por retroalimentacin. Tambin se disea un controlador PID , donde

este control es aproximado a un modelo lineal continuo (descrito en el capitulo anterior) para

controlar la posicin de la esfera en algunos de tantos puntos de equilibrio que se tiene en el

rango de operacin.

Finalmente se presentan los resultados de simulacin para el control no lineal y el con-trolador PID. En ellas es posible observar el desempeo del control no lineal mas eficiente

que el controlador PID debido a la cancelacin de no linealidades, aun as, el controlador

PID tambin tiene un funcionamiento bastante aceptable.


55/167

46 Control de levitacin magntica

4.1. Linealizacin exacta

4.1.1. Teora elemental de retroalimentacin para sistemas no lin-

eales SISO

El punto de partida del anlisis completo es la nocin del grado relativo del sistema, el

cual es formalmente descrito en la siguiente direccin. El sistema no lineal de nica entrada-

nica salida [23] :

= () + ()

= () (4.1)

se dice que tiene grado relativo en un punto si

() () = 0 para toda en una vecindad de

y para todo 1

() 1 () 6= 0

Se debe de tomar en cuenta que puede haber puntos donde un grado relativo no puede

ser definido. Esto ocurre , de hecho, cuando la primera funcin de la secuencia

() () () que no es idnticamente cero (en una vecindad de

) tiene un cero exactamente en el punto = . Sin embargo el conjunto de puntos donde

un grado relativo puede definirse, es claramente un subconjunto denso y abierto del conjunto donde el sistema (4.1) puede estar definido.

En un sistema de nica entrada-nica salida, la estructura mas conveniente para un

Control en Retroalimentacin en Estado Esttico es aquel en que la variable de entrada es

igual a la

= () + () (4.2)

donde es la entrada de referencia externa . De hecho, la composicin de este control con

un sistema de la forma

= () + ()

= ()(4.3)


56/167

4.1 Linealizacin exacta 47

vxx )(

)()(

xhy

uxgxfx

vu

y

x

Figura 4.1: Diagrama a bloques de un sistema por linealizacin retroalimentado.

produce un lazo cerrado caracterizado por la estructura similar

= () + () () + () ()

= ()(4.4)

Las funciones () y () que caracteriza al control (4.2) son definidos sobre un conjunto

abierto de


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1 = 2

2 = 3

1 =

= () + ()

(4.7)

donde = (1). Recordar tambin que en el punto = (), y asi para todo en

una vecindad de , la funcin () es diferente de cero.

Suponemos ahora la siguiente ley de control por retroalimentacin del estado

=1

()( () + ) (4.8)

que de hecho existe y esta bien definida en una vecindad de . El sistema resultante en lazo

cerrado es gobernado por las siguientes ecuaciones

1 = 2

2 = 3

1 =

=

(4.9)

es decir, es lineal y controlable. As podemos concluir que para algn sistema no lineal con

grado relativo en algn punto puede ser transformado en un sistema, el cual en una

vecindad del punto

= (

), es lineal y controlable. Esto es importante para poner ennfasis que la transformacin en cuestin consiste en dos ingredientes bsicos:

() un cambio de coordenadas, definida localmente alrededor del punto

() una retro de estado, tambin definida localmente alrededor del punto


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4.1.2. Linealizacin exacta va retroalimentacin del modelo matemti-

co del levitador de laboratorio

Sea el modelo equivalente como (4.1 )el cual lo podemos escribir de la siguiente manera

con variables de desviacin lineal

1 = 2 +

2 = 2 = 1 ()

2 = 2

(3 +

3)2

(1+

1)

+ = 2 ()

3 =

0+

(1+1)

+

0+

(1+1)

3

0+

(1+1)

+

0+

(1+1)

= 3 () + 3 () 3 () 6= 0

= 1 +

1 = ()

(4.10)

De acuerdo a las definiciones y la teora anteriormente descrita, tomamos la salida de nue-

stro sistema y derivamos sucesivamente con las variables de desviacin lineal hasta encontrar

la ecuacin que relaciona la entrada del modelo matemtico.

Derivando tenemos que:

= 1 +

1

=

1 = 2 + 2

=

2 = 2 () = 2

(3 +

3)2

(1+

1)

+

= 2

h(3 +

3)21

(1+

1)

1

+

2(3 +

3)

3

(1+

1)

i=

22(2 +

2) (3 +

3)2

(1+

1)

+

0+

(1+

1)

(3 + 3)2(1+

1)

0+

(1+

1)

(3 + 3)(1+

1)

0+

(1+

1)

(3 + 3)(1+

1)

0+

(1+

1)

(3 + 3)(1+

1)

(4.11)


59/167


Para llegar a la entrada se deriv tres veces la salida, eso significa que el grado relativo del

sistema = 3 y es una condicin suficiente para garantizar la linealizacin entrada estado yel sistema es completamente linealizable por la condicin de la salida., tambin la dinmica

del sistema esta completa ya que es del rango pleno. Basndonos en las definiciones de las

condiciones de linealizacin, podemos seguir con el siguiente anlisis, haciendo el cambio de

coordenadas tenemos:

1 = () =

=h

1 0 0i

= 1

2 = () =

() = h 1 0 0 i

2

2 ()3 ()

= 2

3 = 2() =

()

() =

h0 1 0

i2

2 ()

3 ()

= 2 ()

(4.12)

Derivando las nuevas coordenadas en funcin de

1 = 2

2 = 33 =

2()

= = ( 1

2

3) + (

1

2

3)

(4.13)

con( 1

2

3) =

22(2 +

2) (3 +

3)2

(1+

1)

+

0+

(1+

1)

(3 + 3)2(1+

1)

0+

(1+

1)

(3 + 3)(1+

1)

0+(1+

1

)

(3 +

3)

(1+

1)

(4.14)

y

( 1

2

3) = 1

0 +

(1+

1)

(3 + 3)(1+1) (4.15)


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Debido que la ecuacin que corresponde a () y () queda inconclusa el valor de (3 +

3) , se puede encontrar su valor mediante la siguiente expresin:

3 = 2

(3 +

3)2

(1+

1)

+

2

(3 +

3)2

(1+

1)

= 3 +

(3 +

3) =

q2

(1+

1)

(3 + )

(4.16)

y sustituyendo el valor de (3 + 3), en () y ()

1 = 2

2 = 3

3 = (

1

2) + (

1

2)(4.17)

donde

( 1

2) =1

(2 +

2) (3 + ) +2

0+

(1+

1)

(3 + )

0+

(1+

1)

(q

2

(1+

1)

(3 + ))

(1+

1)

0+

(1+

1)

(q2 (1+

1)

(3 + ))

(1+

1)

( 1

2) =

0+

(1+

1)

q

2

(1+

1)

(3 + )

(1+

1)

(4.18)

Esta expresin queda en funcin de y se emplear para eliminar las no linealidades del sis-

tema y disear un control retroalimentado lineal. Para comprobar las condiciones suficientes

que se deben de cumplir con este difeomorfismo, obtenemos las siguientes matrices:

=

12

3

= () =

12

2

(3 +

3)2

(1+

1)

+

(4.19)

y aplicando la derivada parcial de con respecto a


61/167


=

1 0 00 1 0

22

(3 +

3)2

(1+

1)

0

(3 +

3)

(1+

1)

(4.20)

y como el det 6= 0 para 3 6= 0. Adems es controlable de rango n , se cumple con las

condiciones que se requieren para el cambio de coordenadas.

Con el control

=1

( 1

2)[( 1

2) + ] (4.21)

donde = 11 + 22 + 33 (4.22)

y eligiendo valores apropiados para 1 2 y 3 tal que

0 1 0

0 0 1

1 2 3

es estable.

Podemos cancelar las no linealidades y tener una sistema lineal y controlable. Por con-

siguiente el sistema queda

1 = 2

2 = 33 = 11 + 22 + 33

(4.23)

o

= (4.24)

donde

=

0 1 0

0 0 1

1 2 3

= [1 2 3] (4.25)

tal que los eigenvalores del sistema en lazo cerrado tengan parte real negativa. Finalmente ,el control completo no lineal convierte al sistema en lineal ya que es estable.

0 (4.26)


62/167

4.2 Controlador PID 53

4.2. Controlador PID

La combinacin de los efectos de accin proporcional integral y derivativa , se denomina

comnmente accin de control PID. Esta combinacin tiene las ventajas de cada una de las

tres acciones de control individuales mencionadas anteriormente. La ecuacin matemtica

con esta accin de control esta dada por

() = () +

Z0

() + ()

donde () = () () : es la seal de error.

Y : es la ganancia proporcional, : es la ganancia integral y : es la gananciaderivativa.

En general, la funcin de transferencia de un control PID presenta la siguiente forma:

()

()= +

+ (4.27)

Debido que no es posible la derivacin exacta de una seal, es necesario la utilizacin de

una aproximacin del trmino derivativo por un filtro de primer orden pasa bajo, tenindose

entonces:()

()= +

+

+ 1(4.28)

Con un parmetro positivo muy pequeo.

Hay que notar que debido a la dinmica rpida del sistema de levitacin magntica, es

indispensable que el esquema de control considerado (cualquiera que se utilice) responda

suficientemente rpido. La seleccin adecuada de los valores de las ganancias del controlador

PID (, , ) que se requieren para el buen funcionamiento del sistema, se le conoce

como sintonizacin del controlador. Si se puede obtener un modelo matemtico de la planta,entonces es posible aplicar diversas tcnicas para determinar estos parmetros, de tal forma

que sea posible cumplir con las especificaciones transitorias y de estado estacionario del

sistema en lazo cerrado. Sin embargo, hay que recalcar que este sistema en particular es


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altamente no lineal y de tercer orden, implica controlar tres variables a la vez, aunque en

este caso solo se tome una (la posicin) y no es fcil obtener dichos valores, el cual recurrimosa la tcnica del lugar de las races e ir sintonizando una ganancia (en este caso ) y dejando

dos fijas (, ).

4.3. Simulaciones

4.3.1. Valores de las ganancias de control y de los parmetros del

levitador magntico

Se seleccionaron los valores de la siguiente tabla:

Parametros Valores Unidades

00571(masa de la esfera) []

981

2

funcin de 1 y 3 [] 0017521 []

0 0038514 []

0005831 []

00243 []

25165 []

(4.29)

donde 1 [0 0016], 2 R, 3 [003884 238] y [0 1]

Ecuaciones de la planta no lineal y controlador no lineal para simulacin

Las ecuaciones para la planta son:


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4.3 Simulaciones 55

1 = 2 (4.30)

2 = 26347423 exp(

100058231

) + 981 (4.31)

3 =(25165 + 00243 3)

0038514 + 0017521 exp 100058231

Ecuaciones del controlador no lineal para simulacin

1 = 45246 1003(232 exp(

100058231 )) (4.32)

2 =526949(23 exp(

100058231

)

0038514 + 0017521 exp( 100058231

)

3 =12805(3 exp(100058231))

0038514 + 0017521 exp( 100058231

)

4 =1326067(033213 exp(

100058231

)

0038514 + 0017521 exp( 100058231

)

=1326067(3 exp(

100058231

)

0038514 + 0017521 exp(

100058231)

donde la ley de control es:

=1

1 2 3 4 + 1(1 ) + 22 + 3(263474

23 exp(

100058231

) + 981)

(4.33)

Para el control no lineal se obtuvieron las siguientes ganancias para la retroalimentacin,

tanto para la planta lineal y no lineal:

1 = 125

2 = 75

3 = 15

(4.34)


65/167


Ecuaciones para la planta lineal en coordenadas z y el controlador no lineal para

simulacin

Las ecuaciones para la planta son:

1 = 2

2 = 3

3 = (1 + 2 + 3 + 4) + () +

Las ecuaciones para el controlador no lineal son las siguientes:

1 = 1717298(2 + 0)(3 + 981 + 07005) (4.35)

2 =2(3 + 981 + 07005)

0038514 + 0017521 exp(10004800058231

))

3 = 12805

vuut(00380 exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )

0038514 + 0017521 exp(10004800058231

)

4 = 1326067((03880)vuut00380exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )0038514 + 0017521 exp(10004800058231

) )

= 1326067

vuut00380 exp( 1+0004800058231 )(3 + 981 + 07005) exp(10004800058231 )

0038514 + 0017521 exp(10004800058231

)

El cual el controlador es:

=1

[1 2 3 4 + 1(1 ) + 22 + 33] (4.36)

4.3.2. Sistema no lineal con control no lineal por retroalimentacin

La referencia para la simulacin esta dada por:

= 03 sin(005) + 04 (4.37)


66/167

4.3 Simulaciones 57

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

t en segundos

Posicinencm

Posicin

Referencia

Figura 4.2: Seguimiento de la posicin para coordenadas z.


67/167


0 5 10 15 201.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-3

t en segundos

Posicinenmm

Posicin

Referencia

Figura 4.3: Seal de posicin llevada al punto de equilibrio.

La figura (4.2) muestra el seguimiento exacto de la posicin del sistema por linealizacinexacta con una referencia senoidal, pues se ve que es bastante eficiente y tiene una aproxi-

macin exacta.

En cuestin de la simulacin se tiene que:

= 0002 sin(05) + 0004 (4.38)

Las seales en el punto de operacin son las siguientes:Las grficas (4.3),(4.4) y (4.5) obtenidas , sealan los puntos de equilibrio del espacio de

trabajo para el levitador (aunque existen otros dentro del rango de operacin). Se observa

en general un buen desempeo.


68/167

4.3 Simulaciones 59

0 5 10 15 20-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

-3

t en segundos

Velocidadenm/s

Velocidad

Figura 4.4: Seal de velocidad llevada al punto de equilibrio.


69/167


0 5 10 15 200.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

t en segundos

Corrienteenamperes

Corriente

Figura 4.5: Seal de corriente en el punto de equilibrio.

4.3.3. Control PID

Para la referencia de la simulacin del levitador, es:

= 0002sin() + 0004 (4.39)

Los valores obtenidos para las ganancias en el caso del controlador PID son:

= 130

= 500

= 6

(4.40)

En las figuras (??) y (4.7) se dan los resultados obtenidos en la simulacin del dispositivo,utilizando los parmetros de la tabla (4.29), las ganancias del controlador y la variable de

salida que es la posicin, en cual es deseada el punto de equilibrio. Comparando estos resul-

tados con el controlador no lineal por retroalimentacin se puede concluir que son similares


70/167

4.3 Simulaciones 61

0 2 4 6 8 103

4

5

6

7

8

9

10x 10

-3

t en segundos

Posicinenmm

Posicin

Referencia

Figura 4.6: Posicin llevada al punto de equilibrio.

en cuanto a desempeo y buen funcionamiento en el rango de operacin, aunque si hay que

ajustarle dichos parmetros ya que es muy dificil de controlar porque la esfera slo se mueve

a escasos milmetros.

4.3.4. Conclusin

En las simulaciones de este capitulo , se examin el comportamiento del controlador no

lineal y del controlador PID . Todos los resultados estn realizados en lazo cerrado y son

localmente estables bajo ciertas suposiciones .

Hay que notar que para que el control PWM funcione es necesario una saturacin para

el control y especificar el rango de operacin apegado al dispositivo real para poder tener

comparaciones aproximadamente bien de las simulaciones con el objeto real.Los resultados mostrados en este capitulo presentan las siguientes ventajas:

El diseo del controlador no lineal es un sistema de grado relativo 3, por lo tanto no


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0 2 4 6 8 101

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-3

t en segundos

Posicinenmm

Posicin

Referencia

Figura 4.7: Seguimiento de la seal de posicion con el controlador PID.

se tienen dinmicas internas que faltara por analizar, asi el anlisis esta completo.

El controlador no lineal diseado elimina todas las no linealidades y hace al sistema

totalmente lineal, adems su implementacin en el sistema no lineal es bastante eficientepara controlar la posicin del objeto levitado tomando las propiedades y las desventajas

del prototipo.

Para el diseo del controlador PID no fue tan fcil, debido a la complejidad del modelo

en la parte de la corriente , entonces al utilizar el mtodo del lugar de las races se

hizo tan compleja, ya que el sistema es tan sensible que los polos se hacen inestables,

es por ello que mejor se opt por usar el paquete de simulacin real del prototipo y se

obtienen buenos resultados , ya que los parmetros de simulacin estn estrictamente

restringidos, pero el procedimiento es el mismo como se describi anteriormente para

obtener las ganancias del controlador.

Finalmente, las simulaciones que se presentan se aproximan mucho al prototipo real ,sto


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4.3 Simulaciones 63

con el fin de poder tener una buena comparacin con el prototipo de laboratorio.


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Captulo 5

Control de levitacin magntica con

compensacin neuronal.

Si desea posicionar al levitador en puntos fijos de su espacio de trabajo (problema de

regulacin), el control no lineal puede prescindir de trminos de compensacin cuando la

funcin nominal es desconocida. En este capitulo el controlador no lineal requiere de trmi-

nos adicionales (trminos de compensacin) para compensar algunas no linealidades de la

dinmica del levitador con el propsito de hacer cero o acotar el error de seguimiento y hacerque el sistema en lazo cerrado sea estable. Para lograr esto, se propone una red neuronal

dinmica de una capa para estimar la compensacin que el control no lineal necesita para

resolver el problema de seguimiento de trayectoria. Dicha compensacin consta de dinmicas

no modeladas o incertidumbres y la variacin de la funcin nominal del controlador.

Posteriormente se garantiza que el punto de equilibrio del sistema en lazo cerrado (levi-

tador y control no lineal) es el error de seguimiento y que la prueba de estabilidad asegura

que el sistema en lazo cerrado es estable. Esto simplifica la implementacin del controlador

en un levitador real, reduciendo el tiempo de cmputo y requiriendo una red neuronal debaja complejidad.

Las leyes de aprendizaje que se obtienen son muy parecidas a la versin continua del

algoritmo de mnimos cuadrados, con algunos trminos adicionales. Adems, los valores


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66 Control de levitacin magntica con compensacin neuronal.

iniciales de los pesos de la red neuronal estn actualizados en lnea con los parmetros del

levitador magntico Finalmente, se presentan los resultados de simular el control no linealcompensado con la red neuronal. En ellas es posible observar la estabilidad del sistema

completo y su desempeo para diferentes pesos iniciales.

5.1. Regulacin con compensacin neuronal

Un sistema no lineal en su forma cannica controlable est dada por:

() = () + () + (5.1)

en el cual =

()

() es una parte conocida, es una incertidumbre

desconocida que se expresa como:

= () + (5.2)

donde son los pesos ideales obtenidos, y es el resultado de entrenar a la red, () es

la funcin de activacin no lineal y es un trmino constante real para indicar el error de

modelado por redes neuronales y esto es debido al ajuste inexacto del sistema no lineal al

entrenar los pesos de la red.En forma de espacio de estado est dado de la siguiente manera:

1

=

2

() + () +

(5.3)

donde = [1 2 ] son los estados de la planta.

Si () 6= 0 las no linealidades pueden ser canceladas por (regulacin):

= 1 ()

h ()c ()i (5.4)donde es la retroalimentacin de estado de la red neuronal y c son los pesos que se estnaprendiendo y = [12] son los estados de entrada a la red neuronal.


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5.1 Regulacin con compensacin neuronal 67

Por consiguiente

() = + c () (5.5)Sea

= 01 12 1 = (5.6)

donde = [0 1]

Por lo tanto, el sistema quedara como:

() = + c () (5.7)En forma matricial

= + c () (5.8)

donde =

0 1 0 0

1

0 1

= [0 0 1]

Los eigenvalores de es el () =

+ 11 + + 0

S1: Existe un

constante positiva tal que para todo , se tiene que

1

0 = R (5.9)

Teorema 5.1 Supngase queS1 se satisface, la ley de control

=1

()

h ()c ()i (5.10)

junto con la ley de adaptacinc = () (5.11)

garantiza que el estado esta acotado uniformemente 1 y el sistema es estable en el sentido de

Lyapunov en el conjunto definido por:

=n

R |k k2 2

o

(5.12)

1Sea una funcin ( ) continua con primera derivada con respecto al tiempo,

( ) continua, y sean

las funciones de clase , , y definidas en una vecindad alrededor del punto de equilibrio = 0 del


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68 Control de levitacin magntica con compensacin neuronal.

donde es la di

muy bueno levitacion

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