Musterlösung zur Klausur E1 Wintersemester 2011/12 (Nebenfach 6ECTS) Aufg.1 Volleyball a) Bahnkurve:

!r (t) =x(t)z(t)

!

"##

$

%&&=

v x ' t

h1 + vz ' t (12gt2

!

"

###

$

%

&&&

Im Scheitelpunkt gilt !z(tS ) = vz (tS ) = 0 ,bzw vz (0)! gtS =0 , einsetzen in z(t):

h2 ! h1 ="h =vz2

g!12g vz

2

g2 → vz = 2!hg , tS = 2!h / g v x = d g / 2!h

tan! = vzv x

=2 h2 ! h1( )

d ; v = v x

2 + vz2 = 2g h2 ! h1( )+ g "d 2

2 h2 ! h1( )

Aufg2: Apfellooping a) Impulserhaltung mS !vS = (mA +mS ) !vA

vA =mSvSmA +mS

= 15g !60m s( ) 210g = 4,3ms

b) Energieerhaltung 12mvA

2 = 2mgL + 12mvoben

2

Die Mindestgeschwindigkeit muss GZ FF = erfüllen, also mvmin

22

L=mg! vmin = Lg = 0, 40m "10 m

s2=2m

s

Damit Apfel auf Kreisbahn bleibt:

vA ! 4gL + vmin2 = 4 "10 m

s2"0, 4m+ 4m

2

s2=4,5m

s

⇒ Der Apfel schafft es gerade nicht.

Aufg.3 Gravitationsfeld a) Die Gravitationskraft im Inneren einer homogenen Kugel wächst linear. Mit der Randbedingung FG(R)=mg erhält man

FG (r) = !mgrR

b) Energieerhaltung: Epot (R) = Ekin max

mg0

R

! rRdr = 1

2mgR =1

2mvmax

22

vmax = gR =8000ms

Aufg. 4: Gravitationsgetriebener Ventilator a) Bewegungsgleichung für Drehbewegungen

I !!! = D! !!! = FextRZI

b) Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders ist IZ =MzRz

2

!!(t) = FextMzRz

t = 1N !1s1000g !10cm

=10 s"1

c) L =! IHohlzylinder + IV( )! ! MZRZ2 +12MVRV

2"

#$

%

&'=10

1g1kg ! 0.1m( )2 + 1

20.2kg ! 0.2m( )2

"

#$

%

&'= 0.14

kg !m2

s

Aufg.5 Springbrunnen a) Zur Vereinfachung wird angenommen, dass der Aussendruck pAussen=0 ist. Dann ist der hydrostatische Druck am Boden des Fasses (Hahn zu) : pstat = pÖl + pWasserghÖ!Ö + ghW!W = gh1!W

h1 = hÖl!Öl!Wasser

+ hWasserFass = 4m !0.7+ 2m = 4.8m

b) Geschwindigkeit des austretenden Wassers

pstat = gh1!W =12!Wv

2

v = 2gh1 = 2 !10ms"2 4,8m # 9.8ms

c) Höhe der austretenden Fontäne h2 = h1 = 4.8m

Aufg.6 Schwingungen und Wellen a) mit λ1=2L=0.6m (Grundmode) folgt λ2=λ1 /2=0.3m, λ3=λ1 /3=0.2m

b) fn =v!n

=Fµ!1!n

.

2. Mode: fA (2)= 1202 Hz (A) oder 1190Hz (für g=9.81) 3. Mode: fB (3)= 1204 Hz (A) oder 1193Hz (für g=9.81)

c) Schwebung.

! (t) = 2Acos 2" f2 + f12

!

"#

$

%&cos 2"

f2 ' f12

!

"#

$

%&

(oder entsprechende phasenverschobene Ausdrücke)

Für die Modulation gilt dt= 1/(fB(2)-fA(3)), da hier nur zwischen laut und leise (Amplitude maximal und Einschnürung) unterschieden wird. Die Zeitintervalle sind 0.5s.

Musterlösung Bonusfragen a) Eigenmoden des linearen CO2-Moleküls:

!"#"!$%&  '())*+,-./0*$$

'+,*/1./02-34534$

6&$$$7.())*+,-./0*$$$$$$$$'+,*/1./02-34534$

8&$$$9,:3.;*,.:<*$$$$$$$$=->>./02-34534$$$$$$$?6@A:/0$*3+:,+*+B$

Von den transversalen Kippschwingungen gibt es zwei Moden, weil das Molekül auch aus der Zeichenebene schwingen kann.

b)

c) Präzession des Kreisel im Schwerefeld (hier M:Drehmoment)

b)