multiplicación y división de números cardinales - mate 3131 · modelo de arreglos rectangulares...
TRANSCRIPT
Multiplicación y
división de números
cardinales
3.3
Vocabulario
En un enunciado de multiplicación
a x b
a y b se llaman multiplicandos.
El resultado de la multiplicación se le llama
producto.
YTHM © 2008
Multiplicación de números cardinales
La multiplicación de números cardinales se puede
modelar de varias maneras:
Modelo de suma repetida– multiplicación se
puede ver como sumar uno de los multiplicandos
la cantidad de veces indicada por el otro
multiplicando.
Modelo de arreglos rectangulares o matrices–
multiplicación se puede visualizar como la
construcción de una rejilla (grid), en la cual se
cuentan los puntos de intersección de la rejilla
Multiplicación de números cardinales
Modelo del área - Para la multiplicación, se
construye un rectángulo con las
dimensiones dadas, luego, se enumeran
las partes del área total.
Modelo del producto cartesiano– La
multiplicación se puede visualizar en
términos de productos cartesianos.
Suma repetida y grupos equitativos
Si un chocolate cuesta cinco centavos, ¿cuánto
costarán cuatro chocolates?
5¢ + 5¢ + 5¢ + 5¢ = 20¢
Esta suma repetida se denota, 4 x 5
donde el 4 representa las veces que se suma el 5.
Así que, 4 x 5 = 20 (4 veces 5 es 20).
En la tienda de animales hay tres peceras. En cada una
hay 6 peces. ¿Cuántos peces hay en total en las tres
peceras?
3 x 6 = 18
Cantidad de
grupos del
mismo tamaño
Cantidad de objetos en cada grupo
Cantidad total de objetos
en todos lo grupos
Suma repetida y grupos equitativos
Modelo de suma repetida
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Harcourt Matemáticas: Segundo grado
enVisionMATH Tercer grado
Arreglos rectangulares o matrices
Un arreglo rectangular o matriz consiste de objetos
arreglados en filas del mismo tamaño.
Arreglos rectangulares o matrices
La cantidad de objetos
en un arreglo
rectangular con a filas y
b objetos en cada fila se
representa,
a x b.
5 x 4 = 20
Harcourt Matemáticas
Segundo grado
Arreglos rectangulares o matrices
Modelo de arreglos rectangulares o matrices
4 • 5 = 20
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Definición
Multiplicación de número cardinales
En general, si n y a son cardinales, n≠ 0 entonces
n x a = a + a + … + a + a veces
n
YTHM © 2008
Si n = 0, entonces 0 ∙ a = 0
El producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A y
B está dado por:
A x B = {(a, b)| a A y b B}.
Este conjunto consiste de todos los pares
ordenados tales que el primer elemento
pertenece a A y el segundo a B.
YTHM © 2008
Definición
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces la cardinalidad del
producto cartesiano A x B es el producto de a y b.
a x b = n(A x B)
YTHM © 2008
Nota: La expresión a · b, o simplemente ab, es el
producto de a y b, donde a y b son factores.
Ejemplo
Si A = {1, 2} y B = {3, 4, 5}.
Determine A x B .
A x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3),
(2, 4), (2, 5)}
Determine B x A.
B x A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2),
(5, 1), (5, 2)}
YTHM © 2008
Modelo del producto cartesiano
Suponga que un estudiante desea tomar dos
cursos a distancia en una universidad local. El
primer curso puede ser- Historia del Mundo o
Historia Antigua. Para el segundo curso, puede
elegir entre - Latín, Francés o Alemán. Para mostrar
el número de programas de clases diferentes que
podrías tener, se puede utilizar un diagrama de
árbol.
Producto cartesiano H × L usando un árbol
Sean H = {Historia del Mundo, Historia Antigua} y
L = {Latín, Francés, Alemán}. Latín
Alemán
Francés
Programa
Historia del
mundo
Historia
Antigua
Historia del mundo, Latin
Historia del mundo, Alemán
Historia del mundo, Francés
Historia Antigua, Latín
Historia Antigua, Francés
Latín
Alemán
Francés
Historia Antigua, Alemán
Los seis (6) posibles programas que cumplen las condiciones.
Modelo de Área
Una alfombra mide 5 pies de largo y 4 pies de
ancho. ¿Cuánta área del piso cubre?
El área del piso cubierta por la alfombra es de
20 pies cuadrados.
5 5 5 5
5’
4’
1u2
Decimos que las
dimensiones del
rectángulo son 4 x 5
En general, el producto
a x b
es el área de una región rectangular con a
unidades de ancho y b unidades de largo.
Es decir, la cantidad de cuadrados que cubren
un rectángulo con a unidades de ancho y b
unidades de largo.
YTHM © 2008
a x b a
b
Modelo de Área
Multiplicación: a x 0
¿Cuál es un significado de 5 x 0?
0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Por lo tanto 5 x 0 = 0
Si tienes 0 x 5, se debe referir a la definición
original de multiplicación que se ofreció
0 x 5 = 0
Propiedad de multiplicación por
cero Para cualquier número a,
a x 0 = 0 y 0 x a = 0
o podemos decir,
a x 0 = 0 x a = 0
Multiplicación por 1
¿Cuál es un significado para 5 x 1?
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
Entonces 5 x 1 = 5.
¿Cuál es un significado para 1 x 5?
Un arreglo rectangular con 1 fila de 5
objetos, es decir, un arreglo de 5 objetos. Así que,
1 x 5 = 5.
Propiedad de identidad
Para cualquier número a, existe el único número 1,
tal que
a x 1 = a y 1 x a = a
o
a x 1 = 1 x a = a
Ejemplo
Si un dulce cuesta cinco centavos, ¿cuánto costarán seis
dulces?
6 x 5 = 30 centavos
Si un dulce cuesta 6 centavos, ¿cuánto costarán cinco
dulces?
5 x 6 = 30 centavos
YTHM © 2008
Entonces, como los productos son iguales, decimos
que las expresiones de multiplicación son equivalentes
y escribimos,
6 x 5 = 5 x 6
a pesar, de que no significan lo mismo.
Propiedad conmutativa
Dado dos números a y b, entonces:
a x b = b x a
Esto implica que a pesar de que las expresiones a
los lados del símbolo de igualdad no son iguales,
los valores de estas expresiones sí lo son.
YTHM © 2008
Propiedad conmutativa de la
multiplicación
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Ejemplo
Explique de que manera se puede llevar a cabo
la siguiente multiplicación:
2 x 5 x 10
sin utilizar la propiedad conmutativa.
– Multiplicando primero el 2 y el 5
(2 x 5) x 10
– Multiplicando primero el 5 y el 10
2 x (5 x 10)
YTHM © 2008
Propiedad asociativa de la multiplicación
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Propiedad asociatativa
Dado dos números a y b, entonces:
(a × b) × 𝑐 = a × (b× 𝑐)
Esto implica que podemos cambiar la forma de
agrupar los factores en multiplicación y el resultado
será el mismo.
Las expresiones son equivalentes.
YTHM © 2008
Ejemplo
(1) Determine el valor de la expresión,
5 ( 2 + 3)
5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25
(2) Determine el valor de la expresión,
5 (2) + 5 (3)
Un significado para esto es,
2 + 2+ 2 + 2 +2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25
Ejemplo (cont.)
Como 5(2+ 3)= 25 y 5(2)+5(3)= 25,
podemos decir que las expresiones son
equivalentes,
5(2+ 3)= 5(2)+5(3)
Interpretación como área total
5
2 3
Área total =5 x (2 +3)
5
2 3
Área total = A1 + A2
= (5 x 2) + (5 x 3)
A1 A2
Propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la suma
Sean a, b y c números cardinales,
a(b + c)= a(b)+ a(c)
La propiedad distributiva puede ser generalizado a
cualquier número finito de términos. Por ejemplo,
a(b + c + d) = ab + ac + ad.
Multiplicación descomponiendo
Copyright © 2013, 2010, and 2007,
Pearson Education, Inc.
enVisionMATH Tercer grado
Para números cardinales a, b, y c con b > c,
Propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la resta
enVisionMAth Tercer grado
Propiedad asociativa de la multiplicación
enVisionMATH Tercer grado
Copyright © 2013, 2010, and 2007,
Pearson Education, Inc.
enVisionMATH Quinto grado