Multiple Moving Objects

Siu-Siu Ha

Marlies Mooijekind

Indeling

Dynamic Motion PlanningMultiple RobotsArticulated Robots

Dynamic motion planning

Positie obstakel en robot uitzetten tegen tijd.

Configuratie-ruimte C is alle configuraties van de robot:

Configuratie-tijd ruimte: C x tijd

Tot nu toe

A Robot

W Workspace

Bi Obstakel i

CBi Configuratie Ruimte van Bi

C Configuratie Ruimte

q configuratie

Nieuw

A Robot

W Workspace

Bi(t) Obstakel i op tijd t

CBi(t) Configuratie Ruimte van Bi op tijdstip t

CT Configuratie Tijd Ruimte

q(t) Configuratie op tijd t ; q(0) = qinit;

q(T) = qgoal

Configuration Space and Configuration Time Space of Obstacle B

Path Planning in CT

Met exact cell decomposition Over het algemeen compleet, maar niet

practisch omdat complexiteit te hoog is.

Met approximate cell decomposition

Approximate Cell Decomposition

Decompositie in rechthoekige cellen Full, Empty, Mixed

Nu extra dimensie: Tijd

Configuration Time Space and Connectivity Graph

Snelheids restrictie Vmax In 2D een driehoek In 3D een kegel

t

y

A

Planning met snelheidsrestricties

Exact cell decomposition Approximate cell decompositionVelocity tuning

Exact cell decomposition

t

y

A

t

y

B

t

y

A

B

Voorbeeld in 2D

Approximate cell decomposition (1)

Approximate cell decomposition (2) Vanwege het discretiseren van de channels in

gridvorm, is er geen garantie dat een CT-pad dat aan de snelheidsrestricties voldoet, gevonden wordt.

Mogelijke oplossing: fijner discretiseren

t

y

A

t

y

A

Velocity tuning2-fasen methode

Pad voor A van qinit naar qgoal langs stationaire obstakels in W.

Snelheid bijstellen van A langs het pad om botsing met verplaatsende obstakels te vermijden.

Path-Time space (PT) (1) Pad van qinit naar qgoal door basis motion

planning (stationaire obstakels). (l) = positie robot; l [0, L] . PTB: tijd [0, T] uitgezet tegen de lengte van

het pad, [0, L]. PT-obstakels: Op bepaalde tijd op een punt

op het pad is een obstakel. Vind vrije PT-pad tussen (0,0) en (L,T)

Path-Time space (PT) (2) Variant Visibility Graph methode

Multiple RobotsVerschillende stationaire obstakels in WVerschillende robots bewegen in

dezelfde Workspace

Centralized planningDecoupled planning

Composite Configuration Space (1)

Elke robot Ai, i [1, p] heeft een configuratie ruimte Ci

C-obstakels die corresponderen met botsing van Ai met een stationaire obstakel een andere robot, deze kan niet

gerepresenteerd worden een vaste regio in Ci

Composite Configuration Space (2)

Beschouw de objecten A1 tot Ap als één object: A = {A1,...,Ap}

Dan configuratie van A: q = (q1,...,qp); qi Ci A’s configuratie ruimte C = C1 x ... X Cp CBij : C-obstakel door interactie Ai met Bi CAij : C-obstakel door interactie Ai met Aj Vrij pad in C vinden tussen qinit en qgoal

Centralized Planning (1)

Pad in de composite configuration space vinden

Tijd complexiteit is exponentieel aan dimensies composite configuration space. Niet practisch.

Centralized Planning (2)

Decoupled planning

Plan pad voor elke robot apart en coordineer deze paden.

Voordeel: lagere dimensieNadeel: niet compleetMethoden:

Prioritized planning Path coordination

Prioritized planning Robots A1, …, Ap

p iteraties Bepaal in iteratie i pad van Ai rekening houdend

met obstakels Bj en robots A1 , …, Ai-1.

Motion Ai plannen alsof Ai beweegt tussen stationaire objecten Bj en i-1 bewegende objecten = Dynamic motion planning

Random prioriteiten toekennen

Path coordinationTwee stappen:

Genereer free path voor elke robot zonder rekening te houden met andere robots

Coordineer paden z.d.d. robots niet botsen m.b.v. een coordination diagram

Path coordination Twee robots A1 en A2:

1: s1 є [0,1] 1(s1) є C1free

2: s2 є [0,1] 2(s2) є C2free

S1xS2–space [0,1]x[0,1] Schedule = pad dat (0,0) en (1,1)

verbindt Schedule = coordinatie van

paden

Doel: vind een free schedule z.d.d. de robots niet botsen

Path coordination Obstacle region in S1xS2–

space = alle paren (s1,s2) z.d.d. A1 in configuratie 1(s1) en A2 in configuratie 2(s2) elkaar snijden

Vind schedule dat obstacle region niet snijdt

Nadeel: obstacle-regions kunnen erg complex worden

Path coordination Deel pad 1en 2 in w1 en w2

segmenten: Elk segment is even lang

S1xS2–space verandert in array met w1 x w2 cells

Elke cell is EMPTY of FULL Cell is EMPTY als A1 en A2

voor geen enkele van deze configuraties snijden

Dit is een coordination diagram

Path coordination Free schedule is een pad van

(0,0) naar (1,1) dat over de randen van EMPTY

cellen loopt diagonaal door de EMPTY cellen

Boundary is dus collision free M.b.v. SW-closure kan een

nondecreasing schedule gevonden worden zonder zoeken!

Path coordination Twee punten in S1xS2–space: (s1’, s2’) en (s1’’, s2’’)

(s1’, s2’) en (s1’’, s2’’) zijn incomparable (s1’- s1’’)(s2’- s2’’) < 0 Als (s1’, s2’) en (s1’’, s2’’) incomparable en s1’<s1’’ (dus s2’>s2’’ ), dan is de SW-

conjugate punt (s1’, s2’’) Een connected region R is SW-closed elke SW-conjugate van twee

punten in R zit ook in R SW-closure van S = kleinste SW-closed region R dat S bevat

Path coordination Bepaal SW-closure van elke obstacle region in

S1xS2–space

Path coordination Bepaal een schedule dat de

SW-closure niet snijdt: Begin in (0,0) while (1,1) niet bereikt

if cell EMPTY then doorkruis cell diagonaal

else if cell eronder EMPTY then ga naar rechts

else ga omhoog

Free schedule bestaat alleen als (0,0) en (1,1) niet in SW-closure liggen

Articulated Robots A = (A1, …, Ap)

Elk object A1 t/m Ap verbonden door joints: Revolute joint Prismatic joint

Mechanische stops Geen kinematische loop

Articulated Robots Workspace W = A0

A representeren als een tree: Node = A0 t/m Ap

Arc = joints Root = A0

Articulated Robots Configuratie van A: q =

(q1, …, qp) Als Aj een kind van Ai: Cj

(i) = configuration space van Aj t.o.v. Ai

qj є Cj(i)

Als tussen Aj en Ai revolute joint, dan Cj

(i) = S1

Als tussen Aj en Ai prismatic joint, dan Cj

(i) = R

C = R x … x R x S1…x S1

Articulated Robots 2 soorten C-obstacles:

Tussen Aj en obstakel Bj

Tussen Aj en Aj

Mechanische stop beperkt aantal waarden van qi: Ii = (qi-,

qi+), vb. I1 = [0, π]

Doel: vind een free path tussen qinit en qgoal

Methoden: Silhouette methode Freeway methode Approximate cell decomposition Potentiaal velden

Approximate cell decomposition

Maak conservatieve benadering van free space (= subset van “echte” free space) door discretisatie van motion van joints

Maak connectivity graph van de conservatieve benadering

Zoek naar channel tussen qinit en qgoal

Approximate cell decomposition Aannamen:

A = (A1, …, Ap) en q = (q1 ,…, qp)

Ai en Ai+1 verbonden door revolute of prismatic joint

Interval Ii = (qi-, qi

+)

Ai en Aj botsen nooit!

Wel obstakels Bi

Ai (q1 ,…, qi) = region die Ai in workspace inneemt

Approximate cell decomposition

Benadering van C-obstacle region in I1 x …x Ip

Elke interval Ii verdelen in kleinere intervals δi,ki met ki = 1, 2, … Vb. I1 = [0, π]:

δ1,1 = [0, ¼ π], δ1,2 = [¼ π, ½ π], δ1,3 = [½ π, ¾ π], δ1,4 = [¾ π, π],

Approximate cell decomposition Cell δ1,k1 x … x δp,kp behoort

tot C-obstacle region: Als region bestreken door A

wanneer (q1 ,…, qp) varieert over δ1,k1 x … x δp,kp snijdt met een obstakel

Anders behoort δ1,k1 x … x δp,kp tot free space

Alle cells bekijken levert benadering van C-obstacle region

Approximate cell decomposition

Nadeel: alle cells bekijken is niet efficient

Verbetering (1): Als voor gegeven waarden q1 ,…, qi Ai

snijdt met obstakel, dan qi+1 ,…, qp niet bekijken

Approximate cell decomposition

Verdeel elk interval Ii in intervallen die EMPTY of FULL zijn Verdeel EMPTY intervallen in kleinere intervals δi,ki met ki = 1, 2, …

Behoort q = (q1 ,…, qp) tot free space?

Approximate cell decomposition

Hoe bepaal je welke intervallen van Ii EMPTY of FULL zijn? Voor welke waarden qi snijdt Ai(q1 ,…, qi) obstakels

als q1 ,…, qi-1 varieert over δ1,k1 x … x δi-1,ki-1

Oplossing: Bepaal middelpunten q1,m1 ,…, qi-1,mi-1 van δ1,k1 , …, δi-

1, ki-1. Voor welke waarden snijdt Ai(q1,m1 ,…, qi-1,mi-1, qi) obstakels.

Approximate cell decomposition

Verbetering (2): Verdeel interval Ii in intervallen die FULL, C/EMPTY of P/EMPTY zijn.

Si(q1 ,…, qi)= region bestreken door objecten Ai+1, …, Ap Als qi+1 ,…, qp varieren over Ii+1 ,…,Ip En A1, …, Ai in configuratie q1 ,…, qi zijn

Approximate cell decomposition Configuratie qi behoort tot interval:

FULL: Ai(q1 ,…, qi) snijdt obstakels als q1 ,…, qi-1 varieert over δ1,k1 x … x δi-1,ki-1

C/EMPTY: Ai(q1 ,…, qi) U Si(q1 ,…, qi) snijdt geen obstakels als q1 ,…, qi-1 varieert over δ1,k1 x … x δi-1,

ki-1

P/EMPTY: in de overgebleven gevallen

Alleen P/EMPTY intervallen verdelen in kleinere intervallen

Approximate cell decomposition

Tree = representatie van free space in vorm van cellen

Maak connectivity graph die adjacency relatie van cellen representeert

Zoek naar channel tussen qinit en qgoal