métrologie diphasique métrologie des particules

Métrologie diphasique Métrologie des particules

partie 2: Théories

Kuan Fang REN

UMR 6614/ CORIA

CNRS - Université et INSA de Rouen

Cours M2 EFE – Université de Rouen

Théories de diffusion de la lumière

II-2

Théories rigoureuses

• Théorique de Lorenz-Mie

• Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

Modèles et théories approchés

• Optique géométrique

• Diffraction

• Théorie de Rayleigh

• Théorie de Rayleigh-Gans

• . . . . . .


Optique géométrique

II-3

Conditions d’utilisation:

l << l

longueur d’onde l est très petite devant la dimension de l’objet l.

1. Propagation rectiligne

dans un milieu homogène:

Imagerie

f’

Photographie

d’ d

Condition et applications directes


Optique géométrique – réflexion et réfraction

II-4

Réflexion et réfraction sur la surface séparant deux milieux d’indices différents

Lois de Descartes

'i i

La célérité v dépend de l’indice

de réfraction n du milieu:

cn

v

Réflexion:

sin 'sinn i n rRéfraction:

I

i

r

n

n’>n

R’

R

i’

Milieu plus

réfringent

Dioptre ou

surface réfractante

Définition et sens physique de l’indice de réfraction



II-5

Angle limite

Partie interdite n’>n

n

2 1

2 1

:

/ 1/1.333 48.6

/ 1/1.500 41.8

l

l

Exemples

n n i

n n i

Réflexion totale

Angle limite:

Réflexion total:

n

n’<n

Angle limite

Réflexion

totale

'arcsin

l

n

ni

li i

Applications

Fibre optique • Télécommunication

• Transport de faisceaux

lumineux

Angle critique pour

mesure de bulles

Jauge optique

Mirage naturel



II-6

Propagation d’un rayon

lumineux dans un milieu

stratifié parallèle:

ni jusqu’à ij=90°,

c-à-d réflexion totale.

n1

n2

n3

n4

... np

n1>n2 >n3 >… >np

ij

sinj j

n i C

Réflexion totale - applications

Application 1: Fibre optique

Application 2: Effet de mirage

grad T grad n

A

A’



II-7

//

tancos cos

cos cos tan

i tt i i t

i t t i i t

n nr

n n

titi

ti

itti

ii

nn

nt

cossin

cossin2

coscos

cos2//

ti

ti

ttii

ttii

nn

nnr

sin

sin

coscos

coscos

ti

ti

ttii

ii

nn

nt

sin

cossin2

coscos

cos2

Équations de Fresnel – relation entre les amplitudes des ondes réfléchie/réfractée et incidente

iE rE iE

rE

, r t

X XX Xi i

X X

E Er t

E E

Relation des amplitudes et des intensités

ou état de polarisation

: amplitudes de l'ondeincidente

, amplitudes des ondes réfléchie/réfractée

iX

r rX X

X

E

E E

tE

tE

iE rEiE

rE



II-8

Partie interdite n’>n

n

n

n’<n

Tau

x d

e ré

flex

ion

d’i

nte

nsi

té r

2

Angle d’incidence

┴ ║

réflexion totale

Angle limite

┴ ║

Relation des amplitudes et des intensités

Angle de Brewster: i+r=p/2


Optique géométrique – application à la diffusion

II-9

ds

A

B

Chemin optique:

B

AdssnAB )()( d=n ds

• Différence de phase: SrkmrkAB )(

• Absorption: ( ) ( )exp( 2 ) ( )exp( 2 )I B I A k I A km Si i

• Si n est constant: r

km S

0exp( 2 )

iI I km S

Propagation de la lumière dans un milieu:

Chemin optique, phase et intensité

Indice de réfraction complexe:

r im m im



II-10

O A

B

• Intensité :

où p indique l’ordre de diffusion,

X représente l’état de polarisation

( ou || ), rX coefficients de Fresnel.

• Longueur du trajet dans la particule:

• Angle de déviation:

Application à la diffusion par une sphère:

Réflexion et réfraction dans une particule

F

E

D

C

0

1



II-11

Phases:

• Différence de phase due à la différence de chemin optique :

• Sauts de phase dûs aux : réflexion sur la surface et ligne focale

cos sin

sin

i

p

p

Dd

d

Facteur de divergence:

car 2 2

0 002 2

cos sin

sin

X i Xs X

s p p

I dS I a d d aI I D

dS r d d r




II-12

Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique

• Sphère d’eau

• Polarisation

• Intensité

à l’angle d’arc-en-ciel

Sans

interférence

entre les

différents

modes




II-13

1.E+00

1.E+02

1.E+04

1.E+06

1.E+08

1.E+10

0 60 120 180

Scattering angle [deg.]

Sc

tte

red

in

ten

sit

y

total

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

Avec interférence

entre les différents

modes

Diagramme de diffusion d’après l’optique géométrique

Diffraction



II-14

Intensité totale avec

interférence:

Une sphère d’eau ou

une bulle d’aire dans

l’eau éclairée par une

onde plane de

longueur d’onde de

0,6328 µm.

Comparaison avec la théorie rigoureuse

Cas d’une sphère

homogène



II-15

Intensité totale avec interférence Un cylindre circulaire d’eau de rayon de 5 µm (gauche) ou de 10 µm (droite) éclairé par

une onde plane de longueur d’onde de 0,6328 µm.

L’optique géométrique marche encore très bien pour a ~ 10l.

GO GO

Comparaison avec la théorie rigoureuse

Cas d’un cylindre homogène infini


Optique géométrique – VCRM

Principle:

Wave and dioptric surface described by their local curvature,

Ray in vector ➙ easy for 3D tracing,

Complex Ray (phases) ➙ interference + diffraction.

Curvature of wave front ➙ divergence and focal lines ,

Advantages:

Incident wave: arbitrary shape,

Particle: arbitrary shape with smooth surface,

Sufficiently precise: Scattering diagram in all direction,

Prediction of all scattering properties of the scatterer.

VCRM: Vectorial complex ray model

Ren et al, Opt. Lett. 2010

Pour un objet de forme irrégulière:

II-16



Vectorial complex Ray :

Wave front – curvature matrix:

Surface of dioptry:

Projection matrix:

ˆii

i i iS Ae k

11 12

21 22

q qQ

q q

11 12

21 22

c cC

c c

1 1 1 2

2 1 2 2

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ

t s t s

t s t s

II-17

0Sphere :

0

0Cylinder :

0

:

r

Examples

r

r

Essentiel du VCRM



Fundamental laws:

Snell law:

Wave front equation:

• Amplitude:

• Phase :

• Total field:

1

N

diff i

i

E S S

A D

/2( )inc fl path l

1 2

1 2

...( )( )

R RD

d R d R

Divergence factor:

Fresnel coefficients : ε

' ' ' 'i t T T

n nk k C k Q k Q

i tk k

C Q Q’

II-18

Essentiel du VCRM



Sphere

Reflection:

Refraction p =1:

After 1st refraction:

After 2nd refraction:

Divergence factor:

Cylinder: R2=∞

Reflection :

Refraction p=1:

Applications to a sphere and a cylinder

1 2

cos 2 1

2 cos 4

aR R D

a

2

11 12

cos' '

cos cos cos cos

am amR R

m m

21 22

cos 2cos 2 cos ( cos cos )' cos '

2( cos cos ) 2( cos cos )(sin sin sin sin )

m a m mR R

m m

sin(2 )cos

4sin[2( )](cos cos )

mD

m

Identical to the classical one.

cos

2

aD

cos cos

2(cos cos )

mD

m

II-19

Application du VCRM


Ray tracing

Module

Tracing of all

the rays or a

part of them

Any number

of rays

Any position

of rays


II-20

Application du VCRM

Software for an ellipsoid

www.amocops.eu


Software for an ellipsoid

Scattering

diagram

Module

Intensité de

chaque ordre

Intensité totale

de tous les

rayons:

- Interférence

- Diffraction


II-21

Application du VCRM

www.amocops.eu



II-22

Toward the Ray theory of wave

p=3, a=100 µm

Fig. 3 Comparison of Airy structure calculated

with the three methods.

VCRM can predict much better Airy structure than the Airy theory and can be

applied directly to non-spherical particle.

p=3, a=50 µm


Oblate:

a = c = 139.17 µm

b = 133.86 μm,

a/b = 0.8938, 0.9608, 0.9816 (eq. Vol)

m = 1.4465

λ = 0.6328 µm


Experimental set-up results


Results and discussion

Comparison of VCRM and experimental normalized equatorial scattering diagrams for the droplets

of 3 different aspect ratios. From (a) to (c), the droplet's aspect ratio b/a increases and refractive

index decreases when the amplitude of the acoustic field is reduced.

Fig. 3 in Opt. Exp. 2015

Onofri, Ren et al

DEHS: Di-Ethyl-Hexyl-

Sebacat

HUDC: Hyperbolic

Umbilic

Diffraction

Catastrophe

Comparison with VCRM


Results and discussion

Morphology

(a, b)

Refractive index

m

Time evolution

a(t), b(t), m(t)

(a) Principal radii measured with the rainbow refractometry and imaging system

and (b) corresponding evolution of the droplet refractive index during the course

of the experiment.

Application to Characterization of non-spherical droplets


Diffraction

II-26

La diffraction est le comportement des ondes

lorsqu’elles rencontrent un obstacle. Le phénomène de la diffraction se manifeste lorsque

• la dimension de l’objet est de l’ordre de la longueur d’onde

• la variation de la densité/amplitude est brutale.

L’onde rencontre un obstacle L’effet de diffraction dans l’arc-en-ciel. Diffraction par deux fentes.

Phénomènes de diffraction


Diffraction

II-27

Principe de Huygens –Fresnel (1) La contribution de Huygens (1678)

La lumière se propage de proche en proche. Chaque

élément de surface atteint par elle se comporte comme une

source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont

l'amplitude est proportionnelle à cet élément.

t+t

(2) La contribution de Fresnel (1818)

L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un

point est la somme des amplitudes complexes des

vibrations produites par toutes les sources secondaires. On

dit que toutes ces vibrations interfèrent pour former la

vibration au point considéré.

t

Théorie de diffraction


Diffraction

II-28

Diffraction de Fresnel (R « petit »):

Diffraction de Fraunhofer (R « infini »):

Théorie de diffraction


Diffraction

II-29

Diffraction par un disque (sphère):

L’ouverture circulaire de rayon r :

Puisqu’il y a une symétrie de

révolution, on peut placer dans un

plan passant par l’axe optique:

2

1

0

sin

sin

JI I

2pr/l

Applications de diffraction

cos , sin ,x y dS dxdy d d

sin et 0


Diffraction

II-30

Critère de Rayleigh:

Le premier minimum nul de J1(x) s’obtient pour x=3.832, c’est-à-dire:

1.22

D

l

D

écran

A1

A2

Donc il est intéressant d’avoir une ouverture

importante pour une meilleur résolution

(lunette astronomique, appareil photo, …)



Diffraction et Interférence

II-31

Diffraction par une fente: 2

0 2

sin uI I

u

Largeur de la tache centrale: 0

2DL

a

l

Fente d’Yong: N=2

Interfrange : D

ib

l

22

0 2

sincos

u bI I u

au


2 2

0 2 2

sin sin

sin

u NvI I

u v

sin sin,

a bu v

p p

l l

N fentes:


Théorie de Rayleigh

II-32

1 1 11 cos

2cos

2

d

dr r rr

Champ du dipôle • Deux charges +q et – q

• Distant de d .

• p=qd

2

1 1

4

cos4

dipôle

ext

ext

q

r r

p

r

p

p

Champ statique d’un dipôle



II-33

Approximation électrostatique

Conditions: 1. Champ électrique

• statique

• uniforme

2. Taille de particule l<<l

Potentiel du champ induit:

Champ « diffusé »:

23.

02

4sin

2

i ext

i ext

E a E er

p

l

3

.02cos

2

i extext

i ext

aE

r

4 2

2

,

8 1 = Re

3 2ext

d

d mQ

m

l

p

l

Champ diffusé par un dipôle induit



II-34

Diagramme de diffusion

Éléments de la matrice de diffusion:

3

14

ikS

p

3

2 cos4

ikS

p

Polarisation perpendiculaire Polarisation parallèle

Champ diffusé par un dipôle induit


Théorie de Rayleigh-Gans

II-35

Conditions:

1. Onde incidente plane

2. Indice de réfraction m ~ 1:

|m-1|<<1

3. Surface d’égale phase plane

Principe:

1. Chaque élément de volume dV est

considéré comme un dipôle induit

par l’onde incident

2. Champ diffusé est la somme des

champs émis par tous les dipôles

Conditions et principe

1 1| |d

mp

l


Théorie de Rayleigh -Gans

II-36

Contribution d’un élément dV à l’amplitude du champ diffusé:

Champ total en P:

dA

2 22

2 2 2

3 ( 1) ( 1) car 2 3

( 2)

m mm

m

p p

l l

2 2( )dV a r drp 2 2 3( )cos( ) 4 sin( ) cos( ) /

a

aa r br dr ab ab ab b

4 sin( / 2)au

p

l

Théorie


Théorie de Rayleigh -Gans

II-37

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

5

10

15

20

25

30

Angle [deg.]

Inte

nsité (

log I

)u=100 sin(/2)

=2pa/l=50

2

0 3

sin cos| |

/ 3

u u uI E I

u

4 sin( / 2)au

p

l

Diagramme de diffusion selon Rayleigh-Gans


Théorie de Lorenz-Mie

II-38

Conditions:

1. Onde incidente plane

2. Particule :

• Sphérique

• Homogène ou stratifiée

concentrique

• Isotrope

Champs EM: En = An Rn(r)

Hn = Bn Rn(r)

Conditions aux limites:

, , ,

, , ,

i s e

i s e

E E E

H H H




II-39

Champ incident:

p

p

EE

HH

EE

HH

Sikrkr

Eiba

nn

nikr

kr

EE

Sikrkr

iEiba

nn

nikr

kr

iEE

HE

n

nnnn

n

nnnn

rr

0

0

0

0

1

1

00

2

1

00

sinexpcoscos1

12sinexp

cosexpcoscos1

12cosexp

0

1

1

12 sin

coscos

1

1211

n

nnni

TE

i

TM Pkrnn

n

ikU

U

Champ diffusé (lointain):

an, bn coefficients de

diffusion dépendants des

propriétés de la particule

n, pn fonctions angulaire

de Legendre

S1, S2 éléments de la matrice

de diffusion




II-40

Intensités de diffusion:

I()=|S1|2

I||()=|S2|2

Sections efficaces:

Cext=Csca+Cabs

Pression de radiation:

Cx=Cy=0

Grandeurs physiques


Théorie de Lorenz-Mie Généralisée

II-41

Conditions: 1. Onde incidente quelconque

2. Particule :

• Sphérique

• Homogène ou stratifiée

concentrique

• Isotrope

Particularités: 1. Lorsque l’objet est grand, l’éclairage

n’est plus uniforme

2. Faisceau incident est décrit par deux

séries de coefficients :




II-42

Champs diffusés:

Éléments de matrice de diffusion:

Expressions du champ diffusé



II-43

Scattering diagram

Scatterin angle [°]

340320300280260240220200180160140120100806040200

log(

I)

7

6

5

4

3

2

1

0

Scattering diagram


350300250200150100500

log(

I)

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

Scattering diagram


340320300280260240220200180160140120100806040200

log(

I)

6

5

4

3

2

1

0

-1

Particule :

a = 5 µm

m = 1.33

Faisceau gaussien:

l = 0.6328 µm

w0 = 5 µm

Onde plane

Faisceau gaussien sur axe

Faisceau gaussien hors axe: d=w0

Diagramme de diffusion:

Sur axe - symétrique

Hors axe - non-symétrique

Champs diffusés – onde plane/faisceau gaussien


TLM et TLMG pour la sphère

II-44

i E

i H

n,TM g m

n,TE g m

n a

n b s

E s

H

I

P

Structure de la TLMG

Cas d’une sphère


GLMT pour le cylindre

II-45

Introduction de la méthode spectrale

i E

i H n,TM

I (g )

n,TE I (g )

s E

s H I anI, anII

bnI, bnII

Théorique et numérique

Structure de la TLMG

Cas d’un cylindre


Diffusion d’un pulse par une sphère

II-46

t = 3400

t = 120 t = 20

Champs internes Sphère homogène

d=40 µm, =50 fs

Faisceau gaussien

t = 120 t = 1080

Diffusion d’une impulsion ultra rapide



II-47

t = 3400

t = 120 t = 20

Champs internes Sphère à 2 couches

de=40 µm, di=20 µm

=50 fs

Onde plane

t = 120 t = 1060




II-48


métrologie diphasique métrologie des particules

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