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Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 1

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDADMEJORA DE LA CALIDAD


Parte I: Control de productos terminados

Parte III: Diseño de experimentos

Parte II: Control estadístico de procesos

Diseño ProducciónProducto final


Materia prima Producto

Inspección


Papel de la estadística... MUESTREO

Muestra de pocos artículos, representativa de la totalidad

Se extrae una muestra

Número muy elevado de artículos(imposible analizar todos)

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad

Tema 2: Control de Recepción

1. Introducción2. Curva característica3. Plan de muestreo simple4. Plan de muestreo doble5. Plan de muestreo secuencial


1. Introducción

Producto

Lote: conjunto de N de artículos terminados, siendo N un valor grande, dispuesto para ser vendido

Muestra: conjunto de n artículos (n<<N) extraídos de dicho lote con el fin de evaluar la calidad del lote completo


pA = Nivel de Calidad Aceptable=NCA

= AQL (Acceptable Quality Level)

A la proporción de artículos defectuosos que el comprador está dispuesto a asumir en el lote le llamaremos pA

Si la proporción de artículos defectuosos del lote es p<pA

el lote es ACEPTABLE

Problema: pA es una propiedad del lote y no es posible conocerla salvo que analicemos todo el lote

Solución: tomamos una muestra representativa

El muestreo implica riesgos!!!

1. Introducción


Riesgos del muestreo

Lote de tamaño NMuestra de tamaño n<<N


Riesgos del muestreo aceptable

defectuoso

Lote de tamaño N

Riesgo del vendedor: en el lote hay una proporción de piezas defectuosas p muy baja (p≤pA)...

... pero, por azar, la muestra seleccionada tiene un porcentaje de defectos alto

Muestra de tamaño n<<N

El comprador RECHAZARÁ el lote creyendo, erróneamente, que tieneun porcentaje de piezas defectuosas p muy alto (mayor que pA)




aceptable

defectuoso

Riesgo del vendedor

Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable (p ≤ pA)




aceptable

defectuoso

Riesgo del comprador: en el lote hay una proporción de piezas defectuosas muy alta (p>pA)...

... pero, por azar, la muestra seleccionada tiene un porcentaje de defectos muy bajo

El comprador ACEPTARÁ el lote creyendo, erróneamente, que tiene un porcentaje de piezas defectuosas p muy bajo (menor que pA)




aceptable

defectuoso

Riesgo del comprador

Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable (p>pA)




Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable (p>pA)

Riesgo del vendedor

Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable (p ≤pA)

Para minimizar ambos riesgos: se ha de acordar entre comprador y vendedor un plan de muestreo

Plan de muestreo:

tamaño n de la muestra

+

número de artículos defectuosos máximo a admitir en la muestra, c




Que adquiera un lote que por su elevada proporción de defectuosos sería inaceptable

Riesgo del vendedor

Que le rechacen un lote que por su baja proporción de defectuosos sería aceptable

Para minimizar ambos riesgos: se ha de acordar entre comprador y vendedor un plan de muestreo

Plan de muestreo:

tamaño n de la muestra

+

número de artículos defectuosos máximo a admitir en la muestra, c

Plan de muestreoPlan de muestreo: Se extrae del lote una muestra de : Se extrae del lote una muestra de tamaño tamaño nn

•• si el número de artículos defectuosos encontrado, si el número de artículos defectuosos encontrado, dd, es , es

d>cd>c se rechaza el lote completose rechaza el lote completo

•• si el número de artículo defectuosos, si el número de artículo defectuosos, dd, es, es

d ≤cd ≤c se acepta el lote completose acepta el lote completo

Problema: elección de n y c


Curva Característica de un plan de muestreo o Curva OC (o curva OC(p)):

OC(p)=Es la probabilidad de aceptar un lote, en función del porcentaje de artículos defectuosos p.

Es decir, sea d el número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño n: OC(p)=P(d≤c)

2. Curva Característica


Proporción p de artículos defectuosos en el lote

Probabilidad de aceptar ese lote con el plan de muestreo

P(d≤c)

Curva OC de un determinado plan de muestreo (n,c)


OC(p)=1 si p≤pA

OC(p)=0 si p>pA

El plan de muestreo ideal tendrá la siguiente curva OC

pA

OC ideal

OC real

P(d≤

c)


OC(p)=1 si p≤pA

OC(p)=0 si p>pA

El plan de muestreo ideal tendrá la siguiente curva OC

pA

OC ideal

OC real

Cuanto más se aleje la curva OC real de la ideal, peor será el plan de muestreo: es más probable que se tomen decisiones equivocadas

P(d≤

c)


Para valorar el alejamiento de la curva OC respecto de la curva ideal basta con fijarnos en dos puntos de la curva

Uno de ellos corresponde a un valor en el que se espera un OC muy elevado y otro en el que se espera un OC muy bajo


pA

OC(pA)

El primer punto, del que se espera tenga una alta probabilidad

de ser aceptado, es pA

αA esta distancia α se le denomina Riesgo del vendedor =Probabilidad de rechazar un lote de calidad pA

α=1-OC(pA)Normalmente, α=0.05


pA

α

pR

El segundo punto, del que se espera que tenga una probabilidad de aceptación muy baja, se denomina pR y representa la proporción de artículos que se considera totalmente rechazable. Normalmente, pR es de 4 a 10 veces pA

A la probabilidad de aceptar este

lote tan inaceptable se le denomina β

Riesgo del compradorβ =OC(pR)

Normalmente β =0.05 a 0.10


pA

α

pR

β

La eficacia de un plan de muestreo se resume, por tanto, en el par de valores (pA, α) y (pR, β) con α,βentre 0.05 y 0.10


Ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32

0.08 0.32

?

?



Sea d el número de artículos defectuosos en la muestra n del lote de tamaño N, donde la probabilidad de que

un artículo sea defectuoso es p

d: es una variable aleatoria HIPERGEOMÉTRICA

0

(1 )

(aceptar) ( ) ( )c

i

Np N pi n i

P P d c OC pNn

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= ≤ = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑



Sea d el número de artículos defectuosos en la muestra n del lote de tamaño N, donde la probabilidad de que

un artículo sea defectuoso es p

Si N>>n, d se puede aproximar a una binomial

0(aceptar) ( ) (1 ) ( )

ci n i

i

nP P d c p p OC p

i−

=

⎛ ⎞= ≤ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑



También podemos obtener la curva OC usando Statgraphics:


La curva OC la podemos calcular analíticamente, pues OC(p) es P(d ≤ c) para diferentes valores de p. Podemos usar la aproximación del número de artículos defectuosos d a la binomial d≈ B(25,p)

Usando Statgraphics tenemos:

Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32



Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño N=1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32



Veamos un ejemplo: Tenemos un lote de tamaño 1000. Supongamos que el plan de muestreo consiste en tomar una muestra de tamaño n=25 y rechazamos el lote si hay más de c=2 artículos defectuosos. Queremos usar la curva OC para evaluar este plan si pA =0.08 y pR =0.32


Operating Characteristic (OC) Curven=25, c=2

True percent defective

Prob

. of a

ccep

tanc

e

0 10 20 30 40 500

0,2

0,4

0,6

0,8

1

pA pR

α=0.323

β=0.047

y obtenemos...

El riesgo del comprador, β, es muy reducido, sin embargo, el riesgo del comprador, α , es excesivo.

Este plan de muestreo no será aceptado por el vendedor. Deben buscar un plan más justo.


2. Curva Característica

La forma de diseñan el plan de muestreo será la siguiente:

• El comprador determina pA , pR y β

• El vendedor determina α

• Eligen el tipo de plan: simple, doble, secuencial...

• Obtienen, entonces, el tamaño muestral ny c que verifique la curva OC deseada

Resumen de curva OC


3. Plan de muestreo simple

Plan de muestreo simple: la decisión se toma con sólo una muestra de tamaño n. Si hay más de c artículos defectuosos se rechaza el lote

Problema: Dada una curva OC deseada por comprador y vendedor -puntos (pA,α)(pR, β)-,

calcular los valores de n y c que consiguen dicha curva OC

Solución: • Tablas del Plan Japonés (norma JIS-Z 9002)

• Analítica

• Statgraphics


Solución analítica: Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Usando la Hipergeométrica



A0

(1 )

(aceptar|p ) 1

A Ac

i

Np N pi n i

PNn

α=

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= − =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

R0

(1 )

(aceptar|p )

R Rc

i

Np N pi n i

PNn

β=

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

n y c son la solución de este sistema de

ecuaciones no lineal.

(1)

(2)


Usando Statgraphics...



N

α

β

pA

pR



y el resultado...



Solución analítica:



A0

(aceptar|p ) 1 (1 )c

i n iA A

i

nP p p

iα −

=

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

R0

(aceptar|p ) (1 )c

i n iR R

i

nP p p

iβ −

=

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

n y c son la solución de este sistema de

ecuaciones no lineal.

(1)

(2)

Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Si N>>n, usamos la aproximación Binomial


Solución analítica: Hay que hacer los cálculos inversos que para el cálculo de la curva OC. Si N>>n, usamos la aproximación Binomial



Si n es suficientemente grande y p es pequeño tal que np(1-p)>5, y podremos, además, aproximar esta binomial a una normal

d≈ N(np,np(1-p))

• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α

• Lotes de calidad pR se aceptan con probabilidad β


6.3 Plan de muestreo simple• Lotes de calidad pA se rechazan con probabilidad α


estandarizo




αEcuación 1

Este valor lo obtengo de las tablas de la N(0,1)




estandarizo




βEcuación 2

Este valor lo obtengo de las tablas de la N(0,1)


Ecuación 2Ecuación 1


4. Plan de muestreo doble

Se extrae una muestra de tamaño n1.

Sea d1 el número de artículos defectuososde esta muestra

¿Es d1>c2? Se rechaza el lotesí

¿Es d1≤c1?

no

síSe acepta el lote

La primera muestra sirve para saber si el lote es muy malo d1>c2 o muy bueno d1≤c1. Si c1<d1 ≤ c2 analizamos una segunda muestra


Se extrae una muestra de tamaño n1.

Sea d1 el número de artículos defectuososde esta muestra

¿Es d1>c2? Se rechaza el lotesí

Se extrae una segunda muestra de tamaño n2.Sea d2 el número de artículos defectuosos

de esta muestra

no

¿Es d1+d2>c3?

¿Es d1≤c1?

no

síSe acepta el lote

no sí

d1,c1,c2,d2 y c3 se obtienen en tablas en función de (pA,α)(pR, β)

4. Plan de muestreo doble


5. Plan de muestreo secuencial

En el plan de muestreo secuencial, el tamaño muestral se va aumentando unidad a unidad.

En cada observación se decide si se acepta el lote, se rechaza o se analiza una unidad adicional.

Dada una curva OC: (pA,α)(pR, β), se calcula


Sea n el tamaño muestral acumulado. Y sea d el número de artículos defectuosos acumulado. Entonces, con los valores de s,h1,h2 calculados anteriormente se tiene que:

¿Es d>sn+h2?

¿Es d<sn-h1?

Rechazo el lote

Acepto el lote

Inspecciono elsiguiente artículo

sí

no

no

sí

5. Plan de muestreo secuencial

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