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Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 1 MÉTODOS CUANTITATIVOS ii 2018 PERIODO 2 PARCIAL ii Nombre: Cuenta: PROGRAMACIÓN LINEAL es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. Métodos de solución Existen dos métodos de solución de problemas de programación lineal: Método gráfico: En dos dimensiones: En este caso la función objetivo puede ser: Z=F(x,y)=50x + 40y En este caso expresa que el inbreso total de ventas al producir los productos “camisas(x)” y “pantalones(y)” se optiene multiplicando el precio de vetna de 50 por la cantidad de “x” y el precio de 40 por la cantidad de “y”. La producción esta sometida a las siguientes restricciones: 2x + 3y< 1500 Esta restricción expresa que para producir una camisa se ocupa 2 unidades de algdon y para producir un pantalón se requieren 3 unidades de algodón, y la empresa solo cuenta con 1500 unidades. 2x + y < 1000 Esta restricción expresa que para prodcir una camisa se ocupan 2 unidades de poliéster, y 1 y para producir un pantalón se ocupan 1 unidad de poliéster, y la empresa solo cuenta con 1000 unidades Y las resctricciones obvias: x>0 ; y>0 Esta restricción expresa que las unidades de producción no pueden ser negativas. Por otra parte debemos de maximizar el ingreso, con las restricción e materiales. Las posibles soluciones son infinitas, pero solo una es la máxima. Usando el método grafico graficamos las dos restricción: Observamos que la restricción del poliéster se indica con líneas verticales la restricción del algodón se indica con líneas horizontales. La zona donde coinciden es la zona sombreada que se llama REGION FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona cumple las restricción Se sabe que la solución máxima ocurre en el perímetro de la zona factible, y ocurre en los vértices o puntos donde se cruzan las restricción

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Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 1

MÉTODOS CUANTITATIVOS ii 2018 PERIODO 2 PARCIAL ii

Nombre:

Cuenta:

PROGRAMACIÓN LINEAL es el campo de la optimización matemática

dedicado a maximizar o minimizar (optimizar)

una función lineal, denominada función

objetivo, de tal forma que las variables de

dicha función estén sujetas a una serie de

restricciones expresadas mediante un sistema

de ecuaciones o inecuaciones también lineales.

Métodos de solución

Existen dos métodos de solución de problemas

de programación lineal:

Método gráfico: En dos dimensiones: En este caso la función objetivo puede ser:

Z=F(x,y)=50x + 40y En este caso expresa que el inbreso total de

ventas al producir los productos “camisas(x)” y

“pantalones(y)” se optiene multiplicando el

precio de vetna de 50 por la cantidad de “x” y

el precio de 40 por la cantidad de “y”.

La producción esta sometida a las siguientes

restricciones:

2x + 3y< 1500

Esta restricción expresa que para producir una

camisa se ocupa 2 unidades de algdon y para

producir un pantalón se requieren 3 unidades

de algodón, y la empresa solo cuenta con 1500

unidades.

2x + y < 1000

Esta restricción expresa que para prodcir una

camisa se ocupan 2 unidades de poliéster, y 1 y

para producir un pantalón se ocupan 1 unidad

de poliéster, y la empresa solo cuenta con

1000 unidades

Y las resctricciones obvias:

x>0 ; y>0

Esta restricción expresa que las unidades de

producción no pueden ser negativas.

Por otra parte debemos de maximizar el

ingreso, con las restricción e materiales. Las

posibles soluciones son infinitas, pero solo una

es la máxima.

Usando el método grafico graficamos las dos restricción:

Observamos que

la restricción del poliéster se indica con

líneas verticales

la restricción del algodón se indica con

líneas horizontales.

La zona donde coinciden es la zona

sombreada que se llama REGION

FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona

cumple las restricción

Se sabe que la solución máxima ocurre en el

perímetro de la zona factible, y ocurre en los

vértices o puntos donde se cruzan las

restricción

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Los posibles puntos donde puede ocurrir la

maximización son los vértices (esquinas):

En esta tabla vemos fácilmente que la solución

que maximiza z es la esquina donde x= 376 y

y=260, se obtiene un ingreso máximo de

29,150 lps

PASOS PARA EL MÉTODO GRAFICO: Paso 1: Graficar las líneas de las condiciones:

Para esto averiguamos los intercepto

Ordenamos Puntos

Paso 2: Graficamos las líneas

Paso 3: Graficamos las desigualdades.

Despejamos para esto “y”.

Recta 1:

Recta 2:

Y recordamos las condicionies x>= 0 Y>= 0 Tecnica 1; sombreado al lado de la recta y flecha

x y

0 500 (0,500) 20000

0 1000 (0,1000) 40000

750 0 (750,0) 37500

750 0 (750,0) 37500

375 250 (375,250) 28750 max

Z=50x+40ypunto

x=0 Y=0

1 2x+3y=1500 500 750

2 2x+1y=1000 1000 500

Iy Ixlinea

(750, 0)

(500, 0)

(0 , 500)

(0 , 1000)

linea x y

1 0 500 (0,500) 20000

750 0 (750,0) 37500

2 0 1000 (0,1000) 40000

500 0 (500,0) 25000

Z=50x+40ypunto

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800

Y1

Y2

y <= 1500 -2 x

3

y <= recta

y <= 1500 -2 x

1

y <= recta

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Trecnica 2: Rayado

En ambos caso la región de factibilidad es:

La región de factibilidad es donde se cumplen

todas las condiciones, o dicho de otra manera

donde se interceptan o coinciden las rectas de

todas las condiciones. Los vértices son las

esquinas que limitan dicha region

Paso 4: Calculamos los vértices requeridos: En este caso la interceptcion entre línea 1 y

línea 2.

Paso 5: Elaborar tabla de puntos y elegir el máximo o minimo según se requiera:

PASO 6: La respuesta redactada es: Para una producción de 375 unidades del

producto “x”, y una producción de 250

unidades del producto “y” se obtiene el

ingreso máximo de Z=28,750 lempiras

Intercepto por suma y restas

(2)( 2 x + 3 y = 1500 )

(-2)( 2 x + 1 y = 1000 )

4 x + 6 y = 3000

-4 x + -2 y = -2000

0 x 4 y = 1000

y = 250

Sustituimos en condicion 1

2 x + 3 (250) = 1500

2 x = 750

x = 375

Intercepto (375,250)

linea x y

1 0 500 (0,500) 20000 min

750 0 (750,0) 37500

2 0 1000 (0,1000) 40000

500 0 (500,0) 25000

1 y 2 375 250 (375,250) 28750 max

Z=50x+40ypunto

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APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para resolver una aplicación se requieren los

siguientes pasos:

Paso 1: Leer el problema.

Paso 2: Identificar los datos.

Paso 3: Elaborar cuadricula de trajo que

relaciona todos los datos.

Paso 4: Identificar Variables y ecuaciones.

Paso 5: Plantear Modelo Matemático.

Paso 6: Solucionar el problema matemático

por el método grafico o el método simplex.

Ejemplo: Una empresa industrial debe aprovechar al

máximo los recursos con los que cuenta, para

lograr producir la máxima cantidad que logre

los máximos ingresos:

Existen 3 productos, Una silla, una mesa, y un

taburete.

Para producir una silla requiere de 3

unidades de madera, 4 de pegamento, 2 de

pintura.

Para producir una mesa requiere 5

unidades de madera, 3 de pegamento y 4

de pintura.

Para producir un taburete requiere 2

unidades de madera, 2 de pegamento y 1

de pintura.

La empresa cuenta con un máximo de 1000

unidades de madera, 2000 unidades de

pegamento, y 1500 unidades de pintura.

Por la silla gana 100 lempiras por la mesa 150

lempiras y 50 por el taburete.

Maximice la producción.

Paso 1: Leer el problema.

Paso 2: Identificar los datos.

Productos

Silla

Mesa

Taburete

Insumos

Madera

Pegamento

Pintura

Límites:

1000 unidades de madera

2000 unidades de pegamento

1500 unidades de pintura

Paso 3: Elaborar cuadricula que relaciona los

datos

Paso 4: Llenar cuadricula.

Por ejemplo una silla requiere 3 unidades de

madera. Buscamos donde se cruza la fila de

silla con la columna de madera y ponemos 3

Repetimos hasta llenar

Y Completamos ganancia y limites

Paso 5: Determinar cuales son las variables y

cuales son las ecuaciones con las siguientes

reglas.

1) Si las filas son ecuaciones las columnas

representan variables

2) Si las columnas son ecuaciones las filas

representan variables

3) Las ecuaciones serán las filas o

columnas que solo contenga un limite

4) Las variables son las filas o columnas

que no contienen ningún limite

En este caso las variables son silla, mesas y

taburetes:

Madera Pegamento Pintura

Silla

Mesa

Taburete

Madera Pegamento Pintura

Silla 3

Mesa

Taburete

Madera Pegamento Pintura

Silla 3 4 2

Mesa 5 3 4

Taburete 2 2 1

Madera Pegamento Pintura Ganancia

Silla 3 4 2 100

Mesa 5 3 4 150

Taburete 2 2 1 50

limites 1000 2000 1500

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También pudo ser:

Paso 6: Al final el modelo quedara asi

Condición 1 (madera)

3(x1) + 5(x2) + 2(x3)<=1000

Condición 2 (pegamento) 4(x1) + 3(x2) + 2(x3)<=2000

Condición 1 (pinturas) 3(x1) + 4(x2) + 1(x3)<=1500

Función objetivo (ganancia)

Max Z= 100(x1)+150(x2)+50(x3)

Paso 7: se resuelve el sistema

Madera Pegamento Pintura Ganancia

Silla (x1) 3(x1) 4(x1) 2(x1) 100 (x1)

Mesa (x2) 5(x2) 3(x2) 4(x2) 150 (X2)

Taburete (x3) 2(x3 2(x3 1(x3 50(X3)

limites 1000 2000 1500

Silla (X1) Mesa (X2) Tabuerete (X3) Limites

Madera 3(X1) 5(X2) 2(X3) 1000

Pegamento 4(X1) 3(X2) 2(X3) 2000

Pintura 2(X1) 4(X2) 1(X3) 1500

Ganancia 100(X1) 150(X2) 50(X3)

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EJEMPLO DE PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO

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MATRICES Definición de matrices: Una matriz es un conjunto ordenado en una

estructura de filas y columnas. Los elementos

de este conjunto pueden ser objetos

matemáticos de muy variados tipos, aunque de

forma particular, trabajaremos exclusivamente

con matrices formadas por números reales.

Normalmente las matrices son designadas por

letras mayúsculas (A, B, C).

Los elementos de una matriz se identifican por

la fila y la columna que ocupan asi: , 32a donde

a es la letra minuscula del nombre de la matriz

A. y se indica que la posicion es fila 3 columna

2.

El número de filas y columnas que tiene una

matriz se llama dimensión de la matriz.

11 12

32 21 22

31 32

a a

A a a

a a

En este caso la dimension es 3x2

Igualdad de Matrices

Tipos de Matrices MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida

por una sola fila.

MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene

una sola columna.

MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular

tiene distinto número de filas que de

columnas, siendo su dimensión mxn.

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada tiene el mismo número

de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la

diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los

elementos con i+j = n+1.

MATRIZ NULA: En una matriz nula todos los

elementos son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por

encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por

debajo de la diagonal principal son nulos.

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MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una

matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los

elementos de la diagonal principal son iguales

a 1.

MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se

llama matriz traspuesta de A a la matriz que se

obtiene cambiando ordenadamente las filas

por las columnas

Fila 1 se convierte en columna 1

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA

MATRICES ESCALONADA: Una matriz es

escalonada si al principio de cada fila (o

columna) un elemento nulo más que en la fila

(o columna) anterior

MATRICES ESCALARES: Una matriz es escalar si

es diagonal y además todos los elementos de la

diagonal son iguales.

MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz

real es simétrica, si A T = A; y que es anti

simétrica, si TA = A. Ejemplo: Consideremos

las siguientes matrices:

MATRIZ EXTENDIDA: Es una matriz compuesta

de dos o más matrices.

Ejemplo:

( | )A B =

( | | )A B C =

A= 1 2 B= 5 6 C= 5 6

3 4 7 8 7 8

(A|B)= 1 2 5 6

3 4 7 8

(A|B|C)= 1 2 5 6 5 6

3 4 7 8 7 8

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Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 35

APLICACIÓN DE LAS MATRICES a) Representación matricial de grafos

b) Representación matricial de sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones

Se representa como matrices así:

Y como matriz extendida así

ZONAS DE UNA MATRIZ

(1) DIAGONAL PRINCIPAL Son todos los

elementos 1 de la matriz anterior

cuando: ija si i=j

(2) TRIANGULO ARRIBA DE DIAGONAL: Son todos los elementos 2 de la matriz:

ija si i<j (por decirlo así la “i” manda)

(3) TRIANGULO ABAJO DE DIAGONAL: Son todos los elementos 3 de la matriz:

ija si i>j (por decirlo así la “i” manda)

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES: Construya la matriz que cumpla las siguientes condiciones

Dimensión de 3x4

3 5ija i j para i<j

2 7ija i j para i=j

8 2ija i j para i>j

Paso 1: determinar la dimensión Es una matriz de 3 filas y 4 columnas

1 2 2 2

3 1 2 2

3 3 1 2

3 3 3 1

arriba de diagonal principal

debajo de diagonal principal

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Paso 2: Determine para que zonas aplican cada formula

3 5ija i j para i<j: arriba de diagonal

principal (manda la j)

2 7ija i j para i=j: diagonal principal

8 2ija i j para i>j: debajo de

diagonal principal (manda la i) Paso 3: Opción 1: Elabore tabla de valores para aplicar la formulas:

El resultado debería de ser:

Opción 2: Elaborar una cuadricula

1 2 3 4

1 9 13 18 23

i= 2 18 18 21 26

3 26 28 27 29

j=

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OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES: Dadas dos

matrices de la misma dimensión, A= (a i j ) y B= (b i j) , se def ine la matriz suma

como: A+B= (a i j+b i j ) .

La matriz suma se obtiene sumando los

elementos de las dos matr ices que

ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices Interna:

A + B = C que es una matriz.

Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro: A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma

dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto: A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquel la en que

todos los elementos están cambiados

de s igno.

Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(a i j) y un número

real k R , se def ine el producto de un

número real por una matriz: a la matriz

del mismo orden que A, en la que cada

elemento está multipl icado por k.

kA=(k a i j)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A

A Mm x n, a, b

a · (A + B) = a · A + a · B

A,B Mmx n , a

(a + b) · A = a · A + b · A

A Mm x n , a, b

1 · A = A

A Mm x n

Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si

el número de columnas de A coincide

con el número de fi las de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento c i j de la matr iz producto se

obtiene multiplicando cada elemento

de la f i la i de la matriz A por cada

elemento de la columna j de la matriz

B y sumándolos .

A X B 2 4

5 6

2 1 2(2) + 1(5) 2(4) + 1(6)

A= 3 2 3(2) + 2(5) 3(4) + 2(6)

4 3 4(2) + 3(5) 4(4) + 3(6)

B=

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MULTIPLICABILIDAD DE MATRICES: Dos matrices se pueden multipl icar si

el número de las f i las de la primera

matriz es igual al de las columnas de la

segunda matriz

Propiedades del producto de matrices

Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro: A · I = A

Donde I es la matriz identidad del

mismo orden que la matr iz A.

No es Conmutativa: A · B ≠ B · A En general es c ierto excepto casos

especiales

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C OPERACIÓN TRASPUESTA Dada una matriz A a la cual apl icamos

la operación de traspuesta, que

denotamos TA

Diremos que TB A s i B es la matriz

traspuesta de A

PROPIEDADES DE LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

A X B 2 4

5 6

2 1 9 14

A= 3 2 16 24

4 3 23 34

B=

A X B 10 -5

5 10

4 3 55 10

A= -3 4 -10 55

B=

A X B 4 3

-3 4

10 -5 55 10

A= 5 10 -10 55

B=

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ECUACIONES MATRICIALES: IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A y B son iguales si se cumple:

a) Ambas matrices tienen la misma dimensión

b) Los elementos de A y B en la misma posición son iguales:_

Ejemplo matrices iguales

Ejemplo matrices diferentes

EJEMPLO 1: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:

En este caso simplemente igualamos elemento

con elemento:

X=1 Y=2 Z=3 W=4

EJEMPLO 2: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales:

Paso 1: Operamos el 3 que multiplica la primera matriz

Paso 2: Sumamos las matricez

Paso 3: Igualamos término a término:

Paso4: Despejamos el valor de la variable de cada ecuación

X=6/3 Y=7/3

Z=8/3 W=8/3

3 9 = 3 9

7 8 7 8

0 9 = 3 9

7 8 7 8

0 9 = 3 9

1 2 7 8

7 8

x y = 1 2

z w 3 4

3 x y + 1 2 = 7 9

z w 3 4 11 12

3x 3y + 1 2 = 7 9

3z 3w 3 4 11 12

3x+1 3y+2 = 7 9

3z+3 3w+4 11 12

3x+1=7 3y+2=9

3z+3=11 3w+4=12

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OPERACIONES FILA EN MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES EN FILAS: i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número

diferente de cero.

ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro

renglón.

iii) Intercambiar dos Filas.

El proceso de aplicar las operaciones

elementales por renglones para simplificar una

matriz aumentada se llama reducción por renglones. NOTACION: 1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza la i-ésima

Fila por esa misma Fila multiplicado por c”.

[Para multiplicar la i-ésima Fila por c se

multiplica cada número en la i-ésima Fila por

c.]

Ejemplo:1 13R R

2. Rj → Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila

por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado

por c.

Ejemplo:1 2 13 2R R R

3. Ri ⇄ Rj quiere decir “intercambiar las

Filas i y j”.

4. A → B indica que las matrices aumentadas A

y B son equivalentes; es decir, que los sistemas

que representan tienen la misma solución.

Ejemplo:1 2R R⇌

MATRICES EQUIVALENTES Dada una matriz A cualquiera decimos que B

es equivalente a A si podemos transformar A

en B mediante una combinación de las

siguientes operaciones:

1. Multiplicar una fila de A por un numero

real

2. cualquiera diferente de cero.

3. Intercambiar dos filas.

4. Sumar a una fila de A cualquier otra fila.

PIVOTE DE UNA FILA O ELEMENTO PRINCIPAL DE LA FILA. : Al primer número no cero de una fila se le

llama elemento principal de la fila pivote de la

fila.

En este ejemplo el número 3 es el pivote de la

fila 2

MATRIZ ESCALONADA. Se dice que una matriz esta escalonada si se

cumple que:

1. Todas las filas de ceros están abajo

2. Cada numero pivote de la fila esta a la

derecha de los numero pivotes de las

filas superiores

MATRIZ CANÓNICA REDUCIDA. Una forma canónica reducida por filas es una

matriz R ∈ M m×n con las siguientes

características:

1. El primer elemento no nulo de cada fila es 1.

2. El elemento principal de cada fila aparece

siempre en columnas posteriores al elemento

principal de la fila anterior.

3. Encima y debajo de los elementos

principales de cada una de las filas solo hay

ceros. Ejemplos:

Operación: Escalar por fila

R1= 5 6 3R1 15 18

R2= 7 8 R2 7 8

Operación: Suma de dos filas

R1= 5 6 29 34

R2= 7 8 R2 7 8

3R1+2R2

Operación: Intercambio de Filas

R1= 5 6 7 8

R2= 7 8 5 6

R2

R1

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR REDUCCIÓN DE MATRICES Sea el sistema de ecuaciones

Este sistema se puede expresar como matrices

Donde

A X Bi

Creamos la matriz extendida

A B

Lo que vamos a hacer es aplicar operaciones fila renglón para lograr que nos quede la matriz

Que planteado como matriz nos queda

Donde X= 2, Y =3 Planificamos Resultados:

Planificamos Operaciones:

Plantear matriz ampliada

Paso 1: Convertir en uno el elemento a11

Paso 2: Convertir en cero los demás elementos de la columna 1

=

Paso 3: convertir en 1 el elemento a22

=

Paso 4: Convertir en 0 los demás elementos de la columna 2

=

El resultado es: X= 2, y=3

5 x + 6 y = 28

3 x + 2 y = 12

5 6 x = 28

3 2 y 12

A= 5 6

3 2

X= x

y

B= 28

12

5 6 28

3 2 12

1 0 2

0 1 3

1 0 x = 2

0 1 y 3

Paso 1 Paso 2

1 1

0

Paso 3 Paso 4

1 1 0

0 1 0 1

Pivote Fila 1

Paso 1 Paso 2

1/(a11) R1 R1

1R2 R2 -a21(R1)

Pivote Fila 2

Paso 3 Paso 4

1R1 R1 -a12(R2)

1/(a22)R2 R2

5 6 28

3 2 12

1/5 R1 (1/5)(5) (1/5)(6) (1/5)(28)

1 R2 3 2 12

1 6/5 28/5

3 2 12

1 R1 0 0 0

1 R2 -3 R1 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5)

1 6/5 28/5

0 -8/5 -24/5

1 R1 0 1 0

-5/8 R2 (-5/8)(0) (-5/8)(-8/5) (-5/8)(-24/5)

1 6/5 28/5

0 1 3

1 R1 -6/5 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3)

1 R2 0 0 0

1 0 2

0 1 3

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Ejemplo 2: resolver el sistema de ecuaciones

Planteamos como matriz

Planificamos Resultados:

Planificamos operaciones Fila:

Paso 1:

Calculo:

Paso 2:

Calculo:

Paso 3:

Calculo:

Paso 4:

Calculo:

Paso5:

3x +2y +2z=21

2x +3y +4z=28

1x +5y +2z=21

3 2 2 x = 21

2 3 4 y 28

1 5 2 z 21

Paso 1 Paso 2

1 1

0

0

Paso 3 Paso 4

1 1 0

0 1 0 1

0 0 0

Paso 5 Paso 6

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

Pivote fila 1

Paso 1 Paso 2

1/(a11) R1 R1

1R2 R2 -a21(R1)

1R3 R3 -a31(R1)

Pivote fila 2

Paso 3 Paso 4

1R1 R1 -a12(R2)

1/(a22)R2 R2

1R3 R2 -a32(R2)

Pivote fila 3

Paso 3 Paso 4

1R1 R1 -a13(R3)

1/(a22)R2 R2 -a33(R3)

1R3 R3

(1/3)R1 1 2/3 2/3 7

(1)R2 2 3 4 28

(1)R3 1 5 2 21

(1/3)(3) (1/3)(2) (1/3)(2) (1/3)(21)

2 3 4 28

1 5 2 21

(1)R1 1 2/3 2/3 7

(1)R2+(-2)R1 0 5/3 8/3 14

(1)R3+(-1)R1 0 13/3 4/3 14

1 2/3 2/3 7

2 3 4 28

+(-2)(1) +(-2)(2/3) +(-2)(2/3) +(-2)(7)

1 5 2 21

+(-1)(1) +(-1)(2/3) +(-1)(2/3) +(-1)(7)

(1)R1 1 2/3 2/3 7

(3/5)R2 0 1 8/5 42/5

(1)R3 0 13/3 4/3 14

1 2/3 2/3 7

(3/5)(0) (3/5)(5/3) (3/5)(8/3) (3/5)(14)

0 13/3 4/3 14

(1)R1+(-2/3)R2 1 0 -2/5 7/5

(1)R2 0 1 8/5 42/5

(1)R3+(-13/3)R2 0 0 -28/5-112/5

1 0 -2/5 7/5

+(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4)

0 1 8/5 42/5

+(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4)

0 0 1 4

(1)R1 1 0 -2/5 7/5

(1)R2 0 1 8/5 42/5

(-5/28)R3 0 0 1 4

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Calculo:

Paso 6:

Calculo:

Planteamos el resultado como ecuación matricial

Donde x = 3, Y =2 , z=4

SISTEMA DE ECUACIONES: DOS PASOS EN UNO

Fila Pivote 1:

Calculo:

Resultado:

Fila Pivote 2:

Calculo:

Resultado:

1 0 -2/5 7/5

0 1 8/5 42/5

(-5/28)(0) (-5/28)(0) (-5/28)(-28/5) (-5/28)(-112/5)

(1)R1+(2/5)R3 1 0 0 3

(1)R2+(-8/5)R3 0 1 0 2

(1)R3 0 0 1 4

1 0 -2/5 7/5

+(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4)

0 1 8/5 42/5

+(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4)

0 0 1 4

1 0 0 x = 3

0 1 0 y 2

0 0 1 z 4

5 28 x 28

3 2 y 12=

accion 1 accion 2

1/5 R1 1 R1

1 R2 1 R2 -3 R1

1 6/5 28/5

3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5)

1 6/5 28/5

0 1 3

accion 1 accion 2

1 R1 1 R1 -6/5 R2

-5/8 R2 1 R2

1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3)

0 1 3

1 0 2

0 1 3

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INVERSA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A, si existe otra

matriz B del mismo orden que verifique:

A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la

matriz inversa de A y se representa por 1A . Si existe la matriz inversa de A, se dice que la

matriz A es invertible o regular. En caso

contrario, se dice que la matriz A es singular.

¿Cómo se puede calcular la inversa de una

matriz? Básicamente hay tres procedimientos

para calcular la inversa de una matriz. Son los

siguientes:

OPCIÓN 1:Aplicando la definición

Igualamos a la matriz identidad y resolvemos:

Al resolver el sistema la inversa nos queda asi

OPCIÓN 2: Por el método de Gauss.

Para este método debemos aprender cómo

reducir una matriz por el método de

operaciones fila (renglón)

Para lo cual hacemos uso de las matrices

extendidas

Sabemos las reglas que:

1A A I i

A I Ai

Si tenemos la matriz extendida

A I

Y la multiplicamos por la inversa

1A A Ii

Nos queda

1 1A A A I i i

Y utilizando las reglas nos queda

1I A

Eso significa que si podemos operar la matriz

extendida

A I

Y utilizamos operaciones fila renglón para

lograr que el lado izquierdo nos quede matriz

identidad (I), entonces el otro lado será la

matriz inversa ( 1A ).

1I A

a b X Y = 1 0

c d W Z 0 1

A X B x y

z w

a b a(x) + b(z) a(y) + b(w)

A= c d c(x) + d(z) c(y) + d(w)

B=

a(x) + b(z) = 1

c(x) + d(z) = 0

a(y) + b(w) = 0

c(y) + d(w) = 1

-1

a b = 1 d -b

c d ad - bc -c a

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EJEMPLO DE MATRIZ INVERSA Dado:

Paso 1: crear la matriz extendida

Paso 2: Elaborar Planificación Planificamos Resultados:

Paso 3: Reducir la matriz a su forma escalona reducida.

Ejemplo 2:

Paso 1:

Paso 2: Reducir:

La inversa será

A= 5 6

3 2

5 6 1 0

3 2 0 1

Paso 1 Paso 2

1 1

0

Paso 3 Paso 4

1 1 0

0 1 0 1

5 6 1 0 1/5 R1 1 6/5 1/5 0

3 2 0 1 1 R2 3 2 0 1

1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0

3 2 0 1 1 R2 -3 R1 0 -8/5 -3/5 1

1 6/5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/5 0

0 -8/5 -3/5 1 -5/8 R2 0 1 3/8 -5/8

1 6/5 1/5 0 1 R1 -6/5 R2 1 0 -1/4 3/4

0 1 3/8 -5/8 1 R2 0 1 3/8 -5/8

3 2 2

A= 2 3 4

1 5 2

3 2 2 1 0 0

2 3 4 0 1 0

1 5 2 0 0 1

1/3 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0

1 R2 2 3 4 0 1 0

1 R3 1 5 2 0 0 1

1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0

1 R2 -2 R1 0 5/3 8/3 -2/3 1 0

1 R3 -1 R1 0 13/3 4/3 -1/3 0 1

1 R1 1 2/3 2/3 1/3 0 0

3/5 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0

1 R3 0 13/3 4/3 -1/3 0 1

1 R1 -2/3 R2 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0

1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0

1 R3 -13/3 R2 0 0 -28/5 7/5 -13/5 1

1 R1 1 0 -2/5 3/5 -2/5 0

1 R2 0 1 8/5 -2/5 3/5 0

-5/28 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28

1 R1 2/5 R3 1 0 0 1/2 -3/14 -1/14

1 R2 -8/5 R3 0 1 0 0 -1/7 2/7

1 R3 0 0 1 -1/4 13/28 -5/28

1/2 -3/14 -1/14

0 -1/7 2/7

-1/4 13/28 -5/28

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DETERMINANTES: El determinante es una función que le asigna a

una matriz de orden n, un único número real

llamado el determinante de la matriz.

Si A es una matriz de orden n, el determinante

de la matriz A lo denotaremos por det(A) o A

también por (las barras no significan valor

absoluto).

DETERMINANTE MATRICES DE 2X2:

Como regla practica:

Se calcula multiplicando los elementos de la

diagonal principal y restando la multiplicación

de los elementos de la diagonal secundaria.

DETERMINANTE MATRICES DE 3X3

Utilizando el método de Sarrus: Paso 1: Creamos la matriz aumentada donde

se copian las primeras dos filas

Paso 2: Multiplicamos los elementos de la

diagonales con valor positivo, y multiplicamos

los elementos de las diagonales secundarias

con signo negativo.

Paso 3: Sumamos todos los resultados y

obtenemos el valor del determinante.

NOTA: este método de sarrus no se puede

aplicar a matrices de 4x4 en adelante.

SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES POR MÉTODO DE CRAMER.

Paso 1: expresamos como matriz.

A X Bi

Paso 2: Calculamos determinante de matriz A

Paso 3: Creamos las matrices “Ax” y “Ay”

sustituyendo la columna que corresponde a la

variable por los coeficiente de la matriz B, y

calculamos los determinantes:

Paso 4: Calculamos los valores de “x”, y “y”

dividiendo los determinantes de cada matriz

relacionada sobre la original:

2 5 8

3 6 9

4 7 12

2 5 8 2 5

3 6 9 3 6

4 7 12 4 7

-(4)(6)(8) = -192

-(7)(9)(2) = -126

-(12)(3)(-5) = 180

2 -5 8 2 -5

3 6 9 3 6

4 7 12 4 7

+(8)(3)(7) = 168

+(-5)(9)(4) = -180

+(2)(6)(12) = 144

|A| = -6

5 x + 6 y = 28

3 x + 2 y = 12

5 6 x = 28

3 2 y 12

A= 5 6 |A| = (5)(2)-(3)(6)

3 2 = -8

Ax= 28 6 |Ax| =(28)(2)-(12)(6)

12 2 -16

Ay= 5 28 |Ay| =(5)(12)-(3)(28)

3 12 -24

x= |Ax| = -16 = 2

|A| -8

y= |Ay| = -24 = 3

|A| -8

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