mtek - komplet

8/4/2019 MTEK - komplet

1/19

EULEROVA ROVNICE STATIKY TEKUTIN A JEJ VYU! IT, SLA, KTEROUP" SOB TEKUTINA V RELATIVN ROVNOVZE NA PLOCHY

K odvozen Eulerovy rovnice statiky tekutin si mysleme v tekutin# v rovnovze elemtrnhranolek o stranchdx 1, dx 2 a dx 3 . Nyn si musme vyjd$ it rovnovhu p%sobcch sil na tentohranolek, aby byla tekutina v rovnovze. Jde jednak o plo&n sly (od hydrostatickho tlaku), jednak o objemov sly

!

K .! .dV , kde!

K je intenzita hmotnostnch sil (intenzita silovho pole). Jdeo slu p%sobc na jednotkovou hmotnost. V p$ pad#, kdy na tekutinu p%sob pouze thovzrychlen, tak plat

!

K =!

g . Slo' ky vektoru intenzity silovho pole lze vyjd$ it pomoc kosinu hlukter ( svr vektor s danou sou$ adnicovou osou : K i = K .cos( ! i ) i =1,2,3 .

Vyjd$ me-li si silovou rovnovhu v ose x 1 dostaneme :

p.dx 2 .dx 3 ! ( p + " p" x1).dx 2 .dx 3 + K 1 .# .dx1 .dx 2 .dx 3 = 0

! ! p! x1

= K 1 ."

podobn# i v dal&ch osch : ! p! x2

= K 2 ." a! p! x3

= K 3 ."

Tato rovnice vyjad$ uje, ' e zm#na m#rnho tlaku v tekutin# v libovolnm sm#ru je rovna slo' ceobjemov sly do tohoto sm#ru.Vynsobme-li ka' dou rovnici p$ slu&n(m diferencilemdx i a rovnice se)teme dohromady,dostaneme nejznm# j& tvar Eulerovy rovnice statiky, kter plat pro stla)iteln i nestla)iteln

tekutiny : dp = ( ! p! x1dx1 + ! p! x2

dx 2 + ! p! x3dx1) = " .K idx i

V tekutin#, kter je v rovnovze, m v ka' dm jejm bod#m#rn( tlak p ur )itou hodnotu, zvisejc pouze na sou$ adnicch tohoto bodu a nikoliv na cest# po n' jsme do bodu p$ i&li. V takovm p$ pad# je tekutina vystavena )ink %m silovho pole, kter naz(vme polem potencionlnm. VEulerov# rovnici mus b( t elementrn zm#na tlaku dp nebodp

! pln(m differencilem n# jak

funkce polohy U, j' naz(vme potencilem vn# j&ho zrychlen a pro n# j plat : dp!

= K idx i = dU

Z matematickho hlediska je potencilem U takov funkce, jej' derivace podle sou$ adnic lze

vyjd$ it jako : ! U ! xi

= K i

Aby silov pole bylo potenciln mus platit :rot!

K =!

0

Plochy, majc ve v&ech sv(ch bodech stejnou hodnotu potencilu U, naz(vme ekvipotenciln plochy a plat pro n# dU = 0 .Jsou to zrove* plochy s konstantnm tlakemdp = 0 neboli hladinov plochy.

Pokud v Eulerov# rovnici pou' ijeme rovnostv =1

! dostaneme dp

! = v.dp = " da t , kde da t je

diferencil m#rn tlakov prce. V potencionlnm poli mus platit,' e prce vykonyn v n#m pouzav$ en k $ ivce mus byt nulov : K i dx iC

! = 0 .


2/19

Tekutina v relativn rovnovze je takov tekutina, kter je v rovnovze relativn# v%)i ndob#, p$ i)em' ndoba se pohybuje k okolnmu prostoru.

P$ kladem tekutiny v relativn rovnovze m%'e b( t tekutina v cistern#, kter se pohybuje p$ mo)a$ e rovn# rovnom#rn# zrychlen(m pohybem, neboli s konstatntm zrychlenm. Silov polem v takovm p$ pad# tvar :

!

K = (! a ,! g,0) . Lze snadno dokzat,' e takov pole je potenciln(sta) ov#$ it rot

!

K =!

0 ). K v( po)tu tlaku v bod# A o sou$ adnicch ( x1 A , x 2 A , x 3 A ) pak pou' ijemeEulerovu rovnici statiky tekutin :dp = ! (K 1.dx1 + K 2 .dx2 + K 3 .dx3 ) = ! (" a .dx1 " g.dx2 + 0.dx3 ) ,kterou integrujeme z bodu B (nap$ klad na hladin#), kde znme tlak, do bodu( x1 A , x 2 A , x 3 A ) :

p( x1 A , x2 A , x3 A ) = ! (" a .dx1 " g.dx 2 B

A

# ) Je p$ itom jedno po jak cest# integrujeme.

Dal&m p$ kladem tekutiny v relativn rovnovze je ot)ejc se ndoba s tekutinou. V ndob# ot)ejc se kolem svisl osy konstantn hlovou rychlost bude kapalina v relativn rovnovzedojde-li p$ i ot)en k jejmu ustlen vzhledem k ndob#. Intenzita silovho pole bude dnasou)tem thovho zrachlen a odst$ edivho zrychlen. Elementrn zm#nu tlaku pak op#t ur )mez Eulerovy rovnice statiky jako :

dp = ! (K r .dr + K z.dz) = ! (r " 2dr # g .dz)

Integrac z bodu o znmm tlaku (hladina) tak spo)teme tlak v libovolnm bod#. V( po)tem lzedokzat, ' e mme-li vlcovou ndobu, budou mt ekvipotenciln plochy tvar rota)nch paraboloid%a tud' i hladina bude mt tento tvar.

Toto byly dva p$ klady pou' it Eulerovy rovnice statiky tekutin k v( po)tu tlaku v libovolnm bod# tekutiny, kter se nachz v relativn rovnovze. K ur )en sly, kterou kapalina p%sob na plochu pou' ijeme skute)nosti, ' e velikost takov sly je rovna tlaku tekutiny v t#' i&ti plochy

vynsobenmu obsahem tto plochy:F = pT .S . K ur )en p%sobi&t# tto sly je nutno ur )it tzv.hydrostatick centrum. V n#kter (ch p$ padech, kdy tekutina p%sob na zak $ ivenou plochu jemo' no pou' t metody nhradn roviny. P$ i tto metod# zavedeme nhradn rovinu, pro kterouspo)tme jednodu&e p%sobc sly a pot zapo)tme p$ idanou)i odebranou tekutinu.Slu, kterou p%sob kapalina na prostorov# zak $ ivenou plochu m%'eme ur )it metodou nhradnroviny pouze jsou-li projekce sly do sou$ adn(ch os r %znob#'n. V obecnm p$ pad#, kdy jsoumimob#'n je t$ eba nahradit v( slednou silou a dvojic sil.


3/19

! E"EN PROUD# N POMOC KOMPLEXNHO POTENCILU

Kinematika se zab$v pohybem tekutin, polohou%stit tekutiny v zvislosti na%ase, ani&by sezajmala o sly, kter tento pohyb zp' sobily. Zkladnm pojmem pro popis pohybujc se tekutiny je rychlostn pole. Ozna%uje souhrn vektor ' rychlosti ve v(ech bodech sledovanho prostoru.Vektor rychlosti !

w je v ka&dm bod) a okam&iku te%n$ ke sm)ru pohybu%stice.*ru sledujc

pohyb%stice naz$vme proudnice. Jeliko&mus b$t vektor !

w v&dy te%n$, jsou vektory !

w a d !

l

rovnob)&n, co&je ekvivalentn tomu,&e jejich vektorov$ sou%in je roven nulovmu vektoru :!

w xd !

l =!

0 . Rozepsnm tohoto vztahu bychom dostali rovnici proudnice :dx

1

w1

=

dx2

w2

=

dx3

w3

.

V obecnm p+ pad) m'&e b$t pohyb %stice dn superpozic pohybu posuvnho, rota%nho ideforma%nho. Rota%n pohyb popisuje vektor v+ ivosti, pro kter $ lze dokzat, &e plat

!

! =1

2 rot!

w . V+ iv$ pohyb je relativn) slo&it) j( k popisu,%asto se proto v)nujeme p+ padu, kdydochz pouze k nev+ ivmu pohybu. Takov$ pohyb naz$vme potencionln a logicky pro n) j plat !

! =

!

0 =1

2rot

!

w .

Rovnost!

0 = rot!

w jde rozepsat tak,&e! w

3

! x 2

" ! w 2! x

3

=

! w1

! x 3

" ! w 3! x

1

=

! w2

! x 1

" ! w 1! x

2

= 0 . Fakt,&e rotace

vektoru rychlosti je rovna nulovmu vektoru je ekvivalentn existenci skalrn funkce! ( x 1, x 2 , x 3 )- rychlostnmu potencilu, pro kter $ plat !

w = grad ! .

Rovinn potencionln proud)n je zjednodu(enm prostorovho potencionlnho proud)n. I kdy& se zd,&e jde o velk zjednodu(en, v mnoha p+ padech proud)n probh proud)n jakoby v jednrovin) a ve t+ etm rozm)ru tekutina neproud. P+ edpokldejme tak,&e mme proudc tekutinu pouze v rovin) (x,y), kter proud potenciln).Pro slo&ky rychlosti tak plat :

w x =! "

! xa w y =

! "

! y

Prostorov ekvipotencionln plochy tak p+ ejdou na k + ivky v rovin) (x,y) naz$vanekvipotenciln%ry.Rovnice kontinuity pro stacionrn proud)n nestla%iteln tekutiny nm dv :div ( !

w ) = 0

Neboli v rovinnm p+ pad) :! w x! x

+! w y! y

= 0

Dosazenm vztah' pro rychlostn potencil zskme Laplaceovu diferenciln rovnici :! 2 "

! x2

+! 2 "

! y2

= 0

Nyn zavedeme proudovou funkci! ( x , y ) pomoc vztah' : w x = !" #

" ya w y =

" #

" x

Rovnice kontinuity je ekvivalentn existenci spojit proudov funkce (zm)na sm(en$ch

derivac). Sta% dosadit a dostaneme! 2 "

! x! y#

! 2 "

! y ! x= 0

Rovnice pro konstantn proudovou funkci! ( x, y) = C je ekvivalentn rovnici proudnice.Dosazenm vztah' pro proudovou fci do

!

0 = rot!

w , zjistme, &e i proudov fce spl, uje

Laplaceovu rovnici! 2 "

! x2

+! 2 "

! y2

= 0 .


4/19

Mme tak dv ! funkce spl " ujc Laplaceovu rovnici. Ob ! funkce jsou tedy harmonick #mifunkcemi. Jak je znmo z teorie funkc komplexn prom ! nn, tak Laplaceov ! rovnici vyhovujereln i imaginrn $st analytick funkce jedn komplexn prom ! nn.

Zavedeme proto funkci F ( z) , kterou nazveme komplexnm potencilem proud ! n a definujeme ho jako : F ( z) = F ( x + i. y) = ! ( x, y) + i" ( x, y)

Derivovnm funkce F ( z) podle jednotliv #ch prom ! nn#ch a srovnnm, nebo pouh #m srovnnmvztah % pro rychlostn potencil ! a proudovou fci ! dostaneme znme Cauchy-Riemanovy

vztahy :! "

! x=

! #

! ya

! "

! y= $

! #

! x

Z t ! chto vztahu lze jednodu &e dokzat, ' e $ry konstantnho potencilu jsou ortogonln na proudnice.

Dle zavdme pojem sdru ' en rychlosti, a to takto : w * = w x ! i.w y.

Ze znalosti komplexnho potencilu ur $me sdru ' enou rychlost ze vztahu :

w * =dF ( z)

dz .Sdru ' en rychlost m stejnou velikost jako rychlost w .

Je li dn komplexn potencil, m %'eme k n ! mu sestrojit proud ! n, tzn. ur $it funkce a rychlostn pole. A naopak, je li dn obrys obtkanho t ! lesa a velikost rychlosti proud ! n v nekone $nvzdlenosti od n ! j, m %'eme ur $it p ( slu &n# komplexn potencil tohoto proud ! n.

Jako p ( klad lze uvst nap ( klad komplexn potencil rovnob !' nho proud ! n. M %'eme ukzat, ' e potencil F ( z) = a . z zadv rovnob !' n proud ! n. Rozepsn na relnou a imaginln $st dv

F ( z) = a . z = ax + aiy = ! + i" # ! = ax " = ay

U ' itm vztah %pro derivace rychlostnho potencilu nebo proudov fce dostvme okam ' it! rychlost tekutiny :! w = ( a ,0) . Stejn # v#sledek bychom dostali v # po$tem sdru ' en rychlosti. Z

rovnic pro proudnici a ekvipotenciln $ru bychom dle ov !( ili, ' e jsou na sebe kolm.

Stejn #m postupem lze postupovat u jakhokoliv zadanho komplexnho potencilu. Potencilyn! kter #ch v #znamn #ch typ %proud ! n jsou tyto :

o Rovnob !' n proud ! n : ve sm ! ru x ! F ( z) = a . z ve sm ! ru y ! F ( z) = i .a . z

o Obtkn koutu, desky, rohu : ! F ( z) = a . z n Kout n=2Deska - n=1/2

Roh n =! "

(" je hel rozev ( en)

o Pramen a propad : ! F ( z) = a .ln( z) o Vr : ! F ( z) = i .a ln( z)

Skldnm zkladnch potencionlnch proud ! n m %'eme obdr ' et proud ! n slo ' it! j&. Lze tak modelovat, kdy do rovnob !' nho proud ! n vstupuje nov # pramen a dal & slo ' it! j& p ( pady.


5/19

ROVNICE KONTINUITY, NAVIER-STOKESOVY ROVNICE

Rovnice kontinuity je jednou z nejd ! le"it# j$ch rovnic p % i % e$en proud #n tekutiny. K odvozenrovnice kontinuity, je " je vyjd % enm zkona zachovn hmotnosti, si musme p % edstavit my $len& nehybn & elementrn hranolek proudc tekutiky o hranch dx 1, dx 2 , dx 3 rovnob #"n&ch s osamikartzkho sou % adnho systmu.

Podle zkona zachovn hmotnosti mus b &t rozdl hmotnosti tekutiny, kter do hranolku za jednotku ' asu p % itekla a odtekla, roven zm #n# hmotnosti tekutiny uvnit % hranolku. Pro nzornost p% epokldejme, "e do hranolku vtk a vytk tekutina pouze st #nami kolm &mi na osu x 1 .Tekutina tak vtk do hranolku rychlost w 1 a p% i vtoku m hustotu ! . P% i vytkn m pak

rychlost w 1 +! w

1

! x1

dx1

"

#

$ %

&

' a m hustotu ! +"!

" x

1

dx1

#

$

% &

'

( . Zkon zachovn hmotnosti pak m !" eme

zapsat takto : ! .w 1 .dx 2 .dx 3 " ! + #! # x1dx

1

$ % &

' ( )

w1

+# w 1# x1

dx1

$ % &

' ( )

.dx2

.dx3

=#! #*

dx1dx

2.dx

3

p% tok v &tok zm #na hmotnosti

Po prav # a zanedbn jednoho nekone ' n# malho ' lenu vy $$ho % du a vykrcen objemem

hranolku dostaneme : ! " # w

1

# x 1+ w

1

#" # x 1

$ % &

' ( )

= ! # (w

1" )# x 1

=#" #*

Stejn & postup bychom mohli aplikovat i na dal $ dva sm #ry, nakonec bychom dostali na levstran # sou ' et hmotnostnch bilanc v $ech sm #r ! . Rovnici kontinuity tak zapisujeme ve tvaru :

! (w i " )! x i

+ !" !#

= 0 $ div (! w " ) + !"

!# = 0

Dosp #li jsme tak k rovnici kontinuity v diferencilnm tvaru pro stla ' iteln tekutiny.Pro n #kter p % pady se m !" e tato rovnice je $t# zjednodu $it.

Pro stacionrn proud #n stla ' iteln kapaliny dostvme div (!

w ! ) = 0Pro stacionrn proud #n nestla ' iteln kapaliny pak dokonce div (

!

w ) = 0

A" do tto chvle jsme po ' tali s konzervativnm proud #nm. Kdybychom do sledovanho objemuzrov #( p% idvali tekutinu m #rn&m hmotnostnm p % tokem q m , m#la by rovnice kontinuity tvar

div (! w! ) + "!

"# = qm

Pro praktickou aplikaci ' asto pou "vme rovnici kontinuity pro jednorozm #rn konzervativn proud #n stla ' iteln tekutiny popisujc nap % klad proud #n trubkou, kter m tvar

! wS = konst . Je-li tato tekutina zrov #( nestla ' iteln, je hustota konstantn a rovnice se zjednodu $uje na

wS = konst .


6/19

Navier-Stokesovy rovnice se pou !vaj p " i " e#en 3D proud $n vazk %ch tekutin. Podvejme senejd " v na N.-S. rovnice pro nestla &iteln vazk tekutiny. Jde v podstat $ o Eulerovy rovnicedynamiky nevazk %ch tekutin, je v #ak zapo &tna prv $ v%slednice vazk %ch sil. Vazk tekutiny se

p" i jednorozm $rnm proud $n " d Newtonov %m zkonem, kter %vyjad " uje, !e smykov nap $t jedno sou &inem dynamick viskozity a gradientu rychlosti ve sm $ru proud $n : ! = " dw

dy. P" i 3D

proud $n je v #ak t" eba vzt v vahu obecn $ j# vztah ! ij = "# w i# x j

+# w j # xi

$ % &

' ( )

.

Vazk sla p ' sobc v ose i m tvar F ! i ="# ij " x j

dx1 .dx 2 .dx 3 = !" 2 w i

" x j " x j +

" 2 w j " xi" x j

$ % &

' ( )

dx1 .dx 2 .dx 3

P' vodn Euler-Lagrangeovy rovnice maj tvar

! dw id "

= # $ p$ xi

+ ! .K i

Po zapo &tn vazk %ch sil zskme tak Navier-Stokesovy rovnice ve tvaru :

! dw i

d " = # $ p

$ xi+ ! .K

i

+ %$ 2 w i

$ x j $ x j +

$ 2 w j

$ xi$ x j

&

' (

)

* +

Pro nesta &iteln tekutiny v #ak plat je #t$

! w j ! x j

= 0

, co ! nm dv finln tvar Navier-

Stokesov %ch rovnic :!

dw id "

= #$ p$ xi

+ ! .K i + %&2 w i

, jde vlastn $ o 3 rovnice.Odvozen N.-S. rovnic pro vazk stla &iteln tekutiny je komplikovan $ j#. V %sledn rovnice maj

tvar :!

dw id "

= # $ p$ xi

+ ! .K i + %&2 w i +

%3

$ $ xi

$ w j $ x j

' ( )

* + ,

( e#en Navier-Stokesov %ch rovnic b %v v $t#inou dosti obt !n, proto !e se vlastn $ jedn onelinern parciln diferenciln rovnice druhho " du, k jejich ! " e#en pou !vme &asto

p" ibli!n%ch metod.P" i " e#en r ' zn%ch loh se k N.-S. rovnicm p " ipojij je #t$ rovnice kontinuity, energetick bilan &nrovnice pro nevratn proud $n se t " enm a stavov rovnice.Jednou z okrajov %ch podmnek p " i " e#en je, !e rychlosti tekutiny na om %vanm pevnm povrchu

jsou nulov.


7/19

EULER-LAGRANGEOVA POHYBOV ROVNICE, BERNOULLIOVA ROVNICE AJEJICH POU! IT

P" ipomenut Eulerovy rovnice dynamiky tekutin (plat pro nevazk tekutiny). Vychz z Eulerovyrovnice statity tekutin, je p" idn #len vyjad" ujc setva#nou slu : ! dw i

d " = # $ p

$ xi+ ! .K i .

Rozepsnm pln #asov derivace m$%eme tuto rovnici upravit na tvar :!

! " w i"#

d # +" w i" x j

w j $ % &

' ( )

= * " p" xi

+ ! .K i.

Bernoulliova rovnice slou% k " e&en jednorozm' rnho proud' n nestla#iteln(ch tekutin

! = konst .( ). Jde v podstat' o jednorozm' rnou Eulerovu rovnici dynamiky tekutin pro nevazktekutiny. Je v praxi velice#asto pou%vanou rovnic pro" e&en i takov(ch proud' n, kter lze sdostate#nou p" esnost pova%ovat za jednorozm' rn (nap" . proud' n potrubm) P" i jejm odvozenvyjdeme z Newtonova zkona sly. Se#teme-li v&echny sly p$sobc na elemetrn vle#ek o pr $" ezu dS a dlce dl, mus se rovnat sou#inu zrychlen tekutiny a jej hmotnosti. Mezi p$sobcsly pat" tlakov sla na p" edn stran' vlce, tlakov sly na zadn stran' vlce a pot v(slednicevn' j&ch sil, kter svr s osou hel! :

p.dS ! ( p +" p" l

dl ).dS + a .# .dl .dS .cos $ = a l .# .dl .dS

zrychlen si vyjd" me jako :a l =dw

d ! =

" w

"! +

" w

" l

dl

d ! =

" w

"! +

" w

" l w =

" w

"! +

"

" l

w 2

2

# $ %

& ' (

Po prav' tak dostaneme !1

" # p# l

+ a .cos $ =# w#%

+# # l

w 2

2

& ' (

) * +

Dle pak ! ! l

w 2

2+

p"

# $ %

& ' ( )

a .cos * +! w!+

= 0

Integrac pak zskvme Bernoulliovu rovnici pro jednorozm' rn nestacionrn proud' nnestla#iteln (a nevazk) tekutiny v poli obecnho zrychlen!

a :

w 2

2+

p!

" a .cos # $ .dl + % w%& dl $ = konst ) asto se pou%v v diferencilnm tvaru :

dw 2

2+

dp!

" a .cos # .dl + $ w$%

dl = 0

(posledn#len m v(znam zrychlujc m' rn energie)Bude-li pole vn' j&ch sil reprezentovno pouze thov(m zrychlenm a bereme-li stacionrn p" pad, dostaneme Bernoulliovu rovnici ve tvaru :

w 2

2+

p

! + g. z = konst

Nej#ast' j&m vyu%itm Bernoulliovy rovnice je p" i po#tn p" klad$ se stacionrnm proud' nmnestla#iteln kapaliny jako je t" eba v( tok kapaliny z ndr %e. Mezi dv' ma msty, u kter (ch znmev(&ku a nap" klad rychlost a tlak jednoho msta, m$%eme dopo#tat tlak v druhm mst' . Tytorovnice jde sestavovat mezi mnoha msty zadan geometrie a spole#n' s rovnic kontinuity#astovedou k " e&en.


8/19


9/19

TURBULENTN X LAMINRN PROUD! N, ZKLADN CHARAKTERISTIKYOBOU TYP" PROUD! N, ROZDLY

Proud#n vazk tekutiny rozli$ujeme laminrn, turbulentn a p% echodov.P% i laminrnm proud#n se pohybuj jednotliv vrstvy tekutiny (latinsky vrstva = lamina)soub#&n#bez vzjemnho promchvn a bez fluktuac rychlosti.P% i turbulentnm proud#n dochz k vzjemnmu promchvn vrstev tekutiny, k fluktuacmrychlosti, p% i kter ' ch vektor rychlosti(stice kmit co do sm#ru i velikosti kolem sv(asov# st% edn hodnoty.

D) le&it' m bezrozm#rn' m kritriem charakterizujcm nucen proud#n tekutin je Reynoldsovo(slo. Je definovno vztahem : Re =

w .d

! ,

kde w je st% edn rychlost,d = hydraulicky prumer = 4SO

a ! = "#

kinematick viskozita.

Reynoldsovo(slo m)&eme pou&t k ur (en charakteru proud#n. Obvykle se udv,&e proud#n jelaminrn pokudRe < 2300 . Pro vy$$ hodnoty p% echz proud#n na p% echodov a pro je$t# vy$$hodnoty na turbulentn. Podle typu proud#n musme p% i v' po(tu pou&t sprvn' vztah prosou(initel t% en ! pro v' po(et tlakov' ch ztrt.Pro laminrn proud#n plat vztah ! =

64

Re(

Re < 2300 )Pro turbulentn proud#n existuje vztah) vce, Nej(ast# ji se pou&v klasick ' Blasi)v vztah :

! = 0,316.Re " 0,25 (

Re < 10 5 , pro hladk trubky)

Jak je z definic patrno maj ob# proud#n jin vlastnosti. Tento fakt m)&eme potvrdit dokznmvztah) pro rychlostn profil v trubce kruhovho pr )% ezu.

Pro laminrn proud#n plat tzv. Hagen-Poiseuille)v zkon : w( y) = p1! p2

4.l .".( r 2 ! y 2 ) , podle

n#ho&je rychlostnm profilem p% i laminrnm proud#n kruhovou trubkou rota(n paraboloid.

Pro turbulentn proud#n kruhovou trubkou pak lze odvodit mocninn' zkon. Mocnitel zvis navztahu, kter ' pou&ijeme pro v' po(et sou(initele t% en ! . P% i pou&it Blasiova vztahu dosp# jeme k

zkonu 1/7 mocniny. Hagen-Poiseuille)v zkon

Jeho odvozen nen nijak nro(n. Sta( si vytknout v kruhov trubce vlec tekutiny o polom#ru y(y


10/19

Mocninn ! zkon

P" edpokldejme, #e rychlostn profil p " i turbulentnm proud $n v trubce m tvar mocninn funkcew = k . yn

(v tomto p " pad $ je y vzdlenost od st $ny), p " i%em# maximln hodnoty dosahuje ve st " edu neboliw

max= k . r n

St" edn rychlost se li & od maximln rychlosti koeficientem k 1 (pro ns nev ! znamn ! m)

w =wmax

k 1=

k .r n

k 1=

w y r

.r n

k 1=

w

k 1 . yr

! "

# $

n

P" i odvozovn mocninnho zkona vychzme op $t z rovnovhy sil p ' sobcch na vlec tekutinyomezen ! potrubm:

p1! .d 2

4" p2

! .d 2

4" # .! d .l = 0

Za smykov nap $t ji# v&ak nebudeme moci dosadit z Newtonova zkona, proto #e ten proturbulentn proud $n neplat. Tlakov ztrta mezi body a 1 a 2 je tak dna jako : ! p =

4 " st

.l d

.

Tato ztrta je pouze tlakovou ztrtou t " enm, tak #e ji lze vyjd " it pomoc Weisbachova vztahu :! p = ! p tr = " .

l d

w 2

2#

( e&en najdeme tak, #e budeme po #adovat, aby smykov nap $t nezviselo na polom $ru.Vyjd " me si proto toto nap $t a dosadme za sou %initel t " en a pot za Reynoldsovo %slo.

! st =d 4 l

." . l d

w 2

2# = " w

2

8# = 0,316.

w .d

$

% &

' (

)0,25

.w 2

8# = f (# ,$ ).w

7

4 .r) 1

4

Nyn u # jen dosadme za st " edn rychlost z p " edpokldan mocninov zvislosti

! st = f ( " ,# ).w

k 1 .yr

$ %

& '

n

$

%

( ( ( (

&

'

) ) ) )

74

.r*1

4 = f (" ,# , y).w7

4 .r1

4(7 n *1)

Z po #adovan podmnky nezvislosti smykovho nap $t na polom $ru, dostvme hledan ! mocnitel n =

1

7.

Hledan ! tvar mocninnov funkce vyjad " ujc rychlostn profil p " i turbulentnm proud $n zn :

w = k . y

1

7 = wmax .yr!

" #

$

1

7

Nalezen ! mocnitel je v &ak p " mo zvisl ! na pou #itm vztahu pro sou %initel t " en. P " i pou #it jin ! ch vztah ' bychom dosatli jin mocnitele.

Dodejme, #e rozd $len proud $n vazk tekutiny na laminrn a turbulentn m zsadn v ! znam p " iv! po%tech podobnostnch %sel p " i " e&en problm ' sdlen tepla konvekc. Nalezen vztahy se

p" mo rozd $luj na ty pro laminrn a na ty pro turbulentn proud $n. Ur %it charakter proud $n jetak velmi d ' le#it.

Turbulentn proud $n je charakteristick tm, #e se p " i n$m lpe p " en& hybnost, teplo, ...


11/19

ZM! NA HYBNOSTI A " INEK PROUDC TEKUTINY NA ST! NY

P# i # e$en loh stacionrnho proud%n &asto vyu' vme Integrln v%tu o zm%n%hybnostnho toku.Jej v(hodou je,' e p# i jejm pou' itm sat& uva' ovat pouze pom%ry na plochch ohrani&ujcchsledovan( objem tekutiny a jen vn% j$ sly p) sobc na tekutinu. Nemusme se tak zab(vat pohybem&stic tekutiny uvnit# objemu.

K odvozen tto v%ty si vytkn%me v tekutin%my$len( objem V, ohrani&en( plochami S 1 , j' tekutina do objemu vstupuje,S 2 , j' tekutina objem opou$t a t# et plochou S 3 , j' tekutinaneprotk.

Na objem tekutiny p) sob tyto sly :

o Objemov sla :!

F V = ! .

!

K V

" .dV

o Tlakov sly!

F S 1 na vstupn plochu!

F S 2

na v( stupn plochu!

F S 3

na plochuS 3 o T# ec slu

!

F T podl plochyS 3

Vyjd# me-li si druh( Newton)v zkon, dostaneme :!

F V

+!

F S 1

+!

F S 2

+!

F S 3

+!

F T

= D

d ! "

!

w .dV V

#

Pravou stranu si m)' eme rozepsat D

d ! "

!

w .dV V

# = $ $!

" !

w .dV V

# + " !

ws

# .( !

w .d !

S )

Budeme-li uva' ovat pouze stacionrn proud%n, je prvn&len na prav stran%roven nule a celderivace je pak rovna rozdlu hybnostnch tok ) , definovan(ch jako

!

H = Qm .!

w , a m rozm%r sly.pravou tak dostvme finln tvar integrln v%ty o zm%n%hybnostnho toku :

!

F V

+!

F S 1

+!

F S 2

+!

F S 3

+!

F T

=!

H 2

! !

H 1

Podobn(m postupem bychom mohli odvodit integrln v%tu o zm%n%momentu hybnostnho toku:!

M V

+!

M S 1

+!

M S 2

+!

M S 3

+!

M F T

=!

M H 2

! !

M H 1


12/19

P! mou aplikac integrln v "ty o zm "n" hybnostnho toku m #$e b%t v% po&et sly kterou p #sobtekutina na ohyb potrub, jm $ protk. P ! i zanedbn t ! ecch sil bude platit zmn "n v "ta ve tvaru

!

F V

+!

F S 1

+!

F S 2

+!

F S 3

=!

H 2

! !

H 1

Sla, kterou p #sob tekutina na potrub je rovna sle!

F S 3

, m v ' ak opa &n%sm"r. Tuto slu si tak m#$eme vyjd ! it jako

!

F = !!

F S 3

=!

F S 1

+!

F S 2

+!

F V

+!

H 1

! !

H 2

Jde o rovnici vektorovou, je tak t ! eba ur &it pr #m"ty jednotliv %ch vektor # do v ' ech t ! os. ( e' en jetak mo $n najt graficko po &etn metodou silovho mnohohelnku (v p ! pad ", $e jsou v ' echnysly v jedn rovin ").

Jednotliv sly vypo &teme jako!

F V = m.!

gF S 1 = p1 .S 1 F S 2 = p2 .S 2

a hybnostn toky!

H 1 = Qm .!

w1 a!

H 2 = Qm .!

w 2


13/19

TLAKOV ZTRTY P! I PROUD" N KANLY

Tlakovou ztrtou rozumme pokles statickho tlaku mezi dv#ma pr $% ezy kanlu (potrub). P% istacionrnm proud#n se m$&e celkov tlakov ztrta akldat ze 4 dl' ch tlakov(ch ztrt :

o Tlakov ztrty t% enmo Tlakov ztrty v mstnch odporecho Zm#ny tlaku souvisejc se zm#nou hybnosti tekutiny, je-li tekutina mezi uva&ovan(mi

pr $% ezy oh% vna nebo ochlazovnao Zm#ny tlaku zp$soben rozdlem hydrostatick (ch tlak $

Tlakov ztrty t% enm

o

Tlakov ztrty t% enm vyjad% uje vztah! p tr

=

" .w

2

2 # o ! ... ztrtov( sou' initel

o Podle Weisbacha plat pro ztrtov( sou' initel ! = " .l

d h

, kde ! je sou' initel t% en, l dlka

seku ad h =4 S

Ohydraulick ( pr $m#r.

o Weisbach$v vztah pro tlakov ztrty t% enm je tak :! p tr = " .l

d h

w 2

2#

o Pro sou' initel t% en existuje vce vztah$ v zvislosti na tom, je.li proud#n laminrn' i

turbulentn :! =

64

Re laminrn proud#n (

Re < 2300

) (

Re =w .d

! )! = 0,316.Re " 0,25 turbulentn proud#n (

Re < 10 5 )Blasi$v vztah (hydraulicky hladk trubky)

o V obecnm p% pad# p% i turbulentnm proud#n zvis sou' initel t% en na drsnosti trubek a jeho hodnota se ode' t z grafu.

Tlakov ztrty na mstnch odporecho Tlakov ztrty na mstnch odporech jsou dny vztahem! p mi = " i .

w2

2#

o Ztrtov( sou' initel je charakteristick ( pro danou tlakovou ztrtuo

Ztrty v ohybech jsou zvisl na hlu ohybu a jejich hodnoty lze nalzt v tabulkcho Ztrta roz)% enm pr $% ezu je dna Bordov(m ztrtov(m sou' initelem! B = 1 "

S 1

S 2

# $ %

& ' (

2

, kter (

se pro S 2 >> S 1 bl& 1.

o Ztrta z$&enm pr $% ezu je dna ztrtov(m sou' initelem ! ZUZ = 0,5 1 "S

2

S 1

# $ %

& ' (

, kter ( se pro

S 1

>> S 2 bl& 0,5.

o Dal)mi ztrtami na mstnch odporech jsou ztrty v r $zn(ch armaturch. Pro ventilydosahuj ztrtov sou' initele 0,5-8,5, pro)ouptka 0,1-0,5.


14/19

Tlakov zm ! ny souvisejc se zm ! nou hybnostio P" ivd ! nm tepla se u proudc tekutiny zv ! t# m ! rn$ objem a tm i rychlost a hybnost.

V$stupn hybnostn tok bude v ! t# ne %vstupn, co %se projev ztrtou tlaku.o Je-li teplo p " ivd ! no tekutin ! , jedn se opravdu o ztrtu, v p " pad ! ochlazovn je o

tlakov $ zisk.

o Vztah pto tuto tlak. ztrtu je :

! phyb

=

" 2w 2

2

2#

" 1w1

2

2

Tlakov zm ! ny zp &soben rozdlem hydrostatick $ch tlak & o Tyto ztrty jsou zp &sobeny rozdlem hydrostatick $ch tlak &mezi dv ! ma pr &" ezy, tedy

rozdlem polohov $ch v $#ek pr &" ez&potrub.

o ! phydrostat = " .g.dz z1

z2

#

Tlakov ztrty pou %vme nej ' ast ! ji v kombinaci s Bernoulliovou rovnic.


15/19

OBTKN T! LES RELNOU TEKUTINOU, MEZN VRSTVY

P" i obtkn t#lesa vazkou tekutinou existuje t" en mezi povrchem t#lesa a tekutinou, kterzp$sobuje povrchov%odpor t#lesa neboli t" ec sla, je&je v%slednic te' n%ch nap#t na povrchut#lesa p" i obtkn t#lesa tekutinou. T" ec sla v(ak nen jedinou sou' st v%slednho odporu t#lesa odporov slyF x , kterou t#leso klade vazk tekutin#. Druhou hlavn sou' st v%slednho odporu je tvarov%odpor neboli tlakov sla, neboli v%slednice normlov%ch nap#t p$sobcch na cel% povrch t#lesa. Sou' st tvarovho odporu je i odpor zp$soben%tvo" enm vr $. Vry vznikaj p" edev(m u t#les, kter nemaj vhodn%hydrodynamick % ' i aerodynamick % tvar. V%slednouodporovou slu m$&eme vyjd" it jako

F x =

C x

.S h

.! .w 2

2,

kde C x je sou' initel odporu, kter %se ' asto zji()uje experimentln#, S h hlavn pr $" ez, ! hustotatekutiny aw relativn rychlost tekutiny v$' i t#lesu.S povrchov%m nap#tm zce souvis zaveden pojmu mezn vrstvy.

Mezn vrstva

Pojem mezn vrstvy zavedl Ludwig Prandtl, kter %zjistil,&e p" i obtkn vazk tekutiny dochz v blzkosti povrchu ke zmen(en rychlosti proud#n a &e na povrchu kles rychlost na nulu. Tutov#t(inou velmi tenkou vrstvu tekutiny nazval mezn vrstvou.Vn# mezn vrstvy proud tekutiny normln nezmen(enou rychlost, tak &e jedn-li se o tekutinu smalou viskozitou, lze v tto oblasti postupovat jako p" i potencionlnm proud#n ideln tekutiny.Vznik mezn vrstvy lze dob" e popsat p" i obtkn rovinn desky. Na za' tku desky je rychlostn profil konstantn. V dal( ' sti dochz k p" ibr &*ovn tekutiny a vznik laminrn mezn vrstva,kter postupn#zskv na tlou()ce. Rychlostn profil v laminrn vrstv# stoup od nulov rychlostia&tm#" po rychlost neru(enho proud#n. V dal( oblasti, kterou nazveme p" echodovou za' ndochzet k pulzacm rychlosti a proud#n v mezn vrstv# postupn# p" echz v turbulentn. V dal(

oblasti se ji&vytv" turbulentn mezn vrstva, majc pod sebou laminrn mezn podvrstvu, kterse postupn#zmen(uje. Tlou()ka turbulentn mezn vrstvy se pak dle zvy(uje. Na zklad# tto teorie byly odvozeny vztahy pro tlou()ku laminrn a turbulentn mezn vrstvy atak hodnoty p" slu(n%ch mstnch s st" ednch sou' initel$ :

Laminrn vrstva :

Re < (3,2 ! 5).10 5

" = 4,96. x .Re x! 1

2

C x

= 0,665.Re x! 1

2

C x = 1,33.Re l ! 1

2

Turbulentn vrstva :

Re > (3,2 ! 5).10 5

" = 0,376#

w $

% & '

( ) *

15

. x + c( )45

C x

= 0,0592.Re x! 1

5

C x

= 0,074.Re l !1

5

Obecn# jsou znmy sou' initele odporu pro r $zn t#lesa. +m aerodynami' t# j(, tm men(sou' initel odporu.


16/19

Odtr !en mezn vrstvy

o Obtkn rovinn deskyJe dokzno,!e v libovolnm pr "# ezu mezn vrstvy ve vzdlenosti x od nb$hov hrany je vcel mezn vrstv$ konstantn tlak rovn%tlaku tekutiny vn$ mezn vrstvy. Tlak z okolnho potencionlnho proud$n se tak jakoby vtiskuje do celho# ezu mezn vrstvou. P# iobtkn rovinn desky se navc nem$n ani tlak ve sm$ru proud$n

o Obtkn vlceI zde je tlak v# ezu mezn vrstvou konstantn a je roven tlaku vn$ mezn vrstvy. V tomto p# padu se v&ak tlak ve sm$ru proud$n m$n. Zm$na tlaku vn$ mezn vrstvy p# i obtknvlce vypl%v z Bernoulliovy rovnice.

1-2 Mezn vrstva nabr od bodu 1 do bodu 2 na tlou&'ce, p# i(em! kles tlak v mezn vrstv$ vlivem zvy&ovn rychlosti proud$n vn$vrstvy (zhu&'ovn proudnic).2-3 Od bodu 2 za(n naopak tlak vn$ mezn vrstvy r "st vlivem poklesu rychlosti (z# e) ovn proudnic) a tud! je tento vy&& tlak vtiskovn i mezn vrstv$. V mezn vrstv$ v&ak dochzvlivem t# en ke ztrt$ kinetick energie, tak !e za bodem 2 ji! nemaj (stice tekutinydostate(nou kinetickou energii k p# ekonn zv%&enho tlaku. V ur (itm bod$ A mezi body 2 a3 se zastav a vlivem vn$ j&ho tlaku se za(nou pohybovat zp$t. Tm dochz k tvo# en vr " a k odtr !en mezn vrstvy.Aby do&lo k odtr !en mezn vrstvy, je nutn sou(asn p"soben t# en v mezn vrstv$ na st$n$,ale t! existence tlakovho gradientu podl povrchu. Proto p# i obtkn desky, kde tlakov% gradient nen, nedochz k odtr !en mezn vrstvy. Polohu bodu A lze teoreticky ur (it # e&enmdiferencilnm rovnic pro mezn vrstvu

o Odtrhvn mezn vrstvy v roz&i# ujcm se kanleK odt!en mezn vrstvy m"!e dojt tak nap# klad v roz&i# ujcm se kanle viz obrzek naho# e.K zabrn$n odtr !en je mo!no pou!t odsvn mezn vrstvy&terbinkami. Obecn$ plat, !eodtrhvn mezn vrstvy nejlpe odolvaj hydrodynamick(i aerodynamick tvary, u kter %chdosahuje tlakov%gradient mal%ch hodnot.

plavplav je sou(st proudovho pole za t$lesem, omezenou hranic meznch vrstev, p# echzejcch zobtkanho t$lesa do prostoru za t$lesem. Zahrnuje v&echnu tekutinu, v n! do&lo k poklesuhybnosti v d"sledku obtkn t$lesa vazkou tekutinou.* m je plav&ir &, tm je v$t& odpor t$lesa.* m pozd$ ji dojde k odtr !en mezn vrstvy, neboli(m bl!e budou body A k bodu 3, tm u!& bude plav a men& odpor t$lesa i ztrty. Obvykle se tvo# od bodu 1 do bodu 2 laminrn meznvrstva a za bodem 2 turbulentn mezn vrstva. Turbulentn mezn vrstva je obecn$ odoln$ js protiodtr !en, nebo' v n dochz k promchvn.Metodou jak zabrnit odtr !en mezn vrtsvy jetak zm$na laminrn mezn vrstvy v

turbulentn nap# klad umst$nm drtu kolemt$lesa. Tento zp"sob v&ak nemus b%t platn% pro v&echna t$lesa.


17/19

ROTUJC KANL, ODST! EDIV" ERPADLA," ERPAC ZA! ZEN,CHARAKTERISTIKA" ERPADLA

Rotujc kanlPr #tok tekutiny rotujcm kanlem posuzujeme jako relativn pohyb tekutiny vzhledem ke kanlukter $ se sm pohybuje, proto%e se ot& kolem pevn osy. P' edpokldme stacionrn proud(nnestla&iteln tekutiny kanlem ot&ejcm se kolem sv osy o, konstantn hlovou rychlost! .Sou' adn$ systm uva%ujeme systm spojen$ s rotujcm kanlem, tedy neinerciln systm.Vzhledem k tomuto systmu bude proud(n stacionrn.Pro pr #tok kanlem pou%ijeme Euler-Lagrangeovu pohybovou rovnici v diferencilnm tvaru beznestacionrnho&lenu v poli obecnho zrychlen a :

dw 2

2+

dp

! + de z = a .cos " .dl

Za obecn zrychlen dosadme v$slednici vn( j)ho zrychlen, slo%enho z odst' edivho a thovhozrychlen, a Coriolisova zrychlen. Integrac mezi dv(ma body rotujcho kanlu dostaneme

rovnici :! w

2

2+

! p

" + e z1,2 + g .! z =

! u2

2, kde (u =! .r = obvodov rychlost).

! p = " ! u2

2# " ! w

2

2+ e z1,2

$ % &

' ( ) # "

.g .! z

" len g .! z b$v &asto mal$ a proto jej n(kdy zanedbvme, v takovm p' pad( lze s dostate&nou p' esnost pou%t tento vztah i pro kanl rotujc kolem vodorovn osy.

Pro rozdl tlak # zskme vztah! p=

"

! u 22 # "

! w 22

+e z1,2

$

% & '

( ) # " .g .! z Dosazenm za ztrtov$ &len a vyjd' enm zm(ny tlaku jako funkce objemovho pr #tokuzskvme parabolickou zvislost ! p = a " bQV

2

Pro konstantua plat a = C .u 2 ! D = C .n 2 ! D , neboli&m jsou vy)) ot&ky, tm je v(t) a , co%

lze znzornit na grafu, jako r #zn( posunut parabolick zvislosti.


18/19

Odst ! ediv "erpadloOdst ! ediv (zjednodu #en) "erpadlo tvo ! kanl 1-2konstantnho pr $! ezu S, rotujc konstantn hlovou rychlost! kolem osy prochzejc st ! edem vstupnho pr $! ezu.%erpadlo "erp kapalinu o konstantn hustot & " z konstantnhladiny s tlakem p 0 do v '# ky z 2.

Aplikujeme rovnice pro rotujc kanl na tento p ! padw 2

2 ! w 12

2+

p 2 ! p 1

" + e z1,2 + g .# z =

u 22

2

Dle si nap #eme Euler-Lagrange rovnici mezi body 1 a 0 : p 0

! =

p1

! + g . z1 +

w1

2

2+ e z 0,1

Z Euler Lagrangeovy rovnice dosadme za tlak p 1 do rovnice pro rotujc kanl :

w 22

2+

p 2 ! p 0"

+ g . z 2 + e z 0,2 =u 2

2

2

Zde je dobr si v #imnout, (e ji( zde nevystupuje v '# ka z 1, a tlak v "erpadle na n tedy nezvis.Kdy ( si vyjd ! me tlak v bod &2, m $(eme dvojku nahradit libovoln ' m bodem x :

p x = p 0 + ! u x

2

2" w x

2

2" g . z x " e z 0, x

# $ %

& ' (

Nejni (# tlak tak bude podle tto rovnice v nejvy ##m mst &sacho traktu. P ! i vy##ch sacchv'# kch "i vy## teplot &kapaliny by mohlo dojt k p ! etr (en kapalinovho sloupce. %erpadlo by

pak b &(elo na sucho, co ( by mohlo vst k jeho po #kozen. Ke zv '# en tlaku je mo (n zapojit zav' stupem z ob &(nho kola difuzor.

%erpac za ! zen%erpac za ! zen jako celek se skld nejen z "erpadla, ale tak ze sac ndr (e, v ' tla"nho potruba v ' tla"n ndr (e.


19/19

Nyn si nap!eme Euler-Lagrangeovy rovnice pro sac sek (mezi saz ndr " a vstupnm pr #$ ezem

%erpadla) : pSA!

= pS !

+wS

2

2+ g. zsg + e zs

a pro v&tla%n&sek : pV

!

+wV

2

2=

pVA

!

+ g. zvg + e zv

D#le"itou charakteristikou%erpadla je m' rn energie%erpadla (rozdl energi mezi v&stupem avstupem do%erpadla) :

Y = pV ! pS

" +

wV 2 ! w s

2

2+ g.l

M' rnou enegi%erpacho za$ zen pak rozumme rozdl energi mezi horn a doln ndr " :Y D =

pVA ! pSA"

+ g. zg + e zs + e zv

P$ i ustlenm proud' n platY = Y D

%innost%erpadla je dna pom' rem u"ite%nho v&konu%erpadla ku p$ konu%erpadla.! =

PU P

=Y .Qm

P

%innost lze rozepsat na sou%in jednotliv&ch %innost, %innosti objemov, hydraulick amechanick. ! = ! V .! H .! M

Charakteristika%erpadla

Charakteristikou%erpadla rozumme zvislost m' rn energie Y, p$ konu P, %innosti ! a dal!chvlastnost%erpadla na objemovm pr #toku. P$ klad takov charakteristiky je na obrzku :

V&vo j jedno

Zvislosti jednotliv&ch parametr # v zvislosti na objemovm pr #toku lze teoreticky odvodit, ov!em p$ i tomto odvozen jsouu%in' na n' kter zanedbn. Nejd#le"it' j!m kolem je vybrat pro dan potrub vhodn%erpac za$ zen. Charakteristikou potrub je zvislost pot$ ebn m' rn energie potrub v zvislosti na objemovm pr #toku.

Vynesenm zvislosti m' rn&ch energi%erpadla a potrub m#"eme ur %it vhodnost tto kombinace. Nap$ klad na obrzku vlevo jde o nevhodn spojen, jeliko" bod A vytv$ stabiln bod, tak "e nenmo"n zv&!en a ni sn"en pr #toku. Bod B je pak labiln, tak "e p$ i posunu doprava se za%neme

vzdalovat k bodu A a naopak p$ i poklesu pr #toku se samovoln' zastav. Navc je d#le"it siv!imnout, "e takovto%erpac za$ zen by se ani nerozb' hlo, nebo( i po%te%n m' rn energie potrub je vy!! ne" po%te%n m' rn energie%erpadla.

mtek - komplet

Documents