mtd-programación lineal-método gráfico (1)
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Modelos para la Toma de Decisiones
Construcción de modelos y método gráfico.
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19/04/2023
Definición de la Programación Lineal
La Programación Lineal (PL) es un procedimiento
matemático para determinar la asignación
óptima de recursos escasos.
Cualquier problema de PL consta de una función
objetivo y un conjunto de restricciones.
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Definición del problema (modelado)
El objetivo Los límites o restricciones
Las interrelacione
s
Las acciones a tomar
Las simplificacion
es
El tiempo disponible
para la toma de decisión
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Pasos para la construcción del modelo de Programación Lineal
Definir las variables de decisión.
Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.
Definir las restricciones.
Restringir todas las variables para que sean no negativas.
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Tipos de Variables
Contínuas
Discretas
Binarias
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Variables Contínuas
Son las variable que pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Son aquellas que pueden tomar cualquier valor real. Por ejemplo el peso o la altura.
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Variables Discretas
Son las variables que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Son aquellas que sólo toman valores enteros. Un ejemplo es el número de hijos o de máquinas.
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Variables Binarias
Son aquellas variables discretas que toman exclusivamente los valores de 0 y 1.
Generalmente se le utilizan para indicar una decisión (0 si no se efectúa una acción, 1 si se efectúa)
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Suposiciones del modelo
Todas las variables tienen un valor mayor o igual a 0. Que todas las restricciones se comportan de forma lineal.
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Aplicaciones Típicas
Combinación y mezclas Transporte Trasbordo Asignación Planeamiento con y sin inventarios Programación de tareas
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Método de Solución Gráfica
Es una manera simple de resolver problemas de programación lineal para problemas que tengan únicamente 2 variables de decisión.
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Modelo con 2 variables
El señor Gonzáles dispone de 10,000 para invertir. El puede invertir en acciones y en bonos. Para estar seguro, piensa que las acciones deben ser no mas del 25% y por lo menos el 10% de lo invertido en ambas opciones. En bonos quiere invertir por lo menos $4000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es 8% y en acciones 10%. Formule el modelo de programación lineal que ayude al señor Gonzáles a decidir cuánto debe invertir en acciones y cuánto en bonos.
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Modelamiento
El señor Gonzáles dispone de 10,000 para invertir. El puede invertir en acciones y en bonos.
Para estar seguro, piensa que las acciones deben ser no mas del 25% y por lo menos el 10% de lo invertido en ambas opciones.
En bonos quiere invertir por lo menos $4000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es
8% y en acciones 10%. Formule el modelo de programación lineal que ayude al
señor Gonzáles a decidir cuánto debe invertir en acciones y cuánto en bonos.
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Formulación de Modelo
Variables de decisión:• Acciones: Cantidad a invertir en acciones.• Bonos: Cantidad a invertir en bonos.
Objetivo: Rendimiento anual• Max Z=0.08 Bonos + 0.10 Acciones
Restricciones:• Bonos + Acciones <=10,000• Bonos >=4,000• Acciones >= 0.10 (Acciones + bonos)• Acciones <= 0.25 (Acciones + bonos)• Acciones>=0, Bonos>=0
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Formulación de Modelo
Objetivo:• Max Z=0.08 Bonos + 0.10 Acciones
Sujeto a:• Bonos + Acciones <=10,000• Bonos >=4,000• 0.9 Acciones - 0.10 Bonos >= 0• 0.75 Acciones – 0.25 Bonos <= 0• Bonos >=0 , Acciones >=0
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Método Gráfico de Solución
Dibujar cada restricción sobre el cuadrante no negativo. Para ello hay que convertir las desigualdades en igualdades.
Para cada desigualdad:• Escoger un punto de ensayo fuera de la recta.• Evaluar el punto de ensayo en la desigualdad.• Determinar si el punto de ensayo satisface la desigualdad. Si lo hace
la región del lado del punto puede formar parte de la región factible, si no la región del otro lado de la recta formará parte de la región factible
Dibujar una recta arbitraria de la función objetivo. Trazar una línea paralela de forma que pase por el punto mas
alejado del origen de coordenadas (0,0) en la región factible si la función objetivo es maximizar; o por el punto mas cercano al origen de coordenadas (0,0) si la función objetivo es minimizar.
Evaluar los valores de las variables y la función objetivo para el vértice encontrado.
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Solución gráfica. Paso 1
Sea A el monto a invertir en acciones y B el monto a invertir en Bonos.
Restricción: Bonos + Acciones <=10,000 Restricción Transformada: B + A =10,000 (Si A=0, B=10000. Si A=10000, B=
0)
• Punto de ensayo B=1,000 A=1,000 • Evaluar A+B = 2,000• Determinar si A+B <= 10,000 -> 2,000<=10,000
A
B
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Solución gráfica. Paso 2
Restricción: Bonos >=4,000 R.T: B =4,000
• Punto de ensayo A=1,000 B=1,000• Determinar si B>=4,000 -> 1,000 >= 4,000
A
B
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Solución gráfica. Paso 3
Restricción: 0.9 Acciones - 0.10 Bonos >=0 R.T.: 0.9 A - 0.10 B = 0 (Si A=0, B=0. Si A=1000, B= 9000)
• Punto de ensayo A=5,000 B=5,000• Evaluar 0.9(5,000) - 0.10(5,000) = 4,000• Determinar si 0.9A - 0.1B >=0 -> 4,000>= 0
A
B
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Solución gráfica. Paso 4
Restricción: 0.75 Acciones - 0.25 Bonos <=0 0.75 A – 0.25 B = 0 (Si A=0, B=0. Si A=3000, B= 9000)
• Punto de ensayo A=5,000 B=5,000• Evaluar 0.75(5,000) - 0.25(5,000) = 2,500• Determinar si 0.75A - 0.25B <=0 -> 2,500<= 0
A
B
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Solución gráfica. Paso 5
Objetivo: Max Z=0.08 B + 0.10 A 0.08 B + 0.10 A = 0 (Si A=0, B=0. Si A=-8000, B= 10,000)
A
B
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Terminología
Región factible. Son los valores de las variables que satisfacen todas las restricciones simultáneamente.
Puntos extremos. Son los vértices de la región factible. Solución factible. Es un punto cualquiera de la región
factible. Punto óptimo. Es vértice de la región factible cumple con
la función objetivo de manera óptima. Solución óptima. Es el punto o conjunto de puntos de la
región factible que maximiza o minimiza la función objetivo.
Restricciones Activas. Son aquellas que desde el punto de vista geométrico pasan por la solución óptima.
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Casos Especiales
Al solucionar un problema puede suceder que:• No se encuentre una región factible, por lo que el problema
no tiene solución.• La recta de la función objetivo se superponga a una arista de
la región factible, por lo que las soluciones óptimas son múltiples.
• Que el problema sea ilimitado o no acotado.
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Situaciones de Solución
El problema tiene solución óptima única. El problema tiene solución óptima múltiple. El problema no tiene solución porque no es factible. El problema no tiene solución porque no es acotado.
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Problemas de Mezcla
Son aquellos problemas en los
cuales los insumos pueden utilizarse en
diferentes proporciones para obtener productos
de venta.
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Ejemplo
La empresa Nestle Purina fabrica 3 productos de su línea Pro Plan de alimentos para perros que tienen la siguiente composición: Puppy Adulto Senior
Proteína 28% 27% 28%
Grasa 18% 17% 14%
Asumiendo que:• La disponibilidad de proteína de carne es de 100 tonelada para el periodo• Existe en almacén 10 toneladas de grasa que no puede guardarse para el
siguiente periodo, por lo que deben ser consumidas durante el periodo.• La utilidad por kilo de alimento es de $0.20, $0.25 y $0.15 para los tres
productos.• El porcentaje de Puppy y Senior debe ser no menos del 10% del total
producido.
Elaborar un modelo que permita elaborar un plan de producción del periodo.
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Definición del Problema
Establecer objetivo:• Obtener utilidades Maximizar Utilidad
Variables de decisión:• P:Cantidad de Kg. de producto Puppy a producir.• A:Cantidad de Kg. de producto Adulto a producir.• S:Cantidad de Kg. de producto Senior a producir.
Variables auxiliares (opcionales):• Grasa: Cantidad de Kg. de grasa utilizada.• Prot: Cantidad de Kg. de proteína utilizada.
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Definición del Problema
Establecer restricciones:• Proteina disponible 100 toneladas Proteina <=100000 Kg• Grasa en almacén 10 toneladas Grasa >=10000 Kg• Puppy >=10% de producción total• Senior >=10% de producción total
Establecer relaciones• Proteina = Prot.Puppy + Prot.Adulto + Prot.Senior• Grasa=Grasa.Puppy + Grasa.Adulto + Grasa.Senior
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Modelo
Maximizar Z = 0.2 P + 0.25 A + 0.15 S
Sujeto a: Prot <=100,000 Grasa >=10,000 P >= 0.10 ( P + A + S ) S >= 0.10 ( P + A + S ) Prot = 0.28 P + 0.27 A + 0.28 S Grasa = 0.18 P + 0.17 A + 0.14 S
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Transporte
“Sistema de medios para
conducir personas y cosas de un
lugar a otro.” RAE
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Transporte
Es un problema general en el cual existen m puntos de suministro a partir de los cuales se envía un bien.
Cada punto de suministro abastece a lo mucho Si unidades.
Existen n puntos de demanda a los que se envía el bien. Cada punto de demanda necesita por lo menos Dj
unidades. Cada unidad enviada de i a j tiene un costo Cij.
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Modelo del Transporte
Planta 1
Planta 2
Destino 1
Destino 2
Destino 3
S1 <= 30
S2 <= 20
D1 >= 25
D2 >= 10
D3 >= 5
C11=5
C12=2
C13=1.5C23=2
C22=2.5
C21=3
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Trasbordo
A diferencia del problema de transporte se permite envíos entre puntos de suministro o puntos de demanda.
Puede darse también el caso de que existan puntos intermedios entre un punto de suministro y uno de demanda; los cuales se denominan puntos de trasbordo.
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Modelo de Trasbordo
Suministro 1
Suministro 2
Trasbordo 1
Trasbordo 2
Demanda 1
Demanda 2
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Programación
Son los problemas en los cuales hay que satisfacer las exigencias de la fuerza de trabajo en turnos u horarios laborales.
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Ejemplo
Durante cada 4 horas la policía de Pueblo Chico necesita la siguiente cantidad de oficiales en servicio:• De las 12 a las 4 a.m. 8• De 4 a 8 a.m. 7• De 8 a.m. a 12 del día 6• De 12 a 4 p.m. 6• De 4 a 8 p.m. 5• De 8 p.m a medianoche 4
Cada oficial trabaja 2 turnos consecutivos de 4 horas. Elaborar un modelo que permita minimizar el número de
policías necesarios para cumplir con las necesidades de Pueblo Chico.
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Asignación
Es el tipo de problemas donde hay un número n de máquinas u objetos destinadas a satisfacer un número n de tareas.
Cada objeto debe ser asignado a una y sólo una tarea. Puede ser resuelto como un problema de transporte en el
cual cada punto de suministro ofrece una unidad y cada punto de destino recibe una unidad.
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Modelo de Asignación
Gerente 1
Gerente 2
Tienda 1
Tienda 2
S1=1
S2=1
D1=1
D2=1
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Planeamiento
Son problemas en los que se evalúa la conveniencia de realizar acciones distintas mediante la evaluación de flujos durante un número determinado de periodos.