MOVIMIENTO SATELITAL PERTURBADO

DETERMINACIN DE RBITAS

GEODESIA SATELITAL

LUIS ROMERO ZIGA

19 DE JUNIO DE 2015

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NDICE

Introduccin . . . . . . . . . . 4

Resumen . . . . . . . . . . 5

Marco Terico

Movimiento de planetas y satlites . . . . . . 6

rbitas satelitales . . . . . . . . . 9

Perturbaciones . . . . . . . . . 10

Desarrollo del Tema

Movimiento satelital perturbado . . . . . . . 11

Movimiento perturbado debido al campo de gravedad anmalo de la tierra 13

Perturbaciones . . . . . . . . . 13

Otras perturbaciones . . . . . . . . 14

Determinacin de rbitas . . . . . . . . 24

Integracin de la rbita sin perturbacin . . . . . . 24

Conclusiones . . . . . . . . . 25

Referencias bibliogrficas . . . . . . . 26

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INTRODUCCIN

Los satlites artificiales, con sus utilidades asociadas de investigacin y

comunicacin, son posibles gracias a nuestro conocimiento de las leyes de la

gravitacin.

La fuerza de la gravedad es la que los mantiene en las rbitas previamente

calculadas, sin embargo frecuentemente sufren distintos tipos de perturbaciones.

Una perturbacin es la modificacin que experimenta el movimiento de un astro a

lo largo de su rbita como consecuencia de la atraccin ejercida por los astros

prximos.

Ejemplo de ello corresponde a las variaciones continuas que experimenta el nivel

medio del mar, el cual no es otra cosa que el efecto de la perturbacin de ste por

efecto de la atraccin ejercida por la luna y el sol.

Los astros como los planetas, cometas y satlites no describen, en torno del astro

central, la elipse regular prevista por las leyes de Kepler y Newton, sino una elipse

que es deformada por la atraccin de cada uno de los astros ms prximos o de

mayor masa.

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RESUMEN

La determinacin de la posicin de un satlite artificial alrededor de la tierra no es

tarea sencilla. Y ms si se pretende conocerla con un alto grado de exactitud. Por

un lado son varias las fuerzas que afectan el movimiento: la atraccin gravitacional

generada por la tierra, el sol, la luna y los planetas, el rozamiento con la

atmsfera, la presin de radiacin, el campo magntico terrestre y otros factores

ms.

Por otro lado, al resolver las ecuaciones diferenciales que describen el

movimiento, se encuentra con el inconveniente de que stas no se pueden

integrar de forma completamente general. Esto deja slo dos opciones: la primera

es recurrir a mtodos aproximados de integracin de ecuaciones diferenciales,

usualmente por expansin de series de potencias; y la segunda consiste en la

integracin numrica directa de las ecuaciones.

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MARCO TERICO

MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATLITES

De entre los tipos de fuerza existentes en la naturaleza, la fuerza gravitatoria es

una de las de menor intensidad, pero sin embargo es fundamental en la evolucin

de nuestro universo: si no fuera por ella no existiran ni estrellas ni planetas, y

consecuentemente tampoco podra existir la vida tal y como la conocemos.

La Teora de Gravitacin Universal de Newton surgi como modelo terico que

permita estudiar, predecir y comprender el movimiento de los cuerpos celestes.

Esta teora fue enunciada por Newton en 1687, y para demostrar su validez deba

justificare cmo una fuerza entre masas validaba las leyes enunciadas por Kepler

casi 100 aos antes que describan el movimiento de los planetas alrededor del

Sol.

Estas leyes han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que

permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empricamente por

Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas,

para lo cual se sirvi de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe

(1546-1601). Slo tiempo despus, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727),

fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de

Gravitacin Universal.

La primera de estas leyes puede enunciarse de la siguiente manera:

Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol

ubicado en uno de sus focos.

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Fig. 1 r1 es la distancia ms cercana al foco (cuando = 0) y r2 es la distancia ms

alejada del foco (cuando = ).

Una elipse es una figura geomtrica que tiene las siguientes caractersticas:

- Semieje mayor a=(r2+r1)/2

- Semieje menor b

- Semidistancia focal c=(r2-r1)/2

- La relacin entre los semiejes es a2=b2+c2

- La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)

Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excntricas (es

decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las

posiciones extremas de un planeta son mnimas (a la mxima distancia de un

planeta al Sol se denomina afelio y la mnima perihelio). La Tierra, por ejemplo, en

su mnima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su

mxima lejana no supera los 152 millones de km.

La segunda ley, puede expresarse como:

Las reas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector)

son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.

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Fig 2 La lnea que une al planeta con el Sol barre reas iguales en tiempos iguales. En

la siguiente figura, las dos reas sombreadas son iguales, as que el planeta tarda

lo mismo en ir de A a B que en ir de C a D.

Esta ley implica que el radio vector barre reas iguales en tiempos iguales; esto

indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro

siendo mxima en el perihelio y mnima en el afelio (la velocidad del astro sera

constante si la rbita fuera un crculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75

km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.

La tercera ley, finalmente, dice que:

El cuadrado del perodo de revolucin de cada planeta es proporcional al cubo de

la distancia media del planeta al Sol.

La tercera ley permite deducir que los planetas ms lejanos al Sol orbitan a menor

velocidad que los cercanos; dice que el perodo de revolucin depende de la

distancia al Sol.

Pero esto slo es vlido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable

en comparacin al Sol. Si se quisiera calcular el perodo de revolucin de astros

de otro sistema planetario, se debera aplicar otra expresin comnmente

denominada tercera ley de Kepler generalizada.

Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera

ley clsica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a

la del Sol.

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RBITAS SATELITALES

Un satlite puede permanecer en la misma rbita durante un largo periodo de

tiempo ya que la atraccin gravitatoria de la Tierra contrarresta a la fuerza

centrfuga. Como los satlites tienen su rbita fuera de la atmsfera, no les afecta

la resistencia del aire, por lo que, de acuerdo con la ley de la inercia, la velocidad

del satlite es constante. De esta manera pueden girar alrededor de la Tierra

durante muchos aos.

La atraccin gravitatoria disminuye al alejarnos de la Tierra, mientras que la fuerza

centrfuga aumenta al incrementarse la velocidad orbital. Por lo tanto, un satlite

en una rbita baja, tpicamente de unos 800 km de la Tierra se expone a una

inmensa traccin gravitacional y debe moverse a una velocidad considerable para

generar una fuerza centrfuga correspondiente. Existe una conexin directa entre

la distancia a la Tierra y la velocidad orbital del satlite. A una distancia de 36000

km, el tiempo que se tarda en realizar una rbita es de 24 horas, lo que

corresponde al tiempo de rotacin de la Tierra. A esta distancia, un satlite sobre

el ecuador est estacionario con respecto a la Tierra.

La rbita geoestacionaria

Las rbitas geoestacionarias a 36 000 km del ecuador de la Tierra son las que

mejor se conocen por muchos satlites empleados en diversos tipos de

telecomunicaciones, incluida la televisin. Las seales de estos satlites pueden

enviarse a todo el mundo. Las seales de telecomunicaciones se desplazan en

lnea recta, por lo que es necesario que los satlites queden estacionarios en las

mismas posiciones relativas a la superficie de la Tierra.

Un satlite estacionario aporta a la teledeteccin la ventaja de que siempre ve la

Tierra desde la misma perspectiva, lo que significa que puede registrar la misma

imagen a breves intervalos. Esto es particularmente til para observar las

condiciones meteorolgicas.

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Un inconveniente de las rbitas geoestacionarias es la gran distancia a la Tierra,

que reduce la resolucin espacial que se puede lograr. Existen varios satlites

meteorolgicos distribuidos regularmente sobre la rbita geoestacionaria,

cubriendo todo el mundo y proporcionando una visin global.

rbitas heliosincrnicas

Muchos satlites que giran alrededor de la Tierra estn equipados con sistemas

de sensores pasivos que dependen de la iluminacin solar. Al ir midiendo la

reflexin de la luz solar procedente de la Tierra se deben ajustar sus rbitas al

ritmo del da y de la noche. Esto es importante para poder comparar imgenes

registradas a lo largo de un periodo de tiempo. Si se van a utilizar para realizar

comparaciones, las condiciones de luz deben ser idnticas. Los registros deben

tener lugar a la misma hora local del da para que la altitud del Sol sobre el

horizonte sea la misma, y el plano de la rbita del satlite debe permanecer a un

ngulo constante a la luz del Sol. Estos prerrequisitos pueden cumplirse situando

el satlite en una rbita polar.

Al girar el satlite en su rbita, la Tierra gira sobre su eje. Cada vez que el satlite

completa una vuelta se escanea una nueva franja de la superficie de la Tierra y,

pasado un cierto nmero de vueltas, se habr obtenido toda la superficie de la

Tierra. Algunos satlites escanean una franja ancha cada vez y pueden de este

modo cubrir la totalidad de la superficie de la Tierra en unas pocas vueltas. Por

contra, los satlites de alta resolucin que escanean slo tiras finas tardan varios

das en completar la cobertura de la Tierra.

PERTURBACIONES

Rigurosamente, las masas de los planetas no son despreciables, por lo tanto, no

es cierto que exista una proporcionalidad exacta tal como lo enuncia la tercera ley

de Kepler.

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Las otras dos leyes tampoco son rigurosamente vlidas cuando se trata de ms de

dos cuerpos. Al respecto, deben tenerse en cuenta las atracciones mutuas entre

los planetas de nuestro Sistema Solar, que se denominan perturbaciones.

De esta manera, las leyes de Kepler definen la solucin al problema del

movimiento de dos cuerpos aislados y sujetos nicamente a su atraccin

gravitatoria mutua; esta situacin se denomina problema de los dos cuerpos.

Cuando se considera ms de dos cuerpos, no existen frmulas matemticas

rigurosas que permitan resolver el problema de determinar sus posiciones y su

movimiento en general en forma exacta. A esta situacin se denomina "problema

de los N cuerpos". Este se estudia con mtodos de aproximaciones sucesivas, es

decir: dadas en cierto instante las masas y velocidades de N cuerpos (con N>2),

se busca calcular sus posiciones y velocidades en cualquier instante futuro o

pasado.

DESARROLLO DEL TEMA

MOVIMIENTO SATELITAL PERTURBADO

La rbita Kepleriana es una rbita terica. Supone una Tierra esfrica cuya

masa se acumula en un punto, un sistema en el que no acta ms fuerza que

la de atraccin entre dos masas y que no existe atmsfera. Sin embargo esto no

es real.

Las fuerzas o aceleraciones perturbadoras son factores que generan una

desviacin del satlite en su rbita kepleriana terica. La ecuacin del movimiento

perturbado ser la del movimiento kepleriano ms la accin de las aceleraciones

perturbadoras.

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Fig 3 Ecuacin del Movimiento Perturbado

Las fuerzas perturbadoras son particularmente responsables de:

- Las aceleraciones debido al achatamiento terrestre y la distribucin no

homognea de la masa terrestre.

- Las aceleraciones debido a los cuerpos celestes como el Sol, la luna y los

planetas.

- Las aceleraciones debidas a las mareas.

- Las aceleraciones debidas a la presin de la radiacin solar reflejada

directamente en la tierra.

Las tres primeras fuerzas son gravitacionales, las otras fuerzas son no

gravitacionales.

Fig 4 Fuerzas perturbadoras que actan en un satlite.

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MOVIMIENTO PERTURBADO DEBIDO AL CAMPO DE GRAVEDAD ANMALO

DE LA TIERRA

El dominio, por mucho, de las fuerzas perturbadoras de las rbitas de los satlites

artificiales se debe al achatamiento de la tierra, como lo demuestra la figura 5.

El dimetro terrestre medido en el plano ecuatorial es de 42,72 Kms ms que el

dimetro medido en el eje terrestre. Esta diferencia provoca una leve fuerza de

torsin en los satlites y genera una rotacin de la rbita satelital en el plano

ecuatorial. Dando como resultado un efecto similar a la Precesin de la tierra en el

eje terrestre.

FIG 5 La Precesin es causada principalmente por el Achatamiento Terrestre.

PERTURBACIONES

Las fuerzas perturbadoras que afectan a un satlite en su movimiento alrededor

de la Tierra podemos dividirlas en dos grandes grupos:

- Gravitacionales

o No esfericidad de la Tierra

o Atraccin de mareas (efecto directo e indirecto)

o Irregularidades y variaciones del campo gravitatorio terrestre

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- No gravitacionales

o Presin por radiacin solar

o Rozamiento atmosfrico

o Efectos relativistas

o Viento solar, campo magntico, etc...

En los satlites GNSS, las principales perturbaciones son:

- No esfericidad de la Tierra

- Mareas producidas por el Sol y la Luna

- Presin por radiacin solar.

OTRAS PERTURBACIONES

Los satlites no describen en su movimiento alrededor de la Tierra rbitas

perfectas.

Esto se debe a la influencia de diferentes efectos, que por orden de importancia

son:

- La masa de la Luna.

- La masa del Sol.

- La no excentricidad de la Tierra.

- La radiacin del Sol.

PERTURBACIONES DEBIDAS AL SOL

El mayor efecto del Sol se produce sobre el mantenimiento del satlite en una

rbita alrededor de ste (como el movimiento de traslacin de la Tierra).

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Un satlite en rbita geoestacionaria recorre en un da en su movimiento alrededor

del Sol diez veces la distancia que recorre en su movimiento alrededor de la Tierra

(esta ltima es de 260000 km).

Dependiendo de si el satlite est ms o menos lejos del Sol que la Tierra, la

aceleracin que recibir ser menor o mayor que la recibida por la Tierra, pues la

atraccin gravitacional es mayor cuanto menor es la distancia que los separa

(estos efectos tambin se producen sobre la Luna).

Las perturbaciones debidas al Sol se traducen en dos efectos:

- Distorsin de la curvatura de la rbita elptica, acortndola a travs del eje

Tierra-Sol.

- Distorsin de la curvatura de la rbita producida por un giro del momento

angular o de la normal de la rbita. Esto supone un incremento de 0.9 en

una rbita que comienza con inclinacin cero. La correccin de este efecto

supon a menudo el consumo de gran cantidad de combustible por parte del

satlite.

Como puede observarse en la figura 6, la desviacin de la normal a la rbita vara

en forma de arcos, correspondiendo cada uno a un recorrido de seis meses.

La desviacin es mayor en el punto medio, cuando la declinacin del Sol es

mxima, y disminuye hasta valores cercanos a cero al final del arco, donde la

declinacin es mnima.

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PERTURBACIONES DEBIDAS A LA LUNA

La atraccin gravitatoria debida a la Luna tambin crea un campo gradiente

gravitacional y una desviacin de la normal a la rbita del satlite, siendo este

efecto mayor que el producido por el Sol.

Su estudio es mucho ms complejo, ya que en este caso la normal de la rbita de

la Luna cambia con el tiempo (en el Sol permanece fija).

La normal de la rbita lunar rota alrededor del polo eclptico cada 18.6 aos. Esta

variacin se debe a que el campo gradiente gravitacional produce un giro en el

Fig 6 Efecto de desviacin.

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momento angular orbital de la Luna. La normal de la rbita del satlite vara por

trmino medio entre 0.75 y 0.9 en un ao.

Comienzo del ao

Ascensin recta (grados)

Declinacin (grados)

Comienzo del ao

Ascensin recta (grados)

Declinacin (grados)

1985 279.43 63.30 1998 274.53 71.45

1986 276.47 62.23 1999 279.01 70.53

1987 273.07 61.59 2000 281.88 69.11

1988 269.47 61.42 2001 283.00 67.43

1989 265.89 61.73 2002 282.57 65.72

1990 262.60 62.51 2003 280.91 64.14

1991 259.82 63.69 2004 278.36 62.85

1992 257.84 65.19 2005 275.19 61.93

1993 256.98 66.88 2006 271.68 61.47

1994 257.58 68.60 2007 268.07 61.49

1995 259.88 70.12 2008 264.58 61.98

1996 263.90 71.22 2009 261.44 62.93

1997 269.13 71.70 2010 258.94 62.24

Tabla 1 Coordenadas normales de la rbita lunar

En la tabla se muestra la localizacin de la normal de la rbita lunar al comienzo

de cada ao. Se observa cmo el ngulo entre la normal de la rbita lunar y el

Polo Norte alcanz un mximo en Noviembre de 1987 de 23.45 + 5.15 ( un total

de 28.6 ). Los 5.15 corresponden al ngulo entre la normal de la rbita lunar y el

polo eclptico. Un mnimo aparecer en Febrero de 1997, por lo que queda

constatado el periodo de 18.6 aos. El aumento de estos ngulos supone un

aporte adicional de combustible que habr de considerar.

18

PERTURBACIONES DEBIDAS AL SOL Y LA LUNA

En la figura 7 se observa el efecto

combinado de la Luna y el Sol.

FIG 7

El estudio comienza en Noviembre de 1980 y

se plotea semanalmente. A lo largo de 1986 la

inclinacin aument 0.93 y el satlite tuvo

oscilaciones diarias Norte-Sur de esta

magnitud.

PERTURBACIONES DEBIDAS A LA NO ESFERICIDAD DE LA TIERRA

Se distinguen varios efectos producidos por la no esfericidad de la Tierra:

- El achatamiento de los polos afecta a la normal de la rbita.

- Este achatamiento tambin cambia ligeramente la trayectoria de la rbita

geoestacionaria.

- La no circularidad del Ecuador causa una variacin en la longitud del

satlite.

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Efecto en la normal al satlite:

La Tierra est achatada por los polos y abombada en el Ecuador. El radio polar

(6356.77 km) tiene 22 km menos que el radio ecuatorial (6378.14 km). Un satlite

en el espacio experimenta una atraccin extra hacia el abombamiento del

ecuador. Por ello, en general, como puede observarse en la figura 8, la fuerza de

atraccin gravitatoria que ejerce la Tierra no va dirigida exactamente hacia su

centro.

FIGURA 8 Esta fuerza se puede expresar como una suma de armnicos:

o El primer trmino, correspondiente al 1, se trata de la ley principal gravitatoria.

o El siguiente trmino, con el coeficiente J2, pone de manifiesto el achatamiento de

la Tierra, es decir, la no esfericidad de la misma. El valor del coeficiente J2 es de

1082.63*10^-6.

El achatamiento de la Tierra tiene dos efectos sobre la rbita geoestacionaria:

- La aceleracin gravitatoria en la rbita geoestacionaria se incrementa, por

lo que para el periodo orbital igual a un da sideral, el radio de la rbita

deber incrementarse ligeramente.

20

- Si la rbita tiene alguna inclinacin, el satlite experimentar una fuerza

hacia el plano ecuatorial que causar una variacin en la normal de la

rbita, siendo sta mayor a medida que aumenta la inclinacin.

Efectos sobre la longitud del satlite.

Observando una seccin de la Tierra vemos que sta tiene forma de elipsoide

triaxial. Esto causa que la fuerza de atraccin gravitatoria no se produzca

exactamente hacia el centro de la Tierra. Adems se crea una componente de

fuerza que puede actuar a favor o en contra de la velocidad del satlite, como se

puede observar en la figura 9.

FIG 9 Cuando la aceleracin es positiva, la longitud se incrementa y el satlite se mueve

a derechas. Se observan dos puntos de aceleracin nula. stos son los puntos

estables (los satlites permanecen estacionados). El resto de los puntos son

inestables, ya que poseen ciertas aceleraciones. Son longitudes donde el Ecuador

es ms ancho, por lo que los satlites en esas longitudes se vern acelerados lejos

de esos puntos.

21

Para la mayora de los satlites, el efecto debido a las irregularidades en la

distribucin de la masa de la Tierra y su no esfericidad no tiene importancia, pero

un satlite geoestacionario mantiene una relacin constante con la asimetra de la

masa, y el efecto se acumula en un periodo de das o semanas.

MANTENIMIENTO EN LA RBITA GEOESTACIONARIA

Una verdadera rbita geoestacionaria debera tener inclinacin y excentricidad

nulas. Adems el satlite debera estar fijado a una longitud y no moverse con

respecto a la Tierra.

El elemento orbital que cuesta ms controlar es la inclinacin. La cantidad de

combustible requerido para el mantenimiento Norte-Sur es normalmente un orden

de magnitud mayor que el usado para solventar el resto de efectos.

El elemento ms importante a controlar es la longitud, ya que un error en su

control puede ocasionar grandes desviaciones del satlite con respecto a la

estacin terrena.

El elemento ms fcil de controlar es la excentricidad, puesto que no existen

perturbaciones que produzcan incrementos regulares en la excentricidad (para

periodos de un ao o ms largos). El control de la excentricidad se combina

normalmente con el mantenimiento Este-Oeste, con un incremento de combustible

adicional.

Los cambios de velocidad requeridos para el mantenimiento en rbita se obtienen

con varios tipos de propulsores. Si un propulsor expulsa una cierta masa de

combustible (dm) con una velocidad efectiva (ve), la velocidad del cohete

experimenta un cambio adicional (dv) que viene dado por:

M*dv = -ve*dm ; conservacin del momento lineal.

22

Mantenimiento Norte-Sur: Inclinacin:

Los propulsores contenidos en el satlite sirven para conseguir peridicamente las

desviaciones de la rbita, con el consiguiente gasto de combustible, que supone

un acortamiento de la vida til del satlite.

Siempre se buscan dos objetivos: minimizar el consumo total de combustible y

maximizar el tiempo entre maniobras (correcciones).

Las perturbaciones solares y lunares tienden a desplazar la normal de la rbita

hacia Aries (alpha = 0). Por lo tanto, las maniobras de inclinacin movern la

normal de la rbita en la direccin opuesta. Para minimizar el efecto de

fluctuaciones diarias en la posicin normal de la rbita, la inclinacin instantnea

se puede promediar alrededor de un da solar medio. Esta inclinacin media

puede entonces ser controlada antes que una inclinacin instantnea. La normal

de la rbita es perpendicular al vector de velocidad y de radio simultneamente.

Se produce una maniobra de inclinacin cuando el vector del radio es

perpendicular a la antigua y a la nueva normal de la rbita (esto ocurre cuando el

satlite est cerca del plano ecuatorial). Una tpica correccin Norte-Sur sucede en

un nodo descendente alrededor de alpha=270. Un propulsor produce una

velocidad en direccin Norte sobre la parte Sur del satlite. Esto se puede

observar en la figura 10.

23

FIG 10 Mantenimiento Este-Oeste:

La longitud del satlite se debe mantener dentro de ciertos lmites fijados para

evitar que interfiera con los satlites vecinos. Un propulsor se puede usar para

cambiar la velocidad e invertir la tasa de impulsos; entonces el satlite retroceder

y alcanzar la posicin inicial.

24

DETERMINACIN DE RBITAS

La tarea bsica en la determinacin de una rbita es derivar los elementos para la

descripcin de rbitas desde las observaciones o desde informacin aproximada.

En la mecnica celeste clsica, en beneficio de simplificar los clculos, la tarea de

la determinacin de la rbita fue, en general, dividida en:

- Determinacin inicial de la rbita.

- La determinacin de la rbita mejorada usando las observaciones

disponibles.

Con la determinacin inicial de la rbita, una rbita preliminarmente es usualmente

derivada desde 3 sets de observaciones a pocas diferentes, despreciando todas

las perturbaciones. Hoy, con todas las facilidades electrnicas de computacin a

la mano.

INTEGRACIN DE LA RBITA SIN PERTURBACIN

Distinguimos entre el problema del valor inicial, conectado con Laplace y el

problema de los valores lmites, despus llamado Gauss. En el valor inicial del

problema, los elementos de la rbita del satlite son determinados desde la

posicin y el vector de velocidad del satlite a una poca dada. stos pueden ser

conocidos desde la posicin inicial y la velocidad de lanzamiento del satlite.

25

CONCLUSIONES

El presente trabajo ha presentado algunos inconvenientes de investigacin que sin

duda, no han permitido desarrollar los temas propuestos de manera abierta. Esto

debido a que la mayora de los elementos a investigar se encuentran en ingls,

haciendo ms lento el proceso investigativo para quienes no dominamos el idioma.

Sin embargo, se ha podido plantear el movimiento de los satlites artificiales, las

leyes que fundamentan su funcionamiento, ya sea ste estacionario o en

movimiento.

Adems se ha presentado ejemplos de aquellas principales perturbaciones que

afectan el normal movimiento en la rbita de un satlite, rescatando con todo esto

que, el trabajo de las estaciones de control de los satlites que se encuentran

distribuidas en la tierra es fundamental para el normal funcionamiento de cada

satlite en el espacio.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

- Satellite Geodesy Gnter Seeber 2nd completely revised and extended

edition. Walter de Gruyter Berlin New York 2003.

- Astronoma esfrica y mecnica celeste Juan Jos de Ors Navarro

Publicacin y Edicin Universidad de Barcelona.

- www.jfvc.wordpress.com Pgina web del Ing. Jos Francisco Valverde

Caldern.

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