mortgage contracts, strategic options and stochastic collateral

24
Journal of Real Estate Finance and Economics, 24:1/2, 35±58, 2002 # 2002 Kluwer Academic Publishers. Manufactured in The Netherlands. Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral ROBERT A. JONES Simon Fraser University DAVID NICKERSON Colorado State University and FreddieMac Email: [email protected] Abstract This paper offers a game-theoretic model for both the analysis and valuation of mortgage contracts in the context of an economy with complete information and complete contingent claims markets. We analyze the equilibrium strategy of the lender, who holds an option over the magnitude of mortgage credit extended per dollar of collateral offered, and the mortgagor, who holds options to default or prepay, in a class of intertemporal mortgage contracts collateralized by property evolving according to a random process which is common knowledge to both parties to the mortgage contract. Using continuous±time arbitrage valuation principles, we derive the value of the mortgage contract to both parties and show, through both analytical solutions and numerical simulations, that Markov perfect equilibria exist in which, among other properties, a lower ¯ow of housing services accruing to the borrower, per dollar of initial house value, and a correspondingly lower rate of effective depreciation, will elicit a larger volume of funds offered by a lender; the amount of credit offered, the values of the contract to both lender and mortgagor, and the expected losses to both parties from costly bankruptcy are highly sensitive to the perceived volatility of the value of the property collateralizing the mortgage, even in an economy with complete markets or risk neutrality on the parts of lender and borrower; the upper limit on mortgage credit offered by a rational lender may be a small fraction of the current fair market value of the property, regardless of the contractual yield offered by the borrower, and will decrease, at each such yield, as bankruptcy costs or housing service ¯ows increase; and under signi®cant but plausible values for bankruptcy and costs of liquidating property under foreclosure, the ¯ow of mortgage credit can become negatively related to the spread of the mortgage yield over the riskless rate, with the lender preferring a lower contractual yield to a higher one. Key Words: regulated Brownian motion, real options, differential games 1. Introduction The nature of mortgage lending and the ef®ciency of residential mortgage markets are important topics in ®nancial economics and in public policy. A prerequisite for assessing the state of the mortgage market is the ability to model the strategic behavior of both the lender and borrower and to value the claims of each party in the mortgage contract which emerges in the resulting equilibrium. Author for correspondence: Professor David Nickerson, Department of Economics, Colorado State University, Clark Hall C310, Fort Collins, Colorado 80523-1771, USA.

Upload: robert-a-jones

Post on 02-Aug-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

������� �� �� �� � ������ ��� ���������� ������� ������ ����

� ���� ����� ������ !�"���#��$ %������ ��� �� &# ' #������$

%�� (�( )�� ��� �� * �� (�� +, ���� ��� * ��#�� ��)���� ���

+-�& $ �+'�*

����� ���� ������ �

. /0. '0)��*+'

�������� � � ������ � ��� �������������� ������������������ � ���

��������

&#�� ,�,� ����� � (��1 #�� �� ���� ��� "� # # ����2��� ��� 3���� ��� �� ��� (�( ��� ��� � �� # ��� 4

�� �� �����2 �� # ���,� ������� ��� ��� ���,� ��� ��(� ������ ���5 �$ 6 ����27 # 8����"����

� �� (2 �� # ����� �#� #���� �� �, ��� �3� # ��(�� �� �� ��� (�( ���� 4 ��� ,� ������ �� ����� ���

������ ��� # ��� (�(��� �#� #���� �, ���� � ����� �� ,�,�2� �� � ����� �� �� � �,���� ��� (�( ��� ��� �

����� ����7� "2 ,��,� 2 3��3��( ��������( � � ������ ,����� �#��# �� ������ 5�����( � "� # ,�� �� �

# ��� (�( ��� ��� $ 9���( ��� ������� �� ��"� ��( 3���� ��� ,�����,��� � ���3 # 3��� �� # ��� (�(

��� ��� � "� # ,�� �� ��� �#��� #���(# "� # ����2 ���� ���� ���� ��� �������� ������ ����� #� %��5�3

,��� 8����"��� 4�� �� �#��#� ����( � #� ,��,� ��� � ���� :�� �� #�����( ��3��� �������( � #

"������� ,� ������ �� ��� ��� #��� 3���� ��� � �����,�����(�2 ���� �� �� ��� �3 �,���� ���� ���� ���� �

���(� 3���� �� ����� ����� "2 � ����; # ����� �� ���� ������ # 3���� �� # ��� ��� � "� # ����

��� ��� (�(��� ��� # 4,� � ����� � "� # ,�� �� ���� ��� �2 "��5��, �2 �� #�(#�2 ���� �3 � #

,���3� 3��� ��� 2 �� # 3��� �� # ,��,� 2 ����� ����7��( # ��� (�(� 3� �� �� �����2 �� # ���,�

���5 � �� ���5 �� ���� 2 �� # ,�� � �� ���� ��� "������; # �,,� ���� �� ��� (�( ���� ����� "2 �

�� ����� ���� ��2 " � ����� ���� ��� �� # ����� ���� ���5 3��� �� # ,��,� 2� �(������ �� #

��� ��� ��� 2��� ����� "2 # "������� ��� ���� ������ � ��# ���# 2���� �� "��5��, �2 ��� � �� #�����(

��3�� :��� ������; ��� ���� ��(��<��� "� ,�����"� 3���� ��� "��5��, �2 ��� ��� � �� ��8���� ��( ,��,� 2

���� ���������� # :�� �� ��� (�( ���� ��� "��� �(� �3�2 ��� � � # �,��� �� # ��� (�( 2���

�3� # ���5��� �� � �� # # ���� ,������( � ���� ��� ��� ��� 2��� � � #�(#� ��$

��� ����� �(��� � -������� �� ���� ��� �, ����� ������ ��� (���

� � ���������

&# �� �� �� ��� (�( �����( ��� # �<����2 �� ����� ��� ��� (�( ���5 � ��

��,�� �� �,��� �� <������� �������� ��� �� ,�"��� ,����2$ ,��8���� ��� �������(

# � � �� # ��� (�( ���5 �� # �"��� 2 � ���� # � �� (�� "#�3��� �� "� # #

���� ��� "������ ��� � 3��� # ������ �� ��# ,�� 2 �� # ��� (�( ��� ��� �#��#

��(� �� # ���� ��( 8����"����$

� #�� ��� �����,������ !������� .�3�� '��5����� .,�� �� �� ���������� )������� * � 9��3��� 2�

)���5 =��� )���� ��� )������� )������� �����1�>>�� 9* $

Page 2: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

&#�� ,�,� ����� � (��1 #�� �� ���� ��� "� # # ����2��� ��� 3���� ��� ��

��� (�( ��� ��� � �� # ��� 4 �� �� �����2 �� # ���,� ������� ��� ��� ���,�

��� ��(� ������ ���5 �$ 6 ����27 # 8����"���� � �� (2 �� # ����� �#� #����

�� �, ��� �3� # ��(�� �� �� ��� (�( ���� 4 ��� ,� ������ �� ����� ��� ������

��� # ��� (�(��� �#� #���� �, ���� � ����� �� ,�,�2� �� � ����� �� �� � �,����

��� (�( ��� ��� � ����� ����7� "2 ,��,� 2 3��3��( ��������( � � 5���� ������

,������ ��� �� �#��# # ���� ��� "������ #�3 ��� ���� ������� ��� � # �� #

��� (�( �� �(� �� �� ��� � �� ������ 5�����( #� # "������ #�� �� ����� ���

�3� # ��"�8�� ���5���� �� #�� �� �3� ��$ &# �"F� �� � ,��3�� � "��#���5

����2��� �� ��� (�( ��� ��� ���(� ��� # ��� � �� ��� (�( ���� �3����"��� 2 ��

3������ ��� �� # ��� (�( ��� ��� � "��� ���2 �� # � �� (�� 4���� �� # �, ����

��#�� �� ����� �" $�

&# 2, �� ��� ��� � ������� �� # ��� �1,����� �,��<� ����� ���� ���1������

��� (�( ����� 4�,��<� "2 � ������ ��� (�( ��� ��� � �� ���2 F������� ���� �� #��

# 9�� � * � � ��� ���#�$ &# ���� ��3���� � ��� � # "������ �� ��� (�(���

�#� ,������ � ��5 � ��#���� � ��� �� ,�2�� �$ 0� # ��� (�(�� ����� � ��5 �

,�2�� �� �(��� # ���� ��7� # ,��,� 2 ����� ����7��( # ��� ��� ��� ���� � �

�������( ��2 4��� �3� # �� � �����( ���� "����� � # "������$� &# ��� ���

���5 3��� �� # ����� ��� ��� # ��� (�(� ���# �� � #��� �� � #� ,��,� 2� �� 5����

� "� # �(� � "� � ����( � :�� �� ���� �� � � ���5 3���� # �� �� ��� # �� #

����� ��� �� ���� ���$ 6 �5 � � ���� # ��4���� ,��,�� ��� �� ��� ��� ���5

3��� � �� ����� ���� ���� ��3��� �(���� (�3� ����� ���� �� # ,�� ������ �� �� ��

�� �� ���� �#� 3���� ���� �� # ���1,��� ��� �� # ��� (�( ��� ��� ���� #�

���� ��� � "��� �� ���"�2 ��� #�� ��� �(������ �� # 2��� # "������ ����� �

,�2� ��� �#� #�� ���� ��� ��2 "��� ���,� �2 ����� �� �� 3� �(� �3�2 ��� � �

# ����� 2���$

+�� ���� �� # ��� (�( ��� ��� �,#���7� �� ��,� � �� ��� �1,���� ����� �� �

� �� (�� � ��($ &# <�� �� #� # ��� (�(�� ��� ���3 :��� �� #�����( ��3��� ����

�����( # ,��,� 2 ��3��( �� ����� ��� �� ���( �� # ��5� #�� ���� ,�2�� �$� &#

3��� �� ,�� :��� �� #�����( ��3��� �� �� � ��3�"� "2 # ���� �� # 3� ��

����� ; � # 4 � #� # ,���,� �� #� :��� ��� ��"� � � # ��� ��� ���5 3���

�� # ����� ���� #� 3��� �� ��� �3�2 �"�� �� ����� 2 � # ���� �#���� �����

��"�8�� �2 �����$ &# ��3�� 3��� ���� # ����G� ,��,� �3 ��� �,,��4��� �2�

# 4,� � ���5 3��� �� # ����� ��� � # @��5����B �� �� ����� � ������� � �

# ,��� $ &#�� ����� ��� � (�3� ��� ��� 3���� " ���� # #�(#� # �� �3���( #�����(

��3�� :��� ��$�

&# ����� ��,� � ������� �� #� # �, ��� � ����� �� �� ��� �� # � �� (2

� �� # "������$ = ��� ���� # ����( �� � � 4����� ��� ���� �� �� �� #�� ��� "�

�� �� $ ���� ����� ,��� # "������ � ������ � ,����2 �� ����� ��( � # ���

���� # ���� ����� " ����2 �,��� "2 # ��8���� � ,��,� 2 ��3��( �� ����� ���$ 0��

#��3�� #� �� ��� �#��� # ,��,� 2 ��(# ��� �� 3���� # "������ ���� (�����2

,��� � ,�� ,�� # ���3���"� 4���� �� #�� �, ��� � ����� � �,�����2 �� #

��� (�( ���� ,�2�� � �� ��� #�� # 3��� �� # #�����( ��3�� :��� ���� #

����� ���$� �2 ,����� "2 # ��� (�(�� � �� � #���� ����� �� " ����"�� ��� #

�? �+'�* '. '0)��*+'

Page 3: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

���� ����� �� 8����"����� �5 #�� ���� �3 �� # ��� (�(�� �� � ������ �#�

������( �,�� # 3���� �� ��� (�( ���� � " �����$? &#� �� �������� ����H

# ��� ��3�"��� 2 �� ,�� #�����( ��3�� :��� ��� # ��� ��� �� ����� ����( "2 #

"������H,��3�� � ����� ��� ��� ����2��� �� ��� (�( ���� �3����"��� 2 ����

�2�� ��� ������� ��� �� �� �����2 �� # ���,� ���5 �$>

&# ���� �� � �� ��� ������ ��� ����( ��"� ��(1�� 3���� ��� ,�����,�� ��������

���� ����� ��� ,�����( #��2 ��� # ,��,� �� �� �, ���� � �,,��( ���� ���

��� ������1 �� � ��#�� �� (��� �� ����27� �� .� � ��� �� ��#��� @�AA�B ���

I������ @�AA�� �AA?B$� &# ���5��� �� �� �� �� ������ ���� �� $ ���� �� ���� ��

# ���5 3��� �� # ����� ��� �� 4�(���� � # �(� � "� ��� " #�(�� �� #2

�� �#���� � # ,�3�����( ���5 ���$ -� # ,�� �� �� ������ � �� ������2

4���� # �, ���� �3����"� � #� ��� � ��� � �� (�� �#��# �� � "� �,�2 �

# � #�$A

&# ��3�� �(� �� ����( � ���,� ���5 � �2�� ��� ������� ��� �3������ ��

���,����( �� � �����( ��� �"F� �3 �� ,��3����( � "��#���5 ����� �� # �<����2

�� � ������ ��� (�( ��� ��� �$ 0 ,��� � �� � �" ��� 8����"���� �, ��� 4����

� �� (�� #� �� ���,��� �� ���5 � � ���� ������ � ��� 4,� � ���� �"�� �� ��

����� ��� 3����$ 0 ������ ������ ��2 " �� ����� ��� �#���� ��� ��� ���# �� ���#

:��� ��� �� �� �#��( �� 3���$ ������2� � ����� # ,����� �� �� �,�� ����� ���� ��

3�����( # ��� (�( ��� ��� � "� # ���� ��� ��� (�(��� ��� 3���� ��( # ��(�� ��

��� ��� � �� ���<������� ���# �� "��5��, �2 ��� �$��

+�� ����2��� ��� " ,���� �� #�� # ��� 4 �� �3��� ����� � ����� �� �� �� ��

��3�� � ��� (�( �����(� ��� ��� ���(� ��� ���� �����$ ���� ����� �,,����#

� 4,������( �� ��� �� ��� �� "��5 �����(� ��� �� �"�2 �� ����� �� �� "��5����1

"����( ��,,�2 �� ���� �� # ��,� � ����� 2����� ��� ���(�����2 ��� "2

=��(��� @�A?�B ��� ����� ��� I����� @�A?�B� ����( � #��� ���� �2 �� ��� ��

# ��� � �� ����� �� # ����� ��3���� "2 � ���� � � �� 4�(���� �����

��� ���� $ ���� ��� %���(����� @�A?AB� -�� ��,�(� @�A>?B� -���� @�A>?B ��� � #���

�#�� �F� ��( # �� ����� ����� "2 #� ����� �� #���� �1������ # 8�� ��� ��

���� ����� "2 ,��� ��( �� 4�(���� ���"��� 2 �� ����� � ,��� �2 ����������

������ ����3����� "������� �� # ,�����( �� ����� ���5$�� * �(�� 7 ��� 6��� @�A���

�A�?B ���(��7� #�� ���"��� 2 � ����� # �� ������ ���5� �� ����� #���(# ��3��

��� ��� ������ ����� #�7���� �����( � ���(�� ��� �� # ������( ��� �� 2���� ��

���� ��� ��� � ��� � ���� �� �����( �� ,�� �" ���5 � �� 8����"����$ %��

��� �2� !���(� @�AA�B� -� � @�AA�B� =�� @�AA�B� )#� @�AA�B� =�� ��� %��� @�AA�B

��� I�� �� ��� ��#� @����B� ����( � #��� #�3 4����� 3������ ��,� � ��

��2�� ��� ������� ���� ���� ����( ��� � ��� ��(� �� ��� �� # ���(� �� ����

��� ��� �� �#�� !��� @�A�?B� -��5�2 ��$ @�AA�B� -��5�2 @�AA�B� ��� � #�� #�3

4����� # �,��<� ��� � �� ��2�� ��� ������� ��� ��� ��,� �� ���5

��,��� ���� �� ��� (�( ��� ��� � �� # ��� 4 �� "� # �3��,� ��� �3��,��(

�������$

+�� ,�,� ������ ���� #� �� � ,�,��� �#��# "�� 4,���� ���� �� # �� ��� ��

�"��3� ���� ��� ��� � ��� ������ ��� ����� � ���� �� �� ���"��� 2 � ,���

���������� � �� # "���� �� ����� ���5� ������ "������� "���� �� ��2�� ���

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J �>

Page 4: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

������� ���� �� #� � ���, # �� �,���� �����, ���� �� ���,� ��,� �� ���5 � ���

������ 5�����( �� # �� ������ ���5 �� ����� �� �� 4,���� ��� ������1 �� (��

�������5$ &#�� ������ �� � "� # �,,�2 # �������� �,���� ��� �#��8�� �� ��� ��(�

������ ����2���� �#��# �8���� ��,� �� ���5 ���,� ���� �� ���� � 4,���� �2 3���

# ��� (�( ��� ��� � "� # ���� ��� "������� ���� �� ���� � 3���� �# #�

�� ��� �� ��� �� ��� (�( ��� ��� � ��� 3���� ���� �� ����� � ��� (�( ���� ��� "

4,����� ����2 �� ��� �� # �, ���� ��# ,�� 2 #���� �� ��� � �� #�� � �� (2 � �

�� �����( �(� �� ����� �� #�� ������ � ��2�� ��� ������� ���$ 6#�� ��� �����2

��� � � # ����� �� �� �� �� ����� ���5� ��� ,�,� ���� ������ ���� #�� �����

� ���� "2 4,���� �2 ���(��7��( # ����� ��� ��� (�( ���� � �� ��� �� # ��,,�2 ��

���# ���� � �� �� 4,���� (��1 #�� �� ��� 4 $��

�4 �� ���1� �� (�� 4,���� ���� �� # ������� �� ����� ��� �� ����� ���

��� (�( �����( �� ���� "��� �� # ����� ��� ,�,�2�� �, ���� ,������ "2 #

��� (�(#����$ ��� � ��� 3�� +��� @�A��B� .�55� ��� ���� �� @�AA�B� ��#� ���

J��( @�AA�B� ��� ��$ @�AA�B� ��� ��$ @�AA�� �AA�B� ��#� ��$ @�AA?B� ��� ���

���� @�AAAB� )������� ��� ���"�� @�AA�B� !#����,� ��$ @�AA?B� ��� .�( ��$

@����B� ����( � #��� #�3 ��� ��� ��(� ������ � #��� � 3��� "� # <4�1�� ���

��F�� �"� �� 1��� (�( ��� ��� �$ &#� �, ���1"��� ����� (��� ,���� ���� ���

����� "��� �� # ����� 3��� �� #�����( ��� �3 � # ������� � 3��� �� �� ��

��� (�( ,�2�� �$��

+�� ,�,� ������ ���� #� �� ����2���( # �, ��� � ����� � ,������ "2 #

"������� �� � �� ��� � ��(� �� �#��# "������ ��� ���� ,��2 � ���1�<�� (��$-2 4,���� �2 ����27��( # ����G� "� ��,��� � # "������G� ����� �, ���� ��

��� �� ����27��( # �, ���� ����( �� "������ ����� �� � "� 1��,��� � #

��� ��� ����� "2 # ����� ��� ���� ����(� # �, ���1"��� �� �� �� ��

��� (�( ����� ��� � ������ # ���(���� ��,��� �� # ��,,�2 �� ��� (�(

���� � "� # # � �� (�� ����( �� ����� �� ,�,�2�� "2 # "������� ���

����� ������2 � # �#���� ��� ��� �� # ����� ��� ����� "2 # "������� �� � ,���

8����"����$

&#�� ,�,� �� ��(���7� �� �������$ *� ��� � �����"� # �� ��� �� # �(� �� ���

" �� ���� ��� "������ #� � ���� # �� ��� �� # ��� (�( ��� ��� ��� #

,�����,�� � ������( � � 3��� � "� # ���� ��� "������$ *� ��� � ,��3���

����2 ���� ���� � �� # ���� �3� ��� ��� (�(��� � ���2 # ���3���"� ������� �

����� � �� ��� �� 4,��� ����2 ���� ���� ���� ��� # 3��� �� ��� (�( ��� ��� �� � "� #

���� ��� "������� �� # �� �� ��� �3 �� �� ���� �� �#��# # ��� (�( ��� ���2

����� � �� ��� 2 ��� �� �#��# # ��� (�( #�� �� ��"����� �� � �� ��� 2$ 6

���� ���3 �� ����2 ���� 3��� �� # ���<������ (��� � "2 "��5��, �2 ��� � ���

"��� "2 "� # ,�� �� � # ����$ *� ��� � ��� �������� ���� ���� � 4���� #

8����"���� ,��,� �� �� ��� (�( ��� ��� � �� � 3��� 2 �� ������� ���� �� �#��#

,���� �� �� # ���� ��� ��� �� ����"�� � � ���(� �� �,�������2 ����� �� 3����$

6 ����� #� �� # "� 1��,��� � �� (2 �� # ����� 4������( #�� 3���� ���� ��

���� ��� ���� # :�� �� �3����"� ��� (�( ���� $ )��������( ����5� �,,�� �� #

<��� �� ���$

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 5: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

�� � ����� �� ��������

���� �� ��� �� ��� ��� ��� ���

6 ������� � �� (�� "#�3��� "2 ���� ��� "������ �� #�� � "���� ����� �� � ������

��� (�( ��� ��� �$ 0� � ��� ��� �� ��3��� �� �� ��� �� ��� # "2 # ���� � �� ��

��� ��� � �� #�� ����� �"��(� # "������ �� ��� (�(�� � ��5 ��� ������ ���,��

,�2�� �� � � �� �� �� ��� � ������ ,�2�� � � �� ��� 2 �� �$ 0� # ��� ��� ��� ������ �� � ,� 2��� ��� �������2 ���,������ # ��� (�( "����� �� � �� � �����( � �� � �� � �� �� ��<����

� � �

� �� � �� �� � � ��� � � � �� ���

�#� � � ����$6 ����� # ���5 3��� �� � �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�( 3��3�

��������( � # ����������

��� � � ���� �� � ��� �� � �� ���

�#� � � �� � � ������ -������� �� ���� � �� � ���� �� 3��� ��� 2 ,���� � ��� ���� � �� # ��� �� ����� 4,� � ���� �� # � � 3����"� �� �$�� !�������� �� # ����� ���� � �� # #���� � � :�� �� #�����( ��3��� �������( � # �� ���� �� ����� #��� (�(�� ����� � "2 �� ##�����( # ���,�� ,�2�� �$ 0� # ��� (�(�� ����� �� #���� ��7� # ����� ��� ��� ���� � ��� �� ��!��� �� �#� !��� � �� # "��5��, �2 ��� ������� "2 # ���� �� # ��8���� ��� ,������� �� # ��2 ����� ���� #�� ,������ ��

4��� �� # �� � �����( ��� (�( "����� �� � ������ � # ��� (�(��$�?������2� � ����� #� "� # ���� ��� ��� (�(�� ��2 ��� ��� ����2 ���

��� �������2 �� ���5 � #� �� ���,� �� # ��,� � �1���5� # ��������� ��,���"2 3���� ��� �� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�($�> ��� ������2� "� #

,�� �� ��2 ��� �� ���5��� "���� � ���� �� ��� ��� �������2 ���,����� 2��� �$��

���� � �� �� "�� �� !����#� ��� ����

6 �������� �� #�� #�� (���� ����� �� ��� (�( ��� ��� �� � ���,� �3������ ��

�#��# ������ �� # ,�� �� # ��� (�(�� � ��5 ��#���� ���,�� ,�2�� � ���� � ��

����� ��� �� # ��� ��� ��� ��8���� ��� �� # ,��,� 2 ����� ����7��( # ��� ��� $�A

&# ,�����,�� ��� �� # � �� (2 �,�� �� # ��� (�(��� �� #�� ��� 4 � �� #�� �, ���

� ����� $ = ��2� � ��2 ��� ��� ��5��( # ��� ��� ��� ,�2�� � �� �� � �� ��� 2���� � ��5 # ������ ,�2�� �� ��� ����� # ,��,� 2 ��3��( � ����� ����7 #����� (�($ 9,�� #�� ��������(� # ���� ��8���� � # ����� ��� ������ �2� �� # #

���� ���3��( ��4 C���� ��!��� �D �� ����� ������ � �� ��� # ��� (�(��

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J �A

Page 6: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

���3��( ��2 4��� �� # ��8���� � 3��� �� #�� #��� �3� # �� � �����( "����� �� ��� # ��� (�($�� *��� #�����( ,���� ��2 ��� �� #�� "����� # � �� (2 �,�� �� #

��� (�(�� ���� ������� # �, ��� � ����� # ��� (�( ,���� � �� ��� 2 "2 ��5��( �

,�2�� 8��� � # �� � �����( "����� �� �$ 0� # ��� ��� # ������ �<������( ��� �� ��� �� �� �(� �� ��( � �� ���� � �<���� # ���� �� ���� ��� � ��������( � ��

�"��(� ��� �#�� ���5 3��� 8���� # ����� �� # �� ��� (�($��

&# ,�����,�� ��� �� # � �� (2 �,�� �� # ���� �� # ��(�� �� �� ����� #

����� � # "������� ��� ��(� �� # 8���� �� �� # ,��,� 2 ����� �� ����� ��� "2

# ��� (�(��� ��� �� ���� 5�����( �� "� # # �, ���� ,������ "2 # ��� (�(�� ���

# ��� ��"� ��� @�B �� # ����� ���$��

��$� �%����!���� ��� ��� ����

&# �"��3� �� ��� �� # ��� (�( ��� ��� �:� # 8����"���� ��#�3� �� #

������,�� �3 (�� ,��2� " �� ���� ��� ��� (�(��� �� �#��# ��# ����3�����

��� � � "� 1�,�2 � �� (2 ��� 4������( # �, ���� �3����"� � #�� �3� # ����� ��

# ����$ -��� �� # ��� ��"� ��� �� # ������ #��� 3��� �� �� � ����27 # %��5�3,��� 8����"��� �� � ��� ������ �� (�� �� ,��� ������� ���� �� �#��# "� # #

,����� @�B �����"��( # 3��� ��� �� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�(

��� # ����7� ��� �� # ���,� ,� # �� #�� 3��� ��� �� ������ 5�����(� � ��#

�� � � "� # ,��2��� ��� �� �#��# # ����� 3��� �� # � � 3����"�� ��� �� ��"���� ��� ��3�� ������� ��� �,�� �#��# # ����� �� ���� �� # ����3������ ��

"���$�� &# ��� (�(�� ��� � # 3���� �� �� �� �� ���,�� ,�2�� � � ��# ���� ���4���7 # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � #��� ����� ����� �� # ����� � �

3����"�� �#�� # ����G� �"��3� ��,���� �� ��� �� # ��(�� �� �� ��� (�(

����� ,������ ,� ������ �� ����� ��� 3���� ��4���7� # 3��� �� #�� ��,� �3 �������

�� �"���� �� # ��� (�( ��� ��� $

.�� ��( "2 �� ����� # ���( �� #�����( 3���� �� ��� "2 �� ��� �� #��� ����� �� ������� �� � �����( # ��� �� # ��� (�(� # %��5�3 �� �� �� #

(�� ��,��� #� ��� �� # ��,,�� �� ��� ,� � ��� � � � ��3�� � # ��� ��(�

�� ���� ���� � � ��( # � �� (�� ��� � "2 ��# ,��2�$ *��� # ��� (�( �� ������

� ����� �#� � #� ����� ������� ,�,�2�� ������� �� � �� ���#�� # � �� (2��� # ��� (�(�� �� �,��� � "2 # ����� �� �� �� ����� ��"� � �����$ ����7� ��� �� ��� � �� ������ ����� #���(# � 7�� ���,�� ,�2�� "2 # ��� (�(��

�#�� � ����7� ��� �� ��� � �� ������ ����� ��� �� # 4 �� ��� (�( #���(#

,�,�2�� $�� *��� # ���� �� ������ � ������� ������ �2 �,�� ����� "2 #

��� (�(��� # � �� (2 ��� � "2 # ���� ������ � ���2 �� ����� �� ����� � 4 �� �

# ��� (�(��� ,� ������ �� ����� ���� � # ��� �� # ��� (�( ��� ��� � ��� �� #��

� �� (2 �,��� �� �� # � �� C�D���$ &# �,� ��"� ����� #���,��� �� ��� ������ � �� ��� 3���� �� # � � 3����"� �� �#��# # ��� (�(��� ��� ������ �� �3$

���# ,��2�G� �#��� �� �� �, ���� � �� (2 ��4���7� # 3��� �� #�� ������ �"����

�� # ��� (�( ��� ��� � ���� �� ��� %��5�3��� ��� 4 � ������ � �� # ���� ��� � ��

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 7: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

�, ���� � �,,��( ,��"��$�� .�� "2 &��� � # 3��� � # ���� �� # ���# :������� # ��� ��� �� # 3��� � �� �� � ��� ��� � �� ��� ��� "2���� � # 3��� �� # ��� (�(��G� ,��� ��� �� # ��� ��� � �������3 �� #�� ����� ��� ,�,�2�� �, ����$

'� #� &��� �� ��� # 3��� �� # ,������ ���# :��� � # �� �� ���(��� ��� �� #����� �� ���� # 3��� �� ��� (�( ����� ��3���� "2 # ����$

,,����( � # � ������ ��"� ��( 3���� ��� ,������� �� ��� ��(� ������ ����2����

# 3��� ���� ���� &��� � ������� � ��� �� ���2 # ��������( -����� 8�� ���� �� #�,� � ��

&��� � � � � � � &K��� �� ���

���� � � ��� ��� � � �K��� �� ���

�#� � � ���� � �� # ��� �� ����� :�� �� #�����( ��3��� �" ���� "2 # ��� (�(������ #�� ,��,� 2� � � � � �� # 4,� � ���� �,�� �� ���� # ���8� 8��3��� ��� ��(�� ����� ������ "2 ��� �����, ��� �� ���,� ���5 �� ���

&K��� � � �4,��� � ��&�� � ��� � � � ��� �K � ��4, �� � ����� � ��� � � � �� #��,� �3 ���51��F�� � 3���� �� �� �� ������ �� # ���� ��� ��� (�(��� ������� � �

# ���5��� �� �� �� $�? &#� ����� ����� �� ���� ��� �� ���2 # ��,� �3 ,�� ���

������ ��� 8�� ���� �3� ��

�����&�� � ��� � ��&� � � � & � �&� ���

�������� � ��� � ���� � ��� �� � � � ��� �?�

�#� ��� � �� �� # ���51��F�� � ���� �� # 3��� �� # #���� �,��� ��( #4,� � �� �� �,,���� ���� ��� # ��������� @�B� ���� # 8��3��� ��� ��(��

����� ��3�� � ��� 3���� ���$

&#� ������ ��� 8�� ���� � � #� # 4,� � ������ �� ��� # ���� #�����( ��#

,��� ��� @ # �� #��� ����B ��� " # ��� �� # ������ �� ��� # ���� #�����(

���5��� "���� �� # ��� 3���$ &# <�� ��� �� # �� #��� ���� �:� � ���34� 2

��� ������( ���� # 3��� ��� 2 �� �$ &# ����� ��� �:� � # @���5 ��F�� �B4,� � ���� �� �$ &# #��� ��� �� # � ,�2�� �� ��3�� :��� ���3� "2 ������� ��� (�(�� ��,� �3�2$ &# ��� ��� ��, �� # �������( �� � �� ��� 2$�>

9��8� ���� ���� ��� # 3���� ��� 8�� ���� @�B ��� @?B �� � ����� "2 # ��3��

"������2 ����� ���� ����� ��( # � �� (2 �,��� � ��� �$ .�� ��( "2 �&��� � �������� � # ��,� �3 3���� �� # ,��2��G ������ �� ����� ��� ������ � ��� � ��� #��,� �3 "�������� �� # �,���� ���� "2 ��� �� ��� ���� �� # "�������� � ��� �� ��� ����� "2 # 3���1�� �#��( ����� ���� �#��# �8���� ��� ���� 2 �� # 3���

���� ��� �� # ��� (�(�� �� # "������2 �� �� ���� � � ����� �� ��� ������� � � ������ �� ��� "2 # ���� #1,�� ��( �� #�(# ��� �� ����� ����� �#��# �8������ ���� 2 �� # <�� ���3� �3� �� #� ���� ���� � # ��� ,��� �$��

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 8: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

L���� � �3 ,��,� �� �� # "�������� �� # � �� (2 �,���� ���� ��� " �����"�

"2 ����( # 3���1�� �#��( ����� ���� �� # # -����� 8�� ���� �� @�B ��� @�B$

�� ��� 2 �� # ��� (�(��G� �, ���� ����� ������� �� ��� � � "2 # 3��� �� #�� �������� �3 � # 3��� �� #�� #����

���� � � ���� � �� �� ������;�� �� ���� � �;

��>�

��� ��� � �� ��� 2� ��� �� �� �� ��� ���2 �� ������$ )����� �� # ���� � �� ��� 2����8�� �2 �� ���2 # ������� ����� ����

&��� �� � �� �� ������;��4��� �� � � !��� �� �� ���� � �$

����

!���� � �� ��� 2� # ��� (�(�� ���� ��� #�� ���,�� ,�2�� ��� ��,� �� � ����� ���2

�� # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � #��� ���� �� "���� 7��� ���� � # ��3�� 3���� �� ��� �� ����� ���� ��,�2 #�� ����� ��� 3��� ����� �� �� 7��$ 9���( @�B �� #��3��� �� �#��( ����� ���� # "������2 ��� � �� � �� �<�� "2

���� � � � � � �K��� � � �� �A�

)����� �� # ���� � #�� "������2 �� ���2

&��� � � ��4��� � � !��� ��� ����

������� ��(��� ��� " ��� � ����� # "������2 ��� � �� # ,�,�2�� �(������ �#��# ��� �� ���2

����� � � � � � �K���� � � ��� � � �� � �����!���� �� � ��� ���� ����

=� # ����G� ����� �� ���,�2�A

&���� � � �� ��

�� �������� ������ � �������� �������

6 4����� �� #�� � � �� �� ��� �3 ,���� ��� �,��<�� ����� ,��,� �� �� #

8����"��� �� ��� �����( (��� �� �:� � �� # ��� �� # ��� (�( ��� ��� ��� �� #

8����"���� � �� (�� ���, � "2 ���� ��� ��� (�(��$ 6 ,��� � ,�� ������ �,#���� ��

# 8���� �� �� # "� 1��,��� � �� (2 �� # ���� �� #� 8����"���� �� # ��

�"F� �3� �� ����$ ���� � � ���# � �� ��� ����2 ���� �������5 � 4����

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 9: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

������� ���� ���� �#��# ���1,��� ���,��� � �� # 3� �� �� ��� (�( ���� ���# ��

# ���� �7� ��� �� � :�� �� #�����( ��3���� "��5��, �2 ��� � ��� # �� �3� �#��#

# ��� (�( 2��� �� <4�� ���� # :�� �� ��� (�( ���� ��� #�����(� ,� ������ ��

#��� 3��� ����� ����7��( # ����$ &#� ��� � ,��3�� ����(# �� � "� # # ,��� �3

��� ����� �3 ��,� � �� ��� (�( ��� ��� ���(�$ *����� � �� ���� �� �� � �� �#�

����(# � ��� ���� ��� ���� �� #�� # ���� � �� # ��� ��"� ��� �� #��� ,��� ����

# ��� (�( ��� ��� ��� # 3���� �� ��� (�( ����� �3����"� � "�������$ 6 ��

�,�����2 �� �� � �� #�� "� # 2,� �� 3����"� ���� # ��� ��� 2 �� ��� (�( ����

��,,��� �� # ��,� � # 2��� �,��� �� ���5 ,����� �� # ��� (�( �� 8����"����$��

&# ,��� 8����"���� �� # �����( (�� �� �����"� "2 # ���5� ,�� ���

������ ��� 8�� ���� @�B ��� @?B� ���"��� �� # # �� "������2 ����� ���� @AB ��� @��B

�#���� ��7��( ��� (�(�� � �� (��$ � #��(# #� ����� � �� (����� " ���3�

����2 �����2� �� ����2 ���� �#���� ��7� ��� �� # 8����"���� �� ,����"� �� �� �,��<�

������� ����$ ���� � �� # �� ����� ��� �, ���� �� # ��� (�(�� ����� ���2 "

�� ������2 4����� � ���� �� ��� 2� #� �, ���� � �� (�� �� �����"� "2 ���(�

��� ���� 3���� ��� ���� ��� ��� ��� 3���� � "� # ���� ��� ��� (�(�� ��� " �����2� �����$ *����� �� # ��� (�( �� ��� �� ��"����� �� � �� ��� 2�

�,,��4��� ��( # ���( ��� #� ��� <4� �� ��� (�(� 4#�"� �� # 9�� �

* � � ��� ���#�� # ������� ,��"��� ���� "2 "������� ��� ����� �� � � �����2

��� �, ���� � �� (�� �� �����"�� �� ��� �� "� # # ����� ��� ,�,�2�� �������

�� # ��� (�(��� "2 ���� �� ��� ���� 3���� ��� �� �$��!���� � ���������( #� �� ����� � ��� �� -����� 8�� ���� ��� # ��

"������2 ����� ���� � �#���� ��7 ����� "#�3��� �� 8����"����� ���� ��� ,���� ���

�,��<�� ����$ &# ,���� �� "��5��, �2 ��� � ��� �����3��"� #�����( ��3�� :���

����� �� 8����"����� #�3 ��3�� ��� � �� # 3��� �� ��� (�( ����� �� ��� �� #

��(�� �� �� ������ ����� ���<������ �� # 4�#��( " �� ���� ��� ��� (�(��$

&#� ��� � ���� ���� # ���� �3 �� # ��� (�(�� � ���2 ����� � �#���� �����

������ "2��� # � � �#� # � ����� ��� 3��� �" ���� "2 # ���� ����� "

���<��� � ��3� # 4 �� "����� �� � �� # ��� (�($ &#�� ���� �3 �� �#���� ��7�"2 # ��������( ,��,��� ����

���������� &# ��� (�(�� ���� ������ ���� ����� ��� � ���( �� #��� 3���� ���

#�� # 4 �� ��� (�( "������ � �� "��5��, �2 ��� ��

�� � �'�������� ����

�#� '��� �� � � �� � ��� �2 ,��� �3 ����� �<�� "2

'��� � �� ���� ���� � � !��� ���

!���� �� #�� ,��,��� ��� �� ������ ���� 8�� ���� @�B� @AB ��� @��B$ *��� #

4,� � ������� � �� �� ������ �� # ��� (�(��� � �K��� �� �� ����2� ���1�(� �3������ ���������� �� �#��# �� �"3�����2 ,��� �3 �#�3� # :�� �� #�����( ��3������� � 4��� # :�� �� ���,�� ,�2�� � �� ���� ���� ����� ,��� �3 3� �#�

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 10: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

���� ���� �� ���( �� ���<��� �� � �� ��� 2 ������ �� #� � ,��� �3 ,��"�"��� 2 ��#��� ,��� �,,���� ��� ����� � �K��� � � �$ 9��� ���# ������� ����� ���� � ��,��� �3 ��� �� �� �3�� ' �� #�����( 3���� �� � �� ���2��( ���� ���� � � !��� B$J���� ����� �����2 ,��� ����� � ����� � #�����( 3���� � ��� �� (�� ��

�� � � !��� �� ��� ����� ����8�� �2� �5 # "#�3��� �� # ��� (�(�� �� #�������� ���� �� � ������ �#� ������( �,�� # 3��� �� ��� (�( ����� � ��� �

�� �$ &# ���( �� ���# #�����( 3����� '� �� ��������( �� # ��(�� �� �� #�����(��3��� �������( � # ��� (�(��� ���� �� ��� ����� � # ���� �� # 3� �� 3� �������� �� ��������( �� # ��(�� �� �� "��5��, �2 ��� �� !��� �$

$��� (���� ���� � �� ��� �

0� ������� ���� ����� #� # ���� ���� ��� ��� � �� ��� 2 �� # �� ��� 2� # ���2

��3�� �� ��� �� # ��� (�(��G� � �� (2 � �� � ����� � �� ��� 2 ��� 8��3��� �2� �

4���� #�� �, ��� � � ��� #�� ,��,� 2 "2 ,�2��( # ������ 3��� �$�� ������( #� "��5��, �2 ��� � !��� � ��� # :�� �� #�����( ��3��� ���� � �� "� # ,��,�� ����� � # #��� 3��� �� � � ��# ���� � # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � "� # ���� ���"������� �� #�� ���� ��� " ���3� ����2 �����2�

���������� � 0� ����� ����� ����� ,���� � �� ��� 2 �� ���,�� ,�2�� � �� ���� �� � �� ��� # ,��,�� ����� "��5��, �2 ��� ��� #�����( ��3�� :��� �� ���� �� � �� � !��� �� #� # ��,� �3 3���� �� # ��� (�( ��� ��� � ���� ��� ��� (�(�� ���

&��� �� � ��� !������� �� � ����� ����� ��

���� � ��� � ����� �� ��� ����

���� �� � ������� � ��� ��

���� � ��� � ����� ����� ����

�#� ����� ���� �� # 3��� �� � ����,�� ���� �, ��� �� # #��� ����� ����7��( #��� (�(� �� # 4,��2 �� � ��� 4���� ,��� 8��� � # ,�2�� � �� ��� 2��� ��� ���� � ���� ,�2��( ! ������� �#�3� �� �� 4������ ��� 7�� � #����$

��

!���� �� ���� ���� # ������ ��� 8�� ���� @�B ��� @?B$ &#�� ,��,��� ��� � � � #� #

3��� �� # ��� ��� � # ���� �� # 3��� �� # #���� � �� "��5��, �2 ��� �� ,���

# ������� � 3��� �� ��� ��� ��� ��� (�( ���� ,�2�� �� ��� # ���5 3��� �� #

#�����( ��3�� :��� ���3� "2 # ��� (�(�� ��� # 3��� �� # ��� (�(��G�

������ ���� �, ��� � � ��3 #�� ����� ��� "2 ��5��( # "������ ,�2�� �$ *�������2� # 3��� �� # ��� ��� � # ��� (�(�� ������ � �� # ����� 3��� �� # :�� ��

#�����( ��3��� �������( � #�� �3� # ��� �� # ��� (�(� ,��� # 3��� �� # ����

�, ��� � � ��3 #�� ����� ��� �� ����� � �� ��� 2� ��� # ������� � :�� �� ���,��

,�2�� � �8���� � ���� ��� # ��� (�($ +"��3 #� # 3��� �� # ��� ��� � #

���� @��� (�(��B �� �������( @��������(B �� # :�� �� #�����( ��3��� �� #

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 11: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

3��� ��� 2 �� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�(� ��� # �� � �� ��� 2

�� # ��� (�(� �#�� # �����(# ����� � "� # ,�� �� �� ��������( �� #

,��,�� ����� "��5��, �2 ��� � !$ &#�� ���� � # ��������( �����������

��������� �� 0� # ,��,�� ����� ��� �� "��5��, �2 �� ,��� �3� # ���"��� 3����

�� # ��� (�( ��� ��� � ���� ��� ��� (�(�� �� ��� #�� # 3��� �� # #���

����� ����7��( # ��� (�( "2 )��� ��� # 4,� � ����� 3��� �� # ��� � ��"��5��, �2� �#��# �� (�3� "2

)��� �� � !������ �� � ����� ����� � ����� �� ���� ����

��������� ��� 0� # ��� (�(�� ���3� � ���� �� ,��,�� ����� :�� �� #�����(

��3��� ���� ��� # ��,,�2 �� ��� (�( ���� �� ������� ���� ,�������( ���2 ����� ������ � ��

&��� �� � ��� !������ �� � ����

&#� ���������� "� # ������ ���� # ,�����( ,��,��� ���� # ���1�(� �3� 2 �� #

3��� �� # ���� �, ��� �� ��� # ��� �� ,��� �3 "��5��, �2 ��� � ,��2 �� ������( #���"��� 3���� �� # ��� (�( ��� ��� � ���� ��� ��� (�(��$ &#2 ��,� �3�2

����� �� #� � �� �� 8����"���� �,��<�� ��� �� � � ������ ��� (�( ��� ��� � # �� ��

�� ��� (�( ����� ����� "2 # ����� ,� ������ �� ����� ��� 3���� �� �������#��(

�� # :�� �� #�����( ��3��� �� ��� # 4,� � ,��� 3��� �� # ���� � #���� ���� #�� :�� �� ��3��� ����� �� �,,� "���� �� # 3���� �� ��� (�(

����� �3����"� �#��# �� � ��� �2 ��� #�� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( #

��� (�($��

$��� *�" ��� ����

)������ ��� � ,�, ��� ��� (�( ���� �� # ���� �� ��� ��� ��� :�� �� ���,��

,�2�� � �$ 0� # ,��,�� ����� :�� �� #�����( ��3��� � �� ���� �� ��� # ���� � �� # %��5�3 ,����� (�3����( � �� � � �����2� #� # �, ���� ����� ��� � �� (2 �� #��� (�(�� ��� # ����� 3��� ���� ���� & ��� � �� ���� � � �����2$ &# ��� (�(��G�

� �� (2� �� #�� ���� ��� " ���,�2 �����"� �� ���� �� ��� ���� 3���� �� # #��� 3���

� � �#��# ����� �� ,�,�2�� ����� ��,� �3�2� �����$�� &#�� ,�, ��� ���� ��2 "�� �,� � �� �,,��4��� ��( ���(1 �� <4�1�� ��� (�(� �� # ���� ����� �� #

9�� � * � �� ��� �� ��� �3�2� ��� (�(� ��� �#��# #� �� � #�(# ,��"�"��� 2 ��

����� ��� "��� ��� ��� ��� �� ��� 2$ &#�� ��� #�(#��(# � # 3��� �� ����( �, ���� �

# ��� (�(�� ��� # ��,���� ���� �� # ��� (�(��G� ���� �3� �� # �3����"��� 2 ��

��� (�( ���� ��� �3 � ����� ���$ +���( � � � ��� �"��� 2� � ����� �� # �,��<�

��� �#� ����� �� # ���2 �� ��� �3����"�$�? 0� #�� ���� � #�3�

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 12: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

���������� � � �� �� 1���2 ��� (�( �� # ��"����� �� ��� 2� ���� �� ,�2�� �

�� ���� �� ,��,�� ����� "��5��, �2 �#��(� ! ��� � ���� �� ,��,�� ����� :�� �� #�����(��3��� �� ���� " ����� � � �� �� 8����"���� �� ��� ���2 ��

�� � � � ��

� �

���

�� ��?�

��� #�3 ��,� �3 3���� � # ���� ��� ��� (�(�� ��

&��� � �

���� � !� � �

��

� �

� ��>�

���� � � ��

�� �

���

� ����

�#�

� � ����������������������� � �������

� �� ��� � ����

!���� �� #�� ,��,��� ��� ���� �� # ,��,� �� �� ,���"���� ������ ��� 8�� ����� �� <��

�������� �� #�� ��� 4 "2 %� �� @�A>�B� ��� �� �3����"� ���� # �� #��� �� �8�� $

'� #� � � �� # �"�3 4,������� ���� ����8�� �2� �� �����$&#�� ,��,��� ��� ,��3��� "� # ����(# �� � # 3���� ��� �� ���52 ���(1 �� <4�1 ��

��� (�(� ��� ����� ��,���� ���� ��� ��� (�( ��� ��� ���(�$ ���� � �� #� # �����

3��� � �� ,��,�� ����� � # ���,�� ,�2�� �$ *��� # ,�����,�� �� �3� �,���� � �����2 # �3� �� ���,�� ,�2�� � ��� �3 � # 3��� �� # #��� ����� ����7��( #

��� (�( #� ������� # "������$ 6# #� � ��� � ���( ��� (�( ���� � � ��� 2���

�� � ����� ���� � � #�(# 2��� #� ���� � �� # �,��<� � �� ����3�� � �� �� ��24,� � �� �� �,,���� ��� �� # #��� 3��� �� �$ *����� # 3��� �� # #��� � �, ���� ����� �� � ��� �2 ��� #�� ���� �#��# �� # ����� 3��� �� # �������(��� (�( ���� ,�2�� �� ��,� ���7� � # ���5��� �� �� �� $ � � ����8���� �

��� (�(�� ���� �� ������2 ����� ���2 �� # 3��� �� #�� #��� ��� �3 � #�� ��� (�(

,�2�� � �� 4�, ������2 ���� # ���,� "� � ������ ���,������ �� ����� #��� 3���

� � �� ��� (�( ,�2�� �"��(� ���� �� �� � 3���� ������ �� �� ��,����( ����� $�>

�� �������� ������ �������� �������

���2 ���� ���� ���� ��� # 3���� ��� 8�� ���� @�B ��� @?B� ��� # � ���� "��������

�� # ����� ��� �(���� �� �#��# # �, ���� #�� "2 # ��� (�(�� �� �, �����2

�? �+'�* '. '0)��*+'

Page 13: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

4������ ����� " �" ���� �#� #� "�������� 3��2 �� # # �� �������( �� #

����� ���# �� �� # ����� �� # <�� �� � �� ��� 2$ '������� ���� ���� ��� " �,,��� ��

#� ����� ,��� ��( �� � ������� # �� �� �� # �����( 8����"���� �� ����� ��

,���� ��� ���� ��� ,��3����( ���� ����� ����(# �� � ��� ��� ���� ��( # :�� ��

��� (�( ���� $ 6 ����� ��� �,�� � ���� � �� # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � #

����� &��� ��� �#��# �������� �� # # 3���� �� ��� (�( ����� ����� �� 8����"������� � #� 3����"�� �� # ��� (�( ��� ��� �#��( #�� 3���� �� 8����"����$��

6 �� � <�� ������� ,������ � ���3 # ,��"�� ��� �,��� � �3 ,���� ���

����$ &# � ��� �� �,��� � "2 � ����� �� ��(���� (��� �� � ��� 3����$ ���� ��� �� � � �� & ���� 3���� ��� #� (���,��� �� �( #� �� # �� ������ ��� �# #�

��# ,��� �� �� �� �� ����� ���$6��5��( "��5����� ���� �� �� # 3���� ��� 8�� ������ MM���3�GG ��� ��# �� � , ����( # )���51'��#����� ����� �,,��4��� ��� ��� #

,�� ��� ���3� �3�$�A � � ��# � ,� �� �#�5�� ��� ��# ����3����� ��� ��# 3��� �� ���# #� � #� ����� �� " � "2 4������( # �, ���� �3����"� � #��$ 0� ��� # 3���

���� ���� �� "� # ����3������ �� �,,��,��� �2 ��F�� � � �:� #��$ +� ��� ����

��3��( ������3�2 �� #�� ���#��� �� �� # ���(��� ��� �� �� # ���� �� � ����$

&# ,���� ��� ���� 4����� "��� ����� #� "��5��, �2 ��� � !��� �� :��� ��#�����( ��3��� ���� � ��� �<������( ��� � � ��� �� �� ���,��� �� �� ��� ��#���(���� �� #�� � #� ��(��� �$�� &# �, ���� � �� (2 �� # ����� ��� ��# ����

��� ����8�� �2 " �,�� � ���,��� �2 �� # �"���� ��7 �� # ��� (�($

"��#���5 � �� 3���� ��� # ��� �� # ��� (�( ��� ��� �� ��� � 3���� #

��� � �� # 3���� �� ��� (�( ����� &��� ��� �� ,� ������ �� # ���5 3��� ���� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�($ &#�� "��#���5 � �� ����"�� � �� �������� #

���5��� �� �� �� �� �� �$�� ,� 2��; �������7� ,��,�� ����� 3��� ��� 2 �� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�( �� �� �$�; # �� � �� ��� 2 �� # ��� (�( ���� � 2���; �� ,�2�� � �� �� "��� �� ��� 2� �� #� �� �; # ��� ��� ��� ���� �� �,��� �3� # ���5��� �� � �� �� �� �$�� ,� 2��; #� �� �� :��� �� #�����( ��3������� # ����� ��� ��� �� "��5��, �2 �� �<������( ��� �$ &# ����� �� � �� ��� 2 ��

�$��A ,� ��� �� ������2 ��� ����2 �� $��

&�"�� ��� �#�� #�� # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � # ����� ��� #��

��!� �� ���� � �� ���,�� �� � ��� # �� � �� ��� 2 & �� # ���� �� ��� (�( ������ ��� � ���� �� 3��� �� # 2��� �,��� �� �$

)��,�� J��� &��

� &��� �� � &��� ��

�$�� �$>�> � �$���

�$�� �$>�� � �$>>�

�$�� �$��� � �$>�>

�$�? �$�A� � �$>��

�$�� �$A�� � �$>�>

�$�� �$A�� � �$?A�

�$�� �$AA� �� �$?>?

�$�� �$AAA �� �$??�

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J �>

Page 14: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

�����,�����( ���� �� ��� (�( ����� � ���� ,� ������ �� ����� ���� �#��(� �� � �� �

3������ ��� �� # ��� (�( ��� ��� � �#�� 5,��( � #� ��� <4� � #�� "��#���5

�3��$ 0� ��# �"�� # ������� &��� �� (�3 # ,��,�� ��� �� # ��� ��� ���5 3��� �� # #��� �� ����� ��� � ���, � �3 ��� (�( ���� ����� " ������( � ��3��� � �

,���,� �3 ��� (�(��$

&�"� � ����� �� � # ��,� �3 ��� � �� �� ��� ��� ��� ���� # ���,�� �� ���� # �� � �� ��� 2 �� �� # ���� �� ��� (�( ������ ��� � ���� �� 3��� �� # 2����,��� �� �$ &# <�� ��� ����� �� � #�� ��� � ���� ���� �7� ��� #���(# ���(�

,�2�� :��� ��(��<��� �2 ������� # ������(��� � ���� �� # �� ��� ��� 2 �� �����

��3����� ,� ������ �� ����� ���� ��� � ��� ������ �� # ,��,�� ����� ���,�� �� ��

�,,��4��� �2 >��� ,��� �� # ���,�� �� ������� ���� � ,��� � �� ,��� $ &#

����� ��� �#��� # �(� �3 ��� ���34 ��,�� �� �3����"� ���� �� ��( #���( #

�� � �� ��� 2$ � ��� ��� ���"���( �� # �� � �� ��� 2 ����� # ,��,�� ��� �� �����

����� "2 �,,��4��� �2 � ,��� �( ,��� �� �#�� �� ������ �� # �� ���� ���� �

<3 2��� ����� # ����� ����� "2 �,,��4��� �2 �$� ,��� �( ,��� �� �� # � ���� #

���34 ����� #���(#�� # ���( �� ��� ��� ���� ����$

&�"� � ����� �� � # ��,� �3 ��� � �� �� ��,� � �� # ,��,� 2 ��3��( ��

����� ���� # ,��,�� ����� :�� �� #�����( ��3��� ��� # 3��� ��� 2 �� # 3��� �� #

,��,� 2� �� # ���� �� ��� (�( �����$ &# <�� ��� ����� �� � #�� ������� :���

�� #�����( ��3��� �������( � # ��� (�(�� ����� # ������(��� � ���� �� # ��# �

,��� �( ,��� ������ �� # ,��,�� ����� :�� �� #�����( ��3��� ������( # �����

����� �� � ���34 ���#���� ���� �� ��� ��� ����� �� �$�?� �� # ����� 3��� ��

����� ��� � � ����� �� �$�� ��� � �#��( �� � ���� �$�? � �$��� ��� 4��,�$ &# �������� ����� �� � � �(� �3� ��� ��� ����2 � ��� �2 �����3� ��� ��� " �� 3��� ��� 2 �� #

,��� �� # ,��,� 2 ��3��( �� ����� ��� ��� # ,��,�� ��� �� ����� ������ �� # ��

������ �� # � ������ �3�� ��� �� # ,��,� 2 ,��� ���� �$�� � �$�� ������( #

����� ����� "2 �$��? ,��� �( ,��� �� �� # �� ������ �� # ��(�� �� �� # �����

���� �$�?? � " �� �$��� ��� �$��� ,��� �( ,��� � �� # � ������ �3�� ���

�������� �� ������ � �� �$��� ���� �$�� � �$��� �� # � ���3�(�� �� # ������� ��

��!� �� ���� � �� ,��,�� ����� :�� �� #�����( ��3��� ��� 3��� ��� 2 �� # 3��� �� ,��,� 2 �� # ���� ����� (�( �����$

*�3��� /��� ��� 2

� &��� �� � &��� ��

�$�� �$>�> �$�� �$AAA

�$�� �$?�A �$�� �$A��

�$�� �$��> �$�� �$A�>

�$�? �$��� �$�� �$���

�$�� �$��� �$�� �$>�>

�$�� �$��� �$�� �$?��

�$�� �$�A� �$�� �$���

�$�� �$��? �$�� �$��A

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 15: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

# �������3 �� � �� �#��( ��� 3��� ��� 2 3���� �"�3 �$��$ &#� 3���� ����,���

# ���( �� �3��( #�����( ,��� 3��� ��� �� ������ ��(#"��#���� �� ��� 9$*$ �� ��$

*��# � ���� ��((� �� ��� 4��,�� # 4�� �� �� � ��� ��� " �� ������ ���

��� (�( ���� ����� ���� ������ ������ ��(#"��#����� ��� ��� ���� 2���� ��� � #�

��� �� ��� (�( ������ �� #�� ��(#"��#���� 4#�"� � ��(��<��� ������� �� #

3��� ��� 2 �� ,��,� 2 ,����$��

&�"� � ����� �� � # ��� � �� ������� #�����( ��3�� :��� �� # ,��� �3 ��� ���

" �� ��� (�( ����� ����� ��� # �,��� " �� # <4� ��� (�( 2��� ��� #

���5��� �� �� �� $ 6#� # ,��,�� ����� :�� � �� #�����( ��3��� �� 7��� �� )��+�� ��# � ,��� �( ,��� ������ �� # �,��� �� � ���� � � ,��� �3 "� �������(������ �� # ,��� �( �� ��� (�( ����� ����� ,� ������ �� ��� ��� ����� ��� 3����

�� # �� ��� ��� � ,��� �( ,��� ������ �� # �,���� ���� � � � ,��� � ��������(

&��� �� ���� >�$> ,��� �� ����� ��� 3��� � ��$> ,��� � �#�� �� ������ �� #

�,��� ���� �� � �� ,��� � ��� 4��,�� ��������( &��� �� ���� A�$� � A>$� ,��� $

)�� &�� ����� �� � #� � �� ,��� �( ,��� ������ �� # ,��,�� ����� :�� �� #�����(

��3���� ���� �� � � �� �� ,��� � ��3� � ���� "� # # �3� ��� �#��( �� #,��,�� ��� �� ����� ������ &��� ��� � �,,��4��� �2 ?� ,��� �� # �����,�����(3��� �� )�� +�� ��� ��# � ,��� �( ,��� ������ �� # �,���� ��� 4��,�� ��

������ �� �� � ���� � � ? ,��� ������� &��� �� �� )�� &�� @�#� �� �� ,��� B���� ��$� � ��$� ,��� � �#��# �� ��# ��,� �3�2 �$?�> �� #�� �����,�����( 3����

�� )�� +�$ ��� #� �� ,��� �( ,��� ������ �� # :�� �� #�����( ��3��� �

�� �� ,��� � �� ����� �� � �� )�� &#�� #�� �� �����(��� ��� ����#�, �� # #�����,�����( 3���� ��� �� � �� �#��( �� )�� &��� �� # ��# 3��� �� &��� �� ����#��( �� #� 3���� ,� � ,��� �( ,��� ������ �� �� �� "��( �,,��4��� �2 ?�,��� �� # �����,�����( 3���� �� )�� &��$

������2� &�"� � ����� �� � # ��� � �� �#��(� �� ,��,�� ����� "��5��, �2 ��� � �� #

��� ,��� �3 �����3 ��� ��� " �� ��� (�( ����� ����� ��� # �,��� " ��

��!� $� ���� � �� ������� #�����( ��3�� :��� �� # ,��� �3 ��� ��� " �� ��� (�( ����� ����� ��� # �,��� �� �$

)�� +� )�� &�� )�� &#�

*,���

�� ��� � �����&��� ��

�� � �����&��� ��

�� � �����&��� ��

�$�� �$��� �$��� �$���

�$�� �$>�> �$��� �$�?�

�$�� �$��> �$��� �$���

�$�? �$�A� �$��� �$��>

�$�� �$A�� �$�?� �$���

�$�� �$A�� �$�>A �$���

�$�� �$A>� �$�A� �$���

�$�� �$A�� �$�A? �$�?�

�$�? �$AA� �$?�� �$�?�

�$�� �$AA� �$?�� �$�??

�$�� �$AA> �$?�� �$�?>

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J �A

Page 16: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

# <4� ��� (�( 2��� ��� # ���5��� �� �� �� $ 0� #�� �� �� ���� �� �� ��� � ���

�� $ ���� � �� ������ �� ,��,�� ����� "��5��, �2 ��� � ���� � � �� ,��� � �� �� )��

&��� ����� # ,��� �( �� ����� ����� ,� ������ �� ����� ���� ��� ��# 3��� �� #

�,��� �� �� "� � � �� �������( �� # 3��� �� # �,���� ��� 4��,�� � �� �� �$��� # ,��,�� ����� 3��� &��� �� �� ����� ����� �� # �� ,��� "��5��, �2��� � �� �,,��4��� �2 �� ,��� �� # ,��,�� ��� �� ����� ����� �� # 7�� "��5��, �2

��� �� "� � � �,��� �� �� �� �$��� # 3��� &��� �� �� ����� ����� �� # �� ,��� "��5��, �2 ��� � �� ��� ���2 �,,��4��� �2 �? ,��� �� ����� ����� �� # 7��

"��5��, �2 ��� �$ ������� ,� �� �� �,� � �#� "��5��, �2 ��� � �� ������� �(����

���� !� �� ,��� �� )�� &�� � !� �� ,��� �� )�� &#�� "� �� #

��������� �2 #�(#� ,��� �(�� ��� # ��� �� ��,� �3 2��� �,����� #

3��� &��� �� �� ����� ����� �� # �� ,��� "��5��, �2 ��� � �� ��� A� ,��� ��� �>,��� �� ����� ����� �� # �� ,��� "��5��, �2 ��� �$ *����� �� � ���� �� #

��,� �3 ��(�� ��� �� # �#�� � ������ �� # �����3 ��� ��� " �� # 2���

�,��� �� � ��� # ����� ����� &��� �� "2 # �������3 ������� �� ,��,�� �����"��5��, �2 ��� �� # ��������(�2 ����� �� ���� �� ��� (�( ����� �� # ��,� � #

2��� �,��� �� ����2 ��� ��(� �#� "��5��, �2 ��� � �� ���<��� �2 #�(#� ��� !� ��,��� �� )�� &#�� # ,��,�� ��� �� ����� ����� ,� ������ �� ����� ���� &��� ���� ���� � ��4���� �� �,,��4��� �2 >� ,��� ��� 2���� �3� # ���5��� �� " ��

�$�� ��� �$��� �������( ��� ���� ����� ������� �� # �,���$ &# ��,,�2 �� ��� (�(

������ �� � ���� ��� �� # ������� �� # 2��� � �#��(� �3� # ���5��� �� ��"���� �(� �3�2 ���,� �� #� ������� ����� ��,�2��( #� ,� � ��� ��� (�(���

��2 " ���"� � ,����� ���<��� ���� � <���� � #��� ,���#��� �(������ �� #

2��� #2 ���� � # ����$ &#�� ������ "���� # ���� �� ������2 �� ���,� � #

#�(#� ����� ,��"�"��� 2 ������ "2 # #�(#� 2��� �,���� �#��#� �� # ,���� ��

�����(# ����� ���� "��5��, �2 ,������(�� �� ��� � # :�� �� ��� (�( ���� �

"�������$

��!� +� ���� � �� �#��(� �� ,��,�� ����� "��5��, �2 ��� � �� # ,��� �3 �����3 ��� ��� " �� ��� (�(����� ����� ��� # �,��� �� �$

)�� +� )�� &�� )�� &#�

*,���

�� ��! � �����&��� ��

�! � �����&��� ��

�! � �����&��� ��

�$�� �$��� �$��� �$���

�$�� �$>�> �$?�� �$�>?

�$�� �$��> �$>�� �$?��

�$�? �$�A� �$>>� �$?�?

�$�� �$A�� �$��� �$>�>

�$�� �$A�� �$��� �$>��

�$�� �$A>� �$��� �$>��

�$�� �$A�� �$��� �$>��

�$�? �$AA� �$��? �$>�A

�$�� �$AA� �$��� �$>�?

�$�� �$AA> �$��A �$>��

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 17: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

&#� ���� � #�3 � 3��� 2 �� �,������ ��,���� ���� ��� ��� (�( ��� ��� �$ &#2

��((� � ��� 4��,�� "� # � ,� � ��� �� ����� ��� �2������ :�� �� ���� �� # �3����"��� 2

�� ��� (�( ���� ��� ��� �"��3� ���� �� ��(#"��#��� MM�������($GG )2������ ,� ��� ��

#�����( ��� � #� 2,� �� ���� ����� �,�� �� # �� �� �� 3��� ��� 2 �� # ��� � ���

� ����� ����7 �����$ &#�� ����� " ������ � �� # ��� �,������ 3���� #� �

MM��� (�( ���� �����#�GG �,�����2 ��� ���1����� �,,����� � �� ,� � ��� ��� (�(���

�� ���1������ � � �� ��(# ���� ����� �����( "������ ���� ����� �#� ���� ��� 2

�"�� ����� ��� 3���� ��� � ������$�� *�������2� ���� # 3��� ��� 2 �� ,��,� �� ���

� ����� ����7 ��� (�(� ��� " ������ � " #�(#�2 ������ � "2 ��(#"��#��� ��

�(���� ����� ��2 " �� � " �(�(��( �� �������( � ,�� ������ ��(#"��#��� �#�

# #�(# 3��� ��� 2 �� ,��,� 2 3���� �� #� ��(#"��#��� ��,�2 #� ����� #�3 �

�� ����� ���� �3 � ���� � ��� �3�2 ����� �� ��,,�2 �� ��� (�( ���� � �(������ �� #

���(��,#�� �#���� ��� ��� �� # ���� � "�������$

�� �� ����� � ����� �

-2 �5��( �� � ������ # � �� (�� �� ��� ���� " �� ���� ��� ��� (�(�� �� �

� ������ ����� �� ��� �1,���� ��� (�( ��� ��� � �� # �2�� ��� ������� ���� ��� ����

����� �� � # �� �� �� 8����"���� �����( ��� # ��:���� �� 3������ �� ��� �� #

��� (�( �� "� # # ��,� �3 3���� �� # ��� (�( � "� # ���� ��� "������� ���

�� # ����� �� ��� (�( ����� �3����"� ,� ������ �� ,��,� 2 ��3��( �� ����� ��� ���

# ��� (�($ 6 #�3 4������ � �������7� �� ����� "#�3��� "2 "� # ���� ���

"������ �� � ��� (�( ���5 �� ����( 4,���� �������� ��� �� # "� 1�,��� ��

"������ ��� ���� � ��# � #�G� � �� (��� �� �"���� �� # ��� (�( ��� ��� � �� ��

�3������ #� �� ���,� �� # ��,� � <������� ���5$ !�����,�� 8���� � �3 ���� �

������� @�B ��� � ���� �7� ��� ��� �#�� � ��� � �� ��� 2 ��� <4�1�� ��� (�(�

������ # 3���� �� ���� ������ � ��2 <4� 2���; @�B � ���� :�� �� #�����(

��3��� �F�2� "2 # "������� ,� ������ �� ��� ��� #��� 3���� ��� � �����,�����(�2

���� �� �� ��� �3 �,���� ���� ���� ���� � ���(� 3���� �� ����� ����� "2 � ����

#�� ���� � #�(#� :�� �� #�����( ��3���; @�B # ����� �� ���� ����� ��� # 3����

�� # ��� ��� � "� # ���� ��� ��� (�(�� �� #�(#�2 ���� �3 � # ,���3� 3��� ��� 2

�� # 3��� �� # ,��,� 2 ����� ����7��( # ��� (�(� 3� �� �� �����2 �� #

���,� ���5 � �� ���5 �� ���� 2 �� # ,�� � �� ���� ��� "������; @�B # �,,� ����

�� ��� (�( ���� ����� "2 � �� ����� ���� ��2 " � ����� ���� ��� �� # ����� ����

���5 3��� �� # ����� ���� �(������ �� # ��� ��� ��� 2��� ����� "2 # "�������

��� ���� ������ � ��# ���# 2���� �� "��5��, �2 ��� � �� #�����( ��3�� :���

������; ��� @�B ���� ��(��<��� "� ,�����"� 3���� ��� "��5��, �2 ��� ��� � ��

��8���� ��( ,��,� 2 ���� ���������� # ��,,�2 �� ��� (�( ���� ��� "�� "��5�����

�� # # ���� ,������( � ���� ��� ��� ��� 2��� �3� � #�(#� ��$

+�� ���� ��� � � ���� �� �#�� ,��������2 ��� 3���� ���2 ��� � ���,�� #��(#

����� ��� �����( �3������ � #�3 "� # ,��� �3 ��,���� ���� ��� ����� �3

�,,���� ����$ +�� ���� � ����� �� #�� # ����� �� %��5�3 ,��� 8����"���� � ,����

����� ��� �� # ��� ����#�, " �� ��� # �� ��� �3 �� ��� �� # ����� �� � ������

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 18: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

��� (�( ��� ��� � ����� �� # 9�� � * � � ��� ���#�� ��� �� ���(����

4,���� ��� �� # ��� � �� �#��(� �� ��� ��� ��� �� �� 3������ 8���� �� �� #

,��,� 2 ����� ����7��( # ��� (�( �� # 3���� �� ��� (�( ���� �3����"� ��� #

��� ��� " �� # ��,,�2 �� ���# ���� ��� # 2��� ����� "2 ��� (�(���$ +�� ����

����� # ,����"��� 2 �� 4 ����( # ��� ��(� ������ �,,����# � # 3���� ��� ��

��� (�(� � � � �� (�� �3������ � �� �#��# # �, ���� �� "� # ���� ��� ��� (�(��

�� �:� � �� # � �� (�� ���, � "2 ��# ,�� 2 �� 8����"����$ &#�� �"��� 2 �

�����,��� # � �� (�� ��,� � �� ���� ��� "������ "#�3���� �� #�� � ���,�

���5 � �3������ � ���� ����� # ,����"��� 2 �� �(�����( # �� ��� �� ��� (�(

��� ��� � � ������ # �3����"��� 2 �� ��� (�( ���� � ������ ������ �� "�������$

�� �!������ �

6 ����� ��5 � ���� #��5� � J���2 �3��� ��#� -�F����� N3� -���� ��5 -�"��

�2 -�(���� -�" -��5�2� I�"��� )����� %���#� )����#��� ���� �������� ��

I�����(� ��� I��#��� =��� =����� I�( =���"���� � � =�(��� &�� =�� �� .�3��

J��(� �"� %��5�2� %��#�� %����� ���� %���� ����5 '� #�� � .��( !���� .�3��

!������� �� !#����,�� J�(# �����5� ��#� *� �� -�" /�� +���� '�� 6������ ���

6����4� ����� 6��7���� N#��( O� &��(� ������ ,�� ���,�� � � ������ 9��3��� 2�

)������� * � 9��3��� 2� # ����� %� ������ ���� 9��3��� 2 �� -�� ��# )����"���

9��3��� 2 �� %��2����� 9��3��� 2 �� %����� 9��3��� 2 �� + �(�� /��(���� &�#� #

�AAA '�� # ������ *���� % ��(� �� # ������ ��� *��� 2 � 9��3��� 2 ��

6��������� # ���� ����� )��"���(1%��� ���# )������ �� �� �� � �������

��� ���� ��� �,�����2 � 6�2� ��#� ��� �� ��� !� ���#�� 7 ��� ����5 !� � ���

#�� ����� � �� 3������ ����� 3������ �� #�� ,�,�$ &# ����� ��������� �,,��� ����

�� ,�� ������� �,������ 4,���� �� #�� �� # �� #��� ��� �� ��������2 #�� ��

����� %��$

"����

�$ *��# �, ���� �� ,������ "2 "� # ����� ��� "������� ��� �� ,��� �� ��� ��� (�(�� �# #� �� ��

������� ����� ��2�� ��� �� ���� ,�����"� �� ��� �� ��� ���� " �� ,�� ���,�� � �� ��� (�( ���5 �$

+�� ,����� �� #� ��� �"��3� ���� �"�� ��� (�( ���� � ��������( # ,����"��� 2 �� �� �� �� ����� ��

��,,�2 �� ��� (�( ���� � ��3�� ��� � �� "��5��, �2 ��� � ��� ������ ��� ����� � ���� ����(

������ (���,� �� ��� (�(��� ��� " 4,����� �� ��� �� � �� (�� �, ��� 4���� ����� �� #�� ������

� # ���� ����� ���,���� ���� ,��� "2 ��2�� ��� ������� ���$

�$ +�� ���� � ��� ���� " �,,��� � ��� (�( ����� ��� �� F������� ���� �� # ������ � ��� � �� #

��� (�(�� "2��� # ,��,� 2 "��( <������ �� # ����� ��� ��� # ���� �� �� �,� � �� ��������( #�

� #� ��� � �� ��� �� # ,��,� 2$

�$ &#� ��3��� ��� � #� " ������ �� ��� �� #�� ���� ������, ��� 3��� �� �� ��� �� # �� ��

3��� �� ,��,� 2$ 6 ����� #� # �,���� ��� �� # ,��,� 2� �� � ���� �� #�� :�� �� ��3���� ��

4�(���� ��� ������ 5�����( � "� # ���� ��� ��� (�(��� �� #� # �"��3� 3��� ��� �� # 3���

�� # ,��,� 2 ������� ��� ��3� �� �� # ,��,� 2 "2 # ��� (�(��$

�$ *��# � �� �� ��� ��� # ���� �� �� �����(��� � # #���� �� � ���� �, ��� �� � ��3����1,�2��( � ��5$

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 19: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

�$ 6#�� #�� ��,��� �� �����(��� � # �, ��� 3��� �� ���3���"� ��3� �� � �� # �� �� �� �� ���

�, ����� �� ���32� �� !���2�5 @�AA�B� � ����27 #� �, ���� �� � � �� (�� � ��(� �� �������� ��

���� ���5� @�AAAB$

?$ 0��������2� # ��3�� ���� �3 �� ���# � ��� �� #� # "������ ���� �� ����� ���� ���(#� ���� #

����G� ,��,� �3$

>$ 6 ����� ��� ����2��� �� � ������ ��� (�( ��� ��� �� �#��#� �� # �,��� �� 6��������� @�A�?B ��� J��5�

@����B� �� �� �3� � "2 ��,���� �������� ���� �� # ��� � � � � 3��<�� ���$ � #��(# ��� ���� �����

�,,�2 � ��� ��"��� �" ��� ��� �� �#��# �� #��2 ����� " ���4� �� ��� ��� ��(� � � ��#

���� � �� # ������ 3��� �� ����� ���� � ,���� �� #�� ,�,� #� ���# �� ��� �3 �����(�� � ��

������"� "���� �� �(��� ���� ���� ��� �(�� ������"��� 2� �� ���,�2 # ���<��� �� �� �(� �� ��( ����21

��� ��(� �" ��� ��� �$

�$ +�� ���� ������ ���� #� �� I������ @�AA?B� #��3�� �� �����,��� ��( ��"� ��(1�� 3���� ���

����� ���� �� � ��� ������� ��� �� # '��# 8����"��� �� ��� (��� �� #� #�� ���� �2 ���������( 4���

�����$

A$ +, ���� ��� # "������ � ��(� �� #�� ���,�� ,�2�� �� ��� �� �, ��� ��� # ���� � ���� ���

������ ���� ,�2�� �� ���� ����( �3��� � MM �#����� ����� GG #�� �������� ��� " ����2 �� ������

�� � #�� �������5� �� �� ���� @�AAAB$ &#� ���� ����� ��� � �� # ,��2��G � �� (2 �,��� �� �� �� �

# 8���� � �3 �� �� �� # 3��� �� # ��� (�( ��� ��� � # ,�� �� ��� # :�� �� ��� (�( ���� �

�� #��(# #2 ���� �#��( # 8��� � � �3 ,���� ���� �� # "���� ����$

��$ 0 ,��3���� ����8�� �2� # �� ���� "��#���5 ���� �#��# � � ��� �� �#�� ���� ����� �� ���� ���# ��

��3�� ��� ��� �� ����� #�7���� �� ��� ��� # ����� �����( �� �� ��� ��� (�( ���5 �$

��$ * -�� ��,�(� @�A>�B� ���5�� @�A>AB ��� ���� ��� * �(�� 7 @�AA�B ��� ���32� �� #� �� �� �� ���$

��$ %�� �� �"�2� ��� �,,����# � # ���(� ��� 3���� ��� �� ��� (�( ��� ��� � ,������� #� �� ������ ���

*�������� @�AA?B� �#� �� ����� ���(���� ��(� �� ��� ��� "��5��, �2 ��� � �� � � � ������ %� ��

@�A>�B ���� �� ���,��� �" $ +�� ���� ������ ���� #���� #��3�� �� � � �������( �� ����� ��� ��� � �

����� �� # "� 1��,��� � �� (2 �� # ���� �� #�� ���� �� ���� �� � ���� ��� �� #�����( ��3��

@��3����B :��� ��� # � ��#�� �� �� �� �� # ,��,� 2 ����� ����7��( # ��� �( ����$

��$ �8�� 2 ��� # 3��� �� # #�� ��� �3 � # ����� 3��� �� ��� (�( �" �� � �����( ��� ��������( #

(���� ��� �� ���52 �" <�� �����"� "2 %� �� @�A>�B� # � ������ �� �, ���� ����� �#�

��� (�( �,�2�� �� 3��� �� ��� �� # ����� ��� ,�,�2�� �, ���� ��,���� �� # ��� (�(

��� ��� � ��,� �� ���5 � �� ,��� �� # ��� �� 4#�"� ��( � �,�����( ����� ��� ���# �� #� �����"� "2

.��< @�AA�B� ��� #������� ,����� ���1��3���<� <������� ,�� ������$ �4���� �� # ����� �, ���

��2 ����� �� #�� ���1� �� (�� �3������ � �,�� �� # 3��� �� # �, ��� � ,�,�2 # ��� (�($

���� ��� ��� @�AA�B ���� � ���,�#���3 ���32 �� �, ���1"��� ����� �� ��� (�( 3���� ��� �#��

=����#� ��� 3�� +��� @�AA?B ����� # �,������ ��3��� �� ���# �����$

��$ 6 �"� ��� ���� # � ��#�� �� �� �� �� �� �� �� �� ���# �� �� ����� �� � ������ ����� �� ���, �� ������ (�( ����� @��� ��$ @�AA�B� ��� ��� ���� @�AAAB� �� ��� �� ���� ��� ��(� ��F�� �� � �� #

���� �� � �� ���� � ����� �� # � �� (�� �� �� �� # ����� �, ��� ��,���� �� # ��� (�( ��� # "� 1

�,�2 �� ����� � #�� �, ��� �� # ���,�� ,����"� � ��($ 0����,��� ��� �� ��F�� �"� �� ��� (�(� ��� ��

# ����� � ��(� 8��3��� � ��F�� ��( # �� � �� ��� 2 �3� �#��# # 2��� �� <4�� ���

�����,��� ��( � ��#�� �� �� �� �� � ��� ���� ��( ����27� �� ,�,�2�� "#�3��� ���� ��3 ���2 �

���� �������2 ���� # ��(�� �� �� ��� (�( ����� ��3���� "2 # ���� �� # ,��� 8����"���

����27� #�$

��$ &# 4,� � ���� ���� � �� ������ � �� ���2 J�,��#� 7 ��� (��� # ����� ���� �� �� ��������2 �� � � �����4�� �� ��� ���8���� �� #�� ��������� @� .��<� �AA�B$ &# #��� 3��� �� � ��2� ����8�� �2� "�#���� ��7� �� ��� �3� ��(� (�����( �� ��� � � ���� �� ,��,�� ����� �� � "��( @����� B ���<��

�� #�� <4� �,,� ��� ���� "������ �� ���������( � � ��� 3��� 2 �� � #� ,� ��� ������ � �� #

�"��3� �� ���� �� #�����( ,���� �� # 9�� � * � � ��� ���#�$

�?$ '� #� � �� ���� ��� � 4,���� �(��� ������� �� �3 ��� ������ ��� 4,���� "��5��, �2 ��� � ��� ������

# �,,�� ��� 2 ��� �� ���3��( �� #� ���� ,�2�� � ��� �� �� �� # 3��� �� # ����� ��� �����( #

�� �3�� " �� ����� ��� # �� # ����� ��� �� ����$ �� ��� � "2 # 9$*$ .,�� �� �� =�����( ���

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 20: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

9�"�� .3��,�� @�AA?B �� # �3��( ��� � �� ��8���� ��( ����� ��� ,��,� �� �� # 9�� � * � �

���( " �� <� � � #�� 2 ,��� �� # ���5 3��� �� # ,��,� 2 � # �� �� ���������$

�>$ )��,� ���5 � �8���� #� ��2 ������ 3����"� �� # <�� 3������ ��� " �" ���� �� # ������ 3���

�� ��� ���1<������( �����( � �� (2� �#��# �� 8��3��� � �������( #� #� 4�� ,�� ������ �� ��� �

#� �� @������2B ,��� �2 ������ � �� # # #�����( ,��� �� �������( � #� ,�� 2 � #�( �(���� #������ ,�� �� # �#��( �� � �� �����$ &#�� �����, ��� ,������ # ��3��� �� ��3�� ��� ��� ������� #�7��� � # ���(� ��� 3���� ��� �� # ��� (�( ��� ��� ��� ������ � ������ ��1��"� ��( 3���� ���

� #��� � " �,,���$ * .��< @�AA�B ��� � ��� ���,� ���������� �� # ��,���� ���� �� #��

�����, ���$

��$ &# ����� ����� �"��� 2 �� # ��� (�(�� � "����� � � 2��� �,��� �� � � <���� � #�����( ,���#���#�� "�������( � # ���5��� �� �� ��� � #� ������ ���� �� ��� � ���,���2 # ������� ��� �� #

�, ���� � �,,��( ��� #� ����� #�� � �� (2 �� # �����( (�� ����27� #�� �� #�� 8���� � �3 ��� ��

# �� �� �� ��� ���� �$ *��# �� �����, ��� ����� " �,�������2 �� ������7� "2 ����� ����7� ��� ���

�� ��� �3 ������ �8����� � ��� ������ 2,� �� �����$

�A$ ���� @�AAAB ��� ���� ��� '��5���� @����B ������� ��,� �3 3����� � �� # (�� ����27� #�� ��

�#��# # ��� ��(� �� ��� @���,�� ,�2�� B �� # ��� (�(�� � ��# ��� ����� ��2 3��� " �� � ����� �#��#� �� # ,���� �� ��(��<��� "��5��, �2 ��� �� ��2 ��((� ��(� � ��� �� # ���� ��� �� #�

#�� ���������� ��� �� �#��#� ����( � � � ���� # "������ � ���� # MM� � �� ��2 ��(# �� ���, ����GG

�#��# �8���� # ���� ��� �� ����� � � 3����"� �������( # 3���� � ��# �� � �� ,�2�� � ���(���3� � ,�3���� ���� ���$ &#� 3����� �� �#�� ����� ��� �� �� �#��( # 8���� � �3 �� �� �� # 8����"���

����27� #�$ * �2�� @�AA�B ��� ������� ��� �� 3������ ��,� � �� � � �� ��2 ��(# � �� ���, ��� ���

��������� �� ��� ���� �� 9$*$ � � � (���� � # ���� �� ��� (�( ��� ��� ���(� ��� )���� � ���

=�7�( @�A�AB ��� �� ������� ����2��� �� #� �� ��� ����$

��$ 6 ,��� # ���� � �"����� # ����� ��� �� ��8���� ��� ��� � 4�� � � ���5 3���$ 6 �� (�� ��� �

� ��� �#� ���� ,��� � �� # ,����, ��� #� ����� "2 # ��� (�(�� ��� " �(���� �� �� �, ��� ���2

�� # 3��� ��� �� # #��� 3��� ����� ��7��( # ��� (�( �� 4�(���� � # ���� ���� ��� � #�

��3� �� �������� �� # ��� (�(��$ � #��(# #�� �� �� ����2 �� �� # ����� ����� �� 4�,��<� "2

��� �����, ���� �"�� ���,���� �� # ���� � �� # ��������� @�B �,��� ��( # 3��� ��� ��

,��,� 2 3���� �,��� ��� ���� ���� ��3� �� "2 # ��� (�(�� ����� �����2 " �����,��� �� � #

,���� �� �� @�B� ���� �� ���( �� #�� ��3� �� ��� ������ 5�����( � "� # ,�� ��� ��� ���� � �����

" 8���� � �3�2 ���� ��� �� #��(# # 3���� ��� �� # ����� ������� ����� #� "��� � ���,�4

�, ���� �� #� #�� # ���,� �, ��� 4����� #�$

��$ +"��3 #� ���# ,�,�2�� �� �� � ���� �� :�� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� ���3� ����� ����� ��

��� (�( ,�����(� "� ��� �� ����� ���� ���� � �� �� ��� �� �#��# # ��� (�(��G� ����� ��� #��

�,,���� � � ���# �� 4 � #� ��� �����( � ,�2 # ���(���� ,����� �� � �� �� ���(� ��������� �� # # ����� ���5 ,��� � # ���� "2 # ��� (�($ 6#�� # ��� (�(�� ���� 4���� #�� �, ��� �� #

"�< �� # ���� �� �3� # �������( �� �� # ���� 4��� # �<������( ��� �� #�� ,�,�2��

�, ��� ������ ��� �2 � # ����� �� �� # ���3� ����� ,�,�2�� �� �� ��� ��� ���� ��3���2 ���� #

����G� ������(��� � ,����� ��� (�( ����� ,� ������ �� #��� 3���$

��$ &# � �� (2 �,�� �� # ���� ��2 ���� " 4,���� � ������ # �, ��� � ����� � MM �#����� ����� �GG

�� � ���� "2 ���� @�AA�B� �� �#��# # ���� ���� ��� # ����� ��� 3��� ��������( � � !������ ,�����

��� �� �#��# # ��� (�(�� �� �(���2 �(���� �� "��( �� ����� � 3� #��(# # #�� ��� ��� �(�� �,��

,�2�� � �� # 3��� �� # ����� ��� ����� "��� ��� <4� ���� ��� � �� # �� � �����( ���� "������ ���#��# ��� # ���� #�� # �, ��� � ���� ��8���� ��� ������ �2$ 6#�� # �#��� �� ���� ����(

�� ��� 2 ������� # �������� �� # � �� (2 �,�� �� # ����� � ���� � �� ��(��<��� �#��( �� #

�� �� �� # ���� � �,�� � #�$

��$ %��5�3 � �� (�� �� � �� (�� �� �#��# ����� �� ���� �� # ,��2�� �� ��� ��(� ���2 �,�� # 3� �� ��

� � 3����"�� �#��# ��3 �� ���<��� � � �� ��� ��� # #�� ��2 �� # (��� ��� � %��5�3 ,���

8����"���� �� � � �� %��5�3 � �� (�� 2�����( � ��"(�� ,��� '��# 8����"���� �#��#� �� ��� (�� ��

���,� ������� ���� �� �� 8����"���� �� ��# ����7� ��� �� # � � 3� �� ��� �� �$��$ �4,�����( # � �� (2 �,��� �� # ��� (�(�� �� ���� � ������ ���� ����� �� ���� �� ���� ��� ��

�� �+'�* '. '0)��*+'

Page 21: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

�:� � �� # ����8�� �<�� ��� �� ���� ����� ����� ��"� � ������ �#��# �<�� #���(# # � �2�� ��� �� # ����( �� # �, ���� 4���� �� #� �, ����$

��$ * .� � ��� �� ��#��� @�AA�B$

�?$ +"��3 #� � �"� ��� ���� # ��:��� �� ��3�(� 4,� � ���� " �� ���� ��� ��� (�(��� #���(#

# �����, ��� #� "� # ,��2�� 3��� #�� ��� ��� ��� ������ #���(# # 4,� � ���� �,�� �� � � � ������,�����( � # 8��3��� ��� ��(�� ����� ��� #�� (��$ &# �,������ ��3��� �� ��3�(�

4,� � ����� #��3�� #�� "� ����2 ��5�����(� �� # �� �� ��� �� �������� �� /����� ���

&#�"���� @�A��B$

�>$ � �� ��� �3 �� �,� � ��� �� #� ������ ��� 8�� ����� ��� # �2�������� ���� ���� �� #� #

3��� �� ��# �(� G� ,��� ��� 8���� # 4,� � ������� � 3��� �� #�� �� �� ���, �� �#� #

8��3��� ��� ��(�� ����� ��� �� ������� ��( # 4,� � 3��� �� #� �� ������ ����� #� �����

,�3��� �� � ������� # ,����� ���������� ���� $ �� ��� #2 ,��,� 2 �� #� ��� ���� �� #���"��� �� �� ,���� ��� #2 �,,�2 ��� ��2 ����3������ �(������ �� #�� �3� �� ���5 �3����� ��� �� #��

4,� � ���� �"�� # ���� � �� �$ &#�� �� � ����8��� �� �������( #� ���5 � �� �� 8����"���� ��� ����� �3�2 ���,� �� # ��,� � �1���5$ �� ����3������� � # ���(��� #�3 # ��� ���(���� �� ����"� � � ��� " �� ���5��� ��� � ��� # ,��� ���� �,��� � "2 &� ��� �$ &�����( �� � #� ����� ������ � �������� �� ���5 ������� F�� �� �����( �� ����� 1�� "���� ���� � �������� �� ,������

�� � �� �� ,����� �� # � ������ ���#���� ���� �� ������, ��� ��� ��3� �� $

��$ %�� �,��<����2� 3��� �� �#��( ����� ���� ��� ������ "������2 ����� ���� � ���� ���8� ���� ����

��� & ��� � �� @�B ��� @?B ��� ��"� ��2 ,������ � ��� � �#�� # 8����"���� � �� (�� ��� ���� �� ���2

MM���� #1,�� ��(GG ����� ����� �#� � �,���2 ����� "��5��, �2 ��� � ��� MM#�(# ��� �� GG ����� ���� �� #

��� �� ,��,�� ����� ��� �$ * 3�� %��"5 @�A>?B� .���� @�AA�B� .�4� @�AA�B ��� %2��� @�AA�B$

�A$ 6#� # ,�,�2�� �, ��� �� �"�� � � "������ �3� �� ������2 ����� � �#� �� ���� �$ +���( ��� � ����� ���,���� 2� � ��,,��� #� 4,���� ��������� �� # � ��� "2 # ���� � # "������ �� ��2

4��� �� ��8���� � 3��� �3� # ���� "�����$

��$ +�� ����2��� ���� ��� 4��,�� ���� "� # � ,��� �3 4,���� ��� ��� MM���� �����#�GG �� # ��� (�(

���5 �� �� ��� �� "� # # � ��#�� �� ,��,� �� �� # 3��� �� # #��� ����� ����7��( # ��� (�( ���

�� ��� �� # "��(�����( 8����"���� " �� ���� ��� ��� (�(��� �� �:� � �� "� # ,��� ��� ���1,���

�� ��� �� # ��� (�( ���� �� ���� ����� �3 �������� ���� �� # ���(� �� ��� (�( ��� ��� � �#��#

��(# �#��� # :�� �� �3����"� ��� (�( ���� #���(# �#��(��( "� # ���� ��� ��� (�(�� ���� �3�$

��$ * J� ��� .������ @�AA�B ��� )����#�� ��� '��5���� @����B ��� � ���32 �� ��� (�( ��� �� �

3��� 2 �� �3��,� ��� �3��,��( �������$ 6 �� �� � �, � ���(��7 # �� � �� ��� 2 ��

��� (�(� �� #�� ,�,�$

��$ �4��,�� �� ������� ���� �� �#��# ����� ���� �� ����� ,���� � �� ��� 2 ������ # ��� �� # ���,��

,�2�� � "��( 7�� �� ���<��� �2 ������ ��� �3 � ���� �$��$ &# �,,����� �� ��� �� @��B �� �8���� � ���� # ������ ���� 2 �� # ����G� ,�2��� " �� #

����� ��� ��1����� � � � � �� ��� 2� ����� "2 # ,���� �� ,��� �3 "��5��, �2 ��� �$ &# 3���� ��

�� ��� �� ��� " (�3� "2 # -���5�*�#��� �������� ����<� � ����� ��� # ,��� �3 :�� �� #�����(��3���� �� ��3���� �� � �� # ,��,� 2 �����2��( # ��� (�($

��$ 0�� �� ��� �3�2� # ����� ��� ,��3��� � ���� �� �"���� :�� �� ��3��� � � # ��� (�(�� �#�� �� #��,��������� # 3��� �� # ��� ��� � # ���� "�����

&��� �� � ���� � ��� � ��� � � ��

� ���� �����

��� # ���� �� # ��,,�2 �� ���� ���� #� ������� ���� "�����

&��� �� � ���� � ��� � ��� ���

+� ������ ��� � ���� �� �"���� ��3���� :�� � " ������ � �� # � "��( ���1�(� �3� # ,��,�� �����3��� ��� 2 � ����� �� " ���� �� � ���� �� � ����8���� # 3��� � �� # ���� �, ��� ����� �� " #� (�3� "2 # -���5�*�#��� �������$

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J ��

Page 22: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

��$ * � ������ 2� ��,�2��( # ���,���� �� & ���� ���� � ������ # ,�� ��� ���3� �3�� �� # ��,� � � �� # 3���� ��� 8�� ���� @�B ��� @?B � 3����#� ��3��( ��� ��� �"� �������2 ������ ��� 8�� ����$

�?$ &# �� �� ��� �� # "� # ����� ��� ,�,�2�� �, ���� �� 8���� � �3�2 �������$ &# "������2 ����� �����

#��3�� ���� �� � ,��� �� ����� ����� 8����� �� 8�� ���� �� # �, ���� ����� ��� ,�,�2�� 3����� ���� ��� #� ����� �8��� �������� ���� ��� ��� ,�� ������ ,���� � 3����� ��� ����8�� �2 �� �� ,��� �$

�>$ '� �� ���� #� # ��7 �� # ���� ����� "2 # ���� ���� " ��:���� "2 # @������B 5�����( #� �

�� ��(� �� ��� ,����"� � ��"�8�� �� �� # 3��� �� # ���� � # ���� �� �������( �� #

,�2�� " �� # 3����� 2 �� ����� �� #� �� ,��� �3 ��8���� ��� ��� � � # ����$ &#� ����������8�� �2� " �� ���� �3 ��� # ���� � ��(� �� # ���� �� �� �3������ �� �#��# ��(� �� ���

��� ,����"�� ������( "����� �� ����� ,�2�� � �� ����� �� ������ � � #� "2 ������( #

��� ��� ��� ���� �� �� "2 ���(�3��( � ,�� ��� �� # �� ����� ,�����,��� ��� ���5�����( �� #�� ���� �3

���� ��� #� ���� # ��� ��� 3��� �� # ���� �����$

��$ ���# ��� � ����27� ����8�� �2� ���� ����� �� # "� 1��,��� � �� (2 �� # ����� �5��( �� (�3� #

� #� �� ��� �� # ��� (�( ��� ��� $ 6 �� �� ���(� �� � �� #�� �� ���� ��2 �,��<� 3� �� �� ���� ���

�� � ���8� ,��� 8����"���� �� ��� �����( (��$

�A$ *� ��� 4��,�� !��� ��$ @�A�?B$ &# ,������ �,,��4��� � ,�� ��� ���3� �3� "2 # �3��( ��

������� 4,������� �� # (���,��� 3���� �� � ��� & � �� � ��� �#��# �� #�� # ��� ���� ���� ��� �� � �� ��� �#��# �� ��� �� $ 8�����( # 3���� ��� 8�� ���� � #��� � ��� (���,��� � ���� � �� � �����(���� �2� � �� ����� ����� ����� 8�� ���� �� # ��5���� 3���� � # ����� �� ����$ &#�� ��

#� ���3� ��� # 3���� � � �� ��� �� ��$ &# � #�� #�� # 3�� � �� "��( ���������2 � �"� ��� �����7� �� �� ��� ����� ���� ������ �� "� # # ��� � ���� ����$

��$ &#� ��� !��� � � !�� �� ���� � � ��� �� � ��� �� � ��� ����$ &# �������7� 3��� ��� 2 �� �#��� � �,,��4��� # ��� ���� �� ��(�� �� �� #� �� � ���,� �� ��"��

#�����( ���5 � �� "� # �3��,� ��� �3��,��( ���� ��� �3� # ,���� �AA���AA�� �� �,�� � ��

)����#�� ��� '��5���� @����B$

��$ &#�� ������ �� # ,���� �� "� # <4� ��� 3����"� "��5��, �2 �� ��8���� ��� ��� �� ��((� �� 4,��� ���

��� ��� ��3�� ���� ����� ���� �� ����� ����� ��(#"��#���� �� #�� � �� 2� ��� �3 � ��� � �"�

��(#"��#����� �#� ��� ��,� � �� # ��� (�( ��� ��� � ��� �� #�� ���� �� $

��$ * I� �� @�A��B$

#����� ���

������� $ 6$� ��� *$ *��������$ @�AA?B$ MM.��(� ��� /���� ��� �� ." )�� ��� ��GG -��# �� ���������� ��� A@�B� �>�?�$

��#�� 6$� ��� .$ J��($ @�AA�B$ MM!�����( %�� (�(1-��5� *���� ��� 0� (�� ��( +, ���� )��� ��� ��,������

%���� �� !�,�2�� �GG .������ -�� � � ��� ��!�� �������� .���� ��� /������ ��@�B� 6�� �� �>�����$

��#�� 6$� .$ J��(� ��� I$ %�I���$ @�AA?B$ MM&# ���� �� 0���� ��� )���� ��� )��� ���� � �� ���� ���

%�� (�( &����� �����GG -������ ����� ��� ��!�� �������� �?@�B� �����?�$-�� ��,�(�� �$ @�A>?B$ MM&# -�������J��� �� ����#�,� )��, � �3 �8����"����� ��� # &#��2 ��

=����� !�����GG .������ �������� -��# ?? @���B� �������$-�� ��,�(�� �$ @�A>�B$ MM)��� � �����(� 0���� ��� L�� �����GG /������ �� ����0 ���� ��� )��������@�B� �>�����$

-����� $ @�A>?B$ MM&# J��� %��5 � )���� ��� ��� � � �� 0� �� �GG /������ �� ����0 ���� ��� )�������@�B� ��A���?$

-� �� =$ @�AA�B$ MM&# �� �� )���� ��� �� � %��� �� ." �(� �� ����GG /������ �� ����0 ���� ���)������ �?@�B� >���?$

-��5�2� $ @�AA�B$ MM=�����( ������ �� .3��,��( )��� ���� &# �� �� )���"� )�� ��� ��GG ��������(���"�� ��� ��� ���� ����� ��@�B� ��>����$

�? �+'�* '. '0)��*+'

Page 23: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

-��5�2� $� -$ J�,���� ��� &$ !�����$ @�AA�B$ MM%�� (�( .��(� 9��� 0�:� ��� ��� �� 6�( 9��� ��� 2�

&# 9� �� � .��� 0��4 0�� ���� �GG 1���� (���"�� ��@�B� �����?�$)#�� )$ @�AA�B$ MM %�#����� .��(� ,,����# � �� +, ���� )�� ��� ���� �4 � ��� �4 !��

0������ ����GG -��# �� �������� (��� �@�B� ��>����$)���� �� &$� ��� &$ =�7�($ @�A�AB$ MM=�� * � J��� ��� ��������� )�� ��GG �������� ��� ��� ���� ?@�B� �����$

)����#��� %$� ��� .$ '��5����$ @����B$ MM0� ��� ����� %�� (�( )�� ��� �� *��32�GG =�����( ���������

��� ��������� ����# 6��5��( !�,�� �����%��$

)�������� I$� ��� �$ ���"�� $ @�AA�B$ MM��<��� %�� (�( .���� +, ��� �4����� �3���� ���� J���

*3�� 2�GG /������ �� -�� � � -���� ��@�B� �������$.�(� O$� �$ L��(�2� ��� $ 3�� +���$ @����B$ MM%�� (�( &����� ����� = ��(�� 2 ��� # �4���� ��

%�� (�( +, �����GG ������ ���� ?�@�B� �>����>$.�4� � $ @�AA�B$ MM *��,��<� �4,��� ��� �� # &#��2 �� +, ���� (��� ��� �� -������� %� ����GG /������

�� �������� (������ ��� ��� ��� ��@�B� ?�>�?>�$.�55�� O$� ��� $ =$ ���� ��$ @�AA�B$ MM0� �� � ��5 ��� +, ���� .��(� �� %�� (�( 0�� ���� ��GG

/������ �� -�� � � ������ ��� �������� �� �A�?�$.��<� .$ @�AA�B$ (������ . *������$ !���� ��� !���� �� 9��3��� 2 !���$.����� -$ @�AA�B$ MM*�,� )�� �� ��� �� � +, ����� 2 )���� �����GG /������ �� �������� (������ ���

��� ��� ��@�B� ?>��?��$.� �� !$� ��� $ �� ��#���$ @�AA�B$ MM &#��2 �� * �,,��( &�� I��� �� # ,,���� ���� � !�����

0���3� ���� ��� �� *����GG �������� ����� �� >���>?�$��� �� )$� ��� $ /�� +���$ @�A��B$ MM � +, ���1"��� %��� �� %�� (�( .���� �GG '����� ������ -��#$�@�B� �����>�$

������ %$� ��� %$ I�����$ @�A?�B$ MM6#2 -��5�� � ��� )��� �GG 2��� ��� /������ �� �������� >A� �A>����$

I� ��� %$ @�A��B$ MM��������� * ��� �� ��� ((�(� �������� � �3� 2� � +3�3���GG /������ �� ����0���� ��� )������ @ �(�� B� ��A����$

I�� ��� I$� ��� �$ ��#�$ @����B$ MM&# .��(� �� -��5 J��� )�� ��� ��GG -��# �� ��������� � ��� ��@�B� �����?�$

I������� *$ @�AA�B$ MM&# !���� �� �� �� �� � )2����GG /������ �� -�� � � ������ ��� ����������� A����A$

I������� *$ @�AA?B$ MM&# * �� (�� �4���� �� +, ����� .3��,�� )������ ��� +3�"������( �� ��

�� � %��5 ��GG /������ �� ������ ��@�B� �?����?>A$=������ %$� ��� $ �3�3$ @�AA�B$ MM��������� )�� ��� ��( &#��2$GG 0� �$1�$ J����� @�$B� .����� �� ��������

������ 3��$ 00$ @������ ��� *��� 2 ? # 6���� )��(���B� )��"���(� )��"���( 9��3��� 2 !���$=�� � +$ @�AA�B$ ����0 ��� ��� ��� ��������� � ��� ��$ +4����� +4���� 9��3��� 2 !���$=�� � +$� ��� �$ %���$ @�AA�B$ MM.���� ��� �(� �� ���� .2����� %��� �� ." �GG 2��� ��� /������ ��

�������� ���@�B� ����$=����#� � !$� ��� $ /�� +���$ @�AA?B$ MM!�����( %�� (�(�� � 0� �,� � ��� �� %���� ��� ��� ��GG

/������ �� ��������� ����� -���� �� >>����$=��(���� .$ @�A?�B$ MM)��� ��5 ��� )��� � �����(�GG 2��� ��� /������ �� �������� >�@�B� �����>�$����� .$� ��� �$ %���(�����$ @�A?AB$ MM &#��2 ��� &� �� )��� � �����(�GG .������ �������� -��#�A@�B� �����>�$

����� .$� ��� �$ * �(�� 7$ @�AA�B$ MM)��� � �����($GG 0� -$ %$ ������� ��� �$ =$ =�#� @��$B� '���!��� ����� ��� ��������� 3��$ 00$ ���3�� *���� !�"���#�� -$/$

����� $ @�AA�B$ MM)��� ��5� * ��#�� �� )���� ��� ��� )��� � �����(�GG 6��5��( !�,�� *���� �����

9��3��� 2$

����� $ @�AAAB$ MM)��� ��5 ��� )��� �����GG 6��5��( !�,�� *���� ����� 9��3��� 2$

����� $� ��� .$ '��5����$ @����B$ MM%�� (�( )�� ��� �� �(� �� ��� ��� * ��#�� �� )���� ����GG 6��5��(

!�,�� )������� * � 9��3��� 2$

���� �$� ��� .$ ����$ @�AAAB$ MM!� ��� �� � ����� .���� �GG 6��5��( !�,�� 9��3��� 2 �� I��(��$

%+&I I� )+'& )&*� *& &�I0) +!&0+'* '. *&+)= *&0) )+JJ &� J �>

Page 24: Mortgage Contracts, Strategic Options and Stochastic Collateral

���� �$� .$ ����� ��� &$ ���$ @�AA�B$ MM&������ ���� )�� �� *�"�, ���� &����� ��� ��� .����

!��"�"��� ���GG /������ �� � .������ -�� � � ��� ��!�� �������� .���� ��� ��@�B� ��>��?�$���� �$� .$ ����� ��� &$ ���$ @�AA�B$ MM.���� !��"�"��� �� ��� %�� (�(��GG /������ �� ��!�� ����������@�B �>���A?$

���� �$� .$ ����� 6$ %����� ��� �$ �,,����$ @�AA�B$ MM&# /���� ��� � +��(��� ��� �� ��4�1� %�� (�(�

�� # .���� ��� !�,�2�� �GG /������ �� -�� � � ������ ��� �������� ��@�B� ���?$���� �$� .$ ����� 6$ %����� ��� �$ �,,����$ @�AA�B$ MM I�����7� /���� ��� %��� ��� ��4�1�

���� ��� %�� (�(��GG /������ �� ����0 ���� ��� )������ ��@�B� �>A��AA$���� �$� ��� &$ ���$ @�AA�B$ MM6�� ��( � .���� � &# /��� �� .��2�GG /������ �� � .������ -�� � � ���

��!�� �������� .���� ���� ��@�B� ��A����$����� .$� ��� �$ ���$ @�AA�B$ MM � +3�3�� �� # +, ���1&#�� �� !�����( �� %�� (�(��GG /������ ��

'����� -���� ?@�B� ��>����$�2��� *$ @�AA�B$ �������� &�# ��� -�� � -���� . � � ,!�,� � (�� � )#���(�� 0J� *� ��� �� ��!��,� 2� !��"� ��� &��� J��� ������ -�� ������ ���$

���5��� �$ @�A>AB$ MM+� # &#��2 �� � �����( �8����"��� �� # *,���� ���� � )��� %��5 ��

*��32�GG 3� ����� ��� 4� ������������ �A@�B� ?����$���� ���5�� '$ @�AAAB$ -�� 5" ���� �������� � �� ��� 6�� �� �� �� ���� ��� 1����$ )��"���(�=��3��� 9��3��� 2 !���$

J��5�� �$ @�AA�B$ MM)���� ����7� ." �� # +, ���� )�� ��� �GG ����� ��3 -��5 �� ��#���� 6��5��(

!�,�$

J�� %$� ��� .$ .������$ @�AA�B$ MM=�����( ������ �� .3��,� )��� ���� � 0� ��� ����� )��,������ ��

��<����2�GG /������ �� '����� -���� �@�B� ���>�$%� ��� $ @�A>�B$ MM&# &#��2 �� � ����� +, ��� !�����(�GG )�� /������ �� �������� ��� �������

����� � @*,���(B� �������$%��"5� !$ 3��$ @�A>�B$ MM+, ���� * �,,��( ��� �� -������2 !��"����GG -���� ���� ��� /������ ��

�� ��� �� � @*����B� ��A��>>$%2���� $ @�AA�B$ MM&# !�����( �� # ������ +, ����GG .���� �� .""��� *��!�!��� � �� ����$!���(�� -$ @�AA�B$ MM,� � J����( �� # J��� � J��"��� 2 9��� 0�,��� %��� ����(�GG �������� 4� ��@�B� �?����A$

!#����,�� $� �$ ���"�� � ��� �$ /����=���$ @�AA?B$ MM&# !��"�"��� 2 �� ��4�1 ��� �F�� �"�1� %�� (�(

&����� ����GG /������ �� -�� � � ������ ��� �������� ��@�B� @*, �"�B� A�����$!���2�5� $ @�AA�B$ MM0��3���"��� 2� 9��� ��� 2� ��� 0�3� �� �GG /������ �� �������� &� �� �� �A@�B� ���������$

!��� � *$ @�A�?B$ MM%�� (�( .��(� �� 0�,��� )�,� �� %��5 ��GG /������ �� ��!�� �������� ��� ��>���A$!���� 6$ =$� -$ !$ ������2� *$ $ &�5���52� ��� 6$ &$ / ����($ @�A�?B$ 4������� -��"� �� .� ��

���� �7� ���"� ���$ '� O��5� )��"���( 9��3��� 2 !���$* �(�� 7� �$� ��� $ 6���$ @�A��B$ MM)��� � �����( �� %��5 � �� # 0�,��� 0������ ����GG .������

�������� -��# >� @%���#B� �A�����$* �(�� 7� �$� ��� $ 6���$ @�A�?B$ MM)��� � �����( ��� )���� ���$GG 0� �$ �������� �$ ����5�� )$ %�2� ��� *$

*�#��� @��$B� -�� (���"�� �� ���"��� ������$ )��"���(� 9��3��� 2 !���$9$*$ .,�� �� �� =�����( ��� 9�"�� .3��,�� $ @�AA?B$ *�������� .� ��� �� � ��� ��� ���������

. -"�� � ������ 6��#��( ��� .$)$/������ �$ @�AA�B$ MM=�����( �3� # �2�� !��,� �3 �� %�� (�( .���� ����#�GG .������ -��

� � ��� ��!�� �������� .���� ��� /������ ��@�B� ������?$/������ �$� ��� &$ &#�"����$ @�A��B$ MM�� ��� ��� �� %�� (�( .���� � 9���( .���((�(� J��� =�� ��2

.� ��GG .������ -�� � � ��� ��!�� �������� .���� ��� /������ ��@�B� �A����?$6���������� *$ @�A�?B$ MM)�� �2 %��� ����(� ��������� 0� ����� ���� ��� �8����"���� )��� � �����(�GG

/������ �� ��� ��� �������� �� @*, �"�B� ��A��>A$

�� �+'�* '. '0)��*+'