MONTE CARLO MONTE CARLO METODUNA GİRİŞMETODUNA GİRİŞ

Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİRYrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİRUludağ ÜniversitesiUludağ Üniversitesi

Fen Edebiyat FakültesiFen Edebiyat FakültesiFizik Bölümü BursaFizik Bölümü Bursa

dnilgun@uludag.edu.trdnilgun@uludag.edu.tr

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Monte Carlo Metod??Monte Carlo Metod??

Monte Carlo Simülasyon Tekniği

Sadece sistemi tanımlar,Onu optimize etmez.

Hedef; gerçek bir sistemi tam ve doğru olarak tanımlayandeneysel sistem kurmak.

Simülasyon modelleri 3 genel özellik ile ele alınabilir:1. Fonksiyonel Özellik:

Deterministik özellik: Gerçek bir modeldir. Simülasyon sonucu her bir tekrar için aynıdır.

Stokastik özellik: Bu model gelişigüzel bir yapıya sahiptir. Simülasyon sonucu her bir tekrar çalışmada aynı olmaz.2. Zamana Bağlılık:

Statik özellik:Bu model zamana bağlı değildir. Dinamik özellik: Bu model, incelenen süreç boyunca pek çok zaman aralıklarında

değişim gösterir.3. Giriş Verisi:

Kesikli özellik: Giriş verisi kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.Sürekli özellik: Giriş verisi sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Monte Carlo simülasyonları, “ Gerçek Stokastik simülasyonlardır “

Başlangıç durumun dağılım fonksiyonlarından yola çıkarak son durumutanımlar. Statik (kolay) ya da dinamik (zor) olabilir.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Herhangi bir süreç bir çok sebepten dolayı gelişigüzel bir karakteristik gösterebilir. Bunların başlıcaları şöyle sıralanabilir:

1. Gerçek bir fiziksel süreç olayların büyük ölçeklerde gözlemlendiği gibi stokastiktir.

2. Süreç, bilgi eksikliğimizden dolayı sürecin gelişigüzel gösterilmesinde olduğu gibi büyük ölçekli dalgalanmalara dayanır.

3. Sistem için kurulan model, sistemin sürecini yeteri derecede temsil etmeyebilir.

4. Süreç insan davranışlarına da bağlıdır.

Sonuç olarak kesin bilgi sahibi olamadığımız bir yanı varsa bu süreç gelişigüzel (stokastik) bir özellik gösterir.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Stokastik modeller, olayı karakterize eden gelişigüzel değişkenlerin özelliğine bağlı olarak değişir. Değişkenler kesikli veya sürekli olabilir, zamanla süreklilik değişebilir veya zamanın belirli bir anında değerler alabilir. Mesela iş gücü değişiminde (akışkanlık, devri) işçinin işini ne zaman değiştireceğini kestiremeyiz. Bu süreç probabilistik olarak tanımlanabilir. Benzer şekilde bir madde içinde hareket eden parçacığın hangi etkileşmeleri yapacağı veya hangi açılarda saçılacağı olasılıklar dahilindedir.

Stokastik bir modelden istenen öncelikli sayısal değerler şöyle belirtilebilir; (1) - zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin ortalama değeri, (2) – zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin değişimi, (3) – çeşitli durum değişkenleri arasındaki bağımsızlık derecesi.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Varsayalım ki x gelişigüzel bir değişken olsun.

Bu değişkenin t=t1, t=t2 ve t=t3 zamanlarında ölçülen x1, x2, x3 değerlerine gelişigüzel dizi veya stokastik süreç denir.

x’de burada t’ye bağlı olarak iki mümkün durum vardır. x yalnızca t’nin kesikli değerini alır. Bu durumda “xt kesikli zamanlı stokastik süreçtir.”

*Bütün değerlerin meydana gelmesi eşit şansa sahiptir. *Bütün yeni değerler bütün önceki elde edilen değerlerden bağımsızdır.

Eğer gelişigüzel değişken x t zamanın bir fonksiyonu olarak sürekli gözlenebilirse x(t) sürekli zamanlı stokastik süreçtir.

X rastsal bir değişken olmak üzere önce

(1)kümülatif yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Sonra 0 ile 1 arasında değişen düzgün bir

gelişigüzel sayı üretilir. Sonuncu adım,

' i (2)Gelişigüzel sayıya eşitleyip x'e göre çözmektir.

x) P(X = )( xF

x) X ( P

' i

Sonuç olarak, Monte Carlo metodunu gerçek bir durumun stokastik modelini oluşturup, bu model üzerinden örnekleme deneyleri hazırlama tekniği olarak tanımlayabiliriz. Bu tip simulasyonlar, stokastik yapıda birbiriyle ilişkili çok sayıda değişkene sahip sistem çıktılarının çalışılmasında kullanılmaktadırlar.

Monte Carlo metodları, bilgisayarda analitik olarak ele alınması mümkün olmayan gelişigüzel davranışları incelemek için kullanılır.Hesaplamaların çoğu düzgün dağılımlı, çeşitli istatistiksel testleri sağlayan ve (0,1) aralığında üretilen, tekrarlanabilir, sözde gelişigüzel sayılara dayandırılır. Gerçekte bu sayılar düzgün dağılımlı ve birbirinden bağımsız değildir. Bu nedenle bilgisayarda Üretilen bu sayılara sözde gelişigüzel sayılar denir.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Monte Carlo Metodun Tarihsel GelişimiMonte Carlo Metodun Tarihsel Gelişimi

Stanislaw Ulam1909 - 1984

Stanislaw Ulam, II. Dünya savaşında Manhatten projesinde yer alan ve nükleer silahların tasarımını amaçlayan polonyalı bir matematikçidir. Los Alamos’ ta iken Nükleer reaksiyon teorilerinde karşılaşılan kompleks integrallerin çözümü için Monte Carlo Metodu’ nu önermiştir.(Fermi ve diğerlerinin daha önce buna benzer bir metod kullandığını bilmez) Bu önerme, Von Neumann, Metropolis ve arkadaşları tarafından Monte Carlonun daha sistematik gelişimine yol açmıştır.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

John Von Neumann (1903 – 1957)

Von Neumann, yeni gelişen elektronik hesaplama tekniklerini kullanarak istatistiksel örnekleme yapma fikri ile anılır. Ona göre, fisyon olaylarında nötron zincir reaksiyonlarının davranışları bu yöntemle açıklanabilirdi. Özellikle nötron çarpışma oranları tahmin edilebilir ve fizyon silahlarının patlayıcı davranışları öngörilebilirdi. 1947’ de bu durumu, Robert Richtmyer’ e ( Los Alamos’ un Teorik Kısım başaknı) yazdı.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Nicholas Metropolis

(1915-1999)

Metropolis, Pensilvanya üniversitesinde 1948 yılında kurulan dünyanın ilk elektronik dijital Bilgisayarında (ENIAC) ilk gerçek Monte Carlo hesaplamasını gerçekleştridi.1953’ te Metropolis algoritması makale halinde yayınlandı. Bu algoritma, bilim ve mühendislikte hesaplamalar alanında en popüler 10 algoritma arasına yerleşti. 20. yüzyılda bilim ve mühendislik alanında gelişmelere çok büyük katkılar sağladı.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

SİMÜLASYONUN AVANTAJLARI:

• Bir sistemin modeli kurulduktan sonra farklı durumlar için tekrar tekrar kullanılabilir.• Sistem verilerinin detaylı olmadığı durumlarda elverişlidir.• Sistemdeki kompleks yapıları analiz etme ve bunlar üzerinde denemeleryapmaya imkan sağlar.• Sonuçları çok uzun zaman sonra alınacak sistemlerin daha kısa süredeçözümlenmesini sağlar. • Modellenen sistemi değiştirmeden yeni fikir ve politikaların model üzerinde rahatça uygulamasına olanak verir.• Kullanıcı simülasyonu istenen zamanda durdurup yeniden başlatabildiğinden deney koşullar üzerinde tam bir kontrole sahiptir.• Simulasyon, analitik çözümlerin doğruluğunu ispatlamak üzere kullanılabilir.• Simule edilen sistemin ayrıntılı gözlemlenmesi daha iyi anlaşılmasını, daha önce görülmemiş eksikliklerin giderilmesini, daha etkin fiziksel ve operasyonel sistemin kurulmasını sağlayabilir. • Analistleri daha genel düşünmeye zorlar.

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

SİMÜLASYONUN DEZAVANTAJLARI:

• Araştırıcılar simulasyon tekniğini öğrendikten sonra onu analitik yöntemlerin daha uygun olduğu durumlarda da kullanma eğilimindedirler (Craig, 2004).

• Genel olarak her bir sistem için ayrı bir program yazma gereği vardır. Simulasyon dilleri bu mahsurları bir dereceye kadar ortadan kaldır-mıştır.

MC yöntemleri, Fizik ve Mühendislik alanlarında pekçok uygulama alanı bulmuştur. Bunlardan başlıcaları:

1. [Matematik] Sayısal Analiz 2. [Fizik] Doğal olayların simülasyonu 3. [Fizik] Atom ve Molekül Fiziği, Nükleer Fizik ve özellikle Yüksek Enerji Fiziği

modellerini test eden simülasyonlar 4. [Mühendislik] Deneysel aletlerin (örneğin detektör) simülasyonu 5. [Biyoloji] Hücre Similasyonu 6. [Ekonomi] Borsa Modelleri 7. [İstatistik] Dağılım Fonksiyonları

MONTE CARLO METODUN UYGULAMA ALANLARI

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi