mokyklines matematikos teminio kartojimo uzduotys

VAIDOTAS MOCKUS, PETRĖ GREBENIČENKAITĖ,

VINCAS TAMAŠAUSKAS, IRENA BARANAUSKIENĖ

MOKYKLINĖS MATEMATIKOS TEMINIO KARTOJIMO UŽDUOTYS,

ATITINKANČIOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMĄ

(Pagalbinė mokymosi priemonė vidurinių mokyklų ir gimnazijų abiturientams)

•k & "k

VAIDOTAS MOCKUS, PETRĖ GREBENIČENKAITĖ,

VINCAS TAMAŠAUSKAS, IRENA BARANAUSKIENĖ

MOKYKLINĖS MATEMATIKOS TEMINIO KARTOJIMO UŽDUOTYS,

ATITINKANČIOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMĄ

(Pagalbinė mokymosi priemonė vidurinių mokyklų ir gimnazijų abiturientams)

V

Šiauliai, 2004

UDK 51(076)

Mo-53

Darbo grupė: Vaidotas Mockus,

Petrė Grebeničenkaitė,

Vincas Tamašauskas,

Irena Baranauskienė

Projekto autorius ir darbo grupės vadovas: Vaidotas Mockus

Leidinio redaktorius: Vaidotas Mockus

ISBN 9955-632-00-3 O Vaidotas Mockus, 2004

© Petrė Grebeničenkaitė, 2004

© Vincas Tamašauskas, 2004

© Irena Baranauskienė, 2004

© V.Mockaus įmonė, 2004

TUIUNYS

PRATARMĖ 5

I. SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA 7

1. Skaičių teorijos elementai 7

1.1. Dalumas 7

1.2. Realieji skaičiai 11

2. Skaičiavimai 17

2.1. Veiksmai su skaičiais 17

2.2. Procentai 21

3. Algebra 26

3.1. Algebriniai reiškiniai 26

3.2. Lygtys 32

3.3. Nelygybės 36

3.4. Skaičių sekos 40

3.5. Progresijos 45

II. FUNKCIJOS IR ANALIZĖS PRADMENYS 68

1. Funkcija 68

1.1. Funkcija ir jos grafikas 68

1.2. Funkcijų tafkymai 82

2. Laipsninės funkcijos 85

2.1. Pagrindinės laipsninių funkcijų savybės ir jų reikšmių skaičiavimas 85

2.2. Atskiri laipsninių funkcijų atvejai 96

2.3. Lygtys ir nelygybės 101

3. Rodiklinės ir logaritminės funkcijos 121

3.1. Pagrindinės funkcijų savybės ir reikšmių apskaičiavimas 121

3.2. Rodiklinės ir logaritminės lygtys ir nelygybės 134

4. Trigonometrinės funkcijos 149

4.1. Radianinis kampo matas 149

4.2. Trigonometrinės funkcijos 151

4.3. Funkcijos, atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms 162

4.4. Trigonometrinės lygtys ir nelygybės 166

5. Modulis 175

6. Išvestinės 189

6.1. Funkcijos išvestinės samprata 189

6.2. Funkcijų išvestinių skaičiavimas 191

6.3. Funkcijų išvestinių taikymai 201

7. Pirmykštė funkcija ir integralas 227

7.1. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas 227

7.2. Apibrėžtims integralas ir jo taikymai 236

III. KOMBINATORIKA, TIKIMYBĖS IR STATISTIKA 250

IV. GEOMETRIJA 272

1. Planimetrija 272

1.1. Pagrindinės planimetrijos sąvokos 272

1.2. Trikampiai 276

1.3. Daugiakampiai 290

1.4. Apskritimas ir skritulys 297

1.5. Simetrijos 304

2. Stereometrija 305

2.1. Pagrindinės stereometrijos sąvokos 305

2.2. Geometriniai kūnai 310

3. Vektoriai 325

V. {VAIRŪS UŽDAVINIAI 330

ATSAKYMAI 349

P R A T A R M Ė

Šis leidinys skirtas vidurinių mokyklų ir gimnazijų abiturientams. Jame

pateikiamos matematikos kurso teminio kartojimo užduotys, atitinkančios dabar

galiojančią brandos egzamino programą. Uždavinynas tinka tiek moksleiviams,

besirengiantiems laikyti matematikos valstybinį brandos egzaminą, tiek ir

moksleiviams, besirengiantiems laikyti matematikos mokyklinį brandos egzaminą.

Žvaigždute „*" pažymėtos užduotys yra skirtos besirengiantiems valstybiniam

brandos egzaminui. Suprantama, jiems būtina išnagrinėti ir kitus (nepažymėtus

žvaigždute) uždavinius. Besirengiantiems mokykliniam brandos egzaminui yra skirti

uždaviniai, nepažymėti žvaigždute.

Uždavinynas parašytas griežtai laikantis dabar galiojančios matematikos

brandos egzamino programos. Jame esančių uždavinių gausa bei įvairovė leis

abiturientui visapusiškai pakartoti išeitą matematikos kursą ir gerai pasirengti

brandos egzaminui. Knygos gale moksleiviai ras skyrių „įvairūs uždaviniai",

kuriame pateiktų uždavinių sprendimui reikia žinių iš įvairių matematikos kurso

temų. Šiame skyriuje, kaip ir visoje knygoje, moksleiviai ras nemažai loginių bei

praktinio turinio uždavinių.

Mokytojų ir moksleivių darbo patogumui kiekviena užduotis yra pateikta

dviem analogiškais variantais. Pirmojo varianto užduotys (kiekvienos užduoties

a) dalis) skirtos moksleivių darbui klasėje, o antrojo varianto užduotys (kiekvienos

užduoties b) dalis) skirtos moksleivių darbui namuose, t.y. savikontrolei. Tokia

uždavinyno struktūra yra patogi matematikos mokytojo darbui, nes iš knygoje

pateiktų užduočių lengva sudarinėti patikrinamuosius išeito matematikos kurso

darbus keliais analogiškais variantais.

Manome, kad išsprendę visus knygoje pateiktus uždavinius, galėsite drąsiai eiti

laikyti matematikos brandos egzaminą.

Belieka palinkėti sėkmės.

Autoriai

I. SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA 1. Skaičių teorijos elementai

1.1. Dalumas

1. Duoti skaičiai:

a) 8016, 195,4050, 1113; b)6150, 1608,955,3311.

Kurie iš jų dalijasi ir iš 2, ir iš 5?

2*. Kokį skaitmenį galima parašyti vietoje c, kad duotasis skaičius dalintųsi ir iš 2,

ir iš 3, ir iš 5, ir iš 9, ir iš 10:

a) 7281c; b) 4536c.

3*. a) Raskite mažiausią triženklį skaičių, kuris baigiasi 19 ir dalijasi iš 3.

b) Raskite didžiausią triženklį skaičių, kurio vidurinis skaitmuo yra 2 ir kuris

dalijasi iš 9.

4*. a) Kokius skaitmenis galima parašyti vietoje raidės c, kad šešiaženklis skaičius

54730c dalintųsi iš 3?

b) Kokius skaitmenis galima parašyti vietoje raidės c, kad penkiaženklis

skaičius 5481c dalintųsi iš 9?

5*. a) Raskite visus skaitmenis x, su kuriais skaičius 2x5x dalijasi iš 3.

b) Raskite skaitmenįx, su kuriuo skaičius 732x dalijasi ir iš 2, ir iš 3, ir iš 5.

6*. a) Duoti skaičiai 50076354; 4789630; 17120641; 2468103; 904327; 379155.

Kurie iš jų yra skaičiaus 2 kartotiniai?

b) Duoti skaičiai 37508160; 1246100022; 2716243243; 4643069; 212010102.

Kurie iš jų yra skaičiaus 3 kartotiniai?

7*. a) Kokį skaitmenį reikia įrašyti vietoje žvaigždutės „* " skaičiuje 5389*, kad

gautume didžiausią skaičių, kuris be liekanos dalintųsi:

1) iš 2, 2) iš 3;

b) Kokį skaitmenį reikia įrašyti vietoje žvaigždutės „* " skaičiuje 5389*, kad

gautume didžiausią skaičių, kuris be liekanos dalintųsi:

1) iš 5, 2) iš 9.

8*. a) Skaičiaus 23 kairėje ir dešinėje parašykite po vieną skaitmenį taip, kad

gautasis keturženklis skaičius dalintųsi iš 15. Parašykite tuos skaičius,

b) Skaičiaus 34 kairėje ir dešinėje parašykite po vieną skaitmenį taip, kad

gautasis keturženklis skaičius dalintųsi iš 45. Parašykite tuos skaičius.

9*. a) Natūraliojo skaičiaus užraše yra dvylika vienetų ir trylika nulių. Jo paskutinis

skaitmuo yra 1. Ar gali duotasis skaičius būti kito natūraliojo skaičiaus

kvadratas ? Atsakymą pagrįskite.

b) Natūraliojo skaičiaus užraše yra penkiolika vienetų ir aštuoni nuliai. Jo

paskutinis skaitmuo yra 0. Ar gali duotasis skaičius būti kito natūraliojo

skaičiaus kvadratas? Atsakymą pagrįskite.

10*. a) Ar dalijasi skaičius 35 IO17 + 24 IO5 +19 iš 9? Atsakymą pagrįskite,

b) Ar dalijasi skaičius 75Ί019+46 107 +14 iš 3? Atsakymą pagrįskite.

U*, a) Parašykite penkis pirmuosius skaičiaus 16 kartotinius (pradedant nuo

mažiausiojo).

b) Parašykite penkis pirmuosius skaičiaus 18 kartotinius (pradedant nuo

mažiausiojo).

12. Iš duotųjų skaičių išrinkite lyginius, nelyginius, pirminius, sudėtinius skaičius:

a) 2, 6, 11, 15, 26, 29,37, 42, 68, 99.

b) 3,8, 9, 14, 19,21,23,32, 77.

13. a) Surašykite didėjimo tvarka visus dviženklius skaičius, kuriuos dalijant iš 8,

gaunama liekana 3.

b) Surašykite didėjimo tvarka visus dviženklius skaičius, kuriuos dalijant iš 7,

gaunama liekana 5.

14*. a) Raskite didžiausią natūralųjį skaičių, kurį dalijant su liekana iš skaičiaus 15,

gaunamas nepilnasis dalmuo lygus 19.

b) Raskite mažiausią natūralųjį skaičių, kurį dalijant su liekana iš skaičiaus 11,

gaunamas nepilnasis dalmuo lygus 27.

15*. a) Nelyginis skaičius yra 3 kartotinis. Raskite liekaną, kurią gauname šį skaičių

dalijant iš 6.

b) Lyginį skaičių, dalijant iš 3 gauname liekaną lygią 1. Raskite liekaną, kurią

gauname šį skaičių dalijant iš 6.

16*.a) Raskite visų penkiaženklių skaičių M X SY , kurie dalijasi iš 45, didžiausią

galimą skaitmenį X.

b) Raskite visų penkiaženklių skaičių Ί2Χ5Υ , kurie dalijasi iš 36, didžiausią

galimą skaitmenį X.

17*. Įrodykite, kad:

a) su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi n reiškinio пъ - n reikšmė dalijasi iš 6.

b) su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi n reiškinio n1 +3n2 +2n reikšmė

dalijasi iš 6.

18*. a) Įrodykite, kad 312 -95 +273 dalijasi iš 25.

b) Įrodykite, kad 412 - 220 + 86 dalijasi iš 61.

19. a) Raskite visus pirminius skaičius, su kuriais teisinga nelygybė 2 < χ < 25.

b) Raskite visus sudėtinius skaičius, su kuriais teisinga nelygybė 25 < χ < 35 .

20. Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais skaičius:

a) 540; b) 180.

21. Parašykite visus duotojo skaičiaus daliklius:

a) 72 ; b) 48.

22. Raskite visus duotųjų skaičių bendrus daliklius:

a) 72 ir 48; b) 30 ir 75.

23. a) Parašykite skaičiaus 160 visus lyginius daliklius.

b) Parašykite skaičiaus 120 visus nelyginius daliklius.

24. a) Parašykite visus natūraliuosius dviženklius skaičius, kurie yra skaičiaus 7

kartotiniai.

b) Parašykite visus natūraliuosius dviženklius skaičius, kurie yra skaičiaus 13

kartotiniai.

25*. a) Parašykite visus dviženklius natūraliuosius skaičius, kurie yra skaičių 4 ir 9

bendri kartotiniai.

b) Parašykite visus dviženklius natūraliuosius skaičius, kurie yra skaičių 3 ir 5

bendri kartotiniai.

26*. Nurodykite skaičių, skaičiaus 25 kartotinį, kuris tenkina duotąją dvigubą

nelygybę:

a) 430<x<460 ; b) 830<χ <860.

27*.Raskite duotųjų skaičių didžiausią bendrąjį daliklį ir mažiausią bendrąjį

kartotinį:

a) 360 ir 504; b) 216 ir 396.

28*. a) Kiek kartų skaičių 120 ir 75 bendrasis mažiausias kartotinis yra didesnis už

jų bendrąjį didžiausią daliklį.

b) Kiek kartų skaičių 180 ir 105 bendrasis mažiausias kartotinis yra didesnis už

jų bendrąjį didžiausią daliklį.

29*. a) Dviejų skaičių sandauga lygi 10800, o jų didžiausias bendrasis daliklis

lygus 60. Raskite šių skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį,

b) Dviejų skaičių sandauga lygi 94500, o jų didžiausias bendrasis daliklis

lygus 30. Raskite šių skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.

30. a) Stalo teniso turnyre dalyvavo 145 berniukai ir 87 mergaitės. Jie suskirstyti į

komandas taip, pat visose komandose buvo po tiek pat berniukų ir po tiek pat

mergaičių.

1) Kiek komandų dalyvavo turnyre?

2) Kiek mergaičių ir kiek berniukų buvo kiekvienoje komandoje?

b) Kvadrato varžybose dalyvavo 155 berniukai ir 93 mergaitės. Jie suskirstyti į

komandas taip, kad visose komandose buvo tiek pat berniukų ir tiek pat

mergaičių.

1) Kiek komandų dalyvavo varžybose?

2) Kiek mergaičių ir kiek berniukų buvo kiekvienoje komandoje?

31. a) Iš 156 obuolių, 234 mandarinų ir 390 saldainių padarytas didžiausias galimas

skaičius vienodų kalėdinių dovanėlių vaikams.

1) Kiek dovanėlių buvo padaryta?

2) Kiek obuolių, mandarinų ir saldainių buvo kiekvienoje dovanėlėje?

b) Iš 132 abrikosų, 198 apelsinų ir 1320 saldainių padarytas didžiausias galimas

skaičius vienodų kalėdinių dovanėlių vaikams.

1) Kiek dovanėlių buvo padaryta?

2) Kiek abrikosų, apelsinų ir saldainių buvo kiekvienoje dovanėlėje?

32. a) Kiek mažiausiai saldainių turi būti pakelyje, kad juos galima būtų išdalyti po

lygiai ir 12, ir 18 vaikų.

b) Kiek mažiausiai mandarinų turi būti dėžėje, kad juos galima būtų išdalyti po

lygiai ir 24, ir 28 vaikams.

33. a) Kokio mažiausio ilgio stačiakampio formos lentą reikia paimti, kad

supjausčius ją skersai į 40 cm arba į 30 cm ilgio gabalus, negautume atliekų?

b) Kokio mažiausio ilgio stačiakampio formos lentą galima be atliekų

supjaustyti į 45 cm arba į 60 cm ilgio gabalus.

* * *

1.2. Realieji skaičiai

1. Iš duotųjų skaičių išrinkite:

1) natūraliuosius skaičius, 3) racionaliuosius skaičius,

2) sveikuosius skaičius, 4) iracionaliuosius skaičius.

1 12); i

1000; 0,1010010001...; -3,810"5; лЯб .

a) 13; -3,5; -2; 4; tg60° ; 1,2; V? ; 3,4(12); 3 - ; e; π ; 0; - ; 0,(13);

b)-2,1-103; -5-IO-2; cos60°; 7; 1,3; 3,1(45); -19; S ; 5 - ; e2;

-ίπ; 0; 0,4(6); 12; 0,3030030003...; J ^ ; —Jvt .

2. a) Išrinkite didžiausią iš šių skaičių: 1-y; 1-j ; ; .

b) Išrinkite mažiausią iš šių skaičių: ; ; 2-y ; -yy .

3*. a) Išdėstykite skaičius - ; - ; - ; - ; - - ; ->/2; 3,61; 3,(6); - π ; 10 3 4 3 5 4

didėjimo tvarka;

1 . . . 4 5 4 1 IU 2,(34) mažėjimo tvarka.

b) Išdėstykite skaičius 10-y; 10,1;-e; y , -VŠ; -1,7; 2,34;

4*. a) Išdėstykite skaičius mažėjimo tvarka:

S ; 1,73; 1,(73); 1,732; 1,7(32).

b) Išdėstykite skaičius didėjimo tvarka:

л/2 ; 1,414; 1,4(14); 1,415; 1,(414).

5*. Išdėstykite duotuosius skaičius didėjimo tvarka:

a) - ; - ; 0,717; b) 1,16; 1,1655. 9 7 6

6. Paprastąj ą trupmeną užrašykite dešimtaine:

a) 1) 2

3 ' 2) - 3 I · 3)

127

495 ' 5)

25

13 ' 6) 9 — ;

16

7

15' 2) - f 3)

97

35 ' « 4 · 5) 2219

990 ' 6) 7— .

16

7. Dešimtainę trupmeną užrašykite nesuprastinama paprastąja trupmena:

8) 1) 4,125, 2) 0,2134, 3) 24,36;

b) 1) 8,25, 2) 0,144, 3) 38,3125.

8*. Dešimtainę periodinę trupmeną užrašykite paprastąja nesuprastinama trupmena:

a) 1) 0,(45), 2) 3,1(73), 3) 0,42(7), 4) 3,2(345);

b) 1)0,4(6), 2)0,42(7), 3)1,3(15), 4)2,(412).

9. Parašykite skaičius standartine išraiška:

a) 1) 435820000, 2) 0,0000835, 3) 8273,5, 4) 980000;

b) 1) 397000, 2) 0,0324, 3) 239,7, 4) 0,000007.

10. Palyginkite skaičius:

a) 1)1,5 i r - , 2 ) - — i r - - ; b) 1) л/з ir 1— , 2 ) - i i r - - . ' ' 2 11 7 25 2 6

11*.Be skaičiuoklių palyginkite skaičius:

„ л/5-л/3 . л/7->/5 L4 л/Г5-λ/Ϊ4 . -JŪ-yiŪ a) ir ; b) ir .

2 2 3 3

12. Kiek sveikųjų skaičių tenkina duotąją dvigubą nelygybę:

a ) - 8 < ; t < 4 ; b ) - 6 < * < 4 ?

13*. Kokį skaitmenį reikia įrašyti vietoje x, kad gautume teisingą nelygybę?

a) 39,4x6 >39,476; b) 27,*376< 27,2376.

14*. Tarp kurių gretimų sveikųjų skaičių yra šie duotieji skaičiai:

a) VTT ir -V J ; b) Λ/Ϊ9 ir -л/г7 ?

15*. Duotos skaičių poros. Nustatykite, kurių porų skaičiai yra vienas kitam

atvirkštiniai:

a ) l ) — i r — , 2) 3-V2 ir З + л/2 ; 3 5

b ) D ^ H ir t H , 2) V2 + 1 ir V2-1? 5 6

16. Duotuosius skaičius išreikškite dviejų vienas kitam priešingų skaičių sandauga:

a) -49; b) -121.

17*.Duotuosius skaičius išreikškite dviejų vienas kitam priešingų skaičių sandauga

a) - į ; b) -0,04. 4

18*. Iš duotųjų keturių skaitmenų sudarykite du skirtingus dviženklius skaičius taip,

kad šių skaičių sandauga būtų pati didžiausia (skaičiuose skaitmenys negali

kartotis). Raskite tą sandaugą, kai skaitmenys yra tokie:

a) 1; 2; 3; 4; b) 1; 2; 4; 5.

19*. Iš duotųjų skaitmenų sudarykite galimą didžiausią ir mažiausią triženklius

skaičius ir raskite jų skirtumą. Žinoma, kad kiekviename skaičiuje skaitmuo

kartojasi tik vieną kartą.

a) 1; 3; 5; b ) 2 ; 4 ; 6 .

20*.a) Įrodykite, kad skaičių 31-34-37-40 + 81 galima išreikšti dviejų vienodų

natūraliųjų skaičių sandauga.

b) {rodykite, kad skaičių 370-371 -372-373 +1 galima išreikšti dviejų vienodų

natūraliųjų skaičių sandauga.

21. a) Kurią paros dalį sudaro 1 vai 53 mini

b) Kurią valandos dalį sudaro 2 mirt 1 sekundės?

2

22. a) Nubėgęs — viso nuotolio sportininkas buvo 700 m iki finišo. Koks viso

nuotolio ilgis?

b) Kai pervežė yy viso krovinio, tai liko pervežti 330 t. Raskite viso krovinio

masę.

23. a) Raskite garlaivio greitį j > je· J's 276 km kelią nuplaukė per 7 h.

b) Raskite lėktuvo greitį j > je ' J's ' 565 km nuskrido per 3 h.

24. a) Stačiakampio plotas lygus 1 m2 , o viena jo kraštinė-3 m. Raskite kitą

stačiakampio kraštinę. Kaip vadinami skaičiai, kuriais išreikšti stačiakampio

kraštinių ilgiai?

b) Viena stačiakampio kraštinė lygi 7 m, o kita-jam atvirkštiniam skaičiui.

Raskite stačiakampio plotą.

25*. Pasinaudoję stačiuoju trikampiu, skaičių tiesėje atidėkite duotus skaičius:

a) -n/26 ir л/7 ; b) VJ ir -JlX .

26*. a) Raskite sumą visų natūraliųjų skaičių n, su kuriais reiškinio —— reikšmės n-\

yra sveikieji skaičiai.

12 b) Raskite sumą visų natūraliųjų skaičių n, su kuriais reiškinio reikšmės

n-5 yra sveikieji skaičiai.

27*. Nebraižę duotųjų funkcijų grafiko raskite taškų, kurių abscisė ir ordinatė yra

lygios, koordinates:

a ) / ( * ) = - ; b) / (x) = - - . χ χ Racionalieji ar iracionalieji skaičiai yra šių taškų koordinatės?

28. Apskaičiuokite:

a) 9,5-10"3 +6,210'4; b) 16,710"4+98,510"5.

Atsakymą užrašykite standartine išraiška.

29*. a) Stačiakampio kraštinės yra 2,8 IO"1 m ir 6,5 IO"2 m ilgio. Raskite šio

stačiakampio perimetrą ir plotą. Atsakymus užrašykite standartine išraiška.

b) Stačiakampio kraštinės yra 3,4 IO"1 m ir 4,5 IO"2 m ilgio. Raskite šio

stačiakampio perimetrą ir plotą. Atsakymus pateikite standartine išraiška.

30. Užrašykite dvigubos nelygybės pagalba:

a) χ = 19 ± 0,5; b).y = 112±5.

31. Užrašykite duotus intervalus pavidalu a±h ir b±h :

a) 12 я < 16; b )7 ,5< i<8 ,5 .

32*.a) Kiekvieno matavimo rezultatą užrašykite pavidalu x±h ir dviguba

nelygybe, kai 5,4cm .

b) Kiekvieno matavimo rezultatą užrašykite pavidalu χ ± h ir dviguba

nelygybe, kai S » 27,30 m2 .

33*. a) Vario luito masė m = (63,44 ±0,15) IO20. Užrašykite vario luito masę

pavidalu m ± h ir dviguba nelygybe.

b) Žemės masė m = (5,976 ±0,001) IO24 . Užrašykite Žemės masę pavidalu

m±h ir dviguba nelygybe. «

34*. a) Įrodykite, kad skaičius 233 +l yra sudėtinis.

b) Įrodykite, kad skaičius 4·IOO400 + 1 yra sudėtinis.

35*. a) Dviženklio skaičiaus skaitmenų suma lygi 11. Jeigu prie to skaičiaus

pridėsime 63, tai gausime skaičių, išreikštą tais pačiais skaitmenimis, bet

užrašytais atvirkščia tvarka. Raskite tą skaičių.

b) Dviženklio skaičiaus skaitmenų kvadratų suma lygi 13. Jei iš šio skaičiaus

atimsime 9, tai gausime skaičių, parašytą tais pačiais skaitmenimis, bet

atvirkščia tvarka. Raskite tą skaičių.

36. a) Dviejų skaičių dalmuo lygus 4. Jei dalinį padidinsime 20 %, o daliklį

sumažinsime 20 %, tai gautųjų skaičių suma bus lygi 7. Raskite dalinį,

b) Dviejų skaičių dalmuo lygus 2. Jeigu dalinį padidinsime 50 %, o daliklį

sumažinsime 25 %, tai gautųjų skaičių suma bus lygi 15. Raskite dalinį.

37*.a) Jei prie duotojo triženklio skaičiaus iš kairės prirašysime skaitmenį 5 ir iš

gauto keturženklio skaičiaus atimsime 3032, tai skirtumas bus 9 kartus didesnis

už duotąjį triženklį skaičių. Raskite šį triženklį skaičių.

b) Jei triženklio skaičiaus xy3 paskutinį skaitmenį perkelsime prieš du

pirmuosius skaitmenis, tai gausime triženklį skaičių 3xy , kuris yra vienetu

didesnis už tris kartus padidintą pradinį skaičių. Raskite pradinį skaičių xy3 .

38*. a) Duotos dvi skaičių aibės: A -skaičiaus 45 natūraliųjų daliklių aibė ir S -

skaičiaus 30 natūraliųjų daliklių aibė. Raskite šių aibių sankirtą AnB .

b) Duotos dvi skaičių aibės: A - skaičiaus 56 natūraliųjų daliklių aibė ir B -

skaičiaus 70 natūraliųjų daliklių aibė. Raskite šių aibių sankirtą AnB .

39*. a) Duotos dvi skaičių aibės: A - skaičiaus 234375 skaitmenų aibė, B - skaičiaus

125582 skaitmenų aibė. Raskite A u B .

b) Duotos dvi aibės: A - natūraliųjų skaičių, skaičiaus 3 kartotinių ir mažesnių

už 20, aibė, B - natūraliųjų skaičių, skaičiaus 4 kartotinių ir mažesnių už 20,

aibė. Raskite Au B .

40*.a) Duotos dvi skaičių aibės: Λ = [θ;3] ir 5 = [l;5], Raskite AuB\ AnB

ir A\B.

b) Duotos dvi skaičių aibės: A = [-3; -l] ir B = [2;oo). Raskite AuB ; AnB

ir A\B .

41*.a) Duotos skaičių aibės Л = [-2; 4); B = (3; 5]. Raskite B\A.

b) Duotos skaičių aibės A = (3; 10]; B = [з; 15). Raskite B\ A.

42*. a) Duotos skaičių aibės: A -skaičiaus 15 daliklių aibė, B - pirminių skaičių,

mažesnių už 10, aibė, C - lyginių skaičių, mažesnių už 9, aibė.

1) Išvardinkite aibių A, B ir C elementus.

2) Raskite AuB , AuC, BnC ,(AuC)nB , AnBnC , A\B,A\C.

b) Duotos skaičių aibės: A - skaičiaus 18 daliklių aibė, B - sudėtinių skaičių,

mažesnių už 12, aibė, C - nelyginių skaičių, mažesnių už 12, aibė.

1) Išvardinkite aibių A, B ir C elementus.

2) Raskite AuB , AuC , BnC ,(AuC)nB , AnBnC , A\B , A\C.

43*. Duotos skaičių aibės A, B ir C. Išvardinkite jų elementus ir raskite Au B ,

BnC , (AuB)nC, AnBnC :

a) A - skaičiaus 12 daliklių aibė, Л-lygties χ2 -6x + 5 = 0 sprendinių aibė,

C - aibė nelyginių skaičių x, tenkinančių dvigubą nelygybę 3 < χ < 12 .

b) A- aibė lyginių skaičių x, tenkinančių dvigubą nelygybę 3 < χ < 10 ,

B - skaičiaus 21 daliklių aibė, C - pirminių skaičių, mažesnių už 12, aibė.

44*. a) Duotos skaičių aibės-intervalai: Λ = [-1;ΐ], S = (-α>; θ), C = [0;2).

Raskite AuC, AnB, AuBuC , (AuB)nC , BnC , A\C, A\B ir

pavaizduokite šias aibes skaičių tiesėje.

b) Duotos skaičių aibės - intervalai: Λ = [θ;3], S = (l; 5), C = (-2;0],

Raskite AuB , AnB, AnC , BuC, AnBnC, (AuB)nC , A\B ,

/4 \ C ir pavaizduokite šias aibes skaičių tiesėje.

45*.a) Duotos skaičių aibės - intervalai: Λ = (-οο;ΐ), 5 = [l;oo), C = (0;l).

Raskite AuB, AnB, AnC, BuC, AnBnC, (AuB)nC ir


b) Duotos skaičių aibės - intervalai: A = [-3; l], B = [2; со), C = (-«>; - 2).

Raskite AuB, AnB, AnC, BuC, AnBnC, (AuB)nC ir


46*. Pateikite pavyzdžių skaičių aibių A ir B tokių, kad:

a) AuB = R , AnB = 0 \ b) Au B = A , AnB = B .

•k * *

2. Skaičiavimai 2.1. Veiksmai su skaičiais

1. a) 5

Apskaičiuokite (1-11):

2 1 -I--

3. a) 5-

.1). l l 2 9)'

. 1 3 .

2 i ' 6

,---( 3--6 \ , 9

5. - ) | 3 | - l f 5 i :(-2,5);

6. a) I 17—1 -16—18—; 1 13j 13 13

b) 6 + 1—- 2 3

b) 1-1 - + 0,3 I.

5-b) 4 + -2-.

1-5

b) 0,9 —-f 4—-1— 1:8,4. 12 1 15 12,

b , | 2 | - 3 f l į : ( - № ) .

b) I 19—I -18—20— 1 IlJ 11 11

7. a) 2 — + f 3- : 3 - 86,45:2,47 ] · 2— ; 21 I, 4 J 21

b) |з|^-2-225:12,5||-2|| + | + 3,35

5 1 2 22 -0,8-3,25 1----1,5-

8· " Й д а b l T i i 49 48 49 14 3

9*. a) į + l,(3); b) į +2,(23). 4 5

10*. a) 1 + ! — ; b) 3 + - 1

I h — 2 + —-1 + - 3 + -

3 2

11*. a) 1+ ' ; b) 2 + — •

2 + — 1 +

3+- 2+1 4 4

12*. Raskite χ, kai

a ) i 2 f x - 5 0 ) : | = 51; b) ^ f 2 x } 3 f = { I

13. a) Sugalvojome skaičių, padidinome j į 2,5 karto, po to atėmėme sugalvoto

skaičiaus pusę ir gavome skaičių 1,99 didesnį už sugalvotąjį. Raskite sugalvotą

skaičių.

b) Sugalvojome skaičių, padidinome jį 3,5 karto, po to atėmėme sugalvotąjį

skaičių ir gavome 2,5 karto didesnį už sugalvotąjį. Raskite sugalvotą skaičių.

14*. a) Raskite upės tėkmės greitį, jeigu per 5 h kateris nuplaukė pasroviui 96,5 km, o per 4,8 h prieš srovę 81,6 km.

b) Raskite upės tėkmės greitį, jei per 7 h garlaivis nuplaukė pasroviui 201,6 km, o per 13,6 h prieš srovę 367,2 km.

15*. a) Raskite tūrį stačiakampio gretasienio, jei jo ilgis lygus 6,9 cm, o plotis 2,5

karto mažesnis už ilgį, o aukštis 0,36 cm mažesnis už plotį,

b) Raskite tūrį stačiakampio gretasienio, jei jo plotis lygus 8,4 cm, ilgis 3,8 cm didesnis už plotį, o aukštis 3,5 karto mažesnis už plotį.

X 16*. a) Raskite visas natūraliąsias χ reikšmes, su kuriomis trupmenos — reikšmė

yra didesnė už 2— , bet mažesnė už 3— . 15 15

y b) Raskite visas natūraliąsias y reikšmes, su kuriomis trupmenos — reikšmė

3 22 mažesnė už 4 — , bet didesnė už 3 — .

23 23

17. a) Vincas nubėgo 90 m atstumą per 14 i, Kęstas IOOm atstumą per 15 i, o

Petras IlOm atstumą per 16 s. Kurio berniuko greitis didžiausias?

b) Marija sudėjo 34 kg uogų į 11 vienodų indelių, Laura-38 kg uogų į 12

vienodų indelių, o Gabrielė - 40 kg uogų į 16 vienodų indelių. Kurios merginos

indeliai yra didžiausios talpos?

18. Knyga, sąsiuvinis ir penalas kartu kainuoja 22,5 Lt. Penalas yra — karto

brangesnis už sąsiuvinį, o knyga — karto brangesnė už penalą. Kiek kainuoja

penalas?

b) Šaukštelis, lėkštutė ir puodukas kainuoja 4,6 Lt. Lėkštutė -j karto brangesnė

už šaukštelį, o puodukas -i karto brangesnis už lėkštutę. Kiek kainuoja

puodukas?

19. a) Įvairius būrelius lanko 120 mokinių. Tai sudaro -^j visų mokinių. Kiek

mokinių mokosi mokykloje ?

2

b) Turistai nukeliavo 80 Am. Tai sudarė — viso numatyto maršruto. Kiek

kilometrų turėjo nukeliauti turistai?

20*. a) Traukinys, važiuodamas pastoviu greičiu, pro stovintį keleivį pravažiuoja per

6 i , o per 350 m ilgio tunelį - per 20 i. Raskite traukinio greitį -m

V s .

b) Traukinys, važiuodamas pastoviu greičiu, pakelės medį pravažiuoja per 7 i ,

o 100 m ilgio tunelį jis pravažiuoja per 20 s. Apskaičiuokite traukinio

greitį φ .

kin km 21*. a) Automobilis pusę kelio važiavo 70 — greičiu, o kitą pusę kelio-90 —

h h greičiu. Apskaičiuokite vidutinį automobilio greitį.

IcfH Icfn b) Automobilis pusę laiko važiavo 70 — greičiu, o kitą pusę laiko - 90 —

h h greičiu. Apskaičiuokite vidutinį automobilio greitį.

22. a) Skaičių y išreikškite dešimtaine trupmena, suapvalinkite iki šimtųjų ir

raskite gautos apytikslės reikšmės absoliutinę ir santykinę paklaidas.

13

b) Skaičių — išreikškite dešimtaine trupmena, suapvalinkite iki di

raskite gautos apytikslės reikšmės absoliutinę ir santykinę paklaidas.

23. a) Suapvalinkite skaičių 3,48 iki vienetų. Raskite gautos apytikslės reikšmės

santykinę paklaidą.

b) Suapvalinkite skaičių 5,76 iki vienetų. Raskite gautos apytikslės reikšmės

santykinę paklaidą.

24. a) Kvadrato kraštinė lygi 3,2 cm. Jo ploto apytikslė reikšmė - 9 cm2. Raskite

šios apytikslės reikšmės absoliutinę paklaidą.

b) Kvadrato kraštinės ilgis lygus 1,8 cm. Jo ploto apytikslė reikšmė-4 cm' .

Raskite šios apytikslės reikšmės absoliutinę paklaidą.

* * 4f

2.2. Procentai

1. Išreikškite procentus dešimtaine trupmena:

a) 5 — % ; 0,4 %; 0,125 % ; - % ; b) 2 — % ; 0,1 % ; 0,25 % ; - % . 25 4 20 5

2. Išreikškite paprastąją trupmeną procentais:

119 3 1 1 3 5 1 4 1 1

700 ' 4 ' 3 ' 8 ' 650 ' 5 ' 6 ' 16 '

3*. a) Skaičius 76 sudaro 40 % duotojo skaičiaus. Raskite šių skaičių aritmetinį

vidurkį.

b) Skaičius 21 sudaro 70% duotojo skaičiaus. Raskite šių skaičių aritmetinį

vidurkį.

4. a) Rinkimuose balsavo 5440 rinkėjų, o tai sudaro 85 % visų sąraše esančių

rinkėjų. Kiek rinkėjų yra sąraše?

b) Abiturientas prieš įskaitą perskaitė 120 vadovėlio puslapių, o tai sudaro 75 %

visų vadovėlio puslapių. Kiek puslapių yra vadovėlyje?

5. a) Bute yra trys kambariai. Pirmojo kambario plotas sudaro 40 % visų trijų 9

kambarių plotų sumos. Antrojo kambario plotas lygus — pirmojo kambario

ploto, o trečiojo kambario plotas lygus 15 m2 . Raskite visų trijų kambarių

plotų sumą.

b) Yra trys krepšiai su kriaušėmis. Pirmajame krepšyje esančių kriaušių

skaičius sudaro 35 % visų kriaušių. Antrajame krepšyje yra ^ pirmajame

krepšyje esančių kriaušių, o trečiajame krepšyje yra 24 kriaušės. Kiek kriaušių

iš viso yra visuose trijuose krepšiuose?

6. a) Kiek procentų cukraus yra sirupe, pagamintame iš 750 g cukraus ir 1250 g

vandens?

b) Lydinyje yra 150 g aukso ir 600 g sidabro. Kiek procentų lydinio masės

sudaro auksas?

7. a) Skaičių padidino 60 %. Keliais procentais reikia sumažinti gautąjį skaičių,

kad gautume pradinį?

b) Skaičių sumažino 25 %. Keliais procentais reikia padidinti gautąjį skaičių,

kad gautume pradinį?

8. a) Trupmenos skaitiklį padidino 10%, o vardiklį sumažino 20%. Kiek

procentų pakito trupmena?

b) Trupmenos skaitiklį sumažino 10%, o vardiklį padidino 20%. Kiek

procentų pakito trupmena?

9. a) Gaunamos produkcijos apimtis padidėjo 10 kartų. Keliais procentais

padidėjo gaunamos produkcijos apimtis?

b) Gaunamos produkcijos apimtis padidėjo 7 kartus. Keliais procentais padidėjo

gaunamos produkcijos apimtis?

10. a) Kvadrato kraštinę padidino 20 %. Keliais procentais padidėjo jo plotas?

b) Kvadrato kraštinę sumažino 30 %. Keliais procentais sumažėjo jo plotas?

11. a) Kvadrato įstrižainė padidėjo 20%. Keliais procentais padidėjo kvadrato

plotas?

b) Kvadrato plotas padidėjo 69 %. Keliais procentais padidėjo jo įstrižainė?

12. a) Skritulio plotas padidėjo 21 %. Keliais procentais padidėjo skritulio

spindulys?

b) Skritulio plotas sumažėjo 36 %. Keliais procentais sumažėjo skritulio

spindulys?

13*. a) Lydinyje, kurio masė 16 kg yra 25% vario. Kiek kg gryno vario reikia

pridėti, kad gautume lydinį, kuriame būtų 40 % vario.

b) Vienas lydinys turi 15 % vario, o kitas — 25 % vario. Po kiek kg reikia paimti

kiekvienos rūšies lydinio, norint gauti 10 kg 20 % vario?

14*. a) Iš 22 kg šviežių grybų gaunama 2,5 kg džiovintų grybų, kuriuose yra 12 %

vandens. Kiek procentų vandens yra šviežiuose grybuose,

b) Šviežiuose grybuose yra 90 % vandens, o džiovintuose 12 % vandens. Kiek

kg džiovintų grybų gaunama iš 22 kg šviežių grybų?

15*. a) Agurkų drėgnumas sumažėjo nuo 95% iki 90%. Keliais procentais

sumažėjo agurkų masė?

b) Vaistažolių drėgnumas padidėjo nuo 90 % iki 95 %. Keliais procentais

padidėjo vaistažolių masė?

16*.a) Džiovinat žolę ji netenka 85 % savo masės. Kiek kg šieno gausime iš 60 kg šviežios žolės?

b) Džiovinant vynuoges, jos netenka 65 % savo masės. Kiek kg razinų

(džiovintų vynuogių) gausime iš 40 kg šviežių?

17. a) Prekė atpigo 20%, o po to dar 15%. Po patikrinimo prekės kainą dar

sumažino 10 %. Keliais procentais sumažėjo prekės kaina, lyginant su pradine?

b) Prekės kaina buvo sumažinta tris kartus atitinkamai 10 %, 20 % ir 25 %.

Keliais procentais sumažėjo prekės kaina, lyginant su pradine.

18*.a) Miesto gyventojų skaičius per dvejus metus padidėjo nuo 20000 iki 22050.

Apskaičiuokite kiek procentų per metus vidutiniškai didėjo gyventojų skaičius?

b) Du kartus sumažinus prekės kainą tuo pačiu procentų skaičiumi, ji atpigo

nuo 200 Lt iki 50 Lt. Keliais procentais buvo mažinama prekės kaina kiekvieną

kartą?

19*.a) Taupomasis bankas kiekvienais metais indėlininkams priskaičiuoja 4 %

sudėtines palūkanas. Per dvejus metus indėlininkas gavo 163,2 Lt palūkanų.

Koks buvo indėlis?

b) Per pastaruosius 2 metus žemės ūkio produktų kainos kasmet mažėjo po 2 %.

Dabar vienas kilogramas paukštienos kainuoja 9,60 Lt. Kokia buvo paukštienos

kilogramo kaina prieš 2 metus?

20*. a) Baldų parduotuvė priima prekes pardavimui pagal sutartį: jeigu prekė nebus

nupirkta, tai jos kaina kiekvieną mėnesį mažės 5 % nuo pradinės.

1) Tegul pradinė prekės kaina 5000 Lt. Raskite, kiek kainuos prekė po 5

mėnesių?

2) Pavaizduokite stulpeline diagrama kainų kitimą per 5 mėnesius.

3) Tegul vienos iš prekių kaina per 3 mėn. sumažėjo 1200 Lt. Raskite

pradinę prekės kainą.

b) Antikvarinė knygų ir paveikslų parduotuvė priima prekes pardavimui pagal

sutartį: jeigu prekė nebus nupirkta, tai jos kaina mažės kiekvieną savaitę 4 %

nuo pradinės.

1) Tegul pradinė knygos kaina yra 200 Lt. Raskite už kiek litų ji bus

parduota po 4 savaičių.

2) Pavaizduokite stulpeline diagrama knygos kainos kitimą 4 savaičių

laikotarpyje.

3) Tegul paveikslo kaina per 3 savaites sumažėjo 30 Lt. Raskite pradinę

paveikslo kainą.

21*. a) Dėžėje yra 450 trijų spalvų rutulių. Baltų rutulių yra 20% mažiau negu

žalių ir geltonų, o geltonų 15% daugiau negu baltų. Kiek žalių rutulių yra

dėžėje?

b) Didmeistris vienu metu žaidė daug partijų. Per pirmąsias dvi valandas jis

laimėjo 10 % visų žaistų partijų, o 8 partijas sužaidė lygiosiomis. Per kitas dvi

valandas didmeistris laimėjo 10 % likusių partijų, dvi partijas pralaimėjo, o

paskutines 7 partijas sužaidė lygiosiomis. Kiek partijų vienu metu žaidė

didmeistris?

22*.a) Indėlis banke per tris metus padidėjo 8 kartus. Kiek procentų sudėtinių

palūkanų buvo priskaičiuojama?

b) Medžių skaičius parke kasmet mažėjo 25 % ir po dvejų metų jų liko 1350.

Kiek medžių buvo parke iš pradžių?

23*. a) Priemaišos sudaro 20% tirpalo tūrio. Kiekvienas filtras sugeria 80%

priemaišų. Per kiek mažiausiai filtrų turi praeiti tirpalas, kad priemaišų kiekis

jame būtų ne didesnis kaip 0,01 % ? (Yra žinoma, kad Ig2 я 0,30 ).

b) 8 ( talpos indas pripildytas deguonies ir azoto mišinio, deguonis užima

16% indo talpos. Iš šio indo buvo išleista dalis mišinio ir įleistas toks pat

kiekis azoto. Po to, kai antrą kartą išleido tokį pat kiekį mišinio ir įleido tiek pat

azoto, mišinyje liko 9 % deguonies. Koks kiekis mišinio kiekvieną kartą buvo

išleidžiamas iš indo?

24*. a) Dviejų produktų pradinė kaina buvo vienoda. Vieno produkto kaina buvo

sumažinta du kartus po 15%, kito - vieną kartą χ % . Koks turi būti skaičius x,

kad po sumažinimo abiejų produktų kaina vėl būtų vienoda?

b) Dviejų personalinių kompiuterių kaina buvo vienoda. Vieno kompiuterio

kaina buvo sumažinta tris kartus po 10 % , kito - du kartus po χ % . Koks turi

būti skaičius x, kad po sumažinimo abiejų kompiuterių kaina vėl būtų vienoda?

25*. a) Pirmas skaičius iš trijų sudaro 40% antrojo, antrasis sutinka su trečiuoju

kaip 5:3, o trečiasis didesnis už pirmąjį 255. Raskite šių skaičių aritmetinį

vidurkį.

b) Pirmasis skaičius iš trijų didesnis už antrąjį 237, antrasis sudaro 35%

trečiojo, o trečiasis sutinka su pirmuoju kaip 3:5. Raskite šių skaičių aritmetinį

vidurkį.

26*. a) 10% visų prekių buvo parduota su 4% pelnu, 30% likusių prekių

parduota su 5 % pelnu. Su kelių procentų pelnu reikia parduoti likusias prekes,

kad visų prekių pelnas būtų 6 % ?

b) Dalis prekių parduota su 4 % pelnu. 20 % likusių prekių parduota su 6 %

pelnu. Kai likusios prekės buvo parduotos su 8 % pelnu, tai bendras visų

parduotų prekių pelnas sudarė 5 %. Kokį procentą sudaro prekės, parduotos su

4% pelnu.

3 Algebra 3.1. Algebriniai reiškiniai

1. Iš duotųjų reiškinių išrinkite reiškinį, kuris nėra vienanaris:

a) 1) Iabc; 2) 16; 3) - ; 4) x10 ; X-

b) 1) 2a 2 - b e ; 2) 1; 3) 6xy; 4) 3x23.

2. Pertvarkykite reiškinį į standartinio pavidalo vienanarį:

a) 24a V c s : (-0,8a63c5); b) 16a563c2 :(-0,4a1 be).

3. a) Išrinkite vienanarius, kurių laipsnio rodiklis lygus 5:

1) Sa5, 2) 2a 263, 3) -4a 5 b 5 , 4) 2a5b2 , 5) Tababe .

b) Išrinkite vienanarius, kurių laipsnio rodiklis lygus 7:

1)7a5 , 2)2267, 3 ) - 4 c V , 4) Ia1b1 a1, 5) -Iabb .

4. Duotus reiškinius išreikškite vienanario kvadratu:

a) 8 I a V ; b) 64a1664.

5. Nustatykite duotųjų daugianarių laipsnį:

a) 1) 4,5/ + Зху3 -2,5л:2 -6xy 6 + y2 ,

2) 5 / + x V - 2 V ° - 4 / - 4 x V ;

b) 1) 3 a V + a 5 - 4 a V - į 2 + 3 0 3 ,

2) m5 - 3 m V + mns - mn - 4m2n2 .

6. Nustatykite, kurie iš duotųjų reiškinių yra racionalieji:

. 3 2 - . 4 χ 2 + J C , . χ2+χ+2 a)1)-лг2 + 7х, 2) 3 ) — γ — ,

5 д:-1 χ' + ]

4) Λ + 2+1, 5) -χΊ--χ , 6)- + 1/2. 3 7 χ

b)l)įx+\x2, 2) i — 3 ) V ^ V . 5 3 x+l

- 2 - τ , ? 4 ) 2 * 5 +* , 6 ) 4 + 3 .

V9 ^2

7. Nustatykite reiškinio apibrėžimo sritį:

a) 1) χ + — , 2) - + 3) Vx + 2 — — — χ X - I x+l x-3

5 ... χ 10 „4 / r 3x b) 1) 7x-— , 2) — — , 3 ) V ^ 5 +

χ x-2 x+2 x-7

8. Raskite reiškinio reikšmę su nurodytomis kintamųjų reikšmėmis:

. - 0 , 6 x 2 - 1 . . . a) ——— , jei χ = -2 ir y = -0,4 ; l-2j> . . -0,8x2 +3 . . , . . , b) — , jei x = -3 ir ^ = -0,6.

-\-3y

9. Suprastinkite reiškinį ir apskaičiuokite jo reikšmę su nurodytomis kintamųjų

reikšmėmis:

a) -3x(2x + y)- 4y(3x - 2y), kai x = -0,1, y = 0,2 ;

b) -2a{3a-b)-3b(4a + 3b), kai a = 0,1, b = -0,2 .

10. a) Iš reiškinio x3-3x2-2x + 6 = (x2-2)-M išreikškite M. Apskaičiuokite

reiškinio M reikšmę, kai χ = 1.

b) Iš reiškinio χ3 + 2x2 + χ+ 2 = (χ2 + ΐ)·Λ/ išreikškite M. Apskaičiuokite

reiškinio M reikšmę, kai χ = -3 .

11. Išreikškite kintamąjį b kintamuoju a: a) 1) α = 2x - 7; b = 2x + 3 ,

2) α = -4x + 5 ; ό = 11-8χ;

b) 1) α = 8-8x; b = 3x-2,

2) a = (x+2)(x + 3); b = x2+ 5x+7.

12*.a) Žinoma, kad (3χ + α)·(χ-4)=3χ2-2х-4а. Raskite a reikšmę ir

apskaičiuokite reiškinio 3x2 -Ix-Aa reikšmę, kai χ = -2 .

b) Žinoma, kad (2х + а) (х-3)= 2x2-х-За. Raskite a reikšmę ir

apskaičiuokite reiškinio 2x2-x-3a reikšmę, kai x = - l .

13. a) Kuriame paveiksle pavaizduotas funkcijos

^ = 2 ( j c- l ) 2 - 8 ^ + 0,5 jfy-0,5 j grafikas?

2) У/\

o -4

3) ,'A

Il χ

b

4) A 4

b) Kuriame paveiksle pavaizduotas funkcijos y = 2(x +1,5)2~s| +

14. Suprastinkite reiškinius (14-27):

a) ( 2 x - 5 y ) { 4 x + 3y)-{x + 2y){5x-6y);

b) (3x - 7y)(2x + 3y)~ (Ax - 5y){3x + y).

15. a) l(y-a){a + y)+la2;

16*. a) J i ± ū E a6+3aĄb2+3a2bĄ+b6

17*.a) (a + bf -3a2b-3ab2;

18*. a) m m + 8

- + -

19. a)

i2 +2m + 4 тг -8 m-2 '

(a-b)(a + b)-{a-b)2

ab-b2 '

x 2-x-6

b) 5(2x-a)(a + 2x)+5a2.

c6 -3c*d + 3c2d2-d2

M 1 • b) {a-2bY +6a2b-I2ab2 .

a 0+18 1 b) — +

a2+3a + 9 аг -27 a-3

(m + /J) 2 - ( M - N ) ( M + N )

m2 n + n2 m

20. a) χ -7x + 12

U4 χ -3x-4

21. a) 9x -9x + 2

6 X2- X - 2

b) IOJCZ — 1 IJC-I- 3

6x2 +jc-2

. 4-a 2a-5 22. a) +

23. a) 4-

a-3 3-a '

5 3

x + 2 x'

, . 4m-3 2m + 1 b) + m-2 2-/я

. . , 4 7 b) 3 - + - .

x-l JC

JC2 +IOJC+ 25 x2-25 24. a) 3

χ +5x * b)

49-14x + x 49-

I X 2 - X I

25*. a) χ + 9 λ 3x2

- 1 8 J C + 27

x-6 Y x2-36 B ) IJC + -

X 2 -

x-2j xi-2x

26*. a) x-4 16

1+4 U2+4X 16-х2 у ' .. ι x + 3 12

—л. , 9a 27*.a) -; --1 :

( з - « ) 2

' α 12α2-9a + г I— α 3 27-α3 α2+3α + 9

L4 α + 2 f 6α 2α I l 4α + 4 b) r:| — +— +-

fl-2 \a3-8 α2 + 2α+ 4 2-a J a-2

Duotą trupmeną išreikškite daugianarių santykiu (28-30):

28. a)

2- — χ .

2 + -

a-b + 3

b) a + b -1

29. a)

1 1 — + —

_£ У_ .

I _ I ' b)

*

У X

30*. a) 1 1 '

1 + -

b) 1

1 + -

Išskaidykite dauginamaisiais (31-37):

31. а) {2х-Ъу){Ъх+2)+{Ъу-2х)(у + 2)· b) (5х-у)(2* + 1)-(у-5*)(у-1).

32. a) l-(m2+3)2; b) 9p2-fap2-з)2.

33. a) 16-(2/12 + 4)2 ; b) (5Аг + 2>2-16*2.

34. a) 9 - m 2 -2mn-n2 ; b) 4m2 + 9n2 + \2mn-49 .

35. a) 25-4x2+4xy-y2; b) 16k2+9p2-24kp-36 .

37*. a) (x-2f -1; b) l-(y-2 f .

38. Duotosios lygties kairėje pusėje esantį daugianarį išskaidykite dauginamaisiais

ir išspręskite gautąją lygtį:

a) χ3 - 4x2 - x + 4 = 0 ; b) x1 +6x2-x-6=0 .

39*. Reiškinius išreikškite dvinario kvadratu:

a) 1) 0 , 2 5 x 2 + y 2 - x y , 2) 9a2 +4b2-\2ab ;

b) 1) 0,0\p2 +4k2-0,4pk , 2) 6,25m2 +4n2-IOmn .

40*. a) Žinoma, kad i - - 3 / 1 = — + bxy2 +9y* . Raskite b.

b) Žinoma, kad

16

/ 2 N2 4 X \ X 2

-6y\ = — + cxy + 36y . Raskitec.

41*.a) Su kuria m reikšme daugianarį x2 +2(m-9)x + (m2 + 3m + 4) galima

išreikšti pilnuoju kvadratu?

b) Su kuriomis a ir b reikšmėmis trinarį \6x2 + \44x +(a+ b) galima išreikšti

pilnuoju kvadratu? Žinoma, kad b-a = - l .

42*.a) Žinoma, kad χ3-8 = (χ-2\м . Išreikškite daugianarį M ir apskaičiuokite

jo reikšmę, kai χ = -1.

b) Žinoma, kad JC3+64 = (* +4)-M . Išreikškite daugianarį M ir apskaičiuokite

jo reikšmę, kai x = -2 .

43*.a) įrodykite, kad reiškinys 256 - 5 " -3-510 dalijasi iš 17;

b) {rodykite, kad reiškinys 367 -613 + 612 dalijasi iš 31.

44*. a) {rodykite, kad su bet kuria χ reikšme reiškinio

(3x - 4)· (7χ + 8)- l,5x(24x + 4)- 5(l - 2x) reikšmė yra neigiama.

b) įrodykite, kad su bet kuria χ reikšme reiškinio

(l 5x -1)2 + 3(7x + 3)(x +1)- (χ2 - 7 з ) reikšmė yra teigiama.

45*.a) Triženklis skaičius turi a šimtų, b dešimčių ir c vienetų. Šio skaičiaus ir tais

pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka užrašyto skaičiaus sumą išreikškite

reiškiniu su kintamaisiais a, b ir c ir j į suprastinkite.

b) Triženklis skaičius turi a šimtų, b dešimčių ir c vienetų. Šio skaičiaus ir tais

pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka užrašyto skaičiaus skirtumą

išreikškite reiškiniu su kintamaisiais a, b ir c ir j į suprastinkite.

3.2. Lygtys

Raskite duotosios lygties nežinomojo χ leistinųjų reikšmių sritį (1-3):

1. a) —Ц-= 3; b ) - 4 - = 2. χ-2 5-2x

2. a) =0 ; b) / ~ 3 =0 . X -X-6 χ +χ-20

X2-I X2-2 3. a) — γ — - — = O; b) * =0 .

4x - 8x + 5 5x2-7x + 4

4. a) Su kuria nežinomojo χ reikšme reiškinių x + l ir 2x-4 suma lygi -12?

b) Su kuria nežinomojo χ reikšme reiškinių x-3 ir 3x-l skirtumas lygus 6?

Ar ekvivalenčios duotosios lygtys (5-7)?

5. a ) l ) ^ ^ + x = 3 ir 5x - 8 + 4x = 12 ,

2) X 2 - 5 X + 6 = 0 ir X 2 - 5 x

x-2 x-2 '

b) 1) (l 5x - l)(x2 +1 δ) = 4(x2 +1 δ) ir 15x -1 = 4 ,

, . X 2 5x-6 . 2 r ^ л 2) = ir χ — Sx + 6 = 0.

x+3 x+3

5 l + x 6. a) 1) = ir 5 = x+l,

x-4 x-4

2) χ2 - 3x + 2 = 0 ir (x-l)(x-2)=0;

5 3x + 2 . , , . b) 1)-r = — ir 5 = 3x+2,

χ +1 χ +1

2) χ2 - 6x + 5 = 0 ir 0,lx2 -0,6x +0,5 = 0 .

7. a) 5x(x+l)(x-2) = 0 ir x(x+l)2(x-2)=0;

b) x2(x + l)(2-x) = 0 ir x(x +1)(2 - x)(x2 -1)= 0 .

Išspręskite lygtis skaidymo dauginamaisiais metodu (8-12):

8. a) (x-3)2 - 4 = 0; b) (χ+1)2-9 = 0.

9. a) 2x3-χ2+4-8x = 0 ; b) χ3+x2-4x-4 = 0 .

10*. a) 1) χ3 -5x = 0 ,

b) 1) χ3 -9x = 0 ,

2) χ4 + χ = 0 ;

2) χ4 +8x = 0 .

11. a) 1) Зх - χ - 27x + 9 = 0 ,

b) 1) 2x3 + χ2 + 6x + 3 = 0,

2) у2(у + \)-2у(у + \)-3(у + \)=0;

2) 2у2(2у-3)+у(2у-3)-2у + 3 = 0

12*.а) 1) X4-I = O1

b) 1) 4 - / = 0 ,

13. Išspręskite lygtis:

a) 1) χ2 -8x + 7 = О ,

b) 1) χ2 + 7x + 12 = 0 ,

2) χ6-64 = 0;

2) χ6 -1 = O .

2) Зх -4x +1 = О ,

2) 4x2+9X+2 = 0,

3) 5x -6x + 2 = 0

3) 6x2 - 8x + 3 = O

14*. a) Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys būtų - л/2 ir л/8 .

b) Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys būtų ir - S .

15*. a) Paveiksle pavaizduotas funk-

cijos y = x4- 5X2+4 grafikas.

Grafiko pagalba išspręskite lygtį

X 4 -5x2 + 4 = 0.

У/

f I b) Paveiksle pavaizduotas funk-

cijos y = χ3 -5x2 +7x-3 grafi- 1 } / о

kas. Grafiko pagalba išspręskite ' 0

lygtį χ3 - 5x2 + 7x-3 = 0. - 3

/

16*. Išspręskite lygtį ir raskite jos šaknų sumą:

a) (3x-5)2 -(l-2x)2 = 0 ; b) (2x-7)2-(5 + 3x)2 =0

17*. Išspręskite lygtį:

a) 9^3*+ —1 -161 3x + - | -25 = 0 ;

«<И)ЧИГ-0· 18*. a) Žinoma, kad 2(8 + x)+ 3y = 50. RaskitexJei .y = 10.

b) Žinoma, kad 3(5 + χ)+ 4y = 70 . Raskite χ, jei jy = -10.

19*. a) Išreiškę nežinomąjį y nežinomuoju x, raskite du lygties 2x + y = 3 sprendinius.

b) Išreiškę nežinomąjį y nežinomuoju x, raskite du lygties 2x-^ = 3

sprendinius.

20*.a) Raskite tokią a reikšmę, kad skaičių pora (a; -4) būtų lygties 3x + 4_y = 17

sprendinys.

b) Raskite tokią a reikšmę, kad skaičių pora (-2 ;a) būtų lygties 2x- y = 9

sprendinys.

21*.a) Su kuriomis parametro a reikšmėmis lygtis x2+ax + 4 = 0 turi 2 šaknis,

kurių viena trimis vienetais didesnė už kitą.

b) Su kuriomis parametro b reikšmėmis lygtis x 2-6x + į = 0 turi 2 šaknis,

kurių viena dvigubai didesnė už kitą.

22*.a) Lygties 5x2+Ax-I = O šaknys yra priešingi skaičiai. Raskite tas šaknis ir

koeficientą k.

b) Lygties 3x2-10x + c = 0 šaknys yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.

Raskite tas šaknis ir koeficientą c.

Nespręsdami lygties, raskite jos sprendinių sumą ir sandaugą (23-24):

23*.a) X 2-3X-5 = 0; b ) x 2 -4x+ l = 0 .

24*.a) 3x2 - 7x + 2 = 0 ; b) 12x2+x-6 = 0 .

Nespręsdami lygties, raskite jos sprendinių kvadratų sumą ir kubų sumą (25-26):

25*.a) χ2 -5x + 6 = 0 ; b) x 2-7x + 12 = 0 .

26*.a) 3x2 -5x-2 = 0 ; b) 3x2+2x-8 = 0 .

27*. a) Su kuria m reikšme lygties x2 -10x + m = O sprendinių kvadratų suma lygi 2?

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygties Ix1 + αχ - 9 = O sprendinių kvadratų

suma lygi 11,25 ?

28*. a) Duota lygtis χ2 - 2aχ + a + 6 = O. Raskite sveikųjų a reikšmių, su kuriomis

duotoji lygtis neturi sprendinių, skaičių.

b) Duota lygtis χ2 +2αχ + 6α-5 = 0 . Raskite sveikųjų α reikšmių, su kuriomis

duotoji lygtis neturi sprendinių, skaičių.

29*.a) Raskite lygties ax2+3x-2 = 0 sprendinių skaičių kiekvienai a reikšmei

(вбЯ) .

b) Raskite lygties ax2 -2x-l = 0 sprendinių skaičių kiekvienai a reikšmei

(aeR).

•k Je *

3.3. Nelygybės

1. Kurie iš šių skaičių 2; ; -3; 3; 1 yra duotosios nelygybės sprendiniai:

a) 1) 2x + 8< 12 , 2) -^->0; a-2

b) 1) y <3y + \, 2 ) z 2 < z ?

2. a) Kurie iš nurodytų skaičių-2,5; 11; 7 yra nelygybės 2x-15>0 sprendiniai?

b) Kurie iš nurodytų skaičių-1; 1,8; 10 yra nelygybės 3x-4<0 sprendiniai?

3*. a) Koks sveikasis skaičius, didesnis už 4, bet mažesnis už 10, yra trijų

kartotinis, bet nedalus iš dviejų?

b) Koks sveikasis skaičius, didesnis už 6, bet mažesnis už 30, yra penkių

kartotinis, bet nedalus nei iš dviejų, nei iš trijų.

4. a) Su kuriomis a reikšmėmis teisingos nelygybės:

1) α+ 18 <22, 2) α+ 100 <103?

b) Su kuriomis b reikšmėmis teisingos nelygybės:

1) b-6>2, 2) į-200 >208?

5. a) Sakykime, M = 6a-{a + 3)2 ir N = {2a - 3)(2a + 3). Kuris iš nurodytų

teiginių yra teisingas?

1) M> N, 2) M > N, 3) M <N , 4) M <N .

b) Sakykime, A = (4 - 3a)(4 + 3α) ir Β = 8α + (4-α)2 . Kuris iš nurodytų

teiginių yra teisingas?

1) A> B, 2) A> B , 3) A<B , 4) A < B .

6*. a) Duota: 5 < χ < 8 i r 6<y<10 . Įvertinkite reiškinių

1) x + y, 2 ) x - y , 3 )-4 y , 4) xy reikšmes.

b) Duota: 2<a<3 ir 9< A < 15 . Įvertinkite reiškinių

1) a + b, 2) a-b, 3) ab, 4) reikšmes. b

7*. a) Išmatavus kambario ilgį a ir plotį b, buvo nustatyta, kad 7,5m <a< 7,6m ir

5,4m ^ b < 5,5m . Ar tiks ši patalpa bibliotekai, kuriai reikia ne mažiau 40 m2 ?

b) α ir β - trikampio kampai. Žinoma, kad 58°<a<59° ir 102°<β<103°.

Nustatykite trečiojo kampo γ didumą.

8*. Kuri iš duotųjų nelygybių yra teisinga su bet kuriomis a ir b reikšmėmis?

a) 1) a(b + a)>ab, 2) a(b + a)>ab,

3)a(b + a)<ab, 4) a(b + a)<ab;

b) 1) 2 ab<a2+b\ 2) lab < a2 + b2 ,

3) lab > a2 + b2 , 4 ) 2 a b > a 2 + b 2 .

9. a) Duota m < 5 < n . Kuri iš duotųjų nelygybių yra teisinga?

1) m-5>O , 2) т - п > 0 , 3 ) 5-л<0 , 4) 5-w < O ;

b) Duota a < 9 < b . Kuri iš duotųjų nelygybių yra teisinga?

1) a-b>0, 2) 9-a>0, 3)9-b>0, 4)9-a<0.

10. a) Kuris iš pavaizduotų skaičių intervalų yra nelygybės 5-x<0 sprendinių

aibė?

1) J////////U ^ 2) ,/////////////л» 3) tjUlUniUo > -5 0 * -5 * 0 5 χ

b) Kurios iš duotųjų nelygybių sprendinių aibė yra pavaizduota šiuo skaičių

intervalu. ^////////////а, 1,5 *

1) 2jc-3>0, 2) 3x-2< 1,5 , 3 )2x-3<0 ,

4) 3x-2 > 0, 5) 3 - 2x < 0 , 6) 2дг-3 <0 .

11. Kurios iš duotųjų nelygybių yra ekvivalenčios (11-14):

a) I) χ2 +3x-2>2 ir χ2+3χ>4,

2) 4jc + - ^ r > 8 + —^ 7 ir 4* > 8 ; x-3 x-3

b) 1) 3x2 <6x ir χ<2 ,

2) 4x + — > 8 +—^r ir 4x>8. x+3 jc + 3

12. a) 1) (х + З)2 >(х-3)(х + 3) ir 6x + 18>0,

2) 2—- > 0 ir 2x -1 > 0 ; χ

b) 1) l-(x+l)2 >(l-x)(l + x) ir 1 + 2x < 0 ,

2) - - ! < 0 ir 2-x< 0 . χ

13*.a) 1) 1—V<0 ir JC 2-1<0 , 2) 2 - 4 - > O ir 2| x\-l > O ; χ 1*1

b) 1) 2--^->0 ir 2x2 -1 > O , 2 )1—— > O ir Į JC |< 1. χ 1*1

14*.a) 1) x(x+3)>-9 ir -x(x + l )<2 ,

2) -χ2 >0 ir x2 + l <0 ;

b) 1) χ2 +2x + 4>0 ir χ2 >-2 ,

2) x(x + l)-(x + l ) 2+x>l ir (x - 2) 2 - x(x - 4) < 0.

15*. Kuri iš šių nelygybių teisinga su visomis kintamųjų χ ir_y reikšmėmis?

a) 1) (x-3) 2+(y-5) 2+4>0, 2) 16x2 + 0 , 8 l / > 0 ;

b) 1) 225x2 + \Ty2 + \> 0, 2) (х-4)2 +(х2-1б)2 >0 .

16*. Ar yra tokia m reikšmė, su kuria duotosios nelygybės neteisingos?

a) 1) |m-5| + |4-m|>0, 2)|5m-4|>0;

b) 1) 25m2-10m + 4>0 , 2) 4m2-12m + 9 > 0 .

17. Išspręskite nelygybes ir atsakymus pavaizduokite skaičių ašyje.

a ) D ^ t i _ l z £ > 2 , 2) I(3x-l)+^<7x+10,l;

b) i ) _£<3χ-1± , 2) 4-—x> ——-(4x-3). 2 4 2 8 6V '

18*. Įrodykite, kad su kiekviena kintamojo reikšme nelygybės yra teisingos.

a) 1) 2x2 -3 > 12x-21, 2) \2b-\< 6b2 + 5 ;

b) 1) 6α-5^3α 2-2 , 2)5/+32:20/-17.

19*. a) Įrodykite, kad jei χ > y , y > 4 , tai 19x > Ty + 48 .

b) Įrodykite, kad jei a>b, 6 > 2 , tai 10a > 36 +14 .

20*. a) Duota χ + y £ 4 . Įrodykite, kad x2 + y2 > 8 .

b) Duota χ+y ž 6. Įrodykite, kad x2 + y2 > 18 .

21. a) Raskite mažiausią sveikąjį skaičių, tenkinantį nelygybę

27-х 27-9x 49,4-——— < 47,4- . 10 10 b) Raskite didžiausią sveikąjį skaičių, tenkinantį nelygybę

i(2x+l)-0,2(3x+l)>-y.

22*. a) Su kuriomis a reikšmėmis lygties a + 2x = 1 sprendinys nedidesnis už lygties

3x-4a = 9 sprendinį?

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygties 2x-a-l sprendinys nedidesnis už

lygties 5α + 3χ = 11 sprendinį?

23*. a) Aistės namas yra 800 m atstumu nuo mokyklos ir 500 m atstumu nuo Agnės

namo. Kokiu atstumu nuo mokyklos galėtų būti Agnės namas?

b) Kelionėje nuo namų iki stadiono Gediminas sugaišta 20 mirt, o nuo namų iki

mokyklos 12 min. Kiek laiko Gediminas gali sugaišti kelionėje nuo mokyklos

iki stadiono?

24*. a) Ūkininkas veža bulves maišuose po 40 kg sunkvežimiu, kurio masė be

krovinio 4500 kg. Kokį kiekį maišų galima pakrauti į sunkvežimį, kad jis galėtų

pervažiuoti per upės tiltą, kurio keliamoji galia 7 tonos?

b) Automobilių nuomos punkte galima išsinuomoti automobilį, mokant 40 Lt už parą ir po 0,8 Lt už kiekvieną pravažiuotą kilometrą. Šeima nori išsinuomoti

automobilį 5 paroms. Kiek kilometrų galės nuvažiuoti automobilis, kad kelionei

užtektų 2000 Ltl

A A λ

3.4*. Skaičių sekos

1*. a) Parašykite pirmuosius penkis lyginių dviženklių natūraliųjų skaičių sekos

narius.

b) Parašykite pirmuosius penkis nelyginių dviženklių natūraliųjų skaičių sekos

narius.

2*. a) Seką sudaro skaičiai, kuriuos dalijant iš 4 gaunama liekana 3. Parašykite

pirmuosius penkis šios sekos narius.

b) Seką sudaro natūralieji skaičiai, kuriuos dalijant iš 5 gaunama liekana 2.

Parašykite pirmuosius penkis šios sekos narius.

3*. a) Seką sudaro skaičių 4, 6, ir 8 bendri kartotiniai, išdėstyti didėjimo tvarka.

Parašykite keturis pirmuosius šios sekos narius.

b) Seką sudaro skaičių 2, 3 ir 5 bendri kartotiniai, išdėstyti didėjimo tvarka.

Parašykite keturis pirmuosius šios sekos narius.

4*. a) Seką sudaro natūralieji dviženkliai skaičiai, kuriuos dalijant iš 4 gaunama

liekana 2. Parašykite penkis pirmuosius šios sekos narius,

b) Seką sudaro natūralieji dviženkliai skaičiai, kuriuos dalijant iš 3 gaunama

liekana 1. Parašykite penkis pirmuosius šios sekos narius.

Užrašykite duotųjų sekų л-ojo nario formules (5-15):

5*. a) 9; 27; 81; 243; b) 2; 9; 28; 65; 126;

6*. a) 1; 4; 9; 16 b) 1; 8; 27; 64;

7*. a) 1)5; 10; 15; 20; 25; b) 1)9; 16; 25; 36; 49; ...

8*. a) -1; -3; -5; -7 b) -2; -4; -6; -8;

9*. a) 4; 8; 12; 16; b) 3; 6; 9; 12;

b) - ; — ; — ; — 4 16 64 256

ii*·») - ; 2 3 4 5_

1 ' 2 ' 3 ' 4 ь) t; I 3 I Z

3 ' 5 ' 7 ' 9

12*. a) 2; 1 1 1 2 ' 3 ' 4

b) 0; 1 . 1 . 1 ' 2 ' 3 ' 4

13*. a) -3' 4 ' 5 ' 6 '

b) -I l Z A 4' 6 ' 8 ' 10

15*.a) 2; -2; 2; -2; b) -l ; i; - i ; 1;

16*.a) 12; 36; 60; 84; b) 14; 42; 70; 98

17*.a) -7; -10; -13; -16 b) -5; -7; -9; -11

18*. Parašykite pirmuosius šešis sekos narius, kai seka apibrėžta rekurentine

formule:

a) C1=O, c 2 = l , cn=cn_2-cn_i, kai n>3;

19*.a) Seka (x n ) apibrėžta rekurentiškai: Xl=ItX2 =2,

xn+2 = n • xn+i + (- O" 1 xn > "gN . Raskite šios sekos šeštąjį narį.

b) Seka (x„) apibrėžta rekurentiškai: X1 = 1, X2 = - 2,

xn+2 =x„+1 +(-2)" n -xn. Raskite šios sekos penktąjį narį.

Remdamiesi n-tojo nario formule, parašykite pirmuosius penkis sekos

narius (18-28):

20*.a) a„ =n-5 ; b ) a „ = n + 3.

b) ό, =-1 , b2 =-2, bn = ^ i . , kai n> 3.

21*. a) a„=2n2-n\

23*. a) an = 6n-n2 - 5 ;

22*. а) а„=я2-1; b) a„ =n2 + 2 .

b) an =5n-n2 -6 .

25*. a) a„ 3/1-1

/ I

(-1)" 26*. a)

3/1-

27*.a) β, =(-1)".И;

28*. а) а п = Iog3 2";

29*.а) ап = 2sin(30°· л);

30*.а) а, =2, АП = (Л + 1)й„_,, kai л>1;

31*.a) д, = 1, α„=αη_ι+5, kai л> 1;

(-ι)"+1 32*.a) а, =1, =-— , kai л > 1;

2an-1

и г n

b) a„ =Iog, 10".

4

b) a„ =2cos(45°-«).

a n - \ b) ax = 1, an = , kai n > 1 .

n + 2

b) a, = 2, an =an_, +2, kai и > 1.

b) a,=3, an =(-l)" an-\, kai «>1.

33*. a) Parašykite pirmuosius keturis sekos (x„) narius, jei jc, = 7 ir x„+, = 10дг„.

b) Parašykite pirmuosius keturis sekos (an) narius, jei а, =-10 ir an+l = —. an

34*.a) Seka (x„) apibrėžta rekurentiškai: X1= 2 ir xn=xn_,+10.

1) Raskite pirmuosius penkis šios sekos narius.

2) Išreikškite duotąją seką л-tojo nario formule.

3) Raskite 100-ąjį sekos narį.

b) Seka (x„) apibrėžta rekurentiškai: x, = 4, x„ = x„_, - 3 .

1) Raskite pirmuosius penkis šios sekos narius.

2) Išreikškite duotąją seką л-tojo nario formule.

3) Raskite 100-ąjį sekos narį.

35*. a) Už automobilio stovėjimo pirmąją valandą mokama 2 Lt, o už kiekvieną

sekančią pilną ar nepilną valandą mokama 1,2 Lt. Parašykite formulę, pagal

kurią būtų galima apskaičiuoti kainą už л stovėjimo valandų. Kiek savininkas

mokės už automobilio stovėjimą, jei automobilis stovės 20 vai 40 min\ 10 parų?

b) Benas pradėjo kasdien lankytis baseine. Pirmą dieną jis plaukiojo 10 min, o

kiekvieną sekančią dieną plaukimo laiką pailgindavo 1,2 karto, lyginant su

praėjusia diena. Parašykite formulę pagal kurią būtų galima apskaičiuoti, kiek

minučių Benas plaukiojo л-tąją lankymosi baseine dieną. Remdamiesi šia

formule, apskaičiuokite, kiek minučių Benas plaukiojo 5-ąją ir 11-ąją

lankymosi baseine dieną.

36*. Kurios iš duotųjų sekų yra didėjančios, o kurios yra mažėjančios?

a) 1) 1; 4; 9; 16; 25; ... , 3) 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... ,

2> 7 Σ ' - > 4)-2; 2;-2; 2;-2; 2; . . . ; 2 4 8 16

b) 1) 1; 8; 27; 64; 125;..., 3) ; i ; Ą ; j ; . . . ,

2) 1; —; - ; - ; - ; . . . , 4) 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361;... . 2 3 4 5

37*. a) Seka (a„) išreikšta «-tojo nario formule a„ = " + 1 . Raskite as ir sekos v " 2n + 5

nario, lygaus , numerį.

8/1 3 b) Seka (a„) išreikšta /г-tojo nario formule a„ = . Raskite a6 ir sekos

\ m 2n + 7

nario, lygaus 3-^ , numerį.

38*. a) Duota seka a„ = 32л - Sn2 + 7 .

1) Kiekjoje yra teigiamų narių?

2) Raskite didžiausią šios sekos narį.

b) Duota seka a„ = 3n2 -38n -11.

1) Kiekjoje yra neigiamų narių?

2) Raskite mažiausią šios sekos narį.

39*.a) Seka (a„) apibrėžta «-tojo nario formule a„= 10 + 9n-2n2. Raskite šios

sekos didžiausiąjį narį.

b) Seka (b„) apibrėžta л-tojo nario formule b„ = n2-I7n + 2l. Raskite šios

sekos mažiausiąjį narį.

40*.a) Seka (a„) apibrėžta n-tojo nario formule a„ = n2 -42n-2 . Raskite šios

sekos didžiausiąjį narį.

b) Seka (b„) apibrėžta n-tojo nario formule a„ =3 + 38л-л2. Raskite šios

sekos mažiausiąjį narį.

n —2 41*.a)Seka (a„) apibrėžta formule a„ =

n2 + 20' 1) Raskite šios sekos didžiausio nario numerį.

2) Apskaičiuokite šį didžiausią narį.

b) Seka (an) apibrėžta formule an = 2л + 2

Зл +60 1) Raskite šios sekos didžiausio nario numerį.

2) Apskaičiuokite šį didžiausią narį.

42*. Koks pirmojo sekos (a„) nario, tenkinančio nurodytą nelygybę, numeris, kai

a) an = 7я-5

Зл + 1 ' <0,01; b) |a„+3|<0,01?

j — Zn

43*. a) Kurie sekos xn • 2л-1

л + 1 nariai tenkina nelygybę \x„ - 2| < 0,3 ?

2 л +1 b) Kurie sekos xn = —-— nariai tenkina nelygybę Ixn - 21 < 0,1 ?

л-1

44*.Seka (an) apibrėžta formule an = In2 - Wn + 442 . Ar yra šios sekos narys

skaičius:

a) 463; b) 876?

Atsakymą pagrįskite. Jeigu taip, tai nurodykite šio nario numerį.

45*.Seka (xn) apibrėžta formule x„=——-. Koks pirmojo sekos (x„) nario, Зл + 2

tenkinančio nurodytą nelygybę, numeris:

4 a) <0,1; b)

4 х"-з <0,001?

* * *

3.5*. Progresijos

1*. Duotos skaičių sekos. Nurodykite, kurios iš jų yra aritmetinės progresijos.

a) 1) 1; 3; 5; 7; ... , 3)2;-3;4;-5; ... ,

1 2 3 4 2) 1-2; 2-3; 3-4;... , 4) - ; - ; - ; . . . ;

2 3 4 5

b) 1) 1 + 2; 2 + 3; 3 + 4; 4 + 5 ; . . . , 3)-3; 2; 0; 5; 3; . . . ,

2) 9; 6; 3; 0; —3; ... , 4) 2; 1; 5; 1; 0; 5.

2*. a) Nustatykite, ar seka yra aritmetinė progresija. Jei taip, apskaičiuokite

aritmetinės progresijos skirtumą d ir dar du sekančius narius:

1) 1; 4; 7; 10; 13;... ; 2) 2; 4; 8; 16; 32;... ;

3) 5; 5; 5; 5; ... ; 4) -2; 2; -2 ; 2; ... ;

5 ) 1 ; - ; - ; - ; . . . ; 6 ) U 2? ; T2?; " ;

7) 4; 9; 16; 25; ... ; 8) 6; -1; -8; ... .

b) Nustatykite, ar seka yra aritmetinė progresija. Jei taip, apskaičiuokite

aritmetinės progresijos skirtumą d ir dar du sekančius narius:

1) 2; 8; 32; 128; ... ; 2) 3; 0; -3; -6; -9; ... ;

3) 1;-; - ; — ; ... ; 4) 8; 8; 8; 8; ... ; 4 9 16

5) 1; | ; 2; j ; ... ; 6) 27; 9; 3; 1; ... ;

7) 1; 5; 9;... ; 8) 1; -2; 4; -8; ... .

3*. a) Turizmo bazėje galima išsinuomoti valtį. Už pirmą parą reikia mokėti 10 Lt, o už kiekvieną kitą pilną ar nepilną parą - 5,5 Lt. Kiek litų reikia užmokėti už

valtį, paimtą vienai, dviems, trims, keturioms, penkioms paroms? Ar gautieji

skaičiai sudaro aritmetinę progresiją?

b) Formulė C = (F - 32) nusako ryšį tarp Celsijaus skalės ir Farenheito

skalės temperatūrų, F-laipsnių skaičius pagal Farenheitą, o C -

laipsnių skaičius pagal Celsijų. Apskaičiuokite C, jei F įgyja reikšmes 41, 42,

43, 44 ir 45. Ar gautieji skaičiai sudaro aritmetinę progresiją?

4*. Seka (a„) apibrėžta bendrojo nario formule. Ar ši seka yra aritmetinė

progresija? Atsakymą pagrįskite.

a) a„ = l-2n; b) an = 3/1-1.

5*. a) Raskite dvidešimt trečiąjį aritmetinės progresijos -15; -12; - 9; . . . narį.

b) Raskite aštuonioliktąjį aritmetinės progresijos 72; 67; 62; ... narį.

6*. a) Duota aritmetinė progresija, kurios ax = 25,5 ir a9 = 5,5 . Ar skaičius 14,5 yra

šios progresijos narys? Jeigu taip, tai koks yra šio progresijos nario numeris?

b) Duota aritmetinė progresija, kurios я, = 11,6 ir я15 = 17,2 . Ar skaičius 30,4

yra šios progresijos narys? Jeigu taip, tai koks yra šio progresijos nario numeris?

7*. a) Įrašykite visus praleistus aritmetinės progresijos 60, ... , 39 narius, jei

progresijos skirtumas lygus - 3 .

b) Parašykite pirmuosius septynis aritmetinės progresijos narius, jei žinoma,

kad progresijos skirtumas lygus 12, o aštuntasis narys lygus 54.

8*. a) Tarp skaičių 3 ir 27 įrašykite penkis skaičius taip, kad gautumėte aritmetinę

progresiją. Užrašykite šią aritmetinę progresiją.

b) Tarp skaičių 5 ir 8 įrašykite penkis skaičius taip, kad gautumėte aritmetinę

progresiją. Užrašykite šią aritmetinę progresiją.

9*. a) Duota aritmetinė progresija 3; 3,2; 3,4; Kuriuo nariu pradedant

kiekvienas šios progresijos narys yra didesnis už 1000?

b) Duota aritmetinė progresija 1; 1,4; 1,8;.... Kuriuo nariu pradedant kiekvienas

šios progresijos narys yra didesnis už 1601?

10*.a) Duota aritmetinė progresija -12;-10,5; - 9; - 7,5 , ... . Ar skaičius 48 yra

šios progresijos narys? Jei taip, tai koks to nario numeris,

b) Duota aritmetinė progresija 2,7; 2,4; 2,1; 1,8; ... . Ar skaičius -2,7yra šios

progresijos narys. Jei taip, tai koks to nario numeris.

11*.a) Aritmetinės progresijos an = 37,7-0,3л . Raskite didžiausią neigiamą

progresijos narį.

b) Aritmetinės progresijos я„ = 0,7л -35,1. Raskite mažiausią teigiamą

progresijos narį.

12*. a) Duota aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys lygus 1,2 , o skirtumas yra

0,3. Ar skaičius 113 yra tos progresijos narys. Atsakymą pagrįskite,

b) Duota aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys lygus 1,5, o skirtumas yra

0,6. Ar skaičius 61,5 yra tos progresijos narys? Atsakymą pagrįskite.

13*.a) Seka (a„) išreikšta formule я„ = 4 л +1.

1) Parašykite pirmuosius tris sekos narius.

2) Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

3) Vienas iš sekos narių lygus 93. Raskitejo numerį.

b) Seka (x„) išreikšta formule дсл =5 — 3n .

1) Parašykite pirmuosius tris sekos narius.


3) Vienas iš sekos narių lygus - 121. Raskitejo numerį.

14*.a) Aritmetinės progresijos a6 = 3 ir d = 1,5 .

1) Apskaičiuokite pirmąjį šios progresijos narį.

2) Parašykite /г-tojo nario formulę.

3) Ar skaičius 12,5 yra šios progresijos narys? Atsakymą pagrįskite,

b) Aritmetinės progresijos an = 28 ir a, = - 2 .

1) Apskaičiuokite aritmetinės progresijos skirtumą.

2) Parašykite «-tojo nario formulę.

3) Ar skaičius 30 yra šios progresijos narys? Atsakymą pagrįskite.

15*.a) Sekos (a„) bendrojo nario formulė yra a„ = - 2« +13.


2) Parodykite, kad pirmųjų n narių suma Sn = n (l 2 - n) .

3) Su kuria n reikšme pirmųjų n narių suma įgyja didžiausią reikšmę?

b) Sekos (bn) bendrojo nario formulė yra bn = 2/1-17 .


2) Parodykite, kad pirmųjų n narių suma Sn = «(« - 1б) .

3) Su kuria n reikšme pirmųjų n narių suma įgyja mažiausią reikšmę?

16*. a) Sekos (an) pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę

Sn = In1 +3« . 1) Raskite dvyliktąjį šios sekos narį.

2) Parašykite šios sekos «-to jo nario formulę.


b) Sekos (a„) pirmųjų n narių suma lygi Sn = 3n2 + 2n . 1) Raskite aštuntąjį šios sekos narį.

2) Parašykite šios sekos и-tojo nario formulę.


17*.a) Aritmetinės progresijos (a„) pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal

formulę Sn = 4n2 -3« . Raskite pirmuosius tris tos progresijos narius,

b) Aritmetinės progresijos (a„) pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal

formulę Sn = 5 n2 . Raskite pirmuosius tris tos progresijos narius.

18*.a) Seka (bn) išreikšta bendrojo nario formule bn =3-2".

1) Įrodykite, kad ši seka yra geometrinė progresija.

2) Raskite šios progresijos pirmųjų dvylikos narių sumą.

b) Seka (a„) išreikšta bendrojo nario formule an = 4л + 7 .

1) [rodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

2) Raskite šios progresijos pirmųjų trisdešimties narių sumą.

19*.a) Aritmetinės progresijos bendrasis narys a„ = 18-Зл .

1) Raskite pirmųjų 20 narių sumą.

2) Kelių progresijos narių (pradedant nuo pirmojo) suma yra didžiausia?

b) Aritmetinės progresijos bendrasis narys a„ = 4n - 25 .

1) Raskite pirmųjų 10 narių sumą.

2) Kelių progresijos narių (pradedant nuo pirmojo) suma yra mažiausia?

20*. a) Aritmetinės progresijos pirmųjų л narių suma apskaičiuojama pagal formulę

5л=л2+11л. Jos paskutinis narys lygus 50. Raskite šios progresijos narių

skaičių.

b) Aritmetinės progresijos pirmųjų л narių suma apskaičiuojama pagal formulę

Sn = n2 +5n . Jos priešpaskutinis narys lygus 20. Raskite šios progresijos narių

skaičių.

21*.a) Aritmetinės progresijos a, = 3 , d = 1. Parašykite л-tojo nario formulę ir

raskite a19.

b) Aritmetinės progresijos a, = - 4 , d = 9 . Parašykite л-tojo nario formulę ir

raskite an.

22*.a) Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) nežinomus narius:

1) -4 ; 17; α3; a4 .

2) e,; -6; e3; -46 .

3) 7,5; a2; a3; -3,9.

b) Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) nežinomus narius:

1) «ι; аг\ 7; - 5.

2) 6; a2\ 18; aA .

3) - 2; O2; a3' ·

23*. a) Kopdamas į kalną, turistas per pirmąją valandą pakilo 800 лг, o per

kiekvieną tolesnę - 25 m mažiau negu per ankstesnę valandą. Per kiek valandų

turistas įkopė į 5700 m aukščio kalną?

b) Bėgikas per pirmąją minutę nubėgo 400 m, o kiekvieną sekančią minutę

nubėgdavo 5 m mažiau, negu praėjusią. Kokį kelią nubėgo bėgikas per

1 valandą?

24*. a) Koncertų salėje 15 eilių ir kiekvienoje eilėje vietų yra 2 daugiau, negu prieš

tai esančioje. Paskutinėje eilėje yra 35 vietos. Kiek iš viso vietų yra koncertų

salėje?

b) Universiteto didžiojoje auditorijoje 1-oje eilėje yra 20 vietų, o kiekvienoje

sekančioje eilėje 4 vietomis daugiau, negu prieš tai esančioje. Iš viso

auditorijoje yra 16 eilių. Kiek iš viso vietų yra auditorijoje.

25*. a) Autolenktynininkas bandė naują mašiną. Pirmąją dieną jis nuvažiavo

20 km, o kiekvieną sekančią dieną nuvažiuotą atstumą didino 1,5 karto. Kiek

kilometrų nuvažiavo autolenktynininkas per savaitę. Atsakymą pateikite 1 km

tikslumu.

b) Laiškanešys pastebėjo, kad likus penkioms dienoms iki švenčių, laiškų

skaičius kasdien didėja 1,5 karto. Kiek laiškų jis išnešios per penkias

prieššventines dienas, jei pirmąją dieną išnešiojo 32 laiškus.

26*. a) Firma sausio mėnesį pagamino 106 šarvuotas duris, o kiekvieną sekantį

mėnesį 28 durimis daugiau negu prieš tai buvusį. Kiek durų firma pagamino

lapkričio mėnesį?

b) Knygrišykla sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną sekantį mėnesį 8

knygomis daugiau negu prieš tai buvusį. Kiek knygų buvo įrišta gruodžio

mėnesį?

27*. a) Raskite lyginių skaičių nuo 30 iki 98 sumą.

b) Raskite nelyginių skaičių nuo 15 iki 85 sumą.

28*. a) Raskite natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 500 sumą.

b) Raskite natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 1500 sumą.

29*. a) Raskite sumą visų natūraliųjų dviženklių skaičių,

b) Raskite sumą visų natūraliųjų triženklių skaičių.

30*. a) Apskaičiuokite sumą visų natūraliųjų lyginių triženklių skaičių, kurie

dalijasi iš 3.

b) Apskaičiuokite sumą visų natūraliųjų lyginių dviženklių skaičių, kurie

dalijasi iš 3.

31*. a) Raskite sumą visų natūraliųjų dviženklių skaičių, kuriuos dalijant iš 3

liekana yra 2.

b) Raskite sumą visų natūraliųjų dviženklių skaičių, kuriuos dalijant iš 4

liekana yra 1.

32*. a) Raskite sumą visų natūraliųjų triženklių skaičių, kuriuos dalijant iš 3

liekana yra 2.

b) Raskite sumą visų natūraliųjų triženklių skaičių, kuriuos dalijant iš 4

liekana yra 3.

33*. a) Raskite sumą visų dviženklių natūraliųjų skaičių, kurie nesidalija iš 6.

b) Raskite sumą visų dviženklių natūraliųjų skaičių, kurie nesidalija iš 5.

34*.a) Tarp skaičių 6 ir 30 įrašykite penkis skaičius taip, kas šie skaičiai, kartu su

duotaisiais, sudarytų aritmetinę progresiją.

b) Tarp skaičių - 7 ir 23 įrašykite tris skaičius taip, kad šie skaičiai kartu su

duotaisiais, sudarytų aritmetinę progresiją.

35*.a) Parašykite aritmetinės progresijos 1; 8; 15; ... л-tojo nario formulę.

Nustatykite, ar skaičiai 88 ir 99 yra šios progresijos nariai. Jeigu yra, tai

nurodykite jų numerį.

b) Parašykite aritmetinės progresijos 15; 11; 7; ... л-tojo nario formulę.

Nustatykite, ar skaičiai -105 ir -200 yra šios progresijos nariai. Jeigu yra, tai

nurodykite jų numerį.

36*. a) Duota aritmetinė progresija (a„), kurios pirmasis narys lygus -21, o

pirmųjų septyniolikos narių suma lygi 595. Raskite tos progresijos

septynioliktąjį narį ir skirtumą.

b)Duota aritmetinė progresija {an), kurios pirmasis narys lygus - 5 , o

pirmųjų dvidešimttrijų narių suma lygi 1909. Raskite tos progresijos

dvidešimttrečiąjį narį ir skirtumą.

37*. a) Trys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją. Pirmųjų dviejų skaičių suma lygi

25, o antrojo ir trečiojo skaičių suma lygi 39. Raskite tuos skaičius,

b) Trys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją. Pirmųjų dviejų skaičių suma lygi

171,o trečiasis skaičius didesnis už pirmąjį 6 kartus. Raskite tuos skaičius.

38*.a) Trijų skaičių, sudarančių aritmetinę progresiją, suma lygi 87. Trečiasis

skaičius yra mažesnis už pirmųjų dviejų sumą 5 vienetais. Raskite tuos skaičius,

b) Trijų skaičių, sudarančių aritmetinę progresiją, suma lygi 162. Pirmųjų

dviejų skaičių suma yra 12 vienetų didesnė už antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

Raskite tuos skaičius.

39*. a) Lėktuvas pradėjo leistis būdamas 8000 m aukštyje nuo Žemės paviršiaus.

Pirmąsias 10 minučių jis leidosi po 500 m per minutę.

1) Parašykite formulę aukščio, kuriame bus lėktuvas po n minučių nuo

leidimosi pradžios, skaičiavimui.

2) Remdamiesi šia formule apskaičiuokite, kokiame aukštyje bus lėktuvas

po 3 min nuo leidimosi pradžios, po 8 min nuo leidimosi pradžios.

3) Kurią minutę lėktuvas bus pakilęs žemiau, negu 4000 m nuo Žemės

paviršiaus?

b) Mykolas turi 10 Liir kasdien turimą pinigų sumą didina dviem litais.

1) Parašykite formulę, išreiškiančią pinigų sumą cn, kurią Mykolas turės

po n dienų.

2) Remdamiesi šia formule apskaičiuokite, kiek pinigų turės Mykolas po 20

dienų, po 30 dienų.

3) Mykolas nori nusipirkti kompaktinių plokštelių komplektą už 90 Lt. Po

kelių dienų jis turės šią pinigų sumą?

40*. a) Sveikųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija / (n )=2-6n , ne Z.

Apskaičiuokite: /(-19)+/(-18)+...+/(ΐ9)+/(2θ).

b) Sveikųjų skaičių aibėje apibrėžta funkcija f(n)=3 + 4n, ne Z.

Apskaičiuokite: / (- 15)+ / (- 14)+ /(-13)+...+/(14)+ /(15)+ /(1 б).

41*.a) Raskite skaitinio reiškinio I2 +32 +52 +...+792 -2 2-4 2-6 2 -...-802

reikšmę.

b) Raskite skaitinio reiškinio I2 +52 +92 +...+ 812 -42 -82 -122 -...-842

reikšmę.

42*.a) Raskite didėjančios aritmetinės progresijos dvidešimt antrąjį narį, kai

Ci6-Ms = - 1 i r O 2 - O 1 2 = - 1 .

b) Raskite didėjančios aritmetinės progresijos vienuoliktąjį narį, kai

O4:o6 = -1 ir a2 • O8 = -1 .

43*. a) Aritmetinės progresijos (o„) septintasis narys O7= 9.

1) Parodykite, kad O1 a2 -O7 = 2 7 ( l 0 d 2 - Ш + п ) .

2) Su kuria aritmetinės progresijos skirtumo d reikšme sandauga

O 1 - O 2 - O 7 įgyja mažiausią reikšmę?

b) Aritmetinės progresijos (an) penktasis narys O5 = 8.

1) Parodykite, kad o, • o3 · o5 = 64(d2 -6d + i) .

2) Su kuria aritmetinės progresijos skirtumo d reikšme sandauga

O 1 - O 3 - O 5 įgyja mažiausią reikšmę?

44*.a) Raskite visų teigiamų aritmetinės progresijos 4,6; 4,2; ... narių sumą.

b) Raskite visų neigiamų aritmetinės progresijos -102; -99; ... narių sumą.


45*. a) -3,1 + (-4,6)+...+ (-45,1); b) 3+1,6 + 0,2 + ... + (-23,6).

46*. a) 9 _ 3 1 _ 3 5 _ _ 45

4 12 12 " ' 4 '

25 71 67

2 6 6

,5

2

47*. a) 98,3 + 94,7 + 91,1 + ... + 22,7 ; b) 59 301 307 83

48*.a) 71 + 67 + 63 + ...-53 ; b) 53 + 50 + 47 + . . .-4 .

49*. a) Žinoma, kad laisvai krintantis kūnas, neskaitant oro pasipriešinimo, pirmąją

sekundę nukrenta 4,9 m, o kiekvieną sekančią sekundę 9,8 m daugiau negu prieš

tai buvusią. Kokį atstumą nukris kūnas per 5 s nuo kritimo pradžios ir per

penktąją sekundę?

b) Rutulys juda nuožulniąja plokštuma. Pirmąją sekundę rutulys nuriedėjo

0,5 m, o kiekvieną sekančią sekundę 0,6 m daugiau, negu prieš tai buvusią.

Kiek metrų jis nuriedės per IOi nuo riedėjimo pradžios ir per dešimtąją

sekundę?

50*.a) Laisvai krisdamas vakuume daiktas per pirmąją sekundę nukrenta 4,9m, o

kiekvieną sekančią sekundę 9,8 m daugiau negu praėjusią.

1) Kiek metrų daiktas nukris per 11-tą sekundę?

2) Kiek metrų daiktas nukris per 11 sekundžių?

3) Kiek laiko daiktas kris iš 4410 m aukščio?

b) Laisvai krisdamas vakuume daiktas per pirmąją sekundę nukrenta 4,9 m, o

kiekvieną sekančią sekundę 9,8 m daugiau negu praėjusią.

1) Kiek metrų daiktas nukris 17-tą sekundę?

2) Kiek metrų daiktas nukris per 17 sekundžių?

3) Kiek laiko daiktas kris iš 7840 m aukščio?

51*. a) Duota aritmetinė progresija-17; -16,6; -16,2; . . . . Raskite pirmojo teigiamo

jos nario numerį.

b) Duota aritmetinė progresija 19,2; 19; 18,8; ... . Raskite didžiausio neigiamo

šios aritmetinės progresijos nario numerį.

52*.a) Aritmetinės progresijos bendrasis narys an = 51-Зл . Raskite visų teigiamų

tos progresijos narių sumą.

b) Aritmetinės progresijos bendrasis narys an =5/1-100. Raskite visų

neigiamų tos progresijos narių sumą.

53*.a) Aritmetinės progresijos pirmasis narys yra 429, o jos skirtumas lygus-22.

Kiek reikia paimti tos progresijos pirmųjų narių, kad jų suma būtų lygi 3069?

b) Aritmetinės progresijos pirmasis narys yra 532, o jos skirtumas lygus -24.

Kiek reikia paimti tos progresijos pirmųjų narių, kad jų suma būtų lygi 5632?

54*. a) Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų septyniolikos narių sumą, jei

α4 +a8 + an +a13 =16.

b) Raskite aritmetinės progresijos pirmųjų dešimties narių sumą, jei

O6 + a9 + a12 + ais = 20 .

55*. a) Šeštasis aritmetinės progresijos narys sudaro 60% trečiojo nario, o jų suma

л 1 . . lygi 8. Sios progresijos pirmųjų n narių suma lygi 30— . Raskite skaičių n.

b) Devintasis aritmetinės progresijos narys sudaro 25 % trečiojo nario, o jų

suma lygi 4. Šios progresijos pirmųjų n narių suma lygi 21,6. Raskite skaičių n.

56*. a) Duota aritmetinė progresija — 7; — 3; 1; 5; 9;. . . .

1) Parašykite šios progresijos bendrojo nario formulę.

2) Apskaičiuokite šios progresijos pirmųjų 200 narių sumą.

b) Duota aritmetinė progresija — 5; — 2; I; 4; 7;



57*. a) Parašykite aritmetinės progresijos (an) bendrojo nario formulę, kai

af+al = 5 8 ,

a2 +aĄ = 14 .

b) Parašykite aritmetinės progresijos (a„) bendrojo nario formulę, kai

O22+al = 2 6 ,

a} +as = 10 .

58*. a) Raskite pirmųjų dvidešimties aritmetinės progresijos narių sumą, kai

O1 =-6; a]2 =24.

b) Raskite pirmųjų trisdešimties aritmetinės progresijos narių sumą, kai

as =-12 ir O15 =18 .

59*.a) Raskite χ, su kuriuo skaičiai x - l , 2x-l , x2 -5 sudaro aritmetinę

progresiją.

b) Raskite x, su kuriuo skaičiai x + l , 4x-l, x2 +3 sudaro aritmetinę

progresiją.

60*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis skaičiai l+x, x2 +4 , 2x + 9 , 9χ bus keturi iš

eilės einantys aritmetinės progresijos nariai?

b) Su kuriomis k reikšmėmis skaičiai 2k-2, k2 +1, 4k , Ik2 -1 bus keturi iš

eilės einantys aritmetinės progresijos nariai?

61*. a) Raskite χ reikšmę, su kuria trys skaičiai Iog5 3, Iog5 (зx — 1) ir

log5(3* + 2 j ) nurodyta tvarka sudaro aritmetinę progresiją?

b) Raskite л: reikšmę, su kuria trys skaičiai Iog2 (б-2* + l), Iog4 ir 1

nurodyta tvarka sudaro aritmetinę progresiją?

Raskite, su kuriomis χ reikšmėmis trys skaičiai o,, a2 , a3 , išdėstyti nurodyta

tvarka, sudaro aritmetinę progresiją, jeigu (62-64):

62*.a) O1= lg4, o2=lgfcx+5), o3 = Igfcx+ и ) ;

b) o, = lg2 , a2 = Igfcx -б ) , O3 =Igfcx+34).

63*.a) α ,= lg4, a2 = Igfc ~x - 5 ) , a3 = Igfc"x + 75);

b) e,= lg3, a2=lg(3-x-3), а3=18(з-х+з).

64*.a) α, =lg2 , α 2 = Igfcx-З), Д з=18(зх+9);

b) о, = lg4 , α2 = Igfcx -4) , O3 = Igfcx + 20)

65*.a) Su kuria χ reikšme seka -Jx-5 , i]l0x + 4 , -Jx + 2 yra geometrinė

progresija?

b) Su kuria χ reikšme seka -Jx-1 , ^5χ-1 , -J\2x+1 yra aritmetinė

progresija?

66*. a) Antrasis aritmetinės progresijos narys sudaro 88% pirmojo. Kiek procentų

pirmojo nario sudaro penktasis tos progresijos narys?

b) Antrasis aritmetinės progresijos narys sudaro 107% pirmojo. Kiek procentų

pirmojo nario sudaro dešimtasis tos progresijos narys?

67*. a) Aritmetinės progresijos antrasis narys sudaro 96% pirmojo. Kiek procentų

pirmojo nario sudaro 17-asis šios progresijos narys?

b) Aritmetinės progresijos antrasis narys sudaro 107 % pirmojo. Kiek procentų

pirmojo nario sudaro 10-asis šios progresijos narys?

68*. a) Vieno po kito einančių nelyginių natūraliųjų skaičių suma lygi 119. Kiek

tokių skaičių sudėta ir kuris skaičius pirmasis?

b) Vieno po kito einančių nelyginių natūraliųjų skaičių suma lygi 115. Kiek

tokių skaičių sudėta ir kuris skaičius pirmasis?

69*.a) Dešinėje gatvės pusėje namai pažymėti nelyginiais skaičiais 1, 3, 5, ... .

Paskutiniojo namo numeris yra 153. kiek namų yra dešinėje gatvės pusėje?

b) Kairėje gatvės pusėje namai pažymėti lyginiais skaičiais 2, 4, 6, ... .

Paskutiniojo namo numeris yra 258. Kiek namų yra kairėje gatvės pusėje?

70*. a) Karjere iš pradžių buvo 40 milijonų m3 žvyro. Kasmet iškasama 40% jame

esančio žvyro.

1) Kiek milijonų kubinių metrų žvyro liko karjere po metų?

2) Kiek milijonų kubinių metrų žvyro liks karjere po n eksploatavimo metų?

3) Po kelerių metų karjere liks 5184000 m3 žvyro?

b) Avarijos metu į aplinką išsiliejo 20/ mazuto. Likviduojant avariją, kas

valandą susemiama 40% mazuto.

1) Kiek tonų išlieto mazuto liko po valandos?

2) Kiek tonų mazuto liko po n valandų?

3) Po kiek valandų aplinkoje dar buvo 1555,2 kg mazuto?

71*.a) Pirmą mėnesį darbuotojui mokamas 2000 Lt atlyginimas, vėliau jis kas

mėnesį didinamas 5 % .

1) Užrašykite formulę darbuotojo n-ojo mėnesio atlyginimui apskaičiuoti.

2) Remdamiesi šia formule, apskaičiuokite darbuotojo ketvirtojo mėnesio

atlyginimą.

3) Apskaičiuokite pusės metų (šešių mėnesių) uždarbio dydį (lito tikslumu).

b) Gamykla įsigijo naujas automatines stakles. Pirmąją dieną šiomis staklėmis

buvo pagaminta 30000 detalių. Kiekvieną sekančią dieną šiomis staklėmis buvo

pagaminama 10% detalių daugiau negu praėjusią.

1) Parašykite formulę и-ąją dieną pagaminamų detalių kiekiui apskaičiuoti.

2) Remdamiesi šia formule, apskaičiuokite, kiek detalių buvo pagaminta

penktąją dieną.

3) Apskaičiuokite, kiek detalių buvo pagaminta per pirmąsias septynias dienas.

72*. a) Pilietis loterijoje išlošė 1200001/ ir savo poreikiams išleido 20% tos

sumos. Jis kasmet išleidžia 20 % likusios sumos.

1) Kiek pinigų pilietis turėjo po metų?

2) Kiek pinigų pilietis turės po n metų?

3) Po kiek metų jis dar turės lygiai 39321,6 Lt ?

b) Pilietis loterijoje išlošė 250000 Lt ir savo poreikiams išleido 30% tos

sumos. Kasmet įvairiems savo poreikiams jis išleidžia 30% likusios sumos.

1) Kiek pinigų pilietis turėjo po metų?

2) Kiek pinigų pilietis turės po n metų?

3) Po kiek metų jis turės 60025 Lt ?

Raskite χ reikšmę (73 -75):

73*.a) 1 + 7 + 13 + ... +л: = 280 ; b) 1 + 3 + 5+...+ x = 225 .

74*.a) (χ+ΐ)+(χ + 4)+(χ+7)+... + (χ + 28)=155;

b) (2x+l)+(2x+2)+(2x+3)+... + (2x+15)=15x+150.

75*.a) 52 · 54 •56 ·... • 52* = (0,04)~28; b) 2·24·27-...·2Χ =2117 .

76*. a) Iš dviejų vietovių, tarp kurių yra 268 km , tuo pačiu metu vienas priešais kitą

išvažiavo du dviratininkai. Vienas dviratininkas pirmąją valandą nuvažiavo

30 km, o kiekvieną sekančią valandą 2 km daugiau negu praėjusią. Kitas

dviratininkas pirmąją valandą nuvažiavo 40 km, o kiekvieną sekančią valandą

4 km mažiau negu praėjusią. Po kiek laiko jie susitiko?

b) Iš dviejų taškų, tarp kurių atstumas 55,5 m, tuo pačiu metu vienas priešais

kitą ima judėti du kūnai. Pirmasis kūnas per pirmąją sekundę nueina 3 m, o

kiekvieną sekančią sekundę 0,5 m daugiau negu praėjusią. Antrasis kūnas per

pirmąją sekundę nueina 6 m , o kiekvieną sekančią sekundę 0,4 m mažiau negu

praėjusią. Po kelių sekundžių kūnai susitiks?

77*.a) Iš dviejų taškų, tarp kurių atstumas 127m, vienas priešais kitą juda du

kūnai. Pirmasis kūnas visą laiką juda pastoviu 5 — greičiu. Antrasis kūnas per s

pirmąją sekundę nuėjo 5 m , o per kiekvieną sekančią sekundę 2 m daugiau

negu praėjusią. Žinoma, kad antrasis kūnas pradėjo judėti 3 s vėliau negu

pirmasis. Po kelių sekundžių kūnai susitiks?

b) Iš dviejų punktų, tarp kurių yra 240m, vienas priešais kitą išvažiavo du

automobiliai. Pirmasis automobilis išvažiavo 3 s anksčiau už antrąjį ir judėjo

pastoviu 10— greičiu. Antrasis automobilis pirmąją sekundę nuvažiavo 2 m, i o kiekvieną sekančią sekundę 1 m daugiau negu praėjusią. Po kelių sekundžių

nuo pirmojo automobilio išvažiavimo momento, abu automobiliai susitiks?

78*. a) Du dviratininkai, tarp kurių atstumas 15 km , tuo pačiu metu pradėjo važiuoti

tiesiu keliu į vieną pusę. Pirmasis dviratininkas per valandą nuvažiuoja 20 km ,

o kiekvieną sekančią valandą 2 km daugiau negu praėjusią. Antrasis

dviratininkas per valandą nuvažiavo 24km, o kiekvieną sekančią valandą

3 km daugiau negu praėjusią. Po kelių valandų antrasis dviratininkas pavys

pirmąjį?

b) Dvi skruzdės, tarp kurių atstumas 13 m , tuo pačiu metu pradėjo judėti tiesiu

keliu į vieną pusę. Pirmoji skruzdė per valandą nuropojo 25 m, o kiekvieną

sekančią valandą 0,5 m daugiau negu praėjusią. Antroji skruzdė per valandą

nuropojo 30 m, o kiekvieną sekančią valandą 0,5 m mažiau negu praėjusią. Po

kelių valandą pirmoji skruzdė pavys antrąją?

79*. a) Iškilojo daugiakampio kampai sudaro aritmetinę progresiją, kurios skirtumas

lygus 5° . Mažiausias to daugiakampio kampas lygus 120° . Kiek kraštinių turi

toks daugiakampis?

b) Iškilojo daugiakampio kampai sudaro aritmetinę progresiją, kurios skirtumas

lygus 10°. Didžiausias to daugiakampio kampas lygus 170° . Kiek kraštinių

turi šis daugiakampis?

80*. a) Daugiakampio perimetras lygus 138 cm, o jo kraštinių ilgiai sudaro

aritmetinę progresiją kurios skirtumas lygus 2 cm. Trumpiausioji

daugiakampio kraštinė lygi 18 cm . Kiek kraštinių turi šis daugiakampis?

b) Daugiakampio perimetras lygus 158 cm, o jo kraštinių ilgiai sudaro

aritmetinę progresiją, kurios skirtumas 3 cm . Ilgiausioji daugiakampio kraštinė

lygi 44 cm . Kiek kraštinių turi šis daugiakampis?

81*. a) Rutuliai sudėti į piramidės formos krūvą tokiu būdu: apatinis rutulių

sluoksnis sudaro kvadratą, kurio kiekvienoje kraštinėje yra 10 rutulių, ant šito

sluoksnio į tarpus tarp rutulių sudėtas antras kvadrato sluoksnis, turįs

kiekvienoje kraštinėje po 9 rutulius, ir taip toliau iki viršutinio sluoksnio, kurį

sudaro 1 rutulys. Kiek rutulių yra šioje krūvoje?

b) Rąstai sudėti į krūvą šitokiu būdu: apatinėje eilėje padėta 15 rąstų, antroje

eilėje rąstai sudėti į apatinės eilės tarpus ir t.t. Paskutinėje eilėje yra I rąstas.

Kiek iš viso rąstų yra toje krūvoje?

82*. Duotos skaičių sekos. Nurodykite, kurios sekos yra geometrinės progresijos:

a) 1) 3; 6; 12; 24; 48;... , 2) 162; 54; 18; 6; 2; . . . ,

' 3 ' 5 ' 9 ' 1 7 ' · " '

b) 1)-100; 10; -1; 0; 1;-0,01;... , 2)30; 15; 7,5; 3,75; . . . ,

' 2 ' 4 ' 8 ' 16' 3 2 " " "

83*. Nustatykite, ar seka yra geometrinė progresija. Jei taip, apskaičiuokite vardiklį

q ir dar du sekančius narius:

a) 1) 15; 6; ψ | i ; ... ; 2) 2; 4; 6; 8; ... ;

3) 1; | ; 3; y ; ... ; 4 )-9 ; 9; -9; 9... ;

5) 2; 4; 8; ... ; 6) 4; 0; -4; -8; -12; ... ;

7) 1; 1 ; 1 ; — ; ... ; 8) 6; 6; 6; 6; ... . 4 9 16

b) 1) -1; -2; -3; -4 ; ... ; 2) 0; 1 ; j ; ... ;

3) 4; -12; 36; -108; ... ; 4) -1; -1; -1; ... ;

5) 2; 0; -2; -4; -6; ... ; 6) 1; 1 ; - į ; ... ; 4 16

7) -1; 1; -1;1; ... ; 8) -1; 2; -3; 4; -5; 6; ... .

84*. Parašykite sekančius tris duotosios geometrinės progresijos narius:

a) 1) 2; 10; 50;... , 2> — ; -— 16 8 4

b) 1) 9; 3; 1;. . . , 2)-1000; 100;-10;... .

85*. Duota geometrinė progresija ir vienas iš jos narių. Užrašykite du prieš tą narį

einančius ir du po šio nario einančius šios progresijos narius, jei progresijos

vardiklis lygus 1 .

a)... ; 125;... ; b ) . . . ; l ; . . . .

86*. Parašykite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius, kai

a) = -4 , <7 = 1 ; b) =0,001, ¢ = -10 .

87*. Duota geometrinė progresija (y„ ). Raskite jos šeštąjį ir devintąjį narius, kai

1 3 a) У, =256, <7 = - ; b) >>, = - , q = -2 .

88*. a) Tarp skaičių 3 ir 27 parašykite tris tokius skaičius, kurie su duotaisiais

sudarytų geometrinę progresiją.

b) Tarp skaičių 0,2 ir 12,8 parašykite du tokius skaičius, kurie su duotaisiais

sudarytų geometrinę progresiją.

89*. a) Tarp skaičių 432 ir 16 parašykite du skaičius, kurie kartu su duotaisiais

skaičiais sudarytų geometrinę progresiją.

b) Tarp skaičių 2 ir 1458 parašykite du skaičius, kurie kartu su duotaisiais

skaičiais sudarytų geometrinę progresiją.

90*. a) Geometrinės progresijos antrojo ir penktojo nario sandauga 2, o šeštasis

narys lygus 8. Raskitejos vardiklį.

b) Geometrinės progresijos antrojo ir penktojo nario sandauga lygi j , o

šeštasis narys lygus 9. Raskite vardiklį.

91*. a) Raskite geometrinės progresijos (b„ ) vardiklį q, kai b2b5 = 48 ir b6 = 108.

b) Raskite geometrinės progresijos (bn) vardiklį <7, kai b2 b6 =36 ir bs =96.

92*. a) Žinomi geometrinės progresijos (γ„) nariai y} = 25 ir ^6 =3125. Raskite

geometrinės progresijos vardiklį ir parašykite pirmuosius šešis šios progresijos

narius.

b)Žinomi geometrinės progresijos (bn) nariai ' r ^5=IO"2 . Raskite

geometrinės progresijos vardiklį ir parašykite pirmuosius penkis šios

progresijos narius.

93*. a) Seka apibrėžta formule bn = 7"+1.

1) Įrodykite, kad ši seka yra geometrinė progresija.

2) Užrašykite formulę šios progresijos pirmųjų n narių sumai Sn

apskaičiuoti.

b) Seka (b„) apibrėžta formule bn =61_" . 1) Įrodykite, kad ši seka yra geometrinė progresija.

2) Užrašykite formulę šios progresijos pirmųjų n narių sumai Sn

apskaičiuoti.

94*. a) Keturi skaičiai ЬХ,Ь2,Ь^, b4 sudaro didėjančią geometrinę progresiją, kurios

į, - b2 = - 2 ir bA - 63 = 18 . Raskite šių skaičių sumą.

b) Keturi skaičiai bx,b2,b}, b4 sudaro didėjančią geometrinę progresiją, kurios

bx -b2 = - 1 ir b4 -Zj3 = 4 . Raskite šių skaičių sumą.

95*. a) Raskite pirmųjų šešių geometrinės progresijos narių sumą kai b2 = 4 ,

b) Raskite pirmųjų šešių geometrinės progresijos narių sumą, kai b2 = 9 , q = - -j .

96*.Nurodykite, kuri duotų sekų yra geometrinė, o kuri aritmetinė progresija, jei

/i-tasis narys išreikštas formule:

a) 1) bn =2-3" , 2)b„=2-3n, 3)bn=3"-2-

b) l ) c „ =4/, + 1, 2)сп=зЩ, 3 ) c „ = 3 - ^ j .

97*. a) Užrašykite geometrinės progresijos (bn) bendrojo nario formulę, jeigu

žinoma, kad į, = - 8 ir b2 = 4 .

b) Užrašykite geometrinės progresijos (bn) bendrojo nario formulę, jeigu

žinoma, kad b2 = 1,25 ir į 4 = 5 .

98*. a) Pirmasis geometrinės progresijos narys bx = 2 , vardiklis q = ~ 3 , o pirmųjų n

narių suma Sn=- 364. Raskite: 1) skaičių n, 2) /i-tąjį šios progresijos narį bn .

b) Pirmasis geometrinės progresijos narys į, = 6, vardiklis ¢ = - 2 , 0 pirmųjų n

narių suma Sn = - 510. Raskite: 1) skaičių n, 2) /i-tąjį šios progresijos narį b„.

99*.a) Raskite χ reikšmę, su kuria skaičiai JC-1, 2x, 4x + 6 sudaro geometrinę

progresiją.

b) Raskite χ reikšmę, su kuria skaičiai x-2 , 3x , 9x + 30 sudaro geometrinę

progresiją.

100*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis skaičiai 4x-2, 6-2x, 6 + 2x, 24-8x yra

keturi iš eilės einantys geometrinės progresijos nariai?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis skaičiai 2x , 5-x , 7 + x, 20-4x yra keturi iš

eilės einantys geometrinės progresijos nariai?

101*. a) Su kuriomis* reikšmėmis skaičiai 2x, 5-х, 7 + x, 20-4* bus keturi iš


b) Su kuriomis 4 reikšmėmis skaičiai 24-1, 24+1, 94, 4 + 26 bus keturi iš


102*. a) Raskite pirmųjų šešių teigiamų geometrinės progresijos narių sumą, jeigu

žinoma, kad b2 = 48 ; bA = 12 .

b) Raskite pirmųjų aštuonių teigiamų geometrinės progresijos narių sumą, jeigu

žinoma, kad b2=64 ; b6 = 4 .

103*. a) Trijų skaičių, sudarančių geometrinę progresiją, suma lygi 64,5, o jų

logaritmų pagrindu 3 suma lygi 6. Raskite šios geometrinės progresijos

didesnįjį vardiklį.

b) Trijų skaičių, sudarančių geometrinę progresiją, suma lygi 47,25, o jų

logaritmų pagrindu 3 suma lygi 6. Raskite šios progresijos didesnįjį vardiklį.

2 2 104*. a) Duota geometrinė progresija 6; 2; —; —; ... .



3 3 b) Duota geometrinė progresija 12 ;3;—; — ; ... .

4 16



105*. a) Raskite keturis skaičius, sudarančius geometrinę progresiją, kurios antrasis

narys mažesnis už pirmąjį 35 vienetais, o trečiasis didesnis už ketvirtąjį 560

vienetų.

b) Raskite keturis skaičius, sudarančius geometrinę progresiją, kurios trečiasis

narys didesnis už pirmąjį 9 vienetais, o antrasis didesnis už ketvirtąjį 18

vienetų.

106*. a) Trijų pirmųjų geometrinės progresijos narių suma lygi 13, o jų kvadratų

suma lygi 91.

1) Raskite šios progresijos trečiąjį narį.

2) Raskite šios progresijos vardiklį.

b) Trijų pirmųjų geometrinės progresijos narių suma lygi 21, o jų kvadratų

suma lygi 189.

1) Raskite šios progresijos pirmąjį narį.


107*. a) Geometrinės progresijos šeštojo ir ketvirtojo narių skirtumas lygus 18, o

penktojo ir trečiojo narių skirtumas lygus 9. Raskite pirmųjų penkių šios

progresijos narių sumą.

b) Geometrinės progresijos penktojo ir trečiojo narių skirtumas lygus 240, o

ketvirtojo ir antrojo narių skirtumas lygus 60. Raskite pirmųjų penkių šios

progresijos narių sumą.

108*. a) Triženklio natūraliojo skaičiaus skaitmenys sudaro geometrinę progresiją,

kurios vardiklis 2. Skaitmenų suma lygi 14. Raskite tą skaičių,

b) Triženklio natūraliojo skaičiaus skaitmenys sudaro geometrinę progresiją,

kurios vardiklis lygus 1 . Jo skaitmenų suma lygi 14. Raskite tą skaičių.

109*. a) Firma, gaminanti žaislus, pradėjo gaminti vaikams staliaus instrumentų

rinkinį. Per pirmuosius metus firma pagamino 2000 tokių rinkinių, o

kiekvienais sekančiais metais rinkinių skaičius didėjo 1,5 karto, lyginant su

prieš tai buvusiais. Kiek rinkinių pagamino firma per penktuosius metus,

b) Jaunam inžinieriui numatyta per pirmus metus išmokėti 12000 Lt atlyginimo,

o kiekvienais sekančiais metais jo metinį atlyginimą didinti 20 %, lyginant su

prieš tai buvusiais. Kiek uždirbs inžinierius per ketvirtuosius darbo metus?

110*. Tegu x, ir x2 - lygties f(x)= A šaknys, o X3 ir x4 - lygties g(x)= B šaknys. Žinoma, kad seka x,; x2; x3; x4 yra geometrinė progresija, kurios visi

nariai yra teigiami. Raskite A ir B reikšmes, jeigu:

a) / (x )=4x-x 2 , g(x)=36x-x2 ; b) / (x )=3x-x 2 , g(x)=12x-x2.

111*. a) Trys skaičiai A 1=I , b2, 63 yra mažėjančios geometrinės progresijos

nariai. Skaičiai 26,, 3b2, 463 yra vienas po kito einantys aritmetinės

progresijos nariai. Raskite geometrinės progresijos vardiklį.

b) Trys skaičiai 6, = 1, b2, b} yra mažėjančios geometrinės progresijos nariai.

Skaičiai 36,, 4b2, 563 yra vienas po kito einantys aritmetinės progresijos

nariai. Raskite geometrinės progresijos vardiklį.

112*. a) Trys duotieji skaičiai yra iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai.

Jeigu iš antrojo ir trečiojo skaičiaus atimsime 1, o pirmąjį skaičių paliksime

nepakeitę, tai gautieji skaičiai sudarys geometrinę progresiją, kurios vardiklis

lygus 2. Raskite duotuosius skaičius.

b) Trys duotieji skaičiai yra iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai.

Jeigu iš antrojo skaičiaus atimsime 2, o kitus du skaičius paliksime nepakeistus,

tai gautieji skaičiai sudarys geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus 3.

Raskite duotuosius skaičius.

113*. a) Trys duotieji skaičiai, kurių suma lygi 26, sudaro geometrinę progresiją. Jei

prie pirmojo skaičiaus pridėsime 1, prie antrojo skaičiaus pridėsime 6, prie

trečiojo skaičiaus pridėsime 3, tai gautieji skaičiai sudarys aritmetinę progresiją.

Raskite duotuosius skaičius.

b) Trys duotieji skaičiai, kurių suma lygi 30, sudaro aritmetinę progresiją. Jei iš

antrojo skaičiaus atimsime 2, o kitus skaičius paliksime nepakeitę, tai jie visi

trys jau sudarys geometrinę progresiją. Raskite duotuosius skaičius.

114*. a) Trys skirtingi skaičiai, χ , y ir 2, kurių suma lygi 52, yra trys iš eilės

einantys geometrinės progresijos nariai. Tuo pačiu metu šie trys skaičiai x, y ir z

yra atitinkamai ketvirtas, šeštas ir dvyliktas aritmetinės progresijos nariai.

Raskite skaičius x,y ir z.

b) Trys skirtingi skaičiai a, b ir c, kurių suma lygi 124 yra trys iš eilės einantys

geometrinės progresijos nariai. Tuo pačiu metu šie trys skaičiai a, b k c yra

atitinkamai trečias, tryliktas ir penkioliktas aritmetinės progresijos nariai.

Raskite skaičius a, b ir c.

115*. a) Trys skaičiai yra iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai. Jeigu iš

antrojo ir trečiojo skaičiaus atimsime 1, o pirmąjį paliksime nepakeistą, tai

gautieji skaičiai sudarys geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus 2. Raskite

tuos skaičius.

b) Trys skaičiai yra iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai. Jeigu iš

antrojo skaičiaus atimsime 2, o kitus du skaičius paliksime nepakeistus, tai

gautieji skaičiai sudarys geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus 3. Raskite

tuos skaičius.

116*. a) Trijų skaičių, sudarančių mažėjančią aritmetinę progresiją, suma 15. Jei iš

antrojo šios progresijos nario atimsime 1, o kitų narių nekeisime, tai gausime

geometrinę progresiją. Raskite aritmetinės progresijos šeštąjį narį.

b) Trijų skaičių, sudarančių didėjančią aritmetinę progresiją, suma 30. Jei iš

antrojo šios progresijos nario atimsime 2, o kitų narių nekeisime, tai gausime

geometrinę progresiją. Raskite aritmetinės progresijos ketvirtąjį narį.

117*. a) Pirmųjų trijų aritmetinės progresijos narių suma lygi 30. Jeigu iš šios

progresijos pirmojo nario atimtume 5, iš antrojo 4, o trečiojo nario nekeistume,

tai gautieji skaičiai sudarytų geometrinę progresiją. Raskite šias progresijas.

b) Trijų teigiamų skaičių suma lygi 21. Šie skaičiai sudaro aritmetinę

progresiją. Jei prie jų atitinkamai pridėtume 2; 3 ir 9, tai gautieji skaičiai

sudarytų geometrinę progresiją. Raskite šiuos skaičius.

118*. a) Raskite sandaugą skaičių χ ir y, su kuriais trys skaičiai 8; x; y nurodyta

tvarka sudaro geometrinę progresiją, o skaičiai x\y\-1 sudaro aritmetinę

progresiją.

b) Raskite sandaugą skaičių χ ir y, su kuriais trys skaičiai 6 ; x ; y nurodyta

tvarka sudaro aritmetinę progresiją, o skaičiai JC;J>;-48 sudaro geometrinę

progresiją.

119*. a) Raskite sumą nykstamosios geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys

lygus 2, o šeštasis —— . 512

b) Raskite sumą nykstamosios geometrinės progresijos, kurios antrasis narys

lygus —, o trečiasis — . 3 9

120*.a) Žinoma, kad seka a; b; c yra geometrinė progresija, o seka a, b-8, c -

aritmetinė progresija, be to, a + b + c = - l . Raskite a, b ir c.

b) Žinoma, kad seka a; b\ c yra geometrinė progresija, o seka a, 6 + 8, c -

aritmetinė progresija, be to, a + b + c = l . Raskite a, b ir c.

121*. a) Apskaičiuokite begalinės nykstamosios geometrinės progresijos pirmąjį

narį, kai tos progresijos suma lygi 4, o jos vardiklis ^ .

b) Apskaičiuokite begalinės nykstamosios geometrinės progresijos vardiklį, kai

tos progresijos suma lygi 10, o jos pirmasis narys 2.

122*. a) Begalinės nykstamosios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus 9л/з,

. . niS+i) ojos suma lygi — L.


2) Raskite šios progresijos antrąjį ir trečiąjį narius.

b) Begalinės nykstamosios geometrinės progresijos suma

. . 6л/30+30 л/30 Iyg1 > 0 J 0 s vardiklis lygus .

5 6

1) Raskite šios progresijos pirmąjį narį. 2) Raskite šios progresijos antrąjį ir trečiąjį narius.

123*. a) Nykstamosios geometrinės progresijos antrasis narys lygus 24, o progre-

sijos narių suma lygi 108. Raskite pirmąjį tos progresijos narį ir vardiklį,

b) Nykstamosios geometrinės progresijos antrasis narys lygus 21, o progresijos

narių suma lygi 112. Raskite pirmąjį tos progresijos narį ir vardiklį.

124*. a) Apskaičiuokite begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą, jeigu

jos pirmojo ir ketvirtojo narių suma lygi 18, o antrojo ir trečiojo narių suma

lygi 12.

b) Apskaičiuokite begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą jeigu

jos trečiojo ir antrojo narių skirtumas lygus -54, o penktojo ir trečiojo narių

skirtumas lygus -24.

4 125*. a) Nykstamosios geometrinės progresijos narių suma — karto didesnė už visų

jos narių kvadratų sumą. Progresijos pirmasis narys lygus 1. Raskite šios

progresijos vardiklį.

b) Nykstamosios geometrinės progresijos narių suma 1,75 karto didesnė už visų

jos narių kubų sumą. Progresijos pirmasis narys lygus 1. Raskite šios

progresijos vardiklį.

3 126*. a) Nykstamosios geometrinės progresijos narių suma lygi —, o jos narių

kvadratų suma lygi —. Raskite progresijos vardiklį. 8

b) Nykstamosios geometrinės progresijos narių kubų suma sutinka su jos narių

4

kvadratų suma kaip 12:13. Pirmųjų dviejų progresijos narių suma lygi —.

Raskite progresijos vardiklį.

Apskaičiuokite nykstamosios geometrinės progresijos sumą (127-134):

127*. a) 64; 16; 4; b) 432;72; 12;...

128*.a) -75; 15; -3 ; b) 36; 24; 16; ...

129*. a) 1; 10' 100

b) 1; — ; — — 100 10000

130*. a) 10; 4; - b) 20; 15; 11-4

131*.a) - I ; I ; --; 2 4 8

132*.a) 3; л/3;1;...; b) 6^3; 6; 2л/3; ...

1 3 3 * . a ) V J ; # ; 4 л/з 3

b) Зл/2; л/б; л/2; ...

134*.а) л/5; л/Š + l ' " "

b) л/3; Уз ,

л/3 + 1

Apskaičiuokite sumą (13 5 -140):

135*. a) 1 + - + - + 1 + ... ; 2 4 8

ч 2 3 136*. а) - + - + - + ... ;

3 2 8

137*. а) 81 + 8,1 + 0,81 + ... ;

138*.а) л/5 +-j= + — + ...; л/5 25

л/2 + 1 140*. а)

1 1 + —-

л/2-1 2-л/2 2

кч , 1 1 1

b) 1 — + + . 3 9 27

, , . 2 ,1 4 b) 6 - + 1- + — +

3 3 15

b) -220+(-44)+(-8,8)+... .

b) 2л/2 + 2 + л/2 + ... .

b) -J2 + -Į=+—Lr+... . л/2 2 л/2

л/3+1 , л/3-1 b) - p — + 1 + -7=— + —

л/3-1 л/3 + 1

141*. Išspręskite lygtį:

А ) 2 Х + 1 + Х 2 - Χ 3 + * 4 - J C 5 + . . . = — , k a i | J C | < 1 ; 13

b) - + χ + χ +... + χ" + ... = - ,kai |χ|< 1. χ 2

142*. Remdamiesi nykstamosios geometrinės progresijos sumos formule, duotąsias

begalines dešimtaines trupmenas paverskite paprastosiomis:

a) 1)0,(18), 2)0,2(7), 3)0,(185), 4) 3,58(3);

b) 1)0,(27), 2)0,3(8), 3)0,13(8),

143*. a) Į kvadratą, kurio kraštinė lygi 8 cm,

įbrėžtas antras kvadratas taip, kad jo viršūnės

yra pirmojo kvadrato kraštinių vidurio taškai,

į antrąjį kvadratą tokiu pat būdu įbrėžtas

trečias kvadratas it t.t.

1) Raskite visų kvadratų perimetrų sumą.

2) Raskite visų kvadratų plotų sumą.

b) I lygiakraštį trikampį, kurio kraštinė lygi 4 cm , sujungiant kraštinių vidurio taškus, įbrėžtas

kitas trikampis; į gautąjį trikampį tuo pačiu

būdu dar vienas trikampis ir t.t.

(žr. paveikslą).

1) Raskite visų trikampių perimetrų sumą.

2) Raskite visų trikampių plotų sumą.

144*. Duotas kvadratas, kurio kraštinė lygi

8 cm . Į kvadratą įbrėžtas skritulys, į šį

skritulį įbrėžtas naujas kvadratas ir t.t. iki

begalybės. Raskite:

a) Visų kvadratų plotų sumą;

b) Visų skritulių plotų sumą.

* * *

II. FUNKCIJOS IR ANALIZĖS PRADMENYS 1. Funkcija

1.1. Funkcija ir jos grafikas

1. a) Stačiakampio perimetras lygus 10 cm, o vienos jo kraštinės ilgis - χ cm.

1) Užrašykite formule funkciją, kurios nepriklausomas kintamasis yra vienos

stačiakampio kraštinės ilgis χ, o priklausomas - stačiakampio plotas S, t.y.

sudarykite stačiakampio ploto funkciją S(x).

2) Remdamiesi gauta formule užpildykite lentelę

X 1 2 3 4

S(x)

3) Kokia yra ploto funkcijos S(x) apibrėžimo ir reikšmių sritis?

4) Nubraižykite funkcijos S(x) grafiką.

b) Stačiakampio perimetras lygus 16 cm, o vienos jo kraštinės ilgis - χ cm.

1) Užrašykite formule funkciją, kurios nepriklausomas kintamasis yra vienos

stačiakampio kraštinės ilgis χ, o priklausomas - stačiakampio plotas S, t.y.

sudarykite stačiakampio ploto funkciją S(x).

2) Remdamiesi gauta formule užpildykite lentelę

X 1 2 3 4

S(x)

3) Kokia yra ploto funkcijos S(x) apibrėžimo ir reikšmių sritis?


2*. a) Lygiašonės trapecijos ABCD aukštinė lygi 1, didesnis pagrindas AD = 4, o

šoninė kraštinė su AD sudaro 45° kampą. Nubrėžkime tiesę MN, lygiagrečią

kraštinei CD (MN || CD), ir pažymėkime AM = χ (žr. brėžinį). Trapecijos

ploto dalį, kurią nuo trapecijos ABCD atkerta tiesė MN, pažymėkime S(x).

Plotas S(x) yra atkarpos χ funkcija, apibrėžta intervale [0; 4].

1) Užrašykite šią funkciją formule, t.y

raskite šios funkcijos analizinę išraišką.

2) Nubraižykite tos funkcijos grafiką.

3) Raskite atkirstos figūros plotą, kai

X = I , x = 2 , x = 3 ir x = 4.

b) Lygiašonio trikampio ABC pagrindo AB ilgis lygus 2, aukštinės ilgis taip pat

lygus 2. Nubrėžkime tiesę MN, statmeną kraštinei AC '(MNLAC), ir

pažymėkime AM = χ (žr. brėžinį). Trikampio ploto dalį, kurią nuo trikampio

ABC atkerta tiesė MN, pažymėkime S(x). Plotas S(x) yra atkarpos χ funkcija,

apibrėžta intervale [0; 2]. B

1) Užrašykite šią funkciją formule, t.y.

raskite šios funkcijos analizinę išraišką.

2) Nubraižykite tos funkcijos grafiką.

3) Raskite atkirstos figūros plotą kai

χ = 1, χ = 0,5 , χ = 1,5 ir χ = 2 .

a) 25 cm ilgio strypas, kurio skerspjūvio plotas lygus 1 cm , sulituotas iš dviejų

σ

dalių. 10 cm ilgio kairiosios strypo dalies tankis lygus 7,8 —^y, o 15 cm ilgio cm

σ dešiniosios dalies - 8,9 — . Nuo kairiojo galo atpjaunamas ilgio χ strypo

cm gabalas.

1) Parašykite to gabalo masės m (gramais) priklausomybės nuo jo ilgio

(centimetrais) išraišką, t.y. užrašykite m(x) išraišką.

2) Nubraižykite šios funkcijos grafiką.

b) Automobilis 20 sekundžių važiuoja 60 — greičiu, po to 50 sekundžių -h

100 greičiu.

1) Parašykite, kaip kelias s (kilometrais) priklauso nuo judėjimo laiko t (sekundėmis), t.y. užrašykite funkcijos s(t) išraišką.

2) Nubraižykite šios funkcijos grafiką.

a) Kuriuose paveiksluose pavaizduoti funkcijų grafikai?

1) 2) 3) y) \

0 \-x

4)

5) 6) 7)

1I k

0

1 "x

I) 2) 3) / λ

θ 5 · — « 3

5) X

- 2

8)

•—о ' >

b) Kuriuose paveiksluose pavaizduoti funkcijų grafikai?

4)

S 3 χ

8) *

o χ

5. a) Tiesė eina per tašką a(- 1; 2). Ar gali Si tiesė būti grafikas tunkcijos:

3) y = x + 2, 4) y = -x"> 1) y = -2x, 2) y = 2x,

b) Ar funkcijos y = -2x+\ grafikas eina per tašką:

1)(0;2); 2) (θ,5;θ), 3) (l;l), 4) (-l;l)7

6. Funkcijos f ( x ) ir g(x) apibrėžtos grafikais. Nustatykite šių funkcijų

apibrėžimo ir reikšmių sritis.

b)

y = g(x)

7. a) Duota funkcija f (χ) = χ2 +1, χ>0, χ-I, χ<0.

1) Apskaičiuokite / 1-8-1 , /(θ), f \ 4-. 5J 4 3,

2) Nubraižykite funkcijos f (χ) grafiką.

3) Ar ši funkcija yra tolydi? Atsakymą pagrįskite.

b) Duota funkcija g(x) = X2 - 2x, x > O,

x+\, x<0.

1) Apskaičiuokite ίτ(θ),

2) Nubraižykite funkcijos g(x) grafiką.

3) Ar ši funkcija yra tolydi? Atsakymą pagrįskite.

8*. Nubraižykite duotosios funkcijos grafiką:

X 2-4 , kai χ •*• 2,

x-2 ' b ) g(x) = O, kai χ = 2.

a) f (χ) =

a) Duota funkcija /(χ) = χ - [χ].

χ 2 -4 , kai χ*-2,

χ + 2

2, kai χ = -2.

1) Apskaičiuokite: / (-б) , / [ ~ y j , /(-0,9), /(θ), /(3,8), / (9) .

2) Nubraižykite funkcijos /(x) grafiką.

3) Kokios šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys?

b) Duota funkcija g(x)= x-{x}.

1) Apskaičiuokite: g(-5), g(-3,7), g ^ j , g{θ), g{0,5), g(3,7).

2) Nubraižykite funkcijos g(x) grafiką.

3) Kokios šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys?

10. Nubraižykite duotosios funkcijos grafiką. Raskite šios funkcijos apibrėžimo ir

reikšmių sritis:

x 2 - l /χ X2-I a ) / W = — r > b) g(x) =

X-I x+l

11. Funkcija apibrėžta formule / (x)= ax + b . Raskite a ir b, kai:

a) /(0)=-5 ir /(7)= 9 ; b) /(θ)= 13 ir /(-3)= 4 .

12*. a) Duota /( l-2x) = x2 . Raskite /(2x + 3)

b) Duota f (X-I) = X1. Raskite f (Ix-S).

13*.a) Apskaičiuokite /(2x-l) + / ( l-2x) , jei / (2x-l) = x + 5.

b) Apskaičiuokite /(3x - 2) + /(1 - 3x), jei /(3x - 2) = χ + 7 .

14*. a) Su kuriomis argumento χ reikšmėmis funkcijos /(x) = J grafikas yra τ +1

aukščiau už funkcijos g(x) = V5x-3 grafiką?

I x + 7 b) Su kuriomis argumento χ reikšmėmis funkcijos g(x) = J - —

žemiau už funkcijos /(x) = Vx + 4 grafiką?

grafikas yra

15. a) Funkcijos y = /(x) grafikas pavaiz-

duotas paveiksle. Raskite:

1) funkcijos apibrėžimo sritį,

2) funkcijos didėjimo ir mažėjimo

intervalus,

3) su kuriomis χ reikšmėmis

/ W = o ,

4) didžiausią ir mažiausią funkcijos

/(x) reikšmes.

b) Duotas funkcijos y = g(x) grafikas.

Raskite:

1) funkcijos apibrėžimo sritį,

2) funkcijos nulius,

3) funkcijos didėjimo ir mažėjimo

intervalus,

4) didžiausią ir mažiausią funkcijos

g(x) reikšmes.

16. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = /(x),

apibrėžtos intervale [-2; 2,5], grafikas. Nau-

dodamiesi grafiku:

1) išspręskite lygtį /(x)= O,

2) raskite funkcijos f ( x ) reikšmių sritį,

3) išspręskite nelygybę f(x)>-2,

4) parašykite funkcijos f ( x ) lygtį intervale

[-2;0],

b) Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f{x), apibrėžtos intervale [— 3; 3,5], grafikas. Nau-

dodamiesi grafiku:

1) išspręskite lygtį /(x)= O,

2) raskite funkcijos /(x) reikšmių sritį,

3) išspręskite nelygybę f{x)< 3 ,

4) parašykite funkcijos f ( x ) lygtį intervale [θ;2]

17. a) Paveiksle pavaizduotas grafikas funkcijos y = f{x), apibrėžtos

intervale [—3,5; з].

1) Raskite funkcijos f ( x ) didžiausią reikšmę.

2) Išspręskite nelygybę f(x)< 0.

3) Išspręskite lygtį / (*)= -2.

4) Funkcija g(x) lyginė ir tokia, kad

visiems χ e [θ; 2] teisinga lygybė

/(x) = g(x). Raskite g(-l).

b) Paveiksle pavaizduotas grafikas funkcijos y = f(x), apibrėžtos

intervale [— 3; 3,5].

1) Raskite funkcijos f{x) mažiausią

reikšmę.

2) Išspręskite nelygybę f(x)>0.

3) Išspręskite lygtį / (*)= 1.

4) Funkcija g(x) lyginė ir tokia, kad

visiems xe[-2;0] teisinga lygybė

f{x)=g{x). Raskite g(l).

4

-i o

-1 -

. 3 3,5

18. a) Raskite funkcijos у = -χ + \ χ | reikšmę, kai χ = -2 ;

b) Su kuria argumento χ reikšme funkcijos y = 2x + 0,5 reikšmė lygi -12,5.

b) |χ-4|=7-4χ .

19. Išspręskite grafiškai lygtis

a) |x-4|=x;

20. a) Paveiksle pavaizduoti funkcijų grafikai. Kurios iš šių funkcijų yra lyginės,

kurios nelyginės, o kurios nei lyginės, nei nelyginės?

1) 4 2) УА 3) у/ь

^^X43S. / V V \ '

4) У)

0 -χ

5) У \

L j

~ л

0 -5X

6) y f 7) УА

8) У/\

-3 -2 -1 0 1 2 3 X

10) y A U b) Paveiksle pavaizduoti funkcijų grafikai. Kurios iš šių funkcijų yra lyginės,

kurios nelyginės, o kurios nei lyginės, nei nelyginės?

D УА 2) УА

5)

3) УА

/ = ^ V J U 4 I1

S > 1 ^

6 > УА

- 2

0 2 X -2

7) r,

\ /

\ A V 1 V / '

8) УА 9) У I \

7 10)

J \.У

0 Г*

- 2

-1 Ά I

2

: л

21. a) Funkcija у = g(x) yra lyginė ir apibrėžta

intervale [-2; 2). Paveiksle pavaizduotas jos

grafikas intervale [θ; 2]. Pavaizduokite jos

grafiką intervale [—2 ;θ].

b) Funkcija y = f ( x ) yra lyginė ir apibrėžta

intervale [— 1; l]. Paveiksle pavaizduotas jos

grafikas intervale [θ;ΐ]. Pavaizduokite jos

grafiką intervale [— 1; θ].

22. a) Funkcija y = f ( x ) yra nelyginė ir apibrėžta

intervale [—3; З]. Paveiksle pavaizduotas jos

grafikas intervale [0;3]. Nubraižykite jos

grafiką intervale [- 3; θ].

a) Funkcija y = f ( x ) yra nelyginė ir apibrėžta

intervale [-4; 4]. Paveiksle pavaizduotas jos

grafikas intervale [θ; 4]. Nubraižykite jos

grafiką intervale [— 4; oj.

23. Kurios iš duotųjų funkcijų yra lyginės, kurios nelyginės, kurios nei lyginės, nei

nelyginės?

a) 1) y = 2.x +1, 2)y = 3x, 3) >> = -0,4x + 5,

5) >Ήχ|+χ , 6) _y = x-sinx, 7) y = x •2x2+x6,

4) y = x +2 ,

8) y=\x+l\ + \x\.

b) 1) y = χ3 + χ , 2) y = χ+1 χ 1, 3) y = χ5 + χ3 - χ , 4) y = χ4 + -ί-, χ

5) ^ = χ3- 3x + 2, 6) .V = X-COSX, l ) y = 3x + \ , 8) y=\x\-\x-2\.

24. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos

/(x) - kx + ~ grafikas.

1) Raskite k reikšmę,

2) Raskite funkcijos reikšmę, kai χ = 8.

b) Paveiksle pavaizduotas funkcijos

f(x)~2x+b grafikas.

1) Raskite b reikšmę,

2) Raskite funkcijos reikšmę, kai χ = 3 .

25*. Apskritimo ilgis ( apskaičiuojamas pagal formulę ( = 2 π r , o skritulio plotas

5 - pagal formulę S = nr2, kur r- spindulys. Laikykite π » 3 .

Nubraižykite:

a) apskritimo ilgio priklausomybės nuo spindulio, grafiką,

b) skritulio ploto priklausomybės nuo spindulio, grafiką.

У\ 26. a) Paveiksle pavaizduotas funk- 4 2

cijos y = f ( x ) , apibrėžtos atkar-

poje [-3,5; 3,5], grafikas.

4 χ

1) Nurodykite funkcijos didėjimo

ir mažėjimo intervalus.

2) Nustatykite funkcijos lyginumą.

3) Raskite funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmes duotajame intervale.


y = g(x), apibrėžtos atkarpoje

[-3,5;3,5], grafikas.

1) Nurodykite funkcijos didėjimo 3·5 3 2 1 ^

ir mažėjimo intervalus. _i,s

2) Nustatykite funkcijos lyginumą.

3) Raskite funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmes duotajame intervale.

27. a) Dydžiai χ ir y yra tiesiogiai proporcingi. Žinoma, kad y = 1,5, kai χ = 1,2 .

Išreikškite jų priklausomybę formule.

b) Dydžiai χ u y yra atvirkščiai proporcingi. Žinoma, kad y = 2,4, kai χ = 1,5 .

Išreikškite jų priklausomybę formule.

28. a) Duota funkcija y = 2x-5. Kuris iš nurodytų grafikų yra šios funkcijos

grafikas?

b) Duota funkcija y = -2x+3 . Kuris iš nurodytųjų grafikų yra šios funkcijos

grafikas?

2) У)

1,5

^ 3 ^ 0 •V^x

6)

v \ з

0 \ *

29. a) Duotas funkcijos y = ax+b grafikas. Kuri

funkcijos lygtis atitinka duotąjį grafiką?

1) y = 3x+l , '

3) V = - J T + 1 , 3

5) y = -3x+-. 3

2) y = —x + \,

4) y = -3x +1,

b) Duotas funkcijos y = ax + b grafikas. Kuri

funkcijos lygtis atitinka duotąjį grafiką?

1) Z = - I j c - I 1 4

3) / = 4x-l ,

5) y = 4x + —. 4

2) y = -Ax-I,

4) y = -J-X-I1 4

30*. Raskite duotųjų funkcijų apibrėžimo sritis:

a) 1) y = -j2-x ,

4) y = J3-х2 + - , S) y= 19

X + X

3) У =

6) y =

x\-2·

2-х

JT- x-3x

b) 1) .y = Vx2-4+-±-, 2) y= . 3) y = *-3 V 2 I j c I " 3 x

4)У = *[Щ, S) y = - 4 - , 6 )y = -I*!-* ' V3x + 4x +1

31*.Raskite duotųjų funkcijų reikšmių sritis:

a) 1) y = 4jc+l, 2) >> = - , χ

3) >> = (x-4)2-8, 4) .y = χ-1 χ |,

5) J' = X2 -6x + 4 , 6) .Y = -4x2-12x-4.

b) 1) .y = 2x + 3 , 2) _у = 5-(х + 3)2 ,

3 )У = — , 4 )y = — , У 2x W

5) ^ = -X2 +2x-3 , 6) .y = 4x2-4x-l .

32*.a) Raskite funkcijos y = ox2 +bx + c koeficientus a, b, c, jei /(-3)=-8;

/ (0)=-2; /(3)=10.

b) Raskite funkcijos y = ax2+bx + c koeficientus a, b, c, jei /(-3)=-11;

/(0)=10; / (2)=-6.

33*. a) Raskite a reikšmę, su kuria taškas М(5; 8) priklauso nurodytos funkcijos

grafikui:

1) y = \x-9\+a , 2) _y=|x-a|-7.

b) Raskite α reikšmę, su kuria taškas м{5; 8) priklauso nurodytos funkcijos

grafikui:

1) _у = (х + з)2 +a , 2) y = (x-a)2-\.

34*.a) Su kuriomis a reikšmėmis funkcijos y = \x-3\+a grafikas kerta Ox ašį

taške, kurio abscisė lygi -1; 0; 2?

b) Su kuriomis a reikšmėmis funkcijos y = \x-3\+a grafikas kerta Oy ašį

taške, kurio ordinatė lygi -2; 3; 5?

35*. a) Kurios iš duotųjų funkcijų yra didėjančios visoje savo apibrėžimo srityje:

l).y = 3x, 2)y = 2-3x, 3) y = 4x+\ ,

4) y = ———, 5) y = x2 +x+ \, 6)y = {x-l)\ 1-х

b) Kurios iš duotųjų funkcijų yra mažėjančios visoje savo apibrėžimo srityje:

1) y = 2x + 3, 2)y = l-x, 3 ) / = I-Vx 1

1 5) y =-χ2 +2x-3 , 6) y = Vx^l. 4) / = x+3

36*. a) Funkcijos f ( x ) = -j + 2 grafikas atkerta dvi atkarpas koordinačių ašyse.

Raskite plotą trikampio, apriboto duotosios funkcijos grafiku ir minėtomis

atkarpomis.

b) Funkcijos g(x)= 3x + -įį grafikas atkerta dvi atkarpas koordinačių ašyse.

Raskite plotą trikampio, apriboto duotosios funkcijos grafiku ir minėtomis

atkarpomis.

37*. a) Remdamiesi grafikais nustatykite, kurios iš duotųjų funkcijų turi atvirkštines.

О M

\J 2) У n

1\ 3) УА

5) УА

A? 6> УА

b) Remdamiesi grafikais nustatykite, kurios iš duotųjų funkcijų turi atvirkštines.

2) Ук 3) у/

\ 0 \ '

4) УА 5) уА

6)

Vl

38*.a) Funkcijų y = ax2 ir у= 2-х grafikai kertasi dviejuose taškuose. Žinoma,

kad vieno iš susikirtimo taškų koordinatės yra (2; 1). Raskite kito susikirtimo

taško koordinates.

b) Funkcijų y = ax2-l ir y = x +3 grafikai kertasi dviejuose taškuose.

Žinoma, kad vieno iš susikirtimo taškų koordinatės yra (-1;2). Raskite kito

susikirtimo taško koordinates.

39*. Išrinkite funkcijas, kurios turi atvirkštinę funkciją:

a) f(x)=3x-S ; g(x)=x2-5x + 6, x<3;

h{x)=x2, -2 < χ < 2 ; m(x)=(x-4)2;

"M=-L-; u{x)=4-x-2

v(x)= COS^x--Jj ; /(x)=sinx, --^<x<y ;

b) / (x)=* 3 +2; g(x)= 3

x + 2

h(x)=x2 +4 , x<0 ; m(x)=^x2, - 4 < x ^ 4 ;

n(x)=(x-2)2+3 ; u(x) = y[x +T;

v(x)=cosx, 0 < π < π ; /(χ)= sinl 2x--^

χ+ 2 40*. a) Kuri iš nurodytųjų funkcijų yra funkcijos /(x) = atvirkštinė?

β b) Kuri iš nurodytųjų funkcijų yra funkcijos fix)= 2 atvirkštinė?

x + l

l ) g ( x ) = f ± i , 2 ) Λ ( χ ) = % ^ , 3) 4 - ) - 7 ¾ . 2x -1 χ +1 x - l

Raskite nurodytos funkcijos atvirkštinę funkciją ir vienoje koordinačių

plokštumoje nubraižykite duotosios ir jai atvirkštinės funkcijų grafikus (35-41):

b) / (* )= 4-2* . 41*.a) / (* )= 2x+l,

42*.a) g(x)=x2-4χ + 4, kai x<2 .

43*. a) /(x) = Vx + 2 ;

44*.a) /(x)=-VJC-T;

45*.a) f(x)=\lx + 2 •

46*. a) /(χ) = x + l

b) g(x)=x2+ 2x+l, kai x>-

b) / ( x ) = V ^ T .

b) /(x)= --fx+2 .

b) f(x)=\/7^T.

1 b) / W =

x-2

47*. a) /(x)=3*; b) /(•*•)= 2"

48*. Raskite duotosios funkcijos atvirkštinę funkciją ir duotosios bei jai atvirkštinės

funkcijų apibrėžimo sritis:

a) / W = 3x + 2

X - I b) / W =

l-2x

l + x

49*. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = /(x) grafikas.

1) Nubraižykite šiai funkcijai atvirkštinės funkcijos y = g(x) grafiką.

2) Nustatykite funkcijų /(x)ir g(x) apibrėžimo bei reikšmių sritis.

У = /(.*)

50*.Parašykite duotai funkcijai atvirkštinę funkciją ir raskite abiejų funkcijų

apibrėžimo bei reikšmių sritis:

a) / (* )= 3x-5

x + l ; b) f(x)= 4x + l

X - I

* * -k

1.2. Funkcijų taikymai

1*. a) Išreikškite iškiliojo daugiakampio vidaus kampų sumą kaip jo kraštinių

skaičiaus funkciją.

b) Cisterną, kurios tūris lygus 1000 i/m3, reikia pripildyti benzino. Siurblys per

1 minutę į cisterną pripumpuoja 501 benzino. Išreikškite į cisterną įleisto

benzino kiekį (litrais) kaip laiko funkciją.

2. a) Audinio kaina tiesiog proporcinga audinio ilgiui. 4,8 m audinio kainuoja

72 Lt. Nubraižykite audinio kainos priklausomybės nuo audinio ilgio grafiką.

Kiek metrų audinio galima nusipirkti už 180 Lt ? Kiek kainuoja 6,2 m

audinio?

b) Šeimos išlaidos atostogų metu yra tiesiogiai proporcingos atostogaujamų

dienų skaičiui. Per pirmąsias 5 atostogų dienas šeima išleido 428Lt.

Nubraižykite išlaidų priklausomybės nuo dienų skaičiaus grafiką. Kiek dienų

šeima gali atostogauti tam skirdama 1284 Ltl Kiek pinigų šeima išleis per 12

atostogų dienų?

3. a) Važiuodamas pastoviu 90 — greičiu automobilis 100 km keliui nuvažiuoti h

sunaudoja 8( degalų. Parašykite sunaudojamų degalų priklausomybės nuo

nuvažiuoto kelio formulę. Kiek degalų bus sunaudota 500 km nuvažiuoti?

Kokį atstumą galima nuvažiuoti su 70 i degalų?

b) Vienas kilogramas cukraus kainuoja 3,1 Lt. Šeima per dieną sunaudoja

200 g cukraus. Parašykite išleidžiamų cukrui pinigų priklausomybės nuo dienų

skaičiaus formulę. Kiek pinigų šeima išleis cukrui per 30 dienų? Kelioms

dienoms šeimai užteks cukraus, nusipirkto už 31 Ltl

4. a) Sandėlyje yra 80 detalių. Kiekvieną valandą iš cecho į sandėlį atiduoda

po 6 detales. Detalių, kurios bus sandėlyje po t valandų skaičių išreikškite

funkcija f (t). b) Jonas turi 500 Lt. Kiekvieną dieną jis išleidžia po 10 Lt. Pinigų, kuriuos jis

turės po χ dienų kiekį išreikškite funkcija f ( x ) .

5. a) 6 vai ryto iš kaimo į miestą išėjo pėstysis. Pirmąją valandą jis nuėjo 6 km ,

sekančią valandą tik Акт . Po to 30min ilsėjosi. Toliau eidamas vidutiniu

- km 5 — greičiu, pėstysis atėjo Į miestą 10 vai ryto.

h 1) Sudarykite nueito kelio priklausomybės nuo laiko lentelę ir nubraižykite

šios priklausomybės grafiką.

2) Iš grafiko nustatykite atstumą tarp miesto ir kaimo.

b) Dviratininkas išvažiavo iš miesto į kaimą 8 vai ryto. Pirmąją valandą jis

važiavo 1 0 — greičiu, o antrąją- 1 2 — greičiu. Po to 30 min ilsėjosi. h h

Toliau važiuodamas 1 5 — greičiu iš miesto į kaimą atvyko 12 vai dienos. A

1) Sudarykite nuvažiuoto kelio priklausomybės nuo laiko lentelę ir

nubraižykite šios priklausomybės grafiką.

2) Iš grafiko nustatykite atstumą tarp miesto ir kaimo.

6. a) Kamuoliukas krenta iš 20 m aukščio. Jo pradinis greitis lygus nuliui.

1. Remdamiesi formule A = -^gt2 + v0/ + A0, čia Λ-aukštis metrais, t —

kritimo laikas sekundėmis, g я 9,8-^-, A0 - pradinis aukštis, v0 - pradinis i

greitis. Užrašykite funkcijos h(t) išraišką.

2. Nubraižykite funkcijos h(t) grafiką.

3. Iš grafiko nustatykite:

1) kiek laiko kris kamuoliukas,

2) kada jis krinta greičiau, pirmąją ar antrąją sekundę (atsakymą pagrįskite),

3) kokiu atstumu nuo žemės kamuoliukas bus po 1,5 s .

b) Futbolininkas treniruotės metu smūgiavo galva kamuolį vertikaliai į viršų

pradiniu 10— greičiu. s

1. Remdamiesi formule A = - ^ g t 2 + v0/ + A0, čia Α-aukštis metrais,

t - laikas sekundėmis, A0 - pradinis aukštis, v0 - pradinis greitis, g я 9,8 —j-,

A0 = 2 m , užrašykite funkcijos h(t) išraišką.

2. Nubraižykite funkcijos h{t) grafiką.

3. Iš grafiko nustatykite:

1) kiek laiko kamuolys kilo į didžiausią aukštį,

2) kada kilimo greitis yra didesnis, pirmos sekundės pradžioje ar gale

(atsakymą pagrįskite),

3) į kokį apytiksliai didžiausią aukštį pakyla kamuolys,

4) po kiek sekundžių nuo smūgiavimo kamuolys nukris ant žemės.

7*. a) Paveiksle pavaizduotas žiedas.

Išorinio apskritimo spindulys yra 2 cm . Vidinio apskritimo spindulį pažymė-

kime JC. Laikykite, kad π = 3 .

1) Parašykite formulę, išreiškiančią žiedo ploto priklausomybę nuo vidinio

apskritimo spindulio x.

2) Kokia nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis?


b) Paveiksle pavaizduotas žiedas, kurio

išorinio apskritimo spindulys yra 2 cm .

Žiedo plotį pažymėkime x. Laikykite,

kad π = 3 .

1) Parašykite formulę, išreiškiančią žiedo ploto priklausomybę nuo jo pločio JC. 2) Kokia nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis?


8. a) Kovo mėnesio trečiojo dešimtadienio temperatūros matavimų rezultatai

surašyti lentelėje:

Dienos 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Temperatūra -2 -3 0 1 0 2 2 5 6 8

1) Nubraižykite temperatūros kitimo per šį dešimtadienį grafiką.

2) Kokiuose taškuose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį?

b) Kovo 22 dieną matuojama temperatūra kas 3 valandos. Gauti matavimo

rezultatai surašyti lentelėje:

Laikas 1 4 7 10 13 16 19 22

Temperatūra 1 -1 -3 0 2 4 2 -1

1) Nubraižykite temperatūros kitimo grafiką.

2) Kokiuose taškuose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį?

* * *

2. Laipsninės funkcijos 2.1. Pagrindinės laipsninių funkcijų savybės ir jų reikšmių skaičiavimas

1. a) Duota funkcija f ( x ) = x21. Palyginkite funkcijos reikšmes:

1) /(8,2) ir /(9,8), 2) /(-4,8) ir /(-6,2);

b) Duota funkcija / ( x ) = x2] . Palyginkite funkcijos reikšmes:

1) /(9,7) ir /(7,5), 2) /(-8,2) ir /(-6,5).

2. a) Duota funkcija f(x)=Ųx . Palyginkite funkcijos reikšmes:

1) /(2,8) ir /(3,2), 2) /(-4,8) ir /(-2,3);

b) Duota funkcija / (* ) = —Jj-. Palyginkite funkcijos reikšmes:

1) /(12,7) ir /(13,6), 2) /(-14,2) ir /(-12,l).

3. Į kokią aibę funkcija f{x)=\[x atvaizduoja intervalą:

1 a) 32

;0 b) [l; 243].

4. Į kokią aibę funkcija f(x)=tfx atvaizduoja intervalą:

a) —;4096 64

b) [0;729],

5*. Šaknį pakeiskite laipsniu su trupmeniniu rodikliu:

. ) ^ 4 2 ; l-lfa-Ųa2 ; - J H ; - ± = · i 5 Va+ 3

b) л/53 ; 3\/д , 9

V i ' V(« + 2)2 ·; ^ j 7

6*. Reiškiniuose laipsnius su trupmeniniais rodikliais pakeiskite šaknimis:

1 1 5

a) 33 -y4 ; (ab) 7;

b) 6 5 -χ8 ; (ху)'з ;

U

χ

\У)

_i I ч 1 0,8 -2,6 χ3 -/3; и · ; m ' .

i L ч 0,4 -3,4 ; as -bs ; z · ; m ' .

7. a) Raskite funkcijos /(χ)= 2x 2 reikšmių sritį, jei ji apibrėžta

intervale χ e 1— 2— . L 3 3.

b) Raskite funkcijos g(x) = 3x~3 reikšmių sritį, jei ji apibrėžta

intervale χ e 2- ;3-4 4

8*. Išspręskite lygtis:

. i 81 а) л: 4 · χ 4 = — ;

256

9. Palyginkite skaičius:

a) 1) 3,54 ir 3,84 ,

3) (-3,1)5 ir, (-3,2)5

b) 1) 0,35 ir 0,55,

3) (-0,2)3 ir (-0,4)3,

b) χ 3 ·* 6 =1,44.

2) 2,26 ir (-2,5)6,

4) (-4,6)4 ir (-4,8)4;

2) 0,64 ir (-0,8)4,

4) (-0,6)8 ir (-0,55)8.

10. a) Duota funkcija /(χ) = χ2 -x 3 .

Apskaičiuokite: / ( l ) ; /(2); /(-3); /(4).

b) Duota funkcija /(x) = X4 - χ .

Apskaičiuokite: / (-l) ; /(-2); / f l ) ; / (

11. a) Kurios iš duotųjų funkcijų yra lyginės:

1) y = -2xs +4 , 2) g(x) = -X3 +1,

I x l 3) h(x)=—^-

X4 + 15 4) m(x)=

X3-X

b) Kurios iš duotųjų funkcijų yra nelyginės?

1) /(x)=x3-|x|,

3) A(x)=-

2) g(x)=-- X - X

4) /я(х)=-—x + 3x5.

12. Duotą reiškinį išreikškite algebrine trupmena:

a) a b-'+a b'2·, b) (mn) l+m 2 • n .

13. a) Išreikškite 12 km2 kvadratiniais metrais ir atsakymą užrašykite standartine

išraiška.

b) 0,83 m2 išreikškite kvadratiniais kilometrais ir atsakymą užrašykite

standartine išraiška.

14. a) [kelkite dauginamąjį po šaknies ženklu, laikydami, kad kintamieji įgyja tik

neneigiamas reikšmes:

1) 7a2 -yfab , 2) 5ab2-Ila2I.

b) [kelkite dauginamąjį po šaknies ženklu, laikydami, kad kintamieji įgyja tik

neneigiamas reikšmes:

1) Sx--Jlx , 2)2

15. a) Duotos funkcijos /(x)=x2005 ir g(x)=x2""6. Išdėstykite mažėjimo tvarka

skaičius / t- l ) , / ( l ) , g(-6), g(3).

b) Duotos funkcijos /(χ) = χ2004 ir g(x) = x2"(6 . Išdėstykite didėjimo tvarka

skaičius /(-5), /(2), gįl), g(-l).

16. a) Kuris iš duotųjų taškų ^(-5; 45) ir £(l,5;-4,05) priklauso funkcijos

y = l,8x2 grafikui?

b) Kuris iš duotųjų taškų л(-3; 23,4) ir в(-5; 65) priklauso funkcijos

y = -Ifix2 grafikui?

17. a) Kuris iš pateiktų grafikų eskizų yra funkcijos y = 2-х

D r, k 2) y\

K S k 3) y\

J 0 "J 0 4 -X 0 r

4) VA

b) Kuris iš pateiktų grafikų eskizų yra funkcijos y = -1 Ix ?

1) УА 2) УА

Ju 4 л *>· n 4 V

3 ) 4 J 4)

Г '

Palyginkite skaičius (18-20):

18. a) V4 ir V6 ; b) ir ^42 .

19. a) VŠ ir V9 ; b) VlO ir V I .

20. a) V7 ir т/зУг ; b) V? ir ^/TW .

21. Pakelkite nurodytu laipsniu:

а) (^л/о3"! ,kai a > 0 ; b) ^Vo^j , k a i a >0 .

Suprastinkite reiškinius (22-33):

22. a) , ; b)

„ 100" . 36" a ' 22"+1.52"-2 ' 22n+2 '

, , „ 418" 22n-i.y+i 24. a) —r—: r ; b) .

3 -2 6-12"

1 0 - 2 " 25. a) ; b) — : r .

2-5" 2 + 2

26. a) j ; b) A — į- .

(4--4""1) (8 +2-8")

27. a) ( x ^ J i f ; b) ( * 3 - . * - ) 3 : ( *- ) 2 .

28. а) л/50-^3-6л/2+^24+л/8 ; b) л/98 - VŠ - л/32 + Vl35 - VTŠ .

29. а) 5л/50-Зл/32+4-Лб ; b) VŠ4-3^6 +6Vl28 .

30. a) StfiŠ, kai JC > 0 ; b) ,kai χ > 0 .

31. a) | V 2 · 2 5 V . kai JC>0, / <0; b) 0,llį-^jx'2y2, kai JC>0, / < 0 .

32. a) ^243-^2197:33; b) ^16-^128:23.

33. a) б ^ х + ^ х ^ у - ^ х - у - ^ + --^xi-y ,čia * > 0 , _y>0;

b) + -ДаЬ- JlSab + \[а* +-J^Šb ,čia а>0, b>0 .


34. a) VŠT ;

35. a) ^6561 0,0625 ;

36. a) 1 , б 1 5 V 4

38. a) (-36)4

256

39. a) 7-V(-4)3 -V(-8)4 ;

40. a)

41. a)

V(-5)4 .(-5)3 V ^ S T 7

V243-(-5)5

3 ·./— - 2.1— +-Je+ -JlSO УЗ V 2

42. a) VVl5-V6 -VVlS+л/б ;

43. a) ĮV4 + V7 +sjA--Jl j ;

44* 5(-4/3- V?)2

(2-Vfl)(2 + V i l ) '

b) V-243 .

625 Ж л1 16 256

b) (0,2 - л/50)2 -^-(л/77)2

Ь)

b) (-3)6

64

b) 8-V(-51)7 -^/(-12)8

b) τ

(-2)1 2

4 V (-3)6

b) I 5 V 2

л/То

b) V 7+ V22-V7-л/22

b) -у/з + л/5 -л/з-л/5

b) 7(уу VJ)2

45. a) (-3).(-5)14-(-5)'2 .

5"·19

(-2).(-3)17-(-3)16

b) 9' 15

46. a) 273 +1253 +83 b) 83 + n 2

2

+V1253

48. а)

/ .V 3

64 9

ч J

+ (0,027) 3 + ; b)

f 81 8

ч J

+ (0,125)3 -

49. a) 256"'° + (-2)-2; b) 6250,25 - Į - ~ '

264 .Q25

50. a) ^ r b)

328-1544

12514 · 2723

-0,75

51. а) (0,25) 2 +3-0,0081-°'25+1-ρ-I + 1 6 , \ 0,25

b) (6,25)0'5 · -— -(-4)-'-(0,343)° 1 1 6 ;

52. a) ψ 5 | -VO,0081-

53*. a) VŠ · 20'5:21,25;

n l± 16

54*.a) ^128-81-24 ;

55*.a) V2,0 - 320 ;

b) #1-30-6 :31'4.

b) V75-243-625 .

b) Vs24-316 .

56*. a)

b)

i i i I 52 ·23 +53 ·22

I 2

26 +56

N /

f - 1 i ι V

22 -33 +23 ·32

26 +36

i i i i 52 .2з _ 5з .22

56 -26

' i i i i 22 . 3 3 — 23 ·32

2 ^ 26 -36

\3

Įrodykite, kad ši lygybė teisinga (57-59):

57*.a) V43 + 30V2 +V43-30V2 =10; b) ^S l+ м Л - V57-40a/2 = 10.

58*.а) ^10 + 6л/з +^Ю-бл/з =2 ;

59*.a) l į l + yfsO -VVŠ0-7 =2 ;

b) V26 + 15VJ+^26-15л/з =4 .

b) ^2 + л/5+V2-V5 =1.

60*. Apskaičiuokite reiškinių reikšmes:

a) 2a2-ab-b2, kai e = V5 + l , A = V J- I ;

b) 2a2-5ab + 2b2, kai a = V6+VŠ, A = V6-VŠ .

1 1

61. a) Kugio tūrio formulė yra V = -TiR . Iš šios formulės išreikškite kūgio

pagrindo spindulį /?. 4 i

b) Rutulio tūrio formulė yra V =—nR . Iš šios formulės išreikškite rutulio

spindulį Л. 62. Kuris iš duotųjų teiginių teisingas:

a) 1) VŪ + Vl2<5 ,

3) V132 +122 =5,

b) 1) Vl8 + V7>5 ,

3) Vl8+7 <5,

2) V l T ^ 12 =5 ,

4) V n - V i b l ;

2) V182 -72 =5 ,

4) Vl8+V7 =5 .

63. a) Su kuriomis kintamojo χ reikšmėmis reiškinys

prasmę?

b) Su kuriomis kintamojo χ reikšmėmis reiškinys

Vi-χ + v* + 2x

x + l tun

x + l

Vx + 1 turi prasmę?

Raskite funkcijų apibrėžimo sritį (64-67):

64. a) f(x) = Vx2 -2x + 4 +-Jx2-4x+3; b) / (x )= Vx2 +1 +л/х2 +х-2 .

65. a) / (χ )= V Т ^ + Ц х - 2 ; b) g(x) = V i ^T + Vl + 2x .

66 ' · a ) / W = b ) ^ w = V 9 ^ 7 + .

67. a) / (x ) = t /25-X 2+ V T ^ T ; b) 9- ' į / l 6-x 2 .

Apskaičiuokite reiškinio reikšmę ir ją užrašykite standartine išraiška (68-70):

68. a) (8,1 IO"13 )-(9,3 -IO8); b) M O

12

,-15

6 9 , 3,610"18 + JQ 1 IT, , (б.10-27).(з.Ю17)

0,45-10"19 2 -IO"5 ' 9,6-1025

-——-—j—— 21,4-10"'^; 4-10 6,4-10

Raskite duotųjų funkcijų reikšmių sritis (71-72):

71*.a) / ( x ) = V ^ T ; b) g(x)= V ^ r 2 .

72*.a) / ( x )=2 + V ^ ; b ) s ( x ) =V7-3 .

73. Išdėstykite duotuosius skaičius mažėjimo tvarka:

a)5л/б; 2-V27; V9 ; b) 2- 5 ; 3-^25; V l6 .

Išdėstykite duotuosius skaičius didėjimo tvarka (74-76):

74. a) V ^ 2 ;2; VtO ; Ь ) - ; ^ ; 1 ; ^ · 2 π

75. a) V3, VŠ, л/2, VTT; b) J l , V I , V4 , lVlS .

76*.a) V Š W , V 2 W , , VTl0 ;

b) V 3 W , V3V2, V 2 W . V v 6 , V2V3 ·

77*. Suprastinkite trupmenas, laikydami kad kintamieji įgyja tik teigiamas reikšmes:

b) m 9 , i a) ^ 2

X 3 + X 3 ^ 3 + Y 3

-+2уъ;

X 3 - X 3 > > 3 + ^ 3

78. Pakeiskite trupmena, neturinčia šaknies ženklo vardiklyje:

a) I ) - ? = , 2) S

b ) l ) ~ , 2) V5

Apskaičiuokite (79-80)

7 - 4л/з 7 + 4-Уз 79*. a) vZ-+ v Z ;

7+4V3 7-4V3

12

2

V T

3

*/27 '

3)

3)

1

л/5+л/з '

9

л/7-1 '

4)

4)

-2^3 .

л/5+2

л/5—2 '

л / 2 - 1

л/2 + 1

b) 9-4л/5 | 9 + 4л/з

9 + 4л/5 9-4л/5

80*. а)

b)

28 I + -,λ/Ϊ5-3 Λ/Ϊ5-1 2-Λ/3

12 15 4 - + -

,л/б + 1 л/б-2 3-л/б

(б-л/з);

(л/б + ll).

81*.а) Duota funkcija / ( χ ) = χ 2 . Apskaičiuokite: / ( 4 ) , / I - J . / ( 0 , 0 l ) .

' Λ

b) Duota funkcija / ( x )=x 3 .Apskaičiuokite: / ( l ) , / (δ ) , / [ j J ·

-(*0·5)2 grafiko 82*. a) Kuriame paveiksle pavaizduotas funkcijos y =

eskizas?

χ

Ч y

6) У) k

V ^

л

b) Kuriame paveiksle pavaizduotas funkcijos y

eskizas?

1) >Ά 2) M

ι χ

5) У) v

О

Grafiškai išspręskite lygtis (83-84):

83*.a) χ2 = 6 - * ;

/ Į Л ®

X

ч y

grafiko

2

84*. a) χ1 = 1

2 '

b) X 4 = X 3 .

2

b) X 3 = x-4 .

85. a) Duota funkcija / (x )=x 4 . Raskite:

l ) / ( l 6 x ) , 2 ) / (S ix 4 ) , 3) / ^ x

_2

b) Duotafunkcija / (x)=x 3 . Raskite:

1) /(8x3) , 2) / (χ" 6 ) , 3) f [ ± x

4) / И -

4) / И ·

86*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcija _y = (3x + l)5 įgyja reikšmę, lygią 3?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcija _y = (3x + l)5 įgyja reikšmę, lygią 2?

Apskaičiuokite funkcijos reikšmę su nurodyta argumento reikšme (87-88):

87*. a) / ( χ ) = 4 Ε Ζ , kai х = л/з ; b) g(x)= , kai x = V? .

88*. a) / (* )= , kai χ = — ; b) e(x)= 64 w

,24

, kai χ = 125 .

89*.a) Duota funkcija / (* )= I f x .

1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko susikirtimo su tiese У ~~ taškų

koordinates.

2) Palyginkite skaičius /(δ)+1 ir /(27).

3) Išspręskite lygtį f(x)· (f{x)-1) = O .

4) Raskitefunkcijos / [ — — ^ 2x —1

b) Duota funkcija f(x)=i[x . 1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko susikirtimo su tiese y = 2 taškus.

2) Palyginkite skaičius /(8l)-l ir /(l6).

3) Išspręskite lygtį /(*)• (/"(*)-1)= O .

4) Raskite funkcijos f(x2 -з) apibrėžimo sritį.

90*. a) Duota funkcija f(x)= Xi. 1) Išspręskite lygtį /(Зх-2)= 27 .

2) Parodykite, kad su visomis realiosiomis χ reikšmėmis teisinga lygybė

/ (x- l )</ (x) .

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f{x) grafikas yra aukščiau I-ojo

koordinatinio kampo pusiaukampinės?

b) Duota funkcija / (* )= x2.

1) Išspręskite lygtį /(2x-l)= 1.

2) Parodykite, kad su visomis realiosiomis χ reikšmėmis teisinga lygybė

/(x-l)+10>2x.

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f(x) grafikas yra žemiau antrojo

koordinatinio kampo pusiaukampinės?

* * *

2.2. Atskiri laipsninių funkcijų atvejai

1. Kurios iš duotųjų funkcijų yra tiesinės?

a) 1 = 2 )y = 3*2+7, 3)y = \2x + 7\, 3-х

4) y = 5-x, 5 ) ^ = - + 3, 6 ) ^ = 8x+l, 7) y = 2(*-3) + 4. χ

b) i) y = — + 5x + 6, 2) / = χ4 + 3x + 7 , 5)y = 5x2-\, x+\

3 ) y — x, 4) y = \6x\, 6) y = - - 7 , 7)y = ~ . χ 2

2. a) Su kuria k reikšme funkcijos y = kx + 6 grafikas lygiagretus funkcijos

y = 7 χ-i grafikui?

b) Su kuria a reikšme funkcijos y = ax + 5 grafikas lygiagretus funkcijos

y = -9x + 6 grafikui?

3. a) Voras juda plokštumoje pagal dėsnį, kurį nusako tiesinė funkcija y = 0,3*, o

musė pagal dėsnį, nusakomą tiesine funkcija y = -6x+3. Kuriame

koordinatiniame ketvirtyje susikerta voro ir musės keliai?

b) Dvi skruzdėlės juda plokštumoje pagal dėsnius, kuriuos nusako tiesinės

funkcijos: y = 4x+2 ir y = -6x + 3. Kuriame koordinatiniame ketvirtyje

susikerta skruzdėlių keliai?

4. Raskite duotųjų funkcijų apibrėžimo ir reikšmių sritis:

2 4 a) y = — 3; b) y = 5 + — .

χ χ

5. a) Kurios funkcijos yra didėjančios visoje savo apibrėžimo srityje?

D y = - , 2) y = - - , X X 3) y = -3 + ~, 4 ) y = ~ .

χ x + 2

b) Kurios funkcijos yra mažėjančios visoje savo apibrėžimo srityje?

n 3 -n 2-8

X X

3) У = 5—- , 4) y = - X

χ x + 3

6. Palyginkite funkcijų /(x)=x8 ir g(x)=x9 reikšmes:

a) 1) /(5,3) ir /(-6,4), 2) g{l,3) ir g(-8,l),

3) / f į o f ! ir i f į o i ] , 4) / i - l f ) ir g(' 9

3 I 13

b) i) /(-7,9) ir /(-8,1), 2) - 5 ^ J ir

3) / I " i I irgi — I , 4) / U 2 I l i r J 21 7

6 J V 19

4

7*. a) Raskite funkcijos /(χ)=χη apibrėžimo ir reikšmių sritis.

7

b) Raskite funkcijos g(x)= χ 4 apibrėžimo ir reikšmių sritis.

8*. a)Žinoma, kad f(x)=x4 , g(x)=x~2 . [rodykite, kad /( l6x8)= 2(g(x))~'.

2

b) Žinoma, kad /(x) = x3 , g(x) = x-3 . Įrodykite, kad /(27x3)=9(g(x))~7 .

9*. a) Įrodykite, kad 2 /(x)=/(l28x), jei f(x)=lfx .

b) Įrodykite, kad 2 /(x)=/(32x), jei f{x)=l Afx .

10. a) Parabolė y = /(x) eina per tašką M. Raskite nežinomą koeficientą, jeigu:

1 ) / ( X ) = - 2 X 2 + X + C , m(0;-3), 2) /(χ)=αχ2-Зх + 5 , м(-1;9)?

b) Parabolė = g(x) eina per tašką N. Raskite nežinomą koeficientą, jeigu

1) g(x) = 3x2 -15x + c , w(0;4), 2) g(x)=-5x2+Ьх + Ί , n(- 1;0).

11. a) Raskite p ir q reikšmes, su kuriomis parabolės y = X2 + px + q viršūnė yra

taške /4(-3; 4).

b) Raskite p ir q reikšmes, su kuriomis parabolės y = x2 + px + q viršūnė yra

taške fi(l;5).

12*. a) Žinoma, kad kvadratinei funkcijai /(x)= ax1 +bx + c teisingos nelygybės

/(—1)< 1, / ( l )> -1, /(з)< - 4 . Nustatykite koeficiento a ženklą.

b) Žinoma, kad kvadratinei funkcijai f(x)=ax2 +bx +c teisingos nelygybės

/(-3)< -5 , /(-l)> 0, /( l )< 4 . Nustatykite koeficiento a ženklą.

13*. Paveiksle pavaizduotos parabolė ir tiesė. Parašykite parabolės ir tiesės lygtis.

Raskite jų susikirtimo taškų abscises. . y

a) b) .A ,

14*. Paveiksle pavaizduota parabolė ir jos liestinė. Raskite lietimosi taško ordinatę.

15*. Raskite duotųjų funkcijų apibrėžimo sritis:

a) f{x)=Ą4-x2) j 6 ^ ; b) /(*)= Ą-x2)-lg2(3-x).

16*. Raskite duotųjų funkcijų reikšmių sritis:

a) f(x)=ylx2+ 2*+10; b) / (* ) = hx2 + 6x + 12 .

17*.a) Duota funkcija / (* ) = 7зх2 -4дг + 3 . Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo ir

reikšmių sritis.

b) Duota funkcija g(x)=<Jx2-Ъх + А . Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo ir

reikšmių sritis.

18. a) Raskite funkcijos f(x)=-x2 +Ax + 3 reikšmių sritį,

b) Raskitefunkcijos g(x)= x2 + 6x + 2 reikšmių sritį.

19*.a) Raskite funkcijos /(χ)= v2x-x2 apibrėžimo ir reikšmių sritis,

b) Raskite funkcijos /(x) = V6 + 5x-x2 apibrėžimo ir reikšmių sritis.

20. a) Išrinkite iš duotųjų funkcijų tiesioginio proporcingumo funkciją, kurios

grafikas eina per tašką м(2; - б):

Y) у = 2-Αχ, 2) у = -Зх, 3) y = -l,6x, 4 ) ^ = x-8 .

b) Išrinkite iš duotųjų funkcijų tiesioginio proporcingumo funkciją, kurios

grafikas eina per tašką м(з; -15):

1) j> = -21 + 2x , 2) y = -6x+\x\, 3)y = -5x, 4 ) y = x-18.

21. a) Su kuria p reikšme taškas a(0,2;-6) priklauso atvirkščio proporcingumo

funkcijos y = — grafikui? χ

b) Su kuria k reikšme taškas в(-0,4; -б) priklauso atvirkščio proporcingumo

Ic funkcijos y = — grafikui?

χ

22. a) Raskite tiesioginio proporcingumo funkcijos /(x)=foc koeficientą k, jeigu:

1) / (-1)=4, 2 ) / (2 )=3 , 3)/(0,5)=3,5, 4 ) / j ^ | j = - | .

. . į b) Raskite atvirkščio proporcingumo funkcijos g(x)=— koeficientąjeigu:

χ

l ) g (- l )=4 , 2)g(2)=3, 3)g(0,5)=4, 4 ) ^ | j = | .

23. a) Skaičiai χ ir y yra atvirkščiai proporcingi. Žinoma, kad y = 2,4, kai χ = 1,5 .

Šią priklausomybę užrašykite formule.

b) Dydžiai χ ir y yra tiesiogiai proporcingi. Žinoma, kad y = 12 , kai χ = 2,4 .

Šią priklausomybę užrašykite formule.

24. a) Skaičių 2478 padalinkite į dalis

1) tiesiog proporcingas skaičiams 2; 5 ir 7,

2) atvirkščiai proporcingas skaičiams 2; 5 ir 7.

b) Skaičių 136 išskaidykite į 4 dėmenis taip, kad pirmieji trys būtų tiesiog

proporcingi skaičiams 1; 3 ir 6, o paskutinieji du-tiesiog proporcingi

skaičiams 5 ir 3.

25. a) Automobilis važiavo 90 — greičiu ir nuvažiavo tam tikrą atstumą per 4 h . h

Per kiek laikojis nuvažiuos tą patį atstumą, važiuodamas 120— greičiu? h

b) 15 darbininkų brigada atlieka darbą per 8 dienas. Per kiek dienų tą patį darbą

atliks 12 darbininkų?

26. a) Už 16 m medžiagos sumokėta 1401/. Kiek kainuoja 12 m tokios pat

medžiagos?

b) Už 6 kg saldainių sumokėta 30 Lt. Kiek kainuoja 800 g šių saldainių?

27. a) Turime du aukso ir sidabro lydinius. Pirmajame lydinyje šių metalų kiekiai

sutinka kaip 2:3, o antrajame kaip 3:7. Raskite pirmojo lydinio masę, jei jis

sulydytas su antruoju sudaro naują lydinį, kurio masė 12 g ir kuriame aukso ir

sidabro kiekiai sutinka kaip 3:5.

3 5 3 b) Trijų žemės sklypų plotų santykis yra 2- :1- :1- . Žinoma, kad iš pirmojo

4 6 8

sklypo gauta 72 cnt grūdų daugiau negu iš antrojo. Raskite bendrą visų trijų

sklypų plotą, jei vidutinis kiekvieno sklypo derlingumas yra 18 cnt grūdų iš 1 ha.

Jc * *

2.3. Lygtys ir nelygybės

Išspręskite lygtis (1-4):

1. . ) 2 ^ + 5 - ^ - 2 - 3 ; 1))3^+7-1-^+10 = 120.

2. a) 4—:5— = jc: 12 ; b) 5- :3- = x:15. 8 4 6 2

3. a)-x+6-|3--x] = 17; b) 3-f —x +3 ]-—JC = 8. 5 { 5 J {5 J 5

. . 2JC + 20 JC+ 12 . _ χ+ 5,7 2x-l _ 4. a) = O; b) = O .

2,4 1,5 2,5 4

5. a) Lygties Ax = 3 šaknis yra 0,4. Raskite lygties Ax = -I šaknį,

b) Lygties fcc = 4 šaknis yra -1,5 . Raskite lygties kx = I šaknį.

Išspręskite lygtis su visomis a ir b reikšmėmis (7-8):

6*. a) αχ+1 = (2-α)·χ + α ; b) лс + 2 = (4-а)-х + а .

7*. a) (α + ΐ)·(α-ΐ)·χ = α + 1; b) (α-2)·(α + 2)=α-2.

8*. a) {b-5) (b + 3)-x = b2-25 ; b) {b + 3) (b-7)-x = b2-49.

9. a) Dviejose krūvose yra 320 akmenų. Kai iš pirmosios krūvos į antrąją buvo

pernešti 27 akmenys, o iš antrosios išvežta 70 akmenų, tai abiejose krūvose jų

liko po lygiai. Kiek akmenų buvo pirmojoje krūvoje iš pradžių?

b) Urnoje buvo 123 balti ir raudoni rutuliukai. Kai iš urnos išėmė 17 baltų ir

įdėjo 40 raudonų, tai abiejų spalvų rutuliukų pasidarė po lygiai. Kiek baltų

rutuliukų buvo urnoje iš pradžių?

10. a) Besirengiantiems naujiems mokslo metams trims sūnums tėvai išleido tam

tikrą sumą pinigų. Vyriausiam sūnui išleido 30 Lt mažiau už pusę sumos,

jaunesniajam sūnui -10 Lt mažiau už trečdalį, o jauniausiajam -8 Lt daugiau

už ketvirtadalį visos sumos. Po kiek Lt išleido tėvai kiekvienam sūnui.

b) Trys draugai Jonas, Petras ir Antanas vasaros atostogų metu dirbdami

pajūryje dviračių nuomos punkte per savaitę uždirbo tam tikrą pinigų sumą.

Jonas uždirbo penktadalį tos sumos ir dar 26 Lt, Petras - ketvirtadalį tos sumos

ir dar 50 Lt, o Antanas 50 Lt mažiau už pusę visos tos sumos. Po kiek Lt per tą

savaitę uždirbo Jonas, Petras ir Antanas?

11. a) Dešimtąją dalį turėtų pinigų Birutė išleido knygoms, o už penktąją likučio

dalį nusipirko rankinę, kainavusią 36 Lt. Kiek Lt Birutė išleido knygoms?

b) Šeštadalį turėtų pinigų Dalia išleido rašymo priemonėms, ketvirtadalį-

pratybų sąsiuviniams, o 45 Lt skaičiuotuvui. Kiek Lt Dalia turėjo, jei

2 pirkiniams ji išleido — turėtų pinigų?

12. a) Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė yra 8 cm trumpesnė už pagrindą.

Raskite trikampio kraštines, jei jo perimetras 44 cm.

b) Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė ilgesnė už pagrindą 7 cm. Raskite

trikampio kraštines, jei jo perimetras 44 cm.

Icm 13. a) Pėsčiasis iš pradžių ėjo į kalną 3—- greičiu, o po to leidosi į nuokalnę

h

S — greičiu. Raskite visą kelią, jeigu kelias į kalną 1 km ilgesnis negu į h

nuokalnę, o visa kelionė užtruko 3 h.

b) Pėsčiasis iš pradžių ėjo į nuokalnę 4 — greičiu, o po to kilo į kalną 3 — h h

greičiu. Raskite visą kelią, jeigu nusileidimo kelias 5 km ilgesnis už įkalnę, o

visa kelionė užtruko 3 h.

14. a) Trijose brigadose dirba 35 žmonės. Antroje brigadoje dirba 100%

darbininkų daugiau negu pirmoje, o trečioje - 7 daugiau negu pirmoje. Kiek

darbininkų dirba pirmoje brigadoje?

2 b) Pirmojo lauko plotas sudaro — visų laukų ploto, o antrojo lauko plotas -

112,5 % trečiojo lauko ploto. Trečiojo lauko plotas 16 ha mažesnis už pirmojo

lauko plotą. Koks visų trijų laukų plotas kartu?


15. a) 5x--x2 = 0; 7

16. a) 3x2 — 1 4JC + 16 = 0;

17. a) 3JC2 +7дг-6 = 0;

18. a) 4x2 — 12дг + 9 = 0;

19. а) 7л: — л:2 — 15 = 0;

b) 3x + 0,4x2 = 0 .

b) 2л:2 -7x + 3 = 0.

b) 2x2+3x-2 = 0.

b) 9x2 - 6x +1 = 0 .

b) x2 -4x + 18 = 0 .

20. a) (JC-5)2 =5(9-2*);

21. а) (4-З*)2 =25;

22. a)(2x-3)2 =(x+2)2;

b ) (JC + 4 ) 2 = 2(4JC + 1 1 ) .

b ) ( 2 - 5JC) 2 = 9 .

B ) ( З Х + 2 ) 2 = ( 3 - 2 * ) 2 .

Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra jc, ir x2 (23-24):

23*. a) X1 = 3, X2 = -1; b) JC, = - 4 , x2 = -5 .

1 2

24*.a) X1 = 1 j , x2 =2 ; b) JC, = -3— , x2 = 6 .

25*. a) JC, = 3 - V? , Jc2 = 3 + л/Š ; b) X 1 = I - S , x2=2 + 4l.

26. a) Raskite funkcijų ,Y = 5JC ir = 9JC + 2 grafikų susikirtimo taškų abscises. Л

b) Raskite funkcijų y = 2x ir y = 5* + 3 grafikų susikirtimo taškų abscises.

27*. a) Su kuriomis b reikšmėmis lygtis (b - 3)x2 + (b + 2)x 4-1 = 0 turi dvi skirtingas šaknis.

b) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis (m + 4)x2 +2mx + (m-4)=0 turi dvi

skirtingas šaknis.

28*. a) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis JC2 + ax + 16 = 0 turi dvi lygias šaknis,

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis ax2 + IOJC + 1 = O turi dvi lygias šaknis.

29*. a) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis 4JC 2 + 2x-m = O turi vienintelę šaknį,

b) Su kuriomis c reikšmėmis lygtis 3x2 -4x + c = 0 turi vienintelę šaknį.

30*.a) Su kuriomis p reikšmėmis lygtis (j> + 2) x2 +(2p + 3)-jc+p-1 = O turi

realiųjų šaknų?

b) Su kuriomis p reikšmėmis lygtis (p + l)-jc2-(2p + 3) jc+p + 2 = 0 turi

realiųjų šaknų?

31*.a) Viena lygties JC2 -pjc-35 = 0 šaknis lygi 7. Raskite kitą šios lygties šaknį ir

koeficientą/).

b) Viena lygties 2ддг2 — 1 2JC — 7 = O šaknis lygi 3,5. Raskite kitą šios lygties

šaknį ir koeficientą a.

32*. Su kuria k reikšme duotosios lygties šaknys yra priešingieji skaičiai:

a) Ix2 + 3(£-5)x-8 = 0 ; b) Ix2 + 3(£-5)x+8 = 0 .

33*.Su kuria k reikšme lygties ( k - 2 ) x 2 + (k-5)x-5 = O šaknys ir X1 tenkina

nurodytą sąlygą:

a) xx + x2 = 3 ; b) X1 -x2 = -3 .

34*. a) Su kuria a reikšme lygties Ix2 -1 Ix+ a = O sprendiniai tenkina lygybę

IXx-X2=Il

b) Su kuria m reikšme lygties x2 + 6x + m = 0 sprendiniai tenkina lygybę

x2 = 2xt.

35*.a) Su kuria p reikšme lygties x2 +(2-p)x-p-3 = O sprendinių kvadratų

suma yra mažiausia?

b) Su kuria m reikšme lygties x2 + (m-\)x + m2 -1,5 = O sprendinių kvadratų

suma yra didžiausia?

36*.a) Su kuriomis k reikšmėmis kvadratinės lygties x2 + 3x+(k2 - Ik +12) = O

sprendinių sandauga lygi nuliui?

b) Su kuria k reikšme kvadratinės lygties x2 + (k2 + Ak - S)χ - k = O sprendinių

suma lygi nuliui?

2 37*. a) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis 3x - 5x + 2a = O :

1) turi šaknį, lygią 3, 2) turi 2 skirtingas šaknis,

3) turi tik teigiamas šaknis, 4) neturi neigiamų šaknų.

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis Sx2 -Ax л- 2a = O : 1) turi šaknį, lygią 2, 2) turi 2 skirtingas šaknis,

3) turi tik teigiamas šaknis, 4) neturi neigiamų šaknų.

Išspręskite lygtis (38 - 43):

38. a) χ4 -13лг2 +36 = 0 ; b) X4-AOx2 +144 = 0.

39. a) 2x4 - 9x2 +4 = 0; b) X4 -6x2 + 8 = 0.

40. &)3x4 +2x2 -5 = 0; b) 36x4 -Sx2 -1 = 0.

41. a) 2x4 + 9x2 +4 = 0; b) 6x4 +Ix2 +2 = 0.

42. a) (5jc2 - 4)2 + 6(5x2 - 4) - 7 = 0 ; b) (χ2 + 2χγ - (д: +1)2 - 55 = 0

43. a) χ6-Ixi-8 = 0; b) χ6 +9x3 + 8 = 0 .

44. Raskite funkcijos f (χ) grafiko ir abscisių ašies susikirtimo taškų abscises, kai

a) f(x)=9x* -Ъ1х2 + 4; b) / (*)= 25x4 +66x2-27 .

45*. a) Su kuriomis parametro a reikšmėmis lygtis ax(ax + З)+ 6 = x(ax + б) yra

1) pilna kvadratinė, 2) nepilna kvadratinė, 3) tiesinė?

b) Su kuriomis parametro a reikšmėmis lygtis a2x2 + 2ax+1 = Ax2 - 2x yra

1) pilna kvadratinė, 2) nepilna kvadratinė 3) tiesinė?

46. a) Dviejų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sandauga lygi 182. Raskite tų

skaičių sumą.

b) Dviejų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sandauga lygi 210. Raskite tų

skaičių sumą.

47. a) Raskite skaičių, kurio kvadratas yra 10 vienetų didesnis už tris kartus

padidintą ieškomąjį skaičių.

b) Raskite skaičių, kurio kvadratas yra 6 vienetais didesnis už penkis kartus

padidintą ieškomąjį skaičių.

48. a) Nuo stačiakampio kartono lapo, kurio ilgis 70 cm, o plotis 80 cm, atkirpo

kampuose lygius kvadratus, o iš likusios dalies suklijavo dėžutę. Raskite

kvadrato kraitinę, jeigu žinoma, kad dėžės pagrindo plotas lygus 30 dm2 .

b) Nuo stačiakampio kartono lapo, kurio ilgis 26 cm, atkirpo iš dviejų pusių

kvadratus, kurio kraštinės lygios lapo pločiui. Likusio stačiakampio plotas

80 cm . Raskite kartono lapo plotį.

49*. a) Kiekvienas krepšinio klubo narys padovanojo kiekvienam savo klubo nariui

po vizitinę kortelę. Iš viso buvo padovanota 506 kortelės. Kiek yra klube narių?

b) Iškilojo daugiakampio visų įstrižainių skaičius yra 42 didesnis už kraštinių

skaičių. Kiek kraštinių turi šis daugiakampis, jei įstrižainių skaičius randamas

х(д--З) pagal formulę —-—-, čia χ - kraštinių skaičius.

50*. a) Dvi priešingas kvadrato kraštines padidinus Acm gaunamas stačiakampis,

kurio plotas lygus 96 cm1. Apskaičiuokite kvadrato kraštinės ilgį.

b) Nuo kvadrato atkirtus 6 cm pločio juostelę gaunamas stačiakampis, kurio

plotas lygus 216 cm2 . Apskaičiuokite kvadrato kraštinės ilgį.

51*.a) Duotafunkcija f(x)= Sx2-Ax-X. Išspręskite lygtį (/"(*)+!)·(/(*)+2)=0 .

b) Duota funkcija g(x)= Sx2 -3x+2 . Išspręskite lygtį (g(x)-2) (g(*)-l)= 0 .

52. a) Duota funkcija p(x)= 5x-4 . Išspręskite lygtį p2(x) = \6p{x).

b) Duotafunkcija p(x) = 6x-5 . Išspręskite lygtį p2{x)=-\l p{x).


. Ix2 -3x-14 „ Ix2 -Ix-20 n 53. a) = O ; b) = O .

x+2 x-4

. . .x-3 2x-I х-4 2x-5 54. a) = —-—; b) = - .

χ χ + 24 χ х-6

55. a) — x + l = O; b) — x + 2 = 0. X - I x-2

56. a) 1 - 2 χ 2 - * " 6 = 0 ; b) 2 - ^ ^ = 0. 2-х 3+x

χ 7 8 , . 2x 3x +1 3 57. a) — = — ; b) = —

x-2 x + 2 * 2 _ 4 ' X - I χ2-

„ ч 3 33 x-4 2x + 5 2 3x 58. a) - + — = —; b) — =

χ χ -1 Ix X-I l x z+x X x+l

. 2 5 13 . . 2x 6 X - I 59*. a) + = — ; b) + — = .

X - I x + 2 χ2 + x - 2 x + l χ - 3 x - 4 x - 4

60*. a) Pirmąja sulčiaspaude galima išspausti sultis 1 vai greičiau negu antrąja, o

antrąja-3 vai. greičiau negu trečiąja. Per kokį laiką galima išspausti sultis

pirmąja sulčiaspaude, jeigu per tą patį laiką galima išspausti sultis naudojantis

antrąja ir trečiąja sulčiaspaudėmis kartu?

b) Pirmuoju čiaupu galima pripildyti baseiną 5 vai greičiau, negu antruoju, o

trečiuoju čiaupu - 4 vai greičiau negu pirmuoju. Per kokį laiką galima pripildyti

baseiną trečiuoju čiaupu, jeigu per tą patį laiką galima pripildyti baseiną

pirmuoju ir antruoju čiaupais kartu.

61. a) Motorinė valtis nuplaukė 10 km ežeru ir 4 km upe prieš tėkmę, sugaišusi visai

kelionei 1 h. Raskite valties savąjį greitį, jei upės tėkmės greitis 3 — . h

b) Kateris nuplaukė 15 km upe pasroviui ir 4 km ežeru, sugaišęs visai kelionei

1 h. Raskite katerio greitį šiam plaukiant pasroviui, jei upės tėkmės greitis

lygus .

62. a) Vytas ėjo miško keliuku link autobuso sustojimo. Likus 4 km iki sustojimo,

jis nutarė 20 min pailsėti. Norėdamas laiku atvykti į sustojimo vietą, padidino

greitį 1 . Koks buvo pradinis Vyto greitis? h

b) Kęstas ėjo pakrante link prieplaukos. Likus 3 km iki prieplaukos, jis nutarė

išsimaudyti ir tam sugaišo 15 min. Norėdamas laiku atvykti į prieplauką, jis

savo greitį padidino 2 — . Koks buvo pradinis Kęsto greitis? h

63*. a) Atstumas nuo miesto iki kaimo lygus 28 km . Tuo pačiu metu iš miesto ir

kaimo vienas priešais kitą išvažiavo 2 dviratininkai ir susitiko po valandos.

Vienas jų į kaimą atvyko 35 min vėliau, negu kitas į miestą. Kokiu greičiu

važiavo dviratininkai?

b) Atstumas tarp stočių A ir B lygus 45 km. Tuo pačiu metu iš šių stočių išvyko

du traukiniai ir susitiko po 20 min. į stotį B vienas traukinys atvyko 9 min

anksčiau, negu kitas [A. Kokiu greičiu važiavo traukiniai?

64*.a) Keletas žmonių nutarė vykti į ekskursiją, kurios kaina visai šiai grupei yra

720 Lt. Tačiau į ekskursiją vyko 3 žmonėmis mažiau, todėl kiekvienam teko

mokėti po 40 Lt daugiau, negu buvo sutarta. Kiek žmonių vyko į ekskursiją?

b) Viena kelionė autobusu į miestą ir atgal Danieliui kainuoja 3 Lt brangiau,

negu traukiniu. Danielius turi 90 Lt, kuriuos gali išleisti kelionėms. Jis

paskaičiavo, kad važiuodamas traukiniu jis gali turėti viena kelione daugiau,

negu autobusu. Raskite kelionės į miestą ir atgal traukiniu kainą?


65. a) •J3-х =l-x; b) -Jx + 5 =x-l .

66. a) x + V3x + 7 =7 ; b) V15 — 3JC — 1 = JC .

67. a) 3x + l = ; b) 8-3x = x/x + 2 .

68. a) V 8*+ 45=-2.*; b) V7x+15 =-V2-x.

69. a) Vl5x + 19-5 = 3x; b) л/49-15х +3x = 11 .

70. a) x-Vx-12 = 0; b) X-I-2л/*--Т-35 = 0.

71. a) Зх + 14-Ух- 5 = 0; b) 4(х+2)+Зл/х + 2-1 = 0

72. a) (l6-x2)-v/3-x=0; b) (Χ2-9)·Λ/Χ + 2 = 0 .

73. а) (х2-4х + з)-л/х2-4 = 0; b) (x2 -6x + 5)·Vl6-X2 =0.

74. a) (JC + 2)·V23x —14 —Здг2 = 0 ; b) (x +1)·V5x2 + 22x-15 =0 .

75. a) (2x2-3x-2) j3x + \ = 0; b) (6x-5) V2x2-5x + 2 =0 .

76*.а) (x + l)-Vx2+x-2 = 2x + 2; b) (x-3)-Vx2-5x4-4 = 2x-6

77. a) Vx2 + 4x-50=3; b) V*2 + Их-16 =-4

78. a) V4x2 + 5x-2=2 ; b) V23 + 3x-5x2 =3 .

79*.a) V4+x-V5-x = 2V2 ; b) V8 + x -V8-x =x.

80*.a) V2x-6 + Vx+4 =5 ; b) Vx-3+V2x + l =4.

81*.а) л/х-2 + VJC + 3 =2 ; b) Vx-Vx-24=6.

82*.a) Vx + 2+V2x-l =-3 ; b) V2x-3 + Vx-T = -2.

83*. a) Vx2 - 36 = л/2*-1 ; b) V8-5x = Vx2 -16 .

84*.а) V4-2x+V2x-4 = 3 ; b) V9-3x+V3x-9=0.

85*. а) л/2х + 3-VxTT = I ; b) V2x + 5-VxM =2.

86*.a) Vx+T-V9-x =V2x-12 ; b) Vx + 2-V2x-3 =V4x-7 .

87*.a) V3x-2+V5x-l = V x M ; b) Vx--T-V5x-1 =V3x-2 .

89*.a) χ2 + 5х + 4-5-Jχ2 + Sx + 28 = О; b) χ2 + Зх-18 + 4у/х2 +Зх-6 = О .

90. a) Raskite funkcijų у = 2у[х + 5 ir у = х+2 grafikų susikirtimo taškų

abscises.

b) Raskite funkcijų y = 4-Jx + 6 ir y = x+l grafikų susikirtimo taškų abscises.

91*.a) Raskite funkcijų у = -Jlx + 3 ir у = l-л/Зх + З grafikų susikirtimo taškų

abscises.

b) Raskite funkcijų ir y = 3--JX-I grafikų susikirtimo taškų

abscises.

92*. a) Raskite kintamojo * reikšmes, su kuriomis reiškinių -Jx ir -J45 + χ reikšmių suma lygi 9.

b) Raskite kintamojo χ reikšmes, su kuriomis reiškinio -Jx + 9 reikšmės yra

vienetu didesnės už reiškinio Гх reikšmes.

93*. a) Su kuriomis л: reikšmėmis funkcijų y = l — 2x ir y = -J^x2 + χ - 5 reikšmės

yra lygios?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijų y =-J3x2 -15*+ 19 ir y = 2x-5

reikšmės yra lygios?

94. a) Su kuriomis χ reikšmėmis f(x)-g(x)= O, jei /(x) = x 2 -4 ir

g(x)=V^T?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis f ( x ) g(x)= O, jei / ( x ) = 9 - x 2 ir

g ( x ) = V F 7 ?

95. a) Kuris skaičių dvejetas (-9; 5); (9;-5), (l5; — З) ar (-3; 15) yra lygčių

[x + y = 4, sistemos < sprendinys?

|χ·>< = -45;

b) Kuris skaičių dvejetas (-6;3), (-3;б), (-2;9) ar (9; 2) yra lygčių

fx+y = ~ 3, o sistemos < sprendinys?

Išspręskite lygčių sistemas (96-97):

i3x-v = 1, {2x + 3y = 9, 96. a) \ 7 b) \ γ

jx + 2.y = 5; [Зх + у = 10.

9 7 . а ) Ь ^ 3 · b) W = 4 ' [χ2 +Iy = 5; [χ + Iy = 5.

98. a) Raskite funkcijų y = X+L ir .У = X 2-I grafikų susikirtimo taškų

koordinates.

b) Raskite funkcijų y = 3-х ir >> = x2 + l grafikų susikirtimo taškų

koordinates.

99. a) Dviejų skaičių suma lygi 11, o jų kvadratų suma lygi 101. Raskite tuos

skaičius.

b) Dviejų skaičių skirtumas lygus 1, o jų kvadratų suma lygi 5. Raskite tuos

skaičius.

100. a) Ar egzistuoja tokie du skaičiai, kad:

1) jų suma būtų lygi 10, o sandauga lygi - 24,

2) jų skirtumas būtų lygus 2, o sandauga lygi -4 .

b) Turime 84 žaidimo kubelius. Ar galima juos išdėstyti ant stalo vienodomis

eilėmis, kad:

1) eilių būtų 3 mažiau, negu kubelių vienoje eilėje,

2) eilių būtų 5 daugiau, negu kubelių vienoje eilėje.


101*. a)

102*. a)

103*. a)

104*. a)

105*. a)

2 x + y

4 γ 2χ + γ

+ 7 + 2 = 0,

-3 = 0;

b)

1

x + 3 y

У

+ 7 = 5,

£ Z - I l

y + x~ 1 2 '

X2+72 =25;

χ-y = 6,

xy-y = 1,

xy + x = 4;

Jx2-jcy = l 12,

U - / - 4 8 ;

x + 3 y

b)

- = 6 .

y χ _ 34

X 2 + 7 2 = 3 4 .

b)

b)

b)

x-y-

X + & 3-L.

3

JC + y+ xy = - 6 ,

x + y-xy = 10.

2x + y2x = 54,

xy + 2x = 18.

106*. a) Ant parabolės pažymėti taškai Λ(θ;3), 5(-1; θ) ir c(l;4). 1) Parašykite šios parabolės lygtį.

2) Ar ši parabolė eina per taškus м(4; - 5) ir w(-4;-5)?

3) Užrašykite lygtį tiesės, kuri kerta parabolę taškuose B ir C.

b) Ant parabolės pažymėti taškai a(0;2), b ( - 2 ; 0 ) ir C ( l ; 2 ) .

1) Parašykite šios parabolės lygtį.

2) Ar ši parabolė eina per taškus Af(3; l) ir A/(-3; θ)?

3) Užrašykite lygtį tiesės, kuri kerta parabolę taškuose B ir C.

107*. a) Stačiakampio formos sklypo plane atkarpa AB - tai takelis, einantis pagal

sklypo įstrižainę. Takelio ilgis 13 то, o sklypo perimetras 34 m. Raskite

stačiakampio formos sklypo kraštinių ilgius. Kiek sprendinių turi uždavinys?

b) Ant atkarpos AB (kaip ant skersmens) 10 cm spinduliu nubrėžtas apskritimas.

Raskite ant pusapskritimio tokį tašką C, kad jo atstumas iki vieno iš skersmens

galų būtų 4 cm didesnis, negu iki kito. Kiek sprendinių turi uždavinys?

108*. a) Stačiojo trikampio perimetras 24 cm, o jo įžambinė lygi 10 cm. Raskite to

trikampio statinius.

b) Stačiojo trikampio įžambinė lygi 25 cm, o vienas jo statinių 17 cm didesnis

už kitą. Raskite to trikampio statinius.

109*. a) Dviženklis skaičius 9 didesnis už jo skaitmenų sumą, o to skaičiaus

kvadratas 180 didesnis už jo antrojo skaitmens kvadratą. Raskite to skaičiaus

kvadratą.

b) Dviženklis skaičius 18 didesnis už jo skaitmenų sumą o to skaičiaus

kvadratas 680 didesnis už antrojo skaitmens kvadratą. Raskite to skaičiaus

kvadratą.

110*. Grafiniu būdu išspręskite lygčių sistemas:

111*.a) Iš funkcijų y = X1 -4 ir y = — grafikų nustatykite, keliuose taškuose

šie grafikai?

112*. a) Dviženklio skaičiaus vienetų skaitmuo dviem didesnis už dešimčių

skaitmenį. Šio skaičiaus kvadrato ir skaičiaus, gauto sukeitus skaitmenis

vietomis, kvadrato suma lygi 1130. Raskite tą skaičių.

b) Dviženklio skaičiaus dešimčių skaitmuo 3 didesnis už vienetų skaitmenį. Šio

skaičiaus ir skaičiaus, gauto sukeitus skaitmenis vietomis, sandauga lygi 574.

Raskite šį skaičių.

113*. a) Paštininkas važiavo dviračiu iki geležinkelio stoties 10 km ilgio vieškeliu, o

grįžo atgal 5 km ilgio miško keliu kitu greičiu. Visai kelionei sugaišo 1 vai

5 min. Raskite paštininko greičius vieškeliu ir miško keliu, jeigu grįžtant jis

sugaišo 15 min mažiau, negu keliu į stotį.

b) Žvejys ėjo iki ežero 5 km vieškeliu, o grįždamas ėjo 3 km miško taku kitu

greičiu. Grįždamas jis sugaišo 35 min. mažiau, negu eidamas vieškeliu. Raskite

žvejo greitį vieškeliu ir miško taku, jei iš viso kelionei sugaišo 1 vai 55 min.

a)

114*. a) Dviženklio kaičiaus skaitmenų suma lygi 12. Jei iš to skaičiaus

atimsime 18, tai gausime skaičių iš tų pačių skaitmenų, parašytų atvirkščia

tvarka. Raskite tą skaičių.

b) Dviženklio skaičiaus dešimčių skaitmuo 2 kartus didesnis už vienetų

skaitmenį. Jei jo skaitmenis sukeistume vietomis, tai gautume skaičių 36

vienetais mažesnį už pradinį skaičių. Raskite tą skaičių.

115*. a) į parduotuvę atvežus miltus reikia supilstyti į tam tikrą skaičių maišelių. Jei

į kiekvieną maišelį būtų pilama po 2 kg miltų, tai liktų nesupilstyta 200 kg miltų, o jei būtų pilama po 3 kg, tai pritrūktų 200 kg miltų. Kiek yra maišelių ir

kiek yra miltų?

b) Jei ant kiekvieno suolo susėstų po 8 vaikus, tai 6 vaikams neliktų vietos, o jei

susėstų po 9 vaikus, tai 6 vietos liktų laisvos. Kiek yra vaikų ir kiek suolų?

116*. a) Parašykite tiesės y = kx + b lygtį, jei šios funkcijos grafikas eina per tašką

л(-3; k) ir skaičius b 6 vienetais didesnis už skaičių k.

b) Parašykite tiesės y = kx + ( lygtį, jei šios funkcijos grafikas eina per tašką

ir skaičius ί yra 12 vienetų didesnis už skaičių k.

117. a) Stačiakampio formos žemės sklypo plotas yra 6 arai ir jis aptvertas tvora,

kurios ilgis 100 m. Raskite žemės sklypo matmenis.

b) Stačiakampio formos statybos aikštelė aptverta tvora, kurios viena kraštinė

15 m ilgesnė už kitą. Aikštelės plotas yra 7 arai. Raskite aikštelės matmenis.

118*.a) [vertinkite 2-3* , jei 4 < * < 6 ;

b) [vertinkite 5-4y, je i l < y < 3 .

119*. a) [vertinkite x-y, jei 1,7 < χ <1,8 ir 2,2 <y <2,3.

X b) Įvertinkite — , jei 7 < χ < 8 ir 9 < jv <: 10 .

120.a) Su kuriomis* reikšmėmis reiškinys 5 + 4* įgyja neneigiamas reikšmes?

b) Su kuriomis* reikšmėmis reiškinys 6-5* įgyja teigiamas reikšmes?

Išspręskite nelygybes (121-124):

У

121. a) 1,2(* +5)+1,8* >7 +2*; b) 2,4*-2(5-1,8*) > 14-2* .

122. b) * + 3 *-4

>0; b) x-2 *+3

< 0 . + + 2 5 3 2

123.а) χ - — < 1 4 ; x+2 . .

b) JC + <4 .

χ 2JC — 3 χ +1 1 3 - JC 124. a) > :

4 3 2 5

3JC-5 2JC + 5 8JC + 7 b) + > .

125.a) Raskite didžiausią sveikąją JC reikšmę, tenkinančią nelygybę

Зх + 1 8 JC 3JC + 29 Χ + — < + — .

2 7 2 7

b) Raskite didžiausią sveikąją JC reikšmę, tenkinančią nelygybę

Ix-I χ jc-7 JC — 18 + —< + .

8 3 8 3

126*. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos

>> = JC2 — 2JC — 3 grafikas. į kvadratėlius įrašykite praleistus ženklus > arba <.

1) jei — 1 <JC<3 , tai х 2 -2х-3[Цо ,

2) jei j c c - l , tai JC2 - 2 Х - З Г ~ 1 0 ,

3) jei JC>3, tai JC2 - 2 Х - 3 [ Ц о .


7 = JC2-2JC-8 grafikas. į kvadratėlius

įrašykite praleistus ženklus > arba <.

1) jei -2 < JT < 4 , tai JC2-2JC-8[]0,

2) jei x<-2 , tai J t 2 - 2 J C - 8 Π θ ,

3) jei JC > 4 , tai X1 - I x - 8 • 0.

127*. a) Nustatykite su kuriomis JC reikšmėmis y<0, y = 0, 7 > O, kai

1) y = X 2 - I , 2) y = x-x2,

3) 7 = Jt2 + 4jt - 5 , 4) 7 = (JC - 2)2 .

b) Nustatykite su kuriomis JC reikšmėmis y < O, y = 0 , .Y > O, kai

1) У - --^x2 + 2 , 2)y = x2-4x,

3) ^ = -JC2 + JC +2 , 4)y = -{x + \ f .

128*. a) Su kuriomis JC reikšmėmis / ( x ) g ( x ) £ O, kai /(JC)=2JC + 6 irg(x) = x + 4 .

b) Su kuriomis χ reikšmėmis f(x)g(x)< O , kai / (x )=3x-3 i rg (x)=x + l .


129.a) 1) (JC-2)2>4-X2 ; b) (х + 3 ) 2 <х 2 -9 .

130.a) χ2 > 0 ; b ) - x 2 < 0 .

131.a) 3-х 2 > 0 ; b ) 5 - 4 x 2 < 0 .

132. a) χ2 > χ . b) -X2 <4x .

133.a) - X 2 + 4 X - 5 < 0 ; b ) x 2 - x + 3 < 0 .

134.a) 2X2 + 5X + 2 < 0 ; b ) x 2 - 4 x - 5 > 0 .

135.a) χ2 -2x + l >0 ; b )x 2 +6x + 9 > 0 .

136. a) -3X 2+17X-20<0; b) -7x2+31x-30>0 .

137.a) 4x2 -4x +1 <0 ; b) -x 2 + 8x-16>0 .

138*.a) (x2 + 2x)2 >9 ; b) (x 2+x) 2>4 .

139. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = -4x2 + χ +1 reikšmės yra didesnės

už funkcijos y = I-Ax reikšmes?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 3x2 + 2x - 3 reikšmės yra mažesnės

už funkcijos y = X2 -x-l reikšmes?

140. a) Su kuriomis b reikšmėmis lygtis 5{b + A)· χ2 -10x + 6 = 0 turi realiųjų

šaknų?

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis (а-З) х 2- 2 (3α-4) ·χ+7α-6 = 0 turi

realiųjų šaknų?

141*.a) Raskite visas m reikšmes, su kuriomis lygtis x 2-2(m-I )x + 2m + l = 0

turi du skirtingus teigiamus sprendinius.

b) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis lygtis χ2 +2(α + 1)χ + 9α-5 = 0 turi

du skirtingus neigiamus sprendinius.

142*. a) Su kuriomis a reikšmėmis kvadratinis trinaris 2(4- α)x2 -2ax-a-3

įgyja tik neigiamas reikšmes?

b) Su kuriomis a reikšmėmis kvadratinis trinaris (a + l) χ2 - (a + з) χ + 2a

įgyja tik neigiamas reikšmes?

143*. a) Kokios turi buti a reikšmės, kad nelygybė

(2a2 -5a+ 2) χ2 -4ax + 2> O būtų teisinga su bet kuria χ reikšme?

b) Kokios turi būti a reikšmės, kad nelygybė (a-\)x2 + (α + ΐ)χ + α + 1 >0

būtų teisinga su bet kuria a reikšme?

144*. a) Kokios turi būti a reikšmės, kad nelygybė (a - \)x2 - 2(a - l)x- (a +1)< 0

būtų teisinga su bet kuria χ reikšme?

b) Kokios turi būti a reikšmės, kad nelygybė (a + l)x2 - (a + 3)дг + 2a < 0 būtų

teisinga su bet kuria χ reikšme?

145*. a) Raskite visas a reikšmes su kuriomis reiškinys

^(a+ 4·)χ2 -2(а-4)л: +4a-16 turi prasmę su visomis kintamojo χ

reikšmėmis. Atsakyme parašykite mažiausią sveikąją a reikšmę.

b) Raskite visas a reikšmes su kuriomis reiškinys

y](a + 5)x2-2{a-5)x+ 2a -10 turi prasmę su visomis kintamojo χ

reikšmėmis. Atsakyme parašykite mažiausią sveikąją α reikšmę.

-4 146*. a) Išspręskite nelygybę < 1.

nesančių nelygybės sprendiniais.

-4 b) Išspręskite nelygybę < 1.

x-3 nesančių nelygybės sprendiniais.

Atsakyme parašykite sumą sveikųjų skaičių,

Atsakyme parašykite sumą sveikųjų skaičių,

ax 147*. a) Su kuriomis a reikšmėmis nelygybė < 0,25 yra teisinga su visomis χ

χ +9 reikšmėmis. Atsakyme parašykite didžiausią sveikąją a reikšmę.

b) Su kuriomis a reikšmėmis nelygybė — — < 1,75 yra teisinga su visomis χ X2 +4

reikšmėmis. Atsakyme parašykite didžiausią sveikąją a reikšmę.

148*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos /(x)=— reikšmės yra mažesnės už χ

vienetą.

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos / (* ) = — reikšmės yra didesnės už χ

vienetą.

Išspręskite nelygybes intervalų metodu (149-168):

149*. a) — — < 5 ; x+l

150*. a) — — < — — ; 3x-2 3x + 4

3 2 151*.a) - — - > - ;

X-I χ

152*. a) (3x + 4)(x -1) (x + 2) > O;

153*.а) (х+1)(х + 3) 2 (2х-3)<0;

154*. a) 2х (4х 2 м)>0 ;

155*.a) (х-2)3(х+ l)2(x2 +1)> O;

156*. а) Злг2 + 2дг - 5 > О ;

157*.а) 2х3 - χ2 -3х<0;

158*.а) (2х 2+х-б)(4-х)>0;

159*.а) М У 4 ) ^ 0 ; Зх -х-14

160*. а) χ +х-2

> 0 ; 2х + 3

161*.а) |х| (х + 1)>0;

162*. а) 2х -Зх-2

Зх2 - χ-2 <0;

163*. а) х х 2

χ -4х+5 >0;

164*.а) < 0 ; 2х +х-1

165*. а) (χ3+δ)(χ-ΐ)^0;

ι*** ч ^ х + 2 166*. а) г>

2х + 3 4х-3 '

167*. а) (9χ2-ΐ)(8χ3 + ΐ )>0;

1 6 8 * . A ) V * M ( J C - 2 ) ( X + L ) < 0 ;

b)

b) — > — i — . 2x + 3 2x-5

их 2 3 b) - < - .

x+l χ

b) (5x + 7) (x - 2)(x +1) < O .

b) (X-2)(X-3)2(2X + 5 )>0 .

b) (X2-4)(X + 2)>0.

b) (x-5)2(x + 4)3(x2-x + l )<0 .

b) 5X2 + 7 X -6S0 .

b) Зх3 + χ2 -10x>0 .

b) (2X2-5X-7)(3-X )<0.

b) ^ # ^ ) , 0 . χ -5x + 6

b) Χ - X - 2

< 0 . 3x-4

b) I χ I · (x - 2) < O.

5x - 9x + 4 b) 1 6x -7x + 2

> 0 .

χ + χ — 6

X 2 +3x + 4 < 0 .

b) 9+ 24x + 16x

>0 . 10-3x-x

b) (x3 + 27)(x-2)>0.

b) — < * + 1

3x + 3 2x-3

b) (27x3-l)(x2-4)<0.

b) Vx + 3(x + 4)(x-l)>0.

Зх-5 169*. a) Raskite mažiausią sveikąjį nelygybės < 2 sprendinį.

x-4

b) x-2 1

Raskite didžiausią sveikąjį nelygybės —— <— sprendinį. x-3 2

χ2 + 6X + 9 170*. a) Raskite mažiausią sveikąjį nelygybės < 0 sprendinį.

5-х 2

χ — 4x + 4 b) Raskite mažiausią sveikąjį nelygybės >0 sprendinį.

x + 3

171*.a) Raskite nelygybės ^ /+ 3 x + ^ 6 ~ f ) > 0 sveikųjų sprendinių sumą.

(-8-x)(x + 4)

Ix2 — 5x + 9)(9 —x)2

b) Raskite nelygybės 7 —sr~ S 0 sveikinu sprendinių sumą. (-7-*)(* + 4)

4 172*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = grafikas yra aukščiau tiesės

5-x У=Х?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = — — grafikas yra aukščiau už x + 2

3 funkcijos y grafiką?

x-3

2 j 173*. a) Su kuriomis m reikšmėmis nelygybė — < 1 teisinga su bet kuria

2x - 2x + 3 χ reikšme?

b) Su kuriomis m reikšmėmis nelygybė — m x + 4 > i teisinga su bet kuria χ -2x + 3

χ reikšme?

Išspręskite nelygybių sistemas (174-176):

ч Or 174*. a)

y + 0;l(9x + 19),

3(2x-3)>4(x + 1)+13;

χ +12 - 0,l(x +1) > -y- + 0. b) з ( Х 3 J 5 ^ j c з ) + 9'

7х-3(2х + з)>2(х-4).

. [χ2 -5χ + 6<0, 175*. a) <

I x-3 > 0;

176*. a) |3х2 -4x +1 > 0,

[Зх2 -x-2<0 ;

f χ - 2 < 0, b) ,

[χ -7х + 10<0.

ίχ2 - 2χ-3 > O, Ь ) 2 Ix2-1 Ix +28 >0.

k — 1 177*. a) Su kuriomis к reikšmėmis trupmenos reikšmės priklauso skaičių

к intervalui [—1; 1J-?

y+ 2 b) Su kuriomis y reikšmėmis trupmenos — — reikšmės nepriklauso skaičių

y-1

intervalui [-2; 2]?

178*. a) Raskite sveikuosius nelyginius nelygybių sistemos sprendinius

Ъх-1 .2 < 3 т >

5 5

χ2 +2x-4

χ2+2 >1.

b) Raskite sveikuosius lyginius nelygybių sistemos sprendinius

9 * - 2 > 2 l

3 3'

x2+x-2 <{

X2+4

179*. Raskite didžiausią natūralųjį skaičių, tenkinantį nelygybių sistemą:

a)

2*-5

x-4 b)

x- l>0 ;

x-3 x+5>0.

180*. a) Ekskavatoriaus bake telpa 78 ( degalų. Dirbdamas ekskavatorius

vidutiniškai naudoja 13 i degalų per valandą. Kiek daugiausiai valandų galės

dirbti ekskavatorius, jei turės pusę bako degalų?

b) 320 km atstumui nuvažiuoti vairuotojas gali sugaišti nuo 3 iki 4 valandų,

kokiose ribose gali kisti vidutinis automobilio greitis?

181*. Kiek kraštinių gali turėti iškilasis daugiakampis, kai

a) jo vidaus kampų suma nedidesnė už 1620°.

b) taisyklingojo л-kampio kiekvieno vidaus kampo didumas skirsis nuo 180°

daugiau kaip 40°.

182*. a) Stačiakampio ilgis I m didesnis už jo plotį. Koks gali būti stačiakampio

ilgis, jeigu jo plotas yra mažesnis už 60 m2 ?

b) Stačiakampio ilgis 5 m didesnis už jo plotį. Koks gali būti stačiakampio

plotis, jeigu jo plotas yra didesnis už 36 m2 ?

183*. a) Tam tikro kelio dalį turistas važiavo traukiniu, kurio greitis lygus 50 — , o h

po to ėjo pėsčias 4 — greičiu. Žinoma, kad jis ėjo dviem valandomis mažiau h

negu keliavo traukiniu. Jis nukeliavo ne daugiau 3\6km . Kiek daugiausiai

valandų galėjo trukti visa kelionė?

b) Maršruto ilgis 400 km . Dalį kelio turistas važiavo traukiniu, kurio greitis

lygus 60 — , o po to 3 vai ilgiau negu traukiniu važiavo autobusu, kurio h Jqu Jqh

greitis 70 — . Likusią kelio dalį ėjo pėsčias 4 —- greičiu. Kiek valandų ėjo h h

turistas, jei žinoma, kad ir traukiniu ir autobusu keliavo sveiką valandų skaičių?

184*. a) Dviženklio skaičiaus dešimčių skaitmuo 2 didesnis už vienetų skaitmenį.

Sudėjus šį skaičių su skaičiumi, parašytu tais pačiais skaitmenimis, bet

atvirkščia tvarka, gaunama suma didesnė už 80, bet mažesnė už 90. Koks šis

dviženklis skaičius?

b) Prie dviženklio skaičiaus pridėjus jo pusę, gauname skaičių, didesnį už 128,

bet mažesnį už 130. Raskite šį dviženklį skaičių.

185*. a) Trikampio dviejų kraštinių ilgiai yra 5,2 cm ir 2,4 cm . Trečiosios kraštinės

ilgis (centimetrais) išreiškiamas sveikuoju skaičiumi. Koks gali būti trečiosios

trikampio kraštinės ilgis?

b) Trikampio dviejų kraštinių ilgiai 6,8 cm ir 3,5 cm . Trečiosios kraštinės ilgis

(centimetrais) išreiškiamas sveikuoju skaičiumi. Koks gali būti trečiosios

trikampio kraštinės ilgis?

186*. a) Su kokiu 50CC temperatūros vandens kiekiu reikia sumaišyti 6( 15°C

temperatūros vandens, kad gauto vandens temperatūra būtų didesnė už 30°C ,

bet mažesnė už 40°C ?

b) Su kokiu cinko kiekiu reikia sulydyti 16 kg vario, kad gautume lydinį,

kuriame būtų daugiau negu 20 % , bet mažiau 40 % vario.

187*. a) Lygiašonio trikampio pagrindo ilgis lygus 12 cm, o perimetras mažesnis

negu 80cm. Nurodykite visus skaičius, kuriais galima išreikšti šoninės

kraštinės ilgį.

b) Lygiašonio trikampio viršūnės kampas kinta nuo 20° iki 70° imtinai.

Nurodykite visus skaičius, kuriais galima išreikšti kampą prie pagrindo didumą

laipsniais.

188*. a) Iš kiekvienos iškilojo л-kampio viršūnės nubrėžtos įstrižainės. Jų yra

mažiau kaip 35. Kiek kraštinių turi л-kampis, jei žinoma, kad įstrižainių

skaičius randamas pagal formulę ^ , čia л-kraštinių arba kampų

skaičius?

b) Paskutinio skambučio šventėje vienos klasės abiturientai pasikeitė

nuotraukomis. Kiek daugiausiai mokinių galėjo būti klasėje, jeigu fotografas

pagamino mažiau kaip 600 nuotraukų.

189*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis trupmenų — ir —!— skirtumas mažesnis už jų χ x + 2

sandaugą?

2 2 b) Su kuriomis χ reikšmėmis trupmenų — ir suma didesnė už jų

χ 3-х sandaugą.

•k -k "k

3. Rodiklinės ir logaritminės funkcijos 3.1. Pagrindinės funkcijų savybės ir reikšmių apskaičiavimas

1. a) Kuris iš grafikų yra funkcijos y = I — I grafikas?

b) Kurios funkcijos grafikas tiks-

liausiai atitinka paveiksle pavaiz-

duotą grafiką?

1) y = 2l",

3 ) 7 = 2*-1,

2) У = Г \

4) y = Y ' \

2. a) Kuris iš grafikų yra funkcijos 7 = 1 — 1 grafikas?

1) M

b) Kurios iš duotųjų funkcijų gra-

fikas pavaizduotas paveiksle?

2 ) 7 = 2 x , 1 )7 = 2 " 1 ,

3) 7 = 0,2х, 4) 7 =

3. a) Kuris iš duotųjų grafikų yra funkcijos y = 0,4W 1 grafikas?

b) Kuris iš duotųjų grafikų yra funkcijos y = 0,5W 2 grafikas?

1) M 2) a , У/

J 0,5

V -2

4*. a) Kurios iš duotųjų funkcijų yra didėjančios:

1 )У = \ \

l-2x

2)y = ( S ) 2 ' \ 3 ) ^ = 4 , 4 ) 7 = 2"

b) Kurios iš duotųjų funkcijų yra mažėjančios:

2) 7 = 5 -jc-l

3) 7 = Щ 7 '

4) 7 = f J - ' U 5*. a) Duota funkcija /(x)= a" . Žinoma, kad /(-1,5)= 8. Raskite /(θ,5).

b) Duota funkcija / (* )= a" . Žinoma, kad /(l,5)=—. Raskite /(-1).

6. Kuri iš duotųjų funkcijų yra rodiklinė?

a) 1) 7 = π* , 2) 7 = χ π , 3 ) y = xx , 4 ) 7

b) 1) 7 = sin;c\ 2 ) 7 = (V2)\ Ъ)у = хГ\ 4) 7:

: 2(3-*>* ;

. 2sinjf

7*. a) Nustatykite, kurios iš duotųjų funkcijų yra didėjančios:

1)7 = (л/з)\ 2 )7 = 2"*, 3 ) 7 = 21*, 4 ) 7 =

b) Nustatykite, kurios iš duotųjų funkcijų yra mažėjančios:

1)7 = 0,3*, ~ ' 2 ) 7 = 1^1 . 3) 7 = 1 7 , 4 ) 7 = Vi9

1 2 8*. a) Palyginkite reikšmes 3*' ir 3*2, jeigu X1 = —; X2=-.

1 1 b) Palyginkite reikšmes 3 1 ir 3 2 ,jeigu x, =— ir X2 =-— .

2 4

9*. a) Palyginkite reikšmes 5 1 ir 5 2 ,jeigu X1 = — ir x2 =—.

b)Palyginkite reikšmes 5*1 ir 5*2 ,jeigu = — j , x2 = — j .

10*. a) Duota Hinkcija f (χ)= 6х . Raskite reiškinio / (- 2)· Д -

Ч ,2 1

b) Duota funkcija /(X)=Tjr-RaskitereiSkinio / (-ΐ) · / ( — P n 4

reikšmę,

reikšmę.

11*.a) Duota funkcija /(X)=O1I1. Raskite reiškinio 5/(3)+ 9/(2)+ 7/(ΐ)+2/(θ)

reikšmę.

b) Duota funkcija /(χ)=0,1*. Raskite reiškinio 6/(3)+ 9/(2)+ 4/(ΐ)+4/(θ)

reikšmę.

Naudodamiesi skaičiuotuvu apskaičiuokite rodiklinių funkcijų reikšmes (12-13):

12. a) / (x)=4\ χ = -2,5; b) / ( x ) = f i l ,kai x = -l,5 .

13. a) / (x)= 9", kai χ = 3,5 ; b) / (x)= I - I , kai χ = -4,5 .

14*.a) Duotos funkcijos / (x)= — - — 2 — ir g ( x ) = - ^ - ^ — —

Apskaičiuokite reiškinio f2(x)-g2(x) reikšmę.

3·52χ -4·5"2χ . / х 3·52χ + 4·5~2χ

b) Duotos funkcijos /(χ) = — ir g(x)= —

Apskaičiuokite reiškinio f 2 (x )-g 2 (x ) reikšmę.

15*.a) Duota funkcija / (х )= 3X . Raskite reiškinio /2 ( l7)+/2 (-17) reikšmę, jei

/(17)+/(-17)= a .

b) Duota funkcija / (x)= 7*. Raskite reiškinio f 2 (24)+f2 (-24) reikšmę, jei

/(24)-/(-24)= a .

X 16*. a) Funkciją /(x) = I2 x • 81 2 išreikškite rodikline funkcija ir

apskaičiuokite /| — |.

b) Funkciją / (x)= 4ix · 64 2 išreikškite rodikline funkcija ir

Г apskaičiuokite / I —

^ jc+2 17*. a) Funkciją / ( * ) = — — išreikškite rodikline funkcija ir

apskaičiuokite 3/(-l).

4*+1 + 41+2

/ \ iT -T-iT

b) Funkciją f\x)= —"Ϊ7Γ išreikškite rodikline funkcija ir

apskaičiuokite 16/(-l).

18. a) Raskite* reikšmes, su kuriomis funkcija y = 2x įgyja duotąją reikšmę:

1)16, 2 ) 8 ^ 2 , 3) —L·, 4 ) — L · . V2 32V2

b) Raskite * reikšmes, su kuriomis funkcija , - ( į ) įgyja duotąją reikšmę:

I) ~ > 2)125, 3)— l-j=, 4) 625л/5 . 25 25V5

19. a) Nubraižykite grafiką funkcijos y = / (* ) , kai /(*)=

b) Nubraižykite grafiką funkcijos y = g(x), kai g(x) =

I х , jei χ > O ,

3x + l , jei x<0 .

Ax , jei x< 1 ,

*2 +1, jei χ > 1.

20. a) Iš grafiko nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y=5 x grafikas

yra aukščiau tiesės y = -2x +1.

b) Iš grafiko nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos 7 = ( - ] grafikas 3,

yra aukščiau tiesės y = χ +1 .

21*. a) Kokiame intervale funkcija y = 2" įgyja didžiausią reikšmę, lygią 32 ir

mažiausią reikšmę, lygią -j.

b) Kokiame intervale funkcija = ISyJa didžiausią reikšmę, lygią 81 ir

mažiausią reikšmę, lygią 1 .

УА

22*. a) Paveiksle pavaizduoti funkcijų

у = а* \т y = kx +b grafikai. Para-

šykite funkcijų lygtis. Raskite tiesės

susikirtimo su Ox ašimi taško

abscisę. ori 3 χ I

b) Paveiksle pavaizduoti funkcijų

y = a* ir y = kx + b grafikai. Para-

šykite funkcijų lygtis. Raskite tiesės

susikirtimo su Ox ašimi taško

abscisę.

23. a) Kokio skaičiaus logaritmas pagrindu 7 yra lygus 2?

b) Kokio skaičiaus logaritmas pagrindu 3 yra lygus 5?

24. a) Kokio pagrindo logaritmas skaičiaus 27 yra lygus 3?

b) Kokio pagrindo logaritmas skaičiaus 256 lygus 8?

25. a) Žinoma, kad teigiami skaičiai y, a ir b sudaro sąryšį y = a-b6. Išreikškite

Iogc y skaičių a k b logaritmais pagrindu c.

b) Žinoma, kad teigiami skaičiai x, a, b ir c išreikšti sąryšiu χ = ° ^ . c

Išreikškite logaritmą log„ χ skaičių a, į ir c logaritmais pagrindu n.

26. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = log, χ reikšmė lygi 2; -3 ; 1.

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = Iog4 χ reikšmė lygi 0; -1; —.

Palyginkite duotuosius skaičius. Atsakymą pagrįskite (27-36):

3

27*. a) Iog4S ir I og i - ;

4 5

7 7 28*. a) Iog 1- ir log 5 — ;

b) Iog2 3 ir log, 3.

2

29*. a) Iog2 - ir Iog4 ; b) Iog i 2 ir Iog2 2 . 3 3 3 5

30*.a) Iog3- ir Iog3-; b) Iog5 ir Iog5 S . 8 7

31*. a) Iog i ir log, —; b) Iog iS ir I og i ? .

4 4 4 4

ч • 97 . , 99 U4 , 101 . . 103 32*.a) log, — ir log, — ; b) Iogs ir Iog8 . •i 99 { 97 103 101

33*. a) Iog5 7 ir Iog7 5; b) Iog3 2 ir Iog2 3.

34*. a) Iog4 5 ir Iog6S ; b) Iog7 4 ir Iog3 5 .

35*. a) - Iog5 - ir 7log51; b) Iog4 Л ir Iog3 . 5 81

36*. a) A = Iog3 2 + Iog3 7 ir B = Iog3 (2 + 7);

b) A = Iog4 5-Iog4 3 ir B = Iog4(5-3).

37*. a) Išdėstykite reiškinius jų reikšmių mažėjimo tvarka:

ч log(cos2n)

^ c c i j ' , * = log, Į r i n ^ J , C =

b) Išdėstykite reiškinius jų reikšmių didėjimo tvarka:

A - [ * į f \ B = I o g f ( C - I ) , C = ( t g f ^

38*.a) Išdėstykite skaičius didėjimo tvarka Iog20,7; Iog22,6; Iog20,1; Iog2 6 Iog2 3,7.

b) Išdėstykite skaičius mažėjimo tvarka Iog0 317; Iog0 3 2,7 ; Iog0 3- -

Iog0 3 3 ; log 0 3|.

39*. Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo sritį, jei:

a ) / ( * ) = 4 ^ S b) / ( * )=

j χ .'з-*2

2

40*. Raskite funkcijos /(χ) didžiausią reikšmę, jei:

- ) / M = ( { f 2 b) /(*)=82*-*2

Raskitefunkcijos f(x) reikšmių sritį (41-43):

41*. a) /(x)= 2 χ2'4;

42*. a) / (x )=4w + 3 ;

b) /(χ)=34~χ2 .

b) /M=5 ' "- 2 .

b) / W = ( į )

44*.a) Raskite funkcijos y = 2" 3 atvirkštinę funkciją. Nubraižykite vienoje

koordinačių plokštumoje duotosios ir jai atvirkštinės funkcijos grafikus.

b) Raskite funkcijos y = atvirkštinę funkciją. Nubraižykite vienoje

koordinačių plokštumoje duotosios ir jai atvirkštinės funkcijų grafikus.

1) Apskaičiuokite /(log2 з),

2) Parašykite duotai funkcijai atvirkštinę funkciją intervale (θ; oo).

1) Apskaičiuokite /(log5 2),

2) Parašykite duotai funkcijai atvirkštinę funkciją intervale (θ; + <x>).

46*. a) Duotafunkcija /(x)= Iog2 (x-l).

1) Išspręskite lygtį /(x)= 3,

2) Išspręskite nelygybę /(x)< 3 ,

3) Nubraižykite funkcijos y = f(x) grafiką.

b) Duota funkcija f ( x ) = log, (χ +1).

2

1) Išspręskite lygtį /(x)= -2,

2) Išspręskite nelygybę /(x)>-2,

3) Nubraižykite funkcijos y = /(x) grafiką.


1 47. a) log, — = ,

2 4V2

48. a) Iogv-V27 ;

b) Ig IO(WH)

b) Iog3^ VŠ2 .

b) l o g ^ V š ) . 49. a) l o g ^ V l ) ;

50. a) IgO1I; IgO5OOl; IgVlO ; IgVlOO ;

b) IgVlO ; l g- j L ; lg(loVŪ));Ig(lOoVio).

51. a) log,-!-; Iog3л/27 ; Iog01O1OOOl; Iog02625.

7

b) l o g 0 . 2 7^ ; log0..(l0VT000).

52*. a) Iogvi (7 -V?)- Iogy i 14;

53. а) (З Ig 2 - Ig 24): (lg3 + Ig 27);

b) Iog0,0,003 - Iog010,03.

b) (Iog3 2 + 31og3 0,25): (Iog3 28 - Iog3 7).

Apskaičiuokite reiškinio reikšmę (54-68):

54. a)

55*. a)

Ig8+lgl8 .

21g2+lg3 '

31og72-log724

b)

Iog7 3 +Iog7 9

56*. a) V?(log3 36 - Iog3 4 + 51°85 8)°

b)

31g2 + 31g5

Igl3-lgl30 '

Iog4 45+ 2 Iog4

Iog4 75-Iog4 3

o,5 Ig 5

57*.a) 81" ~ 21°89" +251°812'8 + 164+'°g4':

>g,25 3 58*. a)

b)l.(log,23 + log,24 + 71-4r85"· b ) 2 ^ 3 _ 5 ϊ ' ^ 3 _ 8 1 - . ο 8 8 ΐ

v log 81 5

b) I — I «

59*.a) log, (Iog255)-91°853 ;

2

b) log, (log27з) — 161085

60*. a) 41°825+2log0·"3;

61*.a) Iog4(log,, 121)+ Iog16л/2 ;

62*.a) 2lo8^5+2l°eo,25.

63*.a) (5^ 5 ) , O E s 3 ;

64*. a) Iog16 (Iog3 81);

65*. a) Iog18126-Iog18 7;

66. a) lgl-i-lgl50;

67*. a) Iog2004tg45°+Iog1 cos45°;

2

68*. a) I og w j (9л/з);

69*. Įrodykite, kad

a) 2 , 0 8 2 Л ' 5 = У Й 1 ;

70*. Suprastinkite:

Iš duotosios lygybės raskite χ (71-75):

71*. a) Iog4 χ = 2 Iog410 + 4 Iog4 81 - 1 Iog4125; 4 3

b) log, X = ^log1 8--^ Iog1 256 + į l o g , 144.

3 J I 8 J 2 I

72. a) I g x = i i g 9 - | l g 8 ; b) lgx = | l g 2 5 - j l g 9 .

73. a) Igx = Igl2 + lg l5-lg l8; b) Igx = lg8 + lg20-lg40.

2 74*. a) Iog0 , χ = 4 Iog0,3 - - Iog0, 27 - 2 Iog0, 6;

b) Iog0 j χ = 2 Iog0il 6 - 0,5 Iog0il 1OO+3 Iog0, UlO .

JjJ Jlog9IS-Iog27S

b) Iog8(Iog14 196)-Iog7 -Jl .

Iogyj 7-21og I 7

b) 3 1 .

b) (4108'3)10847.

b) Iog27 (Iog4 64).

b) Iog15120-Iog15 8.

b) Ig2^-lg2500.

b) Iog2005 ctg45° +log2cos30o. 4

b) Iog4v1 (W2 ) .

b) 5 , 0 8 ^ 3 = У 2 7 .

b) V r - -IgVx-IgVx3

„ „ , . Iog5 27-2 Iog5 3 . . . 2 Iog0 3 4+ Iog0 3 0,5 75*.a) Igx = —— ; b) Igx = — —-

Iog5 45+ Iog5 0,2 Iog0 3 6-Iog0312

Raskite Igx, kai (76-77):

0-JWa

"oj ; " " 10

J loJToi JwaJoJ 76*. a) χ = —— ; b) χ = —

JlOOO-JlOaVa J\oJlOOOaS 77*. a) χ = - ^ 7 = ; b) x = — =

loVa lOOVa

78*. Duotąjį reiškinį išlogaritmuokite nurodytu pagrindu a:

a) 25 й3 Vc^ ,kai a = 5, b>0 , c > O;

L-I b) ,kai α = 0,2 , b>0 , c>O .

79*. a) Žinoma, kad Ig 2 = α ir Ig 3 = 6 . Apskaičiuokite Iog412 .

b) Žinoma, kad Iog2 5 = α ir Iog2 3 = b . Apskaičiuokite Iog315.

80*. a) Apskaičiuokite Iog616, jeigu Iogl2 27 = a .

b) Apskaičiuokite Iog4916 ,jeigu Iog14 2 = c.

81*. a) Išreikškite Iog6 9 raide a, jeigu Iog6 2 = a .

b) Išreikškite Iog36 9 raide a, jeigu Iog36 8 = a .

82*.a) Raskite funkcijos /(x)= Iog2 χ reikšmę, su nurodytosiomis argumento

reikšmėmis:

1) x = 2 , 2) x = -j2 , 3) x = V8, 4) χ = 16 5) X = -^,

6) x = J = ; 7) x = J L , 8) x = - J , 9)64, 10) 2 Л . л/8 V2 16

b) Raskite funkcijos /(x) =Iog1 χ reikšmę, su nurodytomis argumento

3

reikšmėmis:

l ) x = į , 2) x = - J = , 3 ) i 4 )V3 , 5 )3 , 9 V27 3

6) Зл/З , 7) J I , 8)27, 9)81, 10) 3 Л . V3

83*. Iš funkcijos y = Iogc χ grafiko raskite c:

a)

Nubraižykite duotųjų funkcijų grafikus (84-86):

84*.a) / (x) = Iog05 * +1; b) /(x) = Iog05 x-\.

85*.a) /(x)=log05(x + l) ;

86*.a) / ( * )= log 2 x- l ;

b) / (x)=log2 (x-l) .

b) / (x)= log2x+l.

87*.a) Duota funkcija /(x)= Iog2 χ . Nubraižykite funkcijos y = / j ^ j grafiką-

b) Duota funkcija = log j χ . Nubraižykite funkcijos y = /(27x) grafiką.

3

Nubraižykite funkcijų grafikus (88-91):

88*.a) 7 = Iog,χ2;

89*. a) y = 2'°82Jr;

90*. a) y = X los'3;

91*. a) y = 31°83!1"*2);

b) .V = Iog x-. χ

b) 7 = 0,51°80'5"-".

b) 7 = X108'4.

_ n ц'ово.з!*2-1) b) 7 = 0,3

92*. a) Duotas funkcijos y

grafikas. Raskite m.

УА

= Iogm χ b) Duotas funkcijos y

grafikas. Raskite a.

УА

= 'Og0 Χ

93. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos У 'og2 x_

y = Iog2 χ grafikas. Iš grafiko ras-

kite χ reikšmes, kai

1 ) 7 = 3, 2 ) 7 = -1,

3 ) 7 = 1, 4 ) 7 = 2 .


7 = Iog3 χ grafikas. Iš grafiko ras-

kite 7 reikšmes, kai

1) JC = 1, 2) JC = 3,

3 ) x = 9 , 4) * = i .

94*. a) Duota f(x)= Iog3 χ . Įrodykite, kad/(δ Ijr)- / ( 9 x ) = 2x ;

b) Duota f(x)= Iog2 χ . Įrodykite, kad / (4 ' )+ Д8*)= 5x.

95*. a) Raskite intervalą, kuriame funkcija 7 = Iog3 χ įgyja didžiausią reikšmę,

lygią 4 ir mažiausią reikšmę, lygią -2 .

b) Raskite intervalą, kuriame funkcija 7 = Iog0 5 χ įgyja didžiausią reikšmę,

lygią -1 ir mažiausią reikšmę, lygią -3 .

Raskite funkcijų apibrėžimo sritis (96-107):

96*. a) / ( x ) =V 2x-5+Iog3 (3-х); b) / (x )=V 3x + 6 + log2(l-x).

97*.a) / ( x )=V 16-х2 -log2(x2 -5х + б); b) / (x)=V25-x 2 -Iog05Ix

2+2х-з).

98*. a) f(x)= Iog4

x-2

x + 3 b) / ( * )= log

3-х

x + l

99*.a) f { x ) = ^ l o g 4 ^ - i ; b ) / ( χ ) = flog.

100*. a) / (x) =Vlg(x + 2);

101*. a) /(χ) = V x 2 - З х + 4

x-lg(x-5)

З Х - 1

с + 3

b) /(x)=Vlg(x-3)

b) / (χ ) = V-X2 + 5x + 6

xlg(x-2)

102*.a) / W = M ^ - V i M ; b)

x-3 x-2

103*. a) /(x)=log05(x2 -2*)+ S-X2 ; b) /(x)= Iog03 (x2 + Зх)+ч/49-х2

104*.a) /(x)=log,(2x2-5x + 9); b) f(x)= log, (з*2-2x+1).

3 2

105*. a) /(x)= Iog3 sin χ ; b) /(χ)= Iog2 cosx .

106*.a) /(x)= log03(2sinx-l); b) /(x)=log 0,5(1 - 2cosx).

107*.a) / (x)=lg(tgx-l) ; b) /(x)=lg(-tgx + l).

3.2. Rodiklinės ir logaritminės lygtys ir nelygybės


1. а) 4х =64; b) 3X =81.

2. a) 2X+1 = 0,25 ; b) 53χ-' = 0,2 .

3. a) 2 5 " * = - ; b) ( 0 , 5 ) 1 = - . 5 v ' 64

4. а) 4X = — ; b) f-1 =36. 16 4 6 .

5. a) 254x_l = 1; b) 632x-'=l.

6. a) IOx=VlOOO; b ) 5 x = - p L . V25

7. а) 0,3х = 1 ^ ; b) 0,7х = I M 27 ' 3 4 3

9 8. а) 0,3х =11-; b) 0,4х =15-

2jc+3 / - ч 8д:+1

-I-AT-I1J . КЧ А 9. а) 3" = ^ J J ; =1,5

10*.а)--3х =9-9^ ; b) - ·2Χ =8-8^ . 3 2

11*. a) 5χΖ-17χ+62·5 = 25л/5 ; b) 0,56χ-χ2+2·5 = 16^2 .

12*.a) 2·4χ-5·2χ + 2 = 0 ; b) 3·9Χ-10·3Χ+3 = 0 .

13*.a) 22χ+2 + 3·2Χ -1 = 0; b) 4х+2Χ+1-24 = 0.

14. a) 3χ+2+9χ+1 =810; b) 16*"2-3·4Χ+Ι =256.

15*.a) (0,01^+9,9-(0,1^-1 = 0; b )3-f- l +7·ί—1 -6 = 0. .9 ) U .

16. a) 2 x + 2-2 x=96; b) 7 X -7 X " ' =6 .

17. а) Зх-Зх+3 =-78; b) 5х"1 -5х"3 =4,8 .

18. a) 2X+1 + 2Х+2 + 2Х+3 = 448 ; b) 3х + 3X+1 + Зх+2 = 117 .

19. a) 2·3*+1 -4·3Χ~2 = 150 :

20*. a) 5*-53"* =20;

21*. a) 6*-63"* = 3 0 ;

22. а) З2*· 5* =2025;

23*.а) 2х -5х =OJ -IlOx'' )5;

24*. a) 0,032*=

28*. а)

2дг

29*. a) Ų n f - Ų š ) * = -

30*. а) 2 х + 2 - 2

= 1 ;

Ь) 7*+2+4-7*"' =347.

b) 23~* =9-2*

b) Ix-I2'" =48 .

b) 22* · 7* = 784.

b) 2*2 ·5*2 =(l03-*)210-3 .

b) (0,0007)

r \x+9

Sx 100

V7

b)

2* JJL)3

256 J

3* + 4

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f ( x ) grafikas kerta Ox ašį, abscises (31-33):

31*.a) / (* )= 9*-75-3*-'-54; b) /(*)=4*+1+ 15-2*"1-1.

32*.a) /(χ)= 3-16* + 2-81* - 5-36* ; b) f(x)= 3-4*-5-6* + 2-9* .

33*.a) /(x)=3* -18-3"* -7 ; b) f{x)= 5* +125-5"*-30.

Raskite funkcijų f ( x ) ir g(x) grafikų susikirtimo taškų abscises (34-41):

34*. a) / (* )= ,g(x)=\į\ ; b) /(*) =

2 - 2 *

. « Μ -

,2 ( у3"** 35*.а) / (* )= 3 7 , g{x)=V9 ; b) f{x)= -= , *(*)=!.

/

2л

36*.a) /(χ)=22*+1, g(x)=5-2* + 88 ; b) f{x)= ( j J -32,g(x) = ^

37*. a) /(x)=3*-7*+2, g(x)= 49-4*; b) /(x)=2*+1-5*+3, g(*)= 250-9* .

38*.a) / (*) = (ОД)*2"16*""37,5, g(x)=5VJ;

39*.a) / (*) = 53*-2-53*"', g(;t) = 3-53*-2+ 60;

b) / (* ) = 25*"1 + 25*-2, g(x) =896-25*"3.

40*.a) /(x)=24*+9 , g(x)=3-22x+s-4;

b) /(*)=34*+8 , .?(*)= 4-321+5-27.

41*.a) /(x) = 4*-5*"\ g(x) = 0,2-203"2*;

b)/(x)=3*+ '-4*, g(x) =0,25-123*"1.

42*. a) Raskite lygties 4 ^ - 4 ^ + 8 = 3- 2 *"7"1 didesniąją šaknį,

b) Raskite lygties 9 ^ ^ + 9 = 8 2 - 3 ^ " 2 didesniąją šaknį.

43*.a) Raskitelygties 91*1"2 =2-31*1"1+27 neigiamą šaknį,

b) Raskite lygties 41*1"3 =3-21*1"2+16 neigiamą šaknį.

Išspręskite nelygybes grafiškai (44-45):

44*.a) 5* <-X + 6 ; b)3*>-x + 4.

45*.a) f—1 <0,5x + 5; b) i - ) >3x + l .


46. a) 4* >64; b) 3*<81.

47. a ) i į l <1; b ) i į l > l . ,2,

48*.a) 5* >3 ; b) 7* <2.

49. a) — >-81; I 81 у

b) 27* <-27.

50. а) 102х <0;

51. а) 25~* > j ;

52. а) 27>| j I ;

53. а) 32х~4 <27;

54. а) (0,l)5*"9 <0,001;

55. а) (л/5)"6<1;

56. а) З 6 ' х >3 i x ' 2 ;

<ЧГ<(Г' 58-"4tiJ Г И

59. a) ( 0 , 0 4 ) W ' 8 < 6 2 5 :

60. а) 25 х-16 < 0,2 *2+2* ;

61. а) 2х ·3Χ £6χ2~6;

62. а) 2х + 2Х+2 < 20;

63*. а) 3* + 3I_JI - 4 > 0 ;

64*. а) 2х - 23'х > 2 ;

65*.а) 4* -6-2* +8<0;

66*. а) 4* + 2*+3 > 20 ;

b) I — I >0 . .100

b) 0,5* < — . 64

ь ) Ш " 4 ·

»(ГЧ b) (0,2)3*-4 <0,04.

b) (Vs) ' *+ 6>I

b) 23*+7<22*-'.

»(Γ>(Γ b) I \=j I S i .

b) 2χ2~6χ'2·5 > 16-J2 .

b) 3 дг'-дг+З .

, 27,

b) 5* ·2* > IO2"*2.

b) з2*-'-з2*-3<-. 3

b) 2х + 23-* < 6 .

b) 31+* +32'" < 28 .

b) 9*-4·3*+3<0.

b) 9*+l + 3*+2 >18 .

ч 2х-4 . 0,5* -0,25 . 67. а) —5 > 0; b) — r—1— > 0 . 2х +3 -Зх - 7

£+1 2х-1 68. а) 3 х >3; b) 2 * < 4 .

69. а) (0,25)3-0·5*2 <8 ; b) 40·5'2-2·5 >(θ,5)~4.

3х -21 64-4* 70*.а) -4 — <0; b) ° >0 .

Х 2 - 4 Х + 4 4Х2+\2Х+9

71*.а) (з- 21 )(зх2 -+- 2дг-1)> 0; b) (5х-б)(з*2 — 2JC —1)< О .

72*.а) -4<3*2-2*-'-5<4; b) 8<3χ2~2χ+ι -1 <80 .

5J {25

74*.а) 8-2*2-3* < ( θ , 5 1 ; b) 9-3*2'4* <3~'.

/ . 4 21-0,51-1 /' 1 Λ JT-O1SX

7 5 * . а) - Ч ^ 2 \2х-щ+х. b) П > 3 i3 . - i2 | + 2._

76*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 2-/2-21"3 grafikas yra žemiau

tiesės v = — ? 2

1 V*+4

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = j · I-Jl grafikas yra žemiau

tiesės y = — ? 7

77*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 9x+l -2-3x grafikas yra žemiau

tiesės y = l ?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 2-16x+5-22jc grafikas yra

aukščiau tiesės y = 31

78*. a) Išspręskite nelygybę /(g(x))<g(/(x)), jeigu f{x)= 2x-\, g{x)=2x + \.

b) Išspręskite nelygybę / (gW)<g( / ( * ) ) , jeigu f(x)=2", g(x)=2x.

79*. Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f ( x ) reikšmės yra neneigiamos, jei:

a) f{x) = J32-2^-83*; b) /(x)= 7 2 7 - 3 ^ - 9 4 x ?

80*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f (χ)= 25 · 0,04 2x - 0,2 х(3 x) reikšmės

yra teigiamos?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos g(x)=4 0,5x<x+3)-0,252x reikšmės

yra neigiamos?

81*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 31x1+2 grafikas yra aukščiau tiesės

7 = 27?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = 2 'x| grafikas yra žemiau tiesės

82*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos 7 = 0,7|x+2' grafikas yra nežemiau

tiesės 7 = 0,70,5?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos 7 = 0,6'1-3' grafikas yra neaukščiau

tiesės 7 = 0,60'5?

83*. a) Duota funkcija f(x)= 2X+2.

1) Išspręskite lygtį / (*)= 16,

2) Išspręskite nelygybę f ( x ) <16,

f O 3 3) Palyginkite skaičius /1-1—1 ' r ^ '

4) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis būtų teisinga nelygybė / ( 2 ) < a2.

4) Raskite visas b reikšmes, su kuriomis butų teisinga nelygybė / ( з ) < b2.

84*. a) Duota funkcija / (* ) = 5X .

1) Išspręskite lygtį / ( * ) = — , 64

2) Išspręskite nelygybę / ( * ) < — , 64

2 3) Palyginkite skaičius / ir —

3 '

1) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes intervale [θ; 2],

2) Išspręskite lygčių sistemą:

3) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis lygtis f(x)=36-a2 turi sprendinių.

b) Duota funkcija / (x)= J .

1) Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes intervale [-2; θ],

f / M = * .

1 / = 1 6 . 3) Raskite visas b reikšmes, su kuriomis lygtis f(x)=b2-25 neturi

sprendinių.

2) Išspręskite lygčių sistemą: ,

b) Igx = 3.

b) Igx = -4.

b) Iog0 2 χ = 4.

b) Iog2 x=-5 .

3

b) Iog2 (x2 - з ) = 0 .

b) log, (χ2 + Зх—l)= -2 .

з

b) lg(x2-8)-lg(2-9x)=0.

b) 21og7 2 = Iog7 X-Iog7 9 .


85. a) Igx = I ;

86. a) Igx = -2;

87. a) Iog5 χ = 2 ;

88. a) Iog4 χ = -2 ;

5

89. a) Iog3 (x2 - 8 )=0 ;

90. a) Iog2 (χ2 -3χ-1θ)=3 ;

91. a) lg(x2 - б)= lg(8 + 5x);

92. a) 2 Iog3 χ = Iog3 2,5 + Iog310;

93. a) Iog3 (x - 2)+ Iog3 (x + 2) = Iog3 (2x -1);

b) log,, (χ + 4)+ log,, (χ - 7) = log,, (7 - χ).

94*. a) Iog2 χ + Iog2 χ2 = -1 ; b) Iog2 χ + Iog4 Vx = 1,5 .

95*.a) Ig2x + lgx2 = -1; b) Ig 2X-IgV^ = 0,5.

96*. a) Iog0 5 (log2 χ - 31og2 χ + 4 )= -1; b) log3(log05 x-31ogosx + 5)= 2.

97*.a) ln(V2x-3+2)-ln(x-l) = 0 ; b) ln(V3x-2+з)-1п(7-х) = 0 .

98*.a) 7·Iog5(2x)-20Iog5(2x)-3 = 0, b) Iog^ (x2+x)+log, (x2+x)=0 .

99*.a) Iog3(1 + Iog2(1 + 31og2x)) = 1 ; b) Iog25J -log3(2-log05x) ) = -0,5 .

100*.a) -Ilog3(x+l)-Iog34x + 4 =-2 + Iog34,5 ;

b) ^ l o g 7 ( x-6 )- l og 7 V^3 =Iog7 24,5-2.

101*. a) Ig(IOOx)-Igx = - I ; b) Iog2 χ-Iog2 = 4 .

102*.а) л/х + 2-Iog3X = O; b) yfx · Iog3 (x + 2) = 0 .

103*. a) 2210831-51°83* =400; b) 31θ85χ2 -2log5X =324.

104*.a) Iog2 43 x _ l = 25 logs2; b) Iog3 9

2x"3 =31°8 '4.

105*. a) Iog3 χ +1 = 2 Iog13 ; b) 2Iogx5-3 = -Iog5X.

106*. a) 2 Iog5 4x = 2 + Iogx 0,2 ; b) Iog4x2 + Iog2X = O.

107*. a) Iog4 χ + Iog16 χ + Iog2 χ = 7 ; b) Iog3 χ + logyj χ + log, χ = 6

3

108*.a) log5(6-5x)= 1-х ; b) log3(4-3x-'-l)=2x-l.

109*.a) log6(5 + 6" x )=x + l ; b) l og 2 ( 2 x -7 )=3-x .

1 1 0 * . a ) X l g x = 1 0 ; b) X l g x =10000.

111*.a) X i 0 8 3 x = - ;

X

b) x0,51gx = Ο,ΟΙχ2.

112*. a) 0,1-x'8X"2 = — ; X

b ) X l g x - 3 = 1 0 0 0 .

χ

113*.a) X 4 1 g x =10; b) X l 8 x=O1 I-X2 .

114*.a) |xI-Inx = x ; b) Į x-21 - Inx = 3(x-2).

115*.a) 4l082<l8x) =Igx-Ig2x + l ; b) 9'°83<l8X) = lgx-21g2x + 4 .

116*. a) 31og3xx = 21og9xx2; b) 21og4xx

3 =51og2xx.

Raskite taškų, kuriuose kertasi funkcijų f (χ) ir g(x) grafikai, abscises (117-131):

117*.a) / ( * )= lg(3x-17) ir g(x)=lg(x+l);

b) f(x)= lg(4x + 5) ir g(x)=lg(5x + 2).

118*.a) /W= Iog 4 ir g(x)= Iog4(4-χ) ; X - I

b) /(x)=lg(4,5-x) ir g(x)= Ig 4,5-Ig χ .

119*.a) /(χ) =Iog3(χ-2) ir g(x)= I-Iog3 χ;

b) /(χ) = Iog2 (χ-3) ir g(x)= 2-Iog2 χ.

120*.a) /(x)= Iog32χ +2 ir g(x) = 31og3x; b) /(x)= log2χ ir g(x)= 2-Iog02X.

121*.a) /(x)=log2(2*-3)ir g(x)=2-x; b ) / ( x )= log3(3*-2) ir g(x)=l-x.

122*.a) /(x)=x'°82JC ir g(x)=4x; b) /(χ)= χ1+10821 ir g(x)=16x.

123*.a) /(x)=log2(4*+4)ir g(x)= χ+ I og 2 ^ + 1 -3 ) ;

b) /(x) = Iog2(4 · 3 * - б) ir g(x)= 1 + Iog2(9* - б).

Raskite taškus, kuriuose funkcijos /(x) grafikas kerta abscisių ašį (124-130):

124*.a) /(x)= Iog16X-4 '

b) / ( x ) =- +Iog27X.

125*.a) /(x) = log2x-31og2X-IO ; b) /(x)=log2x + 21og2x-8.

126*.a) /(x)=log, x-log, (x 2 -2) ; b) /(x) = Iog3(х2-б)-Iog3χ

127*.a) /(x)=lgV5x-4 + lgV^+T-2-lgO,18;

b) /(χ) = I g + \gj2x- 3 +1 - lg30 .

128*. a) /(x)=lg(x2-5x + 7); b) /(x)= Iog2(x2 +3x-3 ).

129*. a) /(x)= log log. χ -2x

x-3 ^ \ /

130*.a) / (x)=6 l 0 8^ + χ °8бХ -12;

b) /(χ)= Iog3 log 2χ2 -χ

χ + 1

b) /(x)=5 l o g 'x+x l o85 l-10

131*.a) Raskitelygties lg(x + 6)-2 = — lg(2x-3)-lg25 didesnįjį sprendinį,

b) Raskite lygties lg(x + 9)- 2 = I-lg(2x + 3)- Ig25 mažesnįjį sprendinį.

132*.a) Žinoma, kad /(x)=log3(5x-2). Išspręskite lygtį /(x)= / (Зх-l) .

b) Žinoma, kad /(x) = Iog2 (8x -1). Išspręskite lygtį /(x) = / (- j + 5 j .

Nustatykite su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos /(x) reikšmė lygi 2 (133-134):

133*.a) /(x)= log,_,(x2 -5x + lo) ; b) /(x)= log^3(x2+ 2x-3l).

134*.a) f(x)=logx[lx2 -Зх + 2 ) ; b) /(x)= Iog j t^x 2-2х~ з ) .

135*. Nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos /(x) reikšmė lygi 1, jei:

a) /(x) = Iog 4 ^ i-2 j ; b) / (* )= Iog6^p- + z j .


136*. a) log5(3x + l )<2 ; b) Iog0 5 f-j j > -2 .

137*. a) Iog2 (2-5x) > 1; b) log3(3-4x)<l.

138*. a) Iog02 (4 - 2x) >-1 ; b) log05(3x-2)<-l.

139*. a) Iog0il(X-I) >-1; b) Iog02(x +1) > - 2 .

140*.a) Iogv5(3x + 4)>8; Ь)1о §л(2х-3)<4.

141*. a) Iog8 (x2 -7x)> 1; b) log, (χ2 + 0,5x)< 1.

2

142*.a) lg(x2-4x+13)<l; b) Iog5(χ2 + 6χ + 1θ)> 1

143*. a) Iog0 3 γ—— < O ; 1-х

b) Iog3 — Ą > O · x-2

144*.a) Iog3 X >0 ; 2-х

b) log i I z 2 Z < o .

2 *

χ2+3 145*. a) Iog2 >1;

62 x + 3 b) log0,5 χ + ι ο < - 1 .

146*. a) Iog4 (3x-1)< Iog4 (2x + 3); b) Iog0 4(2x-5)> Iog04

147*.a) (logw 7>Iog0,7(3-2x)> O ; b) l 0 ^ ° · 8 <0 . 1Og 0 , ! (2-3x)

148*. a) Iog01 (7-2х)й Iog0, (3 + χ);

149*.a) log, x+log, (4-χ)>-1 ;

з з

150*.a) log2(x-l) + log 2x<l ;

151*. a) Iog3 χ + Iog3 (χ -1) -1 < Iog3 2 ;

152*. a) Iog3 χ + 41og3 χ + 3 < O;

153*.a) lg2x + 6<51gx;

154*. a) Iog2 χ - 21ogx 2 +1Ž O;

. 2x + 3 n 155*. a) >0 ; log4x

156*.a) ' O g 3 ( j C - 3 ) >0 ; χ-3,5

2x-3 157*. a) ——-> O;

Iog2X

158*. a) 41θ84(4-9χ)<16;

159*.a) 4-x<log2(6 + 2 j r);

160*.a) '°g2(sinx)+l

3x +2

161*.a) l o g 0 / l o g 4 - ^ j < l ;

162*. a) Iog 5^ 12^0;

4 3 163*. a) Iogx-< Iogx - ;

5 4

164*. a) I o g X ( X - I ) £ 2 ;

165*. a) Iogx 4 0,3 > O ;

1+5

b) Iog4 (3+ 5x)> Iog4 (3x-l).

b) Iog2 (7 - x)+ Iog2 χ > 1 + Iog2 3

b) Iog3 χ + Iog3 (x-8) >2 .

b) Iog01 χ +Iog0,(x-2) +I^logc

b) Iog0 5 χ + Iog0 5 χ > 2 .

b) lg2x + lgx>2.

b) lgx + 61ogx10<5.

b) x+l

I og 2 (T - X ) < 0

x-5

b ) - ^ < 0 . Iog05 χ

b)0,32>0,3lo8o'3<3-2*).

b) x + 3 > log3(26+3~x).

log2(cosx)+l b) ,

2x +3 - > 0 .

b) log0t3| I o g 3 - ^ l ^ o .

b) log3x+4 0,2 > O.

b) Iogx I > Iogx I .

b) Iogx (x + 2) > 2 .

b) Iogxz2 1,5 < O.

x+3

166*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos у = log, (-χ) grafikas yra aukščiau už

3

funkcijos y = log, (4 - 2x) grafiką.

3

b) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos y = Iog2 5 (б-x) grafikas yra žemiau už

funkcijos y = Iog2 5(4- 3x) grafiką.

167*. a) Su keliomis sveikosiomis χ reikšmėmis funkcijos y = Iogl2 (χ2 - x) grafikas

yra neaukščiau tiesės 7 = 1?

b) Su keliomis sveikosiomis χ reikšmėmis funkcijos 7 = Iog1 (x2-IOx+ 9 )

2

grafikas yra nežemiau abscisių ašies?

Nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos /(x) reikšmės yra teigiamos

(168-173):

168*.a) /(x)=log,(x + 3); b) /(x)= Iog1 (x-5).

4 8

169*.a) / (x)= log± (x-2) + j ; b) /(x)=log±(x+3) + j .

27 -3 32 5

170*.a) / ( x ) = l o g 5 ^ ; b) /(x)= Iog9 . - x + 6 - Ϊ - 7 2 4

171*. a) / (x)= Iog0 5iIog3 ; b) /(x)= Iog0 Zlog2

V x - U V l + x

3 JC—1 , 4*+3 '®80 5 5

172*. a) /(x) = 0,2 ' 2*+3 -1; b) /(x) = 0,8 ' 5*"2 -1.

173*.a) /(x)= l 0 g 2 ·5 0 '4 ; b) / ( x ) = i g g g ^ l M . W W Iog2 5 (3 + 7x) ' ' J X ' Iog0 5S

Nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos /(x) reikšmės yra neigiamos

(174-176):

174*. a) / (x)= Iog2(i7 — 2л); b) /(x)=log, (з*-80).

3

175*.a) / ( x ) = l o g 8 ; b) / (x)= log, . X-I - Ъх-1

4

176*.a) / (x)= l 0 S o ^ 2 - 5 * ) ; b ) / (χ)= ' ^ 2 . W Iog0 2 625 W Iog4 (6-5x)

177*. Raskite didžiausią sveikąjį nelygybės sprendinį:

a) 0,5 '°g0 ,2

< i ; b) 0,4

2x+S

178*. a) Raskite nelygybės Iog5

intervalui [-2; 6], sumą.

5x+2

x-3 > O sveikųjų sprendinių, priklausančių

2x-3 b) Raskite nelygybės Iog2 > 0 sveikųjų sprendinių, priklausančių

x-4

intervalui [-3; 6], sumą.


179*. a) x+y=4,

У =Ilx \ b ,{

3x + 7 = l ,

23* • 2~y = 32 .

180*. a) 5" + 5 r =3,

5 ^ = 2; Ь , ,

2-3* -4y = 14,

3*+4 '=13 .

181*. a) 5~x -25 x+y = 5 ,

/ - x - 2 ; H 3 ί+ν -81* =81,

372-Χ = 2.

182*. a) 21y-3x = \,

-x+2y = l; b)

U i Y 2 y = S ^ , -x + 3y = \.

183*. a) ^ = 21,

x + y-6=0; b)

у1бх-2у :6х=-, 6

x+y-1=0.

184*. a) Iog2(X-^) = I ,

b, Iog3(^-X) = I ,

184*. a) 2X ·3,+1 =72;

b, 3*+ , ·2 ' = 24.

185*. a) 5х -8-*1 =512000,

Iogv7 (*+ 7) = 2; H 3х-Iy = Slb,

log л ( 7 - х ) = 4.

186*. a) IgVx-lg7 = 0,

x + y2 =18;

wI Iog2 χ + Iog2 y = 3,

I o g 2 X 2 = 4 .

187*. a)

2 log3(2x)-log3- = l ,

У 4x-y = l;

b)

Iog2 (2χ) +Iog2 = -1,

7 χ - 7 = - - .

188*. a)

189*. a)

190*. a)

191*. a)

192*. a)

193*. a)

194*. a)

195*. a)

196*. a)

b)

Iog4 (x2+72 ) =2 ,

S y = O;

хл-у = 5 ,

Iog6 χ+ Iog6 7 = 1;

-V = — S '

Iog2 (2y -x) = 2;

log4x+ Iog4 7 = 1,

7 - 2x = 7;

2*+7 = 5,

χ-2 = Iog2 7 ;

Jlog5 χ+Iog5 7 = Iog5 3 + 2,

J l o g ^ (x +7) = 2;

Jlog5 (4x 2-4x7+ 72 ) = 0 ,

[ lo g v J (2x + 7 ) = 2 ;

|2X-7 = 3,

[log2(2x)-log27 = 2;

b) |log3(x2+72)=2,

\ y - l S x = 0.

ь i-2x + 7 = 0 ,

|log7(x2-7)=log7x.

b)

b)

Jlog2 (2x-7) = -1,

[9X+2 -32y = \.

Jlog3 χ + Iog3 7 = 1;

[7-3X = 8.

b) |з" + х = Ю,

[7-2 = Iog3X.

b)

b)

b)

Jlog3 χ +Iog3 7 = 2 +Iog3 7,

Ilog4 (x+7) = 2.

log2(x2 +4x7 + 4y 2 ) =4 ,

Iog2 χ = Iog2 (27-4).

-χ + —7 = —, 2 7 2

Iog4 7 - Iog4 χ = 1.

Jlog2 (x - 7)- Iog2 3 = 2 - Iog2 (x + 7) ,

[A:-7-4 = 0 ;

Iog3 (x + 27)- 2 Iog3 4 = 1 - Iog3 (x - 27),

X-27-4 = 0.

197*. a) ·{

b)

("2 I-I-Iog2(JC-Ji)

Ilog2 (x - 7) + Iog2 (x + 7) = 2 + Iog2 3;

J 1 0 =40,

|lg(x-7) + lg(x + 7) = 31g2.

198*. a) {^logjU-^) _ j

Iog3 (2x-l)+ Iog3 7 = 1; b)

Ulog2Ix-^) _ą

Ilog8 (χ + у) + Iog8 (7 - 7) = 1 + Iog8 5.

199*. a) (21°82' -Iog3X = I ,

U-Iog3 χ = 2;

200*.a) i21;S3X = l o g 3( r- l )- l ,

[x +7=2x + 3;

201*. a) i

I

J x 2 -2x = 4-4y,

21og2 (1 - x) = 1 - Iog2 (2y);

13^2-^ = 972, 202*. a) ^

I l o g v j ( X ^ ) = Iog9 81;

b)

b)

b)

b)

X-Iog2^ = I1

3 ^ ^ + 2 ^ , 7 = 3.

χ = 4 ^-2^ 2 ,

21og2(2-7)-2 = Iog2 (x + l).

y2 -2y = 9-6x,

log3(2x) + 2Iog3(l-7) = l.

Igxlg (x7) = 2,

I g i - 3 . У

203*. a) \xy=5x + 6,

b) Iogx 36 = 7 ;

Išspręskite nelygybių sistemas (204-208):

2 + log2(x + 7) = log28,

χ2 -y2 = 1 6 .

204*. a) j 2*+l > 4 ,

7 3 χ - . ο < 4 9 ;

0,4~x+3 < 0,16, 205*. a) , 2

[θ,1χ +1 >0,01;

206* a) N2(2x+3)> log 2 (x-2) ,

" ' [Iog6 (3x -1) < Iog6 (9x + 4);

b)

b)

b)

Щ 4X+2.5

>V2

IO*2 >1000.

Vs. 52*"°·5>1,

0,26 -9xS 125.

Iog3 (6x -1) < Iog3 (9x +l l ) ,

log6(3-x)>log6(4x-l).

207*. a)

208*. a)

Ilog3X2 >Iog3125-Iog35 ,

[log0 ,2(x-l)<0;

loSo1I ( * 2 - 1 2 ^ logo.i (--1).

2x~l > —;

b)

b)

IIog1 X2 >log, 28- Iog i 7 ,

2 2 2 log3(4x-l)>0.

3* -5*-4 < 9

log,(x2+3)>log,(4x).

* * *

4. Trigonometrinės funkcijos 4.1. Radianinis kampo matas

1. Apskaičiuokite kampo laipsninį matą, kai duotas jo radianinis matas:

π

8 ' 2)

3π

4 ' 3)

11π

3 ' 4)

6π

5 ' 5)

46 π

9

π

To' 2)

5π

8 ' 3)

7π

12 ' 4)

11π

36 ' 5)

47 π

9

2. Apskaičiuokite kampo radianinį matą, kai duotas jo laipsninis matas:

a) 1)120°, 2) 220°, 3) 300°, 4) 765°, 5) 3240°;

b) 1)210°, 2)150°, 3) 330°, 4) 675°, 5) 2520°.

3. a) Apskritimo lanko ilgis lygus 10, o jo spindulys 2. Raskite lanko radianinį

matą.

b) Lanko radianinis matas lygus 2, o jį atitinkančio apskritimo lanko ilgis lygus

256. Raskite apskritimo spindulį.

4. a) Apskaičiuokite didumą laipsniais posūkio kampo, kuriuo valandinė

laikrodžio rodyklė pasisuka per 1 vai 20 min; 3-j vai; 15 min; 2 vai 45 min.

b) Apskaičiuokite didumą laipsniais posūkio kampo, kuriuo valandinė

laikrodžio rodyklė pasisuka per 4 min; 4 vai 15 min ; 1 vai 5 min; 2 vai 24 min.

5. Kokio didumo kampais pasisuks laikrodžio minutinė ir valandinė rodyklės:

a) nuo 13 vai 15 min iki 14 vai 45 min;

b) nuo 5 vai 45 min iki 6 vai 30 min.

6. a) Trikampio kampai proporcingi skaičiams 1; 2 ir 7. Raskite kiekvieno kampo

radianinį matą.

b) Keturkampio kampai proporcingi skaičiams 6; 8; 9 ir 13. Raskite kiekvieno

kampo radianinį matą.

7. a) Ar yra ant vienetinio apskritimo taškas, kurio abscisė lygi:

1)0,7, 2 ) | ; 3 ) y ; 4)1,27; 3 4

b) Nurodykite vienetinio apskritimo taško A koordinačių ženklus, jei spindulys

OA nubrėžia lanką, lygų:

1)2 rad; 2)4 rad; 3) 1 rad; 4) 6 rad.

8. a) Naudodamiesi brėžiniu ir žinodami,

kad AJ —; -— I, raskite: V 5 5 . "

1) cosa ; 2) tga .

b) Naudodamiesi brėžiniu ir žinodami,

5' kad AR

1) sin ar;

, raskite:

2) tga .

9*. a) Taškas M judėdamas apskritimu pagal

laikrodžio rodyklę apsisuka vieną ratą per 18

sekundžių. Kokios bus taško koordinatės po 9

sekundžių nuo judėjimo pradžios?

b) Taškas A judėdamas apskritimu pagal

laikrodžio rodyklę apsisuka vieną ratą per 12

sekundžių. Kokios bus taško koordinatės po 9

sekundžių nuo judėjimo pradžios?

10. a) Duotas apskritimas, kurio spindulys R = 2 .

Brėžinyje pažymėtas taškas M ir kampas,

kurio didumas yra 210°. Raskite taško M

koordinates.

b) Duotas apskritimas, kurio spindulys R = 2. Brėžinyje pažymėtas taškas M ir kampas,

kurio didumas yra 225°. Raskite taško M

koordinates.

λ * *

4.2. Trigonometrinės funkcijos

1. a) Apskaičiuokite sin / , cos t , tg / , kai / = — ; 4

b) Apskaičiuokite sin/, cos / , tg/ ,kai / = — . 6

4π

2. a)Apskaičiuokite sin/, cos/, tg/,kai / = —— ;

b) Apskaičiuokite sin/, cos/, tg/, kai t =

3. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę (3-4):

. . / , . π . . / , · π a) sin —, kai / = — ; b) cos—, kai / = — .

2 3 2 3

4. a) sin2/-cos2/, kai / = — ; b) sin2/-cos2/, kai / = —. 3 4

5*. a) Ar gali bet kurio kampo sinusas ir kosinusas būti atitinkamai lygūs

a . VTfYa . 1 . ir , kur a > — ?

\ + a 1 + a 2

b) Ar gali bet kurio kampo tangentas ir kotangentas būti atitinkamai lygūs

2 b . i

VP7-1 feVn+fc , kur b * O '

6*. Ar gali sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės buti lygios:

7 -VJ a) 1)0,85; 2 ) - ; 3 ) - ^ - ;

6 V3

4) — ; 5) , a • čia a > 0 ; b > 0 . π Va2 +b2

b ) l ) -Ji 2) λ/2; 3) — · ;

4 ) - ; 5) a ; čia a> 0 ir |< 0. \a2 -b2 e

7. Apskaičiuokite (7-14):

a) sinf-—l + cos—+ cosf- —I ; b) sini — — |-cos(-7t)+sin| - — I 4 3 I 6 ' I 2 I 2

„ ч π π π π . . . π . π . π . π 8. a) cos—cos— cos—-cos—; b) sin—sin—-sin— sin—.

6 4 3 2 6 4 3 2

9. a) cosl - — | + cos| - — I+ sin — -cos— ;

, . 5π 4π . 3π . 5π 3π b) cos— + cos— + sin sin cos-—.

3 3 2 8 2

10. a) tg225° · cos330° · ctgl20° • sin 240°;

. . 5π . 3π 5π 4π b) ctg s in—tg cos—.

3 4 6 6 3

11. a) sin(-1125°)-3sin765° + V2 ;

b) sin-!-^- + 3 s i n i — ] - > / 2 . 4 ( 4 J

12. a) sin(2/), cos(2/), tg(2i), kai t = - ; 6

.. . t t . t , . π b) sm—, cos— ir tg—, kai t = —.

2 2 2 2

13. a) 2sin0 + cos— -4sin— ; b) -sin — + 2cos— + — tg— . 4 6 3 2 2 ®3

14. a) (cos 1000° · cos 270° - sin 90° + cos 60°): sin 30° ;

b) (2 cos 11100 + tg 60° - sin 60°): tg 3 0°.

15*. Kuriuose vienetinio apskritimo ketvirčiuose gali būti kampas a ,jei:

a) 1) |sin(-a)|=-sina , 2) |cos(-a)| = -cosa ;

b) 1) |tga| = -tgar, 2) |ctg(-a)| =-ctga ?

16. a) Raskite funkcijos y = 2 sin χ + cos χ reikšmę, kai χ = ;

b) Raskite funkcijos y = 2 sin χ + cos χ reikšmę, kai л: = — . 6

2 t 17. a) Raskite funkcijos y = cos χ - χ reikšmę, kai χ = -—;

b) Raskite funkcijos y = cosx-x2 reikšmę, kai χ = π .

18. a) Apskaičiuokite funkcijos у = 2cos| X--^J-I reikšmę, kai

b) Apskaičiuokite funkcijos y = 2cos| reikšmę, kai

to ч · „ · 5 . 3π

19. a) sina ir ctga,jeigu cosa = -— ir π < α < — ;

b) cosa ir tga,jeigu sina = -0,8 ΐ Γ γ < α < π .

4 π 20. а) Raskite cos/ ir tg/,kai sin/ = — i r — < / < π : 5 2 b) Raskite sin/ ir tgi.kai cos/= 0,8 ir <t <2π.

7 21. a) Raskite sini, tg/ ir ctgi , kai cos/ = — ir 0 < / < π ;

21 b) Raskite sin/, tg/ ir ctg/,kai cos/ = — ir π < / < 2 π .

22. a) Raskite cosi ir tg/ , kai sin/ = - — ir — < / < 2π; 5 2

· * „ , . . . , • 24 . 3π b) Raskite sin/ ir tg/,kai cos/ = ir π < / < — .

25 2

„ 5 . π 23. a) cos α ir sina , jeigu tga = - — i r — < α < π ;

L4 . . . 12 . 3π b) sina ir cosa ,jeigu ctga = — ir — < α < 2 π .

24. а) Raskite sin/, cos/ ir ctg/, kai tg/ = 2,4 ir π < / < ~ ;

b) Raskite sin/, cos / ir ctg / ,kai tg/ = ir ^ < t < π .

25*. a) s in^y+aj , jeigu cos a = 0,5 ir 0<a<-^ ;

b) cosi— - β\, jeigu sin β = ir 0 < β < — .

26*.а) s in^y-aj ,jeigu cosa = -0,6 ir π<α<-^ · ;

b) cosi —+ /? I ,jeigu s i n=-0 ,8 i r — <β<2π.

27*.a) cos(ar + ,#) ,jeigu sina = —, cos β = - — , — <α<π, — </?<π ; 3 4 2 2

b) $\η(α-β), jeigu sin ar = --j, cos/? = j , 2π, <β<2π.

28*.а) tg(2a-), jeigu tgar = -0,4 ; b) ctg(2^), jeigu ctg/?=6.

29*. a) sin(2ar) ir tg(2a·), jeigu sin ar = 0,6 ir γ <α τ<π ;

b) sin(2ar) ir ctg(2ar), jeigu cosor = -|y ir - γ < α τ < 0 .

30*.a) sin(2ar) ir cos(2ar), jeigu sin« = j , -j<ατ<π;

b) sin(2/?) ir cos(2/?), jeigu cos/? = - y j , π<β<~.

31*.a) tg2(2or),jeigu cosa = -; b) tg2 (2/?), jeigu s i n ^ = - j .

32*. a) Apskaičiuokite sin ar, jei sin ar+ cos2 ar = 1 .

b) Apskaičiuokite sin a", jei cos ar + sin2 ar = .

33*. a) Apskaičiuokite sin ar, kai sin— + cos γ = m .

b) Apskaičiuokite sin2ar, kai sin «-cos α1 = p .

4

34*. a) Raskite sinorcosar, jeigu sin ar + cos ar = — ;

b) Raskite sin ar + cos ar, jeigu sin ar cos a = - .

. „ , . ·«,. . 2sinar-3cosar . . . . . 2 35*. a) Raskite reiškinio :—- reikšmę, jeigu tga· = —;

3cosar + 2sinar 3

b) Raskite reiškinio a + ^ c o s a reikšmę, jeigu ctgar = —. 3cosar-4sinar 4

in* 4D i ·. · b \ · · 2cosar+3sinar 36*.a) Raskite sin(2ar),jeigu — — = -2; 3 cos ar-2 sin ar

. (-, \ • • 4sinar-cosar b) Raskite cos(2a· I, jeigu = 3 .

2 sin a- + cos α

, „ 2cosa-3sina „ „ , . 37*. a) Duota: = 7. Raskite ctga;

2sina + 5c0sa

, 3sina + 5cosa „ _ , . b) Duota: = 9 . Raskite tga .

2sina-3cosa

38*. a) Trikampyje ABC AC = 50, AB = 30, cos A = 0,8 . Raskite aukštinę, nuleistą

iš viršūnės B ir trikampio plotą.

b) Į trapeciją ABCD galima įbrėžti apskritimą AB = 20 , CD = 25 , sin A = 0,5 .

Raskite šios trapecijos plotą.

39. a) Raskite pavaizduoto trikampio kraštinę x.

40*.a) Plokštumoje duotas taškas A(3; 4). Raskite kampo α , kurį sudaro spindulys

OA su teigiamąja abscisių ašimi, trigonometrines funkcijas,

b) Plokštumoje duotas taškas 5(4; -З). Raskite kampo β, kurį sudaro

spindulys OB su teigiamąja abscisių ašimi, trigonometrines funkcijas.

41*. a) Koordinačių plokštumos I ketvirtyje duotas taškas M. Spindulys OM, kurio

ilgis lygus 13 cm, su teigiamąja abscisių ašies kryptimi sudaro 40° kampą.

Skaičiuoklių raskite taško M koordinates vienos dešimtosios tikslumu,

b) Koordinačių plokštumos I ketvirtyje duotas taškas N. Spindulys ON, kurio

ilgis lygus 10 cm, su teigiamąja abscisių ašies kryptimi sudaro 70° kampą.

Skaičiuoklių raskite taško N koordinates vienos dešimtosios tikslumu.

42. a) Naudodamiesi funkcijos j> = sinx grafiku palyginkite reikšmes: sin 40° ir

sin 50° . Atsakymą pagrįskite.

b) Naudodamiesi funkcijos _y = cosx grafiku palyginkite reikšmes: cos40° ir

cos 50° . Atsakymą pagrįskite.

43. a) Ar taškas A\ 1 | priklauso funkcijos = sinx grafikui?

b) Ar taškas B\ -—;-l I priklauso funkcijos y = tgx grafikui?

intervale

44. a) Kiek bendrų taškų turi tiesė y =I ir funkcijos = sinx grafikas

π 5π

b) Kiek bendrų taškų turi tiesė y = 1 ir funkcijos y = cosx grafikas

intervale -—; 2 π j ? I 2' J

45*. a) Žinoma, kad /(x)=3sinx . Raskite:

1) h(x) = f(-x), 2) t(x)=2f(x),

3) v(x)= 2/(x)+1 , 4) g(x)=f(-x)+ f ( x ) .

b) Žinoma, kad /(x)= - y cosx . Raskite:

1) h(x)= f(-x), 2) t(x)=2f(x),

3) ν(χ)=/(χ + 2π), 4) g(x)=/(-x) - / (x ) .

46. a) Raskite skirtumo tg200°- tg201° ženklą;

b) Raskite skirtumo tg 1,1-tg 1,01 ženklą.

47. a) Raskite skirtumo sin 420° - sin 770° ženklą;

b) Raskite skirtumo cos410°-cos800° ženklą.

48*. a) Ar priklauso funkcijos ^ = -sin x + — +2 grafikui

taškai A\ 0 ; | | ir B 6 2

6 j

9

b) Ar priklauso funkcijos >> = 2cosi x-— +1 grafikui

taškai λ(ο;λ/3+ι) ir s f - ; l ] ·

6 )

49*.a) Nebraižydami funkcijos /(x)=2cos|x--^j + l grafiko nustatykite, ar jam

priklauso taškas A —; 1 ?

b) Nebraižydami funkcijos g(x) = 2cos^x--g-j + 1 grafiko nustatykite, ar jam

priklauso taškas В\ -Ϊ-; 2 | ?

50*. a) Nubraižykite funkcijos y = cosl x + — 1 + 1 grafiką. 2,

b) Nubraižykite funkcijos y = cos[ χ - j - -i grafiką.

2 1 2 1 51*. a) Nubraižykite funkcijos y = sin — + cos — grafiką.

χ χ

b) Nubraižykite funkcijų y = sin 2VT + cos VT grafiką.

Nubraižykite duotųjų funkcijų grafikus (52-59):

52*. a) /(x)=sin(2x); b) /(x) = cos(2x).

53*.a) / (* )= cos ; b) /(x)=sin-i-.

54*.a) / ( x ) = y C o s x ; b) /(x)=2sinx.

55*.a) /(x) = s in jx-|j ; b) f{x) = cos(x + .

56*.a) / (x)=2 + sinx; b) /(x)=cosx-3.

57*.a) /(x)=sin^2x + y j ; b) /(x)= c o s ^ 2 x - .

58*.a) /(x)=-cosx; b) /(x)=-sinx.

59*.a) /(x) = |sinx|; b)/(x)=|tgx|.

60*. a) Raskite didžiausią ir mažiausią reiškinio - 3 c o s ^ j reikšmes,

b) Raskite didžiausią ir mažiausią reiškinio 3-5sin(2i) reikšmes.

61*. Raskite reiškinio mažiausią ir didžiausią reikšmes.

a) 1) 2 + 3sin(2x),2) -s in 2x-2; b) 1) l-2cos(3x), 2) 2cos2x + 3 .

62*.a) Duota funkcija /(x)=sin2(2x)-cos(4x).

1) {rodykite, kad f{x)= 3 sin2 (2л:)-1 ,

2) Raskite funkcijos f ( x ) reikšmių sritį,

b) Duota funkcija / (* )= cos2(4x)-sin2(2x).

1) {rodykite, kad f(x)= l-3sin2(2x),

2) Raskite funkcijos /(x) reikšmių sritį.

Raskitefunkcijos f ( x ) reikšmių sritį (63-65):

63*.a) /(x)= sin(2x); b) g(x)= cos(3x).

64*.a) /(x)=2-3sinx; b) g(x)= 1 + 4cosx .

65*.a) /(x) = 8cos| x-~ );

66. a) Nustatykite skaičiaus ženklą:

1) sin^y·, 2) cos3 ,

b) Nustatykite skaičiaus ženklą:

5π 25π 1) cos tg ,

9 6 18

3) sinl cos2 tg3-ctg4,

b) s(x)=^sin x + -

3)s in lcos2, 4) sin —-cosi -

2) tgl-cos2,

4) sin(-5)· cos(-6)· tg(—7)· ctg(-8).

67*.a) Išdėstykite didėjimo tvarka:

1)1; sini; cosi ; tgl,

2) 2; sin2 ; cos2; ctg2;

b) Išdėstykite mažėjimo tvarka:

1) cos 40°; cos 80°; cos 120°; cos 160°,

2) sin 20°; sin 110°; sin 210°; sin 400° .


. sin2 a 68. a) —— + cosa ;

cosar-1

. . cos a b) + sinor.

sinar+1

69. a) 1 -cos2 a+ tg2orcos2 a ; b ) I - S i n 2 O r t c t g 2 O 1 S i n 2 O r .

. 1 -sin a 70. a) г— + tgoxtgor;

1 - cos a b) (l-cos2 flr)tg2ar+1 -tg2flr.

71*.a) Vl-Sin2A-, kai ~ < α < π ;

ι-,* ч c o s a

72*. а) + tga\ 1 + sin ar

73*.a) sin4 / + cos4 / + 2 sin2 / · cos2/;

74. a) cos2Mg2/-sin2/·cos2/;

75. a) (l-sin2/)(tg2/+l);

s{n-t) ( π

C O S l n - / ! + с о я /

76*. а) U

sin(27t-/)-sin[ ~γ~ ι

2 3π

cos — + ar, , .

77*.а) , ; 2 / ι C0S ( " " g J

78*.а) s i n i j + a J--^sina ;

79*.a) V3cosa-2cos|a-|-j;

80*. а) sin (2/) cos /

81*. а)

1 + cos(2/) 1 + cos/'

cos(l 80° + a)· cos(-a)

sin(-a) sin(90° + a) '

ол* ч sin(n-a)-cos(2n-a) 82*. а) —A ^ ;


83. a) 1) sin 240° ; 2) tgl20°;

b) 1) sin 135° ; 2)tg300°;

b) yj\-cos2 β , kai у < β< 2π.

b ) ctgar-

! + sina1

b) cos4/ + cos2/ sin2/-cos2/ + l

b) l-cos2/+tg2/-cos2/,

b ) ( l - c o s 2 / ) ( c t g 2 / + l )

s i n 2 ( π - / ) + Sin 2 I

b) T7 γ

b) Į _ t S ^ + 2 J sinfr + aQ ctg (n-a) ГЗя

I 2

M f ^ V 2 . b) cos a + — + sina . I 4 2

b) V2sin^a--^J-sina .

^ l-cos(2/)+sin(2/)

l + cos(2/)+sin(2/)'

b)

b)

sin(-a) ctg(-ct)

cos(360°-a) tg(l80° + a ) '

sin(jt+a)sin(2n+a)

tg(rc+ a)· cosf y + a j

3) cos330° ; 4) ctg315° ;

3) cos 225°; 4) ctg 150°.

„. . 2π 3π 7π .s 11 π 84. a) 1) s in— ; 2) cos—; 3) t g — ; 4) c t g —

3 4 6 6

, . . 5π 5π , , 4π ,, 5π b) 1) s i n—; 2) cos— ; 3) t g— ; 4) ctg— .

3 4 3 6

85. a) cos630°-sin 1470°-ctg 1125°; b) tg 1800°-sin495° + cos945<

86. a) sin(-2Tt)+2cos^-tg-y;

b) cos(- 9 π)+ 2sin^- j ~

87*.a) tg(rt-/),kai βίη(4π+/)=|, о 0< /<- j .

b) ctg(ji-/), kai cos(2re+;)=~ ir <t <2π.

88*.a) cos(-f)+ sin(-i), kai sini = -j ir γ < ί < π ;

b) sin(-/), kai cos t = —— ir — < t < π . V ; 13 2

89*.a) t g ^ - a j . k a i tga = | ; b) tg|a + y j , k a i t g a = | .

90*.a) Žinodami, kad tga = 3 ir tg(a + p )= l , raskite tgP .

b) Žinodami, kad tga = — ir tg(a -β)= 2 , raskite tgP . 4

91*. a) Žinodami, kad sin t = ir y < / < j t ,

raskite sin (2/), cos(2/), tg(2/), ctg(2/).

π

b) Žinodami, kad cosi = 0,8 ir 0 < χ < —,

raskite sin(2/), cos(2/), tg(2/), ctg(2/).

92. a) Nustatykite, ar funkcija yra nelyginė: 1) / ( * ) = X 3 S i n x 2 , 2 ) s ( * ) =

χ2 sin χ ,

b) Nustatykite, ar funkcija yra lyginė:

D / M = ^ K 2) g{x) = —3

4-х2

93. Nustatykite funkcijų lyginumą

a) /(x) = x5 siny ; b) g(x)= χ11 -cosx + sinx .

Raskite duotos funkcijos mažiausią periodą (94-97):

X X

94*.a) 7 = sin—; b J ^ c o s - j .

95*. a) y = sin(3x + 2); b) y = cos(5x - З).

96*.a) y = 2sinx + cos(2x); b) y = 3sinx + sin(2x).

97*.a) y = cosx + sin(5x); b) y = sinx + sin(7x).

98*.a) Duota f(x)= 2x2-3x-2. Įrodykite, kad /(cosx)= -(2sin2 x + 3cosx);

b) Duota /(x)= 2x2 -χ+1. Įrodykite, kad /(sinx)= 3- 2 cos2 χ-sin χ .

Įrodykite tapatybes (99-103):

f 3π ) sin

— + ' I 2 J I

tg( , T + i J

— —, . .. . ^ , τ .,δίηίπ-ί) 8I 2 J cos(2n-i) 99*. a) feV \ — ^ f = tg2/; b)—/ {— f - — / = sin/.

- · - Φ +1) J " , . , ) Sin(-f) tgl,2+'

,„„. 4V3 1 . . (π ^ U4 1 л/з . (π ) 100*.a) cosx +—Sinx = Sin —+χ ; b) —cosx + sinx = cos χ

2 2 УЗ J 2 2 U

101*. a) cos4 / - sin4 / = cos(2i); b) (sinz-cosi)2 =l-sin(2i).

102*. a) ctg t - sin(2i) = ctg ί · cos(2i); b) sin(2r)-tgi = cos(2i) tg/.

103*. a) sin(arccosx + arccos(-x))=0; b) cos(arcsinx + arcsin(-x))=l .

* * -k

4.3. Funkcijos, atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms


1. a) arccos(-l)+arccosO ;

2. a) arctg(-l)-arctgl;

b) arccos^-ί j - arccos VĮ 2 ч y

3. a) arctg Cvj + arccos-

V2

b) arcsinO-arccosO .

b) arcsin[ - - - j - arctgVJ .

4. a) arcsinl-2arccos VĮ' 2

b) 2 arccos 2

v y

. V2 + arcsin

2

5. a) 2arccos—-3arctg^-2 3

6. a) arcsin

7. a) arcsin

8. a) arctg 1-arctgVJ ;

9. a) arcsini-y j + arctg(->/з)+ £

f VT f + arccos

2 ч /

f + arccos

2 \ /

I

.χ 2 . , 1 1 b) — arcsin 1—arccos-7= .

π π y/2

/ \ л/3 b) arcsin(-1 j+ arccos-^- .

b) arctg(-1) + arcctg(- VJ).

b) arctg(- VJ)+ arctg O .

b) arccos f S ) . _ J VJ

3 - — j+ arctg

r vį 2

-arcctg(-l).

10*. a) sin f • f 1 I l arcsin — , I 2 JJ b) cos arccos

Л r

11*. a) cos

12*. a) sin

arccos

f rW f V J l

2

vn

b) tg(arctgVJ).

b) cos arcsin-VT

13*. a) cos

r t~\\ arctg

VJ

14*. a) -2

ч v //

arcctg— + arcctgl -—

15*. a) sin ' ι Г ι4Λ

2arcsin — 3arccos — 2 I 2

16*.a) tg a r c s i n + 2arccos 6 2 2 v

17*.a) tg(n + arcsin(-0,5));

18*.a) cos(n-arcsin(-l));

/ /-V\

19*. a) ctg 2arcsin VJ

V v J)

b) sin arccos -

b) — (arccos— + arcco: 3I 3 (4))

b) cos

/

f ι—\ —arcsml + arcsin 2

V I

2 v JJ

b) ctgj 3arccos(-1)-arcsini - —

b) tg -2- + arctgVJ .

b) siniy-arccos(-l)j .

b) ctg

f r~W 2 arccos

л/2

20*. a) sin (зarctg(- л/з)); b) cos

21*. a) arcctg 1 - аг^л^ - arccos(-0,5);

b) arcsin(-0,5)+ arctg^--^= -arcctgл/J.

2 Ч У

ι

V3 a r a

T X ,

22*. a) tg

23*. a) sin

24*. a) ctg

arccos 1 - 2arctg VJ

b) cos arctg—τ= + arcsin VJ

VJ

2 ^ Л/

2arcsin^- + arctg(—л/з)I; b) tg(2arcctg 1 + 3arctg0 + arcsin(-1)).

arcsin l + 2arccos VJ

b) tg(2arccosl-2arctg(-л/J)).

25*.a) Ar turi prasmę duotieji reiškiniai?

l )arcsin(-f) , 2) arcsin 1,5 , 3) arccosVJ , 4) arccos^

b) Ar turi prasmę duotieji reiškiniai?

1) arcsin (з - л/20), 2 ) arcsin ( 4 - V 2 0 ) , 3) arccos^ , 4)arccos(-

Su kuriomis a reikšmėmis duotasis reiškinys turi prasmę (26-27):

26*. a) arcsin(2a + l); b) arccos(3a-2).

27*.a) arccos(5-4a); b) arcsin(l-6a).

28*. Ar gali funkcija / (*)= arcsin χ įgyti reikšmes:

a) — , — , -л/2 ;

4 8 4 8 2

29*. Ar gali funkcija f(x)= arccos χ įgyti reikšmes:

« > ~ . 7 . Л ; b) i -Vs 7 6 4 3 4 30*. Ar gali funkcija / (*)= arctgx įgyti reikšmes:

« - f . - g · - "

31*. a) Kiek sprendinių turi lygtis arcsinx = л/2 ?

b) Kiek sprendinių turi lygtis arccosx = - y ?

32*. a) Kiek sprendinių turi lygtis arctgx = -y ?

b) Kiek sprendinių turi lygtis arcctgx = - y ?

Išspręskite lygtį (33-36):

33*. a) 3arcsinx = 7t; b) —arccosx = 0,5 . π

Tl 471 34*. a) arctgx = ; b) arcsin(x-1) = — .

6 7

35*. a) arctg(2x)=— ; b) arcctg(- 3x ) = у . 6 4

36*.a) 2arcsin(5x-l) = - —; b) 3arccos(2x + 3) = — . 2 2

37*. a) Nubraižykite funkcijos j> = sin(arcsin;t) grafiką,

b) Nubraižykite funkcijos y = tg(arctgx) grafiką.

38*. a) Nubraižykite funkcijos y = arctgχ + arctg(-x) grafiką,

b) Nubraižykite funkcijos j> = arcsin χ + arcsin(-x) grafiką.

Raskite duotosios funkcijos apibrėžimo sritį (39-40):

39*. a) /(x)= arcsin(5 - 2x); b) t(x)= arccos(3 - 2x).

40*. a) h(x)= arcsin(x2 - з ) ; b) g(x) = arccos(4-x2).

Raskite duotosios funkcijos reikšmių sritį (41-43):

41*. a) y = 2arcsinx ; b) y = 3arccosx .

42*. a) y = - π - arccos* ; b) y =-π- arcsin χ .

43*.a) / = -2arcsin(2x)+7t; b) _y = -2arccos(2x)+rt

л

44*. a) Raskite funkcijų y = arccos χ ir y = — +χ grafikų susikirtimo taško

koordinačių sumą. я

b) Raskite funkcijų y = arcsin χ ir y = x + — -1 grafikų susikirtimo taško

koordinačių sumą.

•fc * *

4.4. Trigonometrinės lygtys ir nelygybės

1*. a) Su kuriomis α reikšmėmis аФ-Ъ lygtis 2sin(2x)= ——- neturi sprendinių? a + 3

b) Su kuriomis α reikšmėmis a * 2 lygtis 3cos3x = ° + ^ neturi sprendinių?

a - 2

2*. a) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis cos(2x + 3) = Sm-4 turi sprendinių?

b) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis sin(5x- 7) = 3m + 5 turi sprendinių?

3*. a) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis sin(2x)= a-3 neturi sprendinių?

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis cos(3x) = a + 5 neturi sprendinių?

4*. a) Su kuria a reikšme lygtis cosx = a-3 turi vienintelį sprendinį

intervale —; 2π ? L 4 J

b) Su kuria a reikšme lygtis sinx = a-2 turi vienintelį sprendinį

intervale (θ;—π].

5*. a) Su kuriomis m reikšmėmis teisinga lygybė cosar= m + — 2m-3

Jt it) 3 „ —;— , тФ — Ί 3 2 J 2

b) Su kuriomis m reikšmėmis teisinga lygybė sin a = m + ^ , 2m-5

π π4) 5 „ - ; — L т Ф - Ί

6 2] 2


6. a) 2sinx-l = 0, b) 2sinx + V2 =0 .

7. a) 2cosx + y j = 0; b)2cosx-l = 0.

8. a) tgx + V3=0; b) л/Jtgx-l = O .

9. a) 3-2sin(2x)= O ; b) 4cos(2x)- 7 = 0.

10. a) 2s in i-y j-V2=0; b) 2cos(-2x)+VJ = 0 .

11. a) 3siny = 0;

12. a) 4cos(3x)+4 = 0;

13. a) 2sin(3x)+l = 0;

14*.a) sin|j- + AJ + 1=0;

( f - f j - Л - . : 15*. a) 2 cos

16*.a) sin(6x)-cosx+cos(6x)sinx = —;

b) cos(5x)· cos(7x)-sin(5x)· sin(7x) =

17*.a) sin(4x)-cos(4x) = —;

b) 0,5cos(2x)=0.

b) 5sin(5x)-5 = 0.

b) 2cos 1 = 0. 2

b) cos|^ + j 1-1 = 0.

b) sin| f — 1 + 1 = 0.

18. a) VJ-tg(2x)=0;

19*.а) л/2cos|2x-y 1 - 1 = 0;

20*. a) 2sin ( Н И =

£ 2

b) Sin2X-COS2X = - . 2

b) l + ctg(4x)=0.

b) л/2-2sin( 5x — I j = O.

b ) 2 c o s [ £- f j = - l .

21* a) -J\6- X -sinx = 0;

22*. а) (л/2-cosx-l)· л/4х2 - 7x + 3 = 0 ;

23*.a) 4sin2(3x)-l = 0;

24*.a) 3tg2(5x)-9 = 0;

25*.a) л^-tg f + | =3 ;

b) -Jlx-x2 (2cosx-l)=0.

b) (2зтх-л/з)-л/Зх2-7х + 4 =0.

b) 4cos2 —-3 = 0 . 2

b) 3-ctg2(3x)=0.

r \ л/2 26*. a) Keliuose taškuose kertasi funkcijų y = sin(3xj ir y = grafikai

intervale [θ;2π]?

Keliuose taškuose

intervale [-3π; 3π]'

Keliuose taškuose ke

intervale [θ0; 720°]'

χ л/3 b) Keliuose taškuose kertasi funkcijų y = tg— ir y = —γ grafikai

27*. a) Keliuose taškuose kertasi funkcijų y = sin χ ir y = — grafikai

b) Keliuose taškuose kertasi funkcijų y = cosx ir y = grafikai

intervale [-360°; 540°] ?

28*. а) л/з · tg^-j + y j - 3 = 0; b) 2sin|^3x-yj + V 2 =0 .

29. a) Duota funkcija /(x)=sinx.

1) Išspręskite lygtį f ( x ) = ~ . 2) Palyginkite skaičius / ^ j j i r f\

b) Duota funkcija /(x)= cosx .

1) Išspręskite lygtį / ( * ) = — . 2) Palyginkite skaičius / ί- j l ir/I

30*.a) Duotafunkcija /(x)=sin^x + -j

1) Apskaičiuokite fl-'-ψ J. 2) Išspręskite lygtį f 2 (x)~ f ( x )

3) Raskite funkcijos /(x) reikšmių sritį intervale

b) Duota funkcija /(x)= cos χ- —

4π 5π

Τ ; " Τ

6

1) Apskaičiuokite / f - y j · 2) Išspręskite lygtį /2(x)-/(x)

3) Raskite funkcijos /(χ) reikšmių sritį intervale 5π 13π

T ; ~ 6 ~


31*.a) 2sin2x + 3sinx-2 = 0 ;

32*.a) 3cos2x+ 10cosx + 3 = O ;

33*.a) 8sin2(2x)+cos(2x)+l = 0;

34*. a) 2 + cos2x = 2sinx;

35*. a) 5sin2x + 4sin|^- + x j = 4 ;

36*.a) tg2 x-6tgx + 5 = O ;

37*. a) cos2(2x)+5cos(2x)= 2sin2(2x);

38*.a) 2cos2 —+ 3sin—= O ; 3 3

39*. a) tgx + 3ctgx = 4;

40*.a) 2sin2x + 3cosx = 0;

41*.a) 2cos2(5x)-l = sin(5x);

42*.a) ^sinx -yj ' (sinx + l )=0;

43*.a) sinx~VJcosx = 0;

44*.a) 3sinx + 4sin^y + x j = 0;

45*.a) 2sin2 X-VJsinx = O ;

46*. a) 6sinxcosx = 5cos(2x);

47*.a) sin2x + 2sinx cosx-3cos2x = 0;

48*.a) sin2x + 14sinxcosx=15cos2x;

b) 2cos2x-5cosx + 2 = 0 .

b) 2sin 2 χ + 5sin χ + 2 = 0.

b) 4sin(3x)+cos2(3x)=4.

b) 3-3cosx = 2sin2x.

b) 6 c o s 2 x + 5 c o s ^ y - x j = 7 .

b) tg2x-2tgx-3 = 0.

. . . Ί X _ . X _ 2 X b) sin —5sin—= 2cos — .

2 2 2

b) 2sin2(3x)-5cos(3x)-4 = 0.

b) tgx-4ctgx = 3.

b) 5cos2x+6sinx = 6.

X τ X b) 3sin—+3 = 2cos — .

4 4

b) VJsinχ +cosx = 0 .

b) c o s ^ y + x j - 5 c o s x = 0 .

b) 2cos2 +V2 Cosx = O .

b) 7sin2x + 4sin(2x)=7cos2x.

b) sin2x-4sinx-cosx + 3cos2x = 0 .

b) cos2x-12sinxcosx = 13sin2x.

49*.a) cos2x-7sin2x = 3sin(2x);

50*. a) 5 sin 2 χ - 14sin χ · cos χ - 3 cos2 χ =

51*. а) л/з cosx = sin2 χ cos χ ;

52*. а) л/з sin xcosx+ cos2 χ = 0;

53*.a) 2sin2 x + sinxcosx-cos2x = 1;

X ? X 54*. a) 2sin— = 3sin —;

2 2

b) sin2x + 9cos2x = 5sin(2x).

2; b) 2cos2x-sinx-cosx + 5sin2x =

b) л/2 sinx = cos2 xsinx .

Ь ) > / з " 2 cos χ = sinχ cosx.

b) 3sin2x + sin(2x)-cos2x = 2.

b) 3cos—+ 4cos2 —= 0 . 3 3

55*. a) sin(2x)= -Jl sinx; b) sin(2x)= л/3 cosx.

56*. a) л/2 cos2(4x)+cos(4x)= 0 ; b) 2sin2(3x)= л/з sin(3x).

57*. a) cos(2x)+3sinx = 1; b) cos(2x)= 2 sin 2 χ .

58*. a) sin2(2x)=l; b) cos2 (4x)= у .

59*. a) 2 - C o s 2 X = O; b) 4-sin2x = 0 .

60*. a) s i n x = 0 ;

b) s i n(2*) _ о 60*. a)

CtgJC b)

tg*

61*.a) sin(3x) 0 .

b) cos(2x)_0

sinx cosx

62*. a) cosx = cos(5x); b) sin(3x)=sin(l7x).

63*. a) cos(7x)+cosx = 0; b) sin (7x) =sinx .

64*. a) 1 +sin(3x)= cos у - sin y j ; b) 2 sin2 (2x) = (cosx + sin x)2

65*. a) cosx + cos(2x)+ cos(3x)= 0; b) cos(9x)- cos(7x)+ cos(3x)-1

66*. a) sin2 χ +sin (2x)= 1 ; b) cos2x-sin(2x)= 1 .

67*. a) ctg(2x)cos2 χ = ctg(2x)sin2 χ ; b) sin(3x)sin2 χ = sin(3x)cos2

,21 π l_ 3 . кч „„„2Г . π 68*. a) sin ^2х - -g-J = ; b) cos^x+yJ = l .

69*.a) cos2x-sin2χ = 2cos2(2x); b) sin2x-cos2x = sin(4x).

70*.a) sin2 x + 0,5sin(2x) = O ; b) cos2x-0,5sin(2x)=0.

71*.a) tgx-2ctgx + l = O; b) 2ctgx-3tgx + 5 = O .

72*.a) cos(3x)=l + cos(6x); b) siny = 1-cosy.

73*.a) sinx-2cosx = 2 ; b) sinx + 2cosx = -2 .

74*.a) 2cos(2n+/)+sin^ + i j = 3 ; b) 2sin(ji+r)+cos|^~-/j = —ί .

75*.a) sin(2/)=-sin/; b) sin(2i)=-cos/.

VJ 76*.a) —sin(2x)+cos2x = 0 ; b) 2-VJ -cos2x = sin(2x).

77*.a) cos2χ+ cos2(2x)= 1 ; b) sin2x + sin2(2x)= 1.

78*.a) Išspręskite lygtį 2cos(2x)= VJcos (2005π). Atsakyme parašykite mažiausią

sprendinį (laipsniais), priklausantį intervalui (-90°; 0°).

b) Išspręskite lygtį = V J . Atsakyme parašykite mažiausią sprendinį tgx

(laipsniais), priklausantį intervalui (-180°; 0°).

79*. a) Raskite lygties sin 2x = sin χ sprendinius, priklausančius intervalui

[-π;π] .

b) Raskite lygties sin 2x = cosx sprendinius, priklausančius intervalui

[-π;π] .

80*.a) Raskite lygties 4sin2x(cosx + sinx)(cosx-sinx)= VJ sprendinius,

priklausančius intervalui [θ; π] .

b) Raskite lygties 2sinxcosxcos2x = — sprendinius, priklausančius intervalui

M -

81*. a) Raskite funkcijų у = sin(2x)+ sin(6x) ir y = cos(2x) grafikų susikirtimo

taškų skaičių atkarpoje

b) Raskite funkcijų y = sin(2x)+ sin(6x) ir y = 5sin(4x) grafikų susikirtimo

taškų, priklausančių intervalui (θ; π), abscises.

82*. a) Su kuriomis χ reikšmėmis skaičiai a, b ir c sudaro aritmetinę progresiją,

jei a = cos(7x); 6 = cos(2x); c = cos(llx).

b) Su kuriomis χ reikšmėmis skaičiai a, b ir c sudaro aritmetinę progresiją,

jei a = sin(3x); b = cosx ; c = sin(5x).

83*.a) Raskite lygties cos(2x)+2cosx-3 = 0 sprendinių, priklausančių intervalui

[-π; 3π], aritmetinį vidurkį.

b) Raskite lygties cos(2x)-2sinx + 3 = 0 sprendinių, priklausančių intervalui

[- 2π; 2π], aritmetinį vidurkį.

84*.a) Raskite funkcijų y = 2sin2x ir y = 3cosx grafikų susikirtimo taškų abscisių

intervale (-π; π) sandaugą.

b) Raskite funkcijų y = 2cos2χ ir y = 3sinx grafikų susikirtimo taškų

abscisių intervale (-π; π) sandaugą.

85*.a) Raskite lygties cos2x + sin3x = l sprendinių, priklausančių intervalui

[-2π;3π], sumą.

b) Raskite lygties cos3x + sin2x = l sprendinių, priklausančių intervalui

[-π;3π], sumą.

86*.a) Raskite lygties 4sin2 χ = sinx sprendinius, priklausančius intervalui [θ; 2π].

b) Raskite lygties 3cos2 χ = cosx sprendinius, priklausančius

intervalui -—;2 π L 2

87*.a) Raskite lygties tgx + —L— = 1 sprendinių, priklausančių intervalui cos χ

(- 3π; 2π), skaičių.

b) Raskite lygties ctgx + —^— = 1 sprendinių, priklausančių intervalui sin χ

(-2π;3π), skaičių.

88*. a) Duota funkcija f (χ)= cos2x+l

sinx

2-sin2 χ 1) Įrodykite, kad /(χ)=

sinx

2) Raskite lygties /(χ) = sinx didžiausią neigiamą sprendinį.

b) Duota funkcija /(x)= l - 4 s i n 2 XCQS 2 χ

cos2 x-sin2 χ

1) Įrodykite, kad /(x)= cos(2x).

2) Raskite lygties /(x)=cosx didžiausią neigiamą sprendinį.

89*. a) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis cosx = α turi didžiausią sprendinių skaičių

π 9π intervale

6 ' 4

b) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis sinx = a turi didžiausią sprendinių skaičių

Γπ 17π intervale —;

L3 6 j


90*.a) (2x-l) cos2<0; b) (3x-l) cos(-5)>0.

91*.a) (x2-4) cos3 cos5<0 ; b) (9-x2) sin2>0.

92*.a) 2sinx-V3 <0 ; b) 2cosx-V2 >0 .

93*.a) 2sinx < -1; b) 2cosx>VJ.

94*. a) - 3tgx> л/з ; b) -V3tgx<3.

95*.a) cosx<0 ; b) sinx>0.

96*.a) ctgx<-л/3 ; b) tgx > - 1.

97*.a) sin(2x)<y; b) sin(3x)>^y .

98*.a) 2sinx-l <0; b) 2cosx + V3 >0 .

99*.a) V 2 s i n i | - 2 x j> l ; b) 2cos^y + 3xj<-V2

100*. a) 2sin(n + 3x)<VJ ; b) 2cos(n - 2x) > 1.

101*. a) ctg^y--i-j<VJ; b) tg^t + y j +1 > 0.

102*.a) c o s ^ - 4 * j + 0,5>0; b) 2s in| j--2xj-Л<0.

103*.a) 7 + 3cos(2x)<0; b) 8 + 3sin(2x)<0.

104*.a) 2cos^x-^j<V5 ; b) 3sin|x+yj>-4.

105*. a) cosx < —0,5 ; b) cos(3x)> - 0,5 .

106*.a) 4sin2(3x)<3; b )4cos 2x<l .

107*.a) 2cosj^-xj<V2 ; b) 2 s i n ^ - * j < V J .

108*.a) ctg|^y + | j - l < 0 ; b) tg(n-2x)> VJ .

109.a) 2s in| j-- j j>- l ; b) 2cosj^3x--|j< VJ .

110*.a) tg[4x + - | + l<0 ; b) VJtgf- + -|-1>0. 4 J {3 6

l l l * . . ) t g ( j - f ) s l ; b ) t g [ i + ] > l .

112*.a) sin2x + 2sinx<0; b) cos2x-2cosx>0 .

113*. a) 6cos2 x + l > 5cosx ; b) 5sin2 χ > 1 lsinx+12.

114*. a) Raskite nelygybės cos2 χ+ cosx-2 > 0 sprendinių, priklausančių

intervalui (-3π;4π), skaičių.

b) Raskite nelygybės sin2x-sinx-2>0 sprendinių, priklausančių intervalui

(-2π;5π), skaičių.

5. Modulis

1. Apskaičiuokite:

a) |X-5| + |*-2| + |3-JC|, kai x = - \ \

b) |2-*|-|*-4|-|jc-1|, kai x = -2.

2. a) Raskite a ir b reikšmes, kai |д-3| + |2-6| = 0;

b) Raskite χ u y reikšmes, kai 21 JC — 1 j -f- 31 2>- — II = O-

3. a) Ar taškas /i(5; l) priklauso funkcijos y=\x-4\ grafikui?

b) Ar taškas β(-3;5) priklauso funkcijos y=\2-x\ grafikui?


4. a) V(V2-2 ) 2+ V 4 ; b) ^fl - S f - 27 .

5. a) Ą + fif -VO — V3)2 ; b) J (2-Js f - Ą l + S f .

6. a) Vt-2V3)2 -ьV(s - 2V3)2 ; b) Ą 7 - 2 j 5 f + ^ - l S f .

7. a) Ą3-2 j š ) 2 - V(3 + 2л/5)2 ; + +

(4 - Зл/З )2 j - д/(Зл/З + 4)2 ; b) X ( 5 -4V2)2 j -)/(4л/2+ 5)2 8*. a)

9. a) Ą y [ 2 - S f + ]/(I-V2)2 -л/3 ; b) ^ - V š ) 2 +^VŠ-V?) 2 -У7 .

10*.a) Vl2-6x/3+ л/3 ; b) y j l - l f i + Уз .

l l* .a)

12. a) 2a + 5 | α |, kai a < O; b) 8 | α | +15α , kai α < O.

, , ч jc — 1— Į jc — 1 j , . 1 - 2x+1 2дг -11 , . 1 13. a) ! i , kai χ < 1; b) — 1 L, kai χ < -31 JC — 1Į 512x -11 2

14. a) χ + 2x-4

15. a)

21 jc — 21'

α I о -3 I

αζ-α-6

16. a) V x 2 - 8x + 16

x-4

b)

b)

b)

Į a + 1Į +a -1

a(a + 2)

α -3« + 2

Vx2 + 6x + 9

x + 3

17. a) -J (a-2)2 + a+ 5, kai α < 2 ; b) -J(S-m)2 - m + 7, kai m >5.

18. a) Vx2 - 4x + 4+ I χ - 41, kai 2 < x < 4 ;

b) Vx2 - IOx + 25+ j x-61, kai x<5 .

19*. a) V(*-3)2 -yj{a + 3)2 ; b) J{m + 2)2 -yj(m-5)2

20. a) Vx2 -8x+16 + Vx2 -12x + 36 ,kai * < 4 ;

b) Vx2 -2x+l + <Jx2 -6x + 9 ,kai 1 < χ < 3 .

21. a) 13x - 31 -1 2x + 61 -1 χ I, kai 0 < χ < 1;

b) 13x - 61 -1 χ +11 +12x + 41, kai - 2 < x < - l .


22*.a) I χ I= 5; b) |*|=8.

23*.a) I 2x|= 8; b) 13x|= 27.

24*.a) I χ — 5 Į= — 4; b) I 2x -11 = - V I

25*.a) I jc- 11= 2 ; b) I χ + 31= 1.

26*.a) I χ +61= 2; b) I 4 — jc I= 6 .

27*.a) I 2-х I = 3 ; b) I χ- 51= 2 .

28*.a) |x+2|=4; b) |x + 3|=9.

29*. a) I 2x-31 = 5 ; b) 15x+121 = 2.

30*. a) I 2x + 51 = 7 ; b) 13x- 91 = 18 .

31*. a) U2 -l| = l ; b) |- χ2 + 2x| = 1 .

32*.а) |x2 -3x + 3| = 2; b) |2x-X2+3| = 2.

33*.a) \x\=x; b) I χ I = -χ .

34*. a) I χ I +дг3 = O; b) I χ I -2χ3 = О .

.. \x+2\ X + 2 35*.a) - = + x;

3 5

b) + 4 J 3 X - 5 I

5 2

36*.a) |x + 4|=x + 4 ; b) J JC — 5 1 = 5 — JC .

37*.a) 7-4x=|4x-7|; b) 3x - 5 = 13x - 51.

38*.a) y j \ x - 7 \ =x-l; b) V|x-4|=x-4.

39*. a) I JC + 21= JC — 2 ; b) |x|=2 + x .

40*. a) 12x - 31 = χ - 2 ; b) I 2x + 41 = 3x + 2 .

41*. a) 12x - 31 = χ +1; b) [3x-5|=5x-3 .

42*.а) -у/О - 2x)2 = 1 - 2x ; b) V(x-3)2 =x-3 .

43*.a) V(x-8)2 = х-8 ; b) <J(x-S)2 =5-x.

44*.a) y]{x + \0)2 =-х-10; b) yj(x + l)2 = 2x -1.

45*.a) Vx2-8x + 16-6x + x2+8 = 0; b) х2-3х + 3 = л/4x2 -12x + 9

46*.a) 2x2-15x-21= O ; b) χ2-1 х-11= O .

47*. a) X 2 + 2x = 2 I χ + 11 +7 ; b) (x-l)2 -2|x-l|=3 .

48*.a) (x+1)2 - 21 χ +11 +1 = O ; b) X 2 + 2x - 3 I χ + 11 +3 = O .

49*. a) (x + 2)2 - 41 χ +11 +8 = O ; b) (x + 3)2-6|x + 3|+9 = 0.

50*.a) |X2-4| + X + 2 = 0; b) |x2 -1б|+х+4 = 0 .

51*.a) (x-7)2-Iх-71= 30; b) (х-З)2 - 5|x-3|=24.

52*. a I X1 - 6x + 51 = 3x - 9 ; b) I X2 - 3x -101 = 2x + 4

53*. a | x2 +x -11 = 2x - 1; b) j X 2 - x-3 j = -x-1.

54*. a |x-l|=|x + 2|; b) |x + l|=|x-2|.

55*. a I χ + 71=| χ- 71; b) 11 - 2x I = I 2x -11.

56*. a |2x-l| = |x + 3|; b) I JC + 7 1 = | JC - 2 ].

57*. a 21 χ +11=| x-31; b) I x-21 = 31 x + 31.

58*. a 13x + 21=| 2x-31; b) |6x+5| = |l-x|.

59*. a |*-7|=|x + 9|; b) I x + 31=| 2x-l I.

60*. a |x-3|=|x+2|; b) I χ + 5 I = I χ-11.

61*.a χ2 + 31 χ Į +2 = 0 ; b) 2x2-1 χ I -15 = 0 .

62*. a χ2-1 χ I -2 = 0; b) χ2 - 81 χ I -20 = 0.

63*. a χ2 + 5 I χ I +4 = 0; b) χ2 -41 χ I -1 = 0.

64*. a I 2x + 41 +16 - 2x I = 44; b) I χ- 21 +12-х I= 10.

65*. a |3-x|-|x + 2|=5; b) |x-4|-|x + 4|=8 .

66*. a |x| + |x + l|=l ; b) I χ +11 +1 χ + 21= 2 .

67*. a I * +11 +1 x-21= 3; b) I x-51 +1 χ-11= 4.

68*. a I χ-11 +1 x + 31= 6; b) Į J C - 11 +1 x-21= 3 .

69*. a |x-l| + |x-5|=2; b) I χ + 21 +11-х I= 3.

70*. a I χ-11 + I χ- 21= 1; b) |x + 3|-1 x + 11= 2.

71*.a |x-l|-|x-2|=l; b) |x-2| + |4-x|=3 .

72*. a |x|+|x + 2|=2; b) |x-l|+|x + 2|-2x = l

73*.a) |x + 2|-|3-x|=5; b) (JC—3|— j2—jcj = 1.

74*.a) |x+2| + |-x-6|=18; b) |x|=|7-2x|+3.

75*.a) 3|x-l|+l=|x-l|+7; b) 2|x + 2|+3 = 2 + 5|x + 2|.

7 6 * . a ) I y j { x + 3)2 + 2 л / ? " = 7 ; b ) y / ( x - 5 ) 2 +y]{5-x)2 = 1 2 .

77*. a) J x 2 + 6x + 9 + J x 2 - 4 x + 4 = 5 ; b) -Jx2 +25-IOx = J9 + X2 + 6x

78*.а) |x|-2|x+l|+3|x + 2|=0; b) j JC H-11 — j JC Į +31 JC — 11 = 2 .

79*.a) |х-1| + |х + 2|-|* _3|=4; b) |JC-1| + |2JC + 5| + |JC + 4|=7 .

80*.a) |x| + |x-l|=x+|x-3|; b) I JC I -21 χ +11 +31 χ + 21= 0 .

81*.а) |x-2| + |x-3| + |2x-8|=9; b) |x+l|-|x-2| + |3x + 6| = 5.

82*.a) 12x +11 -13-x|=| x-41; b) j JC — 1Į +11 — 2JC I = 21 JC Į .

83*.a) |x-3| + |x-2|=x-4; b) |x-4| + |x-3|=x-5 .

84*.а) |3-x| + |2x+7|=x+10; b) |x-2Į +1X-II= x-3 .

85*.a) |5 + x| + |4x-7|=3x+2; b) 2x-3|x-5|=6|x-l|.

86*. a) 514^1 =125; b) 3|5_J:| = 9 .

87*. a) 2511-2*' = 54-61; b) 4 ^ = 3 - 2 ^ + 16.

88*. a) Raskite funkcijų y=\x-6\ ir y =

b) Raskite funkcijų y=\3-x\ ir y =

2 grafikų susikirtimo taškų abscises.

1 grafikų susikirtimo taškų abscises.

89*.a) Išspręskite lygtį | χ + 21 = 2 grafiškai,

b) Išspręskite lygtį |3-x|=4 grafiškai.

90*. a) Raskite mažiausią lygties |x-2|+|2x~7| = 2 šaknį.

b) Raskite didžiausią lygties |x-3|+|x + 2|-|x-4| =3 šaknį.

Raskite lygties didesniąją šaknį (91-92):

91*. a) χ2 - 5*+ | χ - 4 | +4 = O ; b) x2 - 4x + 21 χ - 2 | +4 = C

92*.a) I 2x-9| + I 2-5x I= 4x + 7 ; b) | 2x-5 | + | 2-3x |= 4x-

Raskite lygties mažesniąją šaknį (93-95):

93*. a) (x + З)2 = 21 χ + 3 I +3; b) (x +4)2 = 2 | x +4 |-1.

94*. χ2-8x+|х-5|+15 = 0;

95*.a) |x-2| + |x+l|-|x-3|=2;

Išspręskite nelygybę (96-171):

b) χ - 5x+ I χ - 3 I +6 = 0.

b) |x-4| + |x + 3|-|x-5|

96*.a) I x|> 5 ; b) χ |< 3.

97*.a) I χ |> л/з ; b) х|<л/5 .

98*.a) I χ |< 2,1; b) х|>1,9.

99*. a) 14x + 21 > 6; b) Зх -11 < 2 .

100*. a) |3x-l|>5; b) 2x-4|< 1.

101*.a) 13x-l I^ 2 ; b) 4x + 2 I > 6 .

102*.a) I χ + 51> 11; b) 2x - 51 < 3 .

103*. a) 12x - 31 < 7; b) 2x -11 > 5 .

104*. a) 13x-11> 5 ; b) 2x - 41< 1.

105*.a) I x - l |< 3 ; b) х-11> 1.

106*. a) I χ + 3 |< 4 ; b) 4x + 21< 10

107*.a) (x-l)2 <4 ;

108*.a) (x + 3)2 > 4 ;

109*. a) j χ2 + 4x -1 j < 4;

110*. a) Į12x + 11 -51 > 2 ;

b) (x-l)2 >9 .

b) (x + 2 ) 2 <9 .

b) Į 5x2 - 2x +1Į < 1.

b) ||x-3|+l|>2 .

111*.a)

112*. a)

113*. a)

114*. a)

115*. a)

116*. a)

117*. a)

118*. a)

119*. a)

120*. a)

121*. a)

122*. a)

_ J

|3-2д:|

л:

> 2 ;

x-1

x-1

x-3

3-2x

1 + x

2x- 1

x-1

x + 2

2x-3

x + 3

х - 2

2x-5

x + 1

χ +1

х - 2

2x + 3

>-2;

> 2 ;

<2 ;

> 2 ;

<3;

< 2 ;

>1;

< 2 ;

3x-2

2x + 3

> 1 ;

<3; 5x-2

χ2 - 3x + 2 ž i ;

x'+3x + 2

123*.a) \x-2\ž x-2;

124*.a) I χ + 5 |< χ + 5 ;

125*.a) Į 3x + 1 7 x - 5 ;

126*.a) I 4-3x |> 2 - χ;

127*.a) |2(x + l)|ž3x + 3;

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

b)

2 <1.

|x-4| <1.

3x >- i

x+2 >- i

2x-l >1.

x+l >1.

3x+l <3 .

x-3 <3 .

3x + l

x-3 <3

2x + 4 >2

x + l >2

2x-l

x + 3 >5

2-5x <5

x + 3 <5

x + 2

x-3 >2 .

3-2x <2

1 + χ <2

2x-5 >2

3x+l >2

χ2 - 3x - 1

χ2 + χ+ 1 <3.

b) |x + 3]<x + 3 .

b) I χ + 7 |> χ + 7 .

b) I χ + 5 |> 2x - 4 .

b) I 2x-3|>x + 4 .

b) |2(x-3)|<9x + 5.

128*. a

129*. a

130*. a

131*. a

132*. a

133*. a

134*. a

135*. a

136*. a

137*. a

138*. a

139*. a

140*. a

141*. a

142*. a

143*. a

144*. a

145*. a

146*. a

147*. a

11 — 2JC I > 3 — JC ;

Ix2 — 6jc + 8 Į < 4 — л:;

j χ2 - 2x j < χ ;

| 2x-3 |> 2x-3 ;

3|x-l|>x + l ;

| 2x + 31< 4x;

χ

I χ I • (ж +1) > 0;

(JC — 4)-15 - 3JC j < 0 ;

12x -11 < 14x +11;

12x-11<| x + 31;

| 2x-11<| 3x +11;

|x + 2|>|x-4|;

| χ | ·χ > χ ;

I χ2 + Ax -1Į < 4;

j 6x2 - 2x +11 < 1;

U - r

x + 2

2x + 5

Uc+ 1

< i ;

> 1 ;

x '-5x + 6 ^ 0;

b) | χ + 81 < 3x -1.

b) Į χ2 - 2x - 3 Į < Зх -

b) j χ2 - χ - 6 j ^ ж.

b) | Зх + 11< Зх +1 .

b) 3|х-1|<х + 3.

b) |x-3|ž2x+l.

x + 2 b) <0 .

x + 4|

b) | χ | • (x - 2) < 0 .

b) 12x + 7 Į • 13 — дг |< 0

b) 11 -3x|>| 2x + 31.

b) I 2JC + 3 j < j 2JC — 5 j.

b) | x + 5 3x-11.

b) I χ +11<| x-31.

b) I χ -11 · χ > 3x.

b) |x2 -5xj <6 .

b) |3x2 — 5x — 2 j < 10.

|x-2|

1 2 2 - + > -

x+l Ixl-I X- I

b)

b)

b)

b)

x-2

|x-5|

> 0 .

> 2 . x + 3

[x-3|

X 2 - 5x + 6

1

χ 1-3 2

148*. a) ] д:2 - jc - 61 < χ; b

149*. a) | χ2 - 2x - 31 < Зх - 3 ; b

150*. а) I χ2 - Зх -151 < 2x2 - χ; b

151*. a) | χ2 - Зх + 21 < 2x - χ2 ; b

152*. a) j Ix1 + x + l l|>x 2-5x + 6; b

153*. a) | χ2 + χ - 201 < χ2 + χ - 20 ; b

154*.a) χ2+I 9x+141> 0 ; b

155*.a) 3x2-| 10x-3| >0 ; b

156*.a) I χ2 - 5х + б| > -x-1 ; b Ί I 2

157*. a) χ2 - 61 χ I -7 < 0 ; b

158*. a) χ2 - 41 χ I +3 > 0 ; b

159*. a) 2x2 - 51 χ I +3 > 0 ; b

160*. a) χ2 - 21 χ I -8 > 0 ; b

161*. a) χ2 -1 χ I -12 < 0 ; b

162*.a) |x+2| + |x-3|>5; b

163*.a) |x-l| + |x-5|>8; b

164*.a) |x + 3| + |x-l|>5; b

165*.a) |x|+V(x-l)2 <5 ; b

166*.a) |x-l| + |2-x|>3 + x; b

167*. a) (x - 2)( | χ + 51 -1 χ -11) < O ; b

I X2 - 61 > 4x +1.

|x2-6x + 8|<4-x.

Į χ2 - 2x - 3 j > 2x - χ2 + 3 .

I 4x2 - 9x + 61 > -X2 + χ - 3 .

j χ2 + χ + 1θ| <3x2 +7x + 2 .

j X2 - 6x + 8 j > X2 - 6x + 8 .

χ2+ I -5x- 18 |> 0 .

I χ2 - б|<4х + 1 .

|x-6|>|x2 -5x + 9|.

χ2 + 21 χ I -3 < 0 .

χ 2 - 61 χ I +8 > 0 .

2x2-1 χ I -1 > 0 .

X 2 + 51 χ I -24 > 0 .

χ 2 + 81 χ I +7 > 0 .

II -χ I + 13-х |> 4.

I χ +11 +1 х- 2 |> 5.

|2x + 6| + |x-4|>10.

V(X-3)2 + |X-5|<4.

I χ +11< 3x- Į х - 21.

(2x-l)(|x+l|-|x-3|)<0.

168*. a) |x + 2|-|x-l| + |x-3|<4; b) | Зх-11 + | 2x-3 | - | χ +5 |< 2 .

169*. a) 2,x~21 >4|jt+"; b) | у >

U-21 r J λ|χ|

лг-1 21Il χ+21 4

JC-2

ί+8 I 170*. a) ^yJ > y ; b) 21 *+s1 > 32 .

171*. a) I JC I - ctg 3 < cos3 ; b) | JC | - tg 5 > sin 5 .

172*. a) Raskite funkcijų y=\x-6\ ir у = 2 grafikų susikirtimo taškų abscises,

b) Raskite funkcijų y=\3-x\ ir y = 1 grafikų susikirtimo taškų abscises.

173*.a) Su kuriomis JC reikšmėmis funkcijos >·=|3χ-9| grafikas yra nežemiau

tiesės y = 61

b) Su kuriomis JC reikšmėmis funkcijos Y=|4-2x| grafikas yra žemiau

tiesės 7 = 16?

174*. a) Su kuriomis JC reikšmėmis funkcijos y =| x +11 grafikas yra neaukščiau už

tiesės y = 2JC grafiką?

b) Su kuriomis JC reikšmėmis funkcijos _Y=|3x-4| grafikas yra aukščiau už

tiesės y = χ +1 grafiką?

175*. a) Raskite mažiausią sveikąjį nelygybės sprendinį |x + 3,5|-|x-2,5| >2 .

b) Raskite didžiausią neigiamą sveikąjį nelygybės sprendinį

|JC + 2|+|JC-3|>5 .

176*.a) Raskite visas χ reikšmes, su kuriomis funkcija f(x)=———- įgyja 4| JC|+1

teigiamas reikšmes.

b) Raskite visas χ reikšmes, su kuriomis funkcija /(χ)=-^^—— įgyja |x|+4

neigiamas reikšmes.

177*. a) Išspręskite lygčių sistemą ir atsakyme parašykite sveikųjų sprendinių sumą

|V(* + 4)2 =x + 4,

[V(jc-6)2 = 6 — χ ;

b) Išspręskite lygčių sistemą ir atsakyme parašykite sveikųjų sprendinių sumą

k/(x + 4)2 =x + 4,

-2-х.

Raskite funkcijos /(χ) apibrėžimo sritį (178-179):

178*.a) /(χ) = T/n-s ; b) /(x) = д/б-|3х| .

179*. a) f{x) =

*. Raskite (

a) / W =

x + 6 b) / ( * )=

x- l

12x +11 ·

180*. Raskite duotosios funkcijos reikšmių sritį:

JC-I-Ix-II b) g(x)-

X - 3 + 1 3 - х Į

3· 11 - χ I ' ° v ' 5· I JC — 31

Funkciją f(x) užrašykite be modulio ženklo ir nubraižykite jos grafiką (181-188):

b) /(χ)=|χ|·χ. 181*.a) / (* ) = i i i ; χ

182*.a) /(x)=2x + 3|x|-l;

x * 0 ; 183*. a) =

184*.a) /(x)=|x + l| + |x-3|;

185*. a) /(x) =| χ +11 -3 I χ - 21;

1 8 6 * . a ) y ( J C ) = | JC + 21 — I JC — 4 1 ;

187*.a) /(x)=|2x + l| + |x-l|;

188*. а) /(x) = л/4x2 -12x + 9 + 2x;

b) /(x)=2|x|-x + 2.

b) /(χ) = χ2+|χ|·χ.

b) /(x)=| x-21 +1 x + 31.

b) /(x)=|x-l|-2|x+2|.

b) /(x)=|x-2| + |x-3|.

b) /(x)=2|x-3| + |3x-2|.

b) /(x)=4x--y/l6x2-24x + 9 .

Nubraižykite duotosios funkcijos grafiką (189-204):

b) /(x)=|x-4|. 189*.a) /(x)=|x + 3|;

190.a) /(x)=|x|+l;

191*.a) /(x)=||x|-l|;

192*. a) /(χ)= I χ-21+1;

193*.a) /(x)=|x2-l|;

194*.а) /(х)=|х2+х-б|;

b) /(x)=|x|-3.

b) /(x)=Į|x|-3|.

b) /(x)=|x + 4|-l.

b) / ( X ) = | 4 - X 2 | .

b) / ( Х ) = | Х 2 - 2 Х - З | .

195*.а) /(*)=*2-6|*|+8;

196*.а) /(x)=|x2 -4|х | + з | ;

291*. л) f (χ) =

b) /(*)=x2-81*|+7.

b) / (* )= |x 2 - |* | -2 | .

x-2

198*.a) / ( * ) = — L - ; |*|-4

199*. a) / ( * )= 2W ;

200*.a) / ( * ) = |log2(*-l)|;

201*.a) /(*)=log31*-2|;

202*.a) /(*)=|log2|*-l||;

203*.a) /(*)=|sinx|;

204*.a) /(*)=tg|*|;

b) / ( * )=

b) / (* ) =

1

* + 3

1

JC1-1

b) / ( * ) = ( { f ·

b) /(*)= log,(*+2)

b) /W= Iog 2 I x-

Iog1 I*+M b) / (* )=

b) /(x)=|cosx|.

b) / (* ) = sin I * I.

205*. a) Kuris iš pavaizduotų funkcijų grafikų eskizų yra funkcijos y -• Ul-I

1) .yA

L)

2) yA

' k J

3) У/\

L·. Щ

;1 "x 0 j, * - > ;1 χ

I i

4) У/\ 5) У n 6) ,УА

У -> X

Π

duota formule / (* ) = — . Funkcijąg išreikškite formule.

b) Piešiniuose schemiškai pavaizduoti funkcijų/ir g grafikai: be to, funkcija/

duota formule / (* )= —-— . Funkciją g išreikškite formule.

* -k *

6. Išvestinės

6.1. Funkcijos išvestinės samprata

1. a) Duota funkcija y = 3x2 - 6 , o argumentas * kinta nuo X1 = 3 iki X2 = 3,5 .

Raskite argumento pokytį ir funkcijos pokytį.

b) Duota funkcija y = 2x2 + 5x , o argumentas χ kinta nuo Xi =2 iki X1 = 3 .

Raskite argumento pokytį ir funkcijos pokytį.

2*. a) Duota funkcija >> = sinx, o argumentas χ kinta nuo X1 =0 iki X2 = ——. 6

Raskite funkcijos pokytį.

b) Duota funkcija y = sin(2x) , o argumentas χ kinta nuo X1 = 0 iki x2 = — . 8

Raskite funkcijos pokytį.

3. a) Duota funkcija , o argumentas χ kinta nuo X0 iki χ, =χ0+Δχ .

Raskite funkcijos pokytį, jei Δχ = -0,19 , x0 = 1.

b) Duota funkcija

, o argumentas χ kinta nuo x0 iki x, = x0 + Δ χ .

Raskite funkcijos pokytį, jei Δχ =0,1025 , x0 = 1.

4. a) Duota funkcija /(x) = 4x2-2. Raskite funkcijos vidutinį kitimo greitį, kai

argumentas χ kinta nuo X1 = 4 iki x2 = 6 .

b) Duota funkcija g(x)=-x2 +3 . Raskite funkcijos vidutinį kitimo greitį, kai

argumentas χ kinta nuo X1 = 2 iki x2 = 4 .

л f 5. a) Duota funkcija f ( x ) = ax2 . Raskite ——, kai argumentas kinta nuo χ

Δχ

iki χ + Δχ .

b) Duota funkcija g(x) = —. Raskite , kai argumentas kinta nuo χ χ Δχ

iki χ + Δχ .

6*. a) Duota funkcija /(χ)= Зх2. Raskite Iim , kai argumentas kinta nuo χ δ*-»Ο Δ X

iki χ + Δχ .

b) Duota funkcija g(x)=—. Raskite Iim , kai argumentas kinta nuo χ χ Δι-»0 Δ X

iki χ + Δχ .

a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos

y = f (χ) grafikas. Raskite argumento

pokytį ir funkcijos pokytį, kai χ kinta

nuo x0 iki X1.


У ~ g(x) grafikas. Raskite argumento

pokytį ir funkcijos pokytį, kai χ kinta

nuo JC0 iki JC, .

-4 Xo Xi

8*. a) Duota funkcija /(JC) = x2. Raskite šios funkcijos grafiko liestinės krypties

koeficientą (pasvirimo kampo tangentą) taške, kurio abscise lygi y .

Nubraižykite duotosios funkcijos ir liestinės grafikus.

b) Duota funkcija g(x)=-x2 + 4JC-3 . Raskite šios funkcijos grafiko liestinės

krypties koeficientą (pasvirimo kampo tangentą) taške, kurio abscisė lygi 2.

Nubraižykite duotosios funkcijos ir liestinės grafikus.

9*. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos

Y = /(JC) grafikas ir jo liestinių

taškuose JC, ir X2 grafikai. Raskite

/'(*.) ir Ax2)-

b) Paveiksle pavaizduotas funkci-

jos y = g(x) grafikas ir jo lies-

tinių taškuose x, ir x2 grafikai.

Raskite g'(x,) ir g'(x2) •

10*. Paveiksle pavaizduotas funkcijos

y = f ( x ) grafikas. Palyginkite

funkcijos y = /(x) išvestinės

reikšmes:

a) l ) / ' (-7) ir / ' (-2) ,

2) /'(-1) ir / ' (5);

t y " /(X)

• Xr j // Xt 0 ж / .M

" f r

: y

b) l ) / ' (-4 ) i r / ' (2 ) ,

2) /'(-9) ir /'(0).

6.2. Funkcijų išvestinių skaičiavimas

Naudodamiesi išvestinių skaičiavimo taisyklėmis ir formulėmis raskite duotųjų

funkcijų išvestines (1-71):

1. a) /(x)=2x-5; b) / (x)=5-7x.

2. a) / ( * )=-•^--5x + 2; b ) / ( x ) = ^ - | - l .

3. a) f ( x ) = ę + ę - 2 x + 5 ; b) f ( x ) = ~ ^ - + 6x-3 .

4. a) f ( x ) = (2x - 3)(3x +1); b) f (χ) = (χ - 5)(2x - 5).

5. a) / ( * )- !* (*-1)-2 ; b) f{x)=^x-2^· x+2 .

6*. a) /(χ)=χ·(χ + 3)5 ; b) / (x)=(x + l)2-(x-4)3.

7*. a) / ( * ) = - L + _ L + 2 + i ; b) /(x) = _ L + - L + A _ i .

W 4x4 5x5 χ 2 W 3x3 6x6 χ2 3

8*. a) /(x)= l-2x2 h—y; b) /(x) = 5 + 10x2 — L . X X

2 4

9*. a) /(x)= 5x 5 ; b) / (x)=7x 7 .

10*. a) /(*)=-——--; b) f (χ)=-——· • x-1 x+l

l l * . a ) / ( x ) =|±| i ; Ь ) / (х ) = : " - 5

l-3x v ' 2x-5

1 2 * . a ) / ( x ) = f ± ; b ) / ( x ) = b i f . 2x + l 3x-l

13* . a ) / ( x ) =V? + V3 ; b) f ( x ) = \[7+ I f i .

14*. a) f ( x ) = J~r~ ; b) /(x)= V 1 - х

15*. a) f (χ) = Jl-4χ ; b) f (χ) = л/9-2х .

16*. a) f(x)=ylx2+ 2х ; b) /{х)=^2х3+6х .

17*.а) /(х)=^хг-2х ; b) f(x)=^4-x2 .

18*.a) -l)2 ; b) / W = # 3 + l)4 .

19*.а) /{х)=хг^~х—~· b) f(x)=xy[x—įr. VJC V *

20*.a)/(x) = x4 Vx+7; b) /(л:)= χ3-л/^Т .

21*.a) f{x)=J^\-{2x+l); b) /(χ)= Vi+2-(Зх-l).

22*.a) f(x)=(x2+6) Jx2-3 ; b) / (* )= (2x +1)2 · V T ^ .

23*. a) = b) f (x)~ ГХ

2 + J~x ' 2x+\

24*.a Ь)Г{х)=Щ-. -Jx Χ

25*.a) /(*)=-¾=-; b) / (x)=3x 2V^. Ух

26*. a) f(x)=5\[x* ; b) / (* )= 1

2 V ?

12 / N 20 X „ 1 . v ,/ N I *

27*.a) / W = [ f + 2j ; b ) / (x )=[±-3

28*.a) /(x) = (х2 + 5x + б)4; b) /(x)= (4-х2 + 3x)5.

29*. a) /(x)= (x3 - 2x2 + 5)6 ; b)/(x)=(2x3-5x + 8)".

30*.a) /(*)=(-x3+4*-l)3 ; b) / (* )= (2* + *3-г)4 .

31*.a) / ( , ) . £ L + lJ ;

32*. a) /(x) =(V^+3)4;

33*.a) /(x)=ĮVT j ;

34*.a) /(x)=3sinx + cosx;

35*. a) /(x)=sin^2x + - j j ;

36*.a) f(x)=siax + coax ; sin χ-cosx

37*. a) /(x)= sin(lOx);

38*. a) / (x)=x •sin(2x);

β 39*.a) /(x)=4sin(2x)+^y-;

40*. a) /(x)=sin(3x-7);

41*.a) /(x)=sin(2x2-3x + l);

42*.a) / (* )=tg^5x-|j ;

43*.a) /(x)=tg(2x-3x2);

44*. a) /(x) = sin4 χ+cos4 χ + sin2(2χ);

45*. a) f (χ)= sin2 χ;

46*.a) /(χ)= sin2(2х);

47*.a) /(x)=4sin2(3x);

b » / w = ( . 4 ) ! .

b) f(x)= (4-Vx)5 .

b) f(x)={x2- 2л/Г)4.

b) /(x)=2cosx + sinx.

b) /(x)=cos^3*-|j .

b) у (χ)= sin χ —cosx ^

sin χ+ cosx

b) /(x)=cos(8x).

b) /(x) = χ cos (Зх).

b) /(x) = 6 c o s [ | ] - ^ .

b) /(χ) = cos(5x + 6).

b) /(x)=cos(3x2-4x + 2

b) /(x)=ctg^2x + | l .

b) / (* )= ctg(x2-3x).

b) /(x)= cos4 x-sin4 X-

b ) / ( x ) = C O S 2 X .

b) /(x)= cos2 (2x).

b) /(x)=2cos2(5x).

48*. a) /(x)=cos3(2x-l); b) f {χ)= sin3(5-4x).

49*.a) f ( x ) = χ·sin(2x-3); b) /(χ)= xcos(3x-2).

50*.a) Duota funkcija /(x) = 3sinx-sin3x. Įrodykite, kad /'(χ)= ! 2sin2 xcosx .

b) Duota funkcija /(χ)= 3cosx + cos3x . Įrodykite, kad

f'{x)= -6cos(2x)sinx.

51*.a) Duotafunkcija /(x)=ycos3 x-4cosx. Įrodykite, kad /'(x)= 4sin3χ.

b) Duota funkcija f{x)= 4sinx-ysin3 χ . Įrodykite, kad /'(x)= 4cos3 χ.

52*.a) Duotafunkcija f ( x ) = cos2x-2cos4χ . Įrodykite, kad /'(x)=sin4x.

b) Duota funkcija f(x)= cos2x + 2sin4 χ . Įrodykite, kad /'(x)= -sin4x.

53*.a) /(x)=43-2*; b) Ах)=уг~1х.

54*.a) /(x)=103-sin3(2j:); b) f(x)= S2-cos^

55*.a) /(x)=8-e* ; b) f(x)=e~x - 7 .

56*. a) / (* )= 4eSx; b) f {x )Ąe-* x .

57*. a) f(x)=2e3x+l; b) f(x)= Selx'2.

2 58*. a) f(x)=e'* ;

3

b) f(x)=-exl .

59*. a) f{x)=eimx \ b) f(x)=e™'.

I

60*. a) f(x)=eC0SX ; I

b) / ( x ) =e h I .

61*.a) f ( x ) = x-e'2x; b) f{x)=x2-e~xl.

62*. a) f{x)= X2 -e3* ; b) /(x)= X3 lnx.

63*.a) /(x)=e* cosx ; b) f{x)=ex sinx.

64*. a) / (* )= 2X + Iog2 χ ; b) / ( * )= [ į ] - l og ,x .

65*. a) / (x)= ln 2x; b) /(x)= Iog3X.

66*. a) /(x)=ln(2x + 3); b) /(x)=ln(8x + 5).

67*.a) /(x) = i log3(x2-2x); b) /(x)=I log s(4x-2x2)

68*. a) /(x)=lnVx2+2x + 3 ; b) /(x) = In V5 - 4x - 2x2

69*. a) f ( x ) =Inx4; b) /(x) =InVx .

70*.a) /(x) =Vhx ; b) /(x) =Vlnx .

71*.a) /(x)= lncosx; b) /(x) =Insinx.

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę su nurodyta argumento reikšme (72-104):

72. а) /'(З), kai /(x) = 6x - 9; b) /'(5) ,kai / (* )= -1 Ix + 7 .

73. a) /'(-1), kai f ( x ) = x3 - 3x + 2 ; b) / '(2) , kai /(x) = x4 - 9x2 + 7 .

3

74. a) /'(2), kai / ( x ) =-— 0,5*2 + 2x +1; 6

b) /'(-2), kai / (*)= -y^- + l,5x2 +5x-3.

75*.a) /'(O), kai /(x)=(2x + l)2; b) / '(-l), kai /(x) = (3x+2)2.

76*.a) /'(2), kai /(x)=(x + l)3; b) /'(-2), kai /(x)=(x+2)3 .

77*.a) / '(l), kai /(х)= (з-х2)(х2 +б); b) /'(-l),kai /(x)= (3x-7>(x3 +2).

78*.a) /'(θ), kai /(x)= V2x + 1 ; b) / ' ( l) , kai / (х)= л/3-2х .

79*. a) / '( l) , kai /(χ) = Vx2 +3 + — ; b) /'(з) , kai f (χ) = Vx2-I + x + 1

4x

2л·-1

80*. а) / '(2), kai /(χ)=

81*.a) / '( l) , kai f (χ)=

x + \ x-\ '

1-jc

2x + l

b) /'(0), kai /(x) =

b) / '( l) , kai /(χ)=

Ix x+l

2+x 3x-l

82*. a) / '( l) , kai /(x)= 3x2-2x

7x + 3 b) / O ) , kai / W =

2x2-3x

4x + 6

83*. a) / ' - , kai / (* )= sin χ-2 cos χ ; b) /' ^ . kai /(χ) = 3sin jr +cos*

84*.a) / '^--jJ , kai /(x)=sinx + 2cos2x ;

Ь) / ' -— ,kai /(x)=3cos2x-2sin2x. v 6)

85*. a) W j J , kai / (* )= S-sinx +^fia-π ;

b) / ' (-j j , kai /(x)=cosx+Vjtt + 7t.

86*.a) / | | j , kai f(x)= 2sinĮx + | J ; b) / ' ^ j , kai / (x)=-3cos(x-j

87*. a) /'f-g· I ,kai /(x) =Vsin χ ; b) / I -j J, kai /(x) =Vcosx

88*. a) / ' 4 Ч y

,kai /(x)= sinVx ; b) / ' — ,kai /(x)=cosVx·

smx 89*.a)/ ' I i I , ka i / (x )=

v 1 6 ,

b) / ' (π) , kai / (* )= COSX

90*.a) / ( ΐ l k a i / ( x ) = ^ : I 4 J sin χ

b) H i J , kai f(x)= 4x + l

91*.a) /'(O),kai / (χ)= (χ2-x)cos2 χ ; b) / ' i | J , kai / ( χ ) = -χ - 2

Sin2 χ

92*. a) , kai / (χ )= tg(3x); b) / ' ^ j , kai / (x ) = ctgĮ3x + ^

93*.a) / ' (0) , kai / (χ)= 32 ' · tg(0,5x); b) / ' ( l ) ,kai / (χ )= 23*-ctg | x

94*.a) / ' · | I, kai / (x)=3xsinx; b) / ' ^ J ,kai / (x)=4xcosx.

95*.a) / ( 7 I ,kai /(x)=x-sin| j; b) / ( - £ ) , kai / ( * ) = x cosf2x +

96*.a) / '(θ), kai / (x)=(x + x2) •sin χ + — ;

b) /'(θ), kai / (x )= (2x-x 2 )-cos^-χ j .

97*.a) / ' (- l ) , kai / ( x ) = į - ; χ

98*.a) / ' ( l ) , kai / ( x ) = ^ + e 2 ;

b) / ' (- l ) ,kai f { x ) = ~ j . χ

b) / ' (- l ) , kai / ( x ) = e ^ 3 - e3 .

99*.a) / ' ( l ) , kai / (x )= log2(3-2x); b) / ' ( l ) , kai / (x )= log3(5-4x).

100*.a) / ' (2) , kai /(x)=81n2,3x ; b) / ' (3) , kai /(x)=61n2,5x .

101*.a) / ( į l , k a i / (x )= lnx + x; b) / f į l . k a i / ( x ) = x 2 - l n x .

102*.a) / ' (2) , kai / (x )=x 3 ·1η(χ3 -2x2 +х-\)+ех'~* -3 ;

b) / ' (З) , kai / (χ) = χ · ln(2x2 - 4x - 5)+ e'2"9 - 7 .

103*.a) / ' ( l ) , kai / ( x ) = — ; b) / ' (e) , kai / (x) =X3-Inx.

104*.a) /'(O), kai f{x)-ln(x+1)

x+l b) / ' (0) , kai / (x ) =

ln(l-x)

105*. a) Duota funkcija f(x)=tfx* . Kaip kinta jos išvestinė, kai kintamasis χ

didėja nuo — iki 81? J 16

b) Duota funkcija / (* )= . Kaip kinta jos išvestinė, kai kintamasis χ didėja

nuo — iki 64? 27

106*. a) Raskite funkcijos /(x)= V4 + 3x-x2 ir jos išvestinės apibrėžimo sritis,

b) Raskite funkcijos /(x) = -Jx2-2x-3 ir jos išvestinės apibrėžimo sritis.

107*.a) Duota funkcija/(*)= 2cos2(4x-l). Raskite funkcijos f'(x) reikšmių sritį,

b) Duota funkcija g(x)= 8sin2(2x-3). Raskite funkcijos f'(x) reikšmių sritį.


108*. a) 5 /'(θ), kai f(x)= (x-3)V*2 +1 -x-5

b) 8/'(θ), kai /(x)=(x + 4 ) V x 2 + 8 + — . 1-х

109*.a) / ( f j + į / ' [ f J ' k a i / W = x-ctg(2x)-V2sin^ + x j ;

b) \ / ( j ] j , kai /(x)=V2sin(2x).tg(2x)+sin^ + x

Išspręskite lygtį / '(*)= 0 , kai (110-116):

110.a) /(χ) = χ3 + 3x2 + 3x + 2 ; b) /(x) = x3-6x2+12x-l.

111.a) /(χ) = —χ3 -—χ2 + 2x-l ; b) / ( x )=-—-x 2 -4x + 2. J y ' 3 2 3 2

4 3 л 4 ^ 2

112.a) /(x) = — + — - - χ 2 - 3 x ; b) /(χ)= — + - x 3 - - — 2 x . > J \ > 4 3 2 4 3 2

113*.a) / (x)=V7 (x-2); b) /(x)= V ^ T (x+1).

/7 114*.a) /(x)=sinx--y-x; b) / (x)=s inx--.

115*. A) /(χ)= 2 cos χ+ χ ; b) /(x)= 3cosx--y^-x .

116*.a) /(x)=yCos2x-cosx-3 ; b) /(x)=sinx + yCos2x + 5 .

Išspręskite nelygybę f (χ) > O , kai (117-121):

117.a) /(x)=12x3 +18x2 -7x + l ; b) / (x)=x3+-y-4x + 2.

118.a) / (x )=3x-x 2 -— ; 2 3

b) /(x)=2x + — - — 2 3

119*. a) /(x)=cosx + l ; b) /(x)=sinx-2.

120*.a) /(x)=cosx + ^ x ; b) /(x)= sinx + y-x.

121*. a) / (x)=sinx+|; b) /(x)= cosx-y.

Išspręskite lygtį /'(x)=g'(x), kai (122-126):

122. a) /(x) = 3x2 - 4x +1, g(x)=2x-3; b) /(χ)= 5x2-3x + 2 , g(x)=-3x+l.

123. a) /(x) = 2x3 + 7, g(x)= 2 Ix2 - 72x+ 5 ;

b) / (x )=x 3-4, g(x)=9x2-15x + 8.

X 3 5 x 2

124.a) / ( x ) = ± — g ( x ) = - 6 x - 7 ; b) f{x)=~--2x2, g{x)=~3x-2.

125*.a) /(x)=151n(x-2)+2, g(x) = 0,5x2-2;

b) /(x)=31n(x-2)+1, g{x)= 0,5x2 +1.

5I+I 5х"1

126*.a) + g(x)=24x-l; ln5 ln5

2+2 b ) / W ~ - T ^ + 4 > , ( x ) = 96x-5.

Išspręskite nelygybę f'(x)> g'{x), kai (127-128):

127*. a) /(x) = 3 ln(x - 2)- 5, g(x)= 3x + 7;

b) / (χ)= 4ln(x-3)+9, g(x)=2x-5.

128*.a) / (χ )=-^-|--1+7 , g(x)=4x-5 ; In 9 21n3

b ) / W = l ^ " f b 2 + 5> s W = 6 * - 7 ·

129*. a) Išspręskite nelygybę / ' (x)>0, kai /(x)= 161nx-2x2 ;

b) Išspręskite nelygybę / ' (*)<O, kai f(x)=x2 -2lnx.

130. a) Išspręskite nelygybę /'(x)< 0, kai /(x)=3x2 -6 In χ .

b) Išspręskite nelygybę / ' (x)>0,kai /(x)=41nx-2x2 .

X 3+2 . /N 6x+2 131*. a) Išspręskite nelygybę /'(x) < g'(x), kai /(x) = ir g(x) =

X X

2 . , 4 χ4 + 2 b) Išspręskite nelygybę /'(x) > g'(x), kai /(x) = 8x + — ir g{x) =

Χ 2 Ώ Ν ' X 2

Hx) 132*. a) Raskite didžiausią sveikąjį nelygybės -A-4 >0 sprendinį, kai

g W /(x) = 4 - 2x3 + 9x2 ir g(x) = X 3 + 3x -1.

f ( x ) b) Raskite didžiausią sveikąjį nelygybės ) {> 0 sprendinį, kai

g W /(x) = 5 - 2x3 - 9x2 ir g(x)=2x3 + 12x->/2 .

133*.a) Su kuriomis χ reikšmėmis teisinga lygybė / ' (x )=2 , kai

/(x)= 2-Jx -5x + 3 ?

b) Su kuriomis χ reikšmėmis teisinga lygybė /'(χ)= 1, kai

/(x)=3x-Vx + 13?

6.3. Funkcijų išvestinių taikymai

1. a) Paveiksle pavaizduotas funkcijos f{x) išvestinės grafikas. Remdamiesi juo

nustatykite funkcijos f ( x ) didėjimo ir mažėjimo intervalus.

b) Paveiksle pavaizduotas funkcijos g(x) išvestinės grafikas. Remdamiesi juo

nustatykite funkcijos g(x) didėjimo ir mažėjimo intervalus.

i -2,5

y> \ 2

r N 5 5 -5l

\ = gW -3 \ y \

2. a) Paveiksluose pavaizduoti funkcijų f ( x ) , g(x), K*), t(x) ir s(x) išvestinių grafikai. Kurios iš duotųjų funkcijų didėja visoje realiųjų skaičių

aibėje R ?

b) Paveiksluose pavaizduoti funkcijų f ( x ) , g(x), h(x), t(x) ir s(x) išvestinių grafikai. Kurios iš duotųjų funkcijų mažėja visoje realiųjų skaičių

aibėje Rl

χ

3. Paveikslepavaizduotasfunkcijos y = f (χ) grafikas.

УА

1 4

.V = f (X)

- 8

Nurodykite visas argumento χ reikšmes, su kuriomis teisingi šie teiginiai:

a) /'(χ) > 0; b) /'(χ) < 0.

4*. a) Funkcijos /(x) = -x2+x grafiko liestinė eina per tašką, kurio abscisė

x0=-2 . Apskaičiuokite tos liestinės krypties koeficientą.

b) Funkcijos /(x) = x 2- 3x+2 grafiko liestinė eina per tašką, kurio abscisė

x0 = 3. Apskaičiuokite tos liestinės krypties koeficientą.

5*. a) Parašykite funkcijos /(x) = x2+3x+l grafiko liestinės, einančios per

tašką, kurio abscisė x0 = 1, lygtį.

b) Parašykite funkcijos /(x) = x 2- 2x + 5 grafiko liestinės, einančios per

tašką, kurio abscisė x0 = 4, lygtį.

6*. a) Parašykite funkcijos / (* ) = — -4x grafiko liestinės, einančios per tašką

M (3,-3), lygtį.

b) Parašykite funkcijos /(x) = 2x-x3 grafiko liestinės, einančios per tašką

M{2;-4), lygtį.

7*. a) Funkcijos /(x) = x3-4x2 +7x-2 grafiko liestinė nubrėžta per tašką, kurio

abscisė x0 = 1. Parašykite tos liestinės lygtį.

b) Funkcijos /(x) = 2x3 -2x2 -IOx +10 grafiko liestinė nubrėžta per tašką,

kurio abscisė x0 = 2 . Parašykite tos liestinės lygtį.

Зх-2 8*. a) Funkcijos f (χ) = grafiko liestinė nubrėžta per tašką, kurio abscisė

x + l

x0 = 1. Parašykite tos liestinės lygtį.

1-х b) Funkcijos /(x) = grafiko liestinė nubrėžta per tašką, kurio abscisė

x-3

X0 = 4 . Parašykite tos liestinės lygtį.

9*. a) Parašykite funkcijos f{x) = -J3-х grafiko liestinės, einančios per tašką,

kurio abscisė x0 = -1, lygtį.

b) Parašykite funkcijos f ( x ) = л/Зх-2 grafiko liestinės, einančios per tašką

kurio abscisė x0 = 6 , lygtį.

10*. a) Parašykite funkcijos f ( x ) = ex grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką, kurio

abscisė x0 = 0 , lygtį.

b) Parašykite funkcijos /(x) = Inx grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką kurio

abscisė x0 = 1, lygtį.

11*. a) Per kurį funkcijos f ( x ) = e2x + 1 grafiko tašką nubrėžta liestinė yra

lygiagreti tiesei y = 2x-l ? Atsakyme nurodykite šio taško koordinates.

b) Per kurį funkcijos /(x) = e0,5* grafiko tašką nubrėžta liestinė yra lygiagreti

tiesei y = 0,5x - 2 ? Atsakyme nurodykite šio taško koordinates.

12*. a) Funkcijos /(x) = 2e*_l grafiko liestinė nubrėžta per tašką, kurio

abscisė X0 = 1.

1) Parašykite šios liestinės lygtį.

2) Nubraižykite vienoje koordinačių plokštumoje funkcijos /(x) ir minėtos

liestinės grafikus.

b) Funkcijos /(x) = 0,5 · ex+[ grafiko liestinė nubrėžta per tašką, kurio

abscisė x0 =-1.

1) Parašykite šios liestinės lygtį.

2) Nubraižykite vienoje koordinačių plokštumoje funkcijos /(x) ir minėtos

liestinės grafikus.

13*.a) Raskite, kokį kampą (laipsniais) su Ox ašimi sudaro funkcijos /(x) = 3 \Γχ

grafiko liestinė, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = 1.

b) Raskite, kokį kampą (laipsniais) su Ox ašimi sudaro funkcijos f ( x ) = —,= V X

grafiko liestinė, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = 3 .

14*.a) Raskite koordinates tokio funkcijos f(x) = X1 —JC —12 grafiko taško M, per

kurį nubrėžta liestinė sudaro su Ox ašimi 45° kampą.

b) Raskite koordinates tokio funkcijos /(JC) = X2 + 3x-10 grafiko taško N, per

kurį nubrėžta liestinė sudaro su Ox ašimi 135° kampą.

15*. Raskite taškus, kuriuose funkcijos y = f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti

abscisių ašiai, kai

a) /(JC) = I x i -3JC2 -12x + 7 ; b) / ( jc) = 3x4 +4JC3-12JC2-1.

16*.a) Per kurį funkcijos /(x) = -x2 + Ix-10 grafiko tašką nubrėžta liestinė yra

lygiagreti tiesei y = -x +1 ?

b) Per kurį funkcijos /(X) = X2-2X-8 grafiko tašką nubrėžta liestinė yra

lygiagreti tiesei y = - 4x - 4 ?

17*. a) Raskite tokius funkcijos /(x) = -jχ3 - χ2 - χ +1 grafiko taškus, per kuriuos

nubrėžta liestinė būtų lygiagreti tiesei y = 2x-1.

b) Raskite tokius funkcijos /(x) = X 3 - X +2 grafiko taškus, per kuriuos

nubrėžta liestinė būtų lygiagreti tiesei y = 2x-5.

18*. a) Per kurį funkcijos /(x) = -x2+4 grafiko tašką nubrėžta liestinė yra

statmena tiesei x-2y+2 = 0? Užrašykite šios liestinės lygtį.

b) Per kurį funkcijos /(x) = x2-2x + 3 grafiko tašką nubrėžta liestinė yra

X statmena tiesei y = — +1 ? Užrašykite šios liestinės lygti.

19*.a) Funkcijos /(x) = x2-2x + 3 grafikui nubrėžtos dvi liestinės:

pirmoji liestinė nubrėžta per susikirtimo su Oy ašimi tašką, o antroji - yra

lygiagreti tiesei y = 4x-3.

1) Parašykite šių liestinių lygtis.

2) Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijos /(x) grafiką,

tiesę y = 4x - 3 ir abi minėtas liestines.

3) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos minėtomis liestinėmis ir ordinačių

ašimi.

b) Funkcijos f (X) = -X1 +Sxgrafikui nubrėžtos dvi liestinės:

pirmoji liestinė sudaro su Ox ašimi 135° kampą, o antroji - yra lygiagreti

tiesei y = 3x +1.

1) Parašykite šių liestinių lygtis.

2) Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijos f ( x ) grafiką,

tiesę y = 3x + l ir abi minėtas liestines.

3) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos minėtomis liestinėmis ir ordinačių

ašimi.

20*. a) Raskite tokius funkcijos f ( x ) = x2-5x + 6 grafiko taškus, per kuriuos

nubrėžta liestinė eitų per tašką M( 1; 1).

b) Raskite tokius funkcijos /(x) = x2-4x + 2 grafiko taškus, per kuriuos

nubrėžta liestinė eitų per tašką Ai(4; 1) .

21*.a) Raskite didumus kampų, kuriuos sudaro funkcijos f ( x ) = x2+x grafiko

liestinės, nubrėžtos per susikirtimo su abscisių ašimi taškus.

b) Raskite didumus kampų, kuriuos sudaro funkcijos /(x) = x2+2x-8

grafiko liestinės, nubrėžtos per susikirtimo su abscisių ašimi taškus.

22*. a) Parašykite funkcijos y = sin χ grafiko liestinės, einančios per tašką kurio

abscisė X0 = y , lygtį.

b) Parašykite funkcijos y = cosx grafiko liestinės, einančios per tašką, kurio

abscisė x0 = 2 π , lygtį.

x + 2 23*. a) Raskite tokius funkcijos /(x) = grafiko taškus, per kuriuos nubrėžta

x-2 liestinė su Ox ašimi sudaro 135° kampą.

3x + l b) Raskite tokius funkcijos /(x) = grafiko taškus, per kuriuos nubrėžta

1-х liestinė su Ox ašimi sudaro 45° kampą.

24*. a) Raskite a reikšmę, su kuria tiesė _y = -5x+l yra lygiagreti funkcijos

/(x) = ax2 + 3x + 2 grafiko liestinei taške x0 = -2 .

b) Raskite a reikšmę, su kuria tiesė >> = 2x + 3 yra lygiagreti funkcijos

/(x) = ax2 + 4x+ 5 grafiko liestinei taške x0 = 1.

25*. a) Raskite a reikšmę, su kuria parabolės y = JT2 + ax + 3 liestinės, nubrėžtos per

tašką (0;3) krypties koeficientas lygus 4.

b) Raskite a reikšmę, su kuria tiesės y = Sx+ 4 yra funkcijos f ( x ) = 4e~ax

grafiko liestinė taške, kurio abscisė xQ = O .

26*.a) Nurodykite koordinates tokio funkcijos y = 6-2x+x2 grafiko taško M, per

kurį nubrėžta liestinė šiam grafikui būtų lygiagreti tiesei y = 6x-3 .

b) Nurodykite koordinates tokio funkcijos y = X1 -Ix -8 grafiko taško N, per

kurį nubrėžta liestinė šiam grafikui būtų lygiagreti tiesei y = -4x-4 .

3x-l 27*. a) Raskite funkcijos y = grafiko liestinių, sudarančių su Ox ašimi 45°

x + 8 kampą, susikirtimo su Oy ašimi taškų koordinates.

χ + 4 b) Raskite funkcijos y = grafiko liestinių, sudarančių su Ox ašimi 45°

x + 5

kampą, susikirtimo su Oy ašimi taškų koordinates.

28*. a) Raskite plotą trikampio, apriboto koordinačių ašimis ir hiperbolės / (*)= — χ

liestine, nubrėžta per tašką м(1; l).

2 b) Raskite plotą trikampio, apriboto koordinačių ašimis ir hiperbolės fix)= —

χ liestine, nubrėžta per tašką A/(l; 2).

29*.a) Parašykite funkcijos /(χ)=χ·1η(θ,5χ) grafiko liestinės, einančios per tašką,

kurio abscisė x0 = 2, lygtį.

b) Parašykite funkcijos f(x)= x \n{2x) grafiko liestinės, einančios per tašką,

kurio abscisė x0 = 0,5, lygtį.

30*.a) Parašykite funkcijos y = x-3x2 grafiko liestinės lygtį taške, kurio

abscisė x0 = 2 .

b) Parašykite funkcijos y = 2-^-x2 grafiko liestinės lygtį susikirtimo su

ordinačių ašimi taške.

31*. a) Ar tiesė ^ = 12x-10 yra funkcijos y = 4x} grafiko liestinė? Atsakymą

pagrįskite.

b) Ar tiesė y = —x + — liečia funkcijos y = -Jx grafiką? Atsakymą pagrįskite.

32*. a) Kuriuose abscisių ašies taškuose funkcijos / (х)=-х3-х2+5х grafiko

liestinės sudarys su abscisių ašimis bukąjį kampą.

b) Kuriuose abscisių ašies taškuose funkcijos g(x)=-2x3 + Ix1 + 2x + 3

grafiko liestinės sudarys su abscisių ašimi smailųjį kampą.

33*.a) Parašykite funkcijos f(x)=x2 grafiko liestinių, einančių per tašką

M(l;-3), lygtis.

b) Parašykite funkcijos f ( x ) = x2 -4x + 3 grafiko liestinių, einančių per tašką

Nfc- S), lygtis.

34*. a) Raskite p ir q reikšmes, su kuriomis tiesė y = x yra parabolės

y = χ1 + px+ q liestinė, einanti per tašką, kurio abscisė x0 = 2 .

b) Raskite ft ir c reikšmes, su kuriomis tiesė y = 4x+l yra parabolės

y = χ1 + bx + c liestinė, einanti per tašką kurio abscisė x0 = 1.

35*.a) Apskaičiuokite plotą trikampio, apriboto tiese y = 2-х, abscisių ašimi ir

parabolės y = 1 + 2x-x2 liestine, nubrėžta per tašką, kurio abscisė X0=O .

b) Apskaičiuokite plotą trikampio, apriboto tiesėmis y = χ , y =-χ ir

funkcijos y = Jx2 -5 grafiko liestine, nubrėžta per tašką м(3; l).

36*. a) Nubraižykite trikampius, apribotus koordinačių ašimis ir funkcijos

/ (*) = — grafiko liestinėmis, nubrėžtomis per taškus Л/(2; 2) ir N{-2;-2). χ

Apskaičiuokite šių trikampių plotus.

b) Nubraižykite trikampius, apribotus koordinačių ašimis ir funkcijos

/(*)=— grafiko liestinėmis, lygiagrečiomis tiesei y = -4x. Apskaičiuokite χ

šių trikampių plotus.

Raskite funkcijos f ( x ) reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus (37-57):

37. a) f(x)=7x-3 ; b) f(x)=6x+5.

38. a) /(x)=4-5x; b ) / ( x ) = 3 - 8*.

39. a) f(x)=2x2-8x + 3\ b) f{x)=x2-Ix-S .

40. a) f ( x ) = -3x2 + 9x-14 ; b) /(x)=10-8x-5x2 .

41. a

42. a

43. a

44. a

45. a

46. a

47. a

48*. a

49*. a

50*. a

51*. a

52*. a

53*. a

54*. a

55*. a

56*. a

57*. a

Λχ

Ax

f(x

f i x

Ax

Ax

Ax

Ax

Αχ

Αχ

Αχ

A

A

Αχ

Αχ

= x -12x + l 1;

= X3-Ix1-,

= 4x3 + 9x2 -12x + 6;

= — χ -χ -4x + 5; 3

= 1 +—χ2 -x-2x 3 ; 2

= 3x4 - 4x3 -12x2;

r3 r" _ ? Л Л = 1 + Зх 3 4

= 2x + 3

5x + l '

= 2x2 -Inx ;

= x2 -21nx;

= 2e*(x3+2x2);

= X2 ez;

= χ·1ηχ;

= 1п(х2-5х + б);

= 1п(7х-х2-б);

= sin 2 x — ; I 3 1

= c o s x — ; 2

/ O

/ O

/ O

A>

A>

Αχ

A

A

A

Αχ

A

A

Αχ

A

Αχ

A

Αχ

= 2-3x + x .

: 2 X 3 + X 2 .

:16x3-15X2-18X + 6.

= —χ3 +1 Ix2 -6x +4 .

: 4 + 6x-9x2 -20x3.

= 3x4 -4x3 -36x2 +5 .

_ 2 3 4 - 2 + X X -

3 4

4x+l

3x + l

:lnx-4,5x2

: —χ + 8 In χ .

= И X 3 - - X 2

Inx

X

:]n(x2-6x + 5).

: ln(5x-x2 -4).

: cos| 2x~ —

X •• sinx +— .

2

58. a) Įrodykite, kad funkcija f{x) = jx3+—x2+4x + 6 yra didėjanti visoje

realiųjų skaičių aibėje R.

b) Įrodykite, kad funkcija /(x)= 8-5x-y χ2 Уга mažėjanti visoje

realiųjų skaičių aibėje R.

59. a) Įrodykite, kad funkcija /(χ)= x3+4x yra didėjanti visoje realiųjų skaičių

aibėje R.

b) Įrodykite, kad funkcija f(x)=-x5 -8x yra mažėjanti visoje realiųjų skaičių

aibėje R.

60*.a) Įrodykite, kad funkcija /(x)=3 + 2x + sinx yra didėjanti visoje realiųjų

skaičių aibėje R.

b) Įrodykite, kad funkcija /(JC) =Cosx-3.x-5 yra mažėjanti visoje realiųjų

skaičių aibėje R.

61*. a) Įrodykite, kad funkcija /(x) = -e~x + 3x yra didėjanti visoje realiųjų skaičių

aibėje R.

b) Įrodykite, kad funkcija f(x)=e~x -Sx yra mažėjanti visoje realiųjų skaičių

aibėje R.

62*.a) Raskite visas α reikšmes, su kuriomis funkcija /(x) = yx3 +αχ2 +x-1 yra

didėjanti visoje realiųjų skaičių aibėje R.

b) Raskite visas α reikšmes, su kuriomis funkcija

f ( x ) = - j x 3 + Iax2 - χ + 5 yra mažėjanti visoje realiųjų skaičių aibėje R.

63*. a) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis funkcija /(χ) = π· S -12 χ-αχ -χ yra mažėjanti visoje realiųjų skaičių aibėje R.

b) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis funkcija / (*)= 2xs - Sax4 + IOx3 -15

yra didėjanti visoje realiųjų skaičių aibėje R.

Raskite funkcijos f(x) kritinius taškus ir nustatykite, kurie iš jų yra

maksimumo ir kurie - minimumo taškai (64-72):

64. a) f(x)=x2 -2x+6 ; b) f(x)=3x2 +6x-7 .

65. a) /(x)=5-4x-4x2 ; b) /(x)= 3-2x-x2 .

66. a) / (χ ) = χ -χ 3 ;

67. a) / (χ) = 2χ3 - 3χ2 -12χ - 7 ;

68. A ) / ( Χ ) = 2 + 1 8 Χ - 1 5 Χ 2 - 4 Χ 3 ;

69. a) / (χ) = χ4 -2χ2 -3 ;

70. a) / (χ )= χ4 -32χ + 1;

71*. a) / (χ )= 2χ + 4

b) / (χ)= χ3 -9χ .

b) f (χ)= 2χ3 + 9χ2 - 24χ +1.

b) / (χ) = 1 +12χ - 9χ2 -1 Ox3.

b) / (χ)= χ4 -8χ2 +6 .

b) / ( Χ ) = - Χ 4 + 4 Χ + 3 .

b) / (*)=-

11*.л) / ( Χ ) = 1 - 3 Χ + Χ 2 + Χ 2 . 3 X

χ-3

b) / (χ )=2-6χ + 9χ2+4χ3-9χ4 .

73*. a) Raskite funkcijos / (χ) =—cos 2χ +VIsinx kritinius taškus, priklausančius

intervalui [-2π;2π].

b) Raskite funkcijos / ( х )= 2>/зsinx-cos2x kritinius taškus, priklausančius

intervalui [~2π;2π].

74*. a) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis funkcija

/ (x)=(a 2 -3a + 2)cosy + (a-l )x + sinl neturi kritinių taškų.

b) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis funkcija

/ (χ) = (a 2 -1 Ια + 2δ) sin y - (a - 4)(x - V l ) + cos 2 neturi kritinių taškų.

Raskite funkcijos / (x) ekstremumus (75-87):

75. a) / (x ) = x2 -4x + 8 ; b) / (x )=-x 2 + 2x + 6 .

76. a) / (x )= 8x3 -X4 ;

77. a) / (x )= 2x3 -9x2 + 12x-8 ;

78. a) / (x)=3x 4-4x 3-12x 2+2 ;

79. a) / (χ) = χ3 +3x2 -1;

b) / (x) = 3x4 - 4x3.

b) / (x)=2x 3 -6x2 -18x + 3 .

b) / ( x ) = - x 4 - - X 3 - - X 2 + 2 . w W 4 3 2

b) f(x)= 2x3 -6x2 +5 .

80. a) f(x)=jx4 ; b ) / ( x ) = ~ x 6 .

81. a) F(x)=-jx3+ 3X2-5X ; b) /(x) = |x3-4x2 + 12x

82*.a) / ( r )= 3*"' i 1 — 4x

83*. a) /(x) = 4^-2) 5 ; b) /(x)=2(x + 2)5.

84*. a) / W = - ^ t ; l + x

b) / W = f - 3 . 3x-6

85*. a) /(х) = х 2еГ*; b ) / w = 4 · e

86*. a) f ( x ) = χ + ln(l - 2x); b) /(x)=ln(x-2)-2x.

87*. a) / (JC)= ;C 2-Inx; b) / M - A Inx

88*. a) / (*) = 1п(бх - JC2 - 5); b) /(x) = 1п(з + 2x - χ2).

Ištirkite funkciją /(χ) ir nubraižykite jos grafiką (89-103):

89. a) /(x)=x2-4x + 3 ; b) /(x)=-x2 + 2x + 3 .

90. a) / ( x )=x 3 - 3 x ; b) /(x)= 12x-x3.

91. a) /(x)=x3+6x2+9x; b) /(jc) = χ3 - 2x2 + χ.

92. a) f(x)= 3x5-Sxi; b) f{x)= x4 - 2x3.

93. a) /(x) = x4 -2x2 -3 ; b) /(x)=-x4 +4x2 +5 .

94. a) f(x)=3x2-x3; b) f(x)=x3-|x2.

95. a) f(x)=x"-4x3+4x2 ; b) /(x) = - ^x 4 + 4x2 .

96*. a) f ( x ) = i b) /(*)=- 2 x

χ +1 x2+4

97*.a ) / ( χ ) - _ i l _ ; b ) / ( χ ) = * ' ' χ2+3 ' ' " v ' X^+ 1

6x 9 8 * . a ) / ( x ) = ^ l > ; b)/(x)=- 2 .

χ +3 l+x

99*.a) /(x) = x + —; b ) / ( x ) = - + f χ χ 2

100*.a) /(x) = x2 •-Jl-X ; b) /(x)=(x-2)2 -Vx .

101*.a) /(x)= (б-х) л/х ; b) /(x)=x-V 12-x .

102*. a) /(x)=x2 -e~x ; b) /(x)=(x-2)-e*.

103*. a) /(x)= 2xe~0,Sl; b) /(x)= 4xe°'5x .

Raskite funkcijos /(x) didžiausią ir mažiausią reikšmę duotame intervale (104-134):

104. a) /(x) = x2-8x + 19 , xe[-l;5]; b)/(x)= 2x2-8x +16 , xe[-l;4].

105.a) /(x)=9-2x2+12x, xe[l;4]; b) /(x)=8-x2+4x , xe[l;5].

106.a) /(χ)= χ2 -2x-3, xe[0;3]; b) /(x) = x2-5x + 6 , xe[0;3].

107.a) /(x)=x2 - 6|x| + 8 , xe[-l;5]; b) /(x)=x2-4|x|+4, xe[-3;3].

108.a) /(x) = x3 -1, xe [-1; l]; b) /(x)=x3-3x ,xe[-3;З].

ι.a) /(x)=i-x4-2x2+3, xe[-l;2]; b) /(x)=x4-2x2 +5, xe[-2;2],

a) /(x) = x4 -8x2 -9 , xe[-l;3]; b) /(x)= x4-2x2+ 3 , xe[-4;3].

111.a) f (χ)= χ4 -2x2 +1, χ e [-0,5; 1,5]; b) /(x)=x4-8x2+3 , xe[-l;2].

112. a) /(x)=x4 -8x2 +10 , xe[-l;l]; b) / (x)=x4-8x2+3, xe[l;2],

113.a) /(x)=-3x7 , xe[0;l]; b) / (x)=-6x5 , xe[o,l;2],

114. a) /(x)=x3 -6x2 + 9 , xe[-l;2]; b) /(x)=-2x3+6x2-1, xe[-2;l].

109

110

115. a) /(χ) = 2χ3 + 9χ2 - 24χ +1, JC e [-2; l];

b) f (χ)= χ3 + 12*2 + 45x + 20 , χ e [-4;-2].

116. a) /(χ) = χ3 + 3x2 - 45x - 2 , xe[-6;0];

b) /(X)=X3-9X2+15X-3, xe[0;2].

117.a) /(x)=x3-6x2 + 9x + l , xe[0;2];

b) /(x)=x3 -3x2 +3x + 2 , χ e [-2; 2].

118.a) / ( x )=yx 3 -|x 2 + 6x, xe[l;4];

b) /(X)=X2(2X-3)-12(3X-2), хе[-3;б].

з 119.a) / ( x ) = y + yx 2 + 2x + 3, xe[-3;0];

3

b) /(x) = y-2x 2 +3x+ l , χ e [2; 4].

120.a) /(x)=3x4 + 4x3 +1, xe[-2;l];

b) f(x)=x5 -Sx4 +5x3 +1, χ e [-1; 2].

Л

121. a) f(x)=~x3 - 2x-l, χε[-2;θ]; b) / (х)=х 3+Зх, xe[0;2].

122. a) /(x) = x3-6x2 , χ e [-1; 5];

123*. a) /(x)=x + - , xe[-3;-l]; χ

124*.a) /(x)=x + 4- , л:e[l;3]; χ

125*.a) / ( x ) = ^ + - , xe[-5;-l]; 3 χ

126*.a) / ( x ) = 4 , xe[-l;l]; e

Г 3 127*. a) /(x)=x-21nx , χ e - ;e

b) /(x) = 18x2 + 8x3 - 3x4 , χ e

b ) / ( X ) = 2 X + 4 - .

b) f(x)=—^~, xe[-4;0], χ +4

b) / ( x ) = į + - , xe[l;6]. о X

b) f{x)=x2-e-\ xe[-l;3].

b) /(x) = 2x2 - In χ , χ e [l; e].

128*. a) /(χ)= ln(2x)-6x2 +Wx ,χ e [θ,5; 2]; b) f (χ)= χ • l n| j j , хе[|;5].

129*. a) /(χ) = log, (χ2 +х-г), хе[3;б]; b) / ( х ) =у ln(4-x2), xe[-l;l],

з

130*.a) /(x)=sin2x-x , xe[0; π]; b) /(x)=x-cos2x , хе " i ·

131*.a) /(x) = 2sinx + sin2x , xe 0; 3π

; b) f{x)= 2cosx-cos2x , χ s [θ; π].

; b) /(x)= cos2 χ+ sin χ , χ e

133*.a) /(x)=sinx-x, χε[-π;π]; b) / (x)=x + cos2x, xe

132*. a) /(x) = yC0s2x + sinx , χ e 0; — 2

0; — 2

134.a) Raskite funkcijos f(x)=~x}-9x2 +48x didžiausios ir mažiausios

reikšmių intervale [θ; 9] sumą.

b) Raskite funkcijos /(x)=8x3 + 12x2 +6x-7 didžiausios ir mažiausios

reikšmių intervale [-1;2] sumą.

135. a) Raskite funkcijos /(x)=x4-8x2+16 mažiausią reikšmę intervale [-3;-l];

b) Raskite funkcijos / (x)=x 4-2x 2+ 1 mažiausią reikšmę intervale [θ; 2].

136*. a) Raskite funkcijos f(x)= 4sin2 x + cos2 2x didžiausią reikšmę

π 3π intervale

4 4

b) Raskite funkcijos /(x)=cos2x-2cosx didžiausią reikšmę

intervale π π

~б'"б

137. a) Raskite du teigiamus skaičius, kurių suma būtų 10, o jų kvadratų suma-

mažiausia.

b) Raskite du teigiamus skaičius, kurių suma būtų 12, o jų kvadratų suma-

mažiausia.

138*. a) Raskite du teigiamus skaičius, kurių suma butų 147, o vieno iš jų sandauga

su kvadratine šaknimi iš kito - didžiausia.

b) Raskite du teigiamus skaičius, kurių sandauga būtų 32, o pirmojo skaičiaus ir

kvadratinės šaknies iš antrojo suma - mažiausia.

139. a) Raskite du teigiamus skaičius, kurių suma būtų 120, o vieno iš jų sandauga

su kito kvadratu - didžiausia.

b) Raskite du teigiamus skaičius, kurių suma būtų 6, o vieno iš jų ir kito

kvadrato suma būtų mažiausia.

140. a) Skaičių 48 išreikškite dviejų teigiamų dėmenų suma taip, kad pirmojo

dėmens kubo ir antrojo dėmens kvadrato suma būtų mažiausia.

b) Skaičių 36 išreikškite dviejų teigiamų dėmenų suma taip, kad pirmojo

dėmens ir antrojo dėmens kvadrato sandauga būtų didžiausia.

141.a) Vienas iš dviejų skaičių 36 vienetais didesnis už kitą. Raskite tuos skaičius,

jei žinoma, kad jų sandauga įgyja mažiausią reikšmę.

b) Žinoma, kad vienas iš dviejų skaičių 28 vienetais mažesnis už kitą. Raskite

tuos skaičius, jei jų sandauga įgyja mažiausią reikšmę.

142*. a) Skaičiaus ir jo dvigubo kvadrato skirtumas didžiausias. Raskite tą skaičių.

b) Kvadratinės šaknies iš teigiamojo skaičiaus ir paties skaičiaus skirtumas yra

didžiausias. Raskite tą skaičių.

143. a) Iš kokio teigiamo skaičiaus reikia atimti jo kubą, kad gautasis skirtumas būtų

didžiausias?

b) Raskite teigiamą skaičių tokį, kad iš tris kartus padidinto jo kubo atėmę patį

skaičių, gautume mažiausią skirtumą.

144. a) Skaičius 24 išreikštas trijų teigiamų dėmenų suma taip, kad antrasis dėmuo 3

kartus didesnis už pirmąjį. Raskite tuos dėmenis, kai jų sandauga didžiausia

(iš visų galimų).

b) Skaičius 180 išreikštas trijų teigiamų dėmenų suma taip, kas dviejų iš jų

santykis lygus l : 2 , o visų trijų dėmenų sandauga yra didžiausia (iš visų

galimų). Raskite šiuos dėmenis.

145. a) 80 cm ilgio viela sulenkta taip, kad susidariusio stačiakampio plotas yra

didžiausias. Raskite tą didžiausią plotą.

b) Šalia namo sienos yra stačiakampis žemės sklypas, kurį reikia aptverti 16 m ilgio vielos tinklu. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad jo plotas būtų

didžiausias?

146. a) Reikia aptverti stačiakampio formos sklypą 200 m ilgio vielos tinklo tvora.

Kokios turi būti stačiakampio kraštinės, kad jo plotas būtų didžiausias?

b) Reikia aptverti stačiakampio formos sklypą 240 m ilgio vielos tinklo tvora.

Kokios turi būti stačiakampio kraštinės, kad jo plotas būtų didžiausias?

147.a) Stačiakampio plotas lygus 25 m2. Kokios turi būti stačiakampio kraštinės,

kad perimetras būtų mažiausias?

b) Stačiakampio perimetras lygus 16 cm. Kokios turi būti stačiakampio

kraštinės, kad jo plotas būtų didžiausias?

148*. a) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 20 cm. Su kuria šoninės kraštinės

ilgio reikšme trikampio plotas yra didžiausias?

b) Lygiašonio trikampio perimetras lygus 60 cm. Su kuria aukštinės, nubrėžtos į

trikampio pagrindą, ilgio reikšme šio trikampio plotas yra didžiausias?

149*. a) Iš skritulio formos plokštelės, kurios spindulys 20 cm, reikia išpjauti

didžiausio ploto stačiakampį. Kokios turi būti šio stačiakampio kraštinės?

b) Iš skritulio formos plokštelės, kurios spindulys \0 cm, reikia išpjauti

didžiausio ploto statųjį trikampį. Kokie turi būti šio trikampio statiniai?

150*. a) Knygos puslapyje tekstas turi užimti

384c/?)2. Viršutinis ir apatinis laukeliai turi

būti po 3 cm, o kairysis ir dešinysis po 2 cm.

1) Teksto plotį EF pažymime x. Parody-

1536 kite, kad lapo plotas S(x)=6x + + 408 .

χ

2) Raskite, kokio ilgio ir pločio lapo plotas

yra mažiausias.

b) Knygos puslapyje tekstas turi užimti

243cm2. Viršutinis ir apatinis laukeliai turi

būti po 3 cm, o kairysis ir dešinysis po 1 cm.

1) Teksto plotį EF pažymime x. Parody-

486 kite, kad lapo plotas S(x) = 6x + + 255 .

χ

2) Raskite, kokio ilgio ir pločio lapo plotas

yra mažiausias?

151*. a) Nagrinėjame trapeciją ABCD, kurios šoninės kraštinės ir mažesnysis

pagrindas yra vienodo ilgio ir lygūs 8 cm. Atkarpa BE - trapecijos aukštinė.

1) Pažymėję AE = χ , parodykite, kad B1 1 VC

trapecijos plotas S(x)=(8 + х)-л/б4-х2 .

2) Koks turi būti didesniojo pagrindo AD ilgis, kad trapecijos plotas būtų didžiausias?

b) Nagrinėjame trapeciją ABCD, kurios šoninės kraštinės ir mažesnysis

pagrindas yra vienodo ilgio ir lygūs 6 cm. Atkarpa BE - trapecijos aukštinė.

1) Pažymėję AE = X , parodykite, kad

trapecijos plotas S(x) = (б + х)· л]36-χ1 .

2) Koks turi būti didesniojo pagrindo AD ilgis, kad trapecijos plotas būtų didžiausias?

152. a) Kvadratinio kartono lapo, kurio kraštinė lygi 6 dm, kampuose išpjauti lygūs kvadratai. Sakykime, vienos

kvadrato kraštinės ilgis lygus χ cm. Sulenkę kraštus

gauname stačiakampio gretasienio formos atvirą dėžutę.

1) Parodykite, kad dėžutės tūris yra

f(x)=4x3 -24x2 +36χ (dm3).

2) Su kuria χ reikšme dėžutės tūris bus didžiausias?

b) Kvadrato formos skardos lapo, kurio kraštinė lygi

54 cm, kampuose išpjauti lygūs kvadratai. Sakykime,

vienos kvadrato kraštinės ilgis lygus χ cm. Sulenkę

kraštus gauname atvirą stačiakampio gretasienio

formos dėžutę.

1) Parodykite, kad dėžutės tūris yra

V(x)=4x3 - 2\6x2 +2916* (cm3).

2) Su kuria χ reikšme dėžutės tūris bus didžiausias?

6 dm

54 cm

153*. a) Į statųjį trikampį, kurio statinių ilgiai yra 18 cm ir 24 cm, įbrėžtas

didžiausio ploto stačiakampis taip, kad vienas iš jo kampų sutampa su

trikampio stačiuoju kampu. Raskite tokio stačiakampio kraštinių ilgius,

b) Į stačiąją trapeciją, kurios pagrindų ilgiai yra 24 ir 8 cm, o aukštinės ilgis

lygus 12 cm, įbrėžtas didžiausio ploto stačiakampis taip, kad dvi jo viršūnės yra

trapecijos šoninėse kraštinėse, o kitos dvi - trapecijos pagrinde. Raskite tokio

stačiakampio kraštinių ilgius.

154*. a) Kūgio sudaromoji lygi 2 0 - У з cm. Kokio ilgio turi būti kūgio aukštinė, kad

jo tūris būtų didžiausias?

b) Kūgio sudaromoji lygi 2л/б cm. Kokio ilgio turi buti kūgio pagrindo

spindulys, kad jo tūris būtų didžiausias?

155*. a) Raskite ritinio aukštinės ir pagrindo spindulio ilgių santykį, jei žinoma, kad

ritinio tūris lygus V, o jo viso paviršiaus plotas yra mažiausias?

b) Raskite kūgio aukštinės ir pagrindo spindulio ilgių santykį, jei žinoma, kad

kūgio tūris lygus V, o jo šoninio paviršiaus plotas yra mažiausias?

156*. a) Reikia pagaminti atvirą stačiakampio gretasienio formos akvariumą, kurio

dugnas yra kvadrato formos, talpinantį 32 ( vandens. Kokie turi būti

akvariumo matmenys, kad jam pagaminti būtų sunaudota mažiausiai medžiagų?

b) Reikia pagaminti 343 dm" tūrio uždarą stačiakampio gretasienio formos

seifą, kurio dugnas yra kvadrato formos. Kokie turi būti seifo matmenys, kad

jam pagaminti būtų sunaudota mažiausiai metalo?

157. a) Iš visų taisyklingųjų trikampių prizmių, kurių tūris lygus 16 cm3 , raskite

tokią, kurios viso paviršiaus plotas būtų mažiausias. Atsakyme nurodykite

tokios prizmės pagrindo kraštinės ilgį.

b) Iš visų ritinių, kurių tūris lygus 16π/π3, raskite tokį, kurio viso paviršiaus

plotas būtų mažiausias. Atsakyme nurodykite tokio ritinio pagrindo spindulio

ilgi-

158*. a) Taisyklingosios trikampės prizmės pagrindo kraštinės ir šoninės briaunos

ilgių suma lygi 3 m. Kokį didžiausią tūrį gali turėti tokia prizmė?

b) Ritinio ašinio pjūvio perimetras lygus 6 cm . Kokį didžiausią tūrį gali turėti

toks ritinys?

159*. a) Raskite įbrėžto į sferą didžiausio tūrio ritinio aukštinę, jei sferos spindulys

lygus 6 cm .

b) [ sferą, kurios spindulio ilgis lygus 12 cm, įbrėžtas didžiausio tūrio kūgis.

Raskite šio kūgio aukštinės ilgį.

160*. a) Apie sferą, kurios spindulio ilgis lygus 8 cm, apibrėžtas mažiausio tūrio

kūgis. Raskite šio kūgio pagrindo spindulio ir aukštinės ilgius,

b) Iš visų kūgių, kurių sudaromosios ilgis yra 12 cm, raskite tokį, kurio tūris yra

didžiausias. Atsakyme nurodykite šio kūgio aukštinės ilgį.

161*. a) Taisyklingosios keturkampės prizmės viso paviršiaus plotas lygus 6 m2.

Raskite šios prizmės didžiausią tūrį, jeigu žinoma, kad jos kraštinės ilgis gali

įgyti bet kurias reikšmes iš intervalo (θ,5; л/з).

b) Taisyklingosios keturkampės prizmės tūris lygus 8 тъ. Raskite mažiausią

šios prizmės viso paviršiaus plotą, jeigu žinoma kad jos pagrindo kraštinės ilgis

gali įgyti bet kurias reikšmes iš intervalo (l; 4).

162*. a) Taisyklingosios keturkampės piramidės SABCD šoninės sienos plotas lygus

Idm2, o atkarpos CD ilgis (decimetrais) gali įgyti bet kurią reikšmę iš

intervalo [l;3]. Raskite paviršiaus plotą piramidės, kurioje atkarpos CD ir

apotemos ilgių suma yra mažiausia.

b) Ritinio ašinio pjūvio perimetras lygus 8 dm, o pagrindo skersmens ilgis

(decimetrais) gali įgyti bet kurias reikšmes iš intervalo [l; з ] . Raskite šoninio

paviršiaus plotą ritinio, kurio ašinio pjūvio plotas yra didžiausias.

163*. a) Nagrinėjama aibė stačiakampių, kurių dvi viršūnės yra atitinkamai

koordinačių ašyse Ox ir Oy, trečioji viršūnė - koordinačių pradžios taške (θ; θ),

o ketvirtoji - parabolėje y = -j -x 2 . Iš visų tokių stačiakampių reikia rasti tokį,

kurio:

a) plotas yra didžiausias; b) perimetras yra didžiausias.

Atsakyme nurodykite surastųjų stačiakampių kraštinių ilgius.

164*. a) Atstumas nuo smėlio karjero S iki plytų gamyklos P, įsikūrusios prie

automagistralės, lygus 30 km. Smėlio karjeras nutolęs nuo magistralės per

24 km. Statybos bendrovė nutarė nutiesti

žvyro kelią SK nuo žvyro karjero iki automa-

gistralės. Sakykime, kad atstumas nuo plytų

gamyklos P iki kryžkelės lygus x, t.y. PK= x. Krovininės mašinos greitis automagistralėje

yra 52 km/h , o žvyro keliu 20km/h .

1) Parodykite, kad atstumas SK = y]242 +(18-*)2 .

2) Parodykite, kad laikas T, sugaištamas smėliui atvežti iš karjero S į plytų

χ yj242+(18-x)2

20 3) Su kuria χ reikšme laikas T, sugaištamas smėliui atvežti, yra pats mažiausias.

gamyklą P, lygus T = — — + ^

b) Visureigis V, esantis pelkėtoje vietovėje 27 km atstumu nuo greitkelio, turi

atvežti darbininkus į gyvenvietę G, esančią

šalia greitkelio. Atstumas AG lygus 45 km . Visureigio greitis greitkeliu lygus 55 km I h , o pelkėta vietove - AAkm/h . Sakykime, kad

visureigis išvažiuoja į greitkelio tašką S, esantį χ km atstumu nuo gyvenvietės G.

1) Parodykite, kad atstumas VS = J272+(45-x)2 .

2) Parodykite, kad laikas T, sugaištamas darbininkams atvežti į gyven-

V272 +(45-x)2 χ vietę G, lygus T = — + —-.

44 55

3) Su kuria χ reikšme laikas T, reikalingas darbininkams atvežti, yra pats

mažiausias?

165*. a) Raskite parabolės y = x2 tašką, artimiausią taškui -^j . Atsakyme

nurodykite šio taško koordinates.

f I \ , ι b) Raskite trumpiausią atstumą nuo taško M —; 1 iki parabolės y = χ + -

A J 2

166*. a) Lietaus lašas krinta veikiamas sunkio jėgos, o jo masė dėl garavimo toly-2

giai mažėja pagal dėsnį m(t)= 1 -—t. (m matuojama gramais, t - sekundėmis).

Po kurio laiko nuo kitimo pradžios lašo kinetinė energija bus didžiausia?

b) Prietaisas prijungtas prie elektros srovės šaltinio, kurio elektrovaros jėga

ε = 220 V, o vidinė varža r = 50 Ω . Kokia turi būti prietaiso varža R, kad jo

naudojama galia būtų didžiausia? (Remiantis Omo dėsniu, elektros srovės C -y

stipris grandinėje / = — — , srovės imtuvo galia P = I R). R+r

167*. a) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties x2+ax + a- 2 = 0 šaknų kvadratų

suma būtų mažiausia?

b) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties х2-(а-1)г + а-1 = 0 šaknų kvadratų

suma būtų mažiausia?

168*. a) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties χ2 -(α + ΐ)χ + α2 -— = 0 šaknų

kvadratų suma būtų didžiausia?

b) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties χ2 -(α + 3)χ+α2 +5α + 6 = 0 šaknų

kvadratų suma būtų didžiausia?

169*. a) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties x2-(a-l)x +a+4=0

diskriminantas būtų mažiausias?

b) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties χ1 -(α + ΐ)χ + α-3 = 0

didkriminantas būtų mažiausias?

170*. a) Kokia turi būti a reikšmė, kad lygties x2 -ax + a2 -Aa = 0 šaknų

sandauga būtų mažiausia?

b) Kokia turi būti a reikšmė, kas lygties χ2—{α + ί)χ+2α — α2 =0 šaknų

sandauga būtų didžiausia?

171*. a) Reikia pagaminti langą, kurio forma yra

stačiakampis ir pusapskritimis virš jo (žr.

brėžinį) šviesos kiekis, patenkantis į vidų, yra

proporcingas lango plotui. Lango perimetras

turi būti lygus 9 m. Koks turi būti stačiakam-

pio aukštis h ir pusapskritimio spindulys r, kad pro langą patektų daugiausiai šviesos?

b) Iš metalinių vamzdžių reikia pagaminti

rėmą, sudarytą iš keturių vienodų stačia-

kampių ir vieno pusapskritimio (žr. brėžinį).

Bendras vamzdžių ilgis turi būti lygus 36 m. Koks turi būti vieno stačiakampio ilgis a ir

plotis b, kad rėmo plotas būtų didžiausias?

172*. a) Materialaus taško judėjimas aprašomas lygtimi s(t) = 6tL - I i , kur nueitas

kelias 5 išreikštas metrais, o laikas /-sekundėmis. 1) Raskite taško judėjimo

greičio priklausomybės nuo laiko išraišką v(/). 2) Su kokia t reikšme judėjimo

greitis yra didžiausias? 3) Raskite šį didžiausiąjudėjimo greitį.

b) Materialaus taško judėjimas aprašomas lygtimi s(t)= 18i2 +10/-2/3, kur

nueitas kelias s išreikštas metrais, o laikas /-sekundėmis. 1) Raskite taško

judėjimo greičio priklausomybės nuo laiko išraišką v(/). 2) Su kokia / reikšme

judėjimo greitis yra didžiausias? 3) Raskite šį didžiausiąjudėjimo greitį.

173*. a) Reikia pagaminti 32 dm3 talpos stačiakampio gretasienio formos kartoninę

dėžę be dangčio. Dėžės dugnas turi būti kvadratas. Kokie turi būti dėžės

matmenys, kad jai pagaminti reikėtų mažiausiai kartono?

b) Reikia pagaminti 8 dm3 talpos ritinio formos indą (be dangčio). Koks turi

būti ritinio pagrindo spindulys ir aukštinė, kad jam pagaminti būtų sunaudota

mažiausiai lakštinio metalo?

/

-Q

\

v.

K a >

174*. a) Į kūgį, kurio aukštinė lygi 24 cm, o pagrindo spindulys - 9 cm , įbrėžtas di-

džiausio tūrio ritinys. Raskite šio ritinio pagrindo spindulio ir aukštinės ilgius,

b) Į kūgį, kurio aukštinė lygi 12cm, o pagrindo spindulys - 4cm, įbrėžtas

didžiausio paviršiaus ploto ritinys. Raskite šio ritinio pagrindo spindulio ir

aukštinės ilgius.

175*. a) Reikia pagaminti kūgio formos piltuvėlį, kurio sudaromoji būtų lygi

15 cm . Koks turi būti piltuvėlio aukštis, kad jo tūris būtų didžiausias?

b) 20 cm ilgio viela buvo sulenkta taip, kad susidarė didžiausio ploto skritulio

išpjova. Raskite šios išpjovos centrinį kampą (radianais).

176*. a) Iš visų taisyklingųjų trikampių prizmių, kurių šoninės sienos įstrižainės

ilgis lygus У з m, išrenkama prizmė, turinti didžiausią turį. Atsakyme

nurodykite, kam lygus šios prizmės tūris.

b) Nagrinėjama prizmių, kurių pagrindas yra statusis lygiašonis trikampis, o

didesniosios šoninės sienos įstrižainė lygi 2Λ/3 m, aibė. Iš šios aibės išrenkama

prizmė, turinti didžiausią tūrį. Atsakyme nurodykite, kam lygus šios prizmės

tūris.

177*. a) Iš visų taisyklingųjų trikampių prizmių, kurių trijų briaunų, turinčių bendrą

viršūnę, ilgių suma lygi 4 dm, raskite tą kurios šoninio paviršiaus plotas būtų

didžiausias. Atsakyme nurodykite šios prizmės aukštinės ilgį.

b) Iš visų taisyklingųjų keturkampių prizmių, kurių šoninės sienos perimetras

lygus 2 m , raskite tą kurios tūris būtų didžiausias. Atsakyme nurodykite šios

prizmės aukštinės ilgį.

178*. a) Iš visų taisyklingųjų trikampių piramidžių, kurių apotemos ilgis lygus

4л/з dm , raskite piramidę, turinčią didžiausią turį. Atsakyme nurodykite, kam

lygus šios piramidės tūris.

b) Iš visų taisyklingųjų trikampių piramidžių, kurių šoninės briaunos ilgis lygus

3 dm, raskite piramidę, turinčią didžiausią tūrį. Atsakyme nurodykite, kam

lygus šios piramidės tūris.

179*. a) Iš visų taisyklingųjų keturkampių piramidžių, kurių apotemos ilgis lygus

2-Уз dm, raskite tą, kurios tūris yra didžiausias. Atsakyme nurodykite šios

didžiausio tūrio piramidės aukštinės ilgį.

b) Iš visų taisyklingųjų trikampių piramidžių, kurių šoninės briaunos ilgis lygus

лЯ m , raskite tą, kurios turis yra didžiausias. Atsakyme nurodykite šios

didžiausios tūrio piramidės aukštinės ilgį.

180*. a)IS visų kūgių, kuriuose aukštinės ir pagrindo spindulio ilgių suma lygi 3 dm, išrenkamas kūgis, turintis didžiausią tūrį. Raskite šio didžiausio tūrio kūgio

sudaromosios ilgį.

b) Iš visų kūgių, kuriuose sudaromosios ir pagrindo skersmens ilgių suma lygi

4dm, išrenkamas kūgis, turintis didžiausią šoninį paviršių. Raskite šio

didžiausio tūrio kūgio sudaromosios ilgį.

181*. a) Du kūnai pradeda judėti vienu metu

tiesėmis A O ir ВО, susikertančiomis stačiu kampu.

Pirmasis kūnas juda tiese AO 10— greičiu iš j

taško A link taško O, o antrasis kūnas juda tiese

BO 5— greičiu iš taško B link taško O (žr. pa-j

veiksle). Žinoma, kad AO = 100m , BO = 200m.

1) Parodykite, kad po t sekundžių nuo judėjimo pradžios atstumas i tarp

kūnų (kaip laiko funkcija) yra išreiškiamas formule s(t)= 5-\/2000 — 160ί + 5/2 .

2) Su kuria t reikšme atstumas tarp kūnų bus mažiausias?

3) Raskite šį mažiausią atstumą tarp kūnų .

Atsakymą parašykite dešimtųjų tikslumu. Pastaba. į kūnų matmenis

neatsižvelkite, t.y. juos laikykite materialiaisiais taškais.

B' ' I

E ψ

o

(N

" I ^ a

0 1 0 0 m A

b) Iš taškų A ir B, tarp kurių atstumas

120 km, tuo pačiu metu, rodyklėmis

nurodytomis viena kitai statmenomis

kryptimis pradeda važiuoti motociklininkas

km

3 0 ^ h

10T j

greičiu ir dviratininkas - 10-3 0 ^ h

greičiu.

1) Parodykite, kad po t valandų nuo judėjimo pradžios atstumas s tarp

motociklininko ir dviratininko (kaip laiko funkcija) yra išreiškiamas formule

s(t) = 1 Ολ/ΐΟί2 - lit + 144 .

2) Su kuria t reikšme atstumas tarp motociklininko ir dviratininko bus

mažiausias?

3) raskite šį mažiausią atstumą. Atsakymą parašykite dešimtųjų tikslumu.

Pastaba. į transporto priemonių matmenis neatsižvelkite, t.y. jas laikykite

materialiaisiais taškais.

182*. a) Du tiesus keliai kertasi stačiu kampu. Prie sankryžos artėja du automobiliai.

ktn kin Pirmuoju keliu automobilis važiuoja 6 0 — greičiu, o antruoju-80 —

h h greičiu. 12 valandą abi mašinos buvo nutolusios nuo sankryžos 10 km atstumu.

Po kurio laiko atstumas tarp mašinų bus mažiausias? ( automobilių

matmenis neatsižvelkite, t.y. juos laikykite materialiaisiais taškais. Pastaba.

Laikas pradedamas skaičiuoti nuo 12 valandos,

b) Du tiesūs keliai kertasi stačiu kampu. Prie sankryžos artėja du automobiliai.

ktn ktn Pirmuoju keliu automobilis važiuoja 5 0 — greičiu, o antruoju-60—.

h h 9 valandą pirmasis automobilis buvo nutolęs nuo sankryžos 2 km atstumu, o

antrasis - 3 km atstumu. Po kurio laiko atstumas tarp automobilių bus

mažiausias? Į automobilių matmenis neatsižvelkite, t.y. juos laikykite

materialiaisiais taškais. Pastaba. Laikas pradedamas skaičiuoti nuo 9 valandos.

183*. a) Trys taškai A, B ir C išsidėstę taip, kad

ZABC = 60°. Iš taško A link taško B

išvažiuoja dviratininkas 2 0 — greičiu, o iš h

taško C link taško B išvažiuoja

motociklininkas 3^ greičiu. Žinoma,

kad AB = IOkm, BC = IOkm. 1) Parodykite, kad po laiko t nuo judėjimo pradžios atstumas tarp

dviratininko ir motociklininko (kaip laiko funkcija) apskaičiuojamas pagal

formulę s{t)=\oJlt2-9t + 3 .

2) Po kurio laiko t nuo judėjimo pradžios atstumas tarp dviratininko ir

motociklininko bus mažiausias?

3) Raskite šį mažiausią atstumą. Į dviračio ir motociklo matmenis

neatsižvelkite, t.y. abi transporto priemones laikykite materialiaisiais taškais.

b) Trys taškai A, B ir C nėra vienoje tiesėje, be

to, ZABC = 60°. Iš taško A link taško B

išvažiuoja lengvasis automobilis 80 — h

greičiu, o iš taško B link taško C -

krovininis automobilis ^Oy- greičiu.

Žinoma, kad AB = 200 km .

1) Parodykite, kad po laiko t nuo judėjimo pradžios atstumas s tarp

automobilių (kaip laiko funkcija) apskaičiuojamas pagal formulę

j(/)=10Vl29/2-420/ + 400 .

2) Po kurio laiko t nuo judėjimo pradžios atstumas tarp automobilių bus

mažiausias?

3) Raskite šį mažiausią atstumą. Į automobilių matmenis neatsižvelkite, t.y.

juos laikykite materialiaisiais taškais.

184. a) Atlikus bandymus, nustatyta, kad tam tikros markės automobilio degalų

sunaudojimas (litrais), priklausomai jo greičio, kiekvieniems IOOArm kelio

išreiškiamas formule /(v)= 18-0,3v + 0,003v2, kur v - automobilio greitis,

išreikštas — . h

1) Raskite, kiek degalų (litrais) sunaudos automobilis 100 km kelio, jei jis

važiuos 100—, 7 5 — ir 4 0 — greičiu. h h h

2) Raskite, kokiu greičiu turi važiuoti automobilis, kad sunaudotų

mažiausiai degalų.

b) Atlikus bandymus, nustatyta, kad tam tikros markės automobilio degalų

sunaudojimas (litrais), priklausomai nuo jo greičio, kiekvieniems 100 te kelio

išreiškiamas formule f (v)= 21 -0,55v + 0,0066v2, kur v - automobilio greitis,

·. ·,» km išreikštas — .

h 1) Raskite, kiek degalų (litrais) sunaudos automobilis 100 km kelio, jei jis

važiuos 100— , 5 0 — ir 8 0 — greičiu. h h /i

2) Raskite, kokiu greičiu turi važiuoti automobilis, kad sunaudotų mažiausiai

degalų.

185*.a) Duoti taškai Λ(2;θ) ir 5(4; з). Ordinačių ašyje raskite tašką M tokį, kad

atkarpų AM ir BM ilgių suma būtų mažiausia. Atsakyme nurodykite šio taško

koordinates.

b) Duoti taškai /ф ;3 ) ir B{A\5). Abscisių ašyje raskite tašką N tokį, kad

atkarpų AN ir BN ilgių suma būtų mažiausia. Atsakyme nurodykite šio taško

koordinates.

186*. a) Į pusapskritimį, kurio spindulys lygus 4 cm, įbrėžta didžiausio ploto

lygiašonė trapecija taip, kad jos ilgesnysis pagrindas yra pusapskritimio

skersmuo. Raskite tokios trapecijos mažesniojo pagrindo ilgį.

b) Į pusapskritimį, kurio spindulys lygus 5 cm, įbrėžtas didžiausio perimetro

stačiakampis taip, kad jo pagrindas yra pusapskritimio skersmenyje. Raskite

tokio stačiakampio kraštinių ilgius.

187. a) Į apskritimą, kurio spindulys R = VT8 cm, įbrėžtas didžiausio ploto stačia-

kampis. Raskite to stačiakampio ilgį ir plotį.

b) { apskritimą įbrėžtas stačiakampis, kurio perimetras lygus 40 cm, o plotas

yra didžiausias. Raskite apskritimo skersmens ilgį ir stačiakampio plotą.

* * *

7*. P i rmykš tė funkc i ja ir integralas

7.1*. PirmykStė funkcija ir neapibrėžtinis integralas

Raskite funkcijos f{x) visas pirmykštes funkcijas (1-40):

1*. а) /(x)=-7x+4 ; b) / (* )= 2x-\.

2*. a) f{x)=x3 ·, b) / (x)=x5 .

3*. a) /(x) =2 Ix6; b ) / (x )=5x 4 .

4*. a) /(x) = 3x2 + 2x-l ; b) /(x)=2-4x-2x2 .

5*. a)/(x)=3x2+4x + 5; b) /(x)=6x2+ 8x+7.

6*. a) / (x)=5x 2-7x + 3; b ) / (x )= 2x2+3x-8 .

7*. a) /(x)=5x4-3x2 ; b) f(x)= 4x3-6x5.

8*. a) /(x)=(2x-l)5 ; b) /(x) = (3x + 2)7.

9*. a) /(x)=(2x + 3)3; b) /(x)=(3x-2)4.

10*.a) /(x)=x5+-i-; b) /(x) = x3+-L-χ χ

2 3

11*.a) /(x)=x3 ; b) f(x)=xs.

12*.a) /(x)=(2x + 5)f ; b) /(χ)=(3χ-2)Τ.

13*.а) /(х)=л/4x+7 ; b) /(х)=л/бх-5 .

6

15*. а) /(х) =ЗУ^ ; b) /(x) = 6 ^ .

16*.a) /(x)= 4Vx ; b ) / (x )=6V7 .

17*.a) / ( x ) = - į L ; b) /(*)=- 4

18*.a) / (*)= - į ; b ) / ( x ) = 1 L .

v* V*

19*.a) /(*) = J l ^ ·

20*. a) f(x)=-j== ·,

21*.a) f{x)= 3simc;

= Sin1 (3*-4); 22*. a) f ( x )

23*.a) / ( x ) = 2 c o s A : - 3 s i n x ;

24*. a) f{x)

25*. a) f{x)

26. a) Ąx)

27*. a) fix)

28*. a) fix)

29*. a) fix)

• 2 - cos — χ į U = cos(5x);

= 4cos(2x);

sin2 χ

sin2 (3x)'

1

cos2 — + 2x

30*. a) fix)

31*. a) fix)

32*. a) /(*)

33*. a) fix)

34*. a) fix)

= 2sinl-jl + 3cos(6x);

= 7sinf —1 + - 2

3 J cos2 (4*)'

= sin χ;

2 X • 2 * . cos у— sin — ;

Th+sinHy

b) /(*)=

b) fix)=

Vl-2* '

•Jlx + l

b) /(x)=yc0sx.

b) fix) = cosf 2x + y J .

b) /(x)=4sinx + 3cosx.

b) fix)= l + sin(l-x).

b) /(x)=sin(3x).

b) /(x)=8sin(2x).

b) fix)= COS2 X

b) fix)= 2 CO"

b) fix)=

cos"(5x)

1

. , L Π sin 3x + —

b) /(x)=4cos|jJ + 5sin(l5x).

b) /(x)=5cosi^ ' 7 J sin2 (бх)

b) / W = : COS2 X .

b) fix)= S i n y C O S y .

35*. a) f (χ) =2"; b) f{x) = 3x .

36*. a) f (χ)= 23 ' ; b) f ( x ) = 3Ąx .

- X - 2 i I

37*.a) f(x)=5*X~ ; b) /(x)=22*+ .

38*. a) f(x)=e2x'3; b ) / ( * ) = e 3 ' + 2 .

39*. a) / ( * ) = — b ) / (*) = 2 2-3* w 4*-l

3 . . , / 4 , 7 40*.a) / ( * )=2 +—-—; b) / ( * )=5

w 8*-l ^ w 9*-2

Raskite funkcijos / (*) pirmykštę funkciją F{X) , tenkinančią nurodytą

sąlygą (40-48):

41*.a) /(*)=1 + | , /-(1)=3; b ) / ( * ) =2 + 4* , F(-l)=l .

42*. a) f(x)=x-3x2, f(0)=2; b) / (*)= 2* + 6*2, F(l)=5.

43*.a) / ( * )=* 3 +2, F(2)=15; b ) / ( * ) = * 3 -3* , F(2)=25.

44*.a) / ( * ) = , ' F ( - 2 ) = į ; b) / (* )= —-Цт-, f(-4)=3. (2*+ 5 ) 2 V 7 2 3

r3

'

45*.a) / ( * ) = _ Ц , F ( 4 ) = 5 ; b) / (*) = -=L=, F ( O ) = | .

л/2*+1 л/1-З* 3

46*.a) / (* )= cos[*-|], f ( | ] = 1; b) / (*) = s i n [ *- i j , ^ ) - 2 .

47*.a) / ( * ) = - į - , f W = 2; b) / ( * ) = - ^ , f i j l - J . cos * ^ 4 y sin * I 4 У

4 8 * . a ) / ( * ) = _ > , F f

Cos2I 2*- — 4 ,

sin 3*

Raskite funkcijos /(χ) pirmykštę

tašką M (49-72):

49*. a)

funkciją, kurios grafikas eina

50*. a

51*.a

52*. a

53*. a

54*. a

55*. a

56*. a

57*. a

58*. a

59*. a

60*. a

61*.a

62*. a

63*. a

/ O

/ O

/ O

/ O

/ O

/ t

/ ( ;

/ ( ;

Ax

/C

/(·

/ ( *

/(-

/C

/ ( *

= 2*-2 , Λ/(ΐ;-5);

= X3, М(2; l);

= (2* + 5) 6 , Λ/(-2;3) ;

= - 4 - Л/(-2;1);

= V i , л/(4;б);

- - L - I 1 Л/(1;-3); Vx *

V s ^

= sin(2x), Λ/(θ;ΐ);

= 2sin(3x), M

= 2cos — , Λ/(2π; θ);

= 2cos 2|- l , Λ/ί|;16|;

COS2 X • - ( H i

sin2 (Зх)' 112

1

. л / f e - i ] ; b

- , M π π 4 '32

/ (χ)=-2χ-6, М(-2; 7).

/(χ)= χ4 , Λ/(θ; ΐ).

/(χ)=(3χ + 1θ)8, Λ/(-3;4).

/ W = - T - Λ/(-3;2). χ

/W=-V. л ф ; - з ) . χ

/ W = - L , Λ/(9;-2).

VX

/ W = V i + - , Λ/(ΐ;1θ). χ

/(χ)= V5x-1 , Λ/(ΐ;2).

/(x)=cos(3x),

/(x)=3cos(2x), Л/|Д;0

/ (x )=2s in 2 | , Λ/(π; θ).

/ ( x ) = l - 2 s i n 2 i , Л/ |;15

/ W = - L - , F f - 2 , ) -Sin2X

/ W = - 2(4χ) , M

16 ;ΐ

/(x) = - i - - l , A # [ f ; - f sin χ V 4 4

64*.a) f(x)=—r- + cos* , M —; ; b) /(χ)= sin*, Λ/(π;1ηπ). χ 12 π J χ

65*.a) f {χ)= —— — . 2.1. , . M{U2); χ-2 sin (0,5π*)

b) / ( * )=-+ ' , ΑΤ(-1;3>; * cos (π*)

66*.a) / ( * ) =4 " + 2 s i n ^ * j , М( 1;2); b) /(*)= 6-/^ + 5cos(;t*), A/(l;З).

67*. a) /(*)= 2* ·1η2, F(3) = 9; Ь) /(ж)=Зя ·1η3, ^(2)=7.

68*.a) f ( x ) = e~3x, Л/^1п2;А); b ) / ( * ) = е ^ , A/f 1пЗ;

69*.a) f{x)=e3x +—Ц-, Л/(0;2); b) /(*) = - Ц + e2*+1, л/(4;2).

*+1 *-3

70*.а) /(*)=•——, Л/(2;1); b) / ( х )=-^~ , м{6;3). 1-* 5-*

71*.а)/(*) = —!---cos*, kai *<1, Λ/(θ;θ);

b) /(χ)= e* — >ka i х < 3 ; д/(0;0). * — 3

72*.а)/(*) = - į - , М(-1;2); b) / ( * ) = — ! — , М(-2;5). 5*+ 6 3*+7

73*.а) Raskite funkcijos /(*)=5(* + 3) pirmykštę funkciją, kurios grafikas turi su

abscisių ašimi vieną bendrą tašką.

b) Raskite funkcijos /(*)= 3(*-2) pirmykštę funkciją, kurios grafikas turi su

abscisių ašimi vieną bendrą tašką.

74*.a) Raskite funkcijos /(*)=2* + 3 pirmykštę funkciją kurios grafikas liečia

Ox ašį. b) Raskite funkcijos /(x)=8*-5 pirmykštę funkciją, kurios grafikas liečia

O* ašį.

75*.a) Raskite funkcijos /(*)= 4* pirmykštę funkciją, kurios grafikas liečia

tiesę >> = 2x+l.

b) Raskite funkcijos /(*)= 2* pirmykštę funkciją kurios grafikas liečia

tiesę y = * + 2 .

76*.a) Raskite funkciją, kurios išvestinė lygi 2x-3, o funkcijos reikšmė taške 2

lygi 2.

b ) Raskite funkciją, kurios išvestinė lygi 4 χ + 5 , o funkcijos reikšmė taške

(-3) lygi 6.

77*. a ) Funkcijos y = 4x-15 ir jos pirmykštės funkcijos grafikai kertasi dviejuose

taškuose. Žinoma, kad vieno jų abscisė lygi 2. Raskite kito susikirtimo taško

abscisę.

b ) Funkcijos y = 6x + 5 ir jos pirmykštės funkcijos grafikai kertasi dviejuose

taškuose. Žinoma, kad vieno iš jų abscisė lygi -1 . Raskite kito susikirtimo

taško abscisę.

78*. a ) Funkcijos g(x) = -= l= + 2 ir jos vienos iš pirmykščių funkcijų G(X) J-X

grafikai turi vieną bendrą tašką, kurio abscisė lygi - 4. Raskite šią pirmykštę

funkciją.

b ) Funkcijos fix)= 2 — . 1 ir jos vienos iš pirmykščių funkcijų G(X) px+\

grafikai turi vieną bendrą tašką, kurio abscisė lygi 4. Raskite šią pirmykštę

funkciją.

Apskaičiuokite neapibrėžtinį integralą (79-126):

79*. а) J ( 3 x + 5)<&; b ) J ( 9 x - 2 ) < / x .

80*.a) J*(2*2 -7>x + A)dx ; b) J(5*2 + Ίχ-β)άχ .

81*.a) J ( 4 * 3 + Зх2 -2x-%)dx \ b) |(бх5-5x4 + 8 x 3 - l ) d x .

82' . a ) j " ( x 3 + 5x2 - 3x + 2) </x ; b ) J ( x 5 - 3 x 4 + 5x 3 - A ) d x .

.., Jk ' W b, j(

8 4 * . a ) J ( x + 5)7rfx; b ) J ( x + 9)5</x.

85*.a) J ( 2 x + 3)Vx; b) J ( 5 x - 7 )

86*.a) JVxrA:; b) JVX3A.

6dx.

. f χ3+x + 3 , 87*. a) -=—dx\

J VX

88*. a) ^(^->Ρί\ΐϊάχ·,

89*. a) j (2χ2+ б) Vxaic;

90*. a) J(4x + 3)~6<£c;

X 2 + 15x-4

92*. a) |(2 + 3x)2</x;

93*. a) |V7x-3rfx;

94*. a) JV( 3 x + 1 ) 2 d x ι

95*. a) J V3x + 5

dx;

96*. a) J 3+2x-x

'2 + χΫ

t/x;

97*.a) j ^ J d x ;

98. a) Д

99*. a)

χ

2-х o!x;

J ^ + J L ) * ;

100*.a) f ^ f ^

101*.a) J ^ A * ;

b) ! - к — ·

b) J(V3+VT)VSA

b) J ( 4 - 3 x 2 ) V ^ d x .

b) |(3x+2)_8rfx.

b) J ^ T i F "

b) J(4-5xprfx .

b) JV9x+8rfx.

b) JV(2x-5)3 dx.

b> Jit l= j V2X-7

b , J

Гdx .

5-4x2 +2x4

x-4

ь,

ы

J χ

b) J i b ^ ·

b )

103*. a)

104*. a)

105*. a)

106*. a)

107*. a)

108*. a)

109*. a)

110*. a)

111*.a)

112*. a)

113*. a)

114*. a)

115*. a)

116*. a)

117*. a)

l + 2x dx ;

e-^dx-

(x3+3x)<fc;

f £ -ί^2

e4 -e 4 dx;

dx; 6x+7

dx I-IOx'

5 ix-2dx;

6е2х'^х;

T - T - J 4 i

(ą"+5х)· 2х dx;

8 1 х - У dx ;

9

π2ηχ-Xmclx;

2sinf χ + — Irfx; I 3 J

2sin(3x)al*;

Ь ' Ы

w J '

4х -dx .

e *dx.

b) J fr 4-5*)d

b) J (e* dx .

dx b) f

J 3(4x-5)

b) f - ^ - . J 3x -10

f -l«J b) 15" dx.

r — - X + 1

b) 118e 2 dx.

1 + - dx. b) J 2*

b) |(7Χ+27*)·3Ά

. . f 625'-25' ^ b) J į*

b) d - I -Xnndx.

b) j3cos^x—yjr f t .

b) Js in( j-x)rfx.

b) |lcos(2x)a!x.

118*.a) J3sin(5*)rfx;

119*.a) j"2nsin(4jix)i/;c;

120*. a) Jsin(3x + 5)rfx;

121*.a) |3cos|j- + 2)</x;

·> f - ^ J <-'"

122*

. . , J

• > J

sin (4x)

3

cos2(5x)

dx

b) J*7cos(6*)abc.

b) j*47rcos^x)<fe

b) j"cos(5x-7)</x.

Ы J 5 , i „ ( |

dx

+ 4 ate.

dx; b> J -J Sl

cos (6x)

2

sin2(7x)

dx

dx.

cos (Здг+1)

125*. a) jUiny-53*-2 jrfx;

*.a) J 126*.a) I I 2x-cos| + e3 dx;

b) f - 2 J sin2 (5*-2)

b) j i c o sy + 45"3 \dx.

b) 11 3 * 2 + s i n - ~ e 4 x l d x . I

Apskaičiuokite neapibrėžtinį integralą, prieš tai pertvarkę pointegralinę

funkciją(127-131):

127*.a) f-Jxyfxdx;

128*.a) Jsin2-^rfjc;

b) j}yfcŲ7dx.

b) J cos2 f dx.

129*. a) J(sin(2x) cos χ + cos(2x)sin x)dx; b ) J" (cos(3x) cos χ + sin(3x) sin x)dx.

130*.a) j8sinxcosxcos(2x)a!x; b) Jl2sinyCosyCosxife.

131*. a) j " 6(cos2 (4x) - sin 2 (4x))sin(8x) dx ;

b) J 2(cos2(3x) — sin2 (3x)^sin(6x) rfx.

7.2*. Apibrėžtims integralas ir jo taikymai

Apskaičiuokite apibrėžtinį integralą (1-73):

3

1*. a) J4<£c;

ι 3

^lxdx; 2 * . a

3*. a jx5dx; 0

3

J(2*-1 )dx; 2 1

JxVx;

2

"з

2

tylx-x2)dx·, 1

1

J(3x2 + 2x + 4jdx ;

0

4

J(x2-6x + lo)rfx;

1

- 2

J(- JC2 - 6JC + 5)ίίχ ;

-5

](*-2 f d x ; 0

1

J(x+i)5rf*;

0 1

12*. a) J(2x + 1 )4dx ;

4*. a

5*. a

6 * . a

7*. a

8*. a

9*. a

10*. a

l l * .a

\6dx.

Uxdx .

F dx.

J ( 3 x + 2 )dx.

Jjc4^X .

-i

O

^(lx + x2)dx. - 2

1

J(x2-2x+l)</*.

1

J(x2 +4χ + ό)ώ:.

-3

2

J(x2-2x + 3)rfx.

-1

J(* + l)2

2

J ( l - ) 4

2

J(3x + 2)3

dx.

Vx.

13*. a) Jfl -|1 dx; b) J(3x + l ) 8 A.

о о

14*.a) J f e l t * ; b) J ^ A .

15*.a) j ( 4 , 2+ f ) A ; b)

-ι ι

2 I

16*. a) J(l + 2 x f d x ; b) J(l + 2x)' dx .

17*. a) J - L ^ ; b) J-L i f e .

2 X 1

18*.a) Jj^-L + 2j A ; b) J j^-L+x^A.

" · • " fe^ b, J ^ .

2 1 4 9

20*. a) JVxA ; b) J-•A

ITT'

4 S

21*.a) Jx2VxA ; b) J x V i A .

о о

8 4

22*.a) JsVx 2A; b) J V ? A .

23*. a) J y = A ; b) J ^ - A . χ

24*. a) J^Vx +5Vx)A; b) J^Vx + 6 Vi ) A . о о

64 ι ~

26*. a) f 1 " ¾ * ; 6 J Vx

27*. a) 1

28 J TT '

28*. а) О

" I : dx

л/Зх-2 '

29*. а) |л/2х + 1 Л ;

31*.а)

- 2

ь dx

- 4 π

2 .

M ) 2 '

32*. a) Jsinxrfx;

0

π

33*. a) Jsinxrfx;

Tt 1 о

34*.a) Jcosxrfx;

π ~6 π

35*. a) J(2 sin χ + 3 cosx)rfx;

36*. a) Jsin^x +уjrfx;

π 6 π \

37*. a) cos(3x)rfx;

о

S

b) 5 J ] i 7 dx .

8 г 2 f Vx Ь'Н dx.

dx Ь) I-JSi i

4 2

b) Μ 3x+2rfx.

b , J -rfx

(x + 3)2

rfx Ь | / < - ' ) ' ·

π

b) Jcosxrfx.

о π

2

b) Jcosxrfx.

π 6 3*

b) Jsin χ .

2π 3

b) J(2cosx-5sinx)i

b) J cos| Χ- — |rfx.

4

b) Jsin(2x)rfx.

38*. a)

m Isin-dx ; J 2

LTl 39*.a) Jsin-^x;

π 2π

40*. a) jcosj^y+ £)<&;

π

π

41*.a) J2sini3* + j1<£e;

42*. a) jsin^x-^jfifct;

43*.a) } s i n [ f - f ] ^ ;

з

π

44*. a) Jcos2 xdx ; 0 л 1

45*. a) Jcos2-^iit;

о

π

46*. a) Jsin2(2jc)rfjc;

47*. a) f— Jcos X O

-0,25π

48*. a) dx

-0.5π COS2I- - + *

Icos—dx . 2

b) Jo

-π 2π

b) Icos-dx . J 6 π

O , .

b) J s i n i - j + 2x Jfitc .

"Τϊ

π

b) | з с о /2*-- )<& .

2

2π 3.

3x \dx.

b)

Ь» f i » ( f -

3π

V f 3π дЛ, Ieos — + — \dx. J U 2)

π

n b) Jsin2 xdx ·

о 3*

V * b) Jsin2-fifct.

π 2

π 2

b) Jcos2 (2χ)ί&.

b) f - 4 -Jsin J

4 0,5л

b, J dx

0,25 π sin2 (π + χ)

49*. a) f f * . ; Jsin (2x)

50*. a)

12 π 4

•f 2ί0 π π COS 2x

dx

24

51*. a) J Idx

o sin2! 2x + —

3

52*. a) jsinxcosxrfr;

о π

53*.a) I^cos2 у-Sin2^jrfx;

π "4

π

4

54*. a) J(sin2x-cos2x)2rfx;

58*. a) f f ; ι

8

59*. a) [-J .

dx xln2 '

,2f b) F

J I

dx cos2 (3x)

ь» h dx

- 2 χ π 2nsm τ U 6

21

Ь , | dx

ό cos2 2x + —

b) jsinxcosxrfx.

O

π C x x

b) 4sin—cos—dx . J 2 2 о

π

4

b) J"(cos2 2x-sin2 2xfdx.

55*. a) Jexdx; b)

0

in 8 ι

56*. a) 1* —X

Je 'rfx; b)

0

3e f3rfx .

b) 57*. a) f3rfx .

b) J X I

2

-e'dx . -I

In 3

\еЪх dx.

Г2 rfx

b , J-rfx

xln3

' 2 , "2 rfx , , Cx2 + 2

»*·•> m · · ь> ρ О 1

61*.а) J ^ - r f x ; b) /-

ate.

5-х dx.

- 3 - 2

О О 2dx , ч f 3dx

62*.a) f J ^ . ; b) f-J 3 + 4x J:

- i - 2 2

6 3 * . a ) j · ^ ; b) J-

5 + 2*

rfx

5* +6

64*. a) j I-Uxjrfx; b) Jy-+l)rfx.

e 2

65*.a) f — ; b) f-JO,5x J 2 i i

1 1

dx 2x + 3

2 66*.a) J 1 ^ r f x ; b) J y f

O O 4x

rfx.

67*.a) f-^—rfx; b) f — r f x . J 2x + e J 3x + e

J 0 H * : ь) Д

• a) j ( e * + į ) r f x ; b) J(. 69*. a) J ^ejr+-Jrfx; b) J^e"+-Jrfx.

i

70*. a) Su kuriomis a reikšmėmis integralas J — turi prasmę?

a a

b) Su kuriomis a reikšmėmis integralas J — turi prasmę?

71*. a) Su kuriomis α (α>θ) reikšmėmis yra teisinga nelygybė

a j{2-4x + 3x2)dx< a ? o b) Su kuriomis a (a> θ) reikšmėmis yra teisinga nelygybė

a j(\~2x + 3x2)dx<a2 ? o

a 72*. a) Su kuria a reikšme integralo j"(l - 2x)dx reikšmė yra didžiausia?

o

a b) Su kuria a reikšme integralo j"(x - 4)dx reikšmė yra mažiausia?

o

73*. a) Materialusis taškas juda tiese. Jo greičio priklausomybė nuo laiko t

išreiškiama formule v(/)= 10/-0,008/3 j^—). Raskite kelią, kurį nueina

kūnas, kai laikas / kinta nuo Z1 = 10 5 iki I2 = 20 s .

b) Materialusis taškas juda tiese. Jo greičio v priklausomybė nuo laiko t

išreiškiama formule v(/)= 10-0,2/ ) . Raskite kelią, kurį nueina kūnas, kai

laikas / kinta nuo /, = 3 s iki t2 = 10 s .

74*. a) Kam lygus kelias, kurį tolygiai judantis materialusis taškas nueina per laiko

tarpą nuo /, = 1 iki /2 = 2, kai taško greičio priklausomybė nuo laiko išreikšta

formule v(/)=2/2+3/ (laikas / išreikštas sekundėmis, greitis v-metrais

sekundei)? Koks šio taško pagreitis laiko momentu / = 2 ?

b) Kūnas juda tiesiai. Jo greičio priklausomybė nuo laiko išreikšta formule

v(/) = VT+7 (laikas / išreikštas sekundėmis, greitis v-metrais sekundei).

Apskaičiuokite, kokį kelią kūnas nueina per pirmąsias 7 5. Koks kūno

pagreitis laiko momentu t = 11

75*. a) Raskite kelią, kurį nueina judantis tiese kūnas, nuo judėjimo pradžios iki

sustojimo, jeigu jo greitis skaičiuojamas pagal formulę v = 6/-2/2 ^v ·

b) Kūnas juda tiese pagal formulę v = It — . Raskite ilgį kelio, kurį nueina

kūnas per trečiąją judėjimo sekundę.


a 76*.a) fx3<£c = — ,kai a > 0 ;

J 324 3 _ 2

3

a+1

b) -r- = — , kai α > O . Jx2 3

д+1

77*. a) J(2x)«fcc = l ;

α

α

78*. a) j"(a-4x)<& = -2 + 3a + a2 ,

о

79*. Išspręskite nelygybę:

ь

a+2 b) J(x-l)rfx = 2 .

<7+1

r2, kai α > O; b) J(3-2x)rfx = -10 , kai a> O.

o

, Išspręskite nelygybę:

i a a) J*(į - 4x)rfx > 6 - 56 , čia b> \. b) J(l OJC - a)dx < 10a-24, čia a > 0.

1 2

Raskite plotą figūros apribotos nurodytomis kreivėmis (80-128):

,a) y = 4x-x2, 7 = 0; b) y = x-x2, y = 0. 80*.a) y = 4x-x2 , 7 = 0;

81*.a) y = x2-4x , ^ = O;

82*.A) 7 = X 2 + 1 , 7 = 0 , X = 0 , X = 1

b) 7 = *-

B ) Y = X 2 - 2JC , Y = 0 .

b) y = x2 + 2, 7 = 0, χ = -1, χ = 2.

г+1, 7 = 0, χ = 1, x = 2; 83*. a) 7 = x2

84*. a) 7 = χ2 , 7 = 0, x = l , x = 3;

85*.a) 7 = - X 2 + X + 6 , 7 = 0 ;

86*.a) 7 = 4-х 2 , 7 = -2 - =o, 7 = 3

87*.a) 7 = χ+2, 7 = 0 , χ

b) 7 = 2x2 -1 , 7 = 0, X = 1, x = 3 .

b) 7 = 2x2 +1, 7 = 0, x = 2, x = 3.

b) 7 = - X 2 + 2x + 3 , 7 = 0 .

b) 7 = 5-x2 , 7 = 0 , 7 = 1.

2 1, χ = 2 ; b ) 7 = J X + 2, 7 = 0, X = = -3, χ = 2.

= X2 +4x +6, 7 = x + 6 ; b) 7 = x2-6x + 10, 7 = 10-2X. 88*. a) 7 = χ

89*.a) 7 = χ2-4x + 4, y = l-2x

90*.a) 7 = x2 - 3x + 4 , 7 = x+l ;

b ) 7 = X 2 - 2 X + 1 , 7 = 2 x - 2 .

b) 7 = ух 2 -2х + 3, y = T-χ .

91*.a) J = 8 X - X 2 - 7 , J = X + 3; b) у = -χ2 + IOx-16, у = χ+ 2 .

92*.a) y = x2 + 5, у = 2х+8, у = 0, x = 0;

b) j = x 2+3, j = -2x + 6 , у = 0, x = 0 .

93*.a) / (χ) = χ2 -4x + 3 , / (χ) = 4x-x 2 -3 ;

b) / (χ) = χ2 - 2x + 2 , / (χ) = 4χ - χ2 + 2 .

94*. а) у = 9-х 2 , J = 12-2х-2х2 ; b) J = x 2+3, J = 2 X 2 - X + 1.

95*.а) у = 4-х2, у = х2-4; b) у = -2х2+8, J = 2X 2 -8 .

96*.а) J = --^-х2 +х + 4, j = 6 — χ , х = -1;

b) j = —- χ2 - х + 3 , j = х + 7 , х = -1. 4

97*. а) у = χ2 -4х + 6 , j = 1, х = -1 , х = 3;

b) j = x2 +2х + 4, 7 = 2 , χ = - 2 , х = 1.

98*. а) у = х3, у = 0, χ = 2; b) у = X3, J = O , х = -1.

99*.a) J = X 3 , J = 0 , X = - 1 , X = 2; b ) j = x \ j = 0 , x = - 2 , x = 3 .

100*. a) ^ = X3 , у = 1, х = 2 ; b) j = x 2 , j = l , х = 3 .

101*.a) j = x 3 , j = 0, χ= 2 ; b) j = x\ х = -1, j = 0.

102*. a) j = (x-l)3 , j = 8 , χ = 2 ; b) j = (2-x)3 , j = 8 , x = l .

103*. a) j = 2x3 , j = 4x ; b ) j = x 3 , j = 2x.

104*. a) j = Vx , j = 0 , x = l , χ = 4; b) j = 2-Jx , y = 0 , x = 4, x = 9.

105*.a) j 2 = x , j = 0 , χ = 1, χ = 4; b) J 2 = 4 X , j = 0 , x = 4, x = 9.

106*. a) J = Vx 7 , j = 0; x = - l , x = - 8 ; b) J = V x 7 , J = 0, x = -1, χ = -2

107*. a) j = x3 , j = 8, jc = l ; b) у = V^ , у = 1, х = 4 .

108*. a) J = X3, J = 0, * =-2 , х = 2 ; b) У = У = 0, х = -1, х = 2.

109*. а) у = - , у = 0, х = 1 , х = 3; b ) j = - , j = 0 , x = l , x = 2. X X

110*. а) у = - — , J = O, χ = - 5, χ = - 2,5 ; b) j = - —, у = 0, х = -4, χ = -1 χ χ

3 4 111*.a) J = - , J = 3 ,X = 3; b ) j = — , j = l , х = -1.

χ χ

112*.а) у = j = 0, χ =-2, х = -1; b) j = - i - , j = 0, χ = -3, χ = -2 χ+3 χ+4

2 4 113*.a) j = —, j = 3-x ; b ) j = — , j = 5-x .

χ χ

5 7 114*.a) y = —, j = 6 - x ; b) j = — , j = 8 -x .

χ χ

115*. a) j = —, J = l , x = e; b) y = - - , y = \, x = -e. χ χ

116*.a) y = ~ , y = 0 , x = i , x = | ; b ) j = - į , j = 0 , x = l , x = 2. χ 2 2 Xi

117*. a) j = 2*, j = 4 , x = 0; b) j = 3\ j = 3, x = 0.

118*. a) j = 3*, x = 0, j = 0, x = l ; b) j = 2', x = 0, j = 0, x = 2.

119*.a) j = 2*, j = 3-x , j = 0, x = 0; b) j = 3x, j = 5-2x, j = 0, x = 0.

120*. a) y = -ex, x = 0, j = 0, x = l ; b) y = -2x, x = 0 , j = 0, x = l .

121*.a) f{x)=ex, y = e, x = - l ; b) /(χ)=2*, j = l , x = 3.

122*. a) j = e* , j = e, χ = -1; b) y = e'x, y = e , x= \.

123*. a) y = ex , x = 0, x = 2, j = 0; b) y = e~", x = 0, x = - l , j = 0.

124*.a) j = 2л/х-1 , j = 0 , x = 2 , x = 5; b ) j = -v/2-χ , j = 0 , x = l , x = -2

125*.a) JL=, >- = 1, ^ = ° ; b) y = -r=L=, 7 = 2, * = 0. Vx + 1 4

V l - X

π π , v π π

126*. a) 7 = cosx, 7 = 0 , χ = - — , x = b) 7 = cos χ, 7 = 0, χ = -—, -* = -^-

127*. a) 7 = sin χ, 7 = 0, χ = 0, х = гг; b) 7 = sin χ , 7 = 0 , χ = у , χ = π .

128*.a) 7 = sin(2x), 7 = 0 , 0 < χ ^ - ; b ) 7 = cos(2x), 7 = 0, - - < χ < - , 3 4 4

129*. a) Raskite plotą figūros, apribotos funkcijos /(x)= 4,5-0,5x2 grafiku, jo

liestinė taške, kurio abscisė X0 = 1 ir tiese χ = -2 .

b) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos funkcijos /(x)=8-0,5x2 grafiku,

jo liestine taške, kurio abscisė x0 = -2 , ir tiese χ = 1.

130*. a) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos parabole 7 = y + 2x-yx 2 , jos

liestine, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = 3, ir tiese χ = -1.

b) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos Ox ašimi, funkcijos /(x) = -x2 -3x

grafiku ir šio grafiko liestine, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = -1.

131*.a) Raskite plotą figūros apribotos parabole 7 = 2x-x2 , jos liestine taške,

kurio abscisė X0 = 1 ir Oy ašimi.

b) Raskite plotą figūros apribotos parabole 7 = 2x2 - 6x, jos liestine taške,

kurio abscisė x0 = 1,5 ir Oy ašimi.

132*. a) Raskite plotą figūros, apribotos parabole 7 = 2x - χ2 , jos liestine, nubrėžta

per tašką Л/^у; 2-j, ir tiese 7 = 0.

b) Raskite plotą figūros, apribotos kubine parabole 7 = 2x3 ir jos liestine,

nubrėžta per tašką м(1; 2).

133*. a) Duota funkcija /(x)= 3x2 - X3.

1) Parašykite šios funkcijos grafiko liestinės, einančios per tašką, kurio

abscisė x0 = 2, lygtį.

2) Apskaičiuokite plotą figūros, esančios pirmame koordinatiniame

ketvirtyje ir apribotos funkcijos /(x) grafiku, Oy ašimi ir minėta liestine.

b) Duota funkcija f ( x ) = -3x2 + блг +1 .

1) Parašykite šios funkcijos grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką, kurio

abscisė X0 = 0, lygtį.

2) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos funkcijos f ( x ) grafiku, minėtąja

liestine ir tiese χ = 2 .

134*. a) Raskite plotą figūros, apribotos funkcijos /(χ) = x2 - 2x +1 ir jos

išvestinės grafikais.

b) Funkcija F(x) yra funkcijos f ( x ) =2x-2 pirmykštė funkcija. Raskite

plotą figūros, apribotos funkcijų f{x) ir F(X) grafikais, jeigu žinoma, kad

funkcijos F(X) grafikas eina per tašką Λ/(θ;ΐ).

135*. a) Su kuriomis a reikšmėmis plotas figūros, apribotos funkcijos y = x4

grafiku ir tiesėmis y = O , χ = a , yra lygus 6,4?

b) Su kuriomis a reikšmėmis plotas figūros, apribotos funkcijos y = x3 grafiku

ir tiesėmis y = O , χ = a , yra lygus 20,25?

136*. a) Figūra, apribota kreivėmis y = - χ ir y = x2+ax + 6. Parabolės liestinė,

nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = - 3 su ašimi Ox sudaro kampą

a = π-arctg2 . Apskaičiuokite duotosios figūros plotą,

b) Duota figūra, apribota kreivėmis / = -8x-46 ir y = 4x2 + ax+2.

Parabolės liestinė, nubrėžta per tašką, kurio abscisė x0 = - 5, su ašimi Ox

sudaro kampą a = π-arctg 20 . Apskaičiuokite duotosios figūros plotą.

Apskaičiuokite plotus figūrų, apribotų paveiksluose pavaizduotomis kreivėmis

(užbrūkšniuotu figūrų plotus) (137-143):

137*. a)

0 1 2 χ 138*. a) >-a b)

y = Sin X y - Sin X

2 2

144*. Apskaičiuokite paveiksle pavaizduotos kreivinės trapecijos ABCD, apribotos

parabolės dalimi, atkarpomis AD, ВС, CD (ADICD; BC±CD), plotą.

Taškas A - parabolės viršūnė.

145*. Įrodykite, kad užbrūkšniuotų kreivinių trapecijų plotai yra lygus (5, -S 2 ) .

146*. a) Vidutinis Neries debitas (vandens kiekis, pratekantis upės skerspjūviu per

тг

laiko vienetą) ties Vilniumi yra 1 1 0 — . Koks didžiausias upės gylis s

šioje vietoje, jei upės plotis yra 90m, o vidutinis srovės greitis

lygus 1,2 — ? Upės skerspjūvis yra parabolės formos. j

b) Nemuno gylis ties Šilininkais yra 5 m , vidutinis srovės greitis lygus 1,4— ,

o vidutinis Nemuno debitas (vandens kiekis, pratekantis upės skerspjūviu per

m3

laiko vienetą) šioje vietoje yra 5 6 0 — . Koks didžiausias upės plotis šioje i

vietoje? Upės vagos skerspjūvis yra parabolės formos.

•k -k -k

I I I . K O M B I N A T O R I K A . T I K I M Y B Ė S . S T A T I S T I K A .

1. a) Keliais budais galima tris skirtingas knygas, pažymėtas raidėmis A, B ir C

išdėstyti lentynoje? Nubraižykite loginį galimybių medį.

b) Kiek skirtingų raidžių junginių galima sudaryti iš trijų skirtingų raidžių a, b, c!

Nubraižykite loginį galimybių medį.

2. a) Renkami firmos prezidentas, pavaduotojas ir sekretorius. Yra keturi

kandidatai (p,, p2, ръ ir pĄ) į prezidento vietą, du kandidatai (a, ir a2) i

pavaduotojo vietą ir du kandidatai (y,, S2) į sekretoriaus vietą. Žinoma, kad p,

negali kartu dirbti su a, ir s2, P2 negali kartu dirbti su S2, pĄ - su a2 ir i , .

Kiek yra galimybių sudaryti vadovų komandą? Nubraižykite loginį galimybių

medį.

b) Laivo komandą turi sudaryti vadas, inžinierius ir gydytojas. Yra trys

kandidatai ( a u a 2 , a 3 ) į vado vietą, trys kandidatai ( b u b 2 , b 2 ) į inžinieriaus

vietą ir du kandidatai (c,,c2) į gydytojo vietą. Žinoma, kad a, negali kartu

dirbti su b2 ir c,, a2 negali kartu dirbti su b3, ir a3 - su b3 ir c2, b2 - su

c2 , о Ьъ - su c,. Kiek yra galimybių sudaryti laivo komandą? Nubraižykite

loginį galimybių medį.

3. a) Kiek skirtingų triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 3, 5, jeigu

šie skaitmenys skaičiuje nesikartoja? Nubraižykite loginį galimybių medį.

b) Kiek skirtingų keturženklių skaičių, kurių pirmasis skaitmuo yra 5, galima

sudaryti iš skaitmenų 2, 5, 7, 9, jeigu skaitmenys tame skaičiuje nesikartoja?

Nubraižykite loginį galimybių medį.

4. a) Parduotuvėje yra 6 rūšių šokoladinių saldainių ir 4 rūšių karamelinių

saldainių.

1) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti vienos rūšies saldainių?

2) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti vienos rūšies šokoladinių

saldainių ir vienos rūšies karamelinių saldainių?

b) Knygų kioske yra 5 skirtingų autorių nuotykių romanų ir 6 skirtingų autorių

istorinių romanų.

1) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti vieną romaną?

2) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti po vieną nuotykių ir istorinį romaną?

5. a) Kavinėje galima nusipirkti 3 rūšių kavos, 4 rūšių deserto ir 5 rūšių sulčių.

1) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti arba kavos, arba deserto, arba

sulčių?

2) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti ir kavos, ir deserto, ir sulčių.

b) Kanceliarinių prekių parduotuvėje yra 6 rūšių rašiklių, 5 rūšių pieštukų ir 4

rūšių korektorių.

1) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti arba vieną rašiklį, arba vieną

pieštuką, arba vieną korektorių?

2) Kiek yra skirtingų galimybių nusipirkti ir rašiklį, ir pieštuką, ir

korektorių?

6. a) Parduotuvėje yra 3 rūšių batonėlių ir 4 rūšių šokoladukų. Kiek yra galimybių

nusipirkti arba vieną batonėlį, arba vieną šokoladuką, arba ir vieną batonėlį, ir

vieną šokoladuką?

b) Pintinėje yra 5 rūšių obuolių ir 3 rūšių kriaušių. Kiek yra skirtingų galimybių

paimti po vieną obuolį arba kriaušę, arba ir vieną obuolį ir vieną kriaušę?

7. a) Kiek galima sudaryti skirtingų triženklių natūraliųjų skaičių?

b) Kiek galima sudaryti skirtingų keturženklių natūraliųjų skaičių?

8. a) Duoti skaitmenys 0; 1; 3; 4; 7; 8 . Kiek lyginių triženklių skaičių su

skirtingais skaitmenimis galima sudaryti iš šių skaitmenų?

b) Duoti skaitmenys 0; 2; 5; 6; 7; 9. Kiek nelyginių triženklių skaičių su

skirtingais skaitmenimis galima sudaryti iš šių skaitmenų.

9. a) Kiek skirtingų nelyginių triženklių skaičių galima sudaryti iš šių skaitmenų

1; 6; 8; 9 ?

b) Kiek skirtingų lyginių triženklių skaičių galima sudaryti iš šių 3;4;6;7

skaitmenų?

10. a) Duoti skaitmenys 1; 2; 3; 4; 5 . Kiek skirtingų keturženklių skaičių galima

sudaryti, jeigu:

1) skaitmenys skaičiuje nesikartoja,

2) skaitmenys skaičiuje gali kartotis,

3) skaitmenys skaičiuje nesikartoja ir pirmieji du skaitmenys yra 5 ir 2?

b) Duoti skaitmenys 2 ;3 ;4 ;5 . Kiek skirtingų triženklių skaičių galima

sudaryti, jeigu:

1) skaitmenys skaičiuje nesikartoja,

2) skaitmenys skaičiuje nesikartoja ir skaičius lyginis,

3) skaitmenys skaičiuje gali kartotis ir paskutiniai du yra 4 ir 5?


51+41 7!-5! 11*. a) 11—L· · b)

6! 4!· 4!

11' 14! 12*. a) ——- ; b)

5!· 6! 7!·3!·4!

Suprastinkite (13-16):

< "±Ш; b) (я-1)! (л+1)

14*.a) ^LLH l j (Зл-1)!

(/2-1)! (Зи + 1)!

(2£-l)! (4m-3)!

16*. a) — C"",1; b) C22;-3.

n+1 "+l 2(2« — 1) 2"


1 7 * . a ) ^ = 72; b) < ^ = 30. n\ (/t-l)!

1 8 * . a ) ^ = 72; b) = 420. (я-3)! (2/1-3)!

19*. a) C] =2x\ b) C;+2 = X 2 - I .

20*.a) C l = U l 2 - , b) C2 = 6 .

21*. a) Kiek reikia paimti elementų, kad derinių iš jų po 4 skaičius būtų 6 kartus

didesnis už derinių iš jų po 2 skaičių?

b) Derinių iš n elementų po 2 skaičius 6 kartus didesnis už derinių iš (n - 5)

elementų po 2 skaičių. Raskite n.

22*.a) Keliais nuliais baigiasi skaičius 15!?

b) Keliais nuliais baigiasi skaičius 26! ?

23*.a) Keliais būdais galima sudaryti trispalvę vėliavą, turint 7 skirtingų spalvų

audeklus, jei visos spalvos turi būti skirtingos?

b) Keliais būdais galima sudaryti trispalvę vėliavą, turint 5 skirtingų spalvų

audeklus, jei viena juosta turi būti geltona?

24*. a) 30 abiturientų apsikeitė nuotraukomis. Kiekvienas padovanojo savo

nuotrauką kiekvienam klasės draugui. Kiek buvo panaudota nuotraukų?

b) 30 mokinių iš ryto pasisveikino paspausdami vienas kitam ranką. Kiek buvo

rankų paspaudimų?

25*. a) Keliais skirtingais būdais iš 7 skirtingų spalvų rožių galima sudaryti puokštę

iš 3 rožių?

b) Keliais skirtingais būdais iš 10 žaidėjų galima išrinkti 6 žaidėjų komandą?

26*. a) Raskite taisyklingojo dvylikakampio įstrižainių skaičių.

b) Raskite taisyklingojo daugiakampio kraštinių skaičių, jei žinoma, kad jis turi

27 įstrižaines.

27*. a) Darželyje auga 10 raudonų, 8 geltonos ir 5 baltos rožės. Kiek yra galimybių

nuskinti ir sudaryti puokštę iš 7 rožių, jeigu puokštę sudarys viena raudona, 2

geltonos ir 4 baltos rožės.

b) Pintinėje yra 6 skirtingi obuoliai ir 5 skirtingos kriaušės. Keliais būdais

galima išrinkti du obuolius ir tris kriaušes?

28*. a) Dvidešimties moksleivių grupę reikia suskirstyti į tris grupes: pirmojoje-3

žmonės, antrojoje-5 žmonės, o trečiojoje - dvylika. Keliais skirtingais būdais

tai galima padaryti?

b) Turime 20 skirtingų pavadinimų prekių. Keliais būdais galima jas paskirstyti

į tris parduotuves, jei žinoma, kad į pirmą parduotuvę nuvežta 8 pavadinimų, į

antrą - 7 pavadinimų, o į trečią penkių pavadinimų prekių.

29*. a) Keliais būdais galima išrinkti trijų žmonių komisiją iš keturių vyrų ir keturių

moterų, jeigu:

1) į komisiją gali įeiti bet kurie trys iš jų,

2) į komisiją gali įeiti 2 moterys ir vyras?

b) Išvykoje dalyvauja 4 vaikinai ir 6 merginos. Keliais skirtingais būdais galima

išrinkti keturių jaunuolių grupę laužui sukurti, jeigu:

1) grupę sudaro bent keturi iš šių jaunuolių,

2) grupę sudaro viena mergina ir trys vaikinai.

30*. a) Ūkininkas ganykloje gano 8 karves ir 5 arklius. Nutarta arba 3 karves, arba 2

arklius pervesti į kitą ganyklą. Keliais skirtingais būdais tai galima padaryti?

b) Sode auga 12 obelų ir 7 kriaušės. Sodininkas, atnaujindamas sodą, nutarė

iškasti arba 3 obelis, arba 4 kriaušes. Keliais skirtingais būdais tai galima

padaryti?

31*. a) Keletas šalių nutarė savo valstybinės vėliavos simbolikai panaudoti 4

vienodo pločio ir skirtingų spalvų (baltos, mėlynos, raudonos ir žalios) juostas.

Kiekviena šalis turi savo vėliavą.

1) Kelios šalys savo vėliavoms gali panaudoti šią simboliką?

2) Kelios šalys gali panaudoti tokią simboliką, jei vėliavos pirmoji juosta yra

balta?

3) Kelios šalys gali panaudoti tokią simboliką, jei vėliavos trečioji juosta yra

žalia?

4) Kelios šalys gali panaudoti tokią simboliką, jei vėliavoje mėlyna ir

raudona juostos yra greta?

b) Futbolo turnyre dalyvauja keletas komandų. Nutarta pasiūti sportinę aprangą.

Sportiniams marškinėliams ir kelnaitėms pasiūti naudojo baltą, raudoną,

mėlyną, žalią arba geltoną spalvų medžiagą. Be to, buvo panaudoti visi galimi

variantai.

1) Kiek komandų dalyvavo turnyre?

2) Kiek komandų žaidė su žaliais sportiniais marškinėliais?

3) Kiek komandų turėjo skirtingų spalvų sportinius marškinėlius ir sportines

kelnaites?

4) Kiek komandų turėjo skirtingų spalvų sportinius marškinėlius ir sportines

kelnaites, jei žinoma, kad sportinės kelnaitės buvo raudonos spalvos?

32*. a) Aštuoni žmonės turi susėsti į du automobilius taip, kad kiekviename būtų

bent po 3 keleivius. Keliais būdais tai galima padaryti?

b) Per keturias savaites studentas laiko keturis egzaminus, iš jų du matematikos.

Keliais būdais galima sudaryti egzaminų tvarkaraštį taip, kad matematikos

egzaminai nebūtų vienas po kito? Žinoma, kad studentas per vieną savaitę laiko

tik vieną egzaminą.

33*. a) Keliais skirtingais būdais galima į vieną eilutę parašyti tris vienetus ir penkis

nulius?

b) Keliais skirtingais būdais galima į vieną eilutę parašyti du pliusus ir aštuonis

minusus?

34*. a) Mambos valstybėje telefono numerį sudaro penki skaitmenys: pirmieji du

parenkami iš nelyginių skaitmenų, o kiti trys parenkami iš lyginių skaitmenų

taip, kad trečiasis ir penktasis (iš eilės einantys) skaitmenys numeryje

nesutaptų. Kiek telefonų numerių galima sudaryti?

b) Tambos valstybėje telefono numerį sudaro penki skaitmenys: pirmieji du

parenkami iš skirtingų lyginių skaitmenų, o kiti trys nelyginiai skaitmenys

parenkami taip, kad du skaitmenys numeryje sutaptų. Kiek tokių telefonų

numerių galima sudaryti?

35. a) Duoti skaitmenys O; 2; 3; 4; 6 .

1) Kiek skirtingų triženklių skaičių galima sudaryti iš šių skaitmenų taip, kad

skaitmenys tame skaičiuje nesikartotų.

2) Kokia tikimybė, kad sudarytas skaičius lyginis?

b) Duoti skaitmenys O; 3; 5; 7; 9 .

1) Kiek skirtingų triženklių skaičių galima sudaryti iš šių skaitmenų taip, kad

skaitmenys tame skaičiuje nesikartotų.

2) Kokia tikimybė, kad sudarytas skaičius nelyginis?

36*. a) Duoti skaitmenys O; 2; 3; 7 .

1) Kiek skirtingų keturženklių skaičių, trijų kartotinių, galima sudaryti iš šių

skaitmenų, jeigu skaitmenys skaičiuje negali kartotis?

2) Kokia tikimybė, kad gautasis skaičius baigiasi 7?

b) Duoti skaitmenys O; 2; 3; 5; 8 .

1) Kiek skirtingų keturženklių skaičių, penkių kartotinių, galima sudaryti iš

šių skaitmenų, jeigu skaitmenys skaičiuje negali kartotis?

2) Kokia tikimybė, kad gautasis skaičius baigiasi O?

37. a) Iš natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 20 atsitiktinai išrinktas vienas skaičius. Kokia

tikimybė, kad išrinktasis skaičius yra 20 daliklis?

b) Dėžėje vienodi rutuliai sunumeruoti nuo 1 iki 30. Atsitiktinai ištrauktas

vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištraukto rutulio numeris yra 5 kartotinis?

38*. a) Iš knygų lentynoje stovinčių 10 matematikos ir 6 fizikos knygų atsitiktinai

paimamos dvi. Kokia tikimybė, kad abi paimtos knygos yra fizikos?

b) Iš 95 vienuoliktokų ir 5 dvyliktokų renkami 3 dalyviai į informatikos

konferenciją. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai išrinkti 3 dalyviai yra

dvyliktokai?

39. a) Bibliotekos lentynoje atsitiktine tvarka išdėstyta 15 vadovėlių, iš kurių 5

įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paima 3 vadovėlius. Raskite tikimybę įvykio,

kad bent vienas paimtų vadovėlių yra įrištas? Spręsdami ieškokite priešingo

įvykio tikimybę.

b) Dėžėje yra 10 detalių, tarp kurių 4 dažytos. Atsitiktinai paimtos 3 detalės.

Raskite tikimybę įvykio, kad bent viena iš paimtųjų detalių yra dažyta?

Spręsdami ieškokite priešingo įvykio tikimybę.

40*. a) Atsitiktinai parenkamas triženklis skaičius. Kokia tikimybė, kad bent du

skaičiaus skaitmenys sutaps?

b) Atsitiktinai parenkamas keturženklis skaičius. Kokia tikimybė, kad bent du

skaičiaus skaitmenys sutaps?

41. a) Tikimybė, kad moksleivis išlaikys pirmąjį egzaminą lygi 0,9, antrąjį

egzaminą-0,8 ir trečiąjį egzaminą-0,7. Raskite tikimybę įvykio, kad

moksleivis išlaikys bent vieną egzaminą.

b) Pirmojo šaulio pataikymo į taikinį tikimybė lygi 0,6, antrojo - 0.7,

trečiojo - 0,9. Raskite tikimybę įvykio, kad bent vienas šaulys pataikė į taikinį.

42. a) Metami du lošimo kauliukai ir suskaičiuojama atvirtusių akučių suma. Kas

labiau tikėtina: gauti sumą 7 ar 8?

b) Lošimo kauliukas metamas tris kartus. Po pirmųjų dviejų metimų ant

kauliukų atsivertusių akučių skaičių suma lygi po trečiojo metimo ant kauliuko

atsivertusių akučių skaičiui. Raskite tikimybę, kad bent vieną kartą iškrito 2

akutės.

43*. a) Knygų lentynoje atsitiktinai sudėtos 4 algebros knygos ir 3 geometrijos

knygos. Kokia tikimybė, kad vieno dalyko knygos bus greta?

b) Dėžėje yra 10 vienodų detalių, sunumeruotų skaičiais 1; 2;...; 10 .

Atsitiktinai ištraukiamos 6 detalės. Raskite tikimybę įvykio, kad tarp ištrauktųjų

detalių bus pirmu numeriu pažymėta detalė.

44. a) Kubas, kurio visos sienos nudažytos, supjaustytas į tūkstantį vienodo dydžio

kubelių, kurie sumaišomi. Po to atsitiktinai traukiamas vienas kubelis. Raskite

tikimybę įvykio, kad atsitiktinai ištrauktas kubelis turi:

1) vieną dažytą sieną,

2) dvi dažytas sienas,

3) tris dažytas sienas.

b) Dėžėje yra sumaišyta 10 baltų, 8 juodi ir 6 žali vienodo dydžio rutulių.

Atsitiktinai iš dėžės ištraukiami 3 rutuliai. Raskite tikimybę įvykio, kad:

1) visi ištraukti rutuliai yra skirtingų spalvų,

2) du rutuliai balti, o vienas juodas,

3) visi rutuliai yra vienos spalvos.

45*.a) Standartinis lošimo kauliukas metamas vieną kartą. Parašykite nurodytųjų

įvykių baigčių aibes:

1)/4- „atvirs ne daugiau kaip 5 akutės",

2) B- „atvirs ne mažiau kaip 4 akutės",

3) A u B , 4) AnB,

b) Urnoje yra trys vienodi rutuliai sunumeruoti skaičiais 1;2;3. Atsitiktinai

vienas po kito traukiami du rutuliai. Parašykite nurodytųjų įvykių

baigčių aibes:

1) A- „pirmojo rutulio numeris yra mažesnis negu antrojo rutulio",

2) B - „antrojo rutulio numeris yra 2 arba 3",

46*. a) Metamas standartinis lošimo kauliukas. Pažymėkime įvykius: A - „pasirodė

arba 2, arba 3 akutės", B - „pasirodė arba 3, arba 4 akutės". Išreikškite įvykius

C-„pasirodė arba 2, arba 3, arba 4 akutės" ir D-„pasirodė 3 akutės"

duotaisiais įvykiais.

b) Jonas priėjo prie teatro bilietų kasos ir pasižymėjo kas pirmas stovi prie

kasos langelio. Pažymėkime įvykius: A - „prie langelio stovi vyras", B - „prie

langelio stovi asmuo tamsiais plaukais". Išreikškite įvykius C - „prie langelio

stovi tamsiaplaukis vyras" ir D - „prie langelio stovi arba vyras, arba

tamsiaplaukis asmuo" duotaisiais įvykiais.

47*. a) Vieną kartą metamas standartinis lošimo kauliukas. Apskaičiuokite tikimybę

įvykio A - „atsivertė mažiau kaip 4 akutės" ir tikimybę įvykio B - „atsivertė

lyginis akučių skaičius". Suradę įvykiams AkjB , ANB, A\B palankių

baigčių aibes, apskaičiuokite šių įvykių tikimybes.

b) Vieną kartą metamas standartinis lošimo kauliukas. Apskaičiuokite tikimybę

įvykio A - „atsivertė daugiau kaip 2 akutės" ir tikimybę įvykio B - „atsivertė

nelyginis akučių skaičius". Suradę įvykiams AKJB , AnB, A\B palankių

baigčių aibes, apskaičiuokite šių įvykių tikimybes.

5) A \ B , 6) A n B .

3) AU B,

5) B\A,

4) AnB,

6) A n B .

48. a) Kortelės sunumeruotos natūraliaisiais skaičiais nuo 1 iki 30 imtinai. Įvykis

A - „kortelės numeris 7 kartotinis", įvykis B - „kortelės numeris 5 kartotinis".

Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktos kortelės numeris bus 5 arba 7

kartotinis?

b) Atsitiktinai paimtas natūralusis dviženklis skaičius. įvykis A - „skaičius

dalus iš 11", įvykis B -„skaičius baigiasi O". Kokia tikimybė, kad paimtas

dviženklis skaičius dalijasi arba iš 11, arba iš 10?

49. a) Dėžėje yra keturių spalvų vienodo dydžio rutuliai: 5 - balti, 7-žali, 12-

mėlynų ir 6 yra raudoni. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas rutulys yra

arba mėlynas, arba raudonas?

b) Žaislų parduotuvės lentynoje sudėti keturių spalvų meškiukai: 50 baltų, 20

žalių, 20 mėlynų ir 10 raudonų. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai iš lentynos

paimtas meškiukas yra raudonas arba mėlynas?

50. a) Knygoje yra 200 puslapių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai atverstas puslapis

yra 17 arba 19 kartotinis?

b) Mokyklos abiturientų egzamino darbai užšifruoti nuo 1 iki 99 imtinai. Kokia

tikimybė, kad atsitiktinai pasirinkto darbo numeris yra 11 arba 13 kartotinis?

51*. a) Į sportines varžybas vyksta 4 mergaitės ir 6 berniukai. Trys moksleiviai

važiuoja trenerio automobiliu, o likusieji mikroautobusu. Moksleiviai važiuoti

trenerio automobiliu išrenkami burtų keliu. Apskaičiuokite tikimybę, kad visi

išrinktieji bus arba mergaitės, arba berniukai.

b) Turime 7 loterijos bilietus, kurių 3 laimingi. Jonas atsitiktinai traukia 2

bilietus. Kokia tikimybė, kad abu ištrauktieji bilietai bus arba laimingi, arba

nelaimingi?

52*. a) Klasėje yra 30 moksleivių, iš kurių trys mokosi puikiai, keturi - labai gerai ir

aštuoni - gerai. Kokia tikimybė, kad burtų keliu išrinkus tris mokinius dalyvauti

viktorinoje, visi jie bus arba besimokantys puikiai, arba labai gerai, arba gerai?

b) Loterijoje, kurioje 3000 bilietų, yra vienas 300 Lt laimėjimas, 5 laimėjimai

po 100 Lt, 2 laimėjimai po 50 Lt, 10 laimėjimų po 20 Lt, 15 laimėjimų po

ΙΟΖ,ί, 30 laimėjimų po 5 Lt ir 120 laimėjimų po 2 Lt. Kokia tikimybė,

nusipirkus vieną bilietą, išlošti ne mažiau kaip 20 Lt ?

53*. a) Matas ir Tomas nusprendė pasidalinti atsitiktiniu būdu po lygiai dvidešimt

kompaktinių diskų, iš kurių 4 yra įrašyti. Kokia tikimybė, kad kiekvienam iš jų

teks po du įrašytus diskus?

b) I dvi vienuoliktąsias klases atvyko 12 naujų mokinių, iš kurių keturi puikiai

moka anglų kalbą. Į kiekvieną klasę ateina po lygiai moksleivių. Kokia

tikimybė, atsitiktiniu būdu padalijus, kad į kiekvieną klasę ateis po du

moksleivius puikiai mokančius anglų kalbą.

54*. a) Moneta metama 5 kartus. Raskite tikimybes įvykių, kad herbas iškris:

A - „mažiau 2 kartų",

B - „ne mažiau 2 kartų".

b) Simetriškas lošimo kauliukas metamas keturis kartus. Raskite tikimybes

įvykių:

A - „akučių skaičius, 3 kartotinis, iškris mažiau negu 2 kartus",

B - „akučių skaičius, 3 kartotinis, iškris ne mažiau 3 kartų".

55. a) Kambaryje nepriklausomai viena nuo kitos dega dvi elektros lemputės.

Tikimybė, kad per parą neperdegs pirmoji lemputė, lygi 0,8, o antroji-0,6.

Kokia tikimybė, kad per parą neperdegs nė viena lemputė?

b) Du šauliai nepriklausomai vienas nuo kito šauna po vieną kartą į tą patį

taikinį. Pirmojo šaulio pataikymo tikimybė lygi 0,8, o antrojo-0,7. Kokia

tikimybė, kad į taikinį pataikys abu šauliai?

56*. a) Rengiantis algebros įskaitai pateikta 10 klausimų, o rengiantis geometrijos

įskaitai - 15 klausimų. Rokas išmoko 8 algebros klausimus ir 10 geometrijos

klausimų. Kokia tikimybė, kad Rokas išlaikys ir algebros, ir geometrijos

įskaitas?

b) Informatikos egzaminui reikia mokėti 30 teorijos klausimų ir 25 praktines

užduotis. Moksleivis moka 20 teorijos klausimų ir geba atlikti 20 praktinių

užduočių. Kokia tikimybė, kad moksleivis atliks praktinę užduotį ir atsakys į

teorinį klausimą?

57. a) Pirmoje urnoje yra 10 vienodo dydžio rutulių, kurių 8 balti. Antroje urnoje

yra 20 vienodo dydžio rutulių, kurių 4 balti. Iš kiekvienos urnos atsitiktinai

ištraukiame po vieną rutulį. Raskite tikimybę įvykio, kad abu ištraukti rutuliai

yra balti.

b) Pirmoje dėžėje yra 8 vienodo dydžio kubeliai, kurių 5 dažyti. Antroje dėžėje

yra 24 vienodo dydžio kubeliai, kurių 8 dažyti. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai

ištraukiame po vieną kubelį. Raskite tikimybę įvykio, kad abu ištraukti kubeliai

yra nudažyti.

58*. a) [rengtos dvi signalizacijos, teikiančios signalą avarijos metu. Įvykio, kad

avarijos metu duos signalą pirmoji signalizacija lygi 0,95, o kad antroji-0,9.

Raskite tikimybę įvykio, kad avarijos metu signalą duos tik viena signalizacija.

b) įrenginį sudaro trys elementai, kurie veikia nepriklausomai vienas nuo kito.

Tikimybės, kad be gedimų metus veiks pirmasis, antrasis ir trečiasis elementai,

atitinkamai lygios 0,6; 0,7 ir 0,8. Raskite tikimybę įvykio, kad per metus be

gedimų veiks tiktai vienas elementas.

59*. a) Kiekvienoje iš dviejų urnų yra po 6 juodus ir 4 baltus rutulius. Iš pirmos

urnos atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys ir įdedamas į antrą urną. Po to iš

antros urnos ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę įvykio, kad

ištrauktas rutulys yra baltas.

b) Pirmoje urnoje yra 5 juodi ir 3 balti rutuliai, o antroje urnoje yra 2 juodi ir 6

balti rutuliai. Iš pirmos urnos atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys ir įdedamas

į antrą urną. Po to iš antros urnos ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę

įvykio, kad ištrauktas rutulys yra baltas.

60*. a) Skaitykloje yra šeši matematikos vadovėliai, iš kurių trys yra 12 klasės.

Skaityklos vedėja atsitiktinai paėmė du vadovėlius. Kokia tikimybė, kad jie abu

dvyliktos klasės?

b) Turime 100 loterijos bilietų, tarp kurių yra 5 laimingi. Atsitiktinai paimami

du bilietai. Kokia tikimybė, kad jie abu bus laimingi?

61*. a) Firmoje dirba keturios moterys ir šeši vyrai. Iš jų reikia parinkti penkių

žmonių grupę vykti į parodą. Raskite tikimybes įvykių, kad grupėje bus:

A - „trys vyrai", B - „daugiau vyrų nei moterų".

b) Privatizuoti penki žemės sklypai dešiniajame Neries krante ir septyni -

kairiajame Neries krante. Keturiuose sklypuose bus statomi gyvenamieji

namai. Raskite tikimybes įvykių, kad gyvenamieji namai bus:

A-,, 2 namai kairiajame krante", B -„daugiau namų bus dešiniajame Neries

krante negu kairiajame Neries krante".

62*.a) Tikimybė, kad kiekvienas iš dviejų sportininkų atliks užduotį, lygi 0,5.

Sportininkai, atlikdami užduotis, daro po 2 bandymus. Pirmasis atlikęs užduotį,

gauna prizą. Raskite tikimybę įvykio, kad vienas iš dviejų sportininkų gaus

prizą.

b) Tikimybė, kad kiekvienas iš dviejų šaulių pataikys į taikinį, lygi 0,3. Šauliai

šauna po du kartus. Pirmasis pataikęs į taikinį, gauna prizą. Raskite tikimybę

įvykio, kad vienas iš šaulių gaus prizą.

63*. a) Urnoje yra 10 vienodų rutulių sunumeruotų skaičiais nuo 1 iki 10.

Atsitiktinai vienas po kito ištraukiami trys rutuliai.

1) Raskite tikimybę įvykio, kad bus ištraukti rutuliai, kurių numeriai

atitinkamai yra 1,2 ir 3, jeigu kiekvienas ištrauktas rutulys atgal į urną

negrąžinamas.

2) Raskite tikimybę įvykio, kad bus ištraukti rutuliai, kurių numeriai ati-

tinknmai yra 5, 6 ir 7, jeigu kiekvienas ištrauktas rutulys grąžinamas atgal į urną.

b) Dėžutėje yra 12 vienodų kortelių sunumeruotų skaičiais nuo 1 iki 12.

Atsitiktinai viena po kitos ištraukiamos trys kortelės.

1) Raskite tikimybę įvykio, kad bus ištrauktos trys kortelės, kurių numeriai

atitinkamai yra 4, 5 ir 6, jeigu kiekviena ištraukta kortelė atgal į dėžutę

negrąžinama.

2) Raskite tikimybę įvykio, kad bus ištrauktos trys kortelės, kurių numeriai

atitinkamai yra 10, 9 ir 8, jeigu kiekviena ištraukta kortelė grąžinama atgal į

dėžutę.

64*.a) Iš septynių lakūnų, tarp kurių yra Petras ir Rolandas, sudaroma trijų lakūnų

grupė. Apskaičiuokite tikimybes įvykių:

A - „į grupę pateko Petras", B - „į grupę pateko Petras ir Rolandas".

b) Derybininkų komandoje yra dešimt narių, tarp kurių yra Artūras ir Mečys.

Sudaroma penkių narių grupė vykti į parlamentą. Tarę, kad visi turi vienodas

galimybes patekti į tą grupę, apskaičiuokite tikimybes įvykių:

A - „Mečys pateko į tą grupę", B - „Mečys ir Artūras pateko į tą grupę".

65*. a) Šaulys iššovė tris kartus. Tikimybė, kad šaulys pataikys bent vieną kartą lygi

0,875. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys pirmu šūviu,

b) Šaulys iššovė keturis kartus. Tikimybė, kad šaulys pataikys bent vieną kartą,

lygi 0,9984. Raskite tikimybę, kad šaulys pataikys pirmu šūviu.

66*.a) Urnoje yra 5 vienodo dydžio rutuliai, sunumeruoti skaičiais 1,2,3,4,5.

Atsitiktinai vienas po kito, negrąžinant atgal, traukiami trys rutuliai. Raskite

tikimybes šių įvykių:

1) A- „vieną po kito ištrauksime rutulius, atitinkamai su numeriais 1,4,5";

2) B- „ištraukti rutuliai su numeriais 1,4,5 (skaičių tvarka nesvarbi)".

b) Urnoje yra 6 vienodo dydžio rutuliai sunumeruoti skaičiais 3,4,5,6,7,8.

Atsitiktinai vienas po kito, negrąžinant atgal, traukiami keturi rutuliai. Raskite

tikimybes šių įvykių:

1) A - „vienas po kito ištrauksime rutulius atitinkamai su numeriais 4 ,5 ,7" ;

2) B - „ištraukti rutuliai su numeriais 4, 5, 7 (skaičių tvarka nesvarbi)".

67*. a) Metamas lošimo kauliukas. Atsitiktinis dydis X - atvirtusių akučių skaičius.

Raskitejo skirstinį ir užrašykite j į lentele.

b) Metamos dvi monetos. Atsitiktinis dydis X-atvirtusių herbu monetų

skaičius. Raskitejo skirstinį ir užrašykite jį lentele.

68*. a) Lošimo kauliukas metamas du kartus. Atsitiktinis dydis X-abiem atvejais

iškritusių akučių suma yra lyginis skaičius. Sudarykite atsitiktinio dydžio X

skirstinio lentelę.

b) Lošimo kauliukas metamas du kartus. Atsitiktinis dydis X - abiem atvejais

iškritusių akučių suma yra nelyginis skaičius. Sudarykite atsitiktinio dydžio X

skirstinio lentelę.

69*.a) Turime 10 detalių, tarp kurių 8 yra standartinės. Atsitiktinai išimamos dvi

detalės. Atsitiktinis dydis X - išimtų standartinių detalių skaičius.

1) Parašykite atsitiktinio dydžio X skirstinį.

2) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį EX.

3) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X dispersiją DX.

b) Turime 6 detales, tarp kurių 4 yra standartinės. Atsitiktinai išimamos trys

detalės. Atsitiktinis dydis X - išimtų standartinių detalių skaičius.


2) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį EX.

3) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X dispersiją DX.

70*. a) Lentelė yra atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys. Apskaičiuokite

atsitiktinio dydžio X matematinę viltį ir dispersiją.

m -2 -1 1 2

P (X = m) 1

6

1

3

1

3

1

6

b) Lentelė yra atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys. Apskaičiuokite

atsitiktinio dydžio Xmatematinę viltį ir dispersiją.

X -2 -1 1 2

P (X = m) 1 1 1 1 P (X = m) 4 4 4 4

71. a) Dėžėje yra 8 vienodo dydžio rutuliai, penki iš jų raudoni. Atsitiktinai

traukiami trys rutuliai. Sudarykite raudonųjų rutulių tarp ištrauktųjų skaičiaus

skirstinį. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę viltį ir dispersiją,

b) Tarp dešimt detalių aštuonios yra standartinės. Atsitiktinai išrenkamos dvi

detalės. Sudarykite standartinių detalių tarp išrinktųjų skaičiaus skirstinį.

Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio matematinę viltį ir dispersiją.

72*. a) Duotas atsitiktinio dydžio X skirstinys

m 4,3 5,1 10,6

P (X = m) 0,2 0,3 0,5

Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį, dispersiją ir vidutinį

kvadratinį nuokrypį.

b) Duotas atsitiktinio dydžio A" skirstinys

m 131 140 160 180

P (X = m) 0,05 0,1 0,25 0,6

Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį, dispersiją ir kvadratinį

nuokrypį.

73*. a) Dėžutėje yra 5 balti ir 6 raudoni kamuoliukai. Aistė atsitiktinai paima 3

kamuoliukus. Sakykime, atsitiktinis dydis X-paimtų baltų kamuoliukų

skaičius. Raskite atsitiktinio dydžio X skirstinį.

b) Dėžutėje yra 4 balti ir 7 žali kamuoliukai. Justė atsitiktinai paima 3

kamuoliukus. Sakykime, atsitiktinis dydis X - paimtų baltų kamuoliukų

skaičius. Raskite atsitiktinio dydžio ^skirstinį.

74*. a) Metamas lošimo kauliukas. Jei iškrenta mažiau nei 3 akutės, tai žaidėjas A

moka žaidėjui B 1 Lt, jei iškrenta daugiau nei 2 akutės, tai gauna iš žaidėjo B

2 Lt. Parašykite atsitiktinio dydžio, reiškiančio žaidėjo A išloštą sumą

skirstinį. Raskitejo matematinę viltį ir dispersiją.

b) Žaidėjai A ir B žaidžia žaidimą. Metama moneta. Jei atsiverčia herbas, tai

žaidėjas A gauna iš žaidėjo B 1 Lt, jei atsiverčia skaičius, tai žaidėjas A moka

žaidėjui B 1 Lt. Parašykite atsitiktinio dydžio X, reiškiančio žaidėjo A išloštą

sumą, skirstinį. Raskitejo matematinę viltį ir dispersiją.

75*. a) Moneta metama keturis kartus. Tegu atsitiktinis dydis X-herbo atsivertimų

skaičius.


2) Apskaičiuokite tikimybes šių įvykių: A - herbas atsivers ne daugiau kaip

du kartus, B - herbas atsivers daugiau negu du kartus.

b) Moneta metama tris kartus. Tegu atsitiktinis dydis X-herbo atsivertimų

skaičius.


2) Apskaičiuokite tikimybes šių įvykių: A - herbas atsivers mažiau negu tris

kartus, B - herbas atsivers ne mažiau negu du kartus.

76*. a) Turime 10 vienodų kortelių, kuriose užrašyti skaitmenys 1,1,1,2,

2,2,2,3,3,3. Ištraukiama kortelė, užrašomas skaitmuo ir kortelė dedama

atgal. Atsitiktinai traukiama antra kortelė. Atsitiktinis dydis X - ištrauktų

kortelių skaitmenų suma.

1) Parodykite, kad atsitiktinis dydis X įgyja reikšmę 5 su tikimybe — .

2) Pabaikite pildyti lentelę:

m 2 3 4 5 6

P(X=m) G

25

b) Turime 8 vienodas korteles, kuriose užrašyti skaitmenys 0,0,2,

2,2,3,3,3 . Ištraukiama kortelė, užrašomas skaičius ir kortelė dedama atgal į

krūvą. Atsitiktinai ištraukiama antra kortelė. Atsitiktinis dydis Λ'-ištrauktų

skaitmenų suma.

9 I) Parodykite, kad atsitiktinis dydis Arįgyja reikšmę 6 su tikimybe — .

64

2) Pabaikite pildyti lentelę:

m 0 2 3 4 5 6

IT

Il

ST

9

64

77*. a) Knygyno organizuotoje knygų loterijoje yra 30 bilietų, tarp kurių dvylika

laimingų. Pardavėja traukė po vieną bilietą kaskart grąžindama atgal tol, kol

ištraukė laimingą. Kokia tikimybė, kad jai teko traukti ne daugiau penkių kartų.

Vytas atvyko į knygyną kai buvo likę 5 bilietai, kurių du laimingi. Vytas traukė

po vieną bilietą (atgal negrąžindamas) tol, kol ištraukė laimingą. Sakykime, X -

ištrauktų bilietų skaičius.

1) Parodykite, kad P(x)= 0,3 .

2) Parašykite atsitiktinio dydžio X skirstinį ir raskite matematinę viltį.

b) Dėžėje yra trys balti ir keturi juodi vienodo dydžio rutuliai. Traukiame po

vieną rutulį (atgal negrąžindami) tol, kol ištrauksime baltą. Tegul X- ištrauktų

rutulių skaičius.

1) Parodykite, kad P(x)=j^ .

2) Parašykite atsitiktinio dydžio X skirstinį ir raskite matematinę viltį.

Nuspręsta eksperimentuoti toliau. Sudėję į kitą dėžę šešis baltus ir aštuonis juo-

dus vienodo dydžio rutulius, traukiame po vieną kaskart grąžindami atgal tol,

kol ištrauksime baltą. Kokia tikimybė, kad teks traukti ne daugiau penkių kartų?

78*. a) Skritulio formos taikinys pritvirtintas

skritulio centre O taip, kad taikinys galėtų

suktis. Tarkime, kad šaulys pataiko į šį taikinį

su tikimybe 1, o tikimybė pataikyti į tašką O

ir sektorių kraštus lygi 0.

1) Šaulys į taikinį šauna vieną kartą. Atsitiktinio dydžio X reikšmė - numeris

sektoriaus, į kurį pataikyta. Raskite atsitiktinio dydžio X skirstinį.

2) Šaulys į taikinį šauna du kartus. Raskite atsitiktinio dydžio X - pirmojo ir

antrojo šūvio rezultatų sumos - tikimybių skirstinį.

b) Skritulio formos taikinys pritvirtintas

skritulio centre O taip, kad taikinys galėtų

suktis. Tarkime, kad šaulys pataiko į šį taikinį

su tikimybe 1, o tikimybė pataikyti į tašką O

ir sektorių kraštus lygi 0.

1) Šaulys į taikinį šauna vieną kartą. Atsitiktinio dydžio X reikšmė - numeris

sektoriaus, į kurį pataikyta. Raskite atsitiktinio dydžio Ar skirstinį.

2) Šaulys į taikinį šauna du kartus. Raskite atsitiktinio dydžio X-pirmojo ir

antrojo šūvio rezultatų sumos - tikimybių skirstinį.

79*. a) įrengimą sudaro trys elementai, veikiantys nepriklausomai vienas nuo kito.

Tikimybė vieno bandymo metu sugesti vienam iš elementų lygi 0,1. Parašykite

vieno bandymo metu sugedusių elementų skaičiaus skirstinį.

b) Laboratorijoje atliekami trys nepriklausomi bandymai. Tikimybė, kad

kiekvienas jų pavyks lygi 0,4. Atsitiktinis dydis X-pavykusių bandymų

skaičius. Parašykite atsitiktinio dydžio X binominio tikimybių skirstinio lentelę.

80*. a) Du vienodo pajėgumo šachmatininkai žaidžia šachmatais. Kas labiau

tikėtina: laimėti dvi partijas iš keturių ar tris partijas iš šešių (į lygiąsias

nekreipiama dėmesio)?

b) Šaulio pataikymo į taikinį tikimybė lygi 0,6. Raskite tikimybę įvykio, kad

šovęs keturis kartus, jis pataikys ne mažiau kaip tris kartus.

81*. a) Dėžutėje yra septyni pieštukai, iš kurių keturi raudoni. Atsitiktinai išimami

trys pieštukai. Atsitiktinis dydis X- raudonų pieštukų tarp išimtųjų skaičius.

1) Parašykite atsitiktinio dydžio ArSkirStinio lentelę.

2) Raskite įvykio , kad 0 < X < 2, tikimybę.

b) Iš 25 kontrolinių darbų, tarp kurių 5 įvertinti puikiai, atsitiktinai ištraukiami

trys darbai. Atsitiktinis dydis X-puikiai įvertintų darbų tarp ištrauktųjų

skaičius.

1) Parašykite atsitiktinio dydžio ArSkirStinio lentelę.

2) Raskite įvykio, kad X > O tikimybę.

82*. a) Žaidžia dvi futbolo komandos „Neptūnas" ir „Sakalas". Komandos

tarpusavyje sužaidžia po du kartus. Tikimybė, kad „Sakalas" laimės lygi ,

kad sužais lygiosiomis tikimybė lygi —. Už laimėjimą komanda gauna du 4

taškus, už lygiąsias gauna vieną tašką už pralaimėjimą taškų negauna.

Atsitiktinis dydis Xyra komandos „Sakalas" surinktų taškų skaičius.

25 1) Parodykite, kad tikimybė komandai „Sakalas" surinkti O taškų lygi .

144

2) Sudarykite atsitiktinio dydžio ArSkirStinI.

b) Turnyre dalyvauja dvi šachmatininkų komandos. Kiekvienoje komandoje yra

po du žaidėjus. Kiekvienas pirmosios komandos šachmatininkas žaidžia po

vieną partiją su antrosios komandos kiekvienu žaidėju. Už laimėtą partiją

komanda gauna du taškus, už lygiąsias gauna vieną tašką už pralaimėjimą

taškų negauna. Tikimybė, kad pirmoji komanda laimės partiją lygi , kad

sužais lygiosiomis lygi -j . Atsitiktinis dydis X yra pirmosios komandos

surinktų taškų skaičius.

1) Parodykite, kad pirmajai komandai surinkti vieną tašką tikimybė lygi ^ .

2) Sudarykite atsitiktinio dydžio X skirstinį.

83*. a) Metami du simetriški lošimo kauliukai. Pirmojo kauliuko sienelės pažymėtos

1; 2; 3; 4; 5; 6 akutėmis, antrojo kauliuko sienelės pažymėtos: 1; 1; 1; 1; 3; 3 .

Pažymėkime A ant pirmojo kauliuko atvirtusių akučių skaičių, o K - ant antrojo

kauliuko atvirtusių akučių skaičių.

1) Sudarykite dydžių X ir Y skirstinius.

2) Sudarykite dydžių poros (x ; y) skirstinį.

b) Metami du simetriški lošimo kauliukai. Pirmojo kauliuko sienelės pažymėtos

2;2;3;3;3;4 akutėmis, o antrojo kauliuko sienelės pažymėtos

1; 2; 2; 2; 2; 3 akutėmis. Pažymėkime X ant pirmojo lošimo kauliuko akučių

skaičių, o Y-ant antrojo kauliuko atvirtusių akučių skaičių.

1) Sudarykite dydžių X ir У skirstinius.

2) Sudarykite dydžių poros (X\ Y) skirstinį.

84*. a) Atsitiktinio dydžio Xskirstinys yra:

m -1 2 3 5

•b

/—V

Il 1

6 a b

1

3

čia a ir b žymi nežinomas tikimybes. Vidurkis EX = 2 — .

1) Apskaičiuokite tikimybes a ir b. 2) Apskaičiuokite DX.

b) Atsitiktinio dydžio X skirstinys yra:

m -2 0 2 3

P(X = m) 1

6 a b

1

6

čia a ir b žymi nežinomas tikimybes. Vidurkis EX = — .

1) Apskaičiuokite tikimybes a ir b.

2) Apskaičiuokite DX.

85*. a) Atsitiktinio dydžio Xskirstinys yra:

m -2 1 2 3

P ( X = /w) 0,3 a b 0,1

čia a ir b - nežinomos tikimybės. Dispersija DX = 3,24 .

1) Apskaičiuokite tikimybes a ir b. 2) Apskaičiuokite EX.

b) Atsitiktinio dydžio Xskirstinys yra:

m 5 7 10 15

P(X = m) 0,2 a b 0,1

čia a ir b - nežinomos tikimybės. Dispersija DX = 8 .

1) Apskaičiuokite tikimybes a ir b. 2) Apskaičiuokite EX.

86*. a) Atsitiktinis dydis Xįgyja tik dvi galimas reikšmes m, ir m2 , be to m 2>m ] .

Tikimybė įvykio, kad atsitiktinis dydis X įgyja reikšmę m] lygi 0,6. Raskite

atsitiktinio dydžio X skirstinį, jeigu matematinė viltis EX = 1,4 ir

dispersija DX = 0,24 .

b) Atsitiktinis dydis X įgyja tik tris galimas reikšmes: m] = 1, m2, m3, be to

mt < m2 < m}. Tikimybės įvykių, kad X įgyja reikšmes m, ir m2 , atitinkamai

lygios 0,3 ir 0,2. Raskite atsitiktinio dydžio X skirstinį, jei matematinė viltis

EX = 2,2 ir dispersija DX = 0,76.

87*. a) Dėžėje yra trys halti ir trys juodi vienodo dydžio rutuliai. Traukiame po

vieną rutulį (be grąžinimo atgal) iki tol, kol bus ištrauktas baltas rutulys. X-ištrauktų rutulių skaičius. Toliau traukimas tęsiamas iki tol, kol pasirodys

juodas rutulys. Y- antroje serijoje ištrauktų rutulių skaičius.

1) Parašykite dydžių X ir Y skirstinius.

2) Parašykite poros {x; Y) skirstinį.

b) Moneta metama penkis kartus. Jei du kartus atsiverčia herbas, tai sakoma,

kad herbas kartojasi. Tegul X- herbo pasikartojimų skaičius. Y-skaičiaus

pasikartojimų skaičius.

1) Parašykite dydžių X ir Xskirstinius.

2) Parašykite poros (Λ'; ) ) skirstinį.

88*. a) Nagrinėjama eilutė 1; 3; 2; 1; 5; 2; 2 .

1) Kiek galima parašyti keturženklių skaičių, kuriuos galima sudaryti iš

nagrinėjamos eilutės skaitmenų taip, kad paskutinis skaitmuo būtų 5, o visi

skaitmenys skaičiuje būtų skirtingi?

2) Atsitiktinai parenkamas skaičius iš nagrinėjamos eilutės. Kokia tikimybė,

kad pasirinktas skaičius yra 2?

3) Palyginkite nagrinėjamos eilutės modą ir medianą.

b) Nagrinėjama eilutė 1;3;3;2;1;5;1.

1) Kiek galima parašyti keturženklių skaičių, kuriuos galima sudaryti iš

nagrinėjamos eilutės skaitmenų taip, kad paskutinis skaitmuo būtų 1, o visi

skaitmenys skaičiuje būtų skirtingi?

2) Atsitiktinai parenkamas skaičius iš nagrinėjamos eilutės. Kokia tikimybė,

kad pasirinktas skaičius yra 1?

3) Palyginkite nagrinėjamos eilutės modą ir medianą.

$9*. a) Pamatavus įtampą (voltais) elektros tinkle gauti tokie matavimo rezultatai:

218 221 215 225 225 217

224 220 220 219 221 219

222 227 218 220 223 230

223 216 224 227 220 222

1) Padalykite imties duomenų intervalą į 5 lygias dalis.

2) Užrašykite imties santykinių dažnių lentelę.

3) Nubraižykite imties santykinių dažnių diagramą.

b) Abiturientai rašydami kontrolinį darbą galėjo surinkti 20 balų. Jų surinkti

balai tokie:

12 15 20 17 16 18

18 19 19 14 16 13

12 13 13 15 16 14

14 16 17 12 15 16

15 12 13 13 15 17

1) Sutvarkykite imtį didėjimo tvarka.

2) Sudarykite įvertinimų dažnių lentelę.

3) Nubrėžkite imties diagramą.

90. a) Duota imties dažnių lentelė. Nubraižykite santykinių dažnių diagramą.

x, [10; 15] [15; 20] [20; 25] [25; 30] [30; 35]

f ; 2 4 8 4 2

b) Duota imties dažnių lentelė. Nubraižykite santykinių dažnių diagramą.

Xi [2; 5] [5; 8] [8; 11] [Π; 14]

f , 6 10 4 5

91*. a) 2004 metų gegužės 20 dieną 1 litras benzino įvairiose Lietuvos degalinėse

kainavo Lt: 2,70 2,65 2,68 2,80 2,81 2,78 2,85 2,90

2,84 2,69 2,88 2,85 2,68 2,80 2,65 2,75

2,69 2,80 2,81

Apskaičiuokite benzino kainos b medianą, modą ir kvartilius.

b) 2004 metų gegužės 20 dieną 1 litras dujų įvairiose Lietuvos degalinėse

kainavo Lt: 1,20 1,23 1,25 1,28 1,23 1,22 1,30 1,28

1,19 1,24 1,25 1,22 1,25 1,18 1,25 1,28

1,19 1,22 1,23

Apskaičiuokite dujų kainos d modą, medianą ir kvartilius.

92. a) Diagramoje pateikti vieno

mikrorajono duomenys apie

butų plotą. Koks vidutinis plotas

šiame mikrorajone?

450

375

300

225

150

75

Kiekis

25 35 45 55 65 75 85 Plotas (m2)

Moksleivių

skaičius

b) Moksleiviai sprendė 6 užduo-

čių testą. Diagramoje pateikti

duomenys apie tai, kiek užduo-

čių išsprendė moksleivių skai-

čius. Kiek vidutiniškai užduočių

išsprendė moksleiviai?

15

12

ΙπΓΐΙΙΙΙΙΙπΠ J > Išspręstų

užduočių skaičius

O 1 2 3 4 5 6

93*. a) Į statybos aikštelę atvežta 20 padėklų plytų. Iš kiekvieno padėklo atsitiktinai

paimta po vieną plytą ir išmatuota jų ilgiai. Gauti tokie išmatavimai

centimetrais:

19,0 19,5 20,0 20,5 21,0 21,0 20,5 20,0 19,5 19,0

19,5 20,0 20,5 21,0 21,0 20,5 20,5 20,5 19,5 19,5

1) Apskaičiuokite plytos vidutinį ilgį.

2) Apskaičiuokite sugrupuotų duomenų modą medianą kvartilius.

b) Dešimt biologijos būrelio narių tikrino agurkų sėklų daigumą. Kiekvienas jų

gavo po 20 sėklų, pasėjo jas ir po nustatyto laiko patikrino kiek sėklų sudygo.

Gauti tokie rezultatai:

12 15 13 18 18 16 16 16 20 16

1) Apskaičiuokite vidutinį daigumą.

2) Apskaičiuokite sugrupuotų duomenų modą medianą kvartilius.

94*. a) Moksleivis nusipirko 5 sąsiuvinius po 0,1 Lt, 15 sąsiuvinių po 0,5 Lt, 20

sąsiuvinių po 0,6 Lt ir 10 sąsiuvinių po 0,81/. Apskaičiuokite imties

dispersiją.

b) Knygyne buvo parduotos matematinio turinio knygos: 5 po 18,4 Lt, 10 po

18,9 Lt, 20 po 19,3 Lt ir 15 knygų po 19,6 Lt. Apskaičiuokite imties

dispersiją.

95*.a) Algis ir Benas pro mikroskopą stebėjo tą pačią bakterijų koloniją. Abu

bakterijas skaičiavo po keturis kartus. Stebėjimo duomenys:

Algio: 46 52 51 48

Beno: 47 56 44 53

1) Apskaičiuokite abiejų imčių skaitines charakteristikas χ , s2, s . 2) Kuris iš stebėtojų geriau skaičiavo?

b) Šaukiamojo amžiaus jaunuoliai šaudydami į taikinį gavo tokius rezultatus.

Agnius: 5 4 6 8 8 9 9 5 3 9

Tomas: 10 9 8 4 3 2 5 8 8 4

Domas: 6 7 8 5 6 7 5 6 5 6

1) Apskaičiuokite visų trijų imčių skaitines charakteristikas χ , s2, i . 2) Kuris iš jaunuolių geriausiai šaudė?

96*. a) Medicinos darbuotoja matavo 40-ties abiturientų ūgį ir užrašė matavimo

rezultatus:

155 170 169 186 182 173 177 171 169 159

191 186 183 158 149 167 174 176 170 179

171 175 182 183 168 173 172 192 181 177

179 173 175 169 174 180 183 177 187 173

Apskaičiuokite imties skaitines charakteristikas x, s2, s .

b) AB „Lietuvos draudimas" surinko duomenis apie apdraudžiamų automobilių

kainą (tūkst. eurų):

2,0 3,0 2,4 1,7 2,4 2,7 3,4 9,9 6,4 1,0 1,6 1,4

1,5 1,3 2,1 4,4 5,8 5,6 3,3 2,0 1,0 1,5 2,2 1,8

3,5 3,4 1,7 2,5 0,5 1,6 1,4 5,0 2,2 3,1 1,1 1,4

Apskaičiuokite imties skaitines charakteristikas χ , s2, s .

97*. Duota atsitiktinių dydžių X ir Y skirstinių lentelė. Raskite koreliacijos

koeficientą.

x X Y -1 0 1

-1 0,1 0,2 0,1

1 0,2 0,3 0,1

\ Y 0 1 2

0 0,3 0,2 0,1

2 0,1 0,2 0,1

I V . G E O M E T R I J A

1. P l an ime t r i j a

1.1. Pagrindinės planimetrijos sąvokos

1. a) Taškai K, P ir M yra vienoje tiesėje. Be to, MK = 5,4 cm , KP = Scm. Raskite MP.

b) Taškai B, C ir D yra vienoje tiesėje. Be to, BC = 9 cm, CD = 6,7 cm. Raskite BD.

2. a) Kampas ABD yra ištiestinis. Raskite

kampo ABC didumą, jei kampas CBD lygus 47°.

b) Kampas ABD yra ištiestinis. Raskite

kampo ABC didumą jei kampas CBD lygus 121°.

B

3. a) Kampai BOA ir COB yra gretutiniai. Raskite šiuos kampus, jei kampas BOA yra 2,6 karto mažesnis už COB.

b) Kampai DOE ir EOC yra gretutiniai. Raskite šiuos kampus, jei kampas DOE yra 24° didesnis už kampą EOC.

4. a) Raskite kampą tarp gretutinių kampų pusiaukampinių.

b) Raskite kampą tarp kryžminių kampų pusiaukampinių.

5. a) Vienas kampų, gautų susikirtus dviem

tiesėms, yra lygus 10% ištiestinio kam-

po. Raskite kitus tris kampus, kuriuos

sudaro šios tiesės.

b) Vienas kampų, gautų susikirtus dviem

tiesėms, yra lygus trečdaliui ištiestinio

kampo. Raskite kitus tris kampus, kuriuos

sudaro šios tiesės.

6. a) Trijų kampų, gautų susikirtus dviem tiesėms, suma lygi 236° . Raskite tuos

kampus.

b) Trijų kampų, gautų susikirtus dviem tiesėms, suma lygi 314° . Raskite tuos

kampus.

7. a) Dviejų kampų, gautų susikirtus dviem tiesėms, skirtumas lygus 34° . Raskite

šiuos kampus.

b) Dviejų kampų, gautų susikirtus dviem tiesėms, skirtumas lygus 56° . Raskite

šiuos kampus.

8*. a) Kampai MOD ir KON yra statieji.

Raskite kampą KOD, jei kampas MON yra lygus 151°.

b) Kampai AOC ir DOB yra statieji.

Raskite kampą AOB, jeigu kampas DOC lygus 27°.

9*. a) Kampas BOC lygus 148°, OM 1 OC . OK yra kampo BOC pusiaukampinė.

Raskite kampą КОМ.

b) Kampas AOK lygus 154°, OCLOK . OM yra kampo A OK pusiaukampinė.

Raskite kampą COM.

10. a) Tiesė EK kerta tieses CD ir MN atitinkamai taškuose E ir K. Kampo DEK didumas lygus 65°. Koks turi būti kampo NKE didumas, kad tiesės CD ir MN būtų lygiagrečios?

b) Tiesė MN kerta tieses AB ir CD atitinkamai taškuose M ir N. Kampo AMN didumas lygus 78°. Koks turi būti kampo CNM didumas, kad tiesės AB ir CD būtų lygiagrečios?

11. a) Vienas iš vidaus vienašalių kampų, susidariusių dvi tieses a ir b perkirtus

trečiąja tiese c, lygus 53°. Keliais laipsniais šis kampas yra mažesnis už kitą

jam vidaus vienašalį kampą?

b) Vienas iš vidaus vienašalių kampų, susidariusių dvi tieses m ir n perkirtus

trečiąja tiese k, lygus 117°. Keliais laipsniais šis kampas yra didesnis už kitą

jam vidaus vienašalį kampą?

12. Apskaičiuokite kampo χ didumą, jei a\\b ,

13*. a) Duota AF || BE , AL\\BD,

Z EOL = 30°, Z LAB = 50°.

Raskite Z EBC.

b) Duota AC \\ BD, CL\\DM,

Z MDE = 35° , Z CKD = 25° .

Raskite Z ACD .

14*. a) Tiesės a ir b lygiagrečios. Apskaičiuokite kampo χ didumą:

a) \ b) n 0o

15. a) Du lygius kvadratus, kurių kiekvieno plotas lygus 1 cm2, sudėjo taip, kad

gavosi stačiakampis. Kam lygus gautojo stačiakampio perimetras?

b) Du lygius kvadratus, kurių kiekvieno plotas lygus 4 cm2, sudėjo taip, kad

gavosi stačiakampis. Kam lygus gautojo stačiakampio perimetras?

16. a) Stačiakampį, kurio kraštinės lygios 3 cm ir 6cm , padalino į du kvadratus.

Kam lygi gautųjų kvadratų perimetrų suma?

b) Stačiakampį, kurio kraštinės lygios 8 cm ir 16 cm, padalino į du kvadratus.

Kam lygi gautųjų kvadratų perimetrų suma?

17*. a) Stačiakampį padalino į tris lygius kvadratus, kurių perimetrų suma lygi

12 cm . Koks šio stačiakampio plotas?

b) Stačiakampį padalino į tris lygius kvadratus, kurių perimetrų suma lygi

24 cm . Koks to stačiakampio plotas?

18*.a) Stačiakampį supjaustė į tris vienodus kvadratus, kurių perimetrų suma lygi

36. Raskite to stačiakampio plotą.

b) Stačiakampį supjaustė į tris vienodus kvadratus, kurių perimetrų suma lygi

60 cm . Raskite to stačiakampio plotą.

20*.a)Dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė. Susidariusių vidaus vienašalių

kampų didumų santykis yra 2:3. Apskaičiuokite šių kampų didumus.

b) Dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė. Vieno iš susidariusiųjų vidaus

vienašalių kampų didumas sudaro 20% kito vienašalio kampo didumo.

Apskaičiuokite šių kampų didumus.

21. Ar tiesės a ir b yra lygiagrečios? Atsakymą pagrįskite.

19*.a) Z 1 = 35° , Zl = 55°.

įrodykite, kad a Ib .

b) Z1 = 20° , Z 2 = 70°.

įrodykite, kad a 1 b .

a)

b) 1) 2) 3)

•k -k Jt

1.2. Trikampiai

1. a) įrodykite, kad Δ ABC = AACD. a

b) Įrodykite, kad Δ ABD = Δ BCD .

2. a) Įrodykite, kad AABC = AACD.

b) Įrodykite, kad Δ ABD = A BCD . d

3. a) Raskite Z BFC.

b) Raskite ZAFD.

4. a) Trikampiai BCD ir AFE yra lygūs. Raskite kraštinę FA, jei BD = 9 cm ,

EF = 12 cm , Pbcd =31 cm .

b) Trikampiai ABC ir MNF yra lygūs. Raskite kraštinę AC, jei MN = I cm,

BC = 6 cm ir Pkinf = 18 cm .

6. a) Trikampyje DEF nubrėžtos pusiaukraštinės DM ir EN. Raskite DM, jei

PENF = 23 cm ir DF = EF = 10 cm .

b) Trikampyje ABC nubrėžtos pusiaukraštinės CK ir AM. Raskite PBKC > Je^

AM = 5 cm ir AB = BC = 4 cm .

7. a) Lygiašoniame trikampyje ABC ZA = ZB = 56°. Kurios trikampio kraštinės

yra lygios?

b) Lygiašoniame trikampyje ABC AB = BC = 5 cm . Kurie trikampio kampai

yra lygūs?

5. a) Raskite keturkampio ABCD perimetrą,

jei AC = 5 cm , o Pabc = 13 cm .

b) Keturkampio MNKP perimetras

lygus 18 cm ir PNKP =12 cm . Raskite

atkarpos NP ilgį.

8*. a) BM = MN, ZBMA = ZNMA .

Įrodykite, kad Δ AMB = Δ AMN .

В D

b) AB = CD, ZCAB = ZACD .

Įrodykite, kad Δ ABC = Δ A CD.

B

9. a) AB = CD, BC=AD, ZB = SS0 .

Apskaičiuokite ZD . A C

b) AB = CD, BC=AD, ZDBC = Sl0 .

Apskaičiuokite Z l .

10. Trikampiai MNP ir ABC yra lygūs, be to, NP = AC , MP=AB.

a) Apskaičiuokite trikampio MNP kraštinės MN ilgį ir trikampio ABC kampo C

didumą,jei ZN = 50° ir BC=IOcm.

b) Apskaičiuokite trikampio ABC kraštinės BC ilgį ir trikampio MNP kampo P didumą, jei MN=\2m ir ZA = 48°.

11*. a) AB = BC . įrodykite, kad Z\=Z2.

b) AB = BC . įrodykite, kad Z l = Z l .

12. Duota: AB\\CD, AB = AC .

Apskaičiuokite:

a) Z l J e i ZACD = 152° ;

b) ZACD , jei Z l = 48°.

13. a) Duota: ZLKN = Wl0, KN \\ LM ,

kampo I didumas sudaro 40 % kam-

po 2 didumo. Apskaičiuokite Z3 .

b) Duota: KN\\LM, Z 1 = 36°.

Kampo 2 didumas sudaro 20%

kampo NLM didumo.

Apskaičiuokite ZKNL .

14*. a) Trikampiuose MPK ir BDE nubrėžtos pusiaukampinės PC ir DN.

Δ MPC = Δ BDN . Raskite atkarpos NE ilgį, jei MK = Scm , o BN yra 2,4 cm

trumpesnė už NE.

b) Trikampiuose ABC ir KPM nubrėžtos pusiaukampinės BO ir PE.

Δ ABO = Δ KPE. Raskite atkarpos EM ilgį, jei A C = 9 cm , o EM yra 3,8 cm

ilgesnė už KE.

15*. a) OM ir ON yra trikampių AOB ir COD

aukštinės. Be to, OM = ON . Raskite

CD, jei AO = 6,5 cm , AM =4,2 cm ir

DN = 5,6 cm .

b) OH ir ON yra trikampių MOK ir

EOF aukštinės. De to, OH = ON .

Raskite MK, jei EN = 7,8 cm ,

OE = 8,6cm , HM= 6,3cm.

16*. a) Žinoma, kad BD yra trikampio ABC pusiaukraštinė. DE = DB , AB = 5,8 cm ,

BC=I,Acm, AC = 9cm. Rasti CE.

b) Žinoma, kad AO yra trikampio ABC

pusiaukraštinė. AO = OK , AB = 6,3 cm ,

BC = 6,5cm, AC = 6,7cm . Raskite CK.

17*.a) Lygiašonio trikampio ABK pagrindo AB tęsinyje pažymėtas taškas M, taip,

kad taškas B yra tarp taškų A ir M. Raskite Z KBM ,jei Δ A = 40° .

b) Lygiašonio trikampio CDE pagrindo CD tęsinyje pažymėtas taškas P taip,

kad taškas D yra tarp taškų C ir P. Raskite Z E C D , jei Z EDP = 112°.

18. a) Duota: ZOBC = 60°

Raskite ZADC .

b) Duota: ZKML = 60°.

Raskite ZKNM .

19. a) Raskite ZBAD .

b) Raskite ZBCD.

/ K

/ \ 6 0A

X 7 )M

N

C D

20. a) Raskite Z1 + Z2 + Z3 .

b) Raskite ZI + Z2 + Z3.

21. a) Pagal brėžinyje pateiktus duomenis

raskite kampo CAD didumą.

с

b) Pagal brėžinyje pateiktus duomenis

raskite kampo ADC didumą.

22. a) Trikampis XYD panašus į trikampį KTP. Raskite kampą T, jei ZX = 46° ,

ZD = 73°.

b) Trikampis ACD panašus į trikampį BKE. Raskite kampą C, jei AB = 83° ,

AE = 32°.

23. a) Ilgiausioji trikampio kraštinė lygi 4,8cm. Raskite kitas šio trikampio

kraštines, jei panašaus jam trikampio kraštinės lygios 8 cm, 12 cm ir 6 cm.

b) Trumpiausioji trikampio kraštinė lygi 5 cm. Raskite kitas šio trikampio

kraštines, jei panašaus jam trikampio kraštinės lygios 8 cm, 2 cm ir 9 cm. A

24*. a) Duotas Δ ABC ir ABKC = ACMB = 90°.

Parodykite, kad ABAC- AMAK.

C

b) Duotas AABC ir ABHA = ABEA = 90°

Parodykite, kad AACB-AHCE.

25. a) Trikampyje MKP MP = 24 cm, DE || MP , čia DeMK , E e PK . Raskite

MK, jei DM = 6 cm , DE = 20 cm .

b) Trikampyje CDE EC = 26 cm , MN || CE , čia M e CD, NeED. Raskite

CD,jei CM = Scm ir MN = 20cm.

26. a) Duota:

AB\\ A,B, Il /I2S2 Il А,ВЪ\\ A4B4-

OA = AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 ir

BB4 -B2B3 =IOcm. Raskite OB4

B

27.

b) Duota AC \\ FD \\ PK . Apskaičiuokite χ ir y.

O

28*. a) Trikampio vidurinė linija 3,6 cm mažesnė už trikampio pagrindą. Raskite

trikampio vidurinės linijos ir pagrindo sumą.

b) Trikampio vidurinė linija 5,4 cm mažesnė už trikampio pagrindą. Raskite

trikampio vidurinės linijos ir pagrindo sumą.

29*. a) Atkarpa AB kerta tiesę ( . Be to, taškas

A nutolęs nuo tiesės ί 28 cm atstumu, o

taškas B 21 cm atstumu. Taškas C yra

atkarpos AB vidurys. Kokiu atstumu

taškas C yra nutolęs nuo tiesės ( ?

b) Atkarpa CD kerta tiesę m. Be to, taškas

C nutolęs nuo tiesės m 16 cm atstumu, o

taškas D- 31 cm atstumu. Taškas O yra

atkarpos CD vidurys. Kokiu atstumu

taškas O yra nutolęs nuo tiesės m?

30. a) Atstumas tarp Šiaulių ir Panevėžio yra 80 km . Kokį mastelį reikia pasirinkti,

kad kelią būtų galima pavaizduoti sąsiuvinio lape, kurio matmenys yra

16 cm χ 20 cm ?

b) Apskaičiuokite realų atstumą tarp Klaipėdos ir Vilniaus, jei atstumas

žemėlapyje tarp šių miestų yra 16 cm , o žemėlapio mastelis 1:2000000.

C

b) Duota:

MK IL M1K1 IL M2K2 IL M I K I Y M4KA ;

EM = MMX = M1M2 = M2MI = MIM4

ir KKA -KXK2=XACM. Raskite EK4 .

a) Duota a || b , DE = 30.

Apskaičiuokite χ ir v.

31. a) Apskaičiuokite tilto per upę ilgį, kuris 1:5000 mastelio plane pavaizduotas

4,2 cm ilgio atkarpa. Kokia atkarpa tame pačiame plane vaizduojama tiesi

gatvė, kurios ilgis 1,25 km .

b) Apskaičiuokite plano mastelį, kai 3 km gatvė tame plane pavaizduota 60 cm

ilgio atkarpa. Apskaičiuokite atstumą nuo mokyklos iki mokinio namų, kai

tame pačiame plane jis pavaizduotas 4,6 cm atkarpa?

32. a) Yra trys to paties miesto planai, kurių masteliai 1:50000, 1:10000 ir

1:5000 . Pirmajame plane tam tikra gatvė pavaizduota 6,2 cm ilgio atkarpa.

Kokio ilgio atkarpa ta gatvė atvaizduota kituose dviejuose planuose?

b) Yra du tos pačios gyvenvietės planai. Pirmojo mastelis 1:1000, antrojo

1:500. Viena tos gyvenvietės gatvė mažesnio mastelio plane pavaizduota

32,5 cm ilgio atkarpa. Apskaičiuokite, kokio ilgio atkarpa ši gatvė pavaizduota

antrajame plane?

33. a) Kelio vietovėje ilgis yra 3,2 km, o žemėlapyje 4 cm . Raskite žemėlapio

mastelį.

b) Geležinkelio tilto ilgis vietovėje yra 1,2 km, o žemėlapyje 6 cm . Raskite

žemėlapio mastelį.

34. a) Raskite MN.

b) Raskite PR.

B

35. a) Raskite BD.

D

b) Raskite MN.

M

36. a) Raskite CD.

b) Raskite AB.

37. a) Duota CD = IOcm ,

BC = 6 cm . Raskite AF.

b) Duota PM = 24 cm ,

PL = 25 cm. Raskite NK.

38*. a) Trikampyje CDE CD = IScm, DE = Ucm, C£ = 14cm.

Raskite aukštinę DF.

b) Trikampyje ABC AB = XQcm , BC=Mcm, ЛС = 21 cm.

Raskite aukštinę BD.

39*.a) Duotas ДЛЯС, Z C = 90°,

C D l / i S , ЛС = 15ст, AD = 9cm.

Raskite AB.

b) Duotas ΔCDE , ZD = 90° ,

DM 1CE, CD = 6 cm. CE = 9 cm.

Raskite CM.

40*. a) Duotas Δ ABC -statusis, Z C = 90°,

ZA = a , AB = 8 cm. Raski te A Cir ВС.

b) Duotas AABC -statusis, ZC = 90°,

ZB = β , AB = 1 cm . Raskite AC ir ВС.

41. a) Raskite AB, AC ir ZB

b) Raskite DE, DF ir ZD .

42. Kai saulės spinduliai su žemės paviršiumi sudarė kampą a , mokiniai išmatavo

stiebo šešėlio ilgį. Jis buvo a metrų. Stiebo aukštį išreikškite dydžiais a ir a. Apskaičiuokite stiebo aukštį metro tikslumu, kai:

a) a = l5m , a = 47°; b) a = l8m , a = 43°30' .

43. a) Duotas Δ ABC, AB = BC = 6 cm.

AC = 10 cm . Raskite cos A .

b) Duotas AABC , AB = BC = 5 cm ,

AC = Scm . Raskite sin A .

44*. a) Raskite lygiakraščio trikampio ABC, kurio perimetras 18 cm , kampo A trigonometrines funkcijas.

b) Duotas lygiašonis trikampis ABC, kurio perimetras 36 cm , o pagrindas AB

lygus 10 cm. Raskite kampo A trigonometrines funkcijas.

45. a) Raskite SC.

b) Raskite FD.

46. a) Dvi trikampio kraštinės Im ir 9 m , o kampas tarp jų lygus 60°. Raskite

trečiąją kraštinę ir trikampio plotą.

b) Dvi trikampio kraštinės lygios m ir 6 m , o kampas tarp jų 45°.

Raskite trečiąją kraštinę ir trikampio plotą.

47. a) Trikampyje ABC ; b = \0cm, ZA = IO0, ZB = 30° . Raskite kraštinę a.

Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

b) Trikampyje ABC\ b = \2cm, ZB = AS0, ZA = AO0. Raskite kraštinę a.

Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

48*. a) Trikampio kraštinės yra 7 cm , 8 cm ir 10 cm. Raskite šio trikampio

didžiausio kampo kosinusą.

b) Trikampio kraštinės yra 5 c m , b cm ir 8c m . Raskite šio trikampio

mažiausio kampo kosinusą.

49*. a) Raskite trikampio kraštinės,

esančios prieš 45° kampą, ilgį

b) Raskite trikampio kraštinės,

esančios prieš 30° kampą, ilgį

50*. a) Raskite MK

b) Raskite OP.

51*. a) Taškai M ir N pažymėti skirtingose upės pusėse. Viename krante, kuriame

yra taškas Л/, pažymėtas taškas A taip, kad MA = 100 m . Raskite atstumą tarp

taškų M ir N, jei ZMNA = 50° , ZNAM = 70° . Atsakymą pateikite dešimtųjų

tikslumu.

b) Taškai D ir £ pažymėti skirtingose upės pusėse. Viename krante, kuriame

yra taškas D, pažymėtas taškas A taip, kad AD = XSOM . Raskite DE, jei

ZEDA = 80° ir ZEAD = 35° . Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

55. a) Taisyklingojo trikampio aukštinė lygi 4 cm . Raskite to trikampio plotą.

b) Taisyklingojo trikampio plotas lygus 24л/з cm . Raskite to trikampio

aukštinę.

rx

56*. a) įrodykite, kad с / \

$ ABF = $ BCF = $ CDF · y " v \

b) Įrodykite, kad -^££1 = 4 . SBDK

57*. a) Panašiųjų trikampių atitinkamos kraštinės yra 16 cm ir 12 cm . Raskite plotą

mažesniojo trikampio, jei didesniojo plotas lygus 40 cm2.

b) Dviejų panašiųjų trikampių plotai lygūs 96 m2 ir 150 m2 . Raskite didžiojo

trikampio kraštinę, jei atitinkama jai mažesniojo trikampio kraštinė lygi 32 cm .

58*. a) Lygiašonio trikampio kampas prie pagrindo lygus 30°, o plotas lygus

cm . Raskite šoninę trikampio kraštinę.

b) Lygiašonio trikampio kampas prie viršūnės lygus 120°, o pagrindas

14-Уз cm . Raskite trikampio plotą.

59*.a) Duotas statusis trikampis ABC, kur ZC = 90°, BC = 8c m , AB = IOcm; c

CD - aukštinė. Raskite . ^ADC

b) Duotas statusis trikampis MKP, kur ZK = 90° , MK = 6 cm, MP = IOcm;

KD- aukštinė. Raskite . SKDP

60*.a) Trikampyje ABC DE\\AC,

SDBE =4 cm2, Sadec =5 cm2,

DE = T cm . Raskite A C.

b) Trikampyje ABC DE\\AC,

SDBE = 9 cm1, Sadec=I cm2,

AC = IOcm. Raskite DE.

61*. a) Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 16 cm, o plotas 48 cm2. Taškas K

dalija trikampio pagrindą santykiu 3:5. Apskaičiuokite taško K atstumus iki

šoninių kraštinių.

b) Lygiašonio trikampio aukštinė lygi 3 cm , o perimetras - 18 cm . Taškas M

dalija trikampio pagrindą santykiu 5:7. Apskaičiuokite taško M atstumus iki

šoninių kraštinių.

62*.a) Trikampyje ABC kampas ABC = 10°,o kampas ACB = 35° . BM-kampo

B pusiaukampinė. Įrodykite, kad AABM panašus į trikampį AABC .

b) Trikampyje ABC kampas ВАС lygus 80° , o kampas ACB lygus 40°. AK -kampo A pusiaukampinė. įrodykite, kad AABK panašus į Δ ABC .

B

.a) Stačiajame trikampyje ABC stačiojo kampo B pusiaukampinės BE taškas O

yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras. BO: OE = л/з : -Jl, OD L ВС,

OFL AC.

1) Parodykite, kad Z O E F = 135° - Z C .

2) Parodykite, kad teisingos lygybės:

Jl OD = -BO ir OF = 0£sin(l 35°-ZC1). B

3) Raskite trikampio ABC smailiuosius kampus.

b) Stačiajame trikampyje ABC smailiojo C

kampo pusiaukampinės AP taškas O yra

į trikampį įbrėžto apskritimo centras p

AO : OP = OE LAB, R

OFL ВС. B

J^1

Ί 1 ^ ^ ^

1) Parodykite, kad ZAPF = 90°-« ,jei ZCAP = A .

2) Parodykite, kad tg a = V I - I

, j e i ZCAP = A .

л/3 + 1

3) Raskite trikampio ABC smailiuosius kampus.

*.a) Stačiojo trikampio vieno statinio ilgis lygus 13, o aukštinė, nuleista į

įžambinę, lygi 12. Raskite trikampio plotą.

b) Lygiašonio trikampio pagrindo ilgis lygus 1, aukštinės, nuleistos į pagrindą

ilgis lygus л/2 . Raskite atstumą nuo pagrindo kraštinės vidurio taško iki

šoninės kraštinės.

•k "k ii

1.3. Daugiakampiai

1. a) Per kvadrato, kurio įstrižainė 12 cm , viršūnes nubrėžtos jo įstrižainėms

lygiagrečios tiesės. Nustatykite gautojo keturkampio rūšį ir apskaičiuokite jo

perimetrą.

b) Kvadrato kraštinės lygios IOcm. Kvadrato kraštinių vidurio taškai sujungti.

Nustatykite gautojo keturkampio rūšį ir apskaičiuokite jo įstrižainių ilgį.

2*. a) Ar egzistuoja taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidaus kampas

lygus 145° ?

b) Ar egzistuoja taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidaus kampas

lygus 150°.

3*. a) Raskite taisyklingojo septyniakampio vidaus kampų sumą.

b) Keliais laipsniais iškiliojo aštuoniakampio vidaus kampų suma didesnė už

iškiliojo keturkampio vidaus kampų sumą?

4*. a) Kiek kampų turi iškilasis daugiakampis, jei jo vidaus kampų suma

lygi 1620°.

b) Ar egzistuoja iškilasis daugiakampis, kurio vidaus kampų suma 1980°?

Jei taip, tai kiek kampų turi šis iškilasis daugiakampis?

5. a) Viena rombo įstrižainė lygi jo kraštinei.

1) Apskaičiuokite rombo kampus,

2) Apskaičiuokite kampus, kuriuos rombo įstrižainės sudaro su jo kraštinėmis.

b) Kampų, kuriuos sudaro rombo įstrižainės su jo kraštinėmis santykis

lygus 1:4.

1) Apskaičiuokite kampus, kuriuos sudaro rombo įstrižainės su jo kraštinėmis,

2) Apskaičiuokite rombo kampus.

6. a) Aukštinės, nubrėžtos iš rombo viršūnės, sudaro 30° kampą. Apskaičiuokite

rombo kampus.

b) Aukštinės, nubrėžtos iš rombo smailiojo kampo viršūnės, sudaro 120°

kampą. Apskaičiuokite rombo kampus.

7. a) MNKP - lygiagretainis, MT - kampo

pusiaukampinė, NT = 6 cm , TK = 4 cm . Raskite lygiagretainio perimetrą.

b) ABCD- lygiagretainis, DE - kampo

ADC pusiaukampinė, CD = Scm ,

BE = Mcm . Raskite lygiagretainio

perimetrą.

8. a) Lygiagretainio trijų kampų suma lygi 252° . Raskite lygiagretainio kampus.

b) Lygiagretainio dviejų kampų suma lygi 108°. Raskite lygiagretainio

kampus.

9*. a) MNKP - lygiagretainis, MT kampo

NMP pusiaukampinė, o PT kampo MPK

pusiaukampinė, MN = Scm.

Raskite lygiagretainio perimetrą.

b) ABCD- lygiagretainis, BE- kampo

ABC pusiaukampinė, CE- kampo BCD

pusiaukampinė, AE = ED = 6 cm .

Raskite lygiagretainio perimetrą.

10*. a) ABCD - lygiagretainis, BD1 AD, BC= AD = Scm, AB = CD = Mcm .

1) Raskite lygiagretainio plotą.

2) Raskite įstrižainės AC ilgį.

b) ABCD — lygiagretainis, Δ AOB = 45°,

AC = Icm, BD = Зл/2 cm . 1) Raskite lygiagretainio plotą.

2) Raskite kraštinės BC ilgį.

11. a) Keturkampio ABCD įstrižainės kertasi taške O. Be to, OA = 0,6 dm,

OB = 3cm , OC = BD = 60 mm . Ar tas keturkampis yra lygiagretainis?

b) Keturkampio MNKP įstrižainės kertasi taške O. Be to, MO = 1 cm,

MK = 1,4dm , NO = 5cm, OP = 50mm . Ar tas keturkampis yra lygia-

gretainis?

12*. a) Statmuo, nuleistas iš stačiakampio ABCD viršūnės A į įstrižainę, neeinančią

per tą viršūnę, dalija ją santykiu 1:3 , skaitant nuo viršūnės B. įstrižainė lygi

6 cm . Raskite atstumą nuo įstrižainių susikirtimo taško iki ilgesniosios

kraštinės.

b) Statmuo, nuleistas iš stačiakampio ABCD viršūnės A į įstrižainę, neeinančią

per tą viršūnę, dalija ją santykiu 1:3 skaitant nuo viršūnės B. įstrižainė lygi

8 cm . Raskite atstumą nuo įstrižainių susikirtimo taško iki trumpesniosios

kraštinės.

13. a) Kampas tarp stačiakampio įstrižainių lygus 60°. Raskite įstrižainių ilgį, kai

trumpesnioji kraštinė lygi 5 cm .

b) Kampas tarp stačiakampio įstrižainių lygus 60°. Raskite trumpesniąją

stačiakampio kraštinę, kai įstrižainė lygi 8 cm .

14. a) Brėžinyje pavaizduota trapecija ABCD.

15. a) Lygiašonės trapecijos įstrižainė su pagrindu sudaro 30° kampą.

Apskaičiuokite trapecijos kampus, jei trumpesnysis pagrindas lygus šoninei

kraštinei.

b) Lygiašonės trapecijos įstrižainė statmena jo šoninei kraštinei ir su pagrindu

sudaro 15° kampą. Raskite trapecijos kampus.

16*. a) Trapecijos ABCD, AB\\CD. įstrižainė BD vidurinę liniją dalija į 6 cm ir 12 cm atkarpas. Raskite trapecijos pagrindus.

b) Trapecijos ABCD, AB || CD . įstrižainė AC vidurinę liniją dalija į 2 atkarpas,

kurių ilgių santykis 3:8. Raskite trapecijos pagrindus, jei vidurinė linija

lygi 22 cm .

1) Raskite kraštinės AD ilgį.

2) Raskite trapecijos plotą.

b) Brėžinyje pavaizduota trapecija ABCD. 1) Raskite kraštinės AD ilgį.

2) Raskite trapecijos plotą.

17*. a) Trapecijos ABCD ilgesnysis pagrindas yra AD. Per viršūnę B nubrėžta tiesė,

lygiagreti kraštinei CD iki susikirtimo su AD taške E. Raskite duotosios

trapecijos perimetrą, jei BC = 3 cm ir Pabe = 17 cm .

b) Trapecijos ABCD pagrindai AD ir BC atitinkamai lygūs 15cm ir 5 c m , o

kampas CDA lygus 60° . Per viršūnę B ir CD vidurio tašką O nubrėžta tiesė iki

susikirtimo su kraštinės AD tęsiniu taške E. Kampas ABE lygus 90° , o kampas

CBE lygus 30° . Raskite trapecijos perimetrą.

18*. a) Raskite plotą lygiašonės trapecijos, kurios įstrižainė lygi 24cm, o pagrindai

yra 4 cm ir IOcmilgio.

b) Raskite plotą stačiosios trapecijos, kurios vienas kampų lygus 60°, o

pagrindai yra 6л/з cm ir 2л/з cm ilgio.

19*.a) ABCD-lygiašonė trapecija, kurios AB = CD = 6 c m , o mažesnysis

pagrindas BC = 4cm ,ZB = 120° . Raskite šios trapecijos plotą.

b) ABCD- stačioji trapeciją kurios CD = Acm, BC = 3 cm, ZC= 150° ir

ZA = 90° . Raskite šios trapecijos plotą.

20. a) Lygiagretainio kraštinės yra 5 cm ir 6 cm, o vienas jo kampų 150°.


2) Raskite ilgesniosios įstrižainės ilgį.

b) Lygiagretainio kraštinės yra 5 cm ir cm , o vienas jo kampų 120° .


2) Raskite ilgesniosios įstrižainės ilgį.

21. a) Rombo kraštinės yra po 20 cm, o viena įstrižainių lygi 24 cm. Raskite

rombo plotą.

b) Rombo kraštinės yra po 25 c m , o viena įstrižainė lygi 48cm . Raskite

rombo plotą.

22. a) Raskite rombo, kurio kraštinė 8 m, o kampas tarp rombo kraštinės ir

įstrižainės lygus 60°, plotą.

b) Raskite rombo, kurio kraštinė IAcm, o kampas tarp rombo kraštinės ir

įstrižainės lygus 22,5° , plotą.

23. a) Kvadrato įstrižainė lygi cm . Raskitejo plotą,

b) Kvadrato plotas lygus 6 cm2. Raskitejo įstrižainę.

24*. a) Lygiašonės trapecijos įstrižainė statmena šoninei kraštinei. Jos ilgesnysis

pagrindas lygus 16λ/3 cm, o vienas jos kampų lygus 60°.

1) Parodykite, kad duotosios trapecijos įstrižainė lygi 24 cm . 2) Raskite trapecijos plotą.

b) Lygiašonės trapecijos įstrižainė statmena šoninei kraštinei. Jos šoninė

kraštinė lygi 6 cm, o vienas jos kampų lygus 60°.

1) Parodykite, kad duotosios trapecijos įstrižainė lygi 6л/з cm . 2) Raskite trapecijos plotą.

25*. a) ABCD - trapecija, BA 1 AD , BC\\AD,

BC = 6 cm ; AC ICD, AC=IOcm.

Raskite trapecijos plotą.

b) KEDC - trapecija, ED || KC ,

CD1 KC, ED = 3 cm, EC = Scm,

EC .L KE . Raskite trapecijos plotą.

D

D

26. a) Raskite iškilojo penkiakampio

plotą pagal brėžinyje pateiktus

duomenis.

b) Raskite iškilojo šešiakampio

plotą pagal brėžinyje pa.eiktus

duomenis.

27*. a) Trapecijos ABCD kampas A lygus 45° , o kampas C lygus 100° . Įstrižainė

BD sudaro su šonine kraštine CD kampą lygų 35° . Ant kraštinės AB nubrėžtas

lygiagretainis ABPK taip, kad taškas D yra BP taškas ir BD: DP =2 A. Raskite

lygiagretainio plotą jei jo perimetras 30 cm .

b) Trapecijos MPKO kampas M lygus 45°, o kampas K lygus 135°. Ant

kraštinės MP nubrėžtas lygiagretainis MPDT taip, kad jo kraštinė PD \\ KO ir

kerta kraštinę MO taške A ir PA : AD= 1:3. Lygiagretainio plotas lygus

36 cm1. Raskitejo perimetrą.

28*.a) Lygiagretainio kraštinės 6 cm ir IOcm, o aukštinė nubrėžta į ilgesniąją

kraštinę lygi 5 cm . Raskite aukštinę nubrėžtą į trumpesniąją kraštinę,

b) Lygiagretainio kraštinės 6cm ir 10cm, o aukštinė nubrėžta į trumpesniąją

kraštinę lygi 8 cm . Raskite aukštinę nubrėžtą į ilgesniąją kraštinę.

29*.a) Stačiojoje trapecijoje smailusis kampas A lygus 45°, o aukštinė nubrėžta iš

bukojo kampo viršūnės dalija ilgesnįjį pagrindą į 2 cm ir 6 cm atkarpas,

skaitant nuo A. Raskite trapecijos plotą.

b) Stačiojoje trapecijoje smailusis kampas lygus 45°, o aukštinė nubrėžta iš

bukojo kampo viršūnės dalija ilgesnįjį pagrindą į dvi lygias atkarpas po Acm .

Raskite trapecijos plotą.

30*.a) AD ir BC yra trapecijos ABCD pagrindai ir AD: BC = 2:1 . Taškas E yra

kraštinės BC vidurys. Raskite plotą trapecijos, jei SAED = 60 cm2 .

b) Trapecijos ABCD BC\\AD ir ВС: AD = 3:4. Trapecijos plotas lygus

70 cm . Raskite Sabc .

31*. a) Kvadrato kraštinėje AB pažymėtas taškas M taip, kad CM = 25 cm.

Kvadrato įstrižainė lygi 20л/2 cm . 1) Raskite atkarpos AM ilgį.

2) Raskite keturkampio AMCD plotą.

b) Stačiakampio kraštinėje BC pažymėtas taškas M taip, kad AM = 13 cm,

AB = 12 cm , BD = 20 cm . Raskite:

1) Raskite atkarpos MC ilgį.

2) Raskite keturkampio AMCD plotą.

32*.a) AB ir AXBX; BC ir AXCX atitinkamos panašiųjų trikampių ABC ir AXBXCX

kraštinės. Raskite BXCX, ZA ir SABC :S^a1C1 > jeigu BC: AXCX = 5:2;

AC = I dm, ZBX =17° .

b) AB ir CX AX; BC ir AXBX atitinkamos panašiųjų trikampių ABC ir AXBXCX

kraštinės. Raskite BXCX, ZB ir S4 i i i c i : SABC , jei ZAX= 15°, AC = 6 cm ir

ВС: AXBX = 3 : 4 .

33*. a) Trikampio aukštinė 12 cm . Kokiu atstumu nuo viršūnės, iš kurios nuleista ši

aukštinė, reikia nubrėžti tiesę, kad susidariusieji trikampis ir trapecija būtų

lygiapločiai? Atsakymą pateikite dešimtosios tikslumu.

b) Tiesė lygiagreti trikampio kraštinei dalija tą trikampį į dvi lygiaplotes dalis.

Kokiu santykiu ta tiesė dalija likusias dvi trikampio kraštines. Atsakymą

pateikite dešimtosios tikslumu.

•k Jt Jc

1.4. Apskritimas ir skritulys

1. a) Raskite žiedo plotį, kai jo

plotas 400π cm2, o vidinis skers-

muo 30 cm.

b) Apskaičiuokite žiedo plotą, kai

žiedo plotis 7 cm, o išorinis

skersmuo 53 cm .

2. a) Apskritimo spindulio ilgis lygus 7 cm . Apskaičiuokite apskritimo ilgį.

b) Apskritimo ilgis lygus 5 π cm . Apskaičiuokite apskritimo spindulio ilgį.

4. a) Taškas K dalija apskritimo stygą AP į 12 cm ir 14 cm atkarpas. Raskite

apskritimo spindulį, jei atstumas nuo apskritimo centro iki K lygus Wcm .

b) Taškas M dalija stygą PK į dvi atkarpas PM = 7 dm, MK = Sdm. Raskite

atstumą nuo taško M iki apskritimo centro, jei apskritimo spindulys 9 dm .

5. a) Taškai A, B ir C dalija apskritimą su centru O į tris lankus: KJAB , UBC ir

UAC , kurių kampiniai didumai 7:5:6. Raskite kampų ZABC , ZBAC ir

ZAOB didumus.

b) Taškai A, B ir C dalija apskritimą su centru O į tris lankus: KJAB , УJBC ir

YJAC , kurių kampiniai didumai 2:9:7. Raskite ZAOC , ZBOC ir ZACB

B 3. a) Pagal paveiksle pateiktus duomenis,

raskite lanko AB ilgį ir išpjovos AOB

plotą.

b) Pagal paveiksle pateiktus duomenis,

raskite lanko AB ilgį ir išpjovos AOB

plotą.

IA

didumus.

6*. a) Apskritimo stygos AB ir CD kertasi taške M. Raskite AB ilgį, jei

CM = 4 cm, DM = 9 cm ir AM : MB = 4 .

b) Apskritimo stygos Λ/Κ ir PT kertasi taške A. Raskite AM ilgį, jei AP = 2 dm,

AT = IAdm, о АМ\КА = Ъ-А.

7. a) Taškai /4, 5 ir C yra apskritimo su centru O taškai. Kampas ABC yra 50°

didumo. Be to, UAB: KJCB = 5:8. Raskite lankų AB ir CB kampinius didumus

ir ZAOC didumą.

b) Taškai K, M ir T yra apskritimo su centru O taškai. Kampas KMT yra 70°

didumo. Be to, UKM : KJMT = 5:6. Raskite lankų KM ir MT kampinius

didumus ir Z KOT didumą.

8*. a) Tiesė AB liečia apskritimą su centru O ir spinduliu 5 cm, taške A. Raskite

OB, jei AB = Mcm.

b) Tiesė AB liečia apskritimą taške B su centru O ir spinduliu 15 cm . Raskite

AB, jei OA = Mcm .

9*. a) AB - apskritimo liestinė. Raskite AD, jei AB = 6 dm ir CD = 5 dm .

b) MK - apskritimo liestinė. Raskite

SMJei MK = Scm ir BC = Mcm.

10*.a) Duota: AB = 20 cm, AC = 4 cm,

AE = 16 cm . Raskite DE.

b) Duota: CK = 16cm, CP = 6cm,

CM = 24 cm. Raskite DM.

K

12. a) Z A B C - įbrėžtinis, ZAOC-

centrinis. Raskite Z ABC, jei

ZAOC= 126° .

b) О - apskritimo centras.

a = 136° , raskite β.

13. a) MP - skersmuo, O - j o centras,

OM = OK = MK . Raskite Z PKO .

b) AC-skersmuo, O - j o centras,

AB = OB = OA. Raskite Z OCB .

b) ZMCK yra 34° laipsniais mažes-

nis už ZMOK didumą. Raskite

ZMCK + ZMOK .

15. a) Paveiksle pavaizduotas apskri-

timas, kurio centras yra taškas O. A,

B, C ir D-keturi apskritimo taškai,

ZAOB = IOA. Raskite: ZACB ir

ZADB didumus.

14. a) ZACB yra 38° mažesnis u ž Z A O B

didumą. Raskite ZAOB + ZACB .

11. a) Ant apskritimo pažymėti keturi taškai A, B, C, D. Raskite kampų ADC, jei

ZABC = 50° (du atvejai).

b) Apskritimo stygos AB ir DC kertasi. Kampas ABC lygus 50° , kampas ACD

lygus 80° . Raskite kampą CAD.

b) Paveiksle pavaizduotas apskri-

timas, kurio centras yra taškas O. A,

B, C ir £>- keturi apskritimo taškai,

ZAOB = lQ°, AmD = 80°. Raskite:

ZDAB didumą.

16*. a) Paveiksle pavaizduotas apskritimas,

kurio centras yra taškas O. A, B, C -trys apskritimo taškai, AO= 5,

ZBAC = 60° . Raskite atkarpos AB ilgį.

b) Paveiksle pavaizduotas apskritimas,

kurio centras yra taškas O. A, B, C-trys apskritimo taškai, AO = 6,

AB = BC . Raskite atkarpos AB ilgį.

17*. a) Trikampio ABC ZA =90° . Įrodykite, kad tiesė AC liečia apskritimą kurio

centras yra taške B, o spindulys - atkarpa AB.

b)ABCD-stačiakampis. Įrodykite, kad tiesė BC liečia apskritimą kurio

centras yra taške D, o spindulys - atkarpa DC.

18*. a) Taisyklingasis trikampis, kurio kraštinė lygi cm , įbrėžtas į apskritimą.

1) Parodykite, kad šio apskritimo spindulys lygus 2 cm .

2) Raskite į tą apskritimą įbrėžto kvadrato kraštinę,

b) Kvadratas, kurio kraštinė lygi

7л/2 cm , įbrėžtas į apskritimą.

1) Parodykite, kad šio apskritimo spindulys lygus 7 cm .

2) Raskite taisyklingojo trikampio, įbrėžto į šį apskritimą kraštinę. 19*. a) Apskritimo, apibrėžto apie taisyklingąjį trikampį, spindulys lygus 4л/б cm.

Raskite apskritimo, įbrėžto į tą trikampį, skersmens ilgį.

b) Apskritimo, įbrėžto į kvadratą spindulys lygus бл/б cm . Raskite apskritimo,

apibrėžto apie tą kvadratą skersmens ilgį.

20*.a) Apskritimo, įbrėžto į taisyklingąjį šešiakampį, spindulys lygus 8л/з cm.

Raskite apskritimo, apibrėžto apie tą šešiakampį, skersmens ilgį.

b) Apskritimo, apibrėžto apie taisyklingąjį šešiakampį, spindulys lygus

16л/з cm . Raskite skersmenį apskritimo, įbrėžto į tą šešiakampį.

21*.a) Į lygiakraštį trikampį, kurio kraštinės ilgis lygus 12 cm , įbrėžtas apskritimas.

Raskite šio apskritimo spindulį.

b) Apskritimo, įbrėžto į lygiakraštį trikampį, spindulys lygus 2 cm . Raskite šio

trikampio kraštinę.

22*. a) Keturkampio ABCD, apibrėžto apie apskritimą, kraštinės yra AB = Zcm,

CD = 13 cm, DA = 16 cm . Raskite kraštinės BC ilgį.

b) Raskite apie apskritimą apibrėžto keturkampio ABCD kraštinės AB ilgį, jei

BC=Ilcm, CD = 13cm ir DA = \5cm.

23*.a) Apie apskritimą, apibrėžtos lygiašonės trapecijos pagrindų ilgiai yra 16 cm

ir 36 cm . Raskite apskritimo ilgį.

b) Raskite perimetrą stačiosios trapecijos, apibrėžtos apie apskritimą, jeigu

vienas iš pagrindų didesnis už kitą 6 cm , o apskritimo spindulys lygus 4 cm .

24*.a) Stačiojo trikampio vienas iš smailiųjų kampų lygus 30° . Raskite trumpiausią

trikampio kraštinę, jei įbrėžto į j į apskritimo spindulys lygus 4 cm .

b) Stačiojo trikampio vienas iš smailiųjų kampų lygus 60°, o atstumas nuo

įbrėžto į jį apskritimo centro iki to kampo viršūnės lygus 10cm. Raskite

ilgiausiąją šio trikampio kraštinę.

25*. a) Atstumai nuo įbrėžto į stačiąją trapeciją apskritimo centro iki ilgesniosios

šoninės kraštinės galų lygūs 6 cm ir 8 cm . Raskite trapecijos plotą.

b) Atstumai nuo įbrėžto į lygiašonę trapeciją apskritimo centro iki šoninės

kraštinės galų lygūs 9 cm ir 12 cm . Raskite trapecijos plotą.

26*. a) ABCDEF-taisyklingasis šešia-

kampis, R = 5 cm . Raskite AB ir r. A

F' E

b) ABCDEF- taisyklingasis šešiakampis,

r = Icm . Raskite R, AB ir A C.

F^

\D

27*. a) ABCDEF-taisyklingasis šešiakampis.

Įrodykite, kad AACE - taisyklingasis.

b) Z l = Z 2 = Z3 . Įrodykite, kad AABC

yra taisyklingasis, kai taškas O - apie tri-

kampį ABC apibrėžto apskritimo centras.

28*. a) Keturkampis ABCD įbrėžtas į apskritimą taip, kad kraštinė AD yra

apskritimo skersmuo, ZABC= 121°, ZBCD = 129°. Raskite ZBAD,

ZCDA ir ZACD .

b) Keturkampis MKTP įbrėžtas į apskritimą taip, kad kraštinė MP yra

apskritimo skersmuo, ZKTM=IA0, ZMKT = 127°. Raskite ZKTP,

ZTPM , ZKMP.

29*. a) Raskite perimetrą stačiojo trikampio, įbrėžto į apskritimą kurio spindulys

lygus 13 cm , o vienas trikampio statinis - 10 cm .

b) Vienas stačiojo trikampio statinis lygus 30cm, o apibrėžto apie j į

apskritimo spindulys lygus 17 cm . Raskite to trikampio plotą.

30*. a) ABCDEF-taisyklingasis šešiakampis,

o jo plotas lygus 48cm2 . Raskite

trikampio ACD plotą.

b) ABCDEFGH-taisyklingasis aštuonia-

kampis. Trikampio ABE plotas lygus

6cm2. Raskite taisyklingojo aštuonia-

kampio plotą.

31. a) Centrinis kampas AOB lygus 90°.

Stygos AB ilgis cm . Raskite

išpjovos AOB plotą.

ШШ2

b) Centrinis kampas AOB lygus 120° . Stygos

AB ilgis 6л/з cm . Raskite išpjovos AOB

plotą.

32. a) Brėžinyje pavaizduotas apskritimas

su centru O. AB = BO= IOcm . Raskite

užbrūkšniuotos dalies plotą.

b) Brėžinyje pavaizduotas apskritimas

su centru O ir 8 cm spinduliu.

Mažesniojo iš lankų, apribotų styga

MH, kampinis didumas lygus 60°.

Raskite užbrūkšniuotos figūros plotą.

33*. a) Brėžinyje pavaizduotas trikampis KML

įbrėžtas į pusskritulį. KM = 35 cm ir

ML = 12 cm . Apskaičiuokite užbrūkš-

niuotos dalies plotą.

b) Brėžinyje pavaizduotas trikampis ABC

įbrėžtas į pusskritulį. AB = 29 cm ir

BC = 21 cm . Apskaičiuokite užbrūkš-

niuotos dalies plotą.

34*. a) Brėžinyje pavaizduotas pusskritulis su

skersmeniu AD. Lankų AB ir CD kampiniai matai lygūs 45°. Raskite

pusskritulio plotą, jeigu užbrūkšniuotos

figūros plotas lygus Q.

b) Pusskritulio plotas lygus Q. Lankų AB ir CD kampiniai matai lygūs 30° . Raskite

užbrūkšniuotos figūros plotą.

1.5. Simetrijos

1. a) Atkarpos AC ir BD kertasi taške O. AO = OC ir BO = OD. Taškai MKH

atitinkamai atkarpų AB ir CD vidurio taškai. Remdamiesi centrine simetrija

įrodykite, kad taškai M k H simetriški taško O atžvilgiu.

b) Atkarpos MQ ir NP kertasi taške O. Taškai A ir B atitinkamai atkarpų MN ir

PQ vidurio taškai. Įrodykite, kad taškai MKQ simetriški taško O atžvilgiu.

2. a) Duota trapecija ABCD. Nubrėžkite jai simetrišką figūrą kraštinės AB

atžvilgiu. (Trapecijos visos kraštinės skirtingo ilgio).

b) Duota trapecija ABCD. Nubrėžkite jai simetrišką figūrą įstrižainės AC

atžvilgiu. (Trapecijos visos kraštinės skirtingo ilgio).

3. a) Duota trapecija ABCD. Nubrėžkite jai simetrišką figūrą taško A atžvilgiu.

b) Duota trapecija ABCD. Nubrėžkite jai simetrišką figūrą įstrižainės AC

vidurio taško O atžvilgiu.

4*. a) Per lygiagretainio įstrižainių susikirtimo tašką nubrėžta tiesė, kertanti

kraštines BC ir AD atitinkamai taškuose M ir H. Įrodykite, kad BM = DH .

b) Per kvadrato ABCD įstrižainių susikirtimo tašką nubrėžtos dvi tarpusavyje

statmenos tiesės, kurių kiekviena kerta priešingas kvadrato kraštines. Įrodykite,

kad tų tiesių atkarpos, esančios kvadrato viduje, lygios tarp savęs.

5. a) Taškas A1 yra simetriškas taškui A(-2,4; 3,7) Ox ašies atžvilgiu. Taškas

A2 yra simetriškas taškui A1 Oy ašies atžvilgiu. Raskite taško A2 koordinates.

b) Taškas B1 yra simetriškas taškui β(5,6;-3,8) ordinačių ašies atžvilgiu.

Taškas B2 simetriškas taškui B1 abscisių ašies atžvilgiu, raskite taško B2

koordinates.

6. a) Kiek simetrijos ašių turi stačiakampis? Kokias?

b) Kiek simetrijos ašių turi rombas? Kokias?

7*. a) Raskite taškui Al2; б) simetrišką tašką koordinačių pradžios atžvilgiu,

b) Raskite taškui л(-3;4) simetrišką tašką koordinačių pradžios atžvilgiu.

8*. a) Kokios tiesės atžvilgiu simetriški taškai л(-3;3) ir £(5;3)?

b) Kokios tiesės atžvilgiu simetriški taškai М(2;3) ir n (2 ;-5)?

2. S t e reome t r i j a

2.1. Pagrindinės stereometrijos sąvokos

1*. a) Iš taško A į plokštumą a nubrėžtos dvi

atkarpos A C ir AB. Atkarpos AB ilgis lygus

9 cm. Taškas D yra atkarpos AB taškas, o

taškas E yra atkarpos A C taškas. DE |Į a ir

AE 1 = — . Raskite atkarpų AD ir DB ilgius.

b) Iš taško A į plokštumą a nubrėžtos dvi

atkarpos AC ir AB. Atkarpos AB ilgis lygus

10 cm . Taškas D yra atkarpos AB taškas, o

taškas E yra atkarpos AC taškas. DE || a ir

AE 2 -į^j = — . Raskite atkarpų AD ir DB ilgius.

2*. a) ABCDAlBlCiDl - kubas. Parodykite

briaunai AB lygiagrečias, su ja prasilen-

kiančias ir susikertančias briaunas.

b) KLMNKxLxMxNx - stačiakampis gre-

tasienis. Parodykite briaunai KKx lygia-

grečias, su ja prasilenkiančias ir susiker-

tančias briaunas. K N

3*. a) Duota trapecija ABCD. Ar egzistuoja plokštuma, kuriai priklauso tik trys jos

viršūnės?

b) Duota trapecija ABCD. Ar egzistuoja plokštuma, kuriai priklauso tik dvi jos

viršūnės?

4*. a) ABCDAxBxCxDx - stačiakampis gretasienis.

Kurioms sienoms yra statmena briauna:

1) AB ; 2) BBx; 3) ВС.

/ I I

D i

I B).... /

/ 7

C,

D

b) KLMNKlL1MiNl - stačiakampis gretasienis.

Kurioms sienoms yra statmena briauna:

1) KL; 2) LL1; 3) ML.

5*. a) Per atkarpos AB galus ir jos vidurio tašką

C nubrėžtos lygiagrečios tiesės, kertančios

plokštumą a taškuose A1, B1 ir C1. Ras-

kite atkarpos AA1 ilgį, jei AB nekerta plokš-

tumos a ir CC1 =10 cm , BB1 =14 cm.

b) Per atkarpos MN galus ir jos vidurio

tašką K nubrėžtos lygiagrečios tiesės,

kertančios plokštumą a taškuose N1, M1 ir K1. Raskite atkarpos KK1 ilgį, jei

atkarpa MN nekerta plokštumos a ir

MM1 =6 cm, NN1 = 20 cm .

6*. a) Taškas N nepriklauso plokštumai ABCD. ABCD - lygiagretainis. Kampas tarp tiesių

AD ir DN lygus 70°. Raskite kampą tarp

tiesių: 1) BC ir DJV ; 2) AB ir DN.

b) Taškas A nepriklauso plokštumai KLMN. KLMN-lygiagretainis. Kampas tarp tiesių

AN ir KN yra lygus 50°. Raskite kampą

tarp tiesių: 1) LMir AN; 2) LK ir AN.

K1 A < I

I N1

I Lj---. S • 7

M1

M

N

7*. a) Plokštuma a-kerta trikampio ABC kraštines AB ir BC atitinkamai taškuose D

ir E. Be to, AC \\ a. Raskite A C, jei BD: AD = 3:4 ir DE = IOcm .

b) Plokštuma β, kerta trikampio MPK kraštines MP ir KP atitinkamai taškuose

NkE. Be to, MK || β . Raskite NE, jei MK = Ucm k MN:NP = 3:5.

8*. a) MCDN- rombas, kurio kraštinės ilgis lygus 4 cm. MNKP lygiagretainis.

Raskite keturkampio CDKP perimetrą jei NK = Scm , Z CMP = 60° .

b) CDEK- rombas, kurio kraštinės ilgis lygus 8 cm. CKMN - lygiagretainis.

Raskite keturkampio DEMN perimetrą jei KM = 6 cm k Z DCN = 60° .

9*. a) ABCD kvadratas, BM statmenas plokštumai (ABC). Raskite atkarpos DM

ilgi, jei AB = л/Г2 cm ir BM = Scm.

b) CDEK- kvadratas, kurio kraštinė 2 cm . BD statmenas plokštumai (CDE).

Raskite atstumą nuo taško B iki plokštumos CDE, jei BK = yfl2 cm .

10*. a) Trikampis ABC - statusis, Z C = 90°, AC = Scm, BC = 6 cm ir

CD I(ABC). Raskite CD, jei atstumas nuo taško D iki kraštinės AB lygus 5 cm.

b) Trikampis ABC statusis, ZA = 60°, Z C = 90°, CH yra trikampio ABC

aukštinė. Be to, CH = Scm . BK statmuo trikampio plokštumai ABC. Raskite

BK, jei atstumas nuo taško K iki kraštinės AC lygus 20 cm .

11*.a) Lygiakraščio trikampio ABC ir kvadrato BCDE plokštumos yra statmenos.

Raskite atstumą nuo taško A iki kraštinės DE, jei AB = 4 cm .

b) Lygiašonio trikampio ABC ir kvadrato ABDE plokštumos yra statmenos.

Raskite atstumą nuo taško C iki kraštinės DE, jei AB = b cm, Z ABC = 90° .

12*. a) Trikampis ABC - lygiašonis, AC = BC = 8л/б cm, Z C = 90°. Plokštuma a

eina per kraštinę AC. Be to, kraštinė AB sudaro su plokštuma a 30° kampą.

Raskite atstumą nuo viršūnės B iki plokštumos a

b) Trikampis CDE - lygiašonis, CD = DE = 40 cm, Z C = 60°. Plokštuma a

eina per kraštinę CD. Be to, kraštinė CE sudaro su plokštuma ar 30° kampą.

Raskite atstumą nuo taško E iki plokštumos a.

13*.a) Iš taško A nuleistas statmuo AO į plokštumą a ir nutiestos dvi lygios

pasvirosios: AB ir AC. Žinoma, kad: AO = Icm, Z BAO = Z CAO = 60° ,

ZCAB = 90° . Raskite atstumą BC tarp pasvirųjų pagrindų.

b) Iš taško į plokštumą nutiestos dvi pasvirosios, kurių kiekviena lygi 2 cm .

Kampas tarp pasvirųjų lygus 60°, kampas tarp jų projekcijų - statusis. Raskite

atstumą nuo taško iki plokštumos.

14*. a) Lygiakraščio trikampio kraštinė lygi 3 cm. Šalia trikampio plokštumos

esantis taškas nuo kiekvienos trikampio viršūnės nutolęs per 2 cm . Raskite

atstumą nuo to taško iki plokštumos.

b) Atstumai nuo taško iki stačiojo trikampio viršūnių lygūs 6,5 cm . Trikampio

statiniai lygūs 3 cm ir 4 cm. Raskite atstumą nuo taško iki trikampio

plokštumos.

15*. a) Stačiojo trikampio ABC statiniai lygūs 15 m ir 20 m. Iš stačiojo kampo

viršūnės C iškeltas statmuo CD trikampio plokštumai; CD = 35 m . Raskite

atstumą nuo taško D iki įžambinės.

b) Iš stačiakampio ABCD viršūnės A iškeltas statmuo AK jo plokštumai.

Atstumai nuo taško K iki kitų stačiakampio viršūnių lygūs 6 m , I m ir 9 m .

Apskaičiuokite statmens ilgį.

16*. a) Iš vieno taško nubrėžtos dvi pasvirosios, su plokštuma sudarančios 45° ir

30° kampus. Trumpesniosios pasvirosios projekcija lygi л/2 m . Apskai-

čiuokite atstumą nuo taško iki plokštumos ir kitos pasvirosios ilgį.

b) Iš taško A nubrėžtos dvi pasvirosios, kurių viena su plokštuma sudaro 30°

kampą kita-60° kampą. Kampas tarp pasvirųjų lygus 120°. Ilgesnioji

pasviroji lygi 2-Уз m . Apskaičiuokite atstumą nuo taško A iki plokštumos ir

kitos pasvirosios ilgį.

17*. a) Per vieną rombo kraštinę eina plokštumą nutolusi nuo priešingos kraštinės

per 4 cm . Rombo įstrižainių projekcijos toje plokštumoje lygios 8 cm ir 2 cm .

Raskite kraštinių projekcijas.

b) Per stačiojo trikampio ABC stačiojo kampo viršūnę C eina įžambinei

lygiagreti plokštumą nuo įžambinės nutolusi per 1 dm . Statinių projekcijos toje

plokštumoje lygios 3 dm ir 5 dm . Raskite įžambinės projekciją.

18*. a) Kampas tarp lygiakraščio trikampio ABK ir kvadrato ABCD plokštumų lygus

30° . Raskite atstumąKD, jei AB = 6 c m .

b) Kampas tarp lygiašonio trikampio ABC ir rombo ABMK plokštumų lygus

30°. Raskite atstumą CK, jei ^ C = BC = IOcm, AB = \2cm, ZABM = 120°.

19*. a) Per stačiojo trikampio ABC kraštinę AB

( Z B = 90°) eina plokštumą kurios

atstumas nuo taško C lygus 4 cm.

Apskaičiuokite kampą kurį sudaro ta

plokštuma su trikampio ABC plokštumą

kai BC = Scm.

b) Per stačiojo trikampio ABC kraštinę

AC (Z A = 90°), AB = 9 cm eina plokš-

tuma, kurios atstumas nuo taško B lygus

4,5 cm. Apskaičiuokite kampą, kurį

sudaro ta plokštuma su trikampio ABC plokštuma.

20*. a) ZSBA = Z SBC = 90° .

Nustatykite trikampio SBD rūšį.

b) SBlABb SBlBC , DeAC. Nustatykite trikampio SBD rūšį.

21*.a) Per kvadrato ABCD kraštinę AD (AD = 20 cm) eina plokštuma ar taip, kad

taškas C nutolęs nuo jos IOcm .

1) Raskite atstumą nuo kvadrato įstrižainių susikirtimo taško iki plokštumos a. 2) Apskaičiuokite kampą x, kuriuo kvadrato įstrižainė pasvirusi į plokštumą a.

b) Per stačiakampio ABCD, kurio kraštinės 4cm ir 8 c m , kraštinę AB eina

plokštuma γ . Stačiakampio projekcija plokštumoje γ - kvadratas. Apskai-

čiuokite:

1) atstumą nuo viršūnės C iki plokštumos γ , 2) kampą χ, kuriuo stačiakampio įstrižainė pasvirusi į plokštumą γ .

22*.a) Trikampiai ABC ir ABD lygiašoniai. AC= BC= 15cm, AB = \8cm,

Z ADB = 90°. Raskite kampo tarp plokštumų ABC ir ABD kosinusą jei

CD = 6 cm.

b) Trikampiai CDK ir CKE lygiašoniai. CD = DK = 25cm, CK = IAcm ir

ZE = 90°. Raskite kampo tarp plokštumų CDK ir CKE, jei DE = 23 cm.

23*. a) Duoti stačiakampiai ABCD ir ABEF, nesantys vienoje plokštumoje,

įrodykite, kad keturkampis CEFD yra stačiakampis.

b) Duoti kvadratai PQRS ir PQAB, nesantys vienoje plokštumoje. įrodykite,

kad keturkampis BSRA yra stačiakampis.

2.2. Geometriniai kūnai

3.

Du

D y . .

a) Iš ABCDAlBlCiD1 - kubas, kurio briauna lygi 4 dm . Raskite:

1) kubo įstrižainę,

2) kubo viso paviršiaus plotą,

3) kubo tūrį.

b) ABCDA1B1C1D1 -kubas, kurio

visas paviršius IAdm2 . Raskite:

1) kubo briauną

2) kubo įstrižainę,

3) kubo tūrį.

a) Iš betoninių stačiakampio gretasienio formos blokelių, kurių ilgis lygus

40cm, plotis - 20cm, aukštis - IOcm sudėjo kubą kurio briauna lygi

160 cm . Kiek betoninių blokelių tam prireikė?

b) Iš betoninių blokelių, kurių ilgis lygus 50 cm , plotis - 25 cm ir aukštis -

10 cm, sudėjo kubą kurio briauna lygi 2 cm . Kiek betoninių blokelių tam

prireikė?

a) Stačiakampio gretasienio formos baseino tūris lygus 800 m3 , o pagrindo

kraštinės 40m ir 10m. Kiek vienetų kvadratinių plytelių, kurių matmenys yra

IOxlOcm, reikia baseino dugnui ir šoninėms sienoms išklijuoti?

b) Stačiakampio gretasienio formos baseino tūris lygus 200 m3, jo pagrindo

kraštinės 25 m ir 4 m . Kiek vienetų kvadratinių plytelių, kurių matmenys yra

IOx 10 cm , reikia baseino dugnui ir šoninėms sienoms išklijuoti?

a) Du metaliniai kubai, kurių briaunų ilgiai yra 1 cm ir 2 cm , sulydyti į vieną

kubą. Raskite gautojo kubo briauną.

b) Du metaliniai kubai, kurių briaunų ilgiai yra 2 cm ir 4 cm , sulydyti į vieną

kubą. Raskite gautojo kubo viso paviršiaus plotą.

a) Plieninės sijos skersinis pjūvis yra

pavaizduotas brėžinyje. Matmenys

nurodyti milimetrais. Jos ilgis 4 m .

Apskaičiuokite šios sijos masę, jei

plieno tankis lygus »7 , 8 ^3- . cm

Atsakymą parašykite vieno kilogramo

tikslumu.

4 6,5

j

t W

100

b) Geležinės juostos skerspjūvis yra

pavaizduotas brėžinyje. Matmenys

nurodyti milimetrais. Apskaičiuokite

jos masę, kai juostos ilgis 25,75 m , o

σ geležies tankis lygus ~ 7, 9 — .

cm Atsakymą parašykite vieno kilogramo

tikslumu.

6. a) Brėžinyje pavaizduota atviros sta-

čiakampės dėžutės išklotinė. Naudo-

damiesi duotais matmenimis apskai-

čiuokite dėžutės tūrį kubiniais

decimetrais, jei brėžinyje matmenys

duoti milimetrais.

b) Atvira dėžutė pagaminta iš sta-

čiakampio formos skardos lakšto,

kurio matmenys 200x300, nukirpus

nuo kiekvieno kampo kvadratėlius.

Apskaičiuokite vidinio dėžutės pavir-

šiaus plotą (kvadratiniais decimet-

rais), jei brėžinyje matmenys duoti

milimetrais.

7*. a) Stačiakampio gretasienio viso paviršiaus plotas lygus 136cm2. Pagrindo

kraštinės yra 4 cm ir 6 cm ilgio. Raskite stačiakampio gretasienio tūrį.

b) Stačiakampio gretasienio pagrindo kraštinės yra 3 cm ir 5 cm ilgio.

Ilgesnioji iš šoninių sienų įstrižainių sudaro su pagrindo plokštuma 60°

kampą. Raskitejo viso paviršiaus plotą.

8*. a) Dėžutė yra taisyklingosios keturkampės prizmės formos, kurios pagrindo

įstrižainė lygi 8cm, o šoninės sienos įstrižainė 7cm . Kiek reikia popieriaus

šiai dėžutei apklijuoti. Atsakymą pateikite Icm2 tikslumu.

b) Indas yra taisyklingosios keturkampės prizmės formos. Jo įstrižainė lygi

25cm, o šoninės sienos įstrižainė 20cm. Kiek t vandens telpa į šį indą?

Atsakymą parašykite 11 tikslumu.

25

800

1040

^ 100 ^

^0

H

9*. a) Stačiosios prizmės pagrindas - trikam-

pis, kurio kraštinės 5 cm , 5 cm ir 6 cm , mažesniosios šoninės sienos įstrižainė su

didesniąją šonine siena sudaro 45° kam-

pą. Raskite prizmės tūrį.

C1

C

b) Stačiosios prizmės pagrindas -

trikampis, kurio kraštinės 5 cm ir 3 cm ,

o kampas tarp jų 120°. Didžiausios

šoninės sienos plotas lygus 35cm 2 .

Raskite prizmės tūrį. A L· " - -.Ifl

10*. a) Taisyklingosios šešiakampės prizmės pagrindo kraštinė lygi 4 cm, o

ilgiausioji jos įstrižainė sudaro su pagrindu 60° kampą. Raskite prizmės viso

paviršiaus plotą.

b) Taisyklingosios šešiakampės prizmės pagrindo kraštinė lygi 6 cm, o

ilgiausioji jos įstrižainė sudaro su pagrindo plokštuma 30° kampą. Raskite

prizmės viso paviršiaus plotą.

11. a) Taisyklingosios trikampės prizmės viso paviršiaus plotas lygus 8л/з , šoninė

briauna - VJ . Raskite prizmės turį.

b) Taisyklingosios keturkampės prizmės tūris lygus 128, pagrindo plotas lygus

šoninio paviršiaus plotui. Raskite prizmės aukštinę.

12*. a) Taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižainė lygi 4 m ir pasvirusi į

pagrindo plokštumą 60° kampu. Raskite prizmės paviršiaus plotą.

b) Taisyklingosios trikampės prizmės šoninės sienos įstrižainė lygi 4λ/3 m ir

pasvirusi į pagrindo plokštumą 30° kampu. Raskite prizmės paviršiaus plotą.

13*. a) Stačiosios prizmės pagrindas - stačiakampis, kurio įstrižainė su kraštine

sudaro 30° kampą. Prizmės įstrižainė lygi 12 m ir su pagrindu sudaro 60°

kampą. Raskite prizmės viso paviršiaus plotą.

b) Stačiosios prizmės pagrindas - rombas, kurio kampas lygus 60° . Prizmės

mažesnioji įstrižainė lygi 8- 2 m ir pasvirusi į pagrindo plokštumą 45°

kampu. Raskite prizmės viso paviršiaus plotą.

14*.a) Raskite kubo ABCDAlBxCxDx pjūvio, gauto perkirtus j į plokštuma, einančia

per briauną AB ir briaunos Bx Cx vidurio tašką, plotą, jei kubo briauna

lygi 2 cm .

b) Raskite kubo ABCDAxBxCxDx pjūvio, gauto, jį perkirtus plokštuma, einančia

per briaunas AB ir CxDx, plotą, jei kubo briauna lygi 3 cm .

15*.a) Kubo įstrižinio pjūvio plotas yra cm .

Raskite kubo viso paviršiaus plotą.

b) Kubo viso paviršiaus plotas yra 18л/2 cm .

Raskitejo įstrižinio pjūvio plotą.

16*. a) ABCAxBxCx - taisyklingoji trikampė prizmė. Per briauną AxBx ir briaunos

AC vidurio tašką M, nubrėžtas pjūvis, kurio plotas lygus O, ISyfl cm . Raskite

prizmės aukštinę, jei jos pagrindo kraštinė lygi 2 cm .

b) MKPMxKxPx - taisyklingoji trikampė prizmė, kurios pagrindo kraštinė lygi

4 cm . Prizmė kertama plokštuma einančia per taškus P, E ir F, kur £ ir F

atitinkamai briaunų MxPx ir KxPx vidurio taškai. Raskite pjūvio plotą, jei

prizmės šoninė briauna lygi 3 cm .

П*.я) ABCDAxBxCxDx - stačiakampis gretasienis, AB = 2cm, BC = 4cm,

BBx =8cm. Per taškus A, Bx ir C nubrėžta plokštuma. Raskite kampo tarp

plokštumų AB1C ir ABC kampo tangentą.

b) /IfiCD^1S1C1Dl - stačiakampis gretasienis, BC = 6, CD = 2, CC1= 12.

Raskite kampo tarp plokštumų BCxD ir ABC tangentą.

18*.a) Stačiojo gretasienio ABCDAxBxCxDx

pagrindo kraštinės AB ir AD atitinkamai

lygios 7 cm ir 7л/2 cm , ZA = 45° . Mažes-

nioji gretasienio įstrižainė BxD sudaro su

pagrindo plokštuma 45° kampą.

1) Parodykite, kad pagrindo įstrižainė BD = 1 cm .

2) Raskite gretasienio tūrį.

AB

D,

ijic D

b) Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinės,

lygios Icm ir cm , sudaro 45° kampą,

gretasienio mažesnioji įstrižainė su pagrindo

plokštuma sudaro 45° kampą.

1) Parodykite, kad pagrindo įstrižainė BD = Scm . 2) Raskite gretasienio tūrį.

7 cm

19. a) Taisyklingosios keturkampės piramidės aukštinės ilgis lygus 5 cm,

pagrindo kraštinės - 6 cm . Raskite piramidės šoninės briaunos ilgį.

b) Taisyklingosios keturkampės piramidės aukštinės ilgis lygus 2 cm,

pagrindo kraštinės -4 cm . Raskite piramidės šoninės briaunos ilgį.

5

20*. a) Taisyklingosios trikampės piramidės

SABC pagrindo kraštinė lygi 2 cm , o visi

dvisieniai kampai prie pagrindo lygūs 30°.

Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

b) Taisyklingosios trikampės piramidės

SABC pagrindo kraštinė lygi 2 cm , o visi

dvisieniai kampai prie pagrindo lygūs 60° .

Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

21*. a) Taisyklingosios keturkampės piramidės

pagrindo kraštinė lygi m, o šoninė

briauna pasvirusi į pagrindo plokštumą 30°

kampu. Raskite piramidės tūrį.

b) Taisyklingosios keturkampės piramidės

šoninė briauna lygi Jb m ir pasvirusi į

pagrindo plokštumą 60° kampu. Raskite

piramidės tūrį.

22*. a) Taisyklingosios trikampės piramidės dvisienis kampas prie pagrindo lygus

30° , o pagrindo kraštinė lygi cm . Raskite:

1) Piramidės viso paviršiaus plotą.

2) Piramidės tūrį.

b) Taisyklingosios trikampės piramidės dvisienis kampas prie pagrindo lygus

60°, o pagrindo aukštinė lygi 2Λ/3 cm . Raskite:

1) Piramidės viso paviršiaus plotą.

2) Piramidės tūrį.

23*.a) Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninė briauna, kurios ilgis lygus

9 cm, su pagrindo plokštuma sudaro 60° kampą. S

1) Parodykite, kad Z SCO = 60° .

2) Parodykite, kad piramidės pagrindo

ABCD plotas lygus 40,5 cm2 .

3) Apskaičiuokite piramidės tūrį. A

b) Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninė briauną kurios ilgis 6 cm su

pagrindo plokštuma sudaro 30° kampą.

1) Parodykite, kad ZSCO = 30°.

2) Parodykite, kad piramidės pagrindo

ABCD plotas lygus 54 cm2 .

3) Apskaičiuokite piramidės tūrį. A

24*. a) Piramidės pagrindas yra rombas, kurio kiekviena šoninė siena sudaro su

pagrindo plokštuma 60° kampą. Raskite piramidės pagrindo plotą jei

piramidės aukštinė lygi 9 cm , o vienas rombo kampas 45° .

b) Piramidės pagrindas yra rombas, kurio vienas kampų 60° . Kiekviena šoninė

siena su pagrindo plokštuma sudaro 30° kampą. Raskite piramidės pagrindo

plotą jei piramidės aukštinė lygi 6 cm .

25*. a) Raskite taisyklingosios keturkampės

piramidės šoninio paviršiaus plotą jei jos

įstrižinis pjūvis yra statusis trikampis,

kurio plotas lygus 32 cm2 .

b) Raskite taisyklingosios keturkampės

piramidės šoninio paviršiaus plotą, jeigu

jos įstrižinis pjūvis yra taisyklingasis

trikampis, kurio plotas lygus cm .

A rB

C

26*. a) Piramidės pagrindas - rombas, kurio kraštinė lygi Am, o smailusis

kampas - 30°. Dvisieniai kampai prie piramidės pagrindo lygūs 45°.

Apskaičiuokite piramidės tūrį.

b) Piramidės pagrindas - trikampis, kurio kraštinės lygios 5 cm, 12 cm ir

13 cm . Piramidės visos šoninės briaunos pasvirusios į pagrindą 45° kampu.


27*. a) Piramidės pagrindas - lygiašonė trapeciją kurios šoninė kraštinė lygi 6 cm ,

o kampas - 30°. Piramidės šoninės sienos pasvirusios į pagrindą 60° kampu.


b) Piramidės pagrindas - lygiašonis trikampis, kurio pagrindas lygus 6 cm ,

o aukštinė - 3cm. Kiekviena piramidės šoninė briauna lygi 5cm.


28*.a) Piramidės pjūvis, statmenas jos aukštinei, dalija aukštinę santykiu 3:1

(skaičiuojant nuo piramidės viršūnės). Apskaičiuokite:

1) pjūvio plotą kai pagrindo plotas lygus 16 m 2 ,

2) pjūvio perimetrą kai pagrindo perimetras lygus 16 m.

b) Piramidės pjūvis, lygiagretus jos pagrindui, dalija aukštinę santykiu 2:5

(skaičiuojant nuo piramidės viršūnės). Apskaičiuokite:

1) piramidės pagrindo plotą kai pjūvio plotas lygus 4m 2 ,

2) pagrindo perimetrą kai pjūvio perimetras lygus 8 m .

29*. a) Piramidės pagrindas - stačiakampis, kurio kraštinių ilgiai lygūs 30 m ir

12 m. Piramidės šoninių briaunų ilgiai lygūs. Piramidės aukštinės ilgis - 8 m .

Apskaičiuokite:

1) piramidės šoninio paviršiaus plotą

2) atstumą nuo piramidės aukštinės pagrindo iki mažesniosios šoninės sienos,

b) Piramidės pagrindas - stačiakampis. Piramidės šoninės briaunos pasvirusios

į pagrindą vienodu kampu. Piramidės aukštinės ilgis lygus 16m, o šoninių

sienų aukštinių ilgiai - 20 m ir 34 m . Apskaičiuokite:

1) piramidės šoninio paviršiaus plotą

2) atstumą nuo piramidės aukštinės pagrindo iki didesniosios šoninės sienos.

30*. a) Piramidės pagrindas - statusis trikampis su statiniais 6cm

Piramidės aukštinė eina per įžambinės s-

vidurio tašką ir lygi įžambinei.

1) Parodykite, kad SA = SB = SC. 2) Raskite briaunos SA ilgį.

3) Raskite piramidės tūrį V.

b) Piramidės pagrindas - statusis trikampis, kurio statiniai lygūs 6 cm ir 8 cm .

Piramidės aukštinė lygi 12 cm, 9

dalija to trikampio įžambinę pusiau.

1) Parodykite, kad SA = SB = SC. 2) Raskite briaunos SA ilgį. A B 3) Raskite piramidės tūrį V.

31*. a) Taisyklingosios keturkampės piramidės

plokščiais kampas prie viršūnės lygus 60° .

Piramidės aukštinė lygi 2cm. Raskite

piramidės šoninio paviršiaus plotą.

b) Taisyklingosios trikampės piramidės

plokščiais kampas prie viršūnės lygus 60°.

Piramidės aukštinė lygi 4 cm. Raskite

šoninio paviršiaus plotą.

32. a) Nustatykite, kurio indo

tūris yra didesnis. 1) 2)

ai

b) Raskite pirmojo ritinio

aukštį ir antrojo ritinio tūrį. 1) 2)

' 3 cm -

2h

33. a) Ritinio ašinis pjūvis yra kvadratas,

kurio įstrižainė lygi 20 cm. Raskite

ritinio pagrindo spindulį.

b) Ritinio ašinis pjūvis yra kvadratas,

kurio įstrižainė iygi 36cm. Raskite

ritinio pagrindo spindulį.

34*. a) Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus бл/π dm , o jo pagrindo plotas 25 dm .

Raskite ritinio aukštinę.

b) Ritinio ašinio pjūvio plotas 12 V i dm2, o pagrindo plotas 64 dm1. Raskite

ritinio aukštinę.

35*.a) Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus 108cm2, o jo sudaromoji tris kartus

trumpesnė už pagrindo skersmenį. Raskite ritinio viso paviršiaus plotą,

b) Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus 64 cm2 , o jo sudaromoji lygi pagrindo

skersmeniui. Raskite ritinio tūrį.

36*. a) Ritinio pagrindo spindulys 3 kartus mažesnis už aukštinę, o viso paviršiaus

plotas lygus 288π cm2. Raskite ritinio matmenis.

b) Ritinio šoninio paviršiaus plotas keturis kartus didesnis už pagrindo plotą o

viso paviršiaus plotas lygus 500π cm2. Raskite ritinio matmenis.

37. a) Kiek kvadratinių metrų lakštinės skardos reikia 4 m ilgio ir 20 cm

skersmens vamzdžiui padaryti, jeigu siūlėms pridedama 2,5% jo šoninio

paviršiaus ploto?

b) Reikia nudažyti ritinio formos baką Bako pagrindo skersmuo 1,5 m , aukštis

3 m. Vienam kvadratiniam metrui nudažyti reikia 200 g dažų. Kiek dažų

reikia visam bakui nudažyti?

38*. a) Ritinio tūris lygus 240π стг , šoninio paviršiaus plotas - 120π cm2. Raskite

ašinio pjūvio įstrižainę.

b) Ritinio šoninio paviršiaus plotas lygus 12π , tūris lygus 45π . Raskite ritinio

pagrindo spindulį.

39. a) Kiek kvadratinių metrų skardos sunaudota 1 milijonui konservų dėžučių

pagaminti, jei vienos konservų dėžutės pagrindo skersmuo lygus 10c/n, o

aukštis - 5 cm . Siūlėms ir atliekoms pridėkite 10 % skardos.

b) Ritinio formos kamino skersmuo lygus 65 cm, aukštis - 18 m. Kiek

kvadratinių metrų skardos reikia jam pagaminti (siūlėms tenka 10% viso

reikiamo skardos kiekio)?

40*. a) Kūgio pagrindo spindulio ilgis lygus 3 m , aukštinės -Am . Raskite kūgio

sudaromosios ilgį.

b) Kūgio sudaromoji, kurios ilgis lygus 5 m , pasvirusi į pagrindo plokštumą

30° kampu. Raskite kūgio aukštinės ilgį.

41*.a) Kūgio sudaromosios ir jo aukštinės skirtumas lygus 3, kampas tarp j ų - 60°.

Raskite kūgio tūrį, laikydami, kad π = 3,14. Atsakymą parašykite vieneto

tikslumu.

b) Kūgio aukštinės ir sudaromosios santykis yra 35:37, šoninio paviršiaus

plotas lygus 444π cm1. Raskite kūgio tūrį.

42*. a) Kūgio pagrindo spindulys lygus 2л/з cm, o sudaromosios pasvirusios į

pagrindo plokštumą 60° kampu. Raskite kūgio šoninio paviršiaus plotą ir tūrį.

b) Kūgio pagrindo spindulys lygus Зл/2 cm , o sudaromosios su pagrindo

plokštuma sudaro 45° kampus. Raskite kūgio šoninį paviršių ir tūrį.

43*. a) Kūgio sudaromoji, lygi 2л/2 m , pasvirusi į pagrindą 45° kampu; per dvi

sudaromąsias išvesta plokštuma, su kūgio aukštine sudaranti 30° kampą.

Apskaičiuokite:

1) atstumą nuo aukštinės pagrindo iki stygos, kuria pjūvio plokštuma kerta

kūgio pagrindą,

2) atstumą nuo aukštinės pagrindo iki pjūvio plokštumos.

b) Kūgio sudaromoji pasvirusi į pagrindą 30° kampu. Kūgio pagrindo

spindulys lygus 6 m. Per dvi kūgio sudaromąsias, sudarančias 90° kampą,

išvesta plokštuma. Apskaičiuokite:

1) ilgį stygos, kuria pjūvio plokštuma kerta kūgio pagrindą,

2) atstumą nuo kūgio aukštinės pagrindo iki stygos.

44. a) Kūgiško skardinio piltuvėlio skersmuo

turi būti lygus 10cm, o aukštinė 12cm .

Apskaičiuokite ruošinio matmenis - išklo-

tinės spindulį ir kampinį didumą. Medžia-

gos siūlėms neskaičiuokite.

b) Kūgiško skardinio piltuvėlio skersmuo

turi būti lygus spinduliui išklotinės,

reikalingos jam pagaminti. Apskaičiuokite

išklotinės kampą. Kam lygus piltuvėlio

skersmuo, jei jo pagaminimui sunaudota

120 cm2 skardos (neskaitant siūlių)?

45. a) Kūgio šoninį paviršių perpjovę pagal sudaromąją ir ištiesinę plokštumoje,

gauname skritulio išpjovą kurios spindulys lygus 4 cm , o centrinis kampas -

120° . Raskite kūgio tūrį.

b) Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra skritulio, kurio spindulys lygus IOcm ,

išpjova. Kūgio aukštinė lygi 8 cm . Raskite skritulio išpjovos centrinį kampą.

46. a) Kūgiškam skardiniam piltuvėliui paga-

minti išpjauta skritulinė išpjovą kurios

kampas 200° , o spindulys 10 cm . Apskai-

čiuokite piltuvėlio aukštį ir skersmenį

(į siūles neatsižvelkite).

b) Kūgiškam skardiniam piltuvėliui pa-

gaminti iš skardos išpjauta skritulinė

išpjovą kurios lanko ilgis lygus 30cm, o

kampas 210°. Apskaičiuokite piltuvėlio

aukštį ir skersmenį (į siūles neatsižvelkite).

47*. a) Kūgio tūris lygus 100π, o jo pagrindo spindulys lygus 5. Raskite kūgio

ašinio pjūvio perimetrą.

b) Kūgio tūris lygus 240π, o jo sudaromosios ir pagrindo plokštumos

sudaromo kampo tangentas lygus . Raskite kūgio ašinio pjūvio plotą.

48*.a) Kūgio tūris lygus 40π , o kampo tarp sudaromosios ir aukštinės kosinusas

lygus -y. Raskite kūgio sudaromosios ilgį.

b) Kūgio šoninis paviršius lygus 30 π , o kampo tarp sudaromosios ir pagrindo

3 tangentas lygus —. Raskite kūgio aukštinę.

49*. a) Kūgio turis lygus 9-Уз π cm . Raskite kūgio aukštinę, jeigu jo ašinis pjūvis

yra lygiakraštis trikampis.

b) Kūgio tūris lygus 18π dm3. Jo ašinis pjūvis yra statusis trikampis. Raskite

kūgio aukštinę.

50*. a) Įrodykite, kad, jeigu kūgis ir ritinys turi bendrą pagrindą ir ritinio sudaromoji

lygi kūgio sudaromosios ir jo pagrindo spindulio sumos pusei, tai visas kūgio

paviršius lygus ritinio šoniniam paviršiui.

b) Įrodykite, kad, jeigu ritinys ir kūgis turi bendrą pagrindą ir kūgio sudaromoji

dvigubai didesnė už ritinio aukštinės ir jo pagrindo spindulio sumą, tai kūgio

šoninis paviršius lygus ritinio visam paviršiui.

51. a) Skaldos krūva yra kūgio formos. Jos pagrindo spindulys 2 m , sudaromoji

3,5 m . Kiek reikia vežimų dešimčiai tokių krūvų pervežti? 1 m3 skaldos sveria

3 tonas, į vežimą telpa 0,5 t.

b) Kūgiškos grūdų krūvos aukštis 2,4m pagrindo apskritimo ilgis 20m. Im3

grūdų masė lygi 750 kg. Kiek tonų grūdų yra krūvoje?

52*. a) Kūgio aukštinė lygi 20, o jo pagrindo spindulys 25. Per kūgio viršūnę

išvestas pjūvis. Atstumas nuo jo iki kūgio pagrindo centro lygus 12.

Apskaičiuokite pjūvio plotą.

b) Kūgio pagrindo spindulys lygus 1, o sudaromoji pasvirusi į pagrindą 30°

kampu. Per kūgio viršūnę išvesta plokštuma, sudaranti su kūgio aukštine 45°

kampą. Apskaičiuokite gautojo pjūvio plotą.

53. a) Raskite rutulio paviršiaus plotą, jei jo spindulys lygus 4л/з dm .

b) Raskite rutulio paviršiaus plotą, jei jo spindulys lygus 2V? cm .

54. a) Raskite rutulio tūrį, jei jo skersmuo lygus 4^2 dm .

b) Raskite rutulio tūrį, jei jo skersmuo lygus cm .

55*.a)Rutulys kertamas plokštuma. Gautojo pjūvio spindulio ilgis lygus 6dm.

Raskite atstumą nuo rutulio centro iki pjūvio plokštumos, jei žinoma, kad

rutulio paviršiaus plotas lygus 400π dm1.

b) 5 cm spindulio rutulys kertamas plokštuma 3 cm atstumu nuo centro.

Raskite, kiek kartų gautojo pjūvio plotas mažesnis už rutulio paviršiaus plotą.

56*.a) Kvadrato ABCD, kurio kraštinė 12CM, viršūnės yra sferos taškai. Raskite

atstumą nuo sferos centro O iki kvadrato plokštumos, jei spindulys OD su

kvadrato plokštuma sudaro 60° kampą.

b) Kvadrato CDEF, kurio kraštinė 18 cm, viršūnės yra sferos taškai. Raskite

atstumą nuo sferos centro O iki kvadrato plokštumos, jei sferos spindulys OE

sudaro su kvadrato plokštuma 30° kampą

57*. a) Trikampio ABC kraštinės liečia rutulį. Raskite rutulio spindulį, jei

AB = Scm, BC=IOcm , AC = 12cm ir atstumas nuo rutulio centro O iki

trikampio plokštumos ABC lygus л/2 cm .

b) Trikampio MKN kraštinės liečia rutulį. Raskite rutulio spindulį, jei

MK = 9cm, MN = 13cm , KN = 14cm ir atstumas nuo rutulio centro O iki

plokštumos MKN lygus S cm .

58*. a) Rutulį kertanti plokštumą yra nutolusi 8 cm atstumu nuo rutulio centro.

Pjūvio spindulys lygus 15 cm . Raskite rutulio paviršiaus plotą.

b) Raskite rutulio pjūvio plotą jei rutulio spindulys 41 cm , o pjūvio plokštuma

nutolusi nuo rutulio centro 29 cm atstumu.

59*. a) Rutulys, kurio tūris lygus 36π Cms, perkirstas plokštumą einančia per jo

centrą. Raskite kiekvienos gautos rutulio dalies paviršiaus plotą.

b) Rutulys perkirstas plokštumą einančia per jo centrą. Kiekvienos gautos

rutulio dalies paviršiaus plotas lygus 12π cm2. Raskite rutulio tūrį.

60*. a) Rutulio pjūvis statmenas skersmeniui AB ir jį dalija taške K santykiu

AK: /CS = 1:3. Pjūvio plotas lygus 12π m 2 . Apskaičiuokite:

1) rutulio tūrį,

2) tūrį rutulio išpjovos, kuriai tenka mažesniosios nuopjovos paviršius,

3) mažesniosios rutulio nuopjovos paviršiaus plotą.

b) Rutulį kerta plokštumą einanti per spindulio OB galą B ir su spinduliu

sudaranti 30° kampą. Pjūvio plotas lygus 3π m2. Apskaičiuokite:

1) rutulio tūrį,

2) didesniosios rutulio nuopjovos paviršiaus plotą

3) tūrį rutulio išpjovos, kuriai tenka mažesniosios nuopjovos paviršius.

61. a) Du švininiai rutuliai, kurių spinduliai yra 5 cm ir 7 cm ilgio, perlydomi į

vieną didesnį rutulį. Raskite gautojo rutulio skersmenį. Atsakymą suapvalinkite

iki dešimtųjų.

b) Du švininiai rutuliai, kurių spinduliai yra 3 cm ir 4 cm ilgio, perlydomi į

vieną didesnį rutulį. Raskite gautojo rutulio skersmenį. Atsakymą suapvalinkite

iki dešimtųjų.

62*.a) Raskite kubo tūrį, jeigu apie jį apibrėžto rutulio paviršiaus plotas

lygus 64π m2.

b) Raskite tūrį rutulio, apibrėžto apie kubą kurio briaunos ilgis lygus 3 cm .

63*.a) Kambario kampe guli rutulys, kurio tūris 36Tidmi. Rutulys liečia tris

kambario sienas, turinčias bendrą tašką. Raskite atstumą nuo rutulio centro iki

to taško, jei kambarys yra stačiakampio gretasienio formos,

b) į stačiakampį gretasienį patalpintas rutulys taip, kad jis liečia tris gretasienio

sienas, turinčias bendrą viršūnę. Raskite atstumą nuo rutulio centro iki tos

viršūnės, jei rutulio tūris lygus стъ.

64. a) Siloso bokštas yra ritinio formos su kūgio formos pastoge. Bokšto vidinis

skersmuo yra 6,80 m , aukštis krašte yra 8,10 m , viduryje - 9,30 m . Kiek tonų

siloso tilps bokšte (kūgiškoji dalis irgi užpildoma)? Im3 siloso masė

lygi 0,551. Atsakymą parašykite dešimtųjų tikslumu.

b) Šieno kupeta yra ritinio su kūgišku viršumi formos. Jos pagrindo spindulys

2,5 m, aukštis 4 m , ritinio formos dalis yra 2,2 m aukščio. Raskite šieno

X jt? kupetos masę dešimtųjų tikslumu. Šieno tankis 30 —y .

m

65*. a) Apie kubą apibrėžtas ritinys, kurio viso paviršiaus plotas lygus S. Raskite

kubo paviršiaus plotą.

b) Apie kubą apibrėžtas ritinys. Raskite ritinio viso paviršiaus plotą, jei kubo

paviršiaus plotas lygus S.

66*.a) į kūgį, kurio sudaromoji pasvirusi į pagrindą 60° kampu, įbrėžta

taisyklingoji trikampė piramidė. Kūgio pagrindo spindulys lygus a. Raskite

piramidės tūrį.

b) į kūgį, kurio sudaromoji pasvirusi į pagrindą 45° kampu, įbrėžta

taisyklingoji keturkampė piramidė. Kūgio pagrindo spindulys lygus a. Raskite

piramidės tūrį.

67*. a) Rutulio spindulys lygus R. Į rutulį įbrėžtas kūgis. Kūgio šoninio paviršiaus

plotas du kartus didesnis už pagrindo plotą. Raskite kūgio tūrį.

b) { rutulį, kurio spindulys R, įbrėžtas kūgis. Kūgio sudaromoji pasvirusi į

pagrindo plokštumą kampu a. Raskite kūgio tūrį.

68*. a) Su kuria χ reikšme pavaizduoto

kūno tūris yra lygus F = 600 cm3 Ί

Atsakymą pateikite dešimtosios

tikslumu, laikydami π = 3,14.

b) Su kuria χ reikšme pavaizduoto

kūno tūris yra lygus V = 800 cm3 ?

Atsakymą pateikite dešimtosios

tikslumu, laikydami π = 3,14 .

* * Λ

3*. Vektoriai

1*. a) Išvardinkite vektorius, lygius vekto-

riams: 1) AB, 2) BC,3) CQ .

b) Išvardinkite vektorius, lygius vekto-

riams: 1) D^ , 2) A^BI , 3) ĘB .

2*. a) Tiesės M ir N yra lygiagrečios

(M Il N), be to, P LM , P L N .

Išvardinkite vektoriui a kolinearius

vektorius.

b) Tiesės a ir b yra lygiagrečios (a || b), be to, C LA, C LB. Išvardinkite

vektoriui Я kolinearius vektorius.

3*. a) Raskite nurodytų vektorių ilgius:

1) ~AD; 2) AA i; ^ A D i ;

4) AC ; 5) BDI.

b) Raskite nurodytų vektorių ilgius:

1 ) 5 ^ ; 2) ~D\D ; 3) ;

5) ^ C .

90y

a/ b/

D,

/ I I

Й1

I I

A* У / X

4*. a) ABCDAIBICIDI - kubas. Raskite vektorių, lygų AA1 +B1C-C1D1 .

b) ABCDAIBICIDI - kubas. Raskite vektorių, lygų AĄ-DCL + BC .

5*. Duotas tetraedras ABCD. Nubrėžkite kryptinę atkarpą, apibrėžiančią vektorių:

a) 1) J B + BC, 2) AB-CD;

b) i ) J B + J D , 2)-AD+BC.

6*. a) Duotas gretasienis ABCDAlBlCiDl. Įrodykite, kad AB + S1C1 = D1C1 + AD .

b) Duotas gretasienis ABCDAxBlCiDi. Įrodykite, kad CCx + J^A = BD1+QB .

7*. a) Duotas gretasienis ABCDAxBxC1D1. Raskite sumą: ~BįČ+~DA + ~ADx .

b) Duotas gretasienis ABCDAxBxC1D1. Raskite sumą: D^C + AAx+CB+ CxC.

8*. a) Duotas lygiagretainis ABCD. Įrodykite, kad OA + OC = OB+ OD ; O- bet

kuris erdvės taškas.

b) Įrodykite, kad OM = + čia M-atkarpos AB vidurio taškas, O-

bet kuris erdvės taškas.

9*. a) ABCDAxBxCxD1 -kubas AD = a, ~AB = b , AAx=c . Taškas M yra

atkarpos AxDx vidurio taškas, taškas K atkarpos CC1 vidurio taškas. Išreikškite

vektorių MK vektoriais a , b ir c .

b) ABCDAxBxCxDx -kubas, AAx = m , AD = n , ~AB = 1. Išreikškite vektoriais

rh , й ir i vektorių KP, kur K - atkarpos CC1 vidurio taškas, o P - atkarpos

AD vidurio taškas.

10*.a) Duotas stačiakampis gretasienis ABCDAlBlCxDx. Nurodykite vektorių x,

kurio pradžia ir galas yra gretasienio viršūnės, tokį, kad

DC + D^Ax +CDx + χ + ĄCX =DB .

b) Duota stačioji trikampė prizmė ABCAxBxCx. Nurodykite tokį vektorių χ ,

kurio pradžia ir galas yra prizmės viršūnės, tokį, kad AA1 + BxC-X = BA .

11*.a) Duotas tetraedras ABCD. Įrodykite, kad ~AB+ ~BD = AC + CD .

b) Duota taisyklingoji keturkampė piramidė OABCD. įrodykite, kad

OB + OD = OC + OA , kur O - piramidės viršūnė.

12*. a) Raskite vektoriaus AB koordinates, jei л(-3;7); β(6; 4).

b) Raskite vektoriaus CD koordinates, jei C(5;-l); D(-l;8).

13*. a) Žinoma, kad СО(3; - 2). Raskite taško C koordinates, jei D(-5; 6) .

b) Žinoma, kad NM(-4\ -9) . Raskite taško N koordinates, jei М(2;-5).

14*. a) Raskite vektoriaus <ž(-12;5) ilgį.

b) Raskite vektoriaus p(-7; - 24) ilgį.

15*.a) Duoti vektoriai a(2;-4;3) ir Raskite vektoriaus č = a + b

koordinates.

b) Duoti vektoriai a(l;-3;-l) ir έ(-1;2;θ). Raskite vektoriaus c = a-b

koordinates.

16*.a) Duoti vektoriai α(ΐ;-2;θ), ΐ(3;-6;θ) ir č(0;-3; 4). Raskite vektoriaus

p = 2a~—b+c koordinates. 3

b) Duoti vektoriai я(2;4;-б), b(-3; 1;θ) ir č(3;0;-l). Raskite vektoriaus

p =—a + 2b-č koordinates. и 2

17*.a) Su kuriomis m ir л reikšmėmis vektoriai a(6;n;l) ir b(m; 16; 2)

kolinearūs?

b) Su kuriomis m ir n reikšmėmis vektoriai 5(-4;w;2) ir б(2; —6; л)

kolinearūs?

18*. a) Taškas M yra atkarpos AB vidurys. Raskite taško B koordinates, jei

4 ; 3 ; - 2 ) ; A/(-2;4;2,5).

b) Taškas M atkarpos AB vidurys. Raskite taško M koordinates, jei Al 1; 3; - 2)

ir B(-5;7;8).

19*. a) Raskite trikampio ABC pusiaukraštinės AM ilgį, jei /i(l;2;3); ^(б ; 3 ; б) ir

C{- 2; 5; 2).

b) Raskite trikampio ABC pusiaukraštinės CK ilgį, jei Λ(ΐ;2;ΐ); в(-4;6;3) ir

c(-5; 2; l).

20*.a) Su kuria A reikšme vektoriaus AB ilgis lygus 3-/ίθ , jei л(2;3;4) ir

5(9; 7; a).

b) Su kuria A reikšme vektoriaus AB ilgis lygus , jei A(- 1;6;2);

β(3;α;4).

21*.a) Duoti taškai C(3;-2;l); D(-l;2;l); Mi2;-3;3) ir ;v(-l; 1;-2). Raskite

kampo tarp vektorių CD ir MN kosinusą.

b) Duoti taškai Λ(ΐ;-1;-4); s(-3;-l;0); c(-l;2;5); D(2;-3;l). Raskite

kampo tarp vektorių A B ir CD kosinusą.

22*.a) Su kuria k reikšme vektoriai а(б — Ar; A:; 2) ir й(-3; 5 + 5Ar; -9) yra

statmeni?

b) Su kuria m reikšme vektoriai a(A,m-\,m) ir Ž>(-2;4;3-m) yra statmeni?

23*. a) Su kuria K reikšme vektoriai AB ir CD kolinearūs, jei л(-2;-1;2);

fi(4;-3;6); C(-l ;*-l ; l ) ; D(-4;-l;*)?

b) Su kuria A reikšme vektoriai CD ir MN yra kolinearūs, jei c(-3;2;4);

£>(l;-4;2); Λ/(ΐ;-2;α) ir w(-l;e + 3;-l).

24*.a) Duota: |α|=4; |ό|=1, (α, i ) = 60°. Raskite cosar.jei a yra kampas tarp

vektorių a-b ir b .

b) Duota: |m|=2; |й|=3, (α, b)= 120° . Raskite cos a ,jei a yra kampas tarp

vektorių m ir m + h .

25*.a) Raskite vektoriaus a + b-c ilgį, jei |a|=l; \b\-2\ |c|=3, (α,ϊ)=90°,

(б,ё)=60°, (я, с)= 120°.

b) Raskite vektoriaus a-b-c ilgį, jei \a\=2; \Ь\=Ъ\ |c|=4; (e,Ž>)=60°,

(б,ё)=90°, ( 0 )=120 ° .

26*.a) Duoti vektoriai a = 2i -3j + k ir b = 4; -2k . Raskite a-b .

b) Duoti vektoriai a = 5/ - 2j + Ak ir b = 3j + 2k . Raskite a • b .

27*.a) Duoti taškai л ( Л ; 1 ; о ) ; в(0; 0; 2V2); С(0;2;0); D(>/3; 1; 2 V 2 ) . Raskite

kampą tarp tiesių AB ir CD.

b) Duoti taškai л(б;-4;8); s(8;-2;4) ; c ( l 2 ; - 6 ; 4 ) ir D( l4 ; - 6 ;2 ) .

Raskite kampą tarp tiesių AB ir CD.

28*.a) Duoti vektoriai e(3; -2; з) ir b( 1; 2; l). Raskite vektorių c, jei žinoma, kad

vektorius č kolinearūs vektoriui b ir a-c = 12.

b) Vektorius į kolinearūs vektoriui а(б;-8;-7,5) sudaro su Oz ašimi

smailųjį kampą. Žinodami, kad | b \ = 50 , raskite jo koordinates.

29*. a) Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą (a + 2b\(c - a), kai | a \ = | b \ = | č \ = 1,

(5, £)=(¾=(ь, г)= 60°.

b) Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą (o-2c) ( į+č), kai

15Į = I = |čI = 2 , (e , i )= ( O ) = 60°, b I c .

30*. a) Duotas kubas ABCDA1B1C1D1. Apskaičiuokite kampą tarp vektorių:

1) BD ir AB,

2) BC1 ir AK , kai K - briaunos DDx vidurio taškas.

b) Duotas kubas ABCDAxB1CxDx. Apskaičiuokite kampą tarp vektorių:

1) ĄC ir BD,

2) BK ir BCx , kai K - briaunos AA1 vidurio taškas.

* * *

V * . Į V A I R Ū S U Ž D A V I N I A I

1*. a) Duota funkcija / (x )= 5" .

1) Parašykite duotajai funkcijai atvirkštinę funkciją g(x).

2) Raskite funkcijos / (x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [0; 2].

4) Raskite lygties ( / (x)-5)( / (* )-25)= 0 sprendinius intervale (0; 2).

5) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis lygtis / (x )=36-a 2 turi

1) Parašykite duotajai funkcijai atvirkštinę funkciją g(x).

2) Raskite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale

[-2; 0].

, · , * · · I A x ) = y < 3) Išspręskite lygčių sistemą < 1 / = 1 6 .

4) Raskitelygties ( / (х )-4) ( / (х)-1б)=0 intervale [- 2; θ).

5) Raskite visas b reikšmes, su kuriomis lygtis / (x )= b2 -25 neturi

sprendinių.

2 2*. a) Duota funkcija / ( * ) = — + 1.

χ 1) Raskite funkcijos reikšmių sritį, kai χ e [1; 4].

2) Parašykite funkcijų / (x ) grafiko liestinės lygtį taške X0 . Su kuriomis

x0 reikšmėmis gautoji liestinė lygiagreti tiesei y = - 2x .

3) Išspręskite lygčių sistemą

sprendinių.

e

3) Apskaičiuokite \f{x)dx . χ. 1

4) Raskite funkcijos / (x ) bet kurią pirmykštę funkciją F(X) intervale

(θ; oo), tenkinančią nelygybę F ( l ) > 2 .

b) Duota / ( x ) = - - l .

1) Raskite funkcijos / (x ) reikšmių sritį, kai χ e [- 6; - 1].

2) Parašykite funkcijos /(χ)grafiko liestinės lygtį taške Jt0. Su kuriomis

x0 reikšmėmis gautoji liestinė lygiagreti tiesei y = - 3x . e

3) Apskaičiuokite |/(х)</л

4) Raskite funkcijos f ( x ) bet kurią pirmykštę funkciją F(X) , tenkinančią

nelygybę F ( l )> 3 .

a) Iš vietovės A į vietovę B prieš srovę išplaukė motorinė valtis. Kelyje

motorinės valties variklis sugedo ir 20 min valtis buvo remontuojama. Tuo

metu valtis plaukė pasroviui. Žinoma, kad įprastai motorinė valtis kelią iš A į B

motorinė valtis nuplaukia 1,5 karto ilgesnį laiką, negu iš B į A.

1) Pažymėję kelią AB = s , motorinės valties greitį stovinčiame vandenyje x, o srovės tėkmės greitį^, parodykite, kad χ = 5 y .

2) Parodykite, kad motorinė valtis kelyje užtruko f 1 1 ' Зл + у J_

k l 2 7 + 3

3) Keliomis minutėmis vėliau valtis atplaukė į vietovę B?

h.

b) Iš vietovės A į vietovę B prieš srovę išplaukė motorinė valtis. Kelyje variklis

sugedo ir 30 min valtis buvo remontuojama. Tuo metu valtis plaukė pasroviui.

Žinoma, kad įprastai motorinė valtis kelią iš A į B nuplaukia per 2 ilgesnį laiką,

negu kelią iš B į A.

1) Pažymėję kelią AB = s , motorinės valties greitį stovinčiame vandenyje x, o srovės tėkmės greitį .y, parodykite, kad χ = Ъу .

2) Parodykite, kad motorinė valtis kelyje užtruko 2 s + y 1

{ 4 y 2 3) Keliomis minutėmis vėliau valtis atplaukė iš A į S?

a) Iš vietovės A v greičiu išėjo pėstysis. Nuėjus jam 5 km , paskui pėstįjį h

išvažiavo dviratininkas, kurio greitis 8 — didesnis negu pėsčiojo. h

Dviratininkas pavijo pėstįjį, tada jie pasuko atgal ir abu grįžo 3 — greičiu. h

1) Parodykite, kad iki susitikimo pėstysis ėjo t = — + — h . 8 v

2) Su kuria v reikšme pėstysis pasivaikščiojimui sugaišo mažiausiai laiko.

3) Raskite kelią, kurį nuvažiavo dviratininkas.

b) Iš vietovės A v — greičiu išėjo pėstysis. Kai jis nuėjo 6 km paskui jį h

išvažiavo dviratininkas, kurio greitis 9 — didesnis už pėsčiojo. Dviratininkas h

pavijo pėstįjį, tada jie pasuko atgal ir grįžo abu 4 — greičiu. h 2 6

1) Parodykite, kad iki susitikimo pėstysis ėjo / = —+ — h . 3 v

2) Su kuria v reikšme pėstysis sugaišo mažiausiai laiko pasivaikščiojimui.

3) Raskite kelią, kurį nuvažiavo dviratininkas.

5*. a) Dviratininkas pastoviu greičiu nuvažiuoja iš vietovės A į vietovę B, tarp

kurių yra 60 km . Neužtrukęs vietovėje B, jis grįžta tuo pačiu greičiu, bet po 1

valandos nuo išvažiavimo iš B sustoja ir 20 min ilsisi. Po to, padidinęs greitį

4 — , dviratininkas keliauja toliau, kelyje iš B į A užtrunka ne ilgiau kaip h

važiuodamas iš A [B. Kokios yra dviratininko greičio v ribos?

b) Palei upę, kurios tėkmės greitis 5 — , yra prieplaukos A, B, C, be to, h

B - per vidurį tarp A ir C. Iš prieplaukos B tuo pačiu metu išplaukia plaustas ir

kateris. Plaustas plaukia pasroviui į prieplauką C, o kateris - prieš srovę į

prieplauką Λ. Pasiekęs prieplauką Λ, kateris apsisuka ir plaukia į prieplauką C.

Katerio greitis stovinčiame vandenyje lygus v — . Raskite tas v reikšmes, h

kurioms esant kateris atplaukia į C vėliau negu plaustas.

6*. a) Atstumas tarp gyvenviečių A ir B yra 36 km . Iš A į B eina pėstysis 6-^-h

greičiu. Tuo pačiu metu kaip ir pėstysis iš B išvažiuoja dviratininkas v h

greičiu, be to, v e [0; 15]. Po susitikimo su pėsčiuoju dviratininkas 20 min

važiavo link A, apsisuko ir grįžo atgal į B. Raskite didžiausią ir mažiausią

pėsčiojo ir dviratininko atvykimo į B laikų skirtumą.

b) Automobilis važiuoja iš vietovės A į vietovę C. Nuo vietovės A iki vietovės

B, esančios tarp vietovių A ir Cjis važiuoja 48 greičiu. Nuo vietovės Bjis h

sumažino greitį a , яе(0;48) ir su šiuo greičiu nuvažiavo — kelio dalį

nuo B iki C. Likusią kelio dalį važiavo 2a didesniu greičiu, negu buvo h

pradinis. Su kuria a reikšme automobilis greičiausiai nuvažiuos iš B į C?

7*. a) Čiuožimo trasos ilgis 12 km .\ startą stojo du slidininkai. Antrasis slidininkas

pradėjo čiuožti 6min vėliau negu pirmasis ir pavijo pirmąjį, nučiuožęs 3 km

nuo starto linijos. Nučiuožęs iki posūkio, kuris yra 6 km atstumu nuo starto

linijos, antrasis slidininkas pasuko atgal ir sutiko pirmąjį 1 km atstumu iki

posūkio. Raskite pirmojo slidininko greitį

b) Čiuožimo trasos ilgis 14km. { startą stojo du slidininkai. Antrasis

slidininkas pradėjo čiuožti 2 min vėliau negu pirmasis ir pavijo pirmąjį 2 km atstumu nuo starto linijos. Antrasis slidininkas nučiuožęs iki posūkio, kuris yra

7 km atstumu nuo starto linijos, pasuko atgal ir sutiko pirmąjį 1 km atstumu iki

posūkio. Raskite pirmojo slidininko greitį

8*. a) Sezoninio išpardavimo metu prekių kaina sumažinta 20 %.

1) Keliais litais sumažėjo 120 litų kainavusių batų kaina?

2) Kiek kainuoja batai iki išpardavimo kainavę 150 litų?

3) Po nukainavimo batai kainuoja 80 litų. Kiekjie kainavo prieš tai?

b) Džiovinami obuoliai netenka 70 % savo pradinės masės.

1) Kiek kilogramų masės neteks 20 kg obuolių juos sudžiovinus?

2) Kiek kilogramų džiovintų obuolių gausime iš 3,7 kg džiovintų obuolių?

3) Kiek kilogramų šviežių obuolių reikia paimti norint gauti 2,7 kg

džiovintų obuolių?

9*. a) Duota funkcija /(л) = 2х - I .

1) Išspręskite lygtį / ( l ) = l .

2) Raskite funkcijos f ( x ) reikšmių sritį intervale [1; 2].

3) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis skaičius x0 = Iog2 3 yra lygties

f(2x)=a sprendinys.

4) Išspręskite nelygybę / 2 (2x)>9.

b) Duota funkcija / (* ) = y j +1.

1) Išspręskite lygtį /(*)=— ·

2) Raskite funkcijos f ( x ) reikšmių sritį intervale [- 2; - 1].

3) Raskite visas b reikšmes, su kuriomis skaičius X0 = log Į 2 yra lygties

3

f(2x) = b sprendinys.

4) Išspręskite nelygybę f2{2x)> 100 .

10*.a) Duotosfunkcijos f(x)= log4(x-l) ir ^(λ:)=4χ+1 .

1) Suprastinkite reiškinį f{g(xj) •

2) Išspręskite nelygybę f(x)< I .

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos g(x) grafikas yra aukščiau tiesės

y-5.

(У = / W . U W = 5.


b) Duotos funkcijos / (* )= Iog1 (jc + 1) irg(jc)=| —I -1

4

1) Suprastinkite reiškinį g (f (x)).

2) Išspręskite nelygybę f(x)>-I.

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos g(x) grafikas yra žemiau tiesės

У-3 •

\y=f{*), U M = 3 .


11*.a) Duota funkcija f (x)=-Jx-I .

1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko susikirtimo su tiese y = 3 taško

koordinates.

2) Apskaičiuokite funkcijos f{x) išvestinės reikšmę taške X0 = 2 .

3) Raskite funkcijos y = f (χ1) apibrėžimo sritį.

\f1(x)~2f(x)= y, 4) Išspręskite lygčių sistemą

У* ~2y = 3 •

b) Duota funkcija / (* )= V 4-х .

1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko susikirtimo su tiese y = 4 taško

koordinates.

2) Apskaičiuokite funkcijos f ( x ) išvestinės reikšmę taške x0 = 3 .

3) Raskite funkcijos /(x2) apibrėžimo sritį.

4) Išspręskite lygčių sistemą -K ^ ^ ^ ^ ' [у2-Iy = *.

12*. a) Duota funkcija f ( x ) = x + — . χ

1) Ar duotosios funkcijos f(x) grafikas kerta koordinačių ašis?

2) Apskaičiuokite f ' { - l ) .

3) Išspręskite nelygybę /'(x)> O .

4) Raskite duotosios funkcijos grafiko liestinės taške x0 = - 2 krypties

koeficientą.

b) Duota funkcija f(x)=x + —. χ

1) Ar duotosios funkcijos f ( x ) grafikas kerta koordinačių ašis?

2) Apskaičiuokite /'(-1).

3) Išspręskite nelygybę / '(*)< O.

4) Raskite duotosios funkcijos grafiko liestinės taške x0 = 1 krypties

koeficientą.

13*. a) 1) Parašykite lygtį tiesės, einančios per tašką (0;-3) ir lygiagrečios

tiesei y = 2x .

2) Raskite surastąja lygtimi apibrėžtos tiesinės funkcijos pirmykštę

funkciją F(X), kurios grafikas eina per tašką (θ; 2).

3) Raskite plotą figūros, apribotos funkcijos f ( x ) grafiku ir abscisių ašimi.

b) 1) Parašykite lygtį tiesės, einančios per tašką (θ; - 4) ir lygiagrečios

tiesei y = 2x .

2) Raskite surastąja lygtimi apibrėžtos tiesinės funkcijos pirmykštę

funkciją F(X) , kurios grafikas eina per tašką (θ; 3).

3) Raskite plotą figūros, apribotos funkcijos F(x) grafiku ir abscisių ašimi.

14*. a) Duota f (χ)= 2χ1'3χ .

1) Parašykite / ( з - χ).

2) Išspręskite /(x)+2/(3-x)< 0,75 .

3) Raskite nelygybės sveikųjų sprendinių aritmetinį vidurkį,

b) Duota f(x)= 3*-*2 . 1) Parašykite /(1-х).

2) Išspręskite nelygybę 2 f(x)+ f(l-x)> j .

3) Raskite atkarpos, kurioje teisinga šioji nelygybė, vidurio tašką.

15*. a) Duota funkcija f(x)=~r— . sin л:

1) Stačiajame trikampyje ABC ZABC = a , statinis AC = 1. Įrodykite, kad

įžambinė AB = f (a).

2) Stačiajame trikampyje ABC ZABC = a, statinis AC = 1. Raskite a

reikšmę tokią, kad įžambinė AB = л/2 .

3) Išspręskite lygtį f2(x)= 2 .

UF U U U I A 11111 R\ I I ] A J I A I - . C O S X

1) Stačiajame trikampyje ABC ZABC = β, statinis BC= 1. Įrodykite, kad

įžambinė AB = f {β).

2) Stačiajame trikampyje ABC ZABC = β, o statinis BC = 1. Raskite β

2 reikšmę tokią, kad įžambinė AB = -=•.

V 3

3) Išspręskite lygtį /2 (x)= ^ .

16*.a) Duotafunkcija / (x )=x 3 -ax .

1) Raskite funkcijos /(x) grafiko taikus, kuriuose jos liestinės pasvirimo

kampo tangentas lygus nuliui, kai a = 12 .

2) Raskite funkcijos /(x) didėjimo intervalus, kai a = 12 .

b) Duota funkcija /(x) =

3

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f (χ) grafikas yra nežemiau abscisių

ašies, kai a = 4 . 4) Raskite visas a reikšmes, su kuriomis funkcijos f ( x ) pirmykštės

funkcijos F(X) grafikas eina per taškus (θ; 2θ) ir (2;θ).

b) Duotafunkcija f(x)=-x3-bx. 1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko taškus, kuriuose jos liestinės pasvirimo

kampo tangentas lygus nuliui, kai 6 = -3 .

2) Raskite funkcijos f ( x ) mažėjimo intervalus, kai b = - 3 .

3) Su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos f{x) grafikas yra neaukščiau

abscisių ašies, kai b = - 9 . 4) Raskite visas b reikšmes, su kuriomis funkcijos f ( x ) pirmykštės

funkcijos F(X) grafikas eina per taškus (θ; — 2) ir (— 2; θ).

17*. a) Parabolė eina per tašką A/(- 1; б), o jos viršūnė yra taške A( 1; 2) .

1) Parašykite parabolės lygtį.

2) Nubraižykite grafiką.

3) Raskite funkcijos didėjimo bei mažėjimo intervalus.

b) Parabolė eina per tašką JV(4; - з), o jos viršūnė yra taške а(3; - l).

1) Parašykite parabolės lygtį.

2) Nubraižykite grafiką.

3) Raskite funkcijos didėjimo bei mažėjimo intervalus.

18*. a) Duotafunkcija f(x)= Ixi ~9x2 -24x .

1) Parodykite, kad duotajai funkcijai f ( x ) teisinga lygybė

f'(x]=Ux+\)(x-4). 2) Parašykite funkcijos f(x) grafiko liestinių, lygiagrečių Ox ašiai, lygtis.

3) Raskite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [- 1; 5].

4) Keliuose taškuose kertasi funkcijos f ( x ) grafikas ir tiesė y = a , kai

-112<e< 13.

b) Duota funkcija f(x)=~ 2jt3 +9x2 -12x .

1) Parodykite, kad duotajai funkcijai f ( x ) teisinga lygybė

/'(*)= 6(x-1)(2-*).

2) Parašykite funkcijos f ( x ) grafiko liestinių, lygiagrečių Ox ašiai, lygtis .

3) Raskite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [-1;2].

4) Keliuose taškuose kertasi funkcijos f ( x ) grafikas ir tiesė y = a,

kai - 5 < a < - 4 .

19*.a) Duotafunkcija f{x)=~:с5+80л:.

1) Raskite funkcijos /(Χ) grafiko liestinės taške X0= 2 pasvirimo kampo

tangentą.

2) Raskite plotą figūros, kurią apriboja funkcijos f'(x) grafikas ir Ox ašis. 3) Nustatykite, ar funkcija f ( x ) yra lyginė ar nelyginė, ar nei lyginė nei

nelyginė.

4) Raskite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [-3 ,3].

b) Duotafunkcija f ( x ) = xi- 5x. 1) Raskite funkcijos f ( x ) grafiko liestinės taške X 0 =- I pasvirimo kampo

tangentą. 2) Raskite plotą figūros, kurią apriboja funkcijos /'(x) grafikas ir Ox ašis. 3) Nustatykite, ar funkcija /(x) yra lyginė ar nelyginė, ar nei lyginė nei

nelyginė.

4) Raskite funkcijos /(x) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [- 2; 2].

20*.a) Duotafunkcija f(x)= Iog0 , χ .

1) Apskaičiuokite /( l O Vioo).

2) Išspręskite nelygybę /(x)> - -j.

3) Išspręskite lygtį (3/(x)+ 5)(/(x)+1)= O .

4) Raskite funkcijos /(x) atvirkštinę funkciją g(x) ir parašykite jos


5) Palyginkite / ( l ) ir g( l) reikšmes.

b) Duota funkcija f(x)= log, χ .

7

1) Apskaičiuokite /(49 V?).

η

2) Išspręskite nelygybę /(x)> - — .

3) Išspręskite lygtį (3/(*)+ 7)(/(x)-1)= O .

4) Raskite funkcijos /(x) atvirkštinę funkciją g(x) ir parašykite jos


5) Palyginkite / ( l ) ir g( l) reikšmes.

21*.a) Duota funkcija / (x)=x4-32x.

1) Keliuose taškuose funkcijos f ( x ) grafikas kertasi su abscisių ašimi.

2) ParaSykite funkcijos f ( x ) grafiko liestinės lygtį jo lietimosi taške x0 = 2 .

3) Raskite funkcijos f (χ) monotoniškumo intervalus.

4) Įrodykite, kad su bet kuria a < - 48 reikšme tiesė y = a neturi bendrų

taškų su funkcijos f ( x ) grafiku.

b) Duota funkcija f ( x ) = - χ4 -1 08x .

1) Keliuose taškuose funkcijos /(x) grafikas kerta abscisių ašį.

2) Parašykite funkcijos /(x) grafiko liestinės lygtį jo lietimosi taške

x0 = - 3.

3) Raskite funkcijos /(x) monotoniškumo intervalus.

4) [rodykite, kad su bet kuria b > 243 reikšme tiesė y = b neturi bendrų

taškų su funkcijos f ( x ) grafiku.

22*. a) Duota funkcija / (* )= — -x .

f'(x) 1) Parodykite, kad / v ' = χ -1.

χ +x + l 2) Raskite funkcijos f ( x ) monotoniškumo intervalus.

3) Apskaičiuokite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale

[0; 2]

4) Įrodykite, kad su bet kuria χ reikšme teisinga nelygybė f { x ) > - ^ .

b) Duota funkcija / ( * )=- —-8JC .

f'(x) 1) Parodykite, kad / w = - χ - 2 .

χ -2x+4

2) Raskite funkcijos f ( x ) monotoniškumo intervalus.

3) Apskaičiuokite funkcijos f ( x ) didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [i;4].

4) Įrodykite, kad su bet kuria* reikšme teisinga nelygybė f(x)< 12 .

23*.a) Duota funkcija f(x)=5" . 1) Raskite didžiausią ir mažiausią reikšmę intervale [- 2; 2].

I Y M = - V . 2) Išspręskite lygčių sistemą { ,

Į_y -625 = O .

3) Raskite nelygybės / ( . x ) - l > 2 4 sveikuosius sprendinius, priklausančius

intervalui [2; 5).

4) Raskite visas m reikšmes, su kuriomis lygtis f(x)=25-m2 neturi

realiųjų sprendinių.

b) Duota funkcija f(x)= Iх •

1) Raskite funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmę intervale [0; 3].

i v 2= 49 , 2) Išspręskite lygčių sistemą < . .

I v = / W · 3) Išspręskite lygtį /(x)(/(x)-343) = 0 .

4) Su kuriomis m reikšmėmis lygtis f(x)= m2 -9 neturi realiųjų

sprendinių.

24*.a) Duota funkcija / (* ) = X + . χ

1) Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo ir reikšmių sritis.

2) Nurodykite intervalus, kuriuose funkcija f ( x ) mažėja.

3) Parašykite funkcijos f ( x ) grafiko liestinės taške X0= 2 lygtį.

4) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos funkcijos f ( x ) grafiko liestine,

kreivėmis f(x)= X+— irx = 5. JC

b) Duota funkcija f{x)=——- . χ

1) Raskite funkcijos f{x) apibrėžimo ir reikšmių sritis.

2) Nurodykite intervalus, kuriuose funkcija didėja.

3) ParaSykite funkcijos /(.x) grafiko liestinės taške X 0 = - I lygtį.

4) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos funkcijos f{x) grafiko liestine,

kreivėmis f(x)= * + i rx = -4—. χ 3

25*.a) Duota funkcija f(x)=~ x1 -x + \2 . 1) Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo ir reikšmių sritis.

2) Parašykite lygtį tiesės, einančios per du parabolės taškus, kurių abscises

atitinkamai yra lygios - 4 ir 2.

3) Parašykite funkcijos f(x) grafiko liestinės taške X0 = 2 lygtį.

4) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos abscisių ašimi, surastąja tiese ir

funkcijos f ( x ) grafiko liestine.

b) Duota funkcija / ( x ) = x 2 - 6x+ 5 . 1) Raskite funkcijos f ( x ) apibrėžimo ir reikšmių sritis.

2) Parašykite lygtį tiesės, einančios per du parabolės taškus, kurių abscises

atitinkamai yra lygios 1 ir 7.

3) Parašykite funkcijos f ( x ) grafiko liestinės taške X0 =7 lygtį.

4) Apskaičiuokite plotą figūros, apribotos abscisių ašimi, surastąja tiese ir

funkcijos f ( x ) grafiko liestine.

26*. a) Ant tiesės, lygiagrečios Oy ašiai, pažymėti taškai A ir B, kuriuose atitinkamai

funkcijų y = χ + 3 ir = д: — 1 grafikai kertasi su duotąja tiese.

1) Raskite taškų A ir B koordinates, jeigu šių taškų atstumų iki taško

M(- 2; - З) kvadratų suma yra mažiausia.

2) Parašykite tiesės AB lygtį.

3) Raskite trikampio AMB plotą.

4) Apskaičiuokite atstumą nuo taško B iki koordinačių pradžios.

b) Ant tiesės, lygiagrečios Oy ašiai, pažymėti taškai A ir 5, kuriuose atitinkamai

funkcijų y = x + 5 iry = x-3 grafikai kertasi su duotąja tiese.

1) Raskite taškų A ir B koordinates, jeigu šių taškų atstumų iki taško

М(-1; - 2) kvadratų suma yra mažiausia.

2) Parašykite tiesės AB lygtį.

3) Raskite trikampio AMB plotą.

4) Apskaičiuokite atstumą nuo taško B iki koordinačių pradžios.

2 27*.a) Duotafunkcija /(x) = - l + .

lx + 5

1) Parašykite funkcijos f ( x ) pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per

tašką (0;9).

2) Parodykite, kad funkcijos F(x) grafiko liestinės taške x0 = - 2 lygtis yra

y = :t+13.

3) Raskite kampus trikampio, kurį sudaro tiesė y = x +13 su koordinačių

ašimis.

b) Duota funkcįj a fix)=- 5 + —-— .

2x + 3

1) Parašykite funkcijos f{x) pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per

tašką (O; 4).

2) Parodykite, kad funkcijos F(X) grafiko liestinės taške X0 = -1 lygtis yra

y = x +10 .

3) Raskite kampus trikampio, kurį sudaro tiesė y = x+ 10 su koordinačių

ašimis.

28*. a) Duota funkcija f (χ)= . 1) Parodykite, kad f {χ)= 1 ^ 7 . 4χ+

81 l6x

A 81

4x 4x

2) Parodykite, kad intervale funkcija f ( x ) yra didėjanti.

3) Parodykite funkcijos /(X) pirmykštę funkcijos F(X) intervale ooj ,

kurios grafikas eina per tašką (81; 81).

4) Išspręskite nelygybę F(X)> O .

b) Duota funkcija f(x)= — · 1) Parodykite, kad f(x)= 1 — 36 • · 2 •

7x+Z—J6 Ix

Ix

2) Parodykite, kad intervale f ^ ; ooj funkcija f ( x ) yra didėjanti.

3) Parašykite funkcijos f(x) pirmykštę funkciją F(X) intervale ; со j ,

tenkinančią sąlygą F(36)=36 .

4) Išspręskite nelygybę F(X)> O .

29*. a) Duotaseka x„=f(n), /(x) = 13x-x2.

1) Raskite x6 , X1, x8.

2) Raskite funkcijos /(x)=13x-x2 didžiausią reikšmę.

3) Raskite sekos (xn) didžiausio nario numerį.

b) Duota seka x„ = f (n), /(x)= 15x-x2.

1) Raskite X7 , X8, X9.

2) Raskitefunkcijos /(x)=15x-x2 didžiausią reikšmę.

3) Raskite sekos (xn ) didžiausio nario numerį.

30*.a) Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę

S „=2 "- l .

1) Raskite pirmąjį progresijos narį.

2) Raskite geometrinės progresijos vardiklį.

3) Raskite narių skaičių «,jei SN = 1023 .

b) Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę

„ n2

1) Raskite pirmąjį progresijos narį.

2) Raskite aritmetinės progresijos skirtumą.

3) Raskite narių skaičių n, jei Sn = 2400 .

31*. a) Indėlininkas į banką įnešė 640 Lt. Po dvejų metų jo sąskaitoje buvo

705,6 Lt. 1) Kiek procentų sudėtinių palūkanų priskaičiuoja bankas?

2) Kiek pinigų indėlininkas turės dar po metų?

3) Keliais litais padidėjo indėlininko kapitalas per 3 metus?

4) Keliais procentais padidėjo indėlininko kapitalas per 3 metus?

b) Indėlininkas į banką įnešė 800 Lt. Po dvejų metų jo sąskaitoje buvo 882 Lt.

1) Kiek procentų sudėtinių palūkanų priskaičiuoja bankas?

2) Kiek pinigų indėlininkas turės dar po metų?

3) Keliais litais padidėjo indėlininko kapitalas per 3 metus?

4) Keliais procentais padidėjo indėlininko kapitalas per 3 metus?

32*. a) Labirinto forma parodyta paveikslėlyje.

Lankytojas pateko į labirinto tašką A, su

vienodomis tikimybėmis gali pasirinkti

bet kurį kelią į tašką D. AO = OD = Sm,

BO = OC = Im. Patekus į tašką D

lankytojo kelionė baigiasi. Sakykime, X -

lankytojo nueitas kelias metrais. Ą

1) Išvardinkite kelius, kuriais lankytojas gali patekti iš taško A į tašką C.

2) Parodykite, kad atsitiktinio dydžio X tikimybė P(x = 12) = ™.

3) Parašykite atsitiktinio dydžio ^skirstinį.

4) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį.

b) Rombo formos labirinto ABCD kraštinės

ilgis 13 m . Ilgesniosios įstrižainės ilgis 24 ra

(žr. pav.). Lankytojas, patekęs į labirinto tašką

A, su vienodomis tikimybėmis gali pasirinkti

bet kurį kelią į tašką C. Patekus į tašką C,

lankytojo kelionė baigiasi. Sakykime, X -

lankytojo nueitas kelias metrais.

1) Išvardinkite kelius, kuriais lankytojas gali patekti iš taško A į tašką C.

2) Parodykite, kad atsitiktinio dydžio X tikimybė p (x = 3θ) = -y .

3) Parašykite atsitiktinio dydžio ArSkirStinI.

4) Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio A" matematinę viltį.

33*. a) Parodų centre planuojama pastatyti stačiakampio gretasienio formos

paviljoną AAiBiBFFiEiE, turintį tik galinę sieną BBiEiE, šonines sienas

AA1B1B ir FF1E1E1Pertvaras HH1C1C, GGiDiD. 3 m aukščio paviljoną su

pertvaromis galima pastatyti už 1200 Lt ,jei galinės ir šoninių sienų Im2 kaina

yra 20 Lt ,o pertvaros 1 m2 kaina yra 10 Lt.

Bi C, Di E1

H G f

1) Pažymėkite paviljono plotį χ (metrais), o ilgį AFy (metrais) ir parodykite,

kad y = 20-3*.

2) Su kuria jc reikšme paviljono tūris didžiausias?

3) Apskaičiuokite paviljono tūrį.

b) Turguje planuojama pastatyti stačiakampio formos prekyvietę

AAiBiBHHiGiG, turintį tik galinę sieną BBiGiG, šonines sienas AAiBiB ir

HHiGiG, pertvaras NNiCiC, MMiDiD, LLiEiE, AX1F1F. 3 m aukščio

prekyvietę su pertvaromis galima pastatyti už 3000 Lt, jei galinės ir šoninių

sienų Im2 kaina yra 30 Lt, o pertvaros Im2 kaina yra 10 i i .

B1 C1 Di E1 Fi

1) Pažymėkite prekyvietės plotį χ (metrais), o ilgį AH y (metrais) ir

parodykite, kad y = -j(l 00 -1 Од:).

2) Su kuria χ reikšme prekyvietės tūris didžiausias?

3) Raskite prekyvietės tūrį.

34*.a) Duotas stačiakampis gretasienis ABCDAiBiCiDi. 1) Nubraižykite duotojo gretasienio pjūvį, kurį gauname gretasienį kertant

plokštuma, einančia per taškus A1, B1 ir C.

2) įrodykite, kad plokštuma, einanti per taškus A1, B1 ir C , yra lygiagreti

tiesei AB. 3) Plokštuma AiBiC sudaro su pagrindo ABCD plokštuma 30° kampą ir

AD = a . Išreikškite briaunos ilgį AAi per a. 4) Plokštuma AiBiC sudaro su pagrindo ABCD plokštuma 30° kampą ir

AB = \-AD. Įrodykite, kad iš visų stačiakampių gretasienių, tenkinančių 2

duotąsias sąlygas, didžiausią tūrį turi gretasienis, kurio briauna AD = — .

5) Apskaičiuokite šio gretasienio tūrį.

b) Duotas stačiakampis gretasienis KLMNKiLiMiNi. 1) Nubraižykite duotojo gretasienio pjūvį, kurį gauname gretasienį kertant

plokštuma, einančia per tiesę KN ir tašką Mi.

2) Įrodykite, kad plokštuma, einanti per tašką Mi ir tiesę KN, yra lygiagreti

tiesei LM. 3) Plokštuma KNMi sudaro su pagrindo KLMN plokštuma 60° kampą,

MN = b . Raskite briaunos MMi ilgį per b. 4) Plokštuma KNMi sudaro su pagrindo plokštuma 60° kampą,

KN = 3- M N . Įrodykite, kad iš visų stačiakampių gretasienių, tenkinančių

duotąsias sąlygas, didžiausią tūrį turi gretasienis, kurio briauna MN = 2 .

5) Apskaičiuokite šio gretasienio tūrį.

35*. a) Trikampio ABC viršūnių koordinatės yra /l(4;-3), β(-4;3), C(4;9).

1) Kuri trikampio kraštinė ilgiausia?

2) Nustatykite trikampio ABC rūšį.

3) Apskaičiuokite trikampio ABC perimetrą.

4) Apskaičiuokite pusiaukraštinės, nuleistos į kraštinę AC, ilgį.

5) Apskaičiuokite aukštinės, nuleistos į kraštinę ВС, ilgį.

b) Trikampio MNP viršūnių koordinatės yra м(5;-2), 5; 2), />(5; 4).

1) Kuri trikampio MNP kraštinė trumpiausia?

2) Nustatykite trikampio MNP rūšį.

3) Apskaičiuokite ΔΜΝΡ perimetrą.

4) Raskite pusiaukraštinės MA ilgį.

5) Apskaičiuokite aukštinės NB ilgį.

36*. Vietoje žvaigždučių įrašykite praleistus skaitmenis:

a) * * 5 b) * 2 * 3 χ ' χ

4 * * *

3 * * * * * 8 7 + +

* 2 * * * * * * *

1 * * * * 2 * 0 0 4 *

37*. a) Dvaro gėlynas buvo užsodintas tulpėmis. Vieną saulėtą pavasario dieną

pražydo viena tulpė. Kiekvieną sekančią dieną tulpių žiedų skaičius didėjo tris

kartus. Dešimtą dieną visos gėlyno tulpės pražydo. Kelintą dieną pražydo

trečdalis visų gėlyne esančių tulpių.

b) Tvenkinyje pražydo viena lelija. Kiekvieną dieną lelijų žiedų skaičius didėjo

du kartus. Dešimtą dieną pražydo visos tvenkinyje esančios lelijos. Kelintą

dieną pražydo pusė tvenkinyje esančių lelijų?

38*. a) Skruzdė susiruošė į svečius pas skruzdės, įsikūrusias kaimynystėje. Pirmyn

skruzdė ėjo pėsčia, o atgal pirmąją kelio pusę ji keliavo užsilipusi ant žąsies du

kartus mažesniu greičiu negu ėjo pėsčia, antrąją kelio pusę skruzdė keliavo ant

žiogo 5 kartus didesniu greičiu negu ėjo pėsčia. Kada skruzdė sugaišo mažiau

laiko: eidama į svečius, ar grįždama atgal. Atsakymą pagrįskite,

b) Musė susiruošė į svečius pas uodą, įsikūrusį kaimynystėje. Pirmynji keliavo

nutūpusi ant asilo. Atgal du trečdalius kelio musė keliavo nutūpusi ant vėžlio,

kuris ropojo tris kartus mažesniu greičiu negu ėjo asilas, o likusį keliąji skrido

du kartus didesniu greičiu negu ėjo asilas. Kada musė sugaišo daugiau laiko:

eidama į svečius ar grįždama atgal. Atsakymą pagrįskite.

39*. a) Šeimoje keturi vaikai. Jiems 5,8,13 ir 15 metų. Vaikų vardai yra Agnė, Balys,

Deimantė ir Greta. Viena mergaitė lanko vaikų darželį, Agnė vyresnė už Balį.

Agnės ir Deimantės metų suma dalijasi iš trijų. Kiek metų kiekvienam vaikui?

b) Šeimoje penki vaikai. Jiems 3,7,12,14 ir 16 metų. Vaikų vardai yra Aistis,

Benas, Daiva, Goda ir Karolis. Vienas berniukas lanko pirmąją klasę. Godos ir

Beno metų suma dalijasi iš 4. Goda jaunesnė už Beną. Daiva vyresnė už Godą.

Karolisjaunesnis už Aistį, kiek metų kiekvienam vaikui?

40*. a) Nuomos punkte klientai nuomojasi arba vieną automobilį, arba vieną dviratį,

arba ir vieną automobilį, ir vieną dviratį. Pirmąją dienos pusę buvo išnuomota

17 automobilių ir 37 dviračiai ir aptarnauti 45 klientai. Kiek žmonių

išsinuomavo ir automobilį ir dviratį?

b) Kempinge galima išsinuomoti arba tiktai kambarį, arba tiktai mašinos

stovėjimo vietą, arba kambarį ir mašinos stovėjimo vietą. Per parą buvo išnuo-

moti 56 kambariai ir 88 mašinų stovėjimo vietos. Kiek žmonių išsinuomavo ir

kambarį, ir mašinos stovėjimo vietą, jei buvo aptarnauta 112 klientų?

41*. a) Vaikų kūrybos parodoje buvo pasiūlyta kiekvienam dalyviui atsinešti arba

vieną lėktuvo modelį, arba vieną laivo modelį, arba ir vieną lėktuvo modelį, ir

vieną laivo modelį. Iš viso eksponuoti 37 lėktuvų modeliai ir 43 laivų modeliai,

kiek iš viso dalyvavo parodoje, jei 17 jų atnešė ir lėktuvo, ir laivo modelius.

b) Liaudies kūrybos parodos dalyviai galėjo pristatyti arba vieną darbą iš

šiaudelių, arba vieną darbą iš vytelių, arba po vieną darbą ir iš šiaudelių, ir iš

vytelių. Buvo pristatyta 45 darbai iš šiaudelių ir 34 darbai iš vytelių. 13 parodos

dalyvių pristatė po 2 darbus (vieną iš šiaudelių ir vieną iš vytelių). Kiek iš viso

buvo parodos dalyvių.

42*. a) Dvi darželio auklėtojos pirko spalvotus pieštukus skirtingose parduotuvėse

„Venera" ir „Saturnas". Iš viso jos nupirko 200 pieštukų. Abi sumokėjo po

40 Lt. Auklėtoja, pirkusi pieštukus parduotuvėje „Venera", pasakė kitai: „Jeigu

aš tavo pieštukus būčiau pirkusi parduotuvėje „Venera", būčiau sumokėjusi

20 Lt brangiau". Kiek pieštukų buvo nupirkta parduotuvėje „Saturnas"?

b) Bandelių kepėjai Jonas ir Vytas atvežė į turgų parduoti 300 bandelių. Kiek-

vienas, pardavęs visas savo bandeles, gavo 50 Lt. Jonas pasakė Vytui: „Jeigu

aš tavo bandeles būčiau pardavinėjęs ta pačia kaina už vieną bandelę, kaip savo,

tai būčiau visas bandeles pardavęs už 100 Lt. Kiek bandelių pardavė Jonas?

43*. a) Biržoje prekiaujama dviejų įmonių akcijų paketais. Pirmosios įmonės vienas

akcijų paketas kainuoja 200000 Lt. Už pirmosios įmonės vieno akcijų paketo

kainą numatoma sukurti 18 naujų darbo vietų. Antrosios įmonės vieno akcijų

paketo kaina 300000 Lt. Už antrosios įmonės vieno akcijų paketo kainą

numatoma sukurti 24 naujas darbo vietas. Už kiek litų reikia parduoti pirmosios

ir antrosios įmonių akcijų paketus kartu, kad būtų galima sukurti per abi įmones

108 naujas darbo vietas?

b) Biržoje prekiaujama dviejų įmonių akcijų paketais. Pirmosios įmonės vienas

akcijų paketas kainuoja 180000 Lt. Už pirmosios įmonės vieno akcijų paketo

kainą numatoma sukurti 15 naujų darbo vietų. Antrosios įmonės vieno akcijų

paketo kaina 210000 Lt. Už antrosios įmonės vieno akcijų paketo kainą numa-

toma sukurti 20 naujų darbo vietų. Už kiek litų reikia parduoti pirmosios ir antro-

sios įmonių akcijų paketus kartu, kad būtų galima sukurti per abi įmones 105

naujas darbo vietas?

44*. a) Achilas pastebėjo 64 m atstumu nuo savęs vėžlį ir pradėjo jį vytis, kai

atstumas tarp Achilo ir vėžlio pasidarė 8 kartus mažesnis už pradinį, Achilas

nustojo vytis vėžlį. Kokį kelią nubėgo Achilas nuo vijimosi pradžios iki

sustojimo, jei jo greitis 15 kartų didesnis už vėžlio greitį? Žinoma, kad Achilas

vijosi vėžlį tiesiu keliu.

b) Achilas vijosi vėžlį tiesiu keliu. Kai atstumas tarp Achilo ir vėžlio buvo 6 m , tai vėžlys, supratęs, kad nepabėgs nuo Achilo, sustojo. Kokį kelią nuo vijimosi

pradžios nuėjo vėžlys, jeigu jo greitis 17 kartų mažesnis už Achilo greitį. Žinoma,

kad vėžlys sustojo tada, kai atstumas tarp jo ir Achilo sumažėjo 9 kartus.

45*. a) Upelis įteka į upę. Iš upelio taško A, kuris yra 20 km atstumu iki intako,

plaukė motorinė valtis į upės tašką B, esantį 16 km aukščiau intako, o po to

grįžo atgal iš taško B į tašką A. Motorinės valties greitis stovinčiame vandenyje

lygus 10 , upės tėkmės greitis lygus 2 , o upelio - 2,5 . Kada valtis h h h

sugaiš daugiau laiko: ar plaukdama iš taško A [ B, ar grįždama atgal iš B į A ? Atsakymą pagrįskite.

b) Upelis įteka į upę. Iš upelio taško A, kuris yra 20 km atstumu iki intako,

plaukė motorinė valtis į upės tašką B, esantį 16 km žemiau intako, o po to grįžo

atgal iš taško B į tašką A. Motorinės valties greitis lygus 10 — , srovės h

Jcm lent tekėjimo greitis upėje - 2 — , o upelyje - 2,5 — . Kada valtis sugaiš

h h daugiau laiko: ar plaukdama iš taško A į B, ar grįždama atgal iš B į A? Atsakymą pagrįskite.

* * *

A T S A K Y M A I

I . S K A I Č I A I , S K A I Č I A V I M A I , A L G E B R A

1. Skaičių teorijos elementai

1.1. Dalumas

I. a) 4050; b) 6150. 2. a) 0; b) 0. 3. a) 219; b) 927. 4. a) 2,5,8 ; b) 0, 9.

5. a) 1,4, 7; b) 0. 6. a) 50076354; 4789630; b) 37508160; 1246100022; 212010102.

7. a) 1)8, 2)8; b) 1)5, 2)2. 8. a) 1230, 4230, 7230, 2235, 5235, 8235; b) 2340,

6345. 9. a) negali; b) negali. 10. a) nesidalija; b) dalijasi. 11. a) 16, 32, 48, 64, 80;

b) 18, 36, 54, 72, 90. 12. a) lyginiai skaičiai yra 2, 6, 26, 42, 68, nelyginiai skaičiai -

II,15,29,37,99, pirminiai skaičiai-2, 11, 29, 37, sudėtiniai skaičiai - 6, 15, 26,

42,68,99; b) lyginiai skaičiai yra 8, 14, 32, nelyginiai - 3, 9, 19, 21, 23, 77,

pirminiai-3,19,23, sudėtiniai - 8,9, 14,21,32,77. 13. a) 11,19,27,35,43,51,59,

67,75,83,91,99; b) 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, 96. 14. a) 299;

b) 298. 15. a) 3 ; b) 4. 16. a) 7 ; b) 7. 19. a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23; b) 25, 26,

27,28,30,32,33,34,35.20.a) 540 = 22·33·5; b) 180 = 22-32-5. 21.a) 1,2,3,4,

6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72; b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 22. a) 2, 3, 4, 6, 8, 12,

24; b) 3, 5, 15. 23. a) 2, 4, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160; b) 3, 5, 15. 24. a) 14, 21,

28,35, 42,49, 56, 63, 70, 77, 84,91, 98; b) 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. 25. a) 36, 72;

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90. 26. a) 450; b) 850. 27. a) Z)5Z)(360; 504) = 72,

ЛЛЩ360; 504) = 2520 ; b) DBD{2\6;396) = 36 , MBK{2\6 \396) = 2376.

28. a) 40 kartų; b) 84 kartus. 29. a) 180; b) 3150. 30. a) 1)29 komandos, 2)5

berniukai ir 3 mergaitės; b) 1)31 komanda, 2) 5 berniukai ir 3 mergaitės.

31. a) 1) 78 dovanėlės, 2) 2 obuoliai, 3 mandarinai ir 5 saldainiai, b) 1) 66 dovanė-

lės, 2) 2 abrikosai, 3 apelsinai ir 20 saldainių. 32. a) 36; b) 168. 33. a) 120; b) 180.

1.2. Realieji skaičiai

l .a ) 1)4; 13; 1000, Vl6 ; 2)-2; 4; 0; 13; 1000; VŪ>; 3) -3,5; -2; 4; 1,2; 3y ; | ;

0; 13; 1000; 0,(13); 3,4(12); -3,810"5; 4) VŠ; e; π ; tg60°; 0,1010010001...;

b) 1) 7; 12; į^Į ; 2) 7; 0; 12;-19; į j ; 3) -2,1 103; -5-10"2; 7; 1,3; 5 ^ ;

lt 2 i 12; 0,4(6); 3,1(45); — ; 4)VJ; e2; -7t;cos60°; 0,3030030003...;-л/п .

2. a) — ; b) 2— . 3. a) - π ; - J l ; - - ; - ; - ; - ; - ; 3,61; 3,(6); 10; b) 10-; 8 7 4 3 4 5 3 7

10,1; 2,(34); 2,34; į ; - į ; -1,7; - V I . 4. a) 1,(73); 1,7(32); V J ; 4 5 7 3

1,732; 1,73; b) 1,414; 1,4(14); -Jl- 1,(414); 1,415. 5. a) ; 0,717; b) 1,16;

1,1655; - . 6. a) 1)0,(6), 2) -3,(8), 3) 0,2(56), 4) 0,(384615), 5) 1,(923076), 6

6) 9,4375; b) 1) 0,4(6), 2)-2,(428571), 3) 2,7(714285), 4) 5,(307692),

« ^η-,,-,ε n ч ,4 33 „ 1067 „ 609 33 18 „. 613 5) 2,2(41), 6) 7,3125. 7. a) 1) — , 2 ) , 3) ; b) 1) — , 2 ) , 3) .

8 5000 25 4 125 16

o 4,4 5 „4 1571 ,„ 77 10771 „4 7 „v 77 „4 217 „ 2410 8. a) 1) — , 2) ,3 ) , 4 ) ; b) 1) — ,2 ) ,3 ) , 4) . 11 495 180 3330 15 180 165 999

9. a) 1) 4,3582 10s, 2)8,3510"5 , 3) 8,2735 103 , 4) 9,8 105; b) 1) 3,97 105 ,

2)3,2410"2 , 3) 2,397102, 4) 7-10"6. 10. a) 1) 1,5<-|, 2 ) ~ > ~ ;

b) 1) л/з > 1 — , 2) - 1 > - 1 . 1 1 . а ) ^ 1 > ^ 5 ;

25 2 6 2 2

b ) λ/Ϊ5-λ / Ϊ4< -Л4--ЛЗ 1 2 a ) 1 1 ; b ) 9 1 3 a ) 8 а Л а 9 . b ) 0 а Л а j

14. a) 3< V l T < 4 , - 3 < - V Š < - 2 ; b) 4 < V l 9 < 5 , -5 < - V l T < - 4 . 15. a) 1;

b) 1 ir 2. 16. a)-7 ir 7; b)-11 ir 11. 17. a) ir ^ ; b)-0,2 ir 0,2. 18. a) 1312;

113 127 b) 2142. 19. a) 396; b) 396. 21. a) ; b) . 22. a) 980 m; b) 726 t.

1440 3600

23. a) 3 9 - — ; b) 521- — .24. a) - ; atvirkštiniai; b) Im 2 . 26. a) 16; b) 58. I h 3 h 3

27. a) (-V2;-V2); (V2; V2), iracionalieji skaičiai; b) (-л/б;л/б); (л/б;-л/б),

iracionalieji skaičiai. 28. a) 1,01210"2 ; b) 2,655 10"3. 29. a) 6,910"' m,

1,8210"2 m 2 ; b) 7,710"1 m , . 1,5310"2 m1. 30. a) 18,5<χ<19,5 ;

b) 107 < y < 117 . 31. a) 14+2; b) 8±0,5. 32. a) i = 15,4±0,l, 15,3 < < 15,5 ;

b) 5 = 27,30±0,01, 27,29<S< 27,31. 33. a) 6,344· 1021 ± 1,5 IO19,

6,329 • 1021 < m < 6,359 · 1021; b) m = 5,976 · 1024 ± 1021,

5,975 · 1024 < m <, 5,977 • 1024. 35. a) 29; b) 32. 36. a) 5; b) 8. 37. a) 246; b) 103.

38. а) AnB = {l;3; 5; 15}; b) АnB = {l;2; 7; 14}.

39. a) y iuS = {l;2;2;3;3;4;5;5;7;8}; b) Au B = {З; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 18}.

40. а) Л и Я = [0;5], Λ η β = [ΐ;3], Λ\θ = [θ;ΐ); b) A υ ί = [-3; - l]u[2; οο),

АпВ = 0,А\В = [-3; — ΐ]. 41. a) Β\Α = [4; 5]; b) Β\Α = (ΐ0; 15)и{з}.

42.а)1) Λ = {l;3; 5; 15}, Β = {2;3;5;7}, С = {2;4;6;8};

2) Au B = {\;2; 3; 5; 7; 15}, S n C = { 2 } , A uC= {l; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 15},

(ЛиС )п5 = {2; 3; 5}, AnBnC = 0 , Λ\β = {ΐ;15}, A\C= {l;3;5; 15};

b) 1) Λ = {l; 2;3; 6; 9; 18}, B = {4; 6; 8; 9; 10}, C= {l;3; 5; 7; 9; 11},

2) Ли S = {l; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 18}, AuC= {l;2;3;5;6;7;9; 11; 18},

BnC= { 9 } , {AuC)nB={6-,9}, AnBnC={9}y A\B = {l;2;3; 18},

Л\С = {2;6;18}.43.а) Л = {l;2;3;4;6; 12}, B = {l;5}, C= {3;5;7;9; 11},

Л и В = {1;2;3;4;5;6;12}, S n C = {5}, (AuB)nC = {З;5}, АпВпС = 0·,

b) Л = {4;6;8}, B = {l;3;7;21}, C= {2;3;5;7; 11},

Λ υ δ = {l;3;4;6; 7;8;21}, S n C = {3;7}, ( А и В ) п С = {З; 7},

AnBnC = 0 . 44. a) Л u С = [-1; 2), Λ η 5 = [-1;θ), АиВиС = {- оо;2),

(Ли5 )пС = [0;1], ВпС = 0 , Л\С = [-1;0), Л\5 = [0;1];Ь) / J u 5 = [0;5),

Л n В = (l; з], AnC= {θ}, BuC= (-2; o]u (l; 5), АпВпС = 0 ,

(ЛиЯ)пС={о} , Λ\5 = [θ;ΐ], Л\С = (0;3]. 45. a) AuB = (-αο;α>),

AnB = 0 , AnC = (0;l), BuC = (0;оо), АпВпС = 0 , (АиВ)пС = (θ; l).

b) Л и г = [-3;-1]и[2;оо), АпВ = 0 , Л п С = [-3;-2],

B u C = (-oo;-2)u[2;oo), (ЛиД)пС = [-3;-2), А п В п С = 0 .

46. a) Pavyzdžiui, А = (-<»; а\, B = (а; оо), kur а - bet kuris realusis skaičius;

b) pavyzdžiui, B - bet kurios aibės A poaibis, t.y. S c A .

2. Skaičiavimai

2.1. Veiksmai su skaičiais

35 5 5 7 19 9 1 l .a) 0; b) 7. 2.a) - ; b) - . 3. a) 4 - ; b) 7 - , 4. a) - ; b) - . 5. a) 1-;

b) H . 6.a) l ; b) 1. 7.a) - 6 7 i f ; b) - I l f 8.a) į f ; b) i f . 9. a) ,

b) 2 — , 10. a) 1— ; b) 3— . 11. a) 1— ; b) 3— . 12. a) 30; b) 2 — . ' 495 7 16 30 15 20

13. a) 1,99; b) bet koks skaičius. 14. a) 1,15 — ; b) 0,9 — . 15. a) 45,7056 cm3; h h

b) 245,925 cm3. 16. a) 45; 46; b) 92; 93; 94. 17. a) Petro; b) Lauros. 18. a) 7 L f ,

b) 2 Lt. 19. a) 500 km ; b) 120 km. 20. a) 25 — ; b) 7 — — . 21. a) 78,75 — ; i 13 i h

b) 80 km

22. a) 700

— arba«2%; b ) — 49 54

J _

27 arba « 3,7 %. 23. a) 3;

0.16.arba 16 %; b) 6; 0,04 arba 4 %. 24. a) 1,24 CMI ; b) 0,76 CMI.

2.2. Procentai

1.a) 0,0524; 0,004; 0,00125; 0,0075; b) 0,0265; 0,001; 0,0025; 0,008.

2. a) 17 %; 75 % ; 33y % ; 12,5 % ; b) 54 % ; 80 % ; 1 б | % ; 6,25 % . 3. a) 133;

b) 25,5. 4. a) 6400; b) 160. 5. a) 55 m2 \ b) 60 kriaušių. 6. a) 37,5%; b) 20%.

7. a) 37,5 % ; b) 33^ % . 8. a) padidėjo 37,5 % ; b) sumažėjo 25 %. 9. a) 900 %;

b) 600 %. 10. a) 44 %; b) 51%. 11. a) 44 %; b) 30 %. 12. a) 10 %; b) 20 %.

13. a) 4 b) po 5 kg. 14. a) 90 %; b) 2,5 kg. 15. a) 50 %; b) 100%.

16. a) 9 kg; b) 14 kg. 17. a) 38,8 %; b) 46 %. 18. a) 5 %; b) 50 %. 19. a) 2000 Z,/;

b) 10 Li.

20. a) 1) 3750 Lt, 3) 8000 Lt. b) 1) 168 Lt, 2) 250 Lt.

Ltfa 5000

4000

3000

2000

1000

200

100

1 2 3 4 5 Mėnesiai 4 Savaitės

21. a) 20 rutulių; b) 20 partijų. 22. a) 100% ; b) 2400. 23. a) 5 ; b) 21.

24. a) « 28 ; b) «15.25. a) 850 ; b) 181.26. a) ^ % ; b )

3. Algebra

3.1. Algebriniai reiškiniai

1. a) 3; b) 1. 2. a) -30a 2 b 2 ; b) -40a V c . 3. a) 1; 2; 5; b) 2; 3; 5. 4. a) (9a V ) 2 ;

b) (δα8^2)2. 5. a) 1)7, 2)11; b) 1)6, 2)7. 6. a) 1; 2; 3; 5 ; b) 1; 2; 5.

7. a) 1) (-oo;0)u(0; + co), 2) (-«>;-l)u(-l; l)u(l ; + oo), 3) [-2;3)и(3; + « ) .

b) 1) (-oo;0)u(0;+«), 2) (-oo;-2)u(-2;2)u(2; + oo), 3) [S;7)u(7;oo).

8. a) - l | ; b) -5,25. 9. a) 0,56; b) -0,22. 10. a) -2; b) -1. 11. a) 1) b = a +10,

2) 6 = 1+ 2α ; b) 1) 6=1--α , 2) 6 = α + 1. 12. a) -24; b) -12. 13. a) 4; b) 3. 8

14. а) 3,2 -18 , , -3 , 2 ; b) -6х2 +6ху-16у2 . 15. a) Iy2 ; b) 20л:2. 16. а) 1; Ь) 1.

17. а) а3 + 6 3 ; b) а3 -863. 18. a) - J H ^ l ; b) . 19. а) 2; b) — . m +2т +Л α +За+ 9 m

. . . лг + 2 . . , + 1 „. . 3,-1 . . 5 ,-3 „„ „ _ . , , , , , 4л:2-6 20. a) ; b) . 21. а) ; b) 22. а) -3 ; b) 2. 23. а) - r — r ;

х-А х + 3 2 , + 1 Зх + 2 , ( , + 2J

.. Зх2-1 „, . χ 2 χ . , + 6 лг+2 „ . „ 5 b) -Į—-v . 24. а) ; b) . 25. а) — — ; b) — . 26. а) ;

-IJ х-5 7 + , 3 χ χ-4

3 , « v 2х-а , ч а-Ь + Зс .„ . у + х .. ху b) . 27. а) -1 ; b) α. 28. а) ; b) . 29. а) ; b) . х + 3 2 χ +a a+ b-с у-χ χ + у

X 4- 1 3 ° ' a ) 2 l + T ; b ) * + 1· 31. a) (2 ,-3 , ) (3 ,- , ) ; b) (5 ,- , ) (2 , + , ) .

З2.а)-(m2+2)(m2+4); b) -[^p2-Зр-З\лр2 +Зр-З). 33. а)-4л2(я2+ 4);

b) (* + 2Х9А + 2). 34. а) (3-т- л)(3 + m + я) ; b) (2т + Зп-l)(lm + Зп + 7).

35. a) (5-2, + ,)(5 + 2 , - , ) ;

b) (Лк-Ър-б)(4к-Ър + б). 36. a) γ- ( /-0 ,4 , ) ( /+0 ,4 , , 2 +0,16 , 2 ) ;

b) 1^-0,3,2 i I - + - х 2 у + 0,09,4

16 40 . 37. а) ( ,-3) ( , 2-3, + 3);

Ь) (3-,) (у 2-3, + 3). 38. а)-1; 1; 4; b)-6; -1; 1. 39. а) 1) (θ,5,-,)2 ,

2) (За-2b) 2 ; b) 1) (0,1р-2к)2, 2) (2,5т-2п)2 . 40. a) 6 = -1,5; b) с = -4.

41. a) m = — 3

b) 99(а-с).

41. a) m = y ; b) α = 165,5, 6 = 158,5. 42.a)3; b) 28. 45. a) IOla +206+IOlc;

3.2. Lygtys

l .a) xe R; ΧΦ2\ b) , e / f ; x*2,5 . 2. a )xeR; x*-2, x*3\ b )xeR

x*-5, χφ4 . 3. a) xe R ; b ) x e R . 4. a)-3 ; b) -4 . 5.a)l)taip, 2) ne

b) 1) taip, 2) taip. 6. a) 1) ne, 2) taip; b) 1) taip, 2) taip. 7. a) taip, b) ne. 8. a) 1; 5

b) -4; 2. 9 . a ) - 2 ; l ; 2 ; b )-2 ;- l ;2 . 10. a) 1) -V?; 0; V?, 2 )- l ; 0

b) 1) -3; 0; 3 ; 2) -2;0. 11. a) 1) - з ф з , 2) —1; 3; b) 1) -0,5; 2) -1; 0,5; 1,5.

12. a) 1) -1; 1; 2) -2; 2; b) 1) -л/2;л/ϊ; 2) -1;1. 13. а) 1) 1;7, 2) - ; 1, 3) 0 ;

b) 1) -4;- 3 , 2) —; 2 , 3 ) 0 . 14. а) х2->/2д:-4 = 0; b) χ1 - л/3д:-6 = О . 4

15. а) -2; -1; 1; 2; Ь) 1; 3. 16. а) 5,2; b)-11,6. 1 7 . а ) - | ; | ; b) -3; --j .

18. а) 2; b ) 3 l | . 19. а) .у =-2х + 3 ; pvz. (l;l), (З; — 7>; b)_y = 2x-3; pvz.

(l;-l), (θ; -3). 20. а) 11; b) -13. 21. а) -5; 5; b) 8. 22. a) - у * = 0;

Ь) - —; - 3; с = 3. 23. а) 3 ;-5 ; Ь> 4; 1. 24. а) — ; —; b ) - — ; - - . 3 3 3 12 2

25. а) 13 ; 35 ; Ь)25;91. 26. а) 4—; 7 — ; b ) 5 - ; - 5 — . 27 . а )т = 49; 9 27 9 27

b ) a = -3 ir а = 3. 28. а) 4; b) 3. 29. a) vienas sprendinys, kai a = O arba

α = -1-1 du sprendiniai, kai ae^-l^-;oju(0; + co) sprendinių nėra,

kaiaei-oo;-l^-j ; b) vienas sprendinys, kai α = O arba a = -1, du sprendiniai,

kai a e (-1; 0) u (0; +QO) , neturi sprendinių, kai ae(-co;-l).

3.3. Nelygybės

1. a) 1) -3; - —; 1; 2)3; b) 1) I; 2; 3; 2)1. 2. a) 11; b)-1. 3. a) 9; b) 25.

4. a) 1) α < 4 , 2 ) a < 3 ; b)\)b>8, 2)Ь>Ш. 5. a )M<N, b )A<B. 6. a) 1) 11 + y < 18 , 2) -5<x-y<2, 3) -40 <-4y <-24, 4) 30<лу<80;

b) 1) l l < a + į <18 , 2) -13 <a-i> < -6 , 3)18<aZ><45, 4 ) — < γ < | · 15 b 3

7. a) tiks; b) 18°^γ<20°. 8. a) 2; b) 1. 9.a)3; b) 2. 10. a) 6; b) 5. 11. a) 1; b) 2.

12. a) 1; b) 1. 13. a) 2; b) 1. 14. a) 1; 2; b) 1; 2. 15. a) 1; b) 1. 16. a) I) nėra, 2) f

b) 1) nėra, 2)1,5. 17. a) 1) Г з ^ ; +col, 2) (-2; + ®); b ) l ) ( ^ ; + ®j ,

2) ί-οο; 2— I. 21. a) 3; b) 3. 22. a) ,, , , . 23. a) nuo 300 m 11 ) Ч 13.

iki 1300 m; b) nuo 8 m iki 32 m. 24. a) ne daugiau 62 maišų; b) ne daugiau 2250 km.

— ; + <*>!: b) I -<»;.

3.4. Skaičių sekos

1. a) 10; 12; 14; 16; 18; b) 11; 13; 15; 17; 19. 2. a) 7; 11; 15; 19; 23 ;

b) 7; 12; 17; 22; 27. 3. a) 24; 48; 72; 96; b) 30; 60; 90; 120. 4. a) 10; 14; 18; 22; 26;

b) 10; 13; 16; 19; 22. 5. a) o„=3"+l; b) а„=л3 +1. 6.a) an = n2; b) а„=пг.

7. a) a„=5n \ b) an=(n + 2)2. 8. a) я„=-(2л-1); b) д„=-2л. 9. а) а„=4л;

b) a. = Зл . 10. a) a=—; b) α = — . 11. a) α = — ; b) a = ^ ^ · . " 2" " 4" " n ' " 2л+ 1

л +1 , 4 л — 1 . , Ч 1 , , ' 12.a) an= -; b) a„ = . 13. a) an = - ; b) a„

n n n+2 n+5

1 4 . . ) « , - ^ · ; 15. a) e, = (-1)"+1 -2 ; b )«„=(-l)\

16. a) an = 12(2л-1); b) a„ =14(2л-1); 17. а) an =-4-Зл ; Ь)а„=-3-2л.

18. а) 0; 1; -1; 2; -3; 5; Ь) —1; -2; -4; - 1 ; 32. 19. а) дг6 = 48; b) х5 =76. 2 8

20. а) —4; — 3; -2;-1; 0; b) 4;5 ; 6; 7; 8.21. а) 1; 6; 15; 28; 45; b) 1; - ; - ; — ; 4 3 8

-j. 22. а) 0; 3; 8; 15; 24; b) 3; 6; 11; 18; 27. 23. а) 0; 3; 4; 3; 0; b)-2; 0; 0; -2;

С ч 1 1 1 1 1 ич 1 2 3 4 5 „ ч „ 5 8 11 14 -6. 24. а) —; - ; - ; - ; —; Ь) —; - ; - ; - ; - . 25. а) 2; - ; - ; — ; — ;

2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5

^ 1 I 4 3 2 1 ч , 3 1 3 1 4 4 16 16 b) 1—; - ; — ; — ; — . 26. а) 1; —; —; — ; — ; b) -1; - ; - - ; — ; .

4 9 14 19 24 ' 4 7 10 13 5 5 17 13

27.а)-1; 2;-3; 4 ;-5; b) 1; - į ; i ; - I ; į . 28. a) Iog3 2 ; log34; Iog3 8 ; 2 3 4 5

Iog316; Iog332. b) log, 10; Iog1IOO; Iog1IOOO; IoglIOOOO; log, 100000. 4 "4 4 4 4

29. a ) l ; >/3;2; VJ ; l ; b ) л/2 ;0; --Я; -2; - Л . 30. a) 2; 6; 24; 120; 720;

b) 1; - ; — ; — ; — .31. a) 1;6; 11; 16; 21; b) 2; 4; 6; 8; 10. 32. a) 1; - - ; 4 20 120 840 2

- l ; i ; l ; b ) 3 ; 3; -3; -3; 3.33. a) 7; 70; 700; 7000; b)-10;-0,1;-10;-0,1.

34. a) 1)2; 12; 22; 32; 42; 2) х„ = 10л-8; 3) χ,^=992; b) 1)4; 1; -2; -5; - 8;

2) XN = -Зл + 7; 3) X100 = -293. 35. a) SN = 2 + 1,2(л-1) = 0,8 + 1,2л , 25,6 LR,

288,81л b) Cn = 10-1,2"-1; »21 min; «62 min. 36. a) didėjančios yra 1 ir 3

sekos, mažėjanti - 2 seka. b) didėjančios yra 1 ir 4 sekos, mažėjanti - 2 seka.

37. a) aS = 1 ^ . " = '6 ; b) a6 =I1- , л = 15. 38. a) 1) 6, 2) O3= 58; b) 1) 12,

2) a6 =-131. 39. a) a2 =20; b) bg = b9 = -51 . 40. a) a21 =-443 ; b) al9 =364.

41. a) 1) л = 7, 2) a7 =- ^ ; b) 1) л = 4 , 2) a4 =^- . 42. а) л = 245; b) л = 603 .

43. а) л >10; b) л > 32 . 44. a) Taip, л = 7 ; b) Ne. 45. a) 12; b) 122.

3.5. Progresijos

1. a) 1-oji seka; b) 1 ir 2 sekos. 2. a) 1) d = 3, a6 =16, Q7= 19; 3) d = 0, α5 = 5 ,

α6 = 5 ; 8) rf = - 7 , O4 =-15, α5 = - 22; b) 2) rf = -3 , л6=-12, я 7 =-15;

4) rf = 0, α5 = 8, й6=8;5) = а 5 =3 , α6 = ^ ; 7) rf = 4 , α4 = 13, α 5=17.

50° 55° 60°

3. a) 10; 15,5; 21; 26,5; 32 sudaro aritmetinę progresiją; b) 5° ; ; ; ;

65° sudaro aritmetinę progresiją. 4. a) taip; b) taip. 5. a) 51; b) - 13 . 6. a) ne;

b) taip, a48 =30,4. 7. a) 57; 54; 51; 48; 45; 42; b)-30; -18; -6; 6; 18; 30; 42.

8. a) 3;7; 11; 15; 19; 23; 27; b) 5;5,5; 6;6,5; 7; 7,5;8 . 9. a) 4987-uoju; b)4002-

uoju. 10. a) taip, O41 =48; b) taip, a,9=-2,7. 11. a) a126 = - 0,1 ; b)a51=0,6.

12. a) Ne; b) Taip. 13. a) 1) 5; 9; 13 , 3)23; b ) l ) 2 ; - l ; - 4 , 3)42.

14. a) 1)-4,5, 2) a„ = 1,5л-6, 3) Ne ; b) 1) 3 , 2 )а„=Зл-5 , 3)Ne.

15. a) 3) л = 6 ; Ь)3)л = 8. 16. а) 1) α,0 = 49, 2) α„ =4л + 1; b ) l ) a 8 = 4 7 ,

2)а б=6л-1. 17. а ) а , =1 , α 2 = 9 , Q3 =17; b) а, =5 , O2 =15, a3 = 25.

18. а) 2) 24570; b) 2) 2070 . 19. а) 1) S20 = - 270 , 2) л = 5 arba л = 6;

b) 1) S10 =-30, 2) л = 6 . 20. а) 20 ; b) 9 . 21. а) а„ = 7л-4 , а„=129;

b) α„ = 9и -13 , β17 = 140. 22. а) 1) я3 = 38 , а„=59, 2) а ,=14, а 3 =-26 ,

3) O2 =3,7, α3=-0,1; b) 1) α, =31, α2 =19, 2) α2 =12, a 4 =24 ,

3) α2 =-0,8, α3 =0,4. 23. a) per 8 valandas; b) 15 km 150 m. 24. a) 315; b) 800.

25. a) * 643 km ; b) 422. 26. a) 386 ; b) 304. 27. a) 2240; b) 1800. 28. a) 125250;

b) 1125750. 29.8) 4905; b) 494550. ЗО.а) 82350; b) 810. 31.a) 1635;

b) 1210 . 32. a) 164850 ; b) 123975 . 33. a) 4095; b) 3960. 34. a) 6; 10; 14; 18; 22;

26; 30; b)-7; 0,5; 8; 15,5. 35. a) an = In-6, skaičius 99 yra penkioliktasis šios

progresijos narys, o skaičius 88 nėra šios progresijos narys; b) a„=-4«+19,

skaičius -105 yra trisdešimtpirmasis šios progresijos narys, o skaičius -200 nėra

šios progresijos narys. 36. a) a17=91, d = l; b) O23= 171, d = S.

37. a) 9; 16; 23 ; b) 38; 133; 228 . 38. a) 17; 29; 41; b) 60; 54; 48 .

39. a) 1) h„ =8000-500«, 2) 6500 m ir 4000 m, 3)9 min; b) 1) c„ =10+2« ,

2)50 Lt; 70 Lt, 3)po 40 dienų. 40. a) -40; b) 160. 41. a) -3240; b) -5355.

42. a) 3 ; b) 2 . 43. 2) d = ^ ; b) 2) d = 3. 44. a) 28,8; b) -1785. 45. a) -698,9 ;

b)-206. 46. a) -189; b)-120. 47. a) 1331; b) 497 . 48.a) 288; b) 490.

49. a) a5 = 44,1 m , S5 = 122,5 m; b) a, 0 = 5,9 m, S10 =32 m. 50. а) 1) 102,9 m ,

2) 592,9 m, 3) 30J ; b) 1)161,7/«, 2)1416,1 m, 3 )40 J . 51.a)« = 44;

b) « = 98. 52. а) 408; b)-950. 53. а) 9 arba 31; b) 16. 54. a) 68 ; b) 100.

55. a) 7 arba 13; b) 9 arba 12. 56. a) 1) a„ =-7 + 4(«-l),

2) 78200 ; b) 1) a„ = -5 + 3(«-l), 2) 237400. 57. a) a„=2« + l arba a„=5«-8 ;

b) an = 2« - 3 arba a„=3«-7. 58. a) 300; b) 585. 59. a )x = - l arba x = 4;

b) x = l arba X = 6. 60. a) 2 ; b) 2. 61. а) л: = I + Iog3 2 ; b) л = I-Iog2 5.

62. а) л: = 0,5; b ) x = 4. 63.a)x = - 2 ; b ) x = -2 . 64.a)jc = 2; b ) * = 2.

65. a) χ = 14; b) χ = 2 ir x = 10. 66. a) 52%; b) 163%. 67.a )36%;

b) 163%. 68. a) 7; 11; b) 5; 19. 69. a) 77 ; b) 129. 70. a) 1) 24; 2)40 0,6";

3) po 4 metų; b) 1) 12; 2) 20-0,6"; 3) po 5 vai. 71. a) 1) «-ojo mėnesio atlygini-

b) 1) ^=30000-1,1"-', 2)43923, 3)284615. 72. a) 1)96000; 2)120000-0,8";

3) po 5 metų; b) 1)175000; 2)250000-0,7"; 3) po 4 metų. 73. a) 55; b) 29.

74. a) 1 ; b) 2 . 75. a) 7 ; b) 25 . 76. a) Po 4 vai.; b) Po 6 J. 77. a) Po 10 I ; b) Po

15 5. 78. a) Po 3 vai.; b) Po 13 vai. 79. a) 9 ; b) 8 . 80. a) 6 ; b) 4 . 81. a) 385

rutuliai; b) 120 rąstų. 82. a) 1 ir 2; b)2ir3. 83. a) 1) ¢ = - , A5 = — , b6 = — , 5 125 625

4) q = - 1, b5 = - 9 , b6 = 9, 5) q = 2 , A4 = 16 , A5 = 32 , 8) q = 1, bs = 6 , A6 = 6 ;

b) 3) (7 = -3 , 65 = 324, A6 = - 972 , 4) ¢ = 1, A 4 =- I , A5 - -1 , 6) ¢ = - , 4

į 4 = 7 7 ' 6 J=^TT' 7) ¢ - 1 , A s =- I , A6 =1. 84. a) 1)250; 1250; 6250, 64 L 56

2) - i ; 1; -2; b) 1) i ; , 2) 1; -0,1; 0,01. 85.a)3125; 625; 125; 25; 5,

b) 5; 1; —; — ; — . 86. a)-4;-2;-1; - - ; - - ; -- ; b) 0,001;-0,01; 0,1;-1; 5 25 125 2 4 8

10; -100. 87. a) , 6 = 8 , .V9 = I j b ) , 6 = - 1 2 , y9 =96 . 88. a) 3; 3>/3 ; 9; 9>/з ; 27

arba 3; -3л/з ; 9; -9л/з ; 27; b) 0,2; 0,8; 3,2; 12,8. 89. а) 144; 48 ; b) 18; 162 .

90. a) 2; b) 3 . 91. a) 3 ; b) 2.92. a) <7 = 5; 1; 5; 25; 125; 625; 3125; b) ¢ = 0,1

100; 10; 1; 0,1; 0,01. 93. a) 2) SN

_ 49(7" - l ) ; b) 2) s„:

5 . 94. a) 40

b) 15. 95. a) S6 = - 5,25; b) -20—, 96. a) aritmetinė 2, geometrinė 1

b) aritmetinė 1, geometrinė 2. 97. a) bn =(-l)" ·24"" ; b)A„=--2""1 arba

bn =(-ΐ)"·5·2"-4 . 98. a) 1) n = 6, 2) A6 =-486; b) 1) n = 8, 2) A8 =-768.

99. a) 3; b) 5 . 100. a ) x = l ; b )x = l . 101. a) 1; b) 1. 102. a) 189; b) 255.

103. a) 6; b) 4. 104. a) 1) An = 2-32"", 2)9 H į

100 Λ

; b) 1) A„ = 3 · 4

2) 16 1 4 4

5<Λ

105.a)7; -28; 112; -448 ir -11-; -46—; -186—; 3 3 3

-74б|; b) 3;-6; 12;-24. 106. a) A3 = 9, <7 = 3 arba A3 =1, ¢ = ; b) A1 =3 ,

<7 = 2 arba =12, <7 = 107. a) 23,25; b)341-j . 108.a) 248; b) 842.

109. a) 10125 wif.; b)20736Z./. 110. а) Л = 3, Я = 243; b) /4 = 2, 5 = 32.

111. a) i ; b) | . 112. a) 1; 3; 5; b) 1; 5; 9. 113. a) 2; 6; 18 arba 18; 6; 2;

b) 4; 10; 16 arba 16; 10; 4. 114. a) 4; 12; 36; b) 100; 20; 4. 115. a) 1; 3; 5;

b) 1; 5; 9. 116. a) -7; b) -2. 117. a) 8; 10; 12;... , 17; 10;3;... b) 3; 7; 11.

118. a) 1 ; b) 36. 119. a) | ; b) 7,5 . 120. a) a = - l , A = 3 , c = -9 arba a = - 9,

b = 3, c = - l ; b) a = l , A = -3 , c = 9 arba a = 9, 6 = -3 , c = l . 121. a) 2;

b) 0,8. 122. a) 1) <? = -!= , 2) b2=9, A3 = Зл/З ; b) 1) A1 = — , 2) A 2 =I , л/3 5

A3 . 123. a) o, =72, <? = | , a, =36, <? = f ; b) a, =84, <7 = 7 , a, =28 , 6 3 3 4

o = - . 124. а) 32 ; b) 364,5. 125. а) - ; b) - . 126. а) — ; b) - . 127. а) 85-; 4 3 2 19 3 3

b) 518,4. 128.a)-62,5; b) 108. 1 29 . а )Д ; b) 1 ^ . 130 .а)1б|; b) 80.

, , , \ 1 .v 1 ч з(з + л/3) . . „ / / r ч Vl5(л/з + l) 131. а ) - - ; b ) - - . 132. а) ' 1; Ь)9(л/3 + 1). 133. а) - — ^

Зл/2(з + л/з) 1 3 4 W J - 5 3 2

2 4 3

b ) 8 j . 137. а) 90; b)-275. 138. a) ; b) 4(-4/2+1). 139. а) ;

b) 2Л/2 . 140. а) 1 6 + П Л ; b) ^ 3 ш

Зл/б

7 кч 1

. = —; Ь) χ, = —, 2 9 1 3

2 2 5 5 7 3 7 5 X 2 = - . 142 .8 ) 1 )- , 2 ) — , 3 ) — , 4 ) 3 — ; b) 1) — , 2 ) — , 3) — , 2 3 ' H 18 ' 27 ; 12 ' 11 18 36

4)5-^-. 143. а) 1) 32(2+ л/2 )cm, 2) 128cm2; b) 1) 24cm; 2 ) ^ y ^ c m 2 .

144. а) 128 cm2; b) 32π cm.

II. FUNKCI JOS IR ANALIZES PRADMENYS

I . Funkcija

1.1. Funkcija ir jos grafikas AS(x)

1. a) 1) 5(x)=5x-x2,

3) Ds = (θ; 5); £s=(0;6,25),

2) X 1 2 3 4

S(x) 4 6 6 4

6,25

4)

2.5 5 X

b) 1) 5(x)=8x-x2,

3) Ds = (θ; 8); £ į-(0;16),

2. a) 1) 5(x)=·

2) X 1 2 3 4

5(x) 7 12 15 16

AS(x)

4)

— , kai O < χ ^ 2, 4

χ-1, kai 2<x<4 ;

3

2)

3) 5( l )=-, 5(2)=1, 5(3)=2, 5(4)=3.

4 8 X

1 2 4 X

b) 1) 5(x)= Ix2, kai O<χ< 1,

[2-(2-x)2, kai 1 <x<2;

3) 5 ( 0 =1 , 5(0,5)=0,25, 5(1,5)=1,75, 5(2)=2

3. a) 1) m(x) = 7,8x, kai 0<x<10,

8,9x-11, kai 10<x<25;

a) 1) 5(x) = 60 t-l 36

, kai O < i < 20,

2) , kai 20<<<70;

70 t, S

4. a) 2; 3; 6; 7; b) 1; 3; 5; 7. 5. a) 1 - gali, 2, 3, 4 - ne; b) 2-taip, 1, 3,

4 - ne. 6. a) DF =(-5-,4], EF =(-4,5;б]; b) DF=[- 5;7), £ ,=(-3:4].

7. a) 1 ) / ί -84 ] = - 9 4 , / ( θ ) = 1 , / ί 4 ! ΐ = 22^ . 2) >4

3) funkcija netolydi.

b ) l ) g [ - 5 - j = - 4 į , g ( 0 ) = 0 , ^ 2 | j = 2 - .

3) Funkcija netolydi.

2 )

I' k 0 ! 2 Л

)

2)

1 / 2 j:

8. a) b)

9.a) 1 ) / (-6)=0, / [ - у ] = 0,2, /(-0,9)=0,1, / (0)=0, /(3,8)=0,8,

/ (9)=0. У/\ , / W = X-M = W

2) 1) Df = R, Е,=[о-,\).

0 1 2 3 X

ь)1) g{~5)=-5, g(-3,7)=-4, 1, *(0)=0, g(0,5)=0, g(3,7)=3.

M

з| ·—о / W = X-W = W з ) Dg=R, Eg=Z-,

2)

0 1 2 3

čia Л - realiųjų skaičių aibė,

Z- sveikųjų skaičių aibė.

10. a)

Df =(-°o;l)u(l;co),

£r=(-oo;2)u(2;co)

b)

Dg =(-co;-l)u(-l;<x>),

E =(-oo;-2)u(-2;oo).

11. a) a = 2, b = -5 ; b) a = 3, 6 = 13. 12. a) 2 x + 1 ; b) 4x2-12x + 9 . 13. a) 11;

b) 15. 14. a) xe[o,6;l); b) xe(-l;oo). 15. a) 1) D(/)=[-2,5;б], 2) (-0,5;б)-

mažėja; (-2,5;-0,5) - didėja, 3 ) / (x )=0 , kai x = -l,8 ir x = l,5,

4) max /(χ) = 4, min/(χ) =-5,5 ; b) 1) D(g)= [-3,5; 4,5], 2 ) / (x )=0 , kai

X = 1,2 ir χ = 3,7, 3) didėja (-3,5;-i) ir (2,5;4), 4)max/(x)=6,

ming(x)=-2,5. 16.a) 1) — 1;0,5;2,5 ; 2)[-2;2], 3) (-2;l)u(2;2,5],

4 )y = 2x+2;b) 1) -1,5; 1; 3,5 , 2) [-3;3], 3) (-3;2)u(3;3,5), 4) /(x)=3x-3.

17.a)l)2, 2) (-3,5;2), 3) [-3;-2] ir 1, 4) g(-l)=-2; b) 1) -1, 2) [-3;3),

3) -2 ir [l; 2], 4) g(l)=3 . 18. a) -2; b) -6,5 . 19. a) 2; b) 1. 20. a) 1, 3, 6, 7 -

lyginės; 4, 5, 10 - nelyginės; 2, 8, 9 - nei lyginės, nei nelyginės, b) 1, 3, 7 - lyginės;

4, 5, 6, 9, 10 - nelyginės; 2, 8 - nei lyginės, nei nelyginės.

21. a) b) 22. a)

*r i / p T F 23. a) 1, 5,6,7 - lyginės; 2 - nelyginė; 3,4,8 - nei lyginės, nei nelyginės,

b) 4 - lyginė; 1,3,6 - nelyginės; 2,5,7,8 - nei lyginės, nei nelyginės.

b) >'A -4 -2

24. a) 1) - i , 2) - 3 I ; b) 1)1, 2)7. 6

25. a)

SA

b)

o| i "r

26. a) 1) didėja [-l;l], mažėja [-3,5;-З] ir [—2; — l] ir [l;2] ir [З;3,5],

2) nelyginė, 3) min /(*)=·/(3,5)--2, ^ 3 ^ / ( , ) = / ( - 3 , 5 ) = 2 ; b) 1) didėja

[—3; — 2] ir [2; 3], mažėja [-3,5;-З] ir [-l;l] ir [З; 3,5], 2) nelyginė,

3) min g(x)= #(3,5)=-1,5 , пмх g(,)=g(-3,5)= 1,5. 27. a) y = 6,25,;

b) , = — . 28. a) 2; b) 3. 29.a)4;b)3. 30. a) 1) (-00; 2], ,

2)(-oo;-l)u(-l;l)u(l;+oo),3)(-eo;-2)u(-2;2)u(2;+oo), 4) , о]и(з; fi],

5)(0;°o), 6 ) f - l ; | l ; b) 1) (-<х>;-ф[2;3)и(3;+оо), 2 ) i - oo ; -| ) u i | ; + oo],

3) (-oo;0)u(0;l)u(l;oo), 4) (-«>; l]u(3; + « ) , 5)(-oo;θ), 6 ) ( - 0 0 ; - l ) u Į - - ; « J .

31. a) 1) ( -00;+ 00), 2) (-oo;0)u(0;+oo), 3) [-8; + » ) , 4) (-oo;θ], 5) [-5;+ 00),

6) (-00;5]; b) 1) (-«; + «,). 2) (-00;5], 3) (-oo;0)u(0;+oo), 4) , = -1; y = 1,

5)(-oo;-2], 6) [-2;+ 00). 32 .a )a = j , b = 3, c = -2; b ) a = -3 , b = -2,

c = 10. 33. a) 1)4, 2) -10; 20; b) 1) -56,2)2; 8. 34. a) -1;-3;-4; b) -5;0;2.

35. a) 1; 3; 4; b) 2; 3; 4. 36. a) 6; b) — . 37. a) 2; 4; 6; b) 2; 3; 6. 38. a) (-2; 4); 24

b) I - I l , 3 ' 3 .

. 39. а) Дх), g(x) , n(x), t(x); b) / ( * ) , g(x), Ux) , u(x), v(x).

40. a) 1;

41. a)

44. a)

g(x) =

xSO

g(x) = x2 + l, x<0. g(x) = x2-2, x < 0 .

f(x)=4-2x

g(x)=-ix + 2

g{x)=-\x+ 2.

f{x)~ (χ + i)2

g{x)=^~ 1.

g(x) = x2+l, x>0.

g{x)= 2-J~x ;

b)3.

M f{x)~ 2x + 1

/ W =

= X -2 , x>0.

g(x) = x -2, x>0.

2

48. a) g { x ) = ~ , /> ,= (-« ; l ) u ( l ; oo ) , D g = (-00;3)u(3;oo); b) x-3 2 + x

DF = (-00;-l)u(-l;oo), D g = (-00;-2)u(-2;00).

b)

Df = [-4; θ], Ef = [θ; 2],

D g = M - £Д-4;о].

, + 5

D,=[0;4], Ef Ą0;2],

D g = [О; 2], £g[0;4].

50.a )g( , )= — , D,=£ g=(-<»;-l)u(-l ;«>) , £,=Dg=(-«>;3)u(3;oo);

b) D,=£g=(-oo;l)u( l ;oo), D g=£,=(-oo;4)u(4;co) .

1.2. Funkcijų taikymai

l .a) S(n)= 180« — 360 ; b) v(t) = 1000-50;.

2. a)

12 m;

93 Lt.

Išlaidos

(Lt) b)

15 /и;

1027,2 Lt

Išlaidos

(Lt) 171,2

A y = 85,6,

85,6

1 2 Audinio metrų

3. a) y = 0,08,, 40^ , « 875 km; b) y = 0,62,, 18,6 Lt, 50 dienų.

t S(t) 17,5

Dienų skaičius

4. a) / ( i )= 80+6f; b) / ( , )=500-10, .

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

S(0 0 3 6 8 10 10 12,5 15 17,5

17, 5 km.

b)

1 2 3 4 /

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

SM 0 5 10 16 22 22 29,5 37 44,5

40

20

10

44,5 km.

'44,5

1 2 3 4 /

6. a)

1. h(t) = -Ą,9t2 + 20 20

3. 1) « 2s ,

2) antrąją,

3) «9т .

l\h, metrais b)

1. Λ(ί)= -4,9t2 +10/ + 2 7

3. 1) « l s ,

2) pradžioje 2

> 3)7 m,

Λ A, metrais

sekundėmis 4) po 2,2 s. 1 2,2 I, sekundėmis

7. a)

1) S(x)=12-3x2,

2) xe[0;2].

8. a) Ac

21 22 /23 24 25 26 27 28 29 30 ^ m W

-3·

2) 23 ir 25. 2) « ЗЛ , IOA , 21A .

b) 121

1) s(x)=12x-3x2,

2) xe[0;2].

b)

dienos

2. Laipsninės funkcijos

2.1. Pagrindinės laipsninių funkcijų savybės ir jų reikšmių skaičiavimas

1. a) 1) /(8,2)</(9,8), 2) /(-4,8)</(-6,2); b) 1) /(9,7)>/(7,5),

2) /(-8,2)</(-6,5). 2. a) 1) /(2,8)</(3,2), 2) /(-4,8)</(-2,3);

b) 1)/(12,7)>/(13,6), 2) /(-14,2)</(-12,l). 3. a) -- ;0 ; b)[l;3].

4. a) -;4 α Ϊ6

; b) [0;3]. 5. a) 422 ; 7e is . _| j i . 4(a + 3) 2 ; b) 534 ; 3a14;

9 ( A + 2 ) ~ 3 ; ( A + A ) I . 6 . a )V3-V7; ^ = ; ^ T ;

b ) V 6 - V 7 ; - J = ; J I ; Vri ; ^ 2 . 7. a) 3/*V Vx

ii-ii 49' 25

192 192

2197'1331

8. a) b) 1,2. 9. a) 1) 3,54 <3,84, 2) 2,26 <(-2,5)6, 3)(-3,1)4(-3,2)5,

4) (-4,6)4 < (-4,8)4 ; b) 1) 0,35 < 0,55, 2) 0,64 < (-0,8)4 , 3) (-0,2)3 > (-0,4f ,

4) (-0,6)4(-0,55)8. 10 . a ) / ( l )=0 , / (2 )=-4 , /(-3)=36, / (4)=-48;

b ) / (-1 )=2 , /(-2)=18, / ( д ) = ~ ; / ( 4 } = · И . » )1 ; 3; b) 1; 2; 4.

12. a) EkžlL j b) т + И . 13. a) 1,2107 m 2 ; b) 8,3-10"7 km1. 14. a) 1) ^49a5b ; b m n

2) Vl25as67 ; b) 1) VfKh j ; 2) V 2 W . 15.a)g(-6); g(3); / ( l ) ; / (- l ) ;

b)g(- l ) ; g(l); / (2); /(-5). 16. a) taškas /4; b) taškas 5. 17. a) 1; b) 3.

18. а) \[л >у[б ; b) V^ >^42 . 19. a) VŠ < ^9 ; Ь)УП)>л/з.

20. b) V4< 21. a) a 3 ; b) a7 . 22. a ) - ; b) 1.

23.a)12,5; b) 6 - . 24. а) 6 ; b ) - . 25. а) 2,4 ; b) 4. 26. а) 192 ; b) 10. 4 4

27. a) χ2"; b) χ10""1. 28.a)V2+V3; b) 2^5 . 29. а) 13 V? +16; b) 21^2.

а)

3 3 . 8 ) 5 ^ + 5 ^ ; b) 2Va . 34. а) 3 ; b)-3 . 35. а) 4,5 ; b) — . 36. а ) -60 ;

30. a) 2Vx23"; b) 'Vx7". 31. а) -0 ,6хУ ; b) -0,02* V 32. а) b) V?

b)-9. 37. а )2 ; b) 3. 38. а) 3 ; b) 1,5. 39. а)-36 ; b)-420. 40. а) b)3.

41. а) 6; b) 4,9. 42. а) 3 ; b) 3. 43. а) 14 ; b) 2. 44. а) 10 ; b) 14. 45. а) -20 ; b) 3.

46. а) 0,5; b) 6. 47. а) 23- ; b) -22-. 48. а) 8- ; b) 2 - . 49. а) 64,25 ; b) -11. 2 4 3 4

50. а) 144 ; b) 675. 51. а) 27 ; b) 1,5. 52. а) -5,8 ; b) 5,2. 53. а) 1; b) 1. 54. а) 12;

b) 15. 55.8)324; b) 1125. 56. а) 20; b) 12. 60. а) 6VŠ + 2; b) 39. 61. а) з ^ ;

b) į — . 62. а) 2; b) 1. 63. а) tiktai, kai x = 0; b) tiktai, kai x = 0. V 4π

64.8) Df =(-oo;l]u[3;oo); b) Df = (-00;-2]u[l;00). 65. a) D{f)= [2;5];

b) Z)(g)= - Į ; + co). 66. a) d(/")=[-1;0)U(0;+CO); b) £>(g)=[-3;l)u(l;3]. 2

67.a) £>(/)=[-5;-l]u[l;5]; b) £>(g)= [-4;-3]u[3;4]. 68.8) 7,626 10"4;

b) 8 1026. 69. a) 8,58 103; b) 1,875· IO"35. 70. a)-2,1305· IO"'6 ; b) 910"9 .

71.a) £(/)=[0;+qo); b) £(*)=(-«>;+ со). 72. а) £ ( / ) = [2;+ oo);

b) £(g)=[-3;+oo). 73. а) 5л/б ; 2-^27; ^ 9 ; b) 3·^25 ; 2yfŠ ; Vl6 .

74. a) V-T2 ; - ; 2; V™ ; b) V ^ ; - ; 1; V ^ . 75. a) л/2 , У з , УГТ, V?; 2 π

b) 1VT?, У з , V i , л/2. 76. a) i[j\0 , ^ V s , V 2 W , 3VŠ72,

b ) \ f j 6 , fiS, V2 , - J l W , ^ 3 ^ 2 . 77. a) χ 3 +y 3 ; b) χ3-.у3 .

78. а) 1) л/з , 2 ) V 4 , 3) i į /5-л / з ) , 4 )9 + 4л/5; b) 1) V? , 2) Уз ,

3)-(л/7+l), 4)3-2л/2. 79. а) 194; b) 322. 80. а) 33; b) b-115 .

81.а) / (4)=32, = /(0,01) = 0,00001; b ) / ( l ) = l , / ( s ) = i ,

/ ^ i j = 4. 82.a) 2; b) 3. 83.a)4; b) 0; 1. 84. a) 1; b) 8. 85. a) 1) 2x4 , 2) 3x ,

, 1 , -2 2 1 3) - χ 4 , 4) χ"2; b) 1) -χ" 2 , 2) χ4 , 3) 9x 3 , 4) x"8. 86. a) 80- ; b) 10- .

3 4 3 3

87.a)l,5; b ) l | . 88. a) 2; b) 5. 89. a) 1) ; 2) /(8)+1 = /(27); 3) 0; 1;

4) D / = ^ - o o ; i j u ^ ; c o j ; b ) l ) ( l6 ;2 ) ; 2 ) / (8 l )- l = / ( l6) ; 3> 0; 1;

4) 0 /=(-оо;-л/з]и[Л;<»). 90.a) l) I ; 3) (-l;0)u(l;co); b> 1) 0; 1;

3) (— 1; 0).

2.2. Atskiri laipsninių funkcijų atvejai

1. а) 4, 6, 7; b) 3, 7. 2. а) 7; b) -9 . 3. а) 1 koordinacinis ketvirtis; b) I koordinacinis

ketvirtis. 4. a) D(y)= (-00;0)u(0; +00), E(y)= (-00;0)u(0; +00);

b) £>(y)=(-oo;0)u(0;+oo), E[y)= (-00; 5)u(5; + 00). 5. a) 2; b) 1.

6. a) 1) /(5,3) >/(-6,4), 2) s(7.3)>g(-8,l), 3) / ( m j j < g ( m | j ,

4 ) / [ - l | ] < g ^ j ; b) 1)/(-7,9) </(-8,1), 2 ) ^ - 5 - 1 ^ ( - 5 ^ ) ,

3)/(4) (4)'4) ч" 2Di eI2Sj' 7'a) D/=(0;+oo)' £/=(°;+oo);

b) £>g=(0;+®), £ g = (0 ; + a>)· 10. a) 1)-3, 2)1; b) 1)4, 2)2. l l . a ) p = 6,

¢ = 13; b) p = -2, ¢ = 6. 12. a) a < 0 ; b) a < 0 . 13. a) y = {x-2)2, y = x ,

X = 1, χ = 4 ; b) y = (x-2)2 , ^ = -x + 4, x = 0, x = 3. 14.a)16; b) 20.

15. a)D f = {xe [-2; 2],χ = 6}; V)Df ={xe[-l;l],x = 2}. 16. a) £ , = ( 3 : + 00);

b) £ , = [ 3 ; + oo). 17.3 ) / ) , = ( - 0 0 : 0 0 ) , £ , = ^|;oo ; b) Df =(-00;00),

£,= л/7 18. a) £ , = ( - 0 0 ; 7]; b) £ , =[-7;00). 19. з) Df = [θ; 2],

£,=[0; l] ; b) Df = [-1;б], Ef = 20.3) 2; b)3. 21.3)-1,2; b) 2,4.

22.3)1)-4, 2)1,5; 3)7, 4)--^; b) 1)-4, 2)6, 3)2, 4)1. 2 3 . з ) , = ^ , 4 χ

b) = 5x. 24.3) 1)354; 885; 1239, 2) 1470; 588; 420; b) 10; 30; 60; 36.

25. 3) per 3 Л; b) per 10 dienų. 26. з) 105 Lt; b) 4 Lt. 27. з) 9 g ; b) 26 Λα .

2.3. Lygtys ir nelygybės

l . a ) - ; b) 10; 2. a) 10; b) 25. 3. a) - ; b ) - I - . 4. a)-2; b) 25,3. 5. a ) - — ; 8 8 3 15

3 1 1 b) — . 6. a) χ = — , kai α * 1 , χ e R , kai a = 1; b) χ = — , kai a* 2 , χ e /f, kai

8 2 2

α = 2 . 7. a) χ = —-— ,kai a * ±1 , χ e R , kai a = -1, sprendinių nėra, kai a = 1; a + 1

b) χ = , kai a * ±2 , xeR , kai a = 2, sprendinių nėra, kai a = -2 . a + 2

8. a) χ : 6 + 5

6 + 3 ,kai 6 * -3 , 6 * 5 , χ e /? , kai 6 = 5, sprendinių nėra, kai 6 = -3;

6 + 7 b) χ = ,kai 6 * -3 , 6 * 7 , χ e Λ , kai 6 = 7, sprendinių nėra, kai 6 = -3.

6 + 3

9.3) 152; b) 90. 10. a) 162 Li , 118 Lt, 104 Lt; b) 130/./, 180 Lt, 210/./. 11. a)

20 Lt; b) 180 Li . 12.a)12cm, 12cm, 20cm; b)17cm, \1 cm , 10 cm.

13. a) 11 km; b) 11 km. 14. a) 7 žmonės; b) 136 ha . 15. a) O ; 17,5; b) -7,5 ; 0.

16. а) 2; 2-j; b) i ; 3 . 1 7 . a ) -3 ; | ; b ) - 2 ; i . 18. a) φ b) ~ .

19. a) sprendinių nėra; b) sprendinių nėra. 20.а) ->/20, л/20; b) ->/б; л/б.

21. a) --j ; 3; b)-0,2 ; 1. 22. a) j ; 5; b) j ; -5. 23. a) x2-2x-3 = O ;

b) χ + 9x + 20 = O . 24. a) 3x -10x + 8 = 0; b) 5x-13x +102 = 0.

25. a) χ2 - 6x + 4 = O; b )x 2-4x+l = 0. 26.a)-0,2; 2; b)-0,5; 3.

27. a) be R ·, b) m e R . 28. a) a = -8,8 ; b ) o = 25. 29. a) m = - 0,25 ;

b) c = l j . 30. a) 2—; +00 I; b) p e R. 31. a) X2 =-5 , p = -2 ; b) x2 =-0,5,

o = 2. 32. a ) * = 5; b) tokios k reikšmės nėra. 33. a) k - 2,75; b)k = 3~.

34. a) a = 15 ; b) m = 8. 35. a) p = 1 ; b) m = -1. 36. a) k = 3 ir k = 4 ; b) k = 1.

25 37 . a ) l ) - 6 , 2) j-со ;— |, 3> j 0; —

24

25 , 4 ) [0 ; + o o ) ; b) 1 ) -6 , 2) ( -00; 0,4),

3) (θ; 0,4), 4)[0; + oo). 38. a)-3;-2; 2;3; b )-6;-2;2;6 .

39. a) - 2 ; - ^ ; ^ ; 2 ; b) - 2 ; - J l ; Jl; 2 . 40. a) -1;1; b) - i ; I . 41. a) 0 ;

b) 0 . 42. a) -1; 1; b) -4; 2. 43. a) -1;2; b) — 2; — 1. 44. a) x = -2 , * =

x = j , x = 2; b) x = -0,6, x = 0,6. 45. a) 1) a* 0; 1; 2, 2) o = -2, 3) o = 0

arba α = 1; b) 1) a Φ -1; -1 ; 2, 2) o = - l , 3 ) o = -2 arba 0 = 2 .46. a) 27; b) 29.

47. a) -2 ir 5; b) -1 ir 6. 48. a) IOcm ; b) 5cm arba 8cm. 49. a) 23; b) 12.

50. a) 8 cm ; b) 18 cm . 51. a) 0; 0,8; b) 0; 0,6. 52. a) 0,8; 4; b) -2; -§. 53. a) 3,5; 6

b) -1-j . 54. a) 4; 18; b) -8 ; 3; 55. a) 0; 2; b) 0. 56. a) -2; b) 3. 57. a) 3; b) -2.

58. a) 7; b) 1. 59. a) 2; b) 1; 7. 60.a)2; b) 6. 61. a) 15 — ; b) 20-^ . h h

„ „ km . x , km .. , , _ km . km , , km km , . . , 62. a) 3 — ; b) 4 — . 63. a) 1 2 — ir 16 — ; b) 7 5 — ir 60 — . 64. a) 6

h h h h h h

žmonės; b) 15 Lt. 65. a)-1; b) 4. 66. a) 3 ; b) 2. 67. a) O; b) 2. 68. a) -2,5;

b)-1,5. 69 . a )-| ;- l ; b ) 2 | ; 3 . 70. a) 16 b) 50. 7 1 . a ) - ; b) -1— . 3 3 9 16

72. a) —4; 3 ; b) -2;3. 73. a) -2; 2; 3; b) -4; 1; 4. 74. a) | ; 7 ; b) -5; 0,6.

75. a ) - f 2; b) 2. 76. a )-3 ; b) 0; 5. 77 . a )- l l ; 7 ; b )-8;-6 .

78. a) -2; 0,75; b) -1,4; 2. 79. a) -3; 4; b) 4>/2. 80. a) 5 ; b) 4. 81. a) 0 ;

b) 0 . 82. a) 0 ; b) 0 . 83. a) 7 ; b) -8 . 84. a) 0 ; b) 3. 85. a) -1; 3; b) 2; 10.

86. a) 7; 8; b) 2. 87. a) 0 ; b) 0 . 8 8 . a ) - - ; b ) l . 89. a)-9; 4; b)-5; 2. 4

90. a) 4; b) 19. 91. a)-1; b) 3. 92. a) 4; b) 16. 93. a) tokių reikšmių nėra. b) 3.

94. a) -1 ir 2; b)-3 ir 2. 95. a) (-9; 5); b) (-6; 3). 96.a)(l;2); b)(3;l);

97.a)(l; 2); b)(3;l). 98.a)(-l;0); (2; 3); b) (-2; 5); (1;2).

99. a) 1 ir 10; b)-l ir -2 arba 2 ir 1. 100. a) 1) taip; -2 ir 12; 2) ne; b) l)ne;

2) taip; 12 ir 7. 101. a) - i ) ; [ - į ; ~ Į ] ; b) (-8,5;3); ί - ^ 2 ) '

102. a)(-3; -4); (-4;-3); (3;4); (4; 3); b)(-5;-3); (-3;-5); (3;5); (5; 3).

103 a) (8; 2); (-2;-8); b) (9; 1); (-1;-9). 104. a) (2; 1); b) (-2; 4); (4;-2).

105. a) (-14; -6); (14; 6); b) (3; 4); (18; -1). 106. a) 1) y = -x2 + 2x + 3, 2) eina per

tašką M, o neina per tašką N. 3) y = 2x+ 2 . b) y = - ^x2 +-j* + 2, 2) eina per

2 4

tašką M, o neina per tašką N. 3) y=—x+— . 107. a) 2 sprendiniai: 5 m ir 12 m arba

12 m ir 5 m. b) 2 sprendiniai: 12 cm ir 16 cm arba 16 cm 12 cm. 108. a) 6 cm ir 8 cm;

b) 7 cm ir 24 cm. 109. a) 196; b) 729. 110. a) (-1,5; 2,25); (2; 4);

Jem Jcm (2; 4). 111.8)3 taškai; b) 1 taškas. 112. a) 13; b) 41. 113. a) 15—; 12—;

h h KTYL JciYl

b) 4 — ; 4 ,5— . 114. a) 75; b) 84. 115. a) 400 maišelių ir 1000 kg miltų, b) 102 h h

vaikai ir 12 suolų. 116. a) ^ = 2x + 8; b) y = -4x + 8. 117. a) 30 m ir 20 m; b) 35 m

ir 20m. 118. a) -16<2-3x<-10; b) -7<5-4y < I . 119. a) 3,74<xy<4,14 ;

b ) - j ^ < - < | . 120. a) [-1,25;+00); b) (-00; 1,2). 121. a) (l; +00); b) [3; + оо).

122. а) [-1; + со); b) ( -00;-l). 123. а) (-со; 25]; b) (-00; 2,8]. 124.а) x<-29,5;

b) xeR . 125. a) 13; b) -9. 126. a) 1) mažiau; 2) ir 3) daugiau, b) 1) mažiau; 2) ir

3) daugiau. 127. a)

y = X2 - I y = X-X2 y = X2 +4x-5 y = (x-2)2

y = 0, kai

X = -1; 1 0; 1 -5; 1 2

y < 0, kai

χ e (- i ;0

(-oo;0)u

u(l; + co) (-5; 1) nėra

y > 0, kai

χ e

(-oo;-l)u

u(l;+co) (O5I)

(-oo;-5)u

u(l; + co)

xeR ;

χ Φ 2

b)

y = --x2+ 2 2

y = X2 -4x y =-χ2 + χ+2 ^ = -(^+1)2

y = 0, kai

X* -2; 2 0 ; 4 - i ; 2 -1

y < 0, kai

χ e

(-oo;-2)u

u(2; + oo) (0;4)

(-oo;-l)u

u(2; + 00) xeR, x*-\

y > 0, kai

XG. (-2; 2)

(—со; θ)O

u(4; + 00) (-i;2) nėra

128. a) (-00;-4]u[-3;+ 00); b ) (- l ; l ) . 129. a) ( -00;o)u(2;+ 00); b) ( -00;-3

130. a) xe R; x*0; b )xeR; x*0. 131. a) [ s - , s ]

b) VJ

U VJ

-; + oo 132. a) (-00; o]u[l ; +00); b) (-oo;-4]u[0;+oo

133. a) (-00; 00); b ) 0 . 134. a) -2;-- b) (-co;-l]u[5;oo

135. a) (-00; l )u( l ; 00); b) (-oo;-3)u(-3; со). 136. a) Į-oo; 1

b) г;з

; [4; <

. 137. a) - ; b) 4. 138. a) ( -00;-3)u(l ; +00); b) (-00; - 2)u( l ;+ «

139. a) I I; b ) l - 2 ; ^ | . 140. a) [-5; l]; b)(-co;-2]u —;00

2

141.a) me (4; oo); b) е е - ; 1 и(б; °о). 142. а) (б; + <*>); b ) ( -oo ;— .

143.8) а<0 ,4 ; Ь ) л > | . 144.а)0<в<1; b) α < - ΐ | . 145. а) 4; b) 5.

146.а)-2; b) 6. 147.8)1; b) 6. 148. a) (-oo; θ)υ(ΐ; + °ο); b) (θ; 4)

149. a) (-oo;-l)i.

151. a) (-2;0)u(l;oo);

b) |i ;4 15Θ .8 )|-|;||; b) | 3 5

-2;-

2 2

D;»)

b>

- 2 ; ° u 154. a)

b) (-oo;-4]u{5}.

1 —;oo

b) (-3;-l)u(0;oo). 152. a)

153. a) {-3}u[-l;l,5]; b) (-oo;-2,5]u[2;oo)

b) {-2}u[2;oo). 155. a) {-l}u[2;oo)

u[l;«o); b) - 2 ; | 156. a) I -oo; —j

157. a) (-oo;-l)u|0;| b) (-2;0)uf-;oo]. 158. a) (-co;-2)u(l,5;4)

b) (-l;3)u(3,5;oo). 159. a) (-oo;-2)u{-l}ui-j;4 b) [-5;2)u(3;co)

160. a)

b) (-oo;0)u(0;2). 162. a)

163. a) (-oo;-l)u(2;oo);

b) f - 5 ; - Į ] u f - Į ; 2

2;--]u[l;oo); b) (-oo;-l]u 2 . 161. a) (-1;θ)υ(θ;οο)

2 · _ I 3' 2

u( l ;2) ; b) [ - Ц М | ; ± |u( l ;» ) 3 5

b) (-3; 2).

165. a) [-2; l];

164. a) I - l ; _ J u {1,5}

b) (-oo;-3]u[2;oo)

166. a) I —со; —— |u 0;-Ju[9;oo); b) (-oo;-ll]u(-l;o]u(l,5;oo).

167. a) 2' 3

u ;oo ; b) (-со;-2] U —; 2 j. 168. a) (l; 2); b) (l;oo).

169.a)-3; b) 2. 170.8)-3; b) -2 . 171. a) -12; b) -2 .

172.a) (-oo;l)u(4;5);o) (-oo;-4,5)u(-2;3). 173. a) (-6;2); b) (θ;4).

174. a) (13; 15); b) (-4,25;-l). 175.a)3;b)2. 176. a) 2 I 3' 3

u l ;

b) (~oo;l)u(3;4]u[7;+oo). 177. а) Ц-; oo j ; b) (θ; l)u(l ; 4). 178. a) 3; 5; 7;

Jrm

b) 2; 4; 6. 179. a) 3; b) 2. 180. a) 3 h; b) [90 ; 12θ]— . 181. a) 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; h

10; 11; b) 3; 4; 5; 6; 7; 8. 182. a) (7; 12); b) (4;+oo). 183. a) IOA ; b) 15A.

184. a) 53; b) 86. 185. a) trečios kraštinės ilgis 3; 4; 5; 6 arba 7 cm; b) trečios

raštinės ilgis 4; 5; 6; 7; 8; 9 arba IOcm . 186. a) daugiau kaip 4,5 ί , bet mažau kaip

15^; b) daugiau kaip 24 kg, bet mažiau už 64 kg cinko . 187. a) su kiekvienu

skaičiumi iš intervalo (б; 34); b) su kiekvienu skaičiumi iš intervalo [55°; 80°].

188. а) (З; !θ) b) 24. 189.a) (-2;0);b) (θ;3).

3. Rodiklinės ir logaritminės funkcijos

3.1. Pagrindinės funkcijų savybės ir reikšmių apskaičiavimas

l .a) 1; b)3. 2. a) 1; b) 4. 3. a) 2; b)3. 4. a) 1; b) 2. 5. a) 0,5; b) 4. 6. a) 1; b) 2.

7. a) 1; 3; 4; b) 1; 3; 4. 8. а) 3*2 >3*'; b) 3х' >3*2. 9. а) 5*1 <5*2; b) 5*1 <5*2.

10. a) ; b) . 11. a) 2,795; b) 4,496. 12. a) 0,03125; b) 8. 13. a) 2187;

i do\x

b) 19683. 14. a) 35; b)-12. 15. a) a2-2; b ) a 2 +2 . 16. a ) / (χ ) = ί — I ,

/ ( { ) = } b) / (* )= 8\ / ( j ) = 2. 17. a) / W = ( į J , 3/(-1)=4;

b) / M = ( j ) · 16/(-1)=20. 18. a) 1)4, 2)3,5, 3)-0,5, 4)-5,5; b) 1)2,

2) -3 , 3) 2,5 , 4) -4,5 .

19. a) vA b)

20. a) (0; + oo); b)(-oo;0). 21. a) [-1; 5]; b)[-4;3]. 22. a ) , = 21; y = 3x-l;

X = I ; = ; y = -jx+l·, x = | . 23. a) 49; b)243. 24.a)3; b) 2.

25. a) logc« + 61ogi.A;b) log„ a + 21og„ A-Iogn с . 26. a) ^ ; 27; j i b ) 1;

27. a) Iog4 5 = log, j ;

4

9 9 b) Iog 2-> Iog4- .

3 4 I 4

30. a) Iog3 < Iog3 -y ;

b) Iog2 3 > log, 3 .

29. a) Iog2 j < Iog4 j ;

b) Iog5 V2 < Iog5 л/3 .

97 b) log, 5 > log, 7. 32. a) log, — > log

99

j 99 j 97

7 7 28. a) I og 3 -<Iog 5 -;

2 4

b) log, 2 > Iog2 2.

3 5

31. a) Iog i J < Iog1 -J;

4 4

KN I 101 , 1 03

b) logo < logo . 68 103 68 101

4 4

33. a) Iog5 7 > Iog7 5; b) Iog3 2 < Iog2 3 . 34. a) Iog4 5 > Iog6 5 ; b) Iog7 4 < Iog3 5 .

35.a) -Iog5 -1 = 710831 ; b) Iog4 > Iog3 — . 36. a) A > B ; b ) A < B . 5 81

37. a) B, C, A; b) B, C, A. 38. a) Iog2O1I; Iog2-J-; log20,7; log22,6; log23,7; 6

b) Iog03-; 1оёо,з j; Iog0 3 2,7 ; Iog0 3 3 ; Iog0 317 .

39.a) /), =(-00;-V^u [Л; 00) ; b) Df = [-л/3 ; л/3 ] . 40.a) 256; b) 8.

41.a) £ , =[—;oo|; b) Ef = (θ; 81]. 42. a) Ef =[б4;оо) ; b) Ef = 16 25

;oo .

43. a) Ef =(0;32); b) Ef= 0; V

44. a) y = Iog2 x + 3

M

25

y,= x b) JZ = Iog, J f - I

/\У

U = τ Y = X

V = IogiX-I

45. a) l ) - ; 2 ) y = -\og2x , kai xe(0; + °o);

b) 1) 1 ; 2) у =-Iog5 χ, kai хе(0; + оо).

46. a) b)

1)3;

2) (-1; 3)

У/

i

k

1 !

- I j O V "x

47. a) 2,5; b) -2,5 . 48. a) 1,5 ; b) 2,5 . 49. a) I j ; b) 5 . 50. a) -1 ; -3 ; - ; - ;

b) 1 ; 1 ; | ; y . 5 1 . a ) 2 ; | ; 4 ; -4;b)2,5; 1,5; -1,5; -2,5 . 52. a) -1 ; b) 1.

53. a)-0,25; b) -2,5 . 54. a) 2; b )-3 . 55. a) ; b ) - . 56. a) 5; b) 22.

57. a) 6 - ; b) 4. 58. a) ^ ; b) -T7L=. 59. a) -24 ; b) -24 . 60. a) 2 - ; b) 2. 4 \J9 V125 9

61. a) - ; b) - 1 . 62. a) 1; b) 2401. 63. a) 5; b)3. 64. a) - ; b) - . 65. a) 1; b) 1. 8 6 2 3

66 .a )-2; b )-3 . 67. a ) - ; b) - . 68. a) - ; b ) - . 70. a) — ; b) — . 2 2 3 5 16 27

71. a) 108; b) 6. 72. a) - ; b) — . 73. a) 10; b) 4. 74. a) - ; b) 72. 75. а) -Ло ; 4 27 4

b) 0,001. 76. a) lgx = l+ į l g<7 ; b) Igx = I l g a - į . 77. a) Igx = I--^Iga ; 4 4 2 4 4 8

b) lgx = - ! - j l g a . 78. a) Iog5^ 25i>3V7j = 2 + 31ogs b + I log5 с ;

0,001664 , , , , , 2 , „ , . b .. a + b b) log0,2 ' = 4 + 41og02 6-I-Iog0 2 c. 79.8)1 + — ; b ) — · .

cVc2 7 2 й й

80. а) 4 ( 3 ; b) — . 81. a) 2-2a ; b) \--a. 82. a) 1)1,2) 1 , 3 ) - , 4 ) 4, 3+a 1-е 3 2 2

5) -1 , 6 ) -1 , 7 ) I ,8) -4 ,9 ) 6, 10) Л ; b) 1) 2,2) | , 3) 1,4) - 1 , 5 ) -1,

6) - | , 7 ) - | , 8 ) -3 ,9) -4 , 10) -л/3 . 83. a) 2; b) 1 .

= Iog1 (27· χ)

88. a) ЛУ

90. а)

А у

b) л у

Ь)

А У

89. а)

91. а)

χ у=1-х , kai -1 < х < 1 .

У - х - U kai х<-\, х> 1.

92. a) b" ; b) л" . 93. а) 1) * = 8, 2) * = - , 3) х = 2, 4) x = 4 ; b) 1) у = 0,

2)у = \ , 3) у = 2, 4 ) ^ = -1. 95. а) 1;81 ; Ь)[2;8]. 96. а) Dy = [2,5; 3);

b) Df =[-2;l). 97. a) Z)y =[-4;2)u(3;4]; b) D , =[-5;-3)u(l;5].

98. а) Dy =(-оо;-3)υ (2; oo); b)Dy=(-l ;3) . 99. a) Dy- =(-oo;-l)u[2;oo);

b) D f = - ; 2 . 100. а) Dy =[-];оо); b)' DF = [4; <*>).

101. a) Df =(5;6)u(6;oo); b) Df = (2;3)и(3;б]. 1 0 2 . 8 ) 0 , = ^ 3 ) 0 ^ 5 ) ;

b) Df =(1;2)и(2;б]. 103. а) £>, =[-3;0)о(2;3]; b) Z), = [ - 7 ; ( θ ; 7].

104. a) Df = (-оо; оо); b) £>, = (-оо; оо). 105. a) Df = (2пк; π + 2лк),к e Z ;

b) О , =^--| + 2π*;-|+2π*|, keZ . 106. a) Df = ^ | + 2rot; y + 2rofcj, keZ;

b) D , =^|· + 2π*; y + 2rotj, k e Z . 107. a) Z), + keZ\

b) Df =|'-| + »t; ^ +

3.2. Rodiklinės ir logaritminės lygtys ir nelygybės

1. a) 3 ; b) 4. 2. a) -3 ; b) 0. 3. a) 0,5 ; b) 6. 4. a) -2 ; b) -2 . 5. a) i ; b) i .

6. a) - ; b) - - . 7. a) -3; b) -3 . 8. a) -2; b) -3 . 9. a) -2; b) 0,2 . 10. a) 9; 4 3

b) 16. 11. a) 5; 12 ; b) -1;7. 12. a) -1; 1; b) -1; 1. 13. a) -2; b) 2. 14. a) 2;

b) 3. 15. a) 1; b) 1. 16. a) 5 ; b) 1. 17. a) 1; b) 2. 18. a) 5 ; b) 2. 19. a) 3; b) 1.

20. a) 2; b) 0; 3. 21. a) 2; b) 2. 22. a) 2; b) 2. 23. a) 1,5 ; b) -3; 1 . 24. a) -9; 5 ;

b) -9;-l . 25. a) -12; b) -6. 26. a) 3; b) -2. 27. a) 4; b) 3. 28. a) 0; b) 0.

29. a) -1; b) 2,5. 30. a) 0; b) 2. 31. a) x = 3; b) x = -3. 32.a) x ,=0,

b) X1 = O , x2 = 1. 33. a) χ = 2 ; b) X1 = 1, x2 = 2 . 34. a) X1 = -3, X2 = —;

2 b)x = 4. 35. a) X 1 =-- , x2 = l ; b )x ,=-3 , x 2 =0 , x 3=3. 36. a)x = 3;

b) χ =-3. 37. a) x = 0; b) x = 0. 38. a) X1 =-2 , X2 =18; b) X1 =1, x 2 =5 .

39. a) x = l ; b)x = 2. 40 .a)x ,=-2, X2=-1,5; b) X1 =-1,5, x 2 =- l .

41. a) X = 1; b)x = l. 42. a) 17 ; b) 18. 43.a)-4; b) -6. 44.a) (-oo;l];

b) [l; + oo). 45. a) [-2; + oo); b) (-oo;θ). 46. a) [3;oo); b) (-oo;4], 47. a) (0;oo);

b) (-oo; θ). 48. a) (log53;oo); b) (-oo;log72). 49. a) (-oo;oo); b) 0 . 50. a) 0 ;

b) (-oo;oo). 51. a) (-oo;0,5); b) (б;00). 52. a) Į-3;oo); b) [l,5;oo).

53. a) (-00;3,5]; b) (-00;--). 54. a) [2,4; + oo); b) (2; + oo). 55. a) (-oo;4);

b ) ( - 1 2 ; + oo). 56. a) ( - c o ; 2 ) ; b) ( - 0 0 ; - β ) . 57. a) Į - o o ; - j ; b ) ( - c o ; - - J

58. a) [-1; l]; b)[-2;2]. 59. a) [2;3]; b) (-oo;-l)u(7;oo). 60.a)(-8;4)

b) [l; З]. 61. a) (-oo;-2]u[3;oo); b) (~oo;-2]u[l;oo). 62. a) (-00; 2]; b) (-00; l)

63. a) (-oo;0)u(l;oo);b) (l;2).64.a) (2; + co);b) (-l;2).65.a) (l;2);b) (θ; l)

66. a) (l; со ); b) (θ;οο). 67. a) (2; 00); b) (2; 00). 68. a) (θ; 00); b) (0;<x>)

69.a)[-3;3]; b) (-00;-3]u[3; 00). 70.a) (-co;2)u(2;з];

b) (-со; -1,5)υ(-1,5; З]. 71. а) ( - с о ; - l ) u i į Iog2 з ! ;

; - į ] u ( l ; l o g 5 6). 72.а) [-1; I-V^Ju[l + Л ; з ] ;

-;оо| ; b) (-oo;-2]u —; oo 5

b) Į-ю;-

b) [-1; 1 - Л/2 ]U [l + >/2; з] . 73. a) (-αο;-3]υ

74. a) (l; 2); b) (l; 3) . 75. a) ( -00;-2]u[5; oo); b) (-оо;~з]и[4;оо).

76. а) (-оо; 0,5); b) (-0,5;+оо). 77 . а ) х<0 ; Ь ) х > - 1 . 78. а) (-оо; θ);

b) (-00; i). 79. а) -2,5 <х< 0,25; b) -~<х<~. 80. а) - 2 с j c с 1; b) х<-1 ir 2 6

х>2 . 81. a) JCс — 1 ir х> 1; b) - 4 < х < 4 . 82. а) -2,5<х<-1,5 ; b) χ<2,5 ir

х>3,5. 83. а) 1)2, 2) (-oo;2), 3) / f - l į l > 2 4) (-«;-4)u(4; + c»); b) 1)3,

2) (3; + co), 3) — > /[ - 2— 1, 4) -oo;-- u -;+oo .

84. a) 1) max/(x) =/(2) =25, min/(x)=/(θ)= 1, 2) (l; 5>, 3)(-6; б)

b) 1) max/(χ)=/(-2)= 16, min/(χ)=/(θ)= 1; 2) (-1;4>, 3)(-5; 5)

85. a) 10; b) 1000. 86. a) 0,01; b) 0,0001. 87. a) 25; b) 0,0016. 88. a) — ; b) 16 32

89. a) —3; 3 ; b) -2; 2 . 90. a) -3 ; 6; b) -5 ; 2. 91. a) 7; b) -10 . 92. a) 5; b) 36

93. a) 3; b) sprendinių nėra. 94. a) 0,5 ; b) I ; 4. 95. a) 0,1; b ) - I = ; 10 8 л/10

96. a) 4; 2 ; b ) - į ; 2. 97.a )6; b) 2. 98. a) -į= , 62,5; b )-2; 1; ^ β -16 2V5 2

99. a) 2; b) 2. 100. a) 0; b) 7. 101. a) 0,1; b) 0,5; 4. 102. a) 1 ; b) 0. 103. a) 9;

b) 25. 104. a) 1 ; b) 2. 105. a) - ; 3; b) 5; 25. 106. a) 5 ; b) 0,5 . 107. a) 16; b) 27.

108.a)0; 1; b) 0; 1. 109. a) 0; b) 3. 110. а) Ю ; · ^ ; b) 100; 0,01. 111. a) 3 ; 1 ;

b) 100. 112. a) 0,1; 100; b) 0,1; 1000. 113. a) - ; L , VŪ) ; b) 10. 114.a)e; Vio

b)e '\2,e\ 115.8)10; b) VlOOOO . 116. a) 1; 9 ; b) l ;16. 117.a)x = 9;

b) X = 3 . 118. a) χ, = 2 ir x2 = 3 ; b) X1 = 1,5 ir x2 = 3 . 119. a) χ = 3 ; b) χ = 4 .

120. a) χ, =9 ir x2 =3 ; b ) x , = - i r X2= 25. 121. a) x = 2; b ) x = l .

122. a) X1 = 0,5 ir X2 = 4 ; b) X1 = 0,25 ir x2 = 4 . 123. a) χ = 2 ; b) χ = 1.

124.8) (8;0); b ) ( j ; o j . 125 . a ) ( ^ ; o j ir (32;0); b ) ^ ; o j ir (4;θ).

126.8) (2;0); b) (3;θ). 127. a) (8; θ); b) (б; θ). 128.a)(2;0), (3;0);

b) (-4; θ), (l;0). 129. a) (4;θ), (б;0); b ) ( - į ; o ] , (2;θ). 130. a) ( į ; O ] ir

(6; 0); b) l^-J; Oj ir (5; θ). 131. a) 14; b) 3. 132. a) 0,5; b) 10. 133. a) 3 ; b) 5.

134.a)2 ; b)3. 1 35 . a ) i ; b) —!- ir -. 136. a) ( -- ; 8 Į; b) (θ; 12].

137. a) (-oo;θ); b) 0 ; | . 138. a) -—;2 ; b) 1-;® . 139. a) (l; 11];

b) (-1; 24]. 140.8) (4; со); b) (l,5; б). 141. a) (-oo;-l)u(8; + oo);

b) ( - o o ; - l ] u l ; o o l . 142.8) ( l ;3); b) ( - o o ; - 5 ) u ( - l ; c o ) . 143. a) ( l ;2);

b) 2; 3 1

144. a) (l; 2); b) (θ; l) . 145. a) (-3;-l)u(3;00);

b) (-10;-4)u(6;oo). 146. a) - ;4 ; b) 2-;6 . 147. a) (-00; l); b) - ; - . 3 3

; b ) ^ ; o o J . 149.Я) (0;l)u(3;4); b) [l;6], 150.·) (l;2];

b) [9;00). 151. a) (l;3]; b) (2;3]. 152. a) i - L ; į l ; b) (θ; į]u(4;00).

148. a) 1-3; -

27 3

153. a) (l00; ĮOOO); b) (θ; 0,0l)u(l0; 00). 154. a) l ; l l u[2 ;oo) ;

b) ( 0 ; l ) u [ l 00 ; 1000] , 155. a) ( l ; oo); b) (θ; l ) . 156. a) ( з ; з £ ) и ( 4 ; о о ) ;

b) ( - o o ; 5 ) u ( 6 ; 7 ) . 157. a) (θ; l ) u ( l , 5 ; oo); b) ^ 0 ; | j u ( l ; o o ) .

158.a) b) (1,455; 1,5). 159. a) (l; oo); b)(0;oo).

160. a) įjr + 2nk; ^ + keZ\ b) ( j~j + 2nk; -| + 2wfcj, keZ .

161. a) (-oo; -l) ; b) [l,5;oo). 162. a) b) [ " 1 ^ " 1 ] · 163. a) O < д: < 1;

b) O < χ < 1. 164 .a )0 ; b) 1 < χ < 2 . 165 .a )x>l ; b ) x < 2 . 166. a) (-oo; O);

b) (-oo; - l ) . 167.a)6; b)0. 168. a) -3<x<-2 ; b) 5<x<6 . 169. a) 2 < x < 5 ;

b) - 3<x<- l . 170. a) x<-6 ; b ) x > 7 . 171.a )x>2; b ) x > 0 .

3 2 1 172. a) χ<-1,5 ir x>4 ; b) χ<-0,75 ir x> 5 . 173. a) -— <x<~— ; b) x< —.

174. a) tokių χ reikšmių nėra; b ) x > 4 . 175. a ) l < x < 3 ir 4 < x < 5 ;

b) 2 < x < 2 ^ ir x>5 . 1 7 6 . a ) j < x < | ; b ) l < x < l , 2 . 177.a)-2; b)-3 .

178. a) 12 ; b) 6. 179. a) (l;3); b) (l;-2). 180. a) (log52;θ), (0;log52);

b) (2;l) . 181. a) (3;-l); b) ( l ;- l ) , 182. a) (-0,6;0,2); b) <2; l).

183. a) (5;l); b)(0; l) . 184. a) (3; l) ; b) (θ;3). 185. a) (3;4); b) (2;б).

186. a) (9; 3); b) (4; 2). 187. a) ( l ;3); b ) ^ ; 2 J . 188. a) ^ S ; 2),

(-2i/3;-2); b) (l;2V2), (-1;-2л/2) 189-a) (2;3), (3;2); b) (3;б).

190.·) (-1:1,5); b) (-0,5:-1,5). 191.8) ^ e j ; b ) ( j ; 9 j . 192.a)(2;l);

b) (l; 2). 193.8) (15;5), (5; 15); b) (9; 7), (7; 9). 194. a) (l,5; 2), (l; 3>;

b) sprendinių nėra. 195. a) (2; l); b ) ^ ; 2 J . 196. a) (3,5;-0,5); b) (8; 2).

197. a) (4;2); b) (3;l). 198. a) (2;l); b) (б;2>; (7;3). 199.a) (3;2); b) (l;2>,

( 2 ; V 2 ) . 200.8) (l;4); b) (θ;θ). 201. a) (θ;ΐ), f - l j į l : b) (ΐ,5;θ), f - į ; - 2 ].

202. a) (5; 2); b)(l00;0,l),

λ/ϊο',/ΪΟ7 ,

203. a) (6; 2); b) (5;-3).

204. a) (l;4); b) (-00;-2). 205. a) (-1;l); b)[0;l]. 206. a) (2; + 00);

b) (0,25;0,8). 207. a)(5;+00);b) U-; 2 . 208. a) sprendinių nėra; b) [l; з ] .

4. Trigonometrinės funkcijos

4.1. Radianinis kampo matas

1. a) 1) 22°30', 2) 135°, 3) 660°, 4)216°, 5) 920°; b) 1)18°, 2)112°30';

3)105°; 4)55°; 5) 940°. 2. a) 1) — ; 2 ) — ; 3 ) — ; 4 ) — , 5) 18π ; 3 9 3 4

b) 1) — ; 2) — ; 3) — ; 4) — , 5) 14π. 3. a) 1)5 rad\ b) 128. 4. a) 40°; 6 6 6 4

105° ; 7,5°; 82,5° ; b) 2° ; 127,5° ; 32,5° ; 72°. 5. a) 45°; 540° ;) 22,5° ; 270° .

. . π π 7π , . π 4 π π 1 3 π _ . , , , . „ . , ,ч * I o ; У ; T o ; } T 5 Ύ ; 2 ; " T F -7-a) 1} 1 ΙΓ 3 taip; 2 ir 4 ne; b) l)-ir+;

2)-ir -; 3)+ ir +; 4)+ ir 8 . a ) l ) | , 2) b ) l ) - ^ , 2)-2^6 .

9. a) A 2 ; b)

VTl

2 10. a) (-V3;l);b) (-VT;VT).

4.2. Trigonometrinės funkcijos

1. a) 1) - A . ; 2 ) - A ; 3)1; b) 1 ) 1 ; 2 ) - ^ ; 3 ) - A . 2. a) A ; _ i ; 2 2 2 2 3 2 2

- V T ; b) - A ; - i ; V T . 3. a) ; b) . 4. a) I ; b) 0. 5. a) taip; b) taip.

6. a) 1); 3); 5) taip; 2) ir 4) sinusas ir kosinusas ne, tangentas ir kotangentas taip.

b) l)ir 3) taip; 2); 4); 5) sinusas ir kosinusas ne, tangentas ir kotangentas taip.

V J - V 2 + 1 L 4 , „ 4 „ L 4 л / б „ ч п , „ v V T L 4 V T 7. a) ; b) l . 8. a) 0; b)

8 9.a)0; b) 0. 10. a) ; b) .

11. a) - V T ; b) - 2 V 2 . 12. a) A - į ; V T ; b) A ; A ; 1. 1 3 . a ) ^ - 2 ;

b) 0. 14. a) -1; b) 3. 15. a) 1) I arba II k.k., 2) II arba III k.k.; b) 1) II arba IV k.k.,

2) I arba III k.k. 16. a) -2;b) l+A . 17. a) - l - π 2 . 18. a) - V T - 1 ;

b) l . 19. a) sin<2 = - — , 13

ctgcr = — ; b) Cosar = -0,6 , t g a - l j .

tg /=--3 4 3

20. a) cos/ = -— , tg/ = — — ; b) sin/ = -·— ,

24 7 , . . 20 20 tg/ = — , ctg/ = — ; b) sin/ = , tg/ = , ctg/: б 7 6 2 4 2 9 > s 21

, , ч • 2 4

21. a) sin/ = — . 25

21 4 . 22. a) cos / = — .

20 5

tg/ = - b) sin/ = · 25

tg/ = 24

·» л 12 23. a) cosar = ,

13

. . . 5 12 . . 12 5 b) sm α = , cos a· = — . 24. a ls ini = , cos/ = ,

13 13 13 13

13

ctg/ = — ; 12

L> . 3 4 b) sin/= — , cos/ = —

5 5

Nurodymas.

b) Ί Λ Μ

" j -

C t g i =

26. a)

4 VJ π — . 25. a )-j- . Nurodymas. a r j zJ" ! b)

4-3VJ

10 b)

4+3VJ

10 27. a)

3VJ-2V7

12

28. a ) ; b) 2 ¾ . 29. a) sin(2α)= -0,96, 1 ё (2« )=-з| ; и 21 12 7

b) sin(2a)= — ——— , c t g ( 2 a r ) = . 30. a) sin(2ar)= cos(2«·)= · v ' 169 5V ' 120 V 7 625 V 7 625

b) sin (2/?)= 120

169 s(2/?)=

2V2 2V2 , b) - — ; 33. a) m •

3 3

119

169

; b)

·,, ч 32 32 31. a) — ; b) — .

49 49 32. a) - ; - ;

7 7

-p2. 34. a) — ; b) ± — . 35. a) - — 18 3 13

b) - 3- . 36. a) — ; b) -0,6. 37. a) - — ; b) 2—. 38. a) 18 ir 450; b) 225. 7 65 33 15

4 3 39. a) 1) 4cosa , 2) 2ctga ; b) 1) 5sina , 2) 3tga . 40. a) since = — , cosa = — ,

4 3 3 4 3 4 tga = - , c tga=- ; b) βίηβ = ---, cosP = - , tgP = - - , ctgP = - - .

3 4 5 5 4 3

41. а) Л/(l0,0; 8,4); b) //(3,4; 9,4). 42. а) sin40° < sin50° ; b) cos40° > cos50° .

43. a) ne; b) taip. 44. a) 2; b) 1. 45. a) 1) h(x)= -3sinx , 2) t(x)= 6sinx ,

3) v(x)=6sinx+l, 4) g(x)= 0; b) 1) h(x) = -0,5cosx , 2) tgjc = -cosx,

3) v(x)=-0,5 cosx , 4) g(x) = 0 . 46. a) neigiamas; b) teigiamas. 47. a) teigiamas;

b) teigiamas. 48. a) A - taip, B - taip, B) A- taip, B - ne. 49. a) ne; b) taip.

50. a)

58. a)

59. a)

60. a) -3 ir 3; b) -2 ir 8. 61. a) mažiausia reikšmė -1, didžiausia reikšmė 5,

2) mažiausia reikšmė - 2, didžiausia reikšmė - 1,5 ; b) 1) mažiausia reikšmė -1,

didžiausia reikšmė 3, 2) mažiausia reikšmė 3 , didžiausia reikšmė 5. 62. a) [-1; 2];

b)[-2;l], 63.a) =[-l;l]; b) Eg = [-1;l], 64. a) =[-l;5];

1 Γ b) E =[-3;5], 65. a) E, =[- 8; 8]; b) Eg =

4 4 66. a) teigiamas 1;

neigiamas 2; 3; 4; b) teigiamas 3, neigiamas 1; 2; 4. 67. a) 1) cosl , sinl, 1, tgl,

2) etg2 , cos2 , sin2 , 2; b) 1) cos40°, cos80°, cosl20°, cosl60°; 2) sinllO0 ,

sin 400° , sin 20° , sin210°. 68 . a ) - l ; b) 1. 69. a) 2sin2 a-; b) 2cos2 α .

70. a) — I — ; b) cos2a. 71. a) -cos« ; b) -sin/?. 72.а) — ί - ; b) c t g ^ . sin a cosa 1 + sin<2·

73. а) 1; b) 1. 74. a) sin4/; 2sin2/. 75. а) 1; b) 1. 76. а) -1; b) — . 77. а) 1; sin/

b) tga . 78. а) -^-cosa ; b) ^-cosa . 79. а) -sinar; b) -cosa . 80. а) t g ^ ;

ГХ

b) tgr. 81. a) Ctga ; b) ctga . 82. a) cosa ; b) -cosa . 83. а) 1) - ^ - , 2 ) -л/з ,

3 ) ^ , 4 ) - 1 ^ ) . ) ^ , 2 ) - 7 3 , 3 ) - ^ , 4 ) - ^ . 8 4 . 8 ) 1 ) ^ , 2 ) - ^ ,

3) ^ , 4 ) -л/3; b) 1) -Ą-, 2) , 3) -Jl , 4) - У з . 85. а) -1,5; b) .

86. а) 2; b)-1 . 8 7 . а ) - - ; b ) — . 88. а)-1,4; b ) - — . 89. а) - ; 4 5 13 5

. . 41УЗ+80 . . . 1 . . 7 η ι . 120 119 120 119 кч 24 b) . 90. а) — ; b) — . 91. а) ; ; ; ; b) — ;

23 2 6 169 169 119 120 25

7 24 7 — ; — ; — . 92. а) taip 1; 2; b) taip 1; 2. 93. a) lyginė; b) nelyginė.

94 . A) 7" = 8 π ; b ) Γ = IOJI . 95 . а ) Г = — ; b ) T = — . 96 . а ) Г = 2 π ; b ) Г = 2 π .

97. а) Г = 2π ; b) Γ = 2π.

4.3. Funkcijos, atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms

. . 3π . . π л л , . π , . π . . , . 23π 1 - « ) у ; Ь ) - · 2. а) - - ; b) - - . 3. а) — ; b) - - . 4. a) - π ; b) — .

5. a) — ; b) 0,75. 6. a) i ; b) . 7. a) * ; b) S . a )-^- ; b) 6 12 3 3 12 12 3

9. a) - ; b) — . 10. a) -0,5 ; b) — . 11. a) - — ; b) VJ . 12. a) — ; b) - . 4 12 2 2 2 2

13. a) — ; b) — . 14. a) - ; b) - . 15. a) — ; b) 1. 16. a) - — ; b) V J . 2 2 2 3 2 3

Π . a ) - A - b ) _ f is. a) O; b) 1. 19. a) A ; b) 0. 20. a) 0; b ) 0 .

21. a) - — ; b) - - . 22. a) - V J ; b) 1. 23.a) 0,5; b)0. 24. a) V J ; b) - V J -4 2

25. a) 1 ir 4 taip, 2 ir 3 ne; b) 2 ir 3 taip, 1 ir 4 ne. 26. a) -1 < а < 0 ; b) - < а < 1.

27. a) 1 < а < 1,5 ; b) 0 < а < — . 28. a) taip, ne, taip; b) ne, taip, taip. 29. a) ne, taip,

taip; b) taip, ne, ne. 30. a) taip, taip, ne; b) ne, taip, taip. 31. a) 1 sprendinys;

V J 2) sprendinių nėra. 32. a) 1 sprendinys; b) sprendinių nėra. 33. a) -j- ; b) 0.

V J _ « , V J 1 , , . 2 - V 2 K 4 6 + V J 34. a) ; b) 0 . 35. a) — ; b) — .36. a) ; b) .

3 6 3 10 4

37. a)

1

b) y/b y = χ

oL

38. a) УА

Oi X - I 7

b)

^ = O

39. a) [2; 3]; b) [l; 2]. 40. a) [-2; ->/2]^ [>/2; 2 ] ; b)

41. a) [- π; π]; Ь)[0;3л]. 42. а) [- 2π; - π]; b) 3π π

Τ ' ~ 1 . 43. a) [θ; 2π];

b) [-π;π]. 44. a) -j ; b) | + 1.

4.4. Trigonometrinės lygtys ir nelygybės

l .a) (-7 ;-3)u[-3;-| j ; b) ( Χ 2 ^ ( 2 J y ) . 2 . a ) | < m ^ l ;

b) - 2 < m < - y . 3. a) (-oo;2)u(4;oo); b) (-оо;-б)и(-4;оо)· 4 . a ) a = 2;

b) α = 3 . 5.a) (-oo;-4); b)(4;oo). 6. a) (-ΐ)*- + π* , k e Z 6

b) (-l)*+1 - — + nk , keZ . 7 .a)± — + 2 πη , neZ; Ь ) + - + 2ли, neZ. 4 6 3

8. a ) - — + Jtm, meZ·, b)— + nm, meZ. 9. a) 0 ; b) 0 . 3 6

10. a) (-l)""1 ~-+3nm , m e Z ; + meZ. 11. а) Зпк, k s Z ;

. . π Jti , _ . π 2π£ , _ , . π 2π£ , b)— +—, keZ. 12. а) — + ,keZ; b ) — + , k e Z .

4 2 ' 3 3 10 5

13. a) (-l) i+1 — + — , keZ; Ъ) ±— + 4лк, k e Z . 14. а) - — + 4лк, k e Z ; 18 3 3 3

b) - — + 6nk, keZ . 15.a) — + 4лк; 4nk , keZ; b) ~— + 4nk , keZ. 4 3 3

16. a) (-l)* · — + — Д e Z ; b) + — , * e Z . 1 7 . a ) ^ + , *<=Z; V ; 42 7 72 6 16 8

b) ± —+ Jti ,ke Z. 18. a) —+—, k sZ; b )— +—,keZ. ' 3 6 2 16 4

19. a) — + π/t, / t eZ , - — + nk, keZ; b) (-l)* — + — + — , keZ. Pastaba. 40 40 v ' 20 15 5

, „ . 7π 2jtfc 13π 2π£ , _ Atsakymą galima užrašyti ir taip: ^ Q + - J ~ ' ~60+~~5~

20. a) ( - l ) k + keZ . Pastaba. Atsakymą galima užrašyti ir taip:

2 Jt 4 π 4πk , -y + 4 n k , k e Z ; b) 4 π + 8 n k , k e Z ; --j- + 8 n k , k e Z . 21 .a)-4;

-π ;0 ; Jt; 4; b) 0; i ; ψ ; 7. 22. a) 1; ±^ + 2jt«; л = ±1;±2...; b) 1; 3 3 4 4 4

- ; (-ΐ)"- + πη; n = ±l; + 2;.... 23. a) ±— +—, k e Z ; b) ±-+2кк, k e Z . 3 3 18 3 3

Pastaba. Atsakymą galima užrašyti ir taip: ±~ + 4nk, ±~ + 4nk, keZ.

24. a) +—+—, A e Z ; b ) ± — + — , AeZ . 25. a) - + 3πΑ, keZ 15 5 18 3 2

b) π+2πΑ, keZ. 26. a) 6; b) 3. 27. a) 4; b) 5. 28. a) | + 3πΑ, t e Z

b) ; AeZ . 29. a) 1) (-ΐ)™~+π/η, m e Z , 2) /i"~7"l > / ί τ

Ь)1)±-| + 2л*, AeZ 1 2 ) / l - J > / l - - J . 30. a) 1)-1, 2) - - + м

— + 2πΑ, m, A e Z , 3)[-1;θ]; b) 1) 0; 2) — + πΑ, - + 2 м , ra.teZ 6 3 6

3) [θ; l]. 31. a) (-l)m — + π/η , m e Z ; b) ±- + 2π/η, m e Z 6 3

32.a) ±arccos(--| + 2wt, t e Z ; b) (-ΐ)*+1- + πΑ, AeZ . 33. a ) ^ + πΑ

keZ; b ) - + — , AeZ . 34. a) - + 2πΑ, k e Z ; b) 2πΑ , A e Z 6 3 2

±—+2πΑ, A e Z . 35. a) 2πΑ, k e Z , ±arccos[-i | + 2πΑ, AeZ 3 Ik 5 j

b) (-1 )* — + πΑ , (- l)* arcsin-i + πΑ, A e Z . 36. a) — + πΑ , arctgS + πΑ, i e Z 6 3 4

b ) - —+ πΑ, arctg3 + re/:, t e Z . 37. a) ± i-arccos-^ + πΑ, k e Z 4 2 3

b) (-l)*+1-2arcsinl + 2mt, A e Z . 38. a) (-ΐ)*+1| + 3πΑ, ί ε Ζ

b ) ± y + - ^ p AeZ . 39.a) j + πΑ, A e Z , arctg3 + πΑ, AeZ

b) - - + πΑ, A e Z , arctg4 + nA, A e Z . 40. a) ± — + 2nA ,AeZ ; b) ^ + 2πΑ 4 3 2

(-lfarcsini + πΑ, AeZ . 41. a ) + A e Z , ( - l ) * ^ + , AeZ v ' 5 10 5 30 5

b) - 2π + 8πΑ, A e Z , (-l) i+1 — + 4πΑ, AeZ . 42. a) ( - ΐ / ^ + πΑ 3 6

- —+ 2πΑ, A e Z ; b) ± — + 2πΑ, 2nk,keZ. 43. а) - + πΑ, A e Z 2 3 3

π 4 b ) — + πΑ, AeZ . 44. а) - arctg— + πΑ, k e Z ; b) arctg5 + nA, AeZ

6 3

45. a) (-l)™ ~ + π/η, π/л, m e Z ; ^ · | + πΑ, ± ^ · + 2πΑ, AeZ .

. , . 1 . 5 nk , _ . . 1 7 nk , _ π , 46. a) —arctg—+ — , keZ; b) —arctg—н , keZ. 47. а) — + лк ,

2 3 2 2 6 4 2 4

-arctg3 + nk,keZ. b)— + лк , arctg3 + nk, keZ. 48. a) — + лк, k e Z , 4 4

-arctg\5 + nk, k e Z \ b) - — + nk, keZ, arctg— + nk, k e Z . 4 13

49. a ) - — + лк, k e Z , arctg— + nk,ke.Z\ b )— + nk,keZ, 4 7 4

arctg9 + nk, keZ . 50. a) arctg 5 + nk , -arctg— + nk,keZ; b)—+nk , 3 4

-arctg L + nk,keZ. 51. a ) ^ + nk,keZ~, b)nk,keZ. 52. a) ^+nk ,

n n n n — + nk, keZ; b)— + nk , —+nk, keZ . 53. a) — + nk ;

6 2 3 ' 4

n -arctg2+ nk , k e Z ; b) — +nk , -arctg3 + 7t£, keZ. 54. a) 2 nk,keZ,

4

(-1 )*-2arcsin + 2nk, k e Z; b)-^. + 3 nk,keZ, ±3arccosf-lj + 6n£,fceZ.

55.a )nk,keZ, ±^ + 2nk, keZ ; b) ^ + nk, keZ , (-1 )kj+nk,keZ.

5 6 . a ) ū + ^ , k e Z , ± ^ + ^ , keZ·, b ) ^ , k e Z , (-1 ) k ^ + ^ , k e Z . 8 4 16 2 3 9 3

5 7 . a ) n k , keZ; b ) ± - + nk, keZ. 58 . a )- + — , keZ; b ) — + — , 6 4 2 16 8

жк keZ. 59. a) 0 ; b) 0 . 60. a) 0 ; b) 0 . 61. a) * = γ , keZ , išskyrus

к = 3л, n e Z ; b) —+—, k e Z . 62. a) , k e Z ; b) — , — + — , k e Z . 4 2 6 7 20 10

, . π nk n лк лк л лк 63.а)— + — , k e Z , — +—, keZ; b) — , k e Z , — +—,keZ.

8 4 6 3 3 8 4

64. a) — , (2/t + l ) . i , kzZ- b) — + nk , (-l)*+l • ± + ^ , ksZ. 2 v ) 2 / 4 v ; 12 2 .

65.a ) feik, kez,±^+2nk, keZ; b) π* , ^ + * e Z . 4 3 5 6 3

66.a )^+nk,keZ, arctgL + лк, keZ ; b) nk, keZ, -arctg2 + nk,keZ.

. . . л лк . r, . . nk , - n nk , _ ч n nk n nk 67. a) —+—, t e Z ; b — , /t e Z , — +—, k&Z . 68. a) + — , — + — ,

4 2 3 4 2 12 2 4 2

keZ; b )--+71*, keZ . 69. a) - + — , k e Z, ±- + nk,keZ; 3 4 2 6

b) ke Z, (-l)*+ ' iL + — , keZ . 70. a) π*, t e Z , - - + Tt*, * e Z ; 4 2 v ; 12 2 4

b) j +Tt*, k e Z , ~ + 7t*, k G Z . 71. a)-^+jt*, -arctg2 + 7t*, * e Z ;

_ , 1 , , _ __ „ π π* , „ , π 2π* , _ b) arctg2 + Tt* , -arctgj + π* , * eZ . 72. а) — +—, A e Ζ, + —+ — , * e Z ;

b) 4π*, J teZ , (- ΐ)*-γ + 4π*, * e Z . 73. a) π + 2π*, * e Z , 2arctg2 + 2τι*,

* e Z ; b) π +2 π*, * e Z , -2arctg2 + 2Tt*, * e Z . 74. a) 2π* , * e Z ;

b )—+2π* , — + 2π* , keZ. 75. a )nm, meZ\ ± — +2 π * , keZ; 6 6 3

b)-+Tin, ne Z ; (-l)*+t— + π* , * e Z . 76. a ) - + π * , - - + π * , * e Z ; 2 6 2 6

b) — + π* , —+nk , 3 2

Jfc6Z. 77. a) —+—, keZ , ~+nn,neZ; 6 3 2

b ) - +—, jfceZ, -+nn,neZ. 78. a)-75°; b) -120°. 79. a) 0; - π; π; ' 6 3 2

π π π π π 5π

У ' ~ У ' } 2 ; ~ 2 ; 6 ; Ί Γ

„„ . π π 7π 2π . , π 5π 13π 17π 80. а ) — - ; — ; — ; — ; ь ) — ; — ; ; — .

12 6 12 3 24 24 24 24

о. ч . , 7t 71 3π „ . η nk Ink , _ . . π , η nk 81. a) 3; b) — , —, — . 82. a) — + — , , keZ ; b) — +π* , — + — 4 2 4 4 2 9 2 8 2

JfcsZ. 83. a) π ; b ) - - . 84. a ) - — ; b ) — 2 9 36

85. a) 6π; b) 6π.

„ , . . . 1 . 1 π π 3π 1 1 86. a) 0; π; 2η; arcsin—: -arcsin—(- π ; b) — ; —; — ; -arccos—; arccos—;

> 4 > 4 2 2 2 3 3

-arccos-j + 2Tt. 87. a) 9; b) 10. 88.a)--|; b ) - - у . 89. a) VT .1

2 '

b) VJ ,1

2 ' 90. a) I - ; + oo I;

b) [-3;3]. 92.а) ( - — + 2π*;-+2π*1 , keZ ; b) ί - - + 2π* ;- + 2π* j ,

b) j ; + coĮ. 91. a) (-a,;-2)u(2; + co);

keZ . 93. a) I - ~ + 2nk\-^+2nk ke Z; b) - — + 2nk; - + 2π* 6 6

, keZ .

94. a) - — + π*; -— 4 2 6

+ π* , * e Z ; b) - — + nk: — + π* I, keZ. 3 2 1

95. a) ί-| + 2π*;-γ+2π/Η, 4 ε Ζ ; b) (2πΑ;π+2πΑ), keZ.

96. а) I - - + π*; I k e Z ;

97. a)

98. a)

5π , 13π , — + πΑ; + πΑ 12 12

b)

, i e Z ;

— + πΑ;— + nk I, Α ε Ζ . 4 2 1

b) π 2πΑ π 2πΑ

T + T " ' 4·""1 3~~

7π - , π . , + 2πΑ; —+ 2πΑ

6 6 , A e Z ; b)

5π . , 5π „ , + 2πΑ; — +2πΑ

6 6

99. a) I - - + πΑ; - + πΑ I, A e Z ; b) π 2πΑ π 2πΑ

~ 4 + Τ ~ ' _ Τ ΐ 3

, AeZ .

, A e Z .

, AeZ .

100. a) π 2πΑ 4π 2πΑ

T + T " ' T + T , A e Z ; b) I j + πΑ; γ + πΑ|, A e Z .

2π 101. a) I - π + 2πΑ; "j-+2ra t

m* - ι π кк 17π πΑ 102. a) — +—; + —

.48 2 48 2

, A e Z ; b)

, A e Z ; b)

— + 3πΑ; — + 3πΑ I, AeZ . 4 ' 2 J '

— + πΑ; -^ϊ· + πΑ|, A e Z . 24 24 J

103. a) 0 ; b ) 0 . 104 . а ) хеЛ; b ) x e / i .

. . . . 2π , 4π „ , , _ . . 2π 2πΑ 2π 2πΑ , _ 105. a) — + 2πΑ<χ< — + 2πΑ, A e Z ; b) + < дг< — + , AeZ .

3 3 9 3 9 3

ι η , . f π πΑ π πΑ 106. a) — + — ; —+ —

9 3 9 3 , A e Z ; b) I у + πΑ;-^ + πΑ I , A e Z .

107. a) ί —+ 2πΑ; 2π+2πΑ I 1 A e Z ; b) [ — + 2πΑ; — + 2πΑ I, AeZ 25π

12 12

108. а)

109. а)

--+2πΑ; π + 2πΑ 1 A e Z ; b) [ - - + π πΑ π πΑ

π ΑΪ 17π . , —+ 4πΑ; + 4πΑ

6 6 , τ . . ι π 2πΑ 13π 2πΑ , A e Z ; b) — + ; + -

1 6 3 18 3

, A e Z .

, AeZ

, A e Z ; b) [3πΑ; π + 3πΑ), AeZ . . η ν ( 3π πΑ π πΑ 110. a) + — ; + —

V 16 4 8 4

111. а) - — + 3πΑ<χ< — + 3πΑ, A e Z ; b) — + 7πΑ^χ< — + 7πΑ, AeZ . 4 2 12 3

112. a) (π + 2πΑ; 2π + 2πΑ), A e Z ; b) ί | + 2πΑ; γ + 2πΑ|, A e Z .

113. а) Η2πΑ; — + 2πΑ , A e Z , arccos—+ 2πΑ; 2n-arccos—+ 2πΑ , 4 3 3 J ' [ 3 3 J

keZ. b) ^ + arcsin0,8+ 2πΑ; 2π-3Γθ5ΐηΟ,8 + 2πΑ), A e Z . 114. a) 3 ; b) 3.

1 1

5. Modulis

1. a) 13; b) -5. 2. a) α = 3, 6 = 2; b) x = l , ^ = - . 3. a) taip; b) taip. 4. a) 2;

b) -1 . 5. a) 2; b) -4. 6. a) 4; b) 4. 7. a) -6 ; b) 14. 8. a) -8 ; b) -10 . 9. a) -1 ;

b) -2. 10. a) 3; b) 2. 11. a) 1; b) 9. 12. a) -3α ; b) 7 α. 13 . a )b-| ; b) ~ | .

2 2 14. a) -1 , kai χ < 2 ; 1, kai χ > 2 ; b) ,kai a > -1, a * 0 ; -, r , kai

α + 2 α (α + 2 J

α< 1, α * -2 . 15. a) ° ,kai α >3 ; — ,kai α< 3 ir α * -2 ; b) 2-α , kai

α+2 α+2

α< 1; α-2 , kai α > 1. 16. a) -1 , kai χ <4 ; 1, kai χ > 4 ; b) -1 , kai χ<-3 ; 1,

kai χ>-3. 17. a) 7; b) 2. 18. а) 2; b) 11-2*. 19. а) 6, kai α<-3; -2α, kai

-3 < α <3 ; -6, kai α>3; b) -2m + 3, kai m<- 2; 7, kai - 2 < m < 5 ; 2m-3,

kai m>5. 20. a) 10-2*; b) 2. 21. a) -6x-3; b) 11. 22. a) -5; 5; b) -8; 8.

23. a) -4; 4 ; b)b-9;9. 24. a) 0 ; b) 0 . 25.a )-l ;3; b )-4 ;-2 .

26. a) -8; -4 ; b)-2; 10. 27. a) -1; 5 ; b) 3; 7 . 28. a)-6; 2; b)-12; 6.

29. a) -1; 4 ; b) -2,8;-2 . 30. a) -6; 1; b) -3;9 .31.a) -ч / 2 ; 0 ; Л ; b) 1-^2 ;

1; 1 + 3 2 . a ) ^ ; b) 1 - л/б; 1- ^2 ; 1 + Л ; 1 + 7б .

33. a) [θ; oo); b) (-«>; θ]. 34 .a )0 ;- l ; b ) 0 ; ^ y . 35. a) ^ ; b) j i ; 3.

36. a) [-4;oo); b)(-oo;5]. 37. a) b 7

-co;- ; b) ;oo . 38. a) 7; 8; b) 4; 5. .3

2 39. a) šaknų nėra; b) -1 . 40. a) 0 ; b) 2. 41. a) 4 ; b) 1.

42. a) (-oo;0,5]; b) [З;00). 43. a) b[8;00); b) (-00; 5]. 44. a) (-00;-ίο]; b) 2.

45. a) 3; 4 ; b )0 ; l ;2 ;3 . 46. a) Z Ž T ^ L ; = ^ i I ; 2; b)

4 4 2 2

-1 + V? . 47. a) -5; 3 ; b ) -2 ; 4 . 48 .a )-2;0; b) -3;-2; 0; 1. 49 .a)-4;

b) -6; 0. 50. a) -2; b) -4. 51. a) 1; 13 ; b) -5; 11. 52. a) 4; 7; b) -2; 3; 7 .

53. a) 1; + • b ) - Jl; 1 - S . 54. a) 0,5 ; b) -0,5 . 55. a) 0; b) (-oo;oo),x-

2 1 1 3 bet kuris realusis skaičius. 56. a) — ; 4 ; b) -2,5. 57. a) -5;—: b) -5-:-1- .

3 3 2 4

58. a) -5 ; | ; b) 59. a) -1; b) - | ; 4 . 60. a) 0,5; b) -2. 61. a) 0 ;

b) -3; 3 . 62. a) -2; 2 ; b) -10; 10 . 63. a) 0 ; b ) - 2 - 7 ? ; 2 + V5.

64. a)-10,5; 11,5; b) -3;7 . 65. a) (-oo;-2]; b)(-oo;-4], 66. a) b[-1;θ];

b) ~ ; - | . 6 7 . a ) [-l;2];b) [l;5].68.a) 2; -4; b) 0; 3.69. a) 0 ; b) [-2;l],

70.a)[l;2]; b) [-l;co). 71.a)[2;oo); b ) | ; | . 72.a)[-2;0]; b) [l;co).

73. а) [З; + oo); b)(-oo;2], 74. a)-13; 5; b) з| ; 4 . 75. a)-2; 4;

b ) - l | ; - 2 y 7 6 . a ) - y ; - 2 ; b) -1; 11. 77.a)[-3;2]; b) 1. 78. a )-2 ;

b ) | ; | . 79. a)-8; 2; b)-1,5;-3,5. 80 .a )- l ;2 ; b )-2 . 81 .a ) l ;-y ;

b ) - y ; 0 . 82 . a )| ; b ) | ; 2 . 83. a) 0 ; b) 0 . 84. a) [-3,5; З]; b) 0 .

85. a) 1—; 2 ; b) 0 . 86. a) 1; 7 ; b) 3; 7 . 87. a) 0,6 ; b) -5; 5. 88. a) 4; 8 ;

b) 2; 4. 89. a)-4; O ; b) -1; 7 . 90. a) 3; b) 2. 91. a) 4; b) 2. 92. a) 6;

b) 4. 93. a) -6; b) -5. 94. a) 4; b) 3. 95. a) -4; b) -5 . 96. a) (-oo;-5)u(5; oo);

b)(-3;3). 97. a) (-«>;-Vj Įu į / J ;» ) ; b) (-VsjVs). 98. a) (-2,1; 2,l);

b) (-oo; -l,9)u(l,9; oo). 99. a) (-oo;-2]u[l; + oo); b)

100. a) -oo; ;[2;oo); b) [l,5;2,5]. 101. a) -3 : 1

; b) (-oo;-2]u[l;oo).

102. а) (-оо;-1б)и(б;оо); b) (l; 4). 103. a) (-2; 5); b) (-oo;-2)u(3;oo).

104.a) ^-oo;-yju[2;oo); b)[l,5;2,5]. 105. a) (-2; 4); b) (-00; o)u(2; 00).

106. a) (-7; l); b) (-3;2>. 107. a) (-1;3); b) (-co;-2)u(4;oo).

2n

108. a) ( -00;-5)u(-l; oo); b)(-5;l) . 109. a) (-5;-3)u(-l; l); b)|^0 ; - J .

110. a) (-oo;-4)u(-2;l)u(3;oo); b) (-oo;2]u[4;oo).

U L a ) b ) (-co; 2 ) u (б; + oo). 112. a) ( - 0 0 ; l ) u ( l ; 0 0 ) ;

b ) ( - o o ; - 2 ) u ( - 2 ; o o ) . 113. a ) ^ 2 - i ; 3 ^ о ( 3 ; 5 ) ; b ) ( - o o ; - l ) u ( - l ; 0 ) u ( 2 ; + oo).

1 1 4 . a ) ( į + c o ) ; ь ) Г - о о ; | 1 . 115. a) l ) u ( l ; c o ) ; b j f - o o ; ! ] ·

1 , 3

116. a ) ( - 0 0 ; l ) u ( 2 , 2 ; со) ; b ) ( - с о ; - l ) u | - 1 ; - J . 1 1 7 . a ) Į - a o ; - J u ( 7 ; o o ) ;

b ) | - 5 - ; - 3 | u ( - 3 ; - 2 ) . 118. a) ( - 0 0 ; - l ) u f - 1 ; - | и ( б ; о о ) ; b) ( - — ; o o ] .

3 J 10

119. a) ( - o o ; l ) u ( 5 ; o o ) ; b ) | ^ ; 3 | u ( 3 ; 8 ) . 120. a ) I I u l ±; 5 I ; b ) U ; со Į . 5 3

3

17 J 113 121. a ) -OO5-^- U — ; o o ; b ) - - ; - - u .

7 1

4 3

122. a ) ( - o o ; - 2 ) u ( - 2 ; - l ) u ( - l ; 0 ] ; b ) ( - o o ; - 2 ] u [ - l ; o o ) .

123. a ) (-oo;oo) ; b ) [ - 3 ; o o ) . 124. a) 0 ; b ) 0 . 125. a ) (-oo; 1,5]; b ) ( - o o ; 9 ] .

126. a ) (-oo; l ]u [ l , 5 ; o o ) ; b ) | - о о ; - | u [ 7 ; o o ) . 127. a) ( - o o ; - l ] ; b ) ( l ;oo) .

1 2 8 . a ) ( - o o ; - 2 ) u i | ; o o l ; b ) [ 4 , 5 ; o o ) . 129. a ) [ l ; 3 ] u { 4 } ; b ) ( 2 ; 5 ) .

130 a) ( l ; з ) ; b ) (л/б; 1 + J l ] . 131. а ) (-oo; с о ) ; b ) - _ ; o o

132. a ) ί - ο ο ; - ί | u ( 2 ; o o ) ; Ь ) [ 0 ; 3 ] . 133. a ) [l ,5;oo); b) - o o ; -

1 3 4 . a ) 0 ; - u - ; o o ; b ) ( - o o ; - 4 ) u ( - 4 ; - 2 ] . 135. a) ( - 1 ; 0 ) u ( 0 ; o o ) ;

b ) ( - o o ; 0 ) u ( 0 ; 2 ) . 1 3 6 . a ) - o o ; l - u 1 - ; 4 | ; b ) [ -3 ; o o ) u {-3 , 5 } .

137. a) ( - o o ; - l ) u ( 0 ; o o ) ; b ) [ - « ; - - u [ 4 ; o o ) . 138. a ) - - ; 4 ; b ) - c o ; - .

139. a ) ( - o o ; - 2 ] u [ 0 ; o o ) ; Ь ) [ - 1 ; з ] . 140. a) ( l ;oo) ; b ) ( - o o ; l ) .

141. a ) [ - 1 ; o ] u [ l ; 0 0 ) ; b ) [ - 2 ; 0 ] u [ 4 ; o o ) . 142. a) ( - 5 ; - 3 ) u ( - l ; l ) ;

Г i i Г 4 1 0;- ; b) -—; 3

3. ; b)

3 b) (-1;2)и(3;б). 143. а)

Ь) (2;оо). 145. а) [-2;-l)u(-l; оо); b ) i - 3 ; - į

144. а) (—со; — 2)uf ——; оо j ;

146. a) (-oo;l)u(l;2]u[3;co); b) [l,5; 2>. 147. a) ( - o o ; - l ) u l l J u ( l ; o o ) ;

b) (-oo;-3)u(-3;3)u(5;oo). 148. а) (л/б; 1 + л/7] ; b) (-oo; l)u(2 + VŪ; oo).

149. a) (2;5); b)[l;3]u{4}. 150. a) i-00;-|Ju(3;00); b) (-oo;-l)u(3;oo).

151. a) i" ; b) (— 00; 00). 152.a) (-oo;-5)u(-l;oo); b) (-00;-4]u[l; 00).

153. a) (-oo;-5]u[4;oo); b) (2; 4). 154. a) (-00; 00); b) (-00; 00).

-5 —л/34\ / ~ 5 + л/34 Г ,

3 '3 155. а) u u (З; +oo); b) (-00; l)u(2+ ViT;+ 00).

156. a) (-00; 2)u(2; 2,5)u(3,5; со); b) (l;3). 157. a) [-7; 7]; b)[-l;l],

158. a) (-oo;-3)u(-l;l)u(3;oo); b) (-oo;-4)u(-2;2)u(4;oo).

159. a)(-oo; u[-l; l]u —;coJ; b)(-co;-l]u[l;oo). 160.a)(-co;-4)u(4;co);

b) (-oo;-3)u(3;oo). 161. a) (-4;4); b)(-oo;oo). 162. a) (-oo;-2)u(3;oo);

b) (-oo;0)u(4;oo). 163. a) ( -00;-l)u(7;00); b) (-oo;-2)u(3;oo).

164. a) [ - 0 0 ; - — j u i—;oo ]; b) (-oo;-4)u(0;oo). 165. a) (-2;З); b) (2;б).

166. а) (-оо;0)и(б;оо); b) ( l ;«) . 167. a) (-2; 2); b) -;1

168. a) (-4;0)u(2;4); b) (-0,5; 2,75). 169. a) (-4; θ); b) (-oo;-2)u(j;oo |.

21 170. a) (-oo;-5]u[-l;co); b) — — ; - 8 u -8;-11

3

171. a) (-oo;-sin3)u(sin3;oo); b) (-oo;-cos5]u[cos5;oo). 172. a) 4; 8 ;

b) 2; 4. 173. a) (-00; l]u[5; 00 ); b) (6; 10). 174. a) [l; + со);

b) i-oo;lju(2,5;oo). 175. a) 1; b) -1. 176. a) (-14;14); b) (-6;6).

177.a)ll; b) -7. 178. a) Df =(-oo;-3]u[3;oo); b) Df =[-2; 2].

179. a) Df =(-oo;-l)u(-l;3)u(3;oo); b) Df = (-00;-l)u(-l;θ)υ(θ;00).

180. a) £ / = . j - | ; o j ; b) Ef = j 0 ; |

181. a) / (* )= -1, kaix<0,

1, kaix>0. b) / (*)=

/\У 19—

-1

182. a) /(*)= -х-1, kaix<0,

5л- — 1, kaix>0.

У) k

- X o

-r

/1 '5 X

χ , kaix>0,

-χ 2 , kaix<0.

У n

b) / (* )= 3x + 2, kaix<0,

x + 2, kai x>0.

A v

183. a) / (* )= -χ -1, kai*<0,

Jt2 +1, kai л: > 0.

V A -i

184. a) f(x)= 2-2x, kaix<-l,

4, kai — 1 < Jt < 3,

2x-2, kaix>3.

6

o Π ^x

. ч [0, kai JC<0,

b) / W = , 12*2, kai x> 0.

УА

b) f{x)-

-2x-l, kaix<-3,

5, kai - 3 < χ < 2, 2x+l, kai χ>2.

4 \ -4-3 o

J 2 3

185. a) f {χ)=

2χ~Ί, kai д· < — 1,

4*-5, kai -1<дг<2,

-2χ + Ί, kai χ>2.

У к

186. a) f (χ) =

•6, kai χ <--2,

2л;-2, kai -2<х<2, 6, kai дг > 4.

Ar

187. a) f (χ) =

-Зх, kai л: < —0,5,

χ+ 2, kai - 0,5 < χ < 1,

3χ, kai JC > 1.

188. а)

f(x)=\ 2χ- 31 +2χ·-3, kai χ <1,5,

4χ - 3, kai χ > 1,5

У A

/

b) / (* )=

дг + 5, kai дс < —2,

-3x-3, kai -2йх<\, -х-5, kai jc> 1.

Ч з

Ч -2х + 5, kai.*<2,

b) f (χ)=· 1, kai 2 < χ < 3,

2χ-5, kaix>3.

kai —<χ<3, 3

0 1,5

8χ-3, kaix<—, 4

194. a) b) 195. a)

203. a)

204. a)

/ W = t g M

205.a)5 b) 1. 206. a) = χ2 - 61 χ I +8, a = 1, b = - 6 , c = 8; b)^ = [χ2-2x-3|,

, l*+i|--

я = Ь = -2, с = -3 . 207. a) g(x)= 1 - — arba g(x)= 2 ; 2|x + l| I χ+1Į

Ь) *(*)= X l x + 2

6. Išvestinės

6.1. Funkcijos išvestinės samprata

1 л/2

1. a) Δχ = 0,5 ; Ay = 9,75; b) Дх = 1; Ay = 15 . 2. a) - - ; b) - у . 3. а)-0,1;

b) 0,05. 4.а)40; b)-6. 5.а)2ох + Дх; b) 1 , ч . 6. a) 6χ; b ) - - L .

χ(χ + Δχ)

7. a) Δχ = -2 ; Δ>- = -1; b) Δχ = 2 ; Ay = -5.

8. a ) l ; b) 0. у A

Г Г 9.8) /'(x,)=tg60° = V3 ; /'(x2)=tg45° = l ; b) g'(*i)= tg0° = 0 ;

/7

g'(x2)=tgl50° = - ^ . 10 .a ) l ) / ' (-7)</ ' (-2) ; 2)/ ' (-1)>/ ' (5) ;

b ) l ) /'(-4) </ ' (2) ; 2) / ' (-9)</ ' (0) .

6.2. Funkcijų išvestinių skaičiavimas

1. a) 2; b) -7. 2 . a ) - | x - 5 ; b) - x — . 3 . a )x 2 +x-2; b )x 3-3x + 6.

4. а) 12лг — 7 ; b) 4JC-15 . 5 . а ) | х - | ; b) | x-2 . 6. a) (JC + З)5 + 5x(x + З)4 ;

b) 2(x+l)(x-4)3+3(x+l)2(x-4)2. 7. a) -1 1 3_ 1 1 4_ 5 „6 „2 ' 4 7 „3 ' X X X

7 3

8. a) -4x-Ą ; b) 20x + 4r . 9. a) -2x 5 ; b) 4x 7 . 10. a) -

X X X

5

КЧ 5 K 4 14

b) 7 TT- П . a) (x + l)2

(l-3x) (2x-5)2 (2x + l)2 (3x-l)

13. a) 4 = ; b) - 4 = . 14. a) ; b) . 15. a) S ^ ' 3 ^ · ' 2д/х(|-х)3 ' 2-y/x3(l-x) ' ' V4-Jx '

-1 x + l b) ^ = L = . 16. a) , ' ; b)

V 9-2x V χ +2x

з(х2 +1)

V l χ + 6x

3x -2 -χ 17. a) . ; b)

18. a) 4x

20. a)

s V ^ T

9x4+8x3

2-Ух+Т

b) 12x

2 V χ — 2x V ^

5V χ -f 1 19. a) —xVx- —- ; b )-VT +

; b) 7x3-6x2

2yfx-l

b)

b)

3-4x-20x

21. a)

3

6x-3 ; b)

2x

9x+ll

V 7 ·

2л/Т^Т ' 2Vx+ 2 . 22. a)

3x

V T ^ I '

,л ч -z L1 l-2x , , v 7 2 r / • 23. a) —vj ; b) — — . 24. a) -x Vx ;

VbrTT VT(2 + VT) 2VT(2x + l )2 2

3VT' 25. a) 26. a) - f = ;

3 Vx2

27.8)4(- + 2! ;b) 5(--3) . 28.a) 4(х2+5х + б)3(2х + 5);

b)

b) 5 (4 - χ2 + Зх)4 (З - 2x) . 29. а) б(х3 -2x2 +5)5 (зх2 -4x);

b) 4(х3-5х + 8)3(бх2-5). 30. а) з(4х-х3-l)2(4-3x2);

b) 4(2х + х3-2)3(2 + Зх2). 31. a) -3^1 + - ] b) 3 ( 1 - !

32. a) 2 ( - M 3 ; b) - l W . VT 2 VT

-1

3 V 7 '

1V 1 „2 '

33. a) 3 VT+* 2^2 ^x 1 л

— +

2 2 Vx

b) 4 (χ •2л/х) I 2x-—j= 34. a) 3cosx-sinx; b) -2 sin χ + cos χ .

35. a) 2cos|2x + —j; b) -3sini 3 j c | . 36. a) "2

(sin χ-cosx)2

л b) T1. 37. a) 1 Ocos(IOx); b) -8sin(8x). 38. a) sin(2x)+2xcos(2x);

(sin χ +cos x)

b) cos(3x)-3xsin(3x). 39. a) 8cos(2x); b )-2s in j y j . 40. a) 3cos(3x-7);

b) -5sin(5x + 6). 41.a) (4x-3)cos(2x2-3x + l); b) (4-6x)sin(3x2-4x+2).

5 14 -2 ., . 2-6x , . 3-2x 42. a) 7 — ; b) 7 — . 43. a) , ч; b) , ч .

cosд2х-3х ^ sin x -3χ) cos 5 χ — sin 2χ + —

I 4) I 3

44. a) sin(4x); b) -sin(2x). 45. a) sin(2x); b) -sin(2x) . 46. a) 2sin(4x) ;

b) -2sin(4x). 47. a) 12sin(6x); b) -10sin(l0x). 48. a) -6cos2(2x-l)sin(2x-l);

b) -12sin2(5-4x)cos(5-4x). 49. a) sin(2x-3)+2xcos(2x-3);

b) cos(3x-2)-3xsin(3x-2). 53. a) -21n4 -43'2jr; b) У*'1* ·1η3·(2χ-7).

54. a) i O1-sm^2") · In 10· (- 3sin(2x)sin(4x)); b) 52"cos3(2j:)-ln5(6cos(2x)sin(4x)).

55. a) -e" ; b )-e *. 56.a)32e8*; b) -3<Г6\ 57. а) бе3" ' ; b)35e7jt"2.

, .2 c ± 58.8)-4- 6 ^ ; b) ——e*2 . 59.a) e5*1*-cosx; b)-ecos* sinx.

X X ^ 1

60.a) e ^ - J i H - ; b) ~ 6 . 61. a) <T2x (l-2x); b) 2xe~*2 (l-x2). cos χ χ ·1η χ

62. a) χ-e3* (2 + 3x); b) x2(31nx + l); 63. a) e* (cosx-sinx);

b) e ' · (sin χ + cosx). 64. a) 2*·1η2 + — i — ; b) -2"Мп2 + —!—. 65. a) ^ i ; χ·1η2 xln2 χ

. . 31ogj χ , , . 2 8 . χ-1 . . 1-х b) ьъ . 66. а) ; b) . 67. a) -t—. χ ; b) γ Ι Λ .

xln5 2χ + 3 8χ + 5 (x2-2x)ln3 (4χ-2χ2)ΐη5

χ + 1 -2-2χ 4 1 1 68. а) / ; b) , • 69. а) — ; b) . 70. a)

χ + 2x + 3 5-4x-2x χ 3x 5xVln4x

b) / . 71. a) -tgx ; b) ctgx . 72. a) 6; b) -11. 73. a) 0; b)-4. 74. a) 2; Ix1SXnb χ

b) -2. 75.a)4; b )-6 . 76.8) 27; b) 0. 77 a) -10; b) -27 . 78. a) 1; b) -1 .

79. a) 1; b) I j . 80. a) -2 ; b) 2. 8 1 . a ) - j ; b ) - l j . 82. a) 0,33; b)0,!4.

. a ) 3V Į . b ) 3 - A . 84. а) у/з + — ; b) ^ 3 . 85.a)2; 83

87. a)

b)0. 86. a) 0; b) 0.

;b) -3 88. a) 0; b) - — . 89. a) ;b) - į . 90. a) M s - į ] ;

b) V2(5 + Ji). 91 .a )- l ; b) 1. 92. a) 6; b)-3. 93.8)0,5; Ь)-4тс.

9 4 . 8 ) ^ 3 ; b) i J i - ^ A . 9 5 . 8 ) 1 1 ^ ; b) - ^ l l . 96. a) ^ ;

b) л/2 . 97. a) I i ^ ; b) 3 ' " 4 . 98. a) 2e ; b) -3e . 99. a) — — ; b) . 3 4 ln2 ln3

100. a) 4; b) 2. 101. a) 8; b)-1. 102. a) 52. b) 30. 103. a) 1; b) 4e2. 104. a) 1;

b)-1 . 105. a) mažėja nuo 1,5 iki 0,25; b) mažėja nuo 2 iki —. 6

106. a) Df =[-l;4], £> r=(-l ;4); b) Df = (-oo;-l]u[3;oo),

/),,=(-00-1^(3100). 107. a) Df =[-8;8]; b) Dg =[-16; 16]. 108. a)6; b)24.

109.a)-l; b)-11. 110.8)-1; b) 2. 111. a) 1; 2; b) -1;4 .

-3 - In 4

112.8)-1;-VJ;V3; b) -2; — 1; 1. 113.a)|·; b) sprendinių nėra.

114. a) ± — + 2nk, kai ke Z ; b) ±- + 2nk, k e Z . 115. a) (-l)*- + nk , keZ; ' б 3 K ' 6

b) (-l)*+1 —+ π* , keZ. 116. a) nk, keZ; ±- + 2nk,keZ; b ) - + nk,

γη ' 6

118. a) (-3; l);

b)

keZ; (-1 )k- + nk, keZ. 117. 6

b) (-l;2).

u|I ;oo|;b)

- + 2nk;- + 2nk), keZ. 2 2

119. a) (n + 2nk;2n + 2nk),

120. a) ί 2 π + 2nk; — + 2nk), 3 3 1

u ( l ; o o ) .

keZ\

keZ;

2 n 2 n b) - — + 2nk; — + 2nk , keZ. 121. a) + 2nk; — + 2nk , keZ\

2 n 2n

b) į-~+2nk;-^+2nkj, keZ. 122. a) 1; b) 0. 123. a) 3; 4; b) 1; 5. 124. a) 2;

3; b) 1; 3. 125. a) 5; b) 3. 126. a) 1; b) 5. 127. a) (2;3); b) (3;5).

128.a) (-oo;0)u(0,5;oo); b) (-oo;0,5)u(l;oo). 129. a) (θ; 2]; b) (θ; l].

130. a) (θ;l]; b)(0;l]. 131. a) (-<»;θ); b) (-oo;0)u(0;4). 132. a) 2; b)-1 .

133. a) — ; b) — . 49 16

6.3. Funkcijų išvestinių taikymai

1. a) mažėja (-4; 0) ir (3; oo); didėja (-oo;-4) ir (0;3). b)mažėja (—5; — 2,5) ir

(2,5; oo); didėja (-oo;-5) ir (-2,5; 2,5) . 2. a) 1; b) 2. 3. a) xe(-8 ;-4)u(0;3) ;

b) xe(-oo;-8)u(-4;0)u(3;oo). 4 . a ) £ = 5; Ъ)к = 3. 5.я)у = 5х\

b) = 6* — 11. 6. a) 7 = 5X-18; b) ^ = 16—IOJC . 7.a)y = 2x; b) 7 = 6JC-14 .

8. a ) у Л х - 1 · 4 4

b) >> = 19-4JC.

10. a) 7 = x+l ;b ) ^ = ; 11. a) (0; 2); b) (0;1).

9. а) У=---х\ 4 4

3 7

b) y = -x + —. 8 4

УA /(*) = 0,5 · e"

13. a) 45°; b) 150°. 14. a) M( 1;-12); b) N(-2;-12). 15. a) (-1;14), (2; — 13);

I s

b ) (0 ;- l ) , ( l ;-6), (-2;-33). 16. a) (4;2); b) (-l;-5). 17. a) 1-1;— Į,

(3; -2) ; b) (-1;2), (l;2).18.a) (1;3), y = -2x + 5\ b) (2;3), y = 2x-l.

19. a) 1) Pirmosios

liestinės lygtis yra

y = 3 - 2x, o antro-

2)

/ 2

i' >' S(X) = Xi-2х + Ъ

V-r / y~

Щ ч в > 0 m -χ

-3 I f y = 4x - 3 Į

-6 j C = 6,75 kv.vnt. '

b) 1) Pirmosios

liestinės lygtis

yra y = -χ + 5 ,

o antrosios -

y = 3x - 3 .

y = 3x-3

= -x+5

20. a) (2;0), (0;6). b) (5; 7), (3;-1). 21. a) 45° ir 135°. b) arctg(-6) ir arctg6.

22. a) JH = 1; b) y = l. 23.a) (0;-l) , (4;3); b) (-1;-1), (3;-5). 24. a) a = 2;

a = -1. 25. a) a = 4; b) a = -2. 26. a) A/(4;14); b) W(-l;-5). 27. a) (0;l);

(0;2l); b)(0;8); (θ;4). 28.a)2; b)4. 29.a)j> = x-2 ; b )

30. a) 7= 12-1 Ix ; b)j> = 6-4,5x. 31. a) ne; b) taip. 32. a) xe -oo;|ju(l;oo);

b) x e l - -j; I j . 33. а) >> = -2x- l , .y = 6x-9; b ) y = 4x-13, y = - 4x + 3.

25 34. a) p = -3 , ą = 4; b) b = c = 2 . 35. a) " ^ v - vnt• b) 5 kv. vnt.

36. a) SOAB = Socd =Skv. vnt.

yΛ.

У = - ДГ-4 Л

b) SOAB = Scod =Skv. vnt.

Ay

y =-X + 4

37. a) didėja visoje realiųjų skaičių aibėje R; b) didėja visoje realiųjų skaičių

aibėje R. 38. a) mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje R; b) mažėja visoje realiųjų

skaičių aibėje R. 39. a) mažėja intervale (-oo; 2), didėja intervale (2; oo); b) mažėja

intervale (-oo; l), didėja intervale (l;oo). 40. a) didėja intervale ^-oo; l j , mažėja

intervale °oj; b) didėja intervale m a ^ j a intervale со

41. a) didėja intervaluose (-oo;-2) ir (2;oo), mažėja intervale (-2; 2); b) didėja

intervaluose (-oo;-l) ir (l; oo), mažėja intervale (-1; l). 42. a) didėja intervaluose

(—oo; θ) ir i—; oo j , mažėja intervale (θ; —j; b) didėja intervaluose i-oo;-—j ir

(θ; oo), mažėja intervale f — ; O 1. 43. a) didėja intervaluose (-oo; - 2) ir —; oo ,

mažėja intervale 1-2;—Į; b) didėja intervaluose [ —oo; — — 1 ir (l;°o), mažėja 2

3 intervale ; l j . 44. a) didėja intervaluose (-oo;-l) ir (2;oo), mažėja intervale

(-1;2); b) didėja intervaluose (-оо;-3) ir i—;ooj, mažėja intervale f — 3; —

45. a) mažėja intervaluose (-oo; y j ir ^ I ; ooj , didėja intervale ^ I ; I j ; b) mažėja

intervaluose - I j ir didėja intervale ^-"^"'^j· 46. a) mažėja

intervaluose (-oo;-l) ir (θ;2), didėja intervaluose (— 1;θ) ir (2;oo); b) mažėja

intervaluose (-oo;-2) ir (0;3), didėja intervaluose (-2;0) ir (3;co). 47. a) mažėja

intervaluose (—3;θ) ir (2;oo), didėja intervaluose (-oo;-3) ir (0;2); b) mažėja

intervaluose (-1;θ) ir Į—;oo], didėja intervaluose (—oo; — l) ir [θ;

48. a) mažėja intervaluose ' r didėja intervaluose

-oo; ——I ir f - I ; oo 1 . 49. a) mažėja intervale f 0; I j , didėja intervale [ I ; ® ] ;

b) mažėja intervale ooj , didėja intervale ^O; — j . 50. a) didėja intervale (l; oo),

mažėja intervale (0;l); b) didėja intervale (θ;2), mažėja intervale (2;со).

51. a) didėja intervaluose (-4;-l) ir (θ;οο), mažėja intervaluose (-oo;-4)

ir (— I;θ); b) didėja intervaluose f-2—;oj ir (l;oo), mažėja intervaluose V. 3 J

— oo; — 2— I ir (0;l). 52. a) didėja intervaluose (-oo;-2) ir (θ;οο), mažėja 3

intervale (-2;θ); b) didėja intervale (θ; 2), mažėja intervaluose (~co;0) ir (2;со).

53. a) didėja intervale į—; ooj , mažėja intervale Į^O;—j ; b) didėja intervale (θ; e),

mažėja intervale (e;oo). 54. a) didėja intervale (3;oo), mažėja intervale (-oo;2);

b) didėja intervale (5; oo), mažėja intervale (-00; l). 55. a) didėja intervale (l;3—J,

mažėja intervale ; e j ; b) didėja intervale ^l; 2 j j , mažėja intervale ^2-1; 4 j .

56. a) didėja intervaluose ^-y j + π* ; ™ + π* j , ke Z, mažėja intervaluose

— + π * ; i i ^ + π* ], k e Z ; b) mažėja intervaluose | — + nk; — + лк ), keZ ,

12 12 J J U 3 J

didėja intervaluose - —+ π* ;—+ π* , keZ. 57. a) mažėja intervaluose

-— + 2nk; — + Ink j, keZ, didėja intervaluose ( — + 2nk; ^^- + 2nk ],

keZ; b)didėja intervaluose ^ - ^ - + 2лк;^- + 2лк\, keZ, mažėja

intervaluose I — + 2nk; — + 2nk I, keZ. 6 2 . a ) - l < a < l ; 1 3 3 1

л/2 л/2 r r b) <a< . 63. a) - 6 < a < 6 ; b) -л/3 < a < л/3 . 64. a) x = l minimumo

taškas; b) χ = -1 -minimumo taškas. 65. a) χ = -—-maksimumo taškas;

л/3 л/3 b) X = -I - maksimumo taškas. 66. a) x = -minimumo taškas, χ = — -

3 3

maksimumo taškas; b) χ = -λ/3 - maksimumo taškas, X = S - minimumo

taškas. 67. a) χ = -1 - maksimumo taškas, x = 2 -minimumo taškas;

b) χ = -4-maksimumo taškas, x = l -minimumo taškas. 68. a )x = - 3 -

minimumo taškas, χ = -—maksimumo taškas; b) x = - l - minimumo taškas, 2

2 χ = maksimumo taškas. 69. a )x = - l , x = l-minimumo taškai, x = 0 -

5

maksimumo taškas; b) χ = -2 , χ = 2 - minimumo taškai, χ = O - maksimumo

taškas. 70. a) χ = 2 - minimumo taškas; b) χ = 1 - maksimumo taškas.

71. a) χ =-4 - maksimumo taškas, x = 0-minimumo taškas; b) x = 0 -

maksimumo taškas, χ = 6 - minimumo taškas. 72. a) χ = - I , χ = maksimumo 2

л/2 л/2 taškai, χ = 1 - minimumo taškas; b) χ = , χ = maksimumo taškai,

2 2 1 . . __ „ 3π 7π 5π π π π 3π 3π

χ·= minimumo taškas. 73. a) , , —— , - —, — , — , — , — ; 3 2 4 4 2 4 2 4 2

. . 3π 2π π π π 4π 3π 5π / \ /, b) , , — , , —, — , — , — . 74. a) ae(0; l)u(l ;4);

2 3 2 3 2 3 2 3

b) α e (5; 9). 75. a) / (2)=4 (minimumas); b) / ( l )=7 (maksimumas).

76. а) /(б)= 432 (maksimumas); b) / ( l )=-l (minimumas). 77. a) /( l)=-3

(maksimumas), /(2)=-4 (minimumas); b) /(-l)=13 (maksimumas), /(3)=-51

(minimumas). 78. a) /(-l)=-3 (minimumas), /(2)=-30 (minimumas), /(θ)=2

(maksimumas); b) (minimumas), /(3)=-9^- (minimumas), /(θ)=2

(maksimumas). 79. a) /(-2) = 3 (maksimumas), /(θ)=-1 (minimumas);

b) /(o)=5 (maksimumas), /(2) =-3 (minimumas). 80. a) /(0)=0 (minimumas);

b) /(0)=0 (maksimumas). 81. a) /( l )= -2-j (minimumas), / ( 5 ) =8 j

(maksimumas); b) /(2)=10-j (maksimumas), / (б)=0 (minimumas).

82. a) funkcija ekstremumų neturi; b) funkcija ekstremumų neturi. 83. a) funkcija

ekstremumų neturi; b) funkcija ekstremumų neturi. 84. a) / ( - l ) = - j

1 2 (minimumas), /(l)=— (maksimumas); b) /( l )= — (maksimumas), / ( з ) = 2

(minimumas). 85. a) /(0)=0 (minimumas), /(2)=4e~2 (maksimumas);

b) /(-2) = -1 (maksimumas), / (0)=0 (minimumas). 86. a) / ( - — ] = —- + In 2 e { 2J 2

(maksimumas); b) / ^ l j = -5-In2 (maksimumas). 87. a) / ( e ~ 0 , i ) = ~

(minimumas); b) /(e0,5 )= 2e (minimumas). 88. а) / ( з ) = 1 п 4 (maksimumas);

b) / ( l )=ln4 (maksimumas).

89. a)

X (-.05 2) 2 (2;oo)

f i x ) - 0 +

f i x ) N b -1

min

X 1 d ; « )

f i x ) + 0 -

f i x ) ^ 7 4 N b

max

90. a)

JC -1 (-i;i) 1 M

/'<*) + 0 - 0 + / ( χ ) 2 -2

max min

b)

X ( - : - 2 ) -2 (-2; 2) 2 (2;°0)

/ ' W - 0 + 0 -

fix) N t -16 ^ 7 16

min max

-VSj

JV V

2

1

If(X) = X3 -

I s > -1 0

-2

ДГ

91. a)

X ( - : - 3 ) -3 (-3;-i) -1 (-1:.)

f \ x ) + 0 - 0 +

Kx) ^ 7 0 N b -4

max min

hi) 1

3 h) 1 (i;-)

/ ' M + 0 - 0 +

/(X) ^ 7 4

27 0 ^ 7

max min

92. a)

X -1 (-i;o) 0 (o;i) 1 (l;«)

/'(*) + 0 - 0 - 0 +

M 2 0 -2

b)

max min

X (-»;0) 0 (0; 1,5) 1,5 0,5; со)

f'(x) - 0 - 0 +

f(x) 0 - i ! lč

93. a)

min

X (-°0; - 0 -1 (-1:0) 0 ( o ; 0 1 (l;=o)

f\x) - 0 + 0 - 0 +

M -4 -3 -4 ^ 7

b)

min max min

-i о

- 2

-VT Vi

f (χ)- χ4 - 2χ2 -3

X (-=o;-VI) -VI (-VI;o) 0 VI (VI; со)

f i x ) + 0 - 0 + 0 -

Αχ) 9 5 9

max min max

iVĮ _į o_į_ Vs

-VI V2

94. a)

X (—;θ) 0 (0:2) 2 (2;oo)

f\x) - O + 0 -

/ 0 0 N * O 4

min max

X (—;θ) 0 (o;i) 1 (i;-) 2

1

-1

į / ( X ) - X 3 - - X 1

0 ι J l 2 ъ

f i x ) + 0 - 0 + 2

1

-1

į / ( X ) - X 3 - - X 1

0 ι J l 2 ъ

m 0 1

2

ί

•ЧГ" ! / · ' •• >

1 2

5 max min

ί

•ЧГ" ! / · ' •• >

1 2

5

95. a)

X (—;θ) 0 (o;i) 1 (i;2) 2

f ( x ) - 0 + 0 - 0 +

/ W 0 1 0 ^ 7

min max min

I ( X ) = X i -4x3 + 4x2

b)

X ( - : - 2 ) -2 (-2:0) 0 (0:2) 2 (2;»)

f i x ) + 0 - 0 + 0 -

fix) / 7 8 0 ^ 7 8 N s k

max min max

96. a)

X ( - : - 1 ) -1 (-1 :1 ) 1 ( I ; . )

Г (X) - 0 + 0 -

Αχ) -1 ,5 1,5

min max

У> 1,5

-1

S,

/ . / M = I х

v . · ;

У 0 1 "x

-1,5

χ Ы-2) - 2 ( -2 ; 2) 2 ( 2 ; « )

/'(χ) + О - О +

/(χ) У 1

2

1

2 Z 7

max m i n

97. a)

X ( - 0 0 ; о ) о ( 0 ; ° о )

/ ' ( X ) - о +

/ ( X ) о

Ь)

m i n

X С- OO; 0 ) О ( О ; » )

/ ' ( X ) - О +

/ ( X ) N . -1 У m i n

У/

1 .V = I

^ N r l 1

-1 ' / W

2 * X2-I = X2 +1

98. a)

99. a)

X -1 0 (o;i) 1 (l;oo)

f\x) + 0 -

Neegzis-

tuoja 0 -

Αχ) -2 Neegzis-

tuoja 2

Ь)

шах min

X (-=°;-4) -4 (-4;о) 0 (0;4) 4 (4;®)

/'(X) + 0 -

Neegzis-

tuoja - 0 +

Αχ) -4 N b Meegzis-

tuoja 4

100. а)

max min

X 0 H) 8

5 ί1* f\x) - 0 + 0 -

-1

Αχ) N i 0 « 1,6 N .

min max

b)

fix)

Αχ)

H +

Я! 1,6

: ; 2 (2;-)

+

101. а)

max

b)

X (-»; 8) 8 (8; 12)

/ ' ( χ ) + 0 -

/ ( X ) 16

max

102. a)

χ (-®;θ)

m N b

= ХУ1\2-Х

(x-2)-e' b)

(Uoo)

+

Rx) N 1 -e * -2,7

103. a)

X (-oo;2) 2

/'(χ) + 0 -

/ ( χ ) i «1,5 e

N b

max

b)

X ( - ; - 2 ) -2 (-2; со)

/'(χ) - 0 +

/(X) N b e

min

104. a) шах f (χ)= 28 , min f (χ)= 3 ; b) max fix)= 26 , min fix)= 8 . t-l; 5) Į-l;5] ' [-1;4] H : 4]

105. a) max /(χ) = 27 , min /(χ) =19; b) max /(χ) =11, min /(χ) = 3 . [1; 4] ' [I; 4] ; [ 1 ; 5 Г V ' [1:5]-7 V '

106. a) max/(x) = = 0, min f i x ) = -[0:3]"7 v '

-4; b) max f i x ) =6 , [0; 3]

min f i x ) = -0,25 [0:3]

107. a) max fix)= [-i;5]

8, min fix)= [-1:5]

- i ; b) max fix)= 4 , [-3:3]

min f ( x ) = 0 [-3;3]

108. a) max f i x ) = l- I ; l ]

0 , min fix)= -[-1:4 V '

-2; b) max / ( x ) = 18 , min / ( x ) = - 1 8 [ ]

109. a) max f i x ) = H ; 2] V '

3, min f i x ) = H:2] v 7 - i ; b) max fix)= 13 ,

[-2;2] v ' min fix)= 4 [-2; 2] v '

110. a) max fix)= 0 , min fix)= -H ; 3 ] v '

-25; b) max fix)= 227. I-W

, min f(x)= 2 [-4:3]

111. a) max fix)= 1—, min fix)= 0; b )max/ (x)=3 , min/(x) = -13. [-0,5;1,5] 1 6 [-0,5; 1,5} [-l;2] [-1:2]

112. a) max/(x)=10, min/(x)=3; b) max/(x) = -4 , min/(x)=-13. [-1:11' 1-1:1]' [1:2]-7 w [1 :4 W

113. a) max fix)= 0 , min f i x ) =-3; b) max f i x ) =-0,00006, min fix)= -192 . [0; I] [0; 1] [0,1; 1] [0,1;1] W

114. a) max/(x) = 9 , min/ (x)=-7; b) max/(x)= 39, min/ (x)=-l . [-1; 2] [-1; 2] [-1-,UJX' [-2 ; l f W

115. a) max / (x)=69, min fix)= -12 ; b) max/(x) = -30, min /(x)=-34. [-2;!] V ' (— 2; IJ W [-4;-2] V ' [-4:-2]"7 V '

116. a) max fix)= [-6:0]

= 173, min fix) [-6:0] ' '

= -2 ; b )max/ (x)=4 , [0:2]-7 v '

min fix)= [0;2]

-3

117. a) max fix)= [ 0 : 2 ] · ^ '

5, min fix)= 1 [0; 2] V '

> b) max / (x )=4 , [-2:2]

min fix)=-[-2:2]-7 v '

-24

118. a) max fix)= [i:4]

s i , 3

min fix)= 3 5 .

6 ' b) max fix)= 132,

[-3:6]-7 W min fix)=-

[-3:6]-7 V ' -57

119. a) max fix)= [-3:0] V '

3, min f i x ) = [-3;0]

1,5; b) max f(x)= 2— , [2; 4] ' 3

min f i x ) [2:4]

= 1

120. a) max fix)= [-2:1]7 V '

17, min fix)= 0; b) max fix)= 2 , [-1; 2]

min fix]= -[-1:2]"7 V '

-10

121. a) max fix)= [-2;0] ;

1

3 '

Il

El -2-L

3 ; b) max fix)= 14 ,

[0; 2] min fix)--[0:2]-7 V '

= 0

122. a) max fix)= [-i;5]

0, min fix)=-[-i;5]

32; b) max fix)= 135 , [1:3]

min fix)= [i:3]

23

123. a) max fix)= [-3;-i]

= -4 , min f i x ) [-3:-1]7 V '

= -5 ; b) max/(x)= 33 ,

ьи ra'M= = 6

124. a) max fix)=9 , min fix)= 2,5; b) max/(x)=0, m i n / ( x )=-- . [i;3] W [1:3] W [—4; 0] [-4:0/ 4 ' 5

125. a) max fix)=-2, min fix)= -3-; b) max fix)= 2,125 , min/(x)=l . [-5; V w [-5:-1) 3 [l;4] [ l ; « r W

126. a) max fix)= e , min f(x)= O ; b) max f(x)= e , min fix)= O. [-1;l] [-1:1] [-1:3] H ; 3 ] W

127. a) max f i x ) = e-2, min/(χ)= 2-21n2; b) max/(χ)= 2e2-1, min/(x)=2.

[H 3 . 1 [1;«] [I: e]

128.a) max /(x)=5 + ln2, min fix)= 2(ln2-1); b) max/(x)=0, min/(*) = --. [0.5:2] [0,5; 2] V ' [\-i] J X ' [1:5]7 W e

129. a) max/(χ)=-Iog310, min/(χ)=-Iog3 40 ; b) max/(χ)= In 2 ,

1 л/3 π min /(χ)=—1η3 . 130. a) max /(χ) = , min f (χ)=-π; b) max /(χ) =-1, [-1:11 2 [0; It] 2 6 [0; π] [ ~ ~ ; 0 |

.min /(χ)= - . 131. a) max /(χ)= , min fix)= -2;

N 1 2 [ * · ? ] 2 И

[0;«] b) max/(χ) = I - I , min/(x)=-3. 132. a) max /(χ)= 4 , min /(χ) =-į·;

N] 4 hf] b) max/(χ)= 1,25 , m in / (x )= l . 133. a) max /(χ)= Jt, m in / (χ )=-π ;

b) max f i x ) = - , min f i x ) = 1. 134. a) 80; b) 108. 135. a) 0; b)0. 136. a) 5;

N] 2 KJ b) -1 . 137. a) 5 ir 5; b) 6 ir 6. 138. a) 98 ir 49; b) 2 ir 16. 139. a) 80 ir 40; b) 0,5 ir

5,5. 140. a) 5y ir 42y ; b) 24 ir 12. 141. a) -18 ir 18; b) -14 ir 14. 142. a) 0,25;

Я ι

b) 0,25. 143. a) - j - ; b) ^ . 144. a) 4, 12, 8; b)40, 60, 80. 145. a) 400 cm2;

b) 4x8 m . 146. a) 50 m ir 50 m; b) 60 m ir 60 m. 147. a) 5 cm ir 5 cm;

b) 4 cm ir 4 cm. 148. a) 6^ cm; b) 10л/з cm; 149. a) 20л/2 cm ir 20- 2 cm;

b) Юл/2 cm ir Юл/2 cm. 150. a) 2) ЗОстл ir 20 cm; b) 11 cm ir 33cm.

151. a) 16cm ; b) 12cm. 152. a) 2) 1 dm; b) 2) 9 cm. 153. a) 9 cm ir 12 cm;

b) 9 cm ir 12 cm. 154.a)20cm; b )4cm. 155. a) 2; b) л/2 .

156. a) 4 dm χ 4 dm χ 2 dm ; b) 7mx7mx7 m. 157. a) 4 cm; b) 2 cm.

158. а) V J m ; b) лет . 159. а) 4 - У з cm; b) 16cm. 160. a) pagrindo spindulio

ilgis lygus 8- 2 cm, aukštinės ilgis lygus 32cm; b) 4-Уз cm.

161. a) maxV(x)=V{\) =Idm3; b) min S(;c)=S(2)= 24 dm2. 162. a) 12 dm2 ; [0,5; S] Oi*)

2 , , , ^ ' . 2 1 . 1 b) 4π dm . 163. a) — ir — ilgio vienetų; b) — ir γ - ilgio vienetų. 164. a) S km;

b) 9 km. 165. a) (l;l); b) — . 166. a) po \s; b) R = r = 50Ω. 167. а) а = 1; 4

b) а = 1. 168. а) а = 1; b) а = -2 . 169. а) а = 4 ; b) а = 1. 170. а) а = 2 ; b) а = 1.

171.a) h = r = ——; b ) a = — ί =6 ( 1 2 ~ π ) . m . a) I) v(t)= 12/-3/2,

4 + π 24+π 24 + π

2) / = 25, 3) ν Λ Λ = 1 2 - ; b) 1) ν(/)=36/-6/2+10 , 2) / = 3 ί , 3) ν Λ < *=64- . ί ί

2 173. a) 4x4x2dm ; b)r = h=—f=dm, t.y. r = h»\,3Tkm. 174. a) r = 6 cm ,

Vit

h = % cm; b) r = h = 3 cm . 175. a) s f i cm ; b) 2 rad. 176. a) - ^ w 3 ; b) 4m3.

177. a) 2 dm; Ь ) ^ т . 178. а) 128л/з dm3; b) 4,5 dm3. \19.a)2dm; b) 1 m .

180. a) -JJ dm; b) 2 dm. 181. a) 2) / = 16ί , 3) 60VJ m , t.y. к 134,2 m ;

b) 2) / = 3,6A, t.y. / = 3 A 36 min; 3) S = 10--J\4A , t.y. 5 »37 ,9b i . 182. a) po

8 min 24 s ; b)po — A. 183.a)2)po — A , 3) ^ALicm- b)2)po 1—A, H 305 14 7 43

3) ^ = ^ ( 1 ¾ ) = - ¾ ^ ^n- 184. a) 1) /(lOO)= 18^, /(75)= 12,4

/(40) = 10,8 e kiekvieniems 100km kelio. 2) v = 50-у ; b) 1) /(l00)=32 £ ,

/"(50)=10 f , /(80)=19,24^ kiekvieniems 100 km kelio. 2) «41 ,67—, A

'3

b) I0V2 cm, 100cm2.

185. a) (θ; l); b ) ( | ; 0| . 186. a) 4; b) VJ ir 4 VJ . 187. a) 6cm, 6cm;

7. Pirmykštė funkcija ir integralas

7.1. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtibnis integralas

7 4

1. a) F(X)=-^X 2+4X + C ; b) F(x)=x2-X + C . 2. a) F(x) = + C ;

6 b) f(x)= — + C. 3.A) F(X )=3X 7+C; b) F(X)=X5 + C .

6

4. a) F(X)=Xi +χ2-x + C ; b) F(x) = 2JC-2JC2-|X3 +C.

5 . a ) F ( X ) = X 3 + 2 X 2 + 5 X + C ; b ) F ( X ) = 2 X 3 + 4X2 +1X + C .

6. a) F(x)=|x3 -^JC2 + 3x + C ; b) F(x)=|x 3+|x 2-8x + C .

7. a) F ( X ) = X 5 - X 3 + C ; b) F(x) = x 4-x 6 + C . 8. a) F ( X ) = ' ) 6 + C ;

b) F ( X ) = ( 3 J : + 2 ) 8 + C . 9.a) F(x)=-(2x + 3 ) " + C ; b) F(X)=—(3X-2)5+C . 24 8 15

Ю.а) f ( X ) = 4 - " A + C; b) F ( x ) = 4 - - V + c · l l a > ^ ) - 7 * 5 + C ; 6 2x 4 4x 5

8 5 9

b) F (x )=|*5+C. 12. a) F(x) = -į(2x + 5) 3+C; b) F(x) = ( 3 x - 2 ) ' +C. o IU λ /

13. a) F(X)=-(4X + 7)V4X + 7+C; b) F(X)=—(БХ-5)\/БХ-5 + C . 6 9

14. a) F(x) = r + C; b) F(x) = j- + C . 15. a) F(x)= 2xV^ + C. V ; 5(5x-7) 3(3x + 4)

b) F(X) = 4xVx + C . 16. a) F(x)= 3χ V i + C ; b) F(x)= 5XVI + C .

л

17. a) F(x)= 2VX + C; b) f(X) = 4V I + C . 1 8 . a ) F ( x ) = — ^ + C ; Vx

b) F(x)= ^j=+ C . 19. a) F(X) = -2V2--jt + C ; b) F(x)=-Vl-2x+C . 3 xVx

20. a) F(x)=|V3x-2+C; b) F(x)= Syjlx+l + C. 21. a) F(x)=-3cosx + C;

b) F(x) = -J sin χ + C. 22.a)F(x)=-yCos(3x-4)+C; b) F(x)=ysin^2x + | j + C.

23. a) F(x)= 2sinx + 3cosx + C ; b) F(x)=3sinx-4cosx + C .

24. a) F(x)=2x + sin^|-xj + C ; b) F(x)=x + cos(l-x)+C.

25. a) F(x)= isin(5x)+ C ; b) F(x) = --cos(3x)+ C . 26. a) F(x)= 2sin(2x)+ C ;

b) F(x)=-4cos(2x)+C . 27. a) F(x)= 2ctgx +C . b) F(x)= 4tgx + C .

28.a)F(x)=-|ctg(3x)+C; b)F(x)=|tg(5x)+C . 29.a)F(x)=itgj^2x + j j+C ;

b) F(x)=-jCtg^3x + -^j + C. 30. a) F(x)=-10cosf|j +^sinfcx)+C ;

b) F(x)=12sin[-]--i-cos(l5x)+C. 31. a) F(X)=-21COS|-| + itg(4x)+C;

b) F(x)=35sin^j + |ctg(6x). 32. a) F(x)=|--Uin(2x)+C;

b) F (x )= ! + isin(2x)+C. 33. a) f(x)=|sini|x j + C ;

b) F(x)=--cos -Χ +C. 34. a) F(x)= 2л/х + 2+4cos 3-- +C;

b) f(x)=VT^3-3sin^2-jj + C. 35. a) F ( x ) = ~ + C;b) F(x) = -pj + C.

ι , Зх 4x -X-I

36. a) F(x) = - ^ - + C; b) f ( x ) = J L L + c . 37. a) F ( X ) = ^ — + C; 31n2 41n3 ln5

ix+2

b) F ix )=—— + C. 38. a) Fix) = -U2x"3 + C ; b) Fix) = -eix+2 + C . In 2 2 3

39. a) F(x) = -2 ln|2 - 3x| + C ; b) F(x) = j ln|4x -1| + C.

40. a) F(x)=2x + -ln|8x-l| + C; b) F(x)= 5x--ln|9x-2| +C. 8 9

2 η ,

41.a) F(x)=^~ + x + ~\ b) F ( X )=2X 2 + 2X + 1 . 42. a) F(x)= J X 2 - X 3 + 2 ;

b) F(x)=x2 + 2x3 + 2 . 43. a) F(x) = i x 4 + 2x +7; b) F(x) = i-x4-|x2 + 27 .

44. a) Fix)= 7 T +1 ; b) Fix) = —,——^- + 4.45.3) Fix)= J 2x + l + 2; V ; 2(2x + 5) W (θ,5χ + З) V '

b) f ( X ) = - - J V 1 - 3 X + - J . 46. a) F(x)=-j + sin(x--jJ; b) F ( X ) = 2 - C O S | X - | J

47. a) F(x)=3tgx-1; b) F(x)=-2ctg* + 5 . 48. a) f(X) = — tgf 2x- —] + —;

b) F(X)=-—ctg[3x-—J+Л/З . 49. a) F(x) = x 2 -2X-4 ; b) F(X) = -X2-6X-1.

50.a) f ( X ) = ^ - - 3 ; b) F(x) = j x 5 + 1 . 51. a) F ( x ) = - į ( 2 x + 5)7 + 2-į|.

b) / r W = - ( 3 х + ю ) 9 + 3 — . 52. a) f ( X ) = —+ 2 ; b ) F ( x ) = l - - . 27 27 χ χ

53 .a ) F (x ) = — Ц - + 5 ; b) f ( X ) = — ^ - - 2 — . 54. a) F(x) = - x V i + - ; W 2x 3x3 24 W 3 3

b) F(x) = 2-Jx -8 . 55. a) F(x)=2v^-21n|x|-5; b) F (x )=yxV^-9 ln|x|+y

56. a) F(x)= 9 - 4 - ^ 5 ^ ; b) F ( x ) = ^ ( 5 x - \ f +-jj.

57. a) F(x)= cos(2x); b) F(x) = |sin(3x)+|. 58. a) F(x) = -|cos(3x)-1;

3 3

b) F(X)=—sin(2x)-—. 59. a) F(x)= x+sinx-27i; b) /-"(χ)= χ-sinχ-π .

60. a) F (x )=s inx+15;b ) F (x )=s inx+14.61 .a ) F (x )=tgx-l ;b ) F(x)=-ctgr.

62. a) F ( x ) = - | - i c t g ( 3 x ) ; b )F(x)=-Ug(4x)+|. 63. a) f ( X ) = | X 2 - t g x + 1;

b) F(X)--2ctgr-x+2. 64. a) F(x) = - - + s inx-l ; b) F(x)= In | x|+cosx +1 . χ

65. a) F(x)=21n|2-x|+—ctg(0,5nx)+2 ; b) F(x)=ln|x|+-tg^x)+3 . π π

66. a) Fix) = - - - -cosf — ] + 5 ; b) F(x)= 4хл/х + -sin(nx)-l . χ π \ 2 J π

6 7 . a) F(x)= 2 * + 1 ; b) F(x)= 3 * - 2 . 6 8 . a) F(x)= i ~ ^ e " 3 * ; b) F(x)= ^ - ^e"2* .

69. a) F(x) = je3 j [+ln|x + l|+|; b) F(x)=ln|x-3|+ie2*+ 1+2-|e9 .

70. a) F(x)=31n|x-l|+l; b) F(x)=3-ln|x-5|. 71. a) F(x)= ln(l-x)-sinx;

b) F(x)= e* -ln(3-x)+ln3-l . 72. a)F(x)=-jln|5x + 6|+2;

b) F(x) = In 13x + 71 +5 . 73. a) f ( X ) = 2,5X2 + 15X + 22,5 ; b) F(x)= l,5x2-6x + 6 .

74. a) F(x) = χ2 + 3x + — ; b) F(x)= 4x2-5x + — . 75. a) F(x)= 2X2 +1,5 ; 4 16

b) f ( X ) = X 2 +2,25. 76. a) >» = x2 - 3x + 4 ; b) .Y = 2x2 +5x + 3 . 77. a) 7,5 ;

b) I j . 78. a) G(X) = - 2-J^-x + 2x + 3 ; b) G(x)=2x-Y]2x + \ +2^- .

79. a) - Χ 1 +5* + C ; b) -x 2-2x + C. 80. a) - X I - - X 1 +4x+C ; 2 2 3 2

5 7 b) j x 3 + j x 2 - 6 x + c . 81.a) X4+.χ3-*2-8* +C; b) χ6-x5+2x4-7x + C .

82. a) 1χ 4 +Αχ 3 -1χ 2 + 2χ + Γ ; b) -χ 6 --χ 5 +-χ4-4x + C . 4 3 2 6 5 4

83. a) I x 3 + - l + c ; b ) į x 4 +4-+C.84 .a ) i ( x + 5)8+C;b) i ( x + 9)6+C. 3 jc • χ 8 6

85. a) -į-(2x + 3)5+C;b) — (5x-7)7+C. 86. а) - x t f S + C ; b) 10 35 5 8

87. a) + л/7 + C ; b) - x V ? + 9 x V ? - 6 + 7 3 8

88. а) ^ ф - - 2 х + С·, b)3x + i + C . 89. a) - x Ų x " + 5 x ^ + C ; 3 4 8

b) 3x\[x +—xyfx^ + C . 9 0 . a ) - ^ + 3 ) ' 5+ C ; +

10 20 21

9 L a ) - I ^ 5 ) + C ; Ь ) - ^ ) + C - 9 2 - a ) ^ 2 + 3 - ) 1 +

b) - ^ ( 4 - 5 x ) 3 + C . 93. a) -^y(7x-3)V7x-3 + C; b) -^y(9x + 8)\/9x + 8 +C.

94.a) j (3x+ l)^/(3x +1)2 + C ; b) j(2X-5)V(2X-5)3 + C .

95. a) 4^(3x + 5)3 + C ; b) 3^/(2x-7)2 +C. 96.a) 31n|x| + 2x- jx 2 +C ;

b) 51n|x|-2x2+jx4+C. 97. a) - —+ 41n|x| + x + C ; b)x-81n|x|-— + C .

98. a) - 4 " +—+61n|x|-x+C; b)x + 9 1 n | x | - — + С . дг л» дг 2x

99. a) — j i - +jln|x|+C; b) jln|x|-4Vi + C . 100. а) 4л/ -51п|х| + С ;

b) 9л/х + 21n|x| + C . 101. a) j x 3 +3x2 + 12x + 81n|x| + C ;

b) 641n|x|-48x + 6x 2 - jx 3 +C. 102. a) 51n|x + 3| + 2xVx + C ;

b) -91n|5-x| + 3xVx+C. 103. a) —ln|l + 2x|+C; b) --ln|3-4x|+C .

104-a) ~—e~3x + С ; b) -4 e'4+C. 105. a) -x4+ — + C; b) —x5 — — + C. 3 4 ln3 5 In 5

f -106. a) 2 e2

-2x + C ; b ) ~(e2x-e'2x)+2x+C. 107. a) -ln|6x+7|+C;

b)-^ln|4x-5|+C. 108. a) - I n | l-10x|+C; b) i-ln|Здг-10]+C .

i i л —JC+5 1

5 4·54 , , -1X-H 109. а) — + C ; b) — + С . 110. а) Зе2х'3 + С ; b) -36е 2 + С .

31п5 1п5

1 „ 2х 1 _ „ „ , 2 IOjr

-- + С ; b) г + С- 112. а) + χ In 2 4х 31n2 InlO

21* 34х 9х 3~х 125х 5 х

b ) — — + С . 113. а) ——+ -— + С ; b ) — — — — + С . In21 41n3 In 9 In3 In 125 In 5

114. a) ^л2"х~' + С ; b) - у я ' 3 " ч + С . 115. a) -2cosjx+y-j+C ;

: - - ) + 6. 116. а) — sin | — • " 71 b) 3 sin x——J + 6. 116. a) -sinj^—-xj + C; b) cos^—-xJ + C .

117. a) -—cos(3x)+C; b) isin(2x)+C. 118. a)--cos(5x)+C; 3 8 5

7 1 1 b)-sin(6x)+C . 119. a) —cos(4nx)+C; b)-sin(8nx)+C .

6 2 2

120.a)-jCos(3x + 5)+C ; b) iS in(5x-7)+C. 121. a) 6 s i n ^ + 2j + C ;

b) -15cos|j- + 4 j + C. 122.8) -ictg(4x)+C; b) itg(6x)+C.

123. a) | tg (5x)+C ; b) -|c tg (7x )+C . 124. a) j tg (3x + l )+C ;

ι „ c3x-2 *5x+3 b)--ctg(5x-2)+C . 125. a) -4cos— + C ; b) 8sin- + + C.

5 4 31n5 8 IOln 2

126.a) x 2-2sin- + 3e3+C; b) x 3-3cos~—e 4 x+ C . 127. a) -xVx^ + C; ' 2 3 4 7

b) — x t f 7 + C. 128. a) —-2sin—+ C ; b ) - + sin^ + C . 13 2 4 2 2

129. a) - jCOs(3x)+C; b) |s in (2x)+C . 130. a) -i-cos(4x)+C ;

b) —cos(2x)+C. 131. a) - — cos(l6x)+C; b) - — cos(l2x)+C . 2 16 12

7.2. Apibrėžtinis integralas ir jo taikymai

1. a) 8; b) 12. 2. a) 8; b) 24. 3. a) i ; b) i . 4. a) 4; b) 3,5. 5. a) b) 6,6.

6. a) I ; b) . 7. a) 6; b) j . 8. a) 6; b) 17 j . 9. a) 39; b) 9. 10. a) 3; b) 32- .

U. a) 10,5; b)-6,2. 12. a) 24,2; b) 50,75. 13. a) 0,4; b) 18|j . 14. a) 13;

b) 9 — , 15. a ) - ; b ) - . 16. a) 78; b) 24,2. 17. a) ; b ) — . 18. a) 2- ; 35 3 4 1024 81 8

b) 2- . 19. a) 26— ; b) 13— . 20. a) 4- ; b) 2. 21. a) 36- ; b) 54- . 22. a) 93; 6 12 3 3 7 7

b) 12,4. 23. a) 4- ; b) 2. 24. a) 6; b) 7- . 25. a) 3; b) 4. 26. a) 31; b) 93. 27. a) - ; 3 6 7

b) 3. 28. a) j ; b) | . 29.Я)Щ=± ·, b) • 30. a) 0,5; b) 31. a) j ;

b ) | . 32. a) 1; b) 1. 33. a) 1,5; b) 0,5. 34. a) 0,5; b) 0,5. 35. a) 6 ^ ;

b) A l A l . 36. a ) o,5; b) A z l . 37. a) j ; b) j . 38. a) 2; b) 2. 39. a) 2^2 ;

b) 3(4/3-1). 40. a) -1; b) 0,25. 41. a) 0; b) 0,75. 42. a) A - ; b) 0. 43. a) l ;b) -Jl .

44. a) — ; b) — . 45. a) ; b) ϋί-?. 4(į. a ) — ; b) — . 47. a) VT ; b) I - A . 2 2 4 2 4 8 3

48. a) 1; b) 1. 49. a) A - b ) j . 50. a) b) j V T . 51. a) l-л/з ;

ь>-3

. 52. a) —; b ) - . 53. a) VT ; b) 4. 54. a) J - - ; b)

55. a) e-1; b) — . 56. a) 3; b) 8- . 57. a) 3(ln3 + l); b) 2(ln2 + l). 58. a) In2 ; Ie 3

b) — ' — . 59.a)2; b) 2. 60. a) 21nl,5; b) l,5 + 21n2. 61. a) 21n6; b) 41n7. 101n2

62.а)^1пЗ; b ) - l n5 . 63.а)^1п2,2; b) — I n — . 64. a) -(l + e2); b)e. 2 2 2 5 11 2 '

65.a)2; b) —In — . 66. a ) ln3 ; b) i In 5 . 67 .a )- ln3; b ) - l n 2 . 68. a) e2; ' ' ' 1 5 1 1 3

b) 3 - 2e2. 69. a) e2 - e+ In 2 ; b) ^ e 4 - ^ e 2 +21n2 . 70 . a ) a>0 ; b ) a > 0 .

71. a )a = l ; b) a = 1. 72.a)a = 0,5; b ) a = 4. 73. a) 1200 m; b) 60,9 m.

74.a) 64,5m, 1 ; b) 11,25 m , — . 75. a) 9m ; b) 5 m . 76. a) 1; b) 1. i 12 i

77. a) 0; b) 1. 78. a) -L b) 4. 79. a) 6 = 2; b ) a = l. 80. a) 10-; b) i . 2 3 6

81. a) 20—; b) I ^ . 82. a) 1— ; b) 9 . 83. a) 3-L b) 15- . 84. a) 8- ; b) 13-, 6 3 3 3 3 3 3

85. a) 20-; b) 10-. 86. a) 1— ; b) 10—, 87. a) 7 - ; b) 8^ . 88. a) 4 ^ ; 6 3 3 3 2 3 2

b) 10-|. 89. a) 1θ|; b) 1 j . 90. a) I-L b) 18. 91. a) 4 j ; b) 4-i. 92. a) 14j ;

b) 7 j . 93. a) 2 j ; b) 9. 94. a) 1θ|; b) 4,5. 95. a) 21 j ; b) 4 2 j . 96. a) 4,5;

b) 2- . 97. a> 13— ; b) 6. 98. a) 4; b) 1 . 99. a) 4 ^ ; b) 24-. 100. a) 2- ; 4 3 4 4 4 4

b) 6- . 101. a) 4; b) - . 102. a) 4,25; b) 4,25. 103. a) 4; b) 2. 104. a) 4- ; 3 4 3

b) 25 j . 105. a) 9 j ; b) 5θ|. 106. a) 18,6; b) 3 I 2 ^ " 1 ) , Ю7.а)4,25; b) l | .

108. a) 8; b) I-L . 109. a) ln3 ; b)21n2. 110.a)21n2; b)41n2.

111. a) 6-31n3; b)41n4-3. U2.a)21n2; b) 31n2. 113. a) l,5-21n2;

b) 7,5 - 8 In 2 . 114. a) 12 — 5 In 5 ; b)24-71n7. 115.a)e-2; b )e-2 .

116. a) 1,6; b) 0,5. 117. a) 8 — — ; b) 3 — — . 118. a ) — ; b ) — . 1η2 1η3 1η3 ln2

119. a) 2 + - L ; b) 7 + 7 L . 120.a)e-l; b) - L . 121. a) e+-; b) - L - 3 . In2 4 1η3 ln2 e ln2

122. a) e + - ; b) e + - . 123. a) e2-I; b) e-1 . 124. a) 9- ; b) 4 - . 125. a) i ; е е 3 3 4

1 1 b) j-. 126. a) 2; b) -Jl . 127. a) 2; b) 1,5 . 128. a) J ; b) 1. 129. a) 4,5; b) 4,5.

130. a) 10-; b) - . 131. a) - ; b) 2,25. 132. a) — ; b) 13-L 133. a) 1) y = 4 , 4; 3 6 3 96 2

b) 1) y = 6x + l , 8. 134. a) b) j . 135. a) a = -l ir a = 2; b) a = -3 ir a = 3 .

136. a) -L b) - . 137. a) 1θ|; b) 12. 138. a) J - I ; b) 2. 139. а) л/з ; b) VJ .

1 29 5 2 140. a) 4; b) 13,5. 141. a) 7-; b) 36. 142. a) 4,5; b) 2 — . 143. a) 20-; b) 10 j .

144. a) 14 j m2 ; b) 3 j m2 . 146. a) «1,53 m; b) 120 m.

1. a) 6;

3. a) 6;

I I I . Kombinatorika. Tikimybės. Statistika.

b) 6.

-2 P^aiS2

b С

VC 6

a С

ЧС а a b

а

b, Cl

4*3 Cl

Cl

V -

\Ьг C2

δι Cl

Cl

7 9

ч9 7

2 9

s9 2

2 7

ч7 2

abc

bac

cab

a\b\c2

"s b\Ci

a3 b2Ci

5279

5297

5729

5792

5927

5972

4. a) 1) 10, 2) 24; b) 1) 11, 2) 30. 5. a) 1) 12, 2)60; b) 1) 15, 2) 120. 6. a) 19; b) 23.

7. a) 900; b) 9000. 8. a) 52; b)48. 9. a) 32; b) 32. 10. a) 1)120, 2)625, 3)6;

b) 1) 24, 2)12, 3)4. 11.·) j ; b) 5. 12. a) 462; b) 120120. 13. a) n(/i + l);

b ) — . 14. а) л(л+ 1)(/1 +2) ; b) ? . 15. а) 2* (2* +1); n +1 Зл(Зл + 1)

b) (4m-l)(4m-2). 16. a) n ; b) n(n-1). 17. a) 7; b) 5. 18. a) 10; b) 11. 19. a) 5;

b) 4. 20. a) 3; 14; b) 4. 21. a) 5; b) 9. 22. a) 3 nuliais; b) 6 nuliais. 23. a) 210;

b) 36. 24. a) 870; b) 435. 25. a) 35; b) 210. 26. a) 54; b) 9. 27. a) 1400; b) 200.

28. a) 38760; b) 99768240. 29. a) 1) 56, 2) 24; b) 1)210, 2) 24. 30. a) 66; b) 255.

31. a) 1)24, 2)6, 3)6, 4)12; b) 1)25, 2)5, 3)20, 4)16. 32. a) 252; b) 12.

39 3 33. a) 56; b) 45. 34. a) 2500; b) 1200. 35. a) 48, — ; b) 96, — . 36. a) 1) 18,

2) - ; b) 1) 42, 2) - . 37. a) 0,3; b) 0,2. 38. a) - ; b) . 39. a) — ; b) - . 9 7 8 16170 91 6

40. a) 0,28; b) 0,496. 41. a) 0,994; b) 0,988. 42. a) 7; b) . 43. a) «0,057;

b) «0,6. 44.a) 1)0,384, 2)0,096, 3)0,008; Ь ) 1 ) Ц , 2) , 3) .

45. a) 1) Λ = {l; 2; 3; 4; 5}, 2 ) 5 = {4;5;б}, 3) ^ u i = {l; 2; 3; 4; 5; б},

4) Λ η Β = {4;5}, 5) Λ\ S = {l; 2;з}, 6) AnB = {l;2;3}; b) 1) A = {l;2},

2) 5 = ((1;2),(1;3),(2,3),(3;2)}, 3) Au f i = {(l;2),(1;3),(2;3),(3;2)},

4) Λ η 5 = {(1;2),(1;3),(2;3)}, 5)B\A = (3;2), 6) AnB = (2-,2).

46. a) C = AuB, D = AnB -, b) C = AnB, D = AuB. А1.л) p(a)=1,

p(b)=i, Р(АиВ)=\, P(AnB)=I, р(А\в)=±; b) p(A)Ą , P(b)Ą,

P(AuB)=-, P(AnB)=I, p(a\b)=1. 48. a) — ; b) - . 49. a) 0,6; b) 0,3. 6 3 3 3 5

50. a) 0,105; b) — . 51.a) i ; b ) - . 52. a) 0,5; b) 0,006. 53. a) «0,418; 11 6 7

b) «0,45. 54. a) ^ b į f ! b> 55· a> 0 '4 8ί

b) 0,56. 56. a) ; b) ^ . 57. a) 0,16 ; b) 0,25 . 58. a) 0,14; b) 0,188. 59. a) 0,4 ;

b) — . 60. a) 0,2 ; b) — . 61. a) P(A)= — , P(B)= — ; b ) P(A)=— , 24 495 W 63 w 42 w 33

= 62.a) 0,9375; b) 0,7599. 63 . . )1) 2)0,001; b) 1)

2) 0,001. 64. a) P(/l)=|> P ( s ) = j ; Ь) />(л)=у, Φ ) = | · 65. a) 0,5 ;

b) 0,8. 66. a) — , 2) 0,1; b) 1) — , 2) i . 60 20 5

67. a) b)

1 2 3 4 5 6

/5 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

0 1 2

P 1

4

1

2

1 4

68. a)

2 4 6 8 1 0 1 2

ρ 1 3 5 5 3 1

3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6

b)

X 3 5 7 9 11

ρ 2 4 6 4 2

3 6 3 6 3 6 3 6 3 6

69. a) b)

m 0 1 2

P (X = m) 1

4 5

16

4 5

2 8

4 5

m 0 1 2 3

P(X = m) O 1 3 1

P(X = m) 5 5 5

2) EX = 1,6,3) DX = - . 225

2) EX = 2 ,3) DZ = 0,4.

70. а) £ЛГ = 0, DX = 2 ; b) £ ^ = 4 , DAr = 2,5.

71. a) b)

X 0 1 2

P 1

4 5

16

4 5

2 8

4 5

X 0 1 2 3

p 1 15 3 0 10

5 6 5 6 5 6 5 6

£ЛГ = 1- , DX = — ; EX = 1- , DX = 4 — . 5 225 8 56

72. a) = 7,69, DX «8,545, о-(лг)« 2,923 ; b) = 168,55 , DX «248,95,

сг(х)« 15,78.

m 0 1 2 3

P (X = m) 4

33

5

11

12

33

2

33

m 0 1 2 3

P (X = m) 7

33

28

55

14

55

4

165

74. a) b)

m -1 2

P (X = m) 2 4

P (X = m) 6 6

m 1 -1

P (X = m) 1

2

1

2

EX = 1, DX = 3 .

75. a)

EX = O, DX = I.

b)

m 0 1 2 3 4

P (X = m) 1

16

4

16

6

16

4

16

1

16

m 0 1 2 3

P(X = m) 1

8

3

8

3

8

1

8

1 ) / ^ ) = - 1 1 , 2 ) / ^ ) = ^ . 1 ) ф ) = | , 2 ) / > ( * ) = ! .

m 2 3 4 5 6

P (X = m) 9 6 17 6 9

P (X = m) P (X = m) 100 25 50 25 100

b) m 0 2 3 4 5 6

P (X = m) 1 3 3 9 9 9

P (X = m) 1

P (X = m) 16 16 16 64 32 64

77. а) 0,92224,

EX = 2\

us 15783 b)

16807

EX = 2.

1 2 3 4 5

3 2 6 3 1

7 7 35 35 35

1 2 3 4

P 0,4 0,3 0,2 0,1

78. a) 1) m 1 3 5 7

P(X = m) 1

8

1

4

1

4

3

8

m 2 4 6 8 10 12 14

1 1 1 7 1 3 9 P(X = m) P(X = m)

64 16 8 32 4 16 64

b) l ) m 2 4 6 8

P(X = m) 1 1 1 1

P(X = m) 8 8 4 2

2) m 4 6 8 10 12 14 16

P (X = m) 1

64

1

32

5

64

3

16

3

16

1

4

I

4

79. a) 0 1 2 3

P 0,729 0,243 0,027 0,001

b) X 0 1 2 3

P 0,216 0,432 0,288 0,064

80. a) PA(p.)> /5(3), dvi partijas iš keturių; b) P4(/t >3)= 0,4752 .

X 0 1 2 3

81. a) 1 12 18 4

35 35 35 35

p ( o < x < 2 ) = -

b)

X 0 1 2 3

p 57 19 2 1

115 46 23 230

Ą X > 0 ) = J i . V ' 115

X 0 1 2 3 4

82. a) 25 30 49 24 16

144 144 144 144 144

b)

X O 1 2 3 4

P 1

36

1

9

5

7Ϊ

1

3

1

4

83. a) X 1 2 3 4 5 6

P 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

Y 1 3

2 1 P

3 3

x V x

Y X 4

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 I

9 9 9 9 9 9

3 1

18

1

18

1

Ϊ8

1

18

1

18

1

Ti

b) Ar 2 3 4

P 1

3

1

2

1

6

Y 1 2 3

1 2 1 P

6 3 6

У 2 3 4

1 1

18

1

12

1

36

2 1 2

9 3 18

3 1

Ϊ8

1

У2 1

36

84. a) 1) a = — , b= - , 2) DX = 4-; b) 1) α 3 6 9

1 1 7 = - , b = - , 2) DX = 2—,

2 6 12

85. a) 1) α = 0,3, 6 = 0,3, 2) EX = Ofi-, b ) a = 0,5, 6 = 0,2, 2) EX = S, paaiškinimas: a - nežinomos tikimybės reikšmę imkite didesniąją reikšmę.

86. a) m 1 2

P (X = m) 0,6 0,4

b)

87. a) X 1 2 3 4

10 6 3 1

20 20 20 20

m 1 2 3

P (X = m) 0,3 0,2 0,5

Y 1 2 3

11 6 3

20 20 20

v X У

Ar 1 2 3

6 3 1

20 20 20

2 3

20

2

20

1

20

3 1

20

1

20

1

20

4 I

20 0 0

b) X 0 1 2 3 4 13 10 6 2 1 32 32 32 32 32

Y 0 1 2 3 4 13 10 6 2 1 32 32 32 32 32

Y X N 4

0 I 2 3 4

0 2 4 4 2 1

0 32 32 32 32 32

1 4

32

4

32

2

32 0 0

2 4

32

2

32 0 0 0

3 2

32 0 0 0 0

4 1

32 0 0 0 0

3 3 88. a) 1) 6, 2) —, 3) lygios; b) 1) 6, 2) —, 3) mediana didesnė už modą.

89. a)

Intervalas [215; 218] [218; 221] [221; 224] [224; 227] [227; 230]

Dažnis f ι = 3 8 6 5 2

f . Santykinis dažnis — =

/I

3

24

8

24

6

24

5

24

2

24

Ą ± _7_ " 24

24 _6_

-L 24

24 _4_

J . 24 _ _

24 "_2_

JL 24

ϋ - - J > 215 218 221 224 227 230 X j

b) xi 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f , 4 5 3 5 5 3 2 3 I

Dažnis

f i 1

4

3

2

1

90. a) b)

2 J· 5

12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gautų

balų skaičius

J O

25

25

Ąfi

10 15 20 25 30 35 2 5 11 14

91. a) Moda M0 = 2,80 , mediana Md = 2,80 , kvartiliai g, = 2,69 , Q2 = 2,80 ,

Q3 = 2,84; b) AZ0 = 1,25 , Md = 1,23, Q1 = 1,22, β2 = 1,23 , Q3 = 1,25 .

92. a) 48 m2; b) 3 uždavinius.

93. a) I) Xi 19,0 19,5 20,0 20,5 21,0

f i 2 5 3 6 4 20,125,

2) M0 = 20,5, Md = 20,25 , Q1 = 19,5, Q2 = 20,25, Q1 = 20,5;

b ) l ) Xi

12 13 15 16 18 20

f i 1 1 1 4 2 1 16,

2) AZ0 =16, Md =16, g, =15, g 2 =16 , й=18 .94 .а ) »0,035;b) «0,136.

95. a) Algio χ = 50, i 2 =10, i «3,33, Beno 3Č = 50, i 2 =30, i «5,48. Geriau

skaičiavo Algis, nes jo rezultatai mažiau išsibarstę;

b) Agnius

fl 1 1

1 = 6,1, s «4,99 , 5я2,23,

Tomas xi 2 3 4 5 8 9 10

f , 1 1 2 1 3 1 1

χ = 6,1, s » 7,88 , ί я 2,81,

Domas f ,

χ = 6,1, s2 «0,99,

ί « 0,99.

Geriausiai šaudė Domas, nesjo rezultatai mažiau išsibarstę.

96. a) χ = 174,7, J2 =

97. a) -0,24 ; b) 0,22.

96. a) χ = 174,7 , j 2 =83,96, i«9,163; b)3č = 2,717, j 2 =3,552, i я 1,885.

IV. GEOMETRIJA

1. Planimetrija

1.1. Pagrindinės planimetrijos sąvokos

l .a) 2,6 cm arba 13,4 cm; b) 3,2 cm arba 15,7 cm. 2 a) 133°; b) 59°. 3. a) 50°

ir 130°; b) 102° ir 78°. 4. a) 90° ; b) 180°. 5. a) 18°, 162°, 162°; b) 60°, 120°,

120°. 6. a) 56°, 56°, 124°; b) 134°, 134°, 46°. 7. a) 73° ir 107°; b) 62° ir

118°. 8. a) 29°; b) 153°. 9. a) 16°; b) 13°. 10. a) 65° arba 115°; b) 78° arba

102°. 11. a) 74°; b) 54°. 12. a) 72°; b) 59°. 13. a) 80°; b) 60°. 14. a) 48°;

b) 50°. 15. a) 6 cm ; b) 12 cm. 16. a) 24 cm; b) 64 cm. 17. a) 3cm2; b) 12 cm2.

18. a) 27 cm2; b) IScm2 . 20. a) 72° ir 108°; b) 30° ir 150°. 21. a) 1), 2)-ne,

3)-taip; b) 1), 2), 3) - taip.

1.2. Trikampiai

3. a) 60°; b) 60°. 4.a)10cm; b )5cm. 5.a)16cm; b )3cm. 6 .a )8cm;

b) Ilcm . 7. a) AC ir BC ; b) ΔA ir Z C . 9. a) 85°; b) 123°. 10. a) 10m, 50°;

b) 12 m , 48°. 12. a) 76° ; b) 96° . 13. a) 148°; b) 120°. 14. a) 5,2 cm;

b) 6,4 cm. 15. a) 9,8 cm; b) 14,1 cm. 16. a) 5,8 cm; b) 6,3 cm. 17. a) 140°;

b) 68°. 18. a) 120°; b) 60° . 19. a) 140°; b) 115°. 20. a) 360° ; b) 180°.

21. a) 50°; b) 105°. 22. a) 61°; b) 65°. 23. a) 3,2cm ir 2,4cm; b) 20cm ir

22,5 cm. 25. a) 36cm; b) 34 |cm. 26. а) 1б| cm; b) 23 y cm. 27. a) 16 ir 14 ;

b) 2,5 ir 4,375. 28. a) 10,8 cm; b) 16,2 cm. 29. a) 3,5 cm; b) 7,5 cm.

30. a) 1:500000-1:400000; b) 320 km. 31. a) 210 m ir 25 cm; b) 1:5000 ir

230 m . 32. a) 31cm ir l,24cm;b) 65cm.33.a) 1:80000; b) 1: 20000. 34. a) 5 ;

b) 4V2. 35. a) 16 ; b) 4. 36. a) Зл/2 ; b) 4л/2 . 37. a) 16cm; b) 3,5 cm .

38. a) 12cm ; b) 8cm . 39. a) 25 cm ; b) 4 cm . 40. a) 8coscr, Ssintf; b) 7 sin/?,

7 cos/?. 41.a) 8cm, 4л/3стя, 60°; b) 10cm, 5л/з cm, 30°. 42. a-tga ,

a) « 16 m ; b) » 17 m . 43. a> — ; b) 0,6 44. a) sin A = , cos Л = —, tg/ί = л/з , 6 2 2

ctg /I = — ; b) sin A = — cos A= — , tg Λ = -- , ctg A = — . 45. a) V I ; 3 13 13 5 12

b ) V 7 . 46. а) л/67 m , m2; b) V% m , 15m2. 47. a) a 18,8 cm , 4

И 25 л/б л/2 4V6 b) « 10,9 cm . 48. a) — ; b) — . 49. a) — dm; b) — dm. 50. a) ——cm·,

112 32 3 2 3

b) л/3 cm. 51.a) «122,7m ; b) 94,9m. 52.a)6cm2; b) 2,5л/з cm2.

53. а) Юл/2 ; b) 84. 54. a) — cm2; b) 4л/з cm2 . 55. a) ; 4 3

b) 6л/2 cm. 57. a) 22,5 cm3; b) 40 cm. 58. a) 6 cm; b) 49л/з cm2. 59. a) 1^;

9 b) — . 60. a) 10,5cm; b) 15cm. 61. a) 3,6 cm ir 10cm; b) 2 cm ir 2,8 cm.

16

63. a) 3) 15°, 75° ; b) 3) 30° ir 60° . 64. a) 202,8 ; b) A

1.3. Daugiakampiai

1. a) kvadratas, 48 cm ; b) kvadratas, 10 cm. 2. a) ne ; b) taip. 3. a) 900° ; b) 720° .

4. a) 11; b) taip, 13. 5 .a) l ) 60° ir 120°, 2) 30° ir 60°;b) l ) 18° ir 72° , 2) 36°

ir 144° . 6. a) 30° ir 150° ; b) 60° ir 120° . 7. a) 32 cm ; b) 56cm . 8. a) 108° ir

72°; b) 54° ir 126°. 9. a) 48cm; b) 36 cm. 10. a) 1) 120cm2, 2) - Jmcm ;

b) 1) 10,5 cm2, 2) ^27,25 cm . 11. a) taip ; b) taip. 12. a) 1,5 cm; b) 2л/з cm.

13. a) 10 cm ; b) 4 cm . 14. a) 1) 7 cm , 2) 9л/з cm2 b) 1) 5,6 cm , 2) 3,8Λ/3 cm2 .

15. a) 60° ir 120°; b) 75° ir 105°. 16. a) 12cm ir 24cm; b) 12cm ir 32 cm.

17. a) 23 cm ; b) 40 cm . 18. a) 7-^527 cm2 ; b) 48л/з cm2. 19. a) 2 h/з cm2 ;

b) 2^ + S ) cm 2 . 20. a) 1) 15 cm2 , 2) д/б1 + 30л/з cm ; b ) l )30cm 2 ,

2) /73 + 207з cm. 21. a) 384 cm2; b) 336 cm2. 22. а) 32л/э m2; b) 98л/2 cm2.

23. a) 73,5 cm2;

»1 3

b) 2л/з <

'3

24. a) 2) 144л/з cm2 ; b) 27л/з cm2

25. а) 90- с/и2; b) 22-cm2. 26. a) 8000 mm2 ; b) 4350 mm2. 27. a) 54 cm2 :

b) 30 cm. 28. a) 8 j cm ; b) 4,8 cm. 29. a) 14 cm2; b) 24 cm2. 30. a) 90 cm2;

b) 30 cm2. 31. a) 1) 5 cm; 2) 250 cm2; b) 1) 11 cm ; 2) 162 cm2. 32. a) 2,8 cm,

17°, — ;b) 4,5cm, 15°, — . 33. a) »8,5cm;b) «1,4cm. 4 9

1.4. Apskritimas ir skritulys

2 4 8 г I . a )5cm; b) 322 лет . 2. a) 14π cm; b) 2,5 cm. З .а)—π cm; —ист ;

b ) — c m , — cm2. 4. a) 17cm; b) 5 dm. 5. a) 60°, 50°, 140°; b) 140°, 4 8

180°, 20°. 6. a) 15 cm; Ъ) 6 dm. 7. a) 100°, 160° ir 100°; b) 100°, 120° ir

140°.8. a) 13 cm ; b) 8 cm. 9. a) 4dm;b) 4 cm. 10. a) 11 cm ; b) 20 cm.

I I . a) 50° ; 130° ; b) 50° . 12. a) 117° ; b) 112° . 13. a) 30°; b) 30° . 14. a) 114° ;

b) 102° . 15. a) ZACB = 25° , ZADB = 35°; b) ZDAB = \05°. 16. a) 5 ;

Ь)6л/2. 18. a) 2) i j l cm ; b) 2) 7л/з cm. 19. а) 4л/б cm; b) 12л/з cm.

20. a) 16 cm ; b)48cm. 21.а)2л/3ст; Ь)4л/3ст. 22. a) 5 cm ; b)13cm.

23. a) 12cm; b) 36cm. 24. a) 4(1 + л/з)cm; b) lo(l + V3)cm . 25. a) 94,08cm2;

b) 216cm2. 26. a) 5 cm ir 2,5л/з cm; b) 4cm, 4cm, 4- 3 cm. 28. a) 51°, 59°,

90°; b) 114°, 53°, 66°. 29. a) 60 cm; b) 240 cm2. 30. a) 16 cm2; b) 24 cm2.

31. a) 4π cm2; b) 12π cm2.

32. a) ^p-25>/3=100

33. а) (171,125л--210)ст2; b) (l05,125π-2ΙΟ)cm2 . 34. a) 2Q ; b)

1.5. Simetrijos

5. a) ^2(2,4; — 3,7); b) 52(-5,6;3,8). 6. a) 2; jų kraštinių vidurių statmenys; b) 2;

jo įstrižainės. 7. a) (-2;-б); b) (3;-4). 8. a) 1; b) y = -\ .

\ л/Г cm2; b) 64

f π S \

6 4 V У

cm2; b) 64 i

\ 4

/

2. Stereometrija

2.1. Pagrindinės stereometrijos sąvokos

1. a) AD = 3cm , DB = 6cm; b) AD = Acm, DB = в cm. 2. a) briaunai AB

lygiagrečios briaunos yra AlBi, CD, CiDi, su briauna AB prasilenkiančios briaunos

yra CCi, DDi, AiDi, BiCi su briauna AB susikertančios briaunos yra AAi, BBi,

AD , BC; b) briaunai KKi lygiagrečios briaunos yra LLi, KNi, MMi, su briauna

KKi prasilenkiančios briaunos yra LM, LiMi, NiMi, NM, su briauna KKi

susikertančios briaunos yra KL, KiLi, KN, KiNi. 3. a) nėra; b) taip, yra.

4. a) 1) sienoms AAiDiD ir BBiCiC, 2) sienoms ABCD ir ^1S1 C1ZJ1 , 3) sienoms

AAiBiB ir CCiDiD ; b) 1) sienoms KKiNiN ir LLiMiM , 2) sienoms KLMN ir

KiLiMlNi , 3) sienoms KKiLiL ir NNiMiM . 5. a) 6 cm ; b) 13 cm . 6. a) 1) 70° ,

2)110°; b) 1) 50°, 2)130°. 7. a) 23 cm; b) 7 cm . 8. a) δ(ΐ + S )cm ;

b) 4ŲŪ + A)cm. 9. a) 7 cm; b) 8 cm. 10. a) 1,4 cm; b) 12. 11. a) 2^1 cm ;

b) 6^2 cm. 12. а) 8л/з cm; b) 20 cm. 13. a) 2yp2 cm ; b) л/2 cm. 14. a) I cm;

b) 6 cm. 15. a) 37 m; b) 2 m. 16. a) ^2 m; 2^2 m; b) S m , 2 m.

17. is) 5 cm , 3 cm, b) 3 dm. 18. а) Зл/2 cm; b) 2л/7 cm. 19. a) 30°; b) 30°.

л/2 20. a) statusis; bK-tatusis. 21. a) 1)5cm, 2) sinx = — , x«20°42';

4

b) 1) 4л/з cm , tgx = vT,5 , л = 50°46'. 22. а) - ; b) - . 8 7

2.2. Geometriniai kūnai

1.a) 1) 4л/з dm, 2) 96 dm2, 3)64 dm1; b) 1) 2 dm; 2) 2л/з dm , 3)8 dm1.

2.a)512; b) 640. 3. a) 60000 plytelių ; b) 21600 plytelių. 4. a) V9 cm ;

b) 72^3 cm2 . 5 .a )«58 kg; b) «46 kg. 6. a) 24 dm1; b) 5 dm2.

7. a) 105,6 cm3; b) ю(з + 8л/з )cm2 . 8. a) «157 cm2; b ) « 3 i . 9. a) 12л/7 cm3;

b) ^ c m 3 . 10. а) 240л/з cm2 ; b) 252л/з cm2. U .a )3 ; b) 2. 4

12. a) 4(1 + 2л/б)т2; b) 54л/з m2 . 13. a) SaŲI + г)т2 ; b) 6 a ( S + A)m2 .

14. a) 2л/J cm2 ; b) 9л/2 cm2 . 15. a) 48 cm2 ; b) 6 cm2. 16. a) 1 cm ; b) 2л/з cm2 .

17. a) 2V5 ; b) 2 л/ϊθ . 18. a) 343 cm3; b) 105cm3. 19. а) л/43 cm; b) 2л/з cm .

20. a) 2 cm2; b) 2л/з cm2 . 21. а) — о т 3 ; b) - m3. 22. a) 5 = 24+12^3 cm2, 9 4

V = 8 cm3; b) S = 12л/з сот2 , F = - ^ c m 3 . 23. а) 3) 60,75л/з cm3 ;

Ь)3) 54 сот3. 24. а) 108л/2сот2; b) 288л/з cm2. 25. а) 64- 3 сот2; b) 4-УУ сот2.

26. а) 2— от3; Ь)65сот3. 27. а) 9>/з cm3 ; Ь)12от3. 28.а)1)9от2 , 2) 12от;

b) 1) 49 от2 , 2) 28 от . 29. а) 1) 504от2, 2) 13—и; b) 1) 2016 m2 , 2) 7,2 от .

30. a) 2) SA = SyfScm , 3 )F = 80 сот3; b) 2) ^ = 13 cm, 3)К = 96сот3.

31. а) 8л/з сот2; Ь)18л/3сот2. 32. a) antrojo ; b) Л = 3, К = 54π cm3.

33. а) 5л/2 cm; b) 9л/2 cm. 34. a) 0,6π dm ; Ь)0,75тгЛт. 35. a) 270π cm2;

b) 128π сот3. 36. а) 6 ; 18 ; b) 10 ; 20. 37. a) 0,82π m2 « 2,58 от2;

b) 1,125π kg « 3,5 kg . 38. a) 17 сот; b) 7,5. 39. а) 35000от2; b) 40 от2.

40. а) 5 от ; b) 2,5т. 41. а) 85 ; b) 1680 π сот3. 42.а)24лсот2, 24лсот3;

b) 18л/2 π сот2, 18л/2лсот3. 43. а) 1) 2) 1от; b) 1) 4л/б от, 2) 2л/3от.

44. а) 13 сот , я 221,5° ; b) 180° ir «8,7 сот. 45. a) F= ' 2 ^ π сот3; b) 216°.

46. a) h я 8,3 сот , D « 11 cm ; b) h*9,2cm, D*9,\cm . 47. a) 36 ; b) 60. 48. a) 7

Зл/б

; b) -у- . 49. а) Зл/З cm; b) 3^2 </от . 51. a) 72 vežimų; b) я 191. 52. a) 500

b) | . 53. a) 192πdm2 ; b) 80лст2. 54. a) -^dmi; b) 32лет3. 55.a) 8 i/m

b) 6,25 karto . 56. а) бл/б cm ; b) Зл/б cm . 57. a) 3 сот ; b) 4 сот

58. a) 1156π cm2 ; b) 840π сот2 . 59. a) 21 n cm2 ; b) сот3

60. а) 1) > 2) 16ят2 , 3) 28π/η2; b) 1) от3, 2) 15лт2 ,3) у m3

61. а) я 15,6 cm ; b) «14,5 сот. 62. а) от3; b) 2 7 ^ 7 t сот3

63. а) Зл/З й?от ; Ь)2л/3ст. 64. а) 169,7/; b ) « l , 6 f . 65. а)

5j[Įl + V2j б 6 > а ) 0 7 5 аз b ) 1 з 67. а) —π Ri; b) -πΛ 3 sin4 «cos2 α . 6 3 8 3

68. a) « 9,4 ; b) я 22,4 .

3. Vektoriai

I. . )1) ОС , ~ĄB{, о Д , 2) B^C1 , AD, 3) BB1 , AAI, DDI

b) 1) QBI, CB , ~DA,2) JB , DC, D^I,3) ĄA, QC, Д О . 2. a) b , с , d

b) m, Q, 7 . 3.a) 1)4 ; 2)5 ; 3) JTL , 4)5 ; 5) 5л/2 ; b) 1)4 ; 2)5 ; 3) 5 ; 4) 3

5) 5л/2 . 4. a) ~AC ; b) SO. 7. a) ЛО ; b) . 9. a) +

b) 10. a) QB; b) AC . 12. a) АВ(9;-З); b)ČO(-6;9).

13. a) c(-8; 8); b) w(6;4). 14. a) 13 ; b) 25. 15. a) c(-l;-3,5; 4);

b) c(2; — 5; — 1). 16.a) p( l ;-5;4) ; b) p(-10;0;4). 17. a) m = 12, n = 8;

b) m = 12, n = - \ . 18. a) 5(-5; 5; 7); b) Л/(—2;5;З). 19. а) у[б ; b) Щ-.

20. а) -1;9 ; b) 6. 21. а) 0,7; b) -0,7. 22. а) 2;-3,6; Ь )3 ;4 . 23.а)-1;

b) -2 . 24. а) ; b) — . 25. a) VTT; b) VJT . 26. а) 6 ; b) 2. 27. а) 60° ; 13 14

b) 30°. 28. а) ё(б; 12; б); b) £(-24; 32; ЗО). 29. а) -0,5 ; b) -4. 30. а) 135° ir

arccos—įr и 18°27'; b) 90° ir arccos-^L « 71°34'. VLO VLO

V. ĮVAIRŪS UŽDAVINIA I

1. a) 1) g(x)= Iog5 χ, 2) mažiausia reikšmė 1, didžiausia reikšmė 25, 3) (1;5),

4) 1, 5) (-6; 6); b) 1) g(x)=log[ χ , 2) mažiausia reikšmė 1, didžiausia reikšmė

Д ; 3 2

16, 3) (-1;4) ,4 )-1 , [- 5; 5]. 2. a) 1)

3) 1 + e , 4) F(x)=2\N\x\+x + C, kai o l ; b) 1)

2 4 . 2) y = -—2-х + — + 1 , X0 = * 1 .

- 4; - 1 — 2

2 )y = -—x+ 1, x0 = +1, 3) 4-e, 4) F(x)=31n|x|-jt + C , kai c>4 .

3. a) 3)25min; b)3) 45min. 4. a) 2) v = 2>/6 — , 3) (l,25V6 + 5 ) km ; h v

b) 2) 6 — ; 3) XQkm . 5. a) ve (θ; 2θ]; b)ve(5;15). 6 . a ) - A , 1-^ h ; h 6 21

b) 12 — . 7. a) 15—— ; b) 20 — . 8. a) 1) 24 Lt, 2)120 Lt, 3)100 Lt; h h h

b) 1) 14 Ag, 2) 1,11%, 3) 9 kg. 9. a) 1) 1, 2) [1;3], 3) α = 8, 4) (l;oo); b) 1) 1 ,

2) [4; 10], 3)6 = 5, 4)(-oo;-l). 1 0 . a ) l ) x , 2) (-co; 5), 3)(l;co), 4)(5;l);

b ) l ) x , 2) (- со; 3) , 3) (-1; со), 4)(3;-l) . U . а) 1) (lO; з), 2) i ,

3)(-«;-l]u[l;ao), 4) (2;-l), (l0;4) ; b) 1)(-12;4), 2 ) - 1 ,

3) (-oo;-l]u[l;oo), 4)(2;-l) , (l7;8). 12. a) 1) nekerta, 2)/ ' (-2)=0,

3) (-oo;-2]u[2;oo), 4) k = 0 ; b) 1) nekerta, 2) / ' (- l )=0 , 3) (-00; - l]u[l; 00),

4) A = O. 13. a) 1) y = 2x-3, 2) F(x)=x2-3X + 2 , 3) - kv.v.; b) 1) y = 2x-4, 6

2) F(x)=x2 -4x + 3 , 3) 1-j Av. v.. 14. a) 1) /(З - χ)= 2χ*~3χ, 2)[1;2], 3)1,5;

b) 1) /(ΐ-χ)=3χ-χ2 , 2) [-1; 2], 3)0,5. 15. a) 2) α = 45°, 3)^· + ψ , keZ,

4 ) / ( | ] > / ( j ] ; b) 2) /?=30°, 3 ) ± l + Kk,keZ, 4 ) / ( д ) > / ( ^ ) ·

16. a) 1) (-2; 16), (2;-1б), 2) (-®;-2) ir (2;®), 3) [- 2; 0]u[2; 00),

4) α = 12 ; b) 1)(-1;-2), (l;2>, 2)(-oo;-l) ir (3;co), 3) [-3;0]u[3;co),

4) b = -3. 17.a) 1) y = χ2 -2x + 3 , 3)mažėja intervale (~°o;l], didėja intervale

[l;00); b) 1) y = -2x2 + 12x-19, 3)mažėja intervale [3;oo), didėja intervale

(-со; 3]. 18. a) 2) у = 13, .у = -112, 3) max/(x)=/(-l )= 13 ,

min f (χ)= /(4)= -112 , 4) 3 ; b) 2) у = - 5 , у = - 4 ,

3) max fix)= / (-1)=23, min fix)= / ( l ) =-5 , 4 )3 . 19. a) 1) tg« = 0 , [- 1; 2] w ^ v ' [- 1; 2]

2) 256 kv.v., 3) nelyginė, 4) max f(x)= / ( 2 ) = 128 , min/(x) =/(-2)=-128 ;

b) 1) Iga = 0 , 2) 44 kv. v., 3) nelyginė, 4) max/(χ)= /(2)= 22 ,

m in / (χ)=/ (-2)=-22 . 2 0 . a ) l ) 2 ) (θ; loVToo), 3)10, loVŪjo,

4 ) g ( x ) = W , Dg = ( - со; oo), Eg = (θ; со), 5 )g( l )>/ ( l ) ; b ) l ) - | ,

2) (θ; 49 V^), 3 ) 1 , 4 9 ^ 7 , 4) * ( x ) = f i j , Dg =(- oo;co), F g=(0 ;co) ,

5) g(l)> / ( l ) . 21. a) 1) dviejuose, 2) >> = -48 , 3) didėja (2; 00), mažėja ( - 0 0 ; 2 ) ;

b) l)dviejuose, 2) >> = 243, 3) didėja (-oo;-3), mažėja (-3;oo). 22. a) 2) didėja

(l ;oo), mažėja ( - 0 0 ; l ) , 3) max/ (x )= / (2 )=2 , m i n / ( x ) = / ( l ) = - | ;

b) 2) didėja ( - o o ; - 2 ) , mažėja (~2;oo) , 3) max/(x)= / ( l )= - 8 , [1;4] 4

min f(x)= / (4 )= - 96. 23. a) 1) mažiausioji reikšmė ; didžiausioji reikšmė 25,

2 ) x = 2 , >> = 25, 3 ) 2 , 3 , 4 , 4) (-oo;-5]u[5;oo); b) 1) mažiausioji reikšmė 1,

didžiausioji reikšmė 343, 2 ) x = l , y = 7 , 3 ) x = 3, 4) [— 3; 3].

24.a) 1) ^ = ( - 0 0 ^ ^ ( 0 ; «>), Ef =(-00; l)u(l;co), 2)(-«>;θ) ir (θ;α»),

3) y = - χ+ S , 4) 4In 2,5-1,5 kv. v.; b) 1) Df = ( -00; 0)u(0; 00),

Ef = ( - o o ; l ) u ( l ; o o ) , 2) (- 00; θ) ir (0 ;oo) ,3 ) >> = l,5x + 7 , 4 ) - 6 1 n | - 2 | kv.v.

-οο;12-ί , 2) y = x+4, 3)>> = -5x + 16, 4J

4) 216 kv. v.; b) 1) Df = ( - o o ; o o ) , Ef = [-4 ; o o ) , 2) >; = 2 x - 2 , 3) >> = 8 x - 4 4 ,

4) 27 kv. v.. 26. a) 1) A(- 3; θ), ΰ (-3;-4) , 2) x = - 3 , 3)1,5 kv. v., 4 ) 5 v ;

b) 1) л(-2;3), В(- 2 ;-5) , 2 ) x = - 2 , 3 ) 4 /Ы v., 4 ) ^ 2 9 .

27.a) 1) F(x)=9-x + ln(2x + 5), 3)45° , 45°, 90°;

b) 1) F(x)=4-5x + 3ln(2x + 3), 3) 45°, 45° , 90°.

28. a) 3) F ( j c ) = ; c + — _ _ L 4) ( 0 ; o o ) ; b) 3) F ( x ) = x + — - — , 4) ( θ ; ο ο ) .

I6x 16 49л: 49 v '

29. a) 1) 42,42,40, 2)/ (6 ,5) = 42,25, 3) n = 6 arba n = 7 ; b) 1) 56,56,54,

2)/(7,5)=56,25, 3) n = 7 arba и = 8. 30. a) 1) = 1, 2)q = 2, 3)/1 = 10;

b) 1) a, 2) i/ = i , 3) // = 100. 31. а) 1) 5 % , 2) 740,88 Lt , 3) ' 5 · ^ % ;

b) 1) 5 % , 2) 926,1 Lt, 3) 126,1 Lt. 32. а) 1) ЛЯО£>, ΛΟ£>, ABOCD , /fOCD,

3)

25. а) 1) Df = (- oo; αο), £ .

m 10 12 14

"о

Il 3. 1

4

1

2

1

4

m 24 26 30

Il

1

7

2

7

4

7

4) EY = 28. 33.a)2) 3-jm, 3) IOOm3; b ) 2 ) 5m , 3) 250m3.

34.8)3) AA1 =E^t 5) V = A IcuI, v j b )3) MMx = Sb , 5) V = 4Skub.v.. 3 81

35. a) 1) /1С, 2) smailusis lygiašonis, 3)32, 4)8, 5)9,6; b) 1) MP, 2) smailusis

lygiašonis, 3) 6 + 4-/29 , 4) 5V2 ,5) VT07 .

36. a) 3 15 b) 7 2 4 3 χ χ

4 1 2 9

3 1 5 6 5 18 7

12 6 0 14 4 8 6

1 2 9 1 5 2 1 0 0 4 7

37. a) 9-tą dieną ; b) 9-tą dieną. 38. a) Skruzdė mažiau laiko sugaišo eidama į

svečius negu grįždama atgal; b) Grįždama atgal musė sugaišo daugiau laiko negu

eidama į svečius. 39. a) Deimantei 5 metai, Baliui 8 metai, Agnei 13 metų, Gretai 15

metų; b) Aisčiui 7 metai, Benui 16 metų, Daivai 14 metų, Godai 12 metų, Karoliui 3

metai. 40. a) 9; b) 32 . 41. a) 63; b) 66. 42. a) 120; b) 100. 43. a) 1300000 Zf,

b) 1170000 Lt. 44. a) 60 m ; b) 3 m. 45. a) Motorinė valtis grįždama atgal sugaišo

daugiau laiko; b) Motorinė valtis grįždama atgal sugaišo daugiau laiko.

Vaidotas Mockus, Petrė Grebeničenkaitė,

Vincas Tamašauskas, Irena Baranauskienė

MOKYKLINĖS MATEMATIKOS TEMINIO KARTOJIMO

UŽDUOTYS, ATITINKANČIOS BRANDOS EGZAMINO

PROGRAMĄ

* * *

2004 07 22 27,4 leidyb. apsk. 1. Užsakymo Nr. 4002.

Išleido Vaidoto Mockaus įmonė, A.Mickevičiaus g. 3Γ, 5400 Šiauliai.

Spausdino AB „Titnago" spaustuvė, Vasario 16-osios g. 52, 5400 Šiauliai.

Kaina sutartinė

ISBN 9955-632-00-3

S / SSS*)*/ U J iUUO

mokyklines matematikos teminio kartojimo uzduotys

Documents