modulo 8: funciones de produccion y tecnologia
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Módulo 8
Funciones de producción y tecnologíatecnología
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Tecnologíasg
Una tecnología es un proceso por el cuallos insumos se convierten en productolos insumos se convierten en productoEj.: trabajo, computadora, proyector, electricidad, y software se combinan paraproducir estas notas de clasep
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Tecnologíasg
Generalmente varias tecnologíasproducirán el mismo producto – unproducirán el mismo producto un pizarrón y tiza pueden utilizarse en vezde comp tadora pro ectorde computadora y proyector¿Cuál es la “mejor” tecnología?¿ j g¿Cómo se comparan las tecnologías?
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Cestas de insumos
xi denota la cantidad utilizada de insumoi; i e el nivel de insumo Ii; i.e. el nivel de insumo IUna cesta de insumo es un vector de niveles de insumo; (x1, x2, … , xn)Ej. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9×3).Ej. (x1, x2, x3) (6, 0, 9 3).
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Funciones de producciónp
y denota el nivel de productoLa tecnología de la función de producciónLa tecnología de la función de producciónmuestra la cantidad máxima de productoposible de una cesta de insumo,
)(f ),,( 1 nxxfy L=
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Funciones de producciónpUn insumo, un producto
y = f(x) es lafunción de
Nivel productou c ó de
produccióny’’ f( ’) es el prod ctoy’ = f(x’) es el producto
máximo que se obtiene de las distintas unidades delas distintas unidades de insumos x
x’ xNivel insumo
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Conjuntos tecnológicosj g
Un plan de producción es una cesta deUn plan de producción es una cesta de insumo y un nivel de producto; (x1, … , xn, y)Un plan de producción es posible si
)(f≤El conjunto de todos los planes de producción
),,( 1 nxxfy L≤
posibles es el conjunto tecnológico
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Conjuntos tecnológicosUn insumo, un producto
j g
y = f(x) es lafunción de producción
Nivel producto
produccióny’ y’ = f(x’) es el nivel máximo de
producto que se puede obtener de x’ unidades de insumo
y”insumoy” = f(x’) es el nivel de producto que es asequible
x’ x
p q qcon x’ unidades de insumo
Nivel insumo
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Conjuntos tecnológicos
El conjunto tecnológico es
j g
El conjunto tecnológico es
}),,(|),,,{( 11 ≤= nn xxfyyxxT LL
}.0,,01 ≥≥ nxx K
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Conjuntos tecnológicosUn insumo, un producto
j g
Nivel producto
y’
El conjuntotecnológico
y”tecnológico
x’ xNivel insumo
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Conjuntos tecnológicosUn insumo, un producto
j g
Nivel productoPlanes
y’técnicamente eficientes
El conjuntotecnológicoPly”tecnológicoPlanes
técnicamentei fi i t
x’ xineficientes
Nivel insumo
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Tecnologías con múltiples insumosg p
¿Cómo se ve una tecnología cuando hay más de un insumo?más de un insumo?El caso de dos insumos: los niveles de insumo son x1 y x2. El nivel del productoes yySupongamos que la función de producción esproducción es
.2),( 3/12
3/1121 xxxxfy == ),( 2121fy
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Tecnologías con múltiples insumosE.g. el nivel máximo de producto posible
g p
dada la cesta de insumos(x1, x2) = (1, 8) es( 1, 2) ( , )
.42128122 3/13/13/12
3/11 =××=××== xxy
Y el máximo nivel posible de producto.42128122 21 ××××xxy
dada la cesta (x1,x2) = (8,8) es
.82228822 3/13/13/12
3/11 =××=××== xxy 21y
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Tecnologías con múltiples insumos
P d t
g p
Producto, y
xx2
(8 1)(8,8)
x1
(8,1)
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Tecnologías con múltiples insumosg p
La isocuanta y es el conjunto de todas lascestas de insumo que resultan en unacestas de insumo que resultan en unacantidad dada de producción
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Isocuantas con dos insumos variablesx2
y ≡ 8
y ≡ 4y ≡ 4
x1
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Isocuantas con dos insumos variables
Las isocuantas pueden graficarseagregando un eje denominado nivel deagregando un eje denominado nivel de producto y mostrando cada isocuanta a la alt ra del ni el de prod cto de laaltura del nivel de producto de la isocuanta
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Isocuantas con dos insumos variables
P d tProducto, y
y ≡ 8
y ≡ 4x2y ≡ 4
x1
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Isocuantas con dos insumos variables
Más isocuantas nos dice más acerca de la tecnologíatecnología
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Isocuantas con dos insumos variablesx2
y ≡ 8
y ≡ 4
y ≡ 6
y
x1
y ≡ 2
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Isocuantas con dos insumos variables
P d tProducto, y
y ≡ 8
y ≡ 4
y ≡ 6
x2y ≡ 4
y ≡ 2
x1
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Isocuantas con múltiples insumos
La colección completa de isocuantas es el
p
La colección completa de isocuantas es el mapa de isocuantasEl mapa de isocuantas es equivalente a la función de producciónu c ó de p oducc óE.g.
3/13/12)( xxxxfy 2121 2),( xxxxfy ==
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Isocuantas con múltiples insumosx2
p
x1y
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Isocuantas con múltiples insumosx2
p
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumos
x
p
x2
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
x2
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
x2
yy
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
x2
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
yy
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
yy
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
yy
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
yy
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Isocuantas con múltiples insumosp
y
x1
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Tecnologías Cobb-Douglasg g
Una función de producción Cobb-Douglas tiene la formaDouglas tiene la forma
.2121
nan
aa xxxAy ××= L
E.g. 3/13/1 xxy =con
21 xxy =112 === aAn
1
,3
,1,2 1 === aAn
.31
2 =a
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Tecnologías Cobb-Douglasx2
Todas las isocuantas son
g g
Todas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero
t d l jnunca tocando el eje21
21aa xxy = 21y
x1
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Tecnologías Cobb-Douglasx2
g g
Todas las isocuantas sonTodas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero
t d l jnunca tocando el eje21
21aa xxy = 21 xxy
"2121 yxx aa =
x1
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Tecnologías Cobb-Douglasx2
g g
Todas las isocuantas sonTodas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero
t d l jnunca tocando el eje
21 aa 2121aa xxy =
'2121 yxx aa =
"2121 yxx aa =
x1
21 yxx =
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Tecnologías Cobb-Douglasx2
g g
Todas las isocuantas sonTodas las isocuantas son hiperbólicas, asíntota a, pero
t d l jnunca tocando el eje21
21aa xxy =
>
"aa
"y 'y
'2121 yxx aa =
"2121 yxx aa =
x1
21 y
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Tecnologías de proporciones fijasg p p j
Una función de producción de proporciones fijas tiene la formaproporciones fijas tiene la forma
}.,,,min{ 2211 nnxaxaxay L=
E.g. }2i {g
con}2,min{ 21 xxy =
.2,1,2 21 === aan
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Tecnologías de proporciones fijasx2
g p p j}2,min{ 21 xxy =
2
x1 = 2x2
min{x1 2x2} = 147
x1 2x2
min{x1,2x2} 14
247
min{x1,2x2} = 8min{x 2x } = 4
x14 8 142 min{x1,2x2} = 4
![Page 46: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/46.jpg)
Tecnologías de sustitutos perfectosg p
Una producción con sustitutos perfectos tiene la formatiene la forma
.2211 nnxaxaxay +++= L
E.g.
2211 nny
3con
21 3xxy +=
.3,1,2 21 === aan
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Tecnologías de sustitutos perfectosx2
g p21 3xxy +=
2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
8x1 + 3x2 = 48
36 Todas son lineales y
paralelas9 18 24 x1
paralelas
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Productos (físicos) marginales( ) g),,( 1 nxxfy L=
El producto marginal del insumo I es la tasa de cambio del nivel del producto a medida que elcambio del nivel del producto a medida que el nivel del insumo i cambia, manteniendoconstantes todos los demás niveles de insumoconstantes todos los demás niveles de insumoEs decir,
y∂
ii x
yMP∂∂
=
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Productos (físicos) marginales
E g si
( ) g
E.g. si3/2
23/1
121 ),( xxxxfy ==entonces el producto marginal del insumo1 es1 es
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Productos (físicos) marginales
E g si
( ) g
E.g. si3/2
23/1
121 ),( xxxxfy ==
entonces el producto marginal del insumo1 es1 es
3/22
3/211
1 xxyMP −==∂
211
1 3xx
xMP
∂
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Productos (físicos) marginales
E g si
( ) g
E.g. si3/2
23/1
121 ),( xxxxfy ==
entonces el producto marginal del insumo1 es1 es
3/22
3/21
11 3
1 xxxyMP −==
∂∂
y el producto marginal del insumo 2 es1 3x∂
y p g
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Productos (físicos) marginales
E g si
( ) g
E.g. si3/2
23/1
121 ),( xxxxfy ==
entonces el producto maginal del insumo1 es1 es
3/22
3/21
11 3
1 xxxyMP −==
∂∂
y el producto marginal del insumo 2 es1 3x∂
2∂ .32 3/1
23/1
12
2−== xx
xyMP
∂∂
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Productos (físicos) marginales
Generalmente el producto de un
( ) g
Generalmente el producto de uninsumo depende de la cantidad utilizada de otros insumos E g siotros insumos. E.g. si
entonces,3/22
3/211 3
1 xxMP −= ,
si x2 = 8,
211 33/2
13/23/2
11 348
31 −− == xxMP
y si x2 = 27 entonces2 33
1 .32731 3/2
13/23/2
11−− == xxMP
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Productos (físicos) marginales( ) g
El producto marginal del insumo i esdecreciente si éste es más pequeño adecreciente si éste es más pequeño a medida que el nivel de insumo i se incrementa Es decir siincrementa. Es decir, si
02
i yyMP ∂∂∂∂
.02 <=
=
iiii
i
xy
xy
xx ∂∂
∂∂
∂∂
∂
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Productos (físicos) marginales
E.g. si entonces
( ) g3/2
23/1
1 xxy =
y
E.g. si entonces3/2
23/2
11 31 xxMP −= 3/1
23/1
12 32 −= xxMP
21y
y211 3 212 3
![Page 56: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/56.jpg)
Productos (físicos) marginales
E.g. si entonces
( ) g3/23/1 xxy =
y
E.g. si entonces3/2
23/2
11 31 xxMP −= 3/1
23/1
12 32 −= xxMP
21 xxy =
yentonces
211 3 212 3
092 3/2
23/5
11 <−= − xx
xMP
∂∂
91x∂
![Page 57: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/57.jpg)
Productos (físicos) marginales
E.g. si entonces
( ) g3/2
23/1
1 xxy =
y
E.g. si entonces3/2
23/2
11 31 xxMP −= 3/1
23/1
12 32 −= xxMP
21 xxy
yentonces
211 3 212 3
092 3/2
23/5
11
1 <−= − xxxMP
∂∂
y91x∂
02 3/43/12 <−= −xxMP∂ .09 21
2
<−= xxx∂
![Page 58: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/58.jpg)
Productos (físicos) marginales
E.g. si entonces
( ) g3/2
23/1
1 xxy =
y
E.g. si entonces3/2
23/2
11 31 xxMP −= 3/1
23/1
12 32 −= xxMP
21y
y
entonces3 3
2MP∂ 092 3/2
23/5
11
1 <−= − xxxMP
∂∂
y.0
92 3/4
23/1
12 <−= −xxMP
∂∂
Ambos productos marginales son 92x∂
p gdecrecientes
![Page 59: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/59.jpg)
Retornos a escalaLos productos marginales describen el cambio en el nivel de producto a medidaque el nivel de un único insumo cambiaqLos retornos a escala describen cómocambia el ni el de prod cto a medida q ecambia el nivel de producto a medida quecambian todos los niveles de insumo en proporción directa (e.g. se duplican todoslos niveles de insumos))
![Page 60: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/60.jpg)
Retornos a escala
Si para cualquier cesta de insumosSi, para cualquier cesta de insumos(x1,…,xn),
entonces la tecnología descrita por la),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL =
entonces la tecnología descrita por lafunción de producción f exhibe retornos
t t lconstantes a escalaE.g. (k = 2) duplicando todos los niveles deinsumos se duplica el nivel de producto
![Page 61: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/61.jpg)
Retornos a escalaUn insumo, un producto
f( )
Nivel producto
y = f(x)2y’
y’Retornosconstantes ay constantes a escala
x’ x2x’Nivel insumo
![Page 62: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/62.jpg)
Retornos a escala
Si para cualquier cesta de insumosSi, para cualquier cesta de insumos(x1,…,xn),
entonces la tecnología exhibe retornos),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL <
entonces la tecnología exhibe retornosdecrecientes a escalaE (k 2) d li d d l i l dE.g. (k = 2) duplicando todos los niveles deinsumos hace que se incremente el nivel del producto en menos del doble
![Page 63: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/63.jpg)
Retornos a escalaUn insumo, un producto
Nivel producto
y = f(x)
f(2 ’)
2f(x’)
f(x’)
f(2x’) Retornos decrecientesa escalaf(x ) a escala
x’ x2x’Nivel insumo
![Page 64: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/64.jpg)
Retornos a escala
Si para cualquier cesta de insumosSi, para cualquier cesta de insumos(x1,…,xn),
entonces la tecnología exhibe retornos
),,,(),,,( 2121 nn xxxkfkxkxkxf LL >
entonces la tecnología exhibe retornoscrecientes a escalaE.g. (k = 2) duplicando todos los nivelesde insumos incrementa el nivel del producto en más del doble
![Page 65: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/65.jpg)
Retornos a escalaUn insumo, un producto
Nivel producto
Retornos crecientesy = f(x)
f(2 ’)
Retornos crecientesa escala
f(2x’)
f(x’)2f(x’)
x’ x
f(x )
2x’Nivel insumo
![Page 66: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/66.jpg)
Retornos a escala
Una única tecnología puede exhibir‘localmente’ diferentes retornoslocalmente diferentes retornoscrecientes a escala
![Page 67: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/67.jpg)
Retornos a escalaUn insumo, un producto
Nivel producto
y = f(x)Retornos i t lcrecientes a escala
Retornos decrecientes a escala
xNivel insumo
![Page 68: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/68.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de sustitutospperfectos es
xaxaxay +++= L
Expandiendo todos los niveles de insumos.2211 nn xaxaxay +++= L
proporcionalmente por k. El nivel de producto esp
)()()( 2211 nn kxakxakxa +++ L
![Page 69: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/69.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de sustitutospperfectos es
.2211 nn xaxaxay +++= L
Expandiendo todos los niveles de insumos
.2211 nn xaxaxay
proporcionalmente por k. El nivel de producto esp
)()()()(
2211
2211 nn
xaxaxakkxakxakxa
+++=+++
L
L
)( 2211 nn xaxaxak +++
![Page 70: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/70.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de sustitutos
j p
perfectos es.2211 nn xaxaxay +++= L
Expandiendo todos los niveles de insumosproporcionalmente por k. El nivel de producto es
)()()( 2211 kxakxakxa nn+++ L
)( 2211
2211
kyxaxaxak nn
nn
=+++= L
La función de producción de sustitutosf hib l
.ky=
perfectos exhibe retornos constantes a escala
![Page 71: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/71.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de complementos
j pp p
perfectos es}min{ xaxaxay L=
Expandiendo todos los niveles de insumos}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay L=
proporcionalmente por k. El nivel de producto esp
)}(,),(),(min{ 2211 nn kxakxakxa L
![Page 72: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/72.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción de complementos
j pp p
perfectos es}min{ xaxaxay L=
Expandiendo todos los niveles de insumos}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay =
proporcionalmente por k. El nivel de producto esp
)}(,),(),(min{ 2211 nn kxakxakxa L
}),,,(min{ 2211 nn xaxaxak L=
![Page 73: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/73.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción de complementosperfectos es
}.,,,min{ 2211 nn xaxaxay L=
Expandiendo todos los niveles de insumosproporcionalmente por k. Tenemosproporcionalmente por k. Tenemos
})(min{)}(,),(),(min{ 2211
xaxaxakkxakxakxa nn
= L
L
L f ió d d ió d l t.
}),,,(min{ 2211
kyxaxaxak nn
== L
La función de producción de complementosperfectos exhibe retornos constantesa escala
![Page 74: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/74.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaLa función de producción Cobb-Douglas es
j pp g
E di d t d l i.21
21nan
aa xxxy L=Expandiendo todos los insumos proporcionalmente por k. El nivel deproducto es
aaa nan
aa kxkxkx )()()( 2121 L
![Page 75: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/75.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
E di d t d l i.21
21nan
aa xxxy L=Expandiendo todos los insumos proporcionalmente por k. El nivel deproducto es
nan
aa kxkxkx L21 )()()( 21
nn aaaaaa
n
xxxkkk LL 2121
)()()( 21
=
![Page 76: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/76.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
E di d t d l i.21
21nan
aa xxxy L=Expandiendo todos los insumos proporcionalmente por k. El nivel deproducto es
nan
aa kxkxkx L2121 )()()(
nn
nn
aaaaaa
aaaaaa
k
xxxkkk LLL 2121
2121
+++
=nn an
aaaaa xxxk L212121
+++=
![Page 77: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/77.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
E di d t d l i.21
21nan
aa xxxy L=Expandiendo todos los insumos proporcionalmente por k. El nivel deproducto es
)()()( 2121 kxkxkx naaa L )()()(
2121
21
xxxkkk
kxkxkxnn aaaaaa
n
= LL
1
212121
k
xxxk nn
aa
an
aaaaa
++
+++=L
L L
.1 yk naa ++=
![Page 78: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/78.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
.2121
nan
aa xxxy L=
L l d l l í.)()()( 121
21 ykkxkxkx nn aaan
aa ++= LL
Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas esconstante si a1+ … + an = 1
![Page 79: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/79.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
.2121
nan
aa xxxy L=
L l d l l í.)()()( 121
21 ykkxkxkx nn aaan
aa ++= LL
Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas es constante si a1+ … + an = 1creciente si a1+ … + an > 1creciente si a1 … an 1
![Page 80: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/80.jpg)
Ejemplos de retornos a escalaj pLa función de producción Cobb-Douglas esp g
.2121
nan
aa xxxy L=
L l d l l í.)()()( 121
21 ykkxkxkx nn aaan
aa ++= LL
Los retornos a escala de la tecnologíaCobb-Douglas esconstante si a1+ … + an = 1creciente si a1+ … + an > 1creciente si a1 … an 1decreciente si a1+ … + an < 1.
![Page 81: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/81.jpg)
Retornos a escala
P: ¿Puede una tecnología exhibirretornos crecientes a escala incluso siretornos crecientes a escala incluso sitodos sus productos marginales son decrecientes?decrecientes?
![Page 82: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/82.jpg)
Retornos a escala
P: ¿Puede una tecnología exhibirretornos crecientes a escala incluso siretornos crecientes a escala incluso sitodos sus productos marginales son decrecientes?decrecientes?R: SíE.g.
.3/22
3/21 xxy = .21 xxy
![Page 83: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/83.jpg)
Retornos a escala21
213/2
23/2
1aa xxxxy ==
esta tecnología exhibe2121y
134
21 >=+ aaretornos crecientes a escala3
![Page 84: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/84.jpg)
Retornos a escala21
213/2
23/2
1aa xxxxy ==
esta tecnología exhibe1421 >=+ aa esta tecnología exhibe
retornos crecientes a escala321
2Pero disminuye a medida
i t
3/22
3/111 3
2 xxMP −=
que x1 se incrementa
![Page 85: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/85.jpg)
Retornos a escala21
213/2
23/2
1aa xxxxy ==
esta tecnología exhibe
2121y
14>=+ aa esta tecnología exhibe
retornos crecientes a escala1
321 >=+ aa
2Pero disminuye a medida
i t
3/22
3/111 3
2 xxMP −=
disminuye a medidaque x1 se incrementa y
3/12
3/212 3
2 −= xxMP y
que x2 se incrementa212 3
![Page 86: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/86.jpg)
Retornos a escala
Por lo tanto, una tecnología puedeexhibir retornos crecientes a escalaexhibir retornos crecientes a escalaincluso si todos sus productos marginalesson decrecientes ¿Por q é?son decrecientes. ¿Por qué?
![Page 87: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/87.jpg)
Retornos a escala
El PMg es la tasa de cambio del productoEl PMg es la tasa de cambio del productoa medida que se incrementa el nivel del i id d t i d fijinsumo en una unidad, manteniendo fijostodos los demás insumosLos PMgs disminuyen porque los otrosinsumos son fijos por lo que elinsumos son fijos, por lo que el incremento tiene cada vez menos de los otros ins mos con los c ales trabajarotros insumos con los cuales trabajar
![Page 88: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/88.jpg)
Retornos a escala
Cuando todos los niveles de insumos seCuando todos los niveles de insumos se incrementan proporcionalmente, no
i t h di i ió dnecesariamente hay una disminución de los productos marginales dado que cadainsumo siempre tendrá la mismacantidad de los otros insumos con los cuales trabajar. Las productividades de los insumos no caerían y los retornos alos insumos no caerían y los retornos a escala pueden ser constantes o crecientes
![Page 89: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/89.jpg)
Tasa de sustitución técnica
¿A qué tasa una firma puede sustituir un insumo por otro sin cambiar su nivel deinsumo por otro sin cambiar su nivel de producto?
![Page 90: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/90.jpg)
Tasa de sustitución técnica
x2
'2x
y≡100
x1'
1x
![Page 91: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/91.jpg)
Tasa de sustitución técnicaLa pendiente es la tasa a la cual se
x2 debe renunciar el insumo 2 a medidaque se incrementa el nivel del insumo 1 para no cambiar el niveldel producto. La pendiente de unaisocuanta es su tasa de sustitucióntécnica
'2x
y≡100
x1'1x
![Page 92: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/92.jpg)
Tasa de sustitución técnica
¿Cómo se obtiene la tasa de sustitucióntécnica?técnica?
![Page 93: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/93.jpg)
Tasa de sustitución técnica
¿Cómo se obtiene la tasa de sustitucióntécnica?técnica?La función de producción es ).,( 21 xxfy =Un cambio pequeño (dx1, dx2) en la cestade insumos causa un cambio en el nivel dede insumos causa un cambio en el nivel de producto igual a
∂∂ .22
11
dxxydx
xydy
∂∂
∂∂
+=21
![Page 94: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/94.jpg)
Tasa de sustitución técnica
21 dxydxydy ∂∂+=
P d 0 d d h bi
.22
11
dxx
dxx
dy∂∂
+
Pero dy = 0 dado que no hay cambios en el nivel de producto, por lo que los cambios dx1 y dx2 en los niveles de losinsumos deben satisfacerinsumos deben satisfacer
0 dxydxy ∂∂+= .0 2
21
1
dxx
dxx ∂∂
+=
![Page 95: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/95.jpg)
Tasa de sustitución técnica
0 dxydxy ∂∂+= 2
21
1
0 dxx
dxx ∂∂
+=
re-ordenandoyy ∂∂
11
22
dxxydx
xy
∂∂
∂∂
−=
entonces/ 12 xydx ∂∂ .//
2
1
1
2
xyxy
dxdx
∂∂∂∂
−=
![Page 96: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/96.jpg)
Tasa de sustitución técnica12 / xydx ∂∂
−=
l t l l d b i l21 / xydx ∂∂
es la tasa a la cual debe renunciarse el insumo 2 a medida que el insumo 1 se incrementa para mantener el nivel del producto constante. Es la pendiente de lap pisocuanta
![Page 97: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/97.jpg)
Tasa de sustitución técnica; j l C bb D lun ejemplo Cobb-Douglas
baf )(entonces
baxxxxfy 2121 ),( ==entonces
yba xaxy 1−=∂ 1−= baxbxy∂y
La tasa de sustitución técnica es
xaxx 21
1
=∂
.212
= xbxx∂
La tasa de sustitución técnica es
/ 221
112 axxaxxydx ba−∂∂ ./ 1
21
21
21
2
1
1
2
bxxbxxyy
dx ba −=−=−= −∂∂
![Page 98: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/98.jpg)
Tasa de sustitución técnica; j l C bb D l
x2
un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 bd
)3/1(33
;3/22
3/11 === bandaxxy
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxaxTRS −=−=−=
111 )(
x1
![Page 99: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/99.jpg)
Tasa de sustitución técnica; j l C bb D l
x2
un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 bd
)3/1(33
;3/22
3/11 === bandaxxy
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxaxTRS −=−=−=
81
428
22 −=
×−=−=
xxTRS
8 422 1 ×x
x14
![Page 100: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/100.jpg)
Tasa de sustitución técnica; j l C bb D l
x2
un ejemplo Cobb-Douglas213/23/1 b
)3/1( xxax33
;3/22
3/11 === byaxxy
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxaxTRS −=−=−=
111 )(162 −=−=−=
xTRS6
41222 1 ×xTRS
x112
![Page 101: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/101.jpg)
Tecnologías con buen comportamientog p
Una tecnología con buen comportamientoeses
monotónica, y, yconvexa
![Page 102: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/102.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,monotonicidad
Monotonicidad: más de cualquierinsumo genera más productoinsumo genera más producto
y ymonotónica
nomonotónica
x xx x
![Page 103: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/103.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,id dconvexidad
Convexidad: si la cesta de insumos x’ y x” proveen y unidades de productox proveen y unidades de productoentonces la mezcla tx’ + (1-t)x” provee al menos nidades de prod cto paramenos y unidades de producto, paracualquier 0 < t < 1
![Page 104: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/104.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,id d
xconvexidad
x2
'2x
y≡100"2x
x1'1x
"1x
![Page 105: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/105.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,id d
xconvexidad
x2
'2x
( )"2
'2
"1
'1 )1(,)1( xttxxttx −+−+
y≡100"2x
x1'
1x "1x
![Page 106: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/106.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,id d
xconvexidad
x2
( )'2x
( )"2
'2
"1
'1 )1(,)1( xttxxttx −+−+
y≡100y≡120"
2x
x1'
1x "1x
![Page 107: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/107.jpg)
Tecnologías con buen comportamiento,id d
x Convexidad implica que la TMSconvexidad
x2 Convexidad implica que la TMSse incrementa (es menos
ti ) didnegativa) a medida que x1se incrementa
'2x
"2x
x1'
1x "1x
![Page 108: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/108.jpg)
Tecnologías con buen comportamientog p
x Mayor productox2y p
y≡200y≡100y≡50
y≡200
x1
y
![Page 109: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/109.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
El largo-plazo es la circunstancia en el cual una firma no está restringida en suscual una firma no está restringida en suselecciones de todos los niveles de insumosHay muchos corto plazo posiblesEl corto plazo es una circunstancia en laEl corto plazo es una circunstancia en la cual una firma está restringida de algunaforma en la elección de al menos el nivelforma en la elección de al menos el nivelde un insumo
![Page 110: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/110.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
Ejemplos de restricciones que tienenlugar en el corto plazo de una firma:g p
no disponible temporalmente parainstalar cambiar maquinariasinstalar, cambiar, maquinariascompromiso para cumplir con la leycon respecto al ambiente de trabajo
![Page 111: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/111.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
Una forma útil de pensar en el largo plazo es que la firma puede escoger comoplazo es que la firma puede escoger comoasí lo requiera en qué situación de cortopla o estarplazo estar
![Page 112: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/112.jpg)
El corto y el largo plazo
¿Qué implican las restricciones de corto
y g p
¿Qué implican las restricciones de cortoplazo para la tecnología de la firma?S l i ió dSupongamos que la restricción de cortoplazo es fija en el nivel de insumo 2El insumo 2 es por tanto un insumo fijoen el corto plazo Insumo 1 permaneceen el corto plazo. Insumo 1 permanecevariable
![Page 113: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/113.jpg)
El corto y el largo plazox2
y g p
x1y
![Page 114: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/114.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
x2
x1y x1y
![Page 115: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/115.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
xx2
x1y
x1
![Page 116: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/116.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
x2
xy
x1
![Page 117: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/117.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
x2
y
x1
![Page 118: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/118.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
xx2
y
x1
![Page 119: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/119.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
x2yy
x1
![Page 120: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/120.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
x2y
2
x1
![Page 121: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/121.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
y
x2
x1
![Page 122: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/122.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
y
x2 x1
![Page 123: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/123.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
y
x1
![Page 124: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/124.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
y
x1
![Page 125: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/125.jpg)
El corto y el largo plazoy g p
y
x1
4 funciones de producción de corto plazo
![Page 126: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/126.jpg)
El corto y el largo plazo
l f ió d d ió d
El corto y el largo plazo3/13/1 xxy = es la función de producción de
largo plazo (x1 y x2 son variables)21 xxy =
La función de producción de corto plazod º 1cuando x2 º 1 es
.1 3/11
3/13/11 xxy ==
La función de producción de corto plazod º 10
11
cuando x2 º 10 es.15,210 3/1
13/13/1
1 xxy ==
![Page 127: Modulo 8: Funciones de produccion y tecnologia](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052217/558cc503d8b42aca608b45b7/html5/thumbnails/127.jpg)
El corto y el largo plazoy g p3/13/1
1 10xy = 1 10xy3/13/1
1 5xy = 1y3/13/1
1 2xy =y 3/13/1
1 1xy =
x1
4 funciones de producción de corto plazo