mÓdulo 1_1

BETO ARMADO E PR-ESFORADO II

FOLHAS DE APOIO S AULAS

MDULO 1 - PR-ESFORO

Carla Marcho Jlio Appleton

Ano Lectivo 2004/2005

NDICE

1. INTRODUO ................................................................................................................... 1

1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO................................................................. 1

2. TCNICAS E SISTEMAS DE PR-ESFORO .................................................................. 1

2.1. PR-ESFORO POR PR-TENSO.................................................................................... 1 2.2. PR-ESFORO POR PS-TENSO.................................................................................... 1

3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PR-ESFORO.................................................. 2

3.1. ARMADURAS DE PR-ESFORO....................................................................................... 2 3.2. ANCORAGENS DE PR-ESFORO..................................................................................... 3 3.3. BAINHAS DE PR-ESFORO ............................................................................................ 3 3.4. SISTEMAS DE INJECO................................................................................................. 3

4. EFEITO DO PR-ESFORO ............................................................................................. 4

5. PR-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PR-ESFORADO .............................. 5

5.1. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO............................................................................... 5 5.2. TRAADO DO CABO........................................................................................................ 5

5.2.1. Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo............... 5 5.3. PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL ............................................... 6

6. CARACTERSTICAS DOS TRAADOS PARABLICOS............................................... 13

6.1. EQUAO DA PARBOLA .............................................................................................. 13 6.2. DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS................... 14 6.3. DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO....... 14

7. CARGAS EQUIVALENTES DE PR-ESFORO............................................................. 15

7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES).......................................................................... 15 7.2. ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO ............................................................................ 15 7.3. DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES ................................................................ 15

7.3.1. Zona das ancoragens........................................................................................ 15 7.3.2. Traado parablico............................................................................................ 16 7.3.3. Traado poligonal.............................................................................................. 16

8. VALOR DA FORA DE PR-ESFORO......................................................................... 21

8.1. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO ............................................................................. 21 8.2. PERDAS DE PR-ESFORO ........................................................................................... 21

8.2.1. Perdas por Atrito ............................................................................................... 22 8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)............................................. 23 8.2.3. Perdas por deformao instantnea do beto................................................... 24 8.2.4. Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo ............................... 24 8.2.5. Perdas por retraco do beto .......................................................................... 29 8.2.6. Perdas por fluncia do beto............................................................................. 29 8.2.7. Perdas por relaxao da armadura ................................................................... 29

9. VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITE LTIMOS........................... 33

9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO ............................................................................... 33 9.2. ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO ........................................................ 34

10. VERIFICAO DA SEGURANA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ...................... 39

10.1. VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO ........................................... 39 10.2. DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS .................. 40

10.2.1. Modelos de escoras e tirantes........................................................................... 40 10.2.2. Tenses de traco a absorver ......................................................................... 41

Beto Armado e Pr-Esforado II

MDULO 1 Pr-Esforo 1

1. Introduo 1.1. VANTAGENS DA UTILIZAO DO PR-ESFORO

Vencer vos maiores

Maiores esbeltezas

Diminuio do peso prprio

Melhoria do comportamento em servio

Utilizao racional dos betes e aos de alta resistncia

2. Tcnicas e sistemas de pr-esforo

2.1. PR-ESFORO POR PR-TENSO

As armaduras so tensionadas antes da colocao do beto;

A transferncia de fora realizada por aderncia;

realizado em fbrica (tenso aplicada contra cofragens ou contra macios

de amarrao).

2.2. PR-ESFORO POR PS-TENSO

As armaduras so tensionadas depois do beto ter adquirido a resistncia

necessria;

A transferncia realizada quer nas extremidades, atravs de dispositivos

mecnicos de fixao das armaduras (ancoragens), quer ao longo das

armaduras.


MDULO 1 Pr-Esforo 2

3. Componentes de um sistema de pr-esforo

3.1. ARMADURAS DE PR-ESFORO

As armaduras de pr-esforo so constitudas por ao de alta resistncia, e podem ter

as seguintes formas:

fios Dimetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm

Designao Seco nominal

[cm2]

Dimetro

[mm]

0.5 0.987 12.7

0.6N 1.4 15.2

cordes (compostos por 7 fios)

0.6S 1.5 15.7

barras

Dimetros usuais: 25 mm a 36 mm

(podem ser lisas ou roscadas)

Caractersticas dos aos de alta resistncia utilizados em armaduras de pr-esforo:

fp0,1k [Mpa] fpk [Mpa] Ep [Gpa]

fios e cordes 1670 1860 195 10 barras 835 1030 170

Cabo de pr-esforo: conjunto de cordes (agrupados no interior de uma bainha)

Por questes de economia, h vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas

de pr-esforo (nmero de cordes que preenchem na totalidade uma ancoragem).


MDULO 1 Pr-Esforo 3

3.2. ANCORAGENS DE PR-ESFORO

Activas

Permitem o tensionamento

Passivas

Ficam embebidas no beto

De continuidade (acoplamentos)

Parte passiva, parte activa

3.3. BAINHAS DE PR-ESFORO

Metlicas Plsticas

3.4. SISTEMAS DE INJECO

Materiais rgidos (ex: calda de cimento) Materiais flexveis (ex: graxas ou ceras)


MDULO 1 Pr-Esforo 4

4. Efeito do Pr-Esforo

O pr-esforo , por definio, uma deformao imposta. Deste modo, a sua aplicao

em estruturas isostticas no introduz esforos adicionais.

Considere-se a seguinte viga pr-esforada:

pp

Apresenta-se em seguida os diagramas de extenses na seco transversal indicada

(seco de vo onde o cabo de pr-esforo tem excentricidade mxima), para as

seguintes situaes:

A aco do pr-esforo isolado

B Aco das cargas mobilizadas na aplicao do pr-esforo (peso prprio)

C situao aps a aplicao do pr-esforo

eP0

+

-

A

P0+

B

-

+

+ Mpp = -

C

+P0


MDULO 1 Pr-Esforo 5

5. Pr-dimensionamento de um elemento pr-esforado

5.1. PR-DIMENSIONAMENTO DA SECO

A altura de uma viga pr-esforada pode ser estimada a partir da relao h L15 a 20.

5.2. TRAADO DO CABO

A escolha do traado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforos das

cargas permanentes.

5.2.1. Princpios base para a definio do traado dos cabos de pr-esforo

0.35L a 0.5LL

0.05L a 0.15L

1.5 bainha

1.5 bainha

Traados simples: troos rectos ou troos parablicos (2 grau) Aproveitar a excentricidade mxima nas zonas de maiores momentos (ver nota) Sempre que possvel, nas extremidades, os cabos devero situar-se dentro do

ncleo central da seco

O traado do cabo (ou resultante dos cabos) dever cruzar o centro de gravidade da seco numa seco prxima da de momentos nulos das cargas permanentes

Devem respeitar-se as restries de ordem prtica da construo e os limites correspondentes s dimenses das ancoragens e resistncia do beto, necessrios

para resistir s foras de ancoragem

Notas:

i) A excentricidade mxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para

as bainhas dos cabos de pr-esforo: cmin = min (bainha; 0.08 m);


MDULO 1 Pr-Esforo 6

ii) o ponto de inflexo do traado est sobre a recta que une os pontos de

excentricidade mxima;

iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mnimo que,

simplificadamente pode ser obtido pela expresso Rmin = 3 Pu (onde Pu

representa a fora til em MN).

5.3. PR-DIMENSIONAMENTO DA FORA DE PR-ESFORO TIL

O valor da fora til de pr-esforo pode ser estimada atravs dos seguintes critrios:

Critrio do balanceamento das cargas qeq (0.8 a 0.9) qcqp

ou, de uma forma mais rigorosa,

Critrio da limitao da deformao

pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) (cqp pe) admissvel

com admissvel L 500 a L

1000 (dependente da utilizao da obra)

Critrio da descompresso

EC2 pargrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhao a considerar

Tabela 7.1N Valores recomendados para wmx (mm)

Classe de

exposio

Elementos de beto armado ou pr-

esforado (p.e. no aderente)

Elementos de beto pr-esforado

(p.e. aderente)

Comb. quase-permanente de aces Combinao frequente de aces

X0, XC1 0.4 0.2

XC2, XC3, XC4 0.2(1)

XD1, XD2,

XS1, XS2, XS3

0.3 Descompresso

(1) Dever tambm verificar-se a descompresso para a combinao quase-permanente de aces


MDULO 1 Pr-Esforo 7

A segurana em relao ao estado limite de descompresso considera-se satisfeita

se, nas seces do elemento, a totalidade dos cabos de pr-esforo se situar no

interior da zona comprimida e a uma distncia de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m

relativamente zona traccionada, para estruturas de edifcios ou pontes,

respectivamente.

Na prtica, ser prefervel assegurar que nas seces do elemento no existem

traces ao nvel da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida)

por efeito dos esforos actuantes, com excluso do pr-esforo.


MDULO 1 Pr-Esforo 8

EXERCCIO PE1

Considere a viga indicada na figura seguinte.

e1 = 0.15 e2 = 0.38 e5e3 e4 = -0.22 e6 = -0.10

8.00 8.00 4.00 1.00 4.00

Parbola Parbola ParbolaParbola Recta

A B C D

Seco Transversal da Viga:

1.50

0.20

0.50

0.20

0.300.80

0.53

0.37

Propriedades Geomtricas da Seco:

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m4

Materiais:C30/37

A400NR

A1600/1800 (baixa relaxao)

Considere que a viga se encontra submetida s seguintes aces:

Q

q

pp + rcp

- Cargas permanentes (g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m - sobrecargas (q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN Nota: q e Q actuam em simultneo


MDULO 1 Pr-Esforo 9

a) Determine o diagrama de tenses na seco B para a combinao de aces quase permanentes e para uma fora de pr-esforo de 1000 kN. b) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a descompresso para a combinao quase permanentes de aces, nas seces B e C? c) Qual o valor de P que seria necessrio para garantir a condio c < fctk para combinao frequente de aces nas seces B e C? d) Determine as equaes que definem o traado do cabo representado na figura. e) Represente as cargas equivalentes do pr-esforo. f) Qual o valor de P que seria necessrio para contrariar 80% de deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes? g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a fora de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e P0 = 0.90 P0. Admita que os cabos so tensionados a 0.75 fpk. h) Calcule o valor das perdas instantneas (atrito, reentrada de cunhas e deformao instantnea do beto) e o alongamento previsto dos cabos. i) Calcule as perdas diferidas (fluncia e retraco do beto, e relaxao das armaduras). j) Calcule a rea de armadura ordinria longitudinal de modo a garantir a segurana em relao ao estado limite ltimo de flexo. l) Calcule a rea de armadura transversal.


MDULO 1 Pr-Esforo 10

RESOLUO DO EXERCCIO PE1

ALNEA A)

1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanentes

pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kN

pcqp

Qcqp

R1 R220.00 5.00

DEV[kN]

DMF[kNm] 8.00

(+)

1554.0

(-)

675.0

(+) (+)

(-)

346.3

413.8

230.040.0

MB = 0 R1 20 + 38 20 10 40 5 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN R2 = 38 (20 + 5) + 40 346.3 = 643.8 kN

2. Clculo das tenses na seco B

(i) Caractersticas geomtricas da seco B

0.37

0.530.38

1.50

G

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m2

winf = I

vinf = 0.0524

0.53 = 0.09886m3

wsup = I

vsup = 0.0524

0.37 = 0.1416m3



(ii) Diagramas de tenses na seco B devidas cqp e ao pr-esforo

(-)

P

Mcqp

P / A

+

(+)

(-)

P x e(-)

(+)

Mcqp

+

inf = - P A - P e

winf + Mcqp winf = -

1000 0.61 -

1000 0.38 0.09886 +

1554 0.09886 = 10.2MPa

sup = - P A + P e

wsup - Mcqp wsup = -

1000 0.61 +

1000 0.38 0.1416 -

1554 0.1416 = - 9.9MPa

ALNEA B)

1. Seco B

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

MB

P

(-)

MB P x e

inf < 0 - P A - P e

w + MB w < 0 -

P 0.61 -

P 0.38 0.09886 +

1554 0.09886 < 0

P > 2866.8 kN 2. Seco C

MC (-) + +

(+)

P

(-)

MC

P x eP / A

(+)

(-)

sup < 0 - P A - P e

w + MC

w < 0 - P

0.61 - P 0.22

0.1416 + 675

0.1416 < 0 P > 1492.9 kN P > 2866.8 kN



ALNEA C)

1. Determinao dos esforos para a combinao de aces frequente

pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kN

pfr

20.00

DMF[kNm] 8.00

1686.0

(+)

R1

825.0

(-)

5.00

R2

Qfr

MB = 0 R1 20 + 42 20 10 60 5 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN R2 = 42 (20 + 5) + 60 378.8 = 731.3 kN

2. Seco B

inf < fctk - P A - P e

w + MB w < fctk -

P 0.61 -

P 0.38 0.09886 +

1686 0.09886 < 2 103

P > 2745.6 kN

3. Seco C

sup < fctk - P A - P e

w + MC

w < fctk - P

0.61 - P 0.22

0.1416 + 825

0.01416 < 2 103 P > 1198,3 kN P > 2745.6 kN



6. Caractersticas dos traados parablicos

6.1. EQUAO DA PARBOLA

Equao geral da parbola: y = ax2 + bx + c (para determinar os parmetros a, b e c necessrio conhecer 3 pontos)

x1 x3 x2

y1y2y3

Caso se utilize um referencial local:

1) x

y

y = ax2 + c

(y (0) = 0 b = 0)

2)

x

y

y = ax2

(y (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)

Determinao do parmetro a

f

f

L/2L/2

tg = 2f L/2 = 4f L

i) y (- L/2) = 2a L/2 = tg a = 4f L2 ou

ii) y (L/2) = f a L 2

2

= f a = 4f L2 Determinao da curvatura da parbola

1 R = - y" (L/2) = 2a =

8f L2



6.2. DETERMINAO DO PONTO DE INFLEXO ENTRE DOIS TROOS PARABLICOS

e1 f1

L1 L2

e2f2

O ponto de inflexo do traado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo, f1 L1 =

e1 + e2 L1 + L2 f1 =

L1 L1 + L2 (e1 + e2) e f2 = (e2 + e1) f1

6.3. DETERMINAO DO PONTO DE CONCORDNCIA TROO PARABLICO TROO RECTO

L1

ff

e

L2

tg = e - f L1 = e + f

L2 (e f) L2 = (e + f) L1 e L2 f L2 + f L1

f L1 + f L2 = e L2 e L1 f (L1 + L2) = e (L2 L1) f = e (L2 - L1) L1 + L2



7. Cargas equivalentes de pr-esforo

A aco do pr-esforo pode ser simulada atravs de cargas cargas equivalentes de

pr-esforo.

7.1. ACES EXERCIDAS SOBRE O CABO (SITUAO EM QUE SE APLICA A TENSO NOS CABOS SIMULTANEAMENTE NAS DUAS EXTREMIDADES)

Foras nas ancoragens;

Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas, exercidas pelo beto.

7.2. ACES EXERCIDAS SOBRE O BETO

Foras nas ancoragens;

Foras radiais e tangenciais uniformemente distribudas iguais e directamente

opostas s que o beto exerce sobre o cabo.

7.3. DETERMINAO DAS CARGAS EQUIVALENTES

7.3.1. Zona das ancoragens

P P

P tg

P e

Nota: tg sen e cos 1



7.3.2. Traado parablico

Considere-se o seguinte troo infinitsimal de cabo de pr-esforo, e as aces que o

beto exerce sobre este,

R

P+dPP

d

q* ds

ds

d/2

ds = R d d ds = 1 R

P d 2 + (P + dP)

d 2 = q* ds

P d = q* ds q* = P d ds ou q* = P R

Notas:

- ngulo muito pequeno sen d 2 d 2 tg

d 2 e cos

d 2 1;

- consideram-se desprezveis as componentes horizontais das foras de desvio.

Para um cabo com o traado parablico ilustrado,

f

f

L/2

L/2

tg = d 2 = 2 f L/2 =

4 f L (1)

ds L (2) A partir de (1) e (2), obtm-se

d ds =

8 f L2 q* =

8 f P L2

7.3.3. Traado poligonal

L1

f Q*

Q*q*

s

tg = f L1

Q* = q* ds = P d = P f L1 Q* = P tg



RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONTINUAO)

ALNEA D)

8.008.00

Parbola 1

e2 = 0.38

Parbola 3

4.00

Parbola 2 RectaParbola 4

4.001.00

e4 = -0.22 e6 = -0.10e1 = 0.15

(i) Parbola 1

8.00

0.23x

y

y = ax2

y(8) = 0.23 a 82 = 0.23 a = 3.59375 10-3 y(x) = 3.59375 10-3 x2

(ii) Parbola 2 1. Determinao das coordenadas do ponto de inflexo

12.00

0.6

8.00

x

12 8 =

0.6 x x = 0.4

2. Determinao da equao da parbola

8.00

x

y

0.4

y = ax2

y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3 y (x) = 6.25 10-3 x2



(iii) Parbola 3

x

y4.00

0.2

y = ax2

y (4) = 0.2 a = 0.0125 y (x) = 0.0125 x2

(iv) Parbola 4 e troo recto

x

yx

y 1.00 4.000.12

1. Determinao das coordenadas do ponto de concordncia

ff

1.0

y (1, 0) = tg = 2 f tg = 0.12 + f 5

2 f = 0.12 + f 5 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m

2. Determinao das equaes da parbola e do troo recto

Parbola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x2 Troo recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x

ALNEA E)

1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas (considerando P = 1000 kN)

q = 8 f P L2

Parbola f [m] L [m] q [kN/m]

1 0.23 16 7.2

2 0.4 16 12.5

3 0.2 8.0 25.0

4 0.0133 2.0 26.6



2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo Extremidade Esquerda

tg = y (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575 P tg = 57.5 kN P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm

Extremidade Direita

tg = y (1) = 0.02667 P tg = 26.7 kN P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm

1.008.00

26.6 kN/m

8.00

25.0 kN/m12.5 kN/m7.2 kN/m

4.00 4.00

57.5 kN

1000 kN

150.0 kNm1000 kN

26.7 kN

100.0 kNm

como curiosidade,

Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0



ALNEA F)

1. Determinao da flecha elstica na viga para a combinao de aces quase-

permanentes

Atravs de tabelas de flechas elsticas de vigas contnuas, a deformao a meio vo

do tramo apoiado dada por:

= 1 EI 5pL4 384 +

L2 16 ( )M1 + M2

onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e

entram na expresso com o sinal de acordo com a conveno da resistncia de

materiais.

Deste modo,

= 1 32106 0.0524 5 38 204

384 + 202 16 ( )0 - 675.0 = 0.037 m

2. Determinao da flecha elstica na viga para o efeito do pr-esforo

A flecha elstica para o efeito de pr-esforo pode ser obtida considerando a actuao

das cargas equivalentes ao pr-esforo na viga. Deste modo, para P = 1000 kN

(cargas equivalentes calculadas na alnea anterior), obteve-se a seguinte deformada:

= 0.010 m

3. Determinao da fora til de pr-esforo necessria para contrariar 80% da

deformao mxima para a combinao de aces quase-permanentes

pe = 0.8 cqp = 0.8 0.037 = 0.030 m

P = 1000 0.030/0.010 = 3000 kN



8. Valor da fora de pr-esforo

8.1. FORA MXIMA DE TENSIONAMENTO

De acordo com o EC2, a fora mxima a aplicar num cabo de pr-esforo dada pela

seguinte expresso

Pmx = Ap p,mx onde,

p,mx = min (0.8 fpk; 0.9 fp0,1k) e representa a tenso mxima a aplicar aos cordes.

8.2. PERDAS DE PR-ESFORO

Perdas instantneas (8% 15%)

Ps-tenso

Perdas por atrito Perdas por reentrada de cabos Perdas por deformao instantnea do beto

Pr-tenso

Relaxao da armadura at betonagem Escorregamento nas zonas de amarrao Deformao instantnea do beto

Perdas diferidas (12% 15%)

Perdas por retraco do beto Perdas por fluncia do beto Perdas por relaxao da armadura

P0 ( fora de tensionamento) 8% 15% P0 12% 15% P P0 fora de pr-esforo aps perdas imediatas P fora de pr-esforo til ou a tempo infinito



8.2.1. Perdas por Atrito

d/2P q* ds

d

P+dP

q* ds = P dds

(Fa = N) q* ds = P d

Por equilbrio de foras horizontais,

P P dP P d = 0 dP = P d dP P = d

P0'P0 1 P dP = 0

- d Log P0 - Log P0' = - Log P0 P0' =

P0 P0' = e- P0 = P0 e-

Para uma seco genrica distncia x da extremidade de tensionamento,

P0 (x) = P0 e-(+kx)

onde, representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20); representa a soma dos ngulos de desvio; k representa o desvio angular parasita (valor mximo 0.01 m-1; geralmente 0.004

a 0.005m-1), que tem em considerao eventuais desvios no posicionamento dos cabos de pr-esforo.

Esta expresso tambm pode aparecer com a forma, P0 (x) = P0 e-( + kx) (neste caso k = k)



8.2.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)

PP0'

P0(x)

x

P

L L comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm) comprimento at onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas Admitindo que o diagrama de perdas por atrito aproximadamente linear (cabo com curvatura aproximadamente constante),

L = 0 dx =

0

Ep dx =

1 Ep Ap 0 P dx Adiagrama = L Ep Ap

P 2 = L Ep Ap (1)

Como P 2 = p P = 2 p (2) onde p representa a perda de tenso por atrito, por metro (declive do diagrama) Substituindo (2) em (1) obtm-se, 2 p

2 = L Ep Ap = L Ep Ap

p

8.2.2.1. Casos particulares

(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pr-esforo exterior, p.ex.)

x

P

P0'

PL Ep Ap

L

P L = L Ep Ap P = L Ep Ap L

L comprimento do cabo



(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pr-esforo mais condicionante)

P

P0'

P

L x

p LL Ep Ap

PLpLL=LEpAp P = L L Ep Ap + pL

L comprimento do cabo

8.2.3. Perdas por deformao instantnea do beto

A perda de fora de pr-esforo mdia por deformao instantnea (ou elstica) do beto, em cada cabo, pode ser calculada atravs da seguinte expresso:

Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t) onde,

Ecm(t) representa o mdulo de elasticidade do beto data da aplicao do pr-esforo;

j = (n-1) / 2n , onde n representa o n de cabos de pr-esforo idnticos, tensionados sucessivamente, existentes na mesma seco transversal;

c(t) representa a tenso no beto, ao nvel do centro de gravidade dos cabos de pr-esforo, para a totalidade do efeito do pr-esforo (aps perdas por atrito e reentrada das cunhas) e de outras aces permanentes actuantes.

8.2.4. Clculo do alongamento terico dos cabos de pr-esforo

L = 0 L dz =

0

L P Ap Ep dz = 1

Ap Ep 0 L P dz

Paps atrito [kN]

P0'

L x [m]

Paps at. (L)L P0' + Paps atrito (L) 2 Ap Ep L

Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tenso instalada nos cabos.



ALNEA G)

P = 2866.8 kN (valor resultante da verificao da descompresso)

P0 = P

0.86 = 2866.8

0.86 = 3333.5 kN

P0 = P0 0.9 =

3333.5 0.9 = 3703.9 kN

P0' = 0.75 Fpk Ap = P0' 0.75 1800 103 104 = 27.4 cm2

n de cordes = Ap Acordo = 27.4 1.4 = 20 cordes 2 cabos de 10 cordes de 0.6"

P0 = 10 2 1.4 10-4 1800 103 0.75 = 3780 kN ALNEA H)

1. Clculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0 e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)

4.008.00

e1 = 0.15

8.00

e2 = 0.38 e4 = -0.22

4.00 1.00

e6 = -0.10

21 3 4 5 6Parbola 1 Parbola 2 Parbola 3 Par. 4 Recta

e3 = -0.02 e5 = -0.21

Clculo dos ngulos de desvio

(i) Parbola 1

y (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575

(ii) Parbola 2

y (8) = 6.25 10-3 2 8 = 0.1



(iii) Parbola 3

y (4) = 2 0.0125 4 = 0.1

(iv) Parbola 4

y (1) = 2 0.01333 = 0.02666

Seco x [m]

[rad] Paps atrito

[kN] % perdas

1 0 0 3780.0 0

2 8 0.0575 3712.9 1.8

3 16 0.1575 3616.2 4.3

4 20 0.2575 3533.3 6.5

5 21 0.2842 3511.6 7.1

6 25 0.2842 3500.4 7.4

2. Clculo das perdas por reentrada das cunhas

(i) Determinao do comprimento de reentrada das cunhas ()

1 Iterao

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Fora de pr-esforo ao longo do cabo, aps perdas por atrito

x = 8.0m p = 3780 - 3712.9 8 = 8.39 kN/m

= L Ep Ap P = 0.006 195 106 20 1.4 10-4

8.39 = 19.8 m



2 Iterao

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x = 20.0m p = 3780 - 3533.3 20 = 12.34 kN/m (admitindo que a perda por atrito aproximadamente linear)

= 0.006 195 106 20 1.4 10-4

12.34 = 16.3 m

(ii) Determinao das perdas por reentrada das cunhas ()

P = 2p = 2 2.34 16.3 = 402.3 kN

402.3

0 8 16.316

204.97.4

402.3 x =

16.3 8.3 x = 204.9 kN

402.3 x =

16.3 0.3 x = 7.4 kN

Seco x [m] Paps atrito

[kN] Preentrada

[kN] Paps reentrada

[kN] % perdas

1 0 3780.0 402.3 3377.7 10.6

2 8 3712.9 204.9 3508.0 7.2

3 16 3616.2 7.4 3608.8 4.5

4 20 3533.3 0 3533.3 6.5

5 21 3511.6 0 3511.6 7.1

6 25 3500.4 0 3500.4 7.4



3. Clculo das perdas por deformao instantnea do beto

Admitindo que o pr-esforo aplicado aos 28 dias,

Ecm(t = 28) = 32 GPa ; Ep = 195 GPa

Pel = Ap Ep j c(t) Ecm(t) = Ap Ep n - 1 2n c(t) Ecm(t)

Seco 2

8.00143.0

Mpp

15.25

Mpp = 656 kNm

Mpe = P e = 3508 0.38 = 1333.0 kNm

+

P / A

(-)+

IMpp v

(+)

(-)

(-)

(+)

Mpe vI

c = Mpp v I - P A -

Mpe v I =

656 0.38 0.0524 -

3508 0.61 -

1333 0.38 0.0524 = - 10.7MPa

Pel = 20 1.410-4 195106 2 - 1 2 2 10.7

32103 =45.6 kN

P0 (seco 2) = 3508 45.6 = 3462.4 kN % perdas 8.4%

3. Clculo do alongamento terico dos cabos

L = 1 Ap Ep 0L P dx 1 28 10-4 195 106

3780 + 3500.4 2 25 = 0.167m



8.2.5. Perdas por retraco do beto

= Ep cs P Ap = Ep cs P = Ep Ap cs

cs extenso de retraco do beto ( 2.0 10-4)

8.2.6. Perdas por fluncia do beto

c = c c Ecm

= Ep c P Ap = Ep c c

Ecm P = Ap Ep c c

Ecm

c tenso ao nvel do cabo de pr-esforo, devido s cargas permanentes e ao efeito do pr-esforo (considerando a fora de pr-esforo aps perdas imediatas).

8.2.7. Perdas por relaxao da armadura

Em armaduras de alta resistncia, as perdas a longo prazo devidas relaxao so da

ordem de:

Aos de relaxao normal P < 15% Aos de baixa relaxao P < 6% Aos de muito baixa relaxao P = 2 a 4%

Segundo o EC2 e para efeitos da caracterizao da relaxao, as armaduras de alta

resistncia agrupam-se em trs classes:

Classe 1: ao em fio ou cordo, com relaxao normal (1000 = 8%) Classe 2: ao em fio ou cordo, com baixa relaxao (1000 = 2.5%) Classe 3: ao em barra (1000 = 4%)

O parmetro 1000 representa a perda por relaxao s 1000 horas, de um provete tensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20C.



A perda de tenso por relaxao pode ser calculada atravs das seguintes

expresses, consoante a classe da armadura:

(i) Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7 t

1000 0.75 (1-)

pi 10-5

(ii) Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 t

1000 0.75 (1-)

pi 10-5

(iii) Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8 t

1000 0.75 (1-)

pi 10-5

onde,

pi representa a tenso instalada nas armaduras de pr-esforo aps perdas imediatas;

t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de

pr-esforo por relaxao (poder considerar-se t = 500000 horas 57 anos); = pi / fpk



RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.)

ALNEA I)

1. Perdas por retraco do beto Considerando cs = - 2.0 10-4, P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 2.0 10-4 = 109.2 kN 2. Perdas por fluncia do beto

Seco 2

Considerando c = 2.5

P = Ap Ep c c Ecm = 28 10-4 195 106 5.86 103 2.5

32 106 = 250 kN

Clculo de c

8.00281.3

15.25+14.75=30

Mcp

Mcp = 1290 kNm

Mpe = 3462.4 0.38 = 1315.7 kNm

c = Mcp v I - P A -

Mpe v I =

1290 0.38 0.0524 -

3462.4 0.61 -

1315.7 0.38 0.0524 = - 5.86MPa

3. Perdas por relaxao das armaduras

Seco 2

Para ao em fio ou cordo com baixa relaxao, 1000 = 2.5%.

pr = 0.8 0.66 1000 e9.1 t

1000 0.75 (1-)

pi 10-5 = = 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69

500000 1000

0.75 (1-0.69)

1236.6 10-5 = 36.9 MPa



pi = 3462.4 28 10-4 = 1236.6MPa

= pi fpk = 1236.6

1800 = 0.69

Ppr = 36.9 103 28 10-4 = 103.3 kN Pp,r+s+c = 250 + 109.2 + 103.3 = 462.5 kN Pseco 2 = 3462.4 462.5 = 2999.9 kN % perdas diferidas 13.4%



9. Verificao da Segurana aos Estados Limite ltimos

9.1. ESTADO LIMITE LTIMO DE FLEXO Pelo mtodo do diagrama rectangular simplificado,

Msd = g Mg + q Mq

x

Msd

LN

ApAs

Fp

Fs

0.8x

0.85fcdFc

b

Fc = 0.85 fcd 0.8 x b

Fp = Ap fpyd = Ap fp0,1k 1.15

Fs = As fyd

Atravs das equaes de equilbrio, (i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd x = ...) (ii) Equilbrio de foras ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...)

Determinada a posio da linha neutra (x), necessrio definir o diagrama de

extenses na rotura e verificar se as tenses nas armaduras ordinrias e de

pr-esforo so as de clculo.

Se algum cabo no atingir a tenso de clculo fpyd, ser necessrio adoptar um

mtodo iterativo (mtodo geral)

AsAp

LN

b

x

p (p0 + p)

M

c

sp0p

c (c)

s (s)

N

Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Ento M = MRd.

Nota: No caso do cabo ser no aderente (monocordo, p.ex.) fpyd = p = P Ap



9.2. ESTADO LIMITE LTIMO DE ESFORO TRANSVERSO

(i) Clculo da armadura transversal: Asw s = Vsd - P sen z cotg fyd

(ii) Verificao da tenso de compresso: c = Vsd - P sen z bw sen cos 0.6 fcd

(iii) Considerao do efeito do esforo transverso nas armaduras longitudinais (no

apoio As fyd V cotg 1)

Notas:

Para elementos comprimidos (caso de elementos pr-esforados) 20 a 26; Caso o somatrio do dimetro das bainhas de pr-esforo existentes num

determinado nvel seja superior a 1/8 da largura da seco a esse nvel, deve

considerar-se a largura a esse nvel reduzida de metade da soma dos dimetros

das bainhas.



RESOLUO DO EXERCCIO PE1 (CONT.) ALNEA J)

psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m Qsd = 100 1.5 = 150 kN

20.00

R15.00

R2

150

70.5CA

MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN MB = 2731.5 kNm Seco B

1. Clculo da armadura de flexo pelo mtodo do diagrama rectangular

Hiptese: LN no banzo da seco

Fs

Fp

Fc0.85fcd0.8x

Msd

1.50

LN

Fp = Ap fp0,1k 1.15 = 28 10-4 1600 1.15 103 = 3895.7 kN

Fs = As fyd = As 348 103

Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103 = 20400x

(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.86 0.4x) Fsp 0.11 = Msd 20400x (0.85 0.4x) = 2731.5 + 3895.7 0.10 x = 0.199m Fc = 20400 0.199 = 4059.6 kN



(ii) Equilbrio de foras ( F = 0) Fc Fsp Fs = 0 4059.6 3895.7 As 348 103 = 0 As = 4.71 cm2

(iii) Verificao da hiptese de cedncia das armaduras

LN

p p0s

c0.199

Hiptese: c = 3.5

Determinao da extenso ao nvel das armaduras ordinrias

s 0.85 - 0.199 =

3.5 0.199 s = 11.4

Como s, mx = 10 s = 10 e c < 3.5 10

0.85 - 0.199 = c

0.199 c = 3.06

Determinao da extenso ao nvel das armaduras de pr-esforo

p 0.75 - 0.199 =

3.06 0.199 p = 8.5

p0 = P Ap Ep = 2999.9

2810-4 195106 = 5.5

p = p0 + p = 14.0 > pyd = fpyd Ep = 1600 / 1.15

195103 = 7.1

2. Clculo da armadura pelas tabelas de flexo simples (mtodo aproximado)

Hiptese: deq dp = 0.75

= Msd b d2 fcd = 2731.5

1.5 0.752 20 103 = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2

As = As,tot Asp, eq = 117.3 28 1600 400 = 5.3 cm2

deq 0.75 20 1.4 1600 + 5.3 0.85 400 20 1.4 1600 + 5.3 400 = 0.755m



ALNEA L)

20.00

DEV[kN]

623.4

(+)

623.4

(-)

786.6

5.00

502.5

(+)

1289.1

150

150

70.5

DEVp [kN]

164.8

286.4

76.5 76.5(-)

(+)(-)

786.6

502.5DEVtotal [kN]

(+)

458.6

(-)

73.5(+)355.5

Notas:

- O diagrama de esforo transverso devido ao pr-esforo foi obtido

considerando P = 2866.8 kN;

- Para a verificao da segurana ao esforo transverso utiliza-se DEVtotal

Apoio A

= 25 z cotg = 0.9 0.85 cotg 25 = 1.64m Vsd (z cotg ) = 458.6 49.9 1.64 = 376.8 kN

Considerando um cabo cuja bainha tem 100 mm de dimetro,

bainha balma 8 = 0.30

8 = 0.038 m bw =0.30 0.1 / 2 = 0.25 m

1. Clculo da armadura transversal

Asw s =

Vsd z cotg fyd =

376.8 1.64 348 103 10

4 = 6.6 cm2/m



2. Verificao da tenso de compresso nas bielas inclinadas

c = Vsd z bw sen cos = 376.8

0.90.850.25sen 25cos 25 = 5143.8 kN/m2 5.1 MPa

< 0.6 fcd

0.6 fcd = 0.6 20 103 = 12000 kN/m2 = 12MPa



10. Verificao da segurana nas zonas das ancoragens

Nas zonas de vizinhana da actuao de cargas concentradas no so vlidas as

hipteses da resistncia de materiais para peas lineares: a fora concentrada

transmitida ao beto sob a forma de tenses elevadas distribudas na superfcie da

placa de distribuio da carga, existindo uma zona de regularizao entre a seco de

aplicao da carga e aquela em que as tenses se distribuem linearmente. Nesta

zona, devido trajectria das tenses principais de compresso, surgem foras de

traco nas direces transversais.

Deste modo, a verificao da segurana nas zonas das ancoragens consiste em

limitar as tenses de compresso localizadas no beto e dimensionar armaduras para

absoro das foras de traco que surgem devido aco da carga concentrada.

10.1. VERIFICAO DA SEGURANA AO ESMAGAMENTO DO BETO

Imediatamente sob a zona de aplicao da carga concentrada surgem tenses de

compresso na direco transversal. Este facto permite aumentar o valor das tenses

admissveis a considerar na verificao da presso local no beto, desde que o

mesmo esteja correctamente confinado.

De acordo com o EC2 (pargrafo 6.7), o valor resistente da fora concentrada,

aplicada com uma distribuio uniforme numa determinada rea Ac0, pode ser

determinado atravs da expresso:

FRdu = Ac0 fcd Ac1 Ac0 3.3 fcd Ac0 onde,

Ac0 representa a rea sobre a qual se exerce directamente a fora (rea da placa

de ancoragem);

Ac1 representa a maior rea homottica a Ac0, contida no contorno da pea, com

o mesmo centro de gravidade de Ac0 e cuja dimenso dos lados no pode

exceder em trs vezes a dimenso dos lados correspondentes de Ac0. No caso

da existncia de vrias foras concentradas, as reas correspondentes s vrias

foras no se devem sobrepor.



Dado que, em geral, a aplicao do pr-esforo efectuada antes do beto atingir a

idade de 28 dias, o valor de fcd deve ser substitudo por fck,j / c, representando fck,j o valor caracterstico da tenso de rotura compresso aos j dias.

10.2. DETERMINAO DAS ARMADURAS DE REFORO NA ZONA DAS ANCORAGENS

De acordo com o pargrafo 8.10.3 do EC2, a avaliao das foras de traco que

surgem devido aplicao de foras concentradas deve ser efectuada recorrendo a

modelos de escoras e tirantes.

A armadura necessria dever ser dimensionada considerando uma tenso mxima

de 300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controle da fendilhao, e tem em

conta a dificuldade de garantir uma boa amarrao.

10.2.1. Modelos de escoras e tirantes

Os modelos de escoras e tirantes (strut-and-tie models) identificam os campos de

tenses principais que equilibram as aces exteriores, correspondendo as escoras

aos campos de tenses de compresso e os tirantes aos de traco.

Estes modelos aplicam-se na anlise e dimensionamento de zonas de

descontinuidade, como o caso das zonas de ancoragem de cabos ps-tensionados

(zonas de aplicao de cargas localizadas).

Para a sua elaborao torna-se necessrio conhecer o comportamento elstico da

zona estrutural em anlise, por forma a escolher o sistema que corresponde menor

energia de deformao, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes,

sendo assim necessria menor quantidade de armadura. H tambm que entrar em

linha de conta com o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforos de

traco e, consequentemente a sua orientao corresponder dos tirantes, esta

dever ser a mais conveniente do ponto de vista construtivo.



10.2.2. Tenses de traco a absorver 10.2.2.1. Caso de uma s ancoragem Atravs do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, possvel

obter o valor da fora de traco.

P/2

P/2

P/2

P/2

De acordo com o REBAP (artigo 140), a fora de traco para a qual as armaduras

devem ser dimensionadas, dada pela expresso:

Ft1Sd = 0.3 FSd 1 - a0 a1 (com FSd = 1.35 P0)

onde,

a1 = 2b, sendo b a dimenso, segundo a direco considerada, da menor

distncia entre o eixo da ancoragem e a face exterior do beto;

a0 representa a dimenso segundo a direco considerada, da placa da

ancoragem.

10.2.2.1.1. Disposio das armaduras

As armaduras devem, em cada direco, ficar contidas num prisma de aresta a1 e ser

repartidas em profundidade entre as cotas 0.1a1 e a1, tendo em considerao que a

resultante se situa cota 0.4a1 e devem ser convenientemente amarradas de forma a

garantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.

F

0.1a1

a1

a0

a1

b



A cada nvel, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual dimenso

correspondente da maior rea delimitada por um contorno fictcio contido no contorno

da pea, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direco

normal direco considerada.

No caso da ancoragem se encontrar fora do ncleo central da seco (ancoragem

excntrica), alm das armaduras j indicadas, deve dispor-se uma armadura junto

superfcie do elemento, destinada a absorver na direco em causa uma fora de

traco, como em baixo se ilustra

P

Ft = Fc2

e

Fc2

Fc1 = P

O valor da fora de traco pode ser obtido atravs da expresso:

Ft0Sd = FSd e a -

1 6 (com FSd = 1.35 P0)

10.2.2.2. Caso de vrias ancoragens

10.2.2.2.1. Ancoragens muito prximas

Um grupo de ancoragens muito prximas pode ser tratado considerando uma s

ancoragem equivalente, sendo vlidos os princpios indicados no ponto anterior. Deve

no entanto verificar-se a segurana para a actuao de cada fora, isoladamente. As

reas de influncia a considerar so as seguintes:

F

F

F

rea de influncia para uma ancoragem individual

rea de influncia do grupo de ancoragens



10.2.2.2.2. Ancoragens muito afastadas

No caso de duas foras concentradas afastadas entre si de uma distncia superior

distncia entre os centros de gravidade das zonas correspondentes do diagrama de

tenses normais, surgem foras de traco junto face de aplicao das cargas,

como se indica:

P

P

PP

Deste modo, alm das armaduras necessrias para cada ancoragem individual, deve

dispor-se uma armadura junto face do elemento, na direco em causa, destinada a

absorver uma fora de traco igual a 0.2P.

de notar que desde que existam vrios cabos, estes no so pr-esforados

simultaneamente, variando os esforos locais ao longo das operaes de pr-esforo.

O plano de tensionamento deve ser escolhido por forma a evitar esforos

momentneos exagerados, devendo a armadura ser dimensionada tendo em conta

que podem existir estados provisrios mais desfavorveis do que o que surge no

sistema final.

10.2.2.3. Aspectos particulares em estruturas pr-esforadas

10.2.2.3.1. Ancoragens interiores

No caso de uma ancoragem interior, alm das tenses transversais atrs

mencionadas, surgem traces longitudinais atrs da ancoragem como resultado da

deformao local do beto. A resultante das tenses de traco depende da relao

entre a dimenso da zona carregada e a largura da difuso dos efeitos localizados.



Considerando uma anlise elstica que assuma igual rigidez do beto atrs e frente

da ancoragem, a fora de traco deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, a

experincia mostra que a fora de traco longitudinal pode ser considerada igual a

P/4 pois, devido fendilhao, a rigidez do beto atrs da ancoragem diminui,

diminuindo tambm a tenso instalada.

Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com

um comprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da seco.

CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL

10.2.2.3.2. Foras de desvio

Sempre que um cabo de pr-esforo muda de direco, so introduzidas foras radiais

no beto quando o cabo tensionado. Estas foras radiais actuam no plano de

curvatura e tm uma intensidade igual ao quociente entre a fora de pr-esforo e o

raio de curvatura.

Embora estas foras sejam na generalidade das situaes muito teis, podem no

entanto causar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do beto.

Nos casos em que os cabos estejam junto face das peas e a sua curvatura

provoque foras de desvio dirigidas para o exterior necessrio dimensionar

armadura transversal para a absoro destas foras, devendo ser disposta em toda a

zona em que actuem, como se indica na planta abaixo.



10.2.2.4. Disposies Construtivas

Nas zonas de aplicao de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposio de

armaduras em vrias camadas, constitudas por vares de pequeno dimetro. Estas

armaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz a

disperso dos efeitos localizados.

A soluo geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou mais

ramos, como se exemplifica a seguir.

PORMENOR TRANSVERSAL

PORMENOR LONGITUDINAL



No caso em que a carga actue fora do ncleo central, as armaduras dimensionadas

para este efeito devem ser dispostas junto face do beto ao longo de toda a sua

dimenso e convenientemente amarradas, com a disposio indicada.

PORMENOR LONGITUDINAL PORMENOR TRANSVERSAL

mÓdulo 1_1

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