modul statistika xi sma

Ukuran Pemusatan

Kompetensi Dasar :

Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan data.

Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata.

Tujuan Pembelajaran:

Membaca dan menyajikan data dalam bentk tabel distribusi frekuensi dan diagram histogram.

Menentukan ukuran pemusatan data

Pada suatu kota banyak penduduk yang sudah

terjangkit virus HIV. Untuk mengantisipasi semakin

meluasnya bahaya tersebut, suatu Lembaga Swadaya

Masyarakat (LSM) tentang HIV mencatat setiap orang

yang terjangkit virus mematikan itu berada di kota

tersebut. Setelah beberapa waktu akhirnya diperoleh

catatan tentang banyaknya orang yang terkena HIV di

kota tersebut. Untuk mencegah agar tidak semakin

meluasnya bahaya virus itu, LSM tersebut mengamati,

mengolah, dan menganalisis hasil pencatatan tersebut.

Setelah dilakukan penganalisaan yang cermat, LSM

tersebut menyimpulkan bahwa penyebab awal

menyebarnya virus HIV adalahpergaulan bebas.

Kegiatan di atas adalah contoh sederhana dari suatu

aktivitas dari statistika. Apa statistika itu? Apa pula

yang dimaksud dengan statistic? Apaperbedaan antara

keduanya?

Untuk memahami dan menerapkan tentang dua hal

itu, anda perlu terlebih dahulu mengingat kembali

konsep – konsep pada aljabar himpunan dan logika

2 Statistika XI SMA |

Pengantar

matematika. Selain itu silahkan anda mengkaji materi

ini yang nantinya diharapkan anda dapat memahami

dan menerapkan statistika dalam memecahkan

masalah yang muncul dalam kehidupan sehari – hari.


Agar tidak terjadi kesenjangan sosial, SMP Negeri 2

Budi Utomo mengkoordinir siswanya agar memakai

sepatu yang sama. Oleh karena itu Pak Joko selaku

koordinator ingin mengukur ukuran sepatu siswa dan

siswi kelas VII. Data hasil observasi yang dilakukan Pak

Joko terhadap 50 siswa dan siswi kelas VII adalah

sebagai berikut.

36 37 37 36 39 40 40 36 37 39

40 41 37 37 38 36 38 42 39 40

37 36 36 42 38 43 39 37 41 41

36 41 40 42 38 36 36 37 39 36

41 36 37 36 36 36 41 42 38 36

Langkah – Langkah :

1. Susun data berdasarkan urutan terkecil hingga

terbesar


Permasa

2. Tentukan data terbesar dan terkecil

Data terbesar :

……………………………………………………………..

Data Terkecil :

……………………………………………………………..

3. Tentukan jangkauan data dengan menghitung selisih

dari data terbesar dan data terkecil.

……………………………………………………………………

………………………………………..………………….

……………………………………………………………………

……………….…..

……………………………………………………………………

……………………………………………….………………….

…………….………….

……………………………………………………………………

…………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

…

4. Distribusikan data – data tersebut ke dalam kelas –

kelas interval dengan menggunakan aturan


Sturgges, yaitu k = 1 +(3,3) x log n. Dimana n =

banyaknya data dan k = banyaknya kelas

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………5. Tentukan banyaknya data yang terdapat pada satu

kelas interval atau panjang interval dengan rumus:

Panjang Interval = jangkauan databanyak kelas

……………………………………………………………………

……………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………


……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

…………………………………………………………….

…………..…

6. Bentuk kelas interval dengan banyak kelas dan

panjang interval yang sudah didapat

……………………………………………………………………

…………………………………………………………….

……………………………………..

……………………………………………………………………

………………….………………..

……………………………………………………………………

……………………………..………….

……………………………………………………………………

………………………..……………………………….

……………………………………………………………………

…………………………………………..……………….

……………………………………………..

……………………….

………………………………………………………….

………………………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………


……………………………………………………………………

…………..

7. Bentuk kelas interval ke dalam bentuk tabel

Kelas Frekuensi

8. Bentuk histogram dari hasil pengolahan data nomor

sepatu di atas


Mean, median, dan modus merupakan nilai yang

menggambarkan tentang pemusatan nilai – nilai dari

data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah

diamati. Oleh karena itu mean, median, dan modus

disebut sebagai ukuran pemusatan data. Mean adalah

rata – rata, median adalah nilai tengah dan modus

adalah data yang sering muncul.

Setiap interval memiliki batas bawah, batas atas,

dan titik tengah interval ( xi ).

Contoh : Dari interval 38 – 40 dapat diartikan bahwa

38 merupakan batas bawah interval, dan 40

merupakan batas atas interval

Titik tengah setiap interval diartikan sebagai

perwakilan data setiap interval. Nilai ini digunakan

untuk menentukan rata-rata data tersebut.


Materi Pembelajaran

x i=12¿

−(batas atas interval ke−i )¿

A. Mean

36 37 37 36 43 40 40 36 37 39

40 41 37 37 38 36 38 42 39 40

37 36 44 42 38 39 39 37 41 41

Pak Joko ingin mengetahui berapa rata – rata

nomor sepatu siswa dan siswi kelas VII. Dan tabel di

atas merupakan data observasi nomor sepatu siswa

dan siswi kelas VII.


1. Tentukan titik tengah dari setiap interval yang sudah

ditentukan sebelumnya.

……………………………………………………………………

……………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

……………………………………………………………………

…………………………………….

……………………………………………………………………

…………..…………………………………………….


Permas

………………………………………………..…..

……………………………………………………………………

…….

……………………………………………………………………

…………………………………………..……………….

……………………………………………………………………

…………………………………………..

……………………………………………….

2. Kalikan nilai titik tengah masing – masing interval

dengan frekuensinya lalu hitung jumlahnya dan

isikan pada tabel dibawah

Kelas Frekuen

si

x i x i ∙ F

3. Hitung nilai mean atau rata – ratanya

……………………………………………………………………

……………………………………………………….


………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

……………………………………….

……………………………………………………………………

………..……………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………

………….……………..

……………………………………………………………………

…………………………..……………….

……………………………………………………………………

………..………………………………………………….

…………………………………………..

……………………………………………………………………

……………

Perhitungan rata – rata dapat dirumuskan secara

matematis menjadi :


Materi Pembelajaran

Dimana:

f i = frekuensi kelas ke – i

x i = nilai

tengah kelas ke – i

Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung

rata – rata. Dengan cara memperkirakan bahwa nilai

rata-rata sementara yang dipilih pada kelas yang

memiliki frekuensi tertinggi dan letak rata-rata

sementara tersebut adalah titik tengah kelas interval.

Secara lengkap, langkah-langkah menentukan rata –

rata data dengan menggunakan rata-rata sementara

sebagai berikut.

1. Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar

sebagai mean sementara (xs)

……………………………………………………………………

……………………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………


Mean=f 1 x1+ f 2 x2+ f 3 x3+…+ f k xk

f 1+ f 2+ f 3+…+ f k

………….……………..

……………………………………………………………………

…………………………………

2. Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan mean sementara dan

catat hasilnya dalam pada tabel di bawah.

Kelas (x i) f i d i=x i−x s f i ∙ d i

3. Hitung hasil kali f i ∙ d i dan tuliskan pada tabel di atas lalu hitung

totalnya.

4. Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan sementara

……………………………………………………………………

……………………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….

………………………..

……………………………………………………………………

……………………………….

……………………………………………………………………


…………..…………………………………………….

………………………………………………..…..

……………………………………………………………………

…….

……………………………………………………………………

…………………………………………..……………….

……………………………………………………………………

………..……………………………………………….

……………………………………………………………………

…………………………………………………………

Diperoleh rata – rata adalah :

Dimana :

xs = nilai rata – rata sementara

d i = deviasi atau simpangan terhadap rata – rata

f i = trekuensi interval kelaske – i

xs = nilai titik tengah interval ke – i


Mean=xs+∑i=1

k

( f i ∙ d i)

∑i=1

k

f i

B. Modus

Modus bukan merupakan materi baru yang akan

dipelajari di kelas XI ini. Modus untuk data tunggal

telah dipelajari pada tingkat SMP. Modus pada data

tunggal dan data kelompok mempunyai prinsip yang

sama yaitu nilai yang sering muncul. Dalam hal ini

frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai

letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data

kita mengambil 3 kelas interval yakni kelas interval

dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas

interval sebelum dan sesudah kelas modus. Dengan

bantuan histogram dapat digambarkan sebagai berikut.

Perhatikan ilustrasi diatas, terlihat bahwa Δ ABG

sebangun dengan Δ DCG, dan panjang AB = d1 ; CD =

d2 ; EG = Δx dan FG = k – Δx. Secara geometri dari

kesebangunan di atas berlaku perbandingan berikut ini;

ABCD

= EGFG

→d1

d2

= Δ xk−Δ x

→d1 (k−Δ x )=d2Δ x

→d1k−d1 Δ x=d2 Δ x

→d1Δ x+d1 Δ x=d1k

→Δx (d1+d2 )=d1 k


→Δx=d1 k

(d1+d2 )

→Δx=k ( d1

d1+d2)

Sehingga dapat diperoleh modus adalah :

M o=t b+Δ x

¿ t b+k ( d1

d1+d2)

Dimana :

Mo = modus

t b = tepi bawah keals modus

d1 =Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sesudahnya

Perhatikan tabel berikut ini.

Kelas Frekuen

si

Titik

tengah


Mo=t b+k ( d1

d1+d2)

Contoh

(xi)

36 –

37,312

36,65

37,4 –

38,72

38,05

38,8 –

40,18

39,45

40,2 –

41,58

40,85

41,6 –

42,92

42,25

43 –

44,32

43,65

Dari data di atas dapat ditentukan sebagai berikut:

Tampak modus terletak pada frekuensi terbanyak f

= 12 yaitu kelas interval modus 36 – 37,3 dengan dan

panjang kelas k = 1,3. Oleh karena itu, tb=35,5, dan

d1= 12 – 0 = 12 serta d2= 12 – 2 = 10.

Jadi modus data di atas adalah:

Mo=t b+[ d1

d1+d2]

¿35,3+[ 1212+10 ]

¿35,5+0,54

¿36,04


Median dari sekelompok data yang telah terurut

merupakan nilai yang terletak di tengah data yang

membagi data menjadi dua bahagian yang sama.

Untuk data berkelompok berdistribusi frekuensi median

ditentukan sebagai berikut:

Dimana:

M e = Median

t b = tepi bawah kelas median

k = panjang kelas

n = banyaknya

data dati statistic

terurut ∑ f i

F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas

median

f m = frekuensi kelas median

Kelas Frekuen Titik


C. Median

M e=t b+k [ n2−F

f m ]

Contoh

sitengah

(xi)

36 –

37,312

36,65

37,4 –

38,72

38,05

38,8 –

40,18

39,45

40,2 –

41,58

40,85

41,6 –

42,92

42,25

43 –

44,32

43,65

Perhatikan tabel di atas. Dari tabel di atas diperoleh

bahwa k=1,3 ; t b = 38,3 ; F= 14 ; f m= 8.

Sehingga:

M e=38,3+1,3 [ 302

−14

8 ]Me=38,3+1,3 x 0,125

Me=38,3+0,1625

Me=38,46



Mari Berlatih

1. Apa yang dimaksud dengan :a. Statistik statistika b. Data, dan data ukuran

(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Membuat dan menjawab pertanyaan dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis)

2. Diketahui kumulan data kelompok :

Nilai Frekuensi

42 – 46 147 – 51 552 – 56 557 – 61 1562 – 66 867 – 71 472 – 76 2

a. Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.

b. Gambarkan histogram dan polygon frekuensinya.(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi diagram, grafik atau tabel)

BAB II


Kompetensi Dasar :

Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai letak data dengan karakteristik data melalui aturan dan rumus serta menafsirkan dan mengkomunikasikannya


Menafsirkan kecenderungan data dalambentuk tabel dan diagram

Menentukan ukuran letak data (kuartil, desil, persentil)

Ukuran Letak Data

Ukuran letak data yang dimaksud dalam bab ini

adalah kuartil, desil, dan persentil. Ingat kembali materi

statistik yang telah kamu pelajari di kelas X, konsep

kuartil dan desil untuk data berdistribusi analog dengan

yang ada pada data tunggal.

Jika semua data yang telah diurutkan mulai dari data

terkecil dan data terbesar, maka data tersebut dapat

dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang

membagi empat bagian dari sekumpulan data disebut

kuartil. Untuk lebih memahami pengertian kuartil

perhatikan ilustrasi berikut.

Untuk menentukan Kuartil data berdistribusi,

dirumuskan:


A. Kuartil

Qi=Li+k( i4 n−FQ)

f qi

Dimana:

n = banyaknya data

k =

panjang kelas

Qi = kuartil ke

– i data, untuk i = 1,2,3

Li = tepi bawah kelas ke –i. Li= batas bawah –

0,5

FQ= Jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-i

f qi = frekuensi kelas yang memuat kuartil ke-i

Kelas Frekuensi f i

42 – 46 2

47 – 51 5

52 – 56 5

57 – 61 15

62 – 66 7

67 – 71 4

72 – 76 2


Permas

Tabel di atas menunjukkan hasil ulangan

matematika siswa kelas VII.


1. Amati tabel di atas

2. Tentukan letak Q1 .

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……..............................................................................

.................

3. Hitung nilai Q1

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….……..

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….…………..

……………………………………………………………………

…………………..………………………….


……………………………………………………………………

…………………………………………

4. Tentukan letak Q2

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………..

……………………………………………………………………

….………………………..

……………………………………………………………………

……………………………….

……………………………………………………………………

………………..……………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

5. Hitung nilai Q2

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….

………………………..

……………………………………………………………………

……………………………….

……………………………………………………………………

………………..……………………………………….


……………………………………………………..

……………………………………………………………………

….…………………..

6. Tentukan letak Q3

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………..

……………………………………………………………………

…………….…………..

……………………………………………………………………

…………………………………………….

……………………………………………………………………

…..…………………………………………………….

………………………………………..

……………………………………………………………………

……………….………..

……………………………………………………………………

……………………………………………….

……………………………………………………………..

……………………………………………………………….

………………………………………..

……………………………………………………………………

…………………………

7. Hitung nilai Q3


……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….…………………..

……………………………………………………………………

…………………………………….

……………………………………………………………………

…………..…………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

……………………………………….

……………………………………………………………………

………..……………………………………………….

…………………………………………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………

Prinsip untuk mencari desil hampir sama dengan

kuartil, Jika data yang sudah terurut dibagi menjadi 10


B. Desil

bagian sama banyak, maka tiap bagian itu disebut

desil, sehingga akan terdapat 9 desil, D1 ,D 2 ,…, D9 .

Dari 1000 siswa peserta Olimpiade Matematika

diperoleh data skor berupa tabel tersebut.

Skor Frekuensi

0 – 9 5

10 – 19 54

20 – 29 215

30 – 39 263

40 – 49 223

50 – 59 124

60 – 69 72

70 – 79 38

80 – 89 5

90 – 99 1

Langkah – langkah :

1. Hitung frekuensi kumulatif dari data tersebut

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….


Permas

…………………………..

……………………………………………………………………

…………………………….

……………………………………………………………………

……………..……………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………

………….……………..

……………………………………………………………………

………………………………………….

……………………………………………………………..

……………………………………………………………….

……………………………..

……………………………………………………………………

…………………………..….

2. Cari kelas yang memuat Desil 1 dengan membagi

desil yang akan dicari dengan sepuluh lalu dikalikan

dengan banyaknya data

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….

…………………………..

……………………………………………………………………

…………………………….


……………………………………………………………………

…………………..…………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

…………………………

3. Tentukan tepi bawah kelas yang memuat desil ke-1

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………..

……………………………………………………………………

….……………………..

……………………………………………………………………

………………………………….

……………………………………………………………………

……………..………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

4. Tentukan frekuensi kelas yang memuat desil ke-1

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….


…………………………..

……………………………………………………………………

…………………………….

……………………………………………………………………

…………………..…………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

5. Hitung nilai Desil ke – 1 dengan data – data yang

diperoleh.

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

……………………………………….

……………………………………………………………………

………..……………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………

………….…………………..

……………………………………………………………………

………………………

6. Tentukan rumus desil dengan mengganti 1 dengan i


……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….

…………………………..

……………………………………………………………………

…………………………….

……………………………………………………………………

…………………..…………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………

………….…………..

……………………………………………………………………

………………………………

7. Hitung Desil ke-5 dengan cara yang sama

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………………..

……………………………………………………………….

……………………………..

……………………………………………………………………

………………………….

……………………………………………………………………

……………..………………………………………….

…………………………………………………..


……………………………………………………………………

…….…………………..


Sama halnya dengan kuartil, dengan cara serupa

kita mempunyai rumus untuk menentukan letak desil Di

, yaitu:

Dimana :

Di = Desil ke-i

Li = Tepi bawah yang memuat desil ke-i

FD= Jumlah frekuensi sebelum desil ke-i

f Di= Jumlah frekuensi yang memuat desil ke-i

n = banyak data

k = panjang kelas

Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut

menjadi empat dan sepuluh bagian maka desil menjadi

100 bagian data. Hal ini berarti sekumpulan data yang

terurut memiliki 99 nilai persentil, yakni P1, P2, P3, ...,

P99.


Di=Li+k( i10

n−FD)f Di

D. Persentil

Materi Pembelajaran

Dari 1000 siswa peserta Olimpiade Matematika

diperoleh data skor berupa tabel tersebut.

Skor Frekuensi

0 – 9 5

10 – 19 54

20 – 29 215

30 – 39 263

40 – 49 223

50 – 59 124

60 – 69 72

70 – 79 38

80 – 89 5

90 – 99 1


1. Hitung jumlah frekuensi kumulatif dari data tersebut

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….


Permas

………………………..

……………………………………………………………………

………………………………….

……………………………………………………………………

………………..

2. Cari kelas yang memuat persentil 10 yaitu dengan

membagi urutan persentil yang akan dicari dengan

seratus dan dikalikan dengan banyaknya data

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………..

……………………………………………………………………

…………….…………..

……………………………………………………………………

…………………………………………….

……………………………………………………………………

…..…………………………………………………….

………………………………………..

……………………………………………………………………

……………….………..

……………………………………………………………………

……………………………………………….

……………………………………………………………………

…..


……………………………………………………………………

……………………………

3. Tentukan tepi bawah kelas yang memuat persentil

ke 10

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………..

……………………………………………………………………

……………….………..

……………………………………………………………………

……………………………………………….

……………………………………………………………………..

……………………………………………………….

……………………………………..

……………………………………………………………………

………………….……..

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………………………

………..

……………………………………………………………………

……………….……..

……………………………………………………………………

………………………


4. Tentukan jumlah frekuensi sebelum kelas persentil

ke 10

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……….……………………………………………………..

……………………………………………………………………

….…………………..

……………………………………………………………………

……………………………………...

……………………………………………………………………

…………………………………………

5. Tentukan frekuensi kelas yang memuat persentil ke

10

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….

……………………..

……………………………………………………………………

………………………………….

……………………………………………………………………


………..……………………………………………….

…………………………………………..

……………………………………………………………………

…………….……………..……

6. Hitung nilai persentil ke 10

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………………..

……………………………………………………………….

……………………………..

……………………………………………………………………

………………………….

……………………………………………………………………

…………..…………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…………………………

7. Tentukan rumus mencari persentil dengan

mengganti 10 dengan i

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….………..

……………………………………………………………………


……………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….

…………………………..

……………………………………………………………………

…………………..………….

……………………………………………………………………

……………………………………………………….

……………………………………………………………………

………..


Untuk menghitung persentil, dirumuskan sebagai

berikut :

Dimana:

i = 1,2,…, 99

Pi = persentil ke-i

Li = tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-

i

k = panjang kelas

n = banyaknya data

F p = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil

ke-i

f pi= frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i

Dari ukuran letak data yang telah dibahas di atas

tentu kita akan menemukan keterkaitan nilai ukuran

satu dengan yang lainnya. Misalkan data yang dimiliki

adalah sama maka akan ditemukan nilai median = Q2


Pi=Li+k( i

100n−F p)f pi

Materi Pembelajaran

= D5 = P50, dan Q1 = P2, dan Q3 = P75. Cobalah

membuktikannya dengan teman kelompokmu.



Mari Berlatih

BAB III


1. Diketahui data terkelompok dengan distribusi seperti berikut.

Kelas Interval

Frekuensi Frekuensi Kumulatif

11 – 17 2 218 – 24 1 325 – 31 4 732 – 38 13 2039 – 45 14 3446 – 52 17 5153 – 59 15 6660 – 66 6 7267 – 73 3 7574 – 80 5 80

a. Hitunglah D8

b. Hitunglah P79

(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Penyelesaian masalah dari suatu ekspresi matematis)

2. Jelaskan arti Q3=16 ,D6=63 , danP78=32?(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Membuat

dan menjawab pertanyaan dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis)

Kompetensi Dasar :

Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran penyebaran data sesuai dengan karakteristik data melalui aturan dan rumus sertamenafsirkan dan mengkomunikasikannya


Menafsirkan kecenderungan data dalam bentuk tabel dan diagram

Menentukan ukuran penyebaran data Memberikan penafsiran terhadap ukuranpenyebaran

data

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data menunjukkan perbedaan

data yang satu dengan data yang lain serta

menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu

data memiliki nilai yang berbeda. Adapun ukuran

penyebaran data yang akan kita kaji adalah sebagai

berikut.

Range merupakan selisih antara data terbesar

dengan data terkecil. Sedangkan untuk data

berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah

kelas tertinggi dan data terendah diambil dari nilai

kelas yang

terendah.


A. Rentang Data atau Jangkauan (Range)

Permasalah

Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah

sekolah diperoleh data tinggi badan siswa yang

mendaftar adalah sebagai berikut:

Tinggi

badan (cm)

Banyak

siswayang

mendaftar (fi)

140 – 144 7

145 – 149 8

150 – 154 12

155 – 159 16

160 – 164 24

165 – 169 13

170 – 174 2


1. Tentukan data tertinggi dari data tersebut dengan

mengambil nilai tengah tertinggi

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………………..

………………………………………………………………….


…………………………..

……………………………………………………………………

…………………………

2. Tentukan data terendah dengan mengambil dari nilai

tengah kelas yang rendah

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….

………………………..

……………………………………………………………………

……………………………

3. Hitung nilai range dari data tersebut

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………………..

…………………………………………………………………….

………………………..

……………………………………………………………………

……………………………….

……………………………………………………………………

………………..……………………………………….

……………………………………………………..

……………………………………………………………………

….………………..


……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………


Panitia penerimaan tentara menimbang 14 calon

yang masing – masing beratnya (dalam kg) :

70 56 61 72 69 67 54

60 65 57 66 62 63 59

Penyelesaian :

Range merupakan selisih antara data terbesar

dengan data terkecil. Jadi,

Rentang=Xmaks−Xmin

¿72−54

¿18

Dengan pemahaman yang sama yakni rentang

merupakan selisih data terbesar dengan data terkecil,

maka rentang antar kuartil dirumuskan dengan selisih


B. Rentang Antar Kuartil (Simpangan Kuartil)

Materi Pembelajaran

Contoh

kuartil terbesar dengan kuartil terkecil yakni kuartil

atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1), maka dapat

dituliskan dengan: simpangan kuartil = Q3 – Q1.

Tinggi

badan (cm)

Banyak siswa

yang mendaftar

(fi)

140 – 144 7

145 – 149 8

150 – 154 12

155 – 159 16

160 – 164 24

165 – 169 13

170 – 174 2

Data di atas menunjukkan daftar tinggi siswa yang

akan mendaftar di Kepolisian

Penyelesaian :

Dari tabel di ata dapat kita peroleh rentang antar

kuartil data tersebut adalah:

Simpangan kuartil = 63, 4 – 55, 5

= 7,9


Contoh

Andaikan kita memiliki data x1, x2, x3, ..., xn maka

dengan konsep nilai rentang data kita dapat

menentukan rentang nilai rata – rata atau simpangan

rata-rata sehingga diperoleh urutan data yang baru

yaitu:

Dalam urutan data di atas mungkin ada yang positif

dan negatif namun konsep jarak atau rentang tidak

membedakan keduanya, untuk itu diambil harga

mutlak

sehingga diperoleh:

Dan jika urutan nilai

data tersebut dijumlahkan

kemudian dibagi dengan

banyak data (n) maka akan diperoleh simpangan rata-

rata sebagai berikut:


C. Simpangan Rata – Rata

(x1−x ) , (x1−x ) , (x3−x ) ,…,(xn−x )

|x1−x|,|x1−x|,|x3− x|,…,|(xn−x)|

SR=∑i=1

k

|x i−x|n

Dimana :

SR = Simpangan rata – rata

x i = nilai tengah kelas ke-i

x = nilai rata – rata

n = banyaknya data

Formula di atas

merupakan simpangan

rata-rata untuk data

tunggal. Data berdistribusi memiliki nilai frekuensi

dalam tiap kelompok atau interval data dan nilai data

pengamatan merupakan nilai tengah kelas sehingga

untuk data berdistribusi diperoleh simpangan rata-rata

yang dituliskan sebagai berikut:

Dimana :

SR = Simpangan rata – rata

x i = nilai tengah kelas ke-i

x = nilai rata – rata

f i = frekuensi kelas ke-i


SR=∑i=1

k

f i|x i−x|

∑i=1

k

f i

Permasalah

Terdapat tabel distribusi frekuensi seperti di bawah

ini.

kelas Frekuensi

38 – 46 1

47 – 55 5

56 – 64 7

65 – 73 12

74 – 82 25

84 – 91 22

92 – 100 8

Total 80


1. Amati tabel di atas

2. Hitung nilai titik tengah dari setiap kelas

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………..

……………………………………………………………………

……………………….…..

……………………………………………………………………

…………………………………………………….

………………………………………………………………..

……………………


3. Hitung |x i−x|

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

……………………………………………………………………

…………………………………….

……………………………………………………………………

………..…………

4. Hitung nilai f|x i− x|

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………………..

………………………………………………………………….

………………………..……..

……………………………………………………………………

……….……………………….

……………………………………………………………………

………..

5. Hitung nilai simpangan rata – rata dari data tersebut

……………………………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………


………….……………..

……………………………………………………………………

………………………………………….

……………………………………………………………………

……..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

…………………………………………………………


Penentuan nilai simpangan rata-rata memiliki

kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang

berakibat simpangan rata-rata tidak dapat

membedakan antara rentang yang lebih besar dan

lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut ahli

statistik menggunakan simpangan baku yang

menggunakan kuadrat pada rentang datanya,

simpangan baku dirumuskan sebagai berikut:

Ragam, atau sering

disebut varian merupakan kuadrat dari nilai simpangan

baku, data berdistribusi dirumuskan sebagai berikut:

Dengan :


D.Ragam dan Simpangan Baku

SB=√ 1n∑i=1

r

f i (x i−x )2

SB2=1n∑i=1

r

f i (x i−x )2

SB =

simpangan baku

SB2 = ragam/varians

f i = frekuensi kelas ke-i

x i = titik tengah interval ke-i

x = rata – rata

n = ukuran data

kelas Frekuensi

38 – 46 1

47 – 55 5

56 – 64 7

65 – 73 12

74 – 82 25

84 – 91 22

92 – 100 8

Total 80


1. Tentukan titik tengah dari masing – masing kelas

interval


Permasalah

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

……………………………………….

……………………………………………………………………

………..……………………………………………….

……………………………………………..

……………………………………………………………………

………….……………..

……………………………………………………………………

………………………………………….

……………………………………………………………………

………..

2. Hitung nilai rata – ratanya

……………………………………………………………………

………………………………………………….

………………………………………..

……………………………………………………………………

……………….………..

……………………………………………………………………

……………………………………………….

……………………………………………………………………..


……………………………………………………….

……………………………………..

……………………………………………………………………

………………………………………

3. Hitung nilai x i−x

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

……………………………………………………………………

…………………………………….

……………………………………………………………………

…………..…………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……….………………..

……………………………………………………………………

…………………………

4. Kuadratkan nilai x i−x

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………..

……………………………………………………………………

…………………….…..


……………………………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………………………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

…………………………………………………………………

5. Hitung nilai f (x i−x )2

……………………………………………………………………

………………………………………………….

…………………………………………………..

……………………………………………………………………

…….…………………..

……………………………………………………………………

…………………………………….

……………………………………………………………………

…………..…………………………………………….

………………………………………………..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………

6. Hitung nilai simpangan baku dengan data yang

diperoleh

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………………..


……………………………………………………………………

….………………………..

……………………………………………………………………

………………………………………………….……..

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

…………………………………………

7. Hitung nilai varians dengan data yang diperoleh

……………………………………………………………………

………………………………………………….

……………………………………………..

………………………………………..

……………………………………….

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

………………………………………………………


Materi Pembelajaran

Setelah melakukan langkah – langkah penyelesaian

di atas diperoleh:

Simpangan baku

SB=√ 1n∑i=1

r

f i (x i−x )2

¿√ 180∙12505,39

¿12,5


Ragam / Varians

SB2=1n∑i=1

r

f i (x i−x )2

¿ 180∙12505,39

¿156,32


Untuk semua jenis ukuran

penyebaran data ini,

tentunya tidaklah sesuatu hal yang sulit untuk

menentukan nilainya. Namun, yang penting dari semua

adalah memahami makna setiap angka statistik yang

diperoleh.


Mari Berlatih

1. Hitung rataan simpangan baku dari data terkelompok berikut.

Tinggi fi Tinggi fi151 – 155

5 51 – 55 2

156 – 160

8 56 – 60 5

161 – 165

22 61 – 65 9

166 – 170

12 66 – 70 6

171 – 175

3 71 – 75 3

(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Penyelesaian masalah dari suatu ekspresi matematis)

2. Panjang papan diukur lima kali pengukuran dengan hasil pengukuran berbeda – beda yaitu 12,01 m; 12,14 m; 11,97 m; 12,00 m. Tentukan interval yang memuat panjang papan sebenarnya.(Kemampuaan Representasi Matematis Aspek Membuat persamaan atau ekspresi matematis dari representasi lain yang diberikan)

Catatan :

…………………………………………………………………………

…………………..

…………………………………………………………………………

……………………..………..

…………………………………………………………………………

………………………………………………..

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

……………………


modul statistika xi sma

Education