modul statistik norestriction

UNIVERSITAS JEMBER

Modul Statistika Dasar

Pengenalan Statistika

Moh. Heri Setiawan 3/15/2012

Pengenalan Statistika Dasar ini merupakan hasil studi yang saya tempuh selama menjadi mahasiswa program S1 jurusan Matematika di Universitas Udayana.

http://www.PDFWatermarkRemover.com/buy.htm

Modul Statistika Dasar by Moh. Heri Setiawan

HIMATIKA UNUD Page | 2

MODUL STATISTIK Oleh Moh. Heri Setiawan

BAB I

KONSEP DASAR STATISTIKA

Konsep dasar statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara – cara pengumpulan data, penyajian data, analisis, dan penafsiran (interpretasi) data. Secara garis besar metode statistika dibagi menjadi 2 yaitu :

Statistika deskriptif adalah metode – metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan suatu informasi yang berguna. Statistika deskriptif memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik kesimpulan/inferensia apapun tentang gugus data yang lebih besar. Tergolong dalam statistika deskriptif : table, diagram, grafik, dan besaran – besaran lain.

Statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya.

sedangkan statistik merupakan karakteristik/nilai-nilai yang dimiliki oleh sampel /contoh. Parameter merupakan seluruh karakteristik yang dimiliki oleh populasi.

Populasi dan contoh

Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi pusat perhatian kita. Banyak pengamatan atau anggota suatu populasi disebut ukuran populasi. Contoh adalah suatu himpunan bagian dari populasi.

Teknik pengumpulan data :

1. Survey 2. Eksperimen

Jenis – jenis data :

Data kualitatif Data kualitatif merupakan data yang tidak dinyatakan dalam bentuk angka –

angka. Misalnya : suka, sangat suka, tidak suka, baik, sangat baik, dll. Data kuantitatif

Data kuantitatif merupakan data yang dinyatakan dalam bentuk angka – angka. Misalnya : data berat badan, data umur, data harga barang, dll.

Statistika mengenal 4 macam skala pengukuran (measurement scale), tetapi pada hakekatnya terdapat 2 jenis skala pengukuran yan gdidasarkan pada karakteristik obyek pengamatan yaitu :

1. Skala pengukuran Non-Metrik meliputi skala Nominal dan skala Ordinal 2. Skala pengukuran Metrik meliputi skala interval dan skala rasio

PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the watermark




Keterangan :

A. Skala Non-Metrik : skala pengukuran yang tergolong tingkat penskalaan “rendah” dalam statistika, umumnya terkait erat dengan variable yang bersifat kualitatif, dimana karakteristik obyek diperoleh dengan cara meminta pendapat responden.

B. Skala Metrik : skala pengukuran ang tergolong tingkat penskalaan “tinggi” dalam statistika, umumnya terkait erat dengan variable yang bersfat kuantitatif dimana nilai karakteristik obyek diperoleh dengan cara mencacah atau mengukur obyek pengamatan.

C. Skala Nominal : sering disebut skala kategori, merupakan skala pengukuran terendah yang hanya mampu melakukan pengelompokan menurut kategori/klas yang dibentuk. Misal : laki, perempuan, ayah, ibu, anak, dll.

D. Skala Ordinal : skala pengukuran yang mampu melakukan pengelompokan dan pemeringkatan (urutan) dari karakteristik obyek yang diamati. Sebuah kategori/klas dari variable yang diamati dapat dibandingkan dengan kategori /klas lainnya melalui hubungan “lebih besar” atau “kurang dari”.

E. Skala interval : skala pengukuran yang memiliki kemampuan untuk mengelompokkan, mengurutkan, dan menghitung interval 2 nilai pengamatan. Skala ini belum mampu menghitung rasio dua nilai, dikatakan bahwa skala interval belum memiliki titik 0 absolut. Contoh : missal suhu benda A 80o F dan benda B suhunya 40o F, namun tidak dapat dikatakan bahwa suhu benda A dua kali suhu benda B. karena jika suhu dinyatakan dalam satuan Celsius atau Reamur akan diperoleh angka – angka yang berbeda.

F. Skala rasio : merupakan skala pengukuran tertinggi dalam terminology statistika, mempunyai kemampuan untuk mengelompokkan, mengurutkan, menghitung interval 2 nilai, dan menghitung rasio 2 nilai pengamatan dengan dicirikan telah adanya titik 0 absolut. Missal berat badan si A 50 kg dan berat si B 100 kg, maka berat si B 2 kali berat si A apapun satuan yang digunakan.

Data yang telah diolah dapat disajikan dalam bentuk grafik antara lain :

a. Diagram batang b. Diagram lingkaran c. Diagram garis d. Histogram e. Diagram dahan daun (stem and leaf) f. Diagram kotak baris dll.

Notasi penjumlahan

Dalam statistika, sering kali melakukan penjumlahan data yang cukup banyak. Untuk menyederhanakan cara penulisan data, digunakan notasi sigma “∑”.

� 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

𝑖=1





Sifat – sifat notasi sigma untuk variable tak berindeks

a. ∑ 𝒌𝒏𝒌=𝟏 = ∑ 𝒊𝒏

𝒊=𝟏 b. ∑ 𝒄𝒏

𝒌=𝒎 = (𝒏 − 𝒎 + 𝟏)𝒄 ; 𝒄 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂 c. ∑ 𝒄 𝒌𝒏

𝒌=𝟏 = 𝒄 ∑ 𝒌𝒏𝒌=𝟏 ; 𝒄 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂

d. ∑ 𝒌𝒏𝒌=𝒎 = ∑ (𝒌 − 𝒑)𝒏+𝒑

𝒌=𝒎+𝒑 ; 𝒑 = 𝒃𝒊𝒍. 𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕 e. ∑ 𝒌𝒎−𝟏

𝒌=𝟏 + ∑ 𝒌𝒏𝒌=𝒎 = ∑ 𝒌𝒏

𝒌=𝟏 ; 𝒎 < 𝑛 f. ∑ 𝒌𝒔

𝒌=𝒔 = 𝒔

Sifat – sifat notasi sigma untuk variable berindeks

a. ∑ 𝒂𝒌 =𝒏𝒌=𝟏 ∑ 𝒂𝒊

𝒏𝒊=𝟏

b. ∑ 𝒄 𝒂𝒌 = 𝒄𝒏𝒌=𝟏 ∑ 𝒂𝒌

𝒏𝒌=𝟏

c. ∑ (𝒂𝒌 ± 𝒃𝒌) = 𝒏𝒌=𝟏 ∑ 𝒂𝒌 + 𝒏

𝒌=𝟏 ∑ 𝒃𝒌𝒏𝒌=𝟏

d. ∑ 𝒂𝒌 = 𝒏𝒌=𝒎 ∑ 𝒂(𝒌−𝒑)

𝒏+𝒑𝒌=𝒎+𝒑 ; 𝒑 𝒃𝒊𝒍. 𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕

e. ∑ 𝒂𝒌 + 𝒎−𝟏𝒌=𝟏 ∑ 𝒂𝒌 = 𝒏

𝒌=𝒎 ∑ 𝒂𝒌 ; 𝒎 < 𝑛𝒏𝒌=𝟏

f. ∑ 𝒂𝒌 = 𝒂𝒔 ; 𝒂 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … , 𝒏𝒔𝒌=𝒔





BAB II UKURAN STATISTIK BAGI DATA

Definisi Parameter dan statistik

Terminologi dan notasi yang digunakan statistikawan dalam mengolah data ststistik bergantung pada apakah data tersebut merupakan data populasi atau contoh yang diambil dari suatu populasi. Parameter merupakan sembarang nilai yang menjelaskan cirri dari suatu populasi, sedangkan sembarang nilai yang menjelaskan cirri dari suatu contoh disebut statistic.

Misal data berikut adalah banyak kesalahan ketik setiap halaman yang dilakukan seorang sekretaris ketika mengetik dokumen setebal 10 halaman : 1, 0, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, dan 0. Bila diasumsikan bahwa dokumen tersebut adalah data suatu populasi kecil. Maka kita dapat mengatakan bahwa banyak kesalahan terbesar adalah 4, atau nilai tengah hitung (rata – rata) banyak kesalahan adalah 1,5 merupakan deskripsi bagi populasi yang disebut parameter populasi.

Secara umum, nilai tengah populasi dilambangkan dengan huruf yunani yaitu µ. Jadi populasi kesalahan ketik di atas adalah µ = 1,5. Terlihat bahwa parameter populasi merupakan suatu konstanta yang menjelaskan populasi.

Misalkan data diatas merupakan sebuah contoh 10 halaman yang diambil secara acak dari naskah setebal 100 halaman, maka data tersebut merupakan data contoh (sampel). Maka nilai 4 dan 1,5 adalah ukuran deskripsi contoh yang disebut statistic.

Statistic biasanya dinyatakan dalam huruf kecil biasa. Bila statistic itu berupa nilai tengah contoh, dilambangkan dengan :

�̅� = 1,5 Karena dari populasi yang sama banyak sekali kemungkinan contoh acak yang

dapat diambil, dapat dibayangkan bahwa statistic itu sangat bervariasi dari satu contoh ke contoh yang lainnya.

Ukuran pemusatan data Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan

dari nilai terkecil sampai terbesar ke terkecil disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran pemusatan. Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah nilai tengah, median, dan modus. Nilai tengah

Bila segugus data x1, x2, x3, … , xN, menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N, maka nilai tengah populasi adalah :

𝜇 = ∑ 𝑥𝑖

𝑁𝑖=1

𝑁

Bila segugus data x1, x2, x3, … , xn, merupakan sebuah contoh terhingga berukuran n, maka nilai tengah contohnya adalah :

�̅� = ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

Dapat dilakukan penyederhanaan perhitungan nilai tengah dengan teknik pengkodean, menambahkan atau mengurangkan suatu konstanta pada semua nilai pangamatan, kemudian baru menghitung nilai tangahnya. Misalnya terdapat hubungan yi = xi + a maka :





𝑦� = ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

∑ (𝑥𝑖 + 𝑎)𝑛𝑖=1

𝑛= �̅� + 𝑎

Bila terdapat hubungan yi = c xi maka :

𝑦� = ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

∑ 𝑐 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛= 𝑐�̅�

Tengah wilayah merupakan ukuran yang didefinisikan sebagai rata – rata pengamatan terkecil dan terbesar.

𝑥 = 𝑥𝑚𝑖𝑛 + 𝑥𝑚𝑎𝑥

2=

𝑥1 + 𝑥𝑛

2

Median Median segugus data yang telah terurus dari nilai terkecil sampai nilai

terbesar atau sebaliknya dari terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah – tengah bila banyak pengamatan ganjil (n=ganjil) atau rata – rata kedua pengamatan yang ditengah bila n = genap

𝑀𝑒 = 𝑄2 = 𝑥�𝑛+1

2 � ; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

𝑀𝑒 = 𝑄2 = 12

�𝑥�𝑛2� + 𝑥�𝑛

2+ 1�� ; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

Modus Modus dari gugus pengamatan adalah nilai yang paling sering muncul atau

nilai dengan frekuensi tertinggi.modus tidak selalu ada, bila semua pengamatan mempunyai frekuensi yang sama atau dalam segugus data mungkin memiliki lebih dari satu modus. Sebaran data yang memiliki dua buah modus disebut bimodus.

Beberapa ukuran nilai tengah lain

Nilai tengah terboboti Rataan k buah nilai x1, x2, x3, … , xk dengan menganggap bahwa sebagian data

lebih penting dari yang lain dengan memberikan pembobot w1, w2, w3, … , wk pada nilai – nilai tersebut, sedang pembobot – pembobot mengukur pentingnya yang satu relative terhadap yang lain. Maka nilai tengah terboboti diberikan oleh :

𝜇𝑤 𝑎𝑡𝑎𝑢 �̅� = ∑ 𝑤𝑖𝑥𝑖

𝑘𝑡=1

∑ 𝑤𝑖𝑘𝑡=1

Bila pembobotnya sama, rumus tersebut menghasilkan nilai tengah hitung biasa. Nilai tengah gabungan

Misalkan k sebuah populasi terhingga masing – masing ukuran populasi N1, N2, N3, … , Nk, mempunyai nilai tengah µ1, µ2, µ3, … , µk maka nilai tengah gabungan dari semua populasi adalah :

𝜇𝑔 = ∑ 𝑁𝑖𝜇𝑖

𝑘𝑖=1

∑ 𝑁𝑖𝑘𝑖=1

Bila suatu contoh acak berukuran n1, n2, n3, … , nk yang diambil dari k populasi tersebut, masing – masing dengan nilai tengah :

�̅�1, �̅�2, �̅�3 , … , �̅�𝑘 Maka nilai tengah contoh gabungannya adalah :





�̅�𝑔 = ∑ 𝑛𝑖�̅�𝑖

𝑘𝑖=1

∑ 𝑛𝑖𝑘𝑖=1

Nilai tengah geometric Nilai tengah geometric, G dari k bilangan positif x1, x2, x3, … , xk adalah akar ke-

k dari hasil kali semua bilangan itu. 𝐺 = �𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑘

𝑘 Nilai tengah harmonic

Nilai tengah harmonic dari k bilangan x1, x2, x3, … , xk adalah k dibagi dengan jumlah kebalikan bilangan – bilangan tersebut.

𝐻 =𝑘

∑ 1𝑥𝑖

𝑘𝑖=1

Ukuran keragaman data/penyebaran data Keragaman/Dispersi data menunjukkan seberapa jauh pengamatan – pengamatan

itu menyebar dari nilai tengahnya. Sangat mungkin kita memiliki dua kumpulan pengamatan yang mempunyai nilai tengah atau median yang sama namun sangat berbeda keragamannya. Statistic yang paling penting untuk mengukur keragaman data adalah wilayah/range dan ragam.

Wilayah/range Wilayah/range sekumpulan data adalah beda antara pengamatan terbesar dan

terkecil dalam kumpulan tersebut. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

Ragam dan simpangan baku Ragam populasi terhingga x1, x2, x3, … , xN didefinisikan sebagai :

𝜎2 =∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

𝑁

Ragam contoh terhingga x1, x2, x3, … , xn didefinisikan sebagai :

𝑆2 =∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Dalil Chebyshev Dua nilai yang digunakan statistikawan adalah nilai tengah dan simpangan baku.

Simpangan baku yang kecil mengindikasikan bahwa sebagian besar data mengumpul di sekitar nilai tengahnya, sebaliknya simpangan baku yang besar menunjukkan pengamatan – pengamatan lebih menyebar jauh dari nilai tengahnya.

Ahli matematika Rusia, P. L. Chebyshev (1821-1894) menemukan bahwa proporsi pengukuran yang jatuh antara dua nilai yang setangkup terhadap nilai tengahnya berhungan simpangan bakunya.

Dalil Chebyshev berbunyi “sekurang – kurangnya 1 – 1/k2 bagian data terletak dalam simpangan baku dan nilai tengahnya”. Untuk k = 2, dalil ini menyatakan bahwa sekurang – kurangnya 1 – ½2 = ¾ (75%) datanya pasti terletak dalam batas – batas 2 simpangan baku nilai tengahnya. Dengan kalimat lain, 75% atau lebih bagian pengamatan suatu populasi pasti terletak dalam selang µ ± 2σ. Bila datanya merupakan data contoh maka dinyatakan sebagai :

�̅� ± 𝑘𝑆





Nilai Z Bagaimana membandingkan dua pengamatan dari dua populasi yang berbeda

sehingga dapat menentukan tingkatan atau rank relatifnya. Salah satu cara menentukan tingkatan kedua pengamatan tersebut adalah mengubahnya menjadi satuan baku yang dikenal sebagai nilai z atau skor z.

Suatu pengamatan x dari suatu populasi yang mempunyai nilai µ dan simpangan baku σ, mempunyai nilai z atau skor z yang didefinisikan sebagai :

𝑧 = 𝑥 − 𝜇

𝜎 ; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑧 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖

𝑧 = 𝑥 − �̅�

𝑆 ; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ

Sebaran Frekuensi untuk data kelompok Mean

Mean atau rata – rata didefinisikan sebagai :

�̅� = ∑ 𝑥𝑖

𝑛 =

∑ 𝑥𝑖

∑ 𝑓𝑖

Keterangan : �̅� = mean ∑ 𝑥𝑖 = jumlah nilai data 𝑛 = ∑ 𝑓𝑖 = jumlah frekuensi

Median Median atau nilai tengah didefinisikan sebagai berikut :

𝑄2 = 12

�𝑥(𝑛+1)� ; untuk n ganjil

𝑄2 = 12

�𝑥�𝑛2� + 𝑥�𝑛

2 + 1� � ; untuk n genap

Kuartil Kuartil merupakan pembagian data yang sudah terurut menjadi 3, dapat

dituliskan sebagai berikut :

𝑄𝑖 = 𝑖4

�𝑥(𝑛+1)� ; (i = 1,2,3) untuk n ganjil

𝑄𝑖 = 𝑖4

[𝑛 + 2 ] ; (i = 1,2,3) untuk n genap

Desil Desil merupakan pembagian data yang sudah terurut menjadi 10 bagian,

dapat dituliskan sebagai berikut : 𝐷𝑖 = 𝑖

10�𝑥(𝑛+1)� ; (i = 1,2,3, … , 9) untuk n ganjil

𝐷𝑖 = 𝑖10

[𝑛 + 2 ] ; (i = 1,2,3, … , 9) untuk n genap





Persentil Persentil merupakan pembagian data yang sudah terurut menjadi 100

bagian, dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑃𝑖 = 𝑖

100�𝑥(𝑛+1)� ; (i = 1,2,3, … , 99) untuk n ganjil

𝑃𝑖 = 𝑖100

[𝑛 + 2 ] ; (i = 1,2,3, … , 99) untuk n genap

Ragam contoh Ragam contoh didefinisikan sebagai berikut :

𝑆2 = ∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)2

∑ 𝑓 − 1

Statistika deskriptif Skewnass

𝑆𝑘𝑤 = 3(�̅� − 𝑥�)

𝑆

𝑆𝑘𝑤 = ∑(𝑥𝑖 − �̅�)3

𝑆3 Keterangan : �̅� = mean 𝑥� = median S = simpangan baku

Kurtasi





SEBARAN PEUBAH ACAK

I. Peubah Acak Misalkan dalam suatu percobaan dengan satu mata uang yang dilemparkan

sebanyak tiga kali. Maka ruang kejadian yang mungkin adalah : S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} G = Muncul gambar A = Muncul angka

Bila yang diperlukan adalah jumlah gambar yang muncul dalam percobaan itu, maka dapat diperoleh daftar berikut :

Jumlah gambar yang muncul Frekuensi

0 1 1 3 2 3 3 1

Bila 0, 1, 2, dan 3 yang menyatakan jumlah muka yang muncul merupakan peubah acak. Jadi, peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tipa anggota dalam ruang kejadian (ruang sampel).

Definisi Peubah Acak Suatu fungsi bernilai bilangan real yang harganya ditentukan oleh tiap

anggota dalam ruang kejadian (ruang contoh).

Dalam percobaan di atas, misalkan X merupakan peubah acak yang menentukan jumlah gambar yang muncul dan x merupakan harga dari peubah acak tersebut. Maka nilai – nilai peubah acak dalam percobaan di atas dapat dinyatakan dalam tabel sebaran peluang berikut :

x 0 1 2 3 Frekuensi 1 3 3 1

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 3/8

II. Sebaran Peluang Diskret dan Sebaran Peluang Kontinu Ruang sampel diskret adalah suatu ruang sampel yang mengandung jumlah

titik sampel yang berhingga atau suatu barisan unsure yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah.





Ruang sampel kontinu adalah suatu ruang sampel yang mengandung jumlah titik sampel yang tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel diskret dan kontinu masing-masing disebut peubah acak diskret dan peubah acak kontinu. Pada percobaan pelemparan satu mata uang logam di atas, hasil percobaannya dapat dilihat dari daftar berikut :

X Frekuensi P(X=x) 0 1 1/8 1 3 3/8 2 3 3/8 3 1 1/8

Jumlah 8 1 X = kejadian muncul gambar Harga dari P(X=x) merupakan sebaran peluang diskret. Biasanya peubah acak x dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x), g(x), dan seterusnya. Sebaran peluang diskret biasanya disajikan dalam suatu tabel. Jadi P(X = x) = f(x) P(X = 3) = f(3) Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang peubah acak diskret X bila untuk setiap x yang mungkin. Contoh : Hitunglah peluang jumlah bilangan yang muncul bila dua dadu dilemparkan. Jawab : Jika 2 dadu dilemparkan, maka jumlah mata yang muncul bisa digambarkan sebagai berikut :

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12 Misalkan X peubah acak dengan nilai x, maka P(X=3) = 3/36, P(X=2) = 1/36 .

sehingga diperoleh sebaran peluang diskret sebagai berikut :





x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi menggunakan suatu rumusan yang merupakan fungsi nilai-nilai variable kontinu, sehingga dapat digambarkan sebagai kurva.

Fungsi peluang yang digambarkan oleh sebuah kurva disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function/PDF). PDF dibuat sedemikian hingga las daerah bawah kurva diatas x sama dengan 1. Bila luas daerah di bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang X terletak antara a dan b.

𝑷(𝒂 < 𝒙 < 𝒃) = � 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏𝒃

𝒂

Jika digambarkan dalam bentuk grafik, fungsi densitas peubah acak kontinu umumnya berbentuk :

III. Sebaran Peluang Bersama A. Sebaran peluang bersama untuk peubah acak diskret

Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang

bersama untuk X dan Y adalah

a b x

f(x)





p(x,y) = P(X=x, Y=y) Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y)

dinamakan fungsi peluang bersama. Contoh : Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola

merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

Jawab : Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1),

(0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0) f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220

Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3

dari 5 bola biru adalah = 10 f(0,0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

p(x,y) X Total Baris 0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 12/220

2 30/220 18/220 8/220

3 4/220 4/220

Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1

Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan

dalam rumus berikut Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

B. Sebaran peluang bersama untuk peubah acak kontinu

3

12

35

04

03

3 4 53

( , )123

x x x yp x y

− − =





Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

>

=selainnya

yfyfyxf

yxf yy

,0

0)(,)(),(

)|(

Contoh :

Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut

Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

Jawab :

P(X≤1/2|Y=1) =

IV. Nilai Tengah (Nilai Harapan) dan Ragam Peubah Acak A. Nilai tengah (nilai harapan) dan ragam peubah acak untuk distribusi

peluang diskret a. Nilai tengah (nilai harapan) E(X) merupakan rata-rata distribusi peluang E(X) merupakan rata-rata tertimbang dari seluruh hasil yang mungkin Jika X adalah variabel acak diskret yang memiliki fungsi massa peluang p(xi), nilai harapan X didefinisikan sebagai :

𝜇X = E(X) = � xip(xi)n

𝑖=1

b. Ragam peubah acak Varian X merupakan ukuran sebaran suatu distribusi Var(X) merupakan nilai harapan dari kuadrat beda terhadap mean,

sehingga : 𝜎𝑋

2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸⌊(𝑋 − 𝜇𝑋)2⌋ B. Nilai tengah (nilai harapan) dan ragam peubah acak untuk distribusi

peluang kontinu

1/ 2, 0 ,0 2( , )

0,x y y

f x yselainnya

≤ ≤ ≤ ≤=

1/ 2 1/ 21/ 2

00 0

1( | ) 1/ 21

f x y dx dx x= = =∫ ∫





a. Nilai tengah (nilai harapan) Jika X adalah variable acak kontinu memiliki fungsi padat peluang f(x),

maka : f(x) dx ≈ P(x ≤ X ≤ x + dx) untuk dx bernilai kecil

Mudah dilihat bahwa dengan menganalogikan pada definisi pada variable acak diskret untuk mendefinisikan nilai harapan X yaitu :

𝐸[𝑋] = � 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

b. Ragam peubah acak Varian dari variabel acak kontinu X didefinisikan secara tepat seperti

pada variabel acak diskret. Sebut, X adalah variabel acak kontinu dengan nilai harapan μ, maka varian X didefinisikan dengan :

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝐸⌊(𝑋 − 𝜇)2⌋ Rumus alternatifnya adalah :

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝐸⌊𝑋2⌋ − (𝐸⌊𝑋⌋)2 Yang ditetapkan dengan cara yang sama seperti pada variabel acak diskret

V. Jenis – jenis Sebaran Peluang Diskret Jenis – jenis sebaran peluang diskret antara lain :

a. Sebaran Uniform (seragam) Sebaran uniform memiliki ciri – cirri antara lain :

Bila nilai variable random mempunyai peluang terjadi sama Definisi Sebaran Uniform

Bila peubah acak binom mempunyai nilai x1, x2, … , xk dengan peluang yang sama. Maka sebaran uniformnya diberikan oleh:

𝑃(𝑋 = 𝑥) = 1𝑘

, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘

Contoh : Jika sebuah dadu dilempar, maka setiap elemen dari ruang sampelnya

S = {1,2,3,4,5,6} terjadi dengan peluang yang sama 1/6, sehingga kita mempunyai distribusi seragam :

𝑃(𝑋 = 6) = 16

, 𝑥 = 1,2,3,4,5,6

b. Sebaran Binomial

Sebaran binomial memiliki ciri – ciri antara lain : Percobaan terdiri atas n kali Bernoulli trial yang identik Hanya ada 2 keluaran, yaitu S = SUKSES dan F = GAGAL untuk tiap trial P(S) = p dan P(F) = q, bernilai tetap dari satu trial ke trial lain Semua trial saling independent





Variable random binomial X adalah jumlah S dalam n trial Definisi Sebaran Binomial

Bila suatu ulangan mempunyai peluang keberhasilan p, dan peluang kegagalan q=1 – p , maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X (banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas) adalah :

𝑃(𝑋 = 𝑥) = �𝑛

𝑥� 𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1,2,3, … , 𝑛 Keterangan : p = peluang sukses dalam trial tunggal q = 1 – p n = jumlah trial x = jumlah sukses dalam trial Contoh kasus :

Seorang insinyur elektro sedang mengamati problem arus listrik pada computer. Hasil survey terakhir menunjukkan bahwa 10% computer yang dipakai mengalami problem ini. Jika 5 sampel random dipilih dari seluruh populasi amatan, hitung peluang : a. Terdapat 3 komputer terpilih mengalami kerusakan b. Paling sedikit 3 komputer terpilih mengalami kerusakan c. Kurang dari 3 komputer terpilih mengalami kerusakan

Jawab :

a. Tepat 3 komputer, x = 3

𝑃(3) = �53� (10%)2(90%)(2) = 0,0081

b. Paling sedikit 3 komputer, x = 3, 4, dan 5 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) P(3) = 0,0081

𝑃(4) = �54� (10%)4(90%)(1) = 0,00045

𝑃(5) = �55� (10%)5(90%)(0) = 0,00001

Maka P(X ≥ 3) = 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856

c. Kurang dari 3, x = 0, 1, dan 2 P(X < 3) = 1 – P(X ≥ 3) = 1 – 0,00856 = 0,99144

d. Sebaran Multinomial





Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial apabila tiap usaha dapat memberikan lebih dari DUA hasil yang mungkin. Misal, pembagian hasil output pabrik menjadi ringan, berat, atau masih dapat diterima. Contoh lain adalah pengambilan suatu kartu dengan perhatian kempat jenis kartu. a. Ciri – ciri

1. Percobaan terdiri atas n kali trial yang identik ; 2. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap trial ; 3. p1, p2, p3,..,pk, yaitu peluang dari masing – masing keluaran, bernilai tetap

dari satu trial ke trial lain, dan p1+ p2+ p3 + …+ pk = 1;

4. Semua trial bersifat independent ; 5. Variabel random multinomial adalah y1, y2, y3,…,yk untuk setiap k jenis

keluaran. Dapat disajikan sebagai berikut :

P(𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌k) = 𝑛!

𝑦1!, 𝑦2!, … , 𝑦k! 𝑝1

𝑦1 , 𝑝2𝑦2 , 𝑝3

𝑦3 , … , 𝑝𝑘𝑦𝑘

Keterangan : pi = peluang keluaran ke-I dalam trial tunggal p1 + p2 + p3 + … + pk = 1 n = y1+ y2+ y3+ …+ yk= jumlah trial yi= jumlah kemunculan keluaran ke–i dalamn trial Contoh :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30 % sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah populasi amatan, hitunglah : a. Peluang bahwa10 monitor memilikiradiasitinggi, 10 sedang, 20 rendah

Jawab : Ditentukan : y1 = jumlah monitor radiasi tinggi y2 = jumlah monitor radiasi sedang y3 = jumlah monitor radiasi rendah p1 = peluang terpilihnya monitor radiasi tinggi p2 = peluang terpilihnya monitor radiasi sedang p3 = peluang terpilihnya monitor radiasirendah Sehingga:

P(10,10,20) = 40!

10! 10! 20! (10%)10(30%)10(60%)20 = 0,0005498

e. Sebaran Hipergeometri Sebaran hipergeometri memiliki ciri – ciri :





Percobaan terdiri atas pengambilan random n elemen tanpa pengembalian dari total N elemen

Terdapat S (SUKSES) sebanyak r dan F(GAGAL) sebanyak N –r Ukuran n dianggap besar sebanding N (n/ N > 0,05) Variabel random hypergeometric Y adalah jumlah S (SUKSES) dalam

pengambilan n elemen.

Dapat disajikan sebagai berikut :

P(Y=y) = �

ry� �N – r

n - y �

�Nn�

, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛

dengan: N = jumlah total elemen r = jumlah SUKSES dalam N n = jumlah elemen pengambilan y = jumlah SUKSES dalam pengambilan (n) Contoh :

Dari 10 katalis yang ada diperlukan 3 untuk keperluan pembuatan produk kimia baru. Dari sepuluh katalis tersebut terdapat 4 jenis katalisberkadar asam tinggi dan 6 jenisberkadar asam rendah. a. tentukan peluang bahwa katalis yang terpilih semua berkadar asam rendah b. tentukan peluang bahwa dari3 katalis yang dipilih, hanya1 yang memiliki

kadar asam tinggi. Jawab : y = jumlah katalis berkadar asam tinggi dari 3 katalis terpilih N = 10, n = 3, r = 4 Maka

P(Y = y) = �4

y� � 6 3 - y�

�103 �

a. P(Y = 0) = �4

0��6 3 �

�103 �

= 16

b. P(Y = 1) = �4

1��6 2�

�103 �

= 12

f. Sebaran Poisson Sebaran poisson memiliki cirri-ciri sebagai berikut : 1. Variabel random y = jumlah kemunculan kejadian yang diamati selama unit

ukuran tertentu(contoh: jarak, area, volume, dll)

2. Nilai peluang dari sebuah kejadian adalah sama untuk setiap ukuran tertentu





3. Jumlah kejadian yang muncul untuk setiap unit adalah independent

rata–rata jumlah kejadian dalam setiap unit ukuran = ג .4

Dapat disajikan sebagai berikut :

P(Y = y) = ג−𝑦𝑒ג

𝑦! , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦 = 0, 1, 2, …

Contoh :

Sejumlah y retak pada spesimen beton untuk sebuah jenis semen mengikuti distribusi poisson. Dengan pengamatan awal diketahui bahwa jumlah rata–rata keretakan setiap spesimen adalah 2,5. Tentukan peluang bahwa sebuah spesimen yang dipilih secara random memiliki jumlah keretakan 5

Jawab :

μ= 2,5 =ג

sehingga

P(Y = 5) = 2,55𝑒−2,5

5! = 0,067



modul statistik norestriction

Documents