modul penunjang praktikum ilab matematika lanjut...

Modul Penunjang Praktikum ILAB

Matematika lanjut 1

Penyusun :

Dewi Putrie Lestari

Iffatul Mardhiyah

Ilmiyati Sari

Kuwat Setiyanto

R Andhika Prihestira

LABORATORIUM

SISTEM INFORMASI

2018

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat

dan karunia-Nya, sehingga Modul Penunjang Praktikum ILAB Matematika

Lanjut 1 untuk Jurusan Sistem Informasi Fakultas Ilmu Komputer dan

Teknologi Informasi Universitas Gunadarma dapat diselesaikan dengan

sebaik-baiknya. Modul Penunjang ini dibuat sebagai pedoman

pembelajaran dalam melakukan kegiatan Praktikum Matematika Lanjut 1

di Laboratorium ILAB Sistem Informasi.

Modul Penunjang ini diharapkan dapat membantu mahasiswa

dalam mempelajari, memahami dan mempraktekkan materi-materi yang

terdapat pada Modul Praktikum ILAB Matematika Lanjut 1 secara mudah.

Pada setiap topik dalam Modul Penunjang ini disertakan teori singkat,

contoh soal dan penyelesaian serta tuntunan latihan untuk memperdalam

pemahaman mahasiswa mengenai materi yang dibahas.

Penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung, sehingga

Modul Penunjang Praktikum ILAB ini dapat diselesaikan terutama kepada:

1. Dr. Setia Wirawan, SKom., MMSI., selaku Ketua Jurusan

Sistem Informasi Universitas Gunadarma.

2. Dr. Ana Kurniawati, ST., MMSI., selaku Sekretaris Jurusan

Sistem Informasi Universitas Gunadarma.

3. Dr. Kemal Ade Sekarwati, SKom., MMSI., selaku Koordinator

Laboratorium Sistem Informasi Universitas Gunadarma.

Penyusun menyadari bahwa dalam pembuatan modul ini masih

jauh dari sempurna. Oleh karena itu, Penyusun mengharapkan kritik dan

saran yang membangun guna penyempurnaan modul ini dimasa yang

akan datang. Semoga Modul Penunjang Praktikum ILAB Matematika

Lanjut 1 ini dapat bermanfaat bagi semua kalangan pembaca, khususnya

bagi mahasiswa Jurusan Sistem Informasi Universitas Gunadarma.

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ......................................................................... i

DAFTAR ISI ....................................................................................... ii

P1. DEFINISI MATRIKS, PENJUMLAHAN MATRIKS,

PENGURANGAN MATRIKS ....................................................... 1

PENDAHULUAN .......................................................................... 1

1.1 DEFINISI MATRIKS ............................................................... 3

1.2 PENJUMLAHAN MATRIKS ................................................... 3

1.3 PENGURANGAN MATRIKS .................................................. 4

RANGKUMAN ............................................................................. 4

TUNTUNAN LATIHAN ................................................................. 5

L A T I H A N ................................................................................ 6

P2. PERKALIAN SKALAR MATRIKS, PERKALIAN DUA BUAH

MATRIKS, TRANSPOSE MATRIKS ........................................... 7

PENDAHULUAN .......................................................................... 7

2.1 PERKALIAN SKALAR PADA MATRIKS ................................ 8

2.2 PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS ...................................... 9

2.3 TRANSPOSE MATRIKS ........................................................ 9

RANGKUMAN ............................................................................. 11


L A T I H A N ................................................................................ 12

P3. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2, MINOR DAN

KOFAKTOR ............................................................................... 13

PENDAHULUAN .......................................................................... 13

3.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2 ................................... 14

3.1.1 Definisi Determinan ..................................................... 14

3.1.2 Perhitungan Determinan Matriks Ordo 2x2 ................. 14

3.2 MINOR DAN KOFAKTOR ...................................................... 15

RANGKUMAN ............................................................................. 17


iii

L A T I H A N ................................................................................ 20

P4. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3 ........................................ 21

PENDAHULUAN .......................................................................... 21

4.1 PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3 ........ 21

4.2 SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS ................................ 23

RANGKUMAN ............................................................................. 24


L A T I H A N ................................................................................ 27

P5. MATRIKS INVERS ORDO 2X2 ................................................... 28

PENDAHULUAN ......................................................................... 28

5.1 DEFINISI MATRIKS INVERS................................................ 29

5.2 PERHITUNGAN MATRIKS INVERS ORDO 2X2 .................. 29

RANGKUMAN ............................................................................. 30


L A T I H A N ............................................................................... 30

P6. MATRIKS INVERS ORDO 3X3 ................................................... 31

PENDAHULUAN ......................................................................... 31

6.1 PERHITUNGAN MATRIKS INVERS ORDO 3X3 .................. 31

6.2 SIFAT-SIFAT MATRIKS INVERS ......................................... 32

RANGKUMAN ............................................................................. 33


L A T I H A N ............................................................................... 36

P7. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN .......................................... 37

PENDAHULUAN .......................................................................... 37

7.1 DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ..................... 38

7.2 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN PADA SCILAB ............. 43

RANGKUMAN ............................................................................. 44


L A T I H A N ............................................................................... 48

P8. UJIAN .......................................................................................... 49

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................... 50

1

DEFINISI MATRIKS, PENJUMLAHAN MATRIKS,

PENGURANGAN MATRIKS

OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Penjumlahan dan

Pengurangan Matriks.

2. Mahasiswa Mampu Menggunakan Software Scilab dalam

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.

PENDAHULUAN

Pada kehidupan sehari-hari dan dalam mempelajari matematika

kita sering dihadapkan pada sekumpulan objek yang harus disusun

berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat. Penggolongan dari dua

jenis sifat berbeda inilah yang memunculkan istilah baris dan kolom.

Berdasarkan permasalahan ini, maka terciptalah suatu konsep

matematika yang disebut matriks.

Contoh berikut memberikan gambaran mengenai apa yang disebut

dengan matriks. Misalkan terdapat daftar harian pada Toko Minuman XYZ

yang berisi mengenai banyaknya botol minuman sari buah yang tersedia

di toko tersebut.

Jumlah Botol Minuman Sari Buah Pada Toko XYZ

Sari Apel Sari Jeruk Sari Nanas

Botol Besar 15 25 8

Botol Kecil 14 18 10

Pada daftar harian Toko XYZ yang menjadi perhatian adalah

jumlah botol (isi baris) sebagai objek yang diteliti, sedangkan subjeknya

adalah jenis sari buah (isi kolom). Jika kita hanya memperhatikan jumlah

1

2

botol pada ketiga jenis sari buah, maka secara matematika daftar tersebut

dapat kita susun dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu :

[15 25 814 18 10

]

Bentuk seperti ini merupakan cara yang paling praktis sehingga

hemat untuk ditulis dan mudah untuk diingat, karena tiap isi baris dan

kolom mempunyai arti khusus dan tersendiri. Kumpulan bilangan yang

disusun dalam aturan baris dan kolom ini dinamakan dengan matriks.

Matriks memegang peranan penting dalam dunia statistika dan

matematika. Penulisan persamaan matematika menjadi lebih singkat dan

efektif dengan adanya matriks. Selain itu, matriks juga banyak digunakan

dalam berbagai macam bidang ilmu. Contoh penggunaan matriks pada

beberapa bidang ilmu antara lain :

1. Pada bidang Rekonstruksi Objek 3D Mesh; pengurangan matriks

digunakan dalam membangun matriks Laplacian Embedding.

Matriks Laplacian Embedding digunakan untuk mengaproksimasi

rekonstruksi objek 3D mesh [Mardhiyah, I., Madenda, S., Salim,

R.A., & Wiryana, I.M., 2016].

2. Pada bidang Ilmu Genetika; Ilmu Genetika yaitu ilmu yang

mempelajari tentang gen dan penurunan sifat makhluk hidup

(hereditas). Operasi matriks digunakan untuk memprediksi hasil

dari persilangan dan sifat yang akan muncul dalam setiap individu

yang baru [Naim, M., 2016].

Selain dua contoh di atas, masih banyak kegunaan matriks maupun

operasi dasar matriks. Oleh karena itu, hal ini diharapkan dapat

menumbuhkan minat mahasiswa untuk mempelajari materi matriks yang

ada dalam Modul Penunjang Praktikum ILAB Matematika Lanjut 1.

3

1.1 DEFINISI MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk segi empat yang

disusun atau dijajarkan menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan

dalam susunan tersebut dinamakan entri (elemen) matriks. Nama matriks

biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan elemen matriks

dinyatakan dengan huruf kecil. Matriks dinotasikan dengan menggunakan

tanda kurung. Tanda kurung yang digunakan dapat berupa tanda kurung

biasa ( ) atau tanda kurung siku [ ]. Ukuran (ordo) suatu

matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan banyaknya kolom yang

terdapat dalam matriks tersebut.

Bentuk umum sebuah matriks 𝐴 dengan m baris dan n kolom,

sehingga ukuran (ordo) matriks tersebut adalah (𝑚 × 𝑛) dapat ditulis :

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯⋮ ⋮ ⋮

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

] (1.1)

Penulisan matriks dalam persamaan (1.1) dapat disederhanakan menjadi

𝐴𝑚×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛dengan 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Indeks pertama (𝑖)

menyatakan baris ke-𝑖 dan indeks kedua (𝑗) menyatakan kolom ke-𝑗.

1.2 PENJUMLAHAN MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya terdefinisi pada matriks yang

ukurannya sama (jumlah baris dan jumlah kolom sama). Misalkan terdapat

matriks 𝐴 dan 𝐵 keduanya berukuran 𝑚 × 𝑛, dengan hasil penjumlahan

keduanya disebut sebagai matriks 𝐶𝑚×𝑛. Elemen matriks 𝐶𝑚×𝑛 diperoleh

dengan menjumlahkan elemen yang bersesuaian pada matriks 𝐴𝑚×𝑛 dan

𝐵𝑚×𝑛 yang didefinisikan dalam persamaan (1.2).

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1.2)

4

1.3 PENGURANGAN MATRIKS

Sama halnya dengan penjumlahan matriks, dalam pengurangan

matriks hanya terdefinisi pada matriks yang ukurannya sama. Misalkan

terdapat matriks 𝐴 dan 𝐵 keduanya berukuran 𝑚 × 𝑛, dengan hasil

pengurangan keduanya disebut sebagai matriks 𝐷𝑚×𝑛 . Elemen matriks

𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−1)𝐵 diperoleh dengan mengurangkan elemen yang

bersesuaian pada matriks 𝐴𝑚×𝑛 dan 𝐵𝑚×𝑛 yang didefinisikan dalam

persamaan (1.3).

𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1.3)

Contoh 1.1 :

Diketahui matriks 𝐴3×2 = [4 −10 25 3

] dan matriks 𝐵3×2 = [−3 49 −71 2

]

Tentukan: (a) 𝐴 + 𝐵

(b) 𝐴 – 𝐵

Penyelesaian :

(a) Hasil penjumlahan 𝐴 + 𝐵 adalah

𝐴 + 𝐵 = [4 −10 25 3

] + [−3 49 −71 2

] = [4 + (−3) (−1) + 4

0 + 9 2 + (−7)5 + 1 3 + 2

] = [1 39 −56 5

]

(b) Hasil pengurangan 𝐴 – 𝐵 adalah

𝐴 − 𝐵 = [4 −10 25 3

] − [−3 49 −71 2

] = [4 − (−3) (−1) − 4

0 − 9 2 − (−7)5 − 1 3 − 2

] = [7 −5

−9 94 1

]

RANGKUMAN

1. Menentukan penjumlahan matriks menggunakan rumus :

𝐴𝑚×𝑛 + 𝐵𝑚×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛 dimana 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

2. Menentukan pengurangan matriks menggunakan rumus :

𝐴𝑚×𝑛 − 𝐵𝑚×𝑛 = 𝐷𝑚×𝑛 dimana 𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗

5

TUNTUNAN LATIHAN

Berikut ini diberikan perhitungan operasi dasar matriks pada software

Scilab dalam penyelesaian Contoh 1.1, dimana diketahui :

matriks 𝐴 = [4 −10 25 3

] dan matriks 𝐵 = [−3 49 −71 2

]

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 dan B ke dalam Scilab. Caranya

mengetikkan langsung pada lembar kerja (console), yaitu :

A=[4 -1;0 2;5 3] lalu tekan enter

B=[-3 4;9 -7;1 2] lalu tekan enter

(b) Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks diselesaikan

dengan langsung menggunakan operator yang ada pada Scilab

dimana :

“ + ” untuk operasi penjumlahan

“ - “ untuk operasi pengurangan

6

L A T I H AN

1. Diketahui matriks 𝐴3×2 = [2 −7

−1 20 3

] dan 𝐵3×2 = [−6 53 02 2

]

Tentukan : (a) 𝐵 − 𝐴

(b) 𝐵 + 𝐴

2. Tentukan pengurangan matriks 𝐴 = [2 1 5

−2 7 30 −1 −2

] dengan matriks

𝐵 = [2 1 5

−2 7 30 −1 −2

] !

7

PERKALIAN SKALAR MATRIKS, PERKALIAN

DUA BUAH MATRIKS, TRANSPOSE MATRIKS

OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Perkalian Skalar

Matriks, Perkalian Dua Buah Matriks dan Transpose Matriks.

2. Mahasiswa Mampu Menggunakan Software Scilab dalam Perkalian

Skalar Matriks, Perkalian Dua Buah Matriks dan Transpose Matriks.

PENDAHULUAN

Perkalian skalar matriks yaitu satu buah matriks yang dikalikan

dengan suatu skalar. Pada perkalian ini tidak memiliki syarat atau kondisi

tertentu. Hasil perkalian skalar matriks adalah matriks yang berukuran

sama dengan matriks asal. Misalnya matriks asal berukuran 𝑚 × 𝑛 maka

hasil perkalian skalar matriks tersebut juga berukuran 𝑚 × 𝑛.

Perkalian dua matriks yaitu satu buah matriks yang dikalikan

dengan satu buah matriks lainnya. Pada perkalian ini memiliki syarat atau

kondisi tertentu yaitu banyak kolom pada matriks pertama sama dengan

banyak baris matriks kedua. Hasil perkalian dua buah matriks bernilai

skalar dan tunggal. Contoh penggunaan operasi perkalian matriks antara

lain :

1. Pada bidang Kriptografi; Kriptografi adalah ilmu mengenai tehnik

enkripsi dimana “naskah asli” (plaintext) diacak menggunakan

suatu kunci enkripsi menjadi “naskah yang sulit di baca” (ciphertext)

oleh seseorang yang tidak memiliki kunci deskripsi. Hill Cipher

merupakan salah satu algoritma kriptografi yang memanfaatkan

matriks untuk melakukan enkripsi dan deskripsi. Enkripsi dilakukan

2

8

dengan mengalikan matriks kunci dengan matriks plaintext,

sedangkan deskripsi dilakukan dengan mengalikan invers matriks

kunci dengan matriks ciphertext [Hidayat, A. & Alawiyah, T., 2013].

2. Pada bidang Rekonstruksi Objek 3D Mesh; perkalian matriks

digunakan dalam membangun matriks Laplacian Embedding.

Matriks Laplacian Embedding digunakan untuk mengaproksimasi

rekonstruksi objek 3D mesh [Mardhiyah, I., Madenda, S., Salim,

R.A., & Wiryana, I.M., 2016].

Transpose suatu matriks yaitu matriks yang diperoleh dengan cara

menukar setiap elemen baris matriks asal menjadi elemen kolom matriks

transposenya. Baris pertama matriks asal menjadi kolom pertama dari

matriks transposenya, baris kedua matriks asal menjadi kolom kedua dari

matriks transposenya, dst. Ukuran transpose matriks berkebalikan dengan

ukuran matriks asalnya. Misalnya matriks asal berukuran 𝑚 × 𝑛 maka

transpose matriksnya berukuran 𝑛 × 𝑚.

2.1 PERKALIAN SKALAR PADA MATRIKS

Hasil kali sebuah matriks 𝐴𝑚×𝑛 oleh suatu skalar 𝜆 adalah sebuah

matriks 𝜆𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛, dimana elemen-elemen dari matriks 𝐴

dikalikan oleh 𝜆 seperti pada persamaan (2.1).

𝜆𝐴 = [𝜆𝑎𝑖𝑗] (2.1)

Catatan :

Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian skalar. Jika 𝐴, 𝐵, 𝐶

matriks-matriks berukuran sama, dan 𝜆 scalar, maka berlaku :

a. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (Sifat Komutatif)

b. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (Sifat Asosiatif)

c. 𝜆(𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 (Sifat Distributif)

d. 𝐴 + (−1)𝐴 = 0

9

e. Selalu ada matriks 𝐷 , sedemikian sehingga 𝐴 + 𝐷 = 𝐵

2.2 PERKALIAN DUA BUAH MATRIKS

Perkalian matriks dengan matriks hanya dapat terjadi apabila

jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks

kedua. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝐵 berukuran 𝑛 × 𝑝, maka

hasil perkalian keduanya 𝐸 = 𝐴𝐵 dari matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] dan 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]

adalah matriks 𝐸 berukuran 𝑚 × 𝑝, dimana elemen pada matriks 𝐸

dihitung menggunakan persamaan (2.2).

𝑒𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗 (2.2)

𝑖 = 1,2,… ,𝑚 ; 𝑗 = 1,2,… , 𝑝

Catatan :

Beberapa hukum pada perkalian matriks. Jika 𝐴, 𝐵, 𝐶 matriks-matriks yang

memenuhi syarat-syarat perkalian matriks, maka berlaku :

a. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 ; (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 (Sifat Distributif)

b. 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 (Sifat Asosiatif)

c. 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (Tidak Komutatif)

d. Jika 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 belum tentu 𝐵 = 𝐶

2.3 TRANSPOSE MATRIKS

Transpose dari matriks 𝐴 yang dinotasikan dengan 𝐴′ atau 𝐴𝑇

merupakan matriks yang diperoleh dengan mengubah letak elemen pada

setiap baris menjadi elemen kolom matriks. Baris pertama matriks 𝐴

menjadi kolom pertama dari matriks 𝐴′ dan baris kedua matriks 𝐴 menjadi

kolom kedua dari matriks 𝐴′. Misalkan 𝐴 = ija berukuran (𝑚 × 𝑛) maka

transpose dari 𝐴 adalah matriks 𝐴′ berukuran (𝑛 × 𝑚) dengan 𝐴′ = jia .

10

Catatan :

Beberapa sifat pada matriks transpose yaitu :

a. (A + B)T = AT + BT

b. (AT )T = A

c. ( AT) = (A)T

d. (AB)T = BT AT

Contoh 2.1 :

Diketahui matriks 𝐴3×2 = [4 −10 25 3

] dan matriks 𝐵3×2 = [−3 49 −71 2

]

Tentukan: (a) 𝐴 − 2𝐵

(b) 𝐴𝐵′

Penyelesaian :

(a) Nilai 2𝐵 adalah

2𝐵 = 2 [−3 49 −71 2

] = [2.−3 2.42.9 2.−72.1 2.2

] = [−6 818 −142 4

]

sehingga diperoleh 𝐴 − 2𝐵 adalah

𝐴 − 2𝐵 = [4 −10 25 3

] − [−6 818 −142 4

] = [10 −9

−18 163 −1

]

(b) Nilai 𝐵′ adalah

𝐵′ = [−3 49 −71 2

]

′

= [−3 9 14 −7 2

]

sehingga diperoleh 𝐴𝐵′ adalah

𝐴𝐵′ = [4 −10 25 3

] [−3 9 14 −7 2

]

𝐴𝐵′ = [

(4 . −3) + (−1 . 4) (4 . 9) + (−1 . −7) (4 . 1) + (−1 . 2)(0 . −3) + (2 . 4) (0 . 9) + (2 . −7) (0 . 1) + (2 . 2)(5. −3) + (3 . 4) (5. 9) + (3 . −7) (5. 1) + (3 . 2)

]

𝐴𝐵′ = [−16 43 28 −14 4

−3 24 11]

11

RANGKUMAN

1. Menentukan perkalian skalar matriks menggunakan rumus :

𝜆𝐴𝑚×𝑛 = [𝜆𝑎𝑖𝑗] dimana 𝜆 adalah skalar

2. Menentukan perkalian matriks menggunakan rumus :

𝐴𝑚×𝑛𝐵𝑛×𝑝 = 𝐸𝑚×𝑝 ; 𝑒𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗

3. Transpose matriks 𝐴 = ija didefinisikan dengan bentuk :

𝐴′ = 𝐴𝑇 = jia

dengan mengubah letak elemen pada setiap baris 𝐴 menjadi elemen

pada kolom matriks 𝐴′.

TUNTUNAN LATIHAN

A. Berikut ini diberikan perhitungan operasi dasar matriks pada software

Scilab dalam penyelesaian Contoh 2.1, dimana diketahui :

matriks 𝐴 = [4 −10 25 3

] dan matriks 𝐵 = [−3 49 −71 2

]

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 dan B ke dalam lembar kerja Scilab.

(b) Operasi perkalian matriks dan transpose matriks diselesaikan

dengan langsung menggunakan operator yang ada pada Scilab

dimana :

“ * ” untuk operasi perkalian

12

“ ‘ “ untuk transpose matriks

L A T I H AN

Diketahui matriks 𝐴3×2 = [2 −7

−1 20 3

] dan 𝐵3×2 = [−6 53 02 2

]

Tentukan : (a) 𝐵 + (−2)𝐴

(b) 3𝐴 – 2𝐵

(c) 𝐵′𝐴

13

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2,

MINOR DAN KOFAKTOR

OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Determinan Matriks

Ordo 2x2, Minor dan Kofaktor Matriks.


Penentuan Nilai Determinan Matriks Ordo 2x2, Minor dan Kofaktor

Matriks.

PENDAHULUAN

Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi tertentu yang

menghubungkan matriks bujur sangkar dengan suatu bilangan real.

Dengan kata lain, nilai determinan dari suatu matriks adalah skalar.

Determinan suatu matriks sering digunakan dalam menganalisa suatu

matriks, yaitu untuk memeriksa keberadaan invers matriks, menentukan

nilai eigen dan vektor eigen, menentukan solusi sistem persamaan linier

dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor, dan lain-

lain. Perhitungan determinan pada dasarnya menggunakan minor dan

kofaktor. Akan tetapi untuk matriks ordo 2x2 istilah yang umum dalam

penentuan nilai determinannya adalah diagonal utama dikurang diagonal

samping.

Minor dari setiap elemen matriks adalah determinan dari submatriks

yang tersisa setelah elemen-elemen pada 1 baris dan 1 kolom matriks

asal dihilangkan. Submatriks yang terbentuk ini mempunyai ukuran selisih

satu dari matriks asal. Kofaktor dari satu elemen matriks akan sama

dengan nilai minor jika jumlah baris dan kolom pada elemen matriks

3

14

tersebut bernilai genap dan jika jumlah baris dan kolom pada elemen

matriks tersebut bernilai ganjil maka nilai kofaktornya adalah nilai minor

dikali (-1). Matriks yang berisi seluruh nilai kofaktor setiap elemen pada

matriks disebut sebagai matriks kofaktor. Minor dan kofaktor digunakan

untuk penentuan nilai determinan matriks dan matriks invers. Secara lebih

rinci dibahas pada subbab berikutnya.

3.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2

3.1.1 Definisi Determinan

Misalkan 𝐴 adalah matriks bujur sangkar (persegi). Determinan

dari matriks 𝐴 didefinisikan sebagai suatu fungsi tertentu yang

menghubungkan matriks bujur sangkar 𝐴 dengan suatu bilangan real.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa nilai determinan dari suatu

matriks adalah skalar.

Notasi :

Determinan dari matriks 𝐴 dinotasikan dengan det (A) = | 𝐴 |

3.1.2 Perhitungan Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan 𝐴 adalah matriks bujur sangkar (persegi) berordo 2x2

dengan bentuk :

𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

Determinan matriks 𝐴2×2 dapat dinyatakan sebagai selisih antara

perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-

elemen pada diagonal samping, seperti pada persamaan (3.1).

det(𝐴) = |𝐴| = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 (3.1)

Contoh 3.1 :

Diketahui matriks 𝐴 = [−1 −24 3

] tentukan nilai determinan dari matriks !

Penyelesaian :

det(𝐴) = |𝐴| = |−1 −24 3

| = (−1). 3 − (−2). 4 = −3 − (−8) = 5

15

3.2 MINOR DAN KOFAKTOR

Misalkan 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] sebarang matriks berordo 𝑛𝑥𝑛. Minor dari

elemen 𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan dari

submatriks 𝐴 yang tersisa setelah elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan

kolom ke-𝑗 matriks 𝐴 dihilangkan. Submatriks yang terbentuk ini

mempunyai ukuran selisih satu dari matriks 𝐴, misalnya untuk matriks 𝐴

yang berordo 3𝑥3 akan didapatkan submatriks yang berordo 2𝑥2.

Banyaknya minor pada suatu matriks sama dengan banyaknya elemen

matriks tersebut.

Notasi kofaktor dari elemen 𝑎𝑖𝑗 suatu matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] adalah 𝐶𝑖𝑗.

Banyaknya kofaktor suatu matriks sama dengan banyaknya minor.

Kofaktor elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]

didefinisikan dalam persamaan (3.2).

𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗. 𝑀𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (3.2)

Misalkan 𝐴 adalah matriks bujur sangkar (persegi) berordo 3 × 3

dengan bentuk :

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Matriks yang berisi seluruh nilai kofaktor setiap elemen pada matriks 𝐴

tersebut disebut sebagai matriks kofaktor yang didefinisikan dalam

persamaan (3.3).

𝐶 = [

𝐶11 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

] (3.3)

Contoh 3.2 :

Diketahui matriks bujur sangkar berukuran 3 × 3 (𝐴3×3) dengan bentuk :

𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

]

Tentukan matriks kofaktor dari matriks 𝐴 !

16

Penyelesaian :

Elemen Matriks & Minor Kofaktor

baris ke-1, kolom ke-1 𝑎11 = 2

𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀11 = |

5 36 7

| = 17 𝐶11 = (−1)1+1. 17

𝐶11 = 17


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀12 = |

1 34 7

| = −5 𝐶12 = (−1)1+2. (−5)

𝐶12 = 5


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀13 = |

1 54 6

| = −14 𝐶13 = (−1)1+3. (−14)

𝐶13 = −14


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀21 = |

8 06 7

| = 56 𝐶21 = (−1)2+1. 56

𝐶21 = −56


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀22 = |

2 04 7

| = 14 𝐶22 = (−1)2+2. 14

𝐶22 = 14


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀23 = |

2 84 6

| = −20 𝐶23 = (−1)2+3. (−20)

𝐶23 = 20


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀31 = |

8 05 3

| = 24 𝐶31 = (−1)3+1. 24

𝐶31 = 24


17

𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀32 = |

2 01 3

| = 6 𝐶32 = (−1)3+2. 6

𝐶32 = −6


𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

] 𝑀33 = |

2 81 5

| = −2 𝐶33 = (−1)3+3. (−2)

𝐶33 = −2

Matriks kofaktor dari matriks 𝐴 adalah :

𝐶 = [

𝐶11 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

] = [17 5 −14

−56 14 2024 −6 −2

]

RANGKUMAN

1. Menentukan determinan matriks 𝐴2×2 Menggunakan rumus :

det(𝐴) = |𝐴| = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

2. Minor dari elemen 𝑎𝑖𝑗 suatu matriks 𝐴𝑛×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ] yang dinotasikan

dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan dari submatriks 𝐴 yang tersisa setelah

elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝐴 dihilangkan.

3. Kofaktor elemen 𝑎𝑖𝑗 dari matriks 𝐴𝑛×𝑛 didefinisikan dengan rumus :

𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗. 𝑀𝑖𝑗

untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

TUNTUNAN LATIHAN

A. Berikut ini diberikan implementasi rumus determinan pada software

Scilab dalam penyelesaian Contoh 3.1 dimana bentuk matriks :

𝐴 = [−1 −24 3

]

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 pada Scilab.

(b) Menggunakan fungsi det(A) yang terdapat pada Scilab.

18

B. Berikut ini diberikan penentuan minor dan kofaktor baris 1 dari matriks

A pada Contoh 3.2 dengan software Scilab dimana bentuk matriks :

𝐴 = [2 8 01 5 34 6 7

]

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 pada Scilab

(b) Mendefinisikan submatriks berordo 2x2 pada baris 1 dengan

menghilangkan baris ke-1.

A11 : berarti menghilangkan baris 1 dan kolom 1



19

(c) Mendefinisikan Minor pada baris 1 dengan menggunakan fungsi

“det “ pada Scilab.

20

(d) Mendefinisikan Kofaktor pada baris 1 dengan menuliskan rumus

dalam persamaan (3.2) dengan menggunakan operator “ ^ “ untuk

pangkat dan operator “ * “ pada Scilab.

L A T I H AN

1. Diketahui matriks 𝐴 = [−1 −24 3

] dan matriks 𝐵 = [−4 −2−8 5

]

Tentukan : (a) |𝐵 + (−2)𝐴|

(b) |3𝐴 – 2𝐵|

(c) |𝐵′𝐴|

2. Tentukan matriks kofaktor dari matriks 𝐴 = [2 1 5

−2 7 30 −1 −2

] !

21

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3

OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Determinan Matriks

Ordo 3x3 Menggunakan Minor dan Kofaktor.


Penentuan Nilai Determinan Matriks Ordo 3x3 dengan Minor dan

Kofaktor Matriks.

PENDAHULUAN

Bab ini membahas bagaimana menentukan determinan matriks dan

matriks invers pada suatu matriks bujur sangkar (persegi) berordo 3x3

menggunakan minor dan kofaktor. Perhitungan untuk mendapatkan

determinan matriks dilakukan secara manual serta melalui penerapan

rumus ke dalam software Scilab.

Perhitungan determinan matriks ordo 3x3 yaitu dengan memilih 1

baris atau 1 kolom kemudian menentukan nilai kofaktor setiap elemen dari

baris atau kolom yang dipilih. Contoh penggunaan determinan matriks

yaitu : Pada bidang Pengolahan Citra Digital; determinan matriks

digunakan untuk menormalisasi RGB dalam pengolahan citra digital untuk

mendeteksi obyek menggunakan pengolahan warna model normalisasi

RGB [Kusumanto, R.D. & Tompunu, A.N., 2011].

4.1 PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3


dengan bentuk :

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

4

22

Matriks Kofaktor dari matriks 𝐴3×3 tersebut dinotasikan dengan bentuk :

𝐶 = [

𝐶11 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

]

Determinan matriks 𝐴3×3 dapat dihitung dengan metode penguraian

(ekspansi) secara baris/kolom menggunakan minor dan kofaktor. Rumus

umumnya didefinisikan dalam persamaan (4.1) untuk ekspansi secara

baris dan persamaan (4.2) untuk ekspansi secara kolom.

Rumus :

Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari

sebarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Cara 1 : Uraian Baris ke-𝑖, dengan 𝑖 sebarang

|𝐴| = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛 = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑛𝑗=1 (4.1)

Cara 2 : Uraian Kolom ke-𝑗, dengan 𝑗 sebarang

|𝐴| = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑗𝐶𝑛𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑛𝑖=1 (4.2)

Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk mencari

determinan matriks berordo 3x3 dengan metode penguraian (ekspansi)

secara baris/kolom sebagai berikut :

1. Pilih sebarang 1 baris atau 1 kolom.

2. Tentukan kofaktor-kofaktor pada baris/kolom yang dipilih.

3. Kalikan elemen-elemen dari baris/kolom yang dipilih dengan

kofaktor-kofaktornya.

4. Jumlahkan hasil perkalian nomor (3).

Contoh 4.1 :

Diketahui matriks 𝐴 = [1 3 −1

−1 2 22 4 3

] tentukan nilai determinan matriks !

Penyelesaian :

Cara 1 Misalkan dipilih baris ke-1 (ekspansi baris 1)

23

𝐶11 = (−1)1+1 |2 24 3

| = (1)(2.3 − 2.4) = −2

𝐶12 = (−1)1+2 |−1 22 3

| = (−1)((−1). 3 − 2.2) = 7

𝐶13 = (−1)1+3 |−1 22 4

| = (1)((−1). 4 − 2.2) = −8

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 + 𝑎13𝐶13 = 1. (−2) + 3.7 + (−1)(−8) = 27

Cara 2

Misalkan dipilih kolom ke-2 (ekspansi kolom 2)

𝐶12 = (−1)1+2 |−1 22 3

| = (−1)((−1). 3 − 2.2) = 7

𝐶22 = (−1)2+2 |1 −12 3

| = (1)(1.3 − (−1). 2) = 5

𝐶32 = (−1)3+2 |1 −1

−1 2| = (−1)(1.2 − (−1)(−1)) = −1

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| = 𝑎12𝐶12 + 𝑎22𝐶22 + 𝑎32𝐶32 = 3.7 + 2.5 + 4(−1) = 27

Secara singkat dapat ditulis :

1 3 1

1 2 2

2 4 3

1 2 1 1 1 13 2 4

2 3 2 3 1 2

3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1)

21 10 4 27

A

4.2 SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya

dipertukarkan, maka

det(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇)

2) Jika semua elemen dari suatu baris/kolom adalah nol, maka

det(𝐴) = 0

3) Jika terdapat dua baris atau dua kolom sama atau berkelipatan, maka

det(𝐴) = 0

+

-

-

24

4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah

tanda determinan.

5) Jika semua elemen dalam suatu baris/kolom dikalikan dengan sebuah

bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6) Jika mengalikan elemen-elemen suatu baris/kolom dengan sebuah

bilangan kemudian dijumlahkan dengan elemen-elemen yang

bersesuaian dengan suatu baris/kolom yang lain, nilai determinannya

tetap.

7) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝐵)

8) det(𝐴 + 𝐵) ≠ 𝑑𝑒𝑡(𝐴) + 𝑑𝑒𝑡(𝐵)

9) det(𝑘𝐴) = 𝑘𝑛 𝑑𝑒𝑡(𝐴)

10) Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah

diselesaikan

dengan cara berikut :

|−1 0 09 2 09 8 3

| = −1.2.3 ; |−1 9 80 2 90 0 3

| = −1.2.3

RANGKUMAN

Menentukan determinan matriks berordo 3x3 dapat digunakan 2 cara

sebagai berikut :

(a) Cara 1 : Penguraian (ekspansi) baris

|𝐴| = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛 = ∑𝑎𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

(b) Cara 2 : Penguraian (ekspansi) kolom

|𝐴| = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑗𝐶𝑛𝑗 = ∑𝑎𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

dengan 𝑎𝑖𝑗 adalah elemen matriks

𝐶𝑖𝑗 adalah kofaktor elemen matriks

25

TUNTUNAN LATIHAN

Berikut ini diberikan implementasi rumus determinan pada software Scilab

dalam penyelesaian Contoh 4.1 dimana bentuk matriks :

𝐴 = [1 3 −1

−1 2 22 4 3

]

Cara 1 : Penguraian (ekspansi) baris 1

(a) Mendefinisikan submatriks berordo 2x2 dengan menghilangkan

baris ke-1.


(b) Menghitung semua nilai kofaktor pada baris ke-1.

C11 : berarti nilai kofaktor baris 1 dan kolom 1

26

(c) Perhitungan determinan menggunakan persamaan (4.1).

A(1,1) menyatakan elemen matriks A pada baris 1 kolom 1



Cara 2 : Penguraian (ekspansi) kolom 2

(a) Mendefinisikan submatriks berordo 2x2 dengan menghilangkan

kolom ke-2.


27

(b) Menghitung semua nilai kofaktor pada kolom ke-2.

C22 : berarti nilai kofaktor baris 2 dan kolom 2

(c) Perhitungan determinan menggunakan persamaan (4.2).

L A T I H AN


]

1. Tentukan determinan matriks 𝐴 secara manual !

2. Tentukan determinan matriks 𝐴 menggunakan Software Scilab !

28

MATRIKS INVERS ORDO 2X2

OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Matriks Invers Ordo

2x2 Secara Manual.


Penentuan Matriks Invers Ordo 2x2.

PENDAHULUAN

Suatu matriks bujur sangkar jika nilai determinannya tidak sama

dengan nol, maka matriks tersebut mempunyai suatu matriks invers.

Sesuai dengan namanya, bentuk dari matriks invers ini adalah suatu

matriks dimana jika dikalikan dengan matriks bujur sangkarnya akan

menghasilkan matriks identitas. Beberapa contoh penggunaan matriks

invers dalam kehidupan sehari-hari antara lain :

1. Pada bidang Kriptografi; invers dari suatu matriks digunakan dalam

pembentukan pesan rahasia, dimana pesan rahasia yang

dikirimkan ke orang lain berupa abjad/huruf, tanpa spasi, tanpa

tanda baca dan simbol-simbol lainnya. Pesan rahasia tersebut

diubah dalam bentuk matriks, sehingga peranan invers dalam hal

ini sangat penting karena digunakan untuk mengetahui pesan yang

dimaksud oleh pengirim pesan [Side, S. & Syahrana, 2015].

2. Pada bidang Biologi; invers matriks berguna dalam hal

pembentukan diagonalisasi matriks yang digunakan untuk

penyelidikan pewarisan genotip yaitu untuk mengetahui sifat yang

muncul pada individu di dalam suatu generasi [Nurmia, Abdy, M., &

Side, S., 2017].

5

29

5.1 DEFINISI MATRIKS INVERS

Matriks bujur sangkar 𝐴 mempunyai invers, jika ada matriks B

sedemikian sehingga = 𝐵𝐴 = 𝐼 , dengan 𝐼 adalah matriks identitas. Pada

persamaan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, 𝐴 dan 𝐵 disebut saling invers. Rumus umum

matriks invers didefinisikan dalam persamaan (5.1).

Syarat :

Suatu matriks 𝐴 mempunyai invers jika det(𝐴) ≠ 0

Notasi :

Matriks invers dari matriks 𝐴 dinotasikan dengan 𝐴−1

Rumus Umum :

𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡(𝐴)× 𝐴𝑑𝑗(𝐴) (5.1)

dengan 𝐴𝑑𝑗(𝐴) adalah matriks adjoin dari matriks 𝐴

5.2 PERHITUNGAN MATRIKS INVERS ORDO 2X2


dengan bentuk :

𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

Matriks adjoin dari matriks 𝐴 yang berordo 2x2 dapat dinyatakan sebagai

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

], sehingga diperoleh rumus matriks invers untuk

matriks 𝐴2×2 dalam persamaan (5.2).

Rumus :

𝐴−1 =1

𝑎.𝑑−𝑏.𝑐× [

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

] (5.2)

Contoh 5.1 :


] tentukan matriks invers dari matriks !

Penyelesaian :

𝐴−1 =1

−1.3 − (−2). 4× [

3 2−4 −1

] =1

5[

3 2−4 −1

] = [

3

5

2

5−4

5

−1

5

]

30

RANGKUMAN

Menentukan matriks invers berordo 2x2 pada matriks 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] dengan

menggunakan rumus :

𝐴−1 =1

𝑎. 𝑑 − 𝑏. 𝑐× [

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

]

TUNTUNAN LATIHAN

Berikut ini diberikan implementasi rumus determinan pada software Scilab

dalam penyelesaian Contoh 5.1 dimana bentuk matriks :

𝐴 = [−1 −24 3

]

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 pada Scilab.

(b) Menggunakan fungsi inv(A) yang terdapat pada Scilab.

L A T I H AN


]

1. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 secara manual !

2. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 menggunakan Software Scilab !

31

MATRIKS INVERS ORDO 3X3

OBJEKTIF :


3x3 Menggunakan Minor dan Kofaktor Secara Manual.


3x3 dengan Minor dan Kofaktor Menggunakan Software Scilab.

PENDAHULUAN

Bab ini membahas bagaimana menentukan matriks invers pada

suatu matriks bujur sangkar (persegi) berordo 3x3. Perhitungan untuk

mendapatkan matriks invers berordo 3x3 yaitu dengan menggunakan

minor dan kofaktor yang dilakukan secara manual serta melalui penerapan

rumus ke dalam software Scilab.

Penentuan matriks invers memerlukan perhitungan nilai determinan

matriks dan matriks adjoin. Matriks adjoin diperoleh dari transpose matriks

kofaktor. Oleh karena itu, perhitungan matriks invers terlebih dahulu

dilakukan penentuan nilai kofaktor pada setiap elemen matriks.

6.1 PERHITUNGAN MATRIKS INVERS ORDO 3X3

Misalkan 𝐴 matriks bujur sangkar (persegi) berordo 3x3 dengan

bentuk :

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Martriks Kofaktor dari Matriks 𝐴3×3 tersebut dinotasikan dengan bentuk :

𝐶 = [

𝐶11 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

]

6

32

Matriks adjoin dari matriks 𝐴 yang berordo 3x3 didefinsikan sebagai

Transpose Matriks Kofaktor, yaitu :

𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 𝐶𝑇 = [

𝐶11 𝐶21 𝐶31

𝐶12 𝐶22 𝐶32

𝐶13 𝐶23 𝐶33

]

Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk mencari matriks

invers berordo 3x3 dengan metode minor dan kofaktor sebagai berikut :

1. Tentukan kofaktor dari semua elemen pada matriks.

2. Tuliskan matriks kofaktor.

3. Tuliskan matriks adjoin (transpose dari matriks kofaktor).

4. Tentukan nilai determinan dengan ekspansi baris/kolom.

5. Masukkan ke rumus matriks invers

𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡(𝐴)× 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

Contoh 6.1 :

Diketahui matriks 𝐴 = [1 3 −1

−1 2 22 4 3

] , tentukan matriks invers dari 𝐴 !

Penyelesaian :

(a) Menentukan Matriks Adjoin

Kofaktor dari kesembilan elemen dari matriks 𝐴 adalah sebagai berikut :

𝐶11 = (−1)1+1 |2 24 3

| = (1)(2.3 − 2.4) = −2

𝐶12 = (−1)1+2 |−1 22 3

| = (−1)((−1). 3 − 2.2) = 7

𝐶13 = (−1)1+3 |−1 22 4

| = (1)((−1). 4 − 2.2) = −8

𝐶21 = (−1)2+1 |3 −14 3

| = (−1)(3.3 − (−1). 4) = −13

𝐶22 = (−1)2+2 |1 −12 3

| = (1)(1.3 − (−1). 2) = 5

𝐶23 = (−1)2+3 |1 32 4

| = (−1)(1.4 − 3.2) = 2

𝐶31 = (−1)3+1 |3 −12 2

| = (1)(3.2 − (−1). 2) = 8

𝐶32 = (−1)3+2 |1 −1

−1 2| = (−1)(1.2 − (−1)(−1)) = −1

33

𝐶33 = (−1)3+3 |1 3

−1 2| = (1)(1.2 − 3. (−1)) = 5

Jadi matrik kofaktor dari matriks 𝐴 yaitu

𝐶 = [

𝐶11 𝐶12 𝐶13

𝐶21 𝐶22 𝐶23

𝐶31 𝐶32 𝐶33

] = [−2 7 −8−13 5 28 −1 5

]

Sehingga diperoleh matriks adjoin 𝐴 adalah

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐶𝑇 = [−2 −13 87 5 −1

−8 2 5]

(b) Menentukan Nilai Determinan

Misalkan dipilih baris ke-1 (ekspansi baris 1)

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |𝐴| = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 + 𝑎13𝐶13 = 1. (−2) + 3.7 + (−1)(−8) = 27 Maka diperoleh matriks invers 𝐴 adalah

𝐴−1 =1

27× [

−2 −13 87 5 −1

−8 2 5] =

[ −2

27

−13

27

8

277

27

5

27

−1

27−8

27

2

27

5

27]

6.2 SIFAT-SIFAT MATRIKS INVERS

1) (𝐴−1)−1 = 𝐴

2) (𝐴−1)′ = (𝐴′)−1

3) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1

4) Jika matriks 𝐴 invertible maka 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) =1

𝑑𝑒𝑡(𝐴)

RANGKUMAN

Menentukan matriks invers berordo 3x3 dengan menggunakan rumus :

𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡(𝐴)× 𝐴𝑑𝑗(𝐴)

dimana 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐶𝑇 = [

𝐶11 𝐶21 𝐶31

𝐶12 𝐶22 𝐶32

𝐶13 𝐶23 𝐶33

]

34

TUNTUNAN LATIHAN

Berikut ini diberikan implementasi rumus perhitungan matriks invers pada

software Scilab dalam penyelesaian Contoh 6.1 dimana bentuk matriks :

𝐴 = [1 3 −1

−1 2 22 4 3

]

(a) Mendefinisikan semua sub matriks berordo 2x2 dengan

menghilangkan 1 baris dan 1 kolom.

(b) Menghitung semua nilai kofaktor.

35

(c) Mendefinisikan matriks kofaktor.

(d) Mendefinisikan matriks adjoin.

(e) Menentukan nilai determinan.

36

(f) Perhitungan matriks invers menggunakan persamaan (5.1).

L A T I H AN

Diketahui matriks 𝐴 = [−3 1 1−2 3 24 −1 −2

]

1. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 secara manual !

2. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 menggunakan Software Scilab !

37

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

OBJEKTIF:

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Nilai Eigen dan Vektor

Eigen.


Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

PENDAHULUAN

Pada bab ini, untuk membedakan antara skalar atau bilangan,

vektor dan matriks digunakan ketentuan sebagai berikut :

1. Skalar atau bilangan menggunakan huruf kecil seperti: 𝑎, 𝑏, 𝑐,

… , 𝑧.

2. Vektor menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal, seperti: 𝒂,

𝒃, 𝒄, … , 𝒛.

3. Matriks menggunakan huruf kapital, seperti: 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝑍.

Bab ini membahas bagaimana mencari vektor eigen dan nilai eigen

sebuah matriks. Definisi dan cara mendapatkan nilai eigen dan vektor

eigen dari sebuah matriks akan dibahas secara lebih rinci pada subbab

berikutnya. Beberapa contoh penggunaan vektor eigen dan nilai eigen

antara lain :

1. Pada bidang Pengolahan Video; vektor eigen dominan (vektor

eigen dari nilai eigen terbesar) dari matriks kovariansi yang

dibangun dari sebuah video yang dinyatakan dalam bentuk matriks

dapat menghasilkan sebuah video yang hanya mengandung objek-

7

38

objek latar belakang [Sari, I., Juarna, A., Harmanto, S., & kerami, D,

2018].

2. Pada bidang Pengolahan Citra; vektor eigen digunakan untuk

pengenalan wajah [Turk, M. & Pentland, A., 1991].

3. Pada bidang Pengambilan Keputusan; salah satu metode

pengambilan keputusan yaitu Analytical Hierarchy Process (AHP)

dapat menggunakan nilai dan vektor eigen dalam menentukan

vektor prioritas [Hafiyusoleh, M., Asyhar, A. H., Komaria, R., 2015].

4. Palam bidang Fisika; Tegangan-tegangan utama yang bekerja

pada sebuah sistem tegangan, nilainya sama dengan nilai-nilai

eigen dari matrik tegangannya [Arief, S. 2015].

Selain empat contoh di atas, masih banyak kegunaan nilai eigen dan

vektor eigen. Oleh karena itu, sangat penting bagi mahasiswa untuk

mempelajari nilai eigen dan vektor eigen.

7.1 DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai eigen dan vektor eigen merupakan karakteristik dari sebuah

matriks. Hal ini karena vektor eigen dapat mewakili matriks yang

bersangkutan. Jika 𝐴 adalah matriks bujur sangkar berdimensi 𝑛, maka

vektor tak nol 𝒖 di ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝒖 adalah kelipatan

skalar dari 𝒖 atau dapat ditulis dengan bentuk :

𝐴𝒖 = 𝜆𝒖, (7.1)

untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari 𝐴 dan 𝒖 adalah

vektor eigen dari 𝐴 yang bersesuaian dengan 𝜆 [Anton, 1994].

Nilai eigen dari matriks 𝐴 dapat ditentukan dengan menuliskan

persamaan (7.1) dalam bentuk :

𝐴𝒖 = 𝜆𝐼𝒖,

𝐴𝒖 − 𝜆𝐼𝒖 = 𝟎,

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝒖 = 𝟎. (7.2)

39

Persamaan (7.2) membentuk sistem persamaan linier homogen.

Persamaan ini akan mempunyai solusi tidak nol jika dan hanya jika :

𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 (7.3)

Persamaan (7.3) disebut persamaan karakteristik dari 𝐴. Nilai skalar 𝜆

yang memenuhi persamaan (7.3) disebut nilai eigen dari 𝐴. Untuk nilai 𝜆

tertentu, solusi dari persamaan (7.3), yaitu vektor 𝒖, dapat dicari dan

vektor 𝒖 yang diperoleh disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan

nilai 𝜆 tertentu.

Contoh 7.1 :

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 = [3 08 −1

] !

Penyelesaian :

(a) Menentukan Nilai Eigen

Persamaan (7.3) digunakan untuk mendapatkan persamaan karakteristik,

dengan matriks identitas untuk matriks bujur sangkar berdimensi 2 adalah

𝐼 = [1 00 1

], sehingga persamaan (7.3) untuk contoh ini adalah

𝑑𝑒𝑡 ([3 08 −1

] − 𝜆 [1 00 1

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([3 08 −1

] − [𝜆 00 𝜆

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([3 − 𝜆 0

8 −1 − 𝜆]) = 0

(3 − 𝜆) ∙ (−1 − 𝜆) = 0

Penjabaran dari persamaan (3 − 𝜆) ∙ (−1 − 𝜆) = 0 yaitu 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0

disebut persamaan karakteristik dari matriks 𝐴. Nilai 𝜆 yang memenuhi

persamaan karakteristik atau nilai akar persamaan adalah nilai eigen dari

matriks 𝐴.

(3 − 𝜆) = 0 atau (−1 − 𝜆) = 0

𝜆1 = 3 atau 𝜆2 = −1

Jadi, nilai eigen dari matriks 𝐴 adalah 3 dan -1.

40

(b) Menentukan Vektor Eigen Berdasarkan Nilai Eigen

Vektor eigen dapat ditentukan dengan mensubstitusi masing-masing nilai

eigen ke dalam persamaan (7.2) seperti berikut ini :

Untuk nilai eigen, 𝜆1 = 3, persamaan (7.2) menjadi

[3 − 3 0

8 −1 − 3]𝒖𝟏 = 𝟎.

[0 08 −4

]𝒖𝟏 = 𝟎.

Ini adalah sistem persamaan linier (SPL) homogen. Solusi dari SPL

tersebut dapat ditentukan dengan

8𝑢1 − 4𝑢2 = 0,

𝑢2 = 2𝑢1.

SPL ini mempunyai banyak solusi, dengan memisalkan 𝑢1 = 𝑡 adalah

sembarang bilangan, maka solusi SPL tersebut adalah

𝑢1 = 𝑡,

𝑢2 = 2𝑡,

atau dapat ditulis sebagai 𝒖𝟏 = [𝑡2𝑡

] = [12] 𝑡. Jadi diperoleh vektor eigen

untuk matriks 𝐴 untuk nilai eigen 𝜆1 = 3 adalah 𝒖𝟏 = [12].

Untuk nilai eigen, 𝜆2 = −1, persamaan (7.2) menjadi

[3 − (−1) 0

8 −1 − (−1)]𝒖𝟐 = 𝟎.

[4 08 0

] 𝒖𝟐 = 𝟎.

Ini adalah sistem persamaan linier (SPL) homogen. Karena baris 1

merupakan kelipatan baris 2, maka dapat dipilih salah satu baris untu

mendapatkan solusi SPL tersebut. Solusi dari SPL tersebut dapat

ditentukan dengan

4𝑢1 = 0,

𝑢1 = 0.



41

𝑢1 = 0,

𝑢2 = 𝑡,

atau dapat ditulis sebagai 𝒖𝟐 = [0𝑡] = [

01] 𝑡. Jadi diperoleh vektor eigen

untuk matriks 𝐴 untuk nilai eigen 𝜆2 = −1 adalah 𝒖𝟐 = [01].

Contoh 7.2 :

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 = [0 0 −21 2 11 0 3

] !

Penyelesaian :

(a) Menentukan Nilai Eigen

Persamaan (7.3) digunakan untuk mendapatkan persamaan karakteristik,

dengan matriks identitas untuk matriks bujur sangkar berdimensi 3 adalah

𝐼 = [1 0 00 1 00 0 1

], sehingga persamaan (7.3) untuk contoh ini adalah

𝑑𝑒𝑡 ([0 0 −21 2 11 0 3

] − 𝜆 [1 0 00 1 00 0 1

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([0 0 −21 2 11 0 3

] − [𝜆 0 00 𝜆 00 0 𝜆

]) = 0

𝑑𝑒𝑡 ([− 𝜆 0 −21 2 − 𝜆 11 0 3 − 𝜆

]) = 0

dengan menggunakan ekspansi baris pertama untuk mencari determinan,

maka persamaan di atas menjadi

1. |0 −2

2 − 𝜆 1| + 0. |

−𝜆 −21 1

| + (3 − 𝜆). |−𝜆 01 2 − 𝜆

| = 0

1. (0 − (−4 + 2𝜆)) + 0 + (3 − 𝜆).−𝜆(2 − 𝜆)=0

4 − 2𝜆 + (3 − 𝜆)(−2𝜆 + 𝜆2) = 0

4 − 2𝜆 − 6𝜆 + 5𝜆2 − 𝜆3 = 0

−𝜆3 + 5𝜆2 − 8𝜆 + 4 = 0, atau

𝜆3 − 5𝜆2 + 7𝜆 − 4 = 0.

42

Persamaan di atas adalah persamaan karakteristik dari matriks 𝐴. Nilai 𝜆

yang memenuhi persamaan karakteristik atau nilai akar persamaan adalah

nilai eigen dari matriks 𝐴. Karena konstanta pada persamaan di atasa

adalah −4, maka nilai akar persamaan yang mungkin adalah faktor-faktor

dari −4 yaitu ±1,±2, dan ±4. Persamaan diatas dapat diperoleh dengan

mensubstitusi faktor-fakor dari −4 yang memenuhi persamaannya atau

dapat juga dilakukan pemfaktoran.Faktorisasi dari persamaan di atas

adalah

(𝜆 − 1)(𝜆 − 2)(𝜆 − 2) = 0

𝜆 − 1 = 0, atau 𝜆 − 2 = 0

𝜆1 = 1 atau 𝜆2 = 2

Jadi, nilai eigen dari matriks 𝐴 adalah 1 dan 2.

(b) Menentukan Vektor Eigen Berdasarkan Nilai Eigen

Vektor eigen dapat ditentukan dengan mensubstitusi masing-masing nilai

eigen ke dalam persamaan (7.2) seperti berikut ini :


[−1 0 −21 1 11 0 2

] 𝒖𝟏 = 𝟎.

Ini adalah sistem persamaan linier (SPL) homogen. Karena baris ketiga

merupakan kelipatan dari baris pertama, maka beris ketiga tidak

digunakan dalam penentuan solusi SPL di atas. Solusi dari SPL tersebut

dapat ditentukan dengan

−𝑢1 − 2𝑢3 = 0,

𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 = 0.



𝑢1 = −2𝑡,

𝑢2 = −𝑢1 − 𝑢3 = 2𝑡 − 𝑡 = 𝑡,

43

atau dapat ditulis sebagai 𝒖𝟏 = [−2𝑡𝑡𝑡

] = [−211

] 𝑡. Jadi diperoleh vektor eigen

untuk matriks 𝐴 untuk nilai eigen 𝜆1 = 1 adalah 𝒖𝟏 = [−211

].


[−2 0 −21 0 11 0 1

] 𝒖𝟐 = 𝟎.

Ini adalah sistem persamaan linier (SPL) homogen. Karena baris kesatu

merupakan kelipatan baris ke dua atau ke tiga dan baris ke dua sama

dengan baris ke tiga, maka dipilih satu baris untuk mendapatkan solusi

SPL di atas. Solusi dari SPL tersebut dapat ditentukan dengan

−2𝑢1 − 2𝑢3 = 0,

SPL ini mempunyai banyak solusi, dengan memisalkan 𝑢2 = 𝑡 dan 𝑢3 = 𝑠

adalah sembarang bilangan, maka solusi SPL tersebut adalah

𝑢1 = −𝑢3 = −𝑠,

𝑢2 = 𝑡,

𝑢3 = 𝑠

atau dapat ditulis sebagai 𝒖𝟐 = [−𝑠𝑡𝑠

] = [010] 𝑡 + [

−101

] 𝑠. Jadi diperoleh vektor

eigen untuk matriks 𝐴 untuk nilai eigen 𝜆2 = 2 adalah [010] dan [

−101

].

7.2 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN PADA SCILAB

Nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 dapat dihitung dengan

fungsi “spec” yang mempunyai sintaks sebagai berikut :

lambda = spec(A),

[U, lambda] = spec(A),

dengan lambda adalah nilai-nilai eigen dari matrik 𝐴 dan U adalah suatu

matrik dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor eigen untuk

setiap nilai eigen lambda yang bersesuain.

44

RANGKUMAN

1. Nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan karakteristik dari matriks A, yaitu :

𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Nilai skalar 𝜆 yang memenuhi persamaan karakteristik disebut nilai

eigen dari 𝐴. Untuk nilai 𝜆 tertentu, solusi dari persamaan karakteristik

yaitu vektor 𝒖, dapat dicari dan vektor 𝒖 yang diperoleh disebut vektor

eigen yang bersesuaian dengan nilai 𝜆 tertentu.

2. Pada software Scilab, nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 dapat

dihitung dengan fungsi “spec” yang mempunyai sintaks sebagai

berikut :

lambda = spec(A),

[U, lambda] = spec(A),

TUNTUNAN LATIHAN

A. Berikut ini diberikan cara penentuan nilai eigen dan vektor eigen

menggunakan software Scilab dalam penyelesaian Contoh 7.1 dimana

matriks 𝑨 berordo 2x2 dengan bentuk :

𝐴 = [3 08 −1

]

Nilai eigen dan vektor eigen dari matrik di atas dapat dihitung dengan

tahapan-tahapan sebagai berikut :

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 ke dalam Scilab.

45

(b) Menerapkan fungsi “spec” yang ada dalam Scilab terhadap

matriks 𝐴.

spec(A) adalah fungsi pada Scilab untuk mendapatkan nilai eigen

dan vektor eigen dari matriks 𝐴.

[U,L]= spec(A) maksudnya adalah vektor eigen dari matriks 𝐴

disimpan dalam matriks U, sedangkan nilai eigen dari matriks A

disimpan dalam matriks L yang merupakan matriks diagonal,

dengan elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari

matriks 𝐴.

46

(c) Berdasarkan hasil output Scilab diperoleh vektor eigen untuk nilai

eigen 𝜆1 = −1 adalah 𝒖𝟏 = [01] dan vektor eigen untuk nilai eigen

𝜆2 = 3 adalah 𝒖𝟐 = [0.44721360.8944272

] atau dapat dinyatakan juga 𝒖𝟐 =

[12] karena [

0.44721360.8944272

] = [12] 0.4472136.

B. Berikut ini diberikan cara penentuan nilai eigen dan vektor eigen

menggunakan software Scilab dalam penyelesaian Contoh 7.2 dimana

matriks 𝑨 berordo 3x3 dengan bentuk :

𝐴 = [0 0 −21 2 11 0 3

]

Nilai eigen dan vektor eigen dari matrik di atas dapat dihitung dengan

tahapan-tahapan sebagai berikut :

(a) Mendefinisikan matriks 𝐴 ke dalam Scilab.

(b) Menerapkan fungsi “spec” yang ada dalam Scilab terhadap

matriks 𝐴.

47

(c) Berdasarkan output di atas diperoleh nilai-nilai eigen matriks 𝐴

adalah 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 1, dan 𝜆3 = 2, kemudian vektor-vektor eigen

dari matriks 𝐴 adalah vektor-vektor kolom matriks U yang

bersesuaian dengan nilai eigen pada matriks L. Jadi, vektor eigen

untuk nilai eigen 𝜆1 = 2 adalah 𝒖𝟏 = [010

], vektor eigen untuk nilai

eigen 𝜆2 = 1 adalah 𝒖𝟐 = [−0.8164966 0.40824830.4082483

], dan vektor eigen untuk

nilai eigen 𝜆3 = 2 adalah 𝒖𝟑 = [0.706555 0.0394976−0.706555

].

Scilab atau aplikasi yang lain seperti Matlab cenderung

memberikan hasil elemen-elemen vektor eigen berupa desimal,

sedangkan jika dilakukan perhitungan secara analitik elemen-

elemen vektor eigen lebih umum menghasilkan bilangan bulat. Jika

setiap elemen pada vektor eigen merupakan kelipatan maka vektor

eigen tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk lain. Perhatikan

elemen-elemen vektor eigen yang dihasilkan pada contoh ini.

48

Elemen-elemen vektornya saling berkelipatan sehingga vektor-

vektor eigennya dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝒖𝟏 = [010

],

𝒖𝟐 = [−0.8164966 0.40824830.4082483

] = [−211

] 0.4082483,

𝒖𝟑 = [0.706555 0.0394976−0.706555

] = [1

0.06−1

] 0.706555 ,

sehingga dapat juga disimpulkan bahwa vektor eigen untuk nilai

eigen 𝜆1 = 2 adalah 𝒖𝟏 = [010], vektor eigen untuk nilai eigen 𝜆2 = 1

adalah 𝒖𝟐 = [−2 11

], dan vektor eigen untuk nilai eigen 𝜆3 = 2 adalah

𝒖𝟑 = [1

0.06−1

] .

L A T I H AN

Perhatikan matriks berikut :

𝐴 = [1 3 −1

−1 2 22 4 3

]

1. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 secara manual !

2. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 menggunakan

Scilab !

3. Bandingkan hasil yang Anda peroleh dari soal 1 dan soal 2 ! Jelaskan

jawaban Anda !

49

UJIAN OBJEKTIF :

1. Mahasiswa Mampu Melakukan Perhitungan Secara Manual dalam

Penyelesaian Soal Ujian.

2. Mahasiswa Mampu Menggunakan Software Scilad dalam

Penyelesaian Soal Ujian.

3. Mahasiswa Mampu Menyelesaikan Soal Ujian Secara Tepat Waktu.

1. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 = [−8 −1 24 −3 −2

−2 −2 1] secara

manual !

2. Tentukan matriks invers dari matriks 𝐴 = [−8 −1 24 −3 −2

−2 −2 1]

menggunakan Scilab !

3. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matrik 𝐵 = [−2 0 12 1 02 0 1

]

secara manual !

4. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matrik 𝐵 = [−2 0 12 1 02 0 1

]

menggunakan Scilab !

5. Apakah vektor eigen dari matriks B yang dihasilkan secara manual

sama dengan hasil menggunakan Scilab ? Jelaskan !

8

50

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, H. (1994). Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley &

Sons, Inc.

2. Arief, S. (2015). Pengenalan Scilab: Perangkat Lunak Gratis untuk

Komputasi Numerik dan Visualisasi Data.

3. Hafiyusholeh, M., Asyhar, A.H., & Komaria, R. (2015). Aplikasi Metode

Nilai Eigen dalam Analytical Hierarchy Process untuk Memilih Tempat

Kerja. Jurnal Matematika “Mantik”, Vol. 1, No. 1, pp. 6-16.

4. Hidayat, A. & Alawiyah, T. (2013). Enkripsi dan Dekripsi Teks

Menggunakan Algoritma Hill Cipher dengan Kunci Matriks Persegi

Panjang. Jurnal Matematika Integratif, Vol. 9, No. 1, pp. 39-51.

5. Kusumanto, R.D. & Tompunu, A.N. (2011). Pengolahan Citra Digital

Untuk Mendeteksi Obyek Menggunakan Pengolahan Warna Model

Normalisasi RGB. Semantik.

6. Mardhiyah, I., Madenda, S., Salim, R.A., & Wiryana, I.M. (2016).

Dimensionality Reduction for 3D Mesh Reconstruction. Journal of

Physics: Conference Series 725.

7. Naim, M. (2016). Aplikasi Aljabar Matriks dalam Pewarisan Gen

Tunggal. Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Halu Oleo, Kendari.

8. Nurmia, Abdy, M., & Side, S. (2017). Penerapan Diagonalisasi Matriks

untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n dalam

Genetika.

9. Sari, I., Juarna, A., Harmanto, S., & Kerami, D. (2018). Background

Estimation Using Principal Component Analysis Based on Limited

Memory Block Krylov Subspace Optimization. International Journal of

Electrical and Computer Engineering (IJECE), Vol. 8, No. 5.

51

10. Side, S. & Syahrana. (2015). Aplikasi Invers Matriks dalam

Pembentukan Pesan Rahasia. Journal Teknosains, Vol. 9, No. 1, pp.

27-39.

11. Turk, M. & Pentland, A. (1991). Eigenfaces for Recognition. Journal of

Cognitive Neuroscience, Vol. 3, No. 1, pp. 71-86.

12. Yahya, Y., Harmanto, S., & Sumin, A. (2011). Matematika Dasar

Perguruan Tinggi. Bogor: Ghalia Indonesia.

modul penunjang praktikum ilab matematika lanjut...

Documents