modul analisa struktur 2 [tm3]

8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]

1/12

MODUL PERKULIAHAN

AnalisisStruktur 2

Pemodelan Struktur (1)

Fakultas ProgramStudiTata Muk a Kod! MK DisusunOl!"

TeknikPerencanaan danDesain

Teknik Sipil

#$11018 Jef Franklyn

Sinulingga, ST, MT

Abstract KompetensiMateri Analisa Struktur 2 berisikan diskritisasi

struktur; vector perpindahan dan gaya; hukum

keseimbangan dan kompatibilitas; hubungan

aksi dan perpindahan; dan tata local dan global .

Mahasiswa/i memahami konsep dasar analisis struktur

dengan metoda matriks .

$%&% Diskritisasi Struktur


2/12

Untuk memudahkan dalam analisis struktur yang ditinjau dapat disederhanakan

menjadi model diskrit Model diskrit diperoleh dengan cara membagi ! bagi struktur atas

sejumlah ELEMEN " dimana setiap elemen dibatasi oleh titik kumpul/ titik simpul/ node

#enentuan letak titik simpul/ node didasarkan oleh$

a Terjadi perubahan si%at bahan/ materialb Merupakan titik kumpulc Terjadi perubahan geometri strukturd Tempat bekerjanya gaya terpusat atau perubahan pembebanan

&eberapa contoh diskritisasi struktur dapat dilihat sebagaimana gambar berikut ini

'am(ar &% )onto" diskritisasi struktur

'ode pada diskritisasi struktur pada analisis struktur dengan metode kekakuan juga

merupakan jumlah pengekangan yang harus diberikan agar struktur menjadi kinematis

tertentu (tidak ada perpindahan di semua titik simpul #ada pemilihannya diberikan

kebebasan dimana dianggap memudahkan dalam perhitungan struktur selanjutnya

#ada permasalahan dinamik" struktur dapat dianggap didiskritisasi (dibagi!bagi)menurut cara!cara berikut$

1. #rosedur Massa Terkelompok (Lumped-Mass Procedure)

Massa struktur dianggap terpusat/ terkelompok pada suatu titik tertentu atau

beberapa titik tertentu Sehingga perpindahan struktur yang diperhitungkan juga yang

berkenaan dengan gaya inersia yang terkait dengan massa terkelompok tersebut

#erpindahan tersebut selanjutnya disebut sebagai derajat kebebasan atau

*+, (Degree of Freedom).

2 #erpindahan yang digeneralisir

2#&* 2

M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning

-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id


3/12

Massa struktur tetap terdistribusi sepanjang struktur Sehingga derajat kebebasan

struktur tak terhingga" dan perpindahan pada setiap titik pada struktur dianggap

mengikuti suatu persamaan yang digeneralisir

. Metode lemen 0ingga

Merupakan kombinasi dari metoda pertama dan kedua di atas

$%2% -!ktor P!r inda"an dan'a.a

*alam model diskrit system strutkur berbentuk rangka" perpindahan translasi dan

rotasi dapat diambil sebagai komponen perpindahan pada setiap titik simpul *i dalam

ruang ada tiga translasi pada arah ortogonal (Arah sumbu 1" dan 3 dalam koordinat

kartesius) dan tiga rotasi terhadap ketiga sumbu orthogonal tersebut 4eenam komponen

perpindahan ini dinamakan DERAJAT KEBEBA AN T!T!K !M"#L $DE%REE &'

'REED&M()

&erpadanan dengan keenam derajat kebebasan di atas maka terdapat 5 komponen

aksi yang terdiri dari gaya pada arah translasi dan . momen pada arah rotasi *alam metode

matrik" besaran *ang memp+n*ai besar dan arah disebut sebagai ,e-tor " sehingga

perpindahan dan gaya adalah merupakan suatu besaran vektor

&eberapa jenis elemen yang umum dimodelkan beserta komponen perpindahan dan

gayanya dapat dilihat pada gambar berikut ini

Tabel1) Komponen perpindahan dan ga*a beberapa .enis elemen

2#&* 3




4/12

$%$% Hukum K!s!im(angan dan

K!s! adananTujuan analisa struktur ialah menentukan gaya luar (komponen reaksi) dan gaya dalam

(resultan tegangan) 6aya!gaya ini harus memenuhi syarat -eseimbangan dan

menghasilkan perubahan bentuk yang sepadan (compatible) dengan kontinuitas struktur

dan kondisi tumpuan

A) Keseimbangan

Salah satu tujuan analisa struktur ialah menentukan berbagai aksi struktur" seperti

reaksi tumpuan dari resultan tegangan (momen lentur" gaya geser" dan seterusnya)

#enyelesaian untuk besaran ini harus memenuhi seluruh syarat keseimbangan statis

Tinjaulah suatu perletakan yang memikul sejumlah aksi 7esultan semua aksi bisa

berupa gaya" kopel (momen)" atau keduanya -ika perletakan tersebut berada dalam

keseimbangan statis" resultannya nol" yaitu resultan vector gaya dan resultan vector momen

keduanya nol

Suatu vector dalam ruang selalu bisa diuraikan ketiga komponen yang saling tegak

lurus" seperti arah 8" y" dan 9 -ika resultan vector gaya sama dengan nol" maka

komponennya juga harus sama dengan nol -adi" persamaan keseimbangan statis adalah$

*alam persamaan ini" menyatakan jumlah aljabar komponen 8" y"

dan 9 dari semua vector gaya yang bekerja pada benda bebas -ika vector resultan momen

sama dengan nol" persamaan keseimbangan momen statis adalah$

*alam persamaan ini" menyatakan jumlah aljabar komponen 8" y"

dan 9 dari semua kopel dan gaya yang bekerja pada benda bebas #ersamaan di atas

menyatakan persamaan keseimbangan statis dalam tiga dimensi yang dapat diterapkanpada sembarang benda bebas seperti struktur keseluruhan" bagian dari struktur" batang

tunggal atau titik kumpul struktur

B) Kesapadanan

Selain syarat keseimbangan statis" seluruh syarat kesepadanan harus terpenuhi dalam

analisa struktur Syarat ini menyatakan perpindahan di seluruh bagian struktur dan kadang!

kadang disebut syarat geometris Misalnya" syarat kesepadanan harus dipenuhi di semua

2#&*




5/12

titik tumpuan" yaitu perpindahan struktur harus konsisten dengan kondisi tumpuan Sebagai

contoh" di tumpuan jepit tidak akan terjadi translasi dan rotasi sumbu batang

Syarat kesepadanan harus juga terpenuhi di semua titik kumpul pada bagian dalam

struktur Umumnya yang diperhatikan ialah kesepadanan titik kumpul struktur Misalnya

disambungan yang tegar antara dua batang" perpindahan (translasi dan rotasi) kedua batang

harus sama

%ambar /) *arat Translasi dan Rotasi pada T+mp+an

$%/% Hu(ungan Aksi dan

P!r inda"an:stilah aksi< dan perpindahan< dipakai untuk menjabarkan konsep tertentu dalam

analisis struktur

A) A-si

Suatu aksi berupa gaya atau kopel tunggal 'amun" aksi bias juga merupakan

gabungan gaya dan kopel" beban tersebar" atau gabungan aksi!aksi tersebut #ada kasus

gabungan ini semua gaya" kopel dan beban tersebar harus memiliki hubungan tertentusehingga bias dinyatakan oleh symbol tunggal

=ontoh$

-ika beban pada balok tumpuan sederhana A& terdiri dari dua gaya # sama besar

(lihat 6ambar .)" maka gabungan kedua beban ini dapat dipandang sebagai aksi tunggal

dan dinyatakan dengan satu symbol , 6abungan kedua beban ini dengan reaksi 7 A dan 7 &

di tumpuan juga boleh dipandang sebagai aksi tunggal" karena keempat gaya tersebut saling

berhubungan secara unik

2#&* !




6/12

%ambar ) A-si Rea-si pada Balo- T+mp+an ederhana

Aksi dalam adalah resultan distribusi tegangan dalam" meliputi momen lentir" gaya

geser" gaya aksial dan momen punter Untuk membedakan reaksi ini dari beban pada

struktur" reaksi digambarkan oleh tanda panah dan garis miring

=ontoh$

*alam menghitung gaya aksial N " momen lentur M " dan gaya geser V di suatu

potongan balok6ambar >b" misalnya di tengah bentang" kita perlu meninjau keseimbangan

static suatu balok Salah satu caranya ialah dengan membuat diagram benda bebas (free-

body) setengah bagian kanan balok deperti diperlihatkan pada 6ambar >b *ari diagram ini

terlihat bahwa setiap aksi dalam berupa gaya atau kopel tunggal

%ambar )%a*a Dalam pada Kantile,er

2#&* "




7/12

B) "erpindahan

#erpindahan pada umumnya berupa translasi atau rotasi di titik struktur Translasi

menunjukkan jarak pergerajan titik pada struktur" dan rotasi menyatakan sudut putar garis

singgung pada kurva elastis (atau garis normalnya) di satu titik Misalnya" pada balok

kantilever pada 6ambar ?" translasi @ dan rotasi di ujung balok dipandang sebagai

perpindahan Bebih jauh lagi" seperti dalam kasus aksi" perpindahan dapat dipandang

berlaku umum" yaitu sebagai gabungan translasi dan rotasi

%ambar 2) Translasi dan Rotasi "ada Kantile,er

Tinjauhlah rotasi di sendi & pada balok dua bentang pada 6ambar 5 7otasi ujung

kanan batang A& diberi notasi C" sedang rotasi ujung kiri batang &= diberi notasi 2 Masing!

masing rotasi ini dipandang sebagai perpindahan Selain itu" jumlah kedua rotasi yang diberinotasi juga merupakan perpindahan Sudut dapat dipandang sebagai rotasi relative di

titik & antara ujung batang A& dan &=

2#&* #




8/12

%ambar 3) Translasi dan Rotasi "ada Balo- ederhana

4ontoh 5+b+ngan antara a-si dan perpindahan

#erhitungan perpindahan (perubahan panjang) merupakan bagian yang sangat

penting dalam analisis statis taktentu Untuk lebih memudahkan pemahaman" tinjaulah

sebuah pegas yang analog dengan perilaku batang sebagaimana gambar berikut ini

%ambar 6) De7le-si pada pegas

-ika beban bekerja menjauhi pegas" maka pegas akan memanjang dan kita katakan

bahwa pegas mengalami beban tarik -ika beban bekerja ke arah pegas" maka pegas akan

memendek dan kita katakan bahwa pegas tersebut mengalami tekan

Apabila diberikan gaya #" pegas tersebut memanjang sebesar δ " dan panjangnya

menjadi B D δ -ika bahan dari pegas tersebut elastis linier" maka beban dan perpanjangan

akan sebanding

" - )2#&

* $M!kanika +a"an

Pusat +a"an A,ar dan !L!arning-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id


9/12

*imana k adalah konstanta kekakuan pegas dan dide%inisikan sebagai sebagai gaya

yang menghasilkan perpanjangan satuan" artinya k E #/ δ *engan cara yang sama"

konstanta % disebut %leksibilitas dan dide%inisikan sebagai perpanjangan yang dihasilkan oleh

beban sebesar satu" artinya 7 9")

*ari pembahasan tersebut jelas bahwa kekakuan dan %leksibilitas merupakan

kebalikan satu sama lainnya $

:

%ambar 8) "erpan.angan batang prismati- *ang mengalami tari-

#erpanjangan δ pada suatu batang prismatis yang mengalami beban tarik # seperti

pada gambar -ika beban bekerja melalui pusat berat penampang ujung" maka tegangan

normal terbagi rata di penampang yang jauh dari ujung dapat dinyatakan dengan rumus σ E

#/A" dimana A adalah luas penampang Selain itu" jika batang tersebut terbuat dari bahanyang homogen" maka regangan aksialnya adalah ε E δ /B" dimana δ adalah perpanjangan

dan B adalah panjang batang

*engan asumsi hukum 0ooke berlaku (bahan adalah elastis linier) Selanjutnya"

tegangan dan regangan longintudinal dapat dihubungkan dengan persamaan σ E ε "

dimana adalah modulus elastisitas *engan menggabungkan hubungan!hubungan dasar

ini" maka kita dapat menghitung perpanjangan batang $

2#&* %




10/12

#ersamaan ini menunjukkan bahwa perpanjangan berbanding langsung dengan

beban # dan panjang B dan berbanting terbalik dengan modulus elastisitas serta luas

penampang A 0asil kali A dikenal sebagai rigiditas aksial suatu batang #ersamaan

tersebut berlaku juga untuk elemen struktur yang mengalami tekan" dimana δ menunjukkan

perpendekan batang

#erubahan panjang suatu batang biasanya sangat kecil dibandingkan panjangnya

Sehingga pada kondisi demikian kita dapat menggunakan panjang awal batang (bukan

setelah ditambahkan perpindahan) dalam perhitungan

4ekakuan dan %leksibilitas suatu batang prismatis dide%inisikan dengan dengan cara

yang sama seperti pada pegas 4ekakuan adalah gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan

perpanjangan satuan" atau #/ δ dan %leksibilitas adalah perpanjangan akibat beban satuan

atauδ

/# Sehingga kekakuan dan %leksibilitas suatu batang prismatis adalah

$%0% Tata Sum(u Lokal dan 'lo(al

4oordinat 6B+&AB adalah koordinat re%erensi struktur yang bersi%at tetap 4oordinat

B+4AB adalah kooordinat yang arahnya tetap pada setiap batang" terhadap sumbu global

arahnya relative bergantung pada sudut yang dibentuk terhadap arah sumbu 1!global

#ada umumnya sebuah struktur terdiri dari banyak elemen yang dihubungkan satu

dengan yang lainnya menjadi sebuah kesatuan struktur lemen!elemen tersebut tentu saja

tidak seluruhnya berorientasi mendatar" ada yang tegak" ada pula yang miring" sehingga

2#&* 1&




11/12

matri8 kekakuan perlu ditrans%ormasikan secara linier agar sesuai dengan posisi elemen

yang bersangkutan

Sehingga pada analisis digunakan satu re%erensi koordinat yang sama untuk seluruh

elemen struktur Untuk mentrans%ormasikan dari berbagai posisi koordinat lokal menjadi satu

re%erensi koordinat yang sama (global)" digunakan sebuah trans%ormasi linier (matri8

trans%ormasi) untuk menyesuaikan '

(C) 7angka batang Sederhana (2) *iskritisasi rangka batang dalam sistem koordinatlokal

(.) Sudut yang dibentuk rangka batangdengan sistem koordinat global

(>) *iskritisasi rangka batang dalam sistem koordinatglobal

%ambar ;) Trans7ormasi -oordinat rang-a batang

Untuk suatu titik pertemuan dengan enam derajat kebebasan" maka matri8

trans%ormasi yang sesuai untuk titik tersebut adalah $

dimana

Untuk suatu balok lurus dengan dua belas derajat kebebasan" matri8 yang sesuai

untuk balok tersebut dituliskan sebagai berikut $

Untuk balok lurus yang hanya ditinjau dalam satu bidang (dua dimensi)" maka matri8

trans%ormasi dari sistim koordinat dapat dituliskan sebagai $

2#&* 11




12/12

dimana

5 *A,TA7 #USTA4A

Daftar Pustaka&asuki" A (t thn ) Analisis Struktur Metode Matriks

6hali" A " F 'eville" A (CGH?) Structura !"a ysis (#er$ema%a"). -akarta$ rlangga

Ieaver" I " F 6ere" - M (CGG5) !"a isa Matriks u"tuk Struktur &a"gka (#er$ema%a").

-akarta$ rlangga

2#&* 12



modul analisa struktur 2 [tm3]

Documents