modul 6 spldv dan prolin xii ipa

- 1 – then must yath now’09

6. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan sistem persamaan linear dan program linear serta mengguna-kannya dalam pemecahan masalah.

Fungsi aljabar sederhana: Sistem Persamaan Linear Program Linear

Contoh :

1. Diketahui sistem persamaan . Tentukan himpunan penyelesaiannya !

Jawab :

2x + 3(-1) = 9

-y = -1 2x = 9 + 3y = 1 x = 6 HP = {6, 1}

2. Jika x , y , z penyelesaian sistem persamaan , maka HP-nya = ....

Jawab :Eliminasi persamaan (1) dan (2) 2x + z = 5 x 2 4x + 2z = 10y – 2z = -3 x 1 y – 2z = -3 +

4x + y = 7 ……..(4)Eliminasi persamaan (3) dan (4) x + y = 1 4x + 2z = 10 x + y = 14x + y = 7 - 4(2) + 2z = 10 2 + y = 1-3x = -6 2z = 2 y = -1 HP = {2, -1, 1} x = 2 z = 1


MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER

1. Pengertian Program LinierProgram linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.

Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian). Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, , dan

Contoh : 1.Tentukan himpunan penyelesaian dari

a. x < 3 d. y > 2b.x 2 e. y -1c. y > - 3

Jawab :1.a. x < 3

2. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah penyelesaian

Contoh 1 : Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan 2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y R Jawab : Langkah – langkah : Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara : i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table

Jika x = 0 maka y = 6 Jika y = 0 maka x = 3 Tabel

x 0 3y 6 0

ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y. iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x. iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan penylesaiannya : v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )


x0

HP

x = 3y

memenuhi. - - - + + +

A. Menentukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )

Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.Contoh : Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab : Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas Misalkan : Paku jenis I = x dan

Paku jenis II = y Tabel

Barang Bahan A Bahan BPaku jenis I 200 gram 75 gramPaku jenis II 150 gram 50 gramJumlah 5.500 gram 2.000 gram

Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut : 200x + 150y ≤ 5.50075x + 50y ≤ 2.000 x ≥ 0y ≥ 0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y Kita sederhanakan dulu persamaan diatas 200x + 150y ≤ 5.500 4x + 3y ≤ 11075x + 50y ≤ 2.000 3x + 2y ≤ 80x ≥ 0y ≥ 0

Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

4x + 3y ≤ 110 x 0

y 0


3 (6,0)

(3,0)0

3x + 2y ≤ 80 x 0

y 40 0

Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah 4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 2203x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240 - x = -20 x = 20 untuk x = 203x + 2y = 80 3.20 + 2y = 80 2y = 80 – 60

y = = 10 maka titik potong (20,10)

Gambar grafik fungsi penyelesaiannya

Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)

Nilai fungsi obyeknya adalah : Untuk O(0,0) z = 500.0 + 350.0 = 0 UntukA(80/3,0) z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000 UntukB(20,10) z = 500.20 + 350.10 = 13.500 UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000

Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

C. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.


B(20,10)

0

4x + 3y = 110

A(80/3,0)

y

x

C(0,110/3)

Contoh :Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ; 3x +2y = k2 maka 3.0 + 2.5 = 10 3x +2y = k2 maka 3.5 + 2.0 = 15 Jadi nilai maksimum adalah 15

SOAL LATIHANSISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Diketahui sistem persamaan : ,

maka nilai x2 + y2 = …A. 7B. 8C. 9D. 10E. 11


x + y =5

3x + 2y = k23x + 2y = k1

3x + 2y = k3

y

x

Belajar adalah suatu proses dari sesuatu yang tidak tahu menjadi tahu

2. Diketahui harga tiket masuk sebuah kebon binatang untuk anak-anak Rp. 2.000,- dan untuk dewasa Rp. 3.000,-. Karcis terjual rata-rata sehari 180 karcis dengan hasil penjualan Rp. 420.000,-. Maka banyaknya karcis anak-anak saja yang terjual sehari rata-rata …

A. 80B. 100C. 120D. 125E. 130

3. Diketahui sistem persamaan :

, maka nilai

dari xy = …A. – 0,1 B. – 0,2C. – 0,3D. – 0,4E. – 0,1

4. Pada PQR, p + q = 18 cm, p + r = 25 cm, dan r + q = 17 cm. Luas PQR = … cm2

A. 60B. 48C. 36D. 30E. 27

5. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan : , adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2

= A. – 6B. – 3C. 1D. 3E. 6

6. Diketahui sistem persamaan : , jika persamaan di atas hanya memiliki satu penyelesaian maka nilai p = …

A. – 2B. – 1C. 1D. 2E. 3

7. Diketahui sistem persamaan : ,

maka nilai x2 + y2 = …A. 7B. 8C. 9D. 10E. 11


8. Diketahui harga tiket masuk sebuah kebon binatang untuk anak-anak Rp. 2.000,- dan untuk dewasa Rp. 3.000,-. Karcis terjual rata-rata sehari 180 karcis dengan hasil penjualan Rp. 420.000,-. Maka banyaknya karcis anak-anak saja yang terjual sehari rata-rata …

A. 80B. 100C. 120D. 125E. 130

9. Diketahui sistem persamaan :

, maka nilai

dari xy = …A. – 0,1 B. – 0,2C. – 0,3D. – 0,4E. – 0,1

10.Pada PQR, p + q = 18 cm, p + r = 25 cm, dan r + q = 17 cm. Luas PQR = … cm2

A. 60B. 48C. 36D. 30E. 27

TUGAS INDIVIDU

11.Nilai x yang memenuhi sistem persamaan : , adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2

= A. – 6

B. – 3C. 1D. 3E. 6

12.Diketahui sistem persamaan : , jika persamaan di atas hanya memiliki satu penyelesaian maka nilai p = …

A. – 2B. – 1C. 1D. 2E. 3

13. Nilai x, y, dan z yang memenuhi berturut-turut

adalah p, q, dan r. Dengan demikian, maka


A. 3 : 2 : 1B. 1 : 1 : 2C. 1 : 1 : 1D. 1 : 2 : 3E. 2 : 2 : 3

14. Jumlah tiga bilangan adalah 4. Bilangan pertama dikurang dua kali bilangan kedua dikurang bilangan ketiga sama dengan 1. Dua kali bilangan pertama kurang bilangan kedua kurang dua kali bilangan ketiga sama dengan -1. Jumlah bilangan pertama dan kedua adalah ….

A. 1B. 4C. 9D. 16E. 25

15. Seorang ibu berlari bersama anaknya dengan kecepatan konstan menempuh 4 km dari rumah ke taman. Pada saat berangkat, anaknya tiba di taman 10 menit lebih cepat dari ibunya. Pada waktu pulang, anaknya memperlambat kecepatan berlarinya 2/3 dari kecepatan waktu berangkat sedangkan ibunya tetap. Jika mereka berdua tiba di rumah pada saat yang sama, maka kecepatan berlari ibunya dalam km/jam adalah ….

A. 7,5B. 8C. 9D. 10E. 10,5

16. Nilai x yang memenuhi system persamaan

adalah ….

A. -6B. 0C. 6D. 0 atau -6E. 0 atau -6

17. Nilai y yang memenuhi system persamaan

adalah ….

A. -2B. -1C. 2D. 2 dan -1E. 3 dan -2

18. Nilai x yang memenuhi system persamaan


adalah ….

A. -2B. -1C. 1D. -1 dan 1E. 3 dan -2

19. Nilai y yang memenuhi system persamaan

adalah ….

A. -5 atau 3B. -3 atau 5C. -6 atau 2D. 6 dan -2E. -6 dan -2

20. Selamat mencoba ...............

PROGRAM LINEAR

1. Apabila x, y є R terlertak pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan x ≥ 0.y ≥ 0, x + y ≤ 7, x + 2y ≤ 10 maka nilai maximum dari x + 2y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah ....A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19

2. Pak Amir membeli tiket masuk tempat rekreasi sebanyak 2 lembar untuk dewasa dan 3 lembar untuk anak-anaknya dengan harga Rp. 10.250,00. Sedangkan Pak Indra membeli 3 tiket untuk dewasa dan 1 lembar untuk anak-anak dengan harga Rp. 9.250,00. Jika anda membeli tiket 1 lembar untuk dewasa dan 1 lembar untuk anak-anak dengan menggunakan uang selembar Rp. 10.000,00. maka uang kembalian yang anda terima adalah ....A. Rp. 5.250,- C. Rp. 5.500,- E. Rp. 5.550,-

B. Rp. 5.600,- D. Rp. 5.750,-

3. Nilai maksimum fungsi objektif x + 3y yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 12, x + 2y ≥ 8, x + y ≤ 8, x ≥ 0 adalah ....A. 8 B. 9 C. 11 D. 18 E. 24

4. Nilai maksimum dari f(x, y) = 3x – 2y pada daerah yang dibatasi oleh x + y 4, 2x – y 4, 2y – x 4 dicapai pada Y T A. P B. Q C. R D. S E. T


Janganlah menunda pekerjaan

Yang bias anda lakukan hari ini ...

S

R

x O P Q

5. Nilai minimum fungsi objektif 9x + y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≥ 7, 2 x 6, 0 x 8, adalah .... A. 0 B. 18 C. 23 D. 54 E. 55

6. Nila maksimum f(x, y) : 3x + 4y pada daerah yang ditunjukkan pada gambar adalah ....

y A. 150 B. 155 C. 160 D. 165 E. 170 50 40 C B A 25 30 x

7. Nila minimum untuk f(x, y) : x - 2y pada daerah yang ditunjukkan pada gambar adalah ....

Y A. 10 B. -10 C. -16 D. -20 E. -2810 D

5 E

3 A B C x

0 5 9 10

8. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

a. Rp. 176.000,- d. Rp. 200.000,- b. Rp. 260.000,- e. Rp. 300.000,- c. Rp. 340.000,-

9. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….


a. Rp. 150.000,- d. Rp. 180.000,- b. Rp. 192.000,- e. Rp. 204.000,- c. Rp. 216.000,-

10. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2 dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah ….a. Rp. 550 juta d. Rp. 600 juta b. Rp. 700 juta e. Rp. 800 juta c. Rp. 900 juta

11.Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m2 digunakan untuk memarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 m2 dan untuk bus rata – rata 20 m2 dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah ….a. Rp. 15.000,00. d. Rp. 30.000,00. b. Rp. 40.000,00. e. Rp. 45.000,00. c. Rp. 60.000,00.

12.Daerah yang diarsir pada gambar di bawah menunjukan himpunan penyelesaian system pertidaksamaan …

13. Nilai maksimum dari 2x + 3y yang memenuhi system pertidaksamaan: x + 2y – 10 ≤ 0, x + y – 7 ≤ 0, x ≥ 0 y ≥ 0 adalah …

a. 14 b. 15 c. 17 d. 20e. 21

14. Nilai maksimum dari 10x + y pada daerah yang diarsir adalah …


x

y

6

04 8

4

a. 3x + 2y ≤ 12, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0b. 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≥ 8, x ≥ 0, y ≥ 0c. 3x + 2y ≥ 12, x + 2y ≥ 8, x ≥ 0,y ≥ 0

15. Pada gambar di bawah ini bidang yang di arsir menunjukan penyelesaian suatu program linear. Maka nilai maksimum dari fungsi obyektif x + y adalah …

16. Diketahui model matematika dari suatu masalah dalam program linear adalah x + y ≤ 48, 3x + y ≤ 72, x ≥ 0 dan y ≥ 0. jika fungsi objektif adalah z = 200.000x + 100.000y. maka nilai maksimum adalah…a. 2.400.000 d. 3.000.000b. 4.800.000 e. 6.000.000 c. 12.000.000

17. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y, maka nilai maksimum dari P dan Q pada system pertidaksamaan x ≥ 0. y ≥ 0. x + 2y ≤ 12 dan 2x + y ≤ 12 adalah…a. 8 dan 30 d. 6 dan 6 b. 4 dan 6 e. 6 dan 24 c. 8 dan 24

18.Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. biaya parkir tiap mobil Rp. 500,00 dan bus Rp. 750,00. jika tempat parkir itu penuh, hasil dari biaya parkir maksimum adalah…

a. Rp. 18.750.00 d. Rp. 29.000.00 b. Rp. 32.500.00 e. Rp. 43.500.00


y10

3

a. 60b. 52c. 50d. 42e. 24

1

3

1

30

a. 2 ½b. 2

c. 1 ¾d. 1 ½e. 1

y

If you get stuck,

please try another idea

c. Rp. 72.500.00

19. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y, maka nilai maksimum dari P dan Q pada system pertidaksamaan x ≥ 0. y ≥ 0. x + 2y ≤ 12 dan 2x + y ≤ 12 adalah…a. 8 dan 30 c. 6 dan 6 e. 4 dan 6 b. 6 dan 24 d. 8 dan 24

20.Apabila x, y є R terlrtak pada himpunan

penyelesaian system pertidaksamaan x ≥ 0.y ≥ 0, x + y ≤ 8.2x + 5y ≤ 10 maka nilai maksimum dari x + 2y pada himpunan penyelesaian tersebut adalah …

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5TUGAS INDIVIDU

Berikut ini adalah soal – soal Program Linier yang saya ambil dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007

1. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….a. Rp. 176.000,00.b. Rp. 200.000,00.c. Rp. 260.000,00.d. Rp. 300.000,00.e. Rp. 340.000,00.Soal Ujian Nasional tahun 2007

2. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….a. Rp. 150.000,00.b. Rp. 180.000,00.c. Rp. 192.000,00.d. Rp. 204.000,00.e. Rp. 216.000,00.Soal Ujian Nasional tahun 2006

3. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m2

dan dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit.


Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh daru penjualan rumah tersebut adalah ….a. Rp. 550.000.000,00.b. Rp. 600.000.000,00.c. Rp. 700.000.000,00.d. Rp. 800.000.000,00.e. Rp. 900.000.000,00.Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004

4. Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m2

digunakan untuk memarkir sebuah mobil dengan rata – rata 10 m2 dan untuk bus rata – rata 20 m2

dengan daya tampung hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp. 1.000,00/jam dan untuk bus Rp. 3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir iru adalah ….a. Rp. 15.000,00.b. Rp. 30.000,00.c. Rp. 40.000,00.d. Rp. 45.000,00.e. Rp. 60.000,00.Soal Ujian Nasional tahun 2005

5. Nilai maksimum fungsi obyektif 4x + 2y pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan x + y 4, x + y 9, –2x + 3y 12, 3x – 2y 12 adalah …. a. 16b. 24c. 30d. 36e. 48Soal Ujian Nasional tahun 2004

6. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari system pertidaksamaan 4x + 2y 60, 2x + 4y 48, x 0, y 0 adalah ….a. 120b. 118c. 116d. 114e. 112Soal Ujian Nasional tahun 2003

7. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp. 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setipa harinya adalah


Rp. 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan tersbesar yang dapat dicapai ibu tersebut = ….a. 30%b. 32%c. 34%d. 36%e. 40%Soal Ujian Nasional tahun 2002

8. Nilai minimum fungsi obyektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada gambar di bawah ini adalah ….

a. 400b. 320c. 240d. 200e. 160Soal Ujian Nasional tahun 2001


Orang yang sukses adalah mereka yang bekerja,

sementara orang lain sedang tidur

modul 6 spldv dan prolin xii ipa

Documents