MODUL 4

DERIVATIVE

Oleh: Muchammad Abrori

A. Pengertian Derivative

Diberikan fungsi y = f(x). Harga fungsi di titik x adalah f(x) sedangkan harga fungsi di

titik (x + x) adalah : f(x + x), dengan x dimaksud penambahan perubah x. Untuk

setiap penambahan x diperoleh penambahan y sedemikian, hingga :

y + y = f(x + x)

y = f(x) -

y = f(x + x) – f(x)

Dipandang untuk : =

Kemudian harga diambil limitnya untuk x 0, diperoleh :

=

Jika = ada dikatakan bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan pertama

(derivative pertama) di titik x, dengan simbol atau

atau y atau f(x) atau Dxf dan seterusnya.

atau atau y atau f(x) atau dxxf disebut : Turunan kedua fungsi f(x) di

titik x.

Setiap fungsi f(x) yang mempunyai turunan di titik x disebut differensibel (differentiabel)

di titik x.

Lambang sebagai notasi turunan diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan

German Goltfried Wilhelm Leibnir (1646 – 1716) sedangkan notasi f diperkenalkan oleh

matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813).

1

Beberapa contoh soal :

1. Carilah turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 + 1

2. Carilah turunan pertama fungsi f(x) = di x = 2

Pada perhitungan , apabila diadakan substitusi x = h maka

untuk x 0 mengakibatkan h 0, sehingga :

=

Perhitungan-perhitungan secara definisi, jarang kita jumpai oleh sebab itu lebih baik

langsung menggunakan rumus-rumus hitung differensial (rumus derivative) yang ada.

B. Penafsiran Derivative Secara Ilmu Ukur

Diberikan fungsi y = f(x). Ditinjau dua titik P(x,y) dan Q(x + ), selisih absis

kedua titik = dan selisih kedua ordinatnya = , titik P dianggap tetap.

y

0 x

Dipandang bentuk = = tg

Apabila titik Q bergerak menuju titik P, maka x 0 dan , sehingga sudut

mendekati dan :

f(x) = = =

= = tg

2

Berarti bahwa f(x) adalah menunjukkan besarnya koefisien arah (tangen arah) garis

singgung kurva y = f (x) di titik P. Dan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(a, b)

adalah: y – b = f(a).(x – a). Selain turunan pertama diartikan sebagai besarnya koefisien

arah garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik x, maka turunan pertama dapat juga

diartikan sebagai besarnya kecepatan sesaat pada suatu gerakan. Perhatikan ilustrasi

sebagai berikut:

Misalkan kita mengendarai sebuah mobil dari kota A ke kota B yang jaraknya 80

km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata adalah 40 km/jam, artinya kecepatan

rata-rata adalah selisih jarak dibagi waktu atau jarak antara posisi tempat A dengan

tempat B dibagi waktu.

V =

Contoh lain apabila sebuah benda P dijatuhkan dari suatu ketinggian dengan benda P

jatuh sejauh 16 t2 meter setelah t detik atau dalam fungsi dapat dirumuskan sebagai

S(t)_=_16 t2, t 0.

Pada detik pertama benda jatuh sejauh S(1) = 16 meter dan pada detik kedua benda jatuh

sejauh S(2) = 64 meter, sehingga kecepatan rata-rata jatuhnya benda dari t1 = 1 detik

sampai t2 = 2 detik adalah

V =

= = 48 meter/detik

Sedangkan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,5 adalah

V = meter/detik

Dan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,1 adalah

V = meter/detik

Adapun kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,01 adalah

V =

meter/detik

3

Dari hasil perhitungan itu, maka semakin pendek selang waktu yang digunakan, maka

semakin baik hampiran kecepatan yang benar pada saat t = 1, dan yang paling ideal

adalah selang waktu .

Sehingga kecepatan rata-rata pada saat t = 1 adalah :

V =

=

=

= (32 + ) = 32 meter/detik

Dengan demikian kita dapat mendefinisikan kecepatan sesaat V pada saat t yaitu :

V =

Teorema: Apabila f(a) ada maka f(x) kotinu di x = a

Bukti:

Untuk membuktikan bahwa f(x) kontinu di x = a maka diperlihatkan

f(x) = f(a)

Perhatikan bahwa: f(x) = f(a) +

Sehingga f(x) =

= f(a) +

= f(a) + f(a).0 = f(a)

Terbukti f(x) kontinu di x = a

Teorema itu tidak dapat dibalik yaitu apabila f(x) kontinu di x = a maka belum tentu f(a)

ada atau f(x) diferensial di x = a.

Untuk membuktikan hal ini diperlihatkan sebuah contoh :

y

4

f(x) = -x f(x) = x

x

Diambil fungsi: f(x) = x =

Fungsi f(x) = x adalah kontinu di x = 0 sebab f(x) = 0 namun dapat diperlihatkan

bahwa f(x) tidak diferensibel di x = 0 sebab :

f(0) =

dan f(0) tidak ada sebab.

Sedangkan:

Dengan demikian f(0) tidak ada atau f(x) tidak diferensiabel di x = 0.

MODUL 5

DERIVATIVE FUNGSI ALJABAR, IMPLISIT DAN TRIGONOMETRI

Oleh: Muchammad Abrori

5

A. Derivative Fungsi Aljabar

Selain fungsi transenden (fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi

hiperbolik) disebut fungsi aljabar.

Beberapa contoh fungsi aljabar :

1. f(x) = 5x2 + x + 3

2. f(x) = 9 (x2 - 1)2

3. f(x) =

4. f(x) = (x + 1) (x3 – 5)-2

5. f(x) =

Rumus-rumus:

U, V, W, …. dimaksudkan fungsi-fungsi dari x yang differensiabel.

1. y = C, c = konstan

2. y = x

3. y = xn

4. y = U + V + W + …..

5. y = c . U, c = konstan

6. y = U . V

7. y = U . V . W

8. y =

9. y = Un

10. y = f(U), U = g(x)

6

dikatakan turunan pertama dari y = f(x).

Pada umumnya merupakan fungsi dari x lagi, maka jika :

didefferensial diperoleh: dikatakan turunan kedua, dan seterusnya

sampai:

dikatakan turunan ke n.

Beberapa contoh soal :

1. y = xn, tentukan

2. y = U + V, tentukan

3. y = U . V, tentukan

4. y = , tentukan

5. y = Un, tentukan

6. y = f(U), U = g(x), tentukan

7. y = x3 – 3x2 + 2x – 5, tentukan

8. y = , tentukan

9. y = (3x4 + 6x2 + 1)7, tentukan

10. y = , tentukan

11. y = , tentukan

12. y = , tentukan

7

13. x = , tentukan

14. y = , tentukan di mana –1 x 1

15. y = , tentukan

B. Derivative Fungsi Implisit

Bentuk-bentuk fungsi y = f (x) disebut fungsi eksplisit, sedangkan bentuk fungsi

f(x,y)_=_0 yang kadang-kadang sukar dibawa bentuk eksplisit disebut fungsi implisit.

Sebagai contoh diberikan fungsi implisit: x3 + xy + y3 = 0, kemudian akan dicari turunan

pertamanya.

Demikian:

x3 + xy + y3 = 0

3x2 + y + x . + 3y2 . = 0

(x + 3y2) . = - (3x2 + y)

= -

Derivative fungsi implisit akan lebih mudah jika kita menggunakan derivative total

yaitu: f(x,y) = 0

= -

= -

Beberapa contoh soal:

8

1. Carilah dari x3 + xy + y3 = 0

2. x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3 = 40, tentukan

3. Tentukan koefisien garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 dititik (1, ), kemudian

tulislah persamaan garis singgung tersebut

4. x = , tentukan

5. Diberikan fungsi xy = 1

Carilah : a. di (1, 1)

b. di (1 ,1)

c. Persamaan garis singgung melalui (1, 1)

d. Persamaan garis normal melalui (1, 1)

C. Derivative Fungsi Trigonometri

Diberikan y = sin u dengan u fungsi dari x

y + = sin (u + )

y = sin u

= sin (u + ) – sin u

= 2 cos (u + u + u) . sin (u + u + u)

= 2 cos (2u + u) . sin u

=

=

= cos u .

9

Rumus-rumus :

1. y = sin u = cos u .

2. y = cos u = - sin u .

3. y = tg u = sec2u .

4. y = ctg u = - cosec2u .

5. y = sec u = sec u . tg u .

6. y = cosec u = - cosec u . cotg u .

Beberapa contoh soal:

1. y = sin 4x + cos 2x, tentukan

2. y = ctg (2 – x3), tentukan

3. y = tg3 (x2 – 2), tentukan

4. y = cosec x . ctg (2x – 3), tentukan

5. y = 2 tg x . sin 2x, tentukan

6. y = ,tentukan

7. y cos x = sin (x – y), tentukan

8. Jika y = A sin kx + B cos kx, dengan A, B dan k konstan perlihatkan bahwa:

a. b.

9. Hitung , jika y = cos x

10