KALKULUS PROGRAM EKSTENSI

MODUL I

FUNGSI

A. RELASI

Definisi : diberikan himpunan pasangan terurut (x, y) dimana x A & y B maka

himpunaan (x,y)x A & y B dinamakan relasi dari x A ke y B dinotasikan

sebagai xRy

Himpunan A disebut domain (daerah asal)

Himpunan B disebut codomain (daerah kawan)

Himpunan bagian dari B yang mempunyai sifat xRy disebut range atau daerah hasil

(jelajah)

xRy artinya x tidak berelasi dengan y

Contoh 1 :

Diberikan suatu relasi R dari A ke B dengan A = (1,2 & B = a,b,c & R = (1,a), (1,b),

(1,c), (2,a), (2,b), (2,c) maka y suatu relasi 1Ra, 1Rb, 1Rc, 2Ra, 2Rb, dan 2Rc

A B

1 a

2 b

c

Contoh 2 :

Diberikan persamaan y = x2, persamaan ini menghubangkan suatu relasi R antara

bilangan real x dengan bilangan real y

Relasi R adalah R = (x,y)x R & y = x2

= (x,x2)x R

1

Dalam hal ini adalah bilangan real R, codomain juga bilangan real R sedangkan range

adalah y y R & y 0

B. FUNGSI

Kejadian khusus dari suatu relasi

Dalam aljabar digunakan istilah pemetaan

Dalam analisa digunakan istilah fungsi

Definisi : fungsi f dari A ke B ditulis f : A B dimaksud suatu aturan perkawanan yang

pada anggota A menentukan dengan tunggal satu kawan (anggota) dalam B.

Contoh :

Diambil A adalah himpunan lima dadu yaitu A =D1, D2, D3, D4, D5, sedangkan B

adalah himpunan bilangan mata dadu 1 s.d. 6. Jadi B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Apabila kelima

dadu itu kita lemparkan bersama, maka lemparan ini merupakan suatu fungsi f dari A ke

B.

A B

D1 1

D2 2

D3 3

D4 4

D5 5

6

Himpunan 1, 4, 5, 6 yang merupakan bagian dari B disebut range (daerah hasil) dari

fungsi f.

Syarat fungsi :

- domain harus habis

- codomain tidak harus habis

- anggota domain mempunyai kawan tunnggal

2

Latihan :

Apakah diagram dibawah ini menunjukkan suatu fungsi ?

A B A B

1 1 a 4

2 3 b 8

3 9 c 16

4 18 d

e

Suatu fungsi f dari A ke B disajikan dengan tanda :, f : A B. Apabila a A, maka

kawannya (tunggal) di dalam B yang disajikan dengan tanda f (a), dan dikatakan bahwa a

dibawa ke f (a), dengan simbol : a f (a).

Adakalanya suatu fungsi f dapat juga disajikan dengan suatu rumus, misalnya domain

dan codomain adalah himpunan bilangan-bilangan riil : f : a f (a) = a2 adalah suatu

fungsi yang mengawankan bilangan riil anggota domain dengan bilangan riil kuadratnya

di dalam codomain

Domain Codomain

-2 0

-1 1

0 2

1 3

2 4

Sehingga diperoleh hasil : -2 anggota domain mempunyai kawan 4 dalam kodomain atau

f (-2) = 4, dst.

f : x y = f (x) = x2

jadi rumus y = x2 menentukan suatu fungsi

3

C. GRAFIK KUADRAT

Definisi : grafik fungsi y = f (x) adalah himpunan semua pasangan (x, f (x)) dalam sistem

koordinat dimana x anggota domain f (x)

Contoh :

f (x) = x2 yang didalam f pada interval (0, 2) maka grafiknya adalah

y

x y = x2 4 f (x) = x2

0 01/2 1/4 31 1 2 4 2. . . . 1. .

1 2 3 4 x

Beberapa fungsi dan model grafiknya:

1. Fungsi Linear

B.U : ax + by = c atau y = mx + n, m = gradien grafik fungsi tersebut.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 4

Penyelesaian :

Titik potong dengan sumbu x y = 0

y = 2x + 4

0 = 2x + 4

x = -2 A (-2, 0)

Titik potong dengan sumbu y x = 0

y = 2x + 4 = 2 . 0 + 4 = 4 B (0, 4)

Gambar : y

4

4

x -2

2. Fungsi Kuadrat

B.U: Y = ax2 + bx + c

Grafik fungsi kuadrat ini mempunyai :

a. Sumbu simetri pada garis x = -

b. Puncak di P (- , ), dengan D = b2 – 4 ac

c. Apabila a > 0 maka grafik fungsi membuka ke atas

d. Apabila a < 0 maka grafik fungsi membuka ke bawah

e. Apabila ditinjau dari harga diskriminan (D), maka

a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x) a > 0 y = f (x)

D > 0 D = 0 D < 0

a < 0

a < 0 a < 0

D > 0 D = 0 D < 0 y = f (x) y = f (x) y = f (x)

Contoh :1. Grafik fungsi y = x2

y Sumbu simetri x = - = - = 0

5

Y = x2 Puncak di P (- , ) = (0, 0)

Sebab = = = 0

x

2. Grafik fungsi y = x2 –2x – 3

y Titik potong dengan sumbu x y = 0 x2 –2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0 x = -1 A (-1, 0) x = 3 B (3, 0)

Sumbu simetri di x = - = 1

Puncak P (- , ) = P (1, -4)

Latihan : 1. y = x2 + 2x + 3

2. y = 2x2 + 8x + 6

3. Fungsi Trigonometri

Dipelajari dalam mata kuliah trigonometri

4. Fungsi Komposisi

Definisi : fungsi komposisi yang dinyatakan oleh f.g didefinisi sebagai

(f.g) (x) = f g (x) dengan domain f.g adalah himpunan semua x sehingga g (x)

anggota domain f

g f

x g (x) f (g(x))

Contoh :

Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = 2x – 3

Tentukan : a. f (x) apabila f (x) = (f.g) (x)

b. Domain f (x)

Penyelesaian :

6

a. f (x) = (f.g) (x) = f (g(x)) =

b. Domain dari g adalah (- , ) sedangkan domain f adalah (0, ) sehingga

domain dari f adalah himpunan semua bilangan real x 2x – 3 0 atau x

atau ( , )

Contoh :

Diberikan fungsi f (x) = & g (x) = x2 – 1

Tentukan : a. f.g

b. g.f

c. Domain untuk f.g & g.f

Penyelesaian :

a. (f.g) (x) = f (g(x)) = f (x2 –1) =

b. (g.f) (x) = g (f (x)) = ( )2 – 1 = x – 1

c. Domain dari f.g adalah himpunan semua bilangan real x x2 – 1 0 atau

(x - 1) (x + 1) 0

+ - + -1 1

yaitu himpunan (- , ) (1, ) atau sama dengan himpunan semua x

diluar (-1,1)

d. Domain (g.f) adalah himpunan semua x dalam domain f yaitu xx 0

5. Fungsi Tangga (Step Function)

Definisi : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x yaitu x = n, jika n x

< n + 1, dengan n bilangan bulat

Dari definisi di atas maka :

1 = 1 -3 = -3

1,2= 1 -4,8= -5

= 0 dst

Contoh :

a. Gambar grafik f (x) = x

b. Gambar grafik f (x) = x - x

7

6. Fungsi Invers

Definisi : fungsi f disebut fungsi matematika (one to one) apabila untuk setiap x1

x2 maka f (x1) f (x2)

Contoh :

a. Diberikan fungsi f (x) = x3 dengan x R

b. Diberikan fungsi f (x) = x2 dengan x R

Definisi : apabila f adalah fungsi satu-satu maka invers fungsi f yang diberi

simbol f-1, adalah fungsi berharga tunggal yang didefinisikan pada

rangenya f dan memenuhi fungsi komposisi :

F (f-1(x)) = x untuk setiap x pada rangenya f

Contoh :

a. Tentukan fungsi invers dari fungsi f (x) = x3

b. Tentukan fungsi invers dari y = 2x –4

c. Tentukan fungsi invers dari y = sin x pada - x

d. Tentukan fungsi invers dari f (x) =

MODUL 2

BARISAN DAN LIMIT FUNGSI

A. BARISAN

Suatu barisan (sequence) dan bilangan-bilangan :

8

a1, a2, a3, ……

adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya

barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah bilangan asli 1, 2, 3, …

Perhatikan fungsi f : N R yang dinyatakan oleh rumus f (n) = n2

f N R

1 12 43 94 16. .. .. .

Maka f (n) akan membentuk sebuah barisan dengan suku-suku :

f (n) = a (n) dan lazim ditulis

= an

dimana : a1 = 12 = 1

a2 = 22 = 4

a3 = 32 = 9

a4 = 42 = 16

……………………

Sehingga diperoleh barisan :

a1, a2, a3, a4, …

atau 1, 4, 9, 16, …

Selanjutnya untuk menyingkat barisan tersebut cukup ditulis dengan notasi an atau n2

Perhatikan contoh barisan berikut :

(i) an dengan an = 1 - mka barisan itu adalah 0, , , , , …

(ii) bn dengan bn = 1 + (-1)n maka barisan itu adalah 0, , , , , , …

9

(iii) cn dengan cn = (-1)n maka barisan tersebut adalah 0, , - , , - , , - , …

(iv) dn dengan dn = 0,999 maka barisan tersebut adalah 0,999, 0,999, 0,999, 0,999,

…

a1 a2a3

-1 0 1

b1 b3b5 b4b2

-1 0 1 c5c3 c1 c4 c2

-1 0 1

d1 d2 d3 -1 0 1

Dari contoh keempat barisan tersebut maka nampak bahwa barisan an dan bn

konvergen (memusat) menuju bilangan 1 artinya bahwa :

a. nilai-nilai barisan itu untuk n b akan saling mendekati 1

b. nilai-nilai untuk n akan saling mendekati

Dengan demikian barisan dn akan konvergen ke 0,999 namun barisan cn tidak

konvergen sebab kedua syarat tidak terpenuhi, suatu baris yang tidak konvergen disebut

divergen

Definisi : baris an disebut konvergen menuju bilangan atau mempunyai limit dan

ditulis :

Limit an =

n

bila dan hanya bila untuk setiap bilangan > 0, terdapatlah bilangan positif N

sedemikian hingga untuk n > N berlaku an - <

y

10

0 N x

n N an - <

Perhatikan barisan an dengan an = 1 - maka untuk n harga an 1, dan dari

gambar nilai an akan semakin berdekatan dan mendekati nilai 1, dengan demikian dapat

didekatkan bahwa :

Barisan an konvergen menuju 1 atau

Limit an = Limit (1 - )

n n

= 1 - = 1 – 0

= 1

Theorema 1. Misalkan an dan bn adalah suatu barisan yang konvergen dan k suatu

konstan maka

1. Limit k = k n 2. Limit k an = k Limit an

n 3. Limit (an bn) = Limit an Limit bn n n n 4. Limit (an.bn) = Limit an . Limit bn

n n n

5. Limit = , asal Limit bn 0

n n

Contoh :

a. Tentukan suku-suku dari an apabila an = , selidiki apakah an konvergen

hitunglah Limit an

n

11

b. Diketahui barisan , , , , …. Tentukan rumus umum suku-suku barisan itu dan

selidiki konvergensinya

c. Tentukan Limit

B. LIMIT FUNGSI

Pengertian limit fungsi adalah merupakan konsep dasar dalam mempelajari

matematika.Untuk itu perhatikan fungsi berikut :

f (x) =

Domain dari f (x) adalah semua real x R kecuali x = 1

Akan diselidiki harga fungsi f (x) untuk mendekati 1, tetapi tidak sama dengan 1, yaitu

nilai f (x) untuk x mendekati 1 dari kanan

x f (x) x f(x) 0 3 2 7 0,25 3,5 1,75 6,5 0,5 4 1,5 6,0 0,75 4,5 1,25 5,5 0,9 4,8 1,1 5,2 0,99 4,98 1,01 5,02 0,999 4,9981 1,001 5,002 0,9999 4,99981 1,0001 5,0002 0,99999 4,99998 1,00001 5,00002

Dari kedua tabel ini nampak bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, maka nilai f

(x) semakin dekat dengan 5.

Perhatikan bahwa apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,0001 yaitu x = 0,9999 dan x

= 1,0001 maka nilai f (x) berbedad dari 5 dengan 0,0002 yaitu f(0,9999) = 4,9998 dan f

(1,0001) = 5, 0002. Demikian pula apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,00001

yaitu x = 0,99999 dan x = 1,00001 maka nilai f (x) berbeda dari 5 dengan 0,00002

yaitu f (0,99999) = 4,99998 dan f (5,00002) = 5,00002, dan seterusnya. Kenyataan ini

dapatlah ditarik kesimpulan bahwa kita dapat membuat harga f(x) cukup dekat denagn 5

apabila x cukup dekat kepada 1. Denagn kata lain harga f(x) - 5 dapat dibuat sekecil

12

mungkin, dengan membuat harga x - 1 cukup kecil. Pernyataan ini secara metematis

dapat dikatakan sebagai berikut :

Untuk sembarang bilangan positif yang diberikan maka terdapatlah bilangan positif > 0

sedemikian hingga 0 < x - a < dan berlaku f(x) - < . Selanjutnya pengertian ini

diangkat sebagai definisi limit fungsi.

Definisi : bilangan disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati suatu harga a, ditulis :

f(x) =

Jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan (bagaimanapun kecilnya)

dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk semua harga x

dimana 0 < x - a < berlaku f(x) - < .

Dengan logika matematika definisi limit dapat ditulis :

f(x) = (A > 0)(E > 0)(Ax)

0 < x - a < f(x) - <

y

L + L L -

0 a x

Contoh :

13

a. Dengan menggunakan definisi dari limit fungsi, perlihatkan bahwa

(x2 + 1) = 2

b. Buktikan bahwa (x2 + 3x + 1) = 1

Teorema

Apabila f(x) = A dan g(x) = B, maka

1. c f(x) = cA c = konstanta

2. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = A + B

3. f(x) . g(x) = f(x) . f(x) = A . B

4. f(x) = f(x) = , asal B 0

g(x)

Contoh :

a. (2x + 3) = ….

b. (x2 – 4x + 1) = ….

c. = ….

d. = ….

e. = ….

f. = ….

g. = ….

14

h. Hitunglah = ….

i. Diberikan f(x) = x2 – 3x, hitunglah

j. Diberikan f(x) = , hitunglah

k. Hitunglah

l. Hitunglah

C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN SUATU FUNGSI

Pada pembicaraan mengenai limit fungsi di atas, kita sama sekali tidak memperhatikan

bagaimana cara pendekatan harga x = a, sehingga harga limit itu ada di x = a.

Walaupun harg ayang didekati aalah sama, mungkin suatu fungsi mempenyai harga limit

yang bebeda-beda dengan cara pendekatan yang berbeda pula.

Untuk hal yang demikian kita mengenal dua macam limit :

1. Limit Kiri

Limit kiri f(x) untuk y mendekati a (harga a didekati oleh x dari kiri), ditulis :

f(x) = f(x)

2. Limit Kanan

Limit kanan f(x) untuk x mendekati a (harga a didekati oleh x dari kanan), ditulis :

f(x) = f(x)

Definisi : bilangan L disebut limit kiri dari fungsi f(x) untuk x mendekati a, apabila untuk

setiap > 0 yang diberikan, terdapatlah > 0, sedemikian hingga untuk semua x di mana

a - < x < a, berlaku f(x) - L <

Tentu saja definisi limit kanan analog

15

Sebagai contoh diambil fungsi f(x) = x untuk x 2

x + 1 untuk x > 2

y

0 2 x

y = x

Diselidiki f(x)

Dipandang untuk x mendekati 2 dari kanan, maka :

f(x)

dst.

16