modos deslizantes de orden superior alfonso monroy olascoaga asesor: dr. leonid fridman análisis...
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Modos deslizantes de orden superior
Alfonso Monroy Olascoaga
Asesor: Dr. Leonid Fridman
Análisis del chattering
Índice
Introducción Antecedentes Motivación Modos deslizantes Chattering
Modos deslizantes de orden superior Controlador twisting Controlador super twisting Definición Análisis de chattering Función descriptiva
Conclusiones Trabajo abierto
Introducción
Antecedentes
1932, Kulebakin: control por relevadores de un generador de CD.
1934, Nikolski: relevadores para controlar el movimiento de un barco.
Inician en Rusia, gracias a los trabajos de Emel’yanov y Barbashin, en los primeros años de la década de los 60s. Se conocieron fuera de Rusia gracias a Itkis (1976) y Utkin (1977).
Los modos deslizantes pueden aparecer en cualquier tipo de sistema con discontinuidades en las ecuaciones de movimiento. Existen naturalmente (ej. fricción seca) y en aplicaciones (ej. convertidores de potencia).
Motivación
Considérese el sistema
con |a(t)| < k1; k2 < b(t) < k3 desconocidas.
El problema consiste en diseñar una ley de control u para estabilizar asintóticamente el origen en presencia de a(t) y b(t), que representan incertidumbres en el modelo y
perturbaciones.
)()( utbxtax
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Motivación
Para lograrlo se propone la superficie
y se busca que la trayectoria del estado quede confinada a la misma. A la superficie propuesta se le conoce como superficie de deslizamiento y a la trayectoria del estado en ella, como modo deslizante.
0 xcxs
)()())(( txtcxtxs
t
Motivación
Lo anterior puede lograrse con un control discontinuo del tipo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x
x
modo deslizante
superficie de deslizamiento
trayectorias
)(sign sMu
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Motivación
Modo deslizante ideal Convergencia a s = 0 en
tiempo finito Frecuencia de conmutación
infinita
)()())(( txtcxtxs (rojo) )( (azul), )( tutu
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
),( fase de plano xx
Modos deslizantes
La entrada de control puede tomar sólo dos valores y genera discontinuidades sobre la línea s = 0.
La trayectoria interseca la línea
en tiempo finito y una vez que lo hace no puede salir de ella. El vector de estado decae exponencialmente según la solución de la ecuación diferencial.
Debe notarse que la superficie deslizante no depende de los parámetros de la planta ni de la perturbación: insensibilidad a perturbaciones y variaciones paramétricas.
0 cxxs
Chattering
La desventaja más importante del control por modos deslizantes es el fenómeno conocido como chattering.
Se presenta debido a que al modelar, no se consideran constantes de tiempo despreciadas en planta, sensores o actuadores.
La conmutación en el control excita las dinámicas no modeladas y generan oscilaciones en el vector de estado a muy alta frecuencia.
Afecta la precisión del control, genera pérdidas y puede provocar posibles daños a la planta.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Chattering
Efecto producido por histéresis en los actuadores
(rojo) )( (azul), )( tutu
(rojo) ideal (azul), ),( fase de plano xx
)()())(( txtcxtxs
-0.1
0.1
1
-1
u
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Chattering
Efecto producido por retardo en los actuadores
retardo: 10 ms
(rojo) )( (azul), )( tutu
(rojo) ideal (azul), ),( fase de plano xx
)()())(( txtcxtxs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Chattering
Aproximación continua de
la función signo
(rojo) )( (azul), )( tutu
(rojo) ideal (azul), ),( fase de plano xx
)()())(( txtcxtxs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.5
0.5
1
-1
u
y
Resumen
El control por modos deslizantes convencionales tiene las siguientes ventajas Reducción de orden Insensibilidad a variación paramétrica o perturbaciones
Su principal desventaja es el chattering.
Modos deslizantes de orden superior
Controlador twisting
Para el sistema
con
|a(t)| < k1; k2 < b(t) < k3, |a’|<k4, |b’|<k5
un controlador que elimina el chattering está dado por
utbtax )()(
u
u
xrxr
uu
sign sign 21
Controlador twisting
Modo deslizante de orden 2 descrito por
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
),( fase de plano xx
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
)(tu
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4
-2
0
2
)()( txts
)()( txts
0x
0)()( utbtax
Controlador super-twisting
Para el sistema
con
considérese el control
10 / ),( '' 21 qqUbakxtbkCbUa MM
utbtax )()(
M
M
Uux
Uuuu
uxxu
sign
sign
1
1
2/1
Controlador super-twisting
Modo deslizante de orden 2 descrito por
),( fase de plano xx
)(tu
)()( txts
)()( txts
0x
0)()( utbtax-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-50
0
50
100
150
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Definición
Los modos deslizantes de orden superior es una generalización del concepto de modo deslizante convencional.
El orden del modo deslizante es el número de derivadas
continuas de s en la vecindad del modo deslizante.
Un modo deslizante de orden r está determinado por las ecuaciones
01 rssss
Análisis del chattering
Función descriptiva
Se utiliza el método de la función descriptiva para determinar si el sistema en lazo cerrado presenta oscilaciones periódicas.
Otros métodos: perturbaciones singulares, ecuación promedio.
Función descriptiva
Controlador twisting (función descriptiva)
Si la planta tiene un grado relativo mayor a dos, pueden presentarse oscilaciones periódicas.
Función descriptiva
Controlador super-twisting (función descriptiva)
Si la planta tiene un grado relativo mayor a uno, pueden presentarse oscilaciones periódicas.
Conclusiones Se presentó una visión general del concepto y características más
importantes del control por modos deslizantes convencional.
La insensibilidad a perturbaciones y variación paramétrica es su principal ventaja. El chattering es la desventaja más importante de los modos deslizantes de primer orden.
Al generalizar el concepto de modo deslizante se obtienen los modos deslizantes de orden superior. Se presentaron dos controladores por modos deslizantes de segundo orden. Éstos garantizan convergencia al origen en tiempo finito y eliminación de chattering.
El método de la función descriptiva es un método general para análisis del chattering.
Trabajo abierto
Análisis del chattering considerando efecto de actuadores
Análisis del chattering para otros controladores de orden superior.
Referencias
[1] Utkin, V., Güldner,J., Shi, J.;Sliding mode control in electromechanical systems. Taylor & Francis, 1999.
[2] Sabanovic, A., Fridman, L., Spurgeon,S. (Eds.); Variable structure systems: from principles to implementation, IEE Books (por salir).
[3] Edwards, C., Spurgeon, S.K.; Sliding Mode Control. Theory and applications. Taylor & Francis, 1988
[4] Boiko, I., Fridman, L. “Universal chattering test for the second order sliding modes algorithms” Proceedings of the 8th Workshop of Variable Structure Systems, Septiembre 2004, (por salir).
[5] Boiko, I., Fridman, L., M.I. Castellanos; Analysis of second-order sliding mode algorithms in the frequency domain. IEEE Transactions on Automatic Control, Junio 2004, (por salir) .
[6] Yu, X., Xu, J. (Eds.); Variable structure systems: Towards the 21st. century. Springer-Verlag, 2002.
Ejemplo
Planta Actuador
11
2 ss
sWp
101.01
)1
s
Wa 101.00001.01
)2 2
ssWa
primer orden twisting super-twisting
Amp Amp Amp
1) 0 75 2.53e-6 66.16 2.33e-4
2) 100 1.3e-4 53.52 9.48e-6 55.18 4.81e-4
(Boiko, Fridman, 2004)
Existencia del modo deslizante
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4x
x
Se propone una superficie de deslizamiento atrayente. Para garantizar la existencia del modo deslizante debe
satisfacerse
Intituivamente
0lim 0lim00
ssss
sssVsssV TT )(21
)(