modelovanje - izdvojene lekcije

Savremeni trendovi u eksploataciji elektroenergetskih sistema (EES) orijentisani su na sve

intenzivnije iskorienje postojeih proizvodnih i prenosnih kapaciteta, umesto na izgradnju novih. Kao

uzrok tome mogu se navesti: ve dugotrajna recesija u svetskoj privredi; iscrpljivanje postojeih

energetskih izvora ! zaliha fosilnih goriva i vodotokova pogodnih za eksploataciju (pri emu se

nuklearna energija pokazala kao ekoloki neprihvatljiva alternativa); oteano dobijanje koridora za

proirivanje prenosne mree usled sve intenzivnije urbanizacije i rasta cena zemljita. Stoga se kao

neophodnost namee razvoj novih koncepta u upravljanju, regulaciji i odravanju postojeih resursa.

Pored statike sigurnosti elektroenergetskih sistema, od sve veeg znaaja je i praenje dinamike

stabilnosti odnosno ponaanja sistema u prelaznim procesima koji nastaju kao posledica poremeaja i

visokog relativnog nivoa optereenja u sistemu. Celokupni sistem regulacije u EES mora biti na

visokom nivou, kako bi se pri uslovima sve intenzivnije eksploatacije garantovala stabilnost sistema.

Raspadi elektroenergetskih sistema se deavaju vrlo retko, ali tete koje nastaju pri tim

raspadima su ogromne. U dananje vreme ivot bez elektrine energije je nezamisliv. Svaki prekid u

njenoj isporuci, posebno na nivou itavog EES, moe dovesti do nesagledivih materijalnih posledica pa

i posledica po ljudske ivote. Pod tim okolnostima prouavanje dinamike stabilnosti EES dobija sve

vei znaaj.

Da bi se mogla projektovati regulacija za jedan EES, neophodno je poznavati ponaanje

sistema tokom prelaznih procesa. Zato je potrebno razviti odgovarajue modele sistema, koji uvaavaju

dinamiku pojedinih elemenata. Ovaj zadatak nije nimalo jednostavan jer se u modelu EES sa samo 3

generatora i 10 vorova matematiki model ima pedesetak diferencijalnih i tridesetak algebarskih

jednaina, i to ako se uvedu odreena uproenja. Za realne EES od nekoliko stotina vorova sloenost

matematikog modela prevazilazi mogunosti postojeih raunarskih platformi, bar za rad u realnom

vremenu.

U ovoj knjizi predstavljni su modeli svih osnovnih elemenata elektroenergetskog sistema i na

primeru jednostavnog EES izvrene su simulacije nekih dinamikih procesa. Posebna panja posveena

je modelima regulacionih resursa: primarnih turbinskih regulatora snage i uestanosti, automatskih

regulatora napona na generatorima i statikih VAr sistema. Na taj nain dato je polazite za

modelovanje i ispitivanje ponaanja sloenijih EES, a time i za istraivanje novih regulacionih i

stabilizacionih rjeenja.

Svi modeli dati su u tri oblika: blok!dijagram, na kojem se uoavaju veze izmeu pojedinih

elemenata; matematiki model u prostoru stanja, koji je najjednostavniji za primenu u raunarskim

paketima za simulaciju; te modeli prilagoeni za programski paket MATLAB, odnosno njegov modul

Simulink, u kojem su izvrene simulacije nekih prelaznih procesa. Takoe, obraena su i neka

uproenja koja se mogu primijeniti u tim modelima, tj. njihova opravdanost i ogranienja u njihovoj

upotrebi. Posebna panja obraena je na to da se modeli prikau u to jezgrovitijem obliku, to

pogoduje razumevanju fizikih osobina pojedinih elemenata, olakava izradu raunarskih programa na

osnovu datih matematikih modela i ubrzava izvravanje tih programa. Tako, u modelima za

MATLAB/Simulink koritene su osobine tog programskog paketa: jednostavan rad sa matricama i

vektorima (nasuprot upotrebi skalarnih jednaina); dosledno korienje numerike integracije umesto

numerikog diferenciranja (ime se poboljava numerika stabilnost); rad sa optim brojevima, ime se

obezbeuje fleksibilnost modela, odnosno jednostavna izmena parametara i poetnih uslova za

simulaciju.

EES na kojem su vrene simulacije prikazan je na sl. 1.1. Sastoji se od svega tri vora: u

jednom je generator, u drugom potroa sa statikim VAr sistemom i u treem je kruta mrea.

R+jX VAr

P M G

G

Slika 1. Jednopolna ema EES na kojem su vrene simulacije

Iako je razmatrani EES jednostavan, na njemu su konstruisani modeli i metode za njihovo

povezivanje koji omoguuju jednostavno proirivanje na sloenije strukture.

1. Uvod

2

Materija je organizovana u deset poglavlja: nakon uvoda, u drugom delu izloen je model

sinhronih generatora; u treem poglavlju dati su modeli primarnih turbinskih regulatora, a u etvrtom

modeli naponskih regulatora. U petom poglavlju opisani su modeli statikih VAr sistema, koji

predstavljaju vrlo efikasno sredstvo za unapreenje naponske stabilnosti sistema. Zatim su dati modeli

prenosne mree i potroakih vorova. U sedmom poglavlju dati su rezultati simulacija ponaanja

jednog jednostavnog elektroenergetskog sistema, realizovanih u programskom paketu

MATLAB/Simulink. U osmom i devetom poglavlju, dat je zakljuak i koritena literatura. Konano, u

desetom poglavlju nalaze se prilozi, u kojima se dopunjava ili pojanjava sadraj prethodnih poglavlja.

U drugom delu ove knjige detaljno je izveden, uz sve potrebne idealizacije i uproenja,

matematiki model sinhrone maine. Matematiki model je tretiran potrebnim transformacijama

rasprezanja i obrtanja. Kako potpun model, tako i redukovani model sa zanemarenim efektom

U petom delu uspostavljen je matematiki model asinhrone maine, uz sve potrebne

transformacije, koji se koristi pri prouavanju regulacije i stabilnosti EES. Matematiki model dat je u

prostoru stanja, pri emu su kao promenljive stanja izabrani fluksevi. Potpuni matematiki model je

redukovan da bi se dobio E model asinhrone maine. Pokazano je i ekvivalentiranje veeg broja

asinhronih maina u jednu ekvivalentnu mainu. Simulirani su karakteristini radni reimi asinhronog

motora (pokretanje, revers, promena smera momenta radne maine) kako primenom potpunog tako i

redukovanog modela.

Matematiki model dvonamotajnog i tronamotajnog regulacionog transformatora je

uspostavljen analogijom sa asinhronim motorom, to je prikazano u estom poglavlju kao i model

regulatora napona. U ovom delu prikazani su i statiki transformatori pomerai faze koji zajedno sa

statikim pretvaraem napona utiu na tokove aktivnih i reaktivnih snaga u sistemu poboljavajui

performanse sistema, statiku i dinamiku stabilnost, balans optereenja po vodovima i naponske

prilike. I ovo poglavlje je praeno sa adekvatnim simulacijama karakteristinih pogonskih stanja.

U osmom delu obraeni su modeli prenosnih vodova sa raspodeljenim parametrima koji su od

interesa u sluaju analilze veoma dugih vodova.

Uloga primarnih turbinskih regulatora uestanosti i aktivnih snaga je da zavisno od

optereenja u sistemu, odnosno frekvencije poveavaju ili smanjuju dotok radnog fluida u turbinu.

Menjajui time mehaniki momenat na vratilu generatora. Regulacija frekvencije zadatak je

sekundarne P!f regulacije. Matematiki modeli primarnih turbinskih regulatora uestanosti i aktivne

snage kako u hidro tako i u termopostrojenju prikazani su u treem poglavlju ove knjige.

Takoe, uproeni model naponske regulacije koji se sastoji iz modela pobude i modela

generatora prikazan je u ovom delu. Kako se modeli pojedinih komponenata EES mogu predstaviti u

formi prostora stanja, to se i matematiko model celog EES moe dati u toj istoj formi. Analizirana je

posledica debalansa snage u EES. I u ovom poglavlju su ponovo simulirani karakteristini radni reimi.

Osnovna funkcija pobudnog sistema generatora je da obezbedi pobudnu struju za pobudni

namotaj. U ovom poglavlju opisana su sva tri karakteristina tipa pobudnih sistema (pobudni sistem sa

mainama jednosmerne struje, sa mainama naizmenine struje i statiki pobudni sistemi).jednostavni

matematiki modeli vodova i potroakih vorova nakon primenjene Blondelove transformacije.

Modeli su dati u impedantnoj i admitantnoj formi sa naponima i strujama kao ulaznim i izlaznim

veliinama. Ovi modeli su pogodni za modelovanje malih prenosnih mrea. Takoe, dati su i modeli

cele mree jednog EES, kako dinamiki tako i statiki.

U devetom delu je formiran je matematiki model kompletnog EES objedinjujui modele svih

elemenata sistema koji se detaljno obraeni u prethodnim poglavljima. Opisan je nain odreivanja

ravnotene take koji se sastoji iz prorauna tokova snaga i odreivanja dinamikih parametara

elektrana pri emu su unapred definisani poetni uslovi(proizvodnja generatora i snaga potroaa).

U prilozima su dati detalji izvoenja matematikog modela sinhrone i asinhrone maine, kao i

proraun poetnih uslova sinhrone maine.

Analiza stabilnosti elektroenergetskih sistema je dio analize EES!a koji se bavi ponaanjem sistema

u uslovima kada je dolo do promena proizvodnje ili potronje u sistemu ili do pojave kvarova na elementima

sistema pre svega prenosnim vodovima. Stabilnost elektroenergetskog sistema se moe definisati kao

svojstvo sistema koje mu omoguava da ostane u ravnotei u normalnim pogonskim uslovima ili dostigne

prihvatljivo stacionarno stanje kada se desi neki od moguih poremeaja u sistemu.

1. Uvod

3

Nestabilnost se moe manifestovati na nekoliko naina ali tradicionalno se pojam nestabilnosti vee

za odravanje sinhronizma sinhronih generatora(eng. in step), meutim sistem moe postati nestabilan i bez

gubitka sinhronizma sto je sluaj kod naponske nestabilnosti.

Svi poremeaji u sistemu se mogu podeliti u dve kategorije:

! mali poremeaji i

! veliki poremeaji.

Mali poremeaji su oni poremeaji koji se mogu analizirati pomou linearizovanih modela koji su po

definiciji u vanosti samo ako ne dolazi do velikih promena reima elektroenergetskog sistema.

Male(sluajne) promene u potronji ili proizvodnji se mogu smatrati malim poremeajima dok ispad ili

iskljuenje voda moe biti smatran za mali poremeaj ali samo ako je tok snage pre iskljuenja bio relativno

mali ili zanemariv. U svakom sluaju, kvarovi koji izazivaju iznenadne propade napona na sabirnicima i koji

zahtjevaju neku vrstu eliminacije kvara(relejna zastita) spadaju u kategoriju velikih poremecaja. Duina

trajanja kvara ima presudan uticaj na stabilnost itavog elektroenergetskog sistema.

Generalno analiza stabilnosti se deli na ugaonu i naponsku stabilnost. Iz klasine analize

elektroenergetskih sistema, je dobro poznato da pojave vezane za aktivne snage i fazne stavove sa jedne, i

reaktivne snage i napone sa druge, karakterie vrlo slaba uslovljenost. U sluaju dinamikih pojava situacija

moe biti dosta drugaija. Poremeaj koji praktino izaziva promenu samo aktivne snage moe imati za

posledicu propad napona na nekim vorovima u sistemu, takoe poremeaji naponske prirode mogu za

posledicu imati gubitak sinhronizma nekog ili grupe generatora. Jedan karakteristian primer je vod koji spaja

dva generatora ije su ose rotora razmaknute za 180 , u ovom sluaju na sredini spojnog voda napon e biti

jednak nuli iako je poremeaj isto posledica debelansa aktivnih snaga. Uprkos ovoj injenici podela na

ugaonu i naponsku stabilnost se zadrala i u analizi dinamikih pojava to daje uvid u pravu prirodu

nestabilnosti

Analiza ovog tipa nestabilnosti obuhvata analizu kako elektrinih tako i mehanikih pojava u

sistemu. Presudan uticaj na ovu vrstu stabilnosti imaju karakteristike izlazne snage pojedinih generatora u

zavisnosti od poloaja rotora.

Odravanje generatora u sinhronizmu se moe posmatrati kroz prizmu analognog problema.

Ukoliko imamo voz sastavljen lokomotiva, meusobno povezanim elastinim uetom moemo smatrati da je

svaka lokomotiva pandan jednom sinhronom generatoru. Brzina ove kompozicije analogna je frekvenciji

EES!a dok je razmak izmeu pojedinih lokomotiva analogan faznom pomaku rotora odgovarajuih

generatora. Vagoni zakaeni na kraj kompozicije mogu se tumaiti kao aktivno optereenje u EES!u. Ukoliko

doe do ispada jednog generatora odnosno ukoliko jedna lokomotiva prestane da predaje snagu doi e do

usporenja itave kompozicije odnosno do pada frekvencije. Sistem e nastaviti da bude stabilan sve dok sila

koja deluje na elastine konce bude manja od prekidne sile tog konca. Prekidanje veze izmeu lokomotiva

znai i gubitak sinhronizma izmeu generatora u EES!u.

Kada doe do gubitka sinhronizma dolazi do velike fluktuacije izlazne snage generatora. Ovakav

gubitak sinhronizma se moe desiti kako za pojedinu izolovanu mainu tako i za grupu sinhronih maina i on

se uobiajeno deava izmeu maina koje su slabo povezane odnosno mrea koja ih povezuje nije dovoljno

velikog elektrinog kapaciteta.

Iako model same sinhrone maine moe biti dosta komplikovan uvek se mogu uoiti dve

komponente momenta konverzije sinhrone maine:

+= Dsc mmm

Gde je:

sm !sinhronizacioni moment. Ova komponenta momenta deluje tako da pokuava da smanji

razliku faznih stavova izmeu ose rotora i fazora napona to znai da ova komponenta direktno utie

smanjenje mogunosti gubitka sinhronizma posmatrane maine.

Dm !priguni moment. Ova komponenta srazmjerna je promeni brzine i njen uticaj je

prevashodno usmeren ka smanjenju oscilacija u sistemu. Nedostatak bilo koje komponente moe

1. Uvod

4

uzrokovati nestabilnost u sistemu. U modernim EES!ima, zbog velikog broja generatora, razlog zbog

kojeg nastaje raspad sistema je uobiajeno nedostaak prigune komponente momenta pa se u tom

smeru kreu i istraivanja kako bi se oscilacije u sistemu svele na sto manju meru. Sve oscilacije koje

nastaju u EES!u mogu se naelno podeliti u etiri kategorije:

! Lokalni modovi oscilacija(maina!sistem mod). Ovakve oscilacije podrazumevaju ljuljanje pojedinane maine u odnosu na ostatak sistema. Ovaj tip oscilacija je lokalnog

karaktera odnosno u dubini sistema se ove oscilacije ne oseaju kao poremeaj.

! Meusistemski modovi oscilacija(eng.interarea mode). Ovi modovi nastaju izmeu razliitih grupa generatora koji su najee slabo elektrino spregnuti to je karakteristika

ranijih regulisanih sistema gdje su spojni vodovi izmeu razliitih sistema bili dosta

slabog kapaciteta odakle sledi i ime ovog tipa oscilacija.

! Kontrolni modovi oscilacija. Oscilacije ovog tipa su posledice loe podeenih kontrolnih ureaja kao to su pobudni sistemi, turbinski regulatori, HVDC konvertori, sistemski

stabilizatori, statiki VAR komezatori i sl. Loe podeavanje ovih ureaja moe izazvati

ili uveati postojee oscilacije u sistemu. Iz ovog razloga sve vea panja se daje razvoju

algoritama za podeavanje ovakvih ureaja sa ciljem smanjenja oscilacija u sistemu.

! Torzioni modovi oscilacija.Ovi modovi nastaju kao posledica interakcije vratila maine, turbine i drugih obrtnih delova vezanih za vratilo. Ovakve oscilacije mogu doi naroiito

do izraaja u sluaju neadekvatno podeenih pobudnih sistemima i drugih kontrolnih

ureaja koji svojim delovanjem mogu pojaati ovaj tip oscilacija.

Mada je stabilnost sistema globalno svojstvo elektroenergetskog sistema, u cilju sistemske analize

stabilnost stabilnost se uobiajeno deli u dve klase:

1. Statika stabilnost ili stabilnost usled malih poremeaja

Sistem je statiki stabilan ako se stacionarno stanje posle malog poremeaja ne razlikuje ili vrlo malo

razlikuje od poetnog stacionarnog stanja prije nastanka poremeaja. Mali poremeaji se konstantno deavaju

u sistemu kako zbog promene opterecenja tako i zbog raznih akcija koje se preduzimaju u sistemu. Kako se

posmatraju mali poremeaji za ovu vrstu analize stabilnosti dovoljno je koristiti linearizovane modele to

omoguuje korienje poznatih, robustnih i pouzdanih matematikih alata linearne algebre. Ovaj vid

nestabilnosti praktino nastaje kada se neki od polova sistema nau u desnoj poluravni.

2. Tranzijentna stabilnost ili stabilnost usled velikih poremeaja

Sistem je tranzijentno stabilan ako za odreeno poetno stacionarno stanje i odreeni veliki

poremeaj(ili niz poremeaja) sistem dolazi u novo ali prihvatljivo stacionarno stanje.

Karakteristini odzivi usled velikog poremeaja

Vrlo bitno je uoiti da je statika stabilnost funkcija samo poetnog stacionarnog stanja(reima) dok

je tranzijentna stabilnost funkcija i poetnog stacionarnog stanja i tipa poremeaja. Ovo u principu komplikuje

analizu tranzijentne stabilnosti. Ne samo da se zbog prirode poremeaja ne moe koristiti linearizovani model

nego je potrebno vriti vei broj analiza za razliite poremeaje. Iz tog razloga uobiajeno se tranzijentna

stabilnost provera na ispade iz unapred definisane liste kritinih ispada.

1. Uvod

5

Druga bitna osobina koju treba primetiti je sistem moe ,,normalno funkcionisati i u sluaju da je

tranzijentno nestabilan, dok je statika stabilnost neophodna u svakom trenutku ekspolatacije sistema.

Uopteno govorei, stabilnost zavisi od optereenja u sistemu. Poveanje potronje u principu

dovodi do smanjenja rezerve stabilnosti, to znai da posebnu panju treba usmeriti odravanju stabilnosti u

sluaju velikih optereenja u sistemu.

Na predhodnoj slici su prikazana tri karakteristicna odziva ugla optereenja sinhrone maine posle

velikog poremeaja u sistemu[27]. U prvom sluaju dolo do takozvane nestabilnosti usled prvog

njihanja(eng. first swing). Do ovog tipa nestabilnosti tipino dolazi kada je u pitanju veliki poremeaj ili kada

maina nema dovoljno sinhronizacionog momenta to dovodi do konstantnog poveavanja odnosno

usporavanja rotora generatora. Drugi tip nestabilnosti nastaje kada je novo stacionarno stanje koje bi trebalo

da se uspostavi nakon poremeaja samo po sebi statiki nestabilno pa dalja i najmanja promena dovodi do

raspada sistema. Ovo se moe zakljuiti iz injenice da sistem bez problema preiveo analizirani poremeaj

ali je posle odreenog vremena ipak dolo do nekontrolisanog ponaanja. I na treem dijagramu je prikazano

ponaanje jednog stabilnog sistema. Analize ovoga tipa se obino rade za vremenske intervale od 3 do 5

sekundi pa do ak 10 sekundi za velike elektroenergetske sisteme.

Naponska stabilnost se moe definisati kao svojstvo sistema da odri prihvatljive napone u svim

vorovima sistema kako u normalnim tako i u uslovim posle poremeaja. U principu naponska stabilnost je

lokalnog karaktera ali takva nestabilnost po pravilu ima i posledice za itav sistem.

Slino kao i kod ugaone stabilnosti analiza naponske stabilnosti se moe podeliti na nestabilnost

usled malih poremeaja i na nestabilnost usled velikih poremeaja u sistemu. Analiza velikih poremeaja

mora u sebi ukljuiti i uticaj nelinearnih elemenata kao sto su teretni menjai transformatora zasienja

pobudnih sistema generatora i sl. Ovakve analize se rade za neto dui vremenski period koji se protee i do

10min.

Kada se radi o naponskoj nestabilnosti usled malih poremeaja moe se definisati jasan kriterijum

naponske stabilnosti koji sledi iz karaktera funkcije napona pojedinog vora i reaktivne energije injektovane u

taj vor. U normalnim pogonskim uslovima svako poveanje proizvodnje reaktivne energije za posledicu ima

i poveanje napona u mrei. Ukoliko ova osobina nije ispotovana to je jasan znak da je sistem naponski

nestabilan. Ovaj uslov naponske nestabilnosti se moe i matematiki opisati preko izvoda funkcije napona u

voru od injektovane reaktivne energije u sistem.

Ukoliko se radi o stabilnom sistemu tada su je sledea jednaina zadovoljena za sve vorove u sistemu:

0i

i

dQ

dV , za },....,2,1{ ni gde je n broj vorova u posmatranom sistemu. Ovo znai da ako uslov

nije zadovoljen makar za jedan vor u sistemu tada se smatra da itav sistem nije naponski stabilan.

Pored nabrojane podele stabilnosti elektroenergetskih sistema esto se vri podela i na osnovu

duine analiziranog perioda posle poremaja. Grubo govorei,analize po duini trajanja, se mogu

svrstati u jednu od tri grupe gde je akcenat stavljen na tip dinamikih pojava koje se analiziraju a ne na

samu duinu trajanja simulacija:

! Analize kratkog trajanja(0!10 sekundi). Ovaj tip pre svega anlizira elektromehanike pojave ije vremenske konstante upadaju u posmatrani opseg.

! Anlize srednjeg trajanje(10 sekundi do nekoliko minuta). U ovom tipu analize akcenat je pre svega na oscilacijama izmeu razliitih grupa sinhronih maina.

! Analize dugog trajanja(nekoliko minuta pa do nekoliko desetina minuta). Polazna pretpostavka u ovom tipu analize je da su sve elektromehanike oscilacije iezle a

akcenat se baca na ustaljen nedostatak aktivne ili reaktivne snage u sistemu. Analiziraju

se sporije fenomeni kao to je dinamika kotla parnih termoelektrana, sekundarna

regulacija uestanosti, promena potronje usled nenominalne frekvencije sistema,

zasienje transformatora i slino.

Na kraju ovog poglavlja data je slika koja prikazuje podelu i najbitnije stavke vezane za

stabilnost elektroenergetskih sistema.

1. Uvod

6

Tranzijentna

stabilnost

Stabilnost

EESa

Ugaona

stabilnost

Naponska

stabilnost

Lokalni modovi

oscilacija

Meusistemski

modovi oscilacija

Kontrolni modovi

oscilacija

Torzioni modovi

oscilacija

Analiza naponske

stabilnosti usled

malih poremeaja

Analiza naponske

stabilnosti usled

velikih poremeaja

Statika

stabilnost

Aperiodicna

nestabilnost

Oscilatorna

nestabilnost

Slika 1. Blok dijagram tipova analize stabilnosti

Ve u ranim fazama razvoja elektroenergetskih sistema, pre vie od 50 godina, pojavila se i potreba

za analizom kako statike tako i tranzijentne stabilnosti. Razvoj brzih pobudnih sistema generatora sa

elektronskim regulatorima naponima, kao i brzih prekidaa koji su u stanju da za kratko vreme prekinu struju

kratkog spoja su znatno unapredili stabilnost elektroenergetskog sistema.

Potreba za kvalitetnom regulacijom uestanosti sistema dovela je do razvoja brzih turbinskih

regulatora sa vrlo malom mrtvom zonom reagovanja. Sama regulacija uestanosti se uobiejeno posmatra

kroz tri vremenski raspregnuta dejstva: 1) primarna(spontano dejstvo turbinskog regulatora). 2)

sekundarna(regulacija uestanosti i aktivnih snaga razmjene). 3) tercijarana regulacija(ekonomska raspodjela

optereenja po generatorima).

Kvalitetni turbinski regulatori i adekvatan sistem automatske sekundarne regulacije

uestanosti(AGC!Automatic Generation Control) predstavljaju vrlo vaan faktor u obezbeivanju stabilnosti

itavog elektroenergetskog sistema.

Povezivanjem velikih elektroenergetskih sistema u jedinstvene elektroenergetske interkonekcije do

izraaja su doli problemi vezani za niskofrekventne oscilacije koje su u opsegu od 0.2 Hz do 2.0 Hz. Ova

vrsta problema se prevazilazi dodatnom kontrolom pobudnih sistema u vidu stabilizatora elektroenergetskih

sistema(PSS!Power system stabilizer). Oblast projektovanja stabilizatora elektroenergetskog sistema je i dalje

vrlo aktuelna oblast istraivanja.

Drugi veliki problem sa kojim se sreu operateri modernih elektroenergetskih sistema je problem

naponske nestabilnosti i naponskih kolapsa, koji je manifestacija statike nestabilnosti. Istorijski gledano, u

prvom periodu je statika stabilnost bila posmatrana iskljuivo u smislu gubitka sinhronizma generatora(eng.

angle instability). Kolaps napona na potroakim vorovima u periodu velikih optereenja i ogranienja tipa

reaktivnih snaga je problem relativno skorog datuma.

Zaguenja u prenosnoj mrei je jo jedan problem sa kojim se susreu operatori sistema, ova

zaguenja se deavaju ak i u sistemima koji poseduju velike koliine proizvodne rezerve. Ekonomski,

ekoloki i drugi faktori uslovili su neophodnost da se proizvodni kapaciteti grade na lokacijama koje su

1. Uvod

7

udaljene od potroakih centara to je dalje vodilo do potrebe za prenosom elektrine energije na velike

udaljenosti pri emu dolazi i do neeljenog kruenja elektrine energije. Ovakvi sistemi mogu imati

nepredvieno i neeljeno dinamiko ponaanje pa je za efikasno upravljanje potrebno razviti kako dovoljno

dobre modele tako i kontrolere koji e pomoi u prevazilaenju problema. Tako je dolo do razvoja statikih

VAR kompezatora(SVC!Static VAR compensator) i drugih FACTS(Flexible AC Transmission System)

ureaja ije podeavanje i koordinacija otvara nove inenjerske izazove.

2. DINAMIKI MODEL SINHRONE MAINE

U ovom delu prikazan je matematiki model sinhrone maine koji se koristi pri izuavanju regulacije i stabilnosti elektroenergetskih sistema. Matematiki model sinhrone maine dat je u prostoru stanja, pri emu su kao promenljive stanja izabrani fluksevi. Ako se zanemari efekat (prisustvo) prigunog namotaja dobija se redukovani model (E'q model) [10]. Pri izvoenju dinamikih jednaina modela strogo se vodilo rauna o tome da se uobiajeno dostupni podaci o parametrima maine lako uklapaju u strukturu modela.

2.1. MODEL IDEALIZOVANE SINHRONE MAINE

Sinhrona maina se posmatra kao dinamiki sistem sa trofaznim namotajem na statoru (faze a, b, c) i dva namotaja na rotoru (pobudni namot f i trofazni priguni namot koji se ekvivalentira sa dva namota: jednim u podunoj osi Q i jednim u poprenoj osi D). Svih est namota su magnetski spregnuti. Magnetna sprega izmeu pojedinih namota zavisi od relativne pozicije rotora prema statoru, pa je i fluksni obuhvat svakog namotaja takoe funkcija poloaja rotora, odnosno vremena. Na slici 2.1. prikazan je izgled razmatrane trofazne sinhrone maine sa rotorom sa istaknutim polovima. Meusobni poloaj rotora u odnosu na stator definisan je uglom .

Da bi se izveo matematiki model sinhrone maine usvojene su sledee idealizacije: 1. Parametri maine su koncentrisane veliine. 2. Zanemaruju se sve parazitne kapacitivnosti. 3. Fazni namoti statora su identini i meusobno su pomereni po obodu maine za 120o

elektrinih. 4. Omski otpori namota statora i rotora kao i sve rasipne induktivnosti su konstantni. 5. Zanemaruje se uticaj zubaca i lebova statora. 6. Efekat zasienja se zanemaruje, odnosno karakteristika magneenja je linearna. 7. Zanemaruju se gubici u gvou. 8. Magnetnopobudna sila namota, kao i fluks, su sinusno raspodeljeni po obodu zazora.

Uvoenjem navedenih pretpostavki zanemarene su promene otpornosti usled temperature, promene rasipnih induktivnosti usled zasienja i promene induktivnosti magneenja usled zasienja glavnog fluksa.

a'

c"

c' b'

a"

b"

ravan namotajafaze a

D' f'

Q'

q:osa

d:osa

osa faze aQ"

D"

f"

Slika 2.1. Ilustracija namotaja i poloaja pojedinih osa sinhrone maine.

U ovako definisanom modelu matrina jednaina naponske ravnotee glasi:


9

dt

diRu += , (2.1)

gde je vektor fluksnih obuhvata definisan kao:

iL = . (2.2)

Razvijeni oblik vektora u, i, i matrica R i L korienih u jednainama (2.1) i (2.2) glasi:

[ ]QDfcbaT uuuuuu=u , (2.3) [ ]QDfcba iiiiii=Ti , (2.4) [ ]QDfcba =T , (2.5)

=

Q

D

f

c

b

a

R

R

R

R

R

R

00000

00000

00000

00000

00000

00000

R , (2.6)

=

QQQDQfQcQbQa

DQDDDfDcDbDa

fQfDfffcfbfa

cQcDcfcccbca

bQbDbfbcbbba

aQaDafacabaa

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

L , (2.7)

pri emu su koriene sledee oznake:

au , bu , cu : naponi faza a, b i c trofaznog statorskog namota respektivno,

ai , bi , ci : struje faza a, b i c trofaznog statorskog namota respektivno,

fu , fi : napon i struja rotorskog pobudnog namota respektivno,

Du , Di : napon i struja ekvivalentnog prigunog rotorskog namota po D : osi, respektivno,

Qu , Qi : napon i struja ekvivalentnog prigunog rotorskog namota po Q : osi, respektivno,

a , b , c : fluksni obuhvati trofaznih statorskih namota faza a, b i c respektivno,

f , D , Q : fluksni obuhvati rotorskog pobudnog namota i ekvivalentnih rotorskih prigunih namota po D i Q osi, respektivno,

L : matrica sopstvenih i meusobnih induktivnosti svih est namota razmatrane sinhrone maine,

R : dijagonalna matrica sopstvenih omskih otpornosti svih est namota razmatrane sinhrone maine.

Jednaina mehanike ravnotee glasi:

dt

dJ

Kmm mc

+

=+ , (2.8)

gde su koriene sledee oznake:


10

cm : elektromagnetni momenat maine, odnosno momenat konverzije,

mm : spoljni mehaniki momenat koji deluje na vratilu sinhrone maine,

K : koeficijent trenja sinhrone maine,

: broj pari polova sinhrone maine,

: elektrina ugaona brzina obrtanja sinhrone maine, koja je definisana kao m = , gde je

m mehanika brzina rotora,

J : momenat inercije sinhrone maine.

Uobiajeno se za opis induktivnosti sinhrone maine koriste sinhrone induktivnosti po d (podunoj) i

q(poprenoj) osi koje se oznaavaju sa dL i qL i koje su definisane u Prilogu 1 a ovde e se samo prikazati jednaina koja opisuje vezu izmeu sopstvene induktivnosti statora i sinhronih induktivnosti:

2cos22qdqd LLLLL

+

+= (2.9)

U jednaini (2.8) momenat konverzije moe se izraziti kao:

iL

i

=2 d

dm Tc , (2.9)

Gde je elektrina koordinata rotora koja jednaka proizvodu broja pari polova i mehanike koordinate rotora m :

m = . (2.10)

Ugao se, takoe, moe definisati kao += tn , gde su i n ugao optereenja i nominalna elektrina sinhrona ugaona brzina, pa se jednaina promene ugla optereenja, koristei poznatu

vezu dt

d = moe napisati:

ndt

d= . (2.11)

Navedeni skup jednaina (2.1), (2.8) i (2.11) je sistem nelinearnih diferencijalnih jednaina sa vremenski promenljivim koeficijentima. Naime, neki elementi matrice induktivnosti (jednaina (2.7)) koji definiu meusobne induktivnosti su vremenski promenljivi, jer zavise od poloaja rotora u odnosu na stator. Taj poloaj se menja u vremenu, stoga meusobne induktivnosti postaju funkcije vremena. Ovakva vremenska zavisnost velikog broja koeficijenata koji moraju biti izraunati u svakom koraku prorauna ini ovaj model neefikasnim za potrebe raunarske simulacije.

Drugi nedostatak prikazanog matematikog modela sinhrone maine je to, usled magnetne sprege izmeu namota, matrica induktivnosti ima mnogo nenultih elemenata, to takoe model ini neefikasnim za numerike raunarske analize.

U cilju prevazilaenja navedenih nedostataka matematikog modela sinhrone maine vre se linearne matrine transformacije. Matematiki, gledano transformacije koje se primenjuju spadaju u klasu linearnih transformacija koje vre promenu baze vektorskog prostora. Osnovni cilj ovih linearnih matrinih transformacija je da se dobije to jednostavniji model sinhrone maine koji e pri tome i dalje zadrati njene osnovne fizike karakteristike. Ove transformacije, iako se mogu posmatrati sa isto matematikog stanovita, imaju jasan fiziki smisao koji inenjerima omoguava jednostavnu primenu izvedenih modela. Ove matrine transformacije, transformacije rasprezanja i transformacije obrtanja se primenjuju uzastopno jedna za drugom.


11

2.2. TRANSFORMACIJA RASPREZANJA

Osnovni cilj transformacije rasprezanja je da obezbedi efekat rasprezanja namota na taj nain to e matrica induktivnosti posle transformacije sadrati minimalan broj nenultih elemenata. Primenom ove transformacije originalni trofazni spregnuti statorski namotaj se transformie u dvofazni ekvivalentni statorski namotaj kao to je prikazano na slici 2.2. Ova transformacija je mogua zahvaljujui injenici da je rang matrice induktivnosti trofaznih namotaja realnih maina jednak dva. Trei ekvivalentni statorski namotaj, takozvani nulti namotaj, nastao nakon transformacije rasprezanja, izostavlja se u sluajevima simetrinih prelaznih pojava. Ovo zanemarenje je mogue jer su veliine nultog namotaja potpuno raspregnute tj. ni jedna jednaina koja bi se dobila ovom transformacijom ne sadri veliine i nultog i ostalih namotaja, pored toga nulte veliine najee nisu od interesa jer ne uestvuju momentnoj jednaini odnosno u elektromehanikoj konverziji energije. S obzirom da su ekvivalentni namotaji na rotoru ve raspregnuti, na njih se ne primenjuje transformacija rasprezanja.

a,

q

d

u i

qu

udu

qi

idi

Slika 2.2. Dvofazni raspregnuti model sinhrone maine.

Da bi nakon primene transformacije rasprezanja bila zadovoljena invarijantnost (nepromenljivost) snage u originalnom (trofaznom) i transformisanom (dvofaznom) podruju potrebno je da transformaciona matrica rasprezanja C zadovolji sledei uslov:

Tss CC =1 . (2.12)

Ovakve matrice se u teoriji matrica nazivaju unitarne ili ortogonalne ukoliko se kao u ovom sluaju radi sa realnom domenu. Ovaj uslov zadovoljava Klarkova transformaciona matrica C , koja je data sledeim izrazom:

=

=

2

1

2

3

2

12

1

2

3

2

12

101

3

2

2

1

3

4sin

3

4cos

2

1

3

2sin

3

2cos

2

10sin0cos

3

2

sC , (2.13)

a inverzna transformaciona matrica, koja se primenjuje pri povratku u originalni (vremenski) domen je:


12

==

2

1

2

1

2

12

3

2

30

2

1

2

11

3

21 Tss CC . (2.14)

Matrica C transformacije u (2.12)(2.14) je prikazana za sluaj trofaznog statorskog namotaja pa otuda indeks s.

U ovom trenutku potrebno je skrenuti panju je matricu transformacije C mogue definisati i na druge naine koji mogu imati prednosti u nekim specijalnim primenama. Ove razlike u definisanju transformacione matrice su posledica razliitog referentnog rasporeda namotaja faza kako u faznom tako i u Blondelovom d:q domenu, kao i definisanja meusobnog odnosa namotaja. Pored toga, neki autori naruavaju princip invarijantnosti snage ime se dobija model u kojem figuriu veliine kojima se mogu dodijeliti fizika objanjenja [27], meutim ovaj pristup ima i jednu negativnu posledicu a to je da je transformisana matrica induktivnosti vie ne poseduje osobinu simetrije a samim tim onemoguena je predstava maine preko ekvivalentnog kola.. Ovaj problem se reava pogodno odabranim baznim vrednostima prilikom normalizacije koja ovu matricu ponovo prevodi u simetrinu matricu U ovoj knjizi je usvojeno da se ugao meri od ose a ka osi d rotorskog namotaja koji prednjai kvadraturnoj osi q.

Veza izmeu originalnih vektora u , i , i transformisanih vektora Cu , Ci , C data je sledeim izrazima:

CCuu = , (2.15) CCii = , (2.16) CC = . (2.17)

Sada matrica C transformacije ima oblik blok dijagonalne matrice:

=

33

33

I

CC s ,

sa submatricama dimenzija 33 gde je 33I jedinina matrica.

Koristei jednainu (2.12) sada se moe jednostavno pokazati da Klarkova transformaciona matrica zadovoljava uslov invarijantnosti po snazi:

CCTCTCTCTCabc

Tabcp iuiCCuiCuCiu ==== )()()(

Uvrtavanjem (2.15)(2.17) u osnovni matematiki model maine (2.1), (2.2), (2.8) i (2.10) dobijaju se sledee jednaine:

( )CCCdt

dCRCiCu += , (2.18)

CC LCiC = , (2.19)

dt

d

J

Kmm mc +=+ , (2.20)

CTCc d

dm i

L )(

2= . (2.21)

Kako elementi matrice C nisu funkcije vremena i ukoliko se jednaine (2.18) i (2.19) pomnoe sa

leve strane sa matricom TC ( 1= CCT ), dobija se ekvivalentni raspregnuti model sinhrone maine u dvofaznom C podruju:


13

CCCC

dt

diRu += , (2.22)

CCC iL = , (2.23)

dt

d

J

Kmm mc

+=+ , (2.24)

CC

CTc d

dm i

Li

2= . (2.25)

gde su matrice otpornosti i induktivnosti CR i CL u dvofaznom (transformisanom) C podruju definisane kao:

LCCL TC = , (2.26) RCCR TC = . (2.27)

Razvijeni oblik vektora Cu , Ci , C i matrica CR i CL korienih u modelu (2.22)(2.25) glasi:

[ ]QDfCT uuuuu =u , (2.28) [ ]QDfCT iiiii =i , (2.29) [ ]QDfCT = , (2.30)

=

Q

D

fC

R

R

R

R

R

0000

0000

0000

0000

0000

R , (2.31)

+

+

=

QqQqQ

DfDdDdD

fDffdfd

qQdDfdqdqd

qQdDfdqdqd

C

LMM

LMMM

MLMM

MMMLLLL

MMMLLLL

00cossin

0sincos

0sincos

cossinsincossincossin)(

sincoscoscossin)(sincos22

22

L .(2.32)

Kompletno izvoenje matrice rasprezanja, kao i koriene oznake, dati su u Prilogu 1 (glava 11). U literaturi se esto uvodi pojam svoenja viepolne maine na dvopolnu kako u jednainama ne bi figurisao broj pari polova. U tom sluaju potrebno je primeniti sledee transformacije

21

'

= JJ ,

21

'

= KK ,

=1

' mm .

U ovim jednainama veliine sa leve strane oznaavaju veliine ekvivalentne dvopolne maine dok su sa desne strane veliine originalnog modela. Ove transformacije imaju uticaj na momentnu jednainu (2.25) i na Njutnovu jednainu kretanja (2.24) koje posle transformacije glase:


14

dt

dJKmm mc '''' +=+ ,

CTCc d

dm i

L )(

2

1' = .

2.3. TRANSFORMACIJA OBRTANJA

Osnovni cilj transformacije obrtanja je da se obezbedi nezavisnost elemenata transformisane matrice induktivnosti od ugaonog poloaja rotora, odnosno vremena. Zavisnost elemenata matrice induktivnosti od poloaja rotara se implicitno javlja u vidu dodatnih lanova u jednainama naponske ravnotee, tzv. elektromotornih sila rotacije. Transformacija obrtanja se kod sinhronih maina uobiajeno izvodi takozvanim svoenjem statorskih osa na rotorske, odnosno promenom baze vektorskog prostora. Promenu vektorskog prosotora mogue je izvesti i na druge naine koji e detaljnije biti obraeni u poglavlju o asinhronim mainama ali kod analize sinhronih obrtnih maina uobiajeno se bira referentni sistem vezan za rotor jer drugim izborom referentne ose, u sluaju sinhrone maine sa isturenim polovima, nije mogue postii traenu vremensku nepromenljivost elemenata matrice induktivnosti [22].

Da bi i nakon transformacije obrtanja bila zadovoljena invarijantnost (nepromenljivost) snage, kao i u sluaju Klarkove transformacione matrice potrebno je da transformaciona matrica obrtanja D zadovolji sledei uslov, koji se u teoriji naziva ortogonalnost matrice:

TDD =1 . (2.33)

Transformaciona matrica prilikom svoenja na rotorske ose oznaena je oznakom rD i data je

sledeim izrazom:

=

10000

01000

00100

000cossin

000sincos

rD , (2.34)

dok inverzna transformaciona matrica glasi:

==

10000

01000

00100

000cossin

000sincos

1

Trr DD . (2.35)

Primenom transformacije obrtanja diferencijalne jednaine koje opisuju dinamiku sinhrone maine postaju jednaine sa konstantnim koeficijentima.

Veza izmeu vektora u C podruju Cu , Ci , C i transformisanih vektora u Dr podruju Dru , Dri i Dr data je sledeim izrazima:

DrrC uDu = , (2.36)

DrrC iDi = , (2.37)

DrrC D = . (2.38)

Nakon primene transformacija rasprezanja i obrtanja matematiki model sinhrone maine se nalazi u


15

Blondelovom podruju, a transformaciona matrica koja ga povezuje sa originalnim podrujem je:

rr CDB = . (2.39)

U daljem razmatranju indeksi CDr e biti zamenjeni indeksom Br ime je naznaeno da su primenjene transformacije rasprezanja i obrtanja tj. da su te veliine u Blondelovom podruju. Veza izmeu

originalnih vektora u , i i i vektora nakon primene transformacija rasprezanja i obrtanja CDru , CDri i CDr data je sledeim izrazima:

BrrCDr

r uBuCDu == , (2.40)

BrrCDr

r iBiCDi == , (2.41)

BrrCDr

r BCD == . (2.42)

Uvrtavanjem (2.36)(2.38) u (2.22)(2.25) dobija se:

( )BrrBrrBrr dtd

DiRDuD += , (2.43)

BrrCBr

r iDLD = , (2.44)

dt

d

J

Kmm mc +=+ , (2.45)

Brr

CTr

BrTc d

dm iD

LDi

2 = . (2.46)

Kada se jednaine (2.43) i (2.44) pomnoe sa leve strane matricom TrD (1= r

Tr DD ) dobija se

ekvivalentni model sinhrone maine u dvofaznom Br podruju:

( )BrrCTrBrBrBr dtd

iDLDiRu += , (2.47)

BrBrBr iL = , (2.48)

dt

d

J

Kmm mc +=+ , (2.49)

Brr

CTr

BrTc d

dm iD

LDi

2= . (2.50)

Daljim razvojem jednaina (2.47)(2.50), na nain kao to je uraeno u Prilogu 1, ekvivalentni model sinhrone maine u Br podruju glasi:

BrBr

BrBrBr

dt

dY

iRu ++= , (2.51)

BrBrBr iL = , (2.52)

dt

d

J

Kmm mc +=+ , (2.53)

( ) dqqdc iim = , (2.54) gde su matrice BrR , BrL i Y u Br podruju definisane kao:

rCT

rBr DLDL = , (2.55)

CrTr

Br RRDDR == , (2.56)

d

d rTr

DDY = . (2.57)


16

Razvijeni oblik vektora Bru , Bri , Br i matrica BrR , BrL i Y korienih u modelu

(2.51)(2.54) glasi:

[ ]QDfqdBrT uuuuu=u , (2.58) [ ]QDfqdBrT iiiii=i , (2.59) [ ]QDfqdBrT = , (2.60)

==

Q

D

fBr

R

R

R

R

R

0000

0000

0000

0000

0000

RR , (2.61)

=

QqQ

DfDdD

fDffd

qQq

dDfdd

Br

LM

LMM

MLM

ML

MML

000

00

00

000

00

L , (2.62)

=

00000

00000

00000

00001

00010

Y (2.63)

Detalji izvoenja koja su izostavljena u ovom delu prikazani su u Prilogu 1. Mnoenjem matrice transformacije rasprezanja i matrice transformacije obrtanja dobija se matrica transformacije koja fazni abc domen direktno prevodi u B domen, ova matrica se u literaturi uobiajeno obiljeava slovom B:

++

++=

)3

4sin()

3

4cos(

)3

2sin()

3

2cos(

sincos

B .

2.4. TRANSFORMACIJA SVOENJA

Ovom transformacijom ostvareno je svoenje parametara rotorskih namotaja na statorski broj navojaka. Cilj ove transformacije da sve veliine u maini predstave preko veliina jednog namotaja kako bi se mogle lake meusobno uporeivati i analizirati, pored toga ovom transformacijom je ponekad mogue izbaciti iz razmatranja pojedine magnetne sprege. Ovo svodjenje veliina jednog namotaja na drugi mogue je izvesti na vie naina i ovde e biti pokazana transformacija nivoa koja se zasniva na tzv. principu jednakih meuinduktivnosti[22]. Ovaj nain je veoma popularan jer koristi razumljivu prestavu o rasipnim i zajednikim fluksevima. Transformaciona matrica svoenja T je definisana sledeom dijagonalnom matricom:


17

=

qQ

q

dD

d

fd

d

M

M

M

M

M

Mdiag 11T . (2.64)

Matrica transformacije svoenja T nije ortogonalna te stoga ne poseduje osobinu T1 TT = , pa je inverzna matrica:

=

q

qQ

d

dD

d

fd

M

M

M

M

M

Mdiag 111T . (2.65)

gde su dM i qM meusobne induktivnosti, tako da su ukupne sopstvene induktivnosti:

+= dd ML , += qq ML ,

fdf ML += , (2.66)

DdD ML += , QqQ ML += .

U jednainama (2.66) , f , D , Q su rasipne induktivnosti odgovarajuih namota (pri emu vai qd == ).

Veza izmeu vektora Bru , Bri i Br i tih vektora posle primene transformacija svoenja BrTu , BrTi i BrT data je sledeim izrazima:

BrTBr uTu 1= , (2.67) BrTBr Tii = , (2.68) BrTBr T 1= . (2.69)

Nakon primene T transformacije matrica induktivnosti BrTL u BrT podruju glasi:

TTLL BrBrT = , (2.70)

a u razvijenom obliku:

=

Qq

Ddd

dfd

qq

ddd

BrT

LM

LMM

MLM

ML

MML

000

00

00

000

00

L . (2.71)

Primenom T transformacije mogue je uvesti predstavu o zajednikom fluksu (magneenja) i fluksu rasipanja. Matematiki model sinhrone maine je samo jedna predstava maine. Druga predstava bi bila ekvivalentna ema sinhrone maine koja podsea na ekvivalentnu emu jednosmerne maine.


18

q

id ig s R

Mq

Q

RQ R

s D RD f Rf

uf Md

uq

ud d

uD

uQ

iD

ig

if iQ

id

Slika 2.3. Ekvivalentna ema sinhrone maine.

2.5. POTPUN MATEMATIKI MODEL SINHRONE MAINE U PROSTORU STANJA

Nakon primene transformacije rasprezanja C, transformacije obrtanja D i transformacije svoenja rotorskog na statorski broj navojaka dobija se model sinhrone maine u Blondelovom (BrT) podruju. Taj model sinhrone maine predstavljen u prostoru stanja, pri emu su za promenljive stanja izabrani fluksevi, definisan je sledeim jednainama:

:jednaine naponske ravnotee:

q

++=dt

dRiu ddd , (2.72)

d

+=dt

dRiu qqq , (2.73)

dt

diRu ffff

+= , (2.74)

dt

diRu DDD

D+= , (2.75)

dt

diRu QQQ

Q+= , (2.76)

gde su fluksni obuhvati:

Ddfdddd iMiMiL ++= , (2.77)

Qqqqq iMiL += , (2.78)

Ddddfff iMiMiL ++= , (2.79)

fdddDD iMiMiL ++=D , (2.80)

qqQQQ iMiL += , (2.81)

:jednaina mehanike ravnotee:

dt

d

J

Kmm mc +=+ , (2.82)

gde je momenat konverzije:


19

( ) dqqdc iim = , (2.83) :jednaina promene ugla optereenja je:

dt

dn= . (2.84)

Matematiki model sinhrone maine (2.72)(2.84) napisan je uz pretpostavku da i elektrina i mehanika snaga ulaze u mainu. Za sluaj generatorskog reima rada, struje id i iq u svim jednainama treba uzeti sa negativnim predznakom, kao i cm , dok je za motorski reim rada dovoljno uzeti samo mm sa

negativnim predznakom.

Izvedeni matematiki model je nelinearan jer postoji mnoenje ugaone brzine i fluksova u jednainama naponske ravnotee statora, pored toga momentna jednaina sadri i proizvod struja i napona. Ovaj matematiki model se esto pojednostavljuje uvodei pretpostavku da je ugaona brzina konstanta u toku prelaznog procesa. Ovim se dobija mogunost rada sa linearnim modelom jer je momentna jednaina raspregnuta od ostalih jednaina i samim tim njena nelinearnost ne utie na smanjenje brzine reavanja kompletnog sistema jednaina.

U uobiajenim analizama sinhronih maina cilj je da se odrede veliine statorskih struja koje u tom sluaju predstavljaju izlazne promenljive sistema. Kao ulazne promenljive sistema smatraju se naponi na statorskim krajevima i moment na vratilu maine dok je stanje same maine u potpunosti opisano statorskim i rotorskim fluksevima, ugaonom brzinom i eventualno pozicijom rotora ako je ona od interesa za analizu.

2.6. REDUKOVANI MODEL SINHRONE MAINE & E'Q MODEL

Matematiki model trofazne sinhrone maine prikazan sa (2.72)(2.84) uvaava fizike efekte namotaja statora (fazni namoti) i rotora (pobudni namotaj i priguni namoti po uzdunoj D i poprenoj Q osi). Na taj nain sinhrona maina je opisana sistemom od 7 diferencijalnih jednaina (modelom sedmog reda).

Pri razmatranju prelaznih pojava u EES neophodne su jednaine pomou kojih se opisuje dinamika sinhrone maine i jednaine mree na koju je maina prikljuena. Takoe, u sistemu postoji vie maina u paralelnom radu. Na taj nain, kompletan matematiki model jednog EES postaje izuzetno sloen, pa se pri njegovom modelovanju sistemske dinamike moraju uvesti nova uproenja. Ova uproenja, kad je re o sinhronoj maini, mogu se posmatrati u kontekstu izvoenja redukovanih matematikih modela maine gde se, zavisno od primene, uproavaju ili zanemaruju manje vani efekti, u prvom redu efekti prigunog namotaja.

2.6.1. Izvoenje redukovanog matematikog modela sinhrone maine

Model sinhrone maine koji se koristi dobija se iz originalnog modela transformacijama rasprezanja, obrtanja i svoenjem rotorskih veliina na statorski broj navojaka. Model je definisan jednainama naponske ravnotee, jednainom mehanike ravnotee i jednainom promene ugla optereenja. Jednaine naponske ravnotee uvaavaju fizike efekte namotaja statora (fazni namotaj i po poprenoj i po uzdunoj osi) i rotora (pobudni namotaj i priguni namotaj i po poprenoj i uzdunoj osi). Na taj nain sinhrona maina je opisana matematikim modelom sedmog reda.

U ovom delu se prouava stabilnost tokom tranzijentnog kvazistacionarnog perioda (tranzijentna stabilnost), tako da se uvaava tranzijentna dinamika dok je subtranzijentni prelazni proces zanemaren. Kako su u subtranzijentnom prelaznom procesu dominantni efekti prigunog namota, matematiki model sinhrone maine se redukuje u model sa zanemarenim efektom prigunog namota.

Ako se model sinhrone maine sa kompaktnim cilindrinim rotorom redukuje u model sa zanemarenim efektom prigunog namotaja, treba uzeti u obzir da se u tom sluaju sam rotor ponaa kao priguni namotaj po Q:osi (usled vrtlonih struja u masivnom feromagnetnom rotoru), bez obzira da li fiziki postoji ili se zanemaruje priguni namotaj (u D:osi). U tranzijentnom kvazistacionarnom periodu dominantni


20

su efekti rotorskih namotaja (pobudni f namotaj i Q namotaj kompaktnog cilindrinog rotora).

Prilikom izvoenja ovog modela uvode se sledea uproenja:

1. U naponskim jednainama statora zanemaruje se promena statorskih fluksnih obuhvata tj. zanemaruje se ems transformacije ( dtdd i dtdq ) kao brojano male u poreenju sa ems

rotacije ( d i q ).

2. Zanemaruje se promena brzine obrtanja, tj. pretpostavlja se da su lanovi tipa u naponskim jednainama statora i optereenja jednaki n.

3. Zanemaruju se aktivne otpornosti namotaja statora.

Uvaavajui navedena uproenja, dinamiki model sinhrone maine (2.72)(2.84) postaje:

: jednaine naponske ravnotee:

qndu = , (2.85)

dqu n= , (2.86)

dt

diRu

f

fff

+= , (2.87)

dt

diR QQQ

0 += , (2.88)

gde su fluksni obuhvati izraeni kao:

fdddd iMiL += , (2.89)

Qqqqq iMiL += , (2.90)

ddfff iMiL += , (2.91)

qqQQQ iMiL += , (2.92)

: jednaina mehanike ravnotee glasi:

dt

dJKmm mc

+

=+ , (2.93)


( ) dqqdc iim = , (2.94) : jednaina promene ugla optereenja glasi:

dt

dn= . (2.95)

Matematiki model sinhrone maine (2.85)(2.95) napisan je uz istu pretpostavku o referentnim smerovima elektrine i mehanike snage kao i model (2.72)(2.84) tj. referentni smerovi su odabrani tako da i mehanika i elektrina snaga ulaze u mainu.

Zanemarenje promene statorskih fluksnih obuhvata u jednainama statorske ravnotee ima za posledicu i zanemarenje jednosmerne komponente struje u statorskim namotajima u toku prelaznog procesa.

U literaturi [27] je pokazano da je ovo zanemarenje ,,na stranu sigurnosti to e rei da u sluaju analiza kratkih spojeva na sinhronoj maini ovim zanemarenjem dobijamo struje statorskih namotaja koje su neto vee stvarnih. Drugo zanemarenje koje je korieno u izvoenju redukovanog matematikog modela sinhrone maine, odnosno zanemarenje promene elektrine brzine rotora u jednainama statorske ravnotee ima takav uticaj na odziv modelovane maine koji tei da poniti uticaj prvog napravljenog zanemarenja to ova zanemarenja ini potpuno opravdanim.


21

2.6.2. Bazne vrednosti u sistemu relativnih jedinica

Prethodno naveden matematiki model sinhrone maine (2.85)(2.95) nije napisan u formi pogodnoj za praktina inenjerska izraunavanja. Posebna tekoa je to to su statorski naponi u jednom opsegu (reda veliine deset kV), a rotorski u drugom opsegu (reda veliine deset V). Takoe, u razliitim delovima EES vladaju razliiti naponski nivoi. Ovaj problem se moe reiti normalizacijom jednaina, gde se sve promenljive i parametri dele sa pogodno odabranim baznim veliinama i izraavaju u relativnim jedinicama (r.j.).

Bira se sledei sistem osnovnih baznih veliina:1

nb SS = : nominalna prividna snaga maine u VA,

nb VV = : nominalna efektivna meufazna vrednost napona u V,

100 sb == : nominalna (sinhrona) ugaona brzina u rad/s.

Izvedene bazne veliine su:

b

b

nb

V

SII == 3 : bazna struja,

b

bb

I

VZ = : bazna impedansa,

b

b

ZY

1= : bazna admitansa,

b

bb ZL

= : bazna induktivnost,

b

bb V

= : bazni fluks,

b

bt1

= :bazna vrednost vremena

bb

b

bb

b

bb I

IVSm

=== : bazni momenat,

Redukovani model sinhrone maine (2.85)(2.95) nakon normalizacije glasi (sve veliine i parametri su u r.j.):

:jednaine naponske ravnotee:

qdu = (r.j.), (2.96)

dqu = (r.j.), (2.97)

1 Ponekad je za pobudni namotaj potrebno je usvojiti neto drugaiji sistem baznih veliina. Naime, modeli automatskih

regulatora napona zahtevaju sistem baznih veliina u kojem je bazna pobudna struja ona struja koja u praznom hodu generatora daje nominalni napon na statorskim prikljunicama [2,3]:

db

bbf

M

VI = : bazna pobudna struja,

dok je bazni pobudni napon onaj koji u stacionarnom stanju u pobudnom namotaju stvara baznu pobudnu struju.


22

dt

diRu ffff

+= (r.j.), (2.98)

dt

diR QQ

Q0 += (r.j.), (2.99)


fdddd iMiL += (r.j.), (2.100)

Qqqqq iMiL += (r.j.), (2.101)

ddfff iMiL += (r.j.), (2.102)

qqqQQ iMiL += (r.j.), (2.103)

:jednaina mehanike ravnotee:

dt

dDmm jmc

+=+ (r.j.), (2.104)

u jednaini (2.104) pojavljuje se 1/3 mc iz razloga to su pri normalizaciji za bazne veliine izabrane pofazne vrednosti,

gde je

( ) bb

b

j HS

J

2'3

== : mehanika vremenska konstanta,

( )b

b

SKD

2

'

= : normalizovani koeficijent trenja,

: ugaona brzina.

a momenat konverzije:

dqqdc iim = (r.j.), (2.105)

:jednaina promene ugla optereenja:

1= dt

d (r.j.). (2.106)

U anglosaksonskoj literaturi se esto umesto momenta inercije J koristi inerciona konstanta H koja se definie kao kinetika energija tela pri baznoj brzini podeljenoj sa trofaznom baznom snagom odnosno

nominalnom snagom maine(B

B

SJH

2

2

1 = ).

Za dalje izvoenje redukovanog matematikog modela sinhrone maine potrebno je sve rotorske

veliine ( f , Q , fu , fi , Qi ) eliminisati iz jednaina (2.96)(2.106) na taj nain to e se ove veliine, izraziti preko adekvatnih statorskih veliina.

Fluksni obuhvat pobudnog namota f moe se pretvoriti u odgovarajuu ems na statoru koja se

indukuje u praznom hodu [10]. Pri otvorenom namotu statora u stacionarnom stanju ( 0=di ) vai da je

ff iL=f (jednaina (2.91)). Kada se vrednost pobudne struje fi pomnoi sa dn M dobija se

odgovarajua ems statora qe .


23

qdnf

f eML

=

, (2.107)

odnosno nakon normalizacije:

qd

f

f eM

L = (r.j.). (2.108)

Fluksni obuhvat namota rotora po Q:osi Q moe se pretvoriti u odgovarajuu ems na statoru. Pri

otvorenom kolu namota statora u stacionarnom stanju vai da je QQQ iL = (jednaina (2.92)). Kada se

vrednost struje iQ pomnoi sa qn M dobija se odgovarajua ems statora de :

dqnQ

Q eML

=

(2.109)

odnosno, nakon normalizacije:

dq

Q

Q eM

L = (r.j.). (2.110)

Takoe se i pobudni napon fu moe izraziti preko odgovarajue ems na statoru [10]. U

stacionarnom stanju struja pobude fi izraena preko napona i otpora pobude je fff Rui = . Kada se ta

vrednost struje pomnoi sa dn M dobija se odgovarajua ems statora fde :

fddnf

f eMR

u= , (2.111)

odnosno, nakon normalizacije:

fdd

ff eM

Ru = (r.j.). (2.112)

Iz jednaina (2.102) i (2.108) moe se izraziti pobudna struja fi :

df

dq

d

f iL

Me

Mi =

1 (r.j.), (2.113)

a iz jednaina (2.103) i (2.110) moe se dobiti komponenta struje Qi po Q osi:

qQ

q

d

q

Q iL

Me

Mi =

1 (r.j.). (2.114)

Na taj nain su sve rotorske veliine izraene preko statorskih veliina. Sledei korak predstavlja eliminaciju svih tako izraenih rotorskih veliina iz modela (2.96)(2.106). Nakon uvrtavanja jednaina (2.108), (2.112) i (2.113) u naponsku jednainu (2.98) dobija se:

fdf

fd

f

d

f

fq

f

fq eL

Ri

L

M

L

Re

L

R

dt

ed++=

2 (r.j.). (2.115)

Uvrtavanjem jednaina (2.110) i (2.114) u naponsku jednainu (2.99) dobija se:

qQ

q

Q

Qd

Q

Qd iL

M

L

Re

L

R

dt

ed2

=

(r.j.). (2.116)


24

Nakon uvrtavanja jednaina (2.100), (2.101), (2.113) i (2.114) u jednainu za momenat konverzije (2.105) dobija se:

iiL

MLeii

L

MLem qd

f

ddqdq

Q

qqdc

+

+=

22

'' (r.j.). (2.117)

Uvaavajui standardne oznake za vremenske konstante:

R

LT

f

fd = 0 , (2.118)

R

TQ

Qq

L0 = , (2.119)

kao i ekvivalentnu emu za tanzijentnu uzdunu sinhronu induktivnost (slika 2.4a), gde je:

Ld Md

Md Lf Md Ld'

Slika 2.4a. ematski prikaz za odreivanje tranzijentne uzdune induktivnosti.

L

MLL

f

ddd

2

= , (2.120)

odnosno emu za prelaznu poprenu sinhronu induktivnost (slika 2.4b):

Lq:Mq

Mq LQ:Mq L'q

Slika 2.4b. ematski prikaz odreivanja tranzijentne poprene induktivnosti.

L

MLL

Q

qqq

2

= , (2.121)

novouvedene oznake su:

0dT : vremenska konstanta tranzijentnog perioda po uzdunoj osi (d) pri otvorenom kolu statora,

0qT : vremenska konstanta tranzijentnog perioda po poprenoj osi (q) pri otvorenom kolu statora,

dL : tranzijentna induktivnost u podunoj osi,

qL : tranzijentna induktivnost u poprenoj osi.

Sada se moe pisati konacni oblik normalizovanog redukovanog modela sinhrome maine:

( ) eiLLeeT fddddqqd ++= ''0 (r.j.), (2.123) ( ) qqqddq iLLeeT = ''0 (r.j.), (2.124) ( )[ ]iiLLieiem qdqdddqqc ++= '' (r.j.). (2.125) Uvrtavanjem jednaine (2.125) u momentnu jednainu (2.104) dobija se:


25

( ) DiiLLieiem qdqdddqqmj +++= '' (r.j.). (2.126) U dosadanjem izlaganju koriene su veliine koje su dobijene posle transformacija svoenja i obrtanja. Ukoliko se model izvodi sa apsolutnim jedinicama dobijaju se veliine(naponi, struje i fluksevi) koje

kvantitativno odgovaraju faznim veliinama koje su pomnoene sa 3 odnosno odgovaraju meufaznim vrednostima. Kada se radi u apsolutnom domenu esto je jednostavnije baratati sa faznim vrednostima pa se

sve veliine dele sa 3 kako bi se dobile vrednosti koje odgovaraju faznim veliinama. U nastavku je ispisan i model u apslutnom domenu gde su koriena velika slova kako bi se oznaile fazne vrednosti u apsolutnom domenu:

( ) EILLEET fddddqqd ++= 0 (2.123a)

( ) qqqddq ILLEET = 0 (2.124a) ( )[ ]IILLIEIEm qdqdddqqc ++= (2.125a)

dt

dJKmm mc

+

=+ (2.126a)

Jednaine (2.123), (2.124), (2.125), (2.126) predstavljaju redukovani matematiki model sinhrone maine. Tranzijentna indukovana ems po d : osi ed je zanemariva u poreenju sa tranzijentnom

indukovanom ems po q : osi qe' ( qd ee ''


26

D [r.j.].

3. sluaj: [r.j.] i t [r.j.],

0dT [r.j.] = '0dT [sec] n [rad/sec],

j [r.j.] = j [sec] n [rad/sec], D [r.j.].

Matematiki model sinhrone maine (2.127)(2.129) moe se predstaviti strukturnom emom prikazanom na slici 2.5.

Ld L'd sT1

1

0d+

sD

1

j+

X

1

mm

: +

+

+

+

+ id

ulaz:

iq

e'q

s

1

izlaz:

efd

qq ie '

Slika 2.5. Strukturna ema modela sinhrone maine.

1.1 2.7. MULTIMAINSKI SISTEM SVOENJE NA REFERENTNI SISTEM OSA

U optem sluaju EES sadri vie vorova u kojima su prikljuene sinhrone maine. Pri tome se smatra da je mrea kruta, tj. beskonane snage. U ovom delu svim veliinama e biti pridodat indeks i koji oznaava broj vora u kome je prikljuena maina. Na slici 2.6 prikazan je fazorski dijagram sinhrone maine prikljuene na mreu beskonane snage. Uobiajeni pristup pri crtanju faznih dijagrama d i q komponenti napona i struje sinhrone maine je da q osa prednjai d osi. Meutim, u literaturi [10], u multimainskoj predstavi maina prikljuenih na mreu d osa prednjai q osi.

uqi

udi

referentna osa

d : osa

q : osa

iV3


27

Slika 2.6. Fazorski dijagram sinhrone maine prikljuene na mreu beskonane snage u i


28

2.8. LINEARIZOVANI MATEMATIKI MODEL SINHRONE MAINE SA FLUKSEVIMA KAO PROMENLJIVIM STANJA

U ovom delu izveden je linearizovan matematiki model sinhrone maine. Polazi se od matematikog modela sinhrone maine u BrTs transformaciji, koji glasi:

: jednaine naponske ravnotee

q

++=dt

dRiu ddd , (2.142)

d

+=dt

dRiu qqq , (2.143)

dt

diRu ffff

+= , (2.144)

dt

diRu DDD

D+= , (2.145)

dt

diRu QQQ

Q+= , (2.146)


Ddfdddd iMiMiL ++= , (2.147)

Qqqqq iMiL += , (2.148)

Ddddfff iMiMiL ++= , (2.149)

fdddDD iMiMiL ++=D , (2.150)

qqQQQ iMiL += , (2.151)

: jednaina mehanike ravnotee:

cm mdt

dJKm

+

=

, (2.152)


( ) dqqdc iim = . (2.153) Prethodne dve jednaine u normalizovanom domenu izgledaju :

[N:]

dt

dDmm jmc

+=+ , (2.154)

dqqdc iim = , (2.155)

: jednaina promene ugla optereenja:

ndt

d= , (2.156)

ili u normalizovanom domenu:

[N:]


29

1dt

d= . (2.157)

Cilj je da se napravi matematiki model oblika BUAXX +=

, kako bi se on linearizovao

standardnim postupkom i dobio model oblika UBXAX +=

. Ovo se postie tako to se iz modela pomou algebarskih jednaina eliminiu sve promenjive koje nisu promenjive stanja.

Prvi korak je da se struje namotaja koje figuriu u jednainama naponske ravnotee (2.1422.146) izraze preko flukseva. Iz jednaina (2.147), (2.148) i (2.149) se dobija:

( )mddd

di 1

=

, (2.158)

( )mdff

fi 1

=

, (2.159)

( )mdDD

Di 1

=

, (2.160)

gde je md fluks magneenja po d:osi

( ) dDfdmd Miii ++= , (2.161) ddd ML += , dff ML += ,

dDD ML += .

Kada se (2.158), (2.159) i (2.160) uvrstiti u (2.161) dobija se:

D

D

f

f

d

d

Dfddmd M

1111 ++=

+++ . (2.162)

Uvoenjem ekvivalentne podune induktivnosti:

DfddMD ML

11111+++= , (2.163)

fluks md je:

DD

MDf

f

MDd

d

MDmd

LLL

++= . (2.164)

Na slian nain kao za md , moe se napisati za fluks magneenja u poprenoj osi:

QQ

MQq

q

MQmq

LL

+= , (2.165)

gde je induktivnost MQL definisana kao:

QqqMQ ML 1111

++= . (2.166)

Struje po poprenoj osi su:

( )mqqq

qi 1

=

, (2.167)


30

( )mqQQ

Qi 1

=

. (2.168)

Kada se zanemari efekat zasienja sinhrone maine, induktivnosti dM , qM , MDL i MQL su

konstantne.

Zamenom md iz jednaine (2.164) u jednaine (2.158), (2.159) i (2.160), posle ureenja ovih

poslednjih, dobijaju se sledei izrazi za struje u podunoj osi:

D

D

d

MD

f

f

d

MD

d

dd

LLi

L1

d

MD

= , (2.169)

D

D

f

MD

f

f

f

MD

d

d

f

MDf

LLLi

1

+= , (2.170)

D

D

D

MD

f

f

D

MD

d

d

D

MDD

LLLi

1

+= . (2.171)

Zamenom (2.169), (2.170) i (2.171) u jednaine (2.142), (2.144) i (2.145) respektivno, dobijaju se sledee diferencijalne jednaine:

dqD

D

d

MD

f

f

d

MD

d

d

d

MDd uL

RL

RL

Rdt

d++++

=

1

,(2.172)

fD

D

f

MDf

f

f

f

MDf

d

d

f

MDf

f uL

RL

RL

Rdt

d++

=

1

, (2.173)

D

D

D

MDD

f

f

D

MDD

d

d

D

MDD

D LRL

RL

Rdt

d

1

+= . (2.174)

Slino tome, eliminacijom mq , iz jednaine (2.167) i (2.168) i zamenom dobijenih izraza za struje

qi i Qi u jednaine (2.143) i (2.146) respektivno, dobijaju se diferencijalne jednaine za flukseve u poprenoj

osi:

qdQ

Q

q

MQ

q

q

q

MQq uL

RL

Rdt

d++

=

1

, (2.175)

Q

Q

Q

MQQ

q

q

Q

MQQ

Q LRL

Rdt

d

1

= . (2.176)

Odgovarajue zamene daju za jednainu momenta konverzije (2.155) izraz:

Dd

MDDq

fd

MDfq

Qq

MQQd

d

MDMQqdc

LLLLLm

2+

= . (2.177)

Nelinearni matematiki model sinhrone maine u prostoru stanja sa fluksevima kao promenljivim stanja prikazan u obliku matrine jednaine:


31

+

+

=

1

m0

u

0

u

u

0100000

0D

L

L

L

L

L

00

L1

R

LR000

00

RL

L1

R00

0000

L1

R

LR

LR

0000

LR

L1

R

LR

000

RL

RL

L1

R

dt

ddt

ddt

ddt

ddt

ddt

ddt

d

m

q

f

d

Q

q

D

f

d

dQq

MQd2

q

MQq

Dd

MDq

fd

MDq2

d

MD

Q

MQ

Q

Q

qQ

MQQ

Qq

MQ

q

MQ

q

D

MD

D

D

fD

MDD

dD

MDD

Df

MDf

f

MD

f

f

df

MDf

Dd

MD

fd

MD

d

MD

d

Q

q

D

f

d

QqDfd

j

jjjjjj

dt

d

Ovaj matematiki model je nelinearan jer se u matrici sistema nalaze elementi koji nisu konstantni nego zavise od promenljivih stanja.

Sada se pristupa postupku linearizacije jednaina (2.172) : (2.177). Vektor stanja x

u nelinearnom fluksnom modelu i poetno stanje )t(x oo su:

T

QqDfdx ],,,,,,[=

,

TQoqoDofodoox ],,,,,,[ oo=

.

U sluaju malih poremeaja, neposredno posle poetnog trenutka t + t*o koordinate stanja se menjaju za x

' tako da se moe napisati:

xxx o

'+= . (2.178)

Opta nelinearna forma modela glasi:

( ) oo x)t(x ;t,z,u,xfdtxd

== , (2.179)

gde su )t(x

, )t(u

, i )t(z

vektori stanja, ulaza i poremeaja respektivno, ox

poetni uslov, a f(*) skup

nelinearnih funkcija od naznaenih vektorskih promenljivih.

Kada se zameni (2.178) u (2.179) dobija se:

( )t,zz,uu,xxfdt

)x(d

dt

xdooo

o

'+'+'+='

+ . (2.180)

Razvojem desne strane jednaine (2.183) u Tejlorov red u okolini stanja ( )ooo z,u,x

, uz

zadravanje linearnog i zanemarivanja lanova vieg reda uz 0dt

xd o =

, dobija se linearizovani model

sistema: 0)t(x , z(*)Fu(*)Bx(*)Adt

)x(doooo =''+'+'=

'

,(2.181)

sa novim koordinatama stanja, upravljanja i poremeaja, dobijenim kao promene u odnosu na odgovarajue stacionarne vrednosti u trenutku t = to.

Matrice linearnog sistema A , B , F koje zavise od poetnog stanja ( ooo z,u,x

), izraunavaju se

prema sledeim relacijama:

o

o

o

o

o

o )t(z

(*)f(*) ,

)t(u

(*)f(*) ,

)t(x

(*)f(*)

=

=

= FBA , (2.182)

gde simbol "o

" oznaava vrednost naznaenog parcijalnog izvoda za t + to; oxx

= , ouu

= i ozz

= , a

simbol "(*)o" oznaava zavisnost oznaenih matrica od poetnog stanja varijabli )t,z,u,x( oooo

.


32

Linearizacijom jednaina (2.172)(2.177) dobijaju se sledee linearne diferencijalne jednaine sa fluksevima kao promenljivim stanja:

: Jednaine fluksa u podunoj osi:

( )( )dqoqoD

Dd

MDf

fd

MDd

d

MD

d

d _u___

LR_

LR_

L1

R

dt

_d+++++

= ,(2.183)

( )fD

Df

MDff

f

MD

f

fd

df

MDf

f uL

RLRL

Rdt

d'+'+'

'=

'1

, (2.184)

( )D

D

MD

D

Df

fD

MDDd

dD

MDD

D LRLRL

Rdt

d1

'

'+'=

'

. (2.185)

: Jednaine fluksa u poprenoj osi:

( )qdodoQ

Qq

MQq

q

MQ

q

q uL

RLR

dt

d'+'''+'

=

'

1

, (2.186)

( )Q

Q

MQ

Q

Qq

qQ

MQQ

Q LRLRdt

d1

'

'=

'

. (2.187)

: Jednaina konverzije:

,

2

2

QdoQq

MQqDo

Dd

MDfo

fd

MDdo

d

MQMD

DqoDd

MDfqo

fd

MDdQo

Qq

MQqo

d

MQMDc

LLLLL

LLLLLm

''

++

+

+'+'+'

='

(2.188)

: Jednaina mehanike ravnotee:

( )

,1

3

1

2

2

mjj

QdoQq

MQqDo

Dd

MDfo

fd

MDdo

d

MQMD

DqoDd

MDfqo

fd

MDdQo

Qq

MQqo

d

MQMD

j

mDLLLLL

LLLLL

dt

d

'+''

'

++

+

+'+'+'

=

'

(2.189)

: Jednaina promene ugla optereenja:( )

_dt

_d= . (2.190)

+

+

=

'

'

'

0mTm_m

0q_u

0f_ud_u

_

_Q_q_D_f_d_

0100000

0mT

Ddo

Qqm3T

MQLBqo

Ddm3TMDL

qofdm3T

MDLA

00)Q

MQL(1

Q

QR

qQ

MQLQR000

0doQq

MQRL)

q

MQL(1

q

R00o

0000)D

MDL(1DDR

fDMDLDR

dDMDLDR

0000Df

MDLfR)f

MDL(1ffR

dfMDLfR

0qo0oDd

MDRL

fdMDRL)

dMDL(1

d

R

dt

)d(dt

)d(dt

)Qd(_dt

)qd(dt

)Dd(_dt

)fd(_dt

)dd(_

_ _Q_q_D_f_d_


33

A =

Qo

Qq

MQLqo2

d

MQLMDL

j3

1

B =

+

+

Do

Dd

MDLfo

fd

MDLdo2

d

MQLMDL

j3

1

2.9. MODEL SINHRONE MAINE SA KONSTANTNOM EMS IZA SUBTRANZIJENTNE REAKTANSE

(E&MODEL)

Model sinhrone maine sa konstantnom EMS iza subtranzijentne reaktanse omoguuje analizu i subtranzijentnog perioda jer se uvaavaju i fenomeni vezani za prigune namotaje koji su bili zanemareni kod formiranja redukovanog modela sinhrone maine. Kako je zanemarena dinamika pobudnog namotaja ovaj model je u vanosti vrlo kratko nakon nastanka poremeaja(subtranzijeni period). Za formiranje ovog modela

u jednainama naponske ravnotee statora (2.142) i (2.143) zanemaruju se ems transformacije )dt

d( , kao

numeriki male vrednosti u odnosu na EMS rotacije ( ). Osim toga jo uzima se da je qd LL = i

n = .

Posmatra se situacija kada su rotorski namotaji kratko spojeni i sluaj kada se iznenada na krajeve statorskih namotaja nametenu trofazni prostoperiodini simetrini naponi. Neposredno posle dovoenja napona fluksevi pobudnog i prigunog namotaja ostaju nepromenjeni tj. imaju nultu vrednost to se moe zapisati na sledei nain:

ffDdddf iLiMiMt ++==+ 0)( (2.191)

fdDDddD iMiLiMt ++==+ 0)( (2.192)

na osnovu ega se mogu izraziti struje fi i Di :

ddDf

dDdf iMLL

MLMi

=2

2

, ddDf

dfdD iMLL

MLMi

=

2

2

(2.193)

kada se ove jednaine uvrste u jednainu 2.77 dobija se:

ddDf

dfDdd iMLL

MLLLt

+=+ )1)/(

2()(

2 (2.194)

U ovom trenutku mogue je definisati subtranzijentnu induktivnost po d:osi kao:

Ddd2 M1)/(

2+=

+=

dDf

dfDdd

MLL

MLLLL (2.195)

pa se jednaina 2.94 moe zapisati i u kompaktnijoj formi

ddd iLt =+")( (2.196)

to daje vrednost fluksnog obuhvata po d:osi neposredno posle dovoenja napona na statorske namotaje.

Na slian nain se moe definisati i subtranzijentna induktivnost po q:osi.


45

2.10.2.2. TROPOLNI KRATAK SPOJ NA KRAJEVIMA GENERATORA

Na krajevima generatora u 0.1 sekundi dolazi do "metalnog" (zanemaruje se otpornost elektrinog luka) tropolnog kratkog spoja pa krajevi generatora dolaze na nulti potencijal. Zanemarenje elektrinog luka je opravdano, jer se na taj nain dobijaju neto kritiniji rezultati, poto prelazni otpori na mestu kvara doprinose brem priguenju jednosmerne komponente struje kvara. Kratak spoj je modelovan dovoenjem dodatne impedanse pZ na nultu vrednost. Narednom jednainom dat je teorijski izraz za struju tropolnog kvara u

jednoj fazi npr. fazi a:

( )

( ( )

( ( )

( ) .e)cos(X

1

X

12cos

X

1

X

1

2

U2

tsineX

1

X

1Usin2

tcos)eX

1

X

1(e

X

1

X

1Ucos2

tcosX

E2i

a

q

dd

T

t

0qd

0qd

0T

t

qqi

0T

t

dd

T

t

dd0

0d

qa

+

+++

+

+

++

+

+

++=

(2.279)

Na sledeim slikama su dati dijagrami struja sve tri faze i pobudne struje tokom tropolnog kratkog spoja. Ovi dijagrami dobijeni su pomou potpunog matematikog modela, jednaine (2.253) : (2.265).

0 2 4 6 8 10 :4

:3

:2

:1

0

1

2

3 x 104 ia [A]

t [s]

0 2 4 6 8 10 :3

:2

:1

0

1

2

3

4 x 104 ib [A]

t [s]

Slika 2.19. Struja faze a. Slika 2.20. Struja faze b.

0 2 4 6 8 10 :4

:3

:2

:1

0

1

2

3 x 104 ic [A]

t [s]

0 2 4 6 8 10 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.2

2.4

2.6

2.8 x 104 if [A]

t [s]

Slika 2.21. Struja faze c. Slika 2.22. Pobudna struja.

Sa slika se moe videti da su struje nesimetrine, to je uobiajen sluaj zbog pojave aperiodine komponente. Simetrinost bi postojala samo u sluaju da se kratak spoj desi u trenutku, kada je fluks kroz posmatrani fazni namotaj jednak nuli, to bi uslovilo izostanak aperiodine komponente. U jednaini (2.279)


46

figurie ugao 0 , koji predstavlja ugao, koji u trenutku nastanka kratkog spoja zahvataju osa namotaja

pobude i osa namotaja faze a. Ovaj ugao je dakle sluajna veliina, pa je i oblik statorskih struja sluajan.

Jedino prvi lan iz (2.279) nema priguenje sa nekom vremenskom konstantom i on predstavlja trajnu struju kratkog spoja. Ustaljeno stanje poinje oko desete sekunde. Uoavaju se takoe subtranzijentni (0.10.5 s) i tranzijentni (0.510 s) period.

U poslednjem, etvrtom sabirku jednaine (2.279), mogu se razlikovati dve komponente: prva sa dvostrukom uestanou i druga koja je aperiodina. Aperiodina komponenta je posledica elektromagnetne inercije namotaja faza, koja ne dozvoljava skokovitu promenu struje kroz njega i moe biti objanjena teoremom o odranju fluksa. Za ilustraciju ove teoreme polazi se od opte naponske jednaine, npr. faze a:

dt

dRiu aaa += , (2.280)

Kada se zanemari omska otpornost (poto u odnosu na induktivnost ima malog uticaja), a napon postavi na nultu vrednost (dolo je do kratkog spoja), sledi da se nakon kratkog spoja u kolu uspostavlja jednosmerna struja, koja ne dozvoljava promenu fluksa. Ova struja sa svoje strane obrazuje polje magnetne indukcije, koje je nepokretno u odnosu na stator i koje u rotoru indukuje elektromotorne sile i struje krune uestanosti. Stvara se pulsirajue polje, koje se moe rastaviti na dva polja, koja se obru u suprotnim smerovima brzinom . Polje, koje se obre u smeru u kome i rotor, preseca statorske namotaje brzinom 2 i u njima indukuje struje iste uestanosti. Drugo rotorsko polje je nepokretno u odnosu na stator i uravnoteava se sa izvornim stojeim poljem.

Prema teoremi o odranju fluksa u pobudnom namotaju mora doi do indukovanja struje, koja e odrati konstantnim pobudni fluks uprkos demagnetiuem delovanju struja kratkog spoja statora. Ovo se moe videti sa slike 2.22. Ova indukovana komponenta pobudne struje, praktino, pojaava pobudu, pa i struje statora u tranzijentnom periodu moraju biti vee. Indukovana komponenta pobudne struje opada sa vremenskom konstantom pobudnog kola fT .

I za priguni namotaj vai teorema o odranju fluksa, pa se i u njemu indukuje struja koja praktino jo jae pobuuje rotor u odnosu na tranzijentni period. Ona odreuje ponaanje struje statora u subtranzijentnom periodu.

Poveanjem statorske struje dolazi do prelaznih pojava i u direktnoj i u poprenoj osi maine, jer su one magnetno spregnute i meusobno i sa namotom statora. Na sledeim slikama prikazane su promene uzdune i poprene komponente struje.

0 2 4 6 8 10 0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

4 4.5

5 x 104 id [A]

t [s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 :2.5

:2

:1.5

:1

:0.5

0 0.5

1

1.5

2 x 104 iq [A]

t [s]

Slika 2.23. Poduna komponenta struje. Slika 2.24. Poprena komponenta struje.

Drugi lan jednaine (2.279) posledica je prelaznih procesa u namotajima, koji deluju po d osi, a trei procesa, koji deluju po q osi. U poprenoj osi nema pobudnog namota, pa je qq XX = , te se prelazne

pojave u poprenoj osi zavravaju u subtranzitnom periodu. Zato se struja qi bre smiruje na stalnu vrednost

u odnosu na struju di , koja opada sa istom vremenskom konstantom kao i pobudna struja. Kako su u sluaju

"metalnog" kratkog spoja svi aktivni otpori jednaki nuli, moe se smatrati da je generator isto reaktivno optereen, pa zato struja qi pada priblino na nulu kao i cm (potrebno je zadovoljiti samo aktivne gubitke u

namotajima), to se moe videti i na slici 2.25.


47

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 :1.5

:1

:0.5

0

0.5

1

1.5

2 x 104 mc [kNm]

t [s]

Slika 2.25. Moment konverzije.


49

Qudt

dRiu d

qqq ++= . (2.293)

Odnosno, u matrinoj formi matematiki model voda glasi:

+

+

+

=

Q

D

q

d

Y

s

s

q

d

q

d

R

q

d

u

u

0:

0

dt

di

i

R

R

u

u

vv

, (2.294)

=

q

d

L

v

v

q

d

i

i

L

L

v

. (2.295)

2.11.1. Simulacije na modelu bloka generator&transformator

Simulink model bloka G:T je dat na slici 2.26.

Slika 2.26. Simulink model bloka G


50

0 5 10 15 20 25 30 0

5

10

15

20

25 Q [MW]

t [s]

0 5 10 15 20 25 30 58.415

58.42

58.425

58.43

58.435

58.44

58.445

58.45

58.455

58.46 P [MW]

t [s]

Slika 2.27. Reaktivna snaga. Slika 2.28. Aktivna snaga.

Na slici 2.27 se vidi porast reaktivne snage Q , koja je na kraju prelaznog procesa pozitivna to znai da blok isporuuje reaktivnu energiju mrei, odnosno da je generator u natpobuenom reimu.

U isto vreme, aktivna snaga se takorei ne menja. Sposobnost sinhrone maine da promenom pobude proizvodi, odnosno troi Q pri 0P je direktna posledica postojanja dve posebne skupine namota koje proizvode odgovarajua elektrina polja. Trofazne struje statora u statorskom namotu generiu tzv. Teslino obrtno polje, a jednosmerna pobudna struja generie rotorsko polje koje se zajedno sa njim obre sinhronom brzinom. Ova sposobnost se vidi i iz poznatih jednaina za reaktivnu i aktivnu snagu sinhrone maine sa isturenim polovima u stacionarnom reimu:

))2cos(1)(X

1

X

1(

2

U3)cosEU(

X

U3Q

dq

2

qd

+= , (2.296)

)X

1

X

1(

2

)2sin(U3sin

X

UE3P

qd

2

d

q

+= , (2.297)

vidi se da Q zavisi i od ugla optereenja , koje je direktno vezano sa P jednainom (2.295), i od

elektromotorne sile qE pri emu je:

fdfq iMifE == )( . (2.298)

Na slici 2.28 se vidi da pri poveanju pobude ipak dolazi do malog pada aktivne snage. Do ovoga pada dolazi jer u modelu nije zanemaren otpor statorskog namota, odnosno nisu zanemareni Dulovi gubici snage u bakru statora:

2cu RI3P = . (2.299)

Na slici 2.29 je prikazan vektorski dijagram pre i posle poveanja pobude.


51

q

d

I

U

XqIq

RI

Eq

Iq

Id d

q

Eq

XqIq

Xd

RI

U

I

XdId

a) b) Slika 2.29. Promena vektorskog dijagrama pri promeni pobude

a) pre poveanja, b) nakon poveanja.

Poveanjem pobude raste i elektromotorna sila E. Da bi bio zadovoljen vektorski zbir, mora porasti

poprena komponenta struje dI , to dovodi do zakretanja vektora stuje, a time vektora IR pa se mora

smanjiti i ugao optereenja . Kako je:

2q2d

2 III += , (2.300)

dolazi do poveanja modula struje, a time i do porasta Dulovih gubitaka. Ove promene direktne i poprene komponente struje se mogu videti i na slikama 2.30 i 2.31.

0 5 10 15 20 25 30 0

50

100

150

200

250 id [A]

t [s]

0 5 10 15 20 25 30 507.95

508

508.05

508.1

508.15

508.2

508.25

508.3

508.35 iq [A]

t [s]

Slika 2.30. Poduna komponenta struje. Slika 2.31. Poprena komponenta struje.

Na slici 2.32 je prikazano smanjenje ugla optereenja. Treba imati na umu da se radi o generatorskom reimu i da se menja od 0 do 2 . Na slici 2.33 prikazana je pobudna struja.

0 5 10 15 20 25 30 :47.1

:47

:46.9

:46.8

:46.7

:46.6

:46.5

:46.4 []

t [s]

0 5 10 15 20 25 30 1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

1.5

1.52

1.54 x 104 if [A]

t [s]

Slika 2.32. Ugao optereenja. Slika 2.33. Pobudna struja.


52

Moe se videti da do promene pobudne struje ne dolazi trenutno, ve da ona raste po eksponencijalnoj funkciji. U pobudnom namotu nagomilava se energija i potrebno je odreeno vreme da bi dolo do njene promene.

Do funkcije ( )ti f dolazi se reavanjem jednaine pobudnog kola:

dt

diLiRu fffff += , (2.301)

)eC(1i fTt

f

= , (2.302)

gde je:

f

ff R

LT = : vremenska konstanta pobude,

[ ]AC : konstanta koja se dobija iz poetnih uslova.

Na slikama 2.34 i 2.35 su prikazane brzina obrtanja i momenat konverzije.

0 5 10 15 20 25 30 314.154

314.155

314.156

314.157

314.158

314.159

314.16 [rad/s]

t [s]

4 5 6 7 8 9 10 3.7235

3.724

3.7245

3.725

3.7255

3.726 x 10

3 mc [kNm]

t [s]

Slika 2.34. Brzina obrtanja. Slika 2.35. Momenat konverzije.

Izraz za momenat konverzije je dat sledeom jednainom:

)X

1

X

1(

2

)sin(2U

P3sin

X

UE

P3mmm

qd

i2

sd

q

srsc

+=+= , (2.303)

gde je:

sm sinhroni moment,

rm reluktantni moment.

Na rotoru maine postoji priguni namotaj. Ovaj namotaj je kratko spojen i praktino analogan kaveznom namotu asinhronog motora. U ustaljenom stanju on ne igra nikakvu ulogu, ali zahvaljujui njemu pri svakom odstupanju od sinhrone brzine pored sinhronog i reluktantnog momenta javlja se i asinhroni momenat, i to uvek u smeru povratka na sinhronu brzinu. Asinhroni momenat u stacionarnom stanju je dat jednainom (2.302) .


53

2

r1

s2r

1

s

r1

s

2nf

a

)cX(X)s

Rc(R

s

R

3Um

+++

= , (2.304)

gde je:

s klizanje,

c Hopkinsov sainilac,

rs,X Reaktanse rasipanja statora, odnosno rotora.

Poveanjem pobude poveava se i sinhroni moment, odnosno i moment konverzije, dolazi do pada brzine i pojave asinhronog momenta. Zbog toga, kao to se vidi na slici 2.34, nakon poetnog usporenja rotor vrlo brzo ponovo dostie si

modelovanje - izdvojene lekcije

Documents