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Los modelos mulinivelcomo herramienta para la investigación educativa 

Fech de recepción: 25 DE JULIO 2008 | Fech de cepción: 19 DE agOStO DE 2008

Encuenre ese rículo en hp://www.jverin.edu.co/mis

Escrio por F. JaVIER MURILLO tORRECILLaUniversidad aUtónoma de madrid

 [email protected]

Transferencia a la práctica

Los modelos mulinivel consiuyen l meo-doloí de nálisis más decud pr r-r dos “jerrquizdos” o “niddos” (porejemplo, los esudines en uls, o ls uls

en escuels), lo que l conviere en un es-rei imprescindible pr l invesicióneduciv de crácer cuniivo. así, de-más de mejorr l clidd de los resuldos,posibili relizr nálisis novedosos, lescomo esimr l porción de cd nivel denálisis (l del efeco del ul o l escuel) ols inercciones enre vribles de disinosniveles. De es form se esá en mejorescondiciones de relizr esudios sobre fco-res socidos, sobre vlor redo o sobreequidd educiv, enre oros.

Resumen

Los modelos mulinivel, o modelos jerárqui-co-lineles, se consiuyen como uno de losméodos de nálisis en invesición cuni-iv más ineresnes de los enerdos enlos úlimos ños. En ese rículo se preen-de relizr un inroducción los mismos rvés de su plicción en un invesiciónconcre. De es form se presen unnálisis de los fundmenos de los modelosmulinivel, se nliz el proceso de modeljecon un ejemplo rel, y se finliz reflexio-nndo sobre de ls porciones y uiliddesde es meodoloí de nálisis.

Palabras clave

Modelos mulinivel, méodos de invesi-ción, invesición educiv, nálisis es-dísico, eficci escolr.

Palabras clave descriptor

Invesición pedóic, meodoloí cien-ífic, efecividd de l educción, nálisisesdísico.

Multilevel Models as a Tool for Research in Education

Modelos Multi-Nível Como Ferramenta Para a Pesquisa Educativa

Para citar este artículo | To cite this ar ticle | Para citar este artigo: 

Murillo torrecill, F. J. (2008). Los modelos mulinivel como herrmien pr l invesición educiv. Magis, Reista

Internacional de Inestigación en Educación, 1, 45-62.

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Resumo

Os modelos muli-nível, ou mo-delos hierárquico-lineis, são umdos méodos de nálise mis in-

eressnes n pesquis quni-iv produzidos nos úlimos nos.O objeivo dese rio é pre-senr os méodos rvés d suplicção num pesquis con-cre. Des form, presen-seum nálise dos fundmenos dosmodelos muli-nível, nlis-se oprocesso de modelem com umexemplo rel, e finliz-se comum reflexão sobre os pores euiliddes des meodoloi denálise.

Palavras chaves

Modelos Muli-Nível,Méodos de Pesquis,Pesquis Educiv, análise

Esdísico, Eficáci Escolr

Palavras chaves

descritor

Pesquis Pedóic,Meodoloi Cienífic,Eficiênci d Educção,análise Esdísico

Transferência à pratica

Os modelos Muli-nível consi-uem meodoloi de nálisemis dequd pr rr ddos

hierrquizdos ou niveldos (porexemplo, os lunos num ul,ou s uls num escol), o que convere num esréi essen-cil pr pesquis educiv decráer quniivo. assim, lemde melhorr qulidde dos resul-dos, possibili relizr nálisesinovdores, is como esimr opore de cd nível de nálises(do efeio d ul ou d escol) ous inerções enre vriáveis de di-ferenes níveis. Des form, emmelhores condições pr relizrpesquiss sobre fores ssoci-dos, sobre vlor redo o sobreequidde educiv, enre ouros.

SummaryMulilevel models, or hierrchic-linel models, re one of he mosineresin models enered inrecen yers in quniive re-serch nlysis mehodoloies.this ricle ims o presen hesemodels hrouh heir pplicionin reserch. In his mnner, hesudy presens n nlysis of hefoundions for mulilevel models.the modelin process is nlyzedin rel-life smple, concludinwih reflecion bou he con-ribuions nd uiliies of his me-hodoloy of nlysis.

Key words author

Mulilevel Models,Reserch Mehodoloy,Educionl Reserch,Sisicl anlysis, SchoolEfficcy Key words plus

Educionl Reserch,Scienific Mehodoloy,Educionl Efficiency,Sisicl anlysis

Transference to practiceMulilevel models re he mospproprie nlysis mehodoloyfor hierrchicl d (for exmple,sudens in clss, or clsses in school), which mkes i n indis-pensble srey for quniiveeducionl reserch. Besides im-provin he quliy of he resuls,i llows for innovive nlyses,such s esimin he conribu-ion of ech level of nlysis (heeffec of he clss or school) or heinercions beween vribles ofdifferen levels. In his mnner, iis possible o relize beer sudiesbou ssocied fcors, bouree vlue, or bou educ-ionl equliy, mon ohers.

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Descripción del artículo | Article

description | Artigo Descrição: 

arículo me-invesiivo cenrdo en lpresención e ilusrción de meodoloísde nálisis de dos pr invesiciones enel áre educiv.

Introducción

Hce más de dos décds, aikin y Lonford (1986), dos memái-cos inleses, escribieron un sencillo rículo que revolucionó el mundo del invesición educiv. En él demosrbn que los modelos de rere-sión linel, écnic usulmene uilizd pr esudir cómo un conjunode vribles explicbn un vrible produco, sólo podí ser empled

en un cso muy especil: cundo ls observciones ern independienes(gelmn & Hill, 2006; goldsein 2003; Heck & thoms, 2000; Hox, 1998).Sin embro, l relidd de nuesros sisems educivos, donde los esu-dines esán rupdos en uls o cursos, disins uls esán rupdsen escuels y ls escuels en disrios o provincis o reiones o píses, hceque eso no se ciero. Efecivmene, los esudines de un mismo rupocompren un serie de experiencis diferenes los de ors uls, l iulque ls uls de un escuel ienen l mism dirección o el mismo climescolr, inslciones enerles, ec., y náloos comenrios pueden serdichos de ls esuels de un pís que se ven fecds por deermindspolíics educivs.

a prir de ese nálisis críico, aikin y Lonford (1986) propusieron

un écnic de nálisis que h mrcdo l invesición educiv desdeenonces: los Modelos Mulinivel (o Modelos Jerárquico-Lineles). Ésosreconocen y mnejn l ornizción jerárquic de los sisems educi-vos (esudines en ul, uls en escuels, escuels en píses) y ofrecenresuldos con un menor incidenci de los errores de esimción (p.ej.goldsein, 2003; Rudenbush & Bryk, 2002).

trdicionlmene un de ls decisiones más impornes l desrro-llr invesiciones cuniivs en ls que se nlizn conjunmene v-ribles de esudines juno con ors de ul (por ejemplo, l meodoloídocene) o de escuel, er seleccionr l unidd de nálisis que se v uilizr. Básicmene, se enín dos lernivs: por un pre, que l uni-dd se el esudine individul, con lo cul se recoerín los dos de cdsujeo de mner independiene. Con ello, l bse de dos esrí confor-

md por un conjuno mplio de sujeos de los cules enemos un seriede vribles, enre ls que esrán los dos referidos l ul, por ejemplo:ls crcerísics del profesor y ls del cenro donde curs sus esudios. Lor posibilidd es que l unidd de nálisis se el cenro o el ul. En esecso los dos de los lumnos se rupn (normlmene promediándolos)y se incluyen en los dos de cd ul o cenro.

ambs opciones resuln errónes. aquellos que uilizn ls pun-uciones de los sujeos direcmene pueden cer en l llmd flciomísic, por l cul se ribuyen ls diferencis en ls vribles de lossujeos ls uls o los cenros. además, los modelos de reresión linelesdescnsn en el supueso de independenci de ls observciones y, comocomprir el mismo conexo cus su dependenci, los errores esándresimdos de ls pruebs esdísics rdicionles precerán clrmene

subesimdos y ello conducirá irremisiblemene que l myorí de losresuldos sen sinificivmene espurios (Hox, 1995). L lerniv derbjr con los dos rupdos es incluso peor: se pierde un rn cni-dd de informción, con lo que disminuye l poenci del nálisis esdís-ico. además, se puede cer en l llmd flci ecolóic por l cul seoorn incorrecmene ls crcerísics del conexo los sujeos (Hill& Rowe, 1996; Hox, 1998; goldse in, 2003).

L lerniv pr es disyuniv son los llmdos Modelos Muli-nivel. Los mismos rbjn con mbs (o res, o más) uniddes de nálisisde form simuláne. Efecivmene, proponen un esrucur de náli-

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sis denro de l cul se pueden reconocer los disin-os niveles en que se riculn los dos, pues cdsubnivel esá represendo por su propio modelo. Conello, los Modelos Mulinivel respen l ornizción

  jerárquic que presenn los dos educivos de for-m nurl, los lumnos esán rupdos en uls, lsuls en cenros docenes y los cenros en conexos

(disrios escolres, comuniddes uónoms, píses,ec.), elborndo un submodelo diferene pr cdnivel. Cd uno de esos submodelos expres l rel-ción enre ls vribles denro de un deermindo nively especific cómo ls vribles de ese nivel influyen enls relciones que se esblecen en oros niveles (Mu-rillo, 1999).

En ese rículo se preende relizr un inro-ducción los Modelos Mulinivel rvés de su pli-cción en un invesición concre. De es form,hemos ornizdo ese rículo en res prdos: enl primer hcemos un nálisis de los fundmenos de

los modelos mulinivel; en seundo érmino, nliz-mos el proceso de modelje mulinivel con un ejemplorel; por úlimo, reflexionmos cerc de ls por-ciones y uiliddes de es meodoloí de nálisis.

Fundamentos de los Modelos Multinivel

Los modelos mulinivel son, en esenci, m-pliciones de los modelos de reresión linel clásicos;mpliciones medine ls cules se elborn vriosmodelos de reresión pr cd nivel de nálisis (Rei-se & Dun, 2003; Bickel, 2007). Con ello los modelos

del primer nivel esán relciondos por un modelo deseundo nivel en el que los coeficienes de reresióndel nivel 1 se reresn en un seundo nivel de vri-bles explicivs, y sí sucesivmene pr los diferenesniveles. Pero nes de profundizr mínimmene en eldesrrollo forml de los modelos mulinivel vmos presr ención res concepos fundmenles y susimplicciones: correlción inrclse, coeficiene fijo yleorio, e inercción inernivel.

Tres conceptos clave Se eniende por correlación intraclase o auto-

correlación l medid del rdo de dependenci de

los individuos. Es decir, es un esimción de lo quecompren los lumnos por esudir en un mismclse o cenro. Un correlción bj o cercn cerosinificrá que los sujeos denro del mismo rupo sonn diferenes enre sí como los que perenecen orosrupos. En ese cso, l rupción no iene consecuen-cis, los rupos no son homoéneos inernmene yls observciones son independienes (requisio nece-srio denro de los modelos lineles rdicionles). Sise inor l presenci de es correlción inrclse,

los modelos resulnes son innecesri y flsmenecomplejos, ddo que precen relciones sinificivsinexisenes.

Oro concepo fundmenl, y que supone lrn porción de los modelos mulinivel, es el de co-

eficiente fijo y coeficiente aleatorio. En los modelos dereresión clásicos los prámeros que se esimn son

el inercepo (o puno de core) y ls pendienes. Des-de un perspeciv clásic, esos coeficienes se su-men como fijos, es decir, comunes odos los sujeosy son esimdos prir de los dos. Los coeficienesleorios, sin embro, son vribles y se disribuyenseún un función de probbilidd. En un esrucurmulinivel los coeficienes del primer nivel (lumnos)son rdos como leorios en el seundo nivel (cen-ros o uls). En los modelos mulinivel se permie losrupos desvirse de l solución cenrl o lobl, noen el inercepo como en l pendiene. O, lo que es lomismo, los modelos mulinivel esán compuesos por

dos pres, un enerl, común odos los conexos,que es l llmd pre fij, y or que represen loespecífico de cd conexo, que vrí y que se esim rvés de l vrinz en los disinos niveles.

Un ercer concepo imporne es l interacción

interniel  o l inercción enre vribles que esánmedids en diferenes niveles de un esrucur jerár-quic de dos. Ello hce referenci l inercciónque puede hber enre vribles de diferenes niveles,por ejemplo, deermind meodoloí docene pue-de ser mejor con cieros esudines (el llmdo efecoapiude tremen Inercion-atI), o un esilo direc-ivo con profesores de deerminds crcerísics. L

comprobción de ese ipo de hipóesis necesi unmodelo de nálisis que no sólo dé cuen de l esruc-ur jerárquic de los dos, sino que mbién permiesimr ls inercciones inerniveles.

Denición formal de los modelos multinivel 

Como hemos señldo, los modelos mulinivelson, en esenci, mpliciones de los modelos de re-resión linel clásicos, de l form que en reliddson vrios modelos lineles pr cd nivel. así, losmodelos del primer nivel esán relciondos con unode seundo nivel en el que los coeficienes de rere-sión del nivel 1 se reresn en un seundo nivel de

vribles explicivs y sí sucesivmene pr los di-ferenes niveles.

Veámoslo prir de un ecución de reresiónlinel sencill con dos vribles independienes:

Si permiimos que el inercepo pued omrdiferenes vlores en función de un seundo nivel, lecución quedrá:

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donde es l vrible respues que iene un lum-no i en un escuel j

es el error y se disribuye normlmene con

un vrinz consne e iul ,es el promedio de y de l escuel j-ésimrepresen el “rn promedio” de y pr l

poblción, yy es el efeco leorio socido l escuel

 j-ésim y se supone que iene medi cero y un vrin-z .

Si, demás de hcer vrir el inercepo, permii-mos que ls pendienes sen diferenes pr cd es-cuel, enemos l siuiene ecución:

Nivel 1:

Nivel 2:

Con

Pr más niveles, el plnemieno es náloo.

El proceso de modelización mediante un

ejemplo

El “meollo de l cuesión” de ipo écnico de eserbjo es relizr el proceso de modeldo mulinivel.Fundmenlmene se r de obener el modelo que,priendo de l propues eóric, mejor se juse losdos (Murillo, 2004).

Pr ilusrr dicho proceso vmos uilizr losdos de un esudio “orodoxo” de eficci escolr,

en el cul se busc conocer los fcores escolres so-cidos l rendimieno de los esudines. Pr ello,se cuen con un vrible produco: el rendimienoen Memáics, y un serie de vribles explicivsrupds seún l función que relizn: vribles deproceso y de conexo y enrd. En ese rículo noscenrmos en el nálisis meodolóico y dejremos deldo l inerpreción de los resuldos (el lecor ine-resdo puede consulr los resuldos de l invesi-ción en Murillo, 2006, 2008).

Básicmene, podemos esblecer en curo p-sos dicho proceso. Cd uno de ellos drá lur unoo vrios modelos esdísicos:1. Modelo Nulo (modelo I)2. Modelo con ls vribles de juse (modelo II)3. Conjuno de modelos pr los fcores de proceso(modelo III) y de enrd y conexo (modelo IIIb)

4. Modelo finl (modelo IV)5. Verificción del cumplimieno de los supuesos

 Modelo nuloEl modelo nulo (null model ) o modelo vcío es

el puno de prid del proceso modeldo. Conieneúnicmene un vrible respues y l consne (oinercepo o puno de core), es decir, ninun vriblepredicor. De es form, el modelo posee efecosleorios en los dos niveles y no incluye vribles ex-plicivs en ninuno de ellos. El modelo nulo se es-blece como líne de bse pr l esimción de l

vrinz explicd prir de l cul se vn evlundols porciones de modelos más elbordos.Pr nuesro cso, de modelo con dos niveles, l

ecución serí:

Nivel 1:

donde es el rendimieno, en culquier v-rible coniiv o no-coniiv, que iene un lumno ien un escuel j, y

es el error y se disribuye normlmene conun vrinz consne e iul

es el p

 

romedio de y de l escuel j-ésim.

Es decir,

Nivel 2:

donde represen el “rn promedio” de ypr l poblción, y

y es el efeco leorio socido l escuel  j-ésim y se supone que iene medi cero y un v-rinz .

Los elemenos que se esimn son: , (vrinz del nivel 1) y (vrinz del nivel 2) y lrzón de verosimiliud. es l vrinz de l verd-der medi de l escuel respeco l medi de ods

ls escuels de l muesr (l rn medi). L rzónde verosimiliud: servirá pr irevlundo ls diferenes porciones l modelo.

En ese ejemplo, el modelo nulo que vmos esimr es:

Nivel 1:

Nivel 2:

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 Y los resuldos son:

• = 51,054, con error estándar = 0,585

• = 100,407, con error estándar = 8,818

• = 233,455, con error estándar = 4,171

• Razón de verosimilitud = 55.435,720, para los 6.598 casos

 Modelo II, con variables de ajuste L seund fse es l esimción del modelo II, o modelo con v-

ribles de juse. Ese modelo se consruye prir del modelo nulo peroincorporándole, no en l pre fij como en l leori, ls curo vri-bles considerds en nuesro rbjo como vribles de juse.

De es form, y pr el cso de res vribles de juse, el ModeloMulinivel que se esper conseuir es:

Nivel 1:

Nivel 2:

Con

Los psos seuir pr esimrlo son los siuienes:) Incorporción de ls curo vribles de juse en l pre fij del

modelo.De es form, ls ecuciones se converirán en:

Nivel 1:

Nivel 2:

donde es l ordend promedio de ls uniddes de nivel 2,y son ls pendienes promedio de l reresión de

ls uniddes de nivel 1, yes el incremeno único del inercepo socido l unidd jésim

del nivel 2.

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Pr odo el proceso se uilizrá l esimción medine el procedi-mieno de mínimos cudrdos ierivos enerlizdos (iteratie genera-

lised least squares-IgLS) (goldsein, 2003).Pr el ejemplo seuido, el modelo esimr es el siuiene:

Nivel 1:

Nivel 2:

El primer pso es l inroducción de ls vribles en l pre fij delmodelo. El modelo serí:

Nivel 1:

Nivel 2:

Los resuldos de l esimción son los siuienes (tbl 1):

= 51,130079, con error estándar = 0,543

= 4,037, con error estándar = 0,220

= 0,170, con error estándar = 0,393

= 1,078, con error estándar = 0,215

= 1,308, con error estándar = 0,277

= 70,992, con error estándar = 6,467

= 222,581, con error estándar = 3,977

Razón de verosimilitud = 55.033,980, para los 6.598 casos

 

tbl 1Resultados “brutos” del modelo multiniel con ariables deajuste sólo en la parte fija para matemáticas

 

Es. SE

Parte fija

Inercepo 51,08 0,54

SES 4,04 0,22

Vrón-Mujer 0,17 0,39

años-preesc 1,08 0,22

SES-escuel 1,31 0,28

Parte aleatoria

Enre escuels 70,99 6,47

Enre lumnos 222,58 3,98No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr)

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   V   O   L   U   M   E   N   1   /   N    Ú   M   E   R   O   1   /   J   U   L   I   O  -   D   I   C   I   E   M   B   R   E   D   E   2   0   0   8   /   I   S   S   N   2   0   2   7  -   1   1   7   4   /   B   O   g

   O   t    á  -   C   O   L   O   M   B   I   a   /   P        i  n     4   5  -   6   2

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El seundo pso es decidir sobre l inclusión o no de cd unde ls curo vribles explicivs inroducids en el modelo. Pr ello,plicndo l t de Student, se observ que ls pendienes de ods ells,excepo l de l vrible género, son sinificivs (tbl 2).

 

De es form, se elimin l vrible género del modelo con vriblesen l pre fij y se vuelve esimr (tbl 3).

El siuiene pso es ñdir, un un, ls dos vribles del nivel 1que permnecen en l pre leori del modelo. Es decir, se r deesimr:

Nivel 1:

Nivel 2:

trs incluir l vrible “Siución socioeconómic de ls fmilis” en lpre leori del modelo y relizr l esimción se observ que ,con lo que no es esdísicmene sinificiv su porción. Ello mbién severific si se nliz l vrición de l rzón de verosimiliud, ddo que perm-nece excmene iul. así, qued clr su no incorporción en el modelo.

L inclusión de l vrible “años de preescolrizción” en l pr-e leori del modelo no ofrece resuldos n sencillos de observr simple vis. Pr verificr su esimción enemos que relizr un pruebde con ls rzones de verosimiliud obenids pr comprobr si exis-

tbl 2Resultados de la t de student para las pendientes de las

ariables del modelo i con ariables de ajuste sólo en la partefija para matemáticas y decisión

Decisión

SES 18,36 Rechzo H0 → Incluyo

Vrón-Mujer 0,43 acepo H0 → Elimino

años-preesc 4,90 Rechzo H0 → Incluyo

SES-escuel 4,67 Rechzo H0 → Incluyo

tbl 3

Resultados “limpios” del modelo multiniel con ariables deajuste sólo en la parte fija

Es. SE

Parte fija

Inercepo 51,078 0,54

SES 4,03 0,22

Vrón-Mujer NS

años-preesc 1,09 0,21

SES-escuel 1,31 0,28

Parte aleatoria

Enre escuels 71,06 6,47

Enre lumnos 222,58 3,98

No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)SE: Sndr Error (Error Esándr)

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en diferencis sinificivs. Ess rzones son 55.034,150 y 55.030,820respecivmene. Con 1 rdo de liberd, l probbilidd es de 0,06827.Asumiendo, como siempre, un = 0,05, se acepta la hipótesis nula, con lo

que mpoco se incluye es vrible en l pre leori del modelo.Con ello, se deberí ener el modelo II finl; sin embro, si se incor-

por l vrible género, neriormene elimind en l pre leori, seobserv que su porción es sinificiv. Efecivmene, si se uiliz de

nuevo l prueb con ls esimciones de ls rzones de verosimiliud(55.034,150 y 55.021,810 respecivmene), con 1 rdo de liberd, lprobbilidd es de 0,00044. asumiendo, como siempre, un = 0,05, se

rechz l hipóesis nul, con lo que qued incluid en el modelo. Comolueo se verá, eso sinific que exise un efeco diferencil de los cenrosrespeco l énero de los lumnos en su rendimieno memáico. El mo-delo resulne, con es curios siución, es:

Nivel 1:

Nivel 2:

Los resuldos de l esimción se reflejn en el bl 4.

 Modelos III, con variables de ajuste y variables de proceso, y de entrada y de contexto

L ercer rn fse consise en l esimción de dos diferenes mo-delos mulinivel: el llmdo modelo III, en el cul se ñdirán ls vri-bles de proceso l modelo II, y el modelo IIIb en el cul se ñdirán lsvribles de enrd y conexo:

Modelo III, con vribles de juse y vribles de proceso:

Nivel 1:

tbl 4Resultados del modelo multiniel ajustado

 

Es. SE

Parte fija

Inercepo 51,01 0,51

SES 4,05 0,22

Vrón-Mujer NS

años-preesc 1,01 0,21

SES-escuel 1,31 0,28

Parte aleatoria

Enre escuels 70,13 7,41

Enre lumnos 219,50 4,02No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr)

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   O   t    á  -   C   O   L   O   M   B   I   a   /   P        i  n     4   5  -   6   2

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Nivel 2:

Modelo IIIb, con vribles de juse y vribles de enrd y conexo: Nivel 1:

Nivel 2:

Mienrs que los modelos I y II se esimrán pr cd un ls nuevevribles de produco que enemos, es ercer fse sólo se esimrá prquells vribles respues que resulen ineresnes. Los crierios de se -

lección serán: l disponibilidd de dos y que dichs vribles respuesenn efecos escolres sinificivos.El procedimieno seuir pr su esimción será náloo l de l

fse nerior. En primer lur se inroducirá cd un de ls vribles enel modelo y se nlizrá si su porción es sinificiv. a coninución,se elborrá un modelo con ods ls vribles que hn resuldo sinifi-civs.

Pr el ejemplo uilizdo, los resuldos son los siuienes: pr elmodelo III, con vribles de proceso:

tbl 5Resultados del modelo multiniel IIIa (con ariables de

 proceso), para rendimiento en matemáticas

Es. SE

Parte fija

Inercepo 50,73 0,50

SES 4,00 0,22

años-preesc 1,09 0,21

SES-escuel 1,12 0,27

Meodoloí rb. individul 1,24 0,56

Clim escolr 1,37 0,50

Compromiso fmilis 2,40 1,16

Recursos 1,17 0,49

Parte aleatoria

Enre escuels 67,20 7,18

Enre lumnos 219,50 4,02No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr)

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 Y pr el Modelo IIIb, con ls vribles de enrd y conexo:

  Modelo IV. Final 

El úlimo pso del proceso de modelje será l esimción del mode-lo finl con l incorporción de ods ls vribles seleccionds en el mo-delo eórico. Pr el cso esudido, el modelo finl, con ods ls vriblesse observ en l tbl 7.

Nivel 1:

Nivel 2:

Sin embro, dicho modelo lo considermos provisionl ddo quees posible opimizrlo medine un doble esrei: por un ldo incor-poremos efecos de inercción en el modelo y esudiremos si su por-ción es sinificiv. Por oro, esudiremos l exisenci de outliers quepudiern esán “ensucindo” el modelo con su ex rño compormieno.

así, poniendo en mrch l primer de ls esreis, ddo queenemos dos vribles dummy (género y tiulridd), incorporremos 17nuevs vribles consruids prir de l inercción de cd vribledummy con cd un de ls ors (8+8+1). En l tbl 8 se presenn losresuldos.

Como se puede observr, un únic vrible de inercción, iulridd/ nivel socioeconómico de los lumnos, reliz un porción sinificiv.tmbién verificmos es inercción con ors vribles, pero ninun hceun porción sinificiv. Con ello enemos un vrible más pr incluiren el modelo. Ese modelo provisionl 2 se presen en l tbl 9.

tbl 6Resultados del modelo multiniel IIIb (con ariables decontexto y entrada), para rendimiento en matemáticas

Es. SE

Parte fija

Inercepo 50,38 0,66

SES 3,9 0,22

años-preesc 1,07 0,21

SES-escuel 0,64 0,28

Experienci docene 0,66 0,29

Número de repeidores -0,63 0.11

tmño del cenro 0,68 0,33

tiulridd 2,84 1,05

Parte aleatoria

Enre escuels 56,39 6,34

Enre lumnos 219,50 4,02No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr) 

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Figura 1. Relción enre los residules esndrizdos y lsdesviciones esándr del inercepo y l vrible énero,pr el modelo IV pr memáics.

L seund esrei de opimizción es hcerun nálisis pr deecr l exisenci de outliers quepudiern esr lerndo el juse del modelo. Prello, un buen cmino es relizr un explorción rá-fic de l relción enre los residules esndrizdosy ls dos vribles incluids en l pre leori (elinercepo y el género) (Fiur 1).

En dicho nálisis deecmos l exisenci de cu-

ro cenros docenes que podemos considerr comooutliers. Dos de ellos precen en l relción enre lpunución normlizd y l desvición esándr del in-ercepo y los oros dos en l relción enre los residu-les normlizdos y l desvición esándr del énero.Pr l opimizción del modelo vmos scr esoscenros del conjuno de los cenros pr incorporrlosde form independiene. Los resuldos de l esim-ción de su porción se ofrecen en l tbl 10.

De es form enconrmos que, efecivmen-e, dos cenros relizn un porción sinificiv lmodelo l ser inroducidos de form individul, y esosdos mismos cenros juno con oros dos relizn unporción sinificiv en inercción con l vriblegénero. Sin embro, l incorporr conjunmene lsseis nuevs vribles en el modelo, desprece l por-ción de dos de ells.

Con odo ello enemos, por fin, el modelo IVfinl (tbl 11). Pero nes de nlizrlo con delle,vmos verificr que se cumplen los supuesos y, porúlimo, vlorremos su clidd prediciv.

tbl 8Resultados de la incorporación de cada una de las ariablesde interacción y decisión, para rendimiento en matemáticas

Es. SE de

sudenDecisión:¿Incluir?

Mujer/ 

SES 0,17 0,40 0,43 Noaños-preesc -0,23 0,40 -0,58 No

SES-escuel -0,09 0,24 -0,38 No

Clim ul -0,30 0,44 -0,68 No

Compromisopdres

1,39 1,07 1,30 No

Experiencidocene

-0,15 0,26 -0,58 No

Número derepeidores

0,19 0,12 1,58 No

tmño del cenro 0,03 0,28 0,11 No

tiulridd 0,70 0,70 1,00 No

Privdo/ SES -1,06 0,44 -2,41 Sí

años-preesc 0,12 0,43 0,28 No

SES-escuel -0,37 0,54 -0,69 No

Clim ul -0,81 1,02 -0,79 No

Compromisopdres

-0,17 2,51 -0,07 No

Experiencidocene

-0,44 0,56 -0,79 No

Numero derepeidores

0,11 0,23 0,48 No

tmño del cenro -0,35 0,64 -0,55 No

No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)SE: Sndr Error (Error Esándr)

tbl 7Resultados del modelo multiniel Iv proisional 1, pararendimiento en matemáticas

Es. SE

Parte fija

Inercepo 50,30 0,65

SES 3,94 0,22

años-preesc 1,09 0,21

SES-escuel 0,68 0,27

Clim ul 1,71 0,48

Compromiso pdres 1,99 1,00

Experienci docene 0,71 0,28

Numero de repeidores -0,45 0,11

tmño del cenro 0,71 0,32

tiulridd 2,81 1,02

Parte aleatoria

Enre escuels 53,71 6,34

Enre lumnos 219,54 4,02No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr)

Vericación de los supuestos aquí no concluye el proceso de modeldo. trs l

obención del modelo IV, fln dos res por rel izr:verificr que se cumpln los supuesos de los ModelosMulinivel y esudir l clidd del modelo.

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tbl 9Resultados del modelo multiniel Iv proisional 2, pararendimiento en matemáticas

Es. SE

Parte fija

Inercepo 50,43 0,65

SES 4,43 0,31

años-preesc 1,09 0,21

SES-escuel 0,68 0,27

Clim ul 1,71 0,48

Compromiso pdres 1,99 1,00

Experienci docene 0,71 0,28

Número de repeidores -0,45 0,11

tmño del cenro 0,71 0,32

tiulridd 2,81 1,02

Privdo/SES -1,06 0,44

Parte aleatoria

Enre escuels 53,61 6,10

Enre lumnos 219,37 4,01No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

SE: Sndr Error (Error Esándr)

tbl 10Resultados de la incorporación de cada una de las ariables

 pertenecientes a escuelas indiiduales y decisión para ren-dimiento en matemáticas

Es. SE de

SudenDecisión:¿Incluir?

Escuel 325 -20,28 7,93 -2,56 Sí

Escuel 156 27,43 8,30 3,30 SíEscuel 233 1,27 8,27 0,15 No

Escuel 299 -7,48 8,00 -0,93 No

Escuel 325/mujer -15,77 6,64 -2,38 Sí

Escuel 156/mujer 20,28 7,33 2,77 Sí

Escuel 233/mujer -20,72 7,42 -2,79 Sí

Escuel 299/mujer 26,00 6,60 3,94 Sí

No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)SE: Sndr Error (Error Esándr) 

tbl 11Resultados del modelo multiniel Iv final para rendimiento enmatemáticas

Modelo IV. Rdo. en Memáics Es. SE

Parte fija

Inercepo 50,43 0,65

SES 4,43 0,31

años-preesc 1,09 0,21

SES-escuel 0,68 0,27

Clim ul 1,71 0,48

Compromiso de los pdres 1,99 1,00

Experienci docene 0,71 0,28

Numero de repeidores -0,45 0,11

tmño del cenro 0,71 0,32

tiulridd 2,81 1,02

Privdo/SES -1,06 0,44

Escuel 325 -20,10 7,87

Escuel 156 27,38 8,24

Escuel 233/mujer -20,65 7,16

Escuel 299/mujer 25,57 6,43

Parte aleatoria

Enre escuels 51,36 5,91

Enre lumnos 219,40 4,01

No: SES: Socio Economicl Sus (Esus Socio Económico)

3. El error debe ener un disribución Normlpr que se puedn inferir los resuldos de l muesr l poblción.

En érminos memáicos: 

Un esrei hbiulmene uilizd pr com-

probr los supuesos 2 y 3 (independenci y normli-dd del error) es medine un nálisis ráfico de losresiduos. De es form se represenn, medine unráfico de dispersión, l relción enre los elemenos delerror de dos en dos y se verific si hy lun relción.

Pr verificr l normlidd del error hbiul-mene se nliz el ráfico QQ (o QQ-plo). En eseráfico, en el eje de ordends se represenn los resi-duos escolres esndrizdos y, en el eje de bsciss,el respecivo vlor esperdo de l disribución Norml

Los Modelos Mulinivel, como culquier mode-lo de reresión, ienen lunos supuesos de prid,

sin cuyo cumplimieno ls esimciones obenids noson correcs. Los principles supuesos recen sobreel error del modelo, , y su cerificción se reliz rvés del nálisis de los residuos ê. Esos supuesosson los siuienes:

1. El error iene medi nul y vrinz consn-e, es decir, el error es homocedásico.

2. Los componenes leorios y el vlor previs-o son oroonles.

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enre el vlor previso y el componene leorio delinercepo es de 0,0424 y enre el vlor previso y elcomponene leorio de l vrible énero de 0,0433.Es decir, podemos firmr que se cumple el seundosupueso.

El ercer supueso pr los errores de nivel 2mbién v ser verificdo medine el nálisis ráfi-

co. L fiur uilizd pr ello y fue mosrd prhcer un nálisis de outliers (Fiur 1) por lo que nosremiiremos ell. Como se puede observr, los pun-os siuen con un rn proximción l dionl, porlo que se verific el supueso de su disribución Nor-ml. Por no, el modelo finl cumple perfecmenelos supuesos.

Sólo nos res hcer un nálisis de l clidd delmodelo resulne en érminos de su cpcidd pre-diciv. Como hemos viso, és se esim medine elllmdo Coeficiene de deerminción, R2. En el bl12 se hn recoido no ls rzones de verosimiliudcomo los Coeficienes de deerminción oles de se-

undo y primer nivel.El modelo finl explic el 19% de l vrinz o-

l, csi el 50% de l vrinz enre cenros y pens el6% de l vrinz enre lumnos. L escs vribiliddde los lumnos explicd por el modelo iene su cusprincipl en que se esán buscndo fcores de cenroy ul socidos con el rendimieno. Si hemos viso queesos fcores explicn lo más del 9% de l vrinzol, l cifr lcnzd es rzonble.

esndrizd. Cundo los residuos esán normlmen-e disribuidos, los punos del ráfico se siún en llíne dionl.

El úlimo pso es evlur l clidd del mode-lo finl. Básicmene lo que nos impor es conocercuán vrinz de l escuel y del lumno es expli-cd por el modelo. Serí un vlor de su cpcidd

expliciv. Se esim rvés del llmdo Coeficienede deerminción R2 (Lonford, 1993). Si el inercepopens iene vrinz leori l vrinz ol serál sum de ls vrinzs de los niveles 1 y 2 ( ).De es form, podremos esimr el coeficiene dedeerminción ol R2, sí como el coeficiene de de-erminción pr el nivel 1 (lumno), R

12, pr el 2 (es-

cuel), R22, con l siuiene fórmul:

 

donde ar(final) represen l vrinz residulen el modelo cuyo poder explicivo se preende ev-lur rvés de R2, y vr(nulo) es l vrinz del modelonulo.

Con los dos del ejemplo, el primer supueso severific fácilmene clculndo los esdísicos descrip-ivos de los residules. así, l medi pr los residulesdel nivel 1 es -0,0000042 y de los residules de nivel 2-0,00294, con lo que, efecivmene se cumple.

Como vimos neriormene, un esrei prnlizr los oros dos supuesos es medine un esu-dio ráfico. Pr los supuesos del nivel 1, en l fiur

2 se muesr, por un ldo, el QQ-plo, que nos confir-m l disribución Norml de los residules y, por oro,l relción enre el vlor previso y los residules. Severificn los supuesos

Pr verificr los supuesos relivos l nivel 2,en l Fiur 3 se h represendo l relción enre loscomponenes leorios del inercepo y el énero y elvlor previso. Visulmene se puede precir l inde-pendenci. Sin embro, mbién hemos clculdo lcorrelción enre esos vlores. El índice de correlción

Figura 3. Relción enre el vlor previso y los componenesleorios del inercepo y l el énero pr rendimieno enmemáics

Figura 2. Qq-plo y relción enre el vlor previso y los resi-dules de nivel 1 pr rendimieno en memáics

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tbl 12valoración del proceso de modelización y del resultado final: razones de erosimilitud y arianza explicada en cada modelo pararendimiento en matemáticas

Rzón deverosimiliud

ơ 2µ0 ơ 2e1 % vr. ol % vr. cenros % vr. lumnos

Modelo I (Nulo) 55.434,72 100,41 233,46

Modelo II (con vribles de juse) 55.021,81 70,13 219,50 13,25 30,16 5,98Modelo III (II+vribles de proceso) 54.998,59 67,20 219,50 14,13 33,07 5,98

Modelo IIIb (II+vr. conexo y enrd) 54.968,98 56,69 219,50 17,28 43,54 5,98

Modelo IV provisionl 1 54.952,39 53,71 219,54 1,06 46,51 5,96

Modelo IV provisionl 2 54.946,48 53,62 219,37 18,23 46,60 6,04

Modelo IV (finl) 54.906,53 51,36 219,41 18,90 48,85 6,02

Conclusiones finales

 Aportaciones de los modelos multinivel 

Los modelos hn supueso un verdder revolu-

ción en el esudio de l eficci escolr. Pr fcilir elnálisis de sus impornes porciones, se presennrupds en dos rndes epírfes. Por un ldo, lsporciones de crácer susnivo y, por oro, ls por-ciones écnics (Hox & Kref, 1994; Murillo, 2004b).

 Aportaciones sustantias

L primer porción de crácer susnivoque ienen los modelos mulinivel es que considernls diferencis en el conexo. Los individuos produ-cen diferencis l iul que los conexos, lueo seprecisn modelos que no reduzcn los individuos reciones esdísics y que no limien los con-

exos vs enerlizciones. así, en los esudiossobre eficci escolr se necesi considerr simulá-nemene ls vribles de los lumnos (nivel 1), lescomo l siución socioeconómic de ls fmilis, y lsvribles de escuel (nivel 2) como el clim del cenroo su iulridd. Es considerción de ls diferencisconexules se concre en:

• Consideración de la heterogeneidad: los efec-os de los conexos pueden poencilmene ser muycomplejos, con relciones que vrín en disinos sen-idos. Es necesrio esudir quién eres en relción conel lur en el que esás.

• Interacción entre individuos y contextos, ya

que hy que ener en cuen l posibilidd de que unindividuo inercúe con su conexo próximo de formdiferene l que lo hce su rupo socil de referenci.O lo que es lo mismo, ls diferencis enre lures/ conexos deben ser exminds en relción con lscrcerísics de los individuos en combinción conls crcerísics sociles de los lures.

• Múltiples contextos. Es posible que no exista

un único conexo. Por ejemplo, en el cso del ren-dimieno cdémico, los resuldos pueden esr in-

fluencidos por el cenro l que sisen, pero mbiénpor el conexo fmilir.

Un seund porción susniv considerres que los modelos mulinivel permien nlizr simul-

ánemene conexos y heeroeneidd individul, yque no sólo se deben considerr ls diferencis enreconexos. Por ejemplo (siuiendo Colemn e l.,1966), ls persons de nivel socioculurl bjo no sólopueden diferir en l medi de rendimieno cdémico,sino que mbién pueden ser más o menos vriblesen sus punuciones.

Un ercer elemeno ener en cuen en el c-  jón de ls porciones es que permien combinr linvesición inensiv con l exensiv o, lo que es lomismo, culidd y cnidd. Ls conducs y ls ccio-nes de los individuos ienen mbos componenes, unoculiivo (ocurre) y oro cuniivo (cuáno, qué n

frecuene...). ambos elemenos deben considerrsesimulánemene (por ejemplo, el frcso escolr esmuy bjo en lunos cenros, pero quellos lumnosque frcsn lo hcen esrepiosmene). L invesi-ción exensiv permie idenificr prones, pero lmismo iempo posibili reconocer rupos específicosque necesin esudios inensivos.

 Aportaciones técnicas

L principl crcerísic de los modelos mul-inivel es que porn un enorno nurl denro delcul se pueden comprr eorís sobre relciones es-rucurles enre vribles en cd uno de los nivelesen los que se ornizn los dos. Los modelos mulini-vel ofrecen un esrucur de nálisis denro de l culse pueden reconocer los disinos niveles en los que sericuln los dos, l esr represendos cd uno consu propio submodelo (Drper, 1995). Cd submodeloexpres l relción enre ls vribles denro de un de-ermindo nivel y especific cómo ls vribles de unnivel influyen en ls relciones que se esblecen enlos oros niveles.

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   V   O   L   U   M   E   N   1   /   N    Ú   M   E   R   O   1   /   J   U   L   I   O  -   D   I   C   I   E   M   B   R   E   D   E   2   0   0   8   /   I   S   S   N   2   0   2   7  -   1   1   7   4   /   B   O   g

   O   t    á  -   C   O   L   O   M   B   I   a   /   P        i  n     4   5  -   6   2

   m   a   g     i   s

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  Y hemos nlizdo ls proximciones meo-dolóics rdicionles pr el esudio de l eficciescolr que conllevbn un serie de problems écni-cos cundo bordbn dos de esrucur jerárquic(Bryk & Rudenbush, 1992; Hox & Kref, 1994). Enreess porciones se encuenr, en primer lur, el he-cho de que mejorn l esimción de los efecos enre

ls uniddes individules (por ejemplo, desrrollr unesimción mejord del modelo de reresión pr uncenro poyándose en ls esimciones similres queexisen pr oros cenros).

Iulmene, los modelos mulinivel permienformulr y probr hipóesis sobre los efecos cruzdosenre niveles (por ejemplo, esudir l relción enre liulridd del cenro y el rendimieno de los lumnosen función de su nivel socioculurl). L posibilidd deinercciones enre ls vribles definids en disinosniveles de l jerrquí es un cuesión imporne, yque de no considerrse pueden llevr inferencis in-

decuds (usr dos del nivel de conexo pr infe-rencis individules y que ls vribles puedn enerdiferenes sinificdos en niveles disinos). Los mode-los mulinivel resuelven ese problem.

En ercer lur, permien relizr l prición decomponenes de vrinz y covrinz enre niveles(por ejemplo, descomponer ls correlciones enre lsvribles relcionds con los lumnos en componen-es inr e iner cenros).

En clro conrse con los procedimienos clásicosde reresión plicdos dos rupdos, esos mode-los ofrecen un esimción decud de los prámerosen presenci de correlciones inrrupos (uocorrel-

ción). L crcerísic de los dos es l no independen-ci de ls observciones. Ls observciones denro deun rupo esán próxims en el iempo o en el espcio,y se esper, por no, que sen más similres que lsobservciones de diferenes rupos, ddo el conjunode esímulos y experiencis comprids y l no sin-ción leori de los sujeos los rupos. L cniddde covrición enre ls observciones que comprenel mismo conexo, suele expresrse por medio de lcorrelción inrclse. Cundo se emplen los esdísi-cos de conrse ordinrio, que considern l individuocomo unidd de nálisis, suele violrse el supueso deindependenci de los errores. Incluso pequeños vlores

de correlción inrclse conllevn errores de ipo I m-yores que el nivel del lph nominl. Relmene l nodependenci de ls observciones y l heeroeneiddno son fllos de nuesros dos, sino sus crcerísics,por no son esperdos y modeldos.

De iul form, los modelos mulinivel ofrecenun esrucur explíci denro de l cul expresr lsimiliud de los juicios desindos combinr l infor-mción enre uniddes (disinos niveles) pr producir

mejores esimciones y predicciones prir de ls ob-servciones relizds.

Por úlimo, permien l posibilidd de incorporrefecos leorios. Los modelos de efecos fijos permi-en que ls enerlizciones derivds de sus inferen-cis fecen sólo los rmienos incluidos en el esu-dio. El modelo de reresión sume coeficienes fijos. En

cmbio, los modelos mulinivel sumen un muesreoleorio de individuos en conexos mbién leo-rios. Consecuenemene, los nálisis de los modelosmulinivel pueden incorporr efecos leorios.

 Aplicaciones de los Modelos Multinivel a la investigación educativa 

Los modelos mulinivel bren un inene cn-idd de posibiliddes pr l invesición, muchsde ells ún por explorr. así, demás de ls múliplesvenjs de crácer écnico –en ls que no vmos enrr– permien un buen cnidd de porciones

susnivs enre ls que cbe descr ls siuienes:1. Esimr el efeco escolr de cd cenro me-dine l meodoloí de valor Añadido en Educación del cenro. Es decir, permien sber qué por el cen-ro excmene l desrrollo del lumno desconndovribles les como el nivel socioculurl de l fmili,el rendimieno previo del lumno, el nivel socioeconó-mico del brrio, ec.

2. tener un esimción de los efecos escolresdiferenciles, de l form que se conozc el rdo deequidad de los cenros en el fomeno del desrrollo deodos los lumnos.

3. Conocer y esimr con precisión l mniud

de l aportación de las ariables de aula, centro o con-texto sobre l vrible produco del lumno. Es decir,rbj con múliples niveles de nálisis de form si-muláne y nlizn simulánemene conexos y he-eroeneidd individul.

4. anlizr l interacción entre ariables de dis-inos niveles. Es decir, conocer por ejemplo, si deer-minds crcerísics del docene, el ul o el cenro,inciden de mner diferene pr disinos rupos delumnos.

5. Combinr l inestigación intensia con la

extensia o, lo que es lo mismo, culidd y cnidd.Ls conducs y ls cciones de los individuos ienen

mbos componenes, uno culiivo (ocurre) y orocuniivo (cuáno, qué n frecuene...). L invesi-ción exensiv permie idenificr prones, pero lmismo iempo permie idenificr rupos específicosque necesin esudios inensivos.

Si queremos relizr invesiciones de clidd,que poren resuldos que conribuyn un mejorconocimieno del cenro docene y su funcionmienoy que sen relmene úiles pr l om de decisiones,

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es imprescindible que uilicemos los recursos meodo-lóicos más decudos. En l invesición mprden el prdim empírico-posiivis, el cmino se ll-m Modelos Mulinivel.

Ciero es que su uilizción supone un impor-ne cmbio en l form de rbjr de los invesi-dores y que exie un sobre-esfuerzo de formción

en meodoloí de su pre. Ciero es mbién quenuesro pís iene un escs rdición en invesi-ción en Ornizción Escolr y un nivel bjo en des-rrollo meodolóico que hce difícil poner en práciclos nuevos vnces en ese erreno. Pero su conoci-mieno y uilizción debe consiuirse en un “deber”pr los invesidores en ornizción escolr, prquellos de rdición más cuniiv, pero mbiénpr los más proclives l invesición de crácerfenomenolóico.

Si exiimos los docenes un formción cons-ne, con más rzón hemos de ser exienes con no-

soros mismos pr esr l dí con los vnces sus-nivos y meodolóicos que se producen en nuesrdisciplin. En jueo esá l clidd de l invesición,y con ello, l clidd de l educción.

Sobre el autor

F. Javier Murillo Torrecilla es Profesor tiulr en Méo-dos de Invesición y Evlución en Educción, Universiddauónom de Mdrid. Docor en Ciencis de l Educción del Universidd Compluense de Mdrid, Licencido en Cien-cis Memáics y Licencido en Ciencis de l Educción.Es Coordindor de l Red Iberomericn de Invesición

sobre Cmbio y Eficci Escolr (RINaCE), Direcor/Edior del Revis Elecrónic Iberomericn sobre Clidd, Eficciy Cmbio en Educción (REICE) y co-direcor de l RevisIberomericn de Evlución Educiv.Fue Direcor de Esudios del Cenro de Invesición y Do-cumención Educiv, Miniserio de Educción (Espñ)y Coordindor generl del Lbororio Linomericnode Evlución de l Clidd de l Educción (LLECE) de lUNESCO. H rbjdo como consulor expero en Invesi-ción y Evlución Educivs en diferenes píses de américLin y con disins encis inerncionles. auor de másde un cenenr de publicciones sobre Clidd, eficci y me-

 jor de l educción. Más informción enwww.um.es/jvier.murillo

 [email protected]

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