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Modelo de Jiles-Atherton estático 57

Capítulo 3 Modelo de Jiles-Atherton estático 3.1 Introducción.

En la mayoría de las aplicaciones de materiales ferromagnéticos, las propiedades magnéticas son más convenientes expresarlas como curvas de magnetización o familias de ciclos de histéresis. La ausencia de un modelo cuantitativo adecuado del comportamiento de estos materiales ha provocado mucha dificultad, tanto en la comprensión del proceso magnético como en la descripción de la variabilidad de la magnetización con otros parámetros, tales como la fatiga o la temperatura.

Aunque no hay una forma totalmente general de representar un ciclo de histéresis en materiales ferromagnéticos, sí existe una forma de ciclo que se reproduce con frecuencia en la práctica. A esta forma se le llama "sigmoide" y ha sido discutida por Craik y Tebble [17]. Su forma general se muestra en la fig. 3.1.

Figura (3.1). Forma general de una sigmoide de ciclo de histéresis.

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0.4

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0.8Magnetización Total

H [A/m]

M/M

s []

58 Modelado de núcleo ferromagnético según la teoría de Jiles-Atherton

3.1.1 Primeros intentos de explicar la histéresis. Los primeros investigadores en el campo del magnetismo consideraban varias

explicaciones posibles para el fenómeno de la histéresis ferromagnética. Estas hipótesis se reducen a dos categorías.

‐ Una de las cuales sugiere que la responsable del proceso es una fuerza de tipo de fricción.

‐ La otra considera que la histéresis se debe enteramente a la fuerte interacción mutua entre los momentos magnéticos individuales.

Weber [18] planteó la idea de una fuerza de reposición que trata de mantener los momentos en un estado inicial no magnetizado. Sin embargo, aunque esta teoría es capaz de explicar la forma de la curva de magnetización inicial, es incapaz de explicar la magnetización residual una vez que se elimina el campo aplicado. Wiedemann [19] postula la existencia de una resistencia de fricción a la rotación de las "moléculas magnéticas", como él las llamó, siendo una idea que se presta muy bien para explicar los efectos más evidentes de la histéresis magnética.

Maxwell [20] parece haber sido el primero en sugerir que la histéresis puede ser explicada en términos de las interacciones mutuas de una serie de momentos magnéticos. Esta idea fue perseguida más por Ewing [21], que creía que las interacciones magnéticas mutuas podrían explicar completamente el fenómeno. El concepto de Ewing fue apoyado mediante algunos cálculos sencillos que mostraron que las características esenciales de histéresis se obtuvieron a partir de un pequeño número de momentos de interacción fuerte. La influencia de Ewing era tal, que fue aceptado rápidamente el concepto de que las interacciones mutuas eran las únicas responsables de la histéresis, y la idea de Wiedemann de la "fuerza de fricción" se descartó.

En la práctica, la mayoría de los ciclos de histéresis muestran un cambio bastante suave en la magnetización con el campo (salvo algunas excepciones notables con bucles cuadrados) y se cree que esto se debe a una fuerza de fricción del tipo previsto por Wiedemann, que se opone a los cambios en la magnetización. La fuerza de fricción se debe al enclavamiento de las paredes de dominio en las zonas con defectos del interior del sólido, lo que provoca una fuerza de oposición para resistir cualquier cambio en la magnetización.


3.1.2 Modelado y ajuste de la curva de histéresis.

Han habido muchos intentos de ajuste a las curvas reales de magnetización, sin

embargo sólo se ha encontrado una ecuación satisfactoria que describe bien el proceso. Antes de la publicación del modelo de J‐A, Cullity [22] hizo una recopilación de los modelos de expresiones de histéresis de la fecha, y agrupó las expresiones en tres grupos.

‐ El primer grupo corresponde a curvas de magnetización de cristales simples para campos aplicados elevados, desarrolladas por Williams [23].

‐ El segundo grupo corresponde a curvas de magnetización de policristales en zonas cercanas a la saturación, desarrolladas por Chikazumi [24].

‐ El tercer grupo corresponde a curvas de magnetización y ciclos de histéresis de

policristales para campos aplicados pequeños, desarrolladas por Rayleigh [25].

El problema de obtención de una función de histéresis en los casos anteriores era, o bien se utilizaba una función matemática extremadamente complicada para describir el comportamiento a un nivel arbitrario de precisión, con poca o ninguna base teórica, o bien se utilizaba una función simple, obtenida a partir de principios elementales, que a pesar tener un buen fundamento teórico, no se obtenía una precisión suficiente.

Posteriormente el enfoque habitual fue el ajuste por series de potencias y polinomios racionales, hasta que Rivas et al. [29] utilizaron dos funciones generatrices. Estas funciones tienen una gran similitud con los dos términos de la ecuación sobre la que se basa el modelo de Jiles‐Atherton, la función de anhistéresis y su derivada, aunque éstos no tenían justificación teórica para sumarlas.

El enfoque teórico del modelado de la histéresis se basaba en una de los siguientes dos teorías.

‐ Los cálculos basados en el modelo Preisach‐Néel [30‐32], dos de los modelos más modernos eran el desarrollado por Del Vecchio [33] y por Rahman, Poloujadoff, Jackson, Perrard y Gowda [34]. Sin embargo, un gran inconveniente del modelo Preisach es su naturaleza arbitraria.

‐ El otro método se basaba en la teoría micromagnética de Brown [35] y Aharoni [36]. Éste, aunque se baja en un proceso físico más real, no obtiene una ecuación de estado sencilla.


Globus [37] y Globus y Duplex [38‐40] desarrollaron un modelo de movimiento de la pared de dominio capaz de explicar cualitativamente la forma general de las curvas de histéresis de materiales ferromagnéticos. Su modelo asume que el enclavamiento de las paredes de dominio se debe sólo a una fuerza de tipo fricción. Bajo la acción de un campo magnético, las paredes se someten primero un movimiento reversible debido al abultamiento de dicha pared y después a un movimiento irreversible debido a su desplazamiento. Estas ideas están muy de acuerdo con el modelo de J‐A, excepto que el enclavamiento de las paredes de dominio en los límites de grano se debe a la falta de homogeneidad del grano, debida a la presencia de torbellinos de dislocaciones, regiones no homogéneas y cualquier precipitado o inclusión no magnética dentro del grano. Además las zonas con paredes de dominio planas se magnetizan según la curva de anhistéretis, y no poseen ningún valor de remanencia, al contrario que sugiere Globus.

Posteriormente Porteseil y Vergne [41] calcularon la magnetización solamente considerando el movimiento de la pared de Bloch y las interacciones de estas paredes con los defectos estructurales en materiales ferromagnéticos policristalinos. Sin embargo, este modelo en las zonas de campo bajo sólo tiene en cuenta el movimiento irreversible de la pared de dominio, y no tiene en cuenta el reversible. El modelo de J‐A, de acuerdo con Globus, considera que en estas zonas de campos bajos son importantes tanto el abombamiento de la pared de dominio (proceso reversible) como el desplazamiento de la pared de dominio (proceso irreversible), y considerar sólo un mecanismo irreversible es poco realista.

El modelo de Jiles‐Atherton genera los ciclos de histéresis en forma de familia de curvas, considerando las dificultades de movimiento de la pared de dominio causadas por el enclavamiento de las paredes de dominio a medida que van avanzando. La existencia de tales enclavamientos fue sugerida por primera vez por Kersten [42‐43] y por Becker y Döring [44]. No se hace distinción en los efectos de los diferentes tipos de enclavamientos. Se calcula una energía media por dominio se supone que los enclavamientos se distribuyen de manera uniforme en todo el sólido. Estas hipótesis permiten la obtención de una ecuación de histéresis simple. El modelo se aplica en la actualidad a sólo a materiales ferromagnéticos isótropos, por lo tanto es aplicable a materiales policristalinos o cristales con baja anisotropía. Sin embargo Furlani [45] ha obtenido una extensión de las ecuaciones, en particular eq. (3.7), para incluir anisotropía.


3.2 Magnetización de Anhistéresis.

Consideremos la energía por unidad de volumen de un dominio típico con momento

magnético por unidad de volumen en un campo magnético . Por este se entiende el campo magnético interno real experimentado por el dominio dentro del sólido ( ), y no el campo aplicado. Si no hay dirección preferente, es decir, si el sólido es policristalino e isótropo:

(3.1)

Dentro de un sólido ferromagnético habrá acoplamiento entre los dominios. Esto se puede expresar en los términos más simples como un acoplamiento con la magnetización.

(3.2)

donde es un parámetro de campo medio que representa el acoplamiento entre dominios, que tiene que ser determinado experimentalmente. La energía por unidad de volumen puede entonces expresarse como:

(3.3)

donde es el campo efectivo, y es análogo al campo de Weiss experimentado por los momentos magnéticos individuales dentro de un dominio. Tal campo efectivo para los dominios ha sido utilizado por Callen, Liu y Cullen [35].

La respuesta de la magnetización a este campo efectivo puede, en el caso de un material isotrópico, expresarse como:

(3.4)


donde es una función arbitraria del campo efectivo que cumple:

0 01 → ∞

(3.5)

Esta expresión sólo tiene en cuenta la respuesta al campo magnético aplicado y algunas interacciones promedio con la magnetización del resto del sólido, incluídas en el término . Esta función representa una distribución estadística de los dominios correspondientes a un estado de energía óptimo, sin tener en cuenta las características relativas a la estructura del material, tales como impurezas o inclusiones no magnéticas.

Sólo se puede utilizar para modelar el estado de magnetización de un material ferromagnético en su estado de equilibrio global. Se aplica únicamente en el caso de un sólido ideal o perfecto en el que no hay impedimentos a los cambios en la magnetización, como la presencia de enclavamientos de la pared de dominio. En un sólido real esta expresión se aplica a la curva de magnetización de anhistéresis o ideal, a lo largo de la cual las paredes de dominio logran posiciones de cierto equilibrio bajo el valor predominante del campo , como lo describe Tebble y Craik [17]. Bozorth [46] describe un método de obtención de la magnetización de anhisterésis mediante la superposición de un campo magnético de AC más uno en DC.

Por lo tanto podemos escribir:

∙

(3.6)

donde es la magnetización de anhistéresis, es la función arbitraria de campo y es la magnetización de saturación.


A los efectos de modelado de la magnetización anhistéresis, se escoge una expresión de Langevin modificada L H :

(3.7)

donde es un parámetro con dimensiones de campo magnético que caracteriza la forma de la curva de anhistéresis.

La ecuación de Langevin modificada (3.7) puede dar lugar a una forma elemental de ciclo de histéresis. Como se ha mencionado en la introducción, este es el tipo de histéresis que Ewing [6] dedujo en sus cálculos basándose exclusivamente en interacciones mutuas fuertes entre momentos magnéticos. En la Figura 3.2 se muestra un ejemplo de la solución de la ecuación (3.7).

Figura (3.2). Solución de la ecuación de magnetización de anhistéresis para un material magnético ideal.

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3.3.1 Movimiento de las paredes de dominio. Paredes planas y rígidas.

Si una pared de dominio se desplaza en un campo magnético constante, no habrá cambio en la energía de la pared y por lo tanto cuando se retire el campo, la pared se mantendrá en la misma posición, como lo afirma Chikazumi [47]. Con el fin de que desplazamiento de la pared sea reversible, como ocurre si se considera un comportamiento ideal (sin enclavamientos), es necesaria una energía que aumente con la magnetización. El límite del dominio se colocará en la posición en la que el trabajo realizado por el campo se equilibre con la energía de magnetización, como se indica por Hoselitz [48], y cuando se elimine el campo, la pared de dominio volverá a su posición original.

Consideremos el trabajo total realizado por unidad de volumen por un campo magnético (3.8), donde el segundo término del lado derecho es el trabajo realizado sobre el material.

∙ 1 ∙ ∙

(3.8)

En ausencia de enclavamiento de la pared, la energía proporcionada por el campo crea una presión que tiende a mover la pared de hasta que la energía alcanza el equilibrio en la curva de anhistéresis. Usando el campo efectivo para el material ferromagnético

∙ ∙ (3.9)

Cabe señalar que aquí representa la magnetización mayor del sólido y no debe confundirse con la magnetización espontánea dentro de un dominio.


3.3.2 Enclavamientos de la pared de dominio.

Sin embargo, el movimiento de las paredes de dominio bajo la influencia de un campo magnético se ve impedido por la presencia de enclavamiento, tal como inclusiones no magnéticas y huecos [31,32] o regiones de tensiones no homogéneas [33]. No vamos a referirnos a la naturaleza de estas imperfecciones y las denominaremos colectivamente como “enclavamientos”. Estos enclavamientos tienen el efecto de causar una disminución de la permeabilidad inicial de un material ferromagnético y un aumento de su fuerza coercitiva. Estamos de acuerdo con las conclusiones de Globus [23] que los cambios irreversibles en la magnetización se causaron durante el desplazamiento de la pared por el proceso de enclavamiento.

Consideremos un enclavamiento de una pared de dominio perfectamente rígida entre dos dominios con momento magnético por unidad de volumen y ′, donde por simplicidad, alineamos en la misma dirección de un campo creciente, y ′ en algún ángulo arbitrario al campo. La energía necesaria para superar el enclavamiento dependerá de dos factores, la naturaleza del propio enclavamiento y las orientaciones relativas de los momentos en los dominios a cada lado de la pared.

Supongamos que la energía requerida para vencer el enclavamiento es proporcional al cambio en la energía por unidad de volumen del dominio ′ para conseguir la rotación de sus momentos en la dirección del campo.

∆ ∙ ′ ∙ (3.10)

y por consiguiente la energía de enclavamiento es proporcional a:

∝ 1 (3.11)

Le llamaremos a la energía de enclavamiento de dos dominios alineados 180° . Entonces para este caso, y sólo para éste ∝ 2

12 ∙ ∙ 1 (3.12)


donde esta expresión incluye tanto las características del enclavamiento como las orientaciones relativas de los dominios, .

Si es la densidad media de enclavamientos en todo el sólido y ⟨ ⟩ es la energía de enclavamiento promedio de todos los dominios de 180 °, entonces

⟨ ⟩ 12 ∙ ⟨ ⟩ ∙ 1 (3.13)

La energía total disipada por enclavamiento cuando una pared de dominio de área se mueve a lo lardo de una distancia entre dominios cuyos momentos se encuentran en un ángulo ,

⟨ ⟩2 ∙ 1 ∙ (3.14)

El cambio neto de magnetización del material ferromagnético (recordando que por simetría habrá un número de dominios en un ángulo con la dirección del campo de tal forma que la componente de la magnetización perpendicular al campo debida a estos dominio será cero) será

∙ 1 ∙ ∙ (3.15)

Sustituyendo en la ecuación (3.14)

⟨ ⟩2 (3.16)

Sustituyendo ⟨ ⟩ 2

(3.17)


El parámetro k depende de la microestructura del material, siendo proporcional a la densidad de puntos de enganche así como a la energía de dichos puntos. 3.3.3 Proceso de magnetización irreversible.

Suponiendo una distribución uniforme de puntos de enganche, y cada uno con la energía media de enclavamiento, el trabajo total realizado en contra del enclavamiento es proporcional a la variación de la magnetización. La energía proporcionada por el campo ∙ de la ecuación (3.9) es ahora la diferencia entre la energía que se obtendría en el caso ideal (curva de anhistéresis) menos las pérdida por histéresis

∙ ∙ dd ∙ (3.18)

Y derivando respecto a

dd (3.19)

La ecuación (3.19) es la ecuación diferencial del modelo de histéresis.

El parámetro toma el valor +1 cuando aumenta en la dirección positiva 0, y ‐1 cuando aumenta en la dirección negativa, asegurando que los

enclavamientos se oponen al cambio de magnetización.

Esta ecuación de estado para un material ferromagnético en las condiciones dadas se dio anteriormente a Jiles‐Atherton [49]. El coeficiente no está limitado a ser constante y puede variar en función de y . Sin embargo, la solución sigue siendo la misma si es constante o no, sólo se modifica la forma del ciclo de histéresis.

Es importante indicar que la ecuación (3.19) no impone ninguna limitación en la función para modelar la anhistéresis . Sin embargo, los actuales estudios indican que la función de Langevin modificada se ajusta muy bien al proceso real.


La ecuación diferencial (3.19) se suele reescribir de una forma más conveniente para el análisis del proceso de magnetización

(3.20)

que muestra que, aparte de la perturbación debida al acoplamiento de la magnetización, expresada a través del coeficiente , la tasa de crecimiento de la magnetización con el campo es proporcional al desplazamiento de la anhistéresis

.

3.3.4 Movimiento de las paredes de dominio. Paredes flexibles.

Una de las hipótesis de los modelos de Becker y Döring [44], Kersten [43] y Kondorsky [50] fue que las paredes de dominio son rígidas y planas. Néel [51] criticó esta hipótesis y recalcó que las paredes de dominio deben ser flexibles, pudiendo desplazarse pero manteniendo los mismos puntos de enclavamiento. Más tarde Kersten [52] publicó una teoría revisada que incluyó la expansión, o flexión, de las paredes de dominio bajo la acción de un campo magnético.

Cuando se dobla una pared de dominio manteniendo, por ejemplo, dos puntos de enclavamiento, como se muestra en la Figura 3.4, se produce inicialmente un cambio reversible de magnetización. El proceso reversible continúa hasta que la pared se encuentra con otro punto de enclavamiento, a partir del cual finaliza el movimiento de ese punto de la pared, continuando el desplazamiento de los demás y creciendo la presión. Puede darse el caso en el que la presión crezca tanto como para romper el enclavamiento, con lo que la pared moverá de manera discontinua e irreversiblemente hasta que encuentre con otro punto.

70

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paredes de dominio que sufren flexión depende de un tercer factor que es la diferencia entre la magnetización y la magnetización de anhistéresis .

3.3.5 Proceso de magnetización reversible.

Como se ha indicado anteriormente, la magnetización anhistéresis en un campo dado representa el estado global de mínima energía como lo describe Tebble y Craik [17]. En

consecuencia las paredes de dominio se doblan una dirección determinada, tal como para reducir la diferencia entre la magnetización y la magnetización de anhistéresis.

Si la magnetización se expresa como la suma de una componente reversible debida a la flexión de la pared de dominio y una componente irreversible debida al desplazamiento de la pared:

(3.21)

Consecuentemente si entonces 0 , pero si entonces 0 . Finalmente si entonces 0 .


3.3.6 Abombamiento de las paredes de dominio.

Si consideramos el abombamiento de una pared de dominio entre dos puntos de enclavamiento como muestra en la Figura 3.4. La línea de puntos da la posición de la pared no flexionada. es el desplazamiento lineal, es el radio de curvatura y 2 es la distancia entre los enclavamientos.

Por simple geometría

(3.22)

Si es la energía de superficie de la pared de dominio y es el exceso de presión causada por la aplicación de un campo ,

2 (3.23)

Si se sustituye (3.23) en (3.22)

2 2 (3.24)

Aplicamos el desarrollo en serie de Taylor para la raíz cuadrada y truncamos en el segundo término

2 2 1 12 2 ⋯ (3.25) 12 ∙ ∙ 2 (3.26)


Para pequeños desplazamiento la expresión (3.26) para el exceso de presión llega a ser exacta.

Consideremos ahora la forma real de la presión P en la pared de dominio. La idea fundamental es que la fuerza experimentada por la pared de dominio no se debe simplemente al campo aplicado, sino al campo aplicado menos una contribución debida a una tendencia aleatoria de orientación.

Entonces la energía magnetostática efectiva estará dentro un coeficiente de proporcionalidad,

12 (3.27)

Y la fuerza en la pared de dominio será

(3.28)

La presión en la pared de dominio será simplemente

′ (3.29)

Donde ′ es una constante que sustituyendo en (3.26) obtenemos (3.30), que la consideraremos como la expresión de la flexión de la pared de dominio

4 ′ (3.30)

Ahora es necesario hacer algunas suposiciones acerca de la dependencia de con el recorrido . No es posible tener en cuenta todas las situaciones y geometrías posibles. Naturalmente habrá un número casi infinito de posibles configuraciones en las que las paredes de dominio interactúan con defectos, ya sean regiones de deformación no homogénea, defectos puntuales, dislocaciones, inclusiones no magnéticas o los límites de grano.


Por lo tanto, consideremos la situación de la Figura 3.4 y supongamos, como Globus y Duplex [52], que una pared de dominio divide un grano esférico en dos mitades exactas, y colocamos la pared en dicha mitad. Bajo la acción de un campo, la pared de dominio se deforma de manera reversible una distancia . El volumen barrido por la pared de dominio es ∆ 6 ∙ ∙ 3 y el cambio de magnetización será 2 ∙ ∆ ∙ si los

momentos en los dos dominios son paralelos y antiparalelos al campo.

Consecuentemente, sustituyendo en (3.30):

4 ′ 3 4 ′ (3.31)

Y como en el análisis de Globus [52] despreciando términos de mayores de

∙ (3.32)

Donde ahora el coeficiente de proporcionalidad es 4 ′. El valor del coeficiente se determina experimentalmente. Por lo tanto, la componente reversible de la magnetización se debe a pequeños desplazamientos (abombamientos) de la pared de dominio linealmente dependientes de la diferencia entre .


3.3.7 Extensión de la ecuación de histéresis para incluir los

cambios en la magnetización debidos al abombamiento de las paredes de dominio.

La magnetización se puede calcular como la suma de dos componentes, la componente irreversible y la componente reversible , como se indica en (3.21).

La componente irreversible de la magnetización es la solución de (3.20)

(3.33)

Derivando (3.32) se obtiene la derivada de la componente reversible.

(3.34)

Sumando (3.33) con (3.32) se obtiene

11 ∙ 1

(3.35)

La solución se puede obtenerse resolviendo (3.35) directamente o también resolviendo primero (3.20) y añadiendo con (3.32).


3.3.8 Conclusiones del modelo estático.

La teoría de Jiles‐Atherton describe los ciclos de histéresis ferromagnética a través de una función teórica con forma de sigmoide. Las ecuaciones son capaces de reproducir la curva de magnetización inicial y un ciclo de histéresis para cada valor de parámetros. También se describe la curva de anhistéresis con una ecuación muy simple. Dicha curva representa el lugar geométrico de los estados de equilibrio globales.

El modelo se basa en una aproximación de campo medio en el que cada dominio interactúa con el campo y con la magnetización . Los impedimentos a los cambios en la magnetización, el equivalente de la fuerza "tipo de fricción" de Wiedemann, es proporcionada por unos puntos de enclavamiento en el interior del sólido en forma de imperfecciones, inclusiones y regiones de la red cristalina no homogéneas, que se oponen al movimiento de las paredes de dominio, las cuales son la causa fundamental del comportamiento de histéresis en los materiales ferromagnéticos.

El modelo se aplica a sólidos isotrópicos, es decir materiales policristalinos o monocristales con baja anisotropía. Sin embargo, modificando la forma de la curva de anhistéresis (3.9) es posible dicha anisotropía en el modelo, tal y como indica Furlani [45]. Las dificultades a los cambios de magnetización se consideran uniforme, y es una media de la energía de enclavamiento por unidad de volumen. Se podría usar una distribución de energía local para cada zona determinada, sin embargo, la solución es muy probable que se mantenga igual.

El modelo incluye cambios irreversibles en la magnetización debido al desplazamiento de las paredes de dominio y los cambios reversibles en la magnetización debida a la flexión de las paredes de dominio. Aunque el modelo no tiene en cuenta las contribuciones menos importantes, como los procesos de rotación, éstos no pueden ser excluidos por completo y en última instancia deben ser incorporados en un modelo más realista.

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La ecuación final de la magnetización del modelo directo la calculamos a través de las componentes reversible e irreversible, tal y como ya indicamos en (3.21):

(3.39)

Sustituyendo la (3.32) en (3.21):

(3.40)

Derivamos respecto a la variable :

(3.41)

Reordenando (3.41):

1

(3.42)

Ahora vamos a desarrollar un poco cada uno de los términos de (3.42):

∙ ∙ 1

(3.43)

∙ ∙ 1

(3.44)


Sustituyendo (3.43) y (3.44) en (3.42):

1 ∙ 1 ∙ 1

(3.45)

Agrupando términos:

11 1

(3.46)

Donde,

(3.47)

1: / 0 1: / 0 0: (3.48)

1: / 01: / 0 (3.49)

1

(3.50)

La resolución de (3.46) proporciona los valores de la magnetización deseados.

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La ecuación final de la magnetización del modelo inverso la calculamos partiendo de la solución del modelo directo y aplicando la regla de la cadena:

1

1 11 1∙ 1 11 1 1 ⇒

1 11 1 1

(3.51)

La resolución de (3.51) proporciona los valores de la magnetización deseados.


3.6 Determinación de parámetros del modelo de Jiles-Atherton.

Para caracterizar el modelo de Jiles‐Atherton estático necesitamos calcular cinco parámetros:

‐ Magnetización de saturación / .

‐ Densidad de puntos de enclavamiento / . ‐ Interacción entre dominios . ‐ Constante de la función de Langevin / . ‐ Componente de magnetización reversible .

El método de caracterización más simple se consigue a partir de los siguientes datos experimentales:

‐ Susceptibilidad inicial de la curva de magnetización ′ .

‐ Susceptibilidad inicial de la curva de anhistéresis ′ . ‐ Campo coercitivo . ‐ Magnetización remanente . ‐ Susceptibilidad del punto de remanencia ′ . ‐ Punta de ciclo , , .

3.6.1 Magnetización de saturación.

El parámetro más fácil de obtener es la magnetización de saturación . A veces es un dato que proporciona el fabricante, puede obtenerse a partir de bases de datos u otras referencias. También se puede medir sometiendo el material a un campo elevado para llegar a la saturación, y o bien se mide la densidad de flujo con una bobina o la magnetización con un magnetómetro de muestra vibrante, y luego deducir .


3.6.2 Determinación del parámetro c.

El coeficiente determina la componente reversible de magnetización debida a la flexión reflexible de la pared de dominio. Se puede calcular a partir de la proporción de las componentes de la magnetización. La relación depende del método de solución numérica que se utilice, ya que las ecuaciones están implícitas en .

A partir de (3.35), consideremos el origen de la curva de magnetización inicial. Aquí 0 , y dado que en el origen los pequeños cambios de magnetización deben ser

totalmente reversibles, 0. Por lo tanto, a partir de (3.35), 1

(3.52)

En el caso de materiales isótropos, en los que la magnetización no tiene ninguna dirección preferente, consideremos la ecuación de anhistéresis (3.7).

En el origen 0 , entonces la ecuación para la susceptibilidad inicial la obtenemos sustituyendo (11) en (10):

1 (3.53)

Y tomando límite cuando → 0 de

lim→ lim→ 3 ⋯ lim→ 3

(3.54)


Con lo que

lim→ 0 (3.55)

Y como 0 en el origen de la curva de magnetización

3 (3.56)

Y si despejamos de (3.56):

3 (3.57)

(3.57) representa la relación entre y la susceptibilidad inicial.

Sin embargo, en los casos en que el ciclo de histéresis se inicia sin desmagnetización, la ecuación (3.57) se convierte en poco práctica debida a la ausencia de la curva inicial de punto de origen. Como alternativa, la ecuación (3.59) puede sustituir a la ecuación (3.56), en la cual las paredes de dominios siguen permaneciendo en los puntos de enclavamiento iniciales, y por lo tanto / 0 en la punta del bucle de la curva descendente. De acuerdo con las ecuaciones (3.21) y (3.32), podemos poner:

(3.58)

El cual origina la ecuación (3.59), donde el sufijo se refiere a la punta de los bucles de la curva descendente.

(3.59)


Figura (3.7). Ciclo de histéresis para diferentes valores de .

Tal y como muestra la Figura 3.7, el área que encierra el ciclo de histéresis crece conforme crece el parámetro , pero su aumento no es tan acusado como otros parámetros que se mostrarán más adelante.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H [A/m]

M /

Ms

c=0.3c=0.005


3.6.3 Relación entre y .

La propia susceptibilidad de anhistéresis da una relación entre los parámetros del modelo y . Esta relación, por supuesto, depende de la forma de la función elegida para modelar la curva de magnetización de anhistéresis. En la teoría de Jiles‐Atherton se usa la función de Langevin modificada para modelar la magnetización anhistéretis, aunque recordemos que la elección de es muy específica, y que existen otras funciones para para casos particulares.

La función de anhistéresis dada por (3.7), la susceptibilidad de anhistéresis en el origen viene dado por:

lim, → 3

(3.60)

Por lo que:

3 1

(3.61)

Esta ecuación se puede usar como una restricción en el modelo de parámetros y , aunque se necesita una condición adicional para determinar los valores de estos parámetros.

En las Figuras 3.8 y 3.9 se puede observar la variación del ciclo de histéresis con éstos parámetros. Ambos afectan sólo al punto de remanencia, pero de forma inversa. Si el parámetro aumenta, el punto de remanencia disminuye. Y viceversa, si el parámetro disminuye, el punto de remanencia crece.

Totalmente al contrario sucede con el parámetro . Si éste aumenta, el punto de remanencia aumenta. Y si éste disminuye, el punto de remanencia disminuye.




-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H [A/m]

M /

Ms

a=1000a=500

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H [A/m]

M /

Ms

alpha=0.002alpha=0.0005


3.6.4 Determinación del parámetro .

El valor del campo coercitivo es función de la cantidad de puntos de enclavamiento, y por lo tanto por el parámetro . Para los materiales magnéticos muy blandos, se tiene que

por lo que se define en unidades de A/m. Por esta razón, se prefiere la definición del parámetro de enclavamiento en unidades de A/m ya que la fuerza de enclavamiento actúa como un campo de oposición a .

Una vez más, volvemos a (3.35), y ahora consideramos la situación en el punto de campo coercitivo. Sea á si tenemos la susceptibilidad magnética en el punto coercitivo, que en el modelo es siempre el valor máximo de susceptibilidad, se deduce que

á (3.62)

En el punto coercitivo 1, , 0 , y si reordenamos (3.62) en términos de llega a

á (3.63)

Las ecuaciones explícitas para , y / en el punto coercitivo se pueden obtener en términos de , y / , como ya se ha indicado (3.21) que

(3.64)

Y desde se sigue con:

1 (3.65)

Y reordenando:


11 (3.66)

Desde 0 en el punto coercitivo, (3.66) se obtiene

1 (3.67)

mientras que la derivada de (3.66) con respecto a y teniendo en cuenta los valores en el punto coercitivo

11 á 1 (3.68)

Sustituyendo estas expresiones en (3.63) obtenemos la siguiente ecuación para :

111 á 1 1 1 (3.69)

Y consecuentemente:

1 111 á 1 (3.70)

Con (3.70) se puede calcular a partir de todos los demás parámetros que se consideran conocidos.



Como se observa en la Figura 3.10, la variación del parámetro afecta al ancho del ciclo. También se llama parámetro de pérdidas, ya que hace que el área encerrada por el ciclo sea más grande conforme aumenta.

3.6.5 Determinación de y .

El punto remanencia depende de una y otros parámetros. Si se conocen los otros parámetros , , , se puede utilizar el punto de remanencia para calcular . Sin embargo, en este caso, no es posible obtener una expresión explícita para α.

Con el punto de remanencia , y la susceptibilidad diferencial de remanencia se puede determinar el parámetro si los otros parámetros son ya conocidos. A partir de (3.35), con 1, 0

(3.71)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 104

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H [A/m]

M /

Ms

k=3000k=500


Y haciendo y se puede despejar

1 (3.72) 11 1 (3.73)

sustituyendo estos resultados de nuevo en (3.71) se obtiene

1 1 11 1 1

(3.74)

Y reordenando

1 1 1 (3.75)

Esta ecuación (3.75) se puede usar para dar una expresión explícita para que es

1 1 (3.76)


3.6.6 Relación entre los parámetros de histéresis y el punto pico del ciclo.

Por último, en el cálculo de y a, se ha encontrado útil incluir alguna redundancia mediante la incorporación de las coordenadas de la punta del bucle y la pendiente de la curva de magnetización inicial en la punta del bucle. Comenzamos de nuevo a partir de (3.35) y considerando la susceptibilidad diferencial a lo largo de la curva inicial de magnetización en la punta del bucle con 1 . Si la punta de bucle está lo suficientemente cerca de la saturación, a continuación, la susceptibilidad diferencial de la curva de magnetización inicial en la punta de bucle se acercará a la susceptibilidad diferencial de la anhysteresis / / . Esto se puede utilizar como una aproximación para obtener una ecuación que relacione los parámetros de histéresis.

Utilizando el resultado general de / 1 , se ve fácilmente que la aproximación anterior también implica que / / / . Además, , bajo estas condiciones.

Reemplazando por se llega a

(3.77)

Estas aproximaciones permiten también el segundo término el lado derecho de (3.77) a ser eliminada:

(3.78)

Y reordenando (3.78) se llega a:

1 1 (3.79)

Por lo tanto,


11 (3.80)

En principio, la incorporación de esta ecuación en el algoritmo de cálculo de parámetros no es del todo necesaria, pero las soluciones numéricas muestran una convergencia más rápida cuando se incluye esta condición, y por lo tanto es una incorporación útil en los cálculos iniciales en la determinación de los parámetros de histéresis.

3.6.7 Procedimiento de cálculo de parámetros.

Dado que algunas de las ecuaciones necesarias para determinar los parámetros sólo se pueden expresar de forma implícita en cuanto a estos y otros parámetros, se necesita un método numérico para calcular los valores mediante iteraciones sucesivas. El coeficiente reversible se obtiene directamente de la pendiente inicial de la curva normal de magnetización utilizando (3.57). Los valores de , se obtienen posteriormente mediante (3.70), (3.76), y (3.80) hasta su convergencia. Es necesaria una semilla de α, y a partir de (3.61), obtenemos una primera estimación de . Posteriormente se calcula a partir de (3.70). Utilizando los valores actuales de y , seguidamente se calcula a partir de (3.76), y a continuación, utilizando los valores actuales de y , se calcula a partir de (3.80). Y comenzamos de nuevo el procedimiento para el cálculo de , .


3.6.8 Conclusiones de la determinación de parámetros.

Con las ecuaciones dadas en los apartados anteriores se pueden modelar ciclos de histéresis de una amplia gama de materiales magnéticos. Los parámetros de histéresis se calcularon a partir de determinados puntos y pendientes tomadas de ciclos medidos experimentalmente. Todavía hoy es necesario obtener los parámetros a partir de un procedimiento de ajuste de curvas, a pesar de tener una descripción física de los efectos de estos parámetros. Sería útil que se pudieran obtener, en la medida de lo posible, a partir de deducción de esos principios elementales. En particular, el parámetro , que puede ser descrito como un factor de forma de la curva de anhistéresis, ya que existe un problema, y es que aunque es dependiente de la temperatura, no parece representar simplemente la energía de Boltzmann , en vez de asumir un momento magnético medio para cada dominio. Además, la magnetización se ve afectada por la anisotropía y la textura, lo que provoca variaciones en la curva de magnetización de anhistéresis a lo largo de la dirección de aplicación del campo magnético.

modelo de jiles-atherton...

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