modélisation en hydrogéologie chap 01
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Modélisation en Hydrogéologie:Modélisation en Hydrogéologie:Concepts et MéthodologieConcepts et Méthodologie
Faculté des Sciences Faculté des Sciences RabatRabat
MASTERSciences de la Terre, de la Mer et de l’Environnement
MENTION: Océanologie, Géosciences et Génie GéologiqueOPTION: Géologie de l’Ingénieur
Par: Pr. Ilias KACIMI
CHAPITRE 1 :CHAPITRE 1 : La Modélisation HydrogéologiqueLa Modélisation Hydrogéologique
La Modélisation Hydrogéologique
Outils désigné pour représenter une version simplifiée de la réalité.
1. Représenter les processus en forme simple,
C’est quoi un modèle?
Le métier du modélisateur est de simplifier la réalité:
3. Permettre l’analyse en intervalles de temps au lieu du temps continue
2. Simplifier la répartition spatiale,
A quoi Bon?- Comprendre le fonctionnement actuel du système- Prédire le comportement future du système
En hydrogéologie la modélisation c’est de simplifier la représentation d’un système hydrogéologique
Intérêt de la modélisation :
Mesure du degré de compréhension du fonctionnement du système hydrogéologique L’étude du milieu conduit à la connaissance d’un certain nombre de processus actifs dans la zone étudiés éventuellement la formalisation mathématique de ces processus
des paramètres caractérisant le milieuxLa combinaison de ces informations constitue un modèle conceptuel. Si ce modèle peut être traduit en un algorithme de calcul il est possible de simuler la réalité de
terrain et de mesurer l’écart entre la simulation et la réalité.
Apprentissage et compréhension de notions en hydrogéologieL’utilisation de modèles facilite et accélère la compréhension de certaines notions
abstraites de la discipline scientifique.L’étude de cas, la réponse à la modification de paramètres permet de mieux cerner le
rôle de ceux-ci, d’acquérir les ordres de grandeur.
Détermination des temps de transfert des polluantsUne des applications importantes de la modélisation hydrogéologique concerne le
calcul des temps de transfert de polluants entre un point d’injection et le captage. Il s’agit du facteur de retard.
Cette notion est fondamentale pour la définition des limites des périmètres de protection rapprochée. Les calculs sont menés en prenant en compte le débit de
pompage, avec un pompage continu sur une durée longue c'est-à-dire en situation de régime permanent.
Données exigées pour l’établissement du Modèle Hydrogéologique
A- Donnés sur la structure physique du le milieu:1- Cartes géologiques et les coupes géologiques montrant une section verticale
(épaisseur), les limites et les frontières du système.2- Carte topographique montrant le niveau de la nappe par rapport à la surface.
3- Cartes isocontours montrant le nivellement de l’aquifère, le niveau du substratum et les niveaux confinés.
4- Cartes isopaches montrant les épaisseurs de l’aquifère et des niveaux confinés. 5- Cartes montrant la relation aquifère rivière et relation aquifère lac et les dépôts dans
les lacs et les rivières.
B- Donnés sur la structure hydrogéologique du milieu:1- Cartes du niveau de la nappe et les cartes potentiometriques de tous les horizons
aquifère.2- Les zones et les taux de décharges
3- Les cartes et les sections de croisements montrant la distribution de la conductivité hydraulique et de la transmissivité.
4- Les cartes et les sections de croisements montrant les zones de stockages et les niveaux confinés.
5- Valeurs de K et de T dans les horizons aquifères.6- Distribution spatiale et temporale des taux d’évapotranspiration, de la recharge de la
nappe; interaction eau souterraines- eau de surface; taux de pompages; les zones et les quantités de recharge de la nappe.
Dans un modèle on fait beaucoup d’approximation.
Un modèle ne représente pas la réalité à 100%.
L’interprétation se fait en prenant en considération ces approximations.
Il existe plusieurs types de modèles.
1.1. Modèle d’échelle Modèle d’échelle Physique Physique
(académique) (académique)
La modélisation physique en hydrologie et en hydrogéologie se fait grâce à des modèles de simulations
Bassin expérimental pour étudier la turbulence, l’érosion, …
milieu expérimental pour étudier les paramètres physiques: n, K, T…
2. Modèles analogiques Les écoulements souterrains sont très similaires aux phénomènes électriques. Les équations et le comportements sont très similaires. Mais L’équation au dérivée partielle EDP ne peut pas se résoudre analytiquement d’où l’approche d’approximation numérique développée par le développement de l’informatique pour résoudre cette équation.
Hydrodynamique Electricité
H: Potentiel ou charge Hydraulique
Q: Débit
V = dQ/dS: Vitesse de Darcy
K: Conductivité Hydraulique
Q = -KdS(dh/dl): loi de Darcy
S: Coefficient d’emmagasinement
U: Potentiel électrique
I: Intensité
I = dI/dS: densité de courant
= 1/: Conductivité électrique
I = - dS(dU/dl): loi d’Ohm
C: Capacité
Les résistances on les assimilent comme des couchesEt l’écoulement soit // ou en série
3- Modèles mathématiques de simulation.
- Modèles déterministes
- Modèles probabilistes ou stochastiques.
Modèles analytiques pour des formules exactes avec des solutions faciles ex f(x) = (x2-1)/x
Modèles numériques: pour des équations aux dérivées partielles qu’on peut pas les résoudre analytiquement
L’inconnue de cette équation est h qu’il faut résoudre avec des modèles numériques
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ + = Ss
ht
Equations des écoulements souterrains
L’écoulement est gouverné par des lois de Physique:
Les modèles issus de la mécanique, de la géophysique, de
l’hydrogéologie et de la physique comportent une ou plusieurs
équations différentielles (ED) ou équations aux dérivées partielles
(EDP) (avec certaines contraintes).
Modèle physique :
– On construit une image du concept physique (pas unique)
– dépend de la question de la physique ou de l’utilisateur
Rappels
Equations des écoulements souterrains
L’écoulement est gouverné par des lois de Physique:
-Loi de Darcy:
hdgraKV
L
HKAQ
A
QV
zhyhxh
kkk
kkk
kkk
xzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
* Résolution système linéaire Ax=B
Equations des écoulements souterrains
0)(
)(
q
t
nVdiv - Équation de Continuité:
*Le Principe de continuité traduit la conservation de la masse du fluide à l’intérieur de tout Volume Elémentaire Représentatif (VER) demeurant fixe dans
l’espace.
)(scalairez
v
y
v
x
v
v
v
v
divvdiv zyx
z
y
x
Equations des écoulements souterrains
-Equation d’Etat: dhSnd s )(
*Les équations d’état traduisent le comportement mécanique de l’eau et de la matière rocheuse poreux en fonction de la pression.
Ss= emmagasinement spécifique
Considérons un volume de contrôle (VER)
dx
dy
dz
Aire du face: dxdz
Aquifère confiné, totalement Saturé
dx
dy
dz
qx
qy
qz
q = débit spécifique = Q / Aw = densité du fluide (masse par unité de volume)En appliquant l’équation du conservation du masse
q
Variation de Masse dans un Volume de Contrôle = Masse d’eau entrant – Masse d’eau sortant
Conservation de Masse
La loi de conservation de masse d’eau (ou de volume , en supposant
w constant) implique que la variation de stock d’eau emmagasiné dans le volume pendant le temps dt soit égale à la variation des débits traversant le même volume VT pendant la même durée dt.
dxdy
dz - (wqx) dxdydz
- ( x
wqx + y
wqy + z
wqz ) dxdydz
x
- (wqy) dxdydzy
- (wqz) dxdydzz
(wqx)dydz
Volume du volume de contrôle = (dx)(dy)(dz)
Volume d’eau dans le volume contrôle = (n)(dx)(dy)(dz)
Masse d’eau dans le Volume de Contrôle = (w)(n)(dx)(dy)(dz)
Changement de Masse dans le Volume du Control = Masse d’eau entrant – Masse d’eau sortant
dx
dy
dzn
[(w)(n)(dx)(dy)(dz)]Mt
t
=
Variation de Masse dans le volume contrôle = Masse de Flux entrant – Masse de Flux sortant
[(w)(n)(dx)(dy)(dz)]t = - (
xwqx +
ywqy +
zwqz ) dxdydz
En divisant les deux membres par le volume
[(w)(n)]t = - (
xwqx +
ywqy +
zwqz )
La densité du fluide ne change pas spatialement
[(w)(n)]t = - (
xqx+
y
qy+ z
qz )1w
qx = - Kx(h/x)
qy = - Ky(h/y)
qz = - Kz(h/z)
x
qx+y
qy+ z
qz
Rappelant la loi de Darcy.
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ +
dx
dy
dz
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ +[(w)(n)]
t1w
=
(- )
q = - K (h/x)
[(w)(n)]t
1w
Après Différentiations et plusieurs Substitutions:
(wg + nwg) ht
= Compressibilité de l’aquifère
= Compressibilité de l’eau
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ +=(wg + nwg) h
t
Ss = wg ( + n)
Mais rappelant aussi l’emmagasinement spécifique:
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ + = Ss
ht
Equation d’écoulement 3D pour un aquifère confiné
Pour des systèmes homogènes:
K Ssht
2hx2
+ +2hy2
2hz2
=( )
Régime transitoireAnisotropiqueHétérogène
x
(hx
y
(hy
Kx ) Ky ) z
(Kz
hz )+ + = Ss
ht
Si le système est isotrope et homogène
Régime Transitoire – Piézométrie change avec le temps
Régime Permanent – H ne change pas avec le temps
(K ne change pas dans l’espace)
En régime permanent:
Equation de Laplace
Conservation de masse pour régime permanent dans un aquifère Homogène et Isotrope.
2hx2
+ +2hy2
2hz2
= 0
Si on néglige la composante verticale de l’écoulement 2D:
Kb Ssbht
2hx2
+ 2hy2
=( )
ST
ht
2hx2
+ 2hy2
=
K Ssht
2hx2
+ +2hy2
2hz2
=( )
En régime transitoire:
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ + = 0
Hétérogène Anisotrope
K Ssht
2hx2
+ +2hy2
2hz2
=( )
Homogène Isotrope Régime transitoire
2hx2
+ +2hy2
2hz2
= 0
Homogène Isotrope Régime permanent
Régime permanent
Solution Analytique
Q = -KA (Q = -KA (h / L)h / L)
Solution Numérique
Elément Finis Différences Finies
Résolution de l’Equation par méthodes numériques
x
(Kx
hx )
y(Ky
hy )
z(Kz
hz )+ + = Ss
ht
Solution est une approximation numérique
x
Txhx
y
Tyhy
S
ht
Q
Exemple de Modèle: Discrétisation par MODFLOW sous GMS
- La géométrie des Réservoirs aquifères conditionnent les résultats des modèles mathématiques
1. Définition du but du modèle2. Créer le Modèle conceptuel et la constitution d’une
base de données3. Constitution du modèle (Code informatique)4. Calage du Modèle ( l’étape la plus difficile)5. Analyse Sensitive (étape de sensibilité du modèle)6. Validation 7. Prédiction8. Prédiction de la sensitivité9. Résultats
Phases de Développent de Modèle
Modélisation en régime permanent (stationnaire) ( Steady state)
Pratique de la modélisation
C’et une équation qui doit se résoudre pour chaque maille.On a deux inconnues T et S à reconnaître et de point de vue mathématique h est un autre inconnue. La résolution de cette équation c’est de trouver h
Il faut justifier par des arguments:•dans la base des données des piézomètres que l’analyse de la chronique piézométrique est stationnaire c-à-d
x
Txhx
y
Tyhy
S
ht
Q
Résolution de l’équation
ht
= 0
Qyh
Tyx
hT
x yx
1. Discrétisation du domaine d’écoulement
Pratique de la modélisation
La discrétisation de l'espace en mailles carrées ou rectangulaires régulières présente une grande facilité d'emploi aussi bien en ce qui concerne la mise en oeuvre des modèles que la programmation des algorithmes. Cette technique devient cependant pénalisante par suite de l'augmentation du nombre de mailles lorsqu'il s'avère nécessaire de recourir à un découpage fin.
En différence finie
Limite du domaine
*La résolution de l’équation se ferra soit au centre de la maille soit au nœud.*La résolution ne respecte pas les frontières du domaine complexe étudié.*Aux frontières les mailles ne respectent pas correctement le champs d’étude (raffinement).
Par le canal de la discrétisation, c'est-à-dire du découpage de l'espace en éléments géométriques discrets rectangulaire, carré ou triangulaire
En éléments finis
Avantages de la méthode des éléments finis: La discrétisation de l'espace en mailles triangulaires présente une amélioration des coordonnées des noeuds du maillage figurant explicitement dans les équations, ce qui permet d'attribuer aux éléments:• des formes variables pouvant s'adapter aux contours du domaine et aux limites des hétérogénéités internes. • Les propriétés d'anisotropie (perméabilité, transmissivité, coefficient de dispersion) peuvent être facilement intégrés dans les équations.• Si on veux plus de détail pour un point donné on peut faire un maillage plus fin.• On peut correspondre les points à valeurs comme centre d’une maille.
Océ
an
Atl
anti
que
Ahmed Taleb
Sidi Taibi
Kénitra
5 Km
Océ
an A
tlant
ique
Inconvénients de la méthode des éléments finis: • L'ampleur des calculs numériques se trouve augmentée. De plus, et ceci d'autant plus
que le degré de complexité des fonctions d'approximation croît.• Le nombre de points correspondent aux nombres d’équations à résoudre( 300 nœuds =
300 équations).
La résolution des équations ne peut s’effectuer sans formulation explicite de la condition initiale et des conditions aux limites.
La condition initiale consiste à connaître la distribution du potentiel hydraulique en tout point du domaine au temps initial
Les conditions aux limites concernent les règles d'échange des flux entre le domaine modélisé et le milieu extérieur (flux d'eau, flux de matière migrant avec
l'eau, ou flux de chaleur).Les limites du domaine d'étude doivent coïncider avec des limites physiques où
la description des flux puisse être effectuée de manière conceptuelle à partir des observations sur le terrain.
Les conditions aux limites sont de trois types :
Conditions aux limites de type Dirichlet qui spécifie les potentiels imposés aux frontières du domaine ;
Conditions aux limites de type Neumann qui spécifie le flux imposé aux limites du domaine ;
Conditions aux limites de troisième type (de Cauchy) qui donnent les combinaisons linéaires existants entre le flux et le potentiel hydraulique aux
frontières du domaine.
2. Conditions aux limites
1 2
3 4
h = 0
h = 0 h = 0
h = 1
Conditions de charges ou de niveaux piézométriques imposés (potentiel imposé): Connues sous le nom de conditions de Dirichlet, elles reviennent à spécifier le potentiel
(ou la pression) sur les limites où celui-ci est indépendant des flux échangés.
Les précipitations sont sup au flux d’eau pouvant
s’écouler dans la nappe la charge est cte voisine de la
côte du sol.
En pratique, ces conditions peuvent être choisies dans:Au contact d’un aquifère et les eaux libres de surface (rivière, lac)
Lorsque les lignes équipotentielles peuvent être distingués (barrage)
Via ce types de limites, des flux énormes peuvent entrer ou sortir du modèle
Le long du contact nappe-rivière, la charge est constante imposée à
la valeur H0
Exemple de conditions aux limites de type « CHARGE IMPOSEE »
Conditions de flux ou de débit imposé = conditions de Neumann: Les échanges avec le milieu extérieur sont réglés par un flux d'eau traversant une
portion donnée de limite indépendamment des hauteurs piézométriques.Si la limite correspond à une ligne de courant , aucun flux n’est toléré
perpendiculairement, le flux spécifié est nul (conditions de frontières imperméable).
Les précipitations sont inf aux possibilités d’écoulements de la nappe. L’alimentation est définie par le taux
d’infiltration de la pluie.
La rivière est déconnecté de la nappe; l’alimentation de l’aquifère
est définie par l’infiltration percolant à travers la zone non
saturée.
Exemple de conditions aux limites de type « DEBIT IMPOSE »
Identification de la nature des conditions au limites
L’objectif de l’étude est de déterminer la répartition des paramètres hydrodynamiques K et T sur toute la zone d’étude.Le travail se base sur des valeurs mesurés sur place soit de T ou de K dans des points expérimentaux.L’objectif est de trouver T dans l’ensemble des nœuds de la zone d’étude.
N° noeud T S K H calculée H observée ΔH Q (infi, rechar, exploi 1 2 3 4 5 6 . . . . n
Mesurée
Mesurée
mesurée
Le fichier que le code va lire est de la forme suivante:
3. Modélisation en régime permanent
2-Calage et validation : deux étapes nécessairement distinctesLe calage d'un modèle hydrogéologique permet d'identifier les
données non mesurées (paramètres hydrodynamiques, recharge, conditions aux limites,…) en ajustant les hauteurs piézométriques calculées aux hauteurs mesurées. Cet ajustement peut être effectué de manière manuelle par essais-erreurs ou à l'aide d'algorithme de minimisation, plus communément appelé calage automatique. Cette méthode permet de proposer plusieurs jeux de données cohérents avec l'ensemble des informations quantitatives (niveaux de nappe, valeurs de transmissivité) et qualitatives (zonation, ordre de grandeur de la recharge,…) disponibles. Cette recherche de l'ensemble des solutions possibles et compatibles avec toute l'information existante permet une évaluation des imprécisions liées au calage du modèle, imprécisions qui peuvent avoir un effet important sur la fiabilité des prédictions.
La transmissivité est considérée, généralement, comme facteur clé du calage d’un modèle d’écoulement souterrain en régime permanent.Se fait par un ajustement directe dans chaque maille la transmissivité pour se rapprocher du gradient de charge observé.
Les valeurs des transmissivités doivent être ajustées jusqu’à ce que les isopièzes calculées soient devenues très proches de celles tracées à partir des mesures.
Finalement, la piézométrie obtenue doit être acceptable.
4. Calage
Il s’agit de résoudre l’équation suivante: 0 sqgradhTdiv
Il faut s’armer avec des données:Avec une coupe de reconnaissance montrant * l’épaisseur des couches
*changements de faciès *différencier les zones de différentes
K
Stratégie du Calage
Le calage commence par zone de l’amont vers l’aval et on enregistre les résultats de T
On aura une base de données calculée de h
On calcul l’ajustement entre la piézométrie calculée et celle observée pour tous les mailles
r
rc
hhh hc = pizométrie calculée
hr = pizométrie de reconnaissance
L’ajustement doit être très faible
Calage en régime permanent
K énitra
Oue
d F ou
a ra t
Légende
Oc é
an A
tl ant
iqu e
5K m
9 0
7 0
5 0
5 0
3 0
3 0
3 0
1 0
1 0
1 0
0
0
0Isop ièze calcu lée
Lorsque le calage des deux piézométries calculée et observée est correct, il est nécessaire de vérifier la conservation des flux en eau. Le code numérique permet d’accéder au bilan en eau de chacun des termes d’écoulement et au bilan total. Le calage piézométrique effectué simule très correctement la piézométrie de référence et présente un bilan total presque nul
Termes d’écoulement Entrées Sorties Entrées - Sorties
Emmagasinement 0 0 0
Puits 0 -26.43 -26.43
Recharge (irrigation) 0.05 0 0.05
Flux aux limites 41.46 -15.29 26.17
Rivière (drainance) 0 0 0
Total 41.51 -41.72 -0.21
étude de sensibilité des paramètres (influence des paramètres)
Avant toute utilisation de modèle, il convient de réaliser une étude sensibilité du modèle aux différents paramètres. Cette démarche concerne
plus le système étudié que l’outil lui-même.
L’intérêt d’une telle pratique est multiple:
Il permet tout d’abord de connaître la précision nécessaire pour l’introduction de chaque paramètre.
Il permet aussi de distinguer les processus qui vont influencer fortement le résultats de ceux qui auront une incidence faible.
Vérifications préalables à l’utilisation du modèleAvant toute utilisation du modèle, il convient de vérifier autant que
possible, le bon fonctionnement du modèle.
Des problèmes de fonctionnement peuvent être dus à :
*à certains paramètres ou données initiales totalement incorrectes (trop différents des conditions réelles de terrain) qui
provoquent une incohérence.
*à des mauvais choix quant à la discrétisation dans le temps ou dans l’espace.
*à des options mal choisies (notamment les valeurs de t) pour les ruptures de situation:
passage de régime permanent à régime transitoire passage d’une situation transitoire à une autre
situation transitoire très différente
Répartition spatiale de la transmissivité
- Transmissivités élevées varient :- entre une valeur maximale de 4.4.10-2 m²/s enregistrée dans le secteur de Sidi Taibi (Zone très productive);- et une valeur minimale atteignant 4.10-3 m²/s au Sud-Est du la zone
- Zonation des transmissivtés concorde avec la variabilité de la profondeur de substratum imperméable de la nappe côtière Gharb-Maamora.
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.016
0.044
Kénitra
5 Km
Tra
ns
mis
siv
ité
en
m2 /
s
Sidi Taibi
Ahmed Taleb
Kénitra
K énitra
Oue
d Fou
a ra t
5 K m
Oc é a n A
t l an t i q
u e
Perméabilité en m/s
8 10-4
4 10-4
2 10-4
1 10-4
5 10-5
Répartition spatiale de la perméabilité
-Perméabilités très élevées (5 10-5 et 8 10-4 m/s) ;-Les secteurs Ahmed Taleb et Sidi Taibi sont très productifs;-Les fortes productivités des secteurs sont liées :
-aux variations lithologiques -à la fracturation;-à la dissolution.
Modélisation en régime transitoire (non stationnaire)
On prend un état initial d’où on démarre les calculs exemple pour un état de Juillet 2006 on prend la piézo de référence 7/2006 et on va calculer et caler l’état de 7/2007.Tous les fonctions sources prises sont depuis 8/2006 (P, Infil, Evapo, Q, recharge…..)Tous pour calculer S.
x
Txhx
y
Tyhy
S
ht
Q
Tester le modèle:Il faut tester le modèle sur les différents mailles du projet et voir dans les points contrôlés les valeurs calculés sont-il proches?
Valider le modèle par exploitation du modèle sur d’autres étatsOn va le tester sur un autre état piézo et voir la réponse de la nappe.
Outil de gestion: La modélisation est un outil de gestion des ressources en eau•Evolution de la réserve et la réaction de la nappe•planification de l’exploitation des ressources en eau
Analyse sensitive:Si on change un peu T et S on voit la sensibilité du modèle.
La modélisation est un outil de simulation : (outil de prévision)
On injecte dans le même modèle les Q avec lesquels on va exploiter la nappe on fait tourner le programme. On va voir la réaction de la nappeInversion de flux et on va voir la réaction d’une injection d’un contaminant
On calcul le rapport de diffusivité T/S:Si on calcul T et S pour chaque nœud ou mail on peut calculer le rapport T/S et qui est un moyen de gestion de la nappe:Si j’ai à forer des forages je doit les forer dans des zones où T/S est grand.
Outil de prédiction et outil de prédiction de la sensitivité.