1

Modeliranje i proračun parametara trofaznih elemenata EES u

sistemu faznih vrijednosti

Modeliranje elemenata trofazne električne mreže u sistemu faznih vrijednosti (tropolno

modeliranje) se koristi pri analizi nesimetričnih stanja EES (kratki spojevi). Tropolno modeliranje se

može koristiti i kod analize simetričnih stanja EES, ali to zahtijeva znatno vede memorijske

kapacitete računara i veda vremena izračunavanja u odnosu na jednopolno modeliranje. Tropolne

šeme u sistemu faznih vrijednosti su opisane trofaznim, kvadratnim i simetričnim matricama faznih

vrijednosti sa konstantnim parametrima. Posebna pogodnost sistema faznih vrijednosti, u odnosu

na sistem simetričnih komponenti, koji se također može koristiti u analizi nesimetričnih stanja, je u

tome što trofazni modeli uzimaju u obzir nesimetriju pojedinih elemenata trofaznog sistema, koja

može postojati u normalnom pogonu.

Prilikom modeliranja i proračuna matrice impedansi odgovarajudih elemenata trofaznog

sistema u sistemu faznih vrijednosti, potrebno je uzeti u obzir vlastite i međusobne impedanse

između pojedinih faza. Ove matrice se u vedini praktičnih analiza određuju na osnovu zadatih

impedansi u sistemu simetričnih komponenti, za pojedine elemente trofaznog sistema. Kod

određivanja tropolne zamjenske šeme dvonamotajnog trafoa u sistemu faznih vrijednosti

potrebno je uzeti u obzir spregu namotaja, te način uzemljenja neutralne tačke trafoa.

U nastavku je izložen postupak formiranja statičkih modela i proračuna parametara

pojedinih elemenata u analizi simetričnih i nesimetričnih stanja trofaznog EES: nadzemni vod,

kabel, generator, dvonamotajni transformator, potrošač, modna mreža.

Standardni grafički simboli pojedinih elemenata EES, koji se koriste kod formiranja

grafičkog modela mreže prema IEC 117-2 i JUS N.A3 standardima su dati na slici 1:

GENERATOR

DVONAMOTAJNI

TRANSFORMATOR

UZEMLJENJE

TRONAMOTAJNI

TRANSFORMATOR

AUTO TRANSFORMATOR

SABIRNICA

REGULACIJONI

DVONAMOTAJNI

TRANSFORMATOR

NADZEMNI VOD

KABEL POTROŠAČ

Slika 1 - Standardni grafički simboli osnovnih elemenata EES

~

2

Modeliranje trofaznog visokonaponskog (VN) nadzemnog voda

U nastavku je izložen postupak formiranja zamjenske šeme i proračun parametara VN

trofaznog jednostrukog voda (tri fazna međusobno paralelna provodnika, koja su paralelna sa

zemljom) u sistemu faznih vrijednosti, bez uzimanja u obzir uticaja snopastih vodiča i

gromobranskih užadi, uz dodatne pretpostavke i zanemarenja.

Na električnim nadzemnim vodovima, prisutni su sljededi efekti:

1. prolaz struje duž provodnika izaziva pojavu Joule-ovih gubitaka i ovaj efekat se, prema

teoriji električnih kola, može predstaviti otpornikom,

2. proticanje vremenski promjenljive struje duž provodnika, koji se nalazi u prostoru

sopstvenog promjenljivog magnetnog polja, uzrokovade pojavu elektromagnetne

samoindukcije što se, u skladu sa teorijom električnih kola, karakterizira induktivitetom,

3. zbog nesavršenosti dielektrika, u odnosu na provodnik, dodi de do oticanja struje duž

provodnika, što se uzima u obzir preko odvodnosti kao elementa teorije električnih

kola,

4. kada se provodnik nalazi na nekom potencijalu u odnosu na zemlju, ili druge provodne

mase, između kojih se nalazi dielektrik, pojavide se struja pomjeraja kroz dielektrik, a

što se može, prema teoriji električnih kola, predstaviti kondenzatorom.

Ove se veličine mogu tretirati kao koncentrisane veličine, koje su raspodijeljene duž voda.

Zavise od svojstva materijala od kojih su izrađeni provodnici, koji čine VN vod, karakteristika

okoline koja ih okružuje, i geometrijskih odnosa dijelova voda međusobno i prema okolini.

Razmatraju se homogeni vodovi, kod kojih se zanemaruje moguda promjenljivost otpornosti,

induktivnosti, provodnosti i kapacitivnosti duž voda. Dakle, radi se o konstantnim veličinama voda,

koje su ravnomjerno raspodijeljene duž voda i daju se po jedinici (kilometru) dužine voda.

Električni parametri, koji opisuju trofazni vod po jedinici dužine voda su:

1. – otpornost voda po jedinici dužine voda i po fazi,

2. – induktivnost voda po jedinici dužine voda i po fazi, odnosno induktivna

reaktansa voda, .

3. – aktivna provodnost, konduktansa voda po jedinici dužine voda i po fazi,

4. – kapacitivnost voda po jedinici dužine voda i po fazi, odnosno kapacitivna

reaktansa voda,

ili susceptansa voda,

,

pri čemu je kružna učestanost, , za ,

5. – ukupna dužina voda u km.

Sve četiri veličine su kontinuirano raspodijeljene duž voda. Prema teoriji linearnih

električnih kola sa koncentrisanim parametrima i u odnosu na fizikalnost elektromagnetnih

procesa, koji su zastupljeni ovim parametrima, definiran je njihov međusobni odnos na veoma

malom dijelu voda, dužine (slika 2).

3

Slika 2 - Jednopolna zamjenska šema voda

Dakle, vodovi se mogu ekvivalentirati kao linearna električna kola sa ravnomjerno

raspodijeljenim parametrima duž voda, odnosno koncentrisanim parametrima ako se uzme cijeli

vod. Jednopolni prikaz trofaznog voda ima smisla i opravdan je za slučaj simetričnih prilika na vodu

u normalnom pogonskom stanju, kao i kod proračuna tropolnih kratkih spojeva u slučaju pogonske

i geometrijske simetrije voda. Povratni neutralni vodič (zemlja ili uzemljeno zaštitno uže) je fiktivan

(provodnik bez impedanse) i struja kroz povratni neutralni provodnik, pri simetričnim stanjima u

sistemu, iznosi nula, jer naponi i struje čine simetričan sistem čija je suma jednaka nuli.

Na osnovu slike 2, nadzemni vod ili kabel se može predstaviti serijskom ili podužnom

impedansom po jedinici dužine voda:

te paralelnom ili otočnom admitansom, odnosno provodnošdu:

Vidimo da kod modeliranja voda i formiranja zamjenske šeme imamo dva strujna kola:

serijsko (impedantno) i otočno (admitantno ili kapacitivno), predstavljeni odgovarajudim

električnim veličinama i . Visokonaponski vod se za analizu velikog broja problema

EES, najčešde modelira preko ekvivalentnih , ili zamjenskih šema.

Za vodove koji su kradi od 50 km, otočna grana se može zanemariti, odnosno matrica

kapaciteta, te se tada razmatra samo serijska grana voda, odnosno matrica serijskih impedansi. U

visokonaponskim mrežama aktivni otpor je mnogo manji od induktiviteta, pa se može zanemariti

kod proračuna kratkih spojeva. Uvažavajudi navedena zanemarenja dobijemo sljededu jednopolnu

šemu voda:

Slika 3 - Pojednostavljene zamjenske šeme VN voda

𝑅𝑣 ∙ 𝑙 𝐿𝑣 ∙ 𝑙

𝐺𝑣 ∙ 𝑙 𝐶𝑣 ∙ 𝑙

𝑙

𝑅𝑣 𝑗𝑋𝑣 𝑗𝑋𝑣

𝑈 𝑈2 𝑈 𝑈2

4

Pri nesimetričnim stanjima (jednopolni kratki spoj) postoji povratna struja kroz neutralni

provodnik ( . Uslov postojanja ove struje (ovdje se ne misli na kapacitivne struje

jednopolnog zemljospoja) na vodovima za vrijeme trajanja kratkog spoja svodi se na mogudnost

proticanja struje kroz povratni provodnik (zemlju). Mogudnost proticanja povratne struje kroz

zemlju zavisi od krajeva dalekovoda (terminali), odnosno uzemljenja zvjezdišta transformatora u

pripadajudim razvodnim postrojenjima. Za slučaj nesimetričnih prilika na vodu, jednopolni model

voda više nije validan, pa je potrebno koristiti tropolni model voda i sistem faznih vrijednosti za

proračun parametara voda ili nultu, odnosno inverznu šemu sistema simetričnih komponenti. Kod

tropolnog modeliranja se umjesto jednofaznih veličina koriste trofazne matrice impedansi i

admitansi trofaznog voda.

I. Matrica serijskih impedansi trofaznog voda:

[ ]

pri čemu su:

[ ] – matrica serijskih impedansi VN voda, reda ,

– matrica aktivnih otpora, reda ,

– matrica induktiviteta, reda .

U razvijenom obliku, za slučaj trofaznog voda, čije su faze označene sa , i , respektivno:

[ ]

[

]

Ova matrica je kvadratna i simetrična, reda . Za sistem od vodiča, ova matrica je

reda . Zadaje se po jedinici dužine, .

Dijagonalni članovi ove matrice predstavljaju vlastite impedanse pojedinih vodiča trofaznog

voda, dok su vandijagonalni članovi međusobne impedanse između odgovarajudih vodiča tj.:

– vlastita impedansa vodiča po jedinici dužine voda,

– vlastita rezistansa (aktivni otpor) vodiča ,

– vlastiti induktivitet vodiča ,

– međusobna impedansa između vodiča i .

– međusobna rezistansa (aktivni otpor),

– međusobni induktivitet.

5

Aktivni otpor pri izmjeničnoj struji se razlikuje od aktivnog otpora pri istosmjernoj struji,

zbog uticaja skin efekta, za korekcioni otpor. Također, je potrebno uzeti u obzir i uticaj zemlje na

induktivitet i aktivni otpor preko Carsonovih korekcionih faktora:

pri čemu je:

– vlastiti aktivni otpor vodiča, koji se sastoji od aktivnog otpora pri istosmjernoj struji i

korekcionog otpora koji uzima u obzir porast otpora zbog skin efekta ( .

– dodatni aktivni otpor prouzrokovan prisustvom zemlje,

– vlastiti induktivitet vodiča postavljenog u slobodnom prostoru,

– dodatni induktivitet prouzrokovan prisustvom zemlje.

Analogno, prethodnoj konstataciji se može izvesti i izraz za međusobnu impedansu između

vodiča i , koja uzima u obzir uticaj skin efekta i prisustvo zemlje.

Dijagonalni i vandijagonalni članovi matrice [ ]

međusobno se razlikuju. Međutim kod

perfektno transponiranog voda (perfektno preplitanje voda) može se uzeti da su svi dijagonalni

članovi međusobno jednaki, kao i vandijagonalni članovi, pa matrica serijskih impedansi idealnog

trofaznog voda ima sljededi oblik:

[ ]

[

]

gdje je:

– vlastita impedansa vodiča po jedinici dužine voda,

– međusobna impedansa između pojedinih faza.

Vidimo da se u praksi geometrijska nesimetrija postiže preplitanjem, odnosno

transpozicijom faza, sa idejom da se duž cijele trase dalekovoda faza pojavljuje geometrijski na

po 1/3 trase i na pozicijama faza i (slika 4).

Slika 4 - Ilustracija preplitanja faza

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑎

𝑎 𝑐

𝑐

𝑐

𝑙𝑣 𝑙𝑣 𝑙𝑣

6

U praksi ovo podrazumijeva posebno ojačane stubove za preplitanje faza. Preplitanje se vrši

ako je zadovoljena nejednakost:

∙

odnosno ako je proizvod nominalnog napona voda u i dužine voda u vedi od date

vrijednosti. Pokazuje se da je ova nejednakost zadovoljena za vodove naponskih nivoa i

.

II. Matrica otočnih provodnosti ili admitansi trofaznog voda:

Kod analize kratkih spojeva, može se zanemariti aktivna provodnost ili konduktansa

visokonaponskog voda ( ), pa je matrica otočnih provodnosti definirana kao:

[ ]

Matrica nultih kapaciteta voda prenosi svoje osobine na matricu otočnih provodnosti voda

i ima sljededi oblik:

[

]

Ova matrica je kvadratna, simetrična matrica reda Zadaje se po jedinici dužine

(farada po kilometru). Negativne vrijednosti vandijagonalnih članova ove matrice predstavljaju

međusobne kapacitete između vodiča i vodiča ( ). Dijagonalni članovi matrice kapaciteta

jednaki su sumi dozemnog kapaciteta razmatranog vodiča i svih međusobnih kapaciteta toga

vodiča sa ostalim vodičima.

Kao i kod matrice serijskih impedansi za slučaj perfektno transponiranog voda, može se

uzeti da su svi dijagonalni članovi matrice kapaciteta međusobno jednaki, kao i vandijagonalni

članovi, pa se dobije sljededa matrica:

[

]

gdje je:

– dozemni kapacitet vodiča sa zemljom,

– međusobni kapacitet između dvije faze.

Vidimo da je suma članova bilo kojeg reda ili bilo koje kolone jednaka dozemnom

kapacitetu. Na sljededoj slici su definirani međusobni i dozemni kapaciteti trofaznog simetričnog

voda (raspored provodnika na tjemenima jednakostraničnog trougla):

7

Slika 5 - Definiranje dozemnih i međusobnih kapaciteta trofaznog simetričnog voda

Nakon kreiranja matrice serijskih impedansi i matrice kapaciteta u sistemu faznih

vrijednosti simetričnog voda, mogude je definirati zamjensku šemu visokonaponskog voda,

također, u sistemu faznih vrijednosti. Ekvivalentna i zamjenska šema trofaznog simetričnog

voda u razvijenom obliku je data na slikama 6 i 7:

Slika 6 - zamjenska šema trofaznog voda

Slika 7 - zamjenska šema trofaznog voda

N

𝐶 𝐶

𝐶

𝐶𝑚 𝐶𝑚

𝐶𝑚 𝑎 𝑐

𝑏

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎′

𝑏′

𝑐′

𝑍𝑣

𝑍𝑣

𝑍𝑣

𝑍𝑚

𝑍𝑚

𝑍𝑚 𝐶𝑚 𝐶𝑚

𝐶𝑚

𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶

𝐶𝑚 𝐶𝑚 𝐶𝑚

𝑈𝑎 𝑈𝑏 𝑈𝑐 𝑈𝑎′ 𝑈𝑏′ 𝑈𝑐′

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐

𝐼𝑁

𝑎′

𝑏′

𝑐′

𝑍𝑣

𝑍𝑣

𝑍𝑚

𝑍𝑚

𝑍𝑚 𝐶𝑚

𝐶𝑚

𝐶 𝐶 𝐶

𝐶𝑚

𝑈𝑎′ 𝑈𝑏′ 𝑈𝑐′

𝐼𝑏

𝐼𝑐

𝐼𝑎

𝑈𝑎 𝑈𝑏 𝑈𝑐

𝑎

𝑏

𝑐

8

U analizama kratkih spojeva i podužnih nesimetrija trofazni visokonaponski vod

predstavljamo uglavnom preko trofaznog četveropola, čiji je simboličan prikaz dat na slici 8.

Slika 8 - Modeliranje visokonaponskog voda – sistem faznih vrijednosti

Za formiranje prethodno izloženih matrica perfektno transponiranog trofaznog voda, u

vedini praktičnih zadataka analize EES, se koriste podaci voda proračunati u sistemu simetričnih

komponenti. Matrice serijskih impedansi i otočnih provodnosti u sistemu simetričnih komponenti

se dobiju korištenjem transformacijske matrice i matrice impedansi, odnosno admitansi u

sistemu faznih vrijednosti:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

pri čemu je:

[ 2 2

] 2

pa se dobije:

[ ]

[ 2

2 ] [

] [ 2 2

] [

]

[ ]

[

] [

]

Pomodu sljededeg izraza mogude je odrediti vlastitu i međusobnu impedansu trofaznog

simetričnog voda na osnovu poznatih impedansi šema simetričnih komponenti:

[𝑍]𝑣

[𝑌]𝑣 [𝑌]

𝑣

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎′

𝑏′

𝑐′

[𝑈]

[𝑈]2

𝐼𝑏

𝐼𝑐

𝐼𝑎

9

Isto se dobije i za matricu admitansi:

[ ]

[

] [

]

Iz prethodnih relacija se vidi cilj uvođenja simetričnih komponenti, a to je potpuna

dijagonalizacija matrica faznih vrijednost [ ]

i [ ]

. Na ovaj način je izvršena potpuna

dekompozicija problema, jer su impedanse (kapaciteti) međusobnog uticaja pojedinih šema

simetričnih komponenti jednake nuli, čime je omogudeno predstavljanje trofaznog simetričnog

voda pomodu tri nezavisne zamjenske šeme: direktna, inverzna i nulta. Ovakav pristup problemu

omogudava znatno brže i jednostavnije rješavanje nesimetričnih stanja EES, što je bilo naročito

važno u doba sporih računara.

Za slučaj kad vod nije perfektno transponiran ili kad vodovi nisu simetrični jedan u odnosu

na drugi, vandijagonalni članovi matrice u sistemu simetričnih komponenti nisu jednaki nuli

(znatno manji od dijagonalnih članova), čime nismo postigli željenu dijagonalizaciju. Zbog toga se i

vrši transponiranje faznih provodnika. Mjera nesimetrije je faktor nesimetrije :

Tipične vrijednosti ovih faktora za realne dalekovode iznose negdje oko što znači

postojanje nesimetrije do . U nastavku je izložen postupak određivanja direktne i nulte

impedanse voda.

Direktna, inverzna i nulta impedansa nadzemnog voda

Da bi se odredila direktna, inverzna i nulta impedansa voda potrebno je poznavati

geometriju faznih vodiča, dužinu i presjek vodiča, vrstu materijala od kojeg su izrađeni vodiči,

konstrukciju voda, temperaturu okoline, te vrijednost specifičnog otpora tla. Za slučaj nadzemnog

jednostrukog trofaznog voda, kod kojeg su udaljenosti između faza , i , respektivno,

odgovarajuda direktna impedansa iznosi :

⁄

pri čemu je:

– aktivni otpor voda po jedinici dužine voda ( ),

– permeabilnost prostora ( ),

– međusobna srednja geometrijska udaljenost faznih vodiča u metrima, a određuje se prema

sljededoj relaciji:

√

10

– vlastita srednja geometrijska udaljenost faznog vodiča u metrima i iznosi:

za homogeni fazni vodič okruglog punog profila, pri čemu je poluprečnik faznog vodiča u

metrima.

U slučaju užadi (što je standardna praksa kod nadzemnih vodova) ova vrijednost je

nešto veda, a približna vrijednost se može dobiti iz izraza:

√ 2

gdje je:

– broj žica, koje čine uže,

– poluprečnik pojedinačne žice.

U slučaju užadi sa čeličnim jezgrom, uticaj jezgra se ogleda u povedanju induktiviteta,

odnosno reaktanse vodiča, ali se taj uticaj može zanemariti u praktičnim analizama, jer iznosi svega

nekoliko procenata u odnosu na ukupnu reaktansu voda.

Aktivni otpor voda na temperaturi ambijenta se određuje na osnovu specifičnog otpora

materijala, na temperaturi ambijenta, od kojeg je vodič napravljen prema sljededoj relaciji:

2 2

2

gdje je:

2 – jedinični otpor voda na temperaturi ambijenta ( ,

2 – specifični zapreminski otpor materijala od kojeg je vodič izrađen, na temperaturi ambijenta

( 2 ,

– dužina vodiča ( ,

– poprečni presjek vodiča ( 2).

S obzirom da se fazni vodiči sastoje od određenog broja elementarnih vodiča, to je za svaki

elementarni vodič potrebno odrediti njegovu aktivnu otpornost. Ukupna otpornost se dobije

paralelnom kombinacijom aktivnih otpora pojedinih elementarnih vodiča ( :

∑

Kod određivanja dužine faze voda potrebno je voditi računa o tome da su elementarni

vodiči spiralno namotani, te je njihova dužina za nekoliko procenata veda od dužine faznog vodiča

(užeta).

11

Jedinični aktivni otpor na temperaturi koja je različita od temperature ambijenta iznosi:

2

gdje je:

– jedinični otpor na temperaturi ,

– temperaturni koeficijent materijala vodiča .

Kod nesimetričnog stanja u sistemu potrebno je poznavati impedansu inverznog i nultog

redosljeda. S obzirom da su vodovi statički elementi (nemaju pokretnih dijelova), direktna i

inverzna matrica impedansi su jednake:

Nulta impedansa, pri nesimetričnim stanjima u sistemu, je od interesa sa aspekta povratne

struje kroz zemlju ( ). Određuje se na osnovu eksperimentalno dobivene Carsonove formule

koja glasi:

√ 2

pri čemu je ekvivalentna dubina prodiranja povratne struje u tlu (fiktivna srednja geometrijska

udaljenost), a može se dobiti iz izraza:

√

gdje su:

– prosječna vrijednost specifičnog otpora tla ,

– pogonska frekvencija mreže ( ).

Vidimo da nulti aktivni otpor nadzemnog voda iznosi:

za

gdje je:

– jedinični, podužni aktivni otpor zemlje.

Objašnjenje za faktor 3 kod aktivnog otpora zemlje svodi se na činjenicu da kroz zemlju

teče trostruka nulta struja kvara. Iz tog razloga se i sve ostale impedanse povratnog puta struje

mogu prebaciti u fazni provodnik, tako da se pomnože sa 3.

Možemo primijetiti da aktivni otpor zemlje ne zavisi od specifičnog otpora tla, nego samo o

frekvenciji mreže. Na iznos nulte impedanse utiče i postojanje uzemljenog zaštitnog užeta i vrste

materijala od kojega je napravljeno, jer se nulta struja kvara može zatvoriti i kroz zaštitno uže.

12

U vedini praktičnih analiza iznos nultog i direktnog aktivnog otpora visokonaponskog voda

se zanemaruje i uzima se u obzir samo reaktansa. Odnos nulte i direktne reaktanse je:

- za slučaj trofaznog voda bez zaštitnog užeta,

- za slučaj zaštitnog užeta napravljenog od magnetnog materijala (čelik),

- za slučaj zaštitnog užeta napravljenog od nemagnetnog materijala ( ).

Direktna, inverzna i nulta reaktansa kabela

Kod jednožilnih kabelskih vodova svaka žila posjeduje zaštitni metalni plašt, a polaganje

kabela se vrši u zemlju ili kabelski kanal na odgovarajudi način. Udaljenost između osovina

pojedinačnih žila kabela je relativno mala u odnosu na poluprečnik samog vodiča. Pri tome je

odnos međusobne srednje geometrijske udaljenosti faznih vodiča u odnosu na vlastitu srednju

geometrijsku udaljenost znatno manja nego kod nadzemnih vodova, tako da je reaktansa kabela

znatno manja u odnosu na reaktansu zračnog voda istog presjeka. Izraz za reaktansu kabela je

identičan izrazu za reaktansu nadzemnog voda.

Postojanje vanjskog plašta kabela i elektromotorne sile samoindukcije u njemu utiče na

smanjenje ukupnog induktiviteta, odnosno reaktanse kabela za približno . S obzirom da

je ovaj uticaj mali u praksi se zanemaruje.

U slučaju trožilnih kabela kada se sve tri žile kabela nalaze unutar zajedničkog metalnog

plašta, on ne utiče na direktnu reaktansu kabela, jer je ukupni magnetni fluks unutar i van plašta

kabela jednak nuli.

Ne postoje jednostavni izrazi koji omogudavaju izračunavanje nulte reaktanse kabela preko

poznate vrijednosti direktne reaktanse. Zbog toga se nulta reaktansa kabela obično dobiva na

osnovu:

1. mjerenja i ispitivanja kabela nakon izvedbenog stanja,

2. tvorničkih podataka proizvođača,

3. preko nekih od dostupnih empirijskih izraza iz literature.

Zamjenska šema sinhronog generatora

Kod modeliranja sinhronog generatora potrebno je razlikovati njegov stacionarni i

dinamički model, koji se koristi kod analize prelaznih procesa.

Trofazni sinhroni generatori sa neistaknutim (cilindrični rotor) i istaknutim polovima

(podužna i poprečna osa rotora) na rotoru imaju dominantnu ulogu u proizvodnji električne

energije u EES na izmjeničnom naponu, sa fazama a, b i c (slika 9).

13

Slika 9 - Šematski prikaz sinhrone mašine

Za potrebe proračuna stacionarnih i simetričnih stanja u mreži pri normalnom pogonu

(simetrični elementi mreže) ili pri tropolnom kratkom spoju, trofazni sinhroni generator se

modelira prema jednopolnoj ekvivalentnoj zamjesnkoj šemi sa slike 10. Kompleksne vrijednosti

struja i napona ostale dvije faze se dobiju jednostavnim rotacijama fazora ( ). Pri analizi

simetričnih stanja (tokovi snaga i proračuni napona) u EES, generatori se obično posmatraju kao

konstantni izvori snage ( ) ili strujni izvori ( ), odgovarajude impedanse

( ) i napona na sabirnicama ( ), gdje je generator priključen na mrežu.

Slika 10 - Statički model sinhronog generatora

a) veza sa mrežom b) ekvivalentna jednopolna zamjenska šema

Elektromotorna sila generatora ( ) i impedansa generatora označena sa u kojoj

dominira sinhrona reaktansa, koja je jednaka direktnoj impedansi u slučaju jednopolnog

modeliranja, imaju različite vrijednosti u zavisnosti od toga koji se fenomen izučava u sinhronoj

mašini. Kod proračuna kratkih spojeva i proračuna stabilnosti generator se ekvivalentira svojom

impedansom i elektromotornom silom 10b.

Kod proračuna tokova snaga pri stacionarnim analizama potrebno je voditi računa i o

predznacima reaktivne snage:

1. Pozitivna, ako se injektira u sistem (nadpobuđeni režim),

2. Negativna, ako se apsorbira iz sistema (podpobuđeni režim).

Kod modeliranja jednopolnih šema trofaznog generatora posebnu pažnju je potrebno

posvetiti načinu interpretacije radnih veličina (napon i struja), tj. da li de se koristiti kao linijske ili

kao fazne veličine, što za posljedicu ima promjenu snage. Sve fazne veličine demo označavati sa

slovom u indeksu radne veličine.

𝑎

𝐼𝑓

+ -

klizni prstenovi

Četkice na rotoru

Trofazni namotaj na statoru

spojen u zvijezdu

Pobudni namotaj na rotoru

ojen u zvijezdu

𝑏

mreža

𝑈𝑓𝐺

𝑆𝐺 𝑃𝐺 𝑗𝑄𝐺

~ 𝐸𝑓𝐺

𝑍𝐺 𝑆𝐺

𝑐

14

Za potrebe proračuna nesimetričnih stanja u mreži sistemom faznih vrijednosti,

uzrokovanih poremedenim režimom usljed kojeg se javlja prelazni proces na trofaznom generatoru

(kratki spoj na krajevima generatora ili negdje u mreži), potrebno je odrediti pored direktne

impedanse generatora i ostale dvije impedanse sistema simetričnih komponenti. Određivanje ovih

triju impedansi je veoma složen postupak, jer spregnuta magnetna kola u generatoru zbog

obrtanja rotora mijenjaju svoj međusobni položaj, te se impedanse periodično mijenjaju. Pored

toga fenomeni kao aperiodična komponenta struje kvara, nelinearnost magnetnih kola i sl.,

također moraju biti obuhvadeni u dovoljnoj mjeri, u kojoj to zahtijeva problem koji se rješava, za

potrebe određivanja impedansi generatora u prelaznom procesu. Matematičke relacije i analitički

proračun dinamičkog modela trofaznog sinhronog generatora su veoma komplicirane i zahtijeva se

poznavanje teorije vektorskih polja. Mjera prelaznog procesa u sinhronom generatoru su

vremenske konstante u karakterističnim vremenskim periodima.

Kod sinhronih generatora direktna i inverzna impedansa su različite. Direktna impedansa se

mijenja sa vremenom u različitim režimima rada generatora tokom prelaznog procesa, dok se

inverzna i nulta impedansa ne mijenjaju sa vremenom. S obzirom da je aktivni otpor generatora

znatno manji od reaktanse, isti se obično zanemaruje, kao i otočna provodnost namotaja

generatora. Uvažavajudi navedena zanemarenja sinhrona, podužna impedansa generatora ima

sljededi oblik:

Direktna reaktansa generatora se mijenja sa vremenom, tako da njen iznos zavisi od

vremena u kojem se posmatra poremedaj (kratki spoj). Ova vremena se posmatraju kao

kvazi(stacionarna) karakteristična stanja. U trenutku nastanka kratkog spoja generator ima

početnu (subtranzijentnu) reaktansu ′′ , a nakon nekoliko perioda (do 0,1s) prelaznu,

tranzijentnu reaktansu ′ , da bi nakon nekoliko sekundi od momenta nastanka kvara generator

imao stalnu, sinhronu reaktansu Trajni period nastupa nakon iščezavanja tranzijentnog

perioda, ali do njega se obično ne dolazi, jer zaštita po pravilu reaguje prije (osim kod

zemljospojeva). Impedansa u subtranzijentnom periodu je mjerodavna za određivanje udarne

struje kratkog spoja, koja je važna sa aspekta dinamičkih naprezanja opreme u sistemu.

Tranzijentna reaktansa zavisi od vremenske konstante generatora i ona je obično mjerodavna za

proračun rasklopne snage prekidača, jer u tom periodu dolazi do djelovanja uređaja relejne zaštite

i isklopa prekidača. Stacionarna ili sinhrona reaktansa se koristi kod proračuna termičkih

naprezanja i njena vrijednost je obično desetak puta veda od prethodnih reaktansi. Također treba

napomenuti da generator posjeduje pored podužne, direktne reaktanse i poprečnu reaktansu

, koje se razlikuju kod sinhronih generatora sa istaknutim polovima na rotoru

(hidrogeneratori). Kod proračuna stacionarnih kratkih spojeva postojanje ove razlike se obično

zanemaruje.

15

U praktičnim zadacima proračuna simetričnih kratkih spojeva generator se obično

predstavlja preko sljededih parametara:

1. – nazivna snaga generatora (MVA),

2. – nazivni linijski napon generatora (kV),

3. – relativna reaktansa (u analizi kratkih spojeva se obično zadaje

subtranzijentna reaktansa)

Odgovarajuda direktna reaktansa generatora se računa prema sljededem izrazu:

2

Kod proračuna nesimetričnih kvarova mora se uzeti u obzir i inverzna reaktansa generatora

. Njena vrijednost se obično daje u podacima za generator i obično je manja od diretkne

reaktanse. Inverzna reaktansa sinhronog generatora se nalazi negdje između subtranzijentnih

reaktansi po direktnoj i poprečnoj osi. Ona se obično računa kao aritmetička sredina ove dvije

reaktanse:

′′ ′′

Ukoliko nije poznata subtranzijentna reaktansa poprečne ose, u praktičnim proračunima se

može uzeti da je ′′ .

Nulta reaktansa generatora zavisi od načina uzemljenja neutralne tačke generatora.

Ukoliko je neutralna tačka izolirana, nulta reaktansa ima beskonačnu vrijednost (ne postoje

kapaciteti generatora), jer nulta komponenta struje se ne može zatvoriti kroz zvjezdište i namotaj

generatora. Ukoliko je zvjezdište generatora uzemljeno nulta reaktansa ima vrijednost i obično

je data u podacima za generator i po pravilu je manja od subtranzijentne direktne reaktanse.

Vrijednost nulte reaktanse generatora približno iznosi:

Na osnovu poznatih podataka o reaktansama generatora, koje se obično zadaju u sistemu

simetričnih komponenti, mogude je modelirati trofazni sinhroni generator preko tropolne

ekvivalentne zamjenske šeme. Ovaj model demo koristiti za analizu i proračun nesimetričnih stanja

u trofaznoj mreži. Formiranje tropolnog statičkog modela sinhronog generatora podrazumijeva

zadavanje, te proračun parametara generatora u sistemu faznih vrijednosti. Pretpostavlja se da su

elektromotorne sile trofaznog generatora simetrične, kao i matrica impedansi koja sadrži podatke

o vlastitim impedansama i međusobnim uticajima između pojedinih namotaja (slika 11).

Međusobni uticaj se u nekim slučajevima može zanemariti.

16

Slika 11 - Zamjenska šema sinhronog generatora u sistemu faznih vrijednosti

Trofazni generator definiramo sa trofaznim vektorom simetričnih elektromotornih sila i

simetričnom, trofaznom matricom impedansi (reaktansi).

[ ]

[

]

[ ]

[

]

Zamjenska šema potrošača

Potrošački aparati su vrlo raznovrsni i u analizama elektroenergetskih sistema njihovi

detaljni individualni modeli su neophodni samo kada su u pitanju velike potrošačke jedinice. U

ostalim slučajevima potrošači se klasificiraju prema kategoriji potrošača (domadinstva,

komercijalna potrošnja, industrija, transport i dr.) u dvije osnovne grupe:

1. Pasivni potrošači - statička potrošnja (termički uređaji, induktiviteti - zavojnice,

kapaciteti - kondenzatori),

2. Aktivni potrošači - rotacione mašine (univerzalni kolektorski, sinhroni i asinhroni

motori).

Kao i kod ostalih elemenata i kod potrošača, također, postoji jednopolni i tropolni model

ekvivalentiranja. Statički potrošači obično se modeliraju preko ekvivalentne impedanse, koja se

sastoji od dvije paralelne grane: aktivni otpor i reaktansa (postoji induktivna i kapacitivna

reaktansa). U literaturi se često može sresti i model potrošača preko serijske veze aktivnog otpora i

reaktanse. Pretpostavidemo radno – induktivni trofazni potrošač sa paralelnom vezom otpora i

reaktanse. Kao i kod generatora, i kod potrošača je potrebno voditi računa o predznaku reaktivne

snage, koji zavisi od karaktera impedanse potrošača:

1. Pozitivna ako se apsorbira iz sistema (induktivni potrošač ili induktivna kompenzacija

reaktorom),

2. Negativna, ako se injektira u sistem (kapacitivni potrošač ili kondenzatorska baterija).

~ ~ ~ 𝐸𝑎𝐺 𝐸𝑏𝐺 𝐸𝑐𝐺

[𝑍]𝐺

17

Ekvivalentna jednopolna zamjenska šema trofaznog, pasivnog potrošača je data na slici 12.

Slika 12 - Jednopolni model trofaznog simetričnog, statičkog potrošača

Potrošači se mogu zadati i preko aktivne i reaktivne snage, te napona na sabirnici gdje je

potrošač priključen na mrežu. Ukoliko napon sabirnice nije poznat on se mora proračunati

analizom tokova snaga u stacionarnom stanju. Na osnovu ovih podataka mogude je ekvivalentirati

potrošač, te proračunati njegovu ekvivalentnu impedansu. Postupak određivanja ekvivalentne

impedanse trofaznog simetričnog potrošača, na osnovu zadate snage i napona, je sljededi:

Za i (zbog radno – induktivnog karaktera impedanse), dobije se:

∙

(

√ )2

(

√ )

2

2

2

gdje su:

– aktivna snaga potrošača ( ),

– reaktivna snaga potrošača (

– linijski napon na sabirnici priključka trofaznog potrošača, koji se često u proračunima uzima

jednak nazivnom naponu (kV).

𝑈𝑓𝑝 𝑈𝑝

√

𝑅𝑝 𝑋𝑝

𝐼𝑝

18

Pri analizi nesimetričnih stanja u mreži koristi se tropolni model potrošača, čije su

impedanse date u formi dijagonalne i kvadratne matrice . U ovim matricama se može uzeti u

obzir i nesimetrija po fazi potrošača. Matrica impedansi trofaznog potrošača u sistemu faznih

vrijednosti je:

[ ]

[

]

Na osnovu poznatih faznih napona mogude je odrediti trofazni vektor struja po svakoj fazi

potrošača prema sljededoj matričnoj jednačini:

[

] [

] [

]

Trofazni potrošači su najčešde spojeni u zvijezdu sa uzemljenom neutralnom tačkom, koja u

slučaju nesimetrije na jednoj fazi (nesimetrično opteredenje), uzrokuje promjene napona i na

ostale dvije faze, pa se zbog toga koristi tropolno modeliranje potrošača. Naravno, postoje i ostale

varijante vezivanja impedansi trofaznog potrošača.

Najznačajniji aktivni potrošadi su sinhroni i asinhroni motori. Asinhroni motori se

predstavljaju na isti način kao i pasivni potrošači, dok se sinhroni motori predstavljaju isto kao i

sinhroni generatori, samo s negativnom vrijednošdu struje.

Model predstavljen na slici 12 je tzv. model konstantne impedanse. Međutim potrošači u

EES u različitim analizama mogu se predstaviti i sa modelima konstantne snage i konstantne struje:

(

) (

)

2 (

) (

)

Gdje indeks označava početne vrijednosti prividne snage i napona, a eksponent k

označava vrstu modela potrošača na sljededi način:

1. – model konstantne snage,

2. – model konstantne struje,

3. – model konstantne impedanse,

(

)

(

)

19

Zamjenska šema dvonamotajnog trofaznog transformatora

Transformatori su pasivni, statički elementi EES, u kojima je inducirana elektromotorna sila

posljedica pobude od strane napojne mreže, što u mreži iza transformatora svara privid da je

transformator aktivni element. Koriste se za prilagođavanje napona nazivnim naponima mreža ili

uređaja, koji se povezuju na mrežu (osim u slučaju izolacionih transformatora). U električnim

mrežama se koriste energetski transformatori, koji služe za povišenje ili sniženje napona i struja uz

pretvaranje značajnih količina električne energije. Grade se kao monofazne i trofazne jedinice. U

nastavku je izložen jednopolni i tropolni statički model energetskog simetričnog dvonamotajnog

transformatora.

Trofazni transformator se može realizirati od tri ista monofazna transformatora, kod kojih

se vanjskim vezama formira odgovarajuda grupa spoja ili kao zasebna trofazna jedinica sa jednim

zajedničkim magnetnim kolom smještenim unutar jedinstvenog kotla transformatora.

Konstruktivno se izrađuju kao dvonamotajni, tronamotajni, autotransformatori (jedan dio

namotaja je zajednički), a po namjeni mogu biti blok-transformatori, mrežni, regulacioni,

distributivni transformatori, itd. Namotaji trofaznih transformatora mogu biti vezani u zvijezdu ili

trokut u različitim kombinacijama (grupama spoja). Zvjezdišta energetskih transformatora mogu

biti uzemljena (direktno, preko otpora ili preko prigušnice) ili izolirana od zemlje.

Jednopolni model uravnoteženog trofaznog transformatora se koristi kod analize

simetričnih stanja u EES. Nadomjesna zamjenska šema realnog transformatora čije su sekundarne

veličine svedene na primarnu stranu je data na sljededoj slici. Preračunavanje sekundarnih veličina

na primarnu stranu, praktično znači da se transformator sa zavoja primara i 2 zavoja

sekundara zamijeni sa transformatorom koji i na primaru i na sekundaru ima namotaje sa

zavoja, što znači da se sve veličine na sekundarnoj strani, vezane za namotaj sa brojem zavoja 2,

zamjenjuju veličinama, koje su vezane za namotaj koji ima zavoja (na osnovu relacija za

prenosni odnos napona, struja i impedanse idealnog transformatora 2⁄ ). Postupak

formiranja nadomjesne šeme transformatora, u kojoj postoji električna (galvanska) veza između

namotaja primara i sekundara, te postupak preračunavanja sekundarnh veličina na primarnu

stranu se nede posebno objašnjavati.

Slika 13 - Nadomjesna šema realnog trofaznog transformatora – jednopolni model

𝑍𝑇 𝑍 𝑍2

𝑌 𝑇 𝑈𝑓 𝑈𝑓2

𝐼 𝐼2

20

Parametri zamjenske šeme trofaznog transformatora se određuju na osnovu ogleda

praznog hoda i kratkog spoja, s tim što za nazivnu snagu transformatora koristimo trofaznu

nazivnu snagu transformatora i umjesto faznih napona koristimo nazivni linijski napon.

Pri ogledu kratkog spoja, sekundarni namotaj je kratko spojen, a na primarnom namotu je

narinut napon koji proizvodi u ovom namotaju struju jednaku nominalnoj struji transformatora. Pri

ovom ogledu određujemo parametre serijske grane transformatora (aktivni otpor i rasipna

reaktansa), proračunavanjem napona kratkog spoja i aktivne snage kratkog spoja, koja predstavlja

gubitke u namotaju transformatora. Kod kratkog spoja zbog male impedanse strane koja je kratko

spojena, može se zanemariti struja kroz otočnu granu, odnosno izostaviti otočna grana

nadomjesne šeme, koja predstavlja gubitke u željezu (aktivni i magnetni gubici).

Pri ogledu praznog hoda, sekundarni namotaj je otvoren, a na primarnom namotaju je

narinut nominalni napon. Pri ovom ogledu se određuje struja praznog hoda primarnog namotaja,

te aktivna snaga gubitaka u magnetnom kolu transformatora, na osnovu kojih se određuju

parametri otočne grane . S obzirom da je impedansa otočne grane mnogo veda od impedanse

serijske grane, to se može zanemariti pad napona na ovoj grani, te je kompletan fazni napon

narinut na otočnu granu.

Osnovni parametri svakog trofaznog transformatora (koji se dobivaju od strane

proizvođača transformatora), a na osnovu kojih se mogu izračunati potrebni električni parametri

transformatora su:

– trofazna nazivna snaga namotaja transformatora ,

– nazivni linijski napon primarnog namota transformatora ,

2 – nazivni linijski napon sekundarnog namota transformatora ,

– napon kratkog spoja namotaja ,

– struja praznog hoda (struja magnetiziranja) ,

– aktivna snaga gubitaka kratkog spoja ,

– aktivna snaga gubitaka praznog hoda .

Na osnovu ovih parametara mogude je odrediti parametre serijske i otočne grane trofaznog

transformatora svedene na viši napon primarnog namotaja:

21

1. Serijska grana

√

√

√

2

2

2

(

√ )2

2

2

√ 2

2

2. Otočna grana

√

√

2

(

√ )2

2

2

2

√ 2

2

Provodnost šentirajude grane i aktivni otpor transformatora mogu se zanemariti, tj.

2

22

Slika 14 - Ekvivalentna šema transformatora

Tropolni model simetričnog trofaznog energetskog transformatora se koristi za analizu

nesimetričnih stanja u EES. Parametri ovakvog modela transformatora se predstavljaju

odgovarajudim matricama u sistemu faznih vrijednosti. Kod određivanja parametara zamjenske

šeme potrebno je voditi računa o sprezi namotaja i vrsti uzemljenja zvjezdišta transformatora.

Simbolični prikaz zamjenske šeme trofaznog dvonamotajnog transformatora u sistemu faznih

vrijednosti (matrični prikaz) sa bilo kojom od četiri osnovne sprege: i je prikazan na

slici 15. Postojanje slova ili uz ili (namotaji povezani u zvijezdu), ukazuje na kruto

uzemljeno zvjezdište. Kad nema navedenih oznaka, zvjezdište je izolirano.

Slika 15 - Ekvivalentna zamjenska šema trofaznog transformatora u matričnom obliku

Matematski model transformatora sa slike 15, napisan metodom napona čvorova glasi:

2

2 2

gdje su:

, 2 – vektori faznih struja primara i sekundara, dimenzija ,

, 2 – vektori faznih napona primara i sekundara, dimenzija ,

, 2 , 2 , 22 – matrični reprezenti serijskih parametara transformatora,

dimenzija , koji su dati u tabeli 1 za sve četiri sprege.

𝑍𝑇 𝑍 𝑍2

𝑈𝑓 𝑈𝑓2

𝐼 𝐼2

𝑈 𝑓 𝑈 𝑓2

𝐼 𝐼 2

𝑌 𝑇 𝑌 𝑇 2

𝑌 𝑇22 𝑌 𝑇2

23

Tabela 1 - Matrični reprezenti serijskih parametara transformatora

Sprega 2 2 22

- -

- - -

- -

- -

1

- -

U tabeli 1 sa , i označene su matrice:

[

]

[

]

√ [

]

pri čemu je:

– admitansa serijske grane transformatora (kratkog spoja).

Matrica je regularna, a matrice i su singularne matrice. Tako na osnovu

prethodne tabele, reprezentne matrice serijske grane mogu da budu regularne i singularne u

zavisnosti od sprege transformatora.

U nastavku de biti objašnjen postupak matričnog određivanja serijskih parametara

trofaznog simetričnog transformatora, sprege , u sistemu faznih vrijednosti, korištenjem

sistema simetričnih komponenti. Ekvivalentna šema trofaznog transformatora u sistemu

simetričnih komponenti (direktna, inverzna i nulta šema) je data na slici 16.

1 t - transponirano

24

Slika 16 - Ekvivalentna šema transformatora sprege u sistemu simetričnih komponenti

Matematski model kola sa slike 16 glasi:

2

2

2

2

2 2

Iz prve relacije modela izrazimo struju , iz druge struju 2 , iz trede struju , iz četvrte struju

2 , i iz šeste struju 2 . Na osnovu dobijenih izraza mogude je formirati sljededu matricu prema metodi

napona čvorova:

[

]

[

]

[

]

Ovu matricu možemo predstaviti sa dvije odvojene matrične jednačine, u funkciji struje

sistema simetričnih komponenti primara:

[

] [

] [

] [

] [

]

Analogno možemo predstaviti i simetrične struje sekundara.

𝑍𝑇 𝑈 𝑑 𝑈2𝑑

𝐼 𝑑 𝐼2𝑑

𝑈

𝑈 𝑖

𝑈2

𝑈2𝑖 𝐼 𝑖 𝐼2𝑖

𝐼 𝑍𝑇

𝑍𝑇

𝑒𝑗 𝜋 ∶

𝑒𝑗 𝜋 ∶

𝐼2

25

Transformacijom dobijenih matrica, pomodu transformacijskih matrica i ,

možemo predi iz sistema simetričnih komponenti u sistem faznih vrijednosti, pa se dobije vektor

faznih struja primarnog namotaja u razvijenom obliku:

[

]

[

] [

]

√ [

] [

]

Na osnovu dobijene matrice, možemo napisati sljededu matričnu jednačinu:

[ ]

[ ]

√ 2[ ]

2

Analogno se dobije i vektor faznih struja sekundarnog namotaja:

[ ]2

2 [ ]

√ 22[ ]

2

Prema tabeli 1 za transformator sprege dobije se da su matrice , 2 i

2 singularne. Jedina regularna matrica je 22 , pa je ona reprezent trofaznog

transformatora sprege . Slično modeliramo i ostale sprege kod trofaznih transformatora.

Modeliranje moćne mreže

Proračuni koji uključuju sve grane složene trofazne mreže i sa uvažavanjem svih

parametara pojedinih grana su veoma složeni, čak i u slučaju današnjih računara, koji podržavaju

ovakve proračune. Zato se vrši ekvivalentiranje dijelova sistema sa tzv. modnom mrežom. Da bi

mogli pristupiti ekvivalentiranju, potrebno je razlikovati dijelove mreža za koje su neophodni

podaci o strujama kratkog spoja i dijelove mreža za koje ovi podaci nisu potrebni (dijelovi sistema

u kojima se ne vrše promjene stanja), a koji imaju uticaja na dio mreže od interesa. Najčešde su to

mreže susjednih sistema (država) koje su u interkonekciji sa razmatranom mrežom, i za koju nisu

poznati podaci potrebni za njeno modeliranje. Modnom mrežom možemo ekvivalentirati dijelove

sistema koji sadrže izvore (aktivna mreža) i linearne elemente.

U nastavku je izložen postupak jednopolnog i tropolnog modeliranja modne mreže,

odnosno ekvivalentiranja dijela sistema. Jednopolno modeliranje trofazne modne mreže

podrazumijeva određivanje direktne i nulte impedanse, na osnovu podataka o kratkom spoju na

sabirnici gdje je mreža priključena.

Slika 17 - Ekvivalentna jednopolna šema modne mreže

mreža

𝑈𝑀

𝑈𝑀

𝑍𝑀=𝑍𝑀𝑑 Dio sistema koji se

zadržava

26

Na osnovu poznate snage tropolnog kratkog spoja i relacije određuje se direktna

impedansa modne mreže za subtranzijentni, tranzijentni i trajni period ( ′′

′′ ):

√

√

2

′′

2

′′

′

2

′

pri čemu je:

– direktna trajna impedansa modne mreže,

– linijski napon modne mreže, obično je ovaj napon jednak nazivnom naponu

sabirnice nultog faznog stava ( ,

′′

′ – subtranzijentna, tranzijentna i trajna snaga tropolnog kratkog spoja ,

respektivno.

Za analizu nesimetričnih kratkih spojeva potrebno je poznavati nultu impedansu ( ,

koja se određuje na osnovu poznate direktne impedanse i trajne snage jednopolnog kratkog spoja,

uz usvajanje da su direktna i inverzna impedansa međusobno jednake:

√

√

pri čemu je:

– fazni napon modne mreže,

– trajna snaga jednopolnog kratkog spoja ,

– struja jednopolnog kratkog spoja .

Sređivanjem prethodnih relacija dobije se izraz za nultu impedansu modne mreže:

2

2 (

)

27

Nulta impedansa se ne mijenja tokom prelaznog procesa.

Ako udjeli snaga kratkog spoja nisu poznati na posmatranim sabirnicama, tada se može

uzeti kao mjerodavna snaga prekidanja prekidača na tim sabirnicama, a ako ni ona nije poznata,

pretpostavi se da je mreža beskonačna.

Također, potrebno je poznavati omjer modne mreže ( – aktivni otpor, –

induktivna reaktansa modne mreže), jer se u mnogim praktičnim slučajevima aktivni otpor modne

mreže zanemaruje.

Tropolno modeliranje modne mreže podrazumijeva određivanje matrice impedansi modne

mreže u sistemu faznih vrijednosti. Ekvivalentna zamjenska tropolna šema modne mreže je data na

slici 18.

Slika 18 - Tropolna zamjenska šema modne mreže

Izvor se zadaje kao trofazni vektor simetričnih napona koji vladaju na mjestu priključka

modne mreže:

[ ]

[

]

[

2

2

]

Pri čemu je:

, i – fazni naponi modne mreže, faza , i , respektivno.

– efektivna vrijednost faznog napona, mada se često upotrebljava kao maksimalni napon.

~ ~ ~ 𝑈𝑎𝑀 𝑈𝑏𝑀 𝑈𝑐𝑀

[𝑍]𝑀

28

Matrica impedansi u sistemu faznih vrijednosti se određuje na osnovu poznatih impedansi

iz sistema simetričnih komponenti. Usvaja se da su dijagonalni članovi matrice impedansi modne

mreže jednaki. Isto to vrijedi i za vandijagonalne članove. Članovi matrice se računaju prema

sljededim relacijama:

pri čemu je:

– vlastita fazna impedansa,

– međusobna impedansa, između pojedinih faza.

Matrica impedansi modne mreže u sistemu faznih vrijednosti ima sljededi oblik:

[ ]

[

] [

] [

]

Zaključujemo da određivanje podataka modne mreže je ustvari klasično određivanje

Theveninovog ekvivalenta u matričnom obliku, koji se sastoji od vektora Theveninovih napona

(napon modne mreže) i Theveninove impedantne matrice (matrica impedansi modne mreže u

sistemu faznih vrijednosti).