modèle semi-classique

Physique du Solide

Modèle semi-classique

Application d'un champ électrique :masse effective et notion de trou

Introduction

IV. Dynamique des électrons de Bloch

Physique du Solide

Introduction

Modèle semi-classique pourquoi ?

Description presque rigoureuse et quantique des interactions entre les états électroniques et le potentiel périodique du réseau

Description classique des effets de excitations externes : champs électriques, champs magnétiques, (gradients de T)

Modèle de la dynamique = Modèle des propriétés de transport

IV. Dynamique : Introduction

Physique du Solide

Paquets d'ondes

Pour pouvoir utiliser les équations de la dynamique classique :

Construction d'un paquet d'ondes à partir des solutions de l'équation de Schrödinger

Cas des électrons libres :

Dynamique du gaz d'électrons libres = Dynamique de particules classiques

Rigoureusement : le traitement du chapitre II est incorrect !

Mais on peut s'imaginer la "béquille" suivante :


Physique du Solide

Paquets d'ondes planes :

€

Ψ r

r , t( ) = ar ′ k ( )e

ir k '

r r −

hr

′ k 2

2mt

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

r ′ k

∑

k

: vecteur d'onde moyen du paquet d'ondes

r

: position moyenne de l'électron

La vitesse du paquet d'onde est la vitesse de groupe :

€

rv =

∂ωr k ( )

∂r k

=1

h

∂Er k ( )

∂r k

=1

hgrad r

k E

r k ( )

Pour des électrons libres :

mp

mk

v

avec

€

ar ′ k ( )notable seulement pour kk

€

ar ′ k ( ) ≈ 0 pour

r ′ k −

r k >> Δ

r k ( )

a(k')

k'k

lΨl2

xt = 0 t = t1

t = t2

Dx


Physique du Solide

Paquets d'ondes des électrons de Bloch

Construction d'un paquet d'ondes :

€

Φnr r , t( ) = a

r ′ k ( )

r ′ k

∑ Ψn,

r ′ k

r r ( )e

−iEn

r ′ k ( )

ht

kkkpour0ka

Davec

Autre supposition : Dk petit devant la 1ère zdB, 1Gk

D

Vitesse du paquet d'ondes :

€

rv =

1

h

∂En

r k ( )

∂r k

=1

h

r ∇ r k En

r k ( )


Physique du Solide

aLargeur du

Paquet d'ondes

Champ externe

Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct :

Relation de Heisenberg :

DDDD krprk1

r D

D

commea1

k D

ar D


Physique du Solide

Mécanisme de "rappel" : collision

Comme dans le cas du modèle de Drude ou du modèle de Sommerfeld il faut introduire la notion de collision des électrons

Collisions pourquoi et avec quoi ?

Toute perturbation de la périodicité parfaite du réseau

- impuretés

- défauts

- surface

- Phonons

Sans mécanisme de rappel : pas de retour à l'équilibre possible !!!


Physique du Solide

Hypothèses du modèle :

- le modèle décrit l'évolution de la position et du vecteur d'onde d'un électron entre deux collisions

- la structure de bandes est connue

€

En

r k ( )

- pas de transitions interbandes

IV. Dynamique : Modèle semi-classique

Physique du Solide


Rappel : Nouvelle définition d'un électron

On considère la valeur moyenne de la position et de l'impulsion d'un paquet d'onde construit à partir des ondes de Bloch, et on considère comme

trajectoire (en sens classique) l'évolution temporelle de cette valeur moyenne de position et de cette valeur moyenne d'impulsion.

Avec cette conception on peut utiliser le Théorème d'Ehrenfels :"Les valeurs moyennes de la mécanique quantique

suivent les lois de la mécanique classique"

Commentaire : Ces particules n'ont plus du tout le comportement bien connu d'une petite "bille"

Physique du Solide

Équations de mouvement :

extFdt

k

t

p

et

€

rv n

r k ( ) =

∂r r

∂t=

1

h

r ∇ r k En

r k ( )

kp

Attention : n'est plus la quantité de mouvement classique mais le

moment cristallin ! La contribution du réseau cristallin à l’impulsion de l’électron est donc formellement retirée de l’équation grâce au fait que n'est défini qu'à un vecteur du réseau réciproque près

k

G


€

rF ext = −e

r Ε

r r , t( ) +

r v n

r k ( ) ×

r B

r r , t( )[ ]avec

Dans le solide, les forces extérieures appliquées à l’électron s’ajoutent à la force appliquée par le réseau cristallin. L’expression complexe de cette dernière rend l’étude de la dynamique de l’électron quasiment impossible. On admet sans preuve la validité des équations de mouvement classiques pour entre les collisions !

k

Physique du Solide

Bandes d’énergie utiles :

Bandes utiles = Bandes coupées par le niveau de Fermi

si En > EF Bandes vides

si En < EF Bandes pleines

€

rv n

r k ( ) =

∂r r

∂t=

1

h

r ∇ r k En

r k ( )Rappel :

k

En(k)

vn(k)

Symétrie !


Physique du Solide

dt

vdmF n

ext

*

dt

dE

dt

vd nk

n

1

nextn vF

dt

dE .Or

nextkn vF

dt

vd

.

1 nkext

n vFdt

vd

1 nkkextn EF

dt

vd

2

1

*m

F

dt

vd extn

nkk E

m

2*

11

2

222

2

2

22

22

2

2

2*

11

zzyzx

yzyyx

xzxyx

k

E

kk

E

kk

E

kk

E

k

E

kk

E

kk

E

kk

E

k

E

m

Montrons que la RFD peut s’écrire :

avec

IV. Dynamique : Relation Fondamentale de la Dynamique

On a :

€

rv n

r k ( ) =

1

h

r ∇ r k En

r k ( )

Physique du Solide

On garde donc l’expression formelle de la relation fondamentale de la dynamique en ne considérant que les forces extérieures au système, ceci à condition de remplacer la masse de l’électron libre par une masse effective dynamique (ou masse effective) m*.

Cette masse effective est définie par :jiij kk

E

m

2

2

11

La masse effective est un tenseur symétrique.

La masse effective est proportionnelle à l’inverse de la courbure de la structure de bande.

IV. Dynamique : Masse effective

Physique du Solide

Électrons légers (m* faible)

Électrons lourds (m* élevée)

B. Cond

B. Val

kikj

m* < 0 Introduction d’électronsaux masses négatives...

Trous

Physiquement, que se passe-t-il pour un électron dans la bande de valence et proche du bord de ZDB ?Une force extérieure, qui lui est appliquée, tend à l’accélérer, et donc à le rapprocher du bord de ZDB. Dans cette configuration, le réseau lui appliquera une force (s’opposant à la force extérieure) beaucoup plus importante que cette dernière. L’impulsion qui lui sera transférée par le réseau sera largement supérieure et opposée à l’impulsion transférée par la force extérieure.

Cet effet est lié à la proximité des conditions de réflexion Bragg.

IV. Dynamique : Masses effectives

Physique du Solide

La densité de courant s'écrit

€

rj = −e

2

L3

r v

étatsoccupés

∑ = −ed 3k

4π 3

1

h

r ∇ r k En

r k ( )

étatsoccupés

∫

k

En(k)

vn(k)Cependant

€

−e2

L3

r v

bandeentière

∑ = −ed 3k

4π 3

1

h

r ∇ r k En

r k ( )

bandeentière

∫ = 0

i.e. 0vL2

evL2

e

videsétats

3

occupésétats

3

Donc :

occupésétats

3 vL2

ej

ou

videsétats

3 vL2

ej

Description du courantsoit par des électronssoit par des "trous"

IV. Dynamique : Champ Électrique

Les trous sont des lacunes d’électrons

Physique du Solide

Propriétés des trous :


k

En(k)

Application d’un champ électriqueE

E

k

En(k)

E

Bande pleine d’électrons Avec un état vide

Tous les électrons se déplacent dans l’espace des

k de gauche à droite

La lacune d’électron se déplace dans l’espace des k

de droite à gauche

Physique du Solide

Propriétés des trous :


i. Vecteur d'onde du trou

et kk

ii. Charge du trou

extFdt

k

On sait que : EeEqdt

ke

e

)(

Pour l’électron :

Eqdt

kt

t

Pour le trou :

Or et kk

Donc : eq t

D’après le point précédent, l’ impulsion des trous est opposée à celle des électrons. D’où :

Physique du Solide

iii. L'énergie des trous

k

E

ke

0

Enlèvement d'un électron d'énergie Ee(ke)

L'énergie du système : 0kE ee

Cette énergie correspond à l'énergie d'un trou avec ke, ou

eeet kEkE

mais ttttet kEkEkE

doncet EE

L‘échelle des énergies est inversée pour les trous !


Physique du Solide

iii. L'énergie des trous

k

E0

Partons d’une bande d’énergie pleine d’électrons. Si on enlève un électron, comment vont se réorganiser les électrons restant pour minimiser l’énergie du système ?

et EE


Les électrons vont venir occuper la lacune d’électrons en « descendant » l’échelle d’énergie (sauts de gauche).

Cette lacune va donc se déplacer vers des énergies électroniques de plus en plus grandes (sauts de droite).

On en conclue que lorsqu’un trou se désexcite, il va occuper des états d’énergie électronique de plus en plus grande, donc son échelle d’énergie est inversée par rapport à celle des électrons.

Physique du Solide

iv. Masse effective des trous

mt* est positive !


On sait que la masse effective est proportionnelle à la courbure de la relation de dispersion.

Or l‘échelle des énergies est inversée pour les trous !

Donc lorsque la masse effective de l’électron est négative (courbure vers le bas), celle du trou est positive

k

E

ke

0

**te mm et

Physique du Solide


et vv

v. Vitesse du trou

eee vmk

.*

ttt vmk

.*

et kk

**te mm

L’impulsion des particules s’écrit :Pour l’électron :

Pour le trou :

Or : et

Donc :

Physique du Solide

(/a; /a) XM

Énerg

ie

(0;0) (/a;0)

XC

XV

MC

MVEF

Exemple en 2DUne bande d'électrons

Une bande de trous


Physique du Solide

Modèle semi-classique : les électrons sont représentés par des paquets d'ondes de Bloch :

€

Φnr r , t( ) = a

r ′ k ( )

r ′ k

∑ Ψn,

r ′ k

r r ( )e

−iEn

r ′ k ( )

ht

€

ar ′ k ( ) ≈ 0 pour

r ′ k −

r k >> Δ

r k avec

Leur vitesse est :

€

rv =

1

h

∂En

r k ( )

∂r k

=1

h

r ∇ r k En

r k ( )

Le mécanisme de "rappel" qui assure un retour à l'équilibre sont des collisionsL'équation de mouvement entre deux collisions pour un paquet d'onde est donnée par :

€

∂ r

p

∂t= h

∂r k

dt=

r F ext = −e

r Ε

r r , t( ) +

r v n

r k ( ) ×

r B

r r , t( )[ ]

La densité de courant portée par une bande est :

€

rj = −e

2

L3

r v

étatsoccupés

∑ = −ed 3k

4π 3

1

h

r ∇ r k En

r k ( )

étatsoccupés

∫

Les bandes vides et les bandes entièrement occupées ne contribuent pas à la conduction

IV. Dynamique : Résumé

Physique du Solide


La masse effective définit par :

contient toutes les interactions électron - potentiel périodique du réseau

2zk

E2

ykzkE2

xkzkE2

zkykE2

2yk

E2

xkykE2

zkxkE2

ykxkE2

2xk

E2

1

k

kE1

m

122

2

2*

Physique du Solide

Le courant dans une bande presque vide est décrit avec des électronsLe courant dans une bande presque pleine est décrit avec des trous

Propriétés des porteurs de charge :

Charge

Vecteur d'onde

Énergie

Vitesse

Masse effective

électron trou

-e +e

et kk

ek

€

En

r k e( )

€

En

r k t( ) = −En

r k e( )

k

E1v ne

et vv

1

2

22

k

nE*em

*

e*t mm


modèle semi-classique

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