modelare si simulare

5/13/2018 Modelare si Simulare - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/modelare-si-simulare-55a74be9b2e6b 1/19

Cuprins:

Cursul 1:

1) Definire Obiectiv, Sistem, Modul, Modelare, Simulare, Etapele Analizei prin

Simulare.

2) Categorii de tehnici de modelare matematica:

Modelare analitica

Modelarea si identificarea experimentala

Caracteristicile modelarii si identificatii experimentale3)Clasificarea modelelor matematice

Cursul 2:

1)Metode de modelare analitica, Etapele modelarii analitice

2)Modelarea proceselor de acumulare/evacuare(umplere/golire) de fluid(gaz,lichid)

Modelarea proceselor de acumulare(evacuare de gaze)(modelarea unei capacitati

pneumatice)

Modelarea proceselor umplere/golire cu ajutorul unui rezervor cu lichid

3)Modelarea proceselor de amestecare(Reglare Concentratiei)

4)Modelarea proceselor de curgere prin conducte

Cursul 3:

1)Modelarea proceselor cu transfer termic

Tranferul de caldura

Tipurile de schimburi de caldura

Tipul de realizare al transferului termic

2)Modelul unui proces cu transfer de caldura prin amestecare

3)Modelarea proceselor cu transfer termic(cazul parametrilor concentrati)

Cursul 4:

1)Modelul unui schimb de caldura cu param distribuiti

Legea conservarii energiei

2)Modelarea proceselor cu reactie

3)Legi de conservare

1



Cursul 1 – Capitolul 1

Obiectiv: Studiul principilor si metodelor prin care o entitate sau obiect al lumii reale sau

proces(sistem) este reprezentat matematic(model) si analizat prin intermediul tehnicii de

calcul(simulare).

Sistem: O entitate sau un ansamblu de entitati interconectate care interactioneaza intr-un

anumit mod pentru a realiza un scop precizat.

Model: O relatie matematica abstracta care descrie cu o anumita acuratete caracteristicileunui sistem si dinamica sa de evolutie.

Modelare: Determinarea si constructia modelului matematic asociat unui sistem(entitati

evolutive). Un proces este modelat daca pe baza modelului matematic(a cunostintelor despre proces) se poate prezice evolutia viitoare a lui in cazul in care procesul se

stimuleaza din exterior.

Aplicatii: -Proiectarea sistemelor automate de reglare sau conducere

-Simulare in vederea studierii comportamentului in timp al sistemului respectiv

-Predictie/Prognoza pentru sistemele mai complexe-Prelucrare de semnal

-Detectie si diagnoza de defecte

Simulare: O metoda experimental aplicativa prin care se realizeaza pe calculator un

model al sistemului in vederea analizei indirecte a sistemului.

Analiza directa este imposibila cand:

-Sistemul este in faza de proiectare

-Nu se pot efectua experimente directe

-Experimentarea directa poate produce defectari ale sistemului

-Pentru procese cu evolutie lenta in timp-Cand nu se pot genera direct conditii de experimentare

In automatica simularea presupune realizarea unui model matematic specific numit simodel de simulare pe un calculator si utilizarea acestuia in analiza indirecta a sistemuluifizic.

Etapele analizei prin simulare:

1.Se stabileste cadrul simularii(prin definirea sistemului si a variabilelor)

2.Constructia efectiva a modelului matematic

3.Constructia modelului de simulare

4.Definirea experimentului de simulare(se precizeaza parametrii,date intrare)

5.Experimentul de simulare propriu-zisa(pot preciza un ti si un tf in care sistemul e

simulat)

6.Analiza si interpretarea rezultatelor(grafice,diagrame)

2



Categorii de tehnici de modelare matematica:

1.Modelare Analitica: Presupune determinarea unui model matematic(parametric) pe

baza legilor fizico-chimice care guverneaza dinamica sistemelor(in general se utilizeaza

ecuatii de bilant,de masa sau de energie). Modele sunt complexe, mai dificil deimplementat.De asemenea acestea sunt generale pentru categorii mai mari de sisteme si

au aplicabilitate practica precum si un caracter teoretic fiind mai precise.

2.Modelarea si Indentificarea Experimentala: Presupune determinarea parametrilor

modelului(in general nu au semnificatie fizica) capabili sa descrie functionarea procesuluiin jurul unui anumit punct de functionare prin prelucarea datelor de intrare/iesire

achizitionate din proces.

Caracteristicile modelarii si identificarii experimentale:

-Generalitate si validitate ridicate la anumite clase de procese si chiar la anumite puncte

de functionare ale aceluiasi proces.

-Eficienta metodei(usor de implementat - Avantaj)-Datele achizitionate depind de proiectarea experimentului de identificare(Dezavantaj,dar

nu foarte mare).Concluzie: Ori de cate ori este posibil se prefera o modelare mixta adica este necesaracunoasterea partiala a functionarii sistemului(cunostinte apriorice) care sa faciliteze

fixarea structurii modelului ramanand de determinat valorile parametrilor.

3



Clasificarea modelelor matematice:

1.Dupa metoda de identificare: analitica sau experimentala.

2.Dupa caracterul dinamic: dinamice(variabilele, parametrii depind de evolutia

anterioara) si statice. Modele dinamice:),,(

),,(

t u x g y

t u x f x

=

=

. Modele statice:y=f(u).

3.Dupa gradul de liniaritate: Modele liniare: DuCx y

Bu Ax x

+=

+=

.

Modele neliniare:

),,,(

),,,(

θ

θ θ

t u x g y

or parametril vectorul t u x f x

=

−=

In practica in cazul majoritatii proceselor modelele sunt neliniare cu diferite grade de

neliniaritate. Pot fi liniarizate pe portiuni(in jurul anumitor puncte statice de functionare).

4.Modele parametrice: poate fi functia de transfer sau ecuatile diferentiale. Acestemodele sunt mai precise.(Determina cu o anumita acuratete parametrii modelului)

Modele neparametrice: descrieri calitative ale proceselor, grafice, tabele.Pot fi

reprezentate atat in domeniul timp cat si in domeniul frecventa.(Functia pondere(timp),raspuns in frecventa, densitatea spectrala de putere(domeniul frecventa))

5.Dupa Timp: Modele in timp continuu: Modele analitice(pot fi si discretizate).

Modele in timp discret: Modele parametrice(ec polinomiale).

6.Dupa tipul de variabilitate: Modele invariante in timp: sunt descrise de reprezentarede stare A,B,C,D – constante(nu depind de t).

Modele variabile in timp:)()()()()(

)()()()()(

t ut Dt xt C t y

t ut Bt xt At x

+=

+=

.

7.Dupa caracterul lor: Model structural: reprezentarea intrare/iesire (I/S/E).

Model functional: de exemplu functia de transfer ladiferentiaecuatia sU

sY s H ←=

)(

)()(

8.Dupa numarul de intrari si iesiri: SISO, MISO, SIMO, MIMO.

9.Dupa tipul de parametrii:

Sisteme cu parametrii concentrati:marimile variabilelor au aceleasi valori indiferent decoordonatele gemometrice ale punctului precizat.

Sisteme cu parametrii distribuiti:marimile depind si de coordonatele geometrice ale puctului in care sunt masurate.

10.Modele cu caracter determinist:

Modele cu caracter nedeterminist:

Cursul 2 - Capitolul 2

4



Metode de modelare analitica:

-natura teoretica,parametrii au semnificatii fizice

-se deduc pe baza legaturilor fizico-chimice,utilizand ecuatii de bilant,de masa, de

energie, volum etc.-modele generale valabile pentru clase de sisteme echivalente indiferent de natura fizica a

proceselor

-pentru procese complexe-dificil de implementat

Un proces P va fi descris de un set de variabile(marimi caracteristice):Marimi de I/E: 1.parametrii fizici; 2.constante;

V=[V1,V2...Vq] set de relatii R(V)=0

In automatica : V=uUy R(u,y,θ,t)=0(ecuatii diferentiale)u=marimi intrare , y=marimi iesire , θ=parametrii , t=timp

Etapele modelarii analitice:

Procesele tehnologice sunt caracterizate de fluxuri(debite) de material(masa, energie,volum) care sunt introduse in instalatia tehnologica pt a fi prelucrate corespunzator si a se

obtine fluxuri de material la iesirea intalatiei tehnologice.

-regim stationar: Φio=Φeo Φ=flux de material: Φw=flux energetic=t

w

∆

∆.

[Φm]=flux de masa=t

m

∆

∆. Φv=flux de volum=

t

V

∆

∆.

-regim dinamic: Φi(t)- Φe(t)=t

w

∆

∆(ec de bilant energetic) ; Φi(t)- Φe(t)=

t

m

∆

∆.

Cele 2 fluxuri nu mai sunt egale, iar diferenta intrare-ieire produce o variatie a masei sau

a energiei.

Etapa 1: Stabilirea variabilelor caracteristice procesului. V=[V1,V2...Vq] – variablie

intrare, iesire , parametrii fizici.

Etapa 2: Determinarea relatiilor R(V)=0 pe baza legilor fizico-chimice si a ecuatiei de

bilant.Regim Stationar sau Regim Dinamic.

Etapa 3: Orientarea I/E a modelului – ecuatia diferentiala(in care se separa variabilele deintrare de cele de iesire).

Etapa 4: Liniarizare a modelului (presupune o centrare a variabilelor)

Centrarea variabilelelor (I/E): v=v0+ΔvEtapa 5: Normarea variabilelor(in care toate variabilele sunt normate)

*vv

v=

∆(marime adimensionala); var intrare = u; var iesire=y;

Modelarea proceselor de acumulare/evacuare (umplere/golire) de fluid(gaz,lichid)

5



Aceste procese de umplere/golire a unor rezervoare sunt caracterizate de un anumit

volum(procese monocpacitive-au un singur element in care se acumuleaza masa,energie).

a)Modelarea proceselor de acumulare(evacuare de gaze) Modelarea unei capacitati

pneumatice

Scop: Proiectarea unui sistem de reglare automata(SRA) a presiunii(marimea de iesire).

cc p p p p pk t Q ≥−= ,)()(

Scop: determinarea variatiei presiunii p din rezervor in functie de debitul de intrare Q 1 si

timp.

Etapa 1: V={Q→u,P→y,Q2,V→ (parametru),T→ (parametru),pc}

Etapa 2:

st

dm RT

dt

dpV mRT pV gazuluidensitateaV m

dt

dmei *** =⇒====− ρ ρ φ φ

Regim stationar: Q10-Q20=0 → Q10= Q20= Q0

Regim dinamic: Q1(t) – Q2(t)=dt

dp

RT

V

dt

dm*=

Etapa 3: orientare I/E Variabile iesire→ )()(* t Qt Qdt

dp

RT

V =+ ←Variabile

intrare

Etapa 4: liniarizarea+centrarea variabilelor

Etapa 5: Normarea variabilelor

Modelarea proceselor de umplere/golire ai unor rezervor cu lichid

6



Scop:Proiectarea SRA a nivelului

Etapa 1: V:{Q1,h,Q2,S,a}

Etapa 2: Φi(t) - Φe(t)=dt

dV ; regim dinamic: Q1(t) - Q2(t)=

dt

t Sdh

dt

hS d

dt

dV )()*(== ;

Regim stationar: Q10 – Q20=0 → Q10=Q20=Q0;

B1) Q2(t)=ct → (evacuare la debit constant)

Etapa 3: )()()(

*12t Qt Q

dt

t dhS =+

Etapa 4: Centrare: Q1(t)=Q10+ΔQ1(t); h(t)=h0+Δh(t); Q2(t)=Q20+ΔQ2(t)=Q20;

)()(*

);()(*

111020

0 t Qdt

t hd S t QQQ

dt

hhd S ∆=

∆∆+=+

∆+

Etapa 5: Normare:

B2) ;)(

*)()(;)()(212

dt

t dhS t Qt Qt hat Q =−= (evacuare la debit variabil)

Etapa 4: liniarizare+centrare

Etapa 5: Normare ⇒=−+=

∆

=

∆)()(2

)(

;; 000

00

1

0 t uQt yhh

a

dt

t dy

ShuQ

Q

yh

h

)()(2)()(

)(2)(2);(2

)(2

0

0

0

0

0

0

00

00 =⇒=+⇔=+=+⇒ s H t ut ydt

t dyT t ut y

dt Q

dyV t u

h

ha

hQt y

hha

hSh

Modelarea proceselor de amestecare

Scop: SRA-reglarea concentratieiConcentratia-parametrii care caracterizezeaza procesele chimice(cu si fara reactie).

7



Proces fizic-fara reactie chimica.

Se presupune ca in volum V,printr-un process de amestecare intre o substanta diluant si o

alta substanta de aceeasi natura, numita concentrate sa se obtina un amestec cu o

concentratie intermediara.

Etapa 1: {QA→u,CA,QB,CB,a,c→y}=V

Etapa 2:

Etapa 3: B B A A C QC QC Qdt

dcV **** +=+

Etapa 4: )()(;)();()();()( 000 t QQt QQt Qt QQt Qt C C t C A A A B B ∆+==∆+=∆+=

);()()()(

;)()()()()()(

;))(())())(((

)(

00

00000

000

t QC C t Qt C Qdt

t C d V

C QC t QC Qt C t Qt C Qt QC C Qdt

t C d V

C QC t QQt C C t QQdt

t C d

V

A A A

B B A A A A

B B A A A

∆−∆=∆+∆

+∆+=∆∆+∆+∆++∆+∆+=∆+∆++

∆

Etapa 5: Normare

Modelarea proceselor de curgere prin conducte

Scop: SRA pentru debit

8



Etapa 1: V={Δp→u,Q→y,L,S}

Etapa 2:debit decoeficient

pS t Q

pS vS Q

V p =∆=∆===∆ α

ρ α

ρ ρ ;

2**)(;

2*;

2

2

Echilibru de forte:

Regimul dinamic:

impulsmvlichiduluiaapasarede forta s pdt

mvd S

S

Q s p ==∆=−∆ ;*;

)(*

2

**

22

2

α

ρ

Regimul static:S

QvitezavS LV m

S

QS p =→===∆ ;***;

*2

**

2

2

0

0ρ ρ

α

ρ

Neliniara EcuatieS t pt QS dt

t dQ L

dt

t dQl

dt

S

QS Ld

S

t QS t p

*)()(**2

)(**

;)(

**

)***(

*2

*)(*)(

2

2

2

2

∆=+

==−∆

α

ρ ρ

ρ

ρ

α

ρ

Etapa 4: ));(()();()( 00 t p pt pt QQt Q ∆∆+∆=∆∆+=

));((*)(**

*)(**

);(**))()(**2(*2

)(**

2

0

0

2

0

2

02

t pS t QS

Q

dt

t Qd L

pS pS t Qt QQQS dt

t Qd L

∆∆=∆+∆

∆∆+∆=∆+∆++∆

α

ρ ρ

α

ρ ρ

Etapa 5: Normare

);(**

**)(*

**

;**

*

)(****;

))((;

)(

2

0

0

22

0

2

02

2

00

00

t uQ

pS t y

dt

dy

Q

LS

u pS

S

t yQ

dt

dyQ Lu

p

t p y

Q

t Q

ρ

α α α

ρ ρ

∆=+

∆=+=∆

∆∆=

∆


Moderarea proceselor de transfer termic

9



Temperatura: parametru caracteristic procesului de transfer de caldura.

Scop: proiectarea SRA pentru reglarea temperaturii. Instalatii tehnologice specifice – shimbatoare de caldura.

Transferul de caldura: se face de la un agent termic la un produs ce urmeaza a fi

incalzit(sau racit)Din punct de vedere constructiv, schimbatorul de caldura poate fi:

a)cu contact direct intre agent si produs(amestecare)

b)cu manta

c)tip autoclava(produsul circula printr-o serpentina)

d)tubular-sistem de tuburi plasat intr-un exterior

e)tub in tub

Sunt 2 categorii de procese:

1)cu parametrii concentrati;

2)cu parametrii distribuiti(variatia lor este dependenta de coordonatele geometrice ale

punctului in care se intoarce);Indiferent de shimbatorul de caldura, transferul termic se realizeaza prin 3 tipuri(de la

agent la produs):a)conductie termica; b)convectie termica(conductie+deplasare a

particulelor); c)radiatia termica(transfer la distanta);

10



a)Conductia termica – proces de transfer de caldura dintre o regiune de temperatura

ridicata si intre o regiune cu o temperatura mai scazuta sau intre medii diferite aflate incontact termic direct.

Caracteristici:

-nu presupune deplasarea aparenta a particulelor ce alcatuiesc mediile respective.

-singurul mecanism de transfer de caldura prin corpuri solide si opace.

b)Convectie termica – un mecanism de transfer de caldura intre o suprafata solida si unfluid aflat in contact direct cu suprafata si avand o

miscare relativa data de ea.

)(** 12 θ θ λ φ −− S W - cel mai utilizat mecanism

c)Radiatia termica – presupune transferul de caldura

intre 2 corpuri de temperaturi diferite si separate in spatiu.Legea radiatiei calorice :

absolut timpT

radiatiederafataS

negrucorpuluial radiatiedecoeficient

T S

=

=

=

=

sup

**

0

40

σ

σ φ

Modelul unui proces cu transfer de caldura prin amestecare

11



Fa=debit de volum(variant) ρp=densitatea produsului

Ta=temperatura agentului(se presupune constanta) Cp=caldura specificaprodus

Ca=caldura specifica a agentului Fe=debit amestec(variabil)

ρa=densitatea agentului termic Ce=caldura spatiu amestec

Fp=debit de produs(constant) ρe=densitate amestec

Tp=temperatura produs(constant)

-marimi de intrare Fa

-marimi de intrare Te

T cT c V mW ***** φ ρ φ φ ==

Regim stationar: Legea conservarii energiei 0=−+ WeWpWa φ φ φ

0********* =−+ eeee p p p paaaa T c F T c F T c F ρ ρ ρ

Regim dinamic: ;*;))(**(

)()()( V mdt

t T cmd t t t e

eeWeWpWa ρ φ φ φ =−−+

00);()(

)(***)(**)(******)(*

e pae pa

eeeeeee p p p paaaa

F F F t F F t F

dt

t dT cV t T ct F T c F T ct F

=+=+

=−+ ρ ρ ρ ρ

Liniarizare: );()();()();()( 0000 t F F t F t F F t F t F F t F eeeeeeaaa +=∆+=∆+=

d Vct F T ct F F T c F T ct F F eeeeeeee p p p paaaaa *))((**))((*****))(( 000

∆=∆+∆+−+∆+ ρ ρ ρ ρ

);)(()()(

;0(

)()()(

)(*)(*))()((**

0

00000

0000

eeeaaaaeeeee

eee

ee

eaeeeeeeeeee p p p paaaaaaaa

eeeeeeeeee

T cT ct F t T c F dt

t T d V c

dt

t T d V c

T t F ct T F cT F cT c F T t F cT F c

t T t F T t F t T F T F c

ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

−∆=∆+∆∆

=

∆−∆−−+∆+⇒⇒∆∆+∆+∆+

Normare:

Tsk s H I ordinSistemdek t u

T F

T cT cT ct y

dt dy

F V

t u F T cT ct yT c F dt

t dyVF cu

F

F y

T

t T

e

a

eee

eeeaaa

e

aeeeaaaeeeeeee

a

a

e

e

+=→−=+⇒

⇒−=+=∆

=∆

1)(;)(**)()(

)(*)()()(

;;)(

0

0

0

0

0

0000

00

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

Modelarea proceselor cu transfer terminc – cazul parametrilor concentrati

S.C de tip autoclava – cu serpentina

12



Qa=debit de agent(variabil) Tp1=temperatura produsului la intrare(variabila)

Ta1=temperatura agentului la intrare Tp2=temperatura produsului la iesire(variabila)

Ta2=temperatura agentului la iesire Qp=debit volumetric de produs(constant)

S=suprafata totala a serpentinei prin care se face transferul termic

T=temperatura serpentinei

Ipoteze:

-transferul termic se face de la agent catre serpentina si catre produs.

-se neglijeaza transferul de caldura spre exterior

-conductivitatea termica este aceeasi pentru toate substantele-peretele serpentinei are masa neglijabila

-datorita faptului ca avem parametri concentrati:Ta2 este constanta in interiorul

recipientului(Ta1=temperatura de intrare).T p2=constanta in interiorul serpentinei si diferita

de T p1. T S dt

T cm ConvectieW ∆=

∆= **;** α φ φ

Regim dinamic:-se face bilantul energetic

Agent: ;)(

*** 12

dt

T T d V c aa

aaaasaeai

−=−− ρ φ φ φ

;)(

***)(**)(*)(**)(*** 2221

dt

t dT V cT T S t T t Qct QcT a

aaaaaaaaaaaa ρ α ρ ρ =−−−

Serpentina:

;2

0))((**))((**);(022

22

pa

pa spas

T T T t T T S T t T S ct T

+=⇒=−−−==− α α φ φ

Produs: ;)(2

dt

t dT V c

p

p p p sp pe pi ρ φ φ φ =+−

;)(

***))((**)(******2

221dt

t dT V ct T T S t T QcT Qc

p

p p p p p p p p p p p p ρ α ρ ρ =−+−

Regim stationar: ;0)(******** 02020010 =−−− T T S T QcT Qc aaaaaaaaa α ρ ρ

2

0)(;0)()(20

02000120000

a

p p p p p p p pa

TT T T T S T QcT QcT T S T T S

+=⇒=−+−=−−− α ρ ρ α α

Liniarizare+Centrare:);()();()();()();()( 0220222020 t T T t T t T T t T t T T t T t QQt Q p p paaaaaa

∆+=∆+=∆+=∆+=

∆−−∆+−∆+∆+−∆+ ))(())())((())(( 220220010 t T T T T S t T T t QQcT t QQc aaaaaaaaaaaaaa α ρ ρ

;)(2

dt

t T d V c a

aaa

∆= ρ

;0)()( 2 →∆∆ t T t Q aa

dt

T d V ct T S t T S T t Qct T QcT t Qc a

aaaaaaaaaaaaaaaa )()()()()( 2220202

∆=∆+∆−∆−∆−∆ ρ α α ρ ρ ρ

Serpentina:

2)()())()(())())((( 22000220 T t T t T t T T t T T S t T T t T T S pa

p paa ∆+∆=∆⇒∆−−∆+=∆−−∆+ α α

Produs:

13



2

)())(())((

)(

);())(()(

())())((())((

2

201022

2

2

2

2002201

t T S T cT ct QS Qct T

dt

t T d V c

t T S S Qct T dt

t T d V c

dt

T d V ct T T t T T S t T T QcT Qc

a

aaaaaaaaaaaa

aaa

p p p p

p

p p p

p

p p p p p p p p p p p p p p

∆+∆+−∆++∆−=

∆

∆++∆−=∆

∆=∆−−∆++∆+−

α ρ ρ α ρ ρ

α α ρ ρ

ρ α ρ ρ

−∆+∆+

+∆−=

∆−∆+∆++∆−=

∆

a

aaa p

aaaaaaa

aa

a

aaaaaaa paaaa

a

aaa

V

T T t Qt T

V c

S

cV

S

V

Qt T

dt

t T d

T cT ct Qt T S S

Qct T dt

t T d V c

2012

02

2

21202

2

)()(22

)()(

:)1(

);)(()(2

)2

)(()(

ρ

α

ρ

α

ρ ρ α α ρ ρ

Produs: ;2

)()()()(

)( 22

2

2

∆+∆+∆+−=

∆ t T t T S t T S Qc

dt

t T d V c

pa

p P P P

p

p p p α α ρ ρ

);(2

)(2

)(

);(2

)(2

)(:)2(

22

2

22

2

t T V c

S

V

Qt T

V c

S

dt

t T d

t T V c

S t T

V c

S

V

Q

dt

t T d

p

p p p p

p

a

p p p

p

a

p p p

p

p p p p

p p

∆

+−∆=

∆

∆+∆

+−=

∆

ρ

α

ρ

α

ρ

α

ρ

α

[ ]

;;)0(0)0(:)(

;)(

)(10)(;;;

)(

)(

)()(

);()()()(

;

2022

2

2

22

2

22221

2

121222

pca p p p

p

aT

p

T

p

a

a

p

a paua

T QT T T nuleinitialeconditiile s H

xt T

t T c yt T xc y Bu Ax x

t T

t T x

at T adt

t T d t Qbt T at T a

dt

t T d Bu Ax x

∆→∆=⇒=∆−

→

∆∆

→=→∆=+=

∆∆

=

∆+∆=∆

∆+∆+∆=∆

+=

b A sI c s H sbU A sI c sY

s X c sY s BU s AX s sX t x L s X ub

xaa

aa x

T T

T

11

1

2221

1211

)()();()()(

);()();()()()}({)(;*0

*

−− −=−=⇒

=+=⇒=

+

=

))(()det(

1)( 2122211

1121

12221

2221

1211aaa sa s

a saaa s

A sI A sI

a saaa s A sI −−−=

−−

−=−⇒

−−−−=− −

14



[ ] [ ] 21

2

2

2

220

22

;01;)()()(

)(01)(

?;)();(lim)(lim;int;*)()(

aa

T T

p

a

a

a p s

pt

aa

p

T Qcb A sI c s H t T

t T t T

t T s sT t T treaptararealaQ s

Q s H sT

∆→∆=−=⇒

∆∆

=∆

=∆=→∆∆

=∆

−

→∞→


15



Modelul unui schimb de caldura cu parametrii distribuiti

S.C: 1)de tip tub in tub; 2)cu autoclave cu serpentine foarte lunga;

-marimile caracteristice depind de coordonatele temporale (variabile in timp) cat si de

coordonate partiale(varabil cu distanta fata de un reper).-modelele sunt descrise de ecuatii diferentiale cu derivate partiale;

-modelele se obtin prin metoda elementului finit(MEF).

M.E.F: consta in izolarea unei portiuni (element) de dimensiune foarte mica, aflat la

distanta x fata de punctul de referinta si se considera ca pentru acest element , dedimensiune Δx , procesul functioneaza cu parametrii concentrati.

Ipoteze de lucru:

-transferul termic are loc numai de la agent la produs;

-nu exista perderi d caldura spre exterior;-tubul prin care circula produsul are masa neglijaila, nu va avea loc transfer de caldura;

-trasferul termic de la agent la produs se face prin convectie. )(* P aW T T S −=α φ

Legea conservarii energiei:

Agent:

;**;;);,( ,,,,, t cmwt xdt dT cV ae x xaai xa

aaaa pa x xa xa =→→=+− ∆+∆+ φ φ φ φ ρ φ φ φ

Produs: ;;);,( ,,,,, pe x x p pi x p

p

p p p pa x x p x p t xdt

dT cV φ φ φ φ ρ φ φ φ →→=+− ∆+∆+

Agent:

;),(

)),(),((),(),(dt

t xdT cV t xT t xT S t x xT cQt xT cQ a

aaa paaa p paaaa ρ α ρ ρ =−−∆+−

Produs:

[ ]

[ ] ;));,(),((),(),(),(

;));,(),((),(),(),(

;),(

)),(),((),(),(

p

p p p

pa

p p p

p p

p

p p

a

aaa

pa

aaa

aa

a

aa

p

p p p p p p p p p p p p p

k V c

S t xT t xT

V c

S t xT t x xT

V

Q

dt

t xdT

k V c

S t xT t xT V c

S t xT t x xT V Q

dt t xdT

dt

t xdT cV t xT t xT S t x xT cQt xT cQ

→−+−∆+−=

→−−−∆+−=

=−+∆+−

ρ

α

ρ

α

ρ α

ρ α

ρ α ρ ρ

x

v

V

Q xS V vS Q

x

v

V

Q xS V vS Q

p

p

p

p p p p pa

a

aaaaaa ∆

=⇒∆==∆

=⇒∆== ;;;;;

16



Studiem 2 situatii:

1)

;0)()(

0)()(

)()()(

;0)()()(

()(

)())()(()(

));()(()(

;0))()(()(

;0))()(()(

;0),(

;0),(

)(

2

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

⇒=

+

∂∂

+∂

∂⇒

=+∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂

+∂

∂=⇒−=

∂∂

−−=∂

∂

=−=∂

∂=−+

∂∂

=

∂

∂=

∂

∂∞→

x

xT

x

xT

v

k

v

k

x

xT

x

xT

vk vk x

xT

x

xT vv

x

xTp

k

vk

x

xT

x

xT

k

vv

xT x

xT

k

v xT xT xT

v

k

x

xT xT xT

v

k

x

xT

xT xT k x

xT v xT xT k

x

xT v

t

t xT

t

t xT stationar regimt

p p

a

a

p

p p p

paa p

p p

pa

p

p

a

p p

p

p

a

p

p

p

p

a pa

p

p p

pa

a

aa

pa p

p

p paaa

a

pa

α

Folosind Laplace:

);()()(

);()()(

));()(()(

;));()(()(

xT xT dx

xdT xT xT

dx

xdT

v

k xT xT

v

k

x

xT

v

k xT xT

v

k

x

xT

aa paa

a p p p p

p

p

p

pa

p

p p

a

a

a

pa

a

aa

λ λ λ λ

λ λ

−+=⇒+−=⇒

⇒=−+=∂

∂→−−=

∂∂

[

[ ];)())((

1)(

;)(;)0(;)(;)0(;)(

)()(

1)(;*

))((

1

)(

)(

;*)(

)(;)0(

var )(

)();0()(;

)(

)(

)(

)(

;

1010

20102010

)(

21

210

10

10

10

10

10

1

a p pa

pa

a

aaaa p p p p

x

p

a

pa

p

a

p

pa

pa

pa paa

p

a

p

pa

p p

a

p

a

p

a

p

a

p

aa

p p

a

p

T sT s s

sT

T LT T T T LT T T ecc xT

T s s s

sT T

T

s

s

s s sT

sT

T

T

s

s

sT

sT

T

T x

iadevector x xT

xT x A sI x

xT

xT

dx

xdT dx

xdT

Ax x

pa

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

++++

=⇒

====+=⇒

+++

=

+

+

−++=

⇒

+−

−+=

⇒

=

=

−=

−=

=

+−

−

2) variatia temporala este considerata

17



;;000),(

),();,()},({

;),(),(

,;),(),(

v

sr

v

sr F

v

s

dx

dF

dx

s xdF v s x sF s x F t x f L

x

t x f v

t

t x f oarecare functiiT T daca

x

t xT v

t

t xT a p

p

p

−==+⇒=+⇒=+=

∂∂−=

∂∂⇒−

∂∂

−=∂

∂

Modelarea proceselor cu reactie

Aceste tipuri de procese consta in tranformarea unoi tipuri de reactanti intr-o nouasubstanta numita produs de reactie obtinut in urma unor reactii chimice.

Din punct de vedere chimic:

;

;,tan,...,,

;...

21

2211

reactiede produsc

r Areactiede produsilor tilor reacaitrici stoichiomeicoeficient

C A A A

p

in

p pnn

=

=−

=∂++∂+∂

υ ν ν

ν

Produsele cu reactie se desfasoara in reactoare sau in bioractoare daca componentii includ

si materie vie, celule ,organisme.Reactiile chimice pot fi izoterme sau neizoterme iar cele

neizoterme pot fi endoterme – daca absorb caldura sau exoterme daca degaja caldura.Procesele cu reactie sunt foarte complexe si au un carcater puternic neliniar.

Legi de conservare:

1) Legea conservarii maselor→apar termeni corespondenti vitezelor de reactie

∏ ∏

∏

= =

−−

=

−

===

−−

−−==

−−=−−==

−−==±−

n

i

n

i

i

RT E

i Rii

RT E

i

n

i

RT E i

iii

iii Ri

ei Riei

dt

dcV

dt

dmcek V cek r

tacons Rreactiadesfasoara secarelaatemperatur T

eactideenergia E tuluireaciaconcentrat cek k ck r

tric stoichiomecoeficient reactiedetotalavitezar r r

icomponenteareactiedevitezar reactiedemaseivolumul V r V Vr

iaconcentrat cvolumdedebit QcQdt

dm

ii

i

1 1

/0

/0

1

/0

,

;;;

;tan;

var ;tan;;*

;;;

;;

;;;*;

υ υ

υ

υ φ

υ υ

υ φ

φ φ φ φ

2)Legea conservarii energiei→apar termeni datorati caldurii de reactie

∏=− −>∆−<∆∆−=

−∆−−

∆−====±±−

n

i

i RT E

WRi

WRiWRiWeWi

endotermereactii H exotermereactii H cek V H

reactiedeentalpia H reactiedetotalavitezar reactiedemaseivolumul V

r V H dt

dT Vc

dt

dwmcT w

dt

dwconventie

i

1

/0 0;0;**)(

;;

**)(;;;

υ φ

φ ρ φ φ φ φ

EX:Reactor de tip manta; A,B-reactanti; C-produs de reactie; ν1A+ ν2B= ν3C

18



1)Legea conservarii masei:

A:dt

dC V A

RA EAiA2=−− φ φ φ

B:dt

dC V B

RB EBiB2=−− φ φ φ

C: ;0; →=+− iC C

RC EC iC dt

dC V φ φ φ φ

2)Legea conservarii energiei:

Agent: dt

dT VC

dt

dT V c ccWRacWeC WiBWiA

aaaaacaeai

22 ; ρ φ φ φ φ φ ρ φ φ φ =++−++=−−

cV cceVk H T T S QT cT QcT Qc

dt dT V cT T S T QcT Qc

dt

dC V C C k V C Q

dt

dC V C C ek V C QC Q

dt

dC V C C ek V C QC Q

C C B A

RT E

aC c B B B B A A A A

aaaaaaaaaaaaa

C B A BC

B B A

RT E

B B B

A B A

RT E

A A A

22/

022211

22221

2201

222

/0221

222

/

0121

*)()(

;)(

;******0

;********

;********

212

21

21

212

ρ α ρ ρ ρ

ρ α ρ ρ

υ

υ

υ

υ υ

υ υ

υ υ

υ υ

=+∆−+−+−+

=−−−

=+−

=−−

=−−

−

−

Caracteristici:

-sunt procese de tip neliniar si instabile, prima etapa fiind stabilizarea lor(mentinerea

stabilitatii);-solutia analitica este imposibila, prin urmare se aplica termeni de simulare numerica;

-se pot genera anumite rezultate partiale;

19

modelare si simulare

Documents