modelamiento matematico usando geogebra - aplicacion practica

APLICACIÓN DEL SOFTWARE MATEMÁTICO INTERACTIVO LIBRE GEOGEBRA EN EL MODELADO

MATEMATICO DE UNA CAMPANA NAVIDEÑA

JOEL CRISTIAN CARDENAS TUPALAYA

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Dedicado a Dios por habernos dado fortaleza

y salud para cumplir mis objetivos.

A mi familia por el apoyo incondicional

que siempre me ha demostrado.

INDICE

INTRODUCCION.......................................................................................................6

CAPITULO 1

GENERALIDADES.....................................................................................................71.1. RESEÑA DE LA EMPRESA Y USO DEL OBJETO.......................................71.2. DESCRIPCION DEL OBJETO........................................................................71.2.1. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS..................................................................81.3. CONTORNO DEL OBJETO............................................................................91.3.1. UNIDADES DE MEDIDA.................................................................................9

CAPITULO 2

FUNDAMENTACION.………………………………...………………………………….102.1. LONGITUD DE ARCO ……...………………………………….………...…….102.2. VOLUMEN.……...……………………......…………....………………………...112.2.1. VOLUMENES DE SOLIDO REVOLUCION ..……………..……………….....112.2.2. MÉTODO DEL DISCO …..……………………………..……...…..……...……132.2.3. METODO DE LA ARANDELA………....………………….……………………142.3. AREAS DE LAS REGIONES PLANAS ……………….………………………162.3.1. AREA BAJO UNA CURVA..……...………………………………………….....162.3.2. AREA ENTRE CURVAS….……….…………………………….....………..….162.3.3. ÁREA DE REGIONES SIMPLES ....………………………………...……..….17

CAPITULO 3

DEFINICIÓN MATEMÁTICA…………………………………………………………….183.1 DEFINICIÓN MATEMÁTICA …………………………………...…………………..183.1.1. CAMPANA FOTO REAL …..………………….……...………………………….183.1.2. DISEÑO DEL OBJETO EN 3D……………………………………....................183.1.3. MEDIDAS EJE Y ..…………………………........……………………….....……193.1.4. MEDIDAS EJE X ….………………………………..……...…........…………….203.1.5. TABLA CON LOS PUNTOS EXTERIORES E INTERIORES .….…………...203.1.6. INGRESANDO LOS PUNTOS EN EL GEOGEBRA ..……………..……….…213.1.7. FUNCIONES MATEMATICAS DE LA REGION EXTERIOR.….….…….…...213.1.8. FUNCIONES MATEMATICAS DE LA REGION INTERIOR .…..……..……..223.2. DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES EN ESTUDIO………………….233.3. INTEGRAL DEFINIDA APLICADA AL CONTORNO EXTERIOR E INTERIOR DE LA SECCION EN ESTUDIO………………………………………………………...24

CALCULO DE AREAS……………………………………………………………………24

3.3.1. AREA SECCION 1……………………………………………………………….243.3.2. AREA SECCION 2……………………………………………………………….253.3.3. AREA SECCION 3………………………………………………………...……..253.3.4. AREA SECCION 4………………………………………………….……………263.3.5. AREA SECCION 5……………………………………………………………….263.3.6. AREA SECCION 6……………………………………………..………………...273.3.7. AREA SECCION 7……………………………………………..…………….…..273.3.8. AREA SECCION 8…………………………………………………..……….…..283.3.9. AREA SECCION 9………………………………………………………….……283.3.10. AREA SECCION 10……………………………………………………………..293.3.11. AREA TOTAL ENTRE LA SECCION EXTERIOR E INTERIOR DEL CORTE DE LA CAMPANA………………………………………..………………………….……293.4. LONGITUD DE ARCO DE LA REGION INTERIOR DE LA CAMPANA….…303.4.1. LONGITUD INTERIOR FUNCION G1………………..………………………...313.4.2. LONGITUD INTERIOR FUNCION G2………………………..………………...313.4.3. LONGITUD INTERIOR FUNCION G3………………………………………….323.4.4. LONGITUD TOTAL REGION INTERIOR………………………….…………...32

3.5. VOLUMEN…………………………………………………………………….…...33

3.5.1. Volumen de la Seccion1- Método del disco………………………….………...333.5.2. Volumen de la Seccion2- Método del Disco……………………….…………...343.5.3. Volumen de la Seccion3- Método de la Arandela…………….……………….343.5.4. Volumen de la Seccion4- Método de la Arandela…………………..…………343.5.5. Volumen de la Seccion5- Método de la Arandela……………………………..343.5.6. Volumen de la Seccion6- Método de la Arandela……………………………..353.5.7. Volumen de la Seccion7- Método de la Arandela……………………………..353.5.8. Volumen de la Seccion8- Método de la Arandela……………………............353.5.9. Volumen de la Seccion9- Método de la Arandela………………………….....353.5.10. Volumen de la Seccion10- Método de la Arandela……………………….….363.5.11. Volumen TOTAL de la Campana………………...………………………..…...363.6. COMPARACION DE RESULTADOS…………………………………………...383.6.1. LONGITUD DE ARCO……………………………………………………..….….38

CAPÍTULO 4:

CONCLUSIONES……………………………………………………………………..….39ANEXOS……………………………………………………………………….…………..40BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………42

INTRODUCCION

En el presente trabajo modelare matemáticamente una campana artesanal de uso en festividades navideñas, que servirá como guía para su diseño y posterior producción de forma masiva.

Se tomaron las referencias de la empresa Faprotec es una empresa industrial dedicada a la fabricación de productos de poliestireno expandido, quien es líder en el rubro de empresas de (tecnopor), con más de ocho años en el mercado.

Analizaremos la superficie del objeto, contorno del objeto, su longitud de arco interior y también su volumen gracias a los conocimientos de las integrales, para ello usaremos el Programa Dinamico Geogebra.

CAPÍTULO 1: GENERALIDADES.

1.1. RESEÑA DE LA EMPRESA Y USO DEL OBJETO

Faprotec S.R.L es una empresa industrial dedicada a la fabricación de productos de poliestireno expandido (tecnopor), con más de ocho años en el mercado.

Faprotec está especializado en dar el mejor servicio a los distribuidores y manipuladores de estos materiales.

Con esta finalidad Faprotec cuenta con una amplia gama de planchas y complementos en tecnopor que vienen suministrándose en múltiples sectores como: la construcción, industria y artesanía.

Fabricando todo tipo de placas o de piezas de tecnopor.

Objetivo de la campana de tecnopor (EPS) es utilizado para uso artesanal.

El poliestireno expandido tiene una muy buena terminación superficial, es maniobrable y muy liviano.

1.2. DESCRIPCION DEL OBJETO ARTESANAL

El objeto elegido para este trabajo tiene apariencia cónica, por lo expuesto en el capítulo anterior está diseñada en forma de campana para realizar artesanía.

Describiremos las dimensiones del objeto en mención:

Alto: 150mm

Diámetro Inferior Exterior: 160mm

Diámetro Inferior Interior: 140mm

Grosor Inferior: 10mm

Fotografías del Objeto

1.2.1. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS

Nombre: Campana Artesanal

Tipo: TECNOPOR POLIESTIRENO EXPANDIDO (EPS)

Peso de la Campana: 105gr.

Conductividad térmica λ en [W/m ·K]

Densidad aparente en 10 – 12 Kg/m3

PROPIEDADES DE TECNOPOR (EPS)

El Tecnopor (Poliestireno Expandido o EPS) es un material plástico espumado utilizado en el sector de la Construcción, principal-mente como aislamiento térmico y acústico, en el campo del Envase y Embalaje para diferentes sectores de actividad y en una serie de aplicaciones diversas.

El Tecnopor - EPS se den técnicamente como: "Material plástico celular y rígido fabricado a partir del moldeo de perlas pre expandidas de poliestireno expandible o uno de sus copolímeros, que presenta una estructura celular cerrada y rellena de aire".

1.3. CONTORNO DE LA CAMPANA ARTESANAL.

1.3.1. UNIDADES DE MEDIDA

El objeto artesanal seleccionado que hemos plasmado en la hoja milimetrada está en MILIMETROS.

CAPÍTULO 2:

FUNDAMENTACIÓN.

2.1 LONGITUD DE ARCO:

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la

medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;

aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada

del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para

algunos casos.

2.2. VOLUMEN

El volumen es una magnitud métrica de tipo escalar definida como la extensión

en tres dimensiones de una región del espacio.

Es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el

ancho y la altura. Matemáticamente el volumen es definible no sólo en cualquier

espacio euclídeo, sino también en otro tipo de espacios métricos que incluyen por

ejemplo a las variedades de Riemann.

Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen por el

hecho de ser extensos, fenómeno que se debe al principio de exclusión de Pauli. La

noción de volumen es más complicada que la de superficie y en su uso formal puede

dar lugar a la llamada paradoja de Banach Tarski.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es

el metro cúbico.

2.2.1. VOLUMENES DE SOLIDO REVOLUCION.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al

rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales

pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Si la región R indicada en

la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen

tratamos de determinar.

En este caso el eje diferencial tiene la forma de un disco, por lo tanto su volumen está dado por:

El volumen de todo solido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir:

2.2.2. MÉTODO DEL DISCO.

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un

sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos.

El área transversal de los discos será el área de un circulo , y el ancho será

un . Es importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se

encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente.

Por ejemplo si rotáramos la función en el eje y, despejamos la función dependiendo

de y. Siendo el ancho del disco .

Por lo tanto,

n = Cantidad de discos usados

Usualmente el radio del disco está dado por le función. Para estos casos, haciendo el número de discos tender al infinito:

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si es el límite inferior y es el límite superior):

.

En el caso de que el radio no este dado por la función, debemos encontrarlo según las condiciones del problema dado.

De forma más general, el volumen será:

(si r está en función de x).

2.2.3. METODO DE LA ARANDELA.

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este

caso se utilizan dos discos.

El disco más pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por

formar un especie de solido hueco.

En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra

a una distancia de la función que formara el sólido. Este espacio entre el eje y la

función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del

hueco al solido en revolución.

Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos

discos diferentes pero siempre el ancho del disco es o dependiendo del eje de

rotación.

1. Se dibuja, en un diagrama, el área generatriz, una franja representativa paralela

al eje de rotación, y su rectángulo correspondiente.

2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo

cilíndrico producido en la rotación del rectángulo genérico con respecto al eje de

giro y se halla la suma correspondiente a los n rectángulos.

3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el número

de rectángulos crece indefinidamente.

2.3. AREAS DE LAS REGIONES PLANAS

2.3.1. AREA BAJO UNA CURVA

Para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.

Considerando solo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana.

El área del elemento diferencial será:

El área de la región plana es:

2.3.2. AREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:


El área dela región plana está dada por:

2.3.3. ÁREA DE REGIONES SIMPLES

Si la región plana tuviese la siguiente forma:


El área dela región plana está dada por:

CAPÍTULO 3:

3.1 DEFINICIÓN MATEMÁTICA.

Con ayuda del software Geómetra, modelaremos las funciones matemáticas

que determinan el diseño de la campana.

3.1.1. CAMPANA FOTO REAL.

3.1.2. DISEÑO DEL OBJETO EN 3D.

3.1.3. MEDIDAS EJE Y: Aquí tomamos las medidas en los puntos donde el objeto presenta cambios

los cuales definirán nuestras funciones, estas medidas fueron tomadas en

el exterior e interior de la campana.

Estas medidas representan los puntos de eje de las ordenadas f(x). Todas

las medidas están en milímetros.

3.1.4. MEDIDAS EJE X:

Completando las medidas en los puntos los cuales pertenecerán al eje de

las abscisas.

3.1.5. TABLA CON LOS PUNTOS EXTERIORES E INTERIORES.

REGION EXTERIOR

A B C D E F G H

Xe 0 10.99 23.11 28.41 69 103.4 114.3 150

F(X)e 8.02 33.24 37.05 37.95 47.8 57.91 65.73 80.

REGION INTERIOR

I J K LXi 20 40.51 91.24 150F(X)i 0 23.31 40.83 70

3.1.6. INGRESANDO LOS PUNTOS EN EL GEOGEBRA.

Haciendo uso de la hoja de cálculo generamos la lista de puntos de forma

automática.

3.1.7. FUNCIONES MATEMATICAS DE LA REGION EXTERIOR.

f1(x) = 1.5 ln ((x + 0.04)³) + 22.44 (Función Logarítmica)

f2(x) = √3 ( x−0.11)−23+30.2 (Función Irracional) f3(x) = (x - 16.31)² / 100 + 36.56 (Función Cuadrática)

f4(x) = (x + 15.76) / 4 + 26.86 (Función Lineal) f5(x) = [2 (x - 35.4) - 32.81]² / 950 + 46.6 (Función Cuadrática) f6(x) = Sen h[(x - 41.48) / 20] + 46.84 (Función Hiperbólica) f7(x) = 11.79 + √4694.47−(x−156.45) ² (Función Circunferencia)

3.1.8. FUNCIONES MATEMATICAS DE LA REGION INTERIOR.

g_1(x) = -1.63 + √649.15−(x−45.43) ² ¿¿ (Función Circunferencia) g_2(x) = (x - 4.95)² / 350 + 19.8 (Función Cuadrática) g_3(x) = (29x - 236.8) / 58.76 (Función Lineal)

3.2.DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES EN ESTUDIO

DOMINIO: D = [ 0 , 150 ]

RANGO : R = [ 0 , 80 ]

3.3. INTEGRAL DEFINIDA APLICADA AL CONTORNO EXTERIOR E INTERIOR DE LA SECCION EN ESTUDIO.

CALCULO DE AREAS

3.3.1. AREA SECCION 1

∫0

10.99

(1.5 ln ( (x+0.0405 )3 )+22.44 ) dx=317.29 mm2


∫10.99

20

[√3 (x−0.11)−23+30.2 ] dx=314.45 mm2


∫20

23.11

[√3 ( x−0.11 )−23+30.2 ]dx− ∫20

23.11

(−1.63√649.15−(x−45.43) ² ¿¿ )dx=92.81 mm2


∫23.11

28.41 [ ( x−16.31 )2

100+36.56]dx− ∫

23.11

28.41

[−1.63+√649.15−(x−45.43) ² ¿¿ ] dx=122.42 mm2


∫28.41

40.51 [ ( x+15.76 )4

+26.86 ]dx− ∫28.41

40.51

[−1.63+√649.15−(x−45.43) ² ¿¿ ]dx=222.43 mm2


∫40.51

69 [ ( x+15.76 )4

+26.86 ]dx− ∫40.51

69 [ ( x−4.95 )2

350+19.8]dx=495.96 mm2


∫69

91.24 ( [2 ( x−35.4 )−32.81 ]2

950+46.6)dx− ∫

69

91.24 [ ( x−4.95 )2

350+19.8]dx=313.3 mm2


∫91.24

103.35 ( [2 (x−35.4 )−32.81 ]2

950+46.6)dx− ∫

91.24

103.35 [ (29 x−236.8 )58.76 ] dx=137.76 mm2


∫103.35

114.27 [Sen h[ ( x−41.48 )20 ]+46.84 ]dx− ∫

103.35

114.27

[ (29 x−236.8 )58.76 ]dx=129.08 mm2


∫114.27

150

[11.79+√4694.47−( x−156.45 )2]dx− ∫114.27

150 [ (29 x−236.8 )58.76 ]dx=489.26 mm2

3.3.11. AREA TOTAL ENTRE LA SECCION EXTERIOR E INTERIOR DEL CORTE DE LA CAMPANA.

As = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10

As = 317.29 mm2 + 314.45 mm2 + 92.81 mm2 + 122.42 mm2 + 222.43 mm2 +

495.96 mm2 + 313.3 mm2 + 137.76 mm2 + 129.08 mm2 + 489.26 mm2

As = 2,634.76mm2

3.4.LONGITUD DE ARCO DE LA REGION INTERIOR DE LA CAMPANA.

Una aplicación de las integrales es la Longitud de Arco, a manera de aplicación

vamos a determinar la Longitud de Arco de la Región Interior de la campana.

Aplicaremos la siguiente formula:

3.4.1. LONGITUD INTERIOR FUNCION G1

g_1(x) = −1.63+√649.15−(x−45.43) ² ¿¿

g´_1(x) = −(x−4543100

)√ 1298320

−(x−4543100

)2−1

L_1= ∫20

40.51

(√1+[ g1 ( x )' ]2)dx

L_1= 33.5 mm


g_2(x) = (x - 4.95)² / 350 + 19.8

g´_2(x) = 2(x−99

20350

)

L_2= ∫40.51

91.24

(√1+[ g2 ( x )' ]2)dx

L_2= 53.87 mm


g_3(x) = (29x - 236.8) / 58.76

g´_3(x) = 29

58.76

L_3= ∫91.24

150

(√1+[ g3 ( x )' ]2)dx

L_3= 65.53 mm

3.4.4. LONGITUD TOTAL REGION INTERIOR

L= L_1 + L_2 + L_3

L = 33.5 mm + 53.87 mm + 65.53 mm

L= 152.9 mm

L= 15.29 cm

3.5.VOLUMEN

Aplicación del método del disco para las Secciones 1 y 2.

Aplicación del método de la arandela para las Secciones del 3 al 10.

3.5.1. Volumen de la Seccion1- Método del disco.

V1 = π ∫0

10.99

[(1.5 ln (( x+0.0405 )3 )+22.44 )]2dx=317.29 mm3

V_1 = 29,335.61mm3

3.5.2. Volumen de la Seccion2- Método del Disco.

V2 = π ∫10.99

20

[√3 ( x−0.11 )−23+30.2]2dx=47,675.07 mm3

V2 = 47,675.07 mm3

3.5.3. Volumen de la Seccion3- Método de la Arandela.

V3=

π ∫20

23.11

[[√3 ( x−0.11 )−23+30.2 ]2−(−1.63√649.15−(x−45.43)² ¿¿ )2 ]=12,582.36 mm3

V3 = 12,582.36mm3


V4=

π ∫23.11

28.41

[( x−16.31 )2

100+36.56]

2

dx−π ∫23.11

28.41

[−1.63+√649.15−(x−45.43)² ¿¿ ]2dx=19,883.91mm3

V4 = 19,883.91mm3


V5=

π ∫28.41

40.51 [ ( x+15.76 )4

+26.86]2

dx−π ∫28.41

40.51

[−1.63+√649.15−(x−45.43) ² ¿¿ ]2 dx=42.153.65 mm3

V5 = 42,153.65mm3


V6=

π ∫40.51

69 [ ( x+15.76 )4

+26.86]2

dx−π ∫40.51

69 [ ( x−4.95 )2

350+19.8]

2

dx=111,397.89 mm3

V6 = 111,397.89mm3


V7=

π ∫69

91.24 ( [2 (x−35.4 )−32.81 ]2

950+46.6)

2

dx−π ∫69

91.24 [ ( x−4.95 )2

350+19.8]

2

dx=84,487.41 mm3

V7 = 84,487.41mm3


V8=

π ∫91.24

103.35 ( [2 ( x−35.4 )−32.81 ]2

950+46.6)

2

dx−π ∫91.24

103.35 [ (29 x−236.8 )58.76 ]

2

dx=42,955.07 mm3

V8 = 42,955.07mm3


V9=

π ∫103.35

114.27 [Senh[ ( x−41.48 )20 ]+46.84]

2

dx−π ∫103.35

114.27 [ (29 x−236.8 )58.76 ]

2

dx=45,177.38mm3

V9 = 45,177.38mm3


V10=

π ∫114.27

150

[11.79+√4694.47−( x−156.45 )2]2dx−π ∫

114.27

150 [ (29 x−236.8 )58.76 ]

2

dx=208,128.72 mm3

V10 = 208,128.72mm3

3.5.11. Volumen TOTAL de la Campana.

VTOTAL = V1+V2+ V3+V4+ V5+V6+ V7+V8+ V9+V10

VTOTAL = 29 ,335.61mm3+47,675.07 mm3+ 12,582.36mm3 + 19,883.91mm3 +

42,153.65mm3 + 111,397.89mm3 + 84,487.41mm3 + 42,955.07mm3+

45,177.38mm3 + 208,128.72mm3

VTOTAL = 643,777.07mm3

3.6.COMPARACION DE RESULTADOS3.6.1. LONGITUD DE ARCO.

Se procedió con la verificación de la longitud de arco calculado mediante

integrales. Siendo:

L(Integrales)= 15.29 cm

L(Medida Real)= 15.5 cm

Con un ligero margen de error de +-0.2 con ello se demuestra la aplicación real de las integrales.

CAPÍTULO 4:

CONCLUSIONES

En este capítulo daremos a conocer un breve resumen de cada punto analizado en

este trabajo y lo aprendido a lo largo de su desarrollo.

En el punto 3.1y 3.2 el uso de los programas GEOGEBRA y AUTOCAD, fue de vital utilidad, ya que mediante estos programas pudimos hallar las ecuaciones y poder tener una campana en 3D.

El uso de un plano dimensional del objeto (con el cual se ubicó las coordenadas para el plano cartesiano hizo posible simular el sólido de la campana a fabricar.

En el puntos 3.3 se realizó el cálculo de las ares de las funciones matemáticas con uso del Software Geogebra.

En el punto 3.4 se calcula la medida del contorno interior de la campana con aplicación de las integrales y Software Geogebra.

En el punto 3.5 con aplicación de las integrales y generación de solidos de revolución se determinó el volumen de la campana en diseño.

Finalizando el trabajo en el punto 3.6 se hizo una comparación de resultados para luego mediante las integrales poder hallar el margen de error para la campana a elaborar.

ANEXOS

Anexo 1


Anexo 2

Reseña de la empresa

https://www.google.com/search?q=fabrotec&client=firefox-b-ab&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjkjZ6Z1dHOAhUBQyYK

HXqjDsIQ_AUICSgC&biw=1366&bih=659#imgrc=zp6UU2H_WaVjlM%3A

Anexo 3

Descripción del objeto artesanal

http://faprotec.com.pe/artesania_de_tecnopor.html

Anexo 4

Uso y objeto

http://faprotec.com.pe/campanas.html

BIBLIOGRAFIA

Moisés Lázaro Carrión. Calculo Integral y sus Aplicaciones. Tercera

edición, Perú 2014.

Richard Courant, Fritz Jhon. Introducción al Cálculo y al Análisis

Matemático. Vol. 1 y 2 Limusa: Mexico 1979.

https://www.geogebra.org/?lang=es

https://www.geogebra.org/?lang=es