modelagem matematica,actualizados

MODELAGEM MATEMATICA

DE SISTEMAS

HIDRAULICO

TRABALHO DE CONTROLO DE SISTEMAS

INTRODUÇÃO

Modelo: é a representação de um sistema real ou imaginário usando uma linguagem,

um meio, e segundo um ponto de vista .

Um modelo: é a representação do conhecimento e a principal ferramenta para o estudo do comportamento de sistemas complexos.

Modelar é o primeiro passo para a análise de um sistema de qualquer natureza e sob qualquer aspecto.

Modelagem, de forma geral, é a elaboração de um modelo para a representação de alguma coisa, ou seja é um processo complexo e, em vários campos, envolve a capacidade de dedução e inferência ou ainda pode ser definida como uma técnica da engenharia aprovada e bem aceita, e é uma forma objectiva de simplificação de uma realidade.

Modelagem matematica de sistemas hidraulicos

A modelagem de um sistema será mais fácil se:

a) conhecermos as leis (físicas, etc.) pertinentes ao sistema,

b) se for fácil obter uma representação gráfica ou simbólica do

sistema. c) se as incertezas entre as entradas, parâmetros e saídas

puderem ser quantificadas. Portanto podemos definir modelo como: “Uma

representação física, matemática, lógica ou computacional qualquer de um sistema,

processo, fenómeno ou entidade.”


Segundo a sua natureza os modelos são classificados em:

Fisico Matematicos Logicos Computacionais


MODELOS MATEMÁTICOS – SISTEMAS CONHECIDOS

Modelo Matemático: “É um modelo simbólico cujas propriedades são expressas em símbolos matemáticos e suas relações”.

Representação de modelos

De acordo com a representação os modelos matemáticos podem ser classificados em:

Equações As equações matemáticas que representam o modelo

podem ser: • Algébricas: quando as relações são representadas só

por operações algébricas; • Diferenciais: quando as relações são representadas

por operações algébricas ediferenciais;

• Integrais: quando as relações são representadas por operações algébricas e integrais.

Tabelas

Quando temos grandes dificuldades de extrair relações algébricas entre os dados quequeremos modelar, o recurso da representação por tabelas matemáticas é importante. Isto é bastante verificado em sistemas não lineares com mais de duas dimensões. É uma técnica bastante utilizada para modelamento de motores e de desempenho de aeronaves.

GráficosOs recursos gráficos são muito importantes para a compreensão da estrutura dos sistemas e apresentam as categorias abaixo:

• Gráfico da função: mesmo conhecendo a função matemática que representa umarelação podemos substituí-la pela sua representação gráfica para maior facilidade deinterpretação do usuário ou para economia de tempo de processamento quandoimplementamos este modelo em um computador.

• Diagramas de Blocos (“ Block Diagrams ”): é uma das formas que mais facilitam acompreensão de sistemas complexos. Quando são utilizadas a transformada S ou deLaplace, existem operações que nos permitem definir uma função de transferênciatotal a partir das funções de transferências mais simples de blocos menores. Seuprincípio básico é o fluxo de sinal. Sua representação pode ser estendida para fluxode potência.

• Diagramas de Fluxo de Sinal (“Signal Flow Graphs”): Existe uma representaçãoequivalente à efetuada por diagrama de blocos mas baseada no fluxo de sinais atravésdo sistema. Também apresenta uma lógica para a composição das relações dosistema. É bem menos usado que a representação de diagrama de blocos porque é

menos intuitiva e suas operações mais complexas. • Diagramas de Ligação (“Bond graphs”): É uma representação de cada elemento

baseada no fluxo de energia através do sistema. Permite o acoplamento doselementos modelados pois o conceito de carga já é modelado intrinsecamente. Podeser estendido para incluir fluxo de sinais.


Tendo em vista que os sistemas hidráulicos envolvem o escoamento e a acumulação de líquidos as variáveis usadas para descrever o seu comportamento dinâmico são; a vazão volumétrica [, o volume [, altura do liquido [m] e a pressão [N/m2] ou [Pa].

ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA HIDRÁULICOS

Os sistemas hidráulicos exibem três tipos de propriedades que podem ser aproximadas por parâmetros concentrados: resistência, capacitância e inertância. Apresentaremos apenas as duas primeiras propriedades, já que a inertância, que leva em conta a energia cinética do líquido, normalmente é desprezível para as baixas velocidades encontradas industrialmente.

2.1 RESISTÊNCIA HIDRÁULICA Quando um líquido escoa em uma tubulação, dá-se uma

queda na pressão do líquido ao longo da mesma, devida ao atrito com as paredes da tubulação, a qual é conhecida como perda de carga normal. Também ocorre uma queda de pressão sempre que o líquido passa através de acidentes, tais como curvas, válvulas, orifícios, restrições, alargamentos, contracções, etc., a qual recebe o nome de perda de carga acidental. Tais quedas de pressão normalmente são descritas por expressões algébricas não lineares que relacionam a vazão volumétrica com a queda de pressão. Por exemplo, a expressão

(1) descreve razoavelmente bem a relação entre a vazão

volumétrica Q e a queda de pressão ΔP no caso de um escoamento turbulento de um líquido através de um orifício ou de uma válvula como a ilustrada na fig. 1.


Na eq. (1), K é uma constante que depende das características do escoamento, da tubulação, válvula ou orifício, a qual deve ser obtida experimentalmente. Uma representação gráfica da eq. (1) é mostrada na fig. 2, onde é o ponto de operação:


Como a eq. (1) é uma relação não linear, devemos linearizá-la em torno do ponto de operação, a fim de obter um modelo matemático linear para o sistema hidráulico. Para isso, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 2) e definimos como “resistência hidráulica” R o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja:


(2) Desenvolvendo a eq. (1) em série

de Taylor em torno do ponto de operação e retendo apenas os termos lineares:

(3)


Agora podemos definir as variáveis incrementais como: 3a.

3b. Substituindo as equações (2), 3a e 3b em 3 tem-se:

(4) A equação (1) também pode ser aplicada no ponto de

operação; logo portanto temos:

Derivando e usando a equação (2), chegamos a equação: (5)


Também podemos exprimir a resistência R em termos de Q; para isso da equação (1) obtemos:

Substituindo-o na equação (5) temos: (6)

Os sistemas hidráulicos típicos são compostos por tubulações, válvulas, orifícios, etc., acontece que estes elementos possuem suas resistências hidráulicas. Assim, muitas vezes necessitamos combinar tais resistências hidráulicas em série e/ou paralelo, de modo que é extremamente útil desenvolver expressões para essas associações.

2.1.1 Associação série

Considerando a fig. 3, onde temos duas válvulas de constantes e resistências hidráulicas em serie, assim como uma válvula equivalente de constante e resistência hidráulica . Assim calculamos da seguinte maneira:

Fig. 3


Sabendo que duas válvulas quando estão em serie possuem a mesma vazão volumétrica; sendo que a diferença de pressão é:

Donde obtemos:


Fazendo uma comparação desta ultima equação com a equação (1) vemos que;

(7) Aplicando a equação (6) para a válvula

vem: Se quisermos aplicar a equação das

válvulas separadamente teremos:


e

O que permite concluir que: (8)

Analisando esta expressão, conclui-se que é a mesma para resistências eléctricas em série o que vem mostrar a existência de uma “analogia eletro-hidráulica”. Duma maneira geral temos:

(9)

2.1.2 Associação em paralelo

Com o auxílio da conclusão tirada na associação de resistências em série em analogia eletro-hidráulica podemos dizer simplesmente que em associação em paralelo de válvulas teremos como resistência equivalente:

(10)

2.2 CAPACITÂNCIA HIDRÁULICA Quando um liquido é armazenado num reservatório aberto;

existe uma relação algébrica entre o volume do líquido e a pressão no fundo do reservatório. Se a área da secção recta do reservatório é dada pela função A (h), onde h é a altura da superfície livre do líquido em relação ao fundo do reservatório, portanto o volume do líquido é dado pela seguinte fórmula:

(11)

Onde: λ- Simplesmente é uma variável muda usada na integração. Sabendo que a expressão absoluta no fundo do reservatório e

a altura do liquido estão relacionadas pela seguinte expressão:


Onde: - P-É a pressão atmosférica (nas condições

normais de temperatura e pressão G - é a aceleração de gravidade ( usualmente ) ρ- É a massa especifica do liquido em É de notar que as equações (11) e (12) estão

relacionadas pela variável h, de modo que é possível obter uma relação não linear entre P e V; já a seguir ilustramos uma figura, com uma curva característica típica dessa relação:

Fig. 4


Para linearizar esta relação, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação e definimos como “capacitância hidráulica” C o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja:

Aplicando a regra da cadeia de derivação temos: A partir da expressão (11), se isolarmos A (h) teremos:

Derivando a equação (12) em função de V teremos: Assim podemos escrever:

Sendo a sua unidade no SI será,


NOTA: Quando temos reservatórios com secção recta constante A, a equação (11) deduz-se em:

De modo que teremos: Substituindo-o na equação (12)

teremos: Podemos assim representar esta

equação graficamente visto que é uma equação da recta; assim seja:


Da definição de capacitância podemos facilmente obter, para esse caso: O volume instantâneo de líquido em um reservatório é dado pela

integral da vazão volumétrica líquida que entra no reservatório, somada ao volume inicial, ou seja:

Donde obtemos: É de notar que esta expressão é a equação da continuidade para um

fluido incompressível: “A vazão instantânea é igual à vazão que entra menos a vazão que sai do reservatório”

No caso de reservatórios com secção recta variável A (h), podemos obter uma expressão para a variação temporal da altura h a partir da regra de cadeia da derivação:


Sabendo que C(h)=dV/dP; logo podemos isolar dP/dt, assim sendo teremos:

Onde C (h) é dada pela equação (15). Exemplo: considere dois (2) cilindros

contendo um determinado líquido, mais em posições diferentes como ilustrada na figura 6 a seguir; faça o estudo.


Resolução: a) Nesta posição a área é constante sendo

portanto:

Sendo assim podemos usar a equação (17): b) Nesta posição a área varia em função de

h. Fazendo a analise a parte desta posição temos:


Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo temos:

Depois de algumas simplificações finalmente teremos: Aqui devemos aplicar a equação (15) porque, a área varia em

função da altura; assim seja:

FONTES DE ENERGIA HIDRÁULICA

A maioria dos sistemas hidráulicos industriais usam como fonte de energia; “bombas”; o qual é accionada normalmente por motor eléctrico simbolicamente é representada pela seguinte figura:


Para diferentes velocidades de rotação da bomba, podemos notar na fig. 8; a não linearidade das tais relações.

Fig. 8


Para se fazer a linearização, devemos inicialmente determinar o ponto de operação para a velocidade de rotação em regime permanente, calculando os valores de conforme ilustrada na figura 9. Após, traçamos a tangente a curva no ponto de operação, e definimos a sua inclinação como sendo - K, a qual tem unidades no SI. Tendo feito isso, podemos exprimir a diferença de pressão incremental em termos da vazão volumétrica incremental como:

Onde K é sempre positiva. Isolando teremos:

Para obter a relação linear dada pela equação (22), podemos desenvolver Q em série de Taylor retendo apenas os termos lineares:

Comparando as equações 22 e 23, notamos que é a inclinação da tangente a curva no ponto de operação, dado por .

MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO

Exemplo: Seja o sistema de nível de líquido simples representada na seguinte figura:

Fig.9


Sendo a vazão volumétrica na saída da válvula, , dada pela relação não linear onde P é a pressão absoluta no fundo do reservatório e Pa é a pressão atmosférica, desenvolver um modelo matemático linearizado para o sistema, sendo a entrada Qi(t) e a saída P(t).


Resolução Como a secção recta do reservatório é constante,

portanto C (h) =C, logo aplicando a equação 20 teremos;

Aplicando a equação da válvula a saída; Temos; Para linearizar o modelo, aplicamos a serie de Taylor na

equação * retendo apenas os termos lineares: Escrevendo a equação acima em termos das variáveis

incrementais;


Obtemos: Por outro lado, P e Qi devem satisfazer a eq. (1),

isto é Portanto; Derivando a equação acima em relação a Qi:

Substituindo a equação *** em ** temos:


Multiplicando a equação **** por RC para auxiliar na linearização da função teremos:

Levando em conta a eq. (1) Aplicada ao ponto de

operação e a equação de R pela definição), temos:

Donde chegamos a conclusão (modelo linearizado) em

termos de variáveis incrementais; O produto de RC tem dimensão de tempo; definimos

portanto como a constante de tempo do sistema:

CONCLUSÃO

Tendo realizado o presente trabalho concluímos que, a

Modelagem Matemática caracteriza-se como um ambiente de aprendizagem; onde podemos fazer investigações por meio da Matemática, situações provenientes de outras áreas. Nesse caso fizemos a modelagem matemática para compreender melhor o sistema que estamos desenvolvendo. Sendo os sistemas hidráulicos, de muita importância a nível das engenharias (Automação e controle, mecânica etc.…), por ser um sistema bastante complexo devido a sua natureza distribuída (propriedades distribuídas ao longo da massa), e não linear; é viável fazer a modelagem matemática destes sistemas. Tendo como o objectivo melhorar a curva característica do sistema em estudo. Com o auxilio da serie de Taylor fomos capazes de melhorar a curva característica, concluindo que a matemática é uma ferramenta muito importante aplicável na analise de outras disciplinas.

Agradecemos a vossa presença

MUITO OBRIGADO.

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