model matematis dinamika pertumbuhan populasi dunia
TRANSCRIPT
MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN
POPULASI DUNIA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Stanislaus Warih Priyo Tomo
163114033
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN
POPULASI DUNIA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Stanislaus Warih Priyo Tomo
163114033
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
MATHEMATICAL MODEL OF WORLD POPULATION
GROWTH DYNAMICS
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written by
Stanislaus Warih Priyo Tomo
163114033
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam
segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan
syukur.
Filipi 4:6
Skirpsi ini saya persembahkan untuk kedua orang tua tercinta,
Petrus Purwanta dan Sri Suprihati
serta kakak saya,
Theresia Dhian Puspita
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Model kependudukan adalah model matematis yang merepresentasikan
pertumbuhan populasi dalam bentuk matematika. Pada skripsi ini akan dibahas
tentang model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model Dolgonosov.
Model tersebut akan diselesaikan secara analitik untuk model yang mempunyai
penyelesaian analitik dan menggunakan metode numerik untuk semua model.
Metode numerik yang akan digunakan adalah metode Euler, aturan trapesium untuk
persamaan diferensial biasa, dan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan
diferensial biasa. Penyelesaian dari metode ini digunakan untuk memperkirakan
jumlah penduduk dunia di tahun mendatang. Skripsi ini menghasilkan perkiraan
jumlah populasi penduduk dunia untuk model Kapitsa dan model Dolgonosov,
sedangkan untuk model pertumbuhan hiperbolik adalah model yang tidak realistik.
Kata kunci : Model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, model Dolgonosov.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
The population model is a mathematical modelling that represents
population growth in mathematical form. In thesis we discuss about hyperbolic
growth model, Kapitsa model, and Dolgonosov model. The model will be solved
analytically for a model that has a solution and using numerical method for all
model. The numerical method used is Euler method, trapezoidal rule for ordinary
differential equation, and modified trapezoidal rule for ordinary differential
equation. Solution of this method is used to predict the number of world population
in the coming year. This thesis produces an estimate of the worldβs population for
the Kapitsa model and Dolgonosov model, while the hyperbolic growth model is
an unrealistic model.
Keywords : Hyperbolic growth model, Kapitsa model, Dolgonosov model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena limpahan rahmat-Nya
penulis bisa menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai
salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika dari Program Studi
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis sadar bahwa selama penulisan skripsi ini banyak pihak yang telah
terlibat hingga dapat diselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains
dan Teknologi, sekaligus sebagai dosen pembimbing skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak
Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Bapak Ricky Aditya, M.Sc.,
selaku dosen Prodi Matematika yang telah memberi pengetahuan kepada
penulis selama masa perkuliahan.
5. Bapak/Ibu karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika
dengan penulis selama masa perkuliahan.
6. Kedua orang tua, dan kakak yang telah mendukung dan mendoakan penulis
sehingga dapat menyusun skripsi ini.
7. Teman-teman dan orang-orang yang dekat dengan penulis: Aji, Gabby, Egi,
Reinald, Dani, Ikhsan, Pandu, Tasya, Leo, Shinta, om dan tante Ros yang telah
mendukung dan memberi semangat dalam proses pengerjaan skripsi.
8. Teman-teman Matematika 16 yang telah berdinamika dengan penulis selama
proses perkuliahan.
9. Semua pihak yang penulis tidak dapat disebut satu per satu atas dukungan
dalam penyusunan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
TITLE PAGE ...................................................................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................ vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................ x
DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. Latar Belakang .................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .............................................................................. 3
C. Batasan Masalah ................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ................................................................................ 4
E. Manfaat Penulisan .............................................................................. 4
F. Metode Penulisan ............................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4
BAB II PEMODELAN MATEMATIS .............................................................. 6
A. Persamaan Diferensial Biasa .............................................................. 6
1. Turunan Fungsi ....................................................................... 6
2. Integral Fungsi ...................................................................... 18
3. Persamaan Diferensial .......................................................... 21
B. Pemodelan Matematis ...................................................................... 25
C. Metode Numerik ............................................................................... 27
1. Metode Euler ........................................................................ 27
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
2. Metode Heun (Aturan Trepesium untuk
Persamaan Diferensial Biasa) ............................................... 28
3. Modifikasi Aturan Trapesium untuk
Persamaan Diferensial Biasa ................................................ 30
D. Verifikasi Model ............................................................................... 31
BAB III MODEL KEPENDUDUKAN ............................................................ 32
A. Model Pertumbuhan Hiperbolik ....................................................... 32
B. Model Kapitsa .................................................................................. 35
C. Model Dolgonosov ........................................................................... 39
D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium ............................... 45
1. Aturan Trapesium untuk Persamaan
Diferensial Biasa................................................................... 46
2. Modifikasi Aturan Trapesium untuk
Persamaan Diferensial Biasa ................................................ 60
BAB IV ANALISIS GALAT............................................................................ 76
A. Analisis Galat Metode Euler............................................................. 76
B. Analisis Galat Aturan Trapesium ..................................................... 78
C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium ................................... 80
BAB V PENUTUP ............................................................................................ 84
A. Kesimpulan ....................................................................................... 84
B. Saran ................................................................................................. 85
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi yang luar biasa dan perubahan geopolitik yang ter-
jadi pada abad ke-20 disebabkan oleh ledakan populasi yang belum pernah terjadi.
Ledakan jumlah penduduk itu terjadi dari 1,656 miliar penduduk pada tahun 1900
menjadi 6,055 miliar di tahun 2000 (Akaev and Sadovnichii, 2010). Sedangkan
penggunaan sumber daya alam secara intensif yang disebabkan oleh pertumbuhan
tajam populasi dunia menyebabkan kerusakan biosfer bumi, pencemaran ling-
kungan, dan akhirnya kerusakan kondisi lingkungan yang akan menimbulkan
ancaman serius bagi manusia. Hal ini mendorong pengembangan model matematis
yang mampu menunjukkan batas ekspansi manusia dalam biosfer dan kendala
global maupun lokal berdasarkan keadaan lingkungan pada populasi dunia.
Pada pertengahan abad ke-20, data yang ada menujukkan populasi dunia
dapat dirumuskan dengan model pertumbuhan hiperbolik (Hathout, 2013)
π(π‘) =π0
1 β ππ‘ (1.1)
dengan π(π‘) adalah populasi penduduk saat π‘, π0 adalah populasi awal, π adalah
konstanta, dengan 0 < π < 1 dan π‘ adalah waktu dalam tahun masehi.
Analisis hukum pertumbuhan hiperbolik populasi dunia yang menghu-
bungkan ukuran populasi dunia dan perkembangan manusia, menyarankan suatu
mekanisme kerja sama ukuran perkembangan yang direpresentasikan oleh kuadrat
ukuran populasi. Karena alasan tersebut, Kapitsa (1992) mengusulkan ketergan-
tungan kuadratik untuk laju pertumbuhan penduduk
ππ
ππ‘=
π2
πΆ= ππ2 (1.2)
dengan πΆ adalah konstanta, π = 1/πΆ dan π adalah populasi penduduk.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Untuk menggambarkan transisi demografis global, Kapitsa menyusun kem-
bali persamaaannya dan memperkenalkan π yang merupakan karakteristik umur
hidup manusia, untuk membatasi tingkatan pertumbuhan penduduk. Model yang
ditemukan oleh Kapitsa menjadi
ππ
ππ‘=
πΆ
(π1 β π‘)2 + π2 (1.3)
π = πΎ2 arccot (π1 β π‘
π) (1.4)
dengan πΎ2 = πΆ/π, π1 adalah konstanta, dan π‘ adalah waktu dalam tahun masehi.
Setelah itu, Dolgonosov (2009) melengkapi persamaan yang didapat oleh
Kapitsa. Menurut Dolgonosov, ukuran populasi ditentukan oleh π tingkat produksi
informasi:
ππ
ππ‘= ππ (1.5)
dengan Ο adalah tingkat rata-rata pemrosesan informasi oleh manusia.
Model Dolgonosov untuk ukuran populasi dunia adalah:
ππ
ππ‘= ππ2 [1 β
π
πΎ(π)] (1.6)
πΎ(π) =ππ
1 β exp (βπΌπππ
) (1.7)
dengan π =π
π adalah koefisien pertumbuhan populasi dunia, πΎ(π) adalah kapasitas
lingkungan seketika, ππ =ππ
ππ‘π daya muat dari biosfer bumi, ππ dan π‘π adalah
karaktersitik skala jumlah, πΌ adalah konstanta dan π adalah populasi penduduk
dunia.
Gorshkov (1995) memperkirakan, populasi dunia mengkonsumsi sekitar
22-23% biomassa planet. Pengaruh teknologi pendukung kehidupan dimulai pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
abad ke-19 ketika populasi dunia mencapai 1 miliar. Untuk memperhitungkan
keadaan ini πΎ(π) pada persamaan (1.6) menjadi
πΎ = ππ + πΎ(π β π0) exp[βπ (π β π0)] (1.8)
dengan ππ adalah daya muat biosfer, πΎ dan π adalah konstanta, dan π0 adalah po-
pulasi awal.
Skripsi ini membahas penerapan pemodelan matematis dalam mem-
perkirakan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang. Model-model
pertumbuhan hiperbolik, Kapitsa dan Dolgonosov, digunakan untuk mem-
perkirakan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana menyusun model matematis untuk memprediksi jumlah
penduduk dunia?
2. Berapa perkiraan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang?
C. Batasan Masalah
Skripsi ini dibatasi oleh model pertumbuhan penduduk dan metode numerik
sebagai berikut:
1. Model pertumbuhan hiperbolik
2. Model Kapitsa
3. Model Dolgonosov
4. Metode Euler
5. Aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa
6. Modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini, untuk mengetahui teori dasar dan
penerapan pemodelan matematis dalam bidang kependudukan. Skripsi ini akan
difokuskan untuk memprediksi jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun
mendatang menggunakan penyelesaian analitik dan metode numerik dengan
menggunakan model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, model Dolgonosov.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Dapat mengetahui penerapan pemodelan matematis pada bidang kependu-
dukan.
2. Mengetahui pembentukan model kependudukan.
3. Dapat memperkirakan pertumbuhan penduduk dunia.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan
dengan model pertumbuhan penduduk.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II PEMODELAN MATEMATIS
A. Persamaan Diferensial Biasa
B. Pemodelan Matematis
C. Metode Numerik
D. Verifikasi Model
BAB III MODEL KEPENDUDUKAN
A. Model Pertumbuhan Hiperbolik
B. Model Kapitsa
C. Model Dolgonosov
D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium
BAB IV ANALISIS GALAT
A. Analisis Galat Metode Euler
B. Analisis Galat Aturan Trapesium
C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PEMODELAN MATEMATIS
A. Persamaan Diferensial Biasa
Pada Subbab ini sebelum membahas tentang persamaan diferensial, terlebih
dahulu akan membahas tentang turunan dan integral fungsi.
1. Turunan Fungsi
Definisi turunan fungsi dengan menggunakan limit (Larson and Edwards,
2009)
Definisi 2.1
Turunan dari fungsi π dinyatakan dengan πβ² yang didefinisikan
πβ²(π₯) = limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯
di setiap titik π₯ sehingga limit ada dan hingga.
Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut diferensiasi
(differentiation). Suatu fungsi dikatakan terdiferensial (differentiable) pada π₯ jika
fungsi tersebut mempunyai turunan pada π₯ dan suatu fungsi dikatakan terdiferensial
pada interval (π, π) jika fungsi mempunyai turunan untuk setiap titik pada interval.
Notasi untuk menunjukan turunan dari fungsi π¦ = π(π₯) yaitu πβ(π₯). Selain notasi
tersebut, notasi lain yang digunakan untuk menunjukan turunan fungsi π¦ = π(π₯),
yang umumnya digunakan yaitu (Larson and Edwards, 2009)
πβ²(π₯),ππ¦
ππ₯, π¦β²,
π
ππ₯[π(π₯)], π·π₯[π¦] (2.1)
Contoh 2.1
Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan dari fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
a) π(π₯) = π₯2
b) π(π₯) =1
π₯
Penyelesaian
a) Untuk fungsi π(π₯) = π₯2
πβ²(π₯) = limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
(π₯ + βπ₯)2 β π₯2
βπ₯
= limβπ₯β0
2π₯ β βπ₯ + βπ₯2
βπ₯
= limβπ₯β0
(2π₯ + βπ₯) = 2π₯
b) Untuk fungsi π(π₯) =1
π₯
πβ²(π₯) = limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
β
= limβπ₯β0
1π₯ + βπ₯ β
1π₯
βπ₯
= limβπ₯β0
π₯ β (π₯ + βπ₯)
βπ₯(π₯ + βπ₯)π₯
= limβπ₯β0
β1
(π₯ + βπ₯)π₯= β
1
π₯2 β
Setelah mengetahui definisi dari turunan menggunakan limit, akan dibahas
sifat-sifat dari turunan fungsi (Larson and Edwards, 2009).
Teorema 2.1
Turunan dari fungsi konstan adalah nol. Jika π merupakan bilangan real maka
π
ππ₯[π] = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Bukti
Misalkan π(π₯) = π, dengan menggunakan definisi limit pada turunan didapat
π
ππ₯[π] = πβ²(π₯)
= limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
π β π
βπ₯
= limβπ₯β0
0 = 0 β
Contoh 2.2
Tentukan turunan dari fungsi
i. π¦ = 7
ii. π(π₯) = β3
iii. π¦ = ππ, dengan π adalah konstanta
Penyelesaian
Dengan menggunakan teorema didapat
i. π¦β² = 0
ii. πβ²(π₯) = 0
iii. ππ¦
ππ₯= 0
Teorema 2.2
Jika π fungsi terdiferensial dan π adalah bilangan real, maka ππ juga terdiferensial
dan π
ππ₯[ππ(π₯)] = ππβ²(π₯)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Bukti
π
ππ₯[ππ(π₯)] = lim
ββ0
ππ(π₯ + βπ₯) β ππ(π₯)
βπ₯
= limββ0
π [π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= πlimββ0
[π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= ππβ²(π₯) β
Teorema 2.3
Jumlahan dan pengurangan dua fungsi yang terdiferensial, juga merupakan fungsi
yang terdiferensial
π
ππ₯[π(π₯) + π(π₯)] = πβ²(π₯) + πβ²(π₯)
π
ππ₯[π(π₯) β π(π₯)] = πβ²(π₯) β πβ²(π₯)
Bukti
π
ππ₯[π(π₯) Β± π(π₯)] = lim
βπ₯β0
[π(π₯ + βπ₯) Β± π(π₯ + βπ₯)] β [π(π₯) Β± π(π₯)]
βπ₯
= limβπ₯β0
[π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯Β±
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯Β± lim
βπ₯β0
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯
= πβ²(π₯) Β± πβ²(π₯) β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Teorema 2.4
Turunan dari perkalian dua fungsi yang terdiferensial, juga merupakan fungsi yang
terdiferensial.
π
ππ₯[π(π₯)π(π₯)] = π(π₯)πβ²(π₯) + π(π₯)πβ²(π₯)
Bukti
π
ππ₯[π(π₯)π(π₯)] = lim
βπ₯β0
π(π₯ + βπ₯)π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)π(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
π(π₯ + βπ₯)π(π₯ + βπ₯) β π(π₯ + βπ₯)π(π₯) + π(π₯ + βπ₯)π(π₯) β π(π₯)π(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
[π(π₯ + βπ₯)π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯+ π(π₯)
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= π(π₯)πβ²(π₯) + π(π₯)πβ²(π₯) β
Teorema 2.5
Pembagian dari dua fungsi π dan π yang terdiferensial, juga merupakan fungsi
terdiferensial, dengan semua nilai π₯ pada π(π₯) β 0
π
ππ₯[π(π₯)
π(π₯)] =
π(π₯)πβ²(π₯) β π(π₯)πβ²(π₯)
[π(π₯)]2, π(π₯) β 0
Bukti
π
ππ₯[π(π₯)
π(π₯)] = lim
βπ₯β0
π(π₯ + βπ₯)π(π₯ + βπ₯)
βπ(π₯)π(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
π(π₯)π(π + βπ₯) β π(π₯)π(π₯ + βπ₯)
βπ₯π(π₯)π(π₯ + βπ₯)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
= limβπ₯β0
π(π₯)π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)π(π₯) + π(π₯)π(π₯) β π(π₯)π(π₯ + βπ₯)
βπ₯π(π₯)π(π₯ + βπ₯)
= limβπ₯β0
π(π₯)[π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)]
βπ₯ β π(π₯)[π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)]
βπ₯π(π₯)π(π₯ + βπ₯)
=π(π₯)πβ²(π₯) β π(π₯)πβ²(π₯)
[π(π₯)]2 β
Teorema 2.6
jika π adalah bilangan rasional, maka fungsi π(π₯) = π₯π terdiferensial dan
π
ππ₯[π₯π] = ππ₯πβ1
Bukti
Kasus I: untuk π β₯ 0, π β β€
Jika π = 0 maka π(π₯) = π₯0 = 1, karena π₯0 adalah konstan, menurut teorema 2.1
πβ²(π₯) = 0
jika π > 0, maka
π
ππ₯[π₯π] = lim
βπ₯β0
(π₯ + βπ₯)π β π₯π
βπ₯
= limβπ₯β0
π₯π + ππ₯πβ1(βπ₯) +π(π β 1)π₯πβ2
2 (βπ₯)2 + β― + (βπ₯)π β π₯π
βπ₯
= limβπ₯β0
ππ₯πβ1 +π(π β 1)π₯πβ2
2(βπ₯) + β― + (βπ₯)πβ1
= ππ₯πβ1
Kasus II: Untuk π bilangan bulat negatif
Misalkan π = βπ
π
ππ₯[π₯π] =
π
ππ₯[
1
π₯π]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
=π₯π(0) β (1)(ππ₯πβ1)
(π₯π)2
=0 β ππ₯πβ1
π₯2π
= βππ₯βπβ1
= ππ₯πβ1
Kasus III: untuk π bilangan rasional, bukti akan dibahas setelah teorema mengenai
aturan rantai. β
Contoh 2.3
Tentukan turunan dari fungsi berikut
i. π(π₯) = π₯3
ii. π(π₯) = (3π₯ β 2π₯2)(5 + 4π₯), dengan menggunakan aturan perkalian
iii. β(π₯) =5π₯β2
π₯2+1
Penyelesaian
i. πβ²(π₯) =π
ππ₯[π₯3] = 3π₯2
ii. πβ²(π₯) = (3π₯ β 2π₯2)π
ππ₯(5 + 4π₯) + (5 + 4π₯)
π
ππ₯(3π₯ β 2π₯2)
= (3π₯ β 2π₯2)(4) + (5 + 4π₯)(3 β 4π₯)
= 12π₯ β 8π₯2 + 15 β 8π₯ β 16π₯2
= β24π₯2 + 4π₯ + 15
iii. ββ²(π₯) =(π₯2+1)
π
ππ₯[5π₯β2]β(5π₯β2)
π
ππ₯[π₯2+1]
(π₯2+1)2
=(π₯2 + 1)(5) β (5π₯ β 2)(2π₯)
(π₯2 + 1)2
=5π₯2 + 5 β 10π₯2 + 4π₯
(π₯2 + 1)2
=β5π₯2 + 4π₯ + 5
(π₯2 + 1)2 β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Teorema 2.7 Aturan Rantai
Jika π¦ = π(π’) adalah fungsi terdiferensial di π’ dan π’ = π(π₯) adalah fungsi
terdiferensial di π₯, maka π¦ = π(π(π₯)) adalah fungsi terdiferensial di π₯ dan
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ’β
ππ’
ππ₯
atau ekivalen
π
ππ₯[π(π(π₯))] = πβ²(π(π₯))πβ²(π₯)
Bukti
π
ππ₯[π(π(π₯))] = lim
βπ₯β0
π(π(π₯ + βπ₯)) β π(π(π₯))
βπ₯
= limβπ₯β0
[π(π(π₯ + βπ₯)) β π(π(π₯))
βπ₯] [
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)]
= limβπ₯β0
[π(π(π₯ + βπ₯)) β π(π(π₯))
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)] [
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= limβπ₯β0
[π(π(π₯ + βπ₯)) β π(π(π₯))
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)] β lim
βπ₯β0[π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)
βπ₯]
= limβπ₯β0
[π(π(π₯ + βπ₯)) β π(π(π₯))
π(π₯ + βπ₯) β π(π₯)] β πβ²(π₯)
misal π = π(π₯ + βπ₯) β π(π₯), didapat π(π₯ + βπ₯) = π(π₯) + π, dan βπ₯ β 0
akibatnya π β 0, sehingga
= limπβ0
[π(π(π₯) + π) β π(π(π₯))
π] β πβ²(π₯)
= πβ²(π(π₯))πβ²(π₯) β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Setelah membuktikan aturan rantai, akan dibuktikan Teorema 2.6 untuk π
bilangan rasional. Misalkan π¦ = π₯π, dimana π = π/π, π, π β β€, dan π β 0 didapat
π¦ = π₯ππ (2.2)
sehingga,
π¦π = π₯π (2.3)
dengan menggunakan aturan rantai dan Teorema 2.6 untuk π β β€ didapat
ππ¦πβ1ππ¦
ππ₯= ππ₯πβ1 (2.4)
Karena π¦ = π₯π
π, persamaan diatas menjadi
ππ¦
ππ₯=
ππ₯πβ1
ππ₯πβ
ππ
(2.5)
didapat
ππ¦
ππ₯=
π
ππ₯
ππ
β1 (2.6)
jadi untuk π bilangan rasional berlaku π¦ = π₯π, π¦β² = ππ₯πβ1
Contoh 2.4
Tentukan turunan dari fungsi π¦ = β1 β π₯
Penyelesaian
π¦ = β1 β π₯ = (1 β π₯)12
Dengan menggukanan persamaan (2.6) dan aturan rantai didapat
π¦β² =1
2(1 β π₯)β
12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
dengan bentuk yang lebih sederhana
π¦β² =1
2β1 β π₯ β
Teorema 2.8
Fungsi turunan trigonometri yaitu
i. π
ππ₯[sin π₯] = cos π₯
ii. π
ππ₯[cos π₯] = sin π₯
iii. π
ππ₯[tan π₯] = sec2 π₯
iv. π
ππ₯[sec π₯] = sec π₯ tan π₯
v. π
ππ₯[cot π₯] = β csc2 π₯
vi. π
ππ₯[csc π₯] = β csc π₯ cot π₯
Bukti
i. π
ππ₯[sin π₯] = lim
βπ₯β0
sin(π₯+βπ₯)βsin(π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
sin π₯ cos βπ₯ + cos π₯ sin βπ₯ β sin π₯
βπ₯
= limβπ₯β0
cos π₯ sin βπ₯ β sin π₯ (1 β cos βπ₯)
βπ₯
= cos π₯ limβπ₯β0
sin βπ₯
βπ₯β sin π₯ lim
βπ₯β0
1 β cos βπ₯
βπ₯
= cos π₯ (1) β sin π₯ (0)
= cos π₯
ii. π
ππ₯[cos π₯] =
π
ππ₯[sin (
π
2β π₯)] = (β1) cos (
π
2β π₯) = β sin π₯
iii. π
ππ₯[tan π₯] =
π
ππ₯[
sin π₯
cos π₯]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
=cos π₯
πππ₯
[sin π₯] β sin π₯π
ππ₯[cos π₯]
cos2 π₯
=cos π₯ cos π₯ β sin π₯ (β sin π₯)
cos2 π₯
=cos2 π₯ + sin2 π₯
cos2 π₯
=1
cos2 π₯= sec2 π₯
iv. π
ππ₯[sec π₯] =
π
ππ₯[
1
cos π₯]
= (β1)(cos π₯)β2π
ππ₯[cos π₯]
= β sec2 π₯ (β sin π₯) = sec π₯ tan π₯
v. π
ππ₯[cot π₯] =
π
ππ₯[
1
tan π₯]
= (β1) tanβ2 π₯π
ππ₯[tan π₯]
= β cot2 π₯ sec2 π₯ = β csc2 π₯
vi. π
ππ₯[csc π₯] =
π
ππ₯[
1
sin π₯]
= (β1) sinβ2 π₯π
ππ₯[sin π₯]
= βcsc2 π₯ (cos π₯) = β csc π₯ cot π₯ β
Contoh 2.5
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
i. π(π₯) = π₯ + cos π₯
ii. π(π₯) = π₯ sec π₯
Penyelesaian
i. πβ²(π₯) = 1 β sin π₯
ii. πβ²(π₯) = π₯(sec π₯ tan π₯) + (sec π₯)(1) = sec π₯ (1 + π₯ tan π₯) β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Teorema 2.9
Fungsi turunan arccot π₯ yaitu
π
ππ₯[arccot π₯] = β
1
1 + π₯2
Bukti
misal π¦ = arccot π₯ maka cot π¦ = π₯
π
ππ₯cot π¦ =
π
ππ₯π₯
β csc2 π¦ππ¦
ππ₯= 1
ππ¦
ππ₯= β
1
csc2 π¦
= β1
1 + cot2 π¦
= β1
1 + π₯2
Jadi, didapat
π
ππ₯[arccot π₯] = β
1
1 + π₯2 β
Contoh 2.6
Tentukan turunan dari fungsi
y=arccot π₯2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai didapat
π¦β² = β1
1 + π₯4β 2π₯ = β
2π₯
1 + π₯4 β
2. Integral Fungsi
Andaikan terdapat fungsi πΉ(π₯) = π₯3, dan menggunakan rumus turunan
dapat diketahui turunan dari πΉ(π₯), yaitu π(π₯) =π
ππ₯[π₯3] = 3π₯2. Pada hal ini
dikatakan fungsi πΉ adalah anti turunan (πππ‘ππππππ£ππ‘ππ£ππ ) dari π (Larson and
Edwards, 2009). Pada sub bab ini hanya akan dibahas mengenai integral tak tentu
atau anti turunan.
Definisi 2.2
Suatu fungsi πΉ adalah anti turunan dari fungsi π pada interval πΌ jika πΉβ(π₯) = π(π₯)
untuk setiap π₯ di πΌ.
Teorema 2.10
Jika πΉ adalah anti turunan dari π pada interval πΌ, maka πΊ merupakan anti turunan
dari π pada imterval πΌ jika dan hanya jika G memiliki bentuk persamaan πΊ(π₯) =
πΉ(π₯) + πΆ, untuk setiap π₯ pada interval πΌ, dimana πΆ adalah konstanta.
Bukti
Pembuktikan teorema dari kanan ke kiri, Jika πΊ(π₯) = πΉ(π₯) + πΆ, πΉβ²(π₯) = π(π₯) dan
πΆ konstanta, maka
πΊβ²(π₯) =π
ππ₯[πΉ(π₯) + πΆ] = πΉβ²(π₯) + 0 = π(π₯)
jadi didapat πΊ merupakan anti turunan dari π.
Untuk membuktikan teorema tersebut dari arah yang lain, andaikan πΊ anti turunan
dari π, didefinisikan fungsi π» seperti berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
π»(π₯) = πΊ(π₯) β πΉ(π₯)
ambil sebarang 2 titik π dan π (π < π) pada interval, π» kontinu pada [π, π] dan
terdiferensial pada [π, π], sehingga
π»β²(π) =π»(π) β π»(π)
π β π
untuk π pada (π, π). Namun, π»β²(π) = 0, sehingga π»(π) = π»(π). Karena π dan π
adalah sebarang titik pada interval, dapat di ketahui π» adalah fungsi konstan πΆ.
Sehingga, πΊ(π₯) β πΉ(π₯) = πΆ dan πΊ(π₯) = πΉ(π₯) + πΆ β
Contoh 2.7
Tentukan penyelesaian dari persamaan π¦β² = 2
Penyelesaian
Dengan menggukanan teorema didapat π¦ = 2π₯ + π β
Operasi untuk mencari solusi dari persamaan π¦β² = π(π₯) disebut anti
turunan atau integral tak tentu yang dinotasikan dengan β«. Solusi dari persamaan
dinotasikan dengan (Larson and Edwards, 2009)
π¦ = β« π(π₯) ππ₯ = πΉ(π₯) + πΆ (2.7)
notasi β« π(π₯) ππ₯ disebut anti turunan dari π terhadap π₯.
Sifat invers dari integral dan turunan dapat diverifikasi dengan mengganti
π(π₯) dengan πΉβ²(π₯) dalam definisi integral untuk memperoleh (Larson and Edwards,
2009)
π¦ = β« πΉβ²(π₯) ππ₯ = πΉ(π₯) + πΆ (2.8)
lebih lanjut, jika β« π(π₯) ππ₯ = πΉ(π₯) + πΆ, maka
π
ππ₯[β« π(π₯) ππ₯] = π(π₯) (2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
persamaan tersebut memberikan langsung formula integral dari rumus turunan, se-
perti berikut:
i. β« 0ππ₯ = πΆ
ii. β« ππ(π₯)ππ₯ = π β« π(π₯)ππ₯
iii. β«[π(π₯) Β± π(π₯)]ππ₯ = β« π(π₯) ππ₯ Β± β« π(π₯)ππ₯
iv. β« π₯πππ₯ =π₯π+1
π+1+ πΆ, π β 1
v. β« cos π₯ ππ₯ = sin π₯ + πΆ
vi. β« sin π₯ ππ₯ = β cos π₯ + πΆ
vii. β« sec2 π₯ ππ₯ = tan π₯ + πΆ
viii. β« sec π₯ tan π₯ ππ₯ = sec π₯ + πΆ
ix. β« csc2 π₯ ππ₯ = β cot π₯ + πΆ
x. β« csc π₯ cot π₯ ππ₯ = β csc π₯ + πΆ
Contoh 2.8
Tentukan integral dari fungsi berikut
i. β«1
π₯3 ππ₯
ii. β«(π₯ + 2)ππ₯
iii. β«sin π₯
cos2 π₯ππ₯
Penyelesaian
i. β«1
π₯3 ππ₯ = β« π₯β3ππ₯ =π₯β2
β2+ πΆ = β
1
2π₯2 + πΆ
ii. β«(π₯ + 2)ππ₯ = β« π₯ππ₯ + β« 2 ππ₯
=π₯2
2+ πΆ1 + 2π₯ + πΆ2
=π₯2
2+ 2π₯ + πΆ, πΆ = πΆ1 + πΆ2
iii. β«sin π₯
cos2 π₯ππ₯ = β« (
1
cos π₯) (
sin π₯
cos π₯) ππ₯
= β« sec π₯ tan π₯ ππ₯ = sec π₯ + πΆ β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
3. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau
turunan dari suatu fungsi. Penyelesaian dari persamaan diferensial merupakan suatu
fungsi. Persamaan diferensial diperlukan untuk mengetahui dan menyelidiki
fenomena laju perubahan gerak fluida, gerak sistem mekanik, pelepasan panas
benda padat, dinamika populasi, dan sebagainya (Boyce and DiPrima, 2012).
Contoh 2.9
Persamaan berikut merupakan contoh persamaan diferensial
i. π¦β² = π¦
ii. π¦β²β² = βπ¦
iii. π¦β²β² = 2π¦β² + π¦
Pada subab ini hanya akan dibahas tentang persamaan diferensial orde satu.
Persamaan diferensial orde satu merupakan persamaan diferensial yang orde
tertinggi turunannya adalah satu. Bentuk umum persamaan diferensial orde satu
(Boyce and DiPrima, 2012)
ππ¦
ππ‘= π(π‘, π¦) (2.10)
dimana π merupakan fungsi dari variabel bebas π‘ dan variabel terikat π¦.
Contoh 2.10
Persamaan berikut merupakan contoh persamaan diferensial orde satu
i. ππ¦
ππ‘= 2 β π¦, dimana π(π‘, π¦) = 2 β π¦
ii. ππ¦
ππ‘= π¦ + π‘, dimana π(π‘, π¦) = π¦ + π‘
iii. ππ¦
ππ‘= π‘π¦, dimana π(π‘, π¦) = π‘π¦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh 2.11
Persamaan π¦β²β² = sin(π‘) β π¦β² β 2π¦ bukan merupakan persamaan diferensial orde
satu karena turunan orde tertingginya bukan satu.
Pada persamaan diferensial orde satu, salah satu cara menyelesaikan
persamaan dengan menggunakan persamaan diferensial orde satu variabel terpisah.
Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah adalah persamaan dimana π(π‘, π¦)
dapat ditulis sebagai perkalian dari fungsi π‘ dan fungsi π¦. Dengan demikian
persamaan diferensial orde satu dapat ditulis (Adkins and Davidson, 2012)
ππ¦
ππ‘= π(π‘)β(π¦) (2.11)
Penyelesaian dari persamaan diferensial orde satu variabel terpisah dapat dicari
dengan memisahkan fungsi π‘ dan fungsi π¦, sehingga persamaan (2.11) menjadi
ππ¦
β(π¦)= π(π‘)ππ‘ (2.12)
dengan mengintegralkan kedua ruas didapat
β«ππ¦
β(π¦)= β« π(π‘) ππ‘ (2.13)
Persamaan (2.13) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial orde satu variabel
terpisah.
Contoh 2.12
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial ππ¦
ππ‘= π‘π¦
Penyelesaian
Persamaan tersebut dapat dipisahkan antara fungsi π‘ dan fungsi π¦ sehingga
persamaan tersebut menjadi
ππ¦
π¦= π‘ ππ‘
dengan mengintegralkan kedua ruas didapat
β«ππ¦
π¦= β« π‘ ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
ln|π¦| =1
2π‘2 + πΆ
|π¦| = π12
π‘2
ππ
π¦ = Β±ππΆπ12
π‘2
sehingga didapat penyelesaian dari persamaan diferensial
π¦ = ππ12
π‘2
, π = Β±ππΆ β
Masalah nilai awal dan masalah nilai batas dapat digunakan untuk
menemukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial. Bentuk dari masalah
nilai awal dari persamaan diferensial
π¦β² = π(π‘, π¦) π‘ β [π‘0, π‘1], π¦(π‘0) = π¦0 (2.14)
dimana π‘0 adalah nilai awal dari varibel bebas π‘, π¦(π‘0) adalah nilai awal dari
variabel terikat π¦ saat π‘ = π‘0. Sedangkan, bentuk dari masalah nilai batas persamaan
diferensial
π¦β² = π(π‘, π¦) π‘ β [π‘0, π‘1], π¦(π‘1) = π¦1 (2.15)
dimana π‘1 adalah nilai batas dari variabel bebas π‘, π¦(π‘1) adalah nilai batas dari
variabel terikat π¦ saat π‘ = π‘1.
Contoh 2.13
Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial ππ¦
ππ‘= π‘ dengan
π¦(0) = 1, dimana π‘ β [0, β]
Penyelesaian
Persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial orde
satu variabel terpisah.
ππ¦
ππ‘= π‘
π¦ = β« π‘ ππ‘
didapat penyelesaian umum persamaan diferensial,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
π¦ =1
2π‘2 + πΆ
π¦(0) = 0 maka π¦(0) =1
2β 0 + πΆ = 1
didapat πΆ = 1
sehingga penyelesaian khusus persamaan diferensial
π¦ =1
2π‘2 + 1 β
Contoh 2.14
Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial ππ¦
ππ‘= π‘ dengan π¦(1) =
1
2, dimana π‘ β [0,1]
Penyelesaian
Persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial orde
satu variabel terpisah.
ππ¦
ππ‘= π‘
π¦ = β« π‘ ππ‘
didapat penyelesaian umum persamaan diferensial,
π¦ =1
2π‘2 + πΆ
π¦(1) =1
2 maka π¦(1) =
1
2β 1 + πΆ =
1
2
didapat πΆ = 0
sehingga penyelesaian khusus persamaan diferensial
π¦ =1
2π‘2 β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
B. Pemodelan Matematis
Pemodelan matematis merupakan suatu bentuk matematis yang digunakan
untuk mempelajari kejadian atau fenomena dunia nyata. Pada suatu kejadian nyata
model matematis tidak hanya terdapat satu model, akan tetapi terdapat beberapa
model yang berbeda untuk suatu kejadian. Perbedaan tersebut terjadi karena dalam
pembentukan model terdapat perbedaan eksperimen dan simulasi. Dalam model
matematis model yang dibuat harus dapat merepresentasikan kenyataan dan dapat
mengontrol kondisi yang mempengaruhi model seperti data yang dikumpulkan
(Giordano et al., 2003).
Dalam penyusunan model matematis terdapat langkah-langkah dan
prosedur dalam pembuatan model matematis. Langkah-langkah dalam pembuatan
model matematis yaitu (Giordano et al., 2003)
1. Mengidentifikasi masalah
Langkah awal dalam pembuatan model matematis adalah mengidentifaksi
masalah. Dalam langkah identifikasi masalah merupakan langkah yang sulit
dilakukan, biasanya dalam langkah ini harus memilah data dan mengindentifikasi
beberapa aspek dari situasi yang dipelajari. Pada saat mengidentifikasi masalah
harus sesuai dengan masalah yang dihadapi sehingga memudahkan dalam langkah-
langkah selanjutnya.
2. Membuat asumsi
Umumnya dalam pembuatan model matematis tidak bisa menggunakan
semua faktor yang mempengaruhi masalah yang diindentifikasi, oleh karena itu
dalam pembuatan model matematis disederhanakan dengan mengurangi jumlah
faktor yang dipertimbangkan. Hubungan dari faktor-faktor yang tersisa harus
ditentukan, dengan mengasumsikan hubungan antar faktor kompleksitas masalah
dapat berkurang. Asumsi terbagi menjadi 2 bagian yaitu:
a. Mengklasifikasikan variabel
Daftar hal-hal yang mempengaruhi masalah yang diidentifikasi dalam
langkah pertama disebut sebagai variabel. Dalam mengklasifikasikan variabel,
setiap variabel diklasifikasikan sebagai variabel terikat, bebas, atau tidak keduanya.
Beberapa variabel bebas dapat diabaikan karena salah satu dari dua alasan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Pertama, pengaruh variabel relatif kecil. Kedua, faktor yang mempengaruhi
berbagai alternatif dengan cara yang hampir sama, meskipun memiliki pengaruh
penting. Sebagai contoh, pertimbangan bentuk optimal ruang kuliah, dimana
keterbacaan papan tulis merupakan kriteria yang penting. Pencahayaan merupakan
hal yang penting, akan tetapi itu akan mempengaruhi semua bentuk ruangan.
b. Menentukan keterkaitan antar variabel yang dipilih
Dalam menentukan keterkaitan antar variabel tidak mudah, sehingga
membuat pada awalnya tidak bisa melihat hubungan di antara semua variabel.
Dalam kasus ini dimungkinkan untuk mempelajari sub model, yaitu mempelajari
satu atau lebih variabel bebas secara terpisah. Pada akhirnya dapat dihubungkan
submodel bersama.
3. Menyelesaikan model
Setelah membuat asumsi model langkah yang selanjutnya yaitu
menyelesaikan model. Model matematis dapat terdiri dari persamaan atau
ketidaksamaan matematika yang harus diselesaikan untuk menemukan solusi dari
masalah. Dalam penyelesaian masalah terkadang terdapat model yang sangat sulit
untuk dipecahkan. Karena hal tersebut kembali ke langkah kedua dan membuat
asumsi penyederhanaan tambahan untuk menyelesaikan masalah.
4. Verifikasi model
Model yang telah diselesaikan pada langkah sebelumnya akan dilakukan tes
dengan menggunakan data asli. Dalam verifikasi model ada beberapa hal yang
menjadi kriteria yaitu model menjawab masalah yang diidentifikasi pada langkah
pertama, data yang diperlukan memungkinkan untuk didapatkan, model tersebut
realistik atau tidak realistik.
5. Implementasi model
Pengimplementasian model ini diharapkan model tersebut dapat menjadi
pertimbangan dalam pembuatan suatu keputusan dan model ini dapat dimengerti
dengan mudah. Selain mudah digunakan juga dimasukkan suatu langkah tambahan
untuk memfasilitasi pengumpulan dan input data yang diperlukan untuk
menentukan keberhasilan atau kegagalan model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
6. Mempertahankan model
Model tersebut dibuat berdasarkan identifikasi masalah pada langkah 1 dan
asumsi pada langkah 2. Pada langkah ini model yang dibuat harus dipertahankan
berdasarkan identifikasi masalah dan asumsi-asumsi yang dibuat.
C. Metode Numerik
Metode numerik dapat menyelesaiakan persamaan diferensial yang sulit
untuk diselesaikan dengan metode analitik. Pada subbab ini akan dibahas metode
numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode
Euler dan metode Heun.
1. Metode Euler
Metode Euler merupakan salah satu metode numerik yang dapat
menyelesaiakan persamaan diferensial. Persamaan umum diferensial orde satu
yaitu (Boyce and DiPrima, 2012)
ππ¦
ππ‘= π(π‘, π¦) (2.16)
dimana π merupakan fungsi dari variabel bebas π‘ dan variabel terikat π¦. Pada
persamaan (2.16) ππ¦/ππ‘ didekati dengan
lim ββ0
π¦(π‘ + β) β π¦(π‘)
β (2.17)
Sehingga persamaan (2.16) menjadi
limββ0
π¦(π‘ + β) β π¦(π‘)
β= π(π‘, π¦) (2.18)
π¦(π‘ + β) β π¦(π‘)
ββ π(π‘, π¦) (2.19)
π¦(π‘ + β) β π¦(π‘) + βπ(π‘, π¦) (2.20)
Persamaan (2.20) merupakan metode Euler.
Contoh 2.15
Dengan menggunakan metode Euler tentukan nilai perkiraan dari persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
π¦β² = 1 β π‘ + 4π¦ pada [0,1] dengan β = 0.05 dan π¦(0) = 1
Penyelesaian
Diketahui β = 0.05 dan π¦(0) = 1, dengan menggunakan metode Euler untuk
menyelesaikan persamaan π¦β² = 1 β π‘ + 4π¦ pada [0,1] diperoleh
untuk π‘ = 0.05,
π¦(0.05) β 1 + 0.05 β (1 β 0 + 4) = 1.25
untuk π‘ = 0.1,
π¦(0.1) β 1.25 + 0.05 β (1 β 0.05 + 4 β 1.25) = 1.5475
dengan menggunakan cara yang sama didapat
π¦(0.15) β 1.902, π¦(0.2) β 2.3249, π¦(0.25) β 2.8299,
π¦(0.3) β 3.4334, π¦(0.35) β 4.155, π¦(0.4) β 5.0185,
π¦(0.45) β 6.0522, π¦(0.5) β 7.2902, π¦(0.55) β 8.7732,
π¦(0.6) β 10.5504, π¦(0.65) β 12.6804, π¦(0.7) β 15.234,
π¦(0.75) β 18.2958, π¦(0.8) β 21.9675, π¦(0.85) β 26.371
π¦(0.9) β 31.6527, π¦(0.95) β 37.9882, π¦(1) β 45.5884. β
2. Metode Heun (Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa)
Metode Heun merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan
persamaan diferensial. Metode Heun dapat juga dikenali dengan aturan trapesium
untuk persamaan diferensial biasa atau metode Runge-Kutta orde dua. Metode
Heun memperkenalkan ide baru untuk membentuk algoritma dalam menyelesaikan
masalah nilai awal pada persamaan diferensial (Mathews and Fink, 1999)
π¦β²(π‘) = π(π‘, π¦(π‘)) π‘ β [π‘0, π‘1], π¦(π‘0) = π¦0 (2.21)
untuk mendapatkan solusi pada (π‘1, π¦1) dapat menggunakan teorema fundamental
kalkulus dan integral π¦β²(π‘) pada [π‘0, π‘1] untuk medapatkan
β« π(π‘, π¦(π‘))ππ‘π‘1
π‘0
= β« π¦β²(π‘)ππ‘ =π‘1
π‘0
π¦(π‘1) β π¦(π‘0) (2.22)
dimana anti turunan dari π¦β²(π‘) adalah fungsi π¦(π‘). Ketika persamaan (2.22) adalah
penyelesaian dari π¦(π‘1), didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
π¦(π‘1) = π¦(π‘0) + β« π(π‘, π¦(π‘))ππ‘π‘1
π‘0
(2.23)
Metode integral numerik dapat digunakan untuk mendekati integral tentu
dari persamaan (2.23). Jika aturan trapesium digunakan dengan jarak β = π‘1 β π‘0,
maka didapat
π¦(π‘1) β π¦(π‘0) +β
2(π(π‘0, π¦(π‘0)) + π(π‘1, π¦(π‘1))). (2.24)
Formula pada ruas kanan persamaan (2.24) mengadung nilai π¦(π‘1) yang
belum diketahui. Untuk dapat memproses formula tersebut, digunakan pendekatan
dari π¦(π‘1) dengan menggunakan metode Euler. Hasil dari subtitusi metode Euler
pada pesamaan (2.24) disebut metode Heun
π¦1 = π¦(π‘0) +β
2(π(π‘0, π¦(π‘0)) + π(π‘1, π¦0 + βπ(π‘0, π¦0)) (2.25)
Proses ini diulangi dan menghasilkan urutan titik yang mendekati solusi
kurva π¦ = π¦(π‘). Pada setiap langkah, metode Euler digunakan sebagai prediksi dan
kemudian aturan trapesium digunakan untuk melakukan koreksi dalam
mendapatkan nilai akhir. Langkah umum untuk metode Heun adalah
ππ+1 = π¦π + βπ(π‘π, π¦π), π‘π+1 = π‘π + β (2.26)
π¦π+1 = π¦π +β
2(π(π‘π, π¦π) + π(π‘π+1, ππ+1)). (2.27)
Contoh 2.16
Dengan menggunakan metode Heun tentukan nilai perkiraan dari persamaan
π¦β² =π‘βπ¦
2 pada [0,1] dengan β = 0.125 dan π¦(0) = 1
Penyelesaian
Diketahui β = 0.125 dan π¦(0) = 1, dengan menggunakan metode Heun untuk
menyelesaikan persamaan π¦β² =π‘βπ¦
2 pada [0,1] diperoleh
Untuk π‘ = 0.125,
π0.125 = 1 + 0.125 β0 β 1
2= 0.9375
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
π¦0.125 = 1 +0.125
2(
0 β 1
2+
0.125 β 0.9375
2) = 0.9434
Untuk π‘ = 0.25,
π0.25 = 0.934 + 0.125 β0.125 β 0.934
2= 0.8867
π¦0.25 = 0.934 +0.125
2(
0.125 β 0.934
2+
0.25 β 0.8867
2) = 0.8979
dengan menggunakan cara yang sama didapat
π¦0.375 = 0.8624, π¦0.5 = 0.8368, π¦0.625 = 0.8203,
π¦0.75 = 0.8124, π¦0.875 = 0.8125, π¦1 = 0.8202. β
3. Modifikasi Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa
Modifikasi dari aturan trapesium digunakan untuk menyelesaikan masalah
nilai awal dalam persamaan diferensial biasa (Sukale and Daftardar-Gejji, 2016)
π¦β² = π(π‘, π¦(π‘)), π¦(0) = π¦0 (2.28)
dengan rumus prediktor-korektor sebagai berikut
π’0 = π¦π +β
2π(π‘π, π¦π) = π¦π+1
π (2.29)
π’1 = π(π’0) =β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π ) = π§π+1π (2.30)
π’2 = π(π’0 + π’1) β π(π’0) (2.31)
Tiga pendekatan solusi π’0 + π’1 + π’2 memberikan modifikasi aturan berikut
untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa
π¦π+1π = π¦π+1
π +β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π + π§π+1π ) (2.32)
dimana, π¦π+1π
dan π§π+1π
diberikan pada persamaan (2.29) dan pada persamaan
(2.30).
Contoh
Dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial
biasa, tentukan nilai perkiraan dari persamaan π¦β² = π‘ + π¦ pada [0,1] dengan
β = 0.125 dan π¦(0) = 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Penyelesaian
Diketahui π¦(0) = 1 dan β = 0.125, Dengan menggunakan modifikasi aturan
trapesium untuk persamaan diferensial biasa untuk menyelesaikan persamaan π¦β² =
π‘ + π¦ pada [0,1] didapat
untuk π‘ = 0.125,
π¦0.125π = 1 +
0.125
2(0 + 1) = 1.0625
π§0.125π =
0.125
2(0.125 + 1.0625) = 0.07422
π¦0.125 = 1.0625 +0.125
2(0.125 + (1.0625 + 0.07422)) = 1.1414
untuk π‘ = 0.25,
π¦0.25π = 1.1414 +
0.125
2(0.125 + 1.1414) = 1.22055
π§0.25π =
0.125
2(0.25 + 1.22055) = 0.0919
π¦0.25 = 1.22055 +0.125
2(0.25 + (1.22055 + 0.0919)) = 1.3182
dengan menggunakan cara yang sama didapat
π¦0.375 = 1.5351, π¦0.5 = 1.7976, π¦0.625 = 2.1116,
π¦0.75 = 2.4840, π¦0.875 = 2.9226, π¦1 = 3.4362. β
D. Verifikasi Model
Untuk memverikasi model akan digunakan metode grafis, galat relatif, dan
galat kuadrat rata-rata (mean square error). Metode grafis yaitu dengan
membandingkan grafik dari data asli dan grafik dari model. Galat relatif dan galat
kuadrat rata-rata merupakan metode yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat
keakuratan model yang digunakan. Galat relatif (ππ) dan galat kuadrat rata-rata
(πππΈ) memiliki bentuk sebagai berikut
ππ = |π¦ β οΏ½ΜοΏ½
π¦| , πππΈ =
1
πβ(π¦π‘ β οΏ½ΜοΏ½π‘)2
π
π‘=1
(2.33)
dengan π¦ adalah nilai eksak, οΏ½ΜοΏ½ adalah nilai pendekatan, dan π adalah jumlah data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
BAB III
MODEL KEPENDUDUKAN
A. Model Pertumbuhan Hiperbolik
Model pertumbuhan hiperbolik menggunakan model pertumbuhan ekspo-
nensial sebagai dasar dalam pembentukan model. Bentuk dari model pertumbuhan
eksponensial yaitu (Hathout, 2013)
ππ
ππ‘= ππ (3.1)
dengan π adalah konstanta, dan π adalah populasi penduduk. Dalam pembentukan
model pertumbuhan hiperbolik diasumsikan π merupakan sebuah fungsi dari π,
sehingga persamaan (3.1) menjadi
ππ
ππ‘= π(π)π (3.2)
Persamaan (3.2) merupakan bentuk sederhana dari model pertumbuhan hiperbolik.
Untuk mempertahankan ukuran dalam persamaan, π(π) dapat ditulis
π(π) =ππ
π0 (3.3)
dimana π adalah konstanta, dan π0 adalah populasi awal. Dengan mensubstitusikan
persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.2) didapat
ππ
ππ‘=
ππ
π0π (3.4)
ππ
ππ‘=
ππ2
π0 (3.5)
Persamaan (3.5) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan
diferensial orde satu variable terpisah. Persamaan (3.5) dapat ditulis
ππ
π2=
π
π0ππ‘ (3.6)
dengan mengintegralkan kedua ruas, persamaan (3.6) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
β«ππ
π2= β«
π
π0ππ‘ (3.7)
β1
π=
π
π0π‘ + πΆ (3.8)
dengan mengamsumsikan bahwa populasi π0 saat π‘ = 0, didapat
πΆ = β1
π0 (3.9)
sehingga persamaan (3.8) menjadi
β1
π=
π
π0π‘ β
1
π0 (3.10)
didapat
π(π‘) =π0
1 β ππ‘ (3.11)
persamaan (3.11) merupakan penyelesaian dari model pertumbuhan hiperbolik.
Untuk mendapatkan konstanta π akan digunakan data 1960 dan data 2009.
Diambil π0 = π(1960) = 3.0402, dengan memanipulasi persamaan (3.11)
diperoleh bentuk persamaan (Hathout, 2013)
π(2009) =π0
1 β π(2009 β 1960)=
π0
1 β 49π (3.12)
atau
π =1 β
π0
π(2009)
49 (3.13)
Didapat
π =1 β
3.04026.815849
= 0.0113 (3.14)
sehingga persamaan (3.11) dapat ditulis
π(π‘) =π0
1 β 0.0113(π‘ β 1960) (3.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Model pertumbuhan hiperbolik merupakan model dimana populasi
bertambah dengan laju pertumbuhan yang cenderung naik, sehingga pada model ini
untuk π‘ menuju tak hingga jumlah populasi penduduk juga menuju tak hingga.
Karena hal tersebut, model ini bukan merupakan model yang realistik. Gambar 3.1
merupakan ilustrasi dari model pertumbuhan hiperbolik.
Gambar 3.1 Model Pertumbuhan Hiperbolik
Model pertumbuhan hiperbolik ini akan dibandingkan dengan data asli pada
tahun 1950 sampai dengan tahun 2020. Karena pada model ini perhitungan dimulai
dari tahun 1960, perbandingan antara model dan data asli dilakukan untuk tahun
1960 sampai tahun 2020. Pada perbandingan ini juga akan dicari rata-rata galat
relatif dan galat kuadrat rata-rata dari model. Perbandingan antara model dan data
asli ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar 3.2 adalah hasil
perbandingan antara model pertumbuhan hiperbolik dan data asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 3.2 Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Data Asli
Pada perbandingan antara model pertumbuhan hiperbolik dengan data asli
(Lampiran 1) terlihat bahwa setelah tahun 2010 grafik model pertumbuhan
hiperbolik menjauhi data asli. Pada hasil perbandingan ini didapat nilai rata-rata
galat relatif yang cukup kecil yaitu 0.0894 dan nilai galat kuadrat rata-rata sebesar
8.1787, walaupun demikian model ini bukan merupakan model yang baik. Model
ini bukan model yang baik karena bukan merupakan model yang realistik.
B. Model Kapitsa
Kapitsa merumuskan prinsip fenomenologis imperatif demografis, dimana
pertumbuhan populasi ditentukam oleh populasi sistem dunia itu sendiri dan proses
pengembangan sosial (Kapitsa, 2008).
Analisis hukum pertumbuhan hiperbolik populasi dunia yang menghu-
bungkan ukuran populasi dunia dan perkembangan manusia, menyarankan suatu
mekanisme kerja sama ukuran perkembangan yang direpresentasikan oleh kuadrat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
ukuran populasi. Karena alasan tersebut, Kapitsa (1992) mengusulkan ketergan-
tungan kuadratik untuk laju pertumbuhan penduduk
ππ
ππ‘=
π2
πΆ= ππ2 (3.16)
dimana πΆ adalah konstanta, π = 1/πΆ dan π adalah populasi penduduk. Pada
persamaan (3.16) karena bentuk matematis dari dinamika populasi tidak
memerlukan faktor apapun selain ukuran populasi, Kapitsa menyebut fenomena
tersebut sebagai the demographic imperative (imperatif demografis).
Pada bentuk matematis persamaan (3.16) untuk waktu mendekati tak
hingga, jumlah populasi penduduk dunia akan mendekati tak hingga pula.
Sedangkan pada kenyataannya pertumbuhan populasi yang tinggi seiring
berjalannya waktu makin lama berkurang jumlahnya. Fenomena ini pertama kali
ditemukan oleh ahli demografi Perancis yaitu Adolphe Landry, yang kemudian
Adolphe Landry menyebut fenomena tersebut sebagai demographic revolution
(revolusi demografis) (Kapitsa, 2008). Sekarang fenomena tersebut disebut sebagai
global demographic transiton (transisi demografis global).
Untuk menggambarkan transisi demografis global, Kapitsa menyusun kem-
bali persamaaannya dan memperkenalkan π yang merupakan karakteristik umur
hidup manusia, untuk membatasi tingkatan pertumbuhan penduduk. Model yang
ditemukan oleh Kapitsa yaitu (Kapitsa, 2008)
ππ
ππ‘=
πΆ
(π1 β π‘)2 + π2 (3.17)
dimana π1 dan πΆ adalah konstanta, dan π‘ adalah waktu dalam tahun masehi.
Persamaan (3.17) merupakan model Kapitsa.
Persamaan (3.17) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan
diferensial orde satu variabel terpisah. Persamaan (3.17) dapat ditulis
ππ =πΆ
(π1 β π‘)2 + π2ππ‘ (3.18)
dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (3.18) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
β« ππ = β«πΆ
(π1 β π‘)2 + π2ππ‘ (3.19)
β« ππ = β«πΆ
π ((π1 β π‘)2
π + π)ππ‘ (3.20)
misalkan πΎ = βπΆ/π, persamaan (3.20) menjadi
β« ππ = β«πΎ2
((π1 β π‘)2
π + π)ππ‘ (3.21)
β« ππ = πΎ2 β« (β1
(π1 β π‘)2
π2 + 1β β
1
π) ππ‘ (3.22)
dengan menggunakan invers dari persamaan
π
ππ₯[arccot π₯] = β
1
1 + π₯2 (3.23)
persamaan (3.22) menjadi
π = πΎ2 arccot (π1 β π‘
π) (3.24)
persamaan (3.24) merupakan penyelesaian model Kapitsa. Model Kapitsa
menggambarkan pertumbuhan populasi dunia dengan stabilisasi dan hanya berlaku
dalam kasus perkembangan manusia yang berkelanjutan. Gambar 3.3 merupakan
ilustrasi dari model Kapitsa dengan πΆ = 163 Γ 109, π = 45, dan π1 = 1995.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Gambar 3.3 Model Kapitsa
Model Kapitsa dapat digunakan dengan baik untuk perhitungan dinamika
demografis pada suatu negara dengan perkembangan penduduk yang kuat, ketika
populasi tumbuh sesuai dengan skenario stabilisasi tanpa penurunan (Yakunin,
2011).
Pada model Kapitsa ini akan dilakukan perbandingan dengan data asli. Data
asli yang digunakan yaitu data pada tahun 1950 sampai tahun 2000. Pada
perbandingan ini juga akan dicari rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata
model. Perbandingan ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar
3.4 merupakan perbandingan model Kapitsa dengan data asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 3.4 Perbandingan Model Kapitsa dengan Data Asli
Pada Gambar 3.4 terlihat bahwa model Kapitsa ini memiliki pola yang
hampir sama dengan data asli. Pada hasil perbandingan didapat nilai rata-rata galat
relatif dan galat kuadrat rata-rata yang kecil yaitu 0.0353 dan 0.0268, yang berarti
model ini mendekati nilai dari data asli dan cukup baik untuk menghitung jumlah
populasi penduduk dunia. Model Kapitsa ini merupakan model yang baik karena
memiliki nilai galat yang kecil dan model ini merupakan model yang realistik.
C. Model Dolgonosov
Dolgonosov (2009) melengkapi persamaan yang didapat oleh Kapitsa.
Menurut Dolgonosov, ukuran populasi ditentukan oleh π tingkat produksi
informasi:
ππ
ππ‘= ππ (3.25)
dimana Ο adalah tingkat rata-rata pemrosesan informasi oleh manusia.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Model Dolgonosov untuk populasi dunia adalah:
ππ
ππ‘= ππ2 [1 β
π
πΎ(π)] (3.26)
πΎ(π) =ππ
1 β exp (βπΌπππ
) (3.27)
dimana π =π
π adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia, πΎ(π) adalah
kapasitas lingkungan sesaat, ππ =ππ
ππ‘π daya muat dari biosfer bumi, ππ dan π‘π adalah
karaktersitik skala jumlah, πΌ adalah konstanta dan π adalah populasi penduduk
dunia.
Model Dolgonosov dapat dipandang sebagai model universal yang dapat
digunakan untuk menganalisis melalui simulasi numerik berbagai skenario
perkembangan manusia, yaitu pertumbuhan populasi dunia dengan stabilisasi,
penurunan jumlah populasi, dan osilasi teredam. Dolgonosov berpendapat bahwa
osilasi teredam merupakan pendekatan yang paling cocok untuk mendiskripsikan
dinamika populasi. Namun, model yang sesuai dari produksi informasi
mengandung frekuensi osilasi π½, yang tidak dapat ditentukan karena kurangnya
data empiris. Untuk alasan ini, dinamika populasi dideskripsikan menggunakan
model sederhana dengan pengembalian aperiodik. Selain itu, skema komputasi
yang didasarkan pada model Dolgonosov diperumit oleh fakta bahwa pertumbuhan
produksi informasi harus dihitung terlebih dahulu diikuti dengan menghitung
dinamika populasi. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan ini, desain fungsi yang
menggambarkan kapasitas lingkungan sesaat yaitu πΎ = πΎ(π) harus dibatasi pada
imperatif demografis.
Kremer (1993) menunjukkan bahwa, untuk setiap periode waktu, ada
ukuran populasi terbatas πΎ(π΄) yang tidak dapat melebihi tingkat perkembangan
teknologi π΄. πΎ merupakan kapasitas lingkungan saat ini. Dengan demikian,
kapasitas lingkungan sesaat ditentukan oleh tingkat perkembangan teknologi dan
berkembang dengan peningkatan tingkat perkembangan teknologi. Kremer
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
mengasumsikan bahwa tingkat pertumbuhan teknologi sebanding dengan ukuran
populasi saat ini
ππ΄
π΄ππ‘= ππ (3.28)
Persamaan 3.28 menyiratkan bahwa πΎ dapat meningkat secara proporsional dengan
laju pertumbuhan tingkat perkembangan teknologi, oleh karena itu
πΎ(π΄)~π (3.29)
Di sisi lain, ketika populasi dunia tumbuh saat kondisi kegiatan ekonomi
yang tidak tekendali, beban antropogenik pada biosfer bumi yang juga meningkat,
yang mengarah pada degradasi ekosistem biosfer pada banyak wilayah,
mengakibatkan berkurangnya kapasitas lingkungan sesaat. Oleh karena itu, laju
penurunan kapasitas sesaat berbanding lurus dengan laju pertumbuhan penduduk
ππΎ
πΎππ‘= βπ
ππ
ππ‘ (3.30)
dimana π adalah konstanta. Dengan mengikuti hal tersebut
πΎ~ exp(βπ π). (3.31)
Dengan mengkombinasikan (3.29) dan (3.31) di dapat
πΎ~ Nexp(βπ π) (3.32)
menambahkan tingkat stasioner populasi dunia menjadi (3.32), diperoleh formula
akhir untuk kapasitas sesaat, yang hanya ditentukan oleh ukuran populasi, yaitu
oleh imperatif demografis
πΎ = ππ + πΎ Nexp(βπ π) (3.33)
dimana πΎ adalah konstanta.
Ada berbagai metode untuk memperkirakan ukuran stasioner populasi dunia
ππ. Ukuran stasioner populasi sutau negara dapat diperkirakan dengan membagi
ukuran stasioner populasi dunia dengan indeks antropogenik negara. Antropogenik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
adalah sumber pencemaran yang tidak alami, timbul karena ada pengaruh atau
campur tangan manusia.
Gorshkov (1995) memperkirakan, populasi dunia mengkonsumsi sekitar
22-23% biomassa planet. Pengaruh teknologi pendukung kehidupan dimulai pada
abad ke-19 ketika populasi dunia mencapai 1 miliar. Untuk memperhitungkan
keadaan ini πΎ(π) dapat ditulis
πΎ = ππ + πΎ(π β π0) exp[βπ (π β π0)] (3.34)
dimana ππ adalah daya muat biosfer, πΎ dan π adalah konstanta, dan π0 adalah po-
pulasi awal.
Persamaan populasi dinamik pada persamaan (3.26) dapat ditulis ulang
dengan mensubstitusikan persamaan (3.34), sehingga persamaan (3.26) dapat
ditulis
ππ
ππ‘= ππ2 [1 β
π
ππ + πΎ(π β π0)exp [βπ (π β π0)]] (3.35)
dengan karakteristik waktu tunda, persamaan (3.35) dapat ditulis
ππ
ππ‘= ππ(π‘ β π1)2 [1 β
π
πΎ(π, π2, π3)] (3.36)
dimana,
πΎ(π, π2, π3) = ππ + πΎ(π(π‘ β π2) β π0)exp [βπ (π(π‘ β π3) β π0)]
dengan π1 adalah rata-rata umur reproduksi, π2 adalah waktu difusi dari teknologi
basis, π3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban antropogenik.
Karena karakteristik waktu tunda yang diberikan dalam model, untuk menggunakan
model tersebut butuh data dinamika populasi sebelumnya selama sekitar 100 tahun.
Berikut merupakan ilustrasi model Dolgonosov, seperti ditunjukkan dalam Gambar
3.5 dan Gambar 3.6. Metode numerik Heun akan dijelaskan dalam subbab beri-
kutnya. Gambar hasil metode Heun dan metode Euler ditampilkan terlebih dahulu
agar pembaca memahami perilaku solusi model Dolgonosov.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar 3.5 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda
Gambar 3.6 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Dari Gambar 3.5 dan Gambar 3.6 dapat diketahui bahwa pengaruh peng-
gunaan metode Euler dan metode Heun dalam model Dolgonosov tidak ada
perbedaaan yang signifikan. Untuk model ini nilai yang didapat dengan
menggunakan metode Euler hampir sama dengan menggunakan metode Heun.
Setelah ini akan dilihat perbedaan pengunaan waktu tunda dalam model
Dolgonosov. Perbedaan penggunaan waktu tunda seperti pada Gambar 3.7 dan
Gambar 3.8.
Gambar 3.7 Model Dolgonosov dengan metode Euler
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 3.8 Model Dolgonosov dengan metode Heun
Pada Gambar 3.7 dan Gambar 3.8 dapat diketahui bahwa penggunaan waktu
tunda sangat berpengaruh untuk model Dolgonosov, baik menggunakan metode
Euler maupun metode Heun. Penggunaan waktu tunda dapat membuat model naik
mencapai puncak dan setelah itu turun mendekati stasioner. Apabila pada model ini
tidak menggunakan waktu tunda, model langsung menuju stasioner tanpa kenaikan
yang sangat tajam terlebih dahulu.
D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium
Pada subbab ini akan dibahas mengenai penggunaan aturan trapesium
(metode Heun) untuk menyelesaikan ketiga model kependudukan yang telah
dibahas pada sub bab sebelumnya. Untuk menyelesaikan ketiga model tersebut
akan digunakan aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
1. Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa
Aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa merupakan salah satu
metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Pada sub bab ini akan
dibahas menggunakan aturan trapesium untuk menyelesaikan ketiga model kepen-
dudukan yaitu model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model
Dolgonosov. Aturan trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa sebagi berikut
ππ+1 = π¦π + βπ(π‘π, π¦π), π‘π+1 = π‘π + β (3.37)
π¦π+1 = π¦π +β
2(π(π‘π, π¦π) + π(π‘π+1, ππ+1)). (3.38)
Model Pertama yang akan diselesaikan menggunakan aturan trapesium
adalah model pertumbuhan hiperbolik
ππ
ππ‘= π(π)π (3.39)
dimana π adalah populasi penduduk dan
π(π) =ππ
π0 (3.40)
dengan π adalah konstanta, dan π0 adalah populasi awal. Dari persamaan (3.39) dan
(3.40) didapat persamaan diferensial
ππ
ππ‘=
ππ2
π0 (3.41)
persamaan (3.41) merupakan persamaan yang akan diselesaikan dengan aturan
trapesium untuk persamaan diferensial biasa.
Untuk menyelesaikan persamaan (3.41) dipilih nilai awal π‘0 = 1960, dan
π(0) = 3.0402 miliar, π(0) adalah jumlah populasi penduduk saat π‘0 (Hathout,
2013). Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan tersebut dipilih juga nilai π =
0.0113 dan β = 1. Sehingga dengan menggunakan (3.37) dan (3.38) didapat
Untuk π‘1 = 1961
π1 = 3.0402 + 1 β0.0113(3.0402)2
3.0402= 3.0746
π¦1 = 3.0402 +1
2(
0.0113(3.0402)2
3.0402+
0.0113(3.0746)2
3.0402=) = 3.0749
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Untuk π‘2 = 1962
π2 = 3.0749 + 1 β0.0113(3.0749)2
3.0402= 3.1101
π¦2 = 3.0749 +1
2(
0.0113(3.0749)2
3.0402+
0.0113(3.1101)2
3.0402) = 3.1105
Untuk π‘3 = 1963
π3 = 3.1105 + 1 β0.0113(3.1105)2
3.0402= 3.1465
π¦3 = 3.1105 +1
2(
0.0113(3.1105)2
3.0402+
0.0113(3.1465)2
3.0402) = 3.1469
Untuk π‘4 = 1964
π4 = 3.1469 + 1 β0.0113(3.1469)2
3.0402= 3.1837
π¦4 = 3.1469 +1
2(
0.0113(3.1469)2
3.0402+
0.0113(3.1837)2
3.0402) = 3.1841
Untuk π‘5 = 1965
π5 = 3.1841 + 1 β0.0113(3.1841)2
3.0402= 3.2218
π¦5 = 3.1841 +1
2(
0.0113(3.1841)2
3.0402+
0.0113(3.1837)2
3.0402) = 3.2222
Dengan menggunakan cara yang sama dapat dihitung untuk iterasi-iterasi
selanjutnya. Pada hal ini akan dihitung dari tahun 1900 hingga tahun 2500, dengan
menggunakan bantuan program MATLAB didapatkan grafik seperti pada Gambar
3.9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 3.9 Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Aturan Trapesium
Pada Gambar 3.9 terlihat model pertumbuhan hiperbolik naik menuju tak
hingga seperti penyelesaian analitiknya. Setelah diketahui penyelesaian model
dengan menggunakan aturan trapesium akan dilakukan perbandingan dengan
penyelesaian analitik dari model. Perbandingan antara penyelesaian analitik dan
penyelesaian menggunakan aturan trapesium ini juga akan dicari nilai galat kuadrat
rata-rata dan rata-rata galat realatif dari metode yang digunakan. Perbandingan
antara penyelesaian analitik dan penyelesaian dengan aturan trapesium ini
dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar 3.10 merupakan
perbandingan penyelesaian analitik dan aturan trapesium untuk model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 3.10 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Aturan Trapesium untuk
Model Petumbuhan Hiperbolik
Pada Gambar 3.10 terlihat bahwa penyelesaian analitik model berhimpit
dengan penyelesaian model dengan aturan trapesium. Pada hasil perbandingan
didapat nilai galat kuadrat rata-rata yaitu 569.5913 dan nilai rata-rata galat relatif
yaitu 0.0081. Nilai galat kuadrat rata-rata ini cukup besar karena terdapat
perbedaan yang besar saat model menuju tak hingga. Tetapi untuk model sebelum
menuju tak hingga perbedaan penyelesaian analitik dan penyelesaian dengan aturan
trapesium model tidak besar, terlihat dari plot dua grafik ini berhimpit.
Model yang selanjutnya yang akan diselesaikan dengan menggunakan
aturan trapesium adalah model Kapitsa yaitu
ππ
ππ‘=
πΆ
(π1 β π‘)2 + π2 (3.42)
dimana π1 dan πΆ adalah konstanta, π‘ adalah waktu dalam tahun masehi dan π adalah
karakteristik umur hidup manusia. Model Kapitsa ini adalah model kependudukan
dimana untuk π‘ mendekati tak hingga, jumlah populasi penduduk akan menuju ke
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
suatu nilai tertentu. Model ini berbeda dengan model pertumbuhan hiperbolik
karena untuk model pertumbuhan hiperbolik, jika π‘ mendekati tak hingga maka
jumlah populasi penduduk akan menuju tak hingga.
Untuk menyelesaikan persamaan (3.42) dengan aturan trapesium dipilih
nilai awal π‘0 = 1900 dan π(0) = 1.6024 miliar. π(0) diambil dari nilai eksak
model Kapitsa saat π‘ = 1900. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut dipilih
pula nilai π1 = 1995, πΆ = 163 Γ 109 dan π = 45. Karena nilai dari variabel
persamaan (3.42) sudah diketahui, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Sehingga dari aturan trapesium
untuk persamaan diferensial biasa dengan β = 1 didapat
Untuk π‘1 = 1901
π1 = 1.6024 + 1 β163
(1995 β 1900)2 + 452= 1.6172
π¦1 = 1.6024 +1
2(
163
(1995 β 1900)2 + 452+
163
(1995 β 1901)2 + 452)
= 1.6173
Untuk π‘2 = 1902
π2 = 1.6173 + 1 β163
(1995 β 1901)2 + 452= 1.6323
π¦2 = 1.6173 +1
2(
163
(1995 β 1901)2 + 452+
163
(1995 β 1902)2 + 452)
= 1.6324
Untuk π‘3 = 1903
π3 = 1.6324 + 1 β163
(1995 β 1903)2 + 452= 1.6477
π¦2 = 1.6324 +1
2(
163
(1995 β 1903)2 + 452+
163
(1995 β 1904)2 + 452)
= 1.6478
Untuk π‘4 = 1904
π4 = 1.6478 + 1 β163
(1995 β 1904)2 + 452= 1.6634
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
π¦4 = 1.6478 +1
2(
163
(1995 β 1904)2 + 452+
163
(1995 β 1905)2 + 452)
= 1.6635
Untuk π‘5 = 1905
π5 = 1.6635 + 1 β163
(1995 β 1905)2 + 452= 1.6793
π¦5 = 1.6635 +1
2(
163
(1995 β 1905)2 + 452+
163
(1995 β 1906)2 + 452)
= 1.6794
Iterasi berikutnya dapat dihitung dengan cara yang sama seperti
sebelumnya, sehingga dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500.
Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat grafik sepeti Gambar
3.11.
Gambar 3.11 Model Kapitsa dengan Aturan Trapesium
Pada Gambar 3.11 terlihat model Kapitsa mendekati suatu nilai untuk π‘
menuju tak hingga. Setelah diketahui nilai pendekatan dari model Kapitsa akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
dilakukan perbandingan dengan penyelesaian analitik model Kapitsa. Perbandingan
antara penyelesaian analitik dan penyelesaian menggunakan aturan trapesium ini
juga akan dicari nilai galat kuadrat rata-rata dan rata-rata galat relatif dari metode
yang digunakan. Perbandingan antara penyelesaian analitik dan penyelesaian
dengan aturan trapesium ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB.
Gambar 3.12 merupakan perbandingan penyelesaian analitik dan aturan trapesium
untuk model.
Gambar 3.12 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Aturan Trapesium untuk
Model Kapitsa
Pada Gambar 3.12 terlihat bahwa penyelesaian analitik model dan
penyelesaian model dengan aturan trapesium berhimpit. Pada hasil perbandingan
didapat nilai galat kuadrat rata-rata yaitu 1.2862 Γ 10β9 dan nilai rata-rata galat
relatif yaitu 4.4512 Γ 10β6. Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan aturan
trapesium ini sangat baik untuk mendekati nilai analitik model Kapitsa.
Model yang akan diselesaikan dengan aturan trapesium selanjutnya adalah
model Dolgonosov. Bentuk model Dolgonosov yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
ππ
ππ‘= ππ2 [1 β
π
ππ + πΎ(π β π0)exp [βπ (π β π0)]] (3.43)
dengan karakteristik waktu tunda, dapat ditulis
ππ
ππ‘= π(π(π‘ β π1))2 [1 β
π
πΎ(π, π2, π3)] (3.44)
dimana,
πΎ(π, π2, π3) = ππ + πΎ(π(π‘ β π2) β π0)exp [βπ (π(π‘ β π3) β π0)]
dengan ππ adalah daya muat biosfer, πΎ dan π adalah konstanta, π0 adalah populasi
awal, π‘ adalah waktu, π1 adalah rata-rata umur reproduksi, π2 adalah waktu difusi
dari teknologi basis, π3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban
antropogenik dan π adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia.
Model Dolgonosov ini merupakan model yang sulit untuk diketahui
penyelesaian analitiknya, sehingga digunakan penyelesaian numerik. Aturan
trapesium untuk persamaan diferensial biasa adalah salah satu metode untuk
menyelesaikan model Dolgonosov. Pada model Dolgonosov ini untuk me-
nyelesaikan model dengan waktu tunda dibutuhkan data sebelumnya sekitar 100
tahun. Sedangkan untuk model tanpa waktu tunda tidak dibutuhkan data 100 tahun
sebelumnya.
Untuk menyelesaikan model Dologonosov tanpa waktu tunda dipelukan
nilai dari variabel yang ada dalam model. Setiap variabel dalam model dipilih yaitu
ππ = 5.2, π = 0.0257, πΎ = 0.85, dan π = 0.51. Karena nilai dari variabel
persamaan (3.43) sudah ditentukan, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Dengan menggunakan aturan
trapesium untuk persamaan diferensial biasa dengan nilai awal π(0) = 1.656
miliar, yaitu jumlah populasi penduduk dunia pada tahun 1900 (Akaev and
Sadovnichii, 2010) dan β = 1 didapat
Untuk π‘1 = 1901
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
π1 = 1.656 + [0.0257 β 1.6562 [1
β1.656
5.2 + 0.85(1.656 β 1.656) exp[β0.51(1.656 β 1.656)]] ]
= 1.7040
π¦1 = 1.656 +1
2[(0.0257 β 1.6562 (1
β1.656
5.2 + 0.85(1.656 β 1.656) exp[β0.51(1.656 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.70402 (1
β1.7040
5.2 + 0.85(1.7040 β 1.656) exp[β0.51(1.7040 β 1.656)]))]
= 1.7052
Untuk π‘2 = 1902
π2 = 1.7052 + [0.0257 β 1.70522 [1
β1.7052
5.2 + 0.85(1.7052 β 1.656) exp[β0.51(1.7052 β 1.656)]] ]
= 1.7556
π¦2 = 1.7052 +1
2[(0.0257 β 1.70522 (1
β1.7052
5.2 + 0.85(1.7052 β 1.656) exp[β0.51(1.7052 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.75562 (1
β1.7556
5.2 + 0.85(1.7556 β 1.656) exp[β0.51(1.7556 β 1.656)]))]
= 1.7568
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Untuk π‘3 = 1903
π3 = 1.7568 + [0.0257 β 1.75682 [1
β1.7568
5.2 + 0.85(1.7568 β 1.656) exp[β0.51(1.7568 β 1.656)]] ]
= 1.8098
π¦3 = 1.7568 +1
2[(0.0257 β 1.75682 (1
β1.7568
5.2 + 0.85(1.7568 β 1.656) exp[β0.51(1.7568 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.80982 (1
β1.8098
5.2 + 0.85(1.8098 β 1.656) exp[β0.51(1.8098 β 1.656)]))]
= 1.8111
Dengan menggunakan cara yang sama dapat dilakukan untuk iterasi
selanjutnya, sehingga dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500 untuk
model Dolonosov tanpa waktu tunda. Dengan menggunakan bantuan program
MATLAB didapat grafik sepeti Gambar 3.13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 3.13 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Aturan Trapesium
Hasil model Dolgonosov tanpa waktu tunda dengan aturan trapesium seperti
Gambar 3.13, karena untuk waktu menuju tak hingga, jumlah populasi menuju
suatu nilai. Perbedaan dari model sebelumnya yaitu pada model Dolgonosov tanpa
waktu tunda ini jumlah populasi penduduk hanya sampai sedikit diatas 5.5 miliar
yaitu 5.6435 miliar.
Untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda digunakan juga nilai variabel
yang sama dengan model Dolgonosov tanpa waktu tunda. Untuk variabel yang lain
ditentukan nilainya terlebih dahulu yaitu π1 = 25, π2 = 30 dan π3 = 100. Dalam
model Dolgonosov dengan waku tunda ini diperlukan data populasi penduduk 100
tahun sebelumnya, sehingga untuk mengatasi keterbatasan data digunakan model
Kapitsa untuk menghitung jumlah populasi penduduk tahun 1820 hingga tahun
1920. Pada perhitungan model ini akan dimulai dengan menghitung jumlah
penduduk pada tahun 1921. Dengan menggunakan aturan trapesium untuk persa-
maan diferensial biasa dengan β = 1 didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Untuk π‘1 = 1921
π1 = 1.957 + [0.0257 β 1.53172 [1
β1.957
5.2 + 0.85(1.4667 β 1.656) exp[β0.51(0.9117 β 1.656)]] ]
= 1.9915
π¦1 = 1.957 +1
2[(0.0257 β 1.53172 (1
β1.957
5.2 + 0.85(1.4667 β 1.656) exp[β0.51(0.9117 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.54532 (1
β1.9915
5.2 + 0.85(1.4792 β 1.656) exp[β0.51(0.9167 β 1.656)]))]
= 1.9917
Untuk π‘2 = 1922
π2 = 1.9917 + [0.0257 β 1.54532 [1
β1.9917
5.2 + 0.85(1.4792 β 1.656) exp[β0.51(0.9167 β 1.656)]] ]
= 2.0259
π¦2 = 1.9917 +1
2[(0.0257 β 1.54532 (1
β1.9917
5.2 + 0.85(1.4792 β 1.656) exp[β0.51(0.9167 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.55922 (1
β2.0259
5.2 + 0.85(1.4920 β 1.656) exp[β0.51(0.9218 β 1.656)]))]
= 2.0260
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Untuk π‘3 = 1923
π3 = 2.0260 + [0.0257 β 1.55922 [1
β2.0260
5.2 + 0.85(1.4920 β 1.656) exp[β0.51(0.9218 β 1.656)]] ]
= 2.0606
π¦3 = 2.0260 +1
2[(0.0257 β 1.55922 (1
β2.0260
5.2 + 0.85(1.4920 β 1.656) exp[β0.51(0.9218 β 1.656)]))
+ (0.0257 β 1.57342 (1
β2.0606
5.2 + 0.85(1.5050 β 1.656) exp[β0.51(0.9269 β 1.656)]))]
= 2.0607
Untuk iterasi selanjutnya dapat dicari dengan cara yang sama, sehingga bisa
didapatkan nilai hingga tahun 2500 untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda.
Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat grafik seperti Gambar
3.14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 3.14 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Aturan
Trapesium
Pada Gambar 3.14 terlihat bahwa model Dolgonosov dengan waktu tunda
untuk waktu menuju tak hingga, jumlah populasi penduduk menuju suatu nilai.
Pada model ini dapat terlihat bahwa populasi penduduk mengalami penurunan
setelah kenaikan yang besar. Jumlah populasi penduduk pada model ini untuk tahun
2500 yaitu 5.6797 miliar.
Model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan aturan trapesium ini
akan dilakukan perbandingan dengan data asli tahun 1950 sampai tahun 2020. Pada
perbandingan ini akan dihitung rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata dari
model. Perbandingan ini akan dilakukan dengan menggunakan program MATLAB.
Gambar 3.15 merupakan perbandingan model Dolgonosov dengan waktu tunda
menggunakan aturan trapesium dengan data asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 3.15 Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda
Menggunakan Aturan Trapesium dengan Data Asli
Pada Gambar 3.15 terlihat bahwa pola model Dolgonosov dengan waktu
tunda hampir sama dengan data asli. Pada perbandingan ini menghasilkan nilai rata-
rata galat relatif yaitu 0.1054 dan galat kuadrat rata-rata yaitu 0.1986. Model
Dolgonosov ini merupakan model yang baik karena mempunyai nilai rata-rata galat
realtif dan galat kuadrat rata-rata yang masih bisa dikatakan kecil dan model ini
merupakan model yang realistik.
2. Modifikasi Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa
Selain aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa terdapat juga
metode numerik yang lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa.
Metode numerik yang dimaksud yaitu modifikasi aturan trapesium untuk
persamaan diferensial biasa. Pada sub bab ini akan dibahas menggunakan
modifikasi aturan trapesium untuk menyelesaikan ketiga model kependudukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
yaitu model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model Dolgonosov.
Modifikasi aturan trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa sebagai berikut
π¦π+1 = π¦π+1π +
β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π + π§π+1π ) (3.45)
dimana π¦π+1π = π¦π +
β
2π(π‘π, π¦π) dan π§π+1
π =β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π ).
Model yang akan diselesaikan terlebih dahulu menggunakan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial yaitu model pertumbuhan hiperbolik
ππ
ππ‘=
ππ2
π0 (3.46)
dimana π adalah populasi penduduk, π adalah konstanta, t adalah waktu dan π0
adalah populasi awal. Model pertumbuhan hiperbolik ini merupakan salah satu
model matematis dalam kependudukan yang tidak realistik jika untuk mem-
perkirakan jumlah populasi untuk waktu yang lama. Pada model ini untuk waktu
yang mendekati tak hingga, jumlah populasi penduduk akan menuju tak hingga
pula.
Untuk menyelesaikan model pertumbuhan hiperbolik dengan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dipilih nilai awal π‘0 = 1960,
dan π(0) = 3.0402 miliar, π(0) adalah jumlah populasi penduduk saat π‘0
(Hathout, 2013). Selain itu, dipilih juga nilai untuk variabel π = 0.0113 dan β = 1.
Sehingga dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan
diferensial didapat
Untuk π‘1 = 1961
π¦1π = 3.0402 +
1
2(
0.0113 β 3.04022
3.0402) = 3.0574
π§1π =
1
2(
0.0113 β 3.05742
3.0402) = 0.0174
π¦1 = 3.0574 +1
2(
0.0113 β (3.0574 + 0.0174)2
1.656) = 3.0749
Untuk π‘2 = 1962
π¦2π = 3.0749 +
1
2(
0.0113 β 3.07492
3.0402) = 3.0925
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
π§2π =
1
2(
0.0113 β 3.09252
3.0402) = 0.0178
π¦2 = 3.0925 +1
2(
0.0113 β (3.0925 + 0.0178)2
3.0402) = 3.1105
Untuk π‘3 = 1963
π¦3π = 3.1105 +
1
2(
0.0113 β 3.11052
3.0402) = 3.1285
π§3π =
1
2(
0.0113 β 3.12852
3.0402) = 0.0182
π¦3 = 3.1285 +1
2(
0.0113 β (3.1285 + 0.0182)2
3.0402) = 3.1469
Untuk π‘4 = 1964
π¦4π = 3.1469 +
1
2(
0.0113 β 3.14692
3.0402) = 3.1653
π§4π =
1
2(
0.0113 β 3.16532
3.0402) = 0.0186
π¦4 = 3.1653 +1
2(
0.0113 β (3.1653 + 0.0186)2
3.0402) = 3.1841
Untuk π‘5 = 1905
π¦5π = 3.1841 +
1
2(
0.0113 β 3.18412
3.0402) = 3.2030
π§5π =
1
2(
0.0073 β 3.20302
3.0402) = 0.0191
π¦5 = 3.2030 +1
2(
0.0113 β (3.2030 + 0.0191)2
3.0402) = 3.2223
Dengan cara yang sama iterasi berikutnya untuk model pertumbuhah
hiperbolik dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan
diferensial biasa dapat dihitung. Pada pembahasan ini akan dihitung nilai dari
model pertumbuhan hiperbolik hingga tahun 2500. Dengan menggunakan program
MATLAB didapat grafik sepeti pada Gambar 3.16.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar 3.16 Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Modifikasi Aturan
Trapesium
Gambar 3.16 juga terlihat bahwa untuk waktu menuju tak hinga populasi
juga menuju tak hingga. Setelah diketahui penyelesaian model dengan modifikasi
aturan trapesium akan dilakukan perbandingan dengan penyelesaian analitik model.
Pada perbandingan model ini juga akan dihitung galat kuadrat rata-rata dan rata-
rata galat relatif dari metode yang digunakan. Perbandingan ini akan dilakukan
menggunakan program MATLAB. Gambar 3.17 adalah hasil perbandingan dari
modifikasi aturan trapesium pada model pertumbuhan hiperbolik dengan
penyelesaian analitik model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Gambar 3.17 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Modifikasi Aturan
Trapesium untuk Model Petumbuhan Hiperbolik
Pada Gambar 3.17 terlihat bahwa penyelesaian analitik model berhimpit
dengan penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium. Pada hasil
perbandingan didapat nilai galat kuadrat rata-rata yang cukup besar yaitu 126.0235
dan rata-rata galat relatif yaitu 0.0027. Nilai galat kuadrat rata-rata ini cukup besar
karena terdapat perbedaan yang besar saat model menuju tak hingga. Tetapi untuk
model sebelum menuju tak hingga perbedaan penyelesaian analitik dan
penyelesaian dengan modifikasi aturan trapesium model tidak besar, terlihat dari
plot dua grafik ini berhimpit.
Model kedua yang akan diselesaikan dengan menggunakan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa yaitu Model Kapitsa
ππ
ππ‘=
πΆ
(π1 β π‘)2 + π2 (3.47)
dimana π1 dan πΆ adalah konstanta, π‘ adalah waktu dalam tahun masehi dan π adalah
karakteristik umur hidup manusia. Model Kapitsa ini merupakan salah satu model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
matematis yang realistik, karena pada model ini untuk waktu mendekai tak hingga
jumlah populasi mendekati suatu nilai.
Untuk menyelesaikan model Kapitsa dengan modifikasi aturan trapesium
untuk persamaan diferensial biasa, terlebih dahulu dipilih nilai awal π‘0 =
1900 dan π(0) = 1.6024 miliar. π(0) diambil dari nilai eksak model Kapitsa saat
π‘ = 1900. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut ditentukan nilai dari variabel
π1 = 1995, πΆ = 163 Γ 109 dan π = 45. Karena nilai dari variabel pada model
Kapitsa sudah diketahui, model tersebut dapat diselesaikan dengan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Sehingga dari modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dengan β = 1 didapat
Untuk π‘1 = 1901
π¦1π = 1.6024 +
1
2(
163
(1995 β 1900)2 + 452) = 1.6098
π§1π =
1
2(
163
(1995 β 1901)2 + 452) = 0.0075
π¦1 = 1.6098 +1
2(
163
(1995 β 1901)2 + 452) = 1.6173
Untuk π‘2 = 1902
π¦2π = 1.6173 +
1
2(
163
(1995 β 1901)2 + 452) = 1.6248
π§2π =
1
2(
163
(1995 β 1902)2 + 452) = 0.0076
π¦2 = 1.6248 +1
2(
163
(1995 β 1902)2 + 452) = 1.6324
Untuk π‘3 = 1903
π¦3π = 1.6324 +
1
2(
163
(1995 β 1902)2 + 452) = 1.6401
π§3π =
1
2(
163
(1995 β 1903)2 + 452) = 0.0078
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
π¦3 = 1.6401 +1
2(
163
(1995 β 1903)2 + 452) = 1.6478
Untuk π‘4 = 1904
π¦4π = 1.6478 +
1
2(
163
(1995 β 1903)2 + 452) = 1.6556
π§4π =
1
2(
163
(1995 β 1904)2 + 452) = 0.0079
π¦4 = 1.6566 +1
2(
163
(1995 β 1904)2 + 452) = 1.6635
Untuk π‘5 = 1905
π¦5π = 1.6635 +
1
2(
163
(1995 β 1904)2 + 452) = 1.6714
π§5π =
1
2(
163
(1995 β 1905)2 + 452) = 0.0080
π¦5 = 1.6714 +1
2(
163
(1995 β 1904)2 + 452) = 1.6795
Untuk iterasi selanjutnya pada model Kapitsa dapat dilakukan dengan cara
yang sama. Pada pembahasan ini akan dicari nilai dari model Kapitsa hingga tahun
2500. Dengan menggunakan bantuan program MATLAB grafik dari model Kapitsa
dengan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa seperti pada
Gambar 3.18.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.18 Model Kapitsa dengan Modifikasi Aturan Trapesium
Pada Gambar 3.18 terlihat bahwa grafik model Kapitsa untuk waktu menuju
tak hingga jumlah populasi dunia menuju suatu nilai. Setelah diketahui
penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium akan dilakukan
perbandingan dengan penyelesaian analitik model. Pada perbandingan model ini
juga akan dihitung galat kuadrat rata-rata dan rata-rata galat relatif dari metode yang
digunakan. Perbandingan ini akan dilakukan menggunakan program MATLAB.
Gambar 3.19 adalah hasil perbandingan dari modifikasi aturan trapesium pada
model Kapitsa dengan penyelesaian analitik model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Gambar 3.19 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Modifikasi Aturan
Trapesium untuk Model Kapitsa
Pada Gambar 3.19 terlihat bahwa penyelesaian analitik model dan
penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium berhimpit. Pada hasil
perbandingan penyelesaian analitik model dengan penyelesaian model dengan
modifikasi aturan trapesium didapat nilai galat kuadrat rata-rata yang sangat kecil
yaitu 1.2862 Γ 10β9 dan rata-rata galat relatif yaitu 4.4512 Γ 10β6. Hal ini
menunjukkan bahwa penggunaan modifikasi aturan trapesium ini sangat baik untuk
mendekati nilai analitik model Kapitsa.
Model selanjutnya yang akan diselesaikan dengan modifikasi aturan
trapesium selanjutnya adalah model Dolgonosov
ππ
ππ‘= ππ2 [1 β
π
ππ + πΎ(π β π0)exp [βπ (π β π0)]] (3.48)
dengan karakteristik waktu tunda, dapat ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
ππ
ππ‘= π(π(π‘ β π1))2 [1 β
π
πΎ(π, π2, π3)] (3.49)
dimana,
πΎ(π, π2, π3) = ππ + πΎ(π(π‘ β π2) β π0)exp [βπ (π(π‘ β π3) β π0)]
dengan ππ adalah daya muat biosfer, πΎ dan π adalah konstanta, π0 adalah populasi
awal, π‘ adalah waktu, π1 adalah rata-rata umur reproduksi, π2 adalah waktu difusi
dari teknologi basis, π3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban
antropogenik dan π adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia.
Modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa merupakan
salah satu metode numerik yang dapat menyelesaikan model Dolgonosov. Untuk
mencari penyelesaian analitik dari model Dolgonosov bukan merupakan hal yang
mudah, karena hal tersebut digunakan metode numerik untuk menyelelsaikan
model. Pada pembahasan ini, akan dicari penyelesaian dari model Dolgonosov
tanpa waktu tunda dan juga model Dolgonosov dengan waktu tunda.
Untuk menyelesaikan model Dologonosov tanpa waktu tunda dipelukan
nilai dari variabel dalam model. Setiap variabel dalam model dipilih yaitu ππ =
5.2, π = 0.0257, πΎ = 0.85, dan π = 0.51. Karena nilai dari variabel persamaan
(3.43) sudah ditentukan, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan modifikasi
aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Untuk menyelesaikan model
tersebut dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan
diferensial biasa dipilih nilai awal π(0) = 1.656 miliar, yaitu jumlah populasi
penduduk dunia pada tahun 1900 (Akaev and Sadovnichii, 2010) dan β = 1 didapat
Untuk π‘1 = 1901
π¦1π = 1.656 +
1
2[0.0257 β 1.6562 [1
β1.656
5.2 + 0.85(1.656 β 1.656) exp[β0.51(1.656 β 1.656)]] ]
= 1.6800
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
π§1π =
1
2[0.0257 β 1.68002 [1
β1.6800
5.2 + 0.85(1.6800 β 1.656) exp[β0.51(1.6800 β 1.656)]] ]
= 0.0246
π¦1 = 1.6800 +
1
2[0.0257 β (1.6800 + 0.0246)2 [1
β(1.6800 + 0.0246)
5.2 + 0.85((1.6800 + 0.0246) β 1.656) exp[β0.51((1.6800 + 0.0246) β 1.656)]] ]
= 1.7052
Untuk π‘2 = 1902
π¦2π = 1.7052 +
1
2[0.0257 β 1.70522 [1
β1.7052
5.2 + 0.85(1.7052 β 1.656) exp[β0.51(1.7052 β 1.656)]] ]
= 1.7304
π§2π =
1
2[0.0257 β 1.73042 [1
β1.7304
5.2 + 0.85(1.7304 β 1.656) exp[β0.51(1.7304 β 1.656)]] ]
= 0.0258
π¦2 = 1.7304 +
1
2[0.0257 β (1.7304 + 0.0258)2 [1
β(1.7304 + 0.0258)
5.2 + 0.85((1.7304 + 0.0258) β 1.656) exp[β0.51((1.7304 + 0.0258) β 1.656)]] ]
= 1.7569
Untuk iterasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga
dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500 untuk model Dolgonosov
tanpa waktu tunda. Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat
grafik sepeti Gambar 3.20.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Gambar 3.20 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan
Modifikasi Aturan Trapesium
Pada Gambar 3.20 terlihat model Dolgonosov tanpa waktu tunda mencapai
nilai maksimal sedikit di atas 5.5 miliar yaitu 5.6435 miliar. Hal ini menunjukan
bahwa model Dolgonosov tanpa waktu tunda bukan merupakan model yang baik,
karena pada kenyataannya jumlah penduduk dunia pada tahun 2019 yaitu 7.7 miliar.
Untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan nilai variabel
yang sama dengan model Dolgonosov tanpa waktu tunda. Untuk variabel yang lain
ditentukukan π1 = 25, π2 = 30 dan π3 = 100. Dalam model Dolgonosov dengan
waku tunda ini diperlukan data populasi penduduk 100 tahun sebelumnya, sehingga
untuk mengatasi keterbatasan data untuk komputasi digunakan model Kapitsa
untuk mengasumsikan jumlah populasi penduduk tahun 1720 hingga tahun 1920.
Pada perhitungan model ini akan dimulai dengan mengitung jumlah penduduk pada
tahun 1921. Untuk mendapatkan nilai variabel π¦ππ dan π§π
π pada untuk mendapatkan
π¦π, perhitungan π¦ππ dan π§π
π sebelum tahun 1921 menggunakan data perhitungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
model Kapitsa untuk mengasumsikan populasi tahun sebelumnya. Dengan
menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa de-
ngan β = 1 didapat
Untuk π‘1 = 1921
π¦1π = 1.957 +
1
2(0.0257 β 1.53172 (1
β1.957
5.2 + 0.85(1.4667 β 1.957) exp[β0.51(0.9117 β 1.957)]))
= 1.9745
π§1π =
1
2(0.0257 β 1.54622 (1
β1.9745
5.2 + 0.85(1.4803 β 1.957) exp[β0.51(0.9185 β 1.957)]))
= 0.0173
π¦1 = 1.9745 +1
2
(0.0257 β (1.5462 + 0.0148)2 (1
β1.9745 + 0.0173
5.2 + 0.85((1.4803 + 0.0140) β 1.957) exp[β0.51((0.9185 + 0) β 1.957)]))
= 1.9921
Untuk π‘2 = 1922
π¦2π = 1.922 +
1
2(0.0257 β 1.54532 (1
β1.922
5.2 + 0.85(1.4792 β 1.957) exp[β0.51(0.9167 β 1.957)]))
= 2.0092
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
π§2π =
1
2(0.0257 β 1.562 (1
β2.0092
5.2 + 0.85(1.4930 β 1.957) exp[β0.51(0.9235 β 1.957)]))
= 0.0174
π¦2 = 2.0092 +1
2
(0.0257 β (1.56 + 0.0150)2 (1
β1.9745 + 0.0173
5.2 + 0.85((1.4930 + 0.0141) β 1.957) exp[β0.51((0.9235 + 0) β 1.957)]))
= 2.0269
Iterasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga dapat
diperoleh nilai dari populasi penduduk hingga tahun 2500. Dengan menggunakan
bantuan program MATLAB didapat grafik seperti Gambar 3.21.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Gambar 3.21 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan
Modifikasi Aturan Trapesium
Pada Gambar 3.21 hasil model Dolgonosov dengan waktu tunda
menunjukan grafik naik mencapai puncak dan setelah itu turun menuju stasioner.
Pada model ini jumlah populasi penduduk dunia pada model ini pada tahun 2500
yaitu 5.67 miliar. Setelah diketahui penyelesaian model Dolgonosov dengan waktu
tunda menggunakan modifikasi aturan trapesium, akan dilakukan perbandingan
dengan data asli tahun 1950 sampai tahun 2020. Pada perbandingan ini akan
dihitung rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata dari model. Perbandingan
ini akan dilakukan dengan menggunakan program MATLAB. Gambar 3.22
merupakan perbandingan model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan
modifikasi aturan trapesium dengan data asli.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Gambar 3.22 Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda
Menggunakan Modifikasi Aturan Trapesium dengan Data Asli
Pada Gambar 3.22 terlihat bahwa pola model Dolgonosov dengan waktu
tunda menggunakan aturan trapesium hampir sama dengan data asli. Pada
perbandingan ini menghasilkan nilai rata-rata galat relatif yaitu 0.1076 dan galat
kuadrat rata-rata yaitu 0.2073. Model Dolgonosov ini merupakan model yang baik
karena mempunyai nilai rata-rata galat realtif dan galat kuadrat rata-rata yang masih
bisa dikatakan kecil dan model ini merupakan model yang realistik.
Dari perbandingan ketiga model dengan data asli terdapat keterbatasan data
asli yang digunakan. Data asli yang digunakan dalam perbandingan ini yaitu data
dari tahun 1950 sampai dengan tahun 2020. Berdasarkan grafik data asli, terlihat
bahwa dalam jangka waktu yang pendek bentuk linier dapat lebih baik untuk
memprediksi populasi penduduk dunia, tetapi untuk jangka panjang bentuk linier
kurang memadai karena tidak memperhatikan faktor-faktor lain. Sedangkan model
Kapitsa dan model Dolgonosov dapat digunakan untuk mengetahui kecenderungan
teoritik populasi penduduk dunia dalam jangka waktu yang panjang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
BAB IV
ANALISIS GALAT
A. Analisis Galat Metode Euler
Mengingat bahwa π¦(π₯0) = π¦0, misalkan nilai π¦π sudah diketahui, hingga
beberapa π, 0 β€ π β€ π β 1, π β₯ 1, didefinisikan (SΓΌli and Mayers, 2003)
π¦π+1 = π¦π + βπ(π₯π, π¦π) (4.1)
Pada urutan π = 0, 1, β― , π β 1, nilai perkiraaan π¦π pada titik π₯π dapat diperoleh.
Metode numerik tersebut dikenal sebagai metode Euler.
Bentuk umum metode satu langkah dapat ditulis sebagi berikut
π¦π+1 = π¦π + βΞ¦(π₯π, π¦(π₯π); β), π = 0, 1, β― , π β 1, π¦(π₯0) = π¦0
(4.2)
dimana Ξ¦( β , β ; β ) adalah fungsi kontinu dari variabel. dalam kasus metode Euler
Ξ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) = π(π₯π, π¦π).
Untuk menilai akurasi dari metode numerik, didefinisikan galat global
sebagai berikut
ππ = π¦(π₯π) β π¦π (4.3)
dengan π¦(π₯π) adalah nilai analitik dan π¦π adalah nilai pendekatan. Dibutuhkan juga
konsep galat pemotongan ππ didefinisikan dengan
ππ =π¦(π₯π+1) β π¦(π₯π)
ββ Ξ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) (4.4)
Teorema 4.1
Pada persamaan (4.2), disamping Ξ¦ diasumsikan sebagai fungsi kontinu, Ξ¦
diasumsikan memenuhi kondisi Lipschitz, sehubungan dengaan argument kedua,
yaitu ada konstanta positif πΏΞ¦ sehingga untuk 0 β€ β β€ β0 dan untuk semua (π₯, π’)
dan (π₯, π£)
π· = {(π₯, π¦): π₯0 β€ π₯ β€ π₯π , |π¦ β π¦0| β€ πΆ},
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
dan didapat
|Ξ¦(π₯π, π’; β) β Ξ¦(π₯π, π£; β)| β€ πΏΞ¦|π’ β π£|. (4.5)
Maka berasumsi bahwa |π¦π β π¦0| β€ πΆ, π = 1, 2, β― , π, mengikuti hal itu
|ππ| β€π
πΏΞ¦(ππΏΞ¦(π₯nβπ₯0) β 1), π = 0, 1, β― , π (4.6)
dimana π = max0β€πβ€πβ1|ππ|.
Bukti
Ditulis ulang persamaan (4.4) sebagai
π¦(π₯π+1) = π¦(π₯π) + βΞ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) + βππ
dan dikurangi dengan persamaan (4.2), dari hal ini didapat
ππ+1 = ππ + β[Ξ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) β Ξ¦(π₯π, π¦π; β) + βππ
karena (π₯π, π¦(π₯π)) dan (π₯π, π¦π) elemen π·, kondisi Lipschitz persamaan (4.5)
mengartikan bahwa
|ππ+1| = |ππ| + βπΏΞ¦|ππ| + βππ, π = 0, 1, β― , π β 1 (4.7)
didapat
|ππ+1| = (1 + βπΏΞ¦)|ππ| + βππ, π = 0, 1, β― , π β 1
Dengan menggunakan induksi didapat
|ππ| β€π
πΏΞ¦
((1 + βπΏΞ¦)π β 1), π = 0, 1, β― , π
karena π0 = 0. Mengamati bahwa 1 + βπΏΞ¦ β€ exp(βπΏπ·) memberikan persamaan
(4.6)
β
Akan diterapkan hasil perumuman ini untuk mendapatkan batasan pada
galat global dalam metode euler. Galat pemotongan untuk metode Euler yaitu
ππ =π¦(π₯π+1) β π¦(π₯π)
ββ π(π₯π, π¦(π₯π))
=π¦(π₯π+1) β π¦(π₯π)
ββ π¦β²(π₯π) (4.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
dengan asumsi bahwa π¦ β πΆ2[π₯0, ππ], yaitu bahwa π¦ adalah fungsi kontinu yang
terdiferensial dua kali dari π₯ pada [π₯0, ππ], dan memperluas π¦(π₯π+1) pada titik π₯π
kedalam deret Taylor, didapat
π¦(π₯π+1) = π¦(π₯π) + βπ¦β²(π₯π) +β2
2!π¦β²β²(ππ), π₯π < ππ < π₯π+1
mensubtitusi persamaan ini kedalam persamaan (4.7) didapat
ππ =1
2βπ¦β²β²(ππ).
misalkan π2 = maxπβ[π₯0,ππ]|π¦β²β²(π)|. Maka |ππ| β€ π, π = 0, 1, β― , π β 1, dimana
π =1
2βπ2. Mensubtitusikan hal ini pada persamaan (4.5) dan untuk metode Euler
Ξ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) β‘ π(π₯π, π¦π) dan karena itu πΏΞ¦ = πΏ dimana πΏ adalah konstanta
Lipschitz untuk π, didapat
|ππ| β€1
2π2 [
ππΏ(π₯nβπ₯0) β 1
πΏ] β, π = 0, 1, β― , π (4.9)
B. Analisis Galat Aturan Trapesium
Metode satu langkah dengan akurasi order dua adalah metode aturan
trapesium (SΓΌli and Mayers, 2003)
π¦π+1 = π¦π +β
2[π(π₯π, π¦π) + π(π₯π+1, π¦π+1)] (4.10)
metode ini didapat dengan
π¦(π₯π+1) β π¦(π₯π) = β« π¦β²(π₯)ππ₯π₯π+1
π₯π
,
dan pendekatan integral dengan aturan trapesium. Karena ruas kanan persamaan
mengandung integral dari fungsi π₯ β π¦β²(π₯) = π(π₯, π¦(π₯)), dilihat dari persamaan
(4.10) bahwa galat pemotongan
ππ =π¦(π₯π+1) β π¦(π₯π)
ββ
1
2[π(π₯π, π¦(π₯π)) + π(π₯π+1, π¦(π₯π+1))]
dari galat metode aturan trapesium memenuhi batas
|ππ| β€1
12β2π3, dimana π3 = maxπ₯β[π₯0,ππ]|π¦
β²β²β²(π₯)| (4.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Bentuk metode aturan trapesium (4.10) dapat dilihat
βΞ¦(π₯π, π¦(π₯π); β) =β
2[π(π₯π, π¦π) + π(π₯π+1, π¦π+1)]
=β
2[π(π₯π, π¦π) + π(π₯π+1, π¦π + βΞ¦(π₯π, π¦π; β))] (4.12)
Karena fungsi Ξ¦ juga didefinisikan dalam bentuk implisit.
Untuk menggunakan Teorema 4.1 untuk memperkirakan kesalahan dalam
metode aturan trapesium, dibutuhkan nilai untuk konstanta Lipschitz πΏΞ¦. Dari
persamaan (4.12) ditemukan
|Ξ¦(π₯π, π’; β) β Ξ¦(π₯π, π£; β)|
=1
2|π(π₯π, π’) β π(π₯π + β, π’ + βΞ¦(π₯π, π’; β)) β π(π₯π, π£)
β π(π₯π + β, π£ + βΞ¦(π₯π, π£; β))|.
Oleh karena itu,
|Ξ¦(π₯π, π’; β) β Ξ¦(π₯π, π£; β)|
β€1
2|π(π₯π, π’) β π(π₯π, π£)|
+1
2|π(π₯π + β, π’ + βΞ¦(π₯π, π’; β)) β π(π₯π + β, π£ + βΞ¦(π₯π, π£; β))|
β€1
2πΏπ|π’ β π£| +
1
2πΏπ|π’ + βΞ¦(π₯π, π’; β) β π£ β βΞ¦(π₯π, π£; β)|
β€1
2πΏπ|π’ β π£| +
1
2πΏπ|π’ β π£| β
1
2πΏπβ|Ξ¦(π₯π, π’; β) β Ξ¦(π₯π, π£; β)|.
dari persamaan tersebut didapat
(1 β1
2βπΏπ)|Ξ¦(π₯π, π’; β) β Ξ¦(π₯π, π£; β)| β€ πΏπ|π’ β π£|
dan, karena hal tersebut didapat
πΏΞ¦ β€πΏπ
(1 β12 βπΏπ)
, dengan 1
2βπΏπ < 1.
Akibatnya, persamaan (4.6) dan persamaan (4.11) menyiratkan bahwa galat global
dalam metode aturan trapesium adalah πͺ(β2), karena β cenderung mendekati 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium
Pada sub bab ini akan dibahas mengenasi analisis galat modifikasi aturan
trapesium. Modifikasi aturan trapesium didefinisikan sebagai berikut (Sukale and
Daftardar-Gejji, 2016)
π¦π+1π = π¦π+1
π +β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π + π§π+1π ) (4.13)
dimana π¦π+1π = π¦π +
β
2π(π‘π, π¦π) dan π§π+1
π =β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π ). Pertimbangkan
korektor modifikasi aturan trapesium
π¦π+1π = π¦π +
β
2π(π‘π, π¦π) +
β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π + π§π+1π )
dimana π¦π+1π = π¦π +
β
2π(π‘π, π¦π) dan π§π+1
π =β
2π(π‘π+1, π¦π+1
π ). Galat pemotongan ππ
pada modifikasi aturan trapesium diberikan sebagai berikut
ππ =π¦(π‘π+1) β π¦(π‘π)
ββ
1
2π(π‘π, π¦(π‘π)) β
1
2π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1) + π§π(π‘π+1)),
(4.14)
dimana π diasumsikan sebagai fungsi halus, sehinggga π¦ββ ada dan dibatasi oleh
[0, π] dengan max0β€π‘β€π|π¦β²β²(π‘)| = π1, dengan menyusun kembali persamaan (4.13)
didapat
0 =π¦π+1 β π¦π
ββ
1
2π(π‘π, π¦π) β
1
2π(π‘π+1, π¦π+1
π + π§π+1π ). (4.15)
Dengan mengurangi persamaan (4.14) dan persamaan (4.15) didapat
ππβ = ππ+1 β ππ ββ
2(π(π‘π, π¦(π‘π)) β π(π‘π, π¦π))
ββ
2[π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1) + π§π(π‘π+1))
β π(π‘π+1, π¦π+1π + π§π+1
π )] (4.16)
karena π memenuhi kondisi Lipschitz berkenaan dengan variabel kedua memiliki
konstanta Lipschitz L,didapatkan ketidaksetaraan berikut berdasarkan persamaan
(4.16)
|ππ+1| β€ |ππ| +πΏβ|ππ|
2+
βπΏ
2|π¦π(π‘π+1) + π§π(π‘π+1) β π¦π+1
π β π§π+1π | + οΏ½ΜοΏ½β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
β€ |ππ| +πΏβ|ππ|
2+
βπΏ
2|π¦π(π‘π+1) β π¦π+1
π | +βπΏ
2|π§π(π‘π+1) β π§π+1
π
+ οΏ½ΜοΏ½β (4.17)
perhatikan bahwa
π¦π+1π = π¦π +
β
2π(π‘π, π¦π)
π¦π(π‘π+1) = π¦(π‘π) +β
2π(π‘π, π¦(π‘π))
|π¦π+1π β π¦π(π‘π+1)| = |ππ| +
βπΏ|ππ|
2, (4.18)
|π§π+1π β π§π(π‘π+1)| =
β
2|π(π‘π+1, π¦π+1
π ) β π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1))|
=βπΏ
2|π¦π+1
π β π¦π(π‘π+1)| (4.19)
oleh karena itu,
|π§π+1π β π§π(π‘π+1)| =
βπΏ|ππ|
2+
β2πΏ2|ππ|
4. (4.20)
dari persamaan (4.17), persamaan (4.18) dan persamaan (4.20) didapat
|ππ+1| β€ (1 + πΏβ +β2πΏ2
2+
β3πΏ3
8) |ππ| + οΏ½ΜοΏ½β (4.21)
dimana π = 0, 1, 2, 3, β― , π dan οΏ½ΜοΏ½ = max0β€πβ€π|ππ|. Perhatikan galat global
ππ+1dibatasi oleh galat pemotongan οΏ½ΜοΏ½.
Teorema 4.2
Diberikan persamaan (4.13) untuk menyelesaikan masalah nilai awal π¦β² =
π(π‘, π¦(π‘)), π¦(0) = π¦0. Misalkan |πβ²(π‘, π¦(π‘))| β€ π1, |π(π‘, π¦(π‘))| β€ π2 dan
|π
ππ₯(π(π₯, π¦))| β€ πΏ pada interval [0, π]. Jika π¦(π‘π+1) dan π¦π+1 berurutan
menunjukan solusi sebenarnya dan solusi numerik pada titik π‘π+1, maka
|ππ+1| = |π¦(π‘π+1) β π¦π+1| β€(πππΏ β 1)πβ²β
2πΏ (4.22)
dimana π1 + π2πΏ = πβ².
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Bukti
Dari persamaan persamaan (4.21)
|ππ+1| β€ (1 + πΏβ +β2πΏ2
2+
β3πΏ3
8)
π
|π0| +
[(1 + πΏβ +β2πΏ2
2 +β3πΏ3
8 )π
β 1] βοΏ½ΜοΏ½
πΏβ +β2πΏ2
2 +β3πΏ3
8
β€ (1 + πΏβ +β2πΏ2
2+
β3πΏ3
8)
π
|π0| +
[(1 + πΏβ +β2πΏ2
2 +β3πΏ3
8 )π
β 1] οΏ½ΜοΏ½
πΏ +βπΏ2
2 +β2πΏ3
8
β€ ππβπΏ|π0| +(ππβπΏ β 1)οΏ½ΜοΏ½
πΏ (1 +βπΏ2 +
β2πΏ2
8 )
β€ ππβπΏ|π0| +(ππβπΏ β 1)οΏ½ΜοΏ½
πΏ
Pehatikan bahwa πβ = π‘π β π‘0. Didapat,
|ππ+1| β€ π(π‘πβπ‘0)πΏ|π0| +(π(π‘πβπ‘0 )πΏ β 1)οΏ½ΜοΏ½
πΏ (4.23)
Dengan memperhatikan π¦β²(π‘π) = π(π‘π, π¦(π‘π)), mengikuti dari persamaan (4.14)
didapat
ππ =π¦(π‘π+1) β π¦(π‘π)
ββ π(π‘π, π¦(π‘π)) +
1
2π(π‘π, π¦(π‘π))
β1
2π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1) + π§π(π‘π+1)), (4.24)
mengingat dari teorema Taylor βππ β (π‘π, π‘π+1) seperti
ππ =1
2βπ¦β²β²(ππ) +
1
2π(π‘π, π¦(π‘π)) β
1
2π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1) + π§π(π‘π+1))
β€1
2βπ¦β²β²(ππ) +
πΏ
2[π¦(π‘π) β π¦π(π‘π+1) β π§π(π‘π+1)]
=1
2βπ¦β²β²(ππ) +
πΏ
2[ββ
2π(π‘π, π¦(π‘π)) β
β
2π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1))] (4.25)
karenanya
οΏ½ΜοΏ½ = max0β€πβ€π|ππ|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
β€βπ1
2+
βπΏ
4|β(π‘π, π¦(π‘π)) β π(π‘π+1, π¦π(π‘π+1))|
β€(π1 + π2πΏ)β
2=
πβ²β
2 (4.26)
dimana
π1 = max0β€πβ€π|π¦β²β²(π‘)|, |π(π‘, π¦(π‘))| β€ π2, βπ‘ (4.27)
dan π1 + π2πΏ = πβ².
Lebih lanjut dari persamaan (4.23) dan persamaan (4.26)
|ππ+1| β€ πππΏ|π0| +(πππΏ β 1)πβ²β
2πΏ
dan ketika |π0| = 0
|ππ+1| β€(πππΏ β 1)πβ²β
2πΏ
Karenanya jika β β 0 maka galat global |ππ+1| konvergen ke nol,βπ. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dalam skripsi ini, penulis berhasil memodelkan dinamika populasi dunia,
dengan menggunakan model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, dan model
Dolgonosov. Pada model Dolgonosov, penyelesaian tidak dapat diselesaikan
dengan menggunakan penyelesaian analitik, sehingga digunakan metode numerik.
Metode numerik yang digunakan yaitu metode Euler, metode aturan trapesium, dan
metode modifikasi aturan trapesium. Sedangkan untuk model pertumbuhan
hiperbolik, dan model Kapitsa digunakan penyelesaian analitik dan penyelesaian
numerik.
Pada model pertumbuhan hiperbolik, model ini untuk π‘ menuju tak hingga,
jumlah populasi juga menuju tak hingga. Sehingga model ini merupakan model
yang tidak realistik untuk memodelkan pertumbuhan populasi penduduk dunia,
karena terbatasnya biosfer bumi. Untuk model Kapitsa, model ini merupakan model
yang realistik untuk memodelkan pertumbuhan populasi. Pada penyelesaian
analitik model Kapitsa untuk tahun 2500 jumlah populasi penduduk 11.0576 miliar
penduduk, dan pada model ini untuk π‘ menuju tak hingga, jumlah populasi tidak
akan menuju tak hingga. Pada model Kapitsa hasil yang didapat dengan
menggunakan penyelesaian numerik hampir sama dengan dengan penyelesaian
analitik. Untuk model Dolgonosov, model ini juga merupakan model yang realistik.
Pada model ini dengan menggunakan metode numerik jumlah populasi dunia naik
mencapai puncak, dan setelah itu mendekati suatu nilai. Pada model ini, jumlah
populasi dunia pada tahun 2500 kira-kira 5.67 miliar. Pada perbandingan dengan
data asli model Kapitsa lebih baik dari model Dolgonosov, karena pada model
Kapitsa nilai rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata lebih kecil daripada
model Dolgonosov. Pada perbandingan model dan data asli ini terdapat
keterbatasan data asli yang digunakan. Data asli yang digunakan dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
perbandingan ini yaitu data dari tahun 1950 sampai dengan tahun 2020.
Berdasarkan grafik data asli, terlihat bahwa dalam jangka waktu yang pendek
bentuk linier dapat lebih baik untuk mendekati nilai dari jumlah populasi penduduk
dunia. Sedangkan model Kapitsa dan model Dolgonosov dapat digunakan untuk
mengetahui kecenderungan populasi penduduk dunia dalam jangka waktu yang
panjang.
B. Saran
Penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini,
oleh karena itu penulis berharap ada yang melanjutkan skripsi ini. Dalam skripsi ini
penulis menggunakan metode numerik yaitu metode Euler, metode aturan
trapesium, dan metode modifikasi aturan trapesium untuk ketiga model
kependudukan. Penulis berharap jika ada pembaca yang sanggup melanjutkan
skripsi ini dengan menggunakan metode lain untuk model Kapitsa dan model
Dolgonosov serta mengalisisnya dengan metode yang digunakan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Adkins, W. A., and Davidson, M. G. (2012). Ordinary Differential Equations. New
York: Springer-Verlag New York.
Akaev, A. A., and Sadovnichii, V. A. (2010). Mathematical model of population
dynamics with the world population size stabilizing about a stationary level.
Doklady Mathematics. 82(3): 978-981.
Boyce, W. E., and DiPrima, R. C. (2012). Elementary Differential Equation and
Boundary Value Problem. (Tenth Edition). Hoboken: John Willey and Sons
Inc.
Dolgonosov, B. M. (2009). Nonlinear Dynamics of Ecological and Hydrological
Processes. Moscow: Librokom.
Giordano, F. R. et al. (2003). A First Course in Mathematical Modeling. (Third
Edition). Belmont: Brook/Cole.
Gorshkov, V. G. (1995). Physical and Biological Foundations Life Sustainability.
Moscow: VINITI.
Hathout, D. (2013). Modeling population growth: exponential and hiperbolic
modeling. Apllied Mathematics. 4: 299-304. https://www.researchgate.net.
diakses tanggal 1 Maret 2019.
Kapitsa, S. P. (1992). A mathematical model of the world population growth. Math.
Model. 4(6): 65-79.
Kapitsa, S. P. (2008). Essay on the Theory of Human Population Growth:
Demographic Revolution and Information Society. Moscow: Nikitskii Klub.
Kremer, M. (1993). Population growth and technological change: one million to
1990. Quart J Econ. 108: 681-716.
Larson, R., and Edward, B. (2009). Calculus of A Single Variable. (Ninth Edition).
Belmont: Brook/Cole.
Mathews, J. H., and Fink, K. K. (2004). Numerical Method Using Matlab. (Fourth
Edition). Upper Saddle River: Prentice-Hall Inc.
Sukale, Y., and Daftardar-Gejji, V. (2016). New numerical methods for solving
differential equations. International Journal of Applied and Computational
Mathematics. 3(3): 1639-1660.
SΓΌli, E., and Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis.
Cambridge: Cambridge University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Yakunin, V. I. (2011). Problem of Contemporary World Futurology. Newcastle
upon Tyne: Cambridge Scholars Publishing
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
LAMPIRAN
1. Data Asli Jumlah Penduduk Dunia Tahun 1950 sampai Tahun 2020
(diambil dari United Nations: https://www.un.org)
Tahun
Populasi
Penduduk
(miliar)
Tahun
Populasi
Penduduk
(miliar)
Tahun
Populasi
Penduduk
(miliar)
1950 2.53643 1974 4.00379 1998 5.98479
1951 2.58403 1975 4.07948 1999 6.06424
1952 2.63086 1976 4.15467 2000 6.14349
1953 2.67761 1977 4.22951 2001 6.22263
1954 2.72485 1978 4.30453 2002 6.30177
1955 2.77302 1979 4.38051 2003 6.38119
1956 2.82244 1980 4.458 2004 6.46116
1957 2.87331 1981 4.537 2005 6.54191
1958 2.92569 1982 4.61739 2006 6.62352
1959 2.97958 1983 4.69957 2007 6.70595
1960 3.03495 1984 4.78401 2008 6.78909
1961 3.09184 1985 4.87092 2009 6.87277
1962 3.15042 1986 4.96057 2010 6.95682
1963 3.211 1987 5.05252 2011 7.04119
1964 3.27398 1988 5.14543 2012 7.12583
1965 3.33958 1989 5.23744 2013 7.21058
1966 3.40792 1990 5.32723 2014 7.29529
1967 3.47877 1991 5.41429 2015 7.3798
1968 3.5516 1992 5.49892 2016 7.46402
1969 3.62568 1993 5.5816 2017 7.54786
1970 3.70044 1994 5.66315 2018 7.63109
1971 3.77576 1995 5.74421 2019 7.71347
1972 3.85165 1996 5.82489 2020 7.7948
1973 3.92778 1997 5.90505
2. Solusi Analitik Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa
clc
clear
close all
t=1900:1:2500;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c=163;
b=45;
K2=c/b;
N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)
plot(t,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasipenduduk(miliar)')
grid on
figure
hold on
j=1960:1:2048;
z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960))
plot(j,z,'b')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1960 2500 0 12])
3. Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa dengan Aturan
trapesium
clear
clc
close all
o=1960:2100;
N(1)=3.0402;
k=length(o);
for m=1:k-1;
n(m+1)=N(m)+((0.0113*(N(m))^2)/N(1));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0113*(N(m))^2+0.0113*(n(m+1))^2)/N(
1));
end
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1960 2500 0 12])
p=1900:2500;
Z(1)=1.6024;
b=length(p);
for i=1:b-1;
z(i+1)=Z(i)+(163/((1995-p(i))^2+45^2));
Z(i+1)=Z(i)+0.5*((163/((1995-
p(i))^2+45^2))+(163/((1995-p(i+1))^2+45^2)));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
figure
plot(p,Z)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1900 2500 0 12])
4. Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa dengan Modifikasi
Aturan trapesium
clear
clc
close all
o=1960:2100;
N(1)=3.0402;
h=1;
k=length(o);
for m=1:k-1;
n(m+1)=N(m)+h/2*((0.0113*(N(m))^2)/N(1));
q(m+1)=h/2*((0.0113*(n(m+1))^2)/N(1));
N(m+1)=n(m+1)+h/2*((0.0113*(n(m+1)+q(m+1))^2)/N(1));
end
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1960 2500 0 12])
p=1900:2500;
Z(1)=1.6024;
h=1;
b=length(p);
for i=1:b-1
z(i+1)=Z(i)+h/2*(163/((1995-p(i))^2+45^2));
j(i+1)=h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));
Z(i+1)=z(i+1)+h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));
end
figure
plot(p,Z)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1900 2500 0 12])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Aturan Trapesium
clc
clear
close all
t=0:600;
N(1)=1.656;
o=1900:2500;
k=length(o);
for m=1:k-1;
n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-
(N(1))))))));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-
(N(1))))))))+...
(0.0257*(n(m+1))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1)-N(1))*exp(-0.51*(n(m+1)-
(N(1)))))))));
end
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
6. Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Aturan
Trapesium
clear
clc
close all
t=0:700;
l=1800:1920;
o=1800:2500;
n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
N(1:121)=n(1:121)
k=length(t);
for m=121:k-1
n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))))...
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(121)))))))));
end
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1920 2500 0 9])
7. Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Modifikasi Aturan
Trapesium
clc
clear
close all
t=0:600;
N(1)=1.656;
o=1900:2500;
k=length(o);
for m=1:k-1;
n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-
(N(1))))))));
z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1)-N(1))*exp(-0.51*(n(m+1)-
(N(1))))))));
N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1)+z(m+1))^2*(1-
((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1)+z(m+1))-N(1))*exp(-
0.51*((n(m+1)+z(m+1))-(N(1))))))));
end
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
8. Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Modifikasi
Aturan Trapesium
clc
clear
close all
t=0:800;
l=1700:1920;
o=1700:2500;
N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
k=length(o);
for i=120:220;
n(i+1)=N(i)+1/2*(0.0257*(N(i-25))^2*(1-
(N(i)/(5.2+0.85*(N(i-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(i-100)-
(N(121))))))));
z(i+1)=1/2*(0.0257*(n(i+1-25))^2*(1-
(n(i+1)/(5.2+0.85*(n(i+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(i+1-
100)-(N(121))))))));
end
for m=221:k-1;
n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(221))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(221))))))));
z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(221))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(221))))))));
N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1-25)+z(m+1-
25))^2*(1-((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1-30)+z(m+1-
30))-N(221))*exp(-0.51*((N(m+1-100)+z(m+1-100))-
(N(221))))))));
End
plot(o,N)
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1920 2500 0 9])
9. Perbandingan Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dan dengan
Waktu Tunda Menggunakan Metode Euler
clear
clc
close all
t=0:580;
P(1)=163/45*(pi/2-atan((1995-1920)/45));
q=1920:2500;
k=length(q);
for m=1:k-1;
P(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-
(P(1))))))));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t=0:700;
l=1800:1920;
o=1800:2500;
N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
k=length(t);
for m=121:k-1
N(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))));
end
plot(q,P,'r',o,N,'b')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
axis([1920 2500 0 10])
legend('tanpa waktu tunda','dengan waktu tunda')
grid on
10. Perbandingan Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dan dengan
Waktu Tunda Menggunakan Metode Heun(Aturan Trapesium)
clc
clear
close all
t=0:580;
P(1)=163/45*(pi/2-atan((1995-1920)/45));
q=1920:2500;
k=length(q);
for m=1:k-1;
p(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-
(P(1))))))));
P(m+1)=P(m)+0.5*((0.0257*(P(m))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-
(P(1))))))))+...
(0.0257*(p(m+1))^2*(1-
(p(m+1)/(5.2+0.85*(p(m+1)-P(1))*exp(-0.51*(p(m+1)-
(P(1)))))))));
end
t=0:700;
l=1800:1920;
o=1800:2500;
n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
N(1:121)=n(1:121)
k=length(t);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
for m=121:k-1
n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))))...
+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(121)))))))));
end
plot(q,P,'r',o,N,'b')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
axis([1920 2500 0 10])
legend('tanpa waktu tunda','dengan waktu tunda')
grid on
11. Perbandingan Metode Euler dan Metode Heun(Aturan Trapesium) pada
Model Dolgonosov tanpa waktu tunda
clc
clear
close all
t=0:600;
P(1)=1.656;
q=1900:2500;
k=length(q);
for m=1:k-1;
p(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-
(P(1))))))));
P(m+1)=P(m)+0.5*((0.0257*(P(m))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-
(P(1))))))))+...
(0.0257*(p(m+1))^2*(1-
(p(m+1)/(5.2+0.85*(p(m+1)-P(1))*exp(-0.51*(p(m+1)-
(P(1)))))))));
end
t=0:600;
N(1)=1.656;
o=1900:2500;
k=length(q);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
for m=1:k-1;
N(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-P(1))*exp(-0.51*(N(m)-
(N(1))))))));
end
plot(q,P,'r',o,N,'b')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
legend('metode heun','metode euler')
grid on
12. Perbandingan Metode Euler dan Metode Heun(Aturan Trapesium) pada
Model Dolgonosov dengan waktu tunda
clc
clear
close all
t=0:700;
l=1800:1920;
o=1800:2500;
n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
N(1:121)=n(1:121)
k=length(t);
for m=121:k-1
n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))))...
+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(121)))))))));
end
t=0:700;
l=1800:1920;
q=1800:2500;
P=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
k=length(t);
for m=121:k-1
P(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m-25))^2*(1-
(P(m)/(5.2+0.85*(P(m-30)-P(121))*exp(-0.51*(P(m-100)-
(P(121))))))));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
plot(o,N,'r',q,P,'b')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
axis([1920 2500 0 10])
legend('metode heun','metode euler')
grid on
13. Perbandingan Model Kapitsa dengan Data Asli dan Perbandingan
Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Data Asli
clc
clear
close all
waktu=1950:2020;
asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730
2.8224 2.8733 ...
2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740
3.3396 ...
3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517
3.9278 ...
4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580
4.5370 ...
4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454
5.2374 ...
5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249
5.9050 ...
5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612
6.5419 ...
6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258
7.2106 ...
7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135
7.7948];
t=1900:1:2500;
c=163;
b=45;
K2=c/b;
N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)
plot(t,N)
hold on
plot(waktu,asli,'r*')
ekap=abs((asli-N(51:121))./asli);
msekap=(asli-N(51:121)).^2;
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1950 2020 0 8])
legend('Model Kapitsa','Data Asli')
figure
hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
j=1960:1:2048;
z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960));
plot(j,z,'b')
plot(waktu,asli,'r*')
hold on
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
ehiper=abs((asli(11:71)-z(1:61))./asli(11:71));
msehiper=(asli(11:71)-N(11:71)).^2;
axis([1960 2020 0 10])
legend('Model Pertumbuhan Hiperbolik','Data Asli')
erkapitsa=0;
for e=1:length(ekap)
erkapitsa=erkapitsa+ekap(e);
end
msk=0;
for E=1:length(msekap)
msk=msk+msekap(E);
end
erhiper=0;
for w=1:length(ehiper)
erhiper=erhiper+ehiper(w);
end
msh=0;
for W=1:length(msehiper)
msh=msh+msehiper(W);
end
rata2galatrelatifkapitsa=erkapitsa/length(ekap)
MSEkapitsa=msk/length(msekap)
rata2galatrelatifhiperbolik=erhiper/length(ehiper)
MSEhiperbolik=msh/length(msehiper)
14. Perbandingan Model Kapitsa dengan Aturan Trapesium dan
Perbandingan Model Kapitsa dengan Modifikasi Aturan Trapesium
clc
clear
close all
t=1900:1:2500;
c=163;
b=45;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
K2=c/b;
N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)
plot(t,N)
p=1900:2500;
Z(1)=1.6024;
b=length(p);
for i=1:b-1;
z(i+1)=Z(i)+(163/((1995-p(i))^2+45^2));
Z(i+1)=Z(i)+0.5*((163/((1995-
p(i))^2+45^2))+(163/((1995-p(i+1))^2+45^2)));
end
hold on
plot (p,Z,'r')
grid on
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
legend('Penyelesaian Analitik', 'Aturan trapesium')
sel=(N-Z).^2;
err=abs((N-Z)./N);
seldat=0;
for q=1:length(N)
seldat=seldat+sel(q);
end
erA=0;
for Q=1:length(N)
erA=erA+err(Q);
end
MSEdenganaturantrapesium=seldat/length(N)
rata2eraturantrapesium=erA/length(N)
p=1900:2500;
C(1)=1.6024;
h=1;
for i=1:b-1
c(i+1)=C(i)+h/2*(163/((1995-p(i))^2+45^2));
j(i+1)=h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));
C(i+1)=c(i+1)+h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));
end
figure
plot(t,N,'b',p,C,'r')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
legend('Penyelesaian Analitik', 'Modifikasi Aturan
trapesium')
grid on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
slh=(N-C).^2;
slhdat=0;
for r=1:length(N)
slhdat=slhdat+slh(r);
end
errM=abs((N-C)./N);
erM=0;
for R=1:length(N)
erM=erM+errM(R);
end
MSEdenganmodifikasiaturantrapesium=slhdat/length(N)
rata2ermodifikasiaturantrapesium=erM/length(N)
15. Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Aturan
Trapesium dan Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan
Modifikasi Aturan Trapesium
clc
clear
close all
j=1960:1:2048;
z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960));
o=1960:2048;
G(1)=3.0402;
k=length(o);
for m=1:k-1;
g(m+1)=G(m)+((0.0113*(G(m))^2)/G(1));
G(m+1)=G(m)+0.5*((0.0113*(G(m))^2+0.0113*(g(m+1))^2)/G(
1));
end
plot(j,z,'b',o,G,'r')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk (miliar)')
legend('Penyelesaian Analitik','Aturan Trapesium')
axis([1960 2500 0 12])
grid on
sel=(z-G).^2;
seldat=0;
for q=1:length(z)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
seldat=seldat+sel(q);
end
errA=abs((z-G)./z);
erA=0;
for Q=1:length(z)
erA=erA+errA(Q);
end
MSEdenganaturantrapesium=seldat/length(z)
rata2eraturantrapesium=erA/length(z)
N(1)=3.0402;
h=1;
for m=1:k-1;
n(m+1)=N(m)+h/2*((0.0113*(N(m))^2)/N(1));
q(m+1)=h/2*((0.0113*(n(m+1))^2)/N(1));
N(m+1)=n(m+1)+h/2*((0.0113*(n(m+1)+q(m+1))^2)/N(1));
end
figure
plot(j,z,'b',o,N,'r')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk (miliar)')
legend('Penyelesaian Analitik','Modifikasi Aturan
Trapesium')
axis([1960 2500 0 12])
grid on
seel=(z-N).^2;
seeldat=0;
for r=1:length(z)
seeldat=seeldat+seel(r);
end
errM=abs((z-N)./z);
erM=0;
for R=1:length(z)
erM=erM+errM(R);
end
MSEdenganmodifikasiaturantrapesium=seeldat/length(z)
rata2ermodifikasiaturantrapesium=erM/length(z)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16. Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu tunda Menggunakan
Aturan Trapesium dan Data Asli
clear
clc
close all
t=0:700;
l=1800:1920;
o=1800:2500;
n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
N(1:121)=n(1:121);
k=length(t);
for m=121:k-1
n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))));
N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(121))))))))...
+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(121)))))))));
end
waktu=1950:2020;
asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730
2.8224 2.8733 ...
2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740
3.3396 ...
3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517
3.9278 ...
4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580
4.5370 ...
4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454
5.2374 ...
5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249
5.9050 ...
5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612
6.5419 ...
6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258
7.2106 ...
7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135
7.7948];
plot(o,N,'b')
hold on
plot(waktu,asli,'r*')
legend('model dolgonosov','data asli')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
grid on
axis([1950 2020 0 9])
erdat=abs((asli-N(151:221))./asli);
er=0;
for e=1:length(erdat)
er=er+erdat(e);
end
msdat=(asli-N(151:221)).^2;
msedat=0;
for E=1:length(msdat)
msedat=msedat+msdat(E);
end
rata2galatrelatif=er/length(erdat)
MSE=msedat/length(msdat)
17. Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu tunda Menggunakan
Modifikasi Aturan Trapesium dan Data Asli
clc
clear
close all
t=0:800;
l=1700:1920;
o=1700:2500;
N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));
k=length(o);
for i=120:220;
n(i+1)=N(i)+1/2*(0.0257*(N(i-25))^2*(1-
(N(i)/(5.2+0.85*(N(i-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(i-100)-
(N(121))))))));
z(i+1)=1/2*(0.0257*(n(i+1-25))^2*(1-
(n(i+1)/(5.2+0.85*(n(i+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(i+1-
100)-(N(121))))))));
end
for m=221:k-1;
n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m-25))^2*(1-
(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(221))*exp(-0.51*(N(m-100)-
(N(221))))))));
z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-
(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(221))*exp(-0.51*(n(m+1-
100)-(N(221))))))));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1-25)+z(m+1-
25))^2*(1-((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1-30)+z(m+1-
30))-N(221))*exp(-0.51*((N(m+1-100)+z(m+1-100))-
(N(221))))))));
end
waktu=1950:2020;
asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730
2.8224 2.8733 ...
2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740
3.3396 ...
3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517
3.9278 ...
4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580
4.5370 ...
4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454
5.2374 ...
5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249
5.9050 ...
5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612
6.5419 ...
6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258
7.2106 ...
7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135
7.7948];
plot(o,N,'b')
hold on
plot(waktu,asli,'r*')
legend('model dolgonosov','data asli')
xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')
grid on
axis([1950 2020 0 9])
erdat=abs((asli-N(251:321))./asli);
er=0;
for e=1:length(erdat)
er=er+erdat(e);
end
msdat=(asli-N(251:321)).^2;
msedat=0;
for E=1:length(msdat)
msedat=msedat+msdat(E);
end
rata2galatrelatif=er/length(erdat)
MSE=msedat/length(msdat)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI