model matematis dinamika pertumbuhan populasi dunia

118
MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Oleh: Stanislaus Warih Priyo Tomo 163114033 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2020 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Upload: others

Post on 26-Oct-2021

15 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN

POPULASI DUNIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Stanislaus Warih Priyo Tomo

163114033

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

i

MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN

POPULASI DUNIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Stanislaus Warih Priyo Tomo

163114033

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

ii

MATHEMATICAL MODEL OF WORLD POPULATION

GROWTH DYNAMICS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by

Stanislaus Warih Priyo Tomo

163114033

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam

segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan

syukur.

Filipi 4:6

Skirpsi ini saya persembahkan untuk kedua orang tua tercinta,

Petrus Purwanta dan Sri Suprihati

serta kakak saya,

Theresia Dhian Puspita

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

viii

ABSTRAK

Model kependudukan adalah model matematis yang merepresentasikan

pertumbuhan populasi dalam bentuk matematika. Pada skripsi ini akan dibahas

tentang model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model Dolgonosov.

Model tersebut akan diselesaikan secara analitik untuk model yang mempunyai

penyelesaian analitik dan menggunakan metode numerik untuk semua model.

Metode numerik yang akan digunakan adalah metode Euler, aturan trapesium untuk

persamaan diferensial biasa, dan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan

diferensial biasa. Penyelesaian dari metode ini digunakan untuk memperkirakan

jumlah penduduk dunia di tahun mendatang. Skripsi ini menghasilkan perkiraan

jumlah populasi penduduk dunia untuk model Kapitsa dan model Dolgonosov,

sedangkan untuk model pertumbuhan hiperbolik adalah model yang tidak realistik.

Kata kunci : Model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, model Dolgonosov.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

ix

ABSTRACT

The population model is a mathematical modelling that represents

population growth in mathematical form. In thesis we discuss about hyperbolic

growth model, Kapitsa model, and Dolgonosov model. The model will be solved

analytically for a model that has a solution and using numerical method for all

model. The numerical method used is Euler method, trapezoidal rule for ordinary

differential equation, and modified trapezoidal rule for ordinary differential

equation. Solution of this method is used to predict the number of world population

in the coming year. This thesis produces an estimate of the world’s population for

the Kapitsa model and Dolgonosov model, while the hyperbolic growth model is

an unrealistic model.

Keywords : Hyperbolic growth model, Kapitsa model, Dolgonosov model.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena limpahan rahmat-Nya

penulis bisa menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini disusun sebagai

salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika dari Program Studi

Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis sadar bahwa selama penulisan skripsi ini banyak pihak yang telah

terlibat hingga dapat diselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains

dan Teknologi, sekaligus sebagai dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak

Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Bapak Ricky Aditya, M.Sc.,

selaku dosen Prodi Matematika yang telah memberi pengetahuan kepada

penulis selama masa perkuliahan.

5. Bapak/Ibu karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika

dengan penulis selama masa perkuliahan.

6. Kedua orang tua, dan kakak yang telah mendukung dan mendoakan penulis

sehingga dapat menyusun skripsi ini.

7. Teman-teman dan orang-orang yang dekat dengan penulis: Aji, Gabby, Egi,

Reinald, Dani, Ikhsan, Pandu, Tasya, Leo, Shinta, om dan tante Ros yang telah

mendukung dan memberi semangat dalam proses pengerjaan skripsi.

8. Teman-teman Matematika 16 yang telah berdinamika dengan penulis selama

proses perkuliahan.

9. Semua pihak yang penulis tidak dapat disebut satu per satu atas dukungan

dalam penyusunan skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

TITLE PAGE ...................................................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................ vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................ x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. Latar Belakang .................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .............................................................................. 3

C. Batasan Masalah ................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................ 4

E. Manfaat Penulisan .............................................................................. 4

F. Metode Penulisan ............................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4

BAB II PEMODELAN MATEMATIS .............................................................. 6

A. Persamaan Diferensial Biasa .............................................................. 6

1. Turunan Fungsi ....................................................................... 6

2. Integral Fungsi ...................................................................... 18

3. Persamaan Diferensial .......................................................... 21

B. Pemodelan Matematis ...................................................................... 25

C. Metode Numerik ............................................................................... 27

1. Metode Euler ........................................................................ 27

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

xiii

2. Metode Heun (Aturan Trepesium untuk

Persamaan Diferensial Biasa) ............................................... 28

3. Modifikasi Aturan Trapesium untuk

Persamaan Diferensial Biasa ................................................ 30

D. Verifikasi Model ............................................................................... 31

BAB III MODEL KEPENDUDUKAN ............................................................ 32

A. Model Pertumbuhan Hiperbolik ....................................................... 32

B. Model Kapitsa .................................................................................. 35

C. Model Dolgonosov ........................................................................... 39

D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium ............................... 45

1. Aturan Trapesium untuk Persamaan

Diferensial Biasa................................................................... 46

2. Modifikasi Aturan Trapesium untuk

Persamaan Diferensial Biasa ................................................ 60

BAB IV ANALISIS GALAT............................................................................ 76

A. Analisis Galat Metode Euler............................................................. 76

B. Analisis Galat Aturan Trapesium ..................................................... 78

C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium ................................... 80

BAB V PENUTUP ............................................................................................ 84

A. Kesimpulan ....................................................................................... 84

B. Saran ................................................................................................. 85

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pertumbuhan ekonomi yang luar biasa dan perubahan geopolitik yang ter-

jadi pada abad ke-20 disebabkan oleh ledakan populasi yang belum pernah terjadi.

Ledakan jumlah penduduk itu terjadi dari 1,656 miliar penduduk pada tahun 1900

menjadi 6,055 miliar di tahun 2000 (Akaev and Sadovnichii, 2010). Sedangkan

penggunaan sumber daya alam secara intensif yang disebabkan oleh pertumbuhan

tajam populasi dunia menyebabkan kerusakan biosfer bumi, pencemaran ling-

kungan, dan akhirnya kerusakan kondisi lingkungan yang akan menimbulkan

ancaman serius bagi manusia. Hal ini mendorong pengembangan model matematis

yang mampu menunjukkan batas ekspansi manusia dalam biosfer dan kendala

global maupun lokal berdasarkan keadaan lingkungan pada populasi dunia.

Pada pertengahan abad ke-20, data yang ada menujukkan populasi dunia

dapat dirumuskan dengan model pertumbuhan hiperbolik (Hathout, 2013)

𝑁(𝑑) =𝑁0

1 βˆ’ π‘˜π‘‘ (1.1)

dengan 𝑁(𝑑) adalah populasi penduduk saat 𝑑, 𝑁0 adalah populasi awal, π‘˜ adalah

konstanta, dengan 0 < π‘˜ < 1 dan 𝑑 adalah waktu dalam tahun masehi.

Analisis hukum pertumbuhan hiperbolik populasi dunia yang menghu-

bungkan ukuran populasi dunia dan perkembangan manusia, menyarankan suatu

mekanisme kerja sama ukuran perkembangan yang direpresentasikan oleh kuadrat

ukuran populasi. Karena alasan tersebut, Kapitsa (1992) mengusulkan ketergan-

tungan kuadratik untuk laju pertumbuhan penduduk

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑁2

𝐢= π‘Žπ‘2 (1.2)

dengan 𝐢 adalah konstanta, π‘Ž = 1/𝐢 dan 𝑁 adalah populasi penduduk.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

2

Untuk menggambarkan transisi demografis global, Kapitsa menyusun kem-

bali persamaaannya dan memperkenalkan 𝜏 yang merupakan karakteristik umur

hidup manusia, untuk membatasi tingkatan pertumbuhan penduduk. Model yang

ditemukan oleh Kapitsa menjadi

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2 (1.3)

𝑁 = 𝐾2 arccot (𝑇1 βˆ’ 𝑑

𝜏) (1.4)

dengan 𝐾2 = 𝐢/𝜏, 𝑇1 adalah konstanta, dan 𝑑 adalah waktu dalam tahun masehi.

Setelah itu, Dolgonosov (2009) melengkapi persamaan yang didapat oleh

Kapitsa. Menurut Dolgonosov, ukuran populasi ditentukan oleh π‘ž tingkat produksi

informasi:

π‘‘π‘ž

𝑑𝑑= πœ”π‘ (1.5)

dengan Ο‰ adalah tingkat rata-rata pemrosesan informasi oleh manusia.

Model Dolgonosov untuk ukuran populasi dunia adalah:

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘2 [1 βˆ’

𝑁

𝐾(π‘ž)] (1.6)

𝐾(π‘ž) =𝑁𝑐

1 βˆ’ exp (βˆ’π›Όπ‘žπ‘žπ‘

) (1.7)

dengan π‘Ÿ =πœ”

π‘ž adalah koefisien pertumbuhan populasi dunia, 𝐾(π‘ž) adalah kapasitas

lingkungan seketika, 𝑁𝑐 =π‘žπ‘

πœ”π‘‘π‘ daya muat dari biosfer bumi, π‘žπ‘ dan 𝑑𝑐 adalah

karaktersitik skala jumlah, 𝛼 adalah konstanta dan 𝑁 adalah populasi penduduk

dunia.

Gorshkov (1995) memperkirakan, populasi dunia mengkonsumsi sekitar

22-23% biomassa planet. Pengaruh teknologi pendukung kehidupan dimulai pada

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

3

abad ke-19 ketika populasi dunia mencapai 1 miliar. Untuk memperhitungkan

keadaan ini 𝐾(π‘ž) pada persamaan (1.6) menjadi

𝐾 = 𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁 βˆ’ 𝑁0) exp[βˆ’πœ…(𝑁 βˆ’ 𝑁0)] (1.8)

dengan 𝑁𝑐 adalah daya muat biosfer, 𝛾 dan πœ… adalah konstanta, dan 𝑁0 adalah po-

pulasi awal.

Skripsi ini membahas penerapan pemodelan matematis dalam mem-

perkirakan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang. Model-model

pertumbuhan hiperbolik, Kapitsa dan Dolgonosov, digunakan untuk mem-

perkirakan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana menyusun model matematis untuk memprediksi jumlah

penduduk dunia?

2. Berapa perkiraan jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun mendatang?

C. Batasan Masalah

Skripsi ini dibatasi oleh model pertumbuhan penduduk dan metode numerik

sebagai berikut:

1. Model pertumbuhan hiperbolik

2. Model Kapitsa

3. Model Dolgonosov

4. Metode Euler

5. Aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa

6. Modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

4

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini, untuk mengetahui teori dasar dan

penerapan pemodelan matematis dalam bidang kependudukan. Skripsi ini akan

difokuskan untuk memprediksi jumlah penduduk dunia pada tahun-tahun

mendatang menggunakan penyelesaian analitik dan metode numerik dengan

menggunakan model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, model Dolgonosov.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mengetahui penerapan pemodelan matematis pada bidang kependu-

dukan.

2. Mengetahui pembentukan model kependudukan.

3. Dapat memperkirakan pertumbuhan penduduk dunia.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan

dengan model pertumbuhan penduduk.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

5

BAB II PEMODELAN MATEMATIS

A. Persamaan Diferensial Biasa

B. Pemodelan Matematis

C. Metode Numerik

D. Verifikasi Model

BAB III MODEL KEPENDUDUKAN

A. Model Pertumbuhan Hiperbolik

B. Model Kapitsa

C. Model Dolgonosov

D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium

BAB IV ANALISIS GALAT

A. Analisis Galat Metode Euler

B. Analisis Galat Aturan Trapesium

C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

6

BAB II

PEMODELAN MATEMATIS

A. Persamaan Diferensial Biasa

Pada Subbab ini sebelum membahas tentang persamaan diferensial, terlebih

dahulu akan membahas tentang turunan dan integral fungsi.

1. Turunan Fungsi

Definisi turunan fungsi dengan menggunakan limit (Larson and Edwards,

2009)

Definisi 2.1

Turunan dari fungsi 𝑓 dinyatakan dengan 𝑓′ yang didefinisikan

𝑓′(π‘₯) = limβˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯

di setiap titik π‘₯ sehingga limit ada dan hingga.

Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut diferensiasi

(differentiation). Suatu fungsi dikatakan terdiferensial (differentiable) pada π‘₯ jika

fungsi tersebut mempunyai turunan pada π‘₯ dan suatu fungsi dikatakan terdiferensial

pada interval (π‘Ž, 𝑏) jika fungsi mempunyai turunan untuk setiap titik pada interval.

Notasi untuk menunjukan turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑓(π‘₯) yaitu 𝑓’(π‘₯). Selain notasi

tersebut, notasi lain yang digunakan untuk menunjukan turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(π‘₯),

yang umumnya digunakan yaitu (Larson and Edwards, 2009)

𝑓′(π‘₯),𝑑𝑦

𝑑π‘₯, 𝑦′,

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯)], 𝐷π‘₯[𝑦] (2.1)

Contoh 2.1

Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan dari fungsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

7

a) 𝑓(π‘₯) = π‘₯2

b) 𝑔(π‘₯) =1

π‘₯

Penyelesaian

a) Untuk fungsi 𝑓(π‘₯) = π‘₯2

𝑓′(π‘₯) = limβˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

(π‘₯ + βˆ†π‘₯)2 βˆ’ π‘₯2

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

2π‘₯ βˆ™ βˆ†π‘₯ + βˆ†π‘₯2

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

(2π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 2π‘₯

b) Untuk fungsi 𝑔(π‘₯) =1

π‘₯

𝑔′(π‘₯) = limβˆ†π‘₯β†’0

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

β„Ž

= limβˆ†π‘₯β†’0

1π‘₯ + βˆ†π‘₯ βˆ’

1π‘₯

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

π‘₯ βˆ’ (π‘₯ + βˆ†π‘₯)

βˆ†π‘₯(π‘₯ + βˆ†π‘₯)π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

βˆ’1

(π‘₯ + βˆ†π‘₯)π‘₯= βˆ’

1

π‘₯2 ∎

Setelah mengetahui definisi dari turunan menggunakan limit, akan dibahas

sifat-sifat dari turunan fungsi (Larson and Edwards, 2009).

Teorema 2.1

Turunan dari fungsi konstan adalah nol. Jika 𝑐 merupakan bilangan real maka

𝑑

𝑑π‘₯[𝑐] = 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

8

Bukti

Misalkan 𝑓(π‘₯) = 𝑐, dengan menggunakan definisi limit pada turunan didapat

𝑑

𝑑π‘₯[𝑐] = 𝑓′(π‘₯)

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑐 βˆ’ 𝑐

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

0 = 0 ∎

Contoh 2.2

Tentukan turunan dari fungsi

i. 𝑦 = 7

ii. 𝑓(π‘₯) = βˆ’3

iii. 𝑦 = π‘˜πœ‹, dengan π‘˜ adalah konstanta

Penyelesaian

Dengan menggunakan teorema didapat

i. 𝑦′ = 0

ii. 𝑓′(π‘₯) = 0

iii. 𝑑𝑦

𝑑π‘₯= 0

Teorema 2.2

Jika 𝑓 fungsi terdiferensial dan 𝑐 adalah bilangan real, maka 𝑐𝑓 juga terdiferensial

dan 𝑑

𝑑π‘₯[𝑐𝑓(π‘₯)] = 𝑐𝑓′(π‘₯)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

9

Bukti

𝑑

𝑑π‘₯[𝑐𝑓(π‘₯)] = lim

βˆ†β†’0

𝑐𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑐𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†β†’0

𝑐 [𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= 𝑐limβˆ†β†’0

[𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= 𝑐𝑓′(π‘₯) ∎

Teorema 2.3

Jumlahan dan pengurangan dua fungsi yang terdiferensial, juga merupakan fungsi

yang terdiferensial

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯) + 𝑔(π‘₯)] = 𝑓′(π‘₯) + 𝑔′(π‘₯)

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)] = 𝑓′(π‘₯) βˆ’ 𝑔′(π‘₯)

Bukti

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯) Β± 𝑔(π‘₯)] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) Β± 𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)] βˆ’ [𝑓(π‘₯) Β± 𝑔(π‘₯)]

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯Β±

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯Β± lim

βˆ†π‘₯β†’0

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= 𝑓′(π‘₯) Β± 𝑔′(π‘₯) ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

10

Teorema 2.4

Turunan dari perkalian dua fungsi yang terdiferensial, juga merupakan fungsi yang

terdiferensial.

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯)] = 𝑓(π‘₯)𝑔′(π‘₯) + 𝑔(π‘₯)𝑓′(π‘₯)

Bukti

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯)] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯) + 𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯+ 𝑔(π‘₯)

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= 𝑓(π‘₯)𝑔′(π‘₯) + 𝑔(π‘₯)𝑓′(π‘₯) ∎

Teorema 2.5

Pembagian dari dua fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang terdiferensial, juga merupakan fungsi

terdiferensial, dengan semua nilai π‘₯ pada 𝑔(π‘₯) β‰  0

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯)

𝑔(π‘₯)] =

𝑔(π‘₯)𝑓′(π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔′(π‘₯)

[𝑔(π‘₯)]2, 𝑔(π‘₯) β‰  0

Bukti

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(π‘₯)

𝑔(π‘₯)] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

βˆ’π‘“(π‘₯)𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑔(π‘₯)𝑓(𝑋 + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

βˆ†π‘₯𝑔(π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

11

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑔(π‘₯)𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯) + 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

βˆ†π‘₯𝑔(π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑔(π‘₯)[𝑓(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)]

βˆ†π‘₯ βˆ’ 𝑓(π‘₯)[𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)]

βˆ†π‘₯𝑔(π‘₯)𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)

=𝑔(π‘₯)𝑓′(π‘₯) βˆ’ 𝑓(π‘₯)𝑔′(π‘₯)

[𝑔(π‘₯)]2 ∎

Teorema 2.6

jika 𝑛 adalah bilangan rasional, maka fungsi 𝑓(π‘₯) = π‘₯𝑛 terdiferensial dan

𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯𝑛] = 𝑛π‘₯π‘›βˆ’1

Bukti

Kasus I: untuk 𝑛 β‰₯ 0, 𝑛 ∈ β„€

Jika 𝑛 = 0 maka 𝑓(π‘₯) = π‘₯0 = 1, karena π‘₯0 adalah konstan, menurut teorema 2.1

𝑓′(π‘₯) = 0

jika 𝑛 > 0, maka

𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯𝑛] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

(π‘₯ + βˆ†π‘₯)𝑛 βˆ’ π‘₯𝑛

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

π‘₯𝑛 + 𝑛π‘₯π‘›βˆ’1(βˆ†π‘₯) +𝑛(𝑛 βˆ’ 1)π‘₯π‘›βˆ’2

2 (βˆ†π‘₯)2 + β‹― + (βˆ†π‘₯)𝑛 βˆ’ π‘₯𝑛

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

𝑛π‘₯π‘›βˆ’1 +𝑛(𝑛 βˆ’ 1)π‘₯π‘›βˆ’2

2(βˆ†π‘₯) + β‹― + (βˆ†π‘₯)π‘›βˆ’1

= 𝑛π‘₯π‘›βˆ’1

Kasus II: Untuk 𝑛 bilangan bulat negatif

Misalkan 𝑛 = βˆ’π‘˜

𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯𝑛] =

𝑑

𝑑π‘₯[

1

π‘₯π‘˜]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

12

=π‘₯π‘˜(0) βˆ’ (1)(π‘˜π‘₯π‘˜βˆ’1)

(π‘₯π‘˜)2

=0 βˆ’ π‘˜π‘₯π‘˜βˆ’1

π‘₯2π‘˜

= βˆ’π‘˜π‘₯βˆ’π‘˜βˆ’1

= 𝑛π‘₯π‘›βˆ’1

Kasus III: untuk 𝑛 bilangan rasional, bukti akan dibahas setelah teorema mengenai

aturan rantai. ∎

Contoh 2.3

Tentukan turunan dari fungsi berikut

i. 𝑓(π‘₯) = π‘₯3

ii. 𝑔(π‘₯) = (3π‘₯ βˆ’ 2π‘₯2)(5 + 4π‘₯), dengan menggunakan aturan perkalian

iii. β„Ž(π‘₯) =5π‘₯βˆ’2

π‘₯2+1

Penyelesaian

i. 𝑓′(π‘₯) =𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯3] = 3π‘₯2

ii. 𝑔′(π‘₯) = (3π‘₯ βˆ’ 2π‘₯2)𝑑

𝑑π‘₯(5 + 4π‘₯) + (5 + 4π‘₯)

𝑑

𝑑π‘₯(3π‘₯ βˆ’ 2π‘₯2)

= (3π‘₯ βˆ’ 2π‘₯2)(4) + (5 + 4π‘₯)(3 βˆ’ 4π‘₯)

= 12π‘₯ βˆ’ 8π‘₯2 + 15 βˆ’ 8π‘₯ βˆ’ 16π‘₯2

= βˆ’24π‘₯2 + 4π‘₯ + 15

iii. β„Žβ€²(π‘₯) =(π‘₯2+1)

𝑑

𝑑π‘₯[5π‘₯βˆ’2]βˆ’(5π‘₯βˆ’2)

𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯2+1]

(π‘₯2+1)2

=(π‘₯2 + 1)(5) βˆ’ (5π‘₯ βˆ’ 2)(2π‘₯)

(π‘₯2 + 1)2

=5π‘₯2 + 5 βˆ’ 10π‘₯2 + 4π‘₯

(π‘₯2 + 1)2

=βˆ’5π‘₯2 + 4π‘₯ + 5

(π‘₯2 + 1)2 ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

13

Teorema 2.7 Aturan Rantai

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑒) adalah fungsi terdiferensial di 𝑒 dan 𝑒 = 𝑔(π‘₯) adalah fungsi

terdiferensial di π‘₯, maka 𝑦 = 𝑓(𝑔(π‘₯)) adalah fungsi terdiferensial di π‘₯ dan

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

𝑑𝑦

π‘‘π‘’βˆ™

𝑑𝑒

𝑑π‘₯

atau ekivalen

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(𝑔(π‘₯))] = 𝑓′(𝑔(π‘₯))𝑔′(π‘₯)

Bukti

𝑑

𝑑π‘₯[𝑓(𝑔(π‘₯))] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

𝑓(𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

βˆ†π‘₯] [

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)]

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)] [

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)] βˆ™ lim

βˆ†π‘₯β†’0[𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)

βˆ†π‘₯]

= limβˆ†π‘₯β†’0

[𝑓(𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯)) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯)] βˆ™ 𝑔′(π‘₯)

misal π‘˜ = 𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) βˆ’ 𝑔(π‘₯), didapat 𝑔(π‘₯ + βˆ†π‘₯) = 𝑔(π‘₯) + π‘˜, dan βˆ†π‘₯ β†’ 0

akibatnya π‘˜ β†’ 0, sehingga

= limπ‘˜β†’0

[𝑓(𝑔(π‘₯) + π‘˜) βˆ’ 𝑓(𝑔(π‘₯))

π‘˜] βˆ™ 𝑔′(π‘₯)

= 𝑓′(𝑔(π‘₯))𝑔′(π‘₯) ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

14

Setelah membuktikan aturan rantai, akan dibuktikan Teorema 2.6 untuk 𝑛

bilangan rasional. Misalkan 𝑦 = π‘₯𝑛, dimana 𝑛 = 𝑝/π‘ž, 𝑝, π‘ž ∈ β„€, dan π‘ž β‰  0 didapat

𝑦 = π‘₯π‘π‘ž (2.2)

sehingga,

π‘¦π‘ž = π‘₯𝑝 (2.3)

dengan menggunakan aturan rantai dan Teorema 2.6 untuk 𝑛 ∈ β„€ didapat

π‘žπ‘¦π‘žβˆ’1𝑑𝑦

𝑑π‘₯= 𝑝π‘₯π‘βˆ’1 (2.4)

Karena 𝑦 = π‘₯𝑝

π‘ž, persamaan diatas menjadi

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

𝑝π‘₯π‘βˆ’1

π‘žπ‘₯π‘βˆ’

π‘π‘ž

(2.5)

didapat

𝑑𝑦

𝑑π‘₯=

𝑝

π‘žπ‘₯

π‘π‘ž

βˆ’1 (2.6)

jadi untuk 𝑛 bilangan rasional berlaku 𝑦 = π‘₯𝑛, 𝑦′ = 𝑛π‘₯π‘›βˆ’1

Contoh 2.4

Tentukan turunan dari fungsi 𝑦 = √1 βˆ’ π‘₯

Penyelesaian

𝑦 = √1 βˆ’ π‘₯ = (1 βˆ’ π‘₯)12

Dengan menggukanan persamaan (2.6) dan aturan rantai didapat

𝑦′ =1

2(1 βˆ’ π‘₯)βˆ’

12

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

15

dengan bentuk yang lebih sederhana

𝑦′ =1

2√1 βˆ’ π‘₯ ∎

Teorema 2.8

Fungsi turunan trigonometri yaitu

i. 𝑑

𝑑π‘₯[sin π‘₯] = cos π‘₯

ii. 𝑑

𝑑π‘₯[cos π‘₯] = sin π‘₯

iii. 𝑑

𝑑π‘₯[tan π‘₯] = sec2 π‘₯

iv. 𝑑

𝑑π‘₯[sec π‘₯] = sec π‘₯ tan π‘₯

v. 𝑑

𝑑π‘₯[cot π‘₯] = βˆ’ csc2 π‘₯

vi. 𝑑

𝑑π‘₯[csc π‘₯] = βˆ’ csc π‘₯ cot π‘₯

Bukti

i. 𝑑

𝑑π‘₯[sin π‘₯] = lim

βˆ†π‘₯β†’0

sin(π‘₯+βˆ†π‘₯)βˆ’sin(π‘₯)

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

sin π‘₯ cos βˆ†π‘₯ + cos π‘₯ sin βˆ†π‘₯ βˆ’ sin π‘₯

βˆ†π‘₯

= limβˆ†π‘₯β†’0

cos π‘₯ sin βˆ†π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ (1 βˆ’ cos βˆ†π‘₯)

βˆ†π‘₯

= cos π‘₯ limβˆ†π‘₯β†’0

sin βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯βˆ’ sin π‘₯ lim

βˆ†π‘₯β†’0

1 βˆ’ cos βˆ†π‘₯

βˆ†π‘₯

= cos π‘₯ (1) βˆ’ sin π‘₯ (0)

= cos π‘₯

ii. 𝑑

𝑑π‘₯[cos π‘₯] =

𝑑

𝑑π‘₯[sin (

πœ‹

2βˆ’ π‘₯)] = (βˆ’1) cos (

πœ‹

2βˆ’ π‘₯) = βˆ’ sin π‘₯

iii. 𝑑

𝑑π‘₯[tan π‘₯] =

𝑑

𝑑π‘₯[

sin π‘₯

cos π‘₯]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

16

=cos π‘₯

𝑑𝑑π‘₯

[sin π‘₯] βˆ’ sin π‘₯𝑑

𝑑π‘₯[cos π‘₯]

cos2 π‘₯

=cos π‘₯ cos π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ (βˆ’ sin π‘₯)

cos2 π‘₯

=cos2 π‘₯ + sin2 π‘₯

cos2 π‘₯

=1

cos2 π‘₯= sec2 π‘₯

iv. 𝑑

𝑑π‘₯[sec π‘₯] =

𝑑

𝑑π‘₯[

1

cos π‘₯]

= (βˆ’1)(cos π‘₯)βˆ’2𝑑

𝑑π‘₯[cos π‘₯]

= βˆ’ sec2 π‘₯ (βˆ’ sin π‘₯) = sec π‘₯ tan π‘₯

v. 𝑑

𝑑π‘₯[cot π‘₯] =

𝑑

𝑑π‘₯[

1

tan π‘₯]

= (βˆ’1) tanβˆ’2 π‘₯𝑑

𝑑π‘₯[tan π‘₯]

= βˆ’ cot2 π‘₯ sec2 π‘₯ = βˆ’ csc2 π‘₯

vi. 𝑑

𝑑π‘₯[csc π‘₯] =

𝑑

𝑑π‘₯[

1

sin π‘₯]

= (βˆ’1) sinβˆ’2 π‘₯𝑑

𝑑π‘₯[sin π‘₯]

= βˆ’csc2 π‘₯ (cos π‘₯) = βˆ’ csc π‘₯ cot π‘₯ ∎

Contoh 2.5

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

i. 𝑓(π‘₯) = π‘₯ + cos π‘₯

ii. 𝑔(π‘₯) = π‘₯ sec π‘₯

Penyelesaian

i. 𝑓′(π‘₯) = 1 βˆ’ sin π‘₯

ii. 𝑔′(π‘₯) = π‘₯(sec π‘₯ tan π‘₯) + (sec π‘₯)(1) = sec π‘₯ (1 + π‘₯ tan π‘₯) ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

17

Teorema 2.9

Fungsi turunan arccot π‘₯ yaitu

𝑑

𝑑π‘₯[arccot π‘₯] = βˆ’

1

1 + π‘₯2

Bukti

misal 𝑦 = arccot π‘₯ maka cot 𝑦 = π‘₯

𝑑

𝑑π‘₯cot 𝑦 =

𝑑

𝑑π‘₯π‘₯

βˆ’ csc2 𝑦𝑑𝑦

𝑑π‘₯= 1

𝑑𝑦

𝑑π‘₯= βˆ’

1

csc2 𝑦

= βˆ’1

1 + cot2 𝑦

= βˆ’1

1 + π‘₯2

Jadi, didapat

𝑑

𝑑π‘₯[arccot π‘₯] = βˆ’

1

1 + π‘₯2 ∎

Contoh 2.6

Tentukan turunan dari fungsi

y=arccot π‘₯2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

18

Penyelesaian

Dengan menggunakan aturan rantai didapat

𝑦′ = βˆ’1

1 + π‘₯4βˆ™ 2π‘₯ = βˆ’

2π‘₯

1 + π‘₯4 ∎

2. Integral Fungsi

Andaikan terdapat fungsi 𝐹(π‘₯) = π‘₯3, dan menggunakan rumus turunan

dapat diketahui turunan dari 𝐹(π‘₯), yaitu 𝑓(π‘₯) =𝑑

𝑑π‘₯[π‘₯3] = 3π‘₯2. Pada hal ini

dikatakan fungsi 𝐹 adalah anti turunan (π‘Žπ‘›π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’π‘ ) dari 𝑓 (Larson and

Edwards, 2009). Pada sub bab ini hanya akan dibahas mengenai integral tak tentu

atau anti turunan.

Definisi 2.2

Suatu fungsi 𝐹 adalah anti turunan dari fungsi 𝑓 pada interval 𝐼 jika 𝐹’(π‘₯) = 𝑓(π‘₯)

untuk setiap π‘₯ di 𝐼.

Teorema 2.10

Jika 𝐹 adalah anti turunan dari 𝑓 pada interval 𝐼, maka 𝐺 merupakan anti turunan

dari 𝑓 pada imterval 𝐼 jika dan hanya jika G memiliki bentuk persamaan 𝐺(π‘₯) =

𝐹(π‘₯) + 𝐢, untuk setiap π‘₯ pada interval 𝐼, dimana 𝐢 adalah konstanta.

Bukti

Pembuktikan teorema dari kanan ke kiri, Jika 𝐺(π‘₯) = 𝐹(π‘₯) + 𝐢, 𝐹′(π‘₯) = 𝑓(π‘₯) dan

𝐢 konstanta, maka

𝐺′(π‘₯) =𝑑

𝑑π‘₯[𝐹(π‘₯) + 𝐢] = 𝐹′(π‘₯) + 0 = 𝑓(π‘₯)

jadi didapat 𝐺 merupakan anti turunan dari 𝑓.

Untuk membuktikan teorema tersebut dari arah yang lain, andaikan 𝐺 anti turunan

dari 𝑓, didefinisikan fungsi 𝐻 seperti berikut

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

19

𝐻(π‘₯) = 𝐺(π‘₯) βˆ’ 𝐹(π‘₯)

ambil sebarang 2 titik π‘Ž dan 𝑏 (π‘Ž < 𝑏) pada interval, 𝐻 kontinu pada [π‘Ž, 𝑏] dan

terdiferensial pada [π‘Ž, 𝑏], sehingga

𝐻′(𝑐) =𝐻(𝑏) βˆ’ 𝐻(π‘Ž)

𝑏 βˆ’ π‘Ž

untuk 𝑐 pada (π‘Ž, 𝑏). Namun, 𝐻′(𝑐) = 0, sehingga 𝐻(π‘Ž) = 𝐻(𝑏). Karena π‘Ž dan 𝑏

adalah sebarang titik pada interval, dapat di ketahui 𝐻 adalah fungsi konstan 𝐢.

Sehingga, 𝐺(π‘₯) βˆ’ 𝐹(π‘₯) = 𝐢 dan 𝐺(π‘₯) = 𝐹(π‘₯) + 𝐢 ∎

Contoh 2.7

Tentukan penyelesaian dari persamaan 𝑦′ = 2

Penyelesaian

Dengan menggukanan teorema didapat 𝑦 = 2π‘₯ + 𝑐 ∎

Operasi untuk mencari solusi dari persamaan 𝑦′ = 𝑓(π‘₯) disebut anti

turunan atau integral tak tentu yang dinotasikan dengan ∫. Solusi dari persamaan

dinotasikan dengan (Larson and Edwards, 2009)

𝑦 = ∫ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝐹(π‘₯) + 𝐢 (2.7)

notasi ∫ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ disebut anti turunan dari 𝑓 terhadap π‘₯.

Sifat invers dari integral dan turunan dapat diverifikasi dengan mengganti

𝑓(π‘₯) dengan 𝐹′(π‘₯) dalam definisi integral untuk memperoleh (Larson and Edwards,

2009)

𝑦 = ∫ 𝐹′(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝐹(π‘₯) + 𝐢 (2.8)

lebih lanjut, jika ∫ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝐹(π‘₯) + 𝐢, maka

𝑑

𝑑π‘₯[∫ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯] = 𝑓(π‘₯) (2.9)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

20

persamaan tersebut memberikan langsung formula integral dari rumus turunan, se-

perti berikut:

i. ∫ 0𝑑π‘₯ = 𝐢

ii. ∫ 𝑐𝑓(π‘₯)𝑑π‘₯ = 𝑐 ∫ 𝑓(π‘₯)𝑑π‘₯

iii. ∫[𝑓(π‘₯) Β± 𝑔(π‘₯)]𝑑π‘₯ = ∫ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ Β± ∫ 𝑔(π‘₯)𝑑π‘₯

iv. ∫ π‘₯𝑛𝑑π‘₯ =π‘₯𝑛+1

𝑛+1+ 𝐢, 𝑛 β‰  1

v. ∫ cos π‘₯ 𝑑π‘₯ = sin π‘₯ + 𝐢

vi. ∫ sin π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ cos π‘₯ + 𝐢

vii. ∫ sec2 π‘₯ 𝑑π‘₯ = tan π‘₯ + 𝐢

viii. ∫ sec π‘₯ tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = sec π‘₯ + 𝐢

ix. ∫ csc2 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ cot π‘₯ + 𝐢

x. ∫ csc π‘₯ cot π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ csc π‘₯ + 𝐢

Contoh 2.8

Tentukan integral dari fungsi berikut

i. ∫1

π‘₯3 𝑑π‘₯

ii. ∫(π‘₯ + 2)𝑑π‘₯

iii. ∫sin π‘₯

cos2 π‘₯𝑑π‘₯

Penyelesaian

i. ∫1

π‘₯3 𝑑π‘₯ = ∫ π‘₯βˆ’3𝑑π‘₯ =π‘₯βˆ’2

βˆ’2+ 𝐢 = βˆ’

1

2π‘₯2 + 𝐢

ii. ∫(π‘₯ + 2)𝑑π‘₯ = ∫ π‘₯𝑑π‘₯ + ∫ 2 𝑑π‘₯

=π‘₯2

2+ 𝐢1 + 2π‘₯ + 𝐢2

=π‘₯2

2+ 2π‘₯ + 𝐢, 𝐢 = 𝐢1 + 𝐢2

iii. ∫sin π‘₯

cos2 π‘₯𝑑π‘₯ = ∫ (

1

cos π‘₯) (

sin π‘₯

cos π‘₯) 𝑑π‘₯

= ∫ sec π‘₯ tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = sec π‘₯ + 𝐢 ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

21

3. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau

turunan dari suatu fungsi. Penyelesaian dari persamaan diferensial merupakan suatu

fungsi. Persamaan diferensial diperlukan untuk mengetahui dan menyelidiki

fenomena laju perubahan gerak fluida, gerak sistem mekanik, pelepasan panas

benda padat, dinamika populasi, dan sebagainya (Boyce and DiPrima, 2012).

Contoh 2.9

Persamaan berikut merupakan contoh persamaan diferensial

i. 𝑦′ = 𝑦

ii. 𝑦′′ = βˆ’π‘¦

iii. 𝑦′′ = 2𝑦′ + 𝑦

Pada subab ini hanya akan dibahas tentang persamaan diferensial orde satu.

Persamaan diferensial orde satu merupakan persamaan diferensial yang orde

tertinggi turunannya adalah satu. Bentuk umum persamaan diferensial orde satu

(Boyce and DiPrima, 2012)

𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑓(𝑑, 𝑦) (2.10)

dimana 𝑓 merupakan fungsi dari variabel bebas 𝑑 dan variabel terikat 𝑦.

Contoh 2.10

Persamaan berikut merupakan contoh persamaan diferensial orde satu

i. 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 2 βˆ’ 𝑦, dimana 𝑓(𝑑, 𝑦) = 2 βˆ’ 𝑦

ii. 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑦 + 𝑑, dimana 𝑓(𝑑, 𝑦) = 𝑦 + 𝑑

iii. 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑𝑦, dimana 𝑓(𝑑, 𝑦) = 𝑑𝑦

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

22

Contoh 2.11

Persamaan 𝑦′′ = sin(𝑑) βˆ’ 𝑦′ βˆ’ 2𝑦 bukan merupakan persamaan diferensial orde

satu karena turunan orde tertingginya bukan satu.

Pada persamaan diferensial orde satu, salah satu cara menyelesaikan

persamaan dengan menggunakan persamaan diferensial orde satu variabel terpisah.

Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah adalah persamaan dimana 𝑓(𝑑, 𝑦)

dapat ditulis sebagai perkalian dari fungsi 𝑑 dan fungsi 𝑦. Dengan demikian

persamaan diferensial orde satu dapat ditulis (Adkins and Davidson, 2012)

𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑔(𝑑)β„Ž(𝑦) (2.11)

Penyelesaian dari persamaan diferensial orde satu variabel terpisah dapat dicari

dengan memisahkan fungsi 𝑑 dan fungsi 𝑦, sehingga persamaan (2.11) menjadi

𝑑𝑦

β„Ž(𝑦)= 𝑔(𝑑)𝑑𝑑 (2.12)

dengan mengintegralkan kedua ruas didapat

βˆ«π‘‘π‘¦

β„Ž(𝑦)= ∫ 𝑔(𝑑) 𝑑𝑑 (2.13)

Persamaan (2.13) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial orde satu variabel

terpisah.

Contoh 2.12

Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑𝑦

Penyelesaian

Persamaan tersebut dapat dipisahkan antara fungsi 𝑑 dan fungsi 𝑦 sehingga

persamaan tersebut menjadi

𝑑𝑦

𝑦= 𝑑 𝑑𝑑

dengan mengintegralkan kedua ruas didapat

βˆ«π‘‘π‘¦

𝑦= ∫ 𝑑 𝑑𝑑

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

23

ln|𝑦| =1

2𝑑2 + 𝐢

|𝑦| = 𝑒12

𝑑2

𝑒𝑐

𝑦 = ±𝑒𝐢𝑒12

𝑑2

sehingga didapat penyelesaian dari persamaan diferensial

𝑦 = π‘˜π‘’12

𝑑2

, π‘˜ = ±𝑒𝐢 ∎

Masalah nilai awal dan masalah nilai batas dapat digunakan untuk

menemukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial. Bentuk dari masalah

nilai awal dari persamaan diferensial

𝑦′ = 𝑓(𝑑, 𝑦) 𝑑 ∈ [𝑑0, 𝑑1], 𝑦(𝑑0) = 𝑦0 (2.14)

dimana 𝑑0 adalah nilai awal dari varibel bebas 𝑑, 𝑦(𝑑0) adalah nilai awal dari

variabel terikat 𝑦 saat 𝑑 = 𝑑0. Sedangkan, bentuk dari masalah nilai batas persamaan

diferensial

𝑦′ = 𝑓(𝑑, 𝑦) 𝑑 ∈ [𝑑0, 𝑑1], 𝑦(𝑑1) = 𝑦1 (2.15)

dimana 𝑑1 adalah nilai batas dari variabel bebas 𝑑, 𝑦(𝑑1) adalah nilai batas dari

variabel terikat 𝑦 saat 𝑑 = 𝑑1.

Contoh 2.13

Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑 dengan

𝑦(0) = 1, dimana 𝑑 ∈ [0, ∞]

Penyelesaian

Persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial orde

satu variabel terpisah.

𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑

𝑦 = ∫ 𝑑 𝑑𝑑

didapat penyelesaian umum persamaan diferensial,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

24

𝑦 =1

2𝑑2 + 𝐢

𝑦(0) = 0 maka 𝑦(0) =1

2βˆ™ 0 + 𝐢 = 1

didapat 𝐢 = 1

sehingga penyelesaian khusus persamaan diferensial

𝑦 =1

2𝑑2 + 1 ∎

Contoh 2.14

Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial 𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑 dengan 𝑦(1) =

1

2, dimana 𝑑 ∈ [0,1]

Penyelesaian

Persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan persamaan diferensial orde

satu variabel terpisah.

𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑑

𝑦 = ∫ 𝑑 𝑑𝑑

didapat penyelesaian umum persamaan diferensial,

𝑦 =1

2𝑑2 + 𝐢

𝑦(1) =1

2 maka 𝑦(1) =

1

2βˆ™ 1 + 𝐢 =

1

2

didapat 𝐢 = 0

sehingga penyelesaian khusus persamaan diferensial

𝑦 =1

2𝑑2 ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

25

B. Pemodelan Matematis

Pemodelan matematis merupakan suatu bentuk matematis yang digunakan

untuk mempelajari kejadian atau fenomena dunia nyata. Pada suatu kejadian nyata

model matematis tidak hanya terdapat satu model, akan tetapi terdapat beberapa

model yang berbeda untuk suatu kejadian. Perbedaan tersebut terjadi karena dalam

pembentukan model terdapat perbedaan eksperimen dan simulasi. Dalam model

matematis model yang dibuat harus dapat merepresentasikan kenyataan dan dapat

mengontrol kondisi yang mempengaruhi model seperti data yang dikumpulkan

(Giordano et al., 2003).

Dalam penyusunan model matematis terdapat langkah-langkah dan

prosedur dalam pembuatan model matematis. Langkah-langkah dalam pembuatan

model matematis yaitu (Giordano et al., 2003)

1. Mengidentifikasi masalah

Langkah awal dalam pembuatan model matematis adalah mengidentifaksi

masalah. Dalam langkah identifikasi masalah merupakan langkah yang sulit

dilakukan, biasanya dalam langkah ini harus memilah data dan mengindentifikasi

beberapa aspek dari situasi yang dipelajari. Pada saat mengidentifikasi masalah

harus sesuai dengan masalah yang dihadapi sehingga memudahkan dalam langkah-

langkah selanjutnya.

2. Membuat asumsi

Umumnya dalam pembuatan model matematis tidak bisa menggunakan

semua faktor yang mempengaruhi masalah yang diindentifikasi, oleh karena itu

dalam pembuatan model matematis disederhanakan dengan mengurangi jumlah

faktor yang dipertimbangkan. Hubungan dari faktor-faktor yang tersisa harus

ditentukan, dengan mengasumsikan hubungan antar faktor kompleksitas masalah

dapat berkurang. Asumsi terbagi menjadi 2 bagian yaitu:

a. Mengklasifikasikan variabel

Daftar hal-hal yang mempengaruhi masalah yang diidentifikasi dalam

langkah pertama disebut sebagai variabel. Dalam mengklasifikasikan variabel,

setiap variabel diklasifikasikan sebagai variabel terikat, bebas, atau tidak keduanya.

Beberapa variabel bebas dapat diabaikan karena salah satu dari dua alasan berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

26

Pertama, pengaruh variabel relatif kecil. Kedua, faktor yang mempengaruhi

berbagai alternatif dengan cara yang hampir sama, meskipun memiliki pengaruh

penting. Sebagai contoh, pertimbangan bentuk optimal ruang kuliah, dimana

keterbacaan papan tulis merupakan kriteria yang penting. Pencahayaan merupakan

hal yang penting, akan tetapi itu akan mempengaruhi semua bentuk ruangan.

b. Menentukan keterkaitan antar variabel yang dipilih

Dalam menentukan keterkaitan antar variabel tidak mudah, sehingga

membuat pada awalnya tidak bisa melihat hubungan di antara semua variabel.

Dalam kasus ini dimungkinkan untuk mempelajari sub model, yaitu mempelajari

satu atau lebih variabel bebas secara terpisah. Pada akhirnya dapat dihubungkan

submodel bersama.

3. Menyelesaikan model

Setelah membuat asumsi model langkah yang selanjutnya yaitu

menyelesaikan model. Model matematis dapat terdiri dari persamaan atau

ketidaksamaan matematika yang harus diselesaikan untuk menemukan solusi dari

masalah. Dalam penyelesaian masalah terkadang terdapat model yang sangat sulit

untuk dipecahkan. Karena hal tersebut kembali ke langkah kedua dan membuat

asumsi penyederhanaan tambahan untuk menyelesaikan masalah.

4. Verifikasi model

Model yang telah diselesaikan pada langkah sebelumnya akan dilakukan tes

dengan menggunakan data asli. Dalam verifikasi model ada beberapa hal yang

menjadi kriteria yaitu model menjawab masalah yang diidentifikasi pada langkah

pertama, data yang diperlukan memungkinkan untuk didapatkan, model tersebut

realistik atau tidak realistik.

5. Implementasi model

Pengimplementasian model ini diharapkan model tersebut dapat menjadi

pertimbangan dalam pembuatan suatu keputusan dan model ini dapat dimengerti

dengan mudah. Selain mudah digunakan juga dimasukkan suatu langkah tambahan

untuk memfasilitasi pengumpulan dan input data yang diperlukan untuk

menentukan keberhasilan atau kegagalan model.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

27

6. Mempertahankan model

Model tersebut dibuat berdasarkan identifikasi masalah pada langkah 1 dan

asumsi pada langkah 2. Pada langkah ini model yang dibuat harus dipertahankan

berdasarkan identifikasi masalah dan asumsi-asumsi yang dibuat.

C. Metode Numerik

Metode numerik dapat menyelesaiakan persamaan diferensial yang sulit

untuk diselesaikan dengan metode analitik. Pada subbab ini akan dibahas metode

numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode

Euler dan metode Heun.

1. Metode Euler

Metode Euler merupakan salah satu metode numerik yang dapat

menyelesaiakan persamaan diferensial. Persamaan umum diferensial orde satu

yaitu (Boyce and DiPrima, 2012)

𝑑𝑦

𝑑𝑑= 𝑓(𝑑, 𝑦) (2.16)

dimana 𝑓 merupakan fungsi dari variabel bebas 𝑑 dan variabel terikat 𝑦. Pada

persamaan (2.16) 𝑑𝑦/𝑑𝑑 didekati dengan

lim β„Žβ†’0

𝑦(𝑑 + β„Ž) βˆ’ 𝑦(𝑑)

β„Ž (2.17)

Sehingga persamaan (2.16) menjadi

limβ„Žβ†’0

𝑦(𝑑 + β„Ž) βˆ’ 𝑦(𝑑)

β„Ž= 𝑓(𝑑, 𝑦) (2.18)

𝑦(𝑑 + β„Ž) βˆ’ 𝑦(𝑑)

β„Žβ‰ˆ 𝑓(𝑑, 𝑦) (2.19)

𝑦(𝑑 + β„Ž) β‰ˆ 𝑦(𝑑) + β„Žπ‘“(𝑑, 𝑦) (2.20)

Persamaan (2.20) merupakan metode Euler.

Contoh 2.15

Dengan menggunakan metode Euler tentukan nilai perkiraan dari persamaan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

28

𝑦′ = 1 βˆ’ 𝑑 + 4𝑦 pada [0,1] dengan β„Ž = 0.05 dan 𝑦(0) = 1

Penyelesaian

Diketahui β„Ž = 0.05 dan 𝑦(0) = 1, dengan menggunakan metode Euler untuk

menyelesaikan persamaan 𝑦′ = 1 βˆ’ 𝑑 + 4𝑦 pada [0,1] diperoleh

untuk 𝑑 = 0.05,

𝑦(0.05) β‰ˆ 1 + 0.05 βˆ™ (1 βˆ’ 0 + 4) = 1.25

untuk 𝑑 = 0.1,

𝑦(0.1) β‰ˆ 1.25 + 0.05 βˆ™ (1 βˆ’ 0.05 + 4 βˆ™ 1.25) = 1.5475

dengan menggunakan cara yang sama didapat

𝑦(0.15) β‰ˆ 1.902, 𝑦(0.2) β‰ˆ 2.3249, 𝑦(0.25) β‰ˆ 2.8299,

𝑦(0.3) β‰ˆ 3.4334, 𝑦(0.35) β‰ˆ 4.155, 𝑦(0.4) β‰ˆ 5.0185,

𝑦(0.45) β‰ˆ 6.0522, 𝑦(0.5) β‰ˆ 7.2902, 𝑦(0.55) β‰ˆ 8.7732,

𝑦(0.6) β‰ˆ 10.5504, 𝑦(0.65) β‰ˆ 12.6804, 𝑦(0.7) β‰ˆ 15.234,

𝑦(0.75) β‰ˆ 18.2958, 𝑦(0.8) β‰ˆ 21.9675, 𝑦(0.85) β‰ˆ 26.371

𝑦(0.9) β‰ˆ 31.6527, 𝑦(0.95) β‰ˆ 37.9882, 𝑦(1) β‰ˆ 45.5884. ∎

2. Metode Heun (Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa)

Metode Heun merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan

persamaan diferensial. Metode Heun dapat juga dikenali dengan aturan trapesium

untuk persamaan diferensial biasa atau metode Runge-Kutta orde dua. Metode

Heun memperkenalkan ide baru untuk membentuk algoritma dalam menyelesaikan

masalah nilai awal pada persamaan diferensial (Mathews and Fink, 1999)

𝑦′(𝑑) = 𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑)) 𝑑 ∈ [𝑑0, 𝑑1], 𝑦(𝑑0) = 𝑦0 (2.21)

untuk mendapatkan solusi pada (𝑑1, 𝑦1) dapat menggunakan teorema fundamental

kalkulus dan integral 𝑦′(𝑑) pada [𝑑0, 𝑑1] untuk medapatkan

∫ 𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑))𝑑𝑑𝑑1

𝑑0

= ∫ 𝑦′(𝑑)𝑑𝑑 =𝑑1

𝑑0

𝑦(𝑑1) βˆ’ 𝑦(𝑑0) (2.22)

dimana anti turunan dari 𝑦′(𝑑) adalah fungsi 𝑦(𝑑). Ketika persamaan (2.22) adalah

penyelesaian dari 𝑦(𝑑1), didapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

29

𝑦(𝑑1) = 𝑦(𝑑0) + ∫ 𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑))𝑑𝑑𝑑1

𝑑0

(2.23)

Metode integral numerik dapat digunakan untuk mendekati integral tentu

dari persamaan (2.23). Jika aturan trapesium digunakan dengan jarak β„Ž = 𝑑1 βˆ’ 𝑑0,

maka didapat

𝑦(𝑑1) β‰ˆ 𝑦(𝑑0) +β„Ž

2(𝑓(𝑑0, 𝑦(𝑑0)) + 𝑓(𝑑1, 𝑦(𝑑1))). (2.24)

Formula pada ruas kanan persamaan (2.24) mengadung nilai 𝑦(𝑑1) yang

belum diketahui. Untuk dapat memproses formula tersebut, digunakan pendekatan

dari 𝑦(𝑑1) dengan menggunakan metode Euler. Hasil dari subtitusi metode Euler

pada pesamaan (2.24) disebut metode Heun

𝑦1 = 𝑦(𝑑0) +β„Ž

2(𝑓(𝑑0, 𝑦(𝑑0)) + 𝑓(𝑑1, 𝑦0 + β„Žπ‘“(𝑑0, 𝑦0)) (2.25)

Proses ini diulangi dan menghasilkan urutan titik yang mendekati solusi

kurva 𝑦 = 𝑦(𝑑). Pada setiap langkah, metode Euler digunakan sebagai prediksi dan

kemudian aturan trapesium digunakan untuk melakukan koreksi dalam

mendapatkan nilai akhir. Langkah umum untuk metode Heun adalah

π‘π‘˜+1 = π‘¦π‘˜ + β„Žπ‘“(π‘‘π‘˜, π‘¦π‘˜), π‘‘π‘˜+1 = π‘‘π‘˜ + β„Ž (2.26)

π‘¦π‘˜+1 = π‘¦π‘˜ +β„Ž

2(𝑓(π‘‘π‘˜, π‘¦π‘˜) + 𝑓(π‘‘π‘˜+1, π‘π‘˜+1)). (2.27)

Contoh 2.16

Dengan menggunakan metode Heun tentukan nilai perkiraan dari persamaan

𝑦′ =π‘‘βˆ’π‘¦

2 pada [0,1] dengan β„Ž = 0.125 dan 𝑦(0) = 1

Penyelesaian

Diketahui β„Ž = 0.125 dan 𝑦(0) = 1, dengan menggunakan metode Heun untuk

menyelesaikan persamaan 𝑦′ =π‘‘βˆ’π‘¦

2 pada [0,1] diperoleh

Untuk 𝑑 = 0.125,

𝑝0.125 = 1 + 0.125 βˆ™0 βˆ’ 1

2= 0.9375

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

30

𝑦0.125 = 1 +0.125

2(

0 βˆ’ 1

2+

0.125 βˆ’ 0.9375

2) = 0.9434

Untuk 𝑑 = 0.25,

𝑝0.25 = 0.934 + 0.125 βˆ™0.125 βˆ’ 0.934

2= 0.8867

𝑦0.25 = 0.934 +0.125

2(

0.125 βˆ’ 0.934

2+

0.25 βˆ’ 0.8867

2) = 0.8979

dengan menggunakan cara yang sama didapat

𝑦0.375 = 0.8624, 𝑦0.5 = 0.8368, 𝑦0.625 = 0.8203,

𝑦0.75 = 0.8124, 𝑦0.875 = 0.8125, 𝑦1 = 0.8202. ∎

3. Modifikasi Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa

Modifikasi dari aturan trapesium digunakan untuk menyelesaikan masalah

nilai awal dalam persamaan diferensial biasa (Sukale and Daftardar-Gejji, 2016)

𝑦′ = 𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑)), 𝑦(0) = 𝑦0 (2.28)

dengan rumus prediktor-korektor sebagai berikut

𝑒0 = 𝑦𝑛 +β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑦𝑛+1

𝑝 (2.29)

𝑒1 = 𝑁(𝑒0) =β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 ) = 𝑧𝑛+1𝑝 (2.30)

𝑒2 = 𝑁(𝑒0 + 𝑒1) βˆ’ 𝑁(𝑒0) (2.31)

Tiga pendekatan solusi 𝑒0 + 𝑒1 + 𝑒2 memberikan modifikasi aturan berikut

untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa

𝑦𝑛+1𝑐 = 𝑦𝑛+1

𝑝 +β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 + 𝑧𝑛+1𝑝 ) (2.32)

dimana, 𝑦𝑛+1𝑝

dan 𝑧𝑛+1𝑝

diberikan pada persamaan (2.29) dan pada persamaan

(2.30).

Contoh

Dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial

biasa, tentukan nilai perkiraan dari persamaan 𝑦′ = 𝑑 + 𝑦 pada [0,1] dengan

β„Ž = 0.125 dan 𝑦(0) = 1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

31

Penyelesaian

Diketahui 𝑦(0) = 1 dan β„Ž = 0.125, Dengan menggunakan modifikasi aturan

trapesium untuk persamaan diferensial biasa untuk menyelesaikan persamaan 𝑦′ =

𝑑 + 𝑦 pada [0,1] didapat

untuk 𝑑 = 0.125,

𝑦0.125𝑝 = 1 +

0.125

2(0 + 1) = 1.0625

𝑧0.125𝑝 =

0.125

2(0.125 + 1.0625) = 0.07422

𝑦0.125 = 1.0625 +0.125

2(0.125 + (1.0625 + 0.07422)) = 1.1414

untuk 𝑑 = 0.25,

𝑦0.25𝑝 = 1.1414 +

0.125

2(0.125 + 1.1414) = 1.22055

𝑧0.25𝑝 =

0.125

2(0.25 + 1.22055) = 0.0919

𝑦0.25 = 1.22055 +0.125

2(0.25 + (1.22055 + 0.0919)) = 1.3182

dengan menggunakan cara yang sama didapat

𝑦0.375 = 1.5351, 𝑦0.5 = 1.7976, 𝑦0.625 = 2.1116,

𝑦0.75 = 2.4840, 𝑦0.875 = 2.9226, 𝑦1 = 3.4362. ∎

D. Verifikasi Model

Untuk memverikasi model akan digunakan metode grafis, galat relatif, dan

galat kuadrat rata-rata (mean square error). Metode grafis yaitu dengan

membandingkan grafik dari data asli dan grafik dari model. Galat relatif dan galat

kuadrat rata-rata merupakan metode yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat

keakuratan model yang digunakan. Galat relatif (π‘’π‘Ÿ) dan galat kuadrat rata-rata

(𝑀𝑆𝐸) memiliki bentuk sebagai berikut

π‘’π‘Ÿ = |𝑦 βˆ’ οΏ½Μ‚οΏ½

𝑦| , 𝑀𝑆𝐸 =

1

π‘›βˆ‘(𝑦𝑑 βˆ’ �̂�𝑑)2

𝑛

𝑑=1

(2.33)

dengan 𝑦 adalah nilai eksak, οΏ½Μ‚οΏ½ adalah nilai pendekatan, dan 𝑛 adalah jumlah data.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

32

BAB III

MODEL KEPENDUDUKAN

A. Model Pertumbuhan Hiperbolik

Model pertumbuhan hiperbolik menggunakan model pertumbuhan ekspo-

nensial sebagai dasar dalam pembentukan model. Bentuk dari model pertumbuhan

eksponensial yaitu (Hathout, 2013)

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘˜π‘ (3.1)

dengan π‘˜ adalah konstanta, dan 𝑁 adalah populasi penduduk. Dalam pembentukan

model pertumbuhan hiperbolik diasumsikan π‘˜ merupakan sebuah fungsi dari 𝑁,

sehingga persamaan (3.1) menjadi

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘˜(𝑁)𝑁 (3.2)

Persamaan (3.2) merupakan bentuk sederhana dari model pertumbuhan hiperbolik.

Untuk mempertahankan ukuran dalam persamaan, π‘˜(𝑁) dapat ditulis

π‘˜(𝑁) =𝑐𝑁

𝑁0 (3.3)

dimana 𝑐 adalah konstanta, dan 𝑁0 adalah populasi awal. Dengan mensubstitusikan

persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.2) didapat

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑐𝑁

𝑁0𝑁 (3.4)

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑐𝑁2

𝑁0 (3.5)

Persamaan (3.5) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan

diferensial orde satu variable terpisah. Persamaan (3.5) dapat ditulis

𝑑𝑁

𝑁2=

𝑐

𝑁0𝑑𝑑 (3.6)

dengan mengintegralkan kedua ruas, persamaan (3.6) menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

33

βˆ«π‘‘π‘

𝑁2= ∫

𝑐

𝑁0𝑑𝑑 (3.7)

βˆ’1

𝑁=

𝑐

𝑁0𝑑 + 𝐢 (3.8)

dengan mengamsumsikan bahwa populasi 𝑁0 saat 𝑑 = 0, didapat

𝐢 = βˆ’1

𝑁0 (3.9)

sehingga persamaan (3.8) menjadi

βˆ’1

𝑁=

𝑐

𝑁0𝑑 βˆ’

1

𝑁0 (3.10)

didapat

𝑁(𝑑) =𝑁0

1 βˆ’ 𝑐𝑑 (3.11)

persamaan (3.11) merupakan penyelesaian dari model pertumbuhan hiperbolik.

Untuk mendapatkan konstanta 𝑐 akan digunakan data 1960 dan data 2009.

Diambil 𝑁0 = 𝑁(1960) = 3.0402, dengan memanipulasi persamaan (3.11)

diperoleh bentuk persamaan (Hathout, 2013)

𝑁(2009) =𝑁0

1 βˆ’ 𝑐(2009 βˆ’ 1960)=

𝑁0

1 βˆ’ 49𝑐 (3.12)

atau

𝑐 =1 βˆ’

𝑁0

𝑁(2009)

49 (3.13)

Didapat

𝑐 =1 βˆ’

3.04026.815849

= 0.0113 (3.14)

sehingga persamaan (3.11) dapat ditulis

𝑁(𝑑) =𝑁0

1 βˆ’ 0.0113(𝑑 βˆ’ 1960) (3.15)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

34

Model pertumbuhan hiperbolik merupakan model dimana populasi

bertambah dengan laju pertumbuhan yang cenderung naik, sehingga pada model ini

untuk 𝑑 menuju tak hingga jumlah populasi penduduk juga menuju tak hingga.

Karena hal tersebut, model ini bukan merupakan model yang realistik. Gambar 3.1

merupakan ilustrasi dari model pertumbuhan hiperbolik.

Gambar 3.1 Model Pertumbuhan Hiperbolik

Model pertumbuhan hiperbolik ini akan dibandingkan dengan data asli pada

tahun 1950 sampai dengan tahun 2020. Karena pada model ini perhitungan dimulai

dari tahun 1960, perbandingan antara model dan data asli dilakukan untuk tahun

1960 sampai tahun 2020. Pada perbandingan ini juga akan dicari rata-rata galat

relatif dan galat kuadrat rata-rata dari model. Perbandingan antara model dan data

asli ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar 3.2 adalah hasil

perbandingan antara model pertumbuhan hiperbolik dan data asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

35

Gambar 3.2 Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Data Asli

Pada perbandingan antara model pertumbuhan hiperbolik dengan data asli

(Lampiran 1) terlihat bahwa setelah tahun 2010 grafik model pertumbuhan

hiperbolik menjauhi data asli. Pada hasil perbandingan ini didapat nilai rata-rata

galat relatif yang cukup kecil yaitu 0.0894 dan nilai galat kuadrat rata-rata sebesar

8.1787, walaupun demikian model ini bukan merupakan model yang baik. Model

ini bukan model yang baik karena bukan merupakan model yang realistik.

B. Model Kapitsa

Kapitsa merumuskan prinsip fenomenologis imperatif demografis, dimana

pertumbuhan populasi ditentukam oleh populasi sistem dunia itu sendiri dan proses

pengembangan sosial (Kapitsa, 2008).

Analisis hukum pertumbuhan hiperbolik populasi dunia yang menghu-

bungkan ukuran populasi dunia dan perkembangan manusia, menyarankan suatu

mekanisme kerja sama ukuran perkembangan yang direpresentasikan oleh kuadrat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

36

ukuran populasi. Karena alasan tersebut, Kapitsa (1992) mengusulkan ketergan-

tungan kuadratik untuk laju pertumbuhan penduduk

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑁2

𝐢= π‘Žπ‘2 (3.16)

dimana 𝐢 adalah konstanta, π‘Ž = 1/𝐢 dan 𝑁 adalah populasi penduduk. Pada

persamaan (3.16) karena bentuk matematis dari dinamika populasi tidak

memerlukan faktor apapun selain ukuran populasi, Kapitsa menyebut fenomena

tersebut sebagai the demographic imperative (imperatif demografis).

Pada bentuk matematis persamaan (3.16) untuk waktu mendekati tak

hingga, jumlah populasi penduduk dunia akan mendekati tak hingga pula.

Sedangkan pada kenyataannya pertumbuhan populasi yang tinggi seiring

berjalannya waktu makin lama berkurang jumlahnya. Fenomena ini pertama kali

ditemukan oleh ahli demografi Perancis yaitu Adolphe Landry, yang kemudian

Adolphe Landry menyebut fenomena tersebut sebagai demographic revolution

(revolusi demografis) (Kapitsa, 2008). Sekarang fenomena tersebut disebut sebagai

global demographic transiton (transisi demografis global).

Untuk menggambarkan transisi demografis global, Kapitsa menyusun kem-

bali persamaaannya dan memperkenalkan 𝜏 yang merupakan karakteristik umur

hidup manusia, untuk membatasi tingkatan pertumbuhan penduduk. Model yang

ditemukan oleh Kapitsa yaitu (Kapitsa, 2008)

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2 (3.17)

dimana 𝑇1 dan 𝐢 adalah konstanta, dan 𝑑 adalah waktu dalam tahun masehi.

Persamaan (3.17) merupakan model Kapitsa.

Persamaan (3.17) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan

diferensial orde satu variabel terpisah. Persamaan (3.17) dapat ditulis

𝑑𝑁 =𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2𝑑𝑑 (3.18)

dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (3.18) menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

37

∫ 𝑑𝑁 = ∫𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2𝑑𝑑 (3.19)

∫ 𝑑𝑁 = ∫𝐢

𝜏 ((𝑇1 βˆ’ 𝑑)2

𝜏 + 𝜏)𝑑𝑑 (3.20)

misalkan 𝐾 = √𝐢/𝜏, persamaan (3.20) menjadi

∫ 𝑑𝑁 = ∫𝐾2

((𝑇1 βˆ’ 𝑑)2

𝜏 + 𝜏)𝑑𝑑 (3.21)

∫ 𝑑𝑁 = 𝐾2 ∫ (βˆ’1

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2

𝜏2 + 1βˆ™ βˆ’

1

𝜏) 𝑑𝑑 (3.22)

dengan menggunakan invers dari persamaan

𝑑

𝑑π‘₯[arccot π‘₯] = βˆ’

1

1 + π‘₯2 (3.23)

persamaan (3.22) menjadi

𝑁 = 𝐾2 arccot (𝑇1 βˆ’ 𝑑

𝜏) (3.24)

persamaan (3.24) merupakan penyelesaian model Kapitsa. Model Kapitsa

menggambarkan pertumbuhan populasi dunia dengan stabilisasi dan hanya berlaku

dalam kasus perkembangan manusia yang berkelanjutan. Gambar 3.3 merupakan

ilustrasi dari model Kapitsa dengan 𝐢 = 163 Γ— 109, 𝜏 = 45, dan 𝑇1 = 1995.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

38

Gambar 3.3 Model Kapitsa

Model Kapitsa dapat digunakan dengan baik untuk perhitungan dinamika

demografis pada suatu negara dengan perkembangan penduduk yang kuat, ketika

populasi tumbuh sesuai dengan skenario stabilisasi tanpa penurunan (Yakunin,

2011).

Pada model Kapitsa ini akan dilakukan perbandingan dengan data asli. Data

asli yang digunakan yaitu data pada tahun 1950 sampai tahun 2000. Pada

perbandingan ini juga akan dicari rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata

model. Perbandingan ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar

3.4 merupakan perbandingan model Kapitsa dengan data asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

39

Gambar 3.4 Perbandingan Model Kapitsa dengan Data Asli

Pada Gambar 3.4 terlihat bahwa model Kapitsa ini memiliki pola yang

hampir sama dengan data asli. Pada hasil perbandingan didapat nilai rata-rata galat

relatif dan galat kuadrat rata-rata yang kecil yaitu 0.0353 dan 0.0268, yang berarti

model ini mendekati nilai dari data asli dan cukup baik untuk menghitung jumlah

populasi penduduk dunia. Model Kapitsa ini merupakan model yang baik karena

memiliki nilai galat yang kecil dan model ini merupakan model yang realistik.

C. Model Dolgonosov

Dolgonosov (2009) melengkapi persamaan yang didapat oleh Kapitsa.

Menurut Dolgonosov, ukuran populasi ditentukan oleh π‘ž tingkat produksi

informasi:

π‘‘π‘ž

𝑑𝑑= πœ”π‘ (3.25)

dimana Ο‰ adalah tingkat rata-rata pemrosesan informasi oleh manusia.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

40

Model Dolgonosov untuk populasi dunia adalah:

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘2 [1 βˆ’

𝑁

𝐾(π‘ž)] (3.26)

𝐾(π‘ž) =𝑁𝑐

1 βˆ’ exp (βˆ’π›Όπ‘žπ‘žπ‘

) (3.27)

dimana π‘Ÿ =πœ”

π‘ž adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia, 𝐾(π‘ž) adalah

kapasitas lingkungan sesaat, 𝑁𝑐 =π‘žπ‘

πœ”π‘‘π‘ daya muat dari biosfer bumi, π‘žπ‘ dan 𝑑𝑐 adalah

karaktersitik skala jumlah, 𝛼 adalah konstanta dan 𝑁 adalah populasi penduduk

dunia.

Model Dolgonosov dapat dipandang sebagai model universal yang dapat

digunakan untuk menganalisis melalui simulasi numerik berbagai skenario

perkembangan manusia, yaitu pertumbuhan populasi dunia dengan stabilisasi,

penurunan jumlah populasi, dan osilasi teredam. Dolgonosov berpendapat bahwa

osilasi teredam merupakan pendekatan yang paling cocok untuk mendiskripsikan

dinamika populasi. Namun, model yang sesuai dari produksi informasi

mengandung frekuensi osilasi 𝛽, yang tidak dapat ditentukan karena kurangnya

data empiris. Untuk alasan ini, dinamika populasi dideskripsikan menggunakan

model sederhana dengan pengembalian aperiodik. Selain itu, skema komputasi

yang didasarkan pada model Dolgonosov diperumit oleh fakta bahwa pertumbuhan

produksi informasi harus dihitung terlebih dahulu diikuti dengan menghitung

dinamika populasi. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan ini, desain fungsi yang

menggambarkan kapasitas lingkungan sesaat yaitu 𝐾 = 𝐾(𝑁) harus dibatasi pada

imperatif demografis.

Kremer (1993) menunjukkan bahwa, untuk setiap periode waktu, ada

ukuran populasi terbatas 𝐾(𝐴) yang tidak dapat melebihi tingkat perkembangan

teknologi 𝐴. 𝐾 merupakan kapasitas lingkungan saat ini. Dengan demikian,

kapasitas lingkungan sesaat ditentukan oleh tingkat perkembangan teknologi dan

berkembang dengan peningkatan tingkat perkembangan teknologi. Kremer

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

41

mengasumsikan bahwa tingkat pertumbuhan teknologi sebanding dengan ukuran

populasi saat ini

𝑑𝐴

𝐴𝑑𝑑= 𝑐𝑁 (3.28)

Persamaan 3.28 menyiratkan bahwa 𝐾 dapat meningkat secara proporsional dengan

laju pertumbuhan tingkat perkembangan teknologi, oleh karena itu

𝐾(𝐴)~𝑁 (3.29)

Di sisi lain, ketika populasi dunia tumbuh saat kondisi kegiatan ekonomi

yang tidak tekendali, beban antropogenik pada biosfer bumi yang juga meningkat,

yang mengarah pada degradasi ekosistem biosfer pada banyak wilayah,

mengakibatkan berkurangnya kapasitas lingkungan sesaat. Oleh karena itu, laju

penurunan kapasitas sesaat berbanding lurus dengan laju pertumbuhan penduduk

𝑑𝐾

𝐾𝑑𝑑= βˆ’πœ…

𝑑𝑁

𝑑𝑑 (3.30)

dimana πœ… adalah konstanta. Dengan mengikuti hal tersebut

𝐾~ exp(βˆ’πœ…π‘). (3.31)

Dengan mengkombinasikan (3.29) dan (3.31) di dapat

𝐾~ Nexp(βˆ’πœ…π‘) (3.32)

menambahkan tingkat stasioner populasi dunia menjadi (3.32), diperoleh formula

akhir untuk kapasitas sesaat, yang hanya ditentukan oleh ukuran populasi, yaitu

oleh imperatif demografis

𝐾 = 𝑁𝑐 + 𝛾 Nexp(βˆ’πœ…π‘) (3.33)

dimana 𝛾 adalah konstanta.

Ada berbagai metode untuk memperkirakan ukuran stasioner populasi dunia

𝑁𝑐. Ukuran stasioner populasi sutau negara dapat diperkirakan dengan membagi

ukuran stasioner populasi dunia dengan indeks antropogenik negara. Antropogenik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

42

adalah sumber pencemaran yang tidak alami, timbul karena ada pengaruh atau

campur tangan manusia.

Gorshkov (1995) memperkirakan, populasi dunia mengkonsumsi sekitar

22-23% biomassa planet. Pengaruh teknologi pendukung kehidupan dimulai pada

abad ke-19 ketika populasi dunia mencapai 1 miliar. Untuk memperhitungkan

keadaan ini 𝐾(π‘ž) dapat ditulis

𝐾 = 𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁 βˆ’ 𝑁0) exp[βˆ’πœ…(𝑁 βˆ’ 𝑁0)] (3.34)

dimana 𝑁𝑐 adalah daya muat biosfer, 𝛾 dan πœ… adalah konstanta, dan 𝑁0 adalah po-

pulasi awal.

Persamaan populasi dinamik pada persamaan (3.26) dapat ditulis ulang

dengan mensubstitusikan persamaan (3.34), sehingga persamaan (3.26) dapat

ditulis

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘2 [1 βˆ’

𝑁

𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁 βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁 βˆ’ 𝑁0)]] (3.35)

dengan karakteristik waktu tunda, persamaan (3.35) dapat ditulis

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘(𝑑 βˆ’ 𝜏1)2 [1 βˆ’

𝑁

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3)] (3.36)

dimana,

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3) = 𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏2) βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏3) βˆ’ 𝑁0)]

dengan 𝜏1 adalah rata-rata umur reproduksi, 𝜏2 adalah waktu difusi dari teknologi

basis, 𝜏3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban antropogenik.

Karena karakteristik waktu tunda yang diberikan dalam model, untuk menggunakan

model tersebut butuh data dinamika populasi sebelumnya selama sekitar 100 tahun.

Berikut merupakan ilustrasi model Dolgonosov, seperti ditunjukkan dalam Gambar

3.5 dan Gambar 3.6. Metode numerik Heun akan dijelaskan dalam subbab beri-

kutnya. Gambar hasil metode Heun dan metode Euler ditampilkan terlebih dahulu

agar pembaca memahami perilaku solusi model Dolgonosov.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

43

Gambar 3.5 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda

Gambar 3.6 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

44

Dari Gambar 3.5 dan Gambar 3.6 dapat diketahui bahwa pengaruh peng-

gunaan metode Euler dan metode Heun dalam model Dolgonosov tidak ada

perbedaaan yang signifikan. Untuk model ini nilai yang didapat dengan

menggunakan metode Euler hampir sama dengan menggunakan metode Heun.

Setelah ini akan dilihat perbedaan pengunaan waktu tunda dalam model

Dolgonosov. Perbedaan penggunaan waktu tunda seperti pada Gambar 3.7 dan

Gambar 3.8.

Gambar 3.7 Model Dolgonosov dengan metode Euler

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

45

Gambar 3.8 Model Dolgonosov dengan metode Heun

Pada Gambar 3.7 dan Gambar 3.8 dapat diketahui bahwa penggunaan waktu

tunda sangat berpengaruh untuk model Dolgonosov, baik menggunakan metode

Euler maupun metode Heun. Penggunaan waktu tunda dapat membuat model naik

mencapai puncak dan setelah itu turun mendekati stasioner. Apabila pada model ini

tidak menggunakan waktu tunda, model langsung menuju stasioner tanpa kenaikan

yang sangat tajam terlebih dahulu.

D. Penyelesaian Model dengan Aturan Trapesium

Pada subbab ini akan dibahas mengenai penggunaan aturan trapesium

(metode Heun) untuk menyelesaikan ketiga model kependudukan yang telah

dibahas pada sub bab sebelumnya. Untuk menyelesaikan ketiga model tersebut

akan digunakan aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

46

1. Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa

Aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa merupakan salah satu

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Pada sub bab ini akan

dibahas menggunakan aturan trapesium untuk menyelesaikan ketiga model kepen-

dudukan yaitu model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model

Dolgonosov. Aturan trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa sebagi berikut

𝑝𝑛+1 = 𝑦𝑛 + β„Žπ‘“(𝑑𝑛, 𝑦𝑛), 𝑑𝑛+1 = 𝑑𝑛 + β„Ž (3.37)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +β„Ž

2(𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑝𝑛+1)). (3.38)

Model Pertama yang akan diselesaikan menggunakan aturan trapesium

adalah model pertumbuhan hiperbolik

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘˜(𝑁)𝑁 (3.39)

dimana 𝑁 adalah populasi penduduk dan

π‘˜(𝑁) =𝑐𝑁

𝑁0 (3.40)

dengan 𝑐 adalah konstanta, dan 𝑁0 adalah populasi awal. Dari persamaan (3.39) dan

(3.40) didapat persamaan diferensial

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑐𝑁2

𝑁0 (3.41)

persamaan (3.41) merupakan persamaan yang akan diselesaikan dengan aturan

trapesium untuk persamaan diferensial biasa.

Untuk menyelesaikan persamaan (3.41) dipilih nilai awal 𝑑0 = 1960, dan

𝑁(0) = 3.0402 miliar, 𝑁(0) adalah jumlah populasi penduduk saat 𝑑0 (Hathout,

2013). Selain itu, untuk menyelesaikan persamaan tersebut dipilih juga nilai 𝑐 =

0.0113 dan β„Ž = 1. Sehingga dengan menggunakan (3.37) dan (3.38) didapat

Untuk 𝑑1 = 1961

𝑝1 = 3.0402 + 1 βˆ™0.0113(3.0402)2

3.0402= 3.0746

𝑦1 = 3.0402 +1

2(

0.0113(3.0402)2

3.0402+

0.0113(3.0746)2

3.0402=) = 3.0749

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

47

Untuk 𝑑2 = 1962

𝑝2 = 3.0749 + 1 βˆ™0.0113(3.0749)2

3.0402= 3.1101

𝑦2 = 3.0749 +1

2(

0.0113(3.0749)2

3.0402+

0.0113(3.1101)2

3.0402) = 3.1105

Untuk 𝑑3 = 1963

𝑝3 = 3.1105 + 1 βˆ™0.0113(3.1105)2

3.0402= 3.1465

𝑦3 = 3.1105 +1

2(

0.0113(3.1105)2

3.0402+

0.0113(3.1465)2

3.0402) = 3.1469

Untuk 𝑑4 = 1964

𝑝4 = 3.1469 + 1 βˆ™0.0113(3.1469)2

3.0402= 3.1837

𝑦4 = 3.1469 +1

2(

0.0113(3.1469)2

3.0402+

0.0113(3.1837)2

3.0402) = 3.1841

Untuk 𝑑5 = 1965

𝑝5 = 3.1841 + 1 βˆ™0.0113(3.1841)2

3.0402= 3.2218

𝑦5 = 3.1841 +1

2(

0.0113(3.1841)2

3.0402+

0.0113(3.1837)2

3.0402) = 3.2222

Dengan menggunakan cara yang sama dapat dihitung untuk iterasi-iterasi

selanjutnya. Pada hal ini akan dihitung dari tahun 1900 hingga tahun 2500, dengan

menggunakan bantuan program MATLAB didapatkan grafik seperti pada Gambar

3.9.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

48

Gambar 3.9 Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Aturan Trapesium

Pada Gambar 3.9 terlihat model pertumbuhan hiperbolik naik menuju tak

hingga seperti penyelesaian analitiknya. Setelah diketahui penyelesaian model

dengan menggunakan aturan trapesium akan dilakukan perbandingan dengan

penyelesaian analitik dari model. Perbandingan antara penyelesaian analitik dan

penyelesaian menggunakan aturan trapesium ini juga akan dicari nilai galat kuadrat

rata-rata dan rata-rata galat realatif dari metode yang digunakan. Perbandingan

antara penyelesaian analitik dan penyelesaian dengan aturan trapesium ini

dilakukan dengan bantuan program MATLAB. Gambar 3.10 merupakan

perbandingan penyelesaian analitik dan aturan trapesium untuk model.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

49

Gambar 3.10 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Aturan Trapesium untuk

Model Petumbuhan Hiperbolik

Pada Gambar 3.10 terlihat bahwa penyelesaian analitik model berhimpit

dengan penyelesaian model dengan aturan trapesium. Pada hasil perbandingan

didapat nilai galat kuadrat rata-rata yaitu 569.5913 dan nilai rata-rata galat relatif

yaitu 0.0081. Nilai galat kuadrat rata-rata ini cukup besar karena terdapat

perbedaan yang besar saat model menuju tak hingga. Tetapi untuk model sebelum

menuju tak hingga perbedaan penyelesaian analitik dan penyelesaian dengan aturan

trapesium model tidak besar, terlihat dari plot dua grafik ini berhimpit.

Model yang selanjutnya yang akan diselesaikan dengan menggunakan

aturan trapesium adalah model Kapitsa yaitu

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2 (3.42)

dimana 𝑇1 dan 𝐢 adalah konstanta, 𝑑 adalah waktu dalam tahun masehi dan 𝜏 adalah

karakteristik umur hidup manusia. Model Kapitsa ini adalah model kependudukan

dimana untuk 𝑑 mendekati tak hingga, jumlah populasi penduduk akan menuju ke

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

50

suatu nilai tertentu. Model ini berbeda dengan model pertumbuhan hiperbolik

karena untuk model pertumbuhan hiperbolik, jika 𝑑 mendekati tak hingga maka

jumlah populasi penduduk akan menuju tak hingga.

Untuk menyelesaikan persamaan (3.42) dengan aturan trapesium dipilih

nilai awal 𝑑0 = 1900 dan 𝑁(0) = 1.6024 miliar. 𝑁(0) diambil dari nilai eksak

model Kapitsa saat 𝑑 = 1900. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut dipilih

pula nilai 𝑇1 = 1995, 𝐢 = 163 Γ— 109 dan 𝜏 = 45. Karena nilai dari variabel

persamaan (3.42) sudah diketahui, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Sehingga dari aturan trapesium

untuk persamaan diferensial biasa dengan β„Ž = 1 didapat

Untuk 𝑑1 = 1901

𝑝1 = 1.6024 + 1 βˆ™163

(1995 βˆ’ 1900)2 + 452= 1.6172

𝑦1 = 1.6024 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1900)2 + 452+

163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452)

= 1.6173

Untuk 𝑑2 = 1902

𝑝2 = 1.6173 + 1 βˆ™163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452= 1.6323

𝑦2 = 1.6173 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452+

163

(1995 βˆ’ 1902)2 + 452)

= 1.6324

Untuk 𝑑3 = 1903

𝑝3 = 1.6324 + 1 βˆ™163

(1995 βˆ’ 1903)2 + 452= 1.6477

𝑦2 = 1.6324 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1903)2 + 452+

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452)

= 1.6478

Untuk 𝑑4 = 1904

𝑝4 = 1.6478 + 1 βˆ™163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452= 1.6634

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

51

𝑦4 = 1.6478 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452+

163

(1995 βˆ’ 1905)2 + 452)

= 1.6635

Untuk 𝑑5 = 1905

𝑝5 = 1.6635 + 1 βˆ™163

(1995 βˆ’ 1905)2 + 452= 1.6793

𝑦5 = 1.6635 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1905)2 + 452+

163

(1995 βˆ’ 1906)2 + 452)

= 1.6794

Iterasi berikutnya dapat dihitung dengan cara yang sama seperti

sebelumnya, sehingga dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500.

Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat grafik sepeti Gambar

3.11.

Gambar 3.11 Model Kapitsa dengan Aturan Trapesium

Pada Gambar 3.11 terlihat model Kapitsa mendekati suatu nilai untuk 𝑑

menuju tak hingga. Setelah diketahui nilai pendekatan dari model Kapitsa akan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

52

dilakukan perbandingan dengan penyelesaian analitik model Kapitsa. Perbandingan

antara penyelesaian analitik dan penyelesaian menggunakan aturan trapesium ini

juga akan dicari nilai galat kuadrat rata-rata dan rata-rata galat relatif dari metode

yang digunakan. Perbandingan antara penyelesaian analitik dan penyelesaian

dengan aturan trapesium ini dilakukan dengan bantuan program MATLAB.

Gambar 3.12 merupakan perbandingan penyelesaian analitik dan aturan trapesium

untuk model.

Gambar 3.12 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Aturan Trapesium untuk

Model Kapitsa

Pada Gambar 3.12 terlihat bahwa penyelesaian analitik model dan

penyelesaian model dengan aturan trapesium berhimpit. Pada hasil perbandingan

didapat nilai galat kuadrat rata-rata yaitu 1.2862 Γ— 10βˆ’9 dan nilai rata-rata galat

relatif yaitu 4.4512 Γ— 10βˆ’6. Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan aturan

trapesium ini sangat baik untuk mendekati nilai analitik model Kapitsa.

Model yang akan diselesaikan dengan aturan trapesium selanjutnya adalah

model Dolgonosov. Bentuk model Dolgonosov yaitu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

53

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘2 [1 βˆ’

𝑁

𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁 βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁 βˆ’ 𝑁0)]] (3.43)

dengan karakteristik waktu tunda, dapat ditulis

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿ(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏1))2 [1 βˆ’

𝑁

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3)] (3.44)

dimana,

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3) = 𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏2) βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏3) βˆ’ 𝑁0)]

dengan 𝑁𝑐 adalah daya muat biosfer, 𝛾 dan πœ… adalah konstanta, 𝑁0 adalah populasi

awal, 𝑑 adalah waktu, 𝜏1 adalah rata-rata umur reproduksi, 𝜏2 adalah waktu difusi

dari teknologi basis, 𝜏3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban

antropogenik dan π‘Ÿ adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia.

Model Dolgonosov ini merupakan model yang sulit untuk diketahui

penyelesaian analitiknya, sehingga digunakan penyelesaian numerik. Aturan

trapesium untuk persamaan diferensial biasa adalah salah satu metode untuk

menyelesaikan model Dolgonosov. Pada model Dolgonosov ini untuk me-

nyelesaikan model dengan waktu tunda dibutuhkan data sebelumnya sekitar 100

tahun. Sedangkan untuk model tanpa waktu tunda tidak dibutuhkan data 100 tahun

sebelumnya.

Untuk menyelesaikan model Dologonosov tanpa waktu tunda dipelukan

nilai dari variabel yang ada dalam model. Setiap variabel dalam model dipilih yaitu

𝑁𝑐 = 5.2, π‘Ÿ = 0.0257, 𝛾 = 0.85, dan πœ… = 0.51. Karena nilai dari variabel

persamaan (3.43) sudah ditentukan, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Dengan menggunakan aturan

trapesium untuk persamaan diferensial biasa dengan nilai awal 𝑁(0) = 1.656

miliar, yaitu jumlah populasi penduduk dunia pada tahun 1900 (Akaev and

Sadovnichii, 2010) dan β„Ž = 1 didapat

Untuk 𝑑1 = 1901

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

54

𝑝1 = 1.656 + [0.0257 βˆ™ 1.6562 [1

βˆ’1.656

5.2 + 0.85(1.656 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.656 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.7040

𝑦1 = 1.656 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.6562 (1

βˆ’1.656

5.2 + 0.85(1.656 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.656 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.70402 (1

βˆ’1.7040

5.2 + 0.85(1.7040 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7040 βˆ’ 1.656)]))]

= 1.7052

Untuk 𝑑2 = 1902

𝑝2 = 1.7052 + [0.0257 βˆ™ 1.70522 [1

βˆ’1.7052

5.2 + 0.85(1.7052 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7052 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.7556

𝑦2 = 1.7052 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.70522 (1

βˆ’1.7052

5.2 + 0.85(1.7052 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7052 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.75562 (1

βˆ’1.7556

5.2 + 0.85(1.7556 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7556 βˆ’ 1.656)]))]

= 1.7568

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

55

Untuk 𝑑3 = 1903

𝑝3 = 1.7568 + [0.0257 βˆ™ 1.75682 [1

βˆ’1.7568

5.2 + 0.85(1.7568 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7568 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.8098

𝑦3 = 1.7568 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.75682 (1

βˆ’1.7568

5.2 + 0.85(1.7568 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7568 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.80982 (1

βˆ’1.8098

5.2 + 0.85(1.8098 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.8098 βˆ’ 1.656)]))]

= 1.8111

Dengan menggunakan cara yang sama dapat dilakukan untuk iterasi

selanjutnya, sehingga dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500 untuk

model Dolonosov tanpa waktu tunda. Dengan menggunakan bantuan program

MATLAB didapat grafik sepeti Gambar 3.13.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

56

Gambar 3.13 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Aturan Trapesium

Hasil model Dolgonosov tanpa waktu tunda dengan aturan trapesium seperti

Gambar 3.13, karena untuk waktu menuju tak hingga, jumlah populasi menuju

suatu nilai. Perbedaan dari model sebelumnya yaitu pada model Dolgonosov tanpa

waktu tunda ini jumlah populasi penduduk hanya sampai sedikit diatas 5.5 miliar

yaitu 5.6435 miliar.

Untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda digunakan juga nilai variabel

yang sama dengan model Dolgonosov tanpa waktu tunda. Untuk variabel yang lain

ditentukan nilainya terlebih dahulu yaitu 𝜏1 = 25, 𝜏2 = 30 dan 𝜏3 = 100. Dalam

model Dolgonosov dengan waku tunda ini diperlukan data populasi penduduk 100

tahun sebelumnya, sehingga untuk mengatasi keterbatasan data digunakan model

Kapitsa untuk menghitung jumlah populasi penduduk tahun 1820 hingga tahun

1920. Pada perhitungan model ini akan dimulai dengan menghitung jumlah

penduduk pada tahun 1921. Dengan menggunakan aturan trapesium untuk persa-

maan diferensial biasa dengan β„Ž = 1 didapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

57

Untuk 𝑑1 = 1921

𝑝1 = 1.957 + [0.0257 βˆ™ 1.53172 [1

βˆ’1.957

5.2 + 0.85(1.4667 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9117 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.9915

𝑦1 = 1.957 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.53172 (1

βˆ’1.957

5.2 + 0.85(1.4667 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9117 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.54532 (1

βˆ’1.9915

5.2 + 0.85(1.4792 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9167 βˆ’ 1.656)]))]

= 1.9917

Untuk 𝑑2 = 1922

𝑝2 = 1.9917 + [0.0257 βˆ™ 1.54532 [1

βˆ’1.9917

5.2 + 0.85(1.4792 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9167 βˆ’ 1.656)]] ]

= 2.0259

𝑦2 = 1.9917 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.54532 (1

βˆ’1.9917

5.2 + 0.85(1.4792 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9167 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.55922 (1

βˆ’2.0259

5.2 + 0.85(1.4920 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9218 βˆ’ 1.656)]))]

= 2.0260

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

58

Untuk 𝑑3 = 1923

𝑝3 = 2.0260 + [0.0257 βˆ™ 1.55922 [1

βˆ’2.0260

5.2 + 0.85(1.4920 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9218 βˆ’ 1.656)]] ]

= 2.0606

𝑦3 = 2.0260 +1

2[(0.0257 βˆ™ 1.55922 (1

βˆ’2.0260

5.2 + 0.85(1.4920 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9218 βˆ’ 1.656)]))

+ (0.0257 βˆ™ 1.57342 (1

βˆ’2.0606

5.2 + 0.85(1.5050 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(0.9269 βˆ’ 1.656)]))]

= 2.0607

Untuk iterasi selanjutnya dapat dicari dengan cara yang sama, sehingga bisa

didapatkan nilai hingga tahun 2500 untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda.

Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat grafik seperti Gambar

3.14.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

59

Gambar 3.14 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Aturan

Trapesium

Pada Gambar 3.14 terlihat bahwa model Dolgonosov dengan waktu tunda

untuk waktu menuju tak hingga, jumlah populasi penduduk menuju suatu nilai.

Pada model ini dapat terlihat bahwa populasi penduduk mengalami penurunan

setelah kenaikan yang besar. Jumlah populasi penduduk pada model ini untuk tahun

2500 yaitu 5.6797 miliar.

Model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan aturan trapesium ini

akan dilakukan perbandingan dengan data asli tahun 1950 sampai tahun 2020. Pada

perbandingan ini akan dihitung rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata dari

model. Perbandingan ini akan dilakukan dengan menggunakan program MATLAB.

Gambar 3.15 merupakan perbandingan model Dolgonosov dengan waktu tunda

menggunakan aturan trapesium dengan data asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

60

Gambar 3.15 Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda

Menggunakan Aturan Trapesium dengan Data Asli

Pada Gambar 3.15 terlihat bahwa pola model Dolgonosov dengan waktu

tunda hampir sama dengan data asli. Pada perbandingan ini menghasilkan nilai rata-

rata galat relatif yaitu 0.1054 dan galat kuadrat rata-rata yaitu 0.1986. Model

Dolgonosov ini merupakan model yang baik karena mempunyai nilai rata-rata galat

realtif dan galat kuadrat rata-rata yang masih bisa dikatakan kecil dan model ini

merupakan model yang realistik.

2. Modifikasi Aturan Trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa

Selain aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa terdapat juga

metode numerik yang lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa.

Metode numerik yang dimaksud yaitu modifikasi aturan trapesium untuk

persamaan diferensial biasa. Pada sub bab ini akan dibahas menggunakan

modifikasi aturan trapesium untuk menyelesaikan ketiga model kependudukan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

61

yaitu model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa dan model Dolgonosov.

Modifikasi aturan trapesium untuk Persamaan Diferensial Biasa sebagai berikut

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+1𝑝 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 + 𝑧𝑛+1𝑝 ) (3.45)

dimana 𝑦𝑛+1𝑝 = 𝑦𝑛 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) dan 𝑧𝑛+1

𝑝 =β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 ).

Model yang akan diselesaikan terlebih dahulu menggunakan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial yaitu model pertumbuhan hiperbolik

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝑐𝑁2

𝑁0 (3.46)

dimana 𝑁 adalah populasi penduduk, 𝑐 adalah konstanta, t adalah waktu dan 𝑁0

adalah populasi awal. Model pertumbuhan hiperbolik ini merupakan salah satu

model matematis dalam kependudukan yang tidak realistik jika untuk mem-

perkirakan jumlah populasi untuk waktu yang lama. Pada model ini untuk waktu

yang mendekati tak hingga, jumlah populasi penduduk akan menuju tak hingga

pula.

Untuk menyelesaikan model pertumbuhan hiperbolik dengan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dipilih nilai awal 𝑑0 = 1960,

dan 𝑁(0) = 3.0402 miliar, 𝑁(0) adalah jumlah populasi penduduk saat 𝑑0

(Hathout, 2013). Selain itu, dipilih juga nilai untuk variabel 𝑐 = 0.0113 dan β„Ž = 1.

Sehingga dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan

diferensial didapat

Untuk 𝑑1 = 1961

𝑦1𝑝 = 3.0402 +

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.04022

3.0402) = 3.0574

𝑧1𝑝 =

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.05742

3.0402) = 0.0174

𝑦1 = 3.0574 +1

2(

0.0113 βˆ™ (3.0574 + 0.0174)2

1.656) = 3.0749

Untuk 𝑑2 = 1962

𝑦2𝑝 = 3.0749 +

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.07492

3.0402) = 3.0925

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

62

𝑧2𝑝 =

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.09252

3.0402) = 0.0178

𝑦2 = 3.0925 +1

2(

0.0113 βˆ™ (3.0925 + 0.0178)2

3.0402) = 3.1105

Untuk 𝑑3 = 1963

𝑦3𝑝 = 3.1105 +

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.11052

3.0402) = 3.1285

𝑧3𝑝 =

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.12852

3.0402) = 0.0182

𝑦3 = 3.1285 +1

2(

0.0113 βˆ™ (3.1285 + 0.0182)2

3.0402) = 3.1469

Untuk 𝑑4 = 1964

𝑦4𝑝 = 3.1469 +

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.14692

3.0402) = 3.1653

𝑧4𝑝 =

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.16532

3.0402) = 0.0186

𝑦4 = 3.1653 +1

2(

0.0113 βˆ™ (3.1653 + 0.0186)2

3.0402) = 3.1841

Untuk 𝑑5 = 1905

𝑦5𝑝 = 3.1841 +

1

2(

0.0113 βˆ™ 3.18412

3.0402) = 3.2030

𝑧5𝑝 =

1

2(

0.0073 βˆ™ 3.20302

3.0402) = 0.0191

𝑦5 = 3.2030 +1

2(

0.0113 βˆ™ (3.2030 + 0.0191)2

3.0402) = 3.2223

Dengan cara yang sama iterasi berikutnya untuk model pertumbuhah

hiperbolik dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan

diferensial biasa dapat dihitung. Pada pembahasan ini akan dihitung nilai dari

model pertumbuhan hiperbolik hingga tahun 2500. Dengan menggunakan program

MATLAB didapat grafik sepeti pada Gambar 3.16.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

63

Gambar 3.16 Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Modifikasi Aturan

Trapesium

Gambar 3.16 juga terlihat bahwa untuk waktu menuju tak hinga populasi

juga menuju tak hingga. Setelah diketahui penyelesaian model dengan modifikasi

aturan trapesium akan dilakukan perbandingan dengan penyelesaian analitik model.

Pada perbandingan model ini juga akan dihitung galat kuadrat rata-rata dan rata-

rata galat relatif dari metode yang digunakan. Perbandingan ini akan dilakukan

menggunakan program MATLAB. Gambar 3.17 adalah hasil perbandingan dari

modifikasi aturan trapesium pada model pertumbuhan hiperbolik dengan

penyelesaian analitik model.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

64

Gambar 3.17 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Modifikasi Aturan

Trapesium untuk Model Petumbuhan Hiperbolik

Pada Gambar 3.17 terlihat bahwa penyelesaian analitik model berhimpit

dengan penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium. Pada hasil

perbandingan didapat nilai galat kuadrat rata-rata yang cukup besar yaitu 126.0235

dan rata-rata galat relatif yaitu 0.0027. Nilai galat kuadrat rata-rata ini cukup besar

karena terdapat perbedaan yang besar saat model menuju tak hingga. Tetapi untuk

model sebelum menuju tak hingga perbedaan penyelesaian analitik dan

penyelesaian dengan modifikasi aturan trapesium model tidak besar, terlihat dari

plot dua grafik ini berhimpit.

Model kedua yang akan diselesaikan dengan menggunakan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa yaitu Model Kapitsa

𝑑𝑁

𝑑𝑑=

𝐢

(𝑇1 βˆ’ 𝑑)2 + 𝜏2 (3.47)

dimana 𝑇1 dan 𝐢 adalah konstanta, 𝑑 adalah waktu dalam tahun masehi dan 𝜏 adalah

karakteristik umur hidup manusia. Model Kapitsa ini merupakan salah satu model

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

65

matematis yang realistik, karena pada model ini untuk waktu mendekai tak hingga

jumlah populasi mendekati suatu nilai.

Untuk menyelesaikan model Kapitsa dengan modifikasi aturan trapesium

untuk persamaan diferensial biasa, terlebih dahulu dipilih nilai awal 𝑑0 =

1900 dan 𝑁(0) = 1.6024 miliar. 𝑁(0) diambil dari nilai eksak model Kapitsa saat

𝑑 = 1900. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut ditentukan nilai dari variabel

𝑇1 = 1995, 𝐢 = 163 Γ— 109 dan 𝜏 = 45. Karena nilai dari variabel pada model

Kapitsa sudah diketahui, model tersebut dapat diselesaikan dengan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Sehingga dari modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa dengan β„Ž = 1 didapat

Untuk 𝑑1 = 1901

𝑦1𝑝 = 1.6024 +

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1900)2 + 452) = 1.6098

𝑧1𝑝 =

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452) = 0.0075

𝑦1 = 1.6098 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452) = 1.6173

Untuk 𝑑2 = 1902

𝑦2𝑝 = 1.6173 +

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1901)2 + 452) = 1.6248

𝑧2𝑝 =

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1902)2 + 452) = 0.0076

𝑦2 = 1.6248 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1902)2 + 452) = 1.6324

Untuk 𝑑3 = 1903

𝑦3𝑝 = 1.6324 +

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1902)2 + 452) = 1.6401

𝑧3𝑝 =

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1903)2 + 452) = 0.0078

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

66

𝑦3 = 1.6401 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1903)2 + 452) = 1.6478

Untuk 𝑑4 = 1904

𝑦4𝑝 = 1.6478 +

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1903)2 + 452) = 1.6556

𝑧4𝑝 =

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452) = 0.0079

𝑦4 = 1.6566 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452) = 1.6635

Untuk 𝑑5 = 1905

𝑦5𝑝 = 1.6635 +

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452) = 1.6714

𝑧5𝑝 =

1

2(

163

(1995 βˆ’ 1905)2 + 452) = 0.0080

𝑦5 = 1.6714 +1

2(

163

(1995 βˆ’ 1904)2 + 452) = 1.6795

Untuk iterasi selanjutnya pada model Kapitsa dapat dilakukan dengan cara

yang sama. Pada pembahasan ini akan dicari nilai dari model Kapitsa hingga tahun

2500. Dengan menggunakan bantuan program MATLAB grafik dari model Kapitsa

dengan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa seperti pada

Gambar 3.18.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

67

Gambar 3.18 Model Kapitsa dengan Modifikasi Aturan Trapesium

Pada Gambar 3.18 terlihat bahwa grafik model Kapitsa untuk waktu menuju

tak hingga jumlah populasi dunia menuju suatu nilai. Setelah diketahui

penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium akan dilakukan

perbandingan dengan penyelesaian analitik model. Pada perbandingan model ini

juga akan dihitung galat kuadrat rata-rata dan rata-rata galat relatif dari metode yang

digunakan. Perbandingan ini akan dilakukan menggunakan program MATLAB.

Gambar 3.19 adalah hasil perbandingan dari modifikasi aturan trapesium pada

model Kapitsa dengan penyelesaian analitik model.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

68

Gambar 3.19 Perbandingan Penyelesaian Analitik dan Modifikasi Aturan

Trapesium untuk Model Kapitsa

Pada Gambar 3.19 terlihat bahwa penyelesaian analitik model dan

penyelesaian model dengan modifikasi aturan trapesium berhimpit. Pada hasil

perbandingan penyelesaian analitik model dengan penyelesaian model dengan

modifikasi aturan trapesium didapat nilai galat kuadrat rata-rata yang sangat kecil

yaitu 1.2862 Γ— 10βˆ’9 dan rata-rata galat relatif yaitu 4.4512 Γ— 10βˆ’6. Hal ini

menunjukkan bahwa penggunaan modifikasi aturan trapesium ini sangat baik untuk

mendekati nilai analitik model Kapitsa.

Model selanjutnya yang akan diselesaikan dengan modifikasi aturan

trapesium selanjutnya adalah model Dolgonosov

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿπ‘2 [1 βˆ’

𝑁

𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁 βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁 βˆ’ 𝑁0)]] (3.48)

dengan karakteristik waktu tunda, dapat ditulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

69

𝑑𝑁

𝑑𝑑= π‘Ÿ(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏1))2 [1 βˆ’

𝑁

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3)] (3.49)

dimana,

𝐾(𝑁, 𝜏2, 𝜏3) = 𝑁𝑐 + 𝛾(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏2) βˆ’ 𝑁0)exp [βˆ’πœ…(𝑁(𝑑 βˆ’ 𝜏3) βˆ’ 𝑁0)]

dengan 𝑁𝑐 adalah daya muat biosfer, 𝛾 dan πœ… adalah konstanta, 𝑁0 adalah populasi

awal, 𝑑 adalah waktu, 𝜏1 adalah rata-rata umur reproduksi, 𝜏2 adalah waktu difusi

dari teknologi basis, 𝜏3 adalah keterlambatan dalam respon biosfer terhadap beban

antropogenik dan π‘Ÿ adalah koefisien dari pertumbuhan populasi dunia.

Modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa merupakan

salah satu metode numerik yang dapat menyelesaikan model Dolgonosov. Untuk

mencari penyelesaian analitik dari model Dolgonosov bukan merupakan hal yang

mudah, karena hal tersebut digunakan metode numerik untuk menyelelsaikan

model. Pada pembahasan ini, akan dicari penyelesaian dari model Dolgonosov

tanpa waktu tunda dan juga model Dolgonosov dengan waktu tunda.

Untuk menyelesaikan model Dologonosov tanpa waktu tunda dipelukan

nilai dari variabel dalam model. Setiap variabel dalam model dipilih yaitu 𝑁𝑐 =

5.2, π‘Ÿ = 0.0257, 𝛾 = 0.85, dan πœ… = 0.51. Karena nilai dari variabel persamaan

(3.43) sudah ditentukan, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan modifikasi

aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa. Untuk menyelesaikan model

tersebut dengan menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan

diferensial biasa dipilih nilai awal 𝑁(0) = 1.656 miliar, yaitu jumlah populasi

penduduk dunia pada tahun 1900 (Akaev and Sadovnichii, 2010) dan β„Ž = 1 didapat

Untuk 𝑑1 = 1901

𝑦1𝑝 = 1.656 +

1

2[0.0257 βˆ™ 1.6562 [1

βˆ’1.656

5.2 + 0.85(1.656 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.656 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.6800

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

70

𝑧1𝑝 =

1

2[0.0257 βˆ™ 1.68002 [1

βˆ’1.6800

5.2 + 0.85(1.6800 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.6800 βˆ’ 1.656)]] ]

= 0.0246

𝑦1 = 1.6800 +

1

2[0.0257 βˆ™ (1.6800 + 0.0246)2 [1

βˆ’(1.6800 + 0.0246)

5.2 + 0.85((1.6800 + 0.0246) βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51((1.6800 + 0.0246) βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.7052

Untuk 𝑑2 = 1902

𝑦2𝑝 = 1.7052 +

1

2[0.0257 βˆ™ 1.70522 [1

βˆ’1.7052

5.2 + 0.85(1.7052 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7052 βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.7304

𝑧2𝑝 =

1

2[0.0257 βˆ™ 1.73042 [1

βˆ’1.7304

5.2 + 0.85(1.7304 βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51(1.7304 βˆ’ 1.656)]] ]

= 0.0258

𝑦2 = 1.7304 +

1

2[0.0257 βˆ™ (1.7304 + 0.0258)2 [1

βˆ’(1.7304 + 0.0258)

5.2 + 0.85((1.7304 + 0.0258) βˆ’ 1.656) exp[βˆ’0.51((1.7304 + 0.0258) βˆ’ 1.656)]] ]

= 1.7569

Untuk iterasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga

dapat dihitung nilai dari tahun 1900 sampai tahun 2500 untuk model Dolgonosov

tanpa waktu tunda. Dengan menggunakan bantuan program MATLAB didapat

grafik sepeti Gambar 3.20.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

71

Gambar 3.20 Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan

Modifikasi Aturan Trapesium

Pada Gambar 3.20 terlihat model Dolgonosov tanpa waktu tunda mencapai

nilai maksimal sedikit di atas 5.5 miliar yaitu 5.6435 miliar. Hal ini menunjukan

bahwa model Dolgonosov tanpa waktu tunda bukan merupakan model yang baik,

karena pada kenyataannya jumlah penduduk dunia pada tahun 2019 yaitu 7.7 miliar.

Untuk model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan nilai variabel

yang sama dengan model Dolgonosov tanpa waktu tunda. Untuk variabel yang lain

ditentukukan 𝜏1 = 25, 𝜏2 = 30 dan 𝜏3 = 100. Dalam model Dolgonosov dengan

waku tunda ini diperlukan data populasi penduduk 100 tahun sebelumnya, sehingga

untuk mengatasi keterbatasan data untuk komputasi digunakan model Kapitsa

untuk mengasumsikan jumlah populasi penduduk tahun 1720 hingga tahun 1920.

Pada perhitungan model ini akan dimulai dengan mengitung jumlah penduduk pada

tahun 1921. Untuk mendapatkan nilai variabel 𝑦𝑛𝑝 dan 𝑧𝑛

𝑝 pada untuk mendapatkan

𝑦𝑛, perhitungan 𝑦𝑛𝑝 dan 𝑧𝑛

𝑝 sebelum tahun 1921 menggunakan data perhitungan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

72

model Kapitsa untuk mengasumsikan populasi tahun sebelumnya. Dengan

menggunakan modifikasi aturan trapesium untuk persamaan diferensial biasa de-

ngan β„Ž = 1 didapat

Untuk 𝑑1 = 1921

𝑦1𝑝 = 1.957 +

1

2(0.0257 βˆ™ 1.53172 (1

βˆ’1.957

5.2 + 0.85(1.4667 βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51(0.9117 βˆ’ 1.957)]))

= 1.9745

𝑧1𝑝 =

1

2(0.0257 βˆ™ 1.54622 (1

βˆ’1.9745

5.2 + 0.85(1.4803 βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51(0.9185 βˆ’ 1.957)]))

= 0.0173

𝑦1 = 1.9745 +1

2

(0.0257 βˆ™ (1.5462 + 0.0148)2 (1

βˆ’1.9745 + 0.0173

5.2 + 0.85((1.4803 + 0.0140) βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51((0.9185 + 0) βˆ’ 1.957)]))

= 1.9921

Untuk 𝑑2 = 1922

𝑦2𝑝 = 1.922 +

1

2(0.0257 βˆ™ 1.54532 (1

βˆ’1.922

5.2 + 0.85(1.4792 βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51(0.9167 βˆ’ 1.957)]))

= 2.0092

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

73

𝑧2𝑝 =

1

2(0.0257 βˆ™ 1.562 (1

βˆ’2.0092

5.2 + 0.85(1.4930 βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51(0.9235 βˆ’ 1.957)]))

= 0.0174

𝑦2 = 2.0092 +1

2

(0.0257 βˆ™ (1.56 + 0.0150)2 (1

βˆ’1.9745 + 0.0173

5.2 + 0.85((1.4930 + 0.0141) βˆ’ 1.957) exp[βˆ’0.51((0.9235 + 0) βˆ’ 1.957)]))

= 2.0269

Iterasi selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga dapat

diperoleh nilai dari populasi penduduk hingga tahun 2500. Dengan menggunakan

bantuan program MATLAB didapat grafik seperti Gambar 3.21.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

74

Gambar 3.21 Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan

Modifikasi Aturan Trapesium

Pada Gambar 3.21 hasil model Dolgonosov dengan waktu tunda

menunjukan grafik naik mencapai puncak dan setelah itu turun menuju stasioner.

Pada model ini jumlah populasi penduduk dunia pada model ini pada tahun 2500

yaitu 5.67 miliar. Setelah diketahui penyelesaian model Dolgonosov dengan waktu

tunda menggunakan modifikasi aturan trapesium, akan dilakukan perbandingan

dengan data asli tahun 1950 sampai tahun 2020. Pada perbandingan ini akan

dihitung rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata dari model. Perbandingan

ini akan dilakukan dengan menggunakan program MATLAB. Gambar 3.22

merupakan perbandingan model Dolgonosov dengan waktu tunda menggunakan

modifikasi aturan trapesium dengan data asli.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

75

Gambar 3.22 Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda

Menggunakan Modifikasi Aturan Trapesium dengan Data Asli

Pada Gambar 3.22 terlihat bahwa pola model Dolgonosov dengan waktu

tunda menggunakan aturan trapesium hampir sama dengan data asli. Pada

perbandingan ini menghasilkan nilai rata-rata galat relatif yaitu 0.1076 dan galat

kuadrat rata-rata yaitu 0.2073. Model Dolgonosov ini merupakan model yang baik

karena mempunyai nilai rata-rata galat realtif dan galat kuadrat rata-rata yang masih

bisa dikatakan kecil dan model ini merupakan model yang realistik.

Dari perbandingan ketiga model dengan data asli terdapat keterbatasan data

asli yang digunakan. Data asli yang digunakan dalam perbandingan ini yaitu data

dari tahun 1950 sampai dengan tahun 2020. Berdasarkan grafik data asli, terlihat

bahwa dalam jangka waktu yang pendek bentuk linier dapat lebih baik untuk

memprediksi populasi penduduk dunia, tetapi untuk jangka panjang bentuk linier

kurang memadai karena tidak memperhatikan faktor-faktor lain. Sedangkan model

Kapitsa dan model Dolgonosov dapat digunakan untuk mengetahui kecenderungan

teoritik populasi penduduk dunia dalam jangka waktu yang panjang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

76

BAB IV

ANALISIS GALAT

A. Analisis Galat Metode Euler

Mengingat bahwa 𝑦(π‘₯0) = 𝑦0, misalkan nilai 𝑦𝑛 sudah diketahui, hingga

beberapa 𝑛, 0 ≀ 𝑛 ≀ 𝑁 βˆ’ 1, 𝑁 β‰₯ 1, didefinisikan (SΓΌli and Mayers, 2003)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + β„Žπ‘“(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) (4.1)

Pada urutan 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 βˆ’ 1, nilai perkiraaan 𝑦𝑛 pada titik π‘₯𝑛 dapat diperoleh.

Metode numerik tersebut dikenal sebagai metode Euler.

Bentuk umum metode satu langkah dapat ditulis sebagi berikut

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž), 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 βˆ’ 1, 𝑦(π‘₯0) = 𝑦0

(4.2)

dimana Ξ¦( βˆ™ , βˆ™ ; βˆ™ ) adalah fungsi kontinu dari variabel. dalam kasus metode Euler

Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) = 𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛).

Untuk menilai akurasi dari metode numerik, didefinisikan galat global

sebagai berikut

𝑒𝑛 = 𝑦(π‘₯𝑛) βˆ’ 𝑦𝑛 (4.3)

dengan 𝑦(π‘₯𝑛) adalah nilai analitik dan 𝑦𝑛 adalah nilai pendekatan. Dibutuhkan juga

konsep galat pemotongan 𝑇𝑛 didefinisikan dengan

𝑇𝑛 =𝑦(π‘₯𝑛+1) βˆ’ 𝑦(π‘₯𝑛)

β„Žβˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) (4.4)

Teorema 4.1

Pada persamaan (4.2), disamping Ξ¦ diasumsikan sebagai fungsi kontinu, Ξ¦

diasumsikan memenuhi kondisi Lipschitz, sehubungan dengaan argument kedua,

yaitu ada konstanta positif 𝐿Φ sehingga untuk 0 ≀ β„Ž ≀ β„Ž0 dan untuk semua (π‘₯, 𝑒)

dan (π‘₯, 𝑣)

𝐷 = {(π‘₯, 𝑦): π‘₯0 ≀ π‘₯ ≀ π‘₯𝑀 , |𝑦 βˆ’ 𝑦0| ≀ 𝐢},

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

77

dan didapat

|Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)| ≀ 𝐿Φ|𝑒 βˆ’ 𝑣|. (4.5)

Maka berasumsi bahwa |𝑦𝑛 βˆ’ 𝑦0| ≀ 𝐢, 𝑛 = 1, 2, β‹― , 𝑁, mengikuti hal itu

|𝑒𝑛| ≀𝑇

𝐿Φ(𝑒𝐿Φ(π‘₯nβˆ’π‘₯0) βˆ’ 1), 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 (4.6)

dimana 𝑇 = max0β‰€π‘›β‰€π‘βˆ’1|𝑇𝑛|.

Bukti

Ditulis ulang persamaan (4.4) sebagai

𝑦(π‘₯𝑛+1) = 𝑦(π‘₯𝑛) + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) + β„Žπ‘‡π‘›

dan dikurangi dengan persamaan (4.2), dari hal ini didapat

𝑒𝑛+1 = 𝑒𝑛 + β„Ž[Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛; β„Ž) + β„Žπ‘‡π‘›

karena (π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛)) dan (π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) elemen 𝐷, kondisi Lipschitz persamaan (4.5)

mengartikan bahwa

|𝑒𝑛+1| = |𝑒𝑛| + β„ŽπΏΞ¦|𝑒𝑛| + β„Žπ‘‡π‘›, 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 βˆ’ 1 (4.7)

didapat

|𝑒𝑛+1| = (1 + β„ŽπΏΞ¦)|𝑒𝑛| + β„Žπ‘‡π‘›, 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 βˆ’ 1

Dengan menggunakan induksi didapat

|𝑒𝑛| ≀𝑇

𝐿Φ

((1 + β„ŽπΏΞ¦)𝑛 βˆ’ 1), 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁

karena 𝑒0 = 0. Mengamati bahwa 1 + β„ŽπΏΞ¦ ≀ exp(β„ŽπΏπ›·) memberikan persamaan

(4.6)

∎

Akan diterapkan hasil perumuman ini untuk mendapatkan batasan pada

galat global dalam metode euler. Galat pemotongan untuk metode Euler yaitu

𝑇𝑛 =𝑦(π‘₯𝑛+1) βˆ’ 𝑦(π‘₯𝑛)

β„Žβˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛))

=𝑦(π‘₯𝑛+1) βˆ’ 𝑦(π‘₯𝑛)

β„Žβˆ’ 𝑦′(π‘₯𝑛) (4.8)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

78

dengan asumsi bahwa 𝑦 ∈ 𝐢2[π‘₯0, 𝑋𝑀], yaitu bahwa 𝑦 adalah fungsi kontinu yang

terdiferensial dua kali dari π‘₯ pada [π‘₯0, 𝑋𝑀], dan memperluas 𝑦(π‘₯𝑛+1) pada titik π‘₯𝑛

kedalam deret Taylor, didapat

𝑦(π‘₯𝑛+1) = 𝑦(π‘₯𝑛) + β„Žπ‘¦β€²(π‘₯𝑛) +β„Ž2

2!𝑦′′(πœ‰π‘›), π‘₯𝑛 < πœ‰π‘› < π‘₯𝑛+1

mensubtitusi persamaan ini kedalam persamaan (4.7) didapat

𝑇𝑛 =1

2β„Žπ‘¦β€²β€²(πœ‰π‘›).

misalkan 𝑀2 = max𝜍∈[π‘₯0,𝑋𝑀]|𝑦′′(𝜍)|. Maka |𝑇𝑛| ≀ 𝑇, 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 βˆ’ 1, dimana

𝑇 =1

2β„Žπ‘€2. Mensubtitusikan hal ini pada persamaan (4.5) dan untuk metode Euler

Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) ≑ 𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) dan karena itu 𝐿Φ = 𝐿 dimana 𝐿 adalah konstanta

Lipschitz untuk 𝑓, didapat

|𝑒𝑛| ≀1

2𝑀2 [

𝑒𝐿(π‘₯nβˆ’π‘₯0) βˆ’ 1

𝐿] β„Ž, 𝑛 = 0, 1, β‹― , 𝑁 (4.9)

B. Analisis Galat Aturan Trapesium

Metode satu langkah dengan akurasi order dua adalah metode aturan

trapesium (SΓΌli and Mayers, 2003)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +β„Ž

2[𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(π‘₯𝑛+1, 𝑦𝑛+1)] (4.10)

metode ini didapat dengan

𝑦(π‘₯𝑛+1) βˆ’ 𝑦(π‘₯𝑛) = ∫ 𝑦′(π‘₯)𝑑π‘₯π‘₯𝑛+1

π‘₯𝑛

,

dan pendekatan integral dengan aturan trapesium. Karena ruas kanan persamaan

mengandung integral dari fungsi π‘₯ β†’ 𝑦′(π‘₯) = 𝑓(π‘₯, 𝑦(π‘₯)), dilihat dari persamaan

(4.10) bahwa galat pemotongan

𝑇𝑛 =𝑦(π‘₯𝑛+1) βˆ’ 𝑦(π‘₯𝑛)

β„Žβˆ’

1

2[𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛)) + 𝑓(π‘₯𝑛+1, 𝑦(π‘₯𝑛+1))]

dari galat metode aturan trapesium memenuhi batas

|𝑇𝑛| ≀1

12β„Ž2𝑀3, dimana 𝑀3 = maxπ‘₯∈[π‘₯0,𝑋𝑀]|𝑦

β€²β€²β€²(π‘₯)| (4.11)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

79

Bentuk metode aturan trapesium (4.10) dapat dilihat

β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑦(π‘₯𝑛); β„Ž) =β„Ž

2[𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(π‘₯𝑛+1, 𝑦𝑛+1)]

=β„Ž

2[𝑓(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(π‘₯𝑛+1, 𝑦𝑛 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛; β„Ž))] (4.12)

Karena fungsi Ξ¦ juga didefinisikan dalam bentuk implisit.

Untuk menggunakan Teorema 4.1 untuk memperkirakan kesalahan dalam

metode aturan trapesium, dibutuhkan nilai untuk konstanta Lipschitz 𝐿Φ. Dari

persamaan (4.12) ditemukan

|Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)|

=1

2|𝑓(π‘₯𝑛, 𝑒) βˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛 + β„Ž, 𝑒 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž)) βˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛, 𝑣)

βˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛 + β„Ž, 𝑣 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž))|.

Oleh karena itu,

|Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)|

≀1

2|𝑓(π‘₯𝑛, 𝑒) βˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛, 𝑣)|

+1

2|𝑓(π‘₯𝑛 + β„Ž, 𝑒 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž)) βˆ’ 𝑓(π‘₯𝑛 + β„Ž, 𝑣 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž))|

≀1

2𝐿𝑓|𝑒 βˆ’ 𝑣| +

1

2𝐿𝑓|𝑒 + β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ 𝑣 βˆ’ β„ŽΞ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)|

≀1

2𝐿𝑓|𝑒 βˆ’ 𝑣| +

1

2𝐿𝑓|𝑒 βˆ’ 𝑣| βˆ’

1

2πΏπ‘“β„Ž|Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)|.

dari persamaan tersebut didapat

(1 βˆ’1

2β„ŽπΏπ‘“)|Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑒; β„Ž) βˆ’ Ξ¦(π‘₯𝑛, 𝑣; β„Ž)| ≀ 𝐿𝑓|𝑒 βˆ’ 𝑣|

dan, karena hal tersebut didapat

𝐿Φ ≀𝐿𝑓

(1 βˆ’12 β„ŽπΏπ‘“)

, dengan 1

2β„ŽπΏπ‘“ < 1.

Akibatnya, persamaan (4.6) dan persamaan (4.11) menyiratkan bahwa galat global

dalam metode aturan trapesium adalah π’ͺ(β„Ž2), karena β„Ž cenderung mendekati 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

80

C. Analisis Galat Modifikasi Aturan Trapesium

Pada sub bab ini akan dibahas mengenasi analisis galat modifikasi aturan

trapesium. Modifikasi aturan trapesium didefinisikan sebagai berikut (Sukale and

Daftardar-Gejji, 2016)

𝑦𝑛+1𝑐 = 𝑦𝑛+1

𝑝 +β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 + 𝑧𝑛+1𝑝 ) (4.13)

dimana 𝑦𝑛+1𝑝 = 𝑦𝑛 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) dan 𝑧𝑛+1

𝑝 =β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 ). Pertimbangkan

korektor modifikasi aturan trapesium

𝑦𝑛+1𝑐 = 𝑦𝑛 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 + 𝑧𝑛+1𝑝 )

dimana 𝑦𝑛+1𝑝 = 𝑦𝑛 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) dan 𝑧𝑛+1

𝑝 =β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 ). Galat pemotongan 𝑇𝑛

pada modifikasi aturan trapesium diberikan sebagai berikut

𝑇𝑛 =𝑦(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑦(𝑑𝑛)

β„Žβˆ’

1

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) βˆ’

1

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) + 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1)),

(4.14)

dimana 𝑓 diasumsikan sebagai fungsi halus, sehinggga 𝑦’’ ada dan dibatasi oleh

[0, 𝑇] dengan max0≀𝑑≀𝑙|𝑦′′(𝑑)| = 𝑀1, dengan menyusun kembali persamaan (4.13)

didapat

0 =𝑦𝑛+1 βˆ’ 𝑦𝑛

β„Žβˆ’

1

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛) βˆ’

1

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 + 𝑧𝑛+1𝑝 ). (4.15)

Dengan mengurangi persamaan (4.14) dan persamaan (4.15) didapat

π‘‡π‘›β„Ž = 𝑒𝑛+1 βˆ’ 𝑒𝑛 βˆ’β„Ž

2(𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) βˆ’ 𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛))

βˆ’β„Ž

2[𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) + 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1))

βˆ’ 𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1𝑝 + 𝑧𝑛+1

𝑝 )] (4.16)

karena 𝑓 memenuhi kondisi Lipschitz berkenaan dengan variabel kedua memiliki

konstanta Lipschitz L,didapatkan ketidaksetaraan berikut berdasarkan persamaan

(4.16)

|𝑒𝑛+1| ≀ |𝑒𝑛| +πΏβ„Ž|𝑒𝑛|

2+

β„ŽπΏ

2|𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) + 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑦𝑛+1

𝑝 βˆ’ 𝑧𝑛+1𝑝 | + οΏ½ΜƒοΏ½β„Ž

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 95: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

81

≀ |𝑒𝑛| +πΏβ„Ž|𝑒𝑛|

2+

β„ŽπΏ

2|𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑦𝑛+1

𝑝 | +β„ŽπΏ

2|𝑧𝑝(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑧𝑛+1

𝑝

+ οΏ½ΜƒοΏ½β„Ž (4.17)

perhatikan bahwa

𝑦𝑛+1𝑝 = 𝑦𝑛 +

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) = 𝑦(𝑑𝑛) +β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛))

|𝑦𝑛+1𝑝 βˆ’ 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1)| = |𝑒𝑛| +

β„ŽπΏ|𝑒𝑛|

2, (4.18)

|𝑧𝑛+1𝑝 βˆ’ 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1)| =

β„Ž

2|𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑛+1

𝑝 ) βˆ’ 𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1))|

=β„ŽπΏ

2|𝑦𝑛+1

𝑝 βˆ’ 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1)| (4.19)

oleh karena itu,

|𝑧𝑛+1𝑝 βˆ’ 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1)| =

β„ŽπΏ|𝑒𝑛|

2+

β„Ž2𝐿2|𝑒𝑛|

4. (4.20)

dari persamaan (4.17), persamaan (4.18) dan persamaan (4.20) didapat

|𝑒𝑛+1| ≀ (1 + πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2+

β„Ž3𝐿3

8) |𝑒𝑛| + οΏ½ΜƒοΏ½β„Ž (4.21)

dimana 𝑛 = 0, 1, 2, 3, β‹― , 𝑙 dan οΏ½ΜƒοΏ½ = max0≀𝑛≀𝑙|𝑇𝑛|. Perhatikan galat global

𝑒𝑛+1dibatasi oleh galat pemotongan οΏ½ΜƒοΏ½.

Teorema 4.2

Diberikan persamaan (4.13) untuk menyelesaikan masalah nilai awal 𝑦′ =

𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑)), 𝑦(0) = 𝑦0. Misalkan |𝑓′(𝑑, 𝑦(𝑑))| ≀ 𝑀1, |𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑))| ≀ 𝑀2 dan

|πœ•

πœ•π‘₯(𝑓(π‘₯, 𝑦))| ≀ 𝐿 pada interval [0, 𝑇]. Jika 𝑦(𝑑𝑛+1) dan 𝑦𝑛+1 berurutan

menunjukan solusi sebenarnya dan solusi numerik pada titik 𝑑𝑛+1, maka

|𝑒𝑛+1| = |𝑦(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑦𝑛+1| ≀(𝑒𝑇𝐿 βˆ’ 1)π‘€β€²β„Ž

2𝐿 (4.22)

dimana 𝑀1 + 𝑀2𝐿 = 𝑀′.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 96: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

82

Bukti

Dari persamaan persamaan (4.21)

|𝑒𝑛+1| ≀ (1 + πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2+

β„Ž3𝐿3

8)

𝑛

|𝑒0| +

[(1 + πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2 +β„Ž3𝐿3

8 )𝑛

βˆ’ 1] β„ŽοΏ½ΜƒοΏ½

πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2 +β„Ž3𝐿3

8

≀ (1 + πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2+

β„Ž3𝐿3

8)

𝑛

|𝑒0| +

[(1 + πΏβ„Ž +β„Ž2𝐿2

2 +β„Ž3𝐿3

8 )𝑛

βˆ’ 1] οΏ½ΜƒοΏ½

𝐿 +β„ŽπΏ2

2 +β„Ž2𝐿3

8

≀ π‘’π‘›β„ŽπΏ|𝑒0| +(π‘’π‘›β„ŽπΏ βˆ’ 1)οΏ½ΜƒοΏ½

𝐿 (1 +β„ŽπΏ2 +

β„Ž2𝐿2

8 )

≀ π‘’π‘›β„ŽπΏ|𝑒0| +(π‘’π‘›β„ŽπΏ βˆ’ 1)οΏ½ΜƒοΏ½

𝐿

Pehatikan bahwa π‘›β„Ž = 𝑑𝑛 βˆ’ 𝑑0. Didapat,

|𝑒𝑛+1| ≀ 𝑒(π‘‘π‘›βˆ’π‘‘0)𝐿|𝑒0| +(𝑒(π‘‘π‘›βˆ’π‘‘0 )𝐿 βˆ’ 1)οΏ½ΜƒοΏ½

𝐿 (4.23)

Dengan memperhatikan 𝑦′(𝑑𝑛) = 𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)), mengikuti dari persamaan (4.14)

didapat

𝑇𝑛 =𝑦(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑦(𝑑𝑛)

β„Žβˆ’ 𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) +

1

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛))

βˆ’1

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) + 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1)), (4.24)

mengingat dari teorema Taylor βˆƒπœ‰π‘› ∈ (𝑑𝑛, 𝑑𝑛+1) seperti

𝑇𝑛 =1

2β„Žπ‘¦β€²β€²(πœ‰π‘›) +

1

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) βˆ’

1

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) + 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1))

≀1

2β„Žπ‘¦β€²β€²(πœ‰π‘›) +

𝐿

2[𝑦(𝑑𝑛) βˆ’ 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1) βˆ’ 𝑧𝑝(𝑑𝑛+1)]

=1

2β„Žπ‘¦β€²β€²(πœ‰π‘›) +

𝐿

2[βˆ’β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) βˆ’

β„Ž

2𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1))] (4.25)

karenanya

οΏ½ΜƒοΏ½ = max0≀𝑛≀𝑙|𝑇𝑛|

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 97: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

83

β‰€β„Žπ‘€1

2+

β„ŽπΏ

4|βˆ’(𝑑𝑛, 𝑦(𝑑𝑛)) βˆ’ 𝑓(𝑑𝑛+1, 𝑦𝑝(𝑑𝑛+1))|

≀(𝑀1 + 𝑀2𝐿)β„Ž

2=

π‘€β€²β„Ž

2 (4.26)

dimana

𝑀1 = max0≀𝑛≀𝑙|𝑦′′(𝑑)|, |𝑓(𝑑, 𝑦(𝑑))| ≀ 𝑀2, βˆ€π‘‘ (4.27)

dan 𝑀1 + 𝑀2𝐿 = 𝑀′.

Lebih lanjut dari persamaan (4.23) dan persamaan (4.26)

|𝑒𝑛+1| ≀ 𝑒𝑇𝐿|𝑒0| +(𝑒𝑇𝐿 βˆ’ 1)π‘€β€²β„Ž

2𝐿

dan ketika |𝑒0| = 0

|𝑒𝑛+1| ≀(𝑒𝑇𝐿 βˆ’ 1)π‘€β€²β„Ž

2𝐿

Karenanya jika β„Ž β†’ 0 maka galat global |𝑒𝑛+1| konvergen ke nol,βˆ€π‘›. ∎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 98: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

84

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam skripsi ini, penulis berhasil memodelkan dinamika populasi dunia,

dengan menggunakan model pertumbuhan hiperbolik, model Kapitsa, dan model

Dolgonosov. Pada model Dolgonosov, penyelesaian tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan penyelesaian analitik, sehingga digunakan metode numerik.

Metode numerik yang digunakan yaitu metode Euler, metode aturan trapesium, dan

metode modifikasi aturan trapesium. Sedangkan untuk model pertumbuhan

hiperbolik, dan model Kapitsa digunakan penyelesaian analitik dan penyelesaian

numerik.

Pada model pertumbuhan hiperbolik, model ini untuk 𝑑 menuju tak hingga,

jumlah populasi juga menuju tak hingga. Sehingga model ini merupakan model

yang tidak realistik untuk memodelkan pertumbuhan populasi penduduk dunia,

karena terbatasnya biosfer bumi. Untuk model Kapitsa, model ini merupakan model

yang realistik untuk memodelkan pertumbuhan populasi. Pada penyelesaian

analitik model Kapitsa untuk tahun 2500 jumlah populasi penduduk 11.0576 miliar

penduduk, dan pada model ini untuk 𝑑 menuju tak hingga, jumlah populasi tidak

akan menuju tak hingga. Pada model Kapitsa hasil yang didapat dengan

menggunakan penyelesaian numerik hampir sama dengan dengan penyelesaian

analitik. Untuk model Dolgonosov, model ini juga merupakan model yang realistik.

Pada model ini dengan menggunakan metode numerik jumlah populasi dunia naik

mencapai puncak, dan setelah itu mendekati suatu nilai. Pada model ini, jumlah

populasi dunia pada tahun 2500 kira-kira 5.67 miliar. Pada perbandingan dengan

data asli model Kapitsa lebih baik dari model Dolgonosov, karena pada model

Kapitsa nilai rata-rata galat relatif dan galat kuadrat rata-rata lebih kecil daripada

model Dolgonosov. Pada perbandingan model dan data asli ini terdapat

keterbatasan data asli yang digunakan. Data asli yang digunakan dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 99: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

85

perbandingan ini yaitu data dari tahun 1950 sampai dengan tahun 2020.

Berdasarkan grafik data asli, terlihat bahwa dalam jangka waktu yang pendek

bentuk linier dapat lebih baik untuk mendekati nilai dari jumlah populasi penduduk

dunia. Sedangkan model Kapitsa dan model Dolgonosov dapat digunakan untuk

mengetahui kecenderungan populasi penduduk dunia dalam jangka waktu yang

panjang.

B. Saran

Penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini,

oleh karena itu penulis berharap ada yang melanjutkan skripsi ini. Dalam skripsi ini

penulis menggunakan metode numerik yaitu metode Euler, metode aturan

trapesium, dan metode modifikasi aturan trapesium untuk ketiga model

kependudukan. Penulis berharap jika ada pembaca yang sanggup melanjutkan

skripsi ini dengan menggunakan metode lain untuk model Kapitsa dan model

Dolgonosov serta mengalisisnya dengan metode yang digunakan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 100: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W. A., and Davidson, M. G. (2012). Ordinary Differential Equations. New

York: Springer-Verlag New York.

Akaev, A. A., and Sadovnichii, V. A. (2010). Mathematical model of population

dynamics with the world population size stabilizing about a stationary level.

Doklady Mathematics. 82(3): 978-981.

Boyce, W. E., and DiPrima, R. C. (2012). Elementary Differential Equation and

Boundary Value Problem. (Tenth Edition). Hoboken: John Willey and Sons

Inc.

Dolgonosov, B. M. (2009). Nonlinear Dynamics of Ecological and Hydrological

Processes. Moscow: Librokom.

Giordano, F. R. et al. (2003). A First Course in Mathematical Modeling. (Third

Edition). Belmont: Brook/Cole.

Gorshkov, V. G. (1995). Physical and Biological Foundations Life Sustainability.

Moscow: VINITI.

Hathout, D. (2013). Modeling population growth: exponential and hiperbolic

modeling. Apllied Mathematics. 4: 299-304. https://www.researchgate.net.

diakses tanggal 1 Maret 2019.

Kapitsa, S. P. (1992). A mathematical model of the world population growth. Math.

Model. 4(6): 65-79.

Kapitsa, S. P. (2008). Essay on the Theory of Human Population Growth:

Demographic Revolution and Information Society. Moscow: Nikitskii Klub.

Kremer, M. (1993). Population growth and technological change: one million to

1990. Quart J Econ. 108: 681-716.

Larson, R., and Edward, B. (2009). Calculus of A Single Variable. (Ninth Edition).

Belmont: Brook/Cole.

Mathews, J. H., and Fink, K. K. (2004). Numerical Method Using Matlab. (Fourth

Edition). Upper Saddle River: Prentice-Hall Inc.

Sukale, Y., and Daftardar-Gejji, V. (2016). New numerical methods for solving

differential equations. International Journal of Applied and Computational

Mathematics. 3(3): 1639-1660.

SΓΌli, E., and Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis.

Cambridge: Cambridge University Press.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 101: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

Yakunin, V. I. (2011). Problem of Contemporary World Futurology. Newcastle

upon Tyne: Cambridge Scholars Publishing

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 102: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

3

LAMPIRAN

1. Data Asli Jumlah Penduduk Dunia Tahun 1950 sampai Tahun 2020

(diambil dari United Nations: https://www.un.org)

Tahun

Populasi

Penduduk

(miliar)

Tahun

Populasi

Penduduk

(miliar)

Tahun

Populasi

Penduduk

(miliar)

1950 2.53643 1974 4.00379 1998 5.98479

1951 2.58403 1975 4.07948 1999 6.06424

1952 2.63086 1976 4.15467 2000 6.14349

1953 2.67761 1977 4.22951 2001 6.22263

1954 2.72485 1978 4.30453 2002 6.30177

1955 2.77302 1979 4.38051 2003 6.38119

1956 2.82244 1980 4.458 2004 6.46116

1957 2.87331 1981 4.537 2005 6.54191

1958 2.92569 1982 4.61739 2006 6.62352

1959 2.97958 1983 4.69957 2007 6.70595

1960 3.03495 1984 4.78401 2008 6.78909

1961 3.09184 1985 4.87092 2009 6.87277

1962 3.15042 1986 4.96057 2010 6.95682

1963 3.211 1987 5.05252 2011 7.04119

1964 3.27398 1988 5.14543 2012 7.12583

1965 3.33958 1989 5.23744 2013 7.21058

1966 3.40792 1990 5.32723 2014 7.29529

1967 3.47877 1991 5.41429 2015 7.3798

1968 3.5516 1992 5.49892 2016 7.46402

1969 3.62568 1993 5.5816 2017 7.54786

1970 3.70044 1994 5.66315 2018 7.63109

1971 3.77576 1995 5.74421 2019 7.71347

1972 3.85165 1996 5.82489 2020 7.7948

1973 3.92778 1997 5.90505

2. Solusi Analitik Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa

clc

clear

close all

t=1900:1:2500;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 103: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

c=163;

b=45;

K2=c/b;

N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)

plot(t,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasipenduduk(miliar)')

grid on

figure

hold on

j=1960:1:2048;

z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960))

plot(j,z,'b')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1960 2500 0 12])

3. Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa dengan Aturan

trapesium

clear

clc

close all

o=1960:2100;

N(1)=3.0402;

k=length(o);

for m=1:k-1;

n(m+1)=N(m)+((0.0113*(N(m))^2)/N(1));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0113*(N(m))^2+0.0113*(n(m+1))^2)/N(

1));

end

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1960 2500 0 12])

p=1900:2500;

Z(1)=1.6024;

b=length(p);

for i=1:b-1;

z(i+1)=Z(i)+(163/((1995-p(i))^2+45^2));

Z(i+1)=Z(i)+0.5*((163/((1995-

p(i))^2+45^2))+(163/((1995-p(i+1))^2+45^2)));

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 104: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

figure

plot(p,Z)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1900 2500 0 12])

4. Model Pertumbuhan Hiperbolik dan Model Kapitsa dengan Modifikasi

Aturan trapesium

clear

clc

close all

o=1960:2100;

N(1)=3.0402;

h=1;

k=length(o);

for m=1:k-1;

n(m+1)=N(m)+h/2*((0.0113*(N(m))^2)/N(1));

q(m+1)=h/2*((0.0113*(n(m+1))^2)/N(1));

N(m+1)=n(m+1)+h/2*((0.0113*(n(m+1)+q(m+1))^2)/N(1));

end

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1960 2500 0 12])

p=1900:2500;

Z(1)=1.6024;

h=1;

b=length(p);

for i=1:b-1

z(i+1)=Z(i)+h/2*(163/((1995-p(i))^2+45^2));

j(i+1)=h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));

Z(i+1)=z(i+1)+h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));

end

figure

plot(p,Z)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1900 2500 0 12])

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 105: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

5. Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Aturan Trapesium

clc

clear

close all

t=0:600;

N(1)=1.656;

o=1900:2500;

k=length(o);

for m=1:k-1;

n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-

(N(1))))))));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-

(N(1))))))))+...

(0.0257*(n(m+1))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1)-N(1))*exp(-0.51*(n(m+1)-

(N(1)))))))));

end

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

6. Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Aturan

Trapesium

clear

clc

close all

t=0:700;

l=1800:1920;

o=1800:2500;

n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

N(1:121)=n(1:121)

k=length(t);

for m=121:k-1

n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))))...

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 106: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(121)))))))));

end

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1920 2500 0 9])

7. Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dengan Modifikasi Aturan

Trapesium

clc

clear

close all

t=0:600;

N(1)=1.656;

o=1900:2500;

k=length(o);

for m=1:k-1;

n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-N(1))*exp(-0.51*(N(m)-

(N(1))))))));

z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1)-N(1))*exp(-0.51*(n(m+1)-

(N(1))))))));

N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1)+z(m+1))^2*(1-

((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1)+z(m+1))-N(1))*exp(-

0.51*((n(m+1)+z(m+1))-(N(1))))))));

end

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

8. Model Dolgonosov dengan Waktu Tunda Menggunakan Modifikasi

Aturan Trapesium

clc

clear

close all

t=0:800;

l=1700:1920;

o=1700:2500;

N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 107: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

k=length(o);

for i=120:220;

n(i+1)=N(i)+1/2*(0.0257*(N(i-25))^2*(1-

(N(i)/(5.2+0.85*(N(i-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(i-100)-

(N(121))))))));

z(i+1)=1/2*(0.0257*(n(i+1-25))^2*(1-

(n(i+1)/(5.2+0.85*(n(i+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(i+1-

100)-(N(121))))))));

end

for m=221:k-1;

n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(221))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(221))))))));

z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(221))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(221))))))));

N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1-25)+z(m+1-

25))^2*(1-((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1-30)+z(m+1-

30))-N(221))*exp(-0.51*((N(m+1-100)+z(m+1-100))-

(N(221))))))));

End

plot(o,N)

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1920 2500 0 9])

9. Perbandingan Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dan dengan

Waktu Tunda Menggunakan Metode Euler

clear

clc

close all

t=0:580;

P(1)=163/45*(pi/2-atan((1995-1920)/45));

q=1920:2500;

k=length(q);

for m=1:k-1;

P(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-

(P(1))))))));

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 108: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

t=0:700;

l=1800:1920;

o=1800:2500;

N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

k=length(t);

for m=121:k-1

N(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))));

end

plot(q,P,'r',o,N,'b')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

axis([1920 2500 0 10])

legend('tanpa waktu tunda','dengan waktu tunda')

grid on

10. Perbandingan Model Dolgonosov Tanpa Waktu Tunda dan dengan

Waktu Tunda Menggunakan Metode Heun(Aturan Trapesium)

clc

clear

close all

t=0:580;

P(1)=163/45*(pi/2-atan((1995-1920)/45));

q=1920:2500;

k=length(q);

for m=1:k-1;

p(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-

(P(1))))))));

P(m+1)=P(m)+0.5*((0.0257*(P(m))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-

(P(1))))))))+...

(0.0257*(p(m+1))^2*(1-

(p(m+1)/(5.2+0.85*(p(m+1)-P(1))*exp(-0.51*(p(m+1)-

(P(1)))))))));

end

t=0:700;

l=1800:1920;

o=1800:2500;

n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

N(1:121)=n(1:121)

k=length(t);

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 109: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

for m=121:k-1

n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))))...

+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(121)))))))));

end

plot(q,P,'r',o,N,'b')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

axis([1920 2500 0 10])

legend('tanpa waktu tunda','dengan waktu tunda')

grid on

11. Perbandingan Metode Euler dan Metode Heun(Aturan Trapesium) pada

Model Dolgonosov tanpa waktu tunda

clc

clear

close all

t=0:600;

P(1)=1.656;

q=1900:2500;

k=length(q);

for m=1:k-1;

p(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-

(P(1))))))));

P(m+1)=P(m)+0.5*((0.0257*(P(m))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m)-P(1))*exp(-0.51*(P(m)-

(P(1))))))))+...

(0.0257*(p(m+1))^2*(1-

(p(m+1)/(5.2+0.85*(p(m+1)-P(1))*exp(-0.51*(p(m+1)-

(P(1)))))))));

end

t=0:600;

N(1)=1.656;

o=1900:2500;

k=length(q);

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 110: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

for m=1:k-1;

N(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m)-P(1))*exp(-0.51*(N(m)-

(N(1))))))));

end

plot(q,P,'r',o,N,'b')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

legend('metode heun','metode euler')

grid on

12. Perbandingan Metode Euler dan Metode Heun(Aturan Trapesium) pada

Model Dolgonosov dengan waktu tunda

clc

clear

close all

t=0:700;

l=1800:1920;

o=1800:2500;

n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

N(1:121)=n(1:121)

k=length(t);

for m=121:k-1

n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))))...

+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(121)))))))));

end

t=0:700;

l=1800:1920;

q=1800:2500;

P=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

k=length(t);

for m=121:k-1

P(m+1)=P(m)+(0.0257*(P(m-25))^2*(1-

(P(m)/(5.2+0.85*(P(m-30)-P(121))*exp(-0.51*(P(m-100)-

(P(121))))))));

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 111: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

plot(o,N,'r',q,P,'b')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

axis([1920 2500 0 10])

legend('metode heun','metode euler')

grid on

13. Perbandingan Model Kapitsa dengan Data Asli dan Perbandingan

Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Data Asli

clc

clear

close all

waktu=1950:2020;

asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730

2.8224 2.8733 ...

2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740

3.3396 ...

3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517

3.9278 ...

4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580

4.5370 ...

4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454

5.2374 ...

5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249

5.9050 ...

5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612

6.5419 ...

6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258

7.2106 ...

7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135

7.7948];

t=1900:1:2500;

c=163;

b=45;

K2=c/b;

N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)

plot(t,N)

hold on

plot(waktu,asli,'r*')

ekap=abs((asli-N(51:121))./asli);

msekap=(asli-N(51:121)).^2;

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1950 2020 0 8])

legend('Model Kapitsa','Data Asli')

figure

hold on

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 112: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

j=1960:1:2048;

z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960));

plot(j,z,'b')

plot(waktu,asli,'r*')

hold on

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

ehiper=abs((asli(11:71)-z(1:61))./asli(11:71));

msehiper=(asli(11:71)-N(11:71)).^2;

axis([1960 2020 0 10])

legend('Model Pertumbuhan Hiperbolik','Data Asli')

erkapitsa=0;

for e=1:length(ekap)

erkapitsa=erkapitsa+ekap(e);

end

msk=0;

for E=1:length(msekap)

msk=msk+msekap(E);

end

erhiper=0;

for w=1:length(ehiper)

erhiper=erhiper+ehiper(w);

end

msh=0;

for W=1:length(msehiper)

msh=msh+msehiper(W);

end

rata2galatrelatifkapitsa=erkapitsa/length(ekap)

MSEkapitsa=msk/length(msekap)

rata2galatrelatifhiperbolik=erhiper/length(ehiper)

MSEhiperbolik=msh/length(msehiper)

14. Perbandingan Model Kapitsa dengan Aturan Trapesium dan

Perbandingan Model Kapitsa dengan Modifikasi Aturan Trapesium

clc

clear

close all

t=1900:1:2500;

c=163;

b=45;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 113: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

K2=c/b;

N=K2*(pi/2-atan((1995-t)/45));%arccot(x)=pi/2-arctan(x)

plot(t,N)

p=1900:2500;

Z(1)=1.6024;

b=length(p);

for i=1:b-1;

z(i+1)=Z(i)+(163/((1995-p(i))^2+45^2));

Z(i+1)=Z(i)+0.5*((163/((1995-

p(i))^2+45^2))+(163/((1995-p(i+1))^2+45^2)));

end

hold on

plot (p,Z,'r')

grid on

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

legend('Penyelesaian Analitik', 'Aturan trapesium')

sel=(N-Z).^2;

err=abs((N-Z)./N);

seldat=0;

for q=1:length(N)

seldat=seldat+sel(q);

end

erA=0;

for Q=1:length(N)

erA=erA+err(Q);

end

MSEdenganaturantrapesium=seldat/length(N)

rata2eraturantrapesium=erA/length(N)

p=1900:2500;

C(1)=1.6024;

h=1;

for i=1:b-1

c(i+1)=C(i)+h/2*(163/((1995-p(i))^2+45^2));

j(i+1)=h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));

C(i+1)=c(i+1)+h/2*(163/((1995-p(i+1))^2+45^2));

end

figure

plot(t,N,'b',p,C,'r')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

legend('Penyelesaian Analitik', 'Modifikasi Aturan

trapesium')

grid on

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 114: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

slh=(N-C).^2;

slhdat=0;

for r=1:length(N)

slhdat=slhdat+slh(r);

end

errM=abs((N-C)./N);

erM=0;

for R=1:length(N)

erM=erM+errM(R);

end

MSEdenganmodifikasiaturantrapesium=slhdat/length(N)

rata2ermodifikasiaturantrapesium=erM/length(N)

15. Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan Aturan

Trapesium dan Perbandingan Model Pertumbuhan Hiperbolik dengan

Modifikasi Aturan Trapesium

clc

clear

close all

j=1960:1:2048;

z=3.0402./(1-0.0113*(j-1960));

o=1960:2048;

G(1)=3.0402;

k=length(o);

for m=1:k-1;

g(m+1)=G(m)+((0.0113*(G(m))^2)/G(1));

G(m+1)=G(m)+0.5*((0.0113*(G(m))^2+0.0113*(g(m+1))^2)/G(

1));

end

plot(j,z,'b',o,G,'r')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk (miliar)')

legend('Penyelesaian Analitik','Aturan Trapesium')

axis([1960 2500 0 12])

grid on

sel=(z-G).^2;

seldat=0;

for q=1:length(z)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 115: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

seldat=seldat+sel(q);

end

errA=abs((z-G)./z);

erA=0;

for Q=1:length(z)

erA=erA+errA(Q);

end

MSEdenganaturantrapesium=seldat/length(z)

rata2eraturantrapesium=erA/length(z)

N(1)=3.0402;

h=1;

for m=1:k-1;

n(m+1)=N(m)+h/2*((0.0113*(N(m))^2)/N(1));

q(m+1)=h/2*((0.0113*(n(m+1))^2)/N(1));

N(m+1)=n(m+1)+h/2*((0.0113*(n(m+1)+q(m+1))^2)/N(1));

end

figure

plot(j,z,'b',o,N,'r')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk (miliar)')

legend('Penyelesaian Analitik','Modifikasi Aturan

Trapesium')

axis([1960 2500 0 12])

grid on

seel=(z-N).^2;

seeldat=0;

for r=1:length(z)

seeldat=seeldat+seel(r);

end

errM=abs((z-N)./z);

erM=0;

for R=1:length(z)

erM=erM+errM(R);

end

MSEdenganmodifikasiaturantrapesium=seeldat/length(z)

rata2ermodifikasiaturantrapesium=erM/length(z)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 116: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

16. Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu tunda Menggunakan

Aturan Trapesium dan Data Asli

clear

clc

close all

t=0:700;

l=1800:1920;

o=1800:2500;

n=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

N(1:121)=n(1:121);

k=length(t);

for m=121:k-1

n(m+1)=N(m)+(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))));

N(m+1)=N(m)+0.5*((0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(121))))))))...

+(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(121)))))))));

end

waktu=1950:2020;

asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730

2.8224 2.8733 ...

2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740

3.3396 ...

3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517

3.9278 ...

4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580

4.5370 ...

4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454

5.2374 ...

5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249

5.9050 ...

5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612

6.5419 ...

6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258

7.2106 ...

7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135

7.7948];

plot(o,N,'b')

hold on

plot(waktu,asli,'r*')

legend('model dolgonosov','data asli')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 117: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

grid on

axis([1950 2020 0 9])

erdat=abs((asli-N(151:221))./asli);

er=0;

for e=1:length(erdat)

er=er+erdat(e);

end

msdat=(asli-N(151:221)).^2;

msedat=0;

for E=1:length(msdat)

msedat=msedat+msdat(E);

end

rata2galatrelatif=er/length(erdat)

MSE=msedat/length(msdat)

17. Perbandingan Model Dolgonosov dengan Waktu tunda Menggunakan

Modifikasi Aturan Trapesium dan Data Asli

clc

clear

close all

t=0:800;

l=1700:1920;

o=1700:2500;

N=163/45*(pi/2-atan((1995-l)/45));

k=length(o);

for i=120:220;

n(i+1)=N(i)+1/2*(0.0257*(N(i-25))^2*(1-

(N(i)/(5.2+0.85*(N(i-30)-N(121))*exp(-0.51*(N(i-100)-

(N(121))))))));

z(i+1)=1/2*(0.0257*(n(i+1-25))^2*(1-

(n(i+1)/(5.2+0.85*(n(i+1-30)-N(121))*exp(-0.51*(n(i+1-

100)-(N(121))))))));

end

for m=221:k-1;

n(m+1)=N(m)+1/2*(0.0257*(N(m-25))^2*(1-

(N(m)/(5.2+0.85*(N(m-30)-N(221))*exp(-0.51*(N(m-100)-

(N(221))))))));

z(m+1)=1/2*(0.0257*(n(m+1-25))^2*(1-

(n(m+1)/(5.2+0.85*(n(m+1-30)-N(221))*exp(-0.51*(n(m+1-

100)-(N(221))))))));

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 118: MODEL MATEMATIS DINAMIKA PERTUMBUHAN POPULASI DUNIA

N(m+1)=n(m+1)+1/2*(0.0257*(n(m+1-25)+z(m+1-

25))^2*(1-((n(m+1)+z(m+1))/(5.2+0.85*((n(m+1-30)+z(m+1-

30))-N(221))*exp(-0.51*((N(m+1-100)+z(m+1-100))-

(N(221))))))));

end

waktu=1950:2020;

asli=[2.5364 2.5840 2.6309 2.6776 2.7248 2.7730

2.8224 2.8733 ...

2.9257 2.9796 3.0349 3.0918 3.1504 3.2110 3.2740

3.3396 ...

3.4079 3.4788 3.5516 3.6257 3.7004 3.7758 3.8517

3.9278 ...

4.0038 4.0795 4.1547 4.2295 4.3045 4.3805 4.4580

4.5370 ...

4.6174 4.6996 4.7840 4.8709 4.9606 5.0525 5.1454

5.2374 ...

5.3272 5.4143 5.4989 5.5816 5.6632 5.7442 5.8249

5.9050 ...

5.9848 6.0642 6.1435 6.2226 6.3018 6.3812 6.4612

6.5419 ...

6.6235 6.7059 6.7891 6.8728 6.9568 7.0412 7.1258

7.2106 ...

7.2953 7.3798 7.4640 7.5479 7.6311 7.7135

7.7948];

plot(o,N,'b')

hold on

plot(waktu,asli,'r*')

legend('model dolgonosov','data asli')

xlabel('tahun'),ylabel('populasi penduduk(miliar)')

grid on

axis([1950 2020 0 9])

erdat=abs((asli-N(251:321))./asli);

er=0;

for e=1:length(erdat)

er=er+erdat(e);

end

msdat=(asli-N(251:321)).^2;

msedat=0;

for E=1:length(msdat)

msedat=msedat+msdat(E);

end

rata2galatrelatif=er/length(erdat)

MSE=msedat/length(msdat)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI