model gustoće molekularnih motora na mikrotubulima · 2016. 2. 1. · prijenos tvari unutar...

Model gustoće molekularnih motora na mikrotubulima

Marija Turković

mentor: doc. dr. sc. Matko Glunčić

Kratki pregled

• svojstva mikrotubula

• motorni proteini

• Laplaceov transformat

• pretpostavke modela

• nadogradnja modela

• ograničenja

• zaključak

Model gustoće molekularnih motora na mikrotubulima Marija Turković, 03.02.2016.

Opis i funkcija mikrotubula

• unutarstanične strukture, nalaze se u citoplazmi eukariota

• citoskelet:

• kompleksna mreža filamenata i mikrotubula

• proteže se od jezgre do stanične membrane

• funkcije mikrotubula:• dioba stanice

• organizacija i održavanje strukture

• međustanični transport

Svojstva mikrotubula

Motorni proteini

Laplaceov transformat

Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


prikaz mreže mikrotubula u stanici pluća

http://olympus.magnet.fsu.edu/galleries/confocal/cells/gelu/gelusb1.html

http://olympus.magnet.fsu.edu/galleries/confocal/cells/gelu/gelusb1.html

Dinamička ravnoteža - α i β tubulin

• tubulin • vezanje u lančaste strukture

• polarnost• proizlazi iz specifičnog načina grupiranja

tubulina u lančaste strukture

• generiranje sile• rast i smanjenje mikrotubula

• dinamička ravnoteža


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


http://oregonstate.edu/instruction/bi314/summer09/Fig-12-42-0.jpg

http://oregonstate.edu/instruction/bi314/summer09/Fig-12-42-0.jpg

Prijenos tvari unutar stanice


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


• gibanje:• male molekule difuzijom

• velike unutarstanične strukture – molekularni motori

• proteinski strojevi koji pretvaraju kemijsku energiju u mehanički rad

http://i.imgur.com/vEOPekG.gif

http://i.imgur.com/vEOPekG.gif

http://www.studiodaily.com/2006/07/cellular-visions-the-inner-life-of-a-cell/

http://www.studiodaily.com/2006/07/cellular-visions-the-inner-life-of-a-cell/

Molekularni motori

• koristi se energija oslobođena hidrolizom ATP-a • jedna molekula za svaki korak

• kretanje organizma (primjer kontrakcije mišića)

• neki virusi iskorištavaju motore za propagaciju

• postoji mnogo tipova proteina koji mogu generirati silu unutar stanice

• motorni proteini • mogućnost gibanja po određenoj površini

• široki spektar tereta

• vrlo velike udaljenosti

• pogone staničnu diobu


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


Motorni proteini

• mikrotubularni motori• prenošenje staničnog tereta

• "šetnja" po mikrotubulu

• podjela na dvije kategorije ovisno o smjeru hoda:• pozitivni motori (od centra prema membrani)

• negativni motori (od membrane prema centru)


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


Distribucija motora na mikrotubulu

• mikrotubul konačne duljine

rast konstantnom brzinom

• molekularni motori

gibanje po mikrotubulu konstantnom brzinom

vezanje i oslobađanje s mikrotubula različitim vjerojatnostima

• model gustoće molekularnih motora na mikrotubulu dan je jednadžbom:

• Heaviside step-funkcija

motori se mogu vezati samo ako mikrotubul postoji


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑡= 𝛼𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 − 𝛽𝜌(𝑥, 𝑡) − 𝑣𝑚

∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥


• Pierre-Simon Laplace, 18. stoljeće

• rješavanje fizikalnih problema (analiza strujnih krugova)

• Laplaceov integral:

• način rješavanja: • nepoznata funkcija 𝑓 𝑡

• Laplaceov transformat

• inverzni Laplaceov transformat

• pronalazak rješenja za 𝑓 𝑡


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝐹 𝑠 = න0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Analitičko rješenje modela gustoće motora

• prvi korak - pronalazak Laplaceovog transformata

• svojstvo derivacije:

• uvrštavanje početnog uvjeta:


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


∂𝜌

∂𝑡= 𝛼𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 − 𝛽𝜌 − 𝑣𝑚

∂𝜌

∂𝑥ℒ )𝑓(𝑡 = න

0

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡

𝑑𝑡

ℒ∂𝜌

∂𝑡= ℒ 𝛼𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 − 𝛽𝜌 − 𝑣𝑚

∂𝜌

∂𝑥

𝜌 𝑥, 0 = 0

ℒ)𝜕𝑓(𝑡

𝜕𝑡= 𝑠ℒ )𝑓(𝑡 − 𝑓(0)


• rješavanje:

• svojstvo:

• dobiva se:

• jednadžba se svodi na:


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


ℒ 𝛩 𝑡 − 𝑐 =𝑒−𝑐𝑠

𝑠

ℒ𝜕𝜌

𝜕𝑡= ℒ 𝛼𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 − 𝛽𝜌 − 𝑣𝑚

𝜕𝜌

𝜕𝑥

𝑠 + 𝛽 ℒ 𝜌 + 𝑣𝑚)∂𝐿(𝜌

∂𝑥−𝛼 𝑒

−𝑥𝑠𝑣𝑔

𝑠= 0

𝑦′ + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑒𝑐𝑥 = 0

𝑦 =𝜇 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1

)𝜇(𝑥ℒ 𝜌 = 𝐶1𝑒

−𝑠+𝛽𝑣𝑚

𝑥+𝛼

𝑠

𝑣𝑔

൯𝛽𝑣𝑔 + 𝑠(𝑣𝑔 − 𝑣𝑚𝑒−𝑠𝑣𝑔𝑥


• iz drugog početnog uvjeta:

• uvrštavanjem u:

• dobiva se konstanta:

• imamo izraz za Laplaceov transformat:


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


ℒ )𝜌(0, 𝑡 = 0

ℒ 𝜌 = 𝐶1𝑒−𝑠+𝛽𝑣𝑚

𝑥+𝛼

𝑠

𝑣𝑔


𝐶1 = −𝛼

𝑠

𝑣𝑔


ℒ 𝜌 = 𝐶1𝑒−𝑠+𝛽𝑣𝑚

𝑥+ 𝐶1𝑒

−𝑠𝑣𝑔𝑥


• drugi korak - invertiranje Laplaceovog transformata

• svojstvo linearnosti:

• iz tablica:


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝜌 = ℒ−1 𝐶1𝑒−𝑠+𝛽𝑣𝑚

𝑥− 𝐶1𝑒

−𝑠𝑣𝑔𝑥

)ℒ−1 𝑎𝑓 + 𝑏𝑓 = 𝑎ℒ−1 𝑓 + 𝑏ℒ−1(𝑓

൯ℒ 𝛩 𝑡 − 𝑐 𝑓 𝑡 − 𝑐 = 𝑒−𝑐𝑠𝐹(𝑠

൯ℒ 𝑒𝑎𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎

ℒ )sin h(𝜔𝑡 =𝜔

𝑠2 − 𝜔2

ℒ−1 𝑒−𝑐𝑠𝑎

𝑠 + 𝑎 2 − 𝑎2= 𝛩 𝑡 − 𝑐 𝑒 )−𝑎(𝑡−𝑐 𝑠𝑖𝑛ℎ )𝑎(𝑡 − 𝑐


• za diferencijalnu jednadžbu:

• dobiva se rješenje:


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝜌 𝑥, 𝑡 =𝛼

𝛽𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 1 − 𝑒

𝑥−𝑣𝑔𝑡

𝑣𝑔−𝑣𝑚𝛽

− 𝛩 𝑣𝑚𝑡 − 𝑥 𝑒−𝑥𝑣𝑚

𝛽− 𝑒

𝑥−𝑣𝑔𝑡


∂𝜌(𝑥, 𝑡)


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥


• numerička simulacija vremenske i prostorne ovisnosti gustoće motora

• potrebno analitičko rješenje za provjeru točnosti


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝜌 𝑥, 𝑡 =𝛼

𝛽𝛩 𝑣𝑔𝑡 − 𝑥 1 − 𝑒

𝑥−𝑣𝑔𝑡


− 𝛩 𝑣𝑚𝑡 − 𝑥 𝑒−𝑥𝑣𝑚

𝛽− 𝑒

𝑥−𝑣𝑔𝑡


∂𝜌(𝑥, 𝑡)


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥



Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


∂𝜌(𝑥, 𝑡)


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥

𝒗𝒎 = 𝟎 𝝁 Τ𝒎 𝒎𝒊𝒏

𝑣𝑔 = 8 𝜇 Τ𝑚 𝑚 𝑖𝑛

𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1

𝛼 = 4 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1

𝑡 = 0.5𝑚𝑖𝑛, 1.5𝑚𝑖𝑛, 2.5𝑚𝑖𝑛



Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


∂𝜌(𝑥, 𝑡)


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥

𝒗𝒎 = 𝟑 𝝁 Τ𝒎 𝒎𝒊𝒏


𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1


𝑡 = 0.5𝑚𝑖𝑛, 1.5𝑚𝑖𝑛, 2.5𝑚𝑖𝑛



Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


∂𝜌(𝑥, 𝑡)


∂𝜌(𝑥, 𝑡)

∂𝑥

𝒗𝒎 = 𝟏𝟒 𝝁 Τ𝒎 𝒎𝒊𝒏


𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1


𝑡 = 0.5𝑚𝑖𝑛, 1.5𝑚𝑖𝑛, 2.5𝑚𝑖𝑛

Dodatak difuznog člana

random walk• uzima se maleni postotak gustoće motora ("konstanta difuzije")

• mogući slučajevi: pomak lijevo, desno ili ostanak na mjestu

• na krajevima mikrotubula (𝑥 = 0, 𝑥 = L) - ograničenje


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝑣𝑚 = 3 𝜇 Τ𝑚 𝑚 𝑖𝑛


𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1


𝑡 = 0.5𝑚𝑖𝑛, 1.5𝑚𝑖𝑛, 2.5𝑚𝑖𝑛


jednadžba difuzije• 𝐷 označava koeficijent difuzije

• očekivanje: izjednačavanje koncentracije i davanje "mekšeg" oblika funkciji raspodjele


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak




𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1


)∂𝜌(𝑥, 𝑡

∂𝑡= 𝐷

)∂2𝜌(𝑥, 𝑡

∂𝑥2

D = 0.01

D = 0.1

D = 1

𝑡 = 0.5𝑚𝑖𝑛, 1.5𝑚𝑖𝑛, 2.5𝑚𝑖𝑛


jednadžba difuzije i random walkSvojstva mikrotubula

Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak



𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1

𝑡 = 2.5𝑚𝑖𝑛





𝛼 = 2.5 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1


Metode numeričkog deriviranja

metoda konačnih razlika:• vrlo jednostavna

• moguća primjena na kompleksnije diferencijalne jednadžbe

razvoj u red:

aproksimacija prve derivacije:

rješavanje za 𝑓′ 𝑥0 :


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 +𝑓 1 𝑥0

1!ℎ +

𝑓 2 𝑥02!

ℎ2 +⋯+ 𝑅𝑛(𝑥)

)𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑓 𝑥0 + ℎ 𝑓′ 𝑥0 + 𝑅1(𝑥

𝑓′ 𝑥0 ≈)𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0

ℎ


• upwind metodaSvojstva mikrotubula

Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝑢𝑗𝑛+1 = 𝑢𝑗

𝑛 −𝑣𝑚𝑑𝑡

𝑑𝑥𝑢𝑗𝑛 − 𝑢𝑗−1

𝑛





𝛼 = 2.5 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1



𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1



• FTCS (forward-time-centered-space) metodaSvojstva mikrotubula

Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak






𝛼 = 2.5 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1



𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1



𝑛 +𝑣𝑚𝑑𝑡

2 𝑑𝑥𝑢𝑗+1𝑛 + 𝑢𝑗−1

𝑛


• Lax-Friedrichs metodaSvojstva mikrotubula

Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


𝑢𝑗𝑛+1 =

1

2𝑢𝑗+1𝑛 + 𝑢𝑗−1


2 𝑑𝑥𝑢𝑗+1𝑛 − 𝑢𝑗−1

𝑛





𝛼 = 2.5 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1



𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1



• Lax-Wendroff metodaSvojstva mikrotubula

Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak




2 𝑑𝑥𝑢𝑗+1𝑛 − 𝑢𝑗−1

𝑛 +𝑣𝑚𝑑𝑡

2 𝑑𝑥𝑢𝑗+1𝑛 − 2𝑢𝑗

𝑛 + 𝑢𝑗−1𝑛





𝛼 = 2.5 𝜇𝑚−1𝑚𝑖𝑛−1



𝛽 = 4 𝑚𝑖𝑛−1




Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


Zaključak

• razmatranje modela distribucije motora na mikrotubulu • dobiveni očekivani rezultati

• mijenjanje vrijednosti konstanti – da li model prestaje vrijediti za neke slučajeve?

• ograničenja numeričkog deriviranja• izbjegnuta međusobnom usporedbom

• predviđanje – kako funkcionira model ukoliko se doda difuzni član• različita konstanta difuzije

• ne mijenja se ponašanje motora


Motorni proteini


Pretpostavke modela

Nadogradnja modela

Ograničenja

Zaključak


Hvala na pažnji!

model gustoće molekularnih motora na mikrotubulima · 2016. 2. 1. · prijenos tvari unutar...

Documents