MODEL ARUS JARINGAN

• Jaringan (network) = (N, A); N=node, A=arc = sisi=busur.

• Arc (sisi) terarah mempunyai arah.

• Jaringan terarah mempunyai semua sisi yang terarah.

• Path (lintasan) = sekumpulan arc yang berbeda yang menghubungkan dua node melalui node yang lain tanpamemperhatikan arah aliran sisi (arc).

• Path yang menghubungan node dengan dirinya = cycle (siklus)

• Network terhubung = setiap dua nodeberbeda dihubungkan oleh paling sedikit satupath.

• Tree=jaringan terhubung yg merupakan subset darijaringan tanpa cycle (sikluc)

• Spanning tree= tree yg menghubungkan

DEFINISI

1

2

Tree

3

Pengertian Jaringan

Jaringan adalah suatu susunan garis edar (path) yang terhubung pada berbagai titik, dimana satu atau beberapa barang bergerak dari satu titik ke titik lain (Taylor, 2005)

Contoh : sistem jalan tol, jaringan telepon, jaringan rel kereta api, jaringan televisi, dsb.

Pada dasarnya model arus jaringan juga merupakan pengembangan dari model transportasi atau distribusi yang berkaitan dengan pemindahan / pengiriman komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan dengan ongkos transportasi minimum.

Pada perkembangannya ternyata model transportasi ini dapat juga digambarkan dan diselesaikan dalam suatu bentuk jaringan

Jaringan digambarkan sebagai suatu diagram yangterdiri dari 2 komponen, yaitu:

simpul (nodes), biasanya digambarkan dalambentuk lingkaran

cabang (branches), dalam bentuk garis yangmenghubungkan simpul-simpul tersebut.

Simpul (nodes) melambangkan titik-titikpersimpangan atau perhentian. Pada umumnyamenyatakan lokasi, kota, stasiun, dsb.

Cabang (branches) melambangkan arus dari satutitik ke titik yang lain dalam jaringan tersebut. Padaumumnya menyatakan waktu tempuh, jarak, panjang,dsb.

Topik pembicaraan dibatasi pada 3

macam persoalan, yaitu:

1) Masalah Rute Terpendek (ShortestRoute)

2) Masalah Rentang Pohon Minimum(Minimal Spanning Tree)

3) Masalah Aliran Maksimum (MaximalFlow)

1. Masalah Rute Terpendek

(Shortest Route) :

Masalah rute terpendek berguna untuk menentukan jarak tersingkat antara titik

awal (sumber) dengan beberapa titik tujuan

Langkah-langkah penyelesaian

adalah :

1. Pilihlah simpul dengan rute langsung tersingkat dari titikawal.

2. Buatlah suatu setelan permanen (Permanent Set)dengan titik awal dan simpul terpilih dalam langkah 1.Permanent Set digunakan untuk menandakan bahwatelah ditemukan rute tersingkat ke simpul-simpul ini.

3. Tentukan seluruh simpul yang berhubungan langsungdengan simpul-simpul setelan permanen.

4. Pilihlah simpul dengan rute (cabang) terpendek darikumpulan simpul-simpul yang berhubungan langsungdengan simpul-simpul setelan permanen.

5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampai seluruh simpulbergabung dengan setelan permanen.

10

Contoh :

Seseorang yang tinggal di Bogor dan bekerja di Jakarta dapat melalui berbagai route seperti tergambar pada jaringan di bawah. Angka menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk menempuh route tersebut (dalam menit).

Bogor Jakarta

B

P

D

C

O

J

28

4

17

11

17

32

12

32

18

Route dengan

waktu tempuh

terpendek

{ BD, DP, PJ }.

Seseorang akan bepergian dari kota u ke kota v.

Diberikan diagram jarak antarkota berikut (dalam

puluhan mil) :

x4

4 3

a

2 3

u 6 y 2b 3 v

12

4

z5 3

c

Rute manakah yang harus ia pilih agar jarak

tempuhnya minimal?

Contoh :

JAWABAN:

Setelah itu lakukan penelusuran terbalik mulai

dari simpul akhir (v), sehingga diperoleh:

v c y z u = 10

Latihan

Tentukan minimal spanning tree dari jaringan

berikut:

SE

2000

LA

DE

1300DA

CH NY

DC

11001300

1000

2000

2600

1400780 900

800

200

2. Masalah Rentang Pohon Minimum

(Minimal Spanning Tree)

Masalah rentang pohon minimum sebenarnya serupa dengan masalah rute terpendek, dimana perbedaannya adalah: Tujuan masalah rute terpendek adalah

menentukan rute terpendek antara titik awal dan simpul tujuan dalam jaringan tersebut.

Tujuan dari masalah rentang pohon minimum adalah menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan sehingga total panjang cabang dapat diminimumkan.

Jaringan yang dihasilkan merentangkan (menghubungkan) semua titik dalam jaringan tersebut pada total jarak (panjang) minimum.

Definisi Spanning tree : Untuk suatu jaringan dengan n node, spanning tree adalah sekumpulan dari n-1 busur (arc) yang menghubungkan semuanode dalam jaringan dan tidak mengandungloop Definisi Minimum Spanning Tree:Minimum spanning tree adalah spanning tree dengan panjang minimum dalam suatujaringan

Masalah Rentang Pohon Minimum

(Minimal Spanning Tree)

Langkah-langkah penyelesaian

adalah :

1. Pilihlah simpul awal manapun.

2. Pilihlah simpul yang terdekat dengansimpul awal untuk bergabung denganpohon rentang.

3. Pilihlah simpul terdekat yang belumtermasuk dalam pohon rentang.

4. Ulangi langkah 3 sampai seluruh simpultelah bergabung dalam pohon rentang.

Gambaran

1

3

22

Perhatikan Contoh jaringan di samping.Terdapat 3 spanning tree, yaitu:1. Arc (1,2) dan (2,3)2. Arc (1,2) dan (1,3)3. Arc (1,3) dan (2,3)Spanning tree ketiga adalahminimum spanning tree

4 7

12

Algoritma

Untuk menemukan spanning tree dapat digunakanalgoritma berikut:

Mulailah dengan memilih busur (arc) terkecil(terpendek) dan membuat himpunan arc yang terhubungkan

Pada setiap iterasi tambahkan arc terkecil yang belum terpilih yang memiliki koneksi denganhimpunan yang telah terhubungkan (connected set),

Algoritma selesai jika semua node telahterhubungkan dan terdapat n -1 arc yang masukdalam himpunan arc yang terhubungkan(connected arc)

18

Midwest TV Company dalam

proses

kabel ke

menyediakan jaringan

wilayahlima

pengembangan perumahan

baru. Gambar di bawah adalah

jaringan TV yang mungkin

yang menghubungkan ke lima

wilayah tersebut. Kabel diukur

dalam mil yang ditunjukkan

oleh setiap arc (sisi).

• N={1,2,3,4,5,6}

•

1

C1={1} (sebarang node juga dapat digunakan untuk memulai);

C1={2,3,4,5,6}.

• C2={1,2} dan C2={3,4,5,6}.

Jaraknya = 1

• C3={1,2,5} dan C3={3,4,6}.

Jaraknya = 3

• C4={1,2,5,4} dan C4={3,6}.

Jaraknya = 4

• C5={1,2,5,4,6} dan C5={3}.

Jaraknya = 3

1

2

3

5

6

3 mil

4

5

Alternate links

• C6={1,2,5,4,6,3} dan C6={ }=.Jaraknya = 5

• Jadi kabel minimum (terpendek) yang diperlukan adalah 1+3+4+3+5=16 mil

4

3

5

Minimal spanning tree

Contoh :

Berikut ini adalah jaringan yang mungkin dihubungkan oleh PT. TELKOMNUS antar beberapa kota, di mana angka yang tercantum pada cabang adalah total biaya dalam milyar rupiah.

A

E

D

B

C

F

G

8

3

5

3

7

7

12

10

4

1

4

10

B

E

D

C

A

F

G

Rentang Minimumnya

adalah :

Contoh

Kota Vancouver berencana mengembangkan

sistem transportasi kereta api baru.

Sistem tersebut harus menghubungkan 8 pusat-

pusat perumahan dan komersial.

Distrik Metropolitan Transit perlu memilih set garis

yang akan menghubungkan semua pusat dengan

total biaya minimum.

23

PusatPerbelanjaan

Loop

2 6

4

7

8

Bagian Barat

Bagian Utara

Universitas

PusatBisnis

BagianTimur

Bagian Selatan

PusatKota

50

34

35

39

45

41

Biaya Total = $236 juta

REPRESENTASIJARINGAN

5

1

3

24

PusatPerbelanjaan

4

7

8

Bagian Barat

Bagian Utara

Universitas

Pusat Bisnis

BagianTimur

Bagian Selatan

PusatKota

50

34

35

39

45

41

Biaya Total= $236 juta

OPTIMAL SOLUTIONNETWORKREPRESENTATION 53

1

62

Topik pembicaraan dibatasi pada 3

macam persoalan, yaitu:

1) Masalah Rute Terpendek (ShortestRoute)

2) Masalah Rentang Pohon Minimum(Minimal Spanning Tree)

3) Masalah Aliran Maksimum(Maximal Flow)

Masalah Arus Maksimum

(Maximal Flow):

Masalah aliran maksimum merupakan masalah jaringan dimana cabang-cabang jaringan tersebut memiliki kapasitas arus yang terbatas.

Tujuan dari masalah arus maksimum adalah memaksimumkan total jumlah arus dari satu titik awal ke satu tujuan

Masalah arus maksimum dapat

mencakup:

• arus (aliran) air, gas, atau minyak melalui suatu

jaringan pipa,

• arus formulir melalui suatu sistem pemrosesan

dalam kantor pemerintah,

• arus lalu lintas melalui jaringan jalan raya,

• arus produk melalui suatu sistem lini produksi,

• dll.

Dalam kondisi tersebut, pengambil keputusan ingin

menentukan arus maksimum yang dapat diperoleh

melalui sistem tersebut.

Langkah-langkah penyelesaian

adalah :

1. Pilihlah secara arbitrer (sembarang) garis edardalamjaringan tersebut dari titik awal ke titik tujuan.

2. Sesuaikan kapasitas pada setiap simpuldengan mengurangkan arus maksimal untuk garisedar yang dipilih pada langkah 1.

3. Tambahkan arus maksimal sepanjang garis edar kearus berlawanan arah pada setiap simpul.

4. Ulangi langkah 1, 2, dan 3 sampai tidak ada lagigarisedar dengan kapasitas arus yang tersedia.

The Scott Tractor Company mengirim bagian-bagian traktor dari Omaha ke St Louis dengan kereta api. Namun, kontrak membatasi jumlah gerbong kereta yang dapat dipastikan oleh perusahaan pada setiap cabang selama satu minggu.

Contoh :

Definisi dan ContohPermasalahan

• Masalah: Maksimumkan jumlah arus barangdari sebuah titik awal ke sebuah tujuan

Algoritma masalah aliran maksimum adalah sebagai berikut:

Algoritma masalah aliran maksimum adalah sebagai berikut:

a. Identifikasi (kenali) augmenting path yang mempunyai kapasitas sisa positif.

b. Sebut kapasitas sisa c* dari augmenting path, yaitu minimum dari kapasitas setiap jalur (arc) yang dilalui.

c. Kurangkan dengan c* pada setiap awal jalur kapasitas sisa, dan tambahkan c* pada arah yang berlawanan. Selanjutnya kembali ke langkah a.

Pendekatan Solusi• Secara arbitrer, pilih garis edar/jalur manapun

sepanjang jaringan dari titik awal ke tujuan dan kirimsebanyak mungkin yang bisa

Augmenting path 1 2 5 6 min {6,8,4} =4

Pendekatan Solusi• Hitung ulang arus cabang pada kedua arah dan kemudian

pilih jalur layak yang lain secara arbitrer dan tentukanarus maksimum sepanjang jalur sampai arus tidakmungkin lagi

Augmenting path 1 4 6 min {4,5} =4

Pendekatan Solusi

• Lanjutkan

Augmenting path 1 3 6 min {7,6} =6

Pendekatan Solusi

• Solusi optimal

Augmenting path 1 3 4 6 min {1,2,,1} =1

Contoh :

Tentukan total arus maksimum bahan yang dapat dikirim dari titik awal ke tujuan melalui lintasan sbb.

A DB

C

8

7

0

10

4

5

410

05

0

0Awal Tujuan

A DB

C

0

0

7

0

0

2

83

78

8

10(-22) (+22)

Jawab :

Permasalahan yang muncul yaitu:

1. Lewat jalur mana dari O menuju ke T sehingga diperoleh

jarak terpendek, berapa jaraknya.

2. Buatlah jaringan air yang menghubungkan semua tempat

peristirahatan agar panjang pipa yang digunakan minimum.

Permasalahan yang muncul yaitu:

1. Buatlah jalur kereta, agar banyaknya lintasan maksimum.