modale syllogismen, mögliche welten, essentialismus (eine analyse der aristotelischen modallogik)...

VI. Ergänzungen; Schluß

Ich habe in den vorangegangenen Kapiteln bei vielen Gelegenheiten darübergesprochen, wie sich meine Überlegungen zu den Theorien anderer Autorenverhalten. Die Abfolge, in der Elemente solcher alternativer Theorien insSpiel kamen, war dabei durch die Art und Weise bestimmt, in der ich meineneigenen Gedankengang vorangetrieben habe. Unter diesen Umständen er-schiene es vielleicht angezeigt, daß ich, nachdem ich den Gedankengang zumEnde gebracht habe, mich einer systematischen Behandlung der wichtigstenAnsätze anderer Interpreten zuwende. Abgesehen davon jedoch, daß ich einÜbermaß an Wiederholungen lieber vermeide: ich glaube, meine Ansichtenso detailliert dargestellt zu haben, daß es beispielsweise für den Leser, welcheran den Aufsätzen Wielands zur aristotelischen Modallogik interessiert ist,keine Mühe mehr bedeutet, sich bei einer Lektüre dieser Aufsätze an jederStelle selbst zurechtzulegen, welchen Meinungen Wielands ich zustimme,welchen Meinungen ich widerspreche (das sind sehr viele) und aus welchenGründen ich ihnen widerspreche. Ich will mich daher in diesem Kapitel daraufbeschränken, zu drei früher nur angeschnittenen und von anderen Autorenbehandelten Themen etwas zu sagen, von denen vor dem Hintergrund desbisher Entwickelten nicht ohne weiteres klar ist, wie ich mich dazu verhalte.

Wir haben zunächst über Vollkommenheit und Unvollkommenheit vonSyllogismen zu sprechen. In der assertorischen Syllogistik gelten alle und nurdie Syllogismen als vollkommen (~ ), welche zur ersten Figur gehö-ren. In der modalen Syllogistik bilden die als vollkommen ausgezeichnetenSyllogismen eine echte Teilmenge der Menge der zur ersten Figur gehören-den Syllogismen. Einen Überblick über die Daten bieten im Anhang BeckersTafeln. Mit Blick auf den assertorischen Fall hat Patzig in (1969) plausibeldie These vertreten, die Vollkommenheit eines Syllogismus bestehe in seinerEvidenz, das heißt in der leichten Einsehbarkeit seiner Gültigkeit; und dieseberuhe im Fall der Syllogismen der ersten Figur auf dem Umstand, daß hier,bei der von Aristoteles bevorzugten Art der Formulierung syllogistischerSätze, jedesmal nach einem Vorbringen des jeweiligen Obersatzes der Unter-satz nahdos angeschlossen werden könne — nämlich aufgrund der Identitätvon Subjektsterminus des Ober- und Prädikatsterminus des Untersatzes — ,wodurch sozusagen ein optimaler Fluß der Schlußbewegung vom Oberbe-griff zum Unterbegriff ermöglicht werde. So soll das etwa in der Bewegungvon „A kommt jedem B zu" über das „B kommt jedem C zu" zur Konklu-

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400 VI. Ergänzungen; Schluß

sion „A kommt jedem C zu" geschehen. In dem Beispiel vertritt B denSubjektsterminus der ersten Prämisse und zugleich den Prädikatsterminusder zweiten. Die Termini „Subjektsterminus" und „Prädikatsterminus" sindmit Bezug auf die traditionelle Art der Formulierung syllogistischer Sätzegeprägt, welche nicht die des Aristoteles ist. Die Tradition transformiert bei-spielsweise „B kommt jedem C zu" in „alle C sind B", und in Sätzen deszweiten Typs wird B Teil des grammatischen Prädikats, C Teil des grammati-schen Subjekts. Nun ist klar, daß diese Bestimmung der Vollkommenheitnicht ohne Modifikation auf den modalen Fall übertragen werden kann. Ent-weder betrachten wir den (inneren) Modalfaktor eines modalsyllogistischenSatzes als Teil des Prädikatsterminus, so daß wir es mit Termini der FormenNB, KB usw. zu tun haben; oder wir tun das nicht. Im ersten Fall kollidiertdie von Aristoteles etwa für Barbara XNX in Anspruch genommene Voll-kommenheit mit der Hypothese, Patzigs Explikat für Vollkommenheit taugein unveränderter Form auch für die modalen Modi. Denn hier wäre derPrädikatsterminus des Untersatzes vom Typ NB, der Subjektsterminus desObersatzes gegeben durch B, und zwischen beiden besteht keine Identität.Im zweiten Fall kollidiert dieselbe Hypothese mit der von Aristoteles behaup-teten Unvollkommenheit etwa von Barbara XKM und von Barbara NKM.Patzig vermutet in Ansehung der Befunde aus der modalen Syllogistik, daßAristoteles die Trennungslinie zwischen vollkommenen und unvollkomme-nen Syllogismen so ziehen wolle: vollkommen sind genau diejenigen Syllogis-men, die entweder assertorisch sind und eine Identität von Subjektsterminusdes Obersatzes und Prädikatsterminus des Untersatzes aufweisen (und zu-gleich eine Identität von Prädikatsterminus des Obersatzes und Prädikatster-minus der Konklusion) oder die nicht-assertorisch sind, zur ersten Figur ge-hören und bei denen der Prädikatsterminus des Obersatzes identisch ist mitdem Prädikatsterminus der Konklusion. (Dazu Patzig a. a. O., S. 73.) Dabeisollen offenbar im Sinne des ersten der beiden eben unterschiedenen FälleModalfaktoren als Teile der Termini angesehen werden. Barbara XKM wäredanach trotz der Zugehörigkeit zur ersten Figur unvollkommen, weil derPrädikatsterminus der Konklusion eines jeden Syllogismus dieses Typs sichvon dem Prädikatsterminus des jeweiligen Obersatzes, welcher assertorischist, durch Hinzutreten eines Ausdrucks der Möglichkeit unterscheidet. Bar-bara XNX wäre danach vollkommen, weil die Conclusio ebenso assertorischist wie der Obersatz. Mit Patzigs eigenen Worten:

„Nicht also die fehlende Identität des Mittelbegriffs, sondern die fehlendeIdentität des Prädikats der ersten Prämisse und der Conclusio ist für Aristo-teles Grund genug gewesen, die angegebenen Syllogismen [gemeint sindBarbara XKM und Barbara NKM] als unvollkommen, weil nicht evident,zu bezeichnen" (a. a. O., S. 73).



VI. Ergänzungen; Schluß 401

Patzigs Vermutung ist extensional korrekt. Ich bin aber nicht sicher, ob siedas trifft, was Aristoteles gemeint hat, als er die Trennungslinie so zog, wie wirsie vorfinden. Leider können wir nur spekulieren über das Unterscheidungs-kriterium, welches Aristoteles im Sinn gehabt haben mag. Doch wenn Voll-kommenheit etwas mit Evidenz zu tun hat, muß ein plausibles Kriteriumetwas mit der entweder gegebenen oder fehlenden Glattheit des durch denMittelbegriff vermittelten Übergangs vom Ober- zum Unterbegriff zu tunhaben. Diese Bedingung, die durch das von Patzig für den assertorischen Fallvermutete Kriterium erfüllt wird, ist durch die für den modalen Fall in Be-tracht gezogene Modifikation des Kriteriums nicht erfüllt. Ich biete die fol-gende Lösung an.

Vollkommen sind erstens diejenigen Syllogismen, bei denen, mit etwasMetaphorik gesagt, die Schlußbewegung vollkommen nahtlos vom Oberbe-griff zum Unterbegriff dadurch laufen kann, daß der Prädikatsterminus desUntersatzes identisch ist mit dem Subjektsterminus des Obersatzes. Das istso im Falle der assertorischen Syllogismen der ersten Figur. Vollkommen sindzweitens diejenigen, bei denen — im modalen Fall — diese Bewegung relativnahtlos deshalb vonstatten gehen kann, weil es nicht nötig ist, den Obersatzin einer anderen Bezugswelt auszuwerten, als es diejenige Welt ist, auf dieman den Ober- und den Untersatz sich zunächst bezogen zu denken hat.Vollkommen sind keine anderen als die genannten Syllogismen. Die für denmodalen Fall angegebene Charakterisierung meint Verhältnisse, wie wir siebei der Analyse der aristotelischen Argumentation für die Gültigkeit vonBarbara XKM kennengelernt haben. Ich erinnere hier an die in III.2.3. vorge-tragene Rekonstruktion von Argument 2. Die Formel

(VxN(C(x) D ( )) VxN(B(x) D A(x))) D Vx(N)(C(x) DMA(x))

war als gültig zu erweisen, das heißt als wahr in jeder beliebigen Bezugswelt xoeiner jeden modallogischen Interpretationsstruktur. Es wird folgendermaßengeschlossen. VxN(C(x) D KB(x)) bzw. Vx(C(x) D KB(x)) sei wahr in XQ.Wenn dann a ein beliebiges Exemplar von C in xo ist, erfüllt a die FormelKB(x) und damit die Formel MB(x) in XQ. Das heißt, daß a die Formel B(x)selbst in einer Alternative xi zu xo erfüllt. Um nun auf ein Verhältnis zu Aschließen zu können, muß man den Obersatz in eben dieser Alternative zurBezugswelt xo auswerten: a ist ein Exemplar von B in xi und damit — wegender vorausgesetzten Wahrheit von VxN(B(x) D A(x)) in XQ, welche die Wahr-heit von Vx(B(x) D A(x)) in xi impliziert — ein Exemplar von A in xi,mithin ein Exemplar von MA in der ursprünglichen Bezugswelt XQ. Analogverhält es sich, wenn die Gültigkeit von Barbara NKM einzusehen ist. ZurValidierung etwa von Barbara XNX ist es dagegen nicht erforderlich, zwi-




sehen den Welten hin und her zu wechseln: Vx(C(x) D NB(x)) gelte in xo,und a sei ein beliebiges Exemplar von C in XQ; dann erfüllt a in XQ NB(x)und damit B(x), und aufgrund der vorausgesetzten Wahrheit von Vx(B(x) DA(x)) in xo ist a in XQ ein Exemplar von A.

Wenn wir dieses Kriterium der Vollkommenheit akzeptieren, ist die vonPatzig herausgestellte Eigenschaft der unvollkommenen unter den modalenSyllogismen der ersten Figur ein Sekundärphänomen, welches durch das Feh-len von Vollkommenheit im Sinne unseres Kriteriums erklärt wird, nicht aberselbst den Grund für die mangelnde Evidenz der fraglichen Modi darstellt. So-bald wir es nämlich in der ersten Figur mit einem Untersatz vom Möglichkeits-typ zu tun haben, sobald wir also für Exemplare a des Unterbegriffs C lediglichüber die Voraussetzung MB(a) als Implikat von KB(a) (anstelle von NB(a) oderB (a)) verfügen, müssen wir, um auf ein Verhältnis zu A weiterschließen zukönnen, syntaktisch gesprochen den hier ins Spiel gekommenen Möglich-keitsoperator über den Obersatz distribuieren; das heißt wir müssen z. B. von

VxN(B(x) D A(x))zu

Vx(N)(MB(x) D MA(x)),von

VxN(B(x) D NA(x))zu

Vx(N)(MB(x) D MNA(x))übergehen. Dies bedeutet, daß wir nicht auf ein Verhältnis zum Oberbegriffselbst — als dessen Bestandteil hier der jeweilige Modalfaktor gelten soll —schließen können, sondern nur auf ein Verhältnis zum durch Voranstelleneines Möglichkeitsfaktors abgeschwächten Oberbegriff. Daß man es der Sa-che nach relativ zu S5 nicht mit einer wirklichen Abschwächung im Verhältnisvon MNA(x) zu NA(x) zu tun hat, können wir jetzt beiseite lassen.

Gegen die Adäquatheit unseres Kriteriums scheint lediglich die Tatsachezu sprechen, daß Aristoteles die Syllogismen der ersten Figur vom ModaltypKKK vollkommen nennt. Denn auch hier müssen zunächst zur Validierungdie Welten gewechselt werden: Träger a von C in einer Ausgangswelt xoerfüllen in xo KB(x) und MB(x), also in xi B(x) selbst, und mit der Wahrheitvon VxN(B(x) D KA(x)) in x0 hat man die Wahrheit von Vx(B(x) D KA(x))in xi; daher erfüllen Träger a von C in XQ die Formel KA(x) in xi, mithinMKA(x) in xo, also - nach S4-Prinzipien — auch KA(x) selbst in XQ. Dochwir haben gesehen (vgl. II.4. und III.2.1.), daß Aristoteles genau für dieKontingenzaussagen unter den allgemeinen Modalaussagen von der Möglich-keit ausgeht, für ihre Form sei eine ampliatio des Subjektsterminus anzuset-zen dahin, daß auch mögliche Träger der durch den Terminus bezeichneten




Eigenschaft zu seinem Anwendungsbereich gezogen werden. Wenn in diesemSinne etwa Barbara KKK symbolisiert wird durch die Formelfolge

Vx(N)(MB(x) D KA(x))Vx(N)(MC(x) D KB(x))

Vx(N)(MC(x) D KA(x)),

dann ist die Validierung des Modus offensichtlich in einer Weise möglich, diesich in der hier zur Diskussion stehenden Hinsicht nicht von der Validierungvon Barbara XNX unterscheidet.

Da Patzig erhebliche Zweifel sogar an der Gültigkeit von Barbara KKKhat, empfindet er natürlich erst recht Unbehagen in Anbetracht der von Ari-stoteles für diesen Modus beanspruchten Vollkommenheit. (Dazu S. 70 n. la.a.O.). Nach allem, was wir jetzt und früher bei unserer Inspektion deraristotelischen Gültigkeitsbehauptungen gefunden haben, sollte klar sein, daßzu einem solchen Unbehagen nicht wirklich Anlaß besteht.

Das zweite der hier zu erörternden Themen wurde in Kapitel III., Ab-schnitt 2.10., eingeführt. Dort habe ich über die Kritik Beckers an solchenArgumenten des Aristoteles berichtet, durch die anscheinend in einem ZugeReduktionen unvollkommener Syllogismen bewerkstelligt und Nichtgültig-keitsbehauptungen begründet werden sollen. Ich will jetzt, meiner damaligenAnkündigung entsprechend, hauptsächlich am Fall von Felapton mit KN-Antezedens belegen, daß die kritisierte Weise zu argumentieren sehr wohllogische Substanz hat.

Um die Idee zuerst anhand eines einfacheren Falles zu illustrieren, be-trachte ich zunächst den assertorischen Modus Felapton — auch wenn diefragliche Argumentationsweise in der assertorischen Syllogistik keine Rollespielt. Von den Prämissen von Felapton kann durch Übergang zu den Prä-missen von Ferio gezeigt werden, daß sie eine o-Formel implizieren. DiePrämissen von Felapton sind nämlich

A e C ( = : p )B a C ( = : q ) ;

die Prämissen von Ferio sindA e C ( = p)C i B ( = : q ' ) .

Hier impliziert q, aufgefaßt als Ausdruck der Form Vx(C(x) D B(x)) 3xC(x),die Formel q' («* 3x(B(x) C(x))), während die Umkehrung nicht gilt. Jedochkann man diese größere Stärke von p q gegenüber der von p A q' gar nichtausspielen, wenn man etwas über das Verhältnis von A und B erschließen will;und Aristoteles interessieren als Conclusiones nur Formeln, die A und B durch




a, e, i oder o zueinander in Relation setzen. Daher sind p q und p q' imHinblick auf die Formelmenge STC = {A a B, A e B, A i B, A o B} logischgleichwertig, und was p q' nicht als Implikat in 33 hat, hat auch dasgleichwohl stärkere p A q nicht als Implikat in ODl. Das ist intuitiv klar, mankann es aber auch wie folgt auf einen strikten Beweis gründen.

8: Für jede prädikatenlogische Formel 21, in welcher das Prädikatensym-bol C nicht vorkommt, gilt

{Vx(C(x) D -nA(x)), Vx(C(x) D B(x)), 3xC(x)genau dann, wenn die Beziehung

{Vx(C(x) D ^A(x)), 3x(B(x) C(x))besteht. (Voraussetzung: A, B C.)

Beweis: Sei §1 beliebig wie in der Behauptung. Die Richtung von unten nachoben ist trivial. Von oben nach unten:

Sei I = <D,V> eine prädikatenlogische Interpretation mit V(9I) = 0 undV(Vx(C(x) D -A(x)) 3 ( ( ) C(x))) = 1. Sei I = <D,V> wie folgt erklärt:

D = D;V(C) = V(B) V(C);ansonsten sei auf von Formeln verschiedenen Zeichen V = V, undauf Formeln sei V nach den üblichen Regeln fortgesetzt.

Da C in Sl nicht vorkommt, ist V(H) = V(ä) = 0. Wegen V(3x(B(x)C(x))) = l ist V(B) V(C) 0, also V(C) 0 und damit V(3xC(x)) = 1.Ferner ist V(C) C V(B) = V(B), also V(Vx(C(x) D B(x))) = 1. Schließlichist V(C) C V(C) C D \ V(A) (= D \ V(A)) wegen V(Vx(C(x) D -iA(x)))= l, mithin ist V(Vx(C(x) D — iA(x))) = 1. Damit haben wir

{Vx(C(x) D -A(x)), Vx(C(x) D B(x)), 3xC(x)} \\fa «.

Wie ich schon sagte, spielt bei Aristoteles im assertorischen Fall die Art vonArgumenten, bei denen mit Reduktionen Überlegungen zu Nichtallgemein-gültigkeitsbehauptungen verknüpft werden — wenn es sich denn dem An-spruch nach dabei wirklich um strikte Argumente und nicht bloß um Plausi-bilitätsbetrachtungen handelt — , keine Rolle. Bevor ich zum modallogischenFall komme, will ich noch darauf hinweisen, daß dies die folgenden Gründehaben könnte.

Wenn Aristoteles in der assertorischen Syllogistik eine Reduktion einesModus auf einen Modus der ersten Figur vollzogen hat, bei der er vomursprünglich gegebenen Antezedens zu einer schwächeren Prämissenmengeübergegangen ist, könnte er sich natürlich zunächst auch die Frage stellen,




ob nicht aus dem ersten Antezedens eine Formel folge, die stärker ist als dieConclusio des Modus, auf den reduziert wurde. Im assertorischen Fall könntees sich dann nur darum handeln, daß statt einer i- sogar eine a- oder statteiner o- sogar eine e-Conclusio möglich wäre. Vermutlich lag es aber fürAristoteles auf der Hand, daß man aus Antezedentia mit einem partikulärenGlied lediglich eine partikuläre Conclusio gewinnen kann; mithin brauchte erin allen den Fällen, in denen er durch Reduktion von einem Prämissensystemmit partikulärem Glied zeigen konnte, daß das System eine partikuläre Aussageder gewünschten Form implizierte, gar nicht mehr die Frage zu stellen, obauch eine stärkere, das hieße: eine allgemeine, Conclusio möglich sei. Esbleiben die Modi Cesare, Camestres, Darapti und Felapton als Fälle, die dieFrage hätten aufwerfen können. Cesare und Camestres werden so reduziert,daß keine Abschwächung der Prämissenmenge erfolgt. Das könnte man übri-gens auch für jedes Prämissensystem mit partikulärem Glied sagen. Bei einemsolchen System kann die Reduktion nicht durch partikuläre, d.i. abschwä-chende Konversion der allgemeinen Prämisse erfolgen, da aus sqvei partikulä-ren Prämissen keine in Betracht kommende Aussage folgt. Also müßte diepartikuläre Prämisse umgeformt werden. Partikuläre Aussagen kann manaber nur so konvertieren, daß das Resultat der Konversion zum Ausgangs-punkt äquivalent ist. Was schließlich Darapti und Felapton angeht, so lag esfür Aristoteles möglicherweise wieder auf der Hand, daß man in der drittenFigur generell keine allgemeine Conclusio bekommen konnte.

Auch in der Modallogik, behaupte ich, wäre Aristoteles der Sache nachberechtigt gewesen, auf die soeben beschriebene Weise zu Nichtgültigkeitsbe-hauptungen zu gelangen. Ob Aristoteles tatsächlich Überlegungen der dazubenötigten Art angestellt hat, wird man nicht mit hinreichender Sicherheitentscheiden können. Immerhin steht fest, daß solche Überlegungen keines-wegs ganz außerhalb seiner Möglichkeiten lagen. Man denke nur an die Gül-tigkeitsbeweise durch Ekthesis. Die kann man nämlich so darstellen, daßdabei ähnlich wie im Beweis von Satz 8 der zentrale Schritt ein solcher ist,welcher in der Abänderung einer prädikatenlogischen Interpretation auf ei-nem der beteiligten Prädikatbuchstaben und in der Auswertung der Konse-quenzen dieser Änderung für die induzierte Wahrheitsbewertung besteht. Ichwerde das am Ende unserer Bemerkungen über Felapton erklären.

Den Modus Felapton mit KN-Antezedens diskutiert Aristoteles in A22,

40al9-25. Die Prämissen des Modus sind £ e*v5. Gemäß III.2.10., zu ZifferBaNC2.), gehe ich davon aus, daß Aristoteles eine Reduktion auf die erste Figur

A e Cdurch Transformation des Antezedens zu ~ . im Sinn hat und mit BückCiNBauf die früher erfolgte Erörterung von Ferio mit KN-Antezedens meint: das




ursprüngliche Antezedens impliziert A , nicht aber A o B, weil auchFerio KN über kein assertorisches Implikat verfugt. Man vergleiche dazu dieZusammenstellung der Gültigkeitsbehauptungen in 111.2.4. Auch wenn wirdem Inhalt des Kausalsatzes nicht zustimmen (dazu III.2.4. über KN-Modisowie IU.2.10. zu Ziffer 2.)), können wir doch sagen, daß der Begründungs-zusammenhang selbst, auf den Aristoteles sich anscheinend berufen will, un-ter geeigneten Voraussetzungen besteht - ob Aristoteles selbst sich nundessen bewußt war oder nicht. Denn wenn eine Formel von einem der indiesem Zusammenhang zu berücksichtigenden Typen aus(/) AeKCund(2') CiNBnicht folgt, dann folgt sie auch nicht aus(/) A eKCund(2) B aNC— wobei B aNC aufgefaßt wird als von der Form VxN(C(x) D NB(x))3xNC(x). Formeln der zu berücksichtigenden Typen sind hier natürlich For-meln A xyB, wobei die Relationssymbole a, e, i, o und y die Modalitätensym-bole M, K, N und X — für die Faktizität — durchläuft. Wir können diebehauptete Relation mit der folgenden etwas stärkeren Behauptung, die mitBezug auf PL + S5 (+ Barcan-Formel) als zugrundeliegende Logik formu-liert ist, und dem zugehörigen Beweis begründen. Beides hängt selbstver-ständlich von unserer speziellen Auffassungsweise der beteiligten syllogisti-schen Formeln mit ab, doch ist diese Abhängigkeit nicht entscheidend.

9: Für jede prädikatenlogisch-modallogische Formel W, in der C nichtvorkommt, gilt: wenn

{VxN(C(x) D K(-n)A(x)), VxN(C(x) D NB(x)), 3xNC(x)} 1̂ 21,dann auch

{VxN(C(x) D (- ) ( )), 3 ( ( ) NC(x))} |b^ 21.

Der Beweis ist Routine. Angenommen, die untere Relation besteht nicht. Dawir im SS-Fall auf die Komponente R (Alternativitätsrelation) von Interpreta-tionsstrukturen verzichten können und im Barcan-semantischen Fall auch aufdie Komponente Q (zum entsprechenden Interpretationsbegriff: .3., Ziffer(6)), bedeutet dies: es gibt eine Interpretation I = <D, W, V> und ein wo eW mit

V(H, wo) = 0,V((/),w0) = l = V((2'),w0).




Um im folgenden einige Dinge einfacher ausdrücken zu können, verabredeich eine unwesentliche Modifikation der Begriffsbildung aus .3.: Funktionenwie V sollen hier so aufgefaßt werden, daß sie nicht mehr Prädikatbuchstabenallein Teilmengen von D" X W zuordnen, sondern Paaren aus Prädikatbuch-staben und Elementen von W Teilmengen von Dn zuordnen. Wenn V imSinne der früheren Begriffsbildung dem n-stelligen Prädikatbuchstaben ^3,mit einer Indexmenge 3, die Menge

U Mi X {Wi} (wi e W, Mi C Dn)ie»

zuordnet, so soll V im Sinne der neuen Verabredung für jedes i e 3 dasPaar <($$, w,> durch die Menge M; interpretieren, also durch die „Extensionvon ty in Wj" im Sinne der seinerzeit gegebenen Erläuterung. Sei unter diesenVoraussetzungen I := <D, W, V> wie folgt bestimmt:

D = D;W = W;für w e W: V(C,w) = V(C,w) f| V(B,w');

w'eWansonsten sei V = V auf Individuenvariablen und auf Paaren ausWelten und Zeichen, die keine Formeln sind; auf Paare aus Formelnund Welten sei V wie üblich fortgesetzt.

Da C in 5l nicht vorkommt, ist dann V(2i,wo) = V($l,wo) = 0. Es bleibtzu zeigen:

(1) V((7),w0) = l;(2) V((2),w0) = l.Zu (1): Sei (V)' eine beliebige x-Variante von V; wir haben zu zeigen, daß(V)'(N(C(x) D K(-i)A(x)), wo) = l ist. Dazu sei w e W beliebig. Es gut(V)'(C, w) = V(C, w) C V(C, w) nach Definition von V. Sei (V)'(C(x), w)= 1. Das heißt, (V)'(x) e (V)'(C, w). Mithin ist (V)'(x) e V(C, w). Sei Vdie x-Variante von V mit V'(x) = (V)'(x). Dann ist V'(x) e V(C, w) = V'(C,w), also V'(C(x), w) = 1. Nach Voraussetzung ist V(VxN(C(x) D KHA(x)),w0) = l, also V'(N(C(x) D K(-,)A(x)), wo) = l, also V'(C(x) D K(-i)A(x),w) = 1. Wegen V'(C(x),w) = l ist demnach l = V'(K(-i)A(x),w) =(V)'(KHA(x),w).

Zu (2): Zunächst wollen wir zeigen: V(3xNC(x), wo) = 1. Nach Vorausset-zung ist V(3xN(B(x) NC(x)), wo) = 1. Also gibt es eine x-Variante V vonV mit: V'(N(B(x) NC(x)), w0) = l, mithin V'(NB(x), w0) = l = V'(NC(x),WQ). Demnach ist für alle w e W V'(C(x),w) = l sowie für alle w' e WV'(B(x), w') = l, das heißt für alle w e W: V'(x) e V'(C,w) = V(C,w) undfür alle w' e W V'(x) e V (B, w') = V(B, w'). Also für alle w e W: V'(x)




V(C, w) V(B, w'). Daher ist V'(x) e V(C, w) für alle w e W. Seiw'eW

jetzt (V)' diejenige x-Variante von V, für die gilt: (V)'(x) = V'(x). Dann ist(V)'(C, w) = V(C, w) für alle w, also (V)'(x) e (V)'(C, w) und (V)'(C(x), w)= l für aUe w e W. Das heißt: (V)'(NC(x), wo) = l, und damit haben wirV(3xNC(x), wo) = 1.

Es bleibt zu zeigen: V(VxN(C(x) D NB(x)), w0) = 1. Sei (V)' eine belie-bige x-Variante von V und w e W beliebig. Dann brauchen wir: (V)'(C(x)D NB(x), w) = 1. Sei also (V)'(C(x), w) = l, das heißt: (V)'(x) e (V)'(C,w) = V(C, w). Nach Definition von V ist V(C, w) C V(B» w')> ^5 :

w'eW(V)'(x) e V(B,w') = (V)'(B, w'), das heißt: (V)'(B(x), w') = l für

w'eW w'eWalle w' e W, oder (V)'(NB(x), w) = 1.

Wir wollen abschließend sehen, daß ein Ekthesis-Beweis beispielsweise fürden assertorischen Modus Bocardo so dargestellt werden kann, daß er imwesentlichen in der Variation einer vorgegebenen prädikatenlogischen Inter-pretation auf einem Prädikatsymbol besteht. Die Behauptung lautet: A o Cund B a C implizieren A o B (unter Voraussetzung der Gültigkeit von Felap-ton oder Ferison56). Der Beweis nimmt die folgende Form an.

Gegeben sei eine beliebige prädikatenlogische Interpretation I = <D, V)mit V(A o C B a C) = 1. Zu zeigen ist V(A o B) = 1. Der wesentlicheSchritt soll im Übergang von A o C zu A e C bestehen. Dazu wird I = <D,V> wie folgt erklärt:

D = D;V(C) = V(C) n D \ V(A)(wir schneiden aus der Extension von C unter V denjenigen Anteilheraus, der zur Extension von A gehört);ansonsten sei auf Zeichen, die keine Formeln sind,V = V;auf Formeln sei V in Einklang mit den üblichen Bestimmungenfortgesetzt.

Dann gilt folgendes.(1) V(A e C) = V(Vx(C(x) D - ( )) 3xC(x)) = l,

56 Es spielt hier keine Rolle, ob wir uns bei der Entwicklung eines Ekthesis-artigen Argumentsfür Bocardo vom assertorischen Typ an Patzigs Rekonstruktion des aristotelischen Argu-ments für Bocardo NNN (dazu S. 96) orientieren wollen oder an van Rijens Rekonstruktiondesselben Arguments (dazu S. 98). Die erste Rekonstruktion geht über Felapton, die zweiteüber Ferison.




denn: V(C) C D \ V(A) = D \ V(A); und V(C) = V(C) D \ V(A) 0,da V(3x(C(x) -.A(x))) = V(A o C) = l nach Voraussetzung.(2) V(B a C) = V(Vx(C(x) D B(x)) 3xC(x)) = l,denn: V(3xC(x)) = l wegen der zweiten Relation unter Ziffer (1); undV(Vx(C(x) D B(x))) = l wegen: V(C) = V(C) D \ V(A) C V(C), undV(C) C V(B) (= V(B)), da V(B a C) = l nach Voraussetzung.(3) V(B i C) = V(3x(C(x) ( ))) = lwegen der unter Ziffer (2) notierten Relationen. Wenn daher nach Felapton

( A e C A B a C ) D A o Bals gültig vorausgesetzt werden kann, ist wegen (1) und (2) V(A o B) = lund damit V(A o B) = 1; und wenn nach Ferison

( A e C A B i Q D A o Bals gültig vorausgesetzt werden kann, ist wegen (1) und (3) ebenfalls V(A o

A

B) = V(A o B) = l wie gewünscht.Ich komme jetzt zum letzten der Themen, deren Diskussion noch aus-

stand. In Kapitel III., Abschnitt 2.5., habe ich eine Erklärung für die Tatsacheangeboten, daß in der modalen Syllogistik, von den durch komplementäreKonversion von Kontingenzaussagen validierbaren Modi einmal abgesehen,keine Modi als gültig behauptet werden, deren rein assertorische Variantennicht gültige Modi der assertorischen Syllogistik sind. Dieser Sachverhalt istauch Angelelli der Erwähnung wert. Er schreibt mit der Notwendigkeitssyllo-gistik im Blick:

„Given a non-conclusive AA form [gemeint sind syllogistische Prämissen-paare aus zwei Assertorischen Gliedern], Aristotle does not bother to inve-stigate whether perhaps the stronger versions NN, NA or AN are conclu-sive" (Angelelli (1979), S. 181).

Über Angelellis Versuch einer Erklärung der Sachlage habe ich an der frühe-ren Stelle geurteilt, daß er nicht funktioniere. Ich will jetzt die Begründungfür meine Einschätzung nachliefern.

Unmittelbar im Anschluß an die eben zitierte Aussage heißt es bei Ange-lelli:

„One plausible way to explain this is the just mentioned converse togetherwith the equivalence of Np Nq and N(p q)" (a. a. O., S. 181).

Hierbei bezieht sich die Kennzeichnung „the just mentioned converse" aufeine unserer Passage bei Angelelli vorangehende Aussage des Inhalts, daßAristoteles nicht nur für wahr halte:(3) wenn X das impliziert, dann impliziert NX das NY,




sondern auch die Umkehrung („the converse") für wahr zu halten scheine:(4} wenn NX das N impliziert, dann impliziert auch X das Y.Angelellis Erklärung für den fraglichen Sachverhalt oder wenigstens für einenTeil davon hat man sich also offenbar folgendermaßen zu denken. , undZ seien (assertorische) syllogistische Sätze mit

y- Z;

falls dann die RelationNX NY ||— NZ

besteht, gilt:N(X Y) ||— NZ,

also nach (4]x A Y |h z,

im Widerspruch zur Voraussetzung. Angelellis Argument erscheint zunächstdurchaus diskutabel, nämlich in Anbetracht der beiden folgenden Tatsachen.(5) X und Y seien (modalfreie (!)) prädikatenlogische Formeln; wenn

dann - etwa in PL + T — die Subjunktion NX D NY beweisbar(bzw. in der entsprechenden Semantik gültig) ist, ist in der Tat auchdie Subjunktion X D Y beweisbar. (Dazu unten Näheres.)

(6) Es gibt eine Stelle in der „Metaphysik" des Aristoteles, an der expli-zit etwas von der Art von (5) behauptet wird, nämlich in 4,1047b26f£: „Und wenn aus der Möglichkeit von A notwendig dieMöglichkeit von B folgt, so muß auch, für den Fall, daß A ist,notwendig B sein" (Seidl (Christ, Bonitz) (1978-80), S. 113). Also:wenn MA den Ausdruck MB impliziert, dann impliziert A den Aus-druck B; und ||— MA D MB bzw. ||— A D B sind äquivalent zu||— N-iB D N-iA und zu || ß D -A respektive.

Ich will darauf hinaus, daß Angelellis Erklärungsansatz nicht wirklich wei-terhilft. Wenn man sich aber auf ihn einläßt, dann sollte man ihn noch etwasverallgemeinern. Denn es wäre ja zunächst denkbar, daß es syllogistischeSätze X, Y, Z gibt von der Art, daß, obwohl nicht Z impliziert, diestärkere Prämisse N(X ) wenigstens irgendeinen in Betracht kommendenmodalsyllogistischen Satz impliziert — und wenn es nicht NZ sein sollte, sodoch vielleicht wenigstens das schwache MZ. Wollte man in der von Angelelligewiesenen Richtung der Argumentation auch solche Fälle ausschließen, sokönnte man sich darauf berufen, daß über (5) hinaus sogar gilt:(7) unter Voraussetzungen wie bei (5) impliziert die Gültigkeit von NX

D AfY die Gültigkeit von X D Y.Die Geltung von (7) und damit auch die von (5) ergibt sich aus dem




10: Sei 31 eine (modalfreie) prädikatenlogische Formel, und sei MSI be-weisbar bzw. gültig (etwa relativ zu einem T-Rahmen); dann ist 21 (prädikaten-logisch) beweisbar.

Der Beweis des Satzes ist trivial, ich erinnere an die Bemerkungen zum Be-weis von (2) und (3) in Kapitel V.

(7) ergibt sich jetzt durch die folgende Überlegung. Seien X und modal-frei, und sei die Subjunktion X D nicht beweisbar / gültig. Dann ist nachSatz 10 M(X D Y) nicht gültig oder -iM(X D Y) erfüllbar. Daher ist wegen

-,M(X D Y) äquiv. -n(NX D MY)die rechte Formel erfüllbar, demnach ist, wie in (7) behauptet, NX D MYnicht gültig.

Ich habe nun Angelellis Erklärungsansatz gleichsam so stark wie möglichgemacht. Trotzdem ist er auch in der verallgemeinerten Form letztlich nichtbrauchbar. Denn er funktioniert nur unter der Voraussetzung, daß modalsyl-logistische Aussagen solche Aussagen sind, die man aus (modalfreien)57 as-sertorischen syllogistischen Aussagen durch Voranstellen äußerer Modalope-ratoren erhält. Sobald man mit der Annahme arbeitet - deren Unentbehr-lichkeit ich glaube gezeigt zu haben — , daß auch innere Modaloperatorenvorkommen, gilt schon kein Analogon zu (5) mehr. Beispielsweise ist dieSubjunktion

N((p M(-,p A q)) V N-iq) D N-nqT-gültig (wobei übrigens das Vorderglied T-erfüllbar ist), während

((p (-, q)) V N-,q) D -,qnicht T-gültig ist.

Ich will noch darauf hinweisen, daß die oben hinzugezogene „Metaphy-sik-Stelle Interesse in einem ganz anderen Zusammenhang als dem hierdiskutierten beanspruchen kann. Sie ist nämlich von Interesse im Hinblickauf die Frage, ob Aristoteles durch logische Überlegungen dahin gelangt seinkönnte, gewisse metaphysische Sätze wie das Prinzip der Totalmöglichkeitoder auch das Prinzip der Fülle („principle of plenitude") für wahr oderzumindest für erwägenswert zu halten. Denn nehmen wir einmal an — nach-dem sich S4 als in die modale Syllogistik verwickelt erwiesen hat -, daßAristoteles das charakteristische S4-Axiom MMp D Mp als gültig akzeptierthat. Wenn er dann weiter mit der unter Ziffer (6) zitierten Behauptung sovielwie (5) akzeptiert hat, jedoch irrtümlich ohne die Einschränkung auf den

57 Ich mache den parenthetischen Zusatz natürlich deshalb, weil meiner Interpretation zufolgedie „assertorischen" Sätze der Möglichkeitssyllogistik nicht modalfrei sind.




modalfreien Fall, konnte er von ||— MMp D Mp bzw. von ||— Np D NNpsofort zu ||— Mp D p bzw. zu ||— p D Np überzugehen sich berechtigtglauben.

In logikgeschichtlicher Hinsicht haben wir die folgenden Ergebnisse erzielt.Aristoteles hat ein gelungenes Stück prädikatenlogischer Modallogik vor-

gelegt. Das Theoriestück ist, wenn man es auf die darin enthaltenen Gültig-keitsbehauptungen einschränkt und von einer vergleichsweise sehr geringenZahl nachvollziehbarer Irrtümer absieht, nicht falsch oder inkonsistent, son-dern lediglich — in Maßen — unvollständig. Das Theoriestück stellt einenicht-triviale Erweiterung der assertorischen Syllogistik dar. Die Erweiterungist, erstens, in dem Sinne nicht-trivial, daß es sich dabei nicht um eine bloßeAusdehnung der assertorischen Theorie auf solche Termini handelt, diedurch Modaloperatoren modifiziert sein können (wie Kneale und Kneale sichdas vorstellen; man vergleiche dazu meine Bemerkungen in II.4. über dieKnealeschen Einwände gegen die Gültigkeit von Barbara KKK). Sie ist, zwei-tens, viel subtiler, als eine modale Syllogistik im theophrastischen Stil es je-mals sein kann.

Aristoteles ist in der Lage, zur Begründung von modallogischen Gültig-keitsbehauptungen und Nichtgültigkeitsbehauptungen semantische Argu-mente zu entwickeln, die den modernen Beweisführungen auf der Basis vonSemantiken vom Kripke-Typ für modale Sprachen in entscheidendenAspekten gleichkommen. Ich empfehle in diesem Zusammenhang, nebendem objektsprachlichen Gebrauch des Ausdrucks (~ können,möglich sein) und seiner Formen bei Aristoteles zwei im Effekt metasprach-liche Gebrauchsweisen desselben Ausdrucks zu unterscheiden. In der erstendieser metasprachlichen Gebrauchsweisen bedeutet, daß es möglich sei, daß..., ungefähr dasjenige, was wir heute ausdrücken würden mit einer Formulie-rung wie: „es gibt eine modallogische Interpretationsstruktur und darin einemögliche Welt mit ...". (Man vergleiche dazu II.3. sowie V.) In der zweitendieser Gebrauchsweisen bedeutet, daß es möglich sei, daß ..., ungefähr dieje-nige Art von Sachverhalt, welche wir beim Argumentieren relativ zu einerfest gegebenen modallogischen Interpretationsstruktur ausdrücken mit For-mulierungen wie: „es gibt (in der zugrundeliegenden Struktur) eine möglicheWelt mit ...". (Dazu vergleiche man meine Analyse der Argumentation desAristoteles für die Gültigkeit von Barbara XKM in III.2.3.)

Gewisse charakteristische Besonderheiten der Verhältnisse im modallogi-schen Fall veranlassen Aristoteles dazu, die von ihm in der assertorischenSyllogistik mit Erfolg benutzte Methode, Nichtgültigkeits- bzw. Unschlüssig-keitsbeweise zu führen, mit Modifikationen zu versehen. Die Modifikationen,




welche Aristoteles ins Spiel bringt, zeigen ihn auf dem Weg von der traditio-nellen Begriffseinsetzungsmethode hin zu dem heute üblichen Verfahren derfreien Konstruktion von Modellen.

Zur philosophischen Seite der Angelegenheit können wir dies festhalten:Sollte Aristoteles die modale Syllogistik für wichtig aufgrund von wissen-

schaftstheoretischen Implikationen gehalten haben, so hat er damit ihre Be-deutung vermutlich überschätzt. Seine Überlegungen und vor allem dieSchwierigkeiten, in die er sich gelegentlich mit ihnen zu verwickeln scheint,geben jedoch Anlaß zu interessanten Erwägungen über das Verhältnis vonLogik und Metaphysik; über das Verhältnis von Logik als Objekt- und alsMetatheorie; über die Konstituierung von Individuen und den Zusammen-hang von Sprache und Ontologie.

Daß die aristotelische Logik nicht von der aristotelischen oder irgendeinerMetaphysik in der relativ vordergründigen Weise abhängt, wie einige Autorendas angenommen haben, ist durch in den letzten Jahrzehnten betriebeneUntersuchungen zum Thema (wie diejenigen Patzigs) für den assertorischenTeil dieser Logik klargestellt worden; es bleibt richtig, wenn man auch dieModallogik einbezieht.

Auf der philologischen Seite möchte ich das Fazit ziehen:Etwaige Zweifel an der Echtheit von Teilen der modalsyllogistischen Ka-

pitel der Analytica priora werden durch inhaltliche Gesichtspunkte nicht be-stätigt.



modale syllogismen, mögliche welten, essentialismus (eine analyse der aristotelischen modallogik)...

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