MMMMATEMÁTICAS IIII

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL

DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

Director HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO

Subdirector académico CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE

Decano de pregrado JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO

Coordinador Nacional de A.P.T JOSE PLACIDO SILVA RUIZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

Bogotá D.C., Noviembre de 2008

TABLA DE CONTENIDO DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS INTRODUCCIÓN CAPITULO 1. ECUACIONES 1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 1.2 Aplicaciones 1.3 Ecuaciones lineales en dos variables 1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable 1.5 Aplicaciones 1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables 1.7 Sistemas de ecuaciones lineales 1.8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones Ejercicios de repaso de la unidad CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS 2.1 Definición de función 2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares 2.3 Funciones especiales Ejercicios de repaso de la unidad CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 3.1 Funciones exponenciales 3.2 Funciones logarítmicas 3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 3.4 Aplicaciones Ejercicios de repaso de la unidad CAPITULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 4.1 Noción de límite 4.2 Álgebra de límites 4.3 Límites infinitos 4.4 Límites al infinito 4.5 Continuidad 4.6 Aplicaciones Ejercicios de repaso de la unidad CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN 5.1 La derivada 5.2 Reglas de diferenciación 5.3 Aplicaciones Ejercicios de repaso de la unidad

DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS

El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidad a distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez, se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en la exposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidos complementarios específicos. Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene una valoración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier proceso de formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que sea necesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración en número de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática del estado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lo público, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos. De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en el principio de la problematización. En otras palabras, la formación en Administración Pública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constante cambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos que implican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar y resolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública.

EL TRABAJO DEL TUTOR El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo. El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría (incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de dos créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32

horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64 horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:

MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos) No.

Créditos Horas por

crédito Total horas Tutoría Grupal

No. de

sesiones

Horas por

sesión

No. mínimo

de

encuentros

tutoriales*

No. max.

sesiones

por

encuentro 2 16 32 8 4 2 8 3 16 48 12 4 3 12 4 16 64 16 4 4 16

* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al

CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se

podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros

para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos.

Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo.

Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.

MATEMÁTICAS I

CONTENIDO SINTÉTICO Este módulo brinda a los estudiantes las bases matemáticas necesarias en cuanto a ecuaciones, funciones, límites y derivadas, que contribuyen tanto a nivel teórico como práctico a su desarrollo en materias específicas de Administración y economía.

OBJETIVOS GENERALES

� Comprender, interpretar y solucionar problemas

específicos en administración pública.

� Definir los objetos que se estudian con ayuda de las nociones introducidas precedentemente y así,

organizar la adquisición de nuevos conocimiento � Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija

poner en acción los conocimientos de cada tema.

� Buscar la correcta representación de los conocimientos y tomar conciencia de los resultados.

� Encontrar buenas preguntas y hallar posibles

soluciones.

� Actuar, formular, probar, construir modelos, lenguajes, conceptos y teorías que pueda intercambiar con otros.

� Adaptar los conocimientos a situaciones específicas, planteando modelos para resolverlos, pues las posibilidades se crean en un contexto y en unas relaciones con el medio. Así, los conocimientos aparecen como solución óptima.

� Valorar la importancia que tienen los procesos

constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas, utilizándolos en situaciones problemáticas que pueden provenir de la vida cotidiana, generando preguntas y situaciones interesantes.

� Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe dominar todo ciudadano.

� Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías

como herramientas computacionales para resolver problemas y tomar decisiones.

� Reflexionar sobre el propio proceso de

pensamiento con el fin de mejorarlo conscientemente.

� Adquirir confianza en sí mismo.

� Divertirse con su propia actividad mental, creando

estrategias informales y de sentido común. � Tener en cuenta en el desarrollo del programa la

historia, la génesis y la práctica de las matemáticas, como aspectos internos del ser y del conocer.

� Desarrollar las competencias lógico matemáticas del futuro administrador público territorial, base fundamental para la toma de decisiones, la comunicación y planificación.

� Adquirir herramientas de análisis que permitan

apoyar la comprensión de algunas de las temáticas estudiadas en la carrera.

� Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en

la administración y la economía, especialmente las que se refieren a la maximización de los beneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismo que a la minimización de los costos.

INTRODUCCIÓN Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior de Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de Administración Púbica Territorial. El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre a prácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de las nuevas tecnologías.

� Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen los conceptos a través de la guía del tutor.

� Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con información pertinente al campo de la administración pública.

� Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad del manejo de un software.

� Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigaciones sobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio de la administración pública.

El enfoque metodológico aplicado en la enseñanza de la matemática genera una relación entre el tutor y el estudiante que se caracteriza por la iniciativa, experimentación, práctica y construcción del conocimiento de acuerdo con el ritmo y con los descubrimientos progresivos que va logrando el dicente; el tutor es un orientador y un asesor para las inquietudes y logros. Atendiendo a que nuestro quehacer diario debe dirigirse hacia las metas anteriores, serán tenidos en cuenta todos los aspectos que constituyen el ser integral del alumno, por lo cual tomamos como referencia las preguntas: 1. ¿Qué queremos que el estudiante aprenda? 2. ¿Cómo puede lograrse ese aprendizaje? 3. ¿Cómo sabemos cuándo hay aprendizaje? 4. ¿Qué tiempo se necesita? Así, la metodología, apuntará a desarrollar las siguientes ideas:

o Formación en la solución de problemas como competencia básica no solo en matemáticas. Así, se experimenta la potencia y utilidad de las matemáticas en el mundo que nos rodea.

o La capacidad para resolver problemas, que es la conducta más inteligente del hombre y la preocupación central de las matemáticas.

o El manejo de códigos matemáticos como elemento esencial para comprender el nivel abstracto inmerso en varias situaciones de la vida real.

o El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, que permite la ubicación de nuestro ser y nuestro entorno.

o Búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes. o Manejo de material (representación espacio-temporal), representación gráfica

(puramente espacial, no hay tiempo) y manejo de símbolos: formas y tamaños, proposiciones, ambiente de las figuras, palabras que aportan y dan información adicional al dibujo, todo lo cual evidencie una construcción de conocimiento.

o Las matemáticas como verdades de razón (competencias básicas: interpretativa, argumentativa y propositiva).

La dinámica de las sesiones presenciales consistirá en una explicación sobre el tema o temas a tratar, con suficientes ejemplos ilustrativos, ejercicios y problemas de aplicación a la administración y economía, a lo cual seguirá la realización de un taller en grupos. La investigación en matemáticas en los ámbitos numérico, lógico y geométrico es de especial importancia, ya que con ella el estudiante muestra su capacidad de análisis, interpretación y argumentación del tema y podrá solucionar problemas que requieran inferencias lógicas como estrategia didáctica fundamental. Se realizarán tutorías en las cuales se observará el desarrollo y la aplicación de algunos conceptos, reforzando el proceso operativo con el uso de programas como el MATHEMATICA y / o DERIVE.

En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para el desarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico. El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal o diferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramente matemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la administración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondar en demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación. La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, que debemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las lecciones están conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos, explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncian ejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar o clarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite al estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad de presentar sus evaluaciones.

Contenido sintético de este módulo

Contenido sintético de los capítulos 1, 2 y 3

CAPITULO 1. ECUACIONES Objetivos Generales: 1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales. 2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación Objetivos específicos:

� Resolver ecuaciones con métodos algebraicos � Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o

intervalo. Subtemas:

1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 1.2 Aplicaciones 1.3 Ecuaciones lineales en dos variables 1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable 1.5 Aplicaciones 1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables 1.7 Sistemas de ecuaciones

1.8 Aplicaciones Ejercicios de repaso del capítulo Palabras clave: Igualdad Despeje de una variable Plano cartesiano Coordenada Factorización Operaciones con reales

Repaso sobre los Números Reales (R) Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguiente manera:

N Z Q Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número entero es también racional y por lo tanto todo número natural es racional. Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los números irracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como el conjunto de los números reales, nominado con la letra R. Recordemos que: N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...} Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...} R: Números Reales = Q U I C: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuya notación incluye la letra i.

ECUACIONES Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió en Alejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajo influyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura que sobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio: Diofante pasó una sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nació un niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de su edad (final). Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anterior puede representarse con la ecuación

En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas

Nota: La división entre

ecuaciones más que podremos aplicar a problemas prácticos. 1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable Conceptos básicos: Operaciones con reales, factorizaciones y operaciones con fracciones algebraicas. Una ecuación es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo:

; En ella se relacionan partes literales (letras o variables) y partes numéricas. Solucionar, resolver o hallar la (s) raíz (ces) de una ecuación consiste en determinar el o los valores de la incógnita o variable, que al ser reemplazados en la ecuación dada la verifiquen, es decir, que conduzcan a una proposición verdadera (la expresión a la izquierda del signo igual sea equivalente a la de la derecha). Se dice que un número satisface la ecuación si es una solución. Ejemplo 1. Los números -5 y 5 son soluciones o raíces de la ecuación:

ya que . (Recordemos que ). Ejemplo 2. tiene como raíz a ya que si reemplazamos en la ecuación 3 (-2) – 1 = 2(-2)-3 obtenemos -7 = -7 que es una proposición verdadera.

Ejemplo 3. Los valores que puede tomar la variable en

son todos aquellos reales diferentes de 1 ya que con este último, el denominador nos daría cero y la división no se podría efectuar. Lo expresaremos así: S = R\ Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

3x+2 = 0 ; 3x = -2 ; x = Para obtener ecuaciones equivalentes o identidades podemos realizar las siguientes operaciones:

• Sumar o restar la misma expresión (que represente un número real) a ambos lados de la ecuación.

• Multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por la misma expresión (que represente un número real diferente de cero).

Ejemplo 4. 3 x + 2 = 0 3x + 2 - 2 = 0 - 2

3 x = - 2

• Recuerda que:

25 -25

(3x) = (-2)

x =

Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S = . Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemos que genera una proposición verdadera, así:

3 x + 2 = 0

3 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 0 = 0 Ecuaciones Lineales Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la forma an x

n + an-1 xn-1 + an-2 x

n-2 + an-3 xn-3 + an-4 x

n-4 + …+ a1 x1 + a0 x

0 , con ai R y n un entero no negativo. Aquellas que tienen la forma a1 x

1 + a2 x0 = 0; con a1, a2 R; a1 ≠ 0 y n = 1

son lineales.

Ejemplo 5. Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta el orden presentado por los paréntesis:

o

Por tanto, el conjunto solución es: S =

Ejemplo 6. Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuación lineal:

Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemos verificar que x = 5 sea efectivamente una solución:

Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S = o S =Ø.

Ejemplo 7. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador que en este caso es (diferencia de cuadrados), ya que la factorización es

Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores se vuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S = .

Ejemplo 8. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador que en este caso es , ya que la factorización es (Factor común)

Sustituyendo por 3 en la ecuación original, hallamos que este valor satisface la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es S = . 1.2 Aplicaciones de ecuaciones lineales Áreas. El área de una figura plana se puede cambiar a una forma más conveniente despejando o solucionando para una de las variables en términos de las variables restantes, encontrando ecuaciones equivalentes. Ejemplo 9. El área de un triángulo de base y altura se halla mediante la

fórmula . Para despejar , multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, así:

Ahora, multiplicamos por :

Ejemplo 10. Así mismo, el área de un trapecio con bases y y altura está dada por

Al despejar tenemos:

O, al expresar con común denominador:

h

b

B

h

b

En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problema en una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente, identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar una variable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad en términos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisión la relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que la respuesta concuerde con las condiciones planteadas. Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene? Asignamos x = edad actual de Bryan x + 5 será entonces la edad en cinco años x – 7 la edad que tenía hace 7 años 3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años La ecuación que expresa la relación del problema será:

x + 5 = 3 ( x – 7 ) despejando x para hallar la solución:

x + 5 = 3 x - 21

x – 3x = - 21 - 5

-2 x = - 26

x =

x = 13 años Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años. Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple:

I = C r t Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasa de interés simple r de porcentaje por t años. Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de

• Recuerda que: al tener un número negativo multiplicando en un lado de la ecuación, lo pasamos con el mismo signo, para despejar la variable.

ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el título? Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces 10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros. Podemos organizar la información dada en un cuadro así: Capital C Tasa de

interés r Tiempo t

Interés ganado I = C r t

Certificado de ahorros

10.000 -x

0,07

1

(10.000-x)(0,07)(1)= 700- 0,07 x

Título

x

0,12

1

x (0,12) (1) = 0,12 x

Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene:

700- 0,07 x + 0,12 x = 900 de donde,

- 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700

0,05 x = 200

x = 4.000

Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título.

Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces la distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por

d = v t , o , t = d / v , o , v = d / t

Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50 Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad.

Distancia Velocidad Tiempo En auto 289

En bicicleta

50

Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos:

(velocidad del auto)

¼ = ¼ (40,75) = 10,1875 Km / h ( velocidad de la bicicleta)

Problemas de mezclas. Se dan principalmente en química, farmacología, manufactura. Al resolver este tipo de problemas nos centramos en la cantidad que tiene un elemento en cada una de las diferentes combinaciones. Es útil, igual que en los casos anteriores organizar la información en forma de matriz (filas y columnas).

Ejemplo 14. Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. de solución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30% de alcohol.

Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces,

15 + x representa la cantidad en litros en la nueva solución.

Litros de solución Concentración de alcohol Litros de alcohol

Solución original

15

0,20

0,20 (15)

Alcohol puro

x

1,00

1,00 x

Mezcla resultante

15 + x

0,30

0,30 ( 15 + x)

Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro añadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene:

0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x)

3 + x = 4,5 + 0,3 x

0,7 x = 1,5

x =

Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es lt.

Recordemos que podemos probar la respuesta reemplazando en a ecuación original el valor encontrado.

Problemas de trabajo. Si un individuo puede hacer un trabajo en T unidades de tiempo, se concluye que en x unidades de tiempo, x/T del trabajo se completa. Por ejemplo, si una persona hace un trabajo en 7 horas, entonces en 3 horas podrá hacer 3/7 de trabajo.

Ejemplo 15. Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas y una bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas pueden llenar el tanque trabajando juntas?

Siendo el número de horas que se gastan las dos bombas en llenar el tanque, entonces,

será la fracción de trabajo de la bomba A en x horas

la fracción de trabajo culminado en x horas por la bomba B.

Así, Tiempo para completar

todo el trabajo Fracción del trabajo

completado en x horas Bomba A 2 Bomba B 3

Ambas bombas 1

La suma de lo que aporta cada bomba en fracción de trabajo en x horas debe ser la unidad, que en este caso representa el trabajo completo, por lo tanto:

= horas

Trabajando ambas bombas se demoran horas (1 horas 12 minutos) para llenar el tanque.

1.3 Ecuaciones lineales en dos variables. El descubrimiento del sistema de coordenadas cartesianas representó un avance muy importante en matemáticas. Gracias a él, René Descartes, filósofo y matemático francés, logró transformar los problemas geométricos, que exigían largos y tediosos razonamientos en problemas algebraicos que se podían resolver más fácilmente. Esta relación entre la geometría y el álgebra dio como resultado la geometría analítica, que en un principio resolvió los siguientes planteamientos:

- Dada una ecuación, hallar la gráfica correspondiente - Dada una figura geométrica, encontrar la respectiva ecuación.

Cualquier ecuación que se pueda escribir como , con R; y

variables, se llama ecuación lineal en dos variables. Una solución de una ecuación de este tipo es un par ordenado de números reales, que satisfacen la expresión, es decir que la ecuación es cierta cuando las coordenadas obtenidas se sustituyen por y . Ejemplo 16. ¿Cuál de los pares ordenados (2,-3) y (-2,-2) es una solución de la ecuación lineal y = 4x -11? Al sustituir el valor de la abscisa por x y el valor de la ordenada por y para el punto (2,-3), obtenemos:

y = 4x -11 -3 = 4 ( 2 ) – 11

-3 = 8 – 11 -3 = -3

Como la expresión obtenida es verdadera, concluimos que la pareja ordenada (2,-3) sí es solución a la ecuación. Efectuando el mismo procedimiento con ( -2,-2) tenemos:

y = 4x -11 -2 = 4 ( -2 ) – 11

-2 = -8 – 11 -3 = -19

Proposición falsa, por lo cual la pareja ordenada escogida no es solución. Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar todas las soluciones, sustituimos x por un valor real y resolvemos para y (o despejamos y). Ejemplo 17. Formemos una tabla de datos con algunas soluciones y representemos en el plano cartesiano, para la ecuación y = 2 x – 4:

• Recuerda que: el hecho de que los exponentes de las dos variables (x, y) sean uno, hace que la ecuación sea lineal.

Valor para x Valor para y Par ordenado (x , y) -4 2 (-4) – 4 = -12 (-4,-12) -2 2 (-2) – 4 = -8 (-2,-8) 0 2 (0) – 4 = -4 (0,-4) 2 2 (2) – 4 = 0 (2,0) 4 2 (4) – 4 = 4 (4,4) 6 2 (6) – 4 = 8 (6,8) 8 2 (8) – 4 = 12 (8,12)

Cuando se representan gráficamente los pares ordenados los puntos caen en una línea recta. Así, hemos representado gráficamente la solución de la ecuación lineal ya que la recta representa todas las soluciones de la ecuación. Ejemplo 18. Teniendo en cuenta uno de los teoremas de la Geometría Euclidiana, en el cual enuncia que para trazar una recta es suficiente tener dos puntos, ahora realizamos la gráfica con las coordenadas al origen, es decir las parejas ordenadas en las cuales la gráfica corta a los ejes coordenados, para la ecuación: x + 3y = 6

x 0 6 y 2 0

Si tomamos x = 0 y reemplazamos en la ecuación, obtenemos que y = 2. Con esto tenemos el corte de la recta con el eje y o la ordenada al origen, (0, 2) Si tomamos y = 0, al reemplazar en la ecuación, obtenemos que x = 6. Con esto tenemos el corte de la recta con el eje x o la abscisa al origen, (6,0)

1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable.

Son ecuaciones polinómicas de la forma a x2 + bx + c = 0 ; con a, b, c R y a ≠ 0. Para resolver o hallar los valores de la variable en una ecuación cuadrática contamos con tres métodos: factorización, raíz o la fórmula cuadrática. Método de factorización. Este método se basa en la propiedad de la multiplicación por cero: si a y b representan números reales y a.b = 0 entonces, a = 0, o, b = 0.

Ejemplo 19. Resuelva Factorizando el polinomio tenemos:

Sacando factor común en el primer paréntesis y cancelando con el 2 del denominador:

Así,

de donde

Por lo tanto el conjunto solución es: S = Al igual que con las ecuaciones anteriores, podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.

Ejemplo 20. Resuelva Escribiendo nuestra ecuación de la forma :

Sacando factor común 3 :

Y pasando el 3 a dividir:

Factorizando:

Así,

de donde

Luego el conjunto colusión es: S = Método de la raíz cuadrada. Utilizado cuando la ecuación cuadrática tiene la forma . Aquí, sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:

Ejemplo 21. Resuelva

Luego el conjunto solución es: S = Podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original. Ejemplo 22. Resuelva

• Recuerda que: para resolver una ecuación cuadrática por factorización es necesario igualar a cero para poder aplicar la propiedad.

Sacando raíz cuadrada en ambos lados obtenemos:

Despejando :

Y por lo tanto el conjunto solución es: S = La fórmula cuadrática. El más potente de los métodos de solución, que se basa

en la fórmula cuadrática, , cuya deducción presentamos a continuación: Partimos de nuestra forma original:

Dividiendo los dos términos de la igualdad entre a se tiene:

Agrupando los términos que tienen y haciendo completación de cuadrados, es

decir sumando a ambos lados de la ecuación el término necesario para formar, al lado izquierdo, un trinomio al cuadrado perfecto:

Y factorizando el trinomio,

Sacando raíz cuadrada en ambos lados:

Sacando denominador común:

Extrayendo la raíz del denominador:

Despejando :

, o ,

La naturaleza de las raíces está dada por el radicando, llamado discriminante, así: Si la ecuación tiene dos raíces reales iguales

Si la ecuación tiene dos raíces reales distintas Si la ecuación tiene dos raíces complejas Ejemplo 23. Resuelva Identificando = 3 , = -7 ,y, = 2, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas:

• Recuerda que: la fórmula cuadrática solo utiliza los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Luego el conjunto solución es: S = Ejemplo 24. Resuelva Identificando = 9 , = 30 ,y, = 25, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas iguales:

Tenemos una solución doble: S =

Ejemplo 25. Resuelva Organizando la ecuación:

Identificando = -2 , = 3 ,y, = -3/2, se tiene:

Con lo que obtenemos dos respuestas pertenecientes al conjunto numérico de los complejos:

Así, la solución viene dada por: S = 1.5 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas Ejemplo 26. El área de un rectángulo es 138 m2. , si la longitud es 5m. más que tres veces el ancho, halle las dimensiones del rectángulo. Designamos como el ancho, por lo que el largo será 3 + 5. Como se tiene el valor del área tenemos:

Aplicando la propiedad distributiva,

Y resolviendo por la fórmula cuadrática se encuentra que 1 = -23/3 y 2 = 6. Como el ancho de un rectángulo no puede ser negativo, descartamos la primera respuesta y tomamos el ancho igual a 6, de donde, reemplazando en 3 + 5 obtenemos que el largo es de 3(6) + 5 = 23 m. El Teorema de Pitágoras es uno de los más utilizados y muchas de sus aplicaciones incluyen ecuaciones cuadráticas.

3 + 5

• Recuerda que: El Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

hipotenusa

Ejemplo 27. En un parque dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, el puesto de refrigerio R y el estacionamiento E, como muestra la figura. La longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar a través del pasto directamente del estacionamiento al patio, los niños pueden acortar la distancia en 200 m. ¿Cuáles son las longitudes de las aceras? Designamos = longitud de la acera del punto P al R. 700 – = longitud de la acera de R a E Puesto que la distancia de P a E es 200 m. menor que la longitud total de las dos aceras, se tiene, 700 – 200 = 500 distancia de P a E Así, obtenemos la siguiente relación por el Teorema de Pitágoras:

Reescribiendo la ecuación y solucionando por factorización:

De donde, o

P

R E

700 -

500

Al reemplazar por = 400, la longitud de la acera desde el patio hasta el puesto de refrigerio R es de 400 m. y la longitud de la acera desde el punto R hasta el estacionamiento es 700 – 400 = 300. Si hacemos los mismo con = 300 obtenemos los valores invertidos, con lo cual hay dos posibles soluciones al problema (300,400) o (400,300). Ejemplo 28. Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vino añejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4 más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio. ¿Cuántas botellas se compraron?

Si designamos = número de botellas compradas, entonces representa el costo por botella. Así, al precio más alto, – 10 es el número de botellas compradas, y

, sería el costo por botella. Se establece la relación:

(Costo por botella) ( número de botellas) = 800

De donde aplicando la propiedad distributiva, y resolviendo la ecuación

,

obtenemos que el número de botellas de vino compradas es 50. 1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables. Al igual que con las ecuaciones lineales en dos variables, la solución de este tipo de ecuaciones es una gráfica, que en este caso se denomina parábola. Una ecuación cuadrática, es aquella de la forma , con , donde , y c son constantes. En general, la gráfica de la parábola depende de las siguientes características de la ecuación:

Gráfica Ecuación

, La variable que está al cuadrado es . Si > 0 , la parábola abre hacia arriba, por ejemplo:

, La variable que está al cuadrado es . Si < 0 , la parábola abre hacia abajo, por ejemplo:

, La variable que está al cuadrado es

. Si > 0 , la parábola abre hacia la derecha, por ejemplo:

, La variable que está al cuadrado es

. Si < 0 , la parábola abre hacia la izquierda, por ejemplo:

Para hallar los puntos pertenecientes a una parábola, que abre hacia arriba o hacia abajo, comenzaremos con el vértice o la punta de la parábola, que se

encuentra en y luego tabularemos dos valores a la izquierda y dos a la derecha de esta coordenada, con el fin de ver la simetría de la curva. Ejemplo 29. Hallar la solución de la ecuación

Para hallar el vértice: tenemos: = -8 ; = 2

Abscisa del vértice: = = 2

Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la ecuación:

Valor para Valor para Par ordenado

2 (2,3) 1 (1,-1) 0 (0,5) 3 (3,-1) 4 (4,5)

Ejemplo 30. Hallar la solución de la ecuación Organizando la ecuación:

Para hallar el vértice: tenemos: = 12 ; = -2

Abscisa del vértice: = = 3

Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la ecuación:

Relacionaremos ahora con ecuaciones cuadráticas en una sola variable, ya que si resolvemos la ecuación:

Obtendremos los cortes de la parábola con el eje : Factorizando:

Y aplicando nuestra propiedad:

,o,

De donde ,o, Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (6,0)

Valor para Valor para Par ordenado

3 (3,18) 2 (2,16) 1 (1,10) 0 (0,0) 4 (4,16) 5 (5,10) 6 (6,0)

Ejemplo 31. Hallar la solución de la ecuación Utilizando la propiedad distributiva: Para hallar el vértice, debemos tener en cuenta que la variable que está al

cuadrado es y, por lo cual con la fórmula obtendremos no la abscisa sino la ordenada del vértice, así:

= -8 ; = 2

Ordenada del vértice: = = 2

Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la ecuación:

Así, el vértice está en (-8,2)

Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:

, con lo cual el único corte está en (0,0).

Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0: Factorizando:

Y aplicando nuestra propiedad:

,o,

De donde ,o, Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (0,4)

Valor para Valor para Par ordenado 2 (-8,2) 3 (-6,3) 4 (0,4) 1 (-6,1) 0 (0,0) -1 (10,-1)

Ejemplo 32. Hallar la solución de la ecuación Ordenando la ecuación: Obtenemos la ordenada del vértice,

= -5 ; = -1

Ordenada del vértice: = = -5/2

Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la ecuación:

Así, el vértice está en

Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0:

, con lo cual el único corte está en (2,0).

Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0:

Resolviendo por la fórmula cuadrática u otro método se obtiene:

Por lo tanto los puntos hallados son: y , o

y

Valor para Par ordenado

-5/2

(33/4,-5/2) 0

(2,0)

(0, )

(0, )

-1

(6,-1)

-3

(8,-3)

1.7 Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales. Muchos problemas se pueden resolver adecuadamente planteando un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, si una tabla de 12 pies se corta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 pies más de largo que la otra, ¿Cuál será la longitud de cada parte? Si asignamos = la longitud de la parte mayor = la longitud de la parte menor

entonces: Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de números reales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nos interesa resolver sistemas del siguiente tipo:

donde , , , , , son constantes reales. Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, en un plano, se deben relacionar de una de estas tres maneras:

1) Se intersecan en un solo punto, es decir tienen una única solución, situación ilustrada en el siguiente gráfico:

2) No se intersecan en ningún punto, es decir son paralelas y la solución es vacía, cuya posible representación es:

3) Todos los puntos son comunes, es decir las rectas coinciden. El sistema tiene infinitas soluciones., como se puede observar en la gráfica siguiente:

Aunque la gráfica brinda una información útil, puede resultar difícil obtener soluciones racionales y/o decimales, por lo cual veremos tres métodos de solución que nos darán las aproximaciones deseadas. Estos implican la sustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente más simple, para ello se aplican las transformaciones apropiadas y se continúa el proceso hasta obtener un sistema cuya solución sea obvia. Solución por sustitución.

Ejemplo 1. Para resolver nuestro problema inicial,

Primero despejamos de una de las dos ecuaciones una de las dos incógnitas:

Luego reemplazamos en la ecuación que no hemos utilizado la expresión encontrada para :

Al quedar una sola ecuación lineal con una incógnita, podemos resolver despejando :

Con el valor hallado, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, convenientemente en:

Por lo tanto el punto de corte y la solución del sistema es el punto (8,4) Procedemos ahora a elaborar la gráfica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas, ya que el punto que tienen en común debe ser la solución, ya que satisface ambas ecuaciones:

Solución por igualación.

Ejemplo 2. Resuelva el sistema

Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones:

= = 1 – 2x

Por la propiedad transitiva, tenemos que la primera expresión debe ser igual a la tercera, atendiendo a que el valor de que buscamos debe ser el mismo para las dos ecuaciones. Así nos queda una sola ecuación en la que podemos despejar :

=

Sustituyendo para hallar el valor de tenemos:

Por lo tanto la solución es el conjunto unitario: S = (2,-3)

Solución por eliminación.

Ejemplo 3. Resuelva el sistema Escogemos una variable para ser eliminada mediante suma de ecuaciones. Recordemos que se necesita que los coeficientes sean opuestos para que nos de cero la suma. Así, si elegimos , debemos convertir cada uno de los coeficientes de esta variable que intervienen en el mínimo común múltiplo de los dos, en este caso m.c.m. (3,5) =15, por lo cual debemos multiplicar la ecuación primera por (5) y la segunda por (3) así:

Obteniendo:

Sumando las dos ecuaciones término a término :

de donde

Y reemplazando en cualquiera para hallar :

• Recuerda que: Al multiplicar una ecuación por un número debemos multiplicar todos los términos de la ecuación.

Por lo tanto la solución es S = (-2,3)

Ejemplo 4. Resuelva el sistema Por igualación tenemos:

Lo cual constituye una proposición verdadera. Pero como no nos generó valor para la variable, concluimos que son la misma recta, es decir que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, se dice que el sistema es dependiente.

Ejemplo 5. Resuelva el sistema Por eliminación, multiplicando la primera ecuación por (-2) para convertir el coeficiente de en el m.c.m. (3,6) = 6.

Y sumando las ecuaciones.

Por lo cual, al ser una proposición falsa, debe ser falsa nuestra suposición de que hay valores para y para que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Si verificamos la pendiente de cada recta encontraremos que son iguales (pero las ordenadas al origen son diferentes); por tanto, las rectas son paralelas y el sistema no tiene solución. Los sistemas de este tipo se llaman incompatibles.

1.8 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones. Ejemplo 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar en monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, después de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe? Sean = número de monedas de 25 centavos = número de monedas de 5 centavos

Resolviendo el sistema, obtenemos que = 2 ,y, = 10 Ejemplo 7. Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y la otra de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a

de pureza: el de 18, a de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gr. de oro de 14 quilates?

Sean = número de gramos utilizados de oro de 12 quilates. = número de gramos utilizados de oro de 18 quilates.

Resolviendo el sistema tenemos que se necesitan x = , y, = gramos de oro de 12 y 18 quilates respectivamente. Resumen: Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtener ecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen la suma (o resta) del mismo polinomio a ambos miembros, así como la multiplicación o división) de ambos miembros por (entre) la misma constante, excepto por (entre) cero. Una ecuación lineal en es de primer grado y tiene la forma donde

0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolverla le aplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita queda aislada en un lado de la ecuación. Una ecuación cuadrática en es de segundo grado y tiene la forma , donde . Tiene dos raíces reales y diferentes, exactamente una raíz real o no tiene raíces reales. Una ecuación de este tipo puede ser resuelta ya sea factorizando o por medio de la fórmula cuadrática

. Cuando se resuelve una ecuación fraccionaria o radical, con frecuencia se aplican operaciones que no garantizan que la ecuación resultante sea equivalente a la original. Estas operaciones incluyen la multiplicación de ambos miembros por una expresión que contenga a la variable, y elevar ambos miembros a la misma potencia; todas las soluciones obtenidas al final de dichos procedimientos deben verificarse en la ecuación dada. De esta manera se pueden encontrar las llamadas soluciones extrañas. Un problema expresado en palabras se debe plantear transformando los enunciados en una ecuación. Esto es modelación matemática. Es importante que primero lea el problema más de una vez de modo que entienda con claridad qué se le pide encontrar. Después debe seleccionar una letra para representar la cantidad desconocida que quiere determinar. Utilice las relaciones y hechos dados en el problema y forme una ecuación que implique a dicha letra. Por último

resuelva la ecuación y mire si su solución responde a lo preguntado. Algunas veces la solución de la ecuación no es la respuesta al problema, pero puede ser útil para obtenerla. Algunas relaciones básicas que son utilizadas en problemas de administración son: Costo total = costo variable + costo fijo Ingreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas) Utilidad = ingreso total – costo total GLOSARIO Ecuación: expresión algebraica que contiene dos miembros uno a cada lado de un signo igual. Variable: letra del alfabeto, usualmente x o y que representa cualquier valor o uno específico, dependiendo si hace parte de la solución de una ecuación. Raíz de una ecuación: o solución, es el valor (o valores ) que la variable puede tomar para que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual al derecho. Conjunto solución: es la expresión en simbología de conjunto de la solución o soluciones de una ecuación. Ecuación equivalente: es aquella que con base en operaciones algebraicas o entre reales, produce una expresión que tiene las mismas soluciones que la ecuación original. Solución extraña: es aquella que, siendo solución de una ecuación, al probarla es decir al reemplazarla en la ecuación no genera una proposición verdadera. 1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado de ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno para obtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año? Rta. 1’600.000 , $800.000 2. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al 8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000 proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6% 3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de US$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%. Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11% 4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7%

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un total de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta. US$ 4.000 5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%. Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje de 10% sobre el total, ¿cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000 6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos (nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántas monedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes. 7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del terreno sea el doble del ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies 8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de $2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3, ¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de 50.000? Rta. 181.250 9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que el ingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otra tiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una? Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000 10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el producto? Rta. $ 4,25 11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el precio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas a fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades 12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p2, donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingreso será de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100. 13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidores demandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p. Rta. 77 14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después de vender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueron vendidos? Rta. 60 15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son

respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o 125 de A y 100 de B. 16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incremento en los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerlo conservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno. El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm. Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumen V de un disco sólido es de

π r2 h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. 13± 17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas herramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división de ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos: sillas y mesas. Una silla requiere

17

384 horas de maquinado y 17

480 horas de

ensamble y terminado. Una mesa requiere 17

240 horas de maquinado y 17

640 horas

de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica? 18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas de tréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene. Una porción de amor requiere

13

13 onzas de tréboles y

13

22 onzas de mandrágora.

Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere 13

55 onzas de

tréboles y 13

1010 onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del

remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de su alacena? 19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del requerimiento diario de proteína y 15 % del de carbohidratos. Una unidad estándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de los requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día? 20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio para:

a) Oferta: 2100

1+= qp ; Demanda: 12

100

7+

−= qp

b) Oferta: 025023 =+− pq ; Demanda: 05,57365 =−+ pq

c) Oferta: 2)10( += qp ; Demanda: 216388 qqp −−=

d) Oferta: 10+= qp ; Demanda: qp −= 20

21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un

fabricante son 10

1000100

+−=q

y ; 40+= qy , respectivamente. En ellas q

representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama. BIBLIOGRAFIA

� Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 .

Ed. Mc. Graw- Hill. Bogotá, 1.996.

� Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.

� Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002

WEB- GRAFIA www. Matematicastyt.cl/calculo-diferencial/ es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/ www.emagister.com/calculo-diferencial matematicas.uniandesx.edu.co/

CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS Objetivos Generales: 1. Realizar la gráfica de una función a partir de sus elementos para describirla y explicar su comportamiento 2. Analizar las propiedades numéricas, geométricas y analíticas de la funciones 3. Analizar y explicar distintas representaciones de una función 4 .Identificar y analizar diferentes tipos de funciones como: lineal, cuadrática, racional y polinómica. 5. Resolver situaciones a partir de los diferentes tipos de funciones estudiados. 6. Solucionar sistemas de ecuaciones (funciones) y aplicarlos a problemas de la vida cotidiana Objetivos específicos:

� Utilizar distintas herramientas matemáticas (sistemas numéricos, geometría, aproximación) para trazar la gráfica de una función o para hallar elementos relevantes de la misma.

� Expresar verbal o simbólicamente características de funciones y de expresiones matemáticas.

� Comprender y resolver problemas referentes a funciones Subtemas: 2.1 Definición 2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares 2.3 Funciones especiales Ejercicios de repaso del capítulo Palabras Clave: Operaciones con reales Ecuación Polinomio Propiedades de exponentes Propiedades de radicales

Muchas relaciones usuales involucran a dos variables de modo tal que el valor de una ellas depende del valor de la otra. Así, las ventas de un producto dependen de su precio. La distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. Consideremos la relación entre el área de un círculo y su radio. Puede ser expresada por la ecuación , donde el valor de depende del elegido. Hablamos de como variable dependiente y de como variable independiente. 2.1 Definición de función Una relación es un proceso que indica una correspondencia entre un primer conjunto de elementos denominado dominio y un segundo conjunto denominado rango, tal que a cada elemento del primero le corresponde uno o más elementos del segundo. Una relación se puede expresar como una regla que puede estar dada por una ecuación o un sistema de ecuaciones. Dominio y rango En una relación, al conjunto de todos los valores posibles del primer componente ( ), se le llama dominio y al conjunto de todos los valores del segundo componente ( ), que resulta del uso de los valores en el dominio, se le llama rango. Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del rango. Toda función es una relación pero existen relaciones que no son funciones. En el conjunto de pares ordenados: {(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)} El dominio corresponde a los primeros componentes {1 , 2 , 5 , -2} El rango corresponde a los segundos componentes {3 , 6 , 9 , -4} 2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares Ejemplo 1. Supongamos que la relación entre y , en la que representa las unidades de servicio producidas y representa el costo total de producción, con unos costos fijos de $ 2, está dada por la siguiente ecuación:

Si damos a un valor de 1, entonces = 3(1) + 2 = 5

• Recuerda que: el costo de producir un bien o servicio depende de los costos fijos (servicios, gastos de personal, arrendamientos, etc.), y de los costos variables (que dependen exclusivamente del nivel de producción o unidades producidas, como materia primas). Además, los costos totales son iguales a los fijos más los variables.

Si damos a un valor de 4, entonces = 3(4) + 2 = 14 Si damos a un valor de -3, entonces = 3(-3) + 2= -7. Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentro del ejemplo? Así, algunos pares ordenados que definen la relación entre y son: (1 , 5), (4, 14) y (-3, -7). Como se puede observar, los pares ordenados son de la forma

En la función , a se le denomina variable independiente, ya que no depende de ninguna otra, y, a la variable dependiente porque su valor depende del valor elegido para . Para realizar la gráfica de una función, podemos elaborar una tabla en donde se muestren algunos valores de las respectivas variables. Asignamos valores del dominio a la variable independiente y encontramos el correspondiente valor para la variable dependiente. A continuación ubicamos en el plano cartesiano las parejas de la forma igual que con las ecuaciones ya vistas, y según el dominio de la función, dichos puntos se podrán unir mediante un trazo continuo. x 1 4 - 3 y 5 14 -7

Ejemplo 2. En la ecuación , el único valor que no puede asignarle a

es 2 porque en ese caso el denominador sería igual a cero y recuerde que la división entre cero no está definida. Teniendo en cuenta esto, el dominio de la función será el conjunto de todos los números reales excepto el 2.

Dominio = { : R ; ≠ 2} o R

Ahora bien como nunca es igual a cero porque para que una fracción sea igual a cero es necesario que el numerador sea igual a cero y en este caso el numerador siempre es 1, el rango son todos los números reales excepto el 0.

Rango = { : R ; ≠ 0} La gráfica de esta función corresponde a:

Gráficamente se puede decir que una relación es una función si una recta vertical trazada en el sistema de coordenadas no interseca a la gráfica en más de un punto. Como la recta azul, en nuestra gráfica, corta a la curva en un solo punto, decimos que la relación es función.

Ejemplo 3. En la relación , debido a que sólo es posible extraer la raíz cuadrada de números reales no negativos, tenemos que - 9 debe ser mayor o igual a cero así que:

- 9 ≥ 0, transponiendo el 9 tenemos:

x ≥ 9

Por lo tanto, Dominio = { : ≥ 9}

Esta ecuación podría ser escrita como . Elevando al cuadrado ambos lados y según lo visto anteriormente, su gráfica es una parábola abierta hacia la derecha, por lo cual a cada valor de le corresponde más de un valor en , razón por la que no es una función.

Pero atendiendo a que una raíz cuadrada tiene doble signo, para que pueda ser tratada como función, solo tomaremos uno de los dos signos, en este caso el positivo, es decir la raíz principal.

Rango = { : ≥ 0}

Usualmente una función se define mediante una letra o grupo de letras como f, g, h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si es la variable independiente y es la variable dependiente, entonces el número que pertenece a se puede designar como ƒ( ), g( ), h( ), f( ), G( ), dependiendo de cómo se identifique la función. La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x". En algunos casos se utiliza la notación f: A → B que significa que A es el dominio de la función y B es el conjunto en donde están contenidos los elementos del rango. Ejemplo 4. Sea la función: = 3 + 5 se puede escribir como ƒ( ) = 3 + 5. Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer el valor de una función en un punto específico, así si se desea conocer el valor de cuando = -2, tenemos que:

ƒ(-2) = 3 (-2) + 5 = - 6 + 5

= - 1

El valor de (-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado (-2, -1).

Existen funciones en donde se utilizan variables diferentes de y . Como por ejemplo , que sería una función en . Ejemplo 5. Si , calcular f (-4) ; f (-5/2)

) + 7

) + 7

35,75

Ejemplo 6. Si , calcular (3 + t ).

Ejemplo 7. Si : R→ R, tal que =ƒ( ) = 5, obtenemos una recta, ya que es una ecuación lineal con pendiente cero.

Ejemplo 8. Para = , haremos la tabla de datos y la gráfica.

x -2 1 0 -3 -4 y -1 -3/2 3 3/2

Podemos utilizar el símbolo en lugar de las palabras “No existe”.

Al valor de en donde el denominador se vuelve cero, es decir aquel que sacamos del dominio, se le llama Asíntota vertical y es aquella recta imaginaria,

paralela al eje , en donde la gráfica no existe y que divide la curva en dos. En este caso, la asíntota es = -2. Como se puede observar, las dos ramas de la hipérbola se acercan a esta recta pero nunca la cruzan. 2.3 Funciones especiales. Función lineal. Es aquella cuya gráfica es una recta, y con ecuación de la forma y=ƒ(x) = m x + b, en donde m representa el grado de inclinación o pendiente de la recta y b representa el punto de corte con el eje vertical, conceptos ya estudiados en las ecuaciones lineales en dos variables. Ejemplo 9. Si

ƒ(x) = = 3x - 4;

g(x) = = -2x - 4;

h(x) = = 2/3 x - 4;

p(x) = = -3/5 x – 4

Se espera que todas corten al eje en el valor - 4.

• Señale sobre la figura la ecuación que corresponde a cada recta.

• Recuerda que: para hallar la pendiente de una recta teniendo dos puntos utilizamos la fórmula

, para los puntos

y (

• Escriba la ecuación de tres rectas que corten al eje en el valor 3 y haga las gráficas en un mismo plano, para observar que el punto de intersección es efectivamente (0,3).

Ejemplo 10. Las rectas ƒ(x) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1; h(x) = y =3 x + 2; p(x) = y =3 x + 4 ; son todas paralelas y tienen la pendiente positiva 3.

Funciones Lineales de Costo. A las empresas industriales y comerciales del Estado les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, calefacción, servicios

públicos y otros gastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores, economistas y administradores públicos definen el costo total en términos de dos componentes: costo total variable y costo total fijo. Ambos componentes deben sumarse para determinar el costo total. Ejemplo 11. Si para un puesto de salud local se pretende comprar una ambulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmente equipado es de US$18.000 y el costo promedio de operación es de US$0.40 dólares. La función de costo de compra y operación del carro de ambulancia es un ejemplo de función lineal de costo. La función de costo: p = C(q) = 0.40q + 18.000 tiene costos variables que cambian con el número de millas recorridas (q) y costos fijos de US$18.000.

Los costos totales variables cambian con el nivel de producción y se calculan como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. En un ambiente de producción, el costo variable por unidad suele estar constituido por los costos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo de la ambulancia, el costo variable por milla se compone de los costos de operación por milla, como gasolina, aceite, gastos de mantenimiento y depreciación. Ejemplo 12. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual C(q) en función de la cantidad de unidades producidas q. En contabilidad indican que los gastos fijos cada año son de 50.000 dólares. También han estimado que las materias primas por cada unidad producida ascienden a $5,50 y que los gastos de mano de obra son de $1,50 en el departamento de montaje, $0,75 en el cuarto de acabado y $1,25 en el departamento de empaque y embarque.

Costo Total Costo total variable Costo total fijo C(q)=

De materias primas (5,50)

De mano de obra - Dpto. de montaje (5,50) -Sala de acabado (0,75)

Costo total fijo (50.000)

-Dpto. de embarque (1,25)

C(q) = 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000 C(q) = 9 q + 50.000 En la ecuación anterior, el 9 representa el costo variable combinado (US$9.00) por unidad producida. Si graficamos en un plano cartesiano, tomando a q como y a C(q) como tenemos:

Depreciación Lineal. Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios y otros tipos de "bienes de capital", en contabilidad se le asigna el costo del bien a lo largo del periodo de uso. En el caso de un camión que cueste US$10.000 dólares y que tenga una vida útil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo de poseer el camión. El costo asignado a un periodo determinado de tiempo se llama depreciación. Por ejemplo, el valor del camión aparecerá en los estados contables como US$10.000 en el momento de su compra,

US$10.000 - US$2.000 = US$8.000,

un año después de su adquisición y así sucesivamente. La depreciación puede considerarse así mismo como el monto que ha disminuido el valor en libros de un activo.

Ejemplo 13. Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciación es el de la línea recta, en el cual es constante la tasa de depreciación y corresponde a la pendiente de dicha recta. Si V es el valor en libros de un activo y t indica el tiempo medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado,

V = f(t) = costo de compra – depreciación

V = 10.000 - 2.000 t .

Depreciación lineal con valor de salvamento. Muchos activos tienen un valor de reventa o de salvamento, aún después de haber cumplido con el propósito para el cual fueron adquiridos inicialmente. En tales casos el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre el costo de compra y el de reventa. El costo asignado en cada periodo es el que se obtiene al dividirlo entre la vida útil. Ejemplo 14. Suponga que el camión del caso anterior tiene una vida útil de 5 años y que transcurrido ese lapso, puede venderse en US$1.000. El costo total que puede asignarse a lo largo de la vida del bien es de US$10.000 - US$1.000 = US$9.000. Si el camión debe depreciarse con este método, la depreciación anual será de

La función que expresa el valor en libros V en función del tiempo es

V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t

Oferta y Demanda Lineal. En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda son aproximadamente lineales en un intervalo particular, otras son no lineales. Aún en estos últimos casos, las ecuaciones lineales proporcionan representaciones razonablemente precisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado.

Para el análisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfica que aparece en el primer cuadrante, porque la oferta, precio y cantidad son, en general cero o positivas. Por tal razón, se ha dejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes. Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado, sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio satisfactorio. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para que se lleven los bienes del mercado. Una capacidad de demanda negativa, implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado hasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio. La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pendiente negativa, es decir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada decrece y viceversa. En algunos casos la pendiente de una curva de demanda puede ser cero ( precio constante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede no estar definida (demanda constante sin importar el precio).

En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir, que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al disminuir el precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo que indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos la pendiente de la curva de oferta puede no estar definida (oferta constante e independiente del precio). Ejemplo 15. Demanda con pendiente negativa. En una empresa de telefonía TPBC (Telefonía Pública Básica Conmutada) se determinó que cuando el precio del impulso (impulso: tres minutos o fracción de comunicación efectiva continua) era de $80, el consumo promedio diario por suscriptor era de 10 impulsos y se consumían 20 cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecuación de demanda?

p − 80 = −2q + 20

o, en términos de y , siendo = q y = p :

Ejemplo 16. Demanda con pendiente cero. Por ser la leche un artículo de primera necesidad y cuyo consumo produce un impacto en la calidad de vida de los grupos de población con menores recursos, el alcalde ordena a los productores

que el precio de la leche durante un año será de $1.200 el litro, sin importar la cantidad demandada. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

Ejemplo 17. Demanda con pendiente no definida. Por considerarse necesarios para la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores, sin importar el precio. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

q = 50

Ejemplo 18. Oferta dependiente del precio. Cuando el precio es US$ 50, hay disponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es US$ 75 hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

=

p = 1200

Ejemplo 19. Oferta lineal constante. De acuerdo con el contrato entre la compañía A y la de teléfonos, la compañía A pagará US$ 500 al mes por las llamadas de larga distancia sin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

y = 500

Equilibrio del Mercado. Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio) en el que la cantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. Así pues, si se usan las mismas unidades para precio p y la cantidad, en ambas ecuaciones (de oferta y demanda), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio corresponden a las coordenadas del punto de intersección de tales curvas. Algebraicamente la cantidad y el precio se hallan resolviendo simultáneamente las ecuaciones de oferta y demanda. Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben ser positivos o cero, es decir que las curvas de oferta y demanda se han de intersecar en el primer

cuadrante. En otros casos el punto de equilibrio no tiene sentido para fines económicos.

Ejemplo 20. Equilibrio del mercado – modelo lineal. Hallar el punto de equilibrio para las siguientes ecuaciones de oferta y demanda:

Oferta ; Demanda . Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por igualación:

Donde, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que le punto de equilibrio está en:

S =

Función cuadrática. Es aquella cuya gráfica es una parábola, y con ecuación de la forma y=ƒ(x) = a x2 + b x + c, en donde a, b, c son constantes reales, conceptos ya estudiados en las ecuaciones del mismo nombre. Función Cuadrática de Ingreso. La función del ingreso en economía nos muestra el comportamiento de las cantidades recibidas por vender en el mercado un producto, las cuales dependen de la cantidad demandada en el mercado. Esta función es fácilmente modelable con una función cuadrática. A menudo la demanda del producto de una empresa puede describirse en función del precio que se le fija. Ejemplo 21. Ingreso por ventas. Supóngase que la empresa ha descubierto que la cantidad de demanda de uno de sus productos depende del precio. La función

que describe esta relación es:

f ( p) = q = 1.500 − 50 p

donde q es la cantidad demandada en miles de unidades y p indica el precio en dólares.

El ingreso total logrado con la venta de q unidades se formula como el producto de p y q, es decir, = p q. Puesto que q se expresa en función de p, el ingreso total se formulará en función del precio, así: Y(q) = : estamos diciendo que es una función que depende de q. Así, reemplazando q = 1.500 − 50.p, tenemos:

= p.q = p (1.500 − 50.p)

q = 1.500 p − 50 p2

Ésta ecuación corresponde a una función cuadrática. La función del ingreso total está representada en la gráfica anterior. Observe que el dominio restringido de la función consta de los valores no negativos de p.

• ¿tiene esto sentido? El ingreso total esperado al cobrar determinado precio se calculará sustituyendo el valor de p en la función del ingreso total. Por ejemplo, el ingreso total correspondiente al precio de $10 es: Y(10) = 1.500(10) − 50(10)2 = 15.000 − 5.000 = 10.000

• Dadas las intersecciones con el eje en la gráfica, ¿qué valor de p

produce el valor máximo de ? ¿Cuál es el máximo ingreso total esperado? ¿Qué cantidad se demanda a ese precio? ¿Qué sucederá si

p > 30? Curvas de Oferta y Demanda. Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante, de distintos tipos de parábolas, frecuentemente son adecuadas para representar funciones de oferta y demanda. La porción del primer cuadrante de una hipérbola equilátera con frecuencia se usa para representar una función de demanda. Estas ecuaciones se obtienen a partir de graficar observaciones recolectadas por medio de encuestas o de resultados de operaciones efectivas. Si se verifica que el comportamiento de la función se asemeja a una parábola, entonces se crea un sistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se genera la respectiva ecuación. Este procedimiento se estudiará en el próximo curso de matemática. Por ahora concentrémonos en las ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas. Ejemplo 22. Función cuadrática de oferta. La función que determina la oferta de un producto es: q = 0,5 p2 − 200 y pretendemos determinar la cantidad ofrecida cuando el precio del mercado para el artículo es de $50.

q = 0,5p2 − 200= 0,5(2.500) − 200=1050 unidades en miles.

• ¿Cuál es el dominio restringido de la función de oferta? En la gráfica, interprete el significado de las intersecciones con los ejes, recuerde que los valores para la variable p están en el eje y los de la variable q aparecen en el eje .

Ejemplo 23. Función cuadrática de la demanda. En relación con el ejemplo anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma

óptima por una función cuadrática. También encontraron que la representación cuadrática, sólo era válida entre los precios $5 y $45. Al sustituir los puntos graficados en la ecuación general de la función y resolver simultáneamente se obtiene la función de demanda: q = p2 − 100 p + 2500 donde p es el precio de venta en dólares y q denota la demanda expresada en miles de unidades. La cantidad demandada a cualquier precio se calculará al sustituir el precio en la función de demanda. Por ejemplo, a un precio de $30, la cantidad demandada será: q (30) = (30)2 − 100(30) + 2500 = 900 − 3.000 + 2.500 = 400 unidades (en miles).

Equilibrio de Mercado. El precio y la cantidad de equilibrio en el mercado se pueden hallar geométricamente como las coordenadas del punto de intersección de las curvas de oferta y demanda en cualquier forma adecuada, por lo que se puede determinar una solución aproximada geométricamente. Por otra parte, en unos casos sólo se requiere la solución de ecuaciones de segundo grado. Esto sucede por ejemplo, si una de las ecuaciones es lineal y la otra es parabólica o hiperbólica, o bien si ambas ecuaciones son cuadráticas respecto a la misma variable. Ejemplo 24. Equilibrio entre oferta y demanda. El equilibrio del mercado puede estimarse para las funciones de oferta y demanda de los ejemplos anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Esta condición se expresa con la ecuación:

0.5 2 − 200 = 2− 100 + 2500

ecuación que puede arreglarse de modo que:

0.5 2 − 100 + 2700 = 0 Ahora emplearemos la fórmula cuadrática para determinar las raíces de la ecuación:

Los dos valores que satisfacen la ecuación cuadrática obtenida son 1= $32.18 y

2 = $167.82. La segunda raíz se encuentra fuera del dominio relevante (dominio restringido) de la función de demanda y por lo tanto, carece de significado. Al sustituir = 32.18 en las funciones de oferta y demanda, se produce la cantidad de equilibrio del mercado. q = 0.5 2 − 200 = 0.5 (32.18)2 − 200 = 317.77 En conclusión, se alcanza el equilibrio del mercado cuando el precio del mercado es igual a $32.18 y la cantidad ofrecida y demandada es aprox. de 317.77 unidades. Revisemos esto en la gráfica.

Ejemplo 25. Demanda lineal y oferta no lineal. Hallar el precio y la cantidad de equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes, donde p representa el precio y q la cantidad.

2q + p − 10 = 0 ; p2 − 8q − 4 = 0

Resolviendo el sistema por sustitución, q = (− p + 10) / 2, de la primera ecuación y 8q = p2 − 4 de la segunda. Así, 8 (− p + 10) / 2 = p2 – 4,

-4 p + 40 = p 2 – 4,

p 2 + 4 p − 44 = 0

Al resolver esta ecuación tenemos dos valores para p: p1 = 4.9 y p2 = 8.9, y reemplazar en la ecuación adecuada, obtenemos que las soluciones aproximadas son (2.5, 4.9) y (9.5,-8.9) y el punto de equilibrio es (2.5, 4.9), aproximadamente, teniendo en cuenta que el otro punto de la solución carece de sentido en términos económicos. Ejemplo 26. Demanda hiperbólica y oferta lineal. Hallar la cantidad y el precio de equilibrio del mercado para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes (en donde q representa la cantidad y p el precio)

(q − 12)(p + 6)= 169

q − p + 6 = 0

Sustituyendo, p = q + 6 , en la primera ecuación

(q − 12)((q + 6)+ 6)= 169

entonces, (q − 12)(q + 12)= 169 ,de donde, q = ±17.69 aprox.

Entonces deducimos que p = 23.69 en un caso y p = -11.69 en el otro. La solución es entonces (17.69, 23.69).

Ejemplo 27. Curva de transformación parabólica. Una empresa de economía mixta de acerías, produce cantidades y de dos clases diferentes de acero utilizando el mismo proceso de producción. La curva de transformación de producto para la materia prima utilizada está dada por . (a)¿Cuáles son las mayores cantidades de y que se pueden producir? (b) ¿Qué cantidades y se deben producir para que la producción de sea 4 veces la de ?

(a) es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayor cantidad de es 20. Ahora, es tan grande como se pueda si = 0, por lo que la mayor cantidad es

luego = 2.9 aprox.; = - 6.9 aprox. son los valores que solucionan la ecuación. Concluimos que la mayor cantidad de es 2.9. (b) Sustituyendo en

Como no puede haber cantidades de producto negativo, entonces tenemos que el valor válido para es 2. Luego las cantidades producidas son = 8, = 2.

Resumen: Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada número de entrada x exactamente un número de salida f (x). Por lo común, una función está especificada por una ecuación que indica lo que debe hacerse a una entrada x para obtener f(x). Para conseguir un valor particular de la función, f(a), reemplazamos cada en la ecuación por a. El dominio de una función lo constituyen todos los números de entrada, y el rango todos los números de salida. A menos que se diga lo contrario, el dominio de f consiste en todos los números reales x para los cuales f (x) también es un real. Algunos tipos especiales de funciones son: funciones constantes, polinómicas y racionales. Una función que está definida por más de una expresión es llamada función definida por partes. En economía las funciones de oferta y demanda establecen una correspondencia entre el precio p de un producto y el número de unidades q del producto que los productores (o consumidores) ofrecerán (o comprarán a este precio). Dos funciones f y g pueden ser combinadas para formar una suma, resta, producto, cociente o composición.

Un sistema de coordenadas rectangulares nos permite representar geométricamente ecuaciones con dos variables, así como funciones. La gráfica en el plano cartesiano consiste en todos los puntos (x,y) que corresponden a las soluciones de la ecuación. Trazamos un número suficiente de puntos y los unimos (cuando sea apropiado) de manera que la forma básica de la gráfica sea visible. Los puntos en donde la gráfica interseca a los ejes, se encuentran haciendo x = 0 para hallar el corte con el eje , y , = 0 para hallar el corte con el eje . La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) y consiste en todos los puntos donde x está en el dominio de f. Los ceros de f son los valores de x para los cuales f (x) = 0. A partir de la gráfica de una función, es fácil determinar el dominio y el rango. El hecho de que una gráfica represente una función puede ser determinado usando la prueba de la recta vertical, que consiste en trazar una recta paralela al eje y y esta no puede cortar la gráfica de una función en más de un punto. La orientación de una recta no vertical está caracterizada por su pendiente:

Donde (x,y) y (x1 , y1) son dos puntos diferentes sobre la recta. La pendiente de una vertical no está definida y la de una horizontal es cero. Rectas que ascienden de izquierda a derecha tienen pendiente positiva y las que descienden pendiente negativa. Dos recta son paralelas si tienen la misma pendiente o son verticales. Dios rectas son perpendiculares si se cumple que la multiplicación de sus pendientes es igual a -1. Una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí (forman ángulos de 90º). La función lineal y = mx + b , tiene como gráfica una líneas recta. La cuadrática o de la forma ax2+bx+c = y es una parábola que tiene un punto llamado vértice de donde se desprenden dos ramas simétricas. Depende del valor del coeficiente de la variable que esté al cuadrado, as parábolas abren hacia arriba o hacia abajo (para que sean funciones). Un sistema de ecuaciones lineales o no lineales puede ser resuelto por eliminación, sustitución o igualación. La solución de un sistema formado por ecuaciones de oferta y demanda para un producto, da como resultado el número de equilibrio que indica el precio al que los clientes comprarán la misma cantidad de un producto que los productores desean vender a ese precio. También el punto de equilibrio es aquel en donde la ganancia total es igual al costo total. GLOSARIO

Oferta: Es la cantidad ofrecida de un bien. Es la cantidad que los productores están dispuestos a vender en un periodo dado a un precio en particular.

Demanda: Cantidad de productos que existen en el mercado y que los consumidores están dispuestos a comprar en un momento dado. Costo: Es todo egreso en que incurre el productor para elaborar y colocar en el mercado su producto. Ingreso: Es lo que recibe el productor como compensación por entregar en el mercado un producto. Economía: Es la ciencia que se dedica a la producción, distribución y consumo para el bienestar de la sociedad humana. Toda economía debe responder: Qué es lo que va a producir, como producir, dónde, cuánto, para quién y cuánto producir. Existen dos variables que marcan la pauta de la economía: La disponibilidad de materias primas y el mercado. 1. Ecuación de la demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 por cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas. 2. Ecuación de la Oferta. Suponga que un fabricante de zapatos coloca en el mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $35 (dólares por par) y 35 pares cuando cuestan $30. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente. 3. Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $40 y el de 20 unidades es $70. Si el costo c está relacionado linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione c con q. Encuentre el costo de producir 35 unidades. 4. Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8.000, encuentre una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria después de t años de la compra, donde 0<t<10. Bosqueje la ecuación, seleccione t como el eje horizontal y v como el vertical. ¿Cuál es la pendiente de la recta resultante? Este método de considerar el valor del equipo es llamado depreciación lineal. 5. Escala de calificaciones. Por razones de comparación, un profesor quiere cambiar la escala de calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de modo que la calificación máxima siga siendo 100 pero la media (promedio) sea 80 en lugar de 56. (a) Determine una ecuación lineal que haga esto. [Sugerencia: Quiere que 56 se convierta en 80 y 100 permanezca como 100. Considere que los puntos (56 , 80) y (100 , 100) y, de manera más general, (x,y), donde x es la calificación anterior y y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto-pendiente. Exprese y en términos de x.]

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

(b) Si 60 en la nueva escala es la calificación más baja para acreditar, ¿Cuál fue la calificación más baja para acreditar en la escala anterior? 6. Punto de equilibrio. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son 3q- 200p+1.800=0, y 3q+100p-180=0, respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por periodo. (a) Algebraicamente encuentre el precio de equilibrio y dedúzcalo gráficamente. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. 7. Punto de equilibrio. Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total está dado por Y(q)=7q, y el costo total es C(q)= 6q+ 800, donde q representa el número de unidades producidas y vendidas. (a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de equilibrio. (b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio si el costo total es incrementado en 5%. 8. Negocios. Un fabricante vende un producto a $8,35 por unidad, vendiendo todo lo producido. El costo fijo es de $2.116 y el costo variable es de $7,20 por unidad. ¿A qué nivel de producción existirán utilidades de $4.600? ¿A qué nivel de producción existirá perdida de$1.150? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto de equilibrio? 9. Oferta y demanda. El punto de equilibrio del mercado para un producto ocurre cuando 13.500 unidades son producidas a un precio de $4,50 por unidad. El productor no proveerá unidades a $1 y el consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales. 10. Costo variable. Un fabricante alcanzará el punto de equilibrio en un volumen de ventas de $200.000. Los costos fijos son de $40.000 y cada unidad se vende a $5. Determine el costo variable por unidad. 11. Política de descuento. Un museo de historia natural local cobra por la entrada de grupos de acuerdo con la siguiente política. A los grupos menores de 50 personas se les cobra una tarifa de U$1,50 por persona, mientras que a los grupos de 50 personas o más se les cobra una tarifa reducida de U$1 por persona. (a) Exprese la suma que ha de cobrar a un grupo por su entrada al museo como una función del tamaño del grupo. (b) Represente gráficamente esta función.

(c) ¿Para cuales valores de la variable independiente tiene esta función una interpretación práctica? (d) ¿Cuánto dinero ahorrará un grupo de 49 personas en los costos de entrada si

se puede conseguir un miembro adicional? 12. Análisis gráfico. Investigue los valores de la tasa representativa del mercado del dólar durante un mes, haga el gráfico correspondiente y elabore un análisis de la tendencia del dólar durante dicho periodo. Para ello una buena fuente es la revista del Banco de la República, lo mismo que las estadísticas del DANE. Si no logra acceso a las revistas y boletines estadísticos, puede consultar los diarios o las páginas web: www.banrep.gov.co;www.dane.gov.co; www.bolsadebogota.com.co. 13. Oferta y demanda. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan curvas de demanda, cuáles representan curvas de oferta, y cuáles no representan ninguna de ellas? (a) q - 2 p = 0, (b) 3 q + 4 y - 10 = 0, (c) p - 4 = 0, (d) q - 3 = 0, (e) 2 q - 3 p + 1= 0, (ƒ) 2 q + 5 p + 4 = 0, (g) 3 q + 4 p - 12 = 0, (h) 5 q - p - 10 = 0, (i) 2 p + 3 q +2 = 0, (j) q - 3 p = 0. 14. Oferta lineal. La curva de oferta de un artículo es q =1.1p – 0.1. (a) Hallar la cantidad demandada para precios de 4, 16, 25. (b) Hallar el precio si la cantidad demandada es de 9, 7, 2. (c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo? (d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis? (e) Graficar la curva. 15. Oferta lineal. La ecuación de oferta de un artículo es q = a p-b, en donde a y b son constantes positivas, p representa el precio y q la cantidad en oferta. (a) Hallar el precio si la cantidad en oferta es (i) 5a-b, (ii) a+2b. (b) Hallar la cantidad en oferta si el precio es (i) 3b/a, (ii) 5b/a. (c) ¿Cuál es el menor precio al que se ofrecería este artículo? 16. Ingreso - Costo lineales. Un manufacturero vende sus artículos a $5 por unidad. (a)¿Cuál es el ingreso total por ventas de 5.000 unidades del producto? ¿Cuál es

la ecuación para esta función de ingresos? Graficar la función. (b) Los costos fijos son constantes con valor de $3.000 sin importar el número de unidades producidas. (c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta compañía se estima que los costos variables son de un 40% del ingreso total. ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5.000 unidades del producto? Graficar superpuesta sobre la de (a). (d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indicar dicho punto en la gráfica y resolver para la correspondiente cantidad vendida. Indicar en la gráfica la cantidad con que el fabricante cubre sus costos fijos. 17. Equilibrio del mercado. Identificar cuál de las siguientes ecuaciones representa una curva de oferta y cuál una curva de demanda; determinar el punto de equilibrio y graficar las curvas (i) q+p=5, (ii) 2q-p=5,5. 18. Costo Lineal. La gerencia de una empresa comercial de producción de herramientas agrícolas del municipio X (empresa creada con el objetivo principal de generar empleo), tiene costos fijos (a salida cero) de $300 diarios y costos totales de $4.300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por día. Suponga que el costo C está linealmente relacionado con la salida. (a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las salidas de cero y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300) y (100, 4.300). (b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba la respuesta final en la forma C= m q+b. (c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte B para 0<q<200. BIBLIOGRAFIA

� Swokowski, Earl W. / Cole, Jeffery A. Álgebra y Trigonometría.

International Thomson Editores.1.998.

� Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Harla, S.A. 1.982.

� Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Grupo Editorial Iberoamérica.1.989.

� Kleiman, Ariel. Conjuntos: Aplicaciones Matemáticas a la

Administración. Editorial Limusa, México,1994

� Fregoso, Arturo. Los elementos del lenguaje de la matemática: Lógica

y Teoría de Conjuntos. Editorial Trillas, México ,1977

� Rubio Segovia. Lógica y teoria de conjuntos. Editorial Alhambra, Madrid, 1974.

WEB- GRAFIA matematicasunal.edu.co/ www.universia.net.co/publicaciones-por-tema-2008 www.guiamath.net/ejercicios-resultados es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/ www1.universia.net/

CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Objetivos Específicos: 1. Analizar las funciones exponenciales y sus aplicaciones en finanzas, economía y otras áreas. 2. Estudiar las funciones logarítmicas, sus propiedades y aplicaciones 3. Desarrollar técnicas para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales 4. Resolver problemas relacionados con el cálculo de logaritmos. Subtemas: 3.1 Funciones exponenciales 3.2 Funciones logarítmicas 3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 3.4 Aplicaciones Ejercicios de repaso del capítulo Palabras Clave: Elementos de una potencia Logaritmo Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos Transposición de términos

Introducción: Algunas bacterias como la Lactobacillus acidophilus, que se encuentran en la boca y en los intestinos, se reproducen muy rápidamente. En circunstancias adecuadas, el número de bacterias en ciertos cultivos se duplica en un tiempo tan corto como una hora (o menos). En esta parte analizaremos algunas funciones que se pueden usar para modelar este crecimiento tan rápido. Función no lineal es aquella, cuya representación gráfica en el intervalo correspondiente al dominio restringido, no es una recta. En este capítulo, solamente presentaremos más detalladamente las funciones exponencial y logarítmica. El capítulo no se centrará en el estudio de las características de estas funciones, sino en las aplicaciones que tienen que ver con los campos pertenecientes al ámbito de la administración pública como son la administración, la economía, la política, entre otras. 3.1 Funciones exponenciales Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma y =ƒ(x) = ax, con a>0 y a , donde la base de la potencia "a" es una constante (un número) y el exponente la variable x. Se usan predominantemente en biología para determinar la propagación de bacterias; en psicología para estudiar el incremento en el aprendizaje; en administración para estudiar los incrementos en el personal; en matemática financiera para el estudio de las capitalizaciones y amortizaciones; en sociología y demografía para estudiar el crecimiento de la población, entre otros campos. El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los reales positivos. Debemos determinar dos formas generales para este tipo de función, siempre recordando que como todo número elevado a la cero es igual a uno, las gráficas de las funciones exponenciales siempre pasarán por el punto (0,1). Clases:

(a) Cuando la base es mayor que uno ( a >1)

Ejemplo 1. Graficar la función F(x) = 3x. La gráfica es creciente de izquierda a derecha, es decir si aumenta el valor de x aumenta también el de y.

x -2 -1 0 1 2 y 1/9 1/3 1 3 9

(b) Cuando la base es mayor que cero y menor que uno ( 0 < a < 1)

Ejemplo 2. Graficar la función G(x) = = La gráfica es decreciente de izquierda a derecha, es decir si aumenta el valor de x disminuye el de y.

x -2 -1 0 1 2 y 9 3 1 1/3 1/9

3.2 Funciones logarítmicas La inversa de la función exponencial ƒ(x) = ax, a > 0, a≠ 1, se denomina función logarítmica, se simboliza: loga x, se lee “logaritmo en base a de x”. Si a> 0, a≠ 1, entonces, loga x = y si, y solamente si, a y = x. Es decir cada expresión

• Recuerda que:

=

. Además,

logarítmica tiene su correspondiente exponencial. Por lo tanto, todas las gráficas pasan por el punto (1,0) ya que y el eje es asíntota vertical para la función, ya que el logaritmo de cero y de valores negativos no existe. Ejemplo 1. Graficar la función f ( ) = = (logaritmo decimal de , porque la base es 10). La gráfica es creciente de izquierda a derecha, es decir si aumenta el valor de aumenta también el de .

x 1/2 1 2 3 4 y -0,3 0 0,3 0,48 0,6

Los valores su pueden hallar con una calculadora con la tecla “log” y están aproximados.

Ejemplo 2. Graficar la función f ( ) = = (logaritmo natural de . La base es el número de Euler, e, cuya aproximación es de 2.7182).

Los valores se pueden hallar con una calculadora con la tecla “ln” y están aproximados.

1/2 1 2 3 4

-0,69 0 0,69 1,1 1,39

Los dos ejemplos anteriores presentan las dos funciones logarítmicas principales, cuyos valores obtenemos con la calculadora. Pero para realizar una tabla de datos de un logaritmo en una base diferente a estas dos debemos hacer uso de la fórmula del cambio de base:

• Recuerda que: el logaritmo de un número es el exponente al que debo elevar la base para obtener la cantidad logarítmica. Ej:

Porque

Por ejemplo, para hallar procedemos así:

Ejemplo 3. Graficar la función f ( ) = . (logaritmo en base 3 de ).

1/3 1/2 1 1,3 2

-1 -0,63 0 0,24 0,63

Ejemplo 4. Graficar la función f ( ) = .

-2 -1 0 0,5 2

0 0,69 0,92 1,39

3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Como su nombre lo indica, una ecuación logarítmica o exponencial es aquella

que posee expresiones logarítmicas o exponenciales respectivamente. Para hallar la solución, es decir el valor o valores de la variable, es necesario aplicar propiedades de logaritmos y/o exponenciales según el caso. Propiedades

1)

2) 3) 4) 5) 6)

Ejemplo 1. Resolver:

Ejemplo 2. Resolver:

= - 10 = 0

Así, = -5 ,o, = 2, al reemplazar en la ecuación original por = -5 genera log (-2), que como lo vimos en la sección anterior no existe. 3.4 Aplicaciones Interés Compuesto. Una de las principales aplicaciones de la funciones exponenciales es el interés compuesto, en el cual el interés generado por una cantidad de dinero invertida (Capital inicial) es reinvertida de manera que también genere interés. Así el interés es compuesto porque se suma a la cantidad invertida y entonces hay "interés sobre interés".

Ejemplo 1. Suponga que $100 son invertidos a una tasa del 5% compuesto anualmente. Al final del primer año, el valor del monto acumulado es el capital inicial ($100) más el interés sobre ese valor (100 x 0.05), así:

100 + 100 (0.05) = 105 Esta es la cantidad sobre la cual el interés es generado para el segundo año. Al final del segundo año, el valor del monto acumulado es el monto acumulado al final del primer año ($105) más el interés sobre esa cantidad (105 x 0.05), así:

105 + 105 (0.05) = 110.25

Cada año el monto acumulado se incrementa en 5%. Los $110.25 representan el capital original más todo el interés acumulado; esta cantidad es llamada también monto compuesto. La diferencia entre el monto acumulado y el capital inicial es el interés compuesto. El interés compuesto aquí es 110.25 - 100 = $ 10.25. Generalizando mediante una ecuación tenemos:

Donde, es el monto acumulado, el capital, la tasa de interés efectiva, el número de periodos de capitalización (por año) y el tiempo en años. Esta ecuación puede ser aplicada tanto a las inversiones como a los préstamos y ahorros. Ejemplo 2. Suponga que $1000 son invertidos durante 10 años al 6% compuesto anualmente, a) Encontrar el monto compuesto. b) Encontrar el interés compuesto.

a) Tenemos que = 1.000, = 0.06, = 1, = 10

b) Encontrar el interés compuesto.

Interés compuesto = Monto compuesto - Monto inicial =

1790.85 - 1000 = $ 790.85

Crecimiento Poblacional.

La ecuación de interés compuesto puede ser aplicada no sólo al crecimiento del dinero sino también a otros tipos de crecimiento, tal como el de la población. Por ejemplo suponga que la población P de una ciudad de 10.000 habitantes crece a razón del 2% por año. Entonces P es una función del tiempo t, donde t está en años, así:

M (t) = P (1 + r) t = 10.000 (1 + 0,02) t = 10.000 (1,02) t

Ejemplo 3. La población de una ciudad de 10.000 habitantes crece a razón del 2% anual. Calcular la población dentro de cincuenta años.

M (t) = 10.000 (1 + 0,02) 50 = 10.000 (1,02) 50 = 26.916 habitantes aprox.

Se debe tener en cuenta que en la gráfica, la parte negativa no se tiene en cuenta ya que no tiene sentido el tiempo negativo (eje x). Curvas de Gompertz (Funciones de crecimiento). Las curvas de Gompertz, así denominadas por su inventor, se representan según la ecuación:

en donde es el número de individuos en la población en el tiempo , R (0< <1) es la rata de crecimiento, es la proporción del crecimiento inicial y es el crecimiento al vencimiento (es decir la asíntota superior). Observe que cuando =0, , lo cual corresponde a 0 de la función de crecimiento biológico, es decir la población inicial. Las curvas de Gompertz se han utilizado a gran escala por los psicólogos para describir diferentes aspectos del crecimiento humano y su desarrollo.

y =10.000 (1 + 0,02) x

Los teóricos de la organización han encontrado las curvas de Gompertz apropiadas para describir el crecimiento de muchos tipos de organizaciones. También son apropiadas para muchas otras funciones en la administración y la economía, por ejemplo, las funciones ingreso total y producción.

Ejemplo 4. Crecimiento de la organización. A partir de las ventas esperadas y los datos para compañías semejantes, el director de personal de una empresa industrial del Estado predice que el número de empleados se puede escribir mediante la siguiente ecuación:

en donde N es el número de empleados después de t años. Suponiendo que esto es correcto, ¿cuántos empleados tendrá la empresa después de tres años? ¿Cuántos empleados tenía la empresa inicialmente. ¿Cuántos empleará cuando alcance su máximo desarrollo? La compañía emplea (200)(0,04)=8 personas inicialmente y 200 en su máximo desarrollo. Después de tres años emplea:

Es decir, aproximadamente 134 personas. Resumen: Una función exponencial tiene la forma y = ax . La gráfica tiene una de dos formas

Gráfica Curva de Gompertz para el crecimiento de la organzación

dependiendo del valor de la base a. Tiene como aplicación la fórmula de monto acumulado (usada para el interés compuesto): S = C (1+r/n)nt , donde S es el monto acumulado, t el tiempo en años, r la tasa de interés anual y n los periodos anuales de capitalización. Una base utilizada con frecuencia en la función exponencial es el numero e 2.71828. Esta base aparece en análisis económicos y en muchas situaciones que involucran crecimiento o decaimiento, tales como estudios poblacionales y decaimiento radiactivo. Los elementos radiactivos siguen la ley del decaimiento exponencial N = N0 , donde N es la cantidad presente en el tiempo, N0 la cantidad inicial y la constante de decaimiento. El tiempo necesario para que la cantidad de elemento decaiga es llamado vida media. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa. La función logarítmica de base a es notada , si y solo si . La gráfica también tiene una de dos formas dependiendo del valor de la base a. Los logaritmos de base e son llamados Neperianos o naturales y denotados como ; aquellos de base 10 se llaman decimales o comunes y se denotan como . La vida media de un elemento radiactivo puede ser dada en términos de un

logaritmo natural y de una constante de decaimiento: . Se necesitan las propiedades de logaritmos y exponenciales para la solución de ecuaciones que contengan este tipo de expresiones. GLOSARIO Variable dependiente: Es aquella que puede tomar valores sin depender de otra variable. Variable independiente: Es aquella que toma valores dependiendo de otra variable. Dominio: Valores que puede tomar la variable independiente en una función. Rango: Imágenes de la función, es decir los valores de la variable dependiente que resultan de reemplazar en la ecuación los valores del dominio. Ceros de una función: Son aquellas coordenadas en las cuales el valor de y es cero, es decir son los cortes de la gráfica con el eje x.

1.Use un software para graficar las ecuaciones e indique el dominio de las siguientes funciones: a) y = 2 x b) log 2 x = y

d) y = 50 – 40 L - 0,30x 2. La población proyectada P de una ciudad está dada por

P = 125.000 (1.12) t / 20 donde t es el número de años a partir de 1995.¿Cuál es la población estimada para el año 2015? 3. Suponga que $1.000 son colocados en la cuenta de ahorros que gana interés a una tasa del 5% compuesto semestralmente. (a) ¿cuál es el valor de la cuenta al final de 4 años? (b) Si la cuenta hubiera generado intereses a una tasa del 5% compuesto anualmente, ¿Cuál sería su valor después de 4 años? 4. Un certificado de $6.000 de depósito es comprado en $6.000 y es conservado durante 7 años. Si el certificado gana un 8% compuesto cada trimestre, ¿cuál es su valor al cabo de 7 años? 5. La población de una ciudad de 5.000 habitantes, crece a razón del 3% anual. (a) Determine la ecuación de población P después de t años a partir de ahora. (b) Determine la población dentro de tres años. 6. Las ciudades A y B actualmente tienen poblaciones de 70.000 y 60.000 habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la B crece a razón de 5% anual. Determine la diferencia entre las poblaciones al final de 5 años. 7. Población. A causa de una baja económica la población de cierta área urbana disminuye a razón del 1% anual. En el inicio la población era de 100.000 habitantes. ¿Cuál es la población después de 3 años? 8. Fuerza de trabajo. En un esfuerzo para disminuir costos, una compañía reducirá su fuerza de trabajo a razón del 2% mensual durante 12 meses. Si actualmente emplea a 500 trabajadores, ¿cuántos trabajadores tendrá dentro de 12 meses? 9. Punto de equilibrio. Hallar el precio y la cantidad de equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes: q2 + 5q − p + 1 = 0 , 2q2 + p − 9 = 0 , mostrarlo además gráficamente. 10. De las siguientes ecuaciones diga cual representa la oferta y cuál a la demanda. Luego obtenga la gráfica y calcule la cantidad y el precio de equilibrio: p2 + p + q − 20 = 0; 2 p2 − q − 3p − 4 = 0 . 11. Curvas de Gompertz. Según un estudio realizado por el Instituto de Fomento

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

Industrial IFI, el número de empresas dedicadas a una industria particular se describe mediante la ecuación:

donde t es el número de años desde que se inició la industria. ¿Cuántas empresas existían en la industria después de 5 años? ¿Cuántas empresas existían inicialmente en la industria? ¿Cuántas empresas existirán cuando la industria alcance su máximo desarrollo? 12. Curvas de Gompertz. Los ingresos totales cada mes (en dólares) para determinada compañía pueden describirse mediante la ecuación:

en la que p es la cantidad gastada en promoción y propaganda. (a) ¿Cuál sería el ingreso total cuando no se gaste nada en promoción y propaganda? (b) ¿Cuáles serían los ingresos máximos que se podrían lograr? (c) ¿Cuál sería el ingreso total si se gastan $20 en promoción y propaganda? Obtenga la gráfica y represente en ella los puntos. 13. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) b) c) d)

14. Encuentre la falacia:

15. Cierta máquina se deprecia de tal forma que su valor después de t años viene dado por ..1400000)( 03,0 tetV −

= ¿Cuál es el valor de dicha maquina después de…

a) un mes? b) 6 meses? c) 2 años? d) 10 años?

16. Si $2.000 se invierten a un interés compuesto anual del 6% encuentre el monto acumulado:

a) después de 4 años b) después de 12 años c) de 1 año si la capitalización es trimestral d) de 4 años si la capitalización ocurre cada6 meses

17. Grafique las funciones. a) x4

3

1−

b) xy 22=

18. Calcular

a) 3log2 b) 4log7 c) 125,0log2 d) 125log5

19. Resolver: a) 124.35 1=+

−x b) 5

42 3

2

=− x

20. El costo de un producto está dado por C = (2q ln q) + 20. Evalúe el costo cuando q = 6

21. La ecuación de oferta de un fabricante es ,2

10log

+=q

p en donde q es el

número de unidades. ¿A qué precio ofrecería el fabricante 1.980 unidades? 22. ¿Qué tiempo se requiere para que $600 se conviertan en $900 a una tasa anual de 8% compuesto trimestralmente? 23. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el dinero se duplique a la tasa efectiva r = 0,06? 24. En un cultivo de bacterias su número aumenta a razón del 4% por hora ∞∞ . Al inicio estaban presentes 500 bacterias. (a) determine una ecuación que dé el número de bacterias N después de t horas. (b) Cuántas bacterias están presentes después de 1 hora? (c) ¿Después de 3 horas? Aproxime su respuesta al entero más cercano. 25. La población de una ciudad de 8.000 habitantes crece a razón del 2% anual. (a) Determine una ecuación que dé la población P después de t años a partir de ahora. (b) Encuentre la población dentro de 2 años. Dé la respuesta a (b) aproximada al entero más cercano. BIBLIOGRAFIA

� Hoffman, Laurence y Bradley. Cálculo para Administración, economía y ciencias sociales. Ed. Mc Graw-Hill, México, ed. Séptima. 2.001

� Zill, Dennis G. / Dewar, Jacqueline M. Algebra y Trigonometría. Ed. Mc. Graw - Hill.Santafé de Bogotá. 1.992.

� Stewart, James. Cálculo.

Ed. Educativa. International Thomson Editores. � Zill, Dennis G. Cálculo con Geometría analítica.

Grupo Editorial Iberoamérica. México, D.F.

� Varberg, Dale E. / Varberg, Thomas D. Álgebra and trigonometry. Prentice Hall, Inc., New Jersey. 1.996.

WEB- GRAFIA directorio –paginas web.abcenlaces.com/ www.mat.uson.mx/ www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/docencia/ www.matematicasbachiller.com/videos/ www.casadellibro.com/ libro: “Matemáticas para la economía y la empresa”

Contenido sintético del capítulo 4

CAPITULO 4. LIMITES Objetivos Generales: 1. Analizar gráficamente el concepto de límite y aplicar técnicas algebraicas para hallarlo 2. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de un función utilizando limites 3. Determinar la continuidad de una función 4. Proponer diferentes estrategias en la solución de problemas que involucran límites de funciones. Objetivos específicos:

� Establecer relaciones entre casos reales y límites � Aplicar técnicas de factorización en el cálculo de límites � Deducir y calcular con ayuda de una gráfica el límite de una

función � Verificar y justificar la continuidad de una función en un intervalo

cerrado � Determinar las condiciones necesarias para establecer un

resultado relacionado con límites de funciones � Resolver diferentes problemas mediante el uso de límites

Subtemas: 4.1 Concepto de límite 4.2 Álgebra de límites 4.3 Límites infinitos 4.4 Límites al infinito 4.5 Continuidad 4.6 Aplicaciones Ejercicios de repaso del capítulo Palabras Clave: Aproximación

Evaluación de funciones Factorización División de polinomios Propiedades de exponentes La noción de límite es fundamental en el cálculo. En la vida cotidiana hablamos de velocidad límite, el límite de nuestra propia resistencia, los límites de la tecnología moderna o de estirar un muelle al límite. Todas esas frases sugieren que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no solo alcanzable sino superable. El concepto de límite se puede ilustrar con algunos casos sencillos. El tamaño de las pupilas de los ojos aumenta o disminuye de acuerdo con el nivel de luz: si la luminosidad del ambiente es baja, las pupilas se dilatan para permitir una mayor entrad de luz; en cambio, si la luminosidad es alta, las pupilas se contraen para permitir una menor entrada de luz. Sin embargo, el tamaño de las pupilas tiene unos límites máximo y mínimo. Si se desea hallar una función que modele matemáticamente la relación entre la cantidad de luz y el tamaño de las pupilas se deben tener en cuenta todos esos factores. Es decir, se buscaría una función con las siguientes características:

1. A medida que la cantidad de luz (x) crece, el tamaño de la pupila (y) decrece hasta un valor mínimo, p.

2. A medida que la cantidad de luz (x) decrece, el tamaño de la pupila (y) crece hasta un valor máximo, P.

El límite puede usarse para describir funciones con propiedades específicas como las mencionadas antes. En el caso de las pupilas, expresamos el límite del tamaño de la pupila igual a P a medida que la cantidad de luz decrece hacia cero y el límite del tamaño de la pupila igual a p a medida que la cantidad de luz crece hacia el infinito. La noción de límite resulta ser algo sutil, fácil de pensar intuitivamente, pero algo exigente de precisar. Para abordar este capítulo es indispensable dominar el tema de las funciones estudiado en el capítulo anterior y, además, los casos de factorización y productos notables estudiados en su bachillerato. 4.1 Concepto de límite Un aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite

de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mientras que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es en este caso asíntota horizontal de la trayectoria del avión.

Dada una función ƒ, la pregunta que hacemos es: Si los valores de se aproximan hacia un número , ¿a qué número se aproximan los valores de ƒ( )?, lo cual notamos como

que se lee: " límite de de cuando tiende a igual a ” . En este caso se considera que la tendencia es tanto por la izquierda como por la derecha, es decir que los valores de se acercan a por ambos lados de la función. La notación

que se lee: " límite de de cuando tiende a por la izquierda igual a ” significa que se acerca mucho al valor , tomando valores menores que , y los valores correspondientes en el eje es decir los de se acercan a . La notación

que se lee: " límite de de cuando tiende a por la derecha igual a ” significa que se acerca mucho al valor , tomando valores mayores que , y los valores correspondientes en el eje es decir los de se acercan a . .

Ejemplo 1. Supongamos que dibujamos la gráfica de la función , y queremos hallar

Para todos los valores distintos de 1, es posible hacer una tabla de datos con dos tipos de valores, unos que se aproximen a 1 por la izquierda y otros que se aproximen a 1 por la derecha.

0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25

2,313 2,710 2,970 2,997 3,003 3,030 3,310 3,813

Por la izquierda tiende a 3 Por la derecha tiende a 3 Al representar la función debemos tener en cuenta que posee un hueco en el punto (1,3) ya que para = 1 el denominador se vuelve cero y la función no existe. A pesar de este hecho, podemos acercarnos a 1 por ambos lados, tal como se muestra en la tabla y escribir:

Ejemplo 2. Observe la gráfica siguiente y a partir de ella determine los siguientes límites:

Observamos que si nos acercamos a 2 en el eje por la derecha y por la izquierda, los valores de tienden a 3 (se acercan a 3). Y si nos aceramos a cero los valores de y tienden a cero, entonces tenemos:

Ejemplo 3. Observe la gráfica y a partir de ella halle los siguientes límites:

Si observamos, los valores de en = 0 y en = 2 son respectivamente 2 y 0, por lo cual concluimos que estos son los valores de los límites respectivos. Pero

cuando 3 debemos ignorar el hacho de que (3) = 2, ya que al “acercarnos” a 3 por los dos lados lo hacemos por la recta, lo cual nos indica que el valor al que tiende en es -1. Así,

Límites laterales. Algunas veces, como en los ejemplos estudiados, encontramos funciones que no están definidas en un punto o lo están pero generando una ruptura en la continuidad de la gráfica, pero es claro el valor de al que tienden. Sin embargo, en algunas funciones no se ve la misma tendencia ya que si nos acercamos por la derecha obtenemos un valor diferente a si nos acercamos por la izquierda. Ejemplo 4. Consideremos la función T que asocia a cada período de tiempo de duración de una llamada telefónica su importe; si suponemos que cada 3 minutos o fracción importa 50 pesos, la gráfica de T es la de la figura. ¿Cómo se comporta T en el punto = 3?

Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayores que 3, los valores de la función son 100; pero si nos aproximamos a 3 con valores menores que 3, los valores de la función son 50. Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de T por la derecha en el punto 3 es 100 y que el límite de T por la izquierda en el punto 3 es 50. Simbólicamente:

Ejemplo 5. Consideremos la función:

¿Cómo se comporta ƒ en el punto x = 1? Si nos aproximamos a 1 tomando valores mayores que 1, los valores de la función se aproximan a 2; pero si nos aproximamos a 1 con valores menores que 1, los valores de la función se aproximan a 0. Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de ƒ por la derecha en el punto 1 es 2 y que el límite de ƒ por la izquierda en el punto 1 es 0. Simbólicamente:

Teorema. A partir de los ejemplos y las definiciones que se han visto hasta ahora, podemos verificar que el

existe si y solo si existen los límites laterales y son iguales. Hemos encontrado límites utilizando la gráfica o la aproximación en la tabla de datos, pero sería muy dispendioso tener que realizar estos procedimientos para hallar nuestras respuestas, por lo cual, en la próxima parte haremos uso de técnicas algebraicas que nos permitirán acortar el proceso. 4.2 Álgebra de límites Límites evaluables. Las propiedades anteriores nos permiten enunciar la siguiente regla: Para calcular el límite de una función en un punto = , se sustituye la variable independiente por y se realizan las operaciones indicadas. Se reducirá así a calcular un valor numérico, pero puede ocurrir que al realizar este cálculo se llegue a alguna indeterminación, este tipo de límites se tratarán más adelante. Por ahora, para halar límites evaluables, solo reemplazamos el valor al que tiende en la función.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Ejemplo 8.

Ejemplo 9.

Ejemplo 10.

Límites por factorización. Son aquellos que no se pueden manejar como los anteriores, ya que al reemplazar producen indeterminaciones: denominadores iguales a cero. Para desarrollarlos, es necesario que factoricemos tanto denominador como numerador, de ser posible, con la idea de cancelar factores y quitar la indeterminación para convertir el límite en evaluable y hallar nuestra respuesta.

Ejemplo 11.

Ejemplo 12.

Ejemplo 13.

Ejemplo 14.

Ejemplo 15.

Ejemplo 16.

Observemos que en todos los casos la factorización y cancelación permiten que el límite exista.

• Recuerda que: para racionalizar multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado de la expresión que tenga la raíz, para obtener la

quitar la indeterminación del denominador.

Ejemplo 17.

, Racionalizando

, aplicando diferencia de cuadrados

, cancelando la raíz y elevando al cuadrado

, sumando términos semejantes

, cancelando

, evaluando

Ejemplo 18.

, Desarrollando la resta de fracciones

, haciendo producto de extremos y medios

, Racionalizando

desarrollando como diferencia de cuadrados

, desarrollando las operaciones del numerador

, sumando términos semejantes

,

cancelando s

=

Ejemplo 19.

)312)(1(

)1(2lim

)312)(1(

3)12(lim

312

312.

1

312lim

111 ++−

−=

++−

−+=

++

++

−

−++++

→→→ xx

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

32

2

33

2lim

312

2lim

11=

+=

++++

→→ xx x

4.3 Límites infinitos Observemos la gráfica siguiente:

Como la idea de hallar un límite es encontrar el valor de y al que tiende la función cuando x se acerca a un valor, podemos intuitivamente contestar que:

Cuando el valor de es muy próximo y mayor que 0 entonces la función se hace infinitamente grande. Cuando el valor de es muy cercano a 0 y a la vez menor que cero, entonces la función se hace muy negativa, acercándose a menos infinito.

Analicemos la función x

xg1

)( = cuando tiende a cero; es decir

. Para ello elaboramos una tabla de datos:

-0,5 -0,25 -0,10 -0,05 -0,01 0 0,01 0,05 0,10 0,25 )(xg

-2 -4 -10 -20 -100 100 20 10 4

Observamos que el comportamiento es el mismo que el descrito en el párrafo anterior. Ahora, con base en la gráfica de )(xg , que aparece a continuación, tenemos:

Definición: Si donde ,

y entonces:

)(xg

Con esta definición, podemos hallar la respuesta de un límite infinito sin necesidad de hacer la gráfica.

Ejemplo 20. Hallar

Siempre debemos hallar los límites laterales, ya que puede ocurrir que tengan la misma tendencia o tendencia contraria. Para determinar los signos del numerador y del denominador, reemplazamos por un valor muy cercano a 0 por los dos lados, para determinar y la tendencia de s( ):

Así en

se dice que la función ƒ tiene en la recta x= a una asíntota vertical ya que la gráfica de la función ƒ se aproxima tanto como se quiera a la recta x = a cuando x se aproxima a a. Es decir cuando ocurren casos combinados en los límites siguientes:

Ramas divergentes

Ejemplo 21. Hallar

Ejemplo 22. Hallar

Ramas convergentes

Ejemplo 23. Hallar

Ejemplo 24. Encontrar 3 22 4

1lim

−−

→ xx

−∞→−

+→

−→

−−

→ 3 23 22 4)999,1(

1

4

1lim

xx

Ejemplo 25. Determinar

−

+→

30

1lim

xx

x

−∞→+

−→

−→

−=

−

++→→

3

4

3

4

03

0 )001,0(

1)001,0(1lim

1lim

x

x

xx

xx

Ejemplo 26. Hallar2

12lim

2

2 +

++−

−→ x

xx

x

−∞→−

+→

+−

+−+−→

+

++−

−→ 2001,2

1)001,2()001,2(2

2

12lim

22

2 x

xx

x

4.4 Límites al infinito

En la gráfica anterior se puede apreciar que cuando se hace muy grande, la función decrece acercándose a cero:

y, cuando x se hace muy negativo la función crece acercándose a cero.

Así, para cualquier función, intuitivamente significa que los valores de ƒ se aproximan a la recta horizontal

. Es decir que esta recta es la asíntota horizontal de . Teorema: Si es un número racional positivo y es cualquier número real, entonces

Afirmación que es indispensable para determinar esta clase de límites. Tendremos en cuenta tres posibles casos de las funciones racionales:

• Cuando el grado del numerador es menor al grado del denominador. En este caso, dividimos cada término por la mayor potencia de la variable

= =

0

que aparezca en la función.

Ejemplo 27. Hallar , dividiendo entre cada término

Ejemplo 28. Encontrar , dividiendo entre cada término

= =

= =

Como podemos inducir de los ejemplos anteriores, la respuesta a este tipo de límite al infinito siempre será cero.

• Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador. Realizaremos el mismo procedimiento anterior, pero a diferencia de ese, la respuesta de estos límites es una constante diferente de cero.

Ejemplo 29. Hallar 2

3lim

2

2

+∞→ x

x

x

dividiendo entre cada término, se tiene:

2222

2

2

2

2

2

2lim1lim

3lim

21

3lim

2

3

lim2

3lim

xxxx

x

x

x

x

x

xx

x

xxx

∞→∞→

∞→

∞→∞→∞→

+

=

+

=

+

=+

Y aplicando nuestro teorema a

2

2lim

xx ∞→

Tenemos 301

3=

+ (Asíntota horizontal, recta azul)

Ejemplo 30. Encontrar

Ejemplo 31. Determinar

Ejemplo 32. Hallar

• Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a cada uno de los límites +∞ y −∞.

• La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos. No obstante, en la mayoría de las funciones elementales la gráfica permanece por encima o por debajo de la asíntota considerada a partir de un punto.

• El conocimiento de la situación de la gráfica con relación a las asíntotas es esencial para la representación de funciones. En el caso de la asíntota horizontal y=L es conveniente estudiar si la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo.

Cuando el grado del numerador es mayor al grado del denominador. Estos límites, que son tanto infinitos como al infinito, no pueden tener el mismo procedimiento que los anteriores, ya que al dividir por la mayor potencia, que está en el numerador, y aplicando el teorema, el denominador va a ser cero, lo cual es una indeterminación. Por eso aplicaremos el desarrollo de los límites infinitos.

Ejemplo 33. Hallar

Lo cual significa que si aumenta infinitamente, tiende hacia infinito.

Ejemplo 34.

Lo cual significa que si tiende hacia menos infinito, los valores de también lo hacen en el mismo sentido, podemos verificar esto en la gráfica anterior.

Ejemplo 35. Determinar

Tomemos primero el límite hacia menos infinito:

Ahora, el límite hacia infinito:

Ejemplo 36. Encontrar

En la gráfica podemos observar que de realizar el límite hacia menos infinito , tendería hacia menos infinito también. (Si notamos, tiene una asíntota vertical en

=0).

• Una función tiene como máximo dos asíntotas oblicuas. • La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios

puntos. • Para la representación de funciones es conveniente estudiar si la función

se aproxima a la asíntota por encima o por debajo. • Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas, el grado del

numerador debe ser una unidad superior al grado de denominador.

4.5 Límites y continuidad Si te dicen que una máquina ha estado en operación continua durante las últimas 60 horas, la mayor parte de la gente entiende que la máquina ha estado en operación todo ese tiempo sin interrupción alguna. Los matemáticos quieren decir en gran parte lo mismo cuando hablan de funciones continuas. Se dice que una gráfica es continua en un intervalo cuando puede trazarse si interrupción, es decir sin levantar el lápiz del papel.

Hay funciones de la vida real, cada una de la cuales es una función de la variable independiente tiempo: la altura de un objeto que cae, la velocidad de un objeto, la cantidad de dinero en una cuenta bancaria, la frecuencia cardiaca de una persona y la cantidad de cierta sustancia química presente en un tubo de ensayo. ¿Cuáles de estas son funciones continuas? ¿Qué significado tienen las discontinuidades en la vida real? No siempre está bien definido si un proceso es continuo o no. Cuando uno mira televisión o cine, la acción parece continua. Esta es una ilusión óptica, ya que tanto el cine como la televisión consisten en instantáneas individuales que pasan a muchos cuadros por segundo. Dado que la persona parpadea varias veces por minuto, ¿es nuestra percepción del mundo realmente continua? La gráfica siguiente representa el crecimiento de una persona en función del tiempo. En el eje aparece la estatura en cm. y en el eje los años transcurridos. Midiendo su estatura cada año, se obtiene una gráfica con pequeños saltos entre un punto y el siguiente. Si la gráfica se realiza midiendo la estatura cada cinco años, el incremento entre cada punto y el siguiente ( ) será mayor, como lo es también el incremento del tiempo ( ). Finalmente, si se considera el crecimiento en cada instante, la gráfica que mide las alturas no sufre ningún salto brusco. Se dice en este caso que la función es continua.

Continuidad de una función en un punto. Si analizamos las funciones cuyas gráficas están dibujadas enseguida, aunque son semejantes, de inmediato se observa que en =0 presentan un comportamiento muy distinto. Mientras que la gráfica a) puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, no ocurre así en b), c) y d), al llegar a =0 la gráfica se interrumpe. Veamos el motivo de estas interrupciones:

En b) se verifica que ƒ(0 ) = 2 y . En c) no existe ƒ (0).

En d) ocurre que Una función ƒ es continua en = si se verifican las tres condiciones siguientes: a) Existe . Es decir, Dom (ƒ).

b) Existe

c) Ejemplo 37. Miremos la continuidad de la función g (x) en x = 1.

Verifiquemos las tres condiciones:

a) Existe . Es decir, Dom (g).

b) Existe

c)

Como lo ilustra la gráfica, la función es continua en = 1. Continuidad en un intervalo. Una función ƒ es continua en un intervalo abierto

cuando lo es en cada punto de dicho intervalo. Una función ƒ es continua en un intervalo cerrado [ ] cuando lo es en todos los puntos de y además es continua por la derecha en y por la izquierda en . • ƒ (x)= es continua en cualquier intervalo abierto o cerrado de R.

• ƒ (x)= no es continua en [-1,1] ya que no está definida en =0. Algunos casos importantes de funciones continuas: A. Toda función constante ƒ(x)=c es continua en cualquier punto. B. La función identidad ƒ(x)=x es continua en todo R. C. La función lineal ƒ(x)= ax + b es continua en todo punto. (La suma y el producto de funciones continuas es otra función continua). D. Las funciones ƒ(x) = x², ƒ(x)=x3,…, ƒ(x)=xn son continuas en cualquier punto. (El producto de funciones continuas es otra función continua). E. Toda función polinómica ƒ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+an xn es continua en cualquier punto. F. Todas las funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos donde están definidas. Ejemplo 38.

• es continua en todo R excepto en = -1 y = 1, puntos en los cuales no está definida.

• , es continua en R \ , ya que en = 1 no está definida.

• es continua en todo R.

• es continua en (0, ).

Discontinuidades de una función. Si una función ƒ es discontinua en = , su gráfica presenta en el punto una "ruptura". Trataremos de ilustrar los casos más sencillos de discontinuidades según dicha "ruptura".

Discontinuidad de primera especie

Discontinuidad con salto finito

Discontinuidad con salto infinito

Ejemplo 39. La función ƒ (x) = 2 si x ≠ 1, no es continua en x =1 ya que no existe

ƒ (1), sin embargo existe . La función ƒ presenta en x = 1 una discontinuidad evitable. El valor que deberíamos dar a ƒ en x=1 para que fuera continua seria 2: ƒ (1)=2.

Ejemplo 40. , no es continua en = 2, ya que no podemos asignar este valor a esta variable porque el denominador se convierte en cero: ( (2) no existe). Presenta discontinuidad evitable, es decir si factorizamos el numerador y cancelamos tendríamos:

Y este límite nos permite redefinir la función para que sea continua:

La gráfica por lo tanto nos quedaría de la siguiente forma:

Función continua

Ejemplo 41. , no es continua en x = 1. Aunque existe ƒ (1)=3

y , sin embargo . (Discontinuidad de primera especie).

Ejemplo 42. , no es continua en = 0.

Ejemplo 43. , no es continua en x=1. Aunque existe ƒ(1)=3,

sin embargo no existe ya que , mientras que

. En este caso la función presenta en x=1 una discontinuidad con salto finito.

Ejemplo 44. La función , es discontinua en = 1 con salto infinito. No existe ƒ(1), y

En este caso la función ƒ presenta una asíntota vertical en = 1, como se puede observar en la gráfica:

4.6 Aplicaciones Un gran número de funciones en administración y economía son funciones de tipo discreto (con discontinuidades finitas). Por ejemplo las funciones de precio y de costo; o de oferta y demanda, son frecuentemente discretas debido a la naturaleza de los bienes que ellas involucran y/o tienen discontinuidades debido a que costos y precios unitarios disminuyen (o aumentan) bruscamente para cantidades específicas. Debe notarse que hay funciones que siendo de hecho discretas, se pueden representar frecuentemente como continuas por conveniencia; esto se aplica, por ejemplo, a las funciones de oferta y demanda de bienes vendidos por unidades tales como refrigeradores, huevos, bombillas eléctricas, sillas, máquinas cortadoras de césped, automóviles, etc. Representar como continua una función que es discreta por naturaleza, hace posible el uso de un gran número de herramientas de análisis que de otra forma no sería posible aplicar. Sin embargo al interpretar los resultados de tales análisis, debe tenerse presente la naturaleza discreta básica por ejemplo, no es apropiado referirse al precio de 1,632 refrigeradores o al salario de 29,2 trabajadores. Ejemplo 45. Un mayorista en abarrotes vende latas de tamaño numero 2 de cierto vegetal en lotes de cajas de acuerdo con la siguiente lista de precios: • $2,50 por caja en la compra de 20 cajas o menos • $2,00 por caja en la compra de más de 20 cajas pero igual o menos que 50 • $1,75 por caja para órdenes que incluyen más de 50 pero igual o menos que 100 cajas • $1,50 por caja para ordenes de más de 100 cajas Si es el precio total y es la cantidad de cajas, la función de precio se puede representar algebraicamente como sigue:

y geométricamente:

Ejemplo 46. Una compañía vende papelería comercial impresa en cajas de 200 hojas a un precio de $2,25 por caja. Si es el precio total y es el número de cajas, la función de precio se puede representar algebraicamente mediante ecuación:

para = 1, 2, 3,.....

Esta función es discreta, ya que está definida solamente para valores enteros de .

Ejemplo 47. Si el porte en el servicio de correo de primera clase en los Estados

Unidos es de 8 centavos por onza o fracción de onza, y si y representa el porte requerido y x el peso de la carta (en onzas), la función de costo se puede representar mediante la ecuación: y = 0.08 ([x]+1), en la cual [x] denota el mayor entero contenido en x. La gráfica de esta función presenta discontinuidades finitas en todos los valores enteros de x.

Resumen:

La noción de límite es el fundamento del cálculo. Decir que , significa que los valores de pueden acercarse muchísimo a cuando seleccionamos

lo suficientemente cercana a . Hay diferentes tipos de límites, los primeros son los evaluables, que permiten reemplazar el valor de en la expresión para hallar el límite, sin causar indeterminación. Si no es el caso tendremos entonces límites algebraicos, por factorización o racionalización, en los cuales estos procedimientos eliminan la indeterminación para que el límite se convierta en evaluable. Para que un límite exista deben existir también sus límites laterales, a saber:

; . El símbolo , que no representa un número, es utilizado para describir límites.

La proposición , significa que cuando crece sin cota, los valores de se aproximan al número . Una proposición similar se aplica cuando

, esto significa que disminuye sin cota. En general, si > 0, entonces

Si aumenta o disminuye sin cota cuando , entonces escribimos

En particular, el límite de un polinomio cuando tiende a infinito o menos infinito es el mismo que el límite del término con la potencia más grande de . Esto significa que para un polinomio no constante, el límite cuando , es o - . Una función es continua en a si:

a) está definida en

b) existe

c) =

Geométricamente esto significa que la gráfica de no presenta corte cuando

= . Si una función no es continua en y está definida en un intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en misma, entonces se dice que la función es discontinua en . Las funciones polinomiales son continuas en todas partes, y las funciones racionales son discontinuas solo en los puntos donde el denominador es cero. GLOSARIO Interés compuesto continuamente. Es aquel en el cual el interés percibido después de un periodo d tiempo pactado se suma al capital inicial para hacer parte del nuevo capital a tener en cuenta para un nuevo periodo de capitalización. Continuidad. Matemáticamente hablando es aquella función que para ser trazada no necesita levantarse el lápiz. Tiene que cumplir tres condiciones analíticas.

1. Calcule el límite aplicando las operaciones básicas:

a) ( )2176lim 34

0+−−

→xxx

x

b) 1

2lim

2

3 +

−

→ x

xx

x

c) 23

35lim

3

23

2 +−

+−+

−→ xx

xxx

x

d) 112

26lim

30 −−

−

→ xx

x

x

e) ( ) )2(1lim

4++

→xx

x

f) 13

32lim

1 −

−

→ x

x

x

g) 12

2lim

1 +→ xx

h) 1

1lim

2

2

3 −

+

→ x

x

x

i) 5

34lim

5 −

−+

→ x

x

x

j) 123

2lim

4 +−

−

→ x

x

x

k)

3/13

2 4

84lim

+

+

→ x

xx

x

l) 235

425lim

2

2

5/2 −−

−

−→ xx

x

x

m) x

x

x

11lim

0

−+

→

n) x

x

x

33lim

0

−+

→

o) x

x

x

22lim

0

−+

→

p) 3

21lim

0 −

−+

→ x

x

x

q) 25

1lim

20 −−

−

→ x

x

x

2. Mediante los métodos de factorización, simplifique cada expresión y calcule el límite:

a) 2

1lim

2

2

1 −−

−

−→ xx

x

x

k) 3

352lim

2

3 +

−+

−→ x

xx

x

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

b) 5

25lim

2

5 +

−

−→ x

x

x

c) 4

45lim

2

4 −

+−

→ x

xx

x

d) 23

24

0 4

23lim

xx

xx

x −

+

→

e) 4

82lim

2

4 −

−−

→ x

xx

x

f) x

x

x

16)4(lim

2

0

−−

→

g) 1

2lim

2

1 +

−−

−→ x

xx

x

h) 3

12lim

2

3 +

−−

−→ x

xx

x

i) 9

212lim

2

2

3 −

−+

→ x

xx

x

j) 6

103lim

3

2

2 −+

−+

→ xx

xx

x

l) x

xx

x

−

→

3

0lim

m) 2010

16lim

4

2 −

−

→ x

x

x

n) 23

32lim

2

2

1 ++

+−

−→ xx

xx

x

o) 36

14lim

2

2/1 −

−

→ x

x

x

p) 94

1252lim

2

2

2/3 −

−+

→ x

xx

x

q) xxx

xxx

x 127

158lim

23

23

3 ++

++

−→

r) 12

18lim

2

3

2/1 −+

−

→ xx

x

x

s) 49

82lim

2

3

3/2 −

++

→ x

x

x

t) xxx

xxx

x 127

158lim

23

23

3 ++

++

−→

3. Dada la función . a) Demuestre que es continua en [0,1]. b) Halle una cota inferior y otra superior en [0,1]. c) Halle su máximo y su mínimo en [0,1]. 4. El límite de una función se calcula en el punto x=a, ¿es necesario que este punto pertenezca al dominio de definición? ¿Por qué? 5. Si una función toma siempre valores positivos y otra toma solo valores negativos, ¿pueden tener el mismo límite en un punto? Si es así diga cuál es el límite. 6. Una función tiene límite en un punto y en cualquier entorno suyo la función toma valores positivos y negativos, ¿cuánto vale en este caso el límite? 7. Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 y que tome sólo valores mayores que 1. Si es posible, dibuje la gráfica para aclarar la respuesta.

8. Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 y que todos los valores que tome sean menores que 1. Dibuje la gráfica de la función para aclarar la respuesta. 9. Una función definida en toda la recta real es estrictamente creciente. ¿Puede deducirse de esto que su límite en +∞ es +∞? Si la respuesta es negativa, de un ejemplo que lo aclare. 10. ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Razona la respuesta gráficamente. 11. ¿Qué condición tienen que cumplir los grados del numerador y denominador de una función racional para que tenga asíntotas horizontales? Ponga un ejemplo particular.

12. Sean ƒ(x)=x2-1, g(x)=x-1. Verifique que

13. Estudie la continuidad de 14. ¿Para qué valores de x tiene sentido la

expresión ¿Es continua la función g? 15. Para calcular el límite de una función ƒ en un punto x=a no es necesario que el punto pertenezca al Dom (ƒ). ¿Es necesario, sin embargo, que x=a pertenezca al Dom (ƒ) para que la función ƒ sea continua en dicho punto? Razona la respuesta. 16. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e) 17. Calcule el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos que se indican:

a) en x=1

b) en x= 0

c) en x = 0 18. Calcule el valor de a y el valor que hay que asignar a ƒ(1) para que la función

sea continua en x=1. 19. Calcule el valor de a y b para que la función

sea continua en todos sus puntos. RESPUESTAS:

3. a) Continua en R {-1}. b) 3, 2 por ejemplo. c) ½, 0 13. No es continua en x=0. 14. Está definida y es continua en el intervalo [-4,4]. 16. a. En x=2. Discontinuidad con salto infinito b. En x=-3 y x=2 ± 3. Discontinuidad con salto infinito c. En x=1 y x=5. Discontinuidad con salto infinito d. En x=±2 y x=±3. Discontinuidad con salto infinito e. En x=±2 y x=-3. Discontinuidad con salto infinito. 17. a. a=1, b. a = cualquier número real, c. Nunca será continua para a R. 18. a =-3. f (1)=6. 19. Para x=0, se debe tener b=-1. Para x=1, se debe tener a + b = 2, luego a=3. BIBLIOGRAFIA

� Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 .

Ed. Mc. Graw- Hill Bogotá, 1.996.

� Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.

� Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002

WEB- GRAFIA https//www.librosuned.com/libro-analisis-matematico-para-la-economia-1 www.librosaulamagna.com/libro/MATEMATICAS-EMPRESARIALES directory.excite.es/world/español/ciencia-y-tecnologia/matematicas www.dykinson.com/book--AMPLIACION-DE-MATEMATICAS-TEST-DE-AUTOEVALUACION-EJERCICIOS

Contenido sintético del capítulo 5

CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN Objetivos Generales: 1. Comprender el concepto de derivada 2. Aplicar las reglas de derivación en algunos problemas de optimización 3. Relacionar propiedades algebraicas de las funciones por medio del comportamiento de su derivada 4. Determinar características locales de una función por medio de la información obtenida de su derivada 5. Analizar ordenada y detalladamente situaciones modeladas por funciones diferenciables. Objetivos específicos:

� Calcular la derivada de cualquier función utilizando el concepto de límite � Reconstruir la gráfica de una función a partir del conocimiento de la

gráfica de su derivada � Realizar deducciones del comportamiento de la derivada de una función � Obtener la derivada de una composición de funciones expresando

conclusiones que son consecuencia de las propiedades analíticas de las funciones originales, regla de la cadena

� Resolver problemas de variación instantánea con ayuda del proceso de límite

� Resolver problemas elementales de aproximación marginal con ayuda de reglas de derivación

� Plantear un modelo matemático para resolver situaciones problema, transformando información dada en variables, constantes y relaciones

Subtemas: 5.1 La derivada 5.2 Reglas de derivación 5.3 Aplicaciones Ejercicios de repaso del capítulo Palabras Clave: Recta secante Recta tangente Operaciones con polinomios Propiedades de las potencias Costos Ingresos Utilidad

Introducción. El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los matemáticos europeos en el siglo XVII:

1. El problema de la tangente 2. El problema de la velocidad y la aceleración 3. El problema de máximos y mínimos 4. El problema del área

Cada uno involucra la noción de límite y servirá para introducir el cálculo. Por su naturaleza geométrica, escogemos para empezar el de la tangente. Soluciones parciales a dicho problema fueron dadas por Pierre de Fermat, René Descartes, Chistian Huygens e Isaac Barrow. Sin embargo, la primera solución general parece haberla encontrado Newton y Gottfried Leibniz. El trabajo del primero fue motivado por su interés en la óptica y en la refracción del a luz. Situaciones cotidianas como por ejemplo el lanzamiento del martillo, que ha sido un evento olímpico desde 1.900, tienen que ver con la derivación. El martillo lanzado consiste en una bola de 7,5 Kg. al final de una cadena de 90 cm. con una manija. Los atletas logran rapidez completando tres rotaciones completas; luego sueltan el aparato completo. El record mundial es aproximadamente 90 m. Suponga que las tres rotaciones preliminares describen una única circunferencia y no se tiene en cuenta el peso de la cadena ni de la manija (que en realidad pesan cerca de 1 libra). Muchas personas esperan erróneamente que la bola describa una curva hacia la izquierda cuando se suelta, pero la primera ley de Newton, nos dice que la trayectoria es recta. Resulta entonces que el martillo sigue una trayectoria a lo largo de la recta tangente a la circunferencia en el punto P (punto en que se suelta). Se puede determinar la trayectoria seguida por el martillo, ya que las rectas tangentes a las circunferencias son relativamente fáciles de hallar. Al extender el concepto de recta tangente a curvas más generales, se puede proporcionar información importante sobre las variables que intervienen. Encontrar la pendiente de la recta tangente tiene muchas aplicaciones. Una de esas opciones es el cálculo de la velocidad. Por ejemplo, calcular la rapidez máxima de un velocista requiere de un procedimiento de análisis en el cual se puede recurrir a la fórmula distancia = rapidez x tiempo, sin embargo, esta fórmula solo da una rapidez promedio en cualquier lapso. Pero ¿es esta la rapidez máxima del corredor? Al pensarlo un poco, es fácil convencerse de que no lo es. Los velocistas no pueden correr desde el comienzo de la carrera; así que ellos usan las primeras zancadas para desarrollar la rapidez. Si se promediara en intervalos más cortos de tiempo y distancia, se podría tener una aproximación mayor de la rapidez máxima. En efecto, cuanto más pequeño sea el intervalo que se use, más preciso tiende a ser el cálculo. Las aplicaciones adicionales de la pendiente de una recta tangente son

demasiados numerosas para nombraras todas. Entre otras, están la razón de una reacción química, el índice de inflación en economía, y la razón del incremento del aprendizaje en psicología. En resumen, las razones de cambio en casi cualquier disciplina se pueden considerar como pendientes de recta tangentes. 5.1 La Derivada Cinco conceptos básicos en cálculo proveen la base para el análisis de problemas de optimización económica: límites, reglas de derivación, derivadas parciales, derivadas múltiples y reglas de máximos y mínimos. La derivada nos indica la forma como cambia una función en relación con otra. Matemáticamente se calcula como un límite especial, pero para no hacer extensos los procedimientos, se establecen unas reglas nemotécnicas que se conocen como reglas de derivación. A muchos de los análisis económicos conciernen las medidas de cambios. La aplicación de cálculo a las relaciones económicas permite una medida precisa de los ritmos de cambios en las variables económicas. La derivada como límite. En la figura, la magnitud del cambio en la función y= ƒ(x) depende del cambio de x entre x1 y x1 + = x2.

Cuando x va de x1 a x2, causa que ƒ(x) cambie en la magnitud de ƒ(x1) a ƒ(x2) ó de ƒ(x1) a ƒ(x1 + . En economía se está interesado en que sea un punto. Esto significa que queremos que tienda a cero, para que los valores de x se acerquen a x1. Si trazamos una recta secante por los puntos (x1, f (x1)) , (x2,f (x2)), nuestro interés está en su pendiente ( ), que es el cambio en el rango de la función con respecto a la magnitud del cambio en el dominio de la función:

• Recuerda que: una recta secante a una curva es aquella que la corta en dos puntos y una recta tangente es la que la toca en un solo punto.

Si se presume que el cambio en el dominio es muy pequeño o aproximado a cero , el cociente anterior se podría modificar así

en donde es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

que surge cuando se aproxima por la curva a , lo cual implica que tienda a cero. A todo el límite se le conoce como la primera derivada de la función , notada

por .

Una derivada es el límite del cociente , y por lo tanto debe ser una medida del ritmo de cambio, o, dicho más específicamente, un ritmo de cambio instantáneo. Para efectos de facilidad en la escritura del límite, le asignaremos a la letra

y como en particular es cualquier entonces:

Ejemplo 1. Sea , para hallar , debemos hallar Cuando se evalúa una función en un número, lo que hacemos es cambiar x por el número, así, tenemos:

(1) = 4 (1) – (1)2 (-1) = 4 (-1) – (-1)2

(2) = 4 (2) – (2)2 …

( ) = 4 ( ) – ( )2

y utilizando nuestra definición:

• Recuerda que: se pueden encontrar otras notaciones para la primera derivada pero utilizaremos solo f ’ (x), dy/dx o y’ atendiendo a que el tema de derivadas es introductorio en este nivel.

Que es la primera derivada de la función dada y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de la misma, que tiene abscisa y ordenada Ejemplo 2. Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (-1,-1)

Que sería la pendiente de la recta en cualquier punto, pero como en particular la necesitamos en x = -1, atendiendo al punto de tangencia dado, tenemos:

Así, al conocer ya el valor de la pendiente y teniendo el punto (-1,-1), podemos utilizar la ecuación punto- pendiente de la recta, vista anteriormente:

Ecuación de la recta tangente, ilustrada en la figura:

5.2 Reglas de derivación El procedimiento para derivar consiste en determinar primero en qué casos la función total que va a ser derivada es una suma o una diferencia de funciones; un producto o un cociente de funciones; una función logarítmica, exponencial, una potencia de una función; una función compuesta o alguna combinación de estas. Luego utilizando las reglas apropiada para la función total, obviamos el procedimiento anterior de hallar la derivada por medio de límites, que si bien tienen un manejo algebraico interesante, no nos ofrecen facilidad, en casos en los cuales la función sea complicada. Regla para la función constante. Si y = c, con c R, entonces

y’ =

La gráfica de la función constante es una paralela al eje que corta al eje en (0, c). La tangente a esa recta en cualquiera de sus puntos tiene pendiente cero si aplicamos la interpretación geométrica de la primera derivada. Este resultado es obvio si se piensa en que la tangente a la gráfica en cualquiera de sus puntos es la misma recta de pendiente cero. Ejemplo 3. Si y = 5 entonces y’ = 0 Regla de la potencia. Para la función ,con n R, entonces

• Recuerda que: se puede comprobar cada uno de los resultados de las reglas de derivación usando el límite que vimos en la definición.

Ejemplo 4. Decimos que la derivada de la función idéntica = es 1 ya que :

entonces y como ( tenemos que

Ejemplo 5. Si , entonces , de donde

Ejemplo 6. F(x) = , entonces F’(x) = 7 x6

F(x) = 7 x6

F(x) =

Regla del múltiplo constante. Para , con R, entonces

Ejemplo 7. Si , entonces , de donde

Ejemplo 8. Si , entonces

Ejemplo 9. Si , entonces Regla de Suma – Diferencia. La derivada de la suma o de la diferencia de dos o más funciones es la suma o la diferencia de sus derivadas individuales:

Si , entonces

Ejemplo 10. 3 entonces , es decir

Ejemplo 11. entonces , es decir

3

Regla de producto. La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función, más el producto de la derivada de la primera función por la segunda función, ó viceversa:

Si , entonces

Ejemplo 12. , entonces

• Recuerda que: podríamos efectuar las multiplicaciones primero y luego derivar o aplicar la regla del producto.

Regla del cociente. La derivada del cociente de dos funciones, g(x)/h(x) es el producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo esto dividido por el cuadrado del denominador:

Si , entonces

Ejemplo 13. Derivar

Observe que el uso de paréntesis es fundamental para los ejercicios que tienen que ver con las reglas del producto y del cociente, ya que ayudan a determinar en donde hay propiedades distributivas y específicamente, para la regla del producto, nos hace tener cuidado con los signos del numerador, ya que como es una resta y por lo tanto no es conmutativa, debemos cambiar los signos de los términos que aparezcan después del signo menos.

Ejemplo 14. Hallar la derivada de .

Realizando la operación del numerador:

Derivando:

No todo cociente requiere ser derivado mediante la regla anterior. Puede aplicarse en algunos la regla del múltiplo constante: Ejemplo 15.

Función original

Reescritura

Derivada

Simplificación

Nos queda por discutir la potente regla de la cadena, que concierne a las funciones compuestas y añade una sorprendente versatilidad a las reglas ya discutidas. Regla de la cadena. Si ,y, , la derivada de con respecto a ,

es igual a la derivada de con respecto a , por la derivada de con relación a , llamada también derivada interna:

Si , entonces

Al aplicar la regla de la cadena es útil ver la función ( compuesta ) como constituida por dos partes: una exterior y otra interior.

Así,

Descomposición de una función compuesta:

Función exterior Función interior o interna

Ejemplo 16. Hallar para

Ejemplo 17. Hallar para

.

.

Ejemplo 18. Hallar y’ para

Ejemplo 19. Hallar y’ para

Haciendo uso de la regla del múltiplo constante y derivando por la cadena la expresión

.

.

Y expresando con exponentes positivos:

Ejemplo 20. Hallar para

Ejemplo 21. Hallar para

Ejemplo 22. Hallar para

Regla de Función Logaritmo natural. Si , donde entonces

Ejemplo 23. Hallar para

Ejemplo 24. Hallar para

Ejemplo 25. Hallar para

Ejemplo 26. Hallar para Aplicando primero propiedades de logaritmos, vistas en el capítulo 3:

Derivando:

Ejemplo 27. Hallar para

Regla de Función Exponencial. Si , donde ), entonces

Ejemplo 28. Hallar para

Ejemplo 29. Hallar para

Ejemplo 30. Hallar para

5.3 Aplicaciones Aproximación marginal. Este método que goza de gran aceptación entre los economistas, examina los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más. Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades, es preciso que se cumplan las siguientes condiciones:

• Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total.

• Las funciones de ingreso y costo habrán de formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.

Ingreso marginal. Uno de los dos conceptos más importantes del análisis marginal es el del ingreso marginal. El ingreso marginal es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Si cada unidad de un producto se vende al mismo precio, el ingreso marginal será siempre igual al precio. Ejemplo 31. La función lineal de ingreso R = 10q, representa una situación donde cada unidad se vende a $10. El ingreso marginal logrado con la venta de una unidad más es de $10 en cualquier nivel de producción q. La función de demanda se expresa así:

q = 100.000 - 200 p

A partir de esta función de demanda se formula la función no lineal:

R= f (q) = 500q − 0.005q2

El ingreso marginal en este ejemplo no es constante. Esto se muestra al calcular el ingreso total para distintos niveles de producción. La tabla siguiente contiene estos cálculos para algunos valores de q. La tercera columna representa el ingreso marginal asociado al paso de un nivel de producción a otro.

Nivel de Costo total q

Costo marginal f(q) Costo marginal C=ƒ(q) - ƒ(q-1)

100 $49.950.00

101 $50.448,995 $498,995

102 $50.947,98 $498,985

103 $51.446,955

$498.975

Nótese que, si bien las diferencias son ligeras, los valores del ingreso marginal están cambiando en cada nivel de producción. Para una función del ingreso total R(q), la derivada R'(q) representa la tasa instantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidades vendidas. R también representa una expresión general de la pendiente de la gráfica de la función del ingreso total. En el análisis marginal, la derivada se emplea para representar el ingreso marginal, es decir, MR = R'(q) La derivada, ofrece una aproximación a los cambios reales que se dan en el valor de una función. Por consiguiente, R puede emplearse para aproximar el ingreso marginal obtenido con la venta de la siguiente unidad. Si se calcula el ingreso marginal R' para la función del ingreso cuya ecuación es R = 500q - 0,005 q2, se obtiene

R'(q) = 500 - 0.010 q

Para aproximar el ingreso marginal logrado con la venta de la centésima primera unidad se evalúa R cuando q = 100, o sea

R'(q) = (100) = 500 - 0.010 (100) = 500 - 1 = 499 Y ésta es una aproximación muy cercana al valor real ($ 498.995) del ingreso marginal que aparece en la tabla. Costo marginal. El otro concepto central del análisis marginal lo constituye el costo marginal. El costo marginal es el costo adicional en que se incurre al producir y vender una unidad más de un producto o servicio. Las funciones lineales del costo suponen que el costo variable por unidad sea constante; en ellas el costo marginal es el mismo en cualquier nivel de producción. Ejemplo 32. Si la función de costo para un producto es

C = f (q) =150.000 +100q + 0.003q2

puede mostrarse que los costos marginales realmente fluctúan en distintos niveles de producción si se calculan los valores de esos costos para algunos valores de q. Este cálculo se da en la tabla siguiente:

Nivel de producción q Costo total f(q) Costo marginal C=ƒ(q) - ƒ(q-1)

100 $160.030,00

101 $160.030,603 $100.603

102 $160.231,212 $100.609

103 $160.331,827 $100.615

En una función de costo o costo total C, la derivada C'(q) representa la tasa instantánea de cambio del costo total suponiendo que haya un cambio en el número de unidades producidas. C'(q) representa además una expresión general para la pendiente de la gráfica de la función del costo total. En el análisis marginal, la derivada se usa para representar el costo marginal, esto es

MC = C'(q)

Como en el caso de R', C' puede emplearse para aproximar el costo marginal asociado a la producción de la siguiente unidad. La derivada de la función de costo es

C' (q) = 100 + 0.006 q

Para aproximar el costo marginal debido a la producción de la centésima primera unidad, se evalúa C en q = 100, o sea

C' (100) = 100 + 0.006 (100) = $ 100.60 Si se compara este valor con el verdadero ($100.603) en la tabla, se advierten que ambos están muy cercanos entre sí. Resumen: La recta tangente a una curva en el punto P es la posición límite de las rectas secantes PQ cuando Q se acerca a P a lo largo de la curva. La pendiente de la tangente en P se llama pendiente de la curva en P. Si la derivada de en es la función definida por el límite:

Geométricamente la derivada nos da la pendiente de la curva en cualquier punto

. Una ecuación de la tangente en un punto particular se obtiene evaluando el valor de la abscisa del punto en que al ser la misma pendiente de la recta tangente nos proporciona el valor de en :

Que es la ecuación punto-pendiente de una recta. Cualquier función que es diferenciable en un punto debe ser continua en ese punto. Las reglas d derivación son las siguientes: Regla para la función constante. Si y = c, con R, entonces

y’ =

Regla de la potencia. Si , con R, entonces

Regla del múltiplo constante. Si , con R, entonces

Regla de Suma – Diferencia. Si , entonces

Regla de producto. Si , entonces

Regla del cociente. Si , entonces

Regla de la cadena. Si , entonces Regla de Función Logaritmo natural. Si , donde

entonces

Regla de Función Exponencial. Si , donde , entonces

La derivada de una función puede también interpretarse como la razón de cambio (instantánea) de con respecto a :

En economía, el término marginal se usa para describir derivadas de tipos específicos de funciones. Si es una función de costo total de

unidades de un producto, entonces la razón de cambio se llama costo marginal. Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional de producción.

Así mismo, se llama ingreso marginal y se interpreta como el ingreso aproximado obtenido al vender una unidad adicional del producto. GLOSARIO Ingreso marginal: Es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Costo Marginal: Es el gasto adicional en que se incurre por producir y poner en el mercado una unidad adicional de un producto o servicio. Utilidad Marginal: Es la utilidad adicional que se recibe por producir y poner en el mercado una unidad adicional de un producto o servicio.

1. Hallar la derivada utilizando la definición (con límite):

a)

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) 2. Hallar la derivada de la siguientes funciones:

12

12)()

)(3)()

163

1)()

3

24

262

1

)()

7

853)()

1111)()

1)()

)273()()

)56)(142()()

4910)()

2

2

23

23

3

2

2

32

2

2

42

2

2

+−

++=

−=

−+=

+

+−

=

+−=

+++=

+=

+−=

−+−=

−+=

xx

xxsLj

sssHi

xxxGh

u

uu

uFg

xxxFf

xxxxFe

tttFd

rrrrHc

xxxxFb

xxxka

3. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 342

+−= xxy en el punto (4,3) 4. Demostrar que la pendiente de la tangente a la curva y = x3, es positiva en cualquiera de sus puntos diferentes de cero (x ≠ 0). Verifique sobre una gráfica. 5. La normal en P1 (1,3) a la curva y = 4x - x2, corta la curva en un segundo punto

P2. Halle las coordenadas de P2. 6. En la curva y = x3 + x, hallar los puntos en los cuales la tangente es paralela a la recta AB, siendo A (5,7) , B (4,3). 7. Halle la ecuación de la normal a la gráfica y = 5x + x2 que tenga pendiente 1. 8. Dada y = 3x2 – 4x, halle la ecuación de la tangente en el punto de abscisa x = 2. 9. Si s = 18 t + 16 t2 (pies y segundos) halle la posición, velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 4s segundos. 10. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 +3 que es paralela a la recta 8 x – y + 3 = 0 11. Encontrar la ecuación de las rectas normales a la curva y = x3 – 3x que son paralelas a la recta 2 x + 18 y - 9 = 0 12. Encontrar la ecuación de cada recta que pasa por l punto (3,-2) y es tangente a la curva y = x2 – 7

13. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = 34 −x en el punto de abscisa x = 3

14. Dada la función y = 21 xx + , ¿existe algún valor de x para el cual la primera derivada sea cero? 15. Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son C(q) = 50.000 + 20q + 0.0001q2 , y R(q) = 60q − 0.004 q2

a) Por medio de la aproximación marginal determine el nivel de producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

16. Halle la derivada utilizando la regla de la cadena:

( )( )

( )

( )

xyj

xxyi

xxyh

xaxyg

xyf

x

xxxye

t

tyd

xx

xyc

xxyb

xya

+−=

+−=

+−=

−=

+=

−

++=

+

−=

+−

+=

+−=

−=

−

11)

)3()12()

8314)

)()

5)

133

)2)(1()

4

53)

26

174)

)19162()

)53()

32

33

2/122

3

2

2

26

34

735

10

17. Aproximación marginal. Una empresa vende cada unidad de un producto en $75. El costo total de producir q (mil) unidades se describe mediante la función C(x) =1.200 − 20q2 + q3 , donde C (q) se mide en miles de dólares.

a) Utilice la aproximación marginal para determinar el nivel de producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción? ¿el costo total? ¿las utilidades totales?

18. La función de utilidad de una firma es U(q) = −10q2 + 36.000q − 45.000

a) con la aproximación marginal, determine el nivel de producción que maximice las utilidades

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

19. Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son C(q) =1.000 + 30q + 0.005q2 ; R(q) = 2.000q − 0.004q2

a) Mediante la aproximación marginal determine el nivel de producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es utilidad máxima?

20. Las funciones de costo e ingresos totales de un producto son R(q) =100q − 0.01q2 , y, C(q) = 25.000 + 40 q + 0.005q2

a) Con la aproximación marginal determine el nivel de producción que maximice las utilidades.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

ALGUNAS RESPUESTAS 2.

a) 20 x + 9

b) 36 x2 – 68 x + 26

c) 18 r5 – 21 r2 + 4r

d) 2t - 3

2

t

e) 432

321

xxx−−−

f) 7

56 −x

g) 2

3

234

3

24

43

224482

+

−+−+−

u

uuuu

h) ( )223

2

1163

129

−+

−−

xx

xx

i) )23(3 2 ss −

j) ( )31

)1(4

−

+−

x

x

3. y = 4x – 13 4. y’ = 3x2

5. P2 = ( 7/2 , 7/4) 6. P1 (1,2) P2 (-1,-2)

7. y = x – 3 8. y = 8x – 12 9. s= 328 pies , v = 146 pies/seg , a = 32 pies / seg2

10. y = 8x-5 11. 9y + x – 20 = 0 9y + x + 20 = 0 12. y = 10 x – 32 y = 2x – 8 13. 2 x – 3 y + 3 = 0 14. No existe 16.

( )

( )

xxyj

xxxyi

xxxyh

xaayg

xyf

x

xxxye

t

tyd

xx

xxxxyc

xxxxyb

xya

+−+

−=

++−=

+−−=

−=

+

=

−

−−−=

+

−=

+−

−−++−=

−+−=

−−=

−

1114

1')

)910()3)(12(')

8314)342(2

3')

)(')

53

1')

133

2684393')

)4(

)53(34')

)26(

)3414440102()174(2')

)4810()19162(7')

)53(50')

2

32

2/3222

3 2

3

23

3

36

34524

24635

9

BIBLIOGRAFIA

� Draper Jean E., Klingman Jane S., Matemáticas para la Administración

y la Economía. Editorial Harla. México, 1976.

� Barnet A. Raymond. Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales. 2ª Edición. Nueva Editorial Interamericana S.A., México, 1983.

� Budnick Frank S., Matemáticas Aplicadas para la Administración Economía y Ciencias Sociales. 3ª Edición. Editorial Mc Graw Hill. México, 1990.

� Emery E. David. Principios de Economía: Microeconomía. Traducido por Harcourt Brace Jovanovich. Bogotá, 1989.

WEB- GRAFIA www.netkeynes.com/ www.ematematicas.net/

DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ

Profesora – ESAP-

r_almariz@yahoo.com