mjere disperzije

7/25/2019 MJERE DISPERZIJE

1/49

MJERE DISPERZIJEMJERE DISPERZIJEOdstupanje od srednje vrijednosti, odnosnodisperzija ili varijacija oko srednjih vrijednosti

odreuje se i mjeri razlikom pojedinihvrijednosti (x) od njihove srednje vrijednosti, au najveem broju sluajeva od njihovearitmetike sredine.aspored varijabla oko aritmetike sredinemo!emo shvatiti kao raspr"enost varijabla.

#zraz mjerenja varijabilnosti ili disperzijepredstavlja sinonim ovih odnosa. $vije serijemo%u imati iste aritmetike sredine ali i pored

to%a mo%u biti razliite, ako njihove disperzije


2/49

VARIJABILNOST U

KVANTITATIVNIM SERIJAMA &a varijable koje su neznatno manje ili vee od

aritmetike sredine ka!emo da se nalaze blizu

srednje, dok za varijable koje se znatnorazlikuju od aritmetike sredine, ka!emo da suudaljene. $vije kvantitativne serije ustatistikim istra!ivanjima mo%u imati istearitmetike sredine, ali pored to%a mo%u biti

razliite ako njihove disperzije nisu jednake.


3/49

'rimjer

r"eno je mjerenje tjelesne te!ine * djeakau dva razliita razreda +%rupa i -+ ire%istrirana je individualna tjelesna te!ina u

%rupi i - "kolske djece u dvije kvantitativneserije.


4/49

Individualne tjelesne teine u dvije ispitivanegrupe djece

#ndividualne

te!ine u kilo%ramima

rupa /rekvencij

a rupa -

001020304

1*115101116

12

775

077

7

7

7

8kupno

*9 za

%rupu :1* k%

*9 za %rupu-:1* k%


5/49

'rosjena tjelesna te!ina za %rupu djece i -je ista, ipak serije nisu iste, jer se razlikuju ponainu %rupiranja varijabla oko srednjevrijednosti.

8 %rupi pojedine varijable se vi"e %rupirajuoko sredine ne%o u %rupi -. &bo% to%a je disperzija u %rupi manja od

disperzije u %rupi -, odnosno varijabilnostte!ine djeaka u %rupi je manja odvarijabilnosti u %rupi -. ;jerenje varijabilnostipredstavlja va!an statistiki postupak.


6/49

AMPLITUDE VARIJACIJA

#zraunavanje amplitude varijacije predstavljajednostavan matematski postupak. mplitudomvarijacija ili rasponom serije se izraunava#;?@ #A-?7;#@#;?@ #A-? 'rimjenjujui ovu raunsku operaciju u

prethodni primjer dobiva se amplituda varijacijarednja vrijednost7ritmetika sredina

mplitude varijacije

starost7%odine !ivota 50,5 55

puls u minutama 1*, 63

sistoliki pritisak 53,3 22

dijastoliki pritisak 24,2 C5


8/49

;eutim aritmetika sredina pojedinihindikatora ne pokazuje varijaciju razlika, pa suzato uz srednje vrijednosti date amplitudevarijacije za svaki indikator.

arijacija obilje!ja se prikazuje ran%om aodstupanje izmeu krajnjih vrijednosti se zoverasponom Damplitudom varijacije.


9/49

KVARTILE

$a bi se manjkavost raspona uklonila treba umjeri disperzija eliminirati krajnje vrijednosti unizu i izraunati raspon bez tih krajnjihvrijednosti. Eakve mjere se nazivaju interkvartili.

$a bi izraunali ove vrijednosti treba se najprije

upoznati sa pokazateljima koje zovemo donji i%ornji kvartil. =vartile su najjednostavnije mjeradisperzije.

;eridijana je srednja vrijednost koja dijelidistribucije Frekvencija na dvije polovine< iznad i

ispod nje se nalaze po polovina svih jedinica.=ada se opet svaka od ovih polovina podijeli napola i nau vrijednosti koje pokazuju srednji brojsvaka od tih polovina utvrene su kvartile.


10/49

Ona u polovini ispod meridijana zove se donjakvartila (G), ona iznad meridijane naziva se%ornja kvartila (G0).

#zmeu donje i %ornje kvartile le!i polovinajedinica, a isto tako i polovina jedinica iznad

njihove vrijednosti. Ove mjere spadaju meu mjerevarijacije. $onji kvartili (G) su ona vrijednost numeriko%a

obilje!ja koja dijeli sve jedinice u distribucijiFrekvenci na jednu etvrtinu jedinica koje imaju

vrijednosti numeriko% obilje!ja koja dijeli svejedinice u distribuciji Frekvenci na jednu etvrtinujedinica koje imaju vrijednosti numeriko% obilje!jajednaku ili manju od vrijednosti donje% kvartila.


11/49

ornja kvartila (G5) je ona vrijednost numeriko%obilje!ja koja dijeli sve jedinice u distribuciji Frekvencina tri etvrtine jedinica koje imaju vrijednostnumeriko%a obilje!ja jednaku ili manju od %ornje%kvartila i jednu etvrtinu jedinica koje imaju vrijednostnumeriko%a obilje!ja veu od %ornje% kvartila.

;atematika Formula izraunavanja kvartila jeAL=8

;AL>LN#-OA

O-O?AL@A7prosjek=umulativnaFrekvencija

>ijeanj 5* 5*

eljaa 3 53

O!ujak 4 12

Eravanj 64 65

>vibanj 5 C1?ipanj 6* 1

>rpanj C5 2C


15/49

=olovoz 3* 56C

ujan 6C5 33

?istopad 5*6 5*50

>tudeni 35* 5310

'rosinac C5 54*6

'rosjeno u deset%odina

54*6


16/49

Nentralni broj je medijana koja iznosi 160

sluaja oboljenja u kumulativnoj Frekvenciji od54*6 sluajeva prosjeno% %odi"nje%obolijevanja. Eaj broj se nalazi u kumulativnojFrekvenciji mjeseca studeno% pa je u ovomprimjeru to i mediana deseto%odi"nje% praenja

kretanja oboljenja od virusno% hepatitisa .'rema tome, dobili smo medijalni razredFrekvencije, a sada mo!emo utvrditi i dan umjesecu listopadu u kojem se nalazi medijalni

broj obolijevanja a time i utvrivanja dana kadaja bio u prosjeku najvei broj oboljenja. #zraunavanje se vr"i na osnovu raunsko%a

postupka %dje u medijalnom razredu dobijemomedijalni dan.


17/49

0;: 7777777 9 ( 160 D 33) : 5,2, pa se mo!e na160

osnovu ovo%a kazati da je to 0

dan u160 listopadu. >hodno ve postavljenim znaenjima G i G5

izraunavaju se slijedee statistike vrijednostiO?8E@O O$>E8'@AL O$#E;LE#T=L >L$#@L

>rednje apsolutno odstupanje je zbroj svihpojedinih odstupanja od aritmetike sredine bezobzira na njihove predznake, podijeljen sa

ukupnim brojem promatranja. rijednost individualnih varijabli ocjenjujemo ponjihovim razlikama od aritmetike sredine.'rema tome postupku izraunavanje udaljenostisvake varijable od srednje aritmetike sredine, x

D 9 dobije se udaljenost svake varijable odcentra serije. ko se izvr"i al%ebarski zbir svihodstupanja dobit e se rezultat *.


27/49

;eutim, ako saberemo samo aritmetikevrijednosti odstupanja, ne uzimajui u obzirpredznak H ili 7, dobit e se zbir apsolutnih

odstupanja. >rednjim apsolutnim odstupanjimamjerimo stupanj disperzije. Aedina mu jezamjerka u tome "to se odstupanja morajuuzeti u apsolutnim iznosima.


28/49

>rednje apsolutno ili prosjeno odstupanje zane%rupirane podatke se dobije na osnovuFormuleo : 777777777777777777@

>rednje apsolutno ili prosjeno odstupanje se

dobije na osnovu Formuleo : 777777777777777777777777 @


29/49

PROSJENO KVADRATNO ODSTUPANJE(VARIJANCA)

&broj kvadrata individualnih odstupanjazovemo totalnim kvadratnim odstupanjima.

&broj kvadrata je uvijek pozitivan broj, jersvaki realan broj bez obzira na predznak,

podi%nut na kvadrat, daje uvijek pozitivnuvrijednost. ko se zbroj kvadrata odstupanjapodijeli sa brojem lanova serije naziva seprosjeno kvadratno odstupanje, koje

nazivamo varijancom. arijanca se oznaava malim slovom kvadratasi%ma slova ( ).


30/49

$a bi se dobilo mjerilo disperzije koje nezanemaruje predznake odstupanja pribje%avase njihovu kvadriranju, bez obzira na predznak,podi%nut na kvadrat daje uvijek pozitivnuvrijednost.

=ada se zbroj svih kvadriranih odstupanja odaritmetike sredine podijeli sa brojem svihsluajeva dobije se varijanca.

arijanca ili prosjeno kvadratno odstupanje se

dobije na osnovu raunske operacijetandardna devijacija je naje"e kori"tenamjera disperzije i predstavlja veoma va!nustatistiku vrijednost. ko iz varijance izvadimokvadratni korijen, dobiemo prosjeno linearnoodstupanje sa dva predznaka plus i minus.

Eo je apsolutna mjera disperzije, a izra!ena jeu istim jedinicama mjere u kojima je izra!enaaritmetika sredina. >tandardna devijacijapokazuje koliko je odstupanje neke raspodjele

Frekvencije od njene izraunate aritmetikesredine.


33/49

Lijeenje 1320 oboljelih od virusnoga hepatitisa studija Medicinske

klinike Sveuilta Rostok, je!aka " 1##2

%odinestarosti

oboljelih

brojoboljelih

prosjeanbrojdana

lijeenja

standardnadevijacija

standardna%re"ka

76 2 5C,24 H+75,12 H+7*,12

C716 136 01,C6 H+7C,C5 H+7*,26

S16%odina

51 6*,1* H+75,5* H+7,4*


34/49

Ova analiza du!ine lijeenja oboljelih tek pokazujeapsolutnu mjeru disperzije du!ine lijeenja ako seuz prosjean broj du!ine lijeenja prika!e istandardna devijacija du!ine lijeenja kao istandardna %re"ka, nauno se mo!e ocijeniti kaomjera varijabiliteta.

>tandardna devijacija pokazuje i homo%enoststatistike mase. to je ona manja, to je statistikamasa homo%enija, a disperzija podataka manja.to je statistika masa u medicinskimistra!ivanjima homo%enija, to znai da raznipoznati ili nepoznati imbenici jednako utjeu naFormiranje odreeno% obilje!ja ili nje%ovihmodaliteta. ;eutim, ako je standardna devijacijavea, to znai da je statistika masanehomo%enija, a disperzija podataka vea.


35/49

a)

za individualne podatkeI (x D 9)V

W : X Y7777777777777777 @ D

b)

za distribuciju Frekvencijatandardna devijacija kao mjerilo disperzije ima va!ne

statistike vrijednosti. 'o"to ona pokazuju disperziju ili varijaciju pojedinanih

vrijednosti od aritmetike sredine, "to je njenavrijednost vi"a, to je homo%enost ni!a i obrnuto.

=ao svako mjerilo kojim se mjeri disperzija, standardnadevijacija ne predstavlja nikakav relativan broj. ko jenenormalna distribucija ne izraunava se standardnadevijacija.


38/49

>EE#>E#T=# ';LE# 8 $L>=#'E#@#;#>EZ#@A#;

>rednju aritmetiku vrijednost i standardnu devijacijuesto nazivamo parametrima serije. Erei parametar serijeje broj lanova serije. Ova tri parametra u potpunostikarakteriziraju seriju.

>ama aritmetika sredina nije dovoljna za kvantitativnu

dePniciju serije. &bo% to%a u istra!ivanjima kadaizraunavamo parametre !elimo da seriju kondeziramo,mo!emo u potpunosti kvantitativno dePnirati sa trinavedena parametra < aritmetikom sredinom,standardnom devijacijom i brojem lanova iz kojih sesastoji serija.

>tandarna devijacija se izraunava samo uz aritmetikusredinu, a ne uz dru%e mjere centralne tedencije.

'rimjer< =vantitativna statistika odreivanja parametarakod ispitivanih osoba na Mbs% u ispitivanim %rupamastanovnika.


39/49

Analiza ispitivanja HBsAg antigena u ispitivanim grupamastanovnika, podaci CA,Atlanta !""#

#spitanici -roj testiranih

odine !ivota+9 i

stand.devijacija+

Mbs%-roj poz. R

>upru!nici 0600,26

X*,C

1

,10

izine %rupe+

promiskuitetne+

065,4

X*,050

C6,2

izine %rupe+narkomani+

1*6,6

X*,01

*,**


40/49

Ova statistika analiza prikazuje kretanjeM-s% meu odabranim %rupama stanovnika,analizira najprije broj ispitanika, zatimprosjenu starost ispitanika prikazanu saprosjenom vrijednosti i odstupanjima od

aritmetike sredine u %odinama !ivota(standardna devijacija).


41/49

=OL/#N#AL@E #AN#AL D relativnastandardna devijacija

>tandardna devijacija je uvijek izra!ena u onimimenovanim jedinicama u kojima je izra!ena iaritmetika sredina. &bo% to%a je nemo%uedirektno usporeivanje standardnih devijacijaserije koje su izra!ene u neistovjetnim imenovanim

jedinicama. @a primjer, nemo%ue je usporeditistandardnu devijaciju serije o te!ini novoroenadisa standardnom devijacijom serije o njihovojdu!ini, jer je te!ina izra!ena u %ramima, a du!ina ucm.

8 cilju da se standardna devijacija komparabilnom,uvodi se pojam relativne standardne devijacije,koja su"tinski predstavlja relativan broj.


42/49

>vaki relativan broj je bezlini broj, pa se zbo%to%a relativna standardna devijacija mo!emeusobno usporeivati bez obzira na naziveimenovanih jedinica standardnih devijacija i bezobzira na razliite vrijednosti aritmetikih sredina.

=oePcijent varijacije izraunava se dijeljenjemstandardne devijacije sa aritmetikom sredinom iizra!ava se u postotcima. Eo je mjera kojapokazuje koliki postotak aritmetike sredine inivrijednost standardne devijacije.

W = : 777777777777 x ** 9


43/49

@a primjer, ako se !ele usporediti dvije razliiteFrekvencije, od kojih se jedna odnosi na tjelesnu te!inu,a dru%a na visinu za koje su dobivene slijedeevrijednosti$.

-udui da znamo da 9 +aritmetika sredina+

minus >$+ standardna devijacija+ obuhvaa 01Rrezultata to na kraju krivulje ostaje CR rezultata. $akle, C posto djece ove %rupe su te!i od

ispitivano%a djeteta. /ormula &7vrijednosti

mjere disperzije

Documents