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Ministério da Educação

Física . Módulo 4 . Volume 5

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADAArturo Rodolfo Samana

Alejandro Javier Dimarco

190 mm190 mm

270

mm

13mm

Física | módulo 4 | volum

e 5ELEM

ENTO

S DE M

ATEMÁTICA

AVAN

ÇAD

A

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADAArturo Rodolfo Samana


Física . Módulo 4 . Volume 5

FÍSICAMódulo 4 | Volume 5

EDITUSIlhéus . 2012

ELEMENTOS DEMATEMÁTICA AVANÇADA

PRODUTORES DO CONTEÚDO:

Dr. PhD Arturo Rodolfo Samana

Dr. PhD Alejandro Javier Dimarco

Universidade Estadual de Santa Cruz

ReitoraProfª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro

Vice-reitorProf. Evandro Sena Freire

Pró-reitor de GraduaçãoProf. Elias Lins Guimarães

Diretor do Departamento de Ciências Exatas e TecnológicasProf. Roberto Carlos Felício

Ministério daEducação

Ficha Catalográfica

Projeto Gráfico e DiagramaçãoJamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal Craveiro

CapaSheylla Tomás Silva

Impressão e acabamentoJM Gráfica e Editora

Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESCObra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)

Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus-Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.www.nead.uesc.br | [email protected] | (73) 3680.5458

Física | Módulo 4 | Volume 5 - Elementos de Matemática Avançada

Coordenação UAB – UESCProfª. Drª. Maridalva de Souza Penteado

Coordenação Adjunta UAB – UESCProfª. Dr.ª Marta Magda Dornelles

Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna

Elaboração de Conteúdo

Dr. PhD Arturo Rodolfo Samana

Dr. PhD Alejandro Javier Dimarco

Instrucional DesignProfª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira

Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa CostaProfª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes

RevisãoProf. Me. Roberto Santos de Carvalho

Coordenação Fluxo EditorialMe. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA

ELEMENTOS DEMATEMÁTICA AVANÇADA

EMENTAÁlgebra linear, funções de variável complexa; funções

especiais; transformadas de Fourier e Laplace; espaços

vetoriais de dimensão finita e infinita; teoria das distribuições e

da perturbação.

Carga horária: 90 horas

Prof. PhD Arturo Rodolfo SamanaProf. PhD Alejandro Javier Dimarco

OS AUTORES

Arturo Rodolfo Samana

Possui doutorado em Física pela Universidad Nacional de La Plata, Buenos Aires, Argentina (2002); pós-doutorado pela Universidade de São Paulo (2003); pós-doutorado pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2006); e pós-doutorado pela Texas A&M Universitiy-Commerce, Texas-USA (2008). Atualmente é Professor Adjunto A da Universidade Estadual de Santa Cruz – BA, Brasil (2011). Tem experiência na área de Física Nuclear, com ênfase em Estrutura Nuclear, atuando principalmente nos seguintes temas: estrutura nuclear, interação neutrino-núcleo e astrofísica nuclear.

E-MAIL: [email protected]


Possui doutorado em Física pela Universidade de São Paulo (1998), pós-doutorado pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2000) e pós-doutorado pelo Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (2002). Atualmente é Professor Adjunto B da Universidade Estadual de Santa Cruz. Tem experiência na área de Física, com ênfase em Física Nuclear, atuando principalmente nos seguintes temas: captura eletrônica, decaimento beta, estrutura nuclear, pré-supernova, taxas.

E-MAIL: [email protected]

Nesta disciplina, pretendemos que o aluno aprenda a ferramenta matemática

necessária para a abordagem de certos problemas físicos. Assim como a Mecânica

Newtoniana (clássica) possui como suporte matemático o cálculo diferencial e integral,

a Mecânica Quântica, por exemplo, acha a sua base matemática essencialmente na

Álgebra Linear. O conceito de matrizes e suas propriedades serão desenvolvidos, como

assim também os de espaços vetoriais e transformações lineares. As funções de variável

complexas também são de suma importância na resolução de integrais que, mesmo

sendo reais, são simplesmente resolvidas com técnicas que envolvem o conhecimento

básico do comportamento e as propriedades de tais funções. As funções especiais

como as Funções de Bessel, Polinômios de Legendre, Polinômios de Hermite, etc.; e a

Teoria das Distribuições (que podemos pensar como uma generalização da ideia de

função) são utilizadas na resolução de problemas que aparecem, por exemplo, em

Eletromagnetismo e Mecânica Quântica.

Embora no ensino médio o professor não aborde questões nas quais vai usar

especificamente, por exemplo, os Polinômios de Legendre, o conhecimento dos tópicos

abordados nesta disciplina permitirão uma visão mais ampla dos conteúdos a serem

tratados. Imaginemos que temos que escolher entre o professor A que deve ensinar a

somar e só sabe somar, e o professor B que deve ensinar a somar e, além de somar,

sabe também multiplicar, cabe a pergunta: você, qual escolheria?

Bons estudos,

Alejandro e Arturo.

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

SUMÁRIO

UNIDADE 1 - ÁLGEBRA LINEAR - MATRIZES

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 19

2 MATRIZES.................................................................................................. 20

2.1 Definições Prévias ......................................................................... 22

2.1.1 Igualdade de Matrizes ............................................................. 22

2.1.2 Matriz Real ............................................................................ 22

2.1.3 Matriz Complexa ..................................................................... 23

2.1.4 Matriz Conjugada ................................................................... 24

2.1.5 Matriz-Linha ........................................................................... 24

2.1.6 Matriz-Coluna ........................................................................ 25

2.1.7 Matriz Quadrada ..................................................................... 25

2.1.8 Matriz Nula ............................................................................ 26

2.1.9 Matriz Diagonal ..................................................................... 27

2.1.10 Matriz Identidade ................................................................. 28

2.1.11 Matriz Triangular Superior ...................................................... 28

2.1.12 Matriz Triangular Inferior ....................................................... 29

2.1.13 Matriz Transposta ................................................................. 30

2.1.14 Matriz Simétrica .................................................................... 30

2.1.15 Matriz Transposta Conjugada ................................................. 31

2.1.16 Matriz Hermitiana .................................................................. 32

2.2 Operações com Matrizes ............................................................... 33

2.2.1 Propriedades da Soma de Matrizes ........................................... 34

2.2.2 Definição de Soma de Matrizes ................................................ 35

2.2.3 Propriedade do produto de um Escalar por uma Matriz ................. 40

2.2.4 Definição do Produto de um Escalar por uma Matriz .................... 40

2.2.5 Propriedades do Produto de Matrizes ......................................... 43

2.2.6 Definição do produto de matrizes ............................................. 44

3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA .......................................................... 49

3.1 Definições Prévias ......................................................................... 50

3.1.1 Submatriz ............................................................................. 50

3.1.2 Determinante de uma matriz .................................................... 50

3.1.3 Matriz Adjunta ....................................................................... 55

3.1.4 Matriz Inversa ........................................................................ 58

3.1.5 Propriedades de determinantes, matrizes inversas e matrizes

adjuntas ....................................................................................... 61

RESUMINDO ................................................................................................. 67

REfERêNcIAS ............................................................................................... 67

UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO fINITA

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 71

2 ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO fINITA ............................................. 71

2.1 Algumas definições ....................................................................... 73

2.1.1 Vetores. Espaços Vetoriais ....................................................... 73

2.1.2 Combinação Linear ................................................................. 75

2.1.3 Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes .. 77

2.1.4 Base de um Espaço Vetorial .................................................... 79

2.1.5 Dimensão de um Espaço Vetorial ............................................. 83

2.1.6 Componentes de um Vetor ...................................................... 86

3 ESPAÇOS DE HILBERT (PRODUTO INTERNO) ............................................. 90

3.1 Algumas definições ....................................................................... 91

3.1.1 Espaço Vetorial com Produto Interno ou Espaço de Hilbert ............ 91

3.1.2 Norma de um Vetor ................................................................ 95

3.1.3 Distância em um espaço vetorial com produto interno ................ 101

3.1.4 Ângulo ................................................................................ 102

3.1.5 Vetores Ortogonais .............................................................. 104

3.1.6 Bases Ortogonais e Ortonormais ............................................. 105

3.1.7 Subespaços Vetoriais ............................................................. 109

4 TRANSfORMAÇÕES LINEARES ................................................................. 110

4.1 Algumas definições ..................................................................... 113

4.1.1 Transformação Linear ............................................................ 113

4.1.2 Matriz Associada a uma Transformação Linear .......................... 127

4.1.3 Imagem de uma Transformação Linear .................................... 137

4.1.4 Núcleo de uma Transformação Linear ...................................... 138

RESUMINDO ............................................................................................... 147

APêNDIcE .................................................................................................. 151

REfERêNcIAS ............................................................................................. 157

UNIDADE 3 - ÁLGEBRA LINEAR - OPERADORES

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................... 161

2 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRIcOS E HERMITIANOS 161

2.1 Algumas definições ..................................................................... 161

2.1.1 Operadores Ortogonais e unitários .......................................... 161

2.1.2 Operadores Simétricos e hermitianos ....................................... 169

3 PROBLEMAS DE AUTOVALORES E AUTOVETORES ..................................... 175

3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz ................................... 175

3.1.1 Definição ............................................................................. 176

3.1.2 Diagonalização de Matrizes .................................................... 180

3.2 Autovalores e Autovetores de um Operador ................................ 181

RESUMINDO ............................................................................................... 191

REfERêNcIAS ............................................................................................. 191

UNIDADE 4 - fUNÇÕES DE VARIÁVEL cOMPLEXA

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................... 195

2 NÚMEROS cOMPLEXOS ............................................................................ 195

2.1 Geometria e álgebra básica de números complexos .................... 196

3 fÓRMULA DE MOIVRE E O cÁLcULO DE RAÍZES ....................................... 201

4 fUNÇÕES cOMPLEXAS E A fÓRMULA DE EULER ....................................... 203

4.1 Aplicações da fórmula de Euler ................................................... 206

5 fUNÇÕES PLURÍVOcAS E SUPERfÍcIES DE RIEMANN .............................. 209

6 fUNÇÕES ANALÍTIcAS. O TEOREMA DE cAUcHY ...................................... 213

7 OUTROS TEOREMAS DE INTEGRAIS. A fÓRMULA DA INTEGRAL DE cAUcHY ..

................................................................................................................... 218

8 SEQUêNcIAS E SÉRIES cOMPLEXAS ........................................................ 223

9 SÉRIES DE TAYLOR E DE LAURENT .......................................................... 227

10 ZEROS E SINGULARIDADES ................................................................... 232

11 O TEOREMA DO RESÍDUO E SUAS APLIcAÇÕES ...................................... 238

RESUMINDO ............................................................................................... 250

REfERêNcIAS ............................................................................................. 251

ÁLGEBRA LINEAR

Ao final desta Unidade, o/a aluno/a será capaz de:

• identificar os diferentes tipos de matrizes definidas ao longo desta unidade;

• saber as propriedades das três operações com matrizes definidas ao longo desta unidade;

• operar com matrizes;• calcular determinantes de matrizes e matrizes inversas, e saber

as suas propriedades.

Prof. Dr. Arturo Rodolfo SamanaProf. Dr. Alejandro Javier Dimarco

1ªunidade

1 INTRODUÇÃO

Nesta unidade, abordaremos um assunto importante da Álgebra Linear que diz respeito a matrizes. As matrizes são usadas fartamente em diferentes áreas da física como, por exemplo, Mecânica Clássica, Quântica e Relativística. Primeiramente, definiremos o que é uma matriz e alguns dos diferentes tipos de matrizes que são utilizadas comumente. Logo após, definiremos as três operações básicas entre matrizes. Elas são: soma de matrizes, produto de um escalar por uma matriz e produto de matrizes. Por último, definiremos o determinante de uma matriz e o problema da matriz inversa. Alguns assuntos serão tratados nas próximas unidades dedicadas a espaços vetoriais e transformações lineares como, por exemplo, o problema de achar os autovalores e os autovetores de uma matriz. Matrizes ortogonais e unitárias também serão tratadas futuramente. O uso de matrizes na resolução de sistemas de equações lineares não será abordado neste texto, mas indicaremos leituras sobre o assunto.

Módulo 4 I Volume 5 19UESC

Álgebra Linear

1U

nida

de

Elementos de Matemática Avançada

2 MATRIZES

Uma matriz é um quadro de valores disposto em forma de linhas e colunas que é usado para armazenar algum tipo de informação. Pensemos, por exemplo, em como um professor preenche a planilha de notas de uma turma de 6 alunos:

NOME cOMPLETOPRIMEIRO cRÉDITO

SEGUNDO cRÉDITO

TERcEIRO cRÉDITO

MÉDIA

Ana Paula Silveira Mos 6,50 5,00 5,00 5,50

Caio Gonçalves 4,00 1,50 1,00 2,20

Marília Souza 9,00 9,00 8,00 8,70

Gerardo de Oliveira Andino 10,00 7,50 9,00 8,80

Joaquim Higino Amaral 3,00 4,00 0,00 2,30

Samara Alves de Aragão 7,00 6,50 8,50 7,30

Lendo as informações, por linha, vemos que na primeira linha estão dispostas as notas da aluna Ana Paula Silveira Mos; na segunda, as notas do aluno Caio Gonçalves, e seguindo assim até o último aluno. Acessando às informações por coluna, podemos achar, na primeira coluna, as notas do primeiro crédito dos 6 alunos da turma; na segunda coluna, as notas do segundo crédito, e assim por diante até chegar à quarta coluna onde podemos ver a média. Se nos restringimos só aos valores numéricos da tabela acima, eles podem ser escritos da seguinte maneira:

6,50 5,00 5,00 5,504,00 1,50 1,00 2,209,00 9,00 8,00 8,70

10,00 7,50 9,00 8,803,00 4,00 0,00 2,307,00 6,50 8,50 7,30

.

Quando os dados estão ordenados na forma acima é dito que eles estão ordenados em forma de matriz ou,

20 EADFísica

saiba maisainda, que eles formam uma matriz. No caso da planilha de notas de nosso exemplo, vemos que se trata de uma matriz de 6 linhas e 4 colunas ou, expresso de uma maneira mais compacta, uma matriz de 6 x 4. Notar que sempre escrevemos matriz de “númerodelinhasxnúmerodecolunas”.

Em geral, uma matriz de n linhas e m colunas, será escrita da seguinte maneira:

11 12 1

21 22 2

1 2

.

m

mn m

n n nm

a a aa a a

a a a

A ×

=

Em muitos casos, o número de linhas e o número de colunas que a matriz possui ficam subentendidos no contexto no qual se está trabalhando. Nesses casos só indicaremos a matriz com uma letra maiúscula em negrito A . Quando falamos do elemento de matriz ija , estamos nos referindo ao elemento da linha i e coluna j da matriz A , e se anota ( ) . n m ijij

aA × = O primeiro índice

Frequentemente, podemos achar outro tipo de notação para matrizes como, por exemplo, colchetes ou barras duplas, como veremos a seguir:

2 2

7,9 9,5,

1,1 0,6A ×

− =

4 2

1 2 54 31 3 4

0

i

ii

Z ×

+−

=−

−

.

Neste texto usaremos parênteses. A matriz entre colchetes é uma matriz de número reais de 2 x 2. Já a matriz entre barras duplas é uma matriz de número complexos de 4 X 2.

Não é a letra com que denotamos o índice que define se ele é índice de linha ou de coluna, mas sim a ordem. Por exemplo, se vemos a relação ( ) , r s kiki

bB × = devemos entender que se trata de uma matriz de r linhas e s colunas. O índice de linha é k e o de coluna é i .

atenção

( )i é chamado índice de linha, e o segundo ( )j , índice de coluna.

No caso de matrizes com igual número de linhas e de colunas ( )n m= , um elemento da matriz é dito da diagonal da matriz ou, que pertence à diagonal da matriz, quando i j= . Esses elementos são: 11 22, , e nna a a…

. Por exemplo, na matriz 2 2

1 6 30 7

iW ×

− = −

, os elementos da diagonal são 11 1w = e 22 7w = .

Quando usamos matrizes em diferentes áreas da


Álgebra Linear

1U

nida

de


Física é muito frequente que apareçam algumas com características particulares como, por exemplo, matrizes tais que o número de linhas é igual ao número de colunas ou matrizes que só possuem uma coluna ou uma linha. Também existem matrizes que são obtidas de uma matriz previamente dada, na qual fazemos algum tipo de operação como, por exemplo, trocar filas por colunas. É por isso que é conveniente introduzir algumas definições para denotar esse tipo especial de matrizes.

2.1 Definições Prévias

2.1.1 Igualdade de Matrizes

Primeiramente é preciso definir quando é que dizemos que duas matrizes são iguais. Dadas duas matrizes n mA × e p qB × , elas são ditas iguais se e somente se n p= , m q= e ij ija b= , 1, 2, e 1, 2, i n j m∀ = … ∀ = …

2.1.2 Matriz Real

Uma matriz n mA × é dita real, quando todos os seus elementos são números reais, ou seja,

, 1, 2, e 1, 2, ija i n j m∈ ∀ = … ∀ = …R .

Exemplo 1:

5 4

4,123 0 ln 20 3 1 1,882

7,986 9 8 2

2 2 5 cos7

1/ 5,991 1 e

A

π

π

π

×

−

− − =

−

∀ : símbolo matemático que significa “para todo”. Ao longo deste texto usa-remos o símbolo ∀ ou escreveremos por extenso “para todo”, indistintamen-te.

22 EADFísica

Exemplo 2:

4 1

3

5,70,19,2

1

A

π

×

= −

2.1.3 Matriz Complexa

Uma matriz n mA × é dita complexa, quando todos os seus elementos são números complexos, ou seja, , 1, 2, e 1, 2, ija i n j m∈ ∀ = … ∀ = … . É importante salientar que como todo número real pode ser pensado como um número complexo de parte imaginária nula, toda matriz real pode ser pensada como uma matriz complexa, cujos elementos possuem parte imaginária nula.

Exemplo 1:

7 5

4,1 6 0 ln 20 0 3 1 1,8

4,2 3,7 1 91 2,3 2 5 5 6,4 7,7

1/ 0 5.9 1.1 1 9,1 2,20 0

sin 210

i i i i ii i i

i ii i i

i i i i

A

π

π

π

×

−

− − + + −

+ − − + = + +

+ − − −

Exemplo 2:

( )1 1 1 9iA × = −

∈: símbolo matemático que significa “que pertence a” ou “pertencente a”. Ao longo deste texto, usare-mos o símbolo ∈ ou es-creveremos por extenso o seu significado, de maneira indistinta.


Álgebra Linear

1U

nida

de


Exemplo 3:

( ) ( )1 2 3 4 3 0 4 0i iB × = − = + − +

2.1.4 Matriz Conjugada

Dada uma matriz complexa n mA × de

elementos ija , definimos a matriz conjugada da

matriz n mA × (que denotamos por *

n mA ×) tal que

( )* * , 1, 2, e 1, 2, n m ijij

a i n j mA × = ∀ = … = … . Sejam 7 5A × e

1 1A × as matrizes dadas nos exemplos da definição anterior, então, as suas respectivas matrizes conjugadas são:

Exemplo 1:

*7 5

4,1 6 0 ln 20 0 3 1 1,8

4,2 3,7 1 91 2,3 2 5 5 6,4 7,7

1/ 0 5,9 1,1 1 9,1 2,20 0

sin 210

i i i i ii i i

i ii i i

i i i i

A

π

π

π

×

−

− + − − −

− − + − = − −

− − − −

Exemplo 2:

( )*1 1 1 9 .iA × = +

2.1.5 Matriz-Linha

Uma matriz n mA × é dita linha, quando 1n = .

24 EADFísica

Exemplo 1:

1 1 (7)A × =

Exemplo 2:

( )1 5 2 5 3 0 8i i iB × = − −

2.1.6 Matriz-Coluna

Uma matriz n mA × é dita coluna, quando 1m = .

Exemplo1:

3 1

5,74,09,2

F ×

= −

Exemplo 2:

7 1

1111111

G ×

=

2.1.7 Matriz Quadrada

Uma matriz n mA × é dita quadrada, quando n m= .


Álgebra Linear

1U

nida

de


Exemplo 1:

5 5

4 6 1 8 50 0 3 1 47 6 9 8 1

2 2 2 5 27 0 5 1 9

C ×

− − − = − −

− −

Exemplo 2:

1

0 11 0

σ

=

2

00i

iσ

− =

3

1 00 1

σ

= −

2.1.8 Matriz Nula

Uma matriz n mA × é dita matriz nula, quando todos os seus elementos são nulos. Isso quer dizer que 0 1, 2, e 1, 2, .ija i n j m= ∀ = … ∀ = … Geralmente é denotada por n mO × ou simplesmente O .

Exemplo 1:

5 5

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

O ×

=

As matrizes σ1, σ2 e σ3 são conhecidas como Ma-trizes de Pauli. Elas são três matrizes complexas quadradas de 2 x 2. São utilizadas em Mecânica Quântica Relativística e são muito importantes na descrição de algumas par-tículas elementares como o elétron e a sua antipartícu-la, o pósitron.

saiba mais

26 EADFísica

Exemplo: 2

7 3

0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0

O ×

=

2.1.9 Matriz Diagonal

Uma matriz quadrada n nA × é dita diagonal, quando todos os elementos que não pertencem à diagonal são nulos. Isso quer dizer que, se i j≠ então 0ija = .

Exemplo 1:

3

1 00 1

σ

= −

Exemplo 2:

5 5

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

O ×

=

Exemplo 3:


Álgebra Linear

1U

nida

de


4 4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

G ×

− = −

−

2.1.10 Matriz Identidade

Uma matriz quadrada n nA × é dita a matriz identidade, se ela é diagonal e os elementos da diagonal são iguais à unidade. Como esta matriz é muito importante, ela é denotada como n nI × ou simplesmente I .

Exemplo 1:

4 4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

I ×

=

Exemplo 2:

1 1 (1)I × =

2.1.11 Matriz Triangular Superior

Uma matriz quadrada n nA × é dita triangular superior, se todos os elementos que ficam por baixo da diagonal são nulos, isto é, se i j> , então 0ija = .

Exemplo 1:

A matriz que aqui chama-mos de 4 4G × é uma re-presentação matricial do Tensor Métrico do Es-paço de Minkovski. Essa matriz é muito usada na Teoria da Relatividade.

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Para denotar os elementos de matriz da matriz identi-dade é usado um símbolo chamado “delta de Kro-necker” ou “Tensor de Kronecker”. Os elementos da matriz que representa dito tensor são definidos por:

1, 0, ij

i ji j

δ=

= ≠

Desse modo podemos es-crever que ( ) ijij

I δ= . O “delta de Kronecker” é muito importante, entre outras coisas, pela sua funcionalidade e será usa-do frequentemente ao logo deste texto.

28 EADFísica

4 4

1 20 1 9 10 0 0 60 0 0 1

i i

T ×

− =

Exemplo 2:

3 3

56 33 18 0 27 19 0 0 21

Q ×

− =

2.1.12 Matriz Triangular Inferior

Uma matriz quadrada n nA × é dita triangular inferior, se todos os elementos que ficam por cima da diagonal são nulos, isto é, se i j< , então 0ija = .

Exemplo 1:

4 4

0 0 01 10 0 0

8,7 0 01 1

i

ei

Z

π

×

=

− −

Exemplo 2:

3 3

2,81 0 01 , 27 5,16 0 4,44 9,91 0,77

Y ×

=


Álgebra Linear

1U

nida

de


2.1.13 Matriz Transposta

Dada uma matriz quadrada n nA × de elementos

ija , definimos a matriz transposta da matriz

n nA × (que denotamos por T

n nA × ) de elementos Tija tal que

, 1, 2, Tij jia a i j n= ∀ = … . Podemos ver que os elementos da

matriz transposta de uma dada matriz n nA × são obtidos a

partir da própria matriz n nA × , trocando linha por coluna.

Exemplo 1:

2 2

5 12 7 6i

A ×

= −

2 2

5 2 7

1 6T i

A ×

− =

Exemplo 2:

4 4

1 1 1 31 5 0 12 0 0 78 1 0 1

J ×

− − =

−

4 4

1 1 2 81 5 0 11 0 0 03 1 7 1

TJ ×

− − =

−

2.1.14 Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada e real n nA × é dita simétrica,

se ela é igual a sua transposta, ou seja, satisfaz a relação T

n n n nA A× ×= , isto é, ij jia a= , 1, 2, i j n∀ = … .

30 EADFísica

Exemplo 1:

4 4 4 4

3, 4 4,1 2,6 0,54,1 0,7 9,4 1,12,6 9,4 0.0 7,70.5 1,1 7,7 6.3

TH H× ×

− − = = − −

−

Exemplo 2:

2 2 2 2

2 11 8

TL L× ×

− = = − −

2.1.15 Matriz Transposta Conjugada

Dada uma matriz quadrada e complexa n nA × de

elementos ija , definimos a matriz transposta conjugada

da matriz n nA × (que denotamos por †

n nA × ) de elementos †ija tal que † * , 1, 2, ij jia a i j n= ∀ = … . Podemos ver que

os elementos da matriz transposta conjugada de uma dada matriz

n nA × são obtidos a partir da própria matriz n nA × , trocando linha por coluna e conjugando os seus

elementos, isto é † *( )Tn n n nA A× ×= .

Exemplo 1:

2 2

5 12 7 6i

A ×

= −

†2 2

5 2 7

1 6i

A ×

+ =


Álgebra Linear

1U

nida

de


Exemplo 2:

4 4

1 1 31 5 0 1

2 4 0 0 7 28 1 0 1

i

i iS ×

− − = + +

−

†4 4

1 1 2 4 85 0 1

1 0 0 03 1 7 2 1

ii

i

S ×

− − − − =

− −

2.1.16 Matriz Hermitiana

Uma matriz quadrada e complexa n nA × é dita

hermitiana, se ela é igual a sua transposta conjugada, ou seja, satisfaz a relação †

n nA × = n nA × isto é, *

ij jia a= , 1, 2, i j n∀ = … .

Exemplo 1:

†2 2

00i

iσ σ

− = =

Exemplo 2:

†4 4 4 4

1 1 2 3 51 5 0 1

2 0 03 5 1 1

i i

i ii i

J J× ×

+ − − − = = −

+ − −

Na verdade para definir a

matriz transposta e a ma-

triz transposta conjugada

de uma dada matriz não é

necessário impor que dita

matriz seja quadrada. Mas

sim, é preciso salientar que

se A é uma matriz de n

linhas e m colunas, TA

ou, se for o caso, †A ,

será uma matriz de m li-

nhas e n colunas.

atenção

32 EADFísica

2.2 Operações com Matrizes

Nas diversas aplicações das matrizes na área de Física, é muito frequente que apareça a necessidade de operar com elas. Assim, vamos tentar definir operações entre matrizes como soma, multiplicação e produto de uma matriz por um escalar, estabelecendo quais são as propriedades que essas operações devem satisfazer. Sabemos que entre os números inteiros, reais e complexos existem operações como a soma e o produto. Essas operações podem ser pensadas como funções que, dado um par de números reais, fazem corresponder outro número real. Ou seja, se tomamos o par de números reais (7, 10 ; 2,30) e aplicamos a “função soma”, vamos obter o número real 9,40. Já, se aplicamos a “função produto”, obteremos o número real 16,13. Além do mais, a soma e o produto satisfazem algumas propriedades como associatividade e comutatividade. Desde um ponto de vista mais formal, podemos pensar a soma de números reais como sendo uma função : f → com " "f = +

2= R e = R , ou seja, que podemos escrever 2 : + →R R , onde 2R é conjunto de pares ordenados

de números reais. Seja =K R ou =K , e seja n m×K o conjunto

de matrizes de n linhas e m colunas, sendo que os seus elementos de matriz se encontram em K , vamos definir as seguintes operações:

• Soma ou adição de matrizes. • Multiplicação de matrizes por um escalar. • Multiplicação de matrizes.

Mas não devemos esquecer que, para que essas três definições sejam boas definições no sentido prático, ou seja, na hora de ter que fazer uso delas num problema concreto, elas devem satisfazer uma série de propriedades. Como exemplo, vamos citar a associatividade da soma de


Álgebra Linear

1U

nida

de


números inteiros. Sejam , ,K L M ∈ , a associatividade da soma diz que ( ) ( )K L M K L M+ + = + + , isto é (2+3)+1=2+(3+1) ou 5+1=2+4, ou ainda 6=6. O outro exemplo de propriedade que podemos citar é a existência do elemento neutro, ou seja, um elemento, que chamaremos de O (zero), pertencente ao conjunto dos números inteiros tal K O O K K+ = + = . É fácil ver que no caso da soma de números inteiros esse elemento neutro e o número zero.

Portanto antes de definir cada operação, vamos relacionar as propriedades que devem ser satisfeitas por elas.

2.2.1 Propriedades da Soma de Matrizes

Como foi dito antes, a soma de matrizes poderá ser pensada como uma função + : Knxm x Knxm →Knxm. Ou seja, que a primeira precaução que devemos tomar é verificar que dadas , n mA B ×∈K o “objeto” resultante, depois de aplicada a soma, que escreveremos A+B, também pertença ao n m×K . Logo, vamos exigir que , , n mA B C ×∀ ∈K devem satisfazer as seguintes propriedades:

• S1: COMUTATIVIDADE: A B B A+ = +

• S2: ASSOCIATIVIDADE: ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

• S3: EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO: deve

existir n mO ×∈K (chamado de elemento neutro) tal que A O O A A+ = + = .

• S4: EXISTÊNCIA DO ELEMENTO OPOSTO: dada

n mA ×∈K , ( ) n mA ×∃ − ∈K (chamada matriz oposta de A ) tal que ( ) ( )A A A A O+ − = − + = .

É importante salientar que só poderão ser somadas matrizes do mesmo número de linhas e do mesmo número de colunas. Isto é, se 2 3A ×∈ e 2 5 ,B ×∈ será impossível efetuar a soma entre elas.

∃ : símbolo matemático que significa “existe”. Ao longo deste texto, usare-mos o símbolo ∃ , ou a palavra “existe”, indistin-tamente.

34 EADFísica

2.2.2 Definição de Soma de Matrizes

Dadas , n mA B ×∈K tal que ( ) ijijaA = e ( ) ijij

bB = , a matriz S é dita soma de A com B, isto é, S=A+B, desde que os elementos de matriz de S sejam definidos por

,ij ij ijs a b≡ +

ou equivalentemente,

( ) ( ) ( ) ( ) ,ij ij ij ij

S A B A B= + ≡ +

para todo 1,2, , i n= … e para todo 1,2, , j m= … , onde com o sinal ≡ estamos indicando que essa igualdade é uma definição. É fácil ver que S , definida dessa maneira, pertence à n m×K porque a soma de números reais (ou complexos) é também um número real (ou complexo). Visualizar isso fica ainda mais fácil, escrevendo S da seguinte maneira:

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

.

m m

m m

n n n n nm nm

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

S

+ + + + + + =

+ + +

Exemplo 1: Sejam 2 3A ×∈R e 2 3B ×∈R , dadas por

1,1 3,5 9,70,6 0,7 8,2

A−

= − e

1,5 6,5 1,7,

3,1 8,7 1,4B

− = − −

a matriz soma terá os seguintes elementos de matriz:


Álgebra Linear

1U

nida

de



1,1 3,5 9,7 1,5 6,5 1,70,6 0,7 8,2 3,1 8,7 1,4

1,1 1,5 3,5 6,5 9,7 1,70,6 3,1 0,7 8,7 8,2 1,4

2,6 3,0 8,0.

2,5 9,4 9,6

S A B− −

= + = + = − − − + − − +

= = − + − − − −

= − −

( ) ( ) ( ) ( )11 11 1111 11 11 111,1 1,5 2,6s a bS A B A B= = + = + = + = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 1212 12 12 123,5 6,5 3,0s a bS A B A B= = + = + = + = + − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )13 13 1313 13 13 139,7 1,7 8,0s a bS A B A B= = + = + = + = − + = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 21 2121 21 21 210,6 3,1 2,5s a bS A B A B= = + = + = + = + − = −

( ) ( ) ( ) ( )22 22 2222 22 22 220,7 8,7 9,4s a bS A B A B= = + = + = + = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 23 2323 23 23 238, 2 1,4 9,6,s a bS A B A B= = + = + = + = − + − = −

Usando o fato de que a soma de números reais e a soma de números complexos satisfazem as propriedades enunciadas acima, é fácil ver que a definição de soma de matrizes introduzida aqui, também satisfaz ditas propriedades. Como exemplo, vamos mostrar a propriedade associativa, S2. Sejam , , n mA B C ×∈K , devemos mostrar que ( ) ( ).A B C A B C+ + = + + Vamos calcular o elemento de matriz do primeiro membro. Aplicando a definição de soma de matrizes, temos que

( )( ) ( ) ( ) .

ij ijijA B C A B C+ + = + +

Só que ( ) ( ) ( ) ij ijij ij ija bA B A B+ = + = + .

Substituindo acima, obtemos

36 EADFísica

( )( ) ( ) .ij ij ijija b cA B C+ + = + +

Usando a associatividade da soma dos números reais ou da soma de números complexos, temos que ( ) ( )ij ij ij ij ij ija b c a b c+ + = + + , então podemos escrever

( )( ) ( ),ij ij ijij

a b cA B C+ + = + +

ou ainda

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ijij ij ij ij ijij

A B C A B C A B C A B C+ + = + + = + + = + +

Por último, como duas matrizes são iguais desde que todos os seus elementos sejam iguais, podemos concluir que ( ) ( ) ,A B C A B C+ + = + + como queríamos demonstrar. Vemos assim, que a definição de soma que acabamos de introduzir satisfaz a propriedade associativa. A propriedade comutativa (S1) é ainda mais fácil de demonstrar e, como no caso da propriedade associativa, a base da demonstração radica no fato de que a soma de números reais e a soma de números complexos satisfazem a comutatividade.

O elemento neutro da soma de matrizes é a matriz nula n m

n mO ×× ∈K . É fácil ver que, n m

n mA ××∀ ∈K vale que

,n m n m n m n m n mA O O A A× × × × ×+ = + = isto é

11 12 1

21 22 2

1 2

0 0 00 0 0

0 0 0

m

m

n n nm

a a aa a a

a a a

+


Álgebra Linear

1U

nida

de


11 12 1

21 22 2

1 2

0 0 00 0 0

0 0 0

m

m

n n nm

a a aa a a

a a a

= +

11 12 1

21 22 2

1 2

.

m

m

n n nm

a a aa a a

a a a

=

Exemplo 2: Seja 3 13 1A ×× ∈R , dada por

3 1

43

1A ×

= −

,

então, podemos escrever

4 0 0 4 43 0 0 3 3

1 0 0 1 1

− + = + − = −

.

Já a matriz oposta de n mn mA ×× ∈K é aquela

cujos elementos de matriz são os opostos aditivos dos elementos de matriz de n mA × e denotamos por n mA ×− . Isto quer dizer que si n mA × é dada por

11 12 1

21 22 2

1 2

,

m

mn m

n n nm

a a aa a a

a a a

A ×

=

E n mA ×− será:

38 EADFísica

11 12 1

21 22 2

1 2

,

m

mn m

n n nm

a a aa a a

a a a

A ×

− − − − − − − = − − −

dessa maneira temos que ( )n m n m n m n m n mA A A A O× × × × ×+ − = − + = , ou simplesmente, n m n m n m n m n mA A A A O× × × × ×− = − + = .

Exemplo 3: Seja 4 44 4J ×× ∈ , dada por,

4 4

1 1 7 3 51 5 0 1

2 0 03 5 1 1 1

i i

i ii i

J ×

+ − − − = −

+ − −

logo vemos que a sua matriz oposta, 4 4 J ×− será

4 4

1 1 7 3 51 5 0 1

,2 0 03 5 1 1 1

i i

i ii i

J ×

− − − − − + − − = − + − − − − + −

porque

4 4 4 4

4 4

1 1 7 3 51 5 0 1

( ) 2 0 03 5 1 1 1

1 1 7 3 5 0 0 0 01 5 0 1 0 0 0 0

. 2 0 0 0 0 0 03 5 1 1 1 0 0 0 0

i i

i ii i

i i

i ii i

J J

O

× ×

×

+ − − − + − = + −

+ − −

− − − − − + − + = = − + − − − − + −


Álgebra Linear

1U

nida

de


Os exemplos anteriores (e os que apareçam futuramente) não são demonstrações formais de existência do elemento neutro nem do ele-mento oposto. Eles devem ser pensados como uma apresentação da sua existência, mas não como demonstração nenhuma. Os rigorosos, precisos e consistentes matemáticos estabelecem e demonstram de maneira elegante os teoremas de existência e unicidade cabíveis em cada caso.

atenção

2.2.3 Propriedade do produto de um Escalar

por uma Matriz

O produto de um escalar por uma matriz é uma função que toma um número λ∈K , (chamado de escalar) e uma matriz n mA ×∈K , e faz corresponder outra matriz n mR ×∈K , ou seja, • : n m n m× ×× →K K K . Vamos escrever esta operação como ë •R A= ou simplesmente

ëR A= . Novamente, a primeira coisa a ser feita é verificar que, efetivamente, n mR ×∈K . Logo temos que para todo par de escalares ,λ µ∈K e para todo par de matrizes , n mA B ×∈K devem ser satisfeitas as seguintes propriedades:

• E1: DISTRIBUTIVIDADE EM RELAÇÃO À SOMA

DE MATRIZES: ( )A B B Aλ λ λ+ = +

• E2: DISTRIBUTIVIDADE EM RELAÇÃO À SOMA

DE ESCALARES: ( )ì A A Aλ λ µ+ = +

• E3: ( ) ( )A Aλ µ λµ=

• E4: 1A = A, isto é, o número 1 multiplicado por qualquer

matriz deve ser igual a ela mesma.

2.2.4 Definição do Produto de um Escalar

por uma Matriz

Dado λ∈K e n mA ×∈K tal que ( ) ijijaA = , a matriz

R é dita matriz produto do escalar λ com a matriz A , isto é ëR A= , desde que os elementos de matriz de R R= Aλ

•R Aλ=R= Aλ

40 EADFísica

sejam definidos por

( ) ( ) ( ) ,ij ijij ij ijr aR A Aλ λ λ= = ≡ =

1, 2,i n∀ = … e 1, 2,j m∀ = … . Escrevendo R da seguinte maneira

11 12 1

21 22 2

1 2

,

m

m

n n nm

a a aa a a

a a a

R

λ λ λλ λ λ

λ λ λ

=

vemos facilmente que n mR ×∈K , porque todos os produtos ijaλ pertencem a K.

Exemplo 1: Sejam iλ = e 2 2A ×∈ dada por

1,

2 6i

i iA = − + +

a matriz R=λA, terá os seguintes elementos de matriz:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11 1111 11 11

12 1212 12 12

21 2121 21 21

22 2222 22 22

1

1

2 1 2

6 1 6

r R A A a ii

r R A A a i i

r R A A a i i i

r R A A a i i i

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

= = = = = = −

= = = = = =

= = = = = − + = − −

= = = = = + = − +


Álgebra Linear

1U

nida

de


ou ainda,

Para demonstrar as propriedades E1, E2, E3 e E4, enunciadas acima, só devemos usar as propriedades bem conhecidas da multiplicação de números reais ou de números complexos.

Vamos mostrar a propriedade distributiva em relação à soma de matrizes, E1. Sejam , n mA B ×∈K e λ∈K devemos mostrar que ( ) .A B A Bλ λ λ+ = + Vamos calcular o elemento de matriz do primeiro membro. Aplicando a definição de produto de um escalar por uma matriz e a definição de soma de matrizes, podemos escrever

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).ij ijij ij ijija bA B A B A Bλ λ λ λ + = + = + = +

No último membro, podemos usar a propriedade distributiva do produto em relação à soma de números (reais ou complexos) e obtemos que

( ) ( ) ( ) ,ij ij ij ij ij ija b a b A Bλ λ λ λ λ+ = + = +

onde podemos aplicar que ( ) ( )ij ijA Aλ λ= e

( ) ( )ij ijB Bλ λ= , logo temos que

( ) ( ) ( ) .ij ijij

A B A Bλ λ λ + = +

12 6

1 1.

( 2 ) (6 ) 1 2 1 6

ii

i i

i i i ii i i i i i

R Aλ

= = = − + +

× × − = = × − + × + − − − +

42 EADFísica

Por último, como duas matrizes são iguais desde que todos os seus elementos sejam iguais, podemos concluir que

( ) , A B A Bλ λ λ+ = +

como queríamos demonstrar.

2.2.5 Propriedades do Produto de Matrizes

O produto de matrizes é uma função que toma uma matriz A n m×∈ e uma matriz B m p×∈ e dá como resultado uma matriz G n p×∈ . Ou seja, podemos escrever que • : n m m p n p× × ×× → . Anotamos G A • B= ou simplesmente G AB= .

A primeira observação que devemos fazer é que, diferentemente do que acontece na multiplicação de números reais ou complexos, em geral não vale a propriedade comutativa que diz que se ,α β ∈ , então αβ βα= . Notemos que para fazer o produto, precisamos que o número de colunas do primeiro fator (matriz A) deva ser igual ao número de linhas do segundo fator (matriz B). Portanto o produto BA é impossível de ser efetuado, já que B possui p colunas e A possui n linhas. O produto BA poderá ser calculado desde que ambas as matrizes sejam quadradas e pertencentes à n n× e, mesmo assim, geralmente acontece que AB BA≠ , como veremos daqui a pouco. Apesar do que poderíamos chamar de “essas limitações”, o produto de matrizes que definiremos a seguir é muito útil e eficiente. Dadas A n n

n n×

× ∈ , A , B n mn m n m

×× × ∈ e B , C m p

m p m p×

× × ∈ , as propriedades que devem satisfazer o produto de matrizes são:

atenção

Observar que só depois de ter definida a opera-ção de multiplicação de um escalar por uma ma-triz, estamos em reais condições de dizer que a matriz oposta aditiva de uma dada matriz ,A que não por acaso denotamos por – ,A não é outra coi-sa que 1 .A− × Isto é,

1 .A A− = − ×


Álgebra Linear

1U

nida

de


• Q1: n n n n n n n n n nA I I A A× × × × ×= =

• Q2: n m m p n pA O O× × ×= e n m m p n pO A O× × ×=

• Q3: DISTRIBUTIVIDADE À ESQUERDA EM RELAÇÃO À

SOMA: ( )n m m p m p n m m p n m m pA B C A B A C× × × × × × ×+ = +

• Q4: DISTRIBUTIVIDADE À DIREITA EM RELAÇÃO À

SOMA: ( )n m n m m p n m m p n m m pA B C A C B C× × × × × × ×+ = +

• Q5: ASSOCIATIVIDADE: ( ) ( )n m m p p q n m m p p qA B C A B C× × × × × ×=

Na maioria das vezes, daqui para frente, denotaremos as matrizes de maneira simplificada, só com letra maiúscula e em negrita sem especificar o número de linhas nem de colunas.

2.2.6 Definição do produto de matrizes

Dadas n mA ×∈K e m pB ×∈K , a matriz n pG ×∈K é dita matriz produto de A com B desde que os seus elementos de matriz sejam dados por

1

,m

ij ik kjk

g a b=

≡∑


( ) ( ) ( ) ( )1 1

,m m

ij ik kjij ij ik kjk k

g a bG AB A B= =

= = ≡ =∑ ∑

1, 2,i n∀ = … e 1, 2,j p∀ = … . Novamente, escrevendo G “por extenso”,

44 EADFísica

1 1 1 2 11 1 1

2 1 2 2 21 1 1

1 21 1 1

m m m

k k k k k kpk k km m m

k k k k k kpk k k

m m m

nk k nk k nk kpk k k

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

G

= = =

= = =

= = =

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

vemos que, efetivamente, n pG ×∈K , já que todos o seus elementos pertencem a K .

Exemplo 1: seja 3 2A ×∈R e 2 4B ×∈R dadas por:

4 13 0

1 6A

= −

e

3 2 1 4.

5 1 1 7B

− − =

Aplicando a definição, temos que

( )

2

11 1 1 11 11 12 211

4 3 1 5 12 5 7k kk

g a b a b a b=

≡ = + = × − + × = − + = −∑

2

12 1 2 11 12 12 221

4 2 1 1 8 1 9k kk

g a b a b a b=

≡ = + = × + × = + =∑

( )2

13 1 3 11 13 12 231

4 1 1 1 4 1 3k kk

g a b a b a b=

≡ = + = × − + × = − + = −∑

2

14 1 4 11 14 12 241

4 4 1 7 16 7 23k kk

g a b a b a b=

= = + = × + × = + =∑

2

21 2 1 21 11 22 211

3 ( 3) 0 5 9 0 9k kk

g a b a b a b=

= = + = − × − + × = + =∑


Álgebra Linear

1U

nida

de


2

22 2 2 21 12 22 221

3 2 0 1 6 0 6k kk

g a b a b a b=

= = + = − × + × = − + = −∑

( )2

23 2 3 21 13 22 231

3 1 0 1 3 0 3k kk

g a b a b a b=

= = + = − × − + × = + =∑

2

24 2 4 21 14 22 241

3 4 0 7 12 0 12k kk

g a b a b a b=

= = + = − × + × = − + = −∑

( )2

31 3 1 31 11 32 211

1 3 6 5 3 30 27k kk

g a b a b a b=

= = + = × − + × = − + =∑

2

32 3 2 31 12 32 221

1 2 6 1 2 6 8k kk

g a b a b a b=

= = + = × + × = + =∑

( )2

33 3 3 31 13 32 231

1 1 6 1 1 6 5k kk

g a b a b a b=

= = + = × − + × = − + =∑

2

34 3 3 31 14 32 241

1 4 6 7 4 42 46,k kk

g a b a b a b=

= = + = × + × = + =∑

portanto

( ) ( )

( )( ) ( )

4 13 2 1 4

3 05 1 1 7

1 6

4 3 1 5 4 2 1 1 4 1 1 1 4 4 1 73 ( 3) 0 5 3 2 0 1 3 1 0 1 3 4 0 7

1 3 6 5 1 2 6 1 1 1 6 1 1 4 6 7

7 9 3 239 6 3 12 .27 8 5 46

G AB

− − = = −

× − + × × + × × − + × × + × = − × − + × − × + × − × − + × − × + × × − + × × + × × − + × × + × − − = − −

É interessante salientar que o produto BA é impossível de ser calculado porque o número de colunas da matriz B é diferente do número de linhas da matriz A .

46 EADFísica

Vamos demonstrar uma propriedade, no caso, a propriedade associativa, Q5, deixando ao leitor interessado a demonstração das outras. Segundo a definição de igualdade de matrizes, temos que demonstrar que

( ) ( ) .n m m p p q n m m p p q ijijA B C A B C× × × × × × =

Para isso usaremos a definição de produto de matrizes e o fato de que os números reais (ou complexos) satisfazem a propriedade associativa como vemos a seguir:

Uma maneira prática de fazer o produto é visualizá-lo da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

AB AB AB AB

AB AB AB AB

AB AB AB AB

observando que, por exemplo, no local onde está o símbolo ( )21AB

correspondente ao elemento 21g , devemos colocar “a linha 2 da matriz A vezes a coluna 1 da matriz B ”, ou seja, ( ) ( )21 21

3 3 0 5 9g AB= = − × − + × = .

um conselho

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

(

m

n m m p p q ik kjij k

p p pm m m

ik kl lj ik kl ljik kl ljk l k l k l

p p pm m m

ik kl lj ik kl lj ik kl ljk l l k l k

p pm

ik kl lj il ljl k l

a b c a b c

a b c a b c a b c

A B C A BC

A B C

A B C AB C

× × ×=

= = = = = =

= = = = = =

= = =

=

= = =

= = =

= = =

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ) ,n m m p p q ijA B C× × ×

1, 2,i n∀ = … e 1, 2,j p∀ = … . Desse modo, obtemos o resultado desejado: ( ) ( )n m m p p q n m m p p qA B C A B C× × × × × ×= .


Álgebra Linear

1U

nida

de


1 1 1 1 2 33 2 1 2 4 62 1 0 1 2 3

1 1 1 2 1 1 1 2 1 4 1 2 1 3 1 6 1 33 1 2 2 ( 1) 1 3 2 2 4 ( 1) 2 3 3 2 6 ( 1) 3

2 1 1 2 0 1 2 2 1 4 0 2 2 3 1 6 0 3

0 0 00 0 0 .0 0 0

AB

O

− = − − −

× − × + × × − × + × × − × + × = − × + × + − × − × + × + − × − × + × + − × − × + × + × − × + × + × − × + × + ×

= =

Vejamos agora um exemplo interessante.

Exemplo 1 (José Luiz Boldrini, 1980): Sejam 3 3,A B ×∈R dadas por

1 1 13 2 12 1 0

A−

= − −

e

1 2 32 4 6 .1 2 3

B =

Multiplicando A com B obtemos

Já, se fazemos

48 EADFísica

Portanto podemos confirmar que, se tratando de produto de matrizes, a ordem dos fatores altera sim o produto, porque AB ≠ BA. Por outro lado, também podemos ver que, enquanto para números reais (ou complexos) vale que 0αβ = , então pelo menos α (ou β) deve ser nulo, já com matrizes vemos que AB O= , com ambas as matrizes distintas da matriz nula.

3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA

Sabemos que, por exemplo, dado um número real (complexo) não nulo r existe outro número real (complexo), que denotamos por

1r− , tal que 1 1 1rr r r− −= = . O número 1r− é conhecido como inverso multiplicativo de r . Como exemplo, temos que 3r = , 1 1 . 3r− = Cabe perguntar-nos se dada uma matriz quadrada n nA ×∈K existe outra matriz 1 n nA− ×∈K tal que 1 1AA A A I− −= = . O tratamento rigoroso desta questão é algo complicado para este texto, mas trataremos de dar os conceitos básicos e a ferramentas para o cálculo. Sendo assim, enunciaremos algumas propriedades que ficaram sem demonstração, e só serão verificadas com alguns exemplos.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 3 1 1 12 4 6 3 2 11 2 3 2 1 0

1 1 2 3 3 ( 2) 1 1 2 2 3 1 1 1 2 ( 1) 3 02 1 4 3 6 ( 2) 2 1 4 2 6 1 2 1 4 ( 1) 6 01 1 2 3 3 ( 2) 1 1 2 2 3 1 1 1 2 ( 1) 3 0

11 6 122 12 211 6 1

BA−

= − − −

× + × − + × − × − + × + × × + × − + × = × + × − + × − × − + × + × × + × − + × × + × − + × − × − + × + × × + × − + ×

− −= − −

− −.O

≠


Álgebra Linear

1U

nida

de


3.1 Definições Prévias

3.1.1 Submatriz

Dada n nA ×∈K com 1n > , dizemos que ( )1 ( 1)( , , ) n ni jAS − × −∈K é submatriz de A , desde que os elementos

de matriz de ( , , )i jAS sejam obtidos a partir dos elementos da matriz A por eliminação da linha i e a coluna j .

Exemplo 1: seja a matriz 4 4A ×∈ dada por

1 1 7 3 51 5 0 1

,2 0 03 5 1 1 1

i i

i ii i

A

+ − − − = −

+ − −

temos que eliminando a primeira linha e a primeira coluna, obtemos a submatriz ( ,1,1) 3 3AS ×∈ dada por

( ,1,1)

5 0 10 0 .1 1 1

ii

AS− − = − −

Já por eliminação da quarta linha e terceira coluna, obtemos a submatriz da matriz A , ( ,4,3) 3 3AS ×∈ dada por

( ,4,3)

1 1 3 5 1 5 1 .

2 0

i

i i

AS−

= − − −

3.1.2 Determinante de uma matriz

O determinante de uma matriz é um número que denotaremos indistintamente por ( )det A ou A tal que

50 EADFísica

( )det A ∈K . Vamos definir primeiramente o determinan-te de uma matriz 1 1A ×∈K . Nesse caso, para ( )11aA = o

( ) 11det aA ≡ . No caso de 2 2A ×∈K , ou seja, para uma matriz do tipo

11 12

21 22

a aa a

A

=

o ( )det A é definido pela seguinte expressão

( ) 11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

det det .a a a a

a a a aa a a a

A A

= = = ≡ −

Exemplo 1: Seja 2 2A ×∈ dada por

11 12

21 22

3 1,

2 2a a i ia a

A−

= = −

portanto,

( ) ( ) ( )11 22 12 21det 3 2 1 2 6 2 2 2 4 .a a a a i i i i iA = − = × − − − × = − − + = − −

Já, se a n nA ×∈K , dizemos que o determinante pode ser desenvolvido (ou calculado) pela linha i (com

1,2,i n= … , que da n maneiras diferentes) ou pela coluna j (com 1,2,j n= … , que da mais n maneiras diferentes). No total, existe 2 n× maneiras de calcular o determinante. Seja

n nA ×∈K , dada por

11 12 1

21 22 2

1 2

,

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

A

=


Álgebra Linear

1U

nida

de


veremos que significa que “o determinante pode ser desenvolvido ou calculado por tal linha ou tal coluna”. O determinante desenvolvido pela primeira linha, que denotaremos por ( )

L1det A , é definido pela relação:

( ) ( ) ( )1 ( ,1, )1L1

1

det 1 det .n

k kk

k

a AA S+

=

= − ∑

Em geral pela linha r , temos que

( ) ( ) ( )( , , )Lr

1

det 1 det .n

r k r krk

k

a AA S+

=

= − ∑

Já a expressão geral para o determinante de A desenvolvido pela coluna t fica

( ) ( ) ( )( , , )Ct

1

det 1 det .n

k t k tkt

k

a AA S+

=

= − ∑

Na verdade, pode-se mostrar que se a n nA ×∈K então

( ) ( )Lr Ct

det detA A = , , 1, 2,r t n∀ = … . Esta propriedade nos diz que, qualquer que seja a linha ou a coluna pela qual desenvolvamos o determinante, ele sempre dará o mesmo resultado, o que justifica a notação inicialmente introduzida

( ) ( ) ( )Lr Ct

det det detA A A = = . Infelizmente, a demons-tração desta propriedade, está além do alcance deste texto. Ela só será exemplificada para a sua simples verificação.

O determinante pode ser escrito em termos de quantidades que definiremos como cofatores da matriz A , da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ), ,

1

det detn

A r krkLr

k

A A a=

= = ∆ ∑

( ) ( ) ( ), ,

1det det ,

nA k t

ktCtk

A A a=

= = ∆ ∑

saiba mais

52 EADFísica

Exemplo 2: Usaremos este exemplo para verificar a propriedade acima. Seja 3 3A ×∈ , dada por

5 0 10 0 .1 1 1

ii

A− − = − −

Calcularemos o seu determinante pela primeira, segunda e terceira linhas, deixando ao leitor o cálculo pela primeira, segunda e terceira colunas:

• Pela primeira linha:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

31 ( ,1, )

1L11

1 1 1 2 1 3( ,1,1) ( ,1,2) ( ,1,3)11 12 13

det det 1 det

1 det 1 det 1 det

0 5 1 5 05 det 0 det 1 det 5 1 5 5

1 1 1 1 1 1

k kk

k

a

a a a

ii i i

i i

A

A A A

A A S

S S S

+

=

+ + +

= = −

= − + − + −

− − − = − × − × + − × = − × − × − = + − − − −

∑

• Pela segunda linha:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

32 ( ,2, )

2L21

2 1 2 2 2 3( ,2,1) ( ,2,2) ( ,2,3)21 12 23

det det 1 det

1 det 1 det 1 det

0 1 5 1 5 00 det 0 det det 5 1 5 5

1 1 1 1 1 1

k kk

k

a

a a a

i i i ii i

A

A A A

A A S

S S S

+

=

+ + +

= = −

= − + − + −

− − − − = − × + × − × = − × − × − = + − − − −

∑

onde o cofator do elemento ija é definido a partir da relação

( ) ( ) ( ), , ( , , )1 det .i jA i j A i jS+∆ ≡ −

Embora esta definição seja uma mera formalidade, ela será útil na hora de definir a matriz adjunta e a matriz inversa.


Álgebra Linear

1U

nida

de


• Pela terceira linha:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

33 ( ,3, )

3L31

3 1 3 2 3 3( ,3,1) ( ,3,2) ( ,3,3)31 32 33

det det 1 det

1 det 1 det 1 det

0 1 5 1 5 01 det 1 det 1 det 1 5 5 5 .

0 0 0 0

k kk

k

a

a a a

i i i ii i

A

A A A

A A S

S S S

+

=

+ + +

= = −

= − + − + −

− − − − = − × − − × + × = − − × − = +

∑

Vemos assim que obtivemos, em todos os casos, o mesmo resultado.

O fato de ter verificado que dada uma matriz quadrada em particular o determinante calculado por uma linha em particular coincide com o determinante calculado por uma coluna em particular, não serve como demonstração formal da propriedade sobre determinantes que diz que, dada uma matriz quadrada qualquer, o determinante calculado por uma coluna qualquer coincide com aquele calculado por uma linha qualquer. No contexto das ciências Exatas, é impossível afirmar que: Porque o vaso sanitário do banheiro da nossa casa é branco, tudo aquilo que é branco, é vaso sanitário; ou Porque o cálculo do determinante da matriz A , dada por

5 0 10 01 1 1

ii

A− − = − −

independe da linha ou da coluna escolhida para desenvolver dito cálculo, podemos concluir que isso é válido para toda matriz. Uma afirmação como esta última, equivalente à afirmação feita sobre os vasos sanitários, além de ser metodologicamente incorreta, soa até arrogante, quando encaixada num contexto que tenciona ser científico. Por exemplo, uma afirmação como a enunciada no Teorema de Pitágoras (que, como todo mundo sabe, diz que a soma dos quadrados dos catetos de todo e qualquer triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa), é uma afirmação muito geral e muito forte, e requer uma demonstração rigorosa para poder afirmar que vale para todo triângulo retângulo. Depois do exposto, é essencial e imprescindível salientar que o exemplo do cálculo do determinante efetuado acima, por diferentes linhas e colunas da matriz em questão, dando sempre o mesmo resultado ( )(det 5 5 ),i= +A só foi colocado como verificação, sem ter pretensão nenhuma de ser uma demonstração rigorosa e formal, já que a demonstração dessa propriedade está além do alcance deste texto. Podemos antecipar que a demonstração deveria ser feita sobre uma matriz genérica do tipo

atenção

54 EADFísica

3.1.3 Matriz Adjunta

Dada n nA ×∈K , a matriz Ã é dita matriz adjunta, desde que ela seja a matriz formada pelos cofatores dos elementos da matriz A . Isto é

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

A

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,1,1 ,1,2 ,1,11 12 1

,2,1 ,2,2 ,2,21 22 2

, ,1 , ,2 , ,1 2

.

A A A nn

A A A nn

A n A n A n nn n nn

ãã ã

ã

ãã

Ã

ã

ã

ã

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ≡ = ∆ ∆ ∆

Exemplo 1: Seja 2 2A ×∈ , dada por

2,

5 8 1i

iA = −

11 12 1

21 22 2

1 2

,

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

A

=

como já foi feito, por exemplo, para demonstrar a propriedade associativa do produto de matrizes,

( ) ( ) ,n m m p p q n m m p p qA B C A B C× × × × × ×= onde todas as matrizes envolvidas eram genéricas.


Álgebra Linear

1U

nida

de


as cofatores são:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1,1,1 ( ,1,1)1111

1 det det 1 1ãÃ += = ∆ = − = =A AS

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2,1,2 ( ,1,2)1212

1 det det 5 8 5 8ã iÃ i+= = ∆ = − = − − = − +A AS

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1,2,1 ( ,2,1)2121

1 det det 2 2Ã ã += = ∆ = − = − = −A AS

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2,2,2 ( ,2,2)2222

1 det det .Ã ã i i+= = ∆ = − = =A AS

Logo a matriz adjunta de A fica

1 5 8.

2i

Ãi

− + = −

Exemplo 2: Seja 3 3B ×∈R , dada por

1 0 36 8 2 .

5 7 4B

− = − −

Seguindo o procedimento do exemplo anterior, temos que

( ) ( ) ( )1 1,1,1 ( ,1,1)11

11

~ ~ 8 21 det det

7 432 14 46

bB + = = ∆ = − = = − = + =

B BS

( ) ( ) ( )~ ~ 1 2,1,2 ( ,1,2)

1212

6 21 det det

5 4( 24 10) 34

B BB b S+ − = = ∆ = − = − = = − − − =

56 EADFísica

( ) ( ) ( )~ ~ 1 3,1,3 ( ,1,3)

1313

6 81 det det

5 742 40 2

b + − = = ∆ = − = = − = − =

B BB S

( ) ( ) ( )( )( )

~ ~ 2 1,2,1 ,2,121

21

0 31 det det

7 4

0 21 21

b + = = ∆ = − = − = − = − − − = −

B BB S

( ) ( ) ( )~ ~ 2 2,2,2 ( ,2,2)

2222

1 31 det det

5 41 4 5 3 4 15 19

b + − = = ∆ = − = = = − × − × = − − = −

B BB S

( ) ( ) ( )( )

~ ~ 2 3,2,3 ( ,2,3)23

23

1 01 det det

5 7

1 7 0 5 7

b + − = = ∆ = − = − = − = − − × − − × = −

B BB S

( ) ( ) ( )

~ ~ 3 1,3,1 ( ,3,1)31

31

0 31 det det

8 20 2 8 3 24

b + = = ∆ = − = = = × − × = −

B BB S

( ) ( ) ( )( ) ( )

~ ~ 3 2,3,2 ( ,3,2)32

32

1 31 det det

6 2

1 2 6 3 2 18 16

b + − = = ∆ = − = − = − = − − × − − × = − − + = −

B BB S

( ) ( ) ( )( )

~ ~ 3 3,3,3 ( ,3,3)33

33

1 01 det det

6 8

1 8 6 0 8.

b + − = = ∆ = − = = − = − × − − × = −

B BB S

Logo

~46 34 221 19 724 16 8

B = − − − − − −


Álgebra Linear

1U

nida

de


3.1.4 Matriz Inversa

Dada n nA ×∈K , pode se mostrar que A possui matriz inversa se e somente se det( ) 0A ≠ , nesse caso, a matriz inversa da matriz A , que denotaremos por 1A− , é dada por

1 ( ) .det( )

TÃAA

− =

Primeiramente devemos esclarecer que a expressão acima não é uma definição, mas sim uma propriedade que deveria ser demonstrada. Infelizmente a demonstração não está ao alcance deste texto. Portanto vamos nos contentar apenas com uma mera verificação, como já temos feito em outras situações.

Exemplo 1: Já vimos que a matriz

25 8 1

ii

A = −

tem como matriz adjunta

1 5 8,

2i

Ãi

− + = −

portanto

1 2( ) .

5 8TÃ

i i−

= − +

Já o determinante é

( ) ( )2det det 2 5 8 10 16 10 17 .

5 8 1i

i i i i ii

A = = − × − = − + = − + −

58 EADFísica

Sendo assim,

1

1 21 25 8( ) 1 .

5 8det( ) 10 17 10 17

T i iÃi ii i

AA

−

− −− + = = = − +− + − +

Com intuito de só verificar, façamos agora o produto

( ) ( )

1 1 2 215 8 5 8 110 17

1 2 (5 8 ) 1 2 2 115 8 (5 8 ) 5 8 2 110 17

10 16 010 10 1610 17

10 17 0 1 01 .0 10 17 0 110 17

ii i ii

i ii i i i i ii

i ii ii

iii

− − = = − + −− +

× − × − × − × = = − + × + × − − + × + ×− +

− + = = − + +− +

− + = = = − +− +

A A

I

Resumindo, vimos que, se

25 8 1

ii

A = −

então

1

1 210 17 10 17 .5 8

10 17 10 17

i ii ii i

A−

− − + − += − + − + − +


Álgebra Linear

1U

nida

de


Deixamos ao leitor interessado a tarefa de multiplicar e dividir cada elemento da matriz inversa por

( )10 17 10 17i i− + = − − para eliminar, desse modo, os desconfortáveis denominadores complexos, como assim também verificar que 1AA I− = .

Exemplo 2: Já vimos que a matriz

1 0 36 8 2

5 7 4B

− = − −

tem como matriz adjunta

~46 34 221 19 7 ,24 16 8

B = − − − − − −

portanto

~46 21 24

( ) 34 19 16 .2 7 8

TB− −

= − − − −

Já o determinante é

( )

( ) ( )

1 0 38 2 6 8

det det 6 8 2 1 det 3 det7 4 5 7

5 7 4

32 14 3 42 40 46 6 40

− − = − = − × + × = − − −

= − + + × − = − + = −

B

60 EADFísica

Sendo assim,

~

1

46 21 2434 19 16

46 21 242 7 8( ) 1 34 19 16 .

det( ) 40 402 7 8

TBBB

−

− − − − − − − − = = = − − − − − −

Fazendo o produto

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

46 21 24 1 0 31 34 19 16 6 8 240

2 7 8 5 7 4

46 1 21 6 24 5 46 0 21 8 24 ( 7) 46 3 21 2 24 41 34 1 19 6 16 5 34 0 19 8 16 ( 7) 34 3 19 2 16 440

2 1 7 6 8 5 2 0 7 8 8 ( 7) 2 3 7 2 8 4

−

− − − = − − − − = − − −

× − − × − − × × − × − × − × − × − ×= − × − − × − − × × − × − × − × − × − ×

× − − × − − × × − × − × − × − × − ×

B B

46 126 120 168 168 138 42 961 34 114 80 152 112 102 38 6440

2 42 40 56 56 6 14 32

40 0 0 1 0 01 0 40 0 0 1 0 ,40

0 0 40 0 0 1

=

− + − − − − = − − + − − + − − = − + − − + − −

− = − − = = −

I

Verificamos que obtemos como resultado a matriz identidade. Deixamos ao leitor interessado verificar que

1BB I− = .

3.1.5 Propriedades de determinantes, matrizes

inversas e matrizes adjuntas

Enunciaremos algumas propriedades de


Álgebra Linear

1U

nida

de


determinantes, matrizes inversas e matrizes adjuntas. Sejam , n nA B ×∈K

• W1: Se A possui uma linha (coluna) nula, então o seu determinante é nulo.

• W2: Se A possui duas linhas (colunas) iguais, então o seu determinante é nulo.

• W3: Se A possui uma linha (coluna) igual ao produto de outra linha (coluna) por uma constante, então o seu determinante é nulo.

• W4: ( ) ( )det det TA A=

• W5: ( ) ( ) ( )det det detAB A B=

• W6: Se A é inversível então

( ) ( )1 1det .

detA

A− =

• W7: Se uma linha de A é multiplicada por uma constante, o determinante também fica multiplicado por essa constante.

• W8: Se A e B são ambas duas matrizes inversíveis, então o produto delas também é inversível, e vale que ( ) 1 1 1AB B A− − −=

• W9: Se A é inversível, a sua inversa é única.

Deixamos ao leitor interessado as suas demonstrações.

62 EADFísica

1. Demonstrar as propriedades E2 e E3 do produto de um escalar por uma matriz definido acima.

2. Dadas as matrizes 4 3,A B ×∈ , definidas por

1 1 2 76 1 3 4

3 7 0

i ii i

i i iA

− + − = + − − −

e

0 1 4 02 7 4 1 0 ,

1 6 5 6

ii

i i i iB

− − = − + − + − −

iλ = e 2 iµ = + , calcular, desde que seja possível:

i) ( ) A Bλ +

ii) ( )A Bµ −

iii) ( ) Tλ +A B

iv) ( )( ) A Bλµ +

v) A Bλ µ+

vi) † A Bλ µ+

3. Demonstrar a propriedade comutativa, S1, da soma de matrizes.

4. Demonstrar que n mA ×∈K , então

i) ( )A A= ,

ii) ( )TTA A= ,

iii) ( )††A A= .

EXERcÍcIOS PROPOSTOS


Álgebra Linear

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nida

de


5. Demonstrar que se , n mA B ×∈K então ( ) .A B A B+ = +

6. Demonstrar que se , n mA B ×∈K então ( )T T TA B A B+ = + .7. Demonstrar que se , n mA B ×∈K então ( )† † †.A B A B+ = +8. Demonstrar que a soma de duas matrizes simétricas é

uma matriz simétrica.9. Demonstrar que a soma de duas matrizes hermitianas é

uma matriz hermitiana.10. Dadas as matrizes 3 3,A B ×∈ , dadas por

1 1 26 1 3 4

3 7 0

i ii

i iA

− + = + − − −

e

0 1 42 7 4 1 ,

1 6

ii i

i i iB

− − = − + − + −

calcular:i) A B+ ,

ii) A B− ,

iii) TA B+ ,

iv) A B+ ,

v) ( )TA B+ ,

vi) T TA B+ ,

vii) ( )†A B+ ,

viii) † †A B+ ,

ix) † A B− ,

x) † A B+ ,

xi) ( )† TTA B+ ,

xii) ( )†† A B−

xiii) ( )† † T

A B B A − + −

.

64 EADFísica

11. Demonstrar as propriedades Q3 e Q4 do produto de matrizes.

12. Dadas n mA ×∈R e m pB ×∈R mostrar que ( )T T TAB B A= .13. Dadas n mA ×∈K e m pB ×∈K mostrar que ( )† † †AB B A= .14. Dadas as matrizes 4 3,A B ×∈ , definidas por

1 1 2 76 1 3 4

3 7 0

i ii i

i i iA

− + − = + − − −

e

0 1 4 02 7 4 1 0 ,

1 6 5 6

ii

i i i iB

− − = − + − + − −

calcular, desde que seja possível:

i) AB ,

ii) TAB ,

iii) TBA .

15. Determinar α , θ , ρ e ω tal que

2 1 1 0 6 4 0 1α θρ ω

− =

16. Verdadeiro ou falso?

i) ( )2 2 22A B A AB B+ = + + ,

ii) ( )( )2 2A B A B A B− = + − .

iii)Seja A tal que podemos fazer 2A , então A é uma matriz quadrada.


Álgebra Linear

1U

nida

de


17. Dadas as matrizes

1/ 2 72 2i

A−

=

2 1 61 3 34 5 7

B−

= − −

5 2 2 41 1 6 3

,1/ 2 1/ 2 3 3 / 29 8 7 1

C

− − − = − −

−

i) calcular det( )A ,

ii) calcular ( ),1,1A∆ , ( ),3,1B∆ , ( ),2,3B∆ , ( ),2,2C∆ e ( ),4,3C∆ ,

iii) verifique que ( ) ( )L1 C3

det detB B = ,

iv) calcule, quando for possível, Ã , 1A− , ~B , 1B− ,

~ C , e 1C− .

18. Dadas as matrizes 3 42 1

A =

e 1 56 8

B =

, mostre

que ( ) ( )det det det( )A B A B+ ≠ + e verifique que

( ) ( )det det det( )AB A B= .

19. Mostrar que se n nA ×∈K e ξ ∈K , então ( ) ( )det detnA Aξ ξ= .

20. Seja n nR ×∈R tal que 1 TR R− = , então det( ) 1R = ou ( )det 1R = − . Uma matriz real que possui como matriz inversa a sua matriz transposta é dita de matriz ortogonal.

21. Seja n nU ×∈ tal que 1 †U U− = , então det( ) 1U = . Uma matriz complexa que possui como matriz inversa a sua matriz transposta conjugada é dita de matriz unitária.

66 EADFísica

Apresentamos um assunto muito importante da Álgebra Linear que diz respeito as matrizes. Definimos o que é uma matriz, e alguns dos diferentes tipos de matrizes que são utilizadas comumente. Foram definidas três operações básicas entre matrizes: soma de matrizes, produto de um escalar por uma matriz e produto de matrizes. Também definimos o determinante de uma matriz e a matriz inversa. Exemplos esclarecedores foram apresentados em cada item. Como foi dito na introdução, alguns assuntos ficaram sem ser tratados, como a utilização de matrizes na resolução de sistemas de equações algébricas lineares. Também algumas propriedades têm sido enunciadas sem demonstração. Para isso, recomendamos ao leitor a seguinte bibliografia: Butkov E. (1998), Boldrini et al. (1980).

RESUMINDO

BUTKOV, E., Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc., United States of America, 1968.

BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G.; ÁLGEBRA LINEAR, São Paulo, HARBRA Ltda., 1980.

REFERÊNCIAS


Álgebra Linear

1U

nida

de

Suas anotações

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• saber determinar se um dado conjunto de elementos possui estrutura de espaço vetorial;

• entender os conceitos de independência linear de vetores e de base e dimensão de um espaço vetorial;

• saber as propriedades do produto interno; • entender os conceitos de ortogonalidade, distância, e

ângulo entre vetores;• identificar uma transformação linear e compreender a sua

associação com matrizes.

2ªunidade

ÁLGEBRA LINEAR. ESPAÇOS VETORIAIS DE

DIMENSÃO FINITA

1 INTRODUÇÃO

Dando continuidade à Unidade 1, nesta unidade serão abordados os temas de espaços vetoriais de dimensão finita, produto interno e transformações lineares entre espaços vetoriais. Definiremos o conceito de independência linear de vetores e de base de um espaço vetorial. Aprenderemos que, embora vivamos num espaço de três dimensões, podemos definir, matematicamente, outros espaços de um número maior de dimensões. Veremos que o produto escalar entre vetores do espaço ordinário, estudado em Geometria Analítica, será redefinido de uma maneira mais geral e de mais utilidade nas suas aplicações na Física. Reelaboraremos, também, a noção de ortogonalidade, distância e ângulo. Demonstraremos o Teorema de Pitágoras de uma maneira formal e elegante. Veremos, também, a associação entre matrizes (estudadas na Unidade 1) e transformações lineares.

2 ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO fINITA

Na Física existem grandezas chamadas grandezas vetoriais. Um exemplo bem conhecido delas é o vetor posição que indica onde está localizada uma partícula em relação a algum sistema de referência. Outro exemplo é o vetor velocidade, definido por

,drvdt

=

onde r é o vetor posição em relação a um sistema de referência ortogonal, caracterizado por uma origem de


Álgebra Linear - Espaços Vetoriais de Dimensão Finita

2U

nida

de


coordenadas O, e três eixos ortogonais entre si, os eixos x , y e z , e t é o tempo. A velocidade indica a taxa de variação do vetor posição. Outros exemplos de grandezas vetoriais que aparecem na Física são a força, o momento linear, o campo elétrico, etc. Já a energia mecânica, a energia cinética e a energia potencial são exemplos de grandezas que nos livros de textos são chamadas de escalares as quais poderíamos definir, simplesmente, como grandezas nas quais é preciso só de um número para especificar. Na verdade, a definição de escalar é um pouco mais elaborada. Quando dizemos que um nêutron possui uma energia cinética de 5 MeV está sendo passada toda a informação necessária em relação a sua energia cinética. Não é preciso de mais nada. Se dizemos, porém, que um carro possui uma velocidade de 97 Km/h, a informação fornecida é parcial, porque ainda falta saber a direção e o sentido do carro. Nesse caso em “97 Km/h”, só temos informação acerca da intensidade do vetor. Na verdade, para passar toda a informação, são necessários três números. Só com três números é possível armazenar toda a informação necessária para descrever a velocidade do carro. De fato, escrevemos a velocidade como um vetor de três componentes, ( ), ,x y zv v v v=

, onde xv é a componente cartesiana da velocidade segundo o eixo x , yv é a componente cartesiana da velocidade segundo o eixo y , e

zv é a componente cartesiana da velocidade segundo o eixo z . Portanto, a definição que até agora temos de vetor pode ser resumida dizendo que se trata de uma trinca ordenada de números reais. O conjunto dessas trincas ordenadas de números reais é conhecido como o espaço vetorial R3, embora ainda não tenhamos introduzido uma definição precisa de espaço vetorial.

Pretendemos, nesta seção, dar uma definição precisa e mais abrangente de vetor e de espaço vetorial, onde o espaço

3R será apenas um caso particular, que muitas vezes será tomado como exemplo. Também ampliaremos o conceito

72 EADFísica

de dimensão. Veremos que existem espaços de 1, 2, 3, e em geral de n dimensões, inclusive até, de dimensão infinita, de grande utilidade na Mecânica Quântica, por exemplo.

2.1 Algumas definições

2.1.1 Vetores. Espaços Vetoriais

Um conjunto de elementos que denotaremos, de maneira geral, por , , , α β γ … etc, que chamaremos de vetores, é dito espaço vetorial, desde que possam ser definidas as seguintes operações: soma de vetores e produto de um vetor por um escalar pertencente a K . As propriedades que devem satisfazer tais operações são válidas para todo , , α β γ ∈ e para todo ,λ µ∈K , e estão elencadas na Tabela. 1.

Tabela 1. Propriedades de um espaço vetorial.OPERAÇÃO PROPRIEDADES

SOMA

:+ × →

,α β ∈

α β+ ∈

• P1: ( ) ( )α β γ α β γ+ + = + +

• P2: ο∃ ∈ tal que ο α α ο α+ = + =

• P3: α∃− ∈ tal que ( )α α α α ο+ − = − + =

• P4: α β β α+ = +

PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR

• : × → K

λ∈K

α ∈ λα ∈

• P5: ( )λ α β λα λβ+ = +

• P6: ( )λ µ α λα µα+ = +

• P7: ( ) ( )λ µα λµ α=

• P8: 1α α=

Se =K R , o espaço vetorial é dito real. Já, se =K é dito complexo. O elemento ο é chamado de vetor nulo de , e o elemento -α é chamado vetor oposto aditivo do vetor α, ou simplesmente vetor oposto do vetor α. Para o produto de um escalar por um vetor, muitas vezes é usada a notação mais simples λα , como na Tabela 1 acima.



2U

nida

de


Exemplo 1: Se consideramos n m×= (o conjunto de matrizes complexas de n linhas e m colunas) junto com as operações de soma e multiplicação por um escalar, usuais, é fácil ver que se trata de um espaço vetorial complexo, já que as operações satisfazem as propriedades mencionadas. De fato, vimos (e em alguns casos até demonstramos) que dados ,λ µ∈ e , , n mA B C ×∈

• P1: ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

• P2: Existe n mn mO ×× ∈K tal que n m n mA O O A A× ×+ = + =

• P3: Existe n mA ×− ∈K tal que ( ) ( )A A A A O+ − = − + =

• P4: A B B A+ = +

• P5: ( )A B B Aλ λ λ+ = +

• P6: ( ) A A Aλ µ λ µ+ = +

• P7: ( ) ( )A Aλ µ λµ=

• P8: 1A A=

portanto o conjunto n m× de matrizes complexas de n linhas e m colunas, munido da soma e do produto por um escalar, forma um espaço vetorial. Isto também é válido para matrizes reais ( ).n mR ×

Exemplo 2: seja o conjunto das funções reais contínuas no intervalo [ ], ,a b que denotaremos por ( , ),a bR ou seja, que se ( , ),f a b∈ R então

:[ , ]f a b →R e f é contínua. Consideremos a soma de funções ( )f g+ e o produto de um escalar real λ por uma função ( )fλ definidos da maneira usual, tal que

[ ],x a b∀ ∈ temos que

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ ≡ +

( )( ) ( )f x f xλ λ≡ .

Um conjunto , cujos elementos possuem uma soma que satisfaz as propriedades P1, P2 e P3, é dito grupo. Se ainda satisfaz P4 (comutatividade), é dito grupo abeliano ou comutativo. A chamada Teoria dos Grupos é muito importante em Física, por exemplo, na área de Matéria Condensada e na área de Física de Partículas.

saiba mais

74 EADFísica

Por exemplo, seja [ ] [ ], 0, 2 ,a b π=

3,λ = − ( ) 5sin3xf x = e ( ) 2cos ,g x x= − logo

vemos que, aplicando as definições acima,

( )( ) ( )5sin 2cos 5sin 2cos3 3x xf g x x x+ = + − = − e

( )( ) 3 5sin 15sin .3 3x xf xλ = − × = − É fácil ver, lembrando

alguns conceitos de Cálculo sobre propriedades de

funções contínuas (do tipo que a soma de duas funções

contínuas é contínua), que ( )f g+ e ( )fλ pertencem à

( , ),a bR e que dados ,λ µ∈R e , , ( , )f g h a b∈ R vale

que

• P1: ( ) ( )f g h f g h+ + = + +

• P2: Existe o∈ tal que o f f o f+ = + =

• P3: Existe f− ∈ tal que ( )f f f f o+ − = − + =

• P4: f g g f+ = +

• P5: ( )f g f gλ λ λ+ = +

• P6: ( )ì f f fλ λ µ+ = +

• P7: ( ) ( )f fλ µ λµ=

• P8: 1 f f=

sendo que o é a função nula tal que ( ) 0, [ , ],o x x a b= ∀ ∈ e – 1 .f f= − × Logo vemos que um espaço de funções como o que acabamos de definir é também um espaço vetorial.

2.1.2 Combinação Linear

Dados um número natural s e um espaço vetorial

, o vetor não nulo Ψ∈ é dito uma combinação



2U

nida

de


linear dos vetores 1 2, , sΦ Φ …Φ ∈ , desde que existam

1 2, , sλ λ λ… ∈K não simultaneamente nulos, tais que

1 1 2 21

.s

s s i ii

λ λ λ λ=

Ψ = Φ + Φ +…+ Φ = Φ∑

A notação a ser usada para combinação linear dos

vetores 1 2 , , sΦ Φ …Φ é [ ]1 2 , , .sΦ Φ …Φ

Exemplo 1: Seja 4s = e 2= R , e sejam

( ) ( ) ( )1 2 31,3 , 1,0 , 5, 2 , b b b= = − =

e ( )4 2, 3 .b = − −

É fácil

ver que, o vetor ( )3, 5a = − −

pode ser escrito como uma

1 2 3 4, , ,b b b b

da seguinte maneira

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1. 1,3 3. 1,0 1 . 5,2 2 . 2,3s

i ii

a bλ=

= = + − + − + − − =∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1,3 3,0 5, 2 4, 6

1 3 5 4,3 0 2 6 3, 5 ,

= + − + − − + − =

= − − + + − − = − −

com 1 2 31, 3, 1λ λ λ= = = − e 4 2.λ = −

Notar que, dado um vetor, não existe uma única combinação linear a partir da qual ele pode ser obtido. Como prova disso, podemos ver que o vetor do exemplo anterior também pode ser escrito como

2

1

,i ii

a eµ=

=∑

com 1 3µ = − , 2 5µ = − , 1 (1,0)e =

e 2 (0,1)e =

.

atenção

76 EADFísica

2.1.3 Vetores Linearmente Independentes e

Linearmente Dependentes


, os vetores do conjunto 1 2 , , sΦ Φ …Φ ∈ são ditos linearmente independentes (LI) desde que a equação

1

s

i ii

λ=

Ο = Φ∑

seja satisfeita somente se 0iλ = 1,2,i s∀ = … . Caso contrário,

ou seja, se existe pelo menos um índice j tal que 1 j s≤ ≤

e 0jλ ≠ , os vetores são ditos linearmente dependentes (LD). É fácil ver que um conjunto de vetores é LD desde que um deles possa se escrever como uma combinação linear

dos outros. Para ver isto, suponhamos que 1 2, , sΦ Φ …Φ são

LD, então existe 0jλ ≠ . Logo, dada a expressão

1 1 2 2 ,j j s sλ λ λ λΦ + Φ +… Φ +… Φ = Ο

ela pode ser dividida em ambos membros por jλ e o vetor

jΦ pode ser isolado da seguinte maneira:

1 11 2

1 2 1 1j j s

j j j sj j j j j

λ λ λλ λλ λ λ λ λ

− +− +Φ + Φ +…+ Φ +Φ + Φ +…+ Φ = Ο

1 11 2

1 2 1 1j j s

j j j sj j j j j

λ λ λλ λλ λ λ λ λ

− +− +Φ = − Φ − Φ −…− Φ − Φ −…− Φ

1,

.s

ij i

i i j j

λλ= ≠

Φ = − Φ

∑

Portanto um conjunto de vetores LD pode ser caracterizado como tal quando um desses vetores do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos



2U

nida

de


outros. Como consequência disto, um conjunto de vetores LI pode ser caracterizado como tal desde que nenhum vetor do conjunto possa ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Exemplo 1: Seja 3= R e seja ( )1,2,5a = −

e

( 2, 4,10),b = −

é fácil ver que 2a b=

, portanto o conjunto

,a b

é um conjunto de vetores de 3R linearmente dependentes. Geometricamente, isto significa que os vetores

a e b

estão contidos na mesma reta.

Exemplo 2: Seja ( , )π π= −R e seja

( ) 2 2, , cos 2 ,cos ,sin .f g h x x x= Para ver se esse conjunto

de funções pertencentes a ( , )π π−R é LI ou LD, vamos escrever

( ) ( ) 2 2cos 2 cos cos cos sin sin cos sinx x x x x x x x x= + = − = −

ou seja que

1 2f g hλ λ= +

com 1 1λ = e 2 1λ = − , portanto o conjunto

( ) 2 2cos 2 ,cos ,sinx x x é LD.

Exemplo 3: Seja ( 1,1)= −R e seja

2 4, , , , 2 .f g h x x x= − Vamos a analisar a expressão

( ) ( )2 41 2 3 2 ,x x x o xλ λ λ+ + − =

ou ainda:

78 EADFísica

4 23 2 12 0.x x xλ λ λ− + + =

Trata-se de um polinômio de grau 4 na variável x

portanto, segundo os valores que tomem 1λ , 2λ e 3λ , podem acontecer os seguintes casos com as raízes (valores da variável x que anulam o polinômio):

• Quatro raízes reais distintas ( 1r , 2r , 3r e 4r ).

• Uma raiz real de multiplicidade um ( 1r ) e outra raiz

real de multiplicidade três ( 2 3 4r r r= = )

• Uma raiz real de multiplicidade dois ( 1 2r r= ) e outra

raiz real, também de multiplicidade dois ( 3 4r r= )• Uma raiz real de multiplicidade quatro

1 2 3 4( )r r r r= = =

• Duas raízes complexas 1z e 2z sendo que as outras

raízes são 1z e 2z

• Duas raízes reais distintas ( 1r e 2r ) e duas complexas

1z e 2 1z z=

• Uma raiz real de multiplicidade 2 ( 1 2r r= ) e duas

complexas 1z e 2 1z z= .

Portanto não existe nenhum conjunto de λ1, λ2 e λ3, que anule o polinômio para todo valor de x , além do caso

no qual 1 2 3 0.λ λ λ= = = Sendo assim, o conjunto de funções

2 4, , , , 2f g h x x x= − é LI.

2.1.4 Base de um Espaço Vetorial


, um conjunto de vetores 1 2 , , sB = Φ Φ …Φ ∈ , com



2U

nida

de


1, 2,i i sΟ ≠ Φ ∀ = … , é dito base do espaço vetorial desde que sejam satisfeitas as seguintes condições:

1 2 , , sΦ Φ …Φ é LI

[ ]1 2 , , sΦ Φ …Φ =

A igualdade da segunda condição é muito importante

e diz que qualquer vetor de pode ser escrito com uma

[ ]1 2 , , .sΦ Φ …Φ

Exemplo 1: Seja 2= R e seja 1 2,B e e=

com

1 (1,0)e =

e 2 (0,1),e =

e seja ( )1 2,a a a=

Escrevendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 21,0 0,1 ,0 0, , ,a e eλ λ λ λ λ λ λ λ= + = + = + =

vemos que conseguimos escrever a como uma [ ]1 2,e e

com 1 1aλ = e 2 2.aλ = Notar que foi tomado um vetor

genérico ( )1 2,a a a=

de 2R . Portanto podemos escrever

que [ ] 21 2, .e e = R A próxima questão a verificar é se o

conjunto 1 2,B e e=

é LI. Se for, B é base de 2R . Caso contrário, não, já que não seria satisfeita a primeira condição da definição de base. Comecemos por escrever

1 1 2 2o e eλ λ= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 20,0 1,0 0,1 ,0 0, , ,λ λ λ λ λ λ= + = + =

o que implica em 1 2 0,λ λ= = logo B é LI. Portanto

podemos concluir que, 1 2,B e e=

é base de 2R , já que B

80 EADFísica

é LI e [ ] 21 2, .e e = R

Exemplo 2: Seja o mesmo espaço e o mesmo vetor genérico do exemplo anterior. Só que agora vamos considerar

o conjunto 1 2 3 , , ,C f f f=

onde 1 (1,0),f =

2 (0, 1)f = −

e

3 (0, 2).f = −

Vamos escrever

1 1 2 2 3 3a f f fλ λ λ= + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, 1,0 0, 1 0, 2

,0 0, 0, 2 , 2 .

a a λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

= + − + − =

= + − + − = − −

Portanto 1 1a λ= e 2 2 3.2a λ λ= − − Vemos assim que

temos conseguido escrever o vetor a como uma combinação

linear dos vetores de C , só que existem infinitos valores de

2λ e 3λ que satisfazem 2 2 3,2a λ λ= − − enquanto, no exemplo

anterior, os valores dos λ ’s são únicos. Por exemplo, se

2 5a = , temos que 2 3λ = e 3 4λ = − são soluções, mas

também são soluções 2 1λ = − e 3 2.λ = − Isto é consequência

de que 1 2 3 , ,f f f

não é um conjunto de vetores LI, já que

olhando com cuidado podemos nos dar conta que 2 312

.f f=

Ante esta situação, ficamos com a sensação de que o conjunto

1 2 3, ,C f f f=

possui vetores “a mais”. Para gerar o vetor a

só é necessário o conjunto 1 2,f f

, ou o conjunto 1 3,f f

.

Por exemplo, se escrevemos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

, 1,0 0, 1

,0 0, , ,

a a f fλ λ λ λ

λ λ λ λ

= + = + − =

= + − = −



2U

nida

de


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

, 1,0 0, 1

,0 0, , ,

a a f fλ λ λ λ

λ λ λ λ

= + = + − =

= + − = −

vemos que 1 1aλ = e 2 2aλ = − .

Deixamos ao leitor interessado determinar os λ

’s que se obtêm ao escolher 1 3,f f

, como assim também

verificar a independência linear dos conjuntos 1 2,f f

e

1 3,f f

para poder afirmar, assim, que ambos os conjuntos

são bases de 2R . Portanto podemos ver que um dado espaço vetorial possui mais de uma base. Na realidade, possui infinitas. É importante salientar também que as

três bases achadas, 1 2 1 2, , ,e e f f

e 1 3,f f

possuem dois vetores cada. Por outro lado, se tentássemos propor

para base de 2R um conjunto de vetores formados por só um vetor, veríamos logo e facilmente que é insuficiente. Portanto, conjuntos de mais de 2 vetores não servem para

base de 2R já que possui vetores “a mais”, fato que fica em evidência porque um vetor desse conjunto poderá ser escrito como uma combinação linear dos outros. Já, se tomamos um conjunto com menos de dois vetores, será insuficiente. Este fato nos estimula a introduzir a próxima definição.

É importante salientar que quando falamos em base de um espaço vetorial, estamos também indicando a ordem dos vetores dentro do conjunto. Tanto é assim que, rigorosa-mente falando, deveríamos dizer base ordenada, e não somen-te base. Isso quer dizer que a base de 3R dada pelo conjun-to (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é diferente da base (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0), embora ambas possuam os mesmos vetores, desde que a ordem em que eles aparecem em cada conjunto seja tam-bém diferente. Embora, no decorrer do texto, utilizaremos só a palavra base, devemos ter presente que sempre estaremos falando de bases ordenadas.

atenção

82 EADFísica

2.1.5 Dimensão de um Espaço Vetorial

Dado um espaço vetorial , o número natural

n é dito dimensão do espaço vetorial , desde que n seja igual ao número de vetores que possui uma base

1 2 , , .nB = Φ Φ …Φ A notação usada é ( )dim n=. Baseados nesta definição, fica fácil perceber que

( )2dim 2=R , ( )3dim 3=R e, em geral ( )dim .n n=R

Exemplo 1: Seja n= R o conjunto de polinômios

com coeficientes reais cujo grau é menor ou igual a 1n −

( )( )gr 1P n≤ − . Ou seja, se ( ) nP t ∈R , então

( ) 1 0 1 2 11 2 3

1

2 11 2 3 ,

ni n

i ni

nn

P t t t t t t

t t t

α α α α α

α α α α

− −

=

−

= = + + +…+

= + + +…

=

+

∑

onde 1, 2, .i i nα ∈ ∀ = …R Definimos a soma de polinômios e o produto de um polinômio por um

escalar da maneira usual: ( )( ) ( ) ( )P Q t P t Q t+ = + é

( )( ) ( )P t P tλ λ= . Deixamos para o leitor interessado

mostrar que nR , munido dessas operações, é um espaço

vetorial. Vamos considerar o caso particular de 5n = e

2 3 41 2 3 4 5( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 1, , , , .B e t e t e t e t e t t t t t= = Seja ( )P t

( ) 2 3 41 2 3 4 5 .P t t t t tα α α α α= + + + +

Vamos igualar uma combinação linear dos polinômios de

B ao ( )P t ,



2U

nida

de


( )5

2 3 41 2 3 4 5

1i i

i

t t t t e tα α α α α λ=

+ + + + =∑

2 3 4 2 3 41 2 3 4 5 1 2 3 4 5 .t t t t t t t tα α α α α λ λ λ λ λ+ + + + = + + + +

Usando o fato de que dois polinômios na variável t são iguais, desde que sejam iguais os coeficientes das mesmas

potências de t , concluímos que , 1, 2,3, 4,5.i i iλ α= ∀ =

Sendo assim, vemos que 2 3 4 51, , , .,t t t t = R A independência linear é fácil de demonstrar. Escrevamos

( )O t (o polinômio nulo de 5R ) como uma combinação linear dos vetores de B ,

( )5

1

( ).i ii

O t e tλ=

=∑

Usando novamente a definição de igualdade entre polinômios, vemos que, para que essa igualdade seja

verdadeira para todo t , é necessário que 0, 1, 2,3, 4,5i iλ = ∀ =. Satisfeitas as duas condições que definem a base de um

espaço vetorial, vemos que 2 3 41, , , ,B t t t t= é base de 5R

. Mais ainda, ( )5dim 5=R . Em geral, é fácil ver que

( )dim .n n=R

Exemplo 2: Seja o mesmo espaço do exemplo anterior, e seja

( ) 42 7 2P t t t= − + +

é fácil ver que ele pode ser gerado a partir de uma

combinação linear dos vetores de ,B com 1 2λ = − , 2 7λ = ,

84 EADFísica

3 0λ = , 4 0λ = e 5 2.λ = Definamos agora o conjunto

1 2 3 4 5

2 2 3 2 4

( ), ( ), ( ), ( ), ( )

7,1 , 2 , 3 , .

C q t q t q t q t q t

t t t t t t

= =

= − + +

1 2 3 4 5

2 2 3 2 4

( ), ( ), ( ), ( ), ( )

7,1 , 2 , 3 , .

C q t q t q t q t q t

t t t t t t

= =

= − + +

Para mostrar que C é base, o leitor interessado

deve mostrar ( ) ( ) ( ) ( )51 2 3 4 5, , , , ( )q t q t q t q t q t = R e

que ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5, , , , ( )q t q t q t q t q t é um conjunto de vetores LI. Para isso, calculemos os coeficientes da

combinação linear de vetores de C que gera o polinômio

( ) 42 7 .2P t t t= − + + Assim, escrevemos

( )5 5

1

1 1

( )ii i i

i i

P t t q tα µ−

= =

= =∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 41 2 3 4 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

t t t t

q t q t q t q t q t

α α α α α

µ µ µ µ µ

+ + + + =

= + + + + ( ) ( ) ( )

( )

4 2 2 3 2 41 2 3 4 5

2 2 3 2 41 2 2 3 4 4 5 5

2 3 41 2 2 3 4 5 4 5

2 7 2 7 1 2 3

7 2 3

7 2 3 .

t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ µ µ µ


− + + = + − + + + + + =

= + − + + + + + =

= + − + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 41 2 3 4 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

t t t t

q t q t q t q t q t

α α α α α

µ µ µ µ µ

+ + + + =

= + + + +

( ) ( ) ( )

( )

4 2 2 3 2 41 2 3 4 5

2 2 3 2 41 2 2 3 4 4 5 5

2 3 41 2 2 3 4 5 4 5

2 7 2 7 1 2 3

7 2 3

7 2 3 .

t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t

µ µ µ µ µ



− + + = + − + + + + + =

= + − + + + + + =

= + − + + + + +

( ) ( ) ( )

( )

4 2 2 3 2 41 2 3 4 5

2 2 3 2 41 2 2 3 4 4 5 5

2 3 41 2 2 3 4 5 4 5

2 7 2 7 1 2 3

7 2 3

7 2 3 .

t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t

µ µ µ µ µ



− + + = + − + + + + + =

= + − + + + + + =

= + − + + + + +

Igualando os coeficientes das mesmas potencias de t , obtemos

1 2

2

3 4 5

4

5

7 27

2 23 0

2

µ µµ

µ µ µµµ

+ = − − = + + = =

=



2U

nida

de


Vemos logo que 2 7,µ = − 4 0µ = e 5 2.µ = Substituindo

2µ na primeira equação, obtemos 15

7µ = e, por último,

substituindo 4µ e 5µ , na terceira equação, obtemos

3 0µ = . Vemos que os coeficientes mudam segundo muda a base. Motivados por esse fato, vamos introduzir a definição a seguir.

2.1.6 Componentes de um Vetor

Dado um espaço vetorial de dimensão n e uma

base 1 2 , , ,nB = Φ Φ …Φ os coeficientes 1λ , 2λ ,... nλ são ditos componentes do vetor Ψ na base B , desde que

1

.n

i ii

λ=

Ψ = Φ∑

É muito comum associar a um vetor de ,

uma matriz coluna de ( )dim 1.×K Para estas matrizes em

particular, usaremos a notação ( )BΨ (mas não devemos esquecer que é uma matriz coluna como outra qualquer), formada pelas componentes do vetor numa dada base B tal que ( ) ( )1

.B B ii iλΨ = Ψ = Notar que temos omitido o

índice de coluna, que vale sempre 1, por se tratar de uma matriz coluna dada por

( )

1

2 .B

n

λλ

λ

Ψ =

Exemplo 1: Seja n= R ,

( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 41 2 3 4 5, , , , ( ) 1, , , , ,B e t e t e t e t e t t t t t= =

86 EADFísica

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 41 2 3 4 1, , , , ( ) 7,1 , 2 , 3 ,C q t q t q t q t q t t t t t t t= = − + +

e ( ) 42 7 .2P t t t= − + + Do exemplo anterior, vemos que

( )

1

2

3

4

5

27

( ) 002

BP t

λλλλλ

− = =

( )

1

2

3

4

5

577

( ) .002

CP t

µµµµµ

− = =

O problema de achar as componentes de

( ) 42 7 2P t t t= − + + na base 2 2 3 2 47,1 , 2 , 3 ,t t t t t t− + + poderia ter sido escrito como:

11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1a a a a a bµ µ µ µ µ+ + + + =

21 1 22 2 23 3 24 4 25 5 2a a a a a bµ µ µ µ µ+ + + + =

31 1 32 2 33 3 34 4 35 5 3a a a a a bµ µ µ µ µ+ + + + =

41 1 42 2 43 3 44 4 45 5 4a a a a a bµ µ µ µ µ+ + + + =

51 1 52 2 53 3 54 4 55 5 5.a a a a a bµ µ µ µ µ+ + + + =

Vemos assim que se trata de um sistema de 5 equações algébricas lineares com 5 incógnitas. Aplicando a definição de produto de matrizes, dito sistema pode se expressar na forma matricial A bµ = , ou ainda,

11 12 13 14 15 1 1

21 22 23 24 25 2 2

31 32 33 34 35 3 3

41 42 43 44 45 4 4

51 52 53 54 55 5 5

.

a a a a a ba a a a a ba a a a a ba a a a a ba a a a a b

µµµµµ

=

atenção



2U

nida

de


Substituindo pelos respectivos valores numéricos, obtemos

1

2

3

4

5

7 1 0 0 0 20 1 0 0 0 7

.0 0 2 1 1 20 0 3 0 0 00 0 0 0 1 2

µµµµµ

− − =

Em geral, um sistema de n equações algébricas lineares com n incógnitas pode se escrever da forma

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

.

n

n

n n nn n n

a a a ba a a b

a a a b

µµ

µ

=

Se a matriz coluna b é a matriz nula, ou seja

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

00

,

0

n

n

n n nn n

a a aa a a

a a a

µµ

µ

=

o sistema é dito homogêneo. Caso contrário, o sistema é dito não homogêneo. Pode se mostrar que

• Para que o sistema de n equações algébricas lineares com n incógnitas não homogêneo possua solução, ou seja, uma matriz coluna µ que verifique a relação matricial A bµ = , é necessário e suficiente que det( ) 0A ≠ .

• Nesse caso µ é única, isso que dizer que se existe outra matriz coluna ,ρ tal ,A bρ = então, necessariamente .ρ µ=

• No caso no qual o sistema é homogêneo ( 0),b = temos que, para o sistema possuir solução, também é necessário e suficiente que det( ) 0,A ≠ só que nesse caso a solução não será única. Em geral, existirão infinitas matrizes colunas µ que verifiquem que

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

00

.

0

n

n

n n nn n

a a aa a a

a a a

µµ

µ

=

Esta última situação é muito importante e será abordada futuramente quando estudarmos o problema de autovalores e auto-vetores de uma transformação linear. Voltando ao nosso problema

88 EADFísica

1

2

3

4

5

7 1 0 0 0 20 1 0 0 0 7

,0 0 2 1 1 20 0 3 0 0 00 0 0 0 1 2

µµµµµ

− − =

vamos verificar que o determinante da matriz

7 1 0 0 00 1 0 0 00 0 2 1 10 0 3 0 00 0 0 0 1

A

− =

é não nulo. Usufruindo do fato de que o determinante de uma matriz independe da linha, ou da coluna pela qual ele é desenvolvido, vemos que o mais conveniente é desenvolver o det( )A pela segunda linha, já que possui só um elemento não nulo, 22 1a = − (também poderíamos escolher a quinta linha ou quarta coluna):

( ) ( ) ( )

( )

( )

52 ( , ,2)

221

2 2 ( ,2,2)22

det 1 det

7 1 0 0 00 1 0 0 0

det det 0 0 2 1 10 0 3 0 00 0 0 0 1

7 0 0 00 2 1 1

( 1) det 1 det .0 3 0 00 0 0 1

k A kkC

k

A

A a S

A

a S

+

=

+

= − =

− = = =

= × − = − ×

∑

Desenvolvendo ( )( ,2,2)det AS pela primeira linha temos

( ) ( )1 1 ( ,2,2)

11

2 1 1 2 1 1det 1 ( 1) det 3 0 0 7 det 3 0 0 .

0 0 1 0 0 1

AA S+

= − × − = − ×



2U

nida

de


Por último, calculando

2 1 1det 3 0 0

0 0 1

pela terceira linha, obtemos

( )

( )

3 3 2 1det 7 ( 1) 1 det

3 0

7 2 0 1 3 21 0.

A + = − × − × × =

= − × × − × = ≠

É importante lembrar que este boxe ATENÇÃO foi introduzido para salientar que o problema de achar as componentes de um vetor de um espaço vetorial numa dada base de dito espaço fica reduzido ao problema de achar a solução de um sistema de equações algébricas lineares de n equações com n incógnitas, onde ( )dim .n = Cabe-nos perguntar: qual é a garantia que temos de que ( )det 0?A ≠ Pode-se mostrar que essa garantia reside no fato de que o conjunto B é base de .

3 ESPAÇOS DE HILBERT (PRODUTO INTERNO)

O primeiro dos postulados da Mecânica Quântica diz que o estado de um sistema quântico está caracterizado por um vetor de um espaço de Hilbert, tal que desse vetor é possível tirar toda a informação sobre o sistema. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial sobre o qual definiremos mais uma operação, além das já definidas para espaço vetorial, chamada produto interno. Além do mais, este espaço tem a peculiaridade de, frequentemente, possuir infinitas dimensões. O produto interno, que não é outra coisa que uma generalização do produto escalar do espaço físico ordinário, nos permitirá reelaborar e generalizar o conceito de distância entre dois pontos, módulo de um vetor e ângulo entre dois vetores.

90 EADFísica


3.1.1 Espaço Vetorial com Produto Interno

ou Espaço de Hilbert

Um espaço vetorial , em geral complexo, de elementos que, por enquanto denotaremos por Ψ , Φ , Θ , etc., é dito com produto interno ou escalar, desde que possa ser definida uma aplicação | : × → (que denotaremos |Ψ Φ∈ ) tal que, , , ∀Ψ Φ Θ∈ e λ∀ ∈, sejam satisfeitas as seguintes propriedades:

• P9: | 0, | 0Ψ Ψ ≥ Ψ Ψ = ⇔ Ψ = Ο

• P10: | |λ λΨ Φ = Ψ Φ

• P11: | | |Ψ +Φ Θ = Ψ Θ+Φ Θ

• P12: | |Ψ Φ = Φ Ψ

Notar que, segundo a propriedade P9, o produto escalar de um vetor com ele mesmo é necessariamente real (embora o espaço seja complexo!) e, ainda, maior ou igual a zero. Também é interessante salientar que se o espaço vetorial é real ( )=K R , P10 e P12 ficam | |λ λΨ Φ = Ψ Φ e | | ,Ψ Φ = Φ Ψ respectivamente. Em particular, olhando para P12, vemos que, no caso de se tratar de um espaço vetorial real, o produto interno é comutativo.

Exemplo 1: Seja 3= R e =K R , e seja o produto escalar usual do espaço físico ordinário (que denotaremos simplesmente ab

), definido por

( )( )3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 31

, , , , ,i ii

ab a a a b b b a b a b a b a b=

= = = + +∑

onde 3,a b ∈

R , 1a , 2a e 3a são as componentes segundo os eixos x , y e z do vetor a , e 1b , 2b e 3b são as componentes segundo os eixos x , y e z do vetor b

, respectivamente.

Repare com cuidado que, quando falamos em “es-paços vetoriais”, estamos deixando claro que as propriedades P1 até P8 já são satisfeitas. Aqui só estamos adicionando as propriedades P9 até P12, que definem o produto interno.

atenção



2U

nida

de


Por exemplo, seja ( 1,0, 4)a = − e (1,1, 2)b = −

, então

( ) ( )1 1 0 1 4 2 1 0 8 9ab = − × + × + × − = − + − = −

. É fácil ver que, λ∀ ∈R e 3, ,a b c∀ ∈

R se satisfaz e que

• P9: 0, 0 (0,0,0)aa aa a o≥ = ⇔ = =

• P10: ( ) ( )a b abλ λ=

• P11: ( )a b c ac bc+ = +

• P12 ab ba=

Facilmente podemos mostrar, como exemplo, a propriedade P11:

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 2 3

3 3 3 3

1 1 1 1

, , , ,

.i i i i i i i i i i ii i i i

a b c a b a b a b c c c

a b c a c b c a c b c ac bc= = = =

+ = + + + =

= + = + = + = +Σ Σ Σ Σ

Desse modo, demonstramos que ( ) .a b c ac bc+ = +

A generalização para o espaço nR é imediata, no sentido de que também se trata de um espaço vetorial com produto interno. É só definir a soma de vetores de nR como

( ) ,i iia b a b+ = +

o produto por um escalar por um vetor

como ( ) iia aλ λ=

e o produto escalar como 1

,n

i ii

ab a b=

=∑

1, 2, i n∀ = … , , na b∀ ∈

R e λ∀ ∈R .

Exemplo 2: Seja n= o conjunto análogo a nR só que complexo, isto é, que ( )1 2, , ,n

nα α α α α∈ ⇔ = … com , 1, 2, .i i nα ∈ ∀ = … Na Tabela 2, definimos as operações e

elencamos as propriedades que elas devem satisfazer para poder afirmar que n , munido dessas operações, é um espaço vetorial com produto interno.

92 EADFísica

Tabela 2. Propriedades de um espaço vetorial com produto interno.

OPERAÇÃO DEFINIÇÃO PROPRIEDADES

SOMA

: n n n+ × →

, nα β ∈

nα β+ ∈

( ) , i iiα β α β+ ≡ +

1,2,i n∀ = …

P1: ( ) ( )α β γ α β γ+ + = + +P2: nο∃ ∈ tal que ο α α ο α+ = + =

P3: nα∃− ∈ tal que ( )α α α α ο+ − = − + =

P4: α β β α+ = +

PRODUTO POR UM ESCALAR

• : n n× →

λ∈

nα ∈

• nλ α ∈

( ) ( )• ,ii iλ α λα λα= ≡

1,2,i n∀ = …

P5: ( )λ α β λα λβ+ = +

P6: ( )λ µ α λα µα+ = +

P7: ( ) ( )λ µα λµ α=

P8: 1α α=

PRODUTO INTERNO

: n n× →

, nα β ∈

|α β ∈

1

|n

i ii

α β α β=

≡∑ P9: 0, 0α α α α α ο≥ = ⇔ =

P10: λα β λ α β=

P11: α β γ α γ β γ+ = +

P12: α β β α=

Vamos ver com um exemplo como “funciona” este produto escalar. Seja 4n = , sejam ( ,1, 2 ,0)i iα = − e ( ,1, 1, 3 ),i iβ = − − − portanto

( )( )| ,1, 2 ,0 ,1, 1, 3i i i iα β = − − − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0 3i i i i= × − + × + − × − + × − =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0 3 1 1 2 2 2 2i i i i i i= − × − + × + + × − + × − = − + − − = − −



2U

nida

de


Continuando, vamos demonstrar a propriedade P10 do produto interno. Começamos a demonstração escrevendo, em forma explícita o produto ( )λα β que, segundo a definição de produto interno e de produto de um vetor por um escalar, fica

( ) ( )

( )

1 2 1 2

1 1

| , , , | , ,

,

n n

n n

i i i ii i

λα β λα λα λα β β β

λα β λ α β= =

= … … =

= =∑ ∑

sendo que λ não depende do índice da somatória, pode ser colocado em evidência, obtendo desse modo

1

| |n

i ii

λα β λ α β λ α β=

= =

∑

como queríamos demonstrar.

Exemplo 3: Seja 1,n×= e sejam a soma de matrizes e produto de um escalar usual por uma matriz, as operações entre matrizes definidas previamente. Vamos definir um produto interno nesse espaço, e enunciar as suas propriedades, elencadas na Tabela 3, sendo válidas

1, , nA B C ×∀ ∈ e λ∀ ∈.

Tabela 3. Propriedades do espaço vetorial 1n× com produto interno.

OPERAÇÃO DEFINIÇÃO PROPRIEDADES

PRODUTO INTERNO

1 1• : n n× ×× →

1, nA B ×∈

|A B∈

†|A B A B≡ P9: 1| 0, | 0 nA A A A A O ×≥ = ⇔ =

P10: | |A B A Bλ λ=

P11: | | |A B C A C B C+ = +

P12: | |A B B A=

94 EADFísica

Vamos analisar primeiro se essa definição faz sentido, já que envolve o produto usual de matrizes, e nem sempre duas matrizes são multiplicáveis. Se 1,, nA B ×∈ † 1 ,nA ×∈ então † 1 1|A B A B ×≡ ∈ = , como corresponde, portanto, a definição faz sentido. Vejamos como funciona com um exemplo. Seja 3n = e seja

11

21

31

31 4

a iA a

a i

= = − +

e

11

21

31

1,

3

bB b i

b i

= = − − +

portanto, usando a definição de matriz transposta conjugada

( )( )† † ,ij jiijA a a= ≡ e a definição de produto de matrizes

( ) ( )11 11

† † † †11 12 13 21 11 21 31 21

31 31

| b b

A B A B a a a b a a a bb b

≡ = = =

( ) ( ) ( ) ( )11 11 21 21 31 31 1 3 1 4 3a b a b a b i i i i= + + = − × + − × − + − × − + =

3 3 12 4 1 9 .i i i i i= − − − + + + = +

3.1.2 Norma de um Vetor

Dado um espaço vetorial com produto interno, a

norma de um vetor se define como uma aplicação : +→ R

tal que ∀Ψ∈. A norma de Ψ é dada por

| ,Ψ ≡ + Ψ Ψ

onde o sinal + foi colocado explicitamente para deixar em



2U

nida

de


evidência que a raiz positiva deve ser tomada (daqui para frente, ele será omitido). Na verdade, no Apêndice A, pode-mos ver que para definir a norma de um vetor não é neces-sário que o espaço possua produto interno. A norma deve satisfazer a seguinte definição axiomática:

• N1: 0Ψ = ⇔ Ψ = Ο

• N2: λ λΨ = Ψ

• N3: ,Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ

válidas ,∀Ψ Φ∈ e .λ∀ ∈K O axioma (ou propriedade) N3 é conhecido com o nome de desigualdade triangular. Ve-mos facilmente que a definição faz sentido porque | 0Ψ Ψ ≥ e podemos afirmar, desse modo, que .| +Ψ Ψ ∈R Além do mais, como | 0Ψ Ψ = ⇔ Ψ = Ο a propriedade N1 se satisfaz trivialmente. Vejamos o que acontece com N2. Usando a definição acima, temos que

2

| | |

| | .

λ λ λ λλ λλ

λ λ λ

Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ =

= Ψ Ψ = Ψ Ψ = Ψ

Portanto chegamos assim ao resultado desejado. Em relação à desigualdade triangular, a demonstração é um pouco mais laboriosa. Antes de começar com ela, vamos lembrar algumas propriedades dos números complexos. Elas são:

• C1: 2Z ZZ=

• C2: ( )Re Z Z≤

• C3: ( )Im Z Z≤

• C4: ( )Z Z 2 Re Z+ =

96 EADFísica

• C5: ( ) 2 ImZ Z i Z− =

• C6: ( )ZY Z Y=

válidas para todo Z,Y∈ . Agora vamos dar início a demonstração da desigualdade triangular. Vamos partir de

( )

2

2 2 2 2

|

| | | |

| | 2 Re | ,

Ψ +Φ = Ψ +Φ Ψ +Φ =

= Ψ Ψ + Ψ Φ + Φ Ψ ΦΨ + Φ Φ =

= Ψ + Φ + Ψ Φ + Ψ Φ = Ψ + Φ + Ψ Φ

onde temos usado a propriedade C4. Logo, pela propriedade C2, podemos escrever

2 2 2 2 | .Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ + Ψ Φ

Nestas circunstâncias fica claro que, se conseguimos demonstrar que | ,Ψ Φ ≤ Ψ Φ o nosso problema está resolvido porque conseguiríamos escrever o segundo membro da desigualdade acima como

( )2.Ψ + Φ A

desigualdade que devemos demonstrar é conhecida como desigualdade de Schwarz. Para sua demonstração, vamos partir de que se Ω∈ , então 0 | .≤ Ω Ω . Supondo ,Φ ≠ Ο definamos

,ξΩ ≡ Ψ − Φ

onde ξ ∈ , é dado por

|.

|ξ

Ψ Φ≡

Φ Φ

Logo



2U

nida

de


( )( )

( )

( )

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0 | | | | | |

| | |

| |

| |

2Re | .

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ

≤ Ω Ω = Ψ − Φ Ψ − Φ = Ψ Ψ + Ψ − Φ + − Φ Ψ + − Φ − Φ =

= Ψ − Ψ Φ − Φ Ψ + − − Φ Φ =

= Ψ − Ψ Φ − Ψ Φ + Φ =

= Ψ + Φ − Ψ Φ − Ψ Φ =

= Ψ + Φ − Ψ Φ

Notar que para a cadeia de igualdades acima só temos usado, além de algumas propriedades de números complexos, as propriedades P9, P10, P11 e P12 do produto interno. Portanto chegamos a

( )2 2 2 0 2Re | .ξ ξ≤ Ψ + Φ − Ψ Φ

Substituindo ξ pela a sua definição,

22 2| |

0 2Re || |

Ψ Φ Ψ Φ≤ Ψ + Φ − Ψ Φ = Φ Φ Φ Φ

2 22 2| |

2Re| |

Ψ Φ Ψ Φ = Ψ + Φ − Φ Φ Φ Φ

222 2

2

| 1 2 ||

Ψ Φ≤ Ψ + Φ − Ψ Φ =

Φ Φ Φ

2 222 2

1 1 | 2 | .

= Ψ + Ψ Φ − Ψ ΦΦ Φ

Temos assim que

2 222 2

1 10 | 2 | .

≤ Ψ + Ψ Φ − Ψ ΦΦ Φ

98 EADFísica

Multiplicando ambos membros por 2 Φ (que sempre

é maior que zero porque ),Φ ≠ Ο obtemos finalmente que

2 2 22 2 2 20 | 2 | |≤ Ψ Φ + Ψ Φ − Ψ Φ = Ψ Φ − Ψ Φ

22 2 |Ψ Φ ≥ Ψ Φ

| ,Ψ Φ ≥ Ψ Φ

como queríamos demonstrar. Falta esclarecer o que acontece

quando .Φ = Ο É fácil ver que, nesse caso, vale a igualdade

0 0= . Agora que temos demonstrado a desigualdade de Schwarz, voltamos para a demonstração da desigualdade triangular, no ponto na qual a deixamos:

2 2 2 2 | .Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ + Ψ Φ

Logo vemos que, usando a desigualdade de Schwartz,

( )22 2 2 2 .Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ + Ψ Φ = Ψ + Φ

( )22 Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ

Tomando a raiz quadrada em ambos os membros da desigualdade, chegamos, assim, ao resultado desejado

.Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ

Portanto, a nossa definição de norma dada, a partir do produto interno, satisfaz as três propriedades que devem satisfazer à norma. Notar que nesse processo demonstramos a desigualdade triangular e a desigualdade de Schwartz, sendo que, para demonstrar a primeira, foi usada a segunda. Como ambas relações são muito importantes, vamos colocá-las em destaque:



2U

nida

de


DESIGUALDADE TRIANGULAR: Ψ +Φ ≤ Ψ + Φ

DESIGUALDADE DE SCHWARTZ: | .Ψ Φ ≤ Ψ Φ

Seguidamente, vamos calcular a norma de alguns vetores.

Exemplo 1: Seja 3a∈ dado por ( 1,3,5).a = − Neste

caso, vimos que a norma coincide com o módulo, portanto

( )2 2 2

( 1,3,5)( 1,3,5)

1 3 5 1 9 25 35,

a a aa= = = − − =

= − + + = + + =

e

( 1,3,5) 35.− =

Exemplo 2: Seja 4 1A ×∈ dada por

2

.1

1

ii

A

i

− + =

+

Segundo a definição de produto interno introduzida nesse espaço, temos que

100 EADFísica

( )

( ) ( ) ( ) ( )

†

2

| 2 1 11

1

2 2 1 1 1 (1 )

5 1 1 2 3.

ii

A A A A A i i i

i

i i i i i i

− + = = = − − − − =

+

= − − × − + + − × + × + − × + =

= + + + =

Vemos assim que

2

3.1

1

ii

i

− + =

+

Olhando para a definição de norma no espaço físico ordinário, dada pelo módulo do vetor, é fácil interpretar a norma como uma generalização da noção do “comprimento” de um vetor.

3.1.3 Distância em um espaço vetorial com

produto interno

Dado um espaço vetorial com produto interno, a distância entre dois vetores se define como uma aplicação

: d +× → R tal que ,∀Ψ Φ∈ a distância entre Ψ e Φ é dada por:

( ) , .d Ψ Φ ≡ Ψ −Φ

Na verdade, no Apêndice A, podemos ver que para definir a distância entre dois vetores não é necessário que o espaço possua produto interno. A distância deve satisfazer a



2U

nida

de


seguinte definição axiomática:

• D1: ( ) , 0d Ψ Φ = ⇔ Ψ =Φ• D2: ( ) ( ), ,d dΨ Φ = Φ Ψ• D3: ( ) ( ) ( ), , , ,d d dΨ Φ ≤ Ψ Ω + Ω Ψ

válidas , , .∀Ψ Φ Ω∈

Usando os axiomas (ou propriedades) que determinam a norma, é fácil ver que a distância definida acima satisfaz D1, D2 e D3. D2 é conhecida como propriedade de simetria; e D3 é conhecida, também, como desigualdade triangular.

Exemplo 1: Seja .n= Seja 4n = , sejam ( ,1, 2 ,0)i iα = − e ( ,1, 1, 3 ).i iβ = − − − Segundo a definição de

produto escalar nesse espaço,

( ), |d α β α β α β α β= − = − − =

( ) ( ) ( ) ( ),1, 2 ,0 ,1, 1, 3 | ,1, 2 ,0 ,1, 1, 3i i i i i i i i= − − − − − − − − − − =

( ) ( ) ( ) ( )2 ,0,3 ,3 | 2 ,0,3 ,3 2 2 0 0 3 3i i i i i i i i i i= − − = − × + × + + × − =

4 0 9 3 3 1 14.i i= + + − + + =

Logo

( ) ( ) ( )( ), ,1, 2 ,0 , ,1, 1, 3 14.d d i i i iα β = − − − − =

3.1.4 Ângulo

Dado um espaço vetorial com produto interno, θ é dito o ângulo entre dois vetores não nulos ,Ψ Φ∈ , se o seu coseno é dado por

102 EADFísica

( )Re |cos .θ

Ψ Φ≡

Ψ Φ

Para ter certeza de que essa definição faz sentido, de-

vemos verificar que o módulo do segundo membro seja me-nor ou igual à unidade, já que cos 1θ ≤ , θ∀ ∈R. Para fazer essa verificação, vamos partir da desigualdade de Schwartz:

|Ψ Φ ≤ Ψ Φ

|

1.Ψ Φ

≤Ψ Φ

Usando a propriedade C2, obtemos finalmente que

( )Re |1,

Ψ Φ≤

Ψ Φ

como queríamos verificar. Sendo assim, a nossa definição de ângulo é satisfatória.

Outra questão que vamos testar é o acordo com a ideia de ângulo no espaço físico ordinário. Sabemos que, se

3,a b ∈

R , ab ∈

R , portanto, essa definição toma a forma

( )Recos ,

ab aba b a b

θ = =

que por sua vez pode ser escrita como cosab a b θ=

, como deve ser.

Exemplo 1: Seja n= . Seja 4n = , sejam ( ,1, 2 ,0)i iα = − e ( ,1, 1, 3 )i iβ = − − − . Tratando-se desse



2U

nida

de


espaço, e segundo a definição de ângulo, devemos escrever:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

Re ,1,2 ,0 | ,1, 1, 3Re |cos

,1,2 ,0 ,1, 1, 3

i i i i

i i i iα β

θα β

− − − −= = =

− − − −

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Re 1 1 2 1 0 3

1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 3 3

i i i i

i i i i i i i i

− × − + × + + × − + × −=

− × + × + + × − + × × − + × + − × − + × −

( ) ( )Re 1 1 2 Re 2 2 1 .1 1 4 1 1 1 9 6 12 2 6 3 3 2

i i− + − − − − − −= = = =

+ + + + +

Vemos assim que

1 cos .3 2

θ −=

3.1.5 Vetores Ortogonais

Dado um espaço vetorial com produto interno, dois vetores ,Ψ Φ∈ são ditos ortogonais ou perpendiculares desde que | 0Ψ Φ = Para dizer que Ψ é perpendicular a Φ vamos usar a notação usual .Ψ ⊥Φ Esta definição também está de acordo com o nossa ideia de vetores perpendiculares que conhecemos do espaço físico ordinário, já que se | 0Ψ Φ = então, o coseno do ângulo entre eles é nulo e o ângulo vale 2

π radianos. O conceito de ortogonalidade é muito importante na aplicação da Álgebra Linear, na Mecânica Quântica e em outras áreas da Física. A ortogonalidade verifica as seguintes propriedades

• O1: , Ο ⊥ Ψ ∀Ψ∈• O2: Ψ ⊥Φ⇔Φ ⊥ Ψ• O3: Ψ ⊥Φ∀Ψ∈ ⇔Φ = Ο

104 EADFísica

• O4: Se Ψ ⊥Φ e Ψ ⊥Ω⇒Φ ⊥Ω • O5: Se ,λΨ ⊥ Φ⇒ Ψ ⊥Φ

válidas , ,∀Ψ Φ Ω∈ e λ∈K. Olhando para as propriedades acima, vemos que estão de acordo com o conceito de ortogonalidade que conhecemos do espaço físico ordinário.

Exemplo 1: Sejam 3,a b ∈

R dados por ( )3, 1,2a = −

e ( )4,2, 5b = −

. Vamos calcular ab

:

( )( )

( )

3, 1,2 4,2, 5

3 4 1 2 2 5

12 2 10 0,

ab = − − =

= × − × + × − =

= − − =

portanto, podemos afirmar que .a b⊥

3.1.6 Bases Ortogonais e Ortonormais

Dado um espaço vetorial com produto interno e uma base 1 2 , , ,nB = Φ Φ …Φ ela é dita ortogonal, se os seus elementos satisfazem

| .i j i j ijδΦ Φ = Φ Φ

Já, se eles satisfazem a relação

| ,i j ijδΦ Φ =

a base é dita ortonormal. As duas relações são válidas 1, 2, i n∀ = … e 1, 2, .j n∀ = … No caso de se tratar de

uma base ortonormal genérica, vamos usar a notação



2U

nida

de


1 2, .nB ξ ξ ξ= … Desse modo, temos que

| .i j ijξ ξ δ=

Exemplo 1: Seja 3= R e seja

( ) ( ) ( ) 1 2 3' , , 2,0,0 , 0,5,0 , 0,0,4 .B b b b= = −

Supondo que

já sabemos que é base (deixamos ao leitor interessado a

demonstração), vamos ver que ela é ortogonal.

( )( ) ( )2

1 1 1 2,0,0 2,0,0 2 2 0 0 0 0 4b b b= = − − = − × − + × + × =

( )( )2

2 2 2 0,5,0 0,5,0 0 0 5 5 0 0 25b b b= = = × + × + × =

( )( )2

3 3 3 0,0, 4 0,0,4 0 0 0 0 4 4 16b b b= = = × + × + × =

( )( )1 2 2 1 2,0,0 0,5,0 2 0 0 5 0 0 0b b b b= = − = − × + × + × =

( )( )1 3 3 1 2,0,0 0,0,4 2 0 0 0 0 4 0b b b b= = − = − × + × + × =

( )( )2 3 3 2 0,5,0 0,0,4 0 0 5 0 0 4 0.b b b b= = = × + × + × =

Portanto temos que a condição genérica

| i j i j ijδΦ Φ = Φ Φ é satisfeita sob a forma .i j i j ijb b b b δ=

Reparando que, os vetores 1b

, 2b

e 3b

só possuem componente

não nula no eixo x, y e z, respectivamente, vemos que cada vetor está contido em um eixo que é perpendicular aos outros dois. Em geral, num espaço vetorial com produto interno de dimensão n , cada vetor que pertence a uma base ortogonal determina cada uma das direções de um conjunto

106 EADFísica

de n “direções perpendiculares” nesse espaço. Vejamos o que acontece dividindo cada vetor pela sua norma. Nesse caso, temos que definir os vetores

1

11

( 2,0,0) ( 1,0,0)2

bcb

−= = = −

22

2

(0,5,0) (0,1,0)5

bcb

= = =

( )33

3

(0,0, 4) 0,0,1 .4

bcb

= = =

É fácil ver que, i j ijc c δ= . A terna de vetores unitários (1,0,0),i = (0,1,0)j = e (0,0,1)k = formam a chamada base canônica de 3,R que aqui denotamos por

1e , 2e e 3,e respectivamente. Eles satisfazem .i j ije e δ= Para formar uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal, é só dividir cada vetor pela sua norma. Assim, seja a base '

1 2 , , ,nB = Φ Φ …Φ então a base

1 21 2

1 2

, , ,

nn

n

B ξ ξ ξ ΦΦ Φ = … = … Φ Φ Φ

é ortonormal. Exemplo 2: Neste segundo exemplo, vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras. No ensino médio, o teorema de Pitágoras é enunciado da seguinte maneira: “A soma dos quadrados dos catetos de todo e qualquer triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa”. Aqui, o enunciaremos do seguinte modo: Seja 1 2, nB ξ ξ ξ= … uma base ortonormal de um espaço vetorial com produto interno, 𝕍. Seja Ψ∈ 𝕍, dado por uma combinação linear



2U

nida

de


1

,n

i ii

cξ=

Ψ =∑

com , 1, 2, ,ic i n∈ ∀ = … sendo as componentes do vetor Ψ nessa base, então:

2 2

1

.n

ii

c=

Ψ =∑

Parece muito diferente? Pode ser, mas no fundo, não é. Na verdade, é a mesma coisa. Vamos começar com a demonstração. Para isso, é só calcular o quadrado da norma de Ψ e usar as propriedades do produto interno:

2

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1

| | |

|

n n n n

i i j j i i j ji j i j

n n n n n n

i j i j i j ij i i ii j i j i i

c c c c

c c c c c c c

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ δ

= = = =

= = = = = =

Ψ = Ψ Ψ = = =

= = = =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

como queríamos demonstrar. Para ver o que isso tem a ver com aquele conhecido enunciado que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, consideremos um vetor de 2R dado por ( )1 2, .a a a=

Sabemos que ele pode ser escrito como

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 2 2 1 21

1 2 1 2 1 2

1,0 0,1

,0 0, 0,0 ,

i ii

a a e a e a e a a

a a a a a a

=

= = + = + =

= + = + + =

∑

onde 1 (1,0)e =

e 2 (0,1)e =

formam a base canônica de 2R , e 1a e 2a são as componentes do vetor a nessa base.

Portanto, e segundo o resultado anterior, 2 2 21 2 .a aa a a= = +

Seguidamente, podemos pensar os vetores ( )1,0a e ( )20,a

108 EADFísica

como os catetos de um triângulo que tem um vértice na origem de coordenadas, o segundo vértice sobre o eixo x, no ponto ( )1,0 ,a e o terceiro vértice sobre o eixo ,y no ponto ( )20, .a Um cateto estará formado pelo segmento sobre o eixo x ( )( )10,0 ,0a e possui comprimento a1, já o outro cateto estará alocado sobre o eixo y e será o segmento ( )( )20,0 0, ,a cujo comprimento é 2a . Por último, a hipotenusa será o segmento ( )( )1 2,0 0,a a cujo comprimento é 2 2

1 2 ,a a+ segundo o enunciado do teorema de Pitágoras aprendido no ensino médio, coincidindo com o resultado achado acima. Portanto os conceitos aprendidos sobre espaços vetoriais e produto interno permitiram enunciar e demonstrar o teorema de Pitágoras de forma mais geral e elegante.

3.1.7 Subespaços Vetoriais

Dado um espaço vetorial 𝕍, um conjunto ⊂ é dito subespaço vetorial do espaço vetorial 𝕍, desde que

• Se O é o vetor nulo de 𝕍, então ,O∈

• Se λ∈K e , α β ∈ , então α λβ+ ∈.

É fácil ver que todo espaço vetorial possui dois subespaços vetoriais que são conhecidos pelo nome de subespaços vetoriais triviais. Eles são O= e = . Ou seja, que o vetor nulo sozinho forma um subespaço vetorial. Por outro lado, o próprio espaço vetorial 𝕍 é um subespaço vetorial dele mesmo.

Exemplo 1: Seja 4 4×= e seja o conjunto de todas as matrizes cujos elementos da diagonal principal são nulos. Em notação matemática isso é escrito assim:

4 4 / 0, 1, 2,3, 4 ,iiA a i×= ∈ = ∀ = onde o símbolo “/” deve ser lido como “tal que”. Para ver que é um subespaço



2U

nida

de


vetorial de 4 4 ,× a primeira coisa a ser verificada é que a matriz nula de 4 4× pertence a . É, pertence, sim. A matriz nula tem todos os seus elementos nulos, em particular aqueles da diagonal principal. Para verificar a segunda condição, tomemos duas matrizes A e B pertencentes a , e um número complexo λ qualquer, e vejamos se a matriz A Bλ+ ∈:

12 13 14 12 13 14

21 23 24 21 23 24

31 32 34 31 32 34

41 42 43 41 42 43

0 00 0

0 00 0

a a a b b ba a a b b b

A Ba a a b b ba a a b b b

λ λ

+ = + =

12 12 13 13 14 14

21 21 23 24 24

31 31 32 32 34 34

41 41 42 42 43 43

00

.0

0

a b a b a ba b b a ba b a b a ba b a b a b

λ λ λλ λ λλ λ λλ λ λ

+ + + + + = + + +

+ + +

Vemos assim que, a matriz A Bλ+ possui os elementos da diagonal principal nulos, portanto pertence a . Satisfeitas a duas condições, podemos concluir que é um espaço vetorial de 4 4.×

4 TRANSfORMAÇÕES LINEARES

A dependência linear entre variáveis é a dependência mais simples que podemos encontrar. Consideremos o caso do movimento retilíneo uniforme (MRU) em uma dimensão que pode ser definida dizendo que, dado um sistema de referência, uma partícula está em movimento

110 EADFísica

retilíneo uniforme (nesse sistema de referência) desde que percorra espaços iguais em tempos iguais. Ou seja, se uma partícula demora um tempo 2 1,t t t∆ = − em se deslocar da posição determinada pela abscissa 1x até a posição determinada pela abscissa 2x , e, por outro lado, demora um tempo '

4 3 ,t t t∆ = − para se deslocar da posição determinada pela abscissa 3x até a posição determinada pela abscissa 4x , é dito que essa partícula está em MRU. Desde que se ' ,t t∆ = ∆ então necessariamente tem que valer que 2 1 4 3.x x x x− = − Dito de outra maneira,

4 3 2 1

4 3 2 1

constante.x x x xt t t t− −

= =− −

Como é bem sabido por todos, essa constante recebe o nome de velocidade do MRU, geralmente denotada por v. Ou seja, podemos escrever que

0

0

,x x vt t−

=−

onde 0t é o instante inicial, 0x é a posição inicial (isto é, a posição da partícula no instante inicial), e x é a posição da partícula no instante genérico t . Resolvendo para x , obtemos a famosa lei horária do MRU dada por

( ) ( )0 0 ,x t x v t t= + −

onde escrevemos explicitamente ( )x t para deixar clara a dependência funcional da variável dependente x com a variável independente t . É fácil ver que a expressão acima é equivalente a ( ) ,Y X mX b= + onde Y assume o rol de x , e X assume o rol de t . Por outro lado, o coeficiente angular m não é outra coisa que a velocidade v e a ordenada na origem b é dada por 0 0.b x vt= − No caso particular no qual o instante inicial é tomado como sendo 0 0t = , a lei horária do MRU fica ( ) 0 .x t x vt= + Já a lei horária do movimento



2U

nida

de


retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) não possui a propriedade de que espaços iguais são percorridos em tempos iguais. Lembremos que esse movimento satisfaz (considerando o instante inicial 0 0t = , para simplificar as relações)

( ) 20 0

12

x t x v t at= + +

e

( ) 0 ,v t v at= +

onde 0x e 0v são a posição e velocidades iniciais, respectivamente, a é uma constante chamada aceleração, e ( )x t e ( )v t são a posição e a velocidade no instante t. Consideremos, como exemplo, um MRUA no qual a aceleração vale 22 ,ma

s= a velocidade inicial vale 0 4 mv

s=

e a posição inicial vale 0 7 .x m= Vamos calcular o espaço percorrido no intervalo de tempo que vai desde 1 1t s= até

2 2 :t s=

( ) ( ) ( )21 1 2

11 7 4 1 2 12

7 4 1 12

m mx x t x s m s ss s

m m m m

= = = + × + ×

= + + =

=

( ) ( ) ( )22 2 2

12 7 4 2 2 22

7 8 4 19 .


m m m m

= = = + × + ×

= + + =

=

Vemos que a distância percorrida nesse intervalo de tempo 2 1 2 1 1t t t s s s∆ = − = − = é dada por

2 1 19 12 7 .x x x m m m∆ = − = − = Determinemos agora o espaço percorrido no intervalo de tempo que vai desde

3 4t s= até 4 5 :t s=

112 EADFísica

( ) ( ) ( )2

3 3 2

14 7 4 4 2 42

7 16 16 39 ,


m m m m

= = = + × + ×

= + + =

=

( ) ( ) ( )24 4 2

15 7 4 5 2 52

7 20 25 52 .


m m m m

= = = + × + × =

= + + =

Logo, a distância percorrida nesse intervalo de tempo '

4 3 5 4 1t t t s s s∆ = − = − = é '

4 3 52 39 13 7 .x x x m m m x m∆ = − = − = ≠ ∆ = Notamos assim que no caso do MRUA 'x x∆ ≠ ∆ apesar de que ' 1 .t t s∆ = ∆ = Isso acontece pelo fato de que o MRUA está descrito por uma lei horária para a posição ( )x t que não é linear no tempo, mas sim quadrática. Na verdade, o conceito de linearidade é de grande importância em Matemática e em Física, e vai muito além da equação de uma reta em Geometria, ou do MRU em Cinemática. Analisemos, pois, um pouco mais o conceito de linearidade.


4.1.1 Transformação Linear

Dados dois espaços vetoriais 𝕍 e 𝕎, dizemos que uma aplicação :L → é uma transformação linear desde que , α β∀ ∈ e ,λ∀ ∈K seja satisfeita a seguinte igualdade:

( ) ( ) ( ).L L Lα λβ α λ β+ = +

Exemplo 1: Seja 2= R e 2 2 ,×= R e seja

2 2 2:L ×→R R tal que



2U

nida

de


( )( ) 3, .

2x y y

L x y Ay x−

= = −

Vemos que efetivamente ( )( ) 2 2.,A L x y ×= ∈R Estudemos agora a linearidade. Para isso, tomando ( , ),a x y=

( , )b u v=

e seja ,λ∈R vamos calcular

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

, ,

, , ,

L a b L x y u v

L x y u v L x u y v

λ λ

λ λ λ λ

+ = + =

= + = + + =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

32

3 32

3 32 2

3 32 2

3 32 2

( , ) ( , ) .

x u y v y vy v x u

x u y v y vy v x u

x y u v y vy v x u

x y y u v vy x v u

x y y u v vy x v u

L x y L u v L a L b

λ λ λλ λ

λ λ λλ λ

λ λλ λ

λ λλ λ

λ

λ λ

+ − + += = − + +

+ − − + = = − − +

− + − += = − − +

− − = + = − −

− − = + = − −

= + = +

Portanto, como ( ) ( ) ( ) ,L a b L a L bλ λ+ = +

temos que a transformação L é uma transformação linear. Agora,

114 EADFísica

vejamos como essa transformação linear funciona para um dado vetor em particular de 2R : seja ( ), (2, 1),x y = − logo

( )( ) ( )

( )3 2 1 1 7 1

2, 1 .1 2 2 1 4

L × − − − −

− = = − − ×

Exemplo 2: Seja n= = o conjunto de polinômios de variável real t , com coeficientes complexos, ou seja, que se ( ) ,nP t ∈ então

( ) 1

1

,n

jj

j

P t a t −

=

=∑

com ,ja ∈ 1,2, .j n∀ = … Seja L uma transformação tal que aplicada a um polinômio de n toma a forma

( ) ( ) ( ) ( ) .dP tL P t Q t idt

= = −

A primeira coisa a ser verificada é que, efetivamente,

( ) .nQ t ∈ Para fazer isso, calculemos

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

( 1) ( )( 1) .

n n nj j j

j j jj j j

n nj j

j jj j

n nj j

j jj j

d dQ t L a t i a t i a tdt dt

d di a t i a tdt dt

i j a t i j a t

− − −

= = =

− −

= =

− −

= =

= = − = − =

= − = − =

= − − = − −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Sendo assim, vemos que o polinômio ( )Q t pode se escrever como

( ) 2 2 3 22 3 4 5

2

nj n

j nj

Q t b t b b t b t b t b t− −

=

= = + + + +…+∑



2U

nida

de


com os coeficientes jb dados por

( )( )1 .j jb i j a= − −

Portanto, jb ∈ , 2, .j n∀ = …

Em relação ao ( )( ),gr Q t vemos que

( )( ) 2 1.gr Q t n n= − < − Portanto, como todos os coeficientes de Q são números complexos e o seu grau é 1,n≤ − podemos concluir que ( ) .nQ t ∈ Para estudar se efetivamente tal transformação é linear, tomamos um número complexo qualquer λ e dois polinômios quaisquer ( ( )R t e ( )S t ) de n e calculamos ( )( ) ( ) :L R t S tλ+

( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) .dL R t S t i R t S t

dtλ λ+ = − +

Como esses polinômios pertencem a ,n eles podem ser escritos como

( ) 1

1

nj

jj

R t c t −

=

=∑

e

( ) 1

1

,n

jj

j

S t d t −

=

=∑

com e j jc d ∈ , 1,2, .j n∀ = … Logo, temos que

( ) [ ]

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

n nj j

j jj j

n nj j

j jj j

dL R t S t i R t S tdt

di c t d tdt

d di c t i c tdt dt

dR t dS ti i L R t L S tdt dt

λ λ

λ

λ

λ λ

− −

= =

− −

= =

+ = − + =

= − + =

= − − =

= − − = +

∑ ∑

∑ ∑116 EADFísica

( ) [ ]

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

n nj j

j jj j

n nj j

j jj j

dL R t S t i R t S tdt

di c t d tdt

d di c t i c tdt dt

dR t dS ti i L R t L S tdt dt

λ λ

λ

λ

λ λ

− −

= =

− −

= =

+ = − + =

= − + =

= − − =

= − − = +

∑ ∑

∑ ∑

Portanto, a transformação : n nL → definida por ( ) ( )( ) dP tL P t i

dt= − é uma transformação linear. Na verdade,

para mostrar a linearidade de L

, usamos o aprendido em cálculo acerca da derivação de funções: a operação derivada possui a propriedade de linearidade. Isso quer dizer que, dadas duas funções deriváveis (reais ou complexas) de variável real x , ( )f x e ( )g x definidas num dado intervalo [ , ]a b , é válido que

( ) ( ) ( ) ( )df x dg xd f x g xdx dx dx

λ λ + = +

para qualquer valor de λ , real ou complexo. Como os polinômios são funções deriváveis (mais ainda, infinitamente deriváveis), não fogem dessa regra. Salientemos que este exemplo foi colocado de maneira proposital porque na Mecânica Quântica qualquer observável físico (grandeza que pode ser medida em um laboratório, como a coordenada, o momento linear, o momento angular, a energia cinética, etc.) tem associado uma transformação linear (no contexto da Mecânica Quântica recebe o nome de operador), atuante num espaço vetorial complexo de funções. Em particular, o operador associado à grandeza física momento linear de uma partícula

que se desloca em uma dimensão, é o operador ,didx

− onde

é a constante de Plank dividida por 2π . Já a energia

cinética, por exemplo, tem associado o operador 2 2

2 ,2

dm dx

−

onde m é a massa da partícula. Começamos perceber deste



2U

nida

de


modo a importância do conceito de linearidade e da sua generalização. Depois de ter associado este exemplo de transformação linear que estamos estudando com algumas questões concernentes à Mecânica Quântica, vamos ver finalmente como “funciona” esta transformação linear para um dado polinômio em particular de 4 :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 3

2 3

32

2

2 2

( )7 3 2

7 3 2

2(7 ) (3 )

0 7 6 3(2 )

7 6 3 2 7 6 3 6 .

dP tP t i t it i t L P t Q t idx

di i t it i tdx

d i tdi d t d itidx dx dx dx

i it i t

i t i i t i t i t

= + + − − ⇒ = = − =

= − + + − − =

− − = − + + + =

= − + + − − =

= − + + − = − + + +

Portanto

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 27 3 2 7 6 3 6 .L P t L i t it i t Q t i t i t= + + − − = = − + + +

Exemplo 3: Seja 2 2 ,×= = R e seja

2 2 2 2: ,L × ×→R R tal que se 2 2A ×∈R então

( )

11 12 11 12 122

21 22 21 21 22

2.

sin( )a a a a a

L A B La a a a a

= = =

É fácil ver que ( ) 2 2.L A B ×= ∈R Será que L é linear? Para responder essa pergunta, vamos tomar um número real

118 EADFísica

λ qualquer, e duas matrizes X e Y pertencentes a 2 2×R , dadas por

11 12

21 22

x xX

x x

=

e

11 12

21 22

,y y

Yy y

=

e vamos calcular primeiramente

( )

( )( ) ( )( ) ( )

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12 11 12 11 11 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22

11 11 12 12 12 122

21 21 21 21 22

2

sin

x x y yL X Y L

x x y y

x x y y x y x yL L

x x y y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

λ λ

λ λ λ λλ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

+ = + =

+ + = + = = + +

+ + +=

+ + +( )22

=

( )2

11 12 11 12 12 11 11 12 12 12

2 2 2 221 21 21 21 21 21 21 22 22 21 21 22

2 2

2 sin

x x x y x y y y x y

x x y y x x x y x y y y

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

+ + + + = = + + + + +

( )( )

211 12 11 12 12 11 11 12 12 12

2 2 2 221 21 21 21 21 21 21 22 22 21 21 22

2 2.

2 sin

x x x y x y y y x y


λ λ λ

λ λ λ λ

+ + + + = + + + + +

Agora, vamos calcular ( ) ( ) :L X L Yλ+

( ) ( )

11 12 11 12

21 22 21 22

x x y yL X L Y L L

x x y yλ λ

+ = + =



2U

nida

de


( ) ( )11 12 12 11 12 12

2 221 21 22 21 21 22

2 2sin sin

x x x y y yx x x y y y

λ

= + =

( ) ( )11 12 12 11 12 12

2 221 21 22 21 21 22

2 2sin sin

x x x y y yx x x y y y

λ λλ λ

= + =

( ) ( )11 12 11 12 12 12

2 221 21 21 22 21 22

2 2sin sin

x x y y x yx y x x y y

λ λλ λ

+ + = = + +

( )( )

11 12 11 12 12 122 221 21 21 22 21 22

2.

sin sin( )x x y y x y

x y x x y yλ λλ λ

+ += + +

Vemos assim que

( )( )

( )

211 12 11 12 12 11 11 12 12 12

2 2 2 221 21 21 21 21 21 21 22 22 21 21 22

2 2

2 sin

x x x y x y y y x yL X Y


λ λ λλ

λ λ λ λ

+ + + + + = ≠ + + + + +

( )( )

( ) ( )11 12 11 12 12 122 221 21 21 22 21 22

2.

sin sin( )x x y y x y

L X L Yx y x x y y

λ λλ

λ λ + +

= + + +

Nestas circunstâncias, somos obrigados a concluir que a transformação 2 2 2 2:L × ×→R R definida por

11 12 11 12 122

21 22 21 21 22

2,

sin( )a a a a a

La a a a a

=

não é uma transformação linear porque a condição ( ) ( ) ( )L X Y L X L Yλ λ+ = + não é satisfeita. É fácil ver que transformações entre espaços vetoriais que relacionam os coeficientes que definem os seus vetores mediante funções como potências, logaritmos, funções

120 EADFísica

trigonométricas, exponenciais etc., nunca podem ser lineares, porque tais funções não são lineares. Isto é, por exemplo, ( )sin sin sin ,θ λ φ θ λφ+ ≠ +

assim, temos que

( ) ( ) ( )sin sin cos sin cos .θ λφ θ λφ λφ θ+ = + Para finalizar, citemos também os casos ( )22 2 2 2 22a b a b a ab bλ λ λ λ+ ≠ + = + + e

33 3 .r s r sλ λ+ ≠ + Apesar de a transformação deste exemplo não ser linear, vamos ver como ela funciona para uma dada matriz em particular de 4 4 ,×R

( )2

1 0 2 01 0

sin2 22

0 0 0 0.

sin 14 2 4

L π ππ ππ

π π π

× × = = × −−

= = − −

Exemplo 4: Seja 2 1×= = R e seja 2 2( )R θ ×∈R dada por

( ) cos sin.

sin cosR

θ θθ

θ θ

= −

Vamos definir

2 1 2 1,:Rθ× ×→R R tal que se

11 2 1

21

xX

x×

= ∈

R temos que

( ) ( )R X Y R Xθ θ= =

Como é óbvio que ( ) 2 1,X YRθ×= ∈R vamos logo

estudar a linearidade desta transformação. Sejam 2 1, A B ×∈R dados por

11

21

aA

a

=



2U

nida

de


e

11

21

,b

Bb

=

e seja λ um número real qualquer, então

( )

11 11

21 21

11 11 11 11

21 21 21 21

a bR A B R

a b

a b a bR R

a b a b

θ θ

θ θ

λ λ

λ λλ λ

+ = + =

+ = + = = +

( ) ( )( ) ( )

11 11 21 21

11 11 21 21

cos sinsin cos

a b a ba b a b

λ θ λ θλ θ λ θ

+ + += = − + + +

11 11 21 21

11 11 21 21

cos cos sin sinsin sin cos cos

a b a ba b a b

θ λ θ θ λ θθ λ θ θ λ θ+ + +

= = − − + +

( ) ( )( ) ( )

11 21 11 21

11 21 11 21

cos sin cos sinsin cos sin cos

a a b ba a b b

θ θ λ θ θθ θ λ θ θ

+ + += = − + + − +

( )( )

11 2111 21

11 2111 21

cos sincos sinsin cossin cos

b ba ab ba a

λ θ θθ θλ θ θθ θ

++ = + = − +− +

( ) ( )

11 21 11 21

11 21 11 21

cos sin cos sinsin cos sin cos

,

a a b ba a b b

R A R Bθ θ

θ θ θ θλ

θ θ θ θ

λ

+ + = + = − + − +

= +

Portanto dado que ( ) ( ) ( ) ,R A B R A R Bθ θ θλ λ+ = + podemos afirmar que Rθ é uma transformação linear. Notar que a linearidade existe, apesar da presença de funções trigonométricas como o seno e o coseno. Acontece que as funções trigonométricas não aparecem aplicadas aos elementos das matrizes envolvidas, mas sim aplicadas ao parâmetro θ , próprio da transformação. Isso quer dizer que

122 EADFísica

não há expressões do tipo 11sin a , ( )11 21cos a b etc. Vamos achar uma interpretação geométrica para esta transformação. Pensemos que A é a matriz formada pelas componentes do vetor a , pertencente a 2R na base

1 2, (1,0), (0,1) .B e e= =

Logo

( ) ( ) 1 111 2 1 1 2 2

2 21

,B

a aa a a a e a e a

a a

= = + ⇒ = =

e seja

( ) ( ) 1 11'1 2 1 1 2 2

2 21

' '' , ' ' ' ' ,

' 'B

a aa a a a e a e a

a a

= = + ⇒ = =

tal que

( ) ( )'B B

a R aθ=

1 1

2 2

' cos sin' sin cos

a aa a

θ θθ θ

= −

ou ainda

'1 1 2cos sina a aθ θ= +

'2 1 2sin cosa a aθ θ= − +

Por outro lado, temos que como 1a e 2a são as componentes de a segundo os eixos x e y , respectivamente, elas podem ser escritas como 1 cosa a α=

e 2 sin ,a a α=

onde α é o ângulo entre o vetor a e o eixo x . Substituindo nas equações acima, obtemos

( )

[ ]

'1 cos cos sin sin

cos cos sin sin

cos cos( ) sin sin( )

a a a

a

a

α θ α θ

α θ α θ

α θ α θ

= + =

= + =

= − − −



2U

nida

de


( )

( )

[ ]

'2 cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin( ) sin cos( ) ,

a a a

a

a

a

α θ α θ

α θ α θ

α θ α θ

α θ α θ

= − + =

= − + =

= − + =

= − + −

onde temos usado as propriedades das funções trigonométricas ( )sin sinθ θ− = − e ( )cos cosθ θ− = . Por outro lado, as funções trigonométricas seno e coseno possuem as propriedades ( )sin sin cos sin cosρ σ ρ σ σ ρ+ = + e

( )cos cos cos sin sin .ρ σ ρ σ ρ σ+ = − Sendo assim, podemos identificar ρ com α e σ com –θ , obtendo desse modo

( )'1 cosa a α θ = −

( )'2 sin .a a α θ = −

As equações anteriores podem ser interpretadas como sendo que '

1a e '2a são as componentes de um vetor

'a que forma um ângulo α θ− com um eixo 'x , que por sua vez está rotado em um ângulo θ (medido em sentido anti-horário) com o eixo x . Resumindo, a relação ( ) ( )'

B BRa aθ=

define as componentes do mesmo vetor a , só que em relação a um novo sistema de referência ( ' '),x y obtido do sistema ( )xy por uma rotação em sentido anti-horário de ângulo θ. Deixamos ao leitor interessado fazer um desenho simples que permite visualizar a situação descrita. Vamos agora enunciar e demonstrar uma importante propriedade sobre transformações lineares que diz que se uma transformação linear está definida sobre os vetores de uma base, então está definida em todo o espaço. Sejam e dois espaços vetoriais tal que ( )dim n= e

124 EADFísica

( )dim ,m= seja :L → uma transformação linear, seja

1 2 , , nB = Φ Φ …Φ uma base de , e seja 1 2' , , mB η η η= … uma base de . Como por hipóteses L é definida para todos os vetores de B , temos que existem 1 2, ,... ,nα α α ∈ tal que ( ) . i iL αΦ = Por outro lado, cada vetor iα pode ser escrito

1

m

i ij jj

Lα η=

=∑

onde ijL é a componente j de iα na base 1 2 ' , , .mB η η η= … Logo

( )1

m

i ij jj

L L η=

Φ =∑

Neste ponto é importante salientar que, dizer que conhecemos como a transformação linear L atua sobre os vetores da base B , é equivalente a dizer que conhecemos os coeficientes ijL . Seguidamente, vamos tomar um vetor γ de , e sejam iλ as componentes de ã na base

1 2 , , ,nB = Φ Φ …Φ então podemos escrever

1

.n

i ii

γ λ=

= Φ∑

Aplicando L que, por hipótese, é linear, obtemos

( ) ( )1 1

1 1 1 1 1

,

n n

i i i ii i

n m m n m

i ij j ij i j j ji j j i j

L L L

L L

γ λ λ

λ η λ η ν η

= =

= = = = =

= Φ = Φ =

= =

∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑

onde jν são as componentes do vetor ( )L γ ∈ na base

1 2' , , ,mB η η η= … , definidas por



2U

nida

de


1

.n

j ij ii

Lν λ=

≡∑

Como os coeficientes ijL são conhecidos por hipóteses, as componentes de ( )L γ na base 'B são automaticamente determinadas. Portanto, podemos afirmar que a propriedade ficou demonstrada. Exemplo 1: Seja

2 2 2:L ×→ e seja

( ) ( )1 2, ,0 , 0,1 ,B iθ θ= = deixando para o leitor interessado mostrar que efetivamente B é base de 2 , vamos definir L nos vetores de B ,

( ) ( )( )1

2 0,0

1 1L L iθ

= =

( ) ( )( )2

30,1 .

0 1i

L Lθ

= = −

Logo, se 2 ,α ∈ então

( ) 1 2,x y x yα θ θ= = +

com x e y pertencentes as , e

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

,

2 0 31 1 0 1

2 0 30

2 3.

L L x y L x y

xL yL

ix y

x iy yx x y

x iy yx x y

α θ θ

θ θ

= = + =

= + =

= + = −

= + = −

+ = −

126 EADFísica

Portanto, neste exemplo, vimos que definidos ( )1L θ e ( )2 ,L θ determinamos como se comporta L para qualquer

2.α ∈

4.1.2 Matriz Associada a uma Transformação

Linear

Dada uma transformação linear :L → , uma base 1 2 , , nB = Φ Φ …Φ de e uma base 1 2' , , mB η η η= … de 𝕎, a matriz dim( ) dim( )

'n m

BBL × ×∈ = K K é dita a matriz da transformação linear L

nas bases B e 'B se os seus elementos de matriz, ijL , satisfazem a relação

( )1

m

i ij jj

L L η=

Φ =∑

1,2,i n∀ = … . Segundo esta definição, a relação acima, dada por

1

,n

j ij ii

Lν λ=

≡∑

pode ser entendida como

( )( ) ( ) ( )' '

TBB BB

L Lγ γ=

onde

( )( )

1

2 1 dim( ) 1

',m

B

m

L

νν

γ

ν

× ×

= ∈ =

K K



2U

nida

de


( )

1

2 1 dim( ) 1,nB

n

λλ

γ

λ

× ×

= ∈ =

K K

e ( ) dim( ) dim( )'

T m nBBL × ×∈ = K K é a matriz transposta de ' .BBL

Exemplo 1: Seja 2= R e 2 2×= R e seja

2 2 2:L ×→R R tal que

( )( ) 3, ,

2x y y

L x yy x−

= −

e sejam

1 2, (1,0), (0,1)B e e= =

e

'1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0, , , , , , .

0 0 0 0 1 0 0 1B E E E E

= =

Deixamos ao leitor interessado mostrar que, efetivamente, 'B é base de 2 2.×= R Vamos primeiramente calcular

( ) ( )( )1

3 1 0 0 3 01,0

0 2 1 0 2L e L

× − = = = ×

e

( ) ( )( )2

3 0 1 1 1 10,1 .

1 2 0 1 0L e L

× − − = = = − × −

O próximo passo é escrever ( )1L e e ( )2L e em termos

128 EADFísica

dos vetores da base 'B :

( )4

1 1 11 1 12 2 13 3 14 41

j jj

e L E L E L E L E EL L=

= = + + +∑

11 12 13 14

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

L L L L = + + +

11 12

13 14

11 12

13 14

0 0 0 00 00 00 0 0 0

3 0.

0 2

L LL L

L LL L

= + + + =

= =

Vemos assim que, segundo a definição de igualdade matrizes, 11 3L = , 12 130L L= = e 14 2.L = Já para ( )2L e temos que

( )4

2 2 21 1 22 2 23 3 24 41

j jj

L e L E L E L E L E L E=

= = + + +∑

21 22 23 24

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

L L L L = + + + =

21 22

23 24

21 22

23 24

0 0 0 00 00 00 0 0 0

1 1.

1 0

L LL L

L LL L

= + + + =

− = = −

Logo 21 231L L= − = , 22 1L = e 24 0L = . Finalmente, a matriz dim( ) dim( ) 2 4

'BBL × ×∈ = R R fica

11 12 13 14

'21 22 23 24

3 0 0 2.

1 1 1 0BB

L L L LL

L L L L

= = − −



2U

nida

de


Vamos agora exemplificar a relação

( )( ) ( ) ( )' '

.TBB BB

L Lγ γ=

Seja o vetor genérico de 2R ( , )v x y=

. Logo, é fácil ver que

( ) ,B

xv

y

=

Portanto,

( )( ) ( ) ( )'

'

3 1 30 1

.0 12 0 2

TBB BB

x yx y

L v L vy y

x

− − = = = − −

Isso quer dizer que ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3 4, 3 2L v L x y x y E yE y E xE= = − + + − + =

( ) 1 0 0 1 0 0 0 03 2

0 0 0 0 1 0 0 1x y y y x

= − + − + =

3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 2

3,

2

x y yy x

x y yy x

− = + + + = −

− = −

como deve ser, segundo a definição de L dada no início do exemplo. Exemplo 2: Seja 4 ,= = R o conjunto de polinômios de grau menor que 4, de variável real t , com coeficientes reais, ou seja, que se 4( )P t ∈R , então

( )4

1

1

,jj

j

P t a t −

=

=∑

130 EADFísica

com ja ∈R , 1,2,3,4.j∀ = Seja L uma transformação tal que aplicada à um polinômio de 4R toma a forma

( ) ( ) ( ) ( ) .dP tL P t Q tdt

= =

Seja ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 31 2 3 4, , , 1,3 2 , 5 2 , ,B B g t g t g t g t t t t t= = = − + − +

como fizemos no Exemplo 1, vamos primeiro determinar

( )( ) ( )1( 1)1 0dL g t Ldt−

= = =

( )( ) ( )2

(3 2 )3 2 2d tL g t L tdt+

= + = =

( )( ) ( )

22

3( 5 2 )5 2 5 4d t tL g t L t t i t

dt− +

= − + = − = − +

( )( ) ( )3

3 24

( ) 3d tL g t L t tdt

= = =

Agora escrevamos ( )( )1 ,L g t ( )( )2 ,L g t ( )( )3L g t e ( )( )4L g t na base 'B :

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

1 11

11 1 12 2 13 3 14 4

j jj

L g t L g t

L g t L g t L g t L g t

=

= =

= + + +

∑

( ) ( ) ( )2 311 12 13 14( 1) 3 2 5 2L L t L t t L t= − + + + − + + =

2 3

11 12 12 13 13 143 2 5 2L L tL tL t L t L= − + + − + + =

( ) ( ) 2 311 12 12 13 13 143 2 5 2 0.L L L L t L t L t= + + − + + =

Isso implica que 11 123 0L L+ =



2U

nida

de


12 132 5 0L L− =

132 0L =

14 0L =

ou ainda, 13 0,L = 14 0,L = 12 0L = e 11 0.L = Portanto a primeira fila da matriz de L nas bases B e ' ,B B= é nula.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

2 21

21 1 22 2 23 3 24 4

j jj

L g t L g t


=

= =

= + + + =

∑

( ) ( ) ( )2 321 22 23 24( 1) 3 2 5 2L L t L t t L t= × − + × + + × − + + × =

2 3

21 22 22 23 23 243 2 5 2L L tL tL t L t L= − + + − + + =

( ) ( ) 2 321 22 22 23 23 243 2 5 2 2.L L L L t L t L t= − + + − + + =

Logo,

21 223 2L L− + =

22 232 5 0L L− =

232 0L =

24 0,L =

ou 24 0L = , 23 0L = , 22 0L = e 21 2L = − .

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

3 31

31 1 32 2 33 3 34 4

j jj

L g t L g t


=

= =

= + + + =

∑

132 EADFísica

( ) ( ) ( )2 331 32 33 34( 1) 3 2 5 2L L t L t t L t= × − + × + + × − + + × =

2 3

31 32 32 33 33 34( 3 ) 2 5 2L L tL tL t L t L= − + + − + + =

( ) ( ) 2 331 32 32 33 33 343 2 5 2 5 4 .L L L L t L t L t t= − + + − + + = − +

Isso implica que

31 323 5L L− + = −

32 332 5 4L L− =

332 0L =

34 0,L =

ou 34 0,L = 33 0,L = 32 2L = e 31 11.L =

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

4 41

41 1 42 2 43 3 44 4

j jj

L g t L g t


=

= =

= + + + =

∑

( ) ( ) ( )2 341 42 43 44( 1) 3 2 5 2L L t L t t L t= × − + × + + × − + + × =

2 3

41 42 42 43 43 443 2 5 2L L tL tL t L t L= − + + − + + =

( ) ( ) 2 3 241 42 42 43 43 443 2 5 2 3 .L L L L t L t L t t= − + + − + + =

Logo,

41 423 0L L− + =



2U

nida

de


42 432 5 0L L− =

432 3L =

44 0,L =

ou 44 0L = , 43 3 / 2L = , 42 15 / 4L = e 41 45 / 4L = . Portanto,

11 12 13 14

21 22 23 24'

31 32 33 34

41 42 43 44

0 0 0 02 0 0 0

.11 2 0 0

45 / 4 15 / 4 3 / 2 0

BB

L L L LL L L L

LL L L LL L L L

− = =

Como fizemos no exemplo anterior, vamos exemplificar a relação

( )( ) ( ) ( )' '

.TBB BB

L Lγ γ=

Seja um polinômio genérico 4( ,)P t ∈R logo

( ) 2 31 2 3 3 .P t a a t a t a t= + + + Devemos achar agora ( )( ) .

BP t

Para isso, como já foi aprendido, devemos igualar ( )P t a uma combinação linear de vetores da base B ,

( ) ( )4

1i i

i

P t g tλ=

=∑

( ) ( ) ( ) ( )

2 31 2 3 4

1 1 2 2 2 2 4 4

a a t a t a t

g t g t g t g tλ λ λ λ

+ + + =

= + + + =

( ) ( ) ( )2 31 2 3 4

2 31 2 2 3 3 4

3 2 5 2

3 2 5 2

t t t t

t t t t

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

= + + + − + + =

= + + − + + =

( ) ( ) 2 31 2 2 3 3 43 2 5 2 .t t tλ λ λ λ λ λ= + + − + +

134 EADFísica

Logo

1 2 13 aλ λ+ =

2 3 22 5 aλ λ− =

3 32 aλ =

4 4 ,aλ =

Obtendo, assim, 4 4 ,aλ = 3 3 / 2,aλ = 2 2 31 52 4

a aλ = +

e 1 1 2 33 15 .2 4

a a aλ = − − Desse modo,

( )

1 2 3

2 3

3

4

3 152 4

1 5( ) .2 4

2

B

a a a

a aP t

a

a

− − + =

Por último,

( )( )( ) ( ) ( )( )''

1 2 3

2 3

3

4

3 15450 2 112 44

1 5150 0 22 44

30 0 022

0 0 0 0

T

BB BB

a a a

a aL P t L P t

a

a

− −− + = = =



2U

nida

de


31 2 3 2 3 4

31 2 3 2 3 4

31 2 3 2 3 4

31 2 3 2 3

3 15 1 5 450 2 112 4 2 4 2 43 15 1 5 150 0 22 4 2 4 2 43 15 1 5 30 0 02 4 2 4 2 23 15 1 50 0 02 4 2 4 2

aa a a a a a

aa a a a a a

aa a a a a a

aa a a a a

× − − − × + + × + × − − + × + + × + = × − − + × + + × + × × − − + × + + ×

40 a

=

+ ×

3 32 3 42 4

3 43 4

44

5 11 4545 342 2 4

1515.44

3322

00

a a a a aa a

a aa a

aa

− + +− − + + ++ = =

Isso quer dizer que

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 1 3 4 2 4 3 4

45 15 33 04 4 2

L P t a a a g t a a g t a g t g t = − + + + + + + × =

( ) ( )22 3 4 3 4 4

45 15 33 ( 1) 3 2 5 24 4 2

a a a a a t a t t = − + + × − + + × + + × − + =

2 22 3 4 3 3 4 4 4 4 2 3 4

45 45 15 153 3 2 3 2 3 ,4 4 2 2

a a a a a t a a t a t a t a a t a t− − + + + + − + = + +

como deve ser, já que aplicar a transformação linear de nosso exemplo equivale a derivar o polinômio. Neste último exemplo, vimos uma transformação linear que toma um vetor de um espaço vetorial e faz corresponder outro vetor do mesmo espaço. As matrizes

136 EADFísica

dessas transformações lineares são quadradas.

4.1.3 Imagem de uma Transformação Linear

Dada uma transformação linear : ,L → o conjunto I( )L ⊂ é dito imagem da transformação linear L , desde que ( )I L∀Φ∈ existe ,α ∈ tal que ( ) ,L α = Φ ou seja, que ( ) / ( ) , .I L L α α= Φ∈ = Φ ∈ Vamos mostrar agora uma propriedade que diz que a imagem de uma transformação linear é subespaço vetorial. O enunciado preciso dessa propriedade diz que, se :L → é uma transformação linear, então ( ) I L é um subespaço vetorial de . Para demonstrar essa propriedade, devemos verificar, segundo a definição de subespaço vetorial, que o vetor nulo de pertence a I( )L e, que se φ e θ pertencem a I( )L , então φ λθ+ também pertence a ( )I L para todo

.λ∈K Seja 1 2 , , nB = Φ Φ …Φ uma base de tal que ( ) ,i iL σΦ = com ,iσ ∈ 1,2,i n∀ = … e seja Ο o vetor nulo de , então a igualdade

1

n

i ii

λ=

Ο = Φ∑

implica em que todos os coeficientes iλ devem ser nulos. Logo,

( )

'

1 1 1

( ) ,n n n

i i i i i ii i i

L L Lλ λ λσ= = =

Ο = Φ = Φ = = Ο

∑ ∑ ∑

onde com 'Ο indicamos o vetor nulo de . Mostramos assim que ( )' .I LΟ ∈ Sejam agora Φ e θ pertencentes a ( )I L então existem α e β pertencentes a , tal que ( )L α = Φ e ( ) .L β θ= Seja ,λ∈K vejamos que, se λθΦ + realmente pertence a ( ) ( ) ( ): .I L LLλθ α λ βΦ + = + Devido ao fato



2U

nida

de


de que L é uma transformação linear, pode-se escrever

( ) ,Lλθ α λβΦ + = +

sendo assim, ( ) ,I LλθΦ + ∈ e ( )I L é um subespaço vetorial de , como queríamos demonstrar.

Exemplo 1: Seja 2 2 2:L ×→ tal que se 2) ,( ,x yα = ∈ definida por

( ) ( )( ) 0, .

0ix

L L x yx iy

α

= = −

Vemos que, neste caso, ( )I L é o conjunto de todas as matrizes complexas de duas linhas e duas colunas diagonais. Isto é

( ) 2 2 / 0, ijI L A a i j×= ∈ = ≠

Deixamos para o leitor interessado mostrar que, efetivamente, esse conjunto é um subespaço vetorial de 2 2.×

4.1.4 Núcleo de uma Transformação Linear

Dada uma transformação linear : ,L → o conjunto N( )L ⊂ é dito núcleo da transformação linear L desde que ele esteja formado por aqueles vetores α ∈ tal que ( ) ',L α = Ο sendo que 'Ο é o vetor nulo de , ou seja, que ( ) / ( ) '.N L L α= Φ∈ = Ο

Vamos mostrar agora uma propriedade que diz que o núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial. O enunciado preciso dessa propriedade diz que, se :L → é uma transformação linear, então, ( )N Lé um subespaço vetorial de . Como foi feito no caso

138 EADFísica

da imagem de uma transformação linear, para demonstrar essa propriedade, devemos verificar, segundo a definição de subespaço vetorial, que o vetor nulo de , pertence a N( ),L e que se α e β pertencem à N( ),L então, α λ β+ também pertence a ( )N ,L para todo λ∈K . Seja 1 2 , , ,nB = Φ Φ …Φ uma base de , então, a igualdade

1

n

i ii

λ=

Ο = Φ∑

implica em que todos os coeficientes iλ devem ser nulos. Logo

( )

'

1 1

( ) ,n n

i i i ii i

L L Lλ λ= =

Ο = Φ = Φ = Ο

∑ ∑

onde com 'Ο indicamos o vetor nulo de . Mostramos assim que, ( ).N LΟ∈ Seguidamente, sejam α e β pertencentes a ( )N L , e apliquemos L a :α λ β+

( ) ( ) ( )L L Lα λ β α λ β+ = +

porque L é linear, só que ( ) ( ) 'L Lα β= = Ο porque α e β pertencem ao ( )N .L Logo, ( ) ,N Lα λ β+ ∈ e ( )N L é um subespaço vetorial de como queríamos demonstrar.

Exemplo 1: Seja 2 2 2:L ×→ tal que, se 2) ,( ,x yα = ∈ definida por

( ) ( )( ) 0, .

0ix

L L x yx

α

= = −

Vemos que, neste caso, ( )N L é o conjunto de todos os vetores 2 tal que 0x = . Isto é



2U

nida

de


( ) 2( , ) / 0N L x y xα= = ∈ =

porque

( )( ) 0 0 00, .

0 0 0ix

L yx

= = −

Deixamos para o leitor interessado mostrar que, efetivamente, esse conjunto é um subespaço vetorial de 2 . Por último, antes de finalizar esta unidade, vamos enunciar um teorema que diz: Seja :L → uma transformação linear, então

( ) ( )( ) ( )( )dim dim N dim IL L= +

Exemplo 1: Consideremos a transformação linear do exemplo anterior. Seja 2 2 2:L ×→ tal que, se

2) ,( ,x yα = ∈ definida por

( ) ( )( ) 0, .

0ix

L L x yx

α

= = −

é fácil ver que o núcleo dessa transformação linear pode ser gerado, por exemplo, pela base (0, )NB i= , já que qualquer vetor do tipo (0, )y pode-se escrever como (0, ).iy i− Ou seja, ( )( )dim N 1.L = Já para uma matriz da imagem da forma

0,

0ix

x −

uma possível base poderia ser

0,

0 1I

iB

= −

já que podemos escrever que

140 EADFísica

0 0.

0 0 1ix i

xx

= − −

Deste modo temos que,

( )( ) ( )( ) ( ) 2dim dim 1 1 2 dim dim( ).N L I L+ = + = = =

exercícios

1. Mostre que o conjunto de matrizes diagonais que pertencem à ,n n×K munido das operações usuais de soma e produto por um escalar, forma um espaço vetorial.

2. Mostre que o conjunto de matrizes

de ,n n×K que satisfazem 1

0n

iii

a=

=∑

munido das operações usuais de soma de matrizes e produto por um escalar, formam um espaço vetorial.

3. Mostre que o plano de 3R dado por 2x-5y+z=0, munido da soma usual de vetores e o produto por um escalar usual, é um espaço vetorial.

4. Determine qual (ou quais) do (ou dos) seguintes

conjuntos de vetores de 3R é (ou são) linearmente independente (ou independentes):

( ) 1 1,1,1 , ( 2, 6, 9) ,C = − − −

( ) 2 1,1,1 , (0,0,0) ,C = ( ) ( ) 3 1,1,1 , 2,0,3 , ( 1, 1,0) ,C = − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1,1,1 , 0, 2, 1 , 7,0,1 , 6,0,1 , 1, 5,8 , ( 9,6,6) .C = − − − −

5. Determine qual (ou quais) do (ou dos)

seguintes conjuntos de 4 4× é (ou são) linearmente independente (ou independentes):



2U

nida

de


1

1 0 0 0 0 0 0 , , , ,

0 0 0 0 0 0 1i

Ci

= − −

2

1 0 0, ,

0 0 0 0i

C

=

3

1 0 0 0 0 0 0 6 0, , , , ,

0 0 0 0 0 0 1 0 9i i

Ci

= − −

4

1 0 0 0 0 2 0, , , .

0 0 0 0 0 0 0i i

Ci

= −

6. Determine qual (ou quais) do (ou dos) conjuntos do

exercício 4 é base de 3R .

7. Determine qual (ou quais) do (ou dos) conjuntos do

exercício 5 é base de 4 4× .

8. Seja 𝕍 um espaço vetorial e sejam 1 2, , .sθ θ θ… ∈

Mostre que, [ ]1 2, , sθ θ θ… é um espaço vetorial.

9. Seja 𝕍 um espaço vetorial complexo de dimensão n. Mostrar que, se consideramos 𝕍 como um espaço

vetorial real, então a sua dimensão é 2n . Dica: lembrar que para formar um número complexo são necessários dois números reais.

10. Achar as componentes do vetor de 3R

(1, 4, 2)− nas bases ( ) ( ) 1 1,0,0 , 0,1,0 , (0,0,1) ,B =

( ) ( ) 2 2,0,0 , 0, 2,0 , (0,0,3)B = − e

( ) ( ) 3 1,1,1 , 0,1, 1 , ( 1,0,1) .B = − −

11. Achar as componentes do vetor de 3 ( , 4 , 2)i i −

nas bases ( ) ( ) 1 1,0,0 , 0,1,0 , (0,0,1) ,B =

( ) ( ) 2 2,0,0 , 0, 2,0 , (0,0,3)B = − e

142 EADFísica

( ) ( ) 3 , , , 0,1, 1 , ( 1,0, ) .B i i i i= − −

12. Dado o polinômio ( ) 2 3 42 5 (1 ,)P t i t t i t= + − − + ∈

achar as suas componentes nas bases 2 31 1, , ,B t t t=

e 2 32 , ,1 , 2 .B i it t t it= − + −

13. Dadas as matrizes

00 30 1

iA

i

= −

e0 4

1 08

B ii

= + −

pertencentes a 3 2× , achar as suas componentes nas bases

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 , 0 0 , 1 0 , 0 , 0 0 , 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2

iB i

i

= − −

14. Seja o conjunto das funções complexas de variá-vel real de módulo quadrado integrável no intervalo

[ , ]a b , ou seja, que M∃ ∈R tal que, se ψ ∈ , então

( ) ( ) ( ) 2* .b b

a a

x x dx x Mψ ψ ψ= <∫ ∫

Seja a soma usual de funções dada por

( )( ) ( ) ( ),x x xψ φ ψ φ+ = + e o produto por um escalar por uma função usual tal que ( )( ) ( ) ,K x K xψ ψ=

[ , ],x a b∀ ∈ ,ψ φ∀ ∈ e ,K∀ ∈ mostre que a relação



2U

nida

de


( )*| ( )b

a

x x dxψ φ ψ φ≡ ∫

define um produto interno nesse espaço e determine se a relação

( )| max ( )a x b

x xψ φ ψ φ≤ ≤

≡ −

define, de fato, um produto interno nesse espaço.

Esclarecimento: a expressão ( )maxa x b

F x≤ ≤

significa o

valor máximo que o módulo da função F toma no

intervalo [ , ]a b .

15. Considere o espaço vetorial 2 2× . Mostre que a relação

2 2*

1 1

| ij iji j

A B a b= =

≡∑∑

define um produto interno nesse espaço e determine se a relação

* * * *11 11 12 12 21 21 22 22| 2 ,A B a b a b a b ia b≡ + − +

define, de fato, um produto interno nesse espaço.

16. Mostre que n munido da aplicação ,| : n n +× → R definida por

( ) 2*| ( ) tP Q P t Q t e dx∞

−

−∞

≡ ∫

é um espaço de Hilbert.

17. Seja o espaço de Hilbert do exercício 16 com n=4, determine a norma dos polinômios ( )P t i t= + é

( ) 2 31 4 .Q t it t t= − + + Determine, ainda, a distância e o ângulo entre eles.

144 EADFísica

18. Seja o espaço de Hilbert do exercício 16 e os

polinômios ( )P t e ( )Q t do exercício 17, verifique a

desigualdade triangular ( ) ( ), , ( , ),d P Q d P R d R Q≤ +

onde ( ) 2.R t i t= −

19. Considere o espaço vetorial 2 2× com o produto in-terno

2 2*

1 1

| .ij iji j

A B a b= =

≡∑∑

Sejam 1 0

,3

Ai

=

1 1

3 2B

i i

= − − e

0,

0i

Ci

= −

determine A , B , C , o ângulo entre A e B , o ângulo

entre A e C , o ângulo entre B e C , d(A, B), ( , ).d A C

( , ),d B C ,A C+ ( , )d A C B+ e ( , ).d C A B+ Verifique

ainda que ( ) ( ), , ( , ).d A B d A C d C B≤ +

20. Seja o espaço vetorial 2 com o produto interno

definido no exercício 16. Seja ( ) 1P t tθ= − e ( ) 1.Q t =

Achar o (ou os) valor (ou valores) de θ sabendo que

( ) ( )( ), 2.d P t Q t =

21. Sejam as matrizes 1 0

,0 0

A =

0 3

,0 0

B−

=

0 04 0

Ci

=

e 0 00 2

D =

e seja , , , ,B A B C D=

mostre que B é uma base ortogonal de 2 2× com o produto interno definido por

2 2*

1 1

| .ij iji j

A B a b= =

≡∑∑

Construa, a partir de B , uma base ortonormal.

22. Mostre que o plano de 3R , dado por 0x y z+ + = , é

um subespaço vetorial de 3R .



2U

nida

de


23. Seja 𝕍 um espaço vetorial de dimensão n , e sejam

1 2, , ,sθ θ θ… ∈ com s n< . Mostre que [ ]1 2, , sθ θ θ… é um subespaço vetorial de 𝕍.

24. Mostre que sK é subespaço vetorial de nK com s n< .

25. Dadas

4 3 3:L ×→ ,

2 2 2:M ×→R R e

2 2 4: ,N × → KK tal que

( )

4 42

1 1

4 421

3 1 4 1 2 3 41 1

342 *

4 11

sin3

1 Re( ) 2 ,

sinh Im

k kk k

kk k

k k

kk

a a i

L a t a a ia a a a ia a

a a a

π= =

−

= =

=

+ −

= + + − + − −

∑ ∏

∑ ∑

∏

( )( ) 2 5 3, ,

6 4x y x y

M x yx y x y− +

= − − −

e

11 12 2 311 12 21 22

21 22

,a a

N a a t a t a ta a

= + + +

determine qual (ou quais) delas é (ou são) linear (ou lineares).

26. Dadas ( ) 1 1,0 , (0,1) ,B = ( ) 2 1, 1 , (2,1) ,B = −

'1

1 0 0 1 0 0 0 0, , , ,

0 0 0 0 1 0 0 1B

=

'2

1 1 0 1 0 0 0 5, , , ,

0 0 1 0 1 2 0 1B

= − −

determinar ( ) '1 1

,B B

M ( ) '1 2

,B B

M ( ) '2 1

B B

M e ( ) '2 2

,B B

M

146 EADFísica

onde a transformação M foi definida no exercício 25.

27. Dadas 1

1 0 0 1 0 0 0 0, , , ,

0 0 0 0 1 0 0 1B

=

2

1 1 0 1 0 0 0 5, , , ,

0 0 1 0 1 2 0 1B

= − −

' 2 31 1, , ,B t t t= e ' 2 3

1 1 , ,1 , ,B t t t t t= − + − determinar ( ) '

1 1

,B B

N ( ) '1 2

,B B

N ( ) '2 1

B B

N e ( ) '2 2

,B B

N onde a transformação

N foi definida no exercício 25.

28. Achar o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo, e a dimensão da imagem das transformações que resultaram ser lineares do exercício 25.

29. Demonstrar que dada uma transformação linear : ,L → então ( ) ( )( ) ( )( )dim dim dim .N L LI= +

Nesta unidade, vimos os conceitos de espaços vetoriais, generalizando assim o conceito de vetor aprendido em Geometria Analítica. Vimos que o espaço físico ordinário de três dimensões é só um caso particular de espaço vetorial, já que temos visto com muitos exemplos a existência de espaços de 4, 5 e, em geral, n dimensões. Definimos o que é uma transformação linear e vimos como podemos associar uma matriz a uma dada transformação linear. Também foi generalizada a noção de produto escalar através da definição de produto interno e os espaços de Hilbert. Isso nos permitiu ampliar as definições de distância entre vetores, ângulo entre vetores, e módulo de um vetor. Não é demais salientar novamente que todas estas generalizações de

RESUMINDO



2U

nida

de


conceitos previamente vistos em Geometria Analítica são de fundamental importância, e possuem grandes aplicações na Física Quântica.

148 EADFísica

Suas anotações

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Apêndice

DISTÂNCIA E ESPAÇOS MÉTRICOS

• A1: , α β∀ ∈ vale que ( ), 0d α β = , se e somente se α β=

• A2: SIMETRIA: , α β∀ ∈ vale que ( ), ( , )d dα β β α=

• A3: DESIGUALDADE TRIANGULAR: , ,α β γ∀ ∈ vale que ( ) ( ) ( ), , ,d d dα β α γ γ β≤ + ,

onde +R é o conjunto dos números reais positivos (incluído o zero) e a aplicação (ou função) d é conhecida pelo nome de distância. A primeira questão que podemos levantar é se realmente essa definição de distância tem algo a ver com a distância que aprendemos a calcular entre dois pontos do plano ( )2R ou do espaço físico ordinário ( )3R . Para isso, suponhamos que 2= R . Sabemos que, dado o par de pontos 2,P Q∈R de coordenadas ( )1 1,x y e ( )2 2,x y , respectivamente, a distância entre P e Q é dada por

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 2 1 2 1, , , , ,d P Q d x y x y x x y y= ≡ + − + −

portanto vemos que se ,P Q= então 1 2x x= e 1 2 ,y y= obtendo assim que ( ), 0.d P Q = Caso contrário, só é suficiente que 1 2x x≠ ou 1 2y y≠ (o que significa P Q≠ ), para que ( ),d P Q seja estritamente maior que zero. Com isso vemos que o primeiro axioma, A1, é satisfeito. Em relação a A2, vemos simplesmente que

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2, , ,d Q P x x y y d P Q= + − + − =

portanto, A2 também é satisfeito. Para testar A3 (a

Vamos ver neste apêndice que não é necessário definir um produto interno num dado conjunto para definir nele uma distância.

Um conjunto de elementos que denotaremos por , , , ,α β γ … etc, é dito de espaço métrico se existe uma aplicação : d +× → R , tal que são satisfeitos os seguintes axiomas:



2U

nida

de


desigualdade triangular) não faremos, neste apêndice, nenhuma demonstração matemática rigorosa. Mas, com o auxílio do gráfico da Figura 1, veremos intuitivamente o que acontece. No lado esquerdo dessa figura, temos um triângulo com vértices P de coordenadas ( , )a b , Q de coordenadas ( , )u v e R de coordenadas ( , )w z .

P(a,b)

Q(u,v)

R(w,z)

P(a,b)

Q(u,v)

R(w,z)

Podemos notar que o comprimento do segmento PR é menor que a soma dos comprimentos dos segmentos PQ e ,QR ou seja,

( ) ( ) ( ), , , .d P R d P Q d Q R< +

Já do lado direito da Figura 1, vemos o caso limite no qual o ponto Q pertence ao segmento ,PQ situação na qual vale a igualdade

( ) ( ), , ( , ).d P R d P Q d Q R= +

Portanto a nossa definição de distância entre pontos do plano se encaixa dentro da definição axiomática anterior. Aliás, é só um caso particular. Para ver isso, vamos definir como o conjunto de todas as seleções de futebol cadastradas na FIFA, isto é, o elementos de são 1s = ARGENTINA,

2s = BRASIL, 3s = ESPANHA, 4s = HOLANDA etc. Seja : d ,+× → R tal que se duas seleções de futebol

Figura 1: No lado esquerdo, triângulo PQR . No lado direito, caso limite no qual o ponto Q pertence ao segmento PR .

154 EADFísica

cadastradas na FIFA são iguais, faz corresponder o número 0, caso contrário, faz corresponder o número 1. Por exemplo, d (HOLANDA, HOLANDA) 0= , e d(BRASIL, ESPANHA)=1. Isto é:

( ) 0,, .

1,i j

i jd s s

i j=

= ≠

Cabe-nos perguntar se essa definição de distância, conhecida pelo nome de métrica discreta, satisfaz os três axiomas já enunciados. Os dois primeiros axiomas são facilmente satisfeitos. Para o terceiro axioma (desigualdade triangular) devemos verificar que

( ) ( ) ( ), , , .i k i j j kd s s d s s d s s≤ +

Consideremos os seguintes casos

• Seja i k j= =

( ) ( ) ( ), , , i i i i i id s s d s s d s s≤ +

0 0 0≤ +

0 0≤

• Seja i k j≠ =

( ) ( ) ( ), , , i j i j j jd s s d s s d s s≤ +

1 1 0≤ +

1 1≤

• Seja i k j= ≠

( ) ( ) ( ), , , i i i j j id s s d s s d s s≤ +

0 1 1≤ +

0 2≤



2U

nida

de


• Seja i j k= ≠

( ) ( ) ( ), , , i k i i i kd s s d s s d s s≤ +

1 0 1≤ +

0 1≤

• Seja i k j i≠ ≠ ≠

( ) ( ) ( ), , , i j i k k jd s s d s s d s s≤ +

1 1 1≤ +

1 2.≤

Sendo assim, todos os casos possíveis verificam a desigualdade triangular. Isso quer dizer que conseguimos definir uma distância num espaço bem diferente ao espaço físico ordinário, pois se trata de um espaço formado pelo conjunto de seleções de futebol cadastradas na FIFA, que nada tem a ver com o espaço formado pelo conjunto de tríades ordenadas de números reais... “Nada tem a ver”, mas com uma coisa em comum: ambos são espaços métricos, pois em ambos “demos um jeito” de definir uma distância. Se 2= R , a distância é 2 2:d +× →R R R dada por

( ) ( ) ( )2 22 1 2 1, ,d P Q x x y y= + − + −

com 2,P Q∈R , sendo 1x e 1y as coordenadas de P , e 2x e 2y as coordenadas de Q . Já se = , então a distância é

:d +× → R , dada por

( ) 0, , ,

1,i j

i jd s s

i j=

= ≠

com , i js s ∈ . Ambas definições de distância satisfazem a definição axiomática introduzida anteriormente. Fica claro, assim, que a distância entre pontos do espaço físico

156 EADFísica

ordinário, dada pela “velha fórmula da raiz quadrada”, é só um caso particular de distância.

BUTKOV, E., Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc., United States of America, 1968.

BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G.; ÁLGEBRA LINEAR, São Paulo, HARBRA Ltda., 1980.

REFERÊNCIAS



2U

nida

de

Suas anotações

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3ªunidade

ÁLGEBRA LINEAR OPERADORES


• identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

• identificar operadores simétricos e hermitianos e conhecer as suas propriedades;

• resolver problemas de autovalores e autovetores de matrizes e operadores.

1 INTRODUÇÃO

Nesta unidade, definiremos e estudaremos operadores ortogonais, unitários, simétricos e hermitianos a partir de suas propriedades e das propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também abordaremos o problema de autovalores e autovetores de matrizes e operadores. Definiremos o polinômio e a equação característica e veremos a sua relação com o problema de diagonalização de matrizes e operadores.

2 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRIcOS E HERMITIANOS

Estudaremos nesta seção um tipo especial de transformações lineares definidas sobre espaços com produto interno. Elas possuem propriedades que fazem com que sejam de muita utilidade em aplicações físicas. Na linguagem utilizada na Mecânica Quântica, usa-se o termo operador ao invés de transformação linear, embora representem o mesmo objeto matemático. De agora em diante, é assim que chamaremos as transformações lineares: operadores.

2.1 Algumas Definições

2.1.1 Operadores ortogonais e unitários:

Seja um espaço de Hilbert e :U → um operador. Esse operador é chamado de ortogonal (no caso K=R), ou unitário (no caso K=C), desde que preserve o produto interno. Isso quer dizer que , ψ φ∀ ∈ vale que


Álgebra Linear - Operadores

3U

nida

de


| | .U Uψ φ ψ φ=

Exemplo 1: Seja a rotação definida na unidade anterior,

2 1 2 1:R R Rθ× ×→ tal que, se 11 2 1

21

,x

X Rx

× = ∈

então

( ) ( )'R X X R Xθ θ= =

11 11 11 21 11

21 21 11 21 21

cos sin 'cos sin'.

sin cos 'sin cosx x x x x

R Xx x x x x

θθ θθ θθ θθ θ

+ = = = = − +−

Se tomarmos um vetor 11 2 1

21

,y

Y Ry

× = ∈

e aplicamos a rotação, obtemos: Para ver que Rθ é ortogonal, devemos mostrar que ( ) ( )| ' | ' | .R X R Y X Y X Yθ θ = = Aplicando a definição

de produto interno nesse espaço, juntamente com a definição de ,Rθ vemos que

( )'

' ' ' ' ' ' ' ' ' '1111 21 11 11 21 21'

21

| | T yR X R Y X Y X Y x x x y x y

yθ θ

= = = = + =

( )( )11 21 11 21cos sin cos sinx x y yθ θ θ θ= + +

( )( )11 21 11 21sin cos sin cosx x y yθ θ θ θ+ − + − + =

2 211 11 11 21 21 11 21 21cos cos sin sin cos sin x y x y x y x yθ θ θ θ θ θ= + + + +

2 211 11 11 21 21 11 21 21sin sin cos cos sin cosx y x y x y x yθ θ θ θ θ θ− − + =

( ) ( ) ( )( )2 2 2 211 11 21 21 21 21 11 11 11 11 21 21cos sin cos sin x y x y x y x y x y x yθ θ θ θ= + + + = + +

( ) ( ) 1111 11 21 21 11 21

21

| .Tyx y x y x x X Y X Y

y

= + = = =

Desse modo, podemos afirmar que o operador Rθ é ortogonal, pois como acabamos de ver, preserva o produto interno.

162 EADFísica

Exemplo 2: Seja 2 1 2 1:U C C× ×→ tal que

( )

11 2111 11'

21 2111 21

1'2 2 .'1

2 2

ia aa a

A U A Ua ai a a

+ = = = = +

( )

11 2111 11'

21 2111 21

1'2 2 .'1

2 2

ib bb b

B U B Ub bi b b

+ = = = = +

Para ver se esse operador é realmente unitário, vamos calcular ( ) ( )

11 21' ' '† * * * *

11 21 11 21

11 21

11 1 2 2| | '

12 2 2 22 2

ib bi iU A U B A B A B a a a a

i b b

+ − = = = − + +

* * * *11 21 11 21 11 21 11 21

1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2

i i i ia a b b a a b b− = − + + + + =

* * * * * * * *11 11 11 21 21 11 21 21 11 11 11 21 21 11 21 21

1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2

i i i ia b a b a b a b a b a b a b a b= + − + + − + + =

= * * * * * *

11 11 21 21 11 11 21 21 11 11 21 211 1 1 12 2 2 2

a b a b a b a b a b a b+ + + = + =

( ) 11* * †11 21

21

| ,b

a a A B A Bb

= =

portanto, como ( ) ( )| | ,A BU AU B= podemos afirmar que U é um operador unitário. É fácil ver que, como consequência da preservação do produto interno dos operadores unitários, eles também preservam a norma de um vetor, a distância entre vetores, e o ângulo entre vetores. Isso quer dizer que:

( ) ( ) ( )| |U U UΦ = Φ Φ = Φ Φ = Φ



3U

nida

de


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,U Ud Ud Uψ ψ ψ ψΦ = Φ − = Φ − = Φ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Re |Re |cos cos ',

U U

U U

ψψθ θ

ψ ψ

ΦΦ= = =

Φ Φ

onde 'θ é o ângulo entre ( )' UΦ = Φ e ( )' .Uψ ψ=

Exemplo 3: Seja 2 1 2 1:U C C× ×→ o operador unitário

do exemplo anterior e seja3

Ai

=

e 1

,2

B = −

vamos ver

que cos cos ',θ θ= assim:

( ) ( )

( ) ( )

3 1 1Re | Re 32Re | 2

cos3 1 3 1

3 1 22 2

iiA B

A Bii i

θ

− − − = = = =

− − − −

( )( )( ) ( )

( )Re 3 1 ( 2) Re 3 2 3 3 .9 1 1 4 10 5 5 23 3 ( ) 1 1 2 ( 2)

i i

i i

× + − × − += = = =

+ +× + − × × + − × −

Por outro lado, temos que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

' ''

' '

3 1Re |Re |Re | 2

cos3 1

2

U UU A U BA B i

A B U A U B U Ui

θ

− = = = =

−

( )

( )

( )

( )

1 13 1 22 2 2 2Re

1 13 1 22 2 2 2

1 13 1 22 2 2 2

1 13 1 22 2 2 2

i ii

i ii

i ii

i ii

× + × × + × − × + × × + × −

= = × + × × + × − × + × × + × −

164 EADFísica

3 1 1 2 2 1 22 2 2 2 2 2Re Re

3 2 4 22 2 2 2 2 2

3 1 1 2 2 1 22 2 2 2 2 2

3 2 4 22 2 2 2 2 2

i i

i i i i i

i i

i i i i i

− − − + − − + + +

= =− − − +

− − + + +

=

1 22 4 2Re

22 22

2 1 22 4 1 2 22 2

4 22 2 2 22 2

ii

i

ii i i

i i

− − − +

= =−

− + − − − +

2 1 2 4 2 2 4 8 4Re Re2 2 2 2 2 2

2 2 4 4 1 2 1 2 2 2 1 4 4 12 82 22 2 2 2 2 2 2 2

i i i i i

i i i i i i

− − − + − + × + × + = = =− + − − − − + + +

× + × × + × + +

( ) ( )Re 1 2 4 2 Re 3 2 3 .10 5 50 5 2

i i i− + + += = =

Portanto verificamos que cos cos 'θ θ= . Deixamos para o leitor interessado verificar que ( ) ( ), ', ' .d A B d A B= Em relação à norma dos vetores, podemos apreciar, no desenvolvimento do exemplo, que ficou verificado que

'A A= e ' .B B= É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas a operadores unitários em bases ortonormais. Para isso vamos enunciar e demonstrar a seguinte propriedade: Seja um espaço de Hilbert e :U → um operador unitário (ou ortogonal, se for o caso de K R= ),



3U

nida

de


seja 1 2, nB ξ ξ ξ= … uma base ortonormal de , então

BBU é uma matriz unitária (ou ortogonal, se for o caso de K R= ). As definições de matrizes unitárias e ortogonais foram dadas nos exercícios 20 e 21 do final da Unidade 1. Vale a pena relembrar: uma matriz quadrada real é chamada de ortogonal desde que a sua inversa seja a sua transposta, e uma matriz quadrada complexa é chamada de unitária desde que a sua inversa seja a sua transposta conjugada. Para demonstrar a propriedade acima, vamos escrever, segundo a definição de matriz associada a um operador numa dada base, que

( )1

n

i ik kk

UU ξ ξ=

=∑

e

( )1

,n

j jl ll

U Uξ ξ=

=∑

onde ikU ( )jlU representa o elemento de matriz da linha i

( )j e da coluna k ( )l da matriz .BBU Logo, pelas propriedades de base ortonormal e de operador unitário, temos

( ) ( )1 1

* *

1 1 1 1

| |

| =

n n

ij i j i j ik k jl lk l

n n n n

ik jl k l ik jl klk l k l

U U U U

U U U U

δ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ δ

= =

= = = =

= = = =

=

∑ ∑

∑ ∑ ∑∑

* *

1 1

,n n

Tik jk ik kj

k k

U U U U= =

= =∑ ∑

ou seja

*

1

.n

Tij ik kj

k

U Uδ=

=∑

Conjugando os dois membros, e sabendo que como ,ij Rδ ∈ *,ij ijδ δ= temos que

166 EADFísica

( ) ( )*

* ** * * †

1 1 1

,n n n

T Tij ik kj ik kj ik kj ij

k k k

U U U U U Uδ δ= = =

= = = = ∑ ∑ ∑

ou, equivalentemente, segundo a definição de produto de matrizes, ( )† .BB BB n nU U I ×= Deixamos ao leitor interessado completar a demonstração, provando que ( )† .BB BB n nU U I ×= Sendo assim, fica mostrado que BBU é, efetivamente, uma matriz unitária. A demonstração no caso que H seja um espaço vetorial real está contida na demonstração anterior, já que, se ,K R= temos que *

ik ikU U= porque .ikU R∈ Nesse caso, segundo a definição de matrizes ortogonais, temos que

( ) ( ) .T TBB BB n n BB BBU U I U U×= =

Exemplo 1: Seja 2 1 2 1:U C C× ×→ tal que

( )

11 21 '11' 11

'21 21

11 21

1 25 5 ,2 15 5

ia aa a

A Aa i aa a

U U

+ = = = = − +

e seja 1 2

1 0, ,

0B E E

i

= =

uma base ortonormal de

2 1.C × Vamos determinar primeiramente :BBU

( )

1

1 2

1 2 11 01 5 5 50 2 1 21 0

5 5 5

1 01 2 1 205 5 5 5

i

Ei i

E

U

E

U

i

× + × = = = = × + ×

= + = +

=

( )

1

1 2

1 2 11 01 5 5 50 2 1 21 0

5 5 5

1 01 2 1 205 5 5 5

i

Ei i

E

U

E

U

i

× + × = = = = × + ×

= + = +

=

11 1 12 2.U E U E= +



3U

nida

de


( )

2

1 2 200 5 5 5

2 105 5 5

1 02 105 5

i

U Ui

Ei i ii

i

× + × − = = = = × + ×

= − + =

1 2 11 1 12 22 1 ,5 5

E E U E U E= − + = +

portanto

11 12

21 22

1 25 5 ,2 15 5

BB

U UU

U U

= = −

( )† † * *

† 11 12 11 21† † * *21 22 12 22

1 25 5 ,

2 15 5

BBU U U U

UU U U U

− = = =

e

( )†

1 2 1 25 5 5 5

2 1 2 15 5 5 5

BB BBU U

− = =

−

1 1 2 2 1 2 2 15 5 5 5 5 5 5 52 1 1 2 2 2 1 15 5 5 5 5 5 5 5

1 4 2 21 05 5 5 5 .

2 2 4 1 0 15 5 5 5

− − − × + × × + ×

= = − × + × × + ×

+ − = = − +

168 EADFísica

2.1.2 Operadores simétricos e hermitianos

Seja um espaço de Hilbert e :H → um operador. Esse operador é chamado de simétrico (no caso K R= ), ou hermitiano (no caso K C= ), desde que

, ,ψ∀ Φ∈ se satisfaça que

| | .H Hψ ψΦ = Φ

Vale a pena relembrar que o produto interno ( )| | .H KHψ ψΦ = Φ ∈

Exemplo 1: Seja ( ) ( ) ( ) ( )2

2/ , , 2t

nt t P t e P t nφ φ− = = ∈ >

com o produto interno definido por

( )*| ( ) ,t t dtφ ψ φ ψ∞

−∞= ∫

e seja H tal que ( ) .di

dtH φφ = −

Vamos tomar os polinômios ( ) 1 2P t p p t= + e ( ) 1 2Q t q q t= +

pertencentes a nC , tal que ( ) ( ) ( )

2 2

2 21 2

t t

t P t e p p t eφ− −

= = + e

( ) ( ) ( )2 2

2 21 2

t t

t Q t e q q t eψ− −

= = + com 1 2 1 2, , , ,p p q q C∈ e

vamos calcular ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

* * 2 2|t td t dt i dt i P t e Q t e dt

dt dtH

ψφ ψ φ

∞ ∞ − −

−∞ −∞

= − = − =

∫ ∫

1 1 2 2 1 2 2 15 5 5 5 5 5 5 52 1 1 2 2 2 1 15 5 5 5 5 5 5 5

1 4 2 21 05 5 5 5 .

2 2 4 1 0 15 5 5 5

− − − × + × × + ×

= = − × + × × + ×

+ − = = − +



3U

nida

de


( ) ( ) ( )2 2 2

* 2 2 2t t td di P t e Q t e Q t e dt

dt dt∞ − − −

−∞

= − + = ∫

( ) ( ) ( )( )2 2 2

* * 2 2 21 2 1 2 1 2

t t tdi p p t e q q t e q q t t edt

∞ − − −

−∞

= − + + + + − =

∫

( )2 2 2 2

* * 22 2 2 21 2 2 1 2

t t t t

i p p t e q e q te q t e dt∞ − − − −

−∞

= − + − − =

∫

( )( )2 * * 21 2 2 1 2

ti e p p t q q t q t dt∞ −

−∞= − + − − =∫

( )2 * * * 2 * * 2 * 31 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2

ti e p q p q t p q t p q t p q t p q t dt∞ −

−∞= − − − + − − =∫

( ) ( )2 * * * * * 2 * 31 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

ti e p q p q p q t p q p q t p q t dt∞ −

−∞ = − − − − + − = ∫

( ) ( )2 2 2 2* * * * * 2 * 31 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

t t t tip q e dt i p q p q te dt i p q p q t e dt ip q t e dt∞ ∞ ∞ ∞− − − −

−∞ −∞ −∞ −∞= − + − + + + =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )* * * * * *1 2 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 3,ip q I i p q p q I i p q p q I ip q I= − + − + + +

onde temos definido sI como, 2

,s tsI t e dt

∞ −

−∞≡ ∫ com

0,1,2,3.s = As integrais

1I e 3I são nulas, porque o intervalo de integração é simétrico e o integrando é uma função ímpar da variável de integração. Sendo assim, temos que

( ) ( )

( )

* * *1 2 0 1 2 2 1 2

* * *1 2 0 1 2 2 2 1 2

* *1 2 2 0 2 1 2

|

.

H ip q I i p q p q I

ip q I ip q I ip q I

ip q I I ip q I

φ ψ = − + + =

= − + + =

= − +

170 EADFísica

Por outro lado, a integral 0I vale ,π já 2I vale

.2π Substituindo acima, obtemos

( ) ( )* * * *1 2 2 1 1 2 2 1| .

2 2 2H ip q ip q i p q p qπ π πφ ψ π

= − + = − −

As integrais do tipo

2

0( ) s

sJ e dαξα ξ ξ∞ −≡ ∫

com 0,1,2,s = … e 0,α > são muito usadas na área de Probabilidade e Estatística e são resolvidas com técnicas que aprenderemos na unidade dedicada a funções de Variável complexa. Mas, no caso particular de ( )0 ,J α ela pode ser calculada da seguinte maneira:

( ) ( )

( )( )( )

2

2 2

2 2

220 0

0 0

0 0.

J e d

e d e d

e d d

αξ

αξ αζ

α ξ ζ

α ξ

ξ ζ

ξ ζ

∞ −

∞ ∞− −

∞ ∞ − +

= =

= =

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

Usando coordenadas polares, cosrξ θ= e sin ,rζ θ= com ,d d rd drξ ζ θ= essa integral fica

( ) 2 222

0 0 0 0.

2r rJ d re dr re dr

πα απα θ

∞ ∞− − = = ∫ ∫ ∫ Fazendo a substituição 2 ,z rα= 2dz rdrα= e

.2dzrdr

rα= Temos assim que

( ) ( )20 00

0 1 .4 4 4 4

z zJ e dz eπ π π παα α α α

∞ ∞− − = = − = − − = ∫

Portanto ( )01 .2

J παα

= No nosso caso 1.α = Logo, observando

saiba mais



3U

nida

de


os limitantes de integração, vemos que ( ) ( )0 01 2 1 .I J π= = A seguir, apresentamos algumas

dessas integrais:

( ) ( ) ( )2 2

0 0 00

1 2 ,2

J e d I e d Jαξ αξπ πα ξ α ξ αα α

∞ ∞− −

−∞= = ⇒ = = =∫ ∫

( ) ( )2 2

1 10

1 0,2

J e d I e dαξ αξα ξ ξ α ξ ξα

∞ ∞− −

−∞= = ⇒ = =∫ ∫

( ) ( ) ( )2 22 22 2 20

1 12 ,4 2

J e d I e d Jαξ αξπ πα ξ ξ α ξ ξ αα α α α

∞ ∞− −

−∞= = ⇒ = = =∫ ∫

( ) ( )2 23 33 320

1 0.2

J e d I e dαξ αξα ξ ξ α ξ ξα

∞ ∞− −

−∞= = ⇒ = =∫ ∫

Em Seguida, calculamos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2* ** 2 2|

t td t d t dH i t dt i t dt i P t e Q t e dtdt dt dtφ φ

φ ψ ψ ψ∞ ∞

∞ − −

−∞−∞ −∞

= − = =

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 2

* *2 2 2t t td di P t e P t e Q t e dt

dt dt∞ − − −

−∞

= + = ∫

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

* * * *2 2 21 2 1 2 1 2

* * *2 2 22 1 2 1 2

t t t

t t t

d di p p t e p p t e q q t e dtdt dt

i p e p p t t e q q t e dt

∞ − − −

−∞

∞ − − −

−∞

= + + + + =

= + + − + =

∫

∫ ( )( )2 * * * 22 1 2 1 2

ti e p p t p t q q t dt∞ −

−∞= − − + =∫

( )2 * * * * 2 * 2 * 32 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

ti e p q p q t p q t p q t p q t p q t dt∞ −

−∞= + − − − − =∫

( ) ( )2 * * * * * 2 * 32 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

ti e p q p q p q t p q p q t p q t dt∞ −

−∞ = + − − + − = ∫

( ) ( )2 2 2 2* * * * * 2 * 32 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

t t t tip q e dt i p q p q te dt i p q p q t e dt ip q t e dt∞ ∞ ∞− − −∞

−∞

−

−∞ −∞ −∞= + − − + − =∫ ∫ ∫∫

172 EADFísica

( ) ( )* * * * * *2 1 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3ip q I i p q p q I i p q p q I ip q I+ − − + − =

* * * * * * * * *2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 0 1 2 2 2 1 2ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I= + − − − − = − − =

( )* * * *2 1 1 2 1 2 2 1 .

2 2 2ip q ip q i p q p qπ π ππ

= − − = − −

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

* * * *2 2 21 2 1 2 1 2

* * *2 2 22 1 2 1 2

t t t

t t t

d di p p t e p p t e q q t e dtdt dt

i p e p p t t e q q t e dt

∞ − − −

−∞

∞ − − −

−∞

= + + + + =

= + + − + =

∫

∫

Vemos assim que ( ) ( ) ( )* *1 2 2 1| | ,

2H H i p q p qπφ ψ φ ψ= = − −

podendo afirmar desse modo que o operador dH idt

= − é um operador

hermitiano.

É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas

a operadores simétricos ou hermitianos em bases ortonormais. Para isso,

vamos enunciar e demonstrar a seguinte propriedade:

Seja um espaço de Hilbert e :H → um operador

hermitiano (ou simétrico, se for o caso de K=R), seja 1 2, nB ξ ξ ξ= …

uma base ortonormal de , então BBH é uma matriz hermitiana (ou

simétrica, se for o caso de K=R). Para dar início à demonstração, vamos escrever

( )1

,n

i ik kk

H Hξ ξ=

=∑

onde Hik são os elementos de matriz de HBB. Calculemos agora o produto interno

( )

( )

1 1 1

* * *

1 1 1

| | |

| | | ,

n n n

j i j ik k ik j k ik jk ijk k k

n n n

j i jk k i jk k i jk ki jik k k

H H H H H

H H H H H

ξ ξ ξ ξ ξ ξ δ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ δ

= = =

= = =

= = = = =

= = = = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑



3U

nida

de


onde temos usado a definição de operador hermitiano. Vemos assim que * .ij jiH H= Portanto ( )†

BB BBH H= e BBH é uma matriz hermitiana. Se o espaço vetorial é real, o resultado é ij jiH H= e se satisfaz a igualdade ( ) ,T

BB BBH H= o que define uma matriz simétrica.

Exemplo 1: Seja 4C= e seja H tal que

( ) ( )( ) ( )' ' ' ' '1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,H H a a a a a a a aα α= = = =

( )1 2 3 4 1 2 4 1 3 4 1 2 3 42 3 , 4 , 2 ,3 4 2 6 ,a ia ia a ia a a ia a ia a a ia a= + + + − + + − + + + − −

e seja 1 2 3 4( , , , ).b b b bβ = Calculemos o produto interno ( )| Hβ α e verifiquemos que é igual a ( ) | :H β α

( )4

* '

1

| j jj

H b aβ α=

= =∑

( ) ( )

( ) ( )

( )

* *1 1 2 3 4 2 1 2 4

* *3 1 3 4 4 1 2 3 4

* * * * * * *1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 4 2

* * * * * * *1 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4

* * * * *1 2 3 4 1 1

2 3 4

2 3 4 2 6

2 3 4

2 3 4 2 6

2 3

b a ia ia a b ia a a

b ia a ia b a a ia a

a b ia b ia b a b ia b a b a b

ia b a b ia b a b a b ia b a b

b ib ib b a ib b

= + + + + − + + +

+ − + + + + − −

= + + + − + +

− + + + + −

−

−

− + +

=

= − +( ) ( )

( ) ( ) ( )

* * * * *2 4 2 1 3 4 3

4 ** * * *1 2 3 4 4

1

4 2

3 4 2 6 ' | .j jj

b a ib b ib a

b b ib b a b a H β α=

+ + + −

+

+

+ + − = =∑

Sendo assim, o operador H é hermitiano. Vamos calcular, a seguir, a sua matriz associada a base ortonormal

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4, , , 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1B ξ ξ ξ ξ= = de 4 :C

( ) ( )( ) ( )1 11 1 12 2 13 3 14 4 1 2 3 41,0,0,0 2, , ,3 2 3H H i i H H H H i iξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= = − − = + + + = − − +

( ) ( )( ) ( )2 21 1 22 2 23 3 24 4 1 2 3 40,1,0,0 ,1,0, 4 1 0 4H H i H H H H iξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= = = + + + = + + +

174 EADFísica

( ) ( )( ) ( )3 31 1 32 2 33 3 34 4 1 2 3 40,0,1,0 ,0,1, 2 0 1 2H H i i H H H H i iξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= = − = + + + = + + −

( ) ( )( ) ( )4 41 1 42 2 43 3 44 4 1 2 3 40,0,0,1 3,4,2 , 6 3 4 2 6 ,H H i H H H H iξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= = − = + + + = + + −

portanto

( )

11 12 13 14

†21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

2 31 0 4

.0 1 2

3 4 2 6

BB BB

H H H H i iH H H H i

H HH H H H i iH H H H i

− − = = = −

−

Logo, podemos concluir que BBH é uma matriz hermitiana, como queríamos verificar.

3 PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

O problema de autovalores e autovetores de um operador, ,O é muito importante em diversas áreas da Física. Trata-se de encontrar vetores não nulos de um espaço vetorial H e escalares de K tal que se satisfaça a seguinte relação:

,Oψ λψ=

com Hψ ∈ e .Kλ∈ A equação acima é conhecida pelo nome de equação de autovalores e autovetores do operador .O Embora não seja necessário, suporemos que o nosso espaço vetorial H possui produto interno, já que é esse o caso de maior interesse na Física.

3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Como vimos nas seções anteriores, um operador admite uma representação matricial. Por conta disso, vamos introduzir o



3U

nida

de


problema em termos de matrizes.

3.1.1 Definição

Dada uma matriz ,n nA K ×∈ dizemos que a matriz coluna (ou vetor coluna, que é outra terminologia usada mais frequentemente) não nula 1nx K ×∈ é autovetor da matriz A desde que se satisfaça a relação

,Ax xλ= onde Kλ∈ é conhecido pelo nome de autovalor de A correspondente (ou associado) ao autovetor .x A equação acima pode ser escrita também da forma

0,Ax xλ− =

onde 0 é a matriz coluna nula de 1,nK × ou ainda

0Ax Ixλ− =

( ) 0A I xλ− =

sendo que I é a matriz identidade de .n nK × Explicitamente, podemos escrever:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

n

n

n n nn n

a a a xa a a x

a a a x

λ

− =

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

0 0 00 0 0

0 0 0

n

n

n n nn n

a a a xa a a x

a a a x

λλ

λ

− =

176 EADFísica

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

00

,

0

n

n

n n nn n

a a a xa a a x

a a a x

λλ

λ

− − =

−

onde temos usado a notação 1,j jx x= 1,2, .j n∀ = … Desenvolvendo o produto de matrizes, encontramos o seguinte sistema de equações homogêneo para as incógnitas 1x , 2x ,... :nx

( )( )

( )

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0.

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

λλ

λ

− + + + =+ − + + =

…+ + … + − =

Tal sistema só terá solução diferente da solução 1x = 2x =... 0,nx= = desde que

( )

11 12 1

21 22 2

1 2

det det 0.

n

n

n n nn

a a aa a a

A I

a a a

λλ

λ

λ

− − − = = −

Se 2,n = teríamos

11 12

21 22

det 0a a

a aλ

λ −

= −

( )( )11 22 12 21 0a a a aλ λ− − − =

( )211 22 11 22 12 21 0,a a a a a aλ λ− + + − =

ou seja, um polinômio de segundo grau na variável ,λ igualado a zero. Em geral, a equação ( )det 0A Iλ− = equivale ao problema de achar as raízes de um polinômio de grau .n



3U

nida

de


A equação

( )det 0A Iλ− =

é chamada equação característica da matriz ,A e o polinômio

( ) ( )detP A Iλ λ= − é conhecido pelo nome de polinômio característico da matriz .A As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz .A Em geral são um conjunto de n valores de ,λ 1,λ 2 , .n Kλ λ… ∈ Para cada valor de iλ teremos um autovetor .ix Vejamos isso com um exemplo. Exemplo 1: Achar os autovalores e os autovetores da matriz 2 2 ,A ×∈R dada por

2 1.

0 3A =

É importante salientar duas questões: a primeira é que, mesmo no caso ,K R= os autovalores podem ser complexos porque os polinômios com coeficientes reais podem ter raízes complexas, e a segunda é que podemos ter dois ou mais autovalores iguais porque os polinômios pode ter raízes iguais. Por exemplo, o polinômio ( ) ( ) ( ) ( )3 27 1 3 ,P λ λ λ λ= − − + que é um polinômio de grau 6, possui 3 raízes, 1 7λ = , 2 1λ = , 3 3;λ = − só que 1 7λ = aparece três vezes e 2 1λ = aparece duas vezes. Em termos das multiplicidades, im , das raízes iλ , isso se escreve 1 3m =, 2 2m = e 3 1m = . Notar também que a somatória de todas as multiplicidades é igual ao grau do polinômio, ou seja,

1

,N

ii

n m=

=∑

onde n é o grau do polinômio e N é o número de raízes distintas.

atenção

A equação característica é dada por

178 EADFísica

( )det 0A Iλ− =

2 1det 0

0 3λ

λ −

= −

( )( )2 3 0.λ λ− − =

Os autovalores dessa matriz são as raízes dessa equação, ou seja, 1 2λ = e 2 3.λ = Para achar os autovetores devemos resolver o sistema de equações dado por

( )( )

1 2

1 2

2 1 00 3 0

x xx xλ

λ− + × =× + − =

para cada um dos autovalores achados. Se 1 2,λ λ= = obtemos que 2 0x = e 1x pode tomar qualquer valor. Portanto,

qualquer vetor coluna da forma 0u

pode ser um autovetor

associado ao autovalor 1 2.λ λ= = Se 2 3λ λ= = temos que

a primeira das equações acima fica 1 2 0x x− + = e a segunda 0 0= . Sendo assim, qualquer vetor coluna com as duas

componentes iguais, como por exemplo ,vv

pode ser um

autovetor associado ao autovalor 2 3.λ λ= = Verifiquemos a

seguir a equação de autovalores para a matriz .A . Tomemos

os vetores 1

70

x =

e 2

66

x−

= − e multipliquemos por :A

1 1 1

2 1 7 14 72

0 3 0 0 0Ax xλ

= = = =

2 2 2

2 1 6 18 63 .

0 3 6 18 6Ax xλ

− − − = = = = − − −

Portanto podemos afirmar que os vetores

1

70

x =

e 2

66

x−

= − são autovetores da matriz

2 10 3

A =

correspondentes aos autovalores 1 2λ = e 2 3,λ =



3U

nida

de


respectivamente.

3.1.2 Diagonalização de Matrizes

Os autovetores de uma matriz podem ser arranjados em forma de uma matriz, que chamaremos ,C da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 211 12 1 1 1 1

1 221 22 2 2 2 2

1 21 2

.

nn

nn

nn n nn n n n

x x xc c cx x xc c c

C

x x xc c c

= =

Ou seja, que ( ) .ij j ic x= Pode-se mostrar que C é

inversível e que a matriz ' 1A C AC−= é uma matriz diagonal. Mais ainda, os elementos da diagonal são os autovalores de

.A Vamos verificar isso com um exemplo. Exemplo 1:vamos agora formar a matriz C com os

autovetores 1

10

e =

e 2

12

12

e

=

da matriz 2 1

,0 3

A =

( ) ( )( ) ( )

1 21 1

1 22 2

112

102

e eC

e e

= =

e definamos a matriz ' 1 .A C AC−= Logo

( ) ( ) ( ) ( )1 1,1,1 ( ,1,1)1111

1 11 det det2 2

C CC c S+ = = ∆ = − = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2,1,2 ( ,1,2)1212

1 det det 0 0C CC c S+= = ∆ = − = − =

( ) ( ) ( ) ( )2 1,2,1 ( ,2,1)2121

1 11 det det2 2

C CC c S+ = = ∆ = − = − = −

180 EADFísica

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2,2,2 ( ,2,2)2222

1 det det 1 1.C CC c S+= = ∆ = − = =

11 12

21 22

1 021 12

c cC

c c

= = −

1 1( ) 2 2

0 1

TC − =

1

1 12 2

1 10 1( )1det( ) 0 22

TCCC

−

− − = = =

' 1

1 31 21 1 1 12 1 2 02 2 .0 3 1 3 0 30 2 0 20 0

2 2

A C AC−

− − = = = =

Vemos assim que a matriz 'A é uma matriz diagonal onde, na diagonal, estão os autovalores de .A Portanto, temos diagonalizado a matriz. É interessante observar que

( ) 'det det( ).A A= Facilmente vemos que,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' 1 1 det det

det det det det det det .detA C

A C AC C A C AC

− −= = = =

3.2 Autovalores e Autovetores de um Operador

Pelo que acabamos de ver, o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador pode-se reduzir a achar os autovalores e autovetores da matriz desse operador



3U

nida

de


numa dada base. Isso quer dizer que o problema Oψ λψ= pode ser abordado a partir da relação ( ) ( ) ( ) .T

BB B BO ψ λ ψ=

Exemplo 1: Seja 2R= e 2 2:O R R→ definido por

( ) ( )( ) ( ), , 4 ,O r O x y x y x y= = − − +

e seja ( ) 1 2, 1,0 , (0,1) .B e e= =

Primeiro achemos a matriz de O na base :B

( ) ( ) ( )1 1 2 11 1 12 2(1,0) 1, 4 1 4O e O e e o e o e= = − = − = +

( ) ( ) ( )2 1 2 12 1 22 2(0,1) 1,1 1 1 .O e O e e o e o e= = − = − + = +

Portanto

11 12

12 22

1 4.

1 1BB

o oO

o o−

= = −

Por outro lado, levando em conta o fato de

que ( )( ) ( ) ( ) ,TBB BB

O r O r= a equação característica é

( )( ) det 0,TBBO Iλ− = ou ainda, ( )21 4 0.λ− − = Sendo assim,

vemos que os autovalores são 1 1λ = − e 2 3.λ = O sistema de

equações a ser resolvido é:

( )( )

1 2

1 2

1 04 1 0.

x xx xλ

λ− − =− + − =

Se 1 1λ λ= = − temos que

1 2

1 2

2 04 2 0.x xx x

− =− + =

Isso quer dizer que qualquer vetor do tipo 2uu

serve

182 EADFísica

como autovetor. Já, se 2 3λ λ= = , podemos apreciar que

1 2

1 2

2 04 2 0.

x xx x

− − =− − =

Neste caso, o autovetor deverá ter a forma .2

vv−

Tomemos, por exemplo, os vetores coluna de 2 1×R

( ) 48B

r =

e ( ) 36B

s−

=

, formados pelas componentes, na

base ( ) 1 2, 1,0 , (0,1)B e e= = , dos vetores de 2R (4,8)r =

e ( 3,6),s = −

respectivamente. Em termos de matrizes, verificamos que

( ) ( ) ( ) 1

1 1 4 1 4 ( 1) 8 4 41

4 1 8 4 4 ( 1) 8 8 8T

BB B BO r rλ

− × + − × − = = = = − = − − × + − × −

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 3 9 31 ( 3) 1 63 .

4 1 6 18 64 ( 3) 1 6T

BB B BO s sλ

− − − − × − + − × = = = = = − − × − + ×

Já, em termo de operadores, verificamos que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆ 4,8 4 8, 4 4 8 4, 8 1 4,8O r O rλ= = − − × + = − − = − =

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2ˆ ˆ 3,6 3 6, 4 3 6 9,18 3 3,6 . O s O sλ= − = − − − × − + = − = − =

Verificamos assim que achar os autovalores e os autovetores do operador ˆ ,O equivale a achar os autovalores e os autovetores da matriz ( ) .T

BBO Exemplo 2: Seja o mesmo operador do exemplo anterior, e seja a base ( ) 1 2, 1,0 , (1,1) .C f f= = −

Primeiro achemos a matriz de O na base :C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 12 2 11 12 11 12 12ˆ ˆ ( 1,0) 1,4 1,0 1,1 ,O f O o f o f o o o o o= − = − = + = − + = − +



3U

nida

de


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 22 2 12 22 12 22 22ˆ ˆ (1,1) 0, 3 1,0 1,1 , .O f O o f o f o o o o o= = − = + = − + = − +

Facilmente vemos que, 11 12 1o o− + = − e 12 4.o = Por outro lado, 12 22 0o o− + = e 22 3.o = − Sendo assim, temos que

11 12

12 22

5 4.

3 3CC

o oO

o o

= = − −

A equação característica, ( )( ) det 0,TCCO Iλ− = fica

( )( )5 3 12 0.λ λ− − − + = Logo, 1 1λ = − e 2 3.λ = Notar que, em relação ao exemplo anterior, mudamos a base, mas os autovalores continuaram os mesmos. Vejamos agora o que acontece com os autovetores. O sistema de equações a ser resolvido é

( )( )

1 2

1 2

5 3 04 3 0.

x xx xλ

λ− − =

+ − − =

No caso 1 1,λ λ= = − temos que

1 2

1 2

6 3 04 2 0.

x xx x

− =− =

Isso quer dizer, como no exemplo anterior, que qualquer

vetor do tipo 2uu

serve como autovetor. Consideremos agora o

caso 2 3.λ λ= = O sistema fica:

1 2

1 2

2 3 04 6 0.

x xx x

− =− =

Portanto, neste caso, o autovetor deverá ter a forma 3

.2v

v

Vemos assim que, embora os autovalores sejam os mesmos, ante uma mudança de base, os autovetores, em geral, não são os mesmos. Tomemos, por exemplo, os vetores coluna de

184 EADFísica

2 1×R ( ) 12C

r =

e ( )3

,21

Cs

=

formado pelas componentes, na base

( ) 1 2, 1,0 , (1,1) ,C f f= = −

dos vetores de 2R (1, 2)r = e 3( ,1),2

s =

respectivamente. Em termos de matrizes, verificamos que

( ) ( ) ( ) 1

5 3 1 5 1 ( 3) 2 1 11

4 3 2 4 1 ( 3) 2 2 2T

CC C CO r rλ

− × + − × − = = = = − = − × + − × −

( ) ( )( )

( ) 2

33 9 35 3 15 3 2 3 .2 2 24 3 31 3 14 ( 3) 1

2

TCC C C

O s sλ

× + − × − = = = = = − × + − ×

Olhando para estes dois últimos exemplos, podemos afirmar que acabamos de verificar a seguinte propriedade: os autovalores de um operador não mudam frente a mudanças de base. Escrevamos agora os vetores r e s na base do exemplo anterior na base ( ) 1 2, 1,0 , (0,1) .B e e= =

Sabendo que na base

( ) 1 2, 1,0 , (1,1)C f f= = −

as componentes de r e s são (1, 2) e 3( ,1),2

respectivamente, podemos escrever

( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1,0 2,2 1,2 1 2r f f e e= + = − + = = +

( )1 2 1 23 3 1 11 ,0 1,1 ,1 1 .2 2 2 2

s f f e e = + = − + = − = − +

Sendo assim, vemos que ( ) 12B

r =

e ( )1

,22

Bs

− =

que são da forma

dos autovetores de ˆ ,O 2uu

e ,2

vv−

na base B (com u=1 e v=1/2),

como deve ser. É interessante esclarecer que diagonalizar um operador é diagonalizar a sua matriz, ou seja, achar a base de autovetores que deixa a matriz na sua forma diagonal.



3U

nida

de


1. Considerar o operador U tal que 2 1 2 1ˆ :U × ×→R R e

( ) 11 11 11 21'

21 21 11 21

' cosh sinh.

'ˆ

sinˆ

h coshU U

a a a aA A

a a a aθ θθ θ

+ = = = = +

Determinar se é um operador ortogonal com o produ-to interno definido por | .TA B A B=

2. Considerar o operador U tal que 2 1 2 1ˆ :U × ×→ e

( ) 11 11 11 21'

21 21 11 21

' cosh sinh.

'ˆ ˆ

sinh cosha a a

Ui a

A A Ua a i a a

θ θθ θ

+ = = = = − +

Determinar se é um operador unitário com o produto interno definido por †| .A B A B=

3. Seja a rotação 2 1 2 1ˆ :Rθ× ×→R R tal que se 11 2 1

21

xX

x×

= ∈

R então

'11 11 21 '11

'21 11 21 21

cos sinˆ .sin cos

x x x xR X

x x x xθ

θ θθ θ

+ = = = − +

Mostrar que ˆ ˆ ,R Rφ θ definida por

( ) 11 11

21 21

,ˆ ˆ ˆ ˆR R R Rx xx xφ θ φ θ

=

é uma transformação or-

togonal correspondente a uma rotação de ângulo .φ θ+

4. Determinar se os seguintes operadores, de 3 3,→R R são ortogonais:

( )( ) ( )ˆ , , , ,U x y z y z x=

( )( ) ( )ˆ , , , ,V x y z y x z= −

( )( ) 1 1ˆ , , ( ), ( ),2 2

S x y z x y x y z = + −

exercícios

186 EADFísica

( )( ) 1 1 1ˆ , , ( 2 2 ), ( 2 2 ), ( 2 2 )

3 3 3W x y z x y z x y z x y z = − − − + − − − +

5. Achar as matrizes dos operadores ˆ ,U ˆ,V S e W do exercício

anterior nas bases ( ) ( ) ( ) 1 2 3, , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B e e e= =

e

( ) ( ) ( ) 1 2 3, , 1,0,0 , 0, 1,0 , 0,0, 1 .C f f f= = − − −

Calcular os

respectivos determinantes.

6. Seja ( ) ( ) ( ) ( )2

2/ , , 3t

nt t P t e P t nφ φ− = = ∈ >

com o

produto interno definido por

( )*| ( ) ,t t dtφ ψ φ ψ∞

−∞= ∫

e seja H tal que

( )2

2ˆ .dH

dtφφ = −

Determinar se H é hermitiano.

7. Seja o conjunto de funções complexas de variáveis reais

[0, ]θ π∈ e [0, 2 ]φ π∈ definido por

[ ]1 2 3

3 3 3, , sin , cos , sin8 4 8

i iY Y Y e eφ φθ θ θπ π π

− = = −

com o produto interno definido por

2

*

0 0

| sin ( , ) ( , )F G d d F Gπ π

φ θ θ θ φ θ φ= ∫ ∫

, .F G∀ ∈ Achar a matriz do operador ˆ,L definido por

( ) ( , )ˆ ,FL F i θ φφ

∂= −

∂ na base 1 2 3, ,B Y Y Y= e mostre que se trata de

um operador hermitiano.

8. Achar a matriz do operador do exercício anterior na base



3U

nida

de


1 2 3 1 3 2 1 3, , , ,C Z Z Z Y iY Y Y iY= = + −

9. Seja 4 1×= com o produto interno definido da maneira

usual para esse espaço, e seja 4 1 4 1ˆ :S × ×→ tal que

ˆ .

x izy iw

Sz ixw iy

− = −

Mostre que S é hermitiano.


usual para esse espaço, e seja 4 1 4 1ˆ :T × ×→ tal que

ˆ .

x xy y

Tz zw w

= − −

Mostre que T é hermitiano.


usual para esse espaço, e seja 4 1 4 1ˆ :P × ×→ tal que

ˆ .

x iwy iz

Pz iyw ix

− − =

Mostre que P é hermitiano.

12. Achar os polinômios característicos das seguintes matrizes:

1 5 20 9 31 1 7

A = − − −

188 EADFísica

5 20 10 1 3

i iB i i

i

= + −

1 11 0 2

0

iC

i i

− = − −

13. Achar os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:

0 11 0

A =

0

0i

Bi

− =

1 00 1

C = −

cos sinsin cos

Rθ θθ θ

= −

cos sin 0sin cos 00 0 1

Sθ θθ θ

= −

cos 0 sin

0 1 0sin 0 cos

Tθ θ

θ θ

= −

cosh sinhsinh cosh

Uθ θθ θ

=

cosh sinh 0sinh cosh 0

0 0 1V

θ θθ θ

=



3U

nida

de


cosh 0 sinh0 1 0

sinh 0 coshW

θ θ

θ θ

=

1 1 00 1 00 0 1

Y =

14. Diagonalizar as matrizes ,A B e Y do exercício anterior.

15. Achar os autovalores e autovetores do operador do exercício 9.



18. Mostrar que os autovalores de um operador hermitiano são reais.

190 EADFísica

BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc., United States of America, 1968.

BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G. Álgebra Linear, São Paulo, HARBRA Ltda., 1980.

RESUMINDO

REfERêNcIAS

Nesta unidade, definimos operadores ortogonais, unitários, simétricos e hermitianos e estudamos as suas propriedades e as propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também abordamos o problema de autovetores e autovalores de matrizes e operadores. Definimos polinômio e equação característica e vimos a sua relação com o problema de diagonalização de matrizes e operadores.



3U

nida

de

Suas anotações

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4ªunidade

FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA


• saber trabalhar com números complexos;• identificar funções de variável complexa;• calcular integrais reais e complexas usando funções

complexas.

1 INTRODUÇÃO

Quandoumprofessorentranasaladeaulaedizqueiniciará o estudodosnúmeros complexos, os alunos pensamque são números, nomínimo,muito complicados.Ao saberque também existem números chamados de imaginários osalunos dirão que tais números, por serem imaginários, nãoexistem,eportanto,paraqueestudá-los?(CERRI etal, 2001).

Desta forma bem humorada começam as autoras do artigo HistóriadosNúmerosComplexos,C. Cerri e M. S. Monteiro da Universidade de São Paulo (CERRI et al, 2001). Nesse texto vocês vão descobrir que o surgimento de tais números está intimamente ligado à resolução de equações algébricas de grau 3 e não às de grau 2 e que sua aceitação, compreensão e utilização ocorreu de maneira lenta e gradual. Deixaremos esta nobre tarefa de leitura como uma atividade adicional, e começaremos com a álgebra e operações usuais de números complexos. Posteriormente, estudaremos as funções de variável complexa e suas aplicações para a física.

2 NÚMEROS cOMPLEXOS

Como já falamos anteriormente, ao estudarmos as raízes de equações algébricas, em particular, as raízes das equações cúbicas, será conveniente introduzir o conceito de um número, cujo quadrado é igual a -1. Conforme a tradição, este número é representado por ,i e escrevemos:

2 1,i = − e 1.i = −

Se permitirmos que i seja multiplicado por números reais (R), obtemos os númerosimaginários(I):b.i=bi, onde

.b R∈ Às vezes as combinações bi são também chamados de números imaginários puros para diferenciá-los do caso geral de números complexos. Se estendermos a propriedade


Funções de variável complexa

4U

nida

de


de multiplicação nos números reais para os números imaginários, concluímos que o produto de números imaginários são números reais, por exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2(3 ). 4 3 . 4 12 . 1 12,i i i− = − = − − =

( ) ( )2 2 2( 5 ) ( 5) 25 . 1 25,i i− = − = − = −

Juntando os números imaginários com os números reais, teremos um sistema onde poderemos efetuar multiplicações e divisões (não por zero!). Este conjunto será fechadocom respeito a estas operações (pois nenhum número deste conjunto submetido a estas operações foge do conjunto!). Embora este conjunto não seja fechado com respeito à adição e à subtração. Para evitar este infortúnio, foram criados os números complexos (Z). Eles podem ser escritos da seguinte forma:

( ) ,a bi Z+ ∈ onde ( ), .a b R∈

O conjunto de números complexos(Z) é fechado em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão, e mais ainda, com a operação de extrair raízes. Assim definido, o conjunto Z é uma extensão do conjunto r.

2.1 Geometria e álgebra básica de números

complexos

Se escrevermos os números complexos na forma usual a bi+ ou a ib+ podemos definir as operações usuais assim:

1. Adição:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 ,a ib a ib a a i b b+ + + = + + + com

( ) ( )1 1 2 2, , .a b e a b R∈

196 EADFísica

Exemplo 1:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 5 3 4 2 ( 5) 7 3 .i i i i+ + − = + + + − = −

2. Multiplicação:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ,a ib a ib a a b b i a b a b+ + = − + +

ATIVIDADES

Mostre a propriedade de multiplicação dos números complexos (item 2. do 2.1) e depois use esta propriedade para obter ( ) ( )3 2 . 4 5 .i i+ − Nota: Use as propriedades distributiva e associativa da multiplicação e a definição

2 1.i = −

A subtração de números complexos pode ser definida como a inversa da adição, formando o negativo do número complexo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 . 1 0 . ,a ib a ib i a ib a ib− + = − + = − + + = − −

e reduzir a subtração à adição. A regra para a divisão pode ser deduzida invertendo-se a multiplicação. Um método mais direto resulta de:

2 2

( ) ( ) ,a ib a ib c id ac bd i bc adc id c id c id c d+ + − + + −

= =+ + − +

2 2

2 2 2 2

( ) ( ) , ( 0). ac bd bc adi c dc d c d+ −

= + + ≠+ +

O número zero 0 0i+ é o único que pode ser escrito como 0 !



4U

nida

de


Os números complexos podem ser representados no chamado plano complexo, ou diagrama de Argand (Figura 1). Se representarmos o número complexo x iy+ por um único símbolo z e escrevermos ,z x iy= + então a cada z corresponderá um ponto no plano complexo com abscissa x e ordenada .y Dessa maneira também é possível obter uma representação geométrica de um número complexo.

1. A adição de números complexos obedece às mesmas regras que a adição de vetores no plano, sempre que a e b sejam reconhecidos como as componentes do vetor. No entanto, a multiplicação de números complexos é completamente diferente do produto interno (produto escalar) e do produto vetorial entre vetores.2. Usar o símbolo i é puramente convencional, correspondente ao binômio ,a ib+ mas é prescindível, ou seja, podemos definir um número complexo como um par ordenado de números reais, ( , )a b , que obedece a certas regras. Assim, a multiplicação deste par ordenado pode ser definida por

( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( , ) ( , ) , ,a b a b a a b b a b a b= − +

e devemos entender que a forma a ib+ é somente uma representação de um número complexo.

saiba mais

Figura 1. Diagrama de Argand para um número complexo.

198 EADFísica

Usando a Fig. 1, podemos obter:

( )cos sin cos sin ,z x iy r i r r iθ θ θ θ= + = + = +

onde 2 2cos , sin , , tan / .x r y r r x y y xθ θ θ= = = + =

Nesta representação, r é único (raiz quadrada positiva), mas o ângulo θ não é. Para isso, podemos adotar a convenção que:

,π θ π− < ≤

com a regra para os quadrantes, ou seja, 0θ < se 0.y < Assim nesta representação:

( ) cos sin ,z x iy r iθ θ= + = +

vamos definir os seguintes elementos:

x e z=ℜ é a parte real de z ,

y m z= ℑ é a parte imaginária de ,z

| |r z= é o módulo de z , também chamado de valor absoluto de ,z

θ é o argumento de ,z também chamado de ângulo polar ou fase.

Também é muito útil definir o número x iy− que é chamado o complexo conjugado do número .z x iy= + Ele é representado por .z x iy= − No plano complexo, z e z representam cada um à reflexão de outro em torno do eixo real.



4U

nida

de


Podemos usar a regra do paralelogramo de vetores no plano para somar dois números complexos associados a esses vetores. Esta propriedade esta representada na Figura 2.

saiba mais

1. Podemos formar o módulo quadrado do número complexo z , definindo a quantidade . , z z que será sempre um número real positivo, ou seja:

22. | | .z z z z= =

2. A quantidade z z+ é sempre um número real, igual a:

22 2 | .|z z e z e z+ = ℜ = ℜ

3. A operação de conjugação complexa é distributiva e associativa com respeito a soma e ao produto:

1 2 1 2( ) , z z z z+ = + e ( )1 2 1 2. . .z z z z=

Do mesmo modo, podemos representar vetores do plano por números complexos. O produto escalar entre estes dois vetores pode ser obtido por:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 . , e z z e z zz z =ℜ =ℜ

onde fica subentendido que 1 z e 2 z são vetores correspondentes aos números complexos 1z e 2z ···, respectivamente. De maneira semelhante, o módulo do

Figura 2. Adição de números complexos usando a representação vetorial e a regra do paralelogramo

200 EADFísica

produto vetorial pode ser obtido como:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 .m z z m z zz z × = ℑ = ℑ

ATIVIDADES

ATIVIDADES

Verifique as regras de produto escalar e vetorial para os vetores associados aos números complexos.

3 fÓRMULA DE MOIVRE E O cÁLcULO DE RAÍZES

Enquanto a adição e a subtração de números complexos são mais fáceis de realizar na representação cartesiana ,z x iy= + as operações de multiplicação e divisão são mais fáceis de realizar na representação trigonométrica. Se ( )1 1 1 1 cos sin z r iθ θ= + e ( )2 2 2 2 cos sin , z r iθ θ= + então cálculos quase elementares mostram que

1 2 1 2 1 2 1 2. [cos ( ) sin ( )], z z r r iθ θ θ θ= + + +

com a condição de que se 1 2( ) ,θ θ π+ > ou 1 2( ) ,θ θ π+ ≤ − então devemos adicionar ou subtrair 2 .π

Deduza a fórmula anterior, usando identidades trigonométricas para o seno e coseno da soma de dois ângulos.



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de


Da mesma maneira, podemos obter uma regra geral para calcular a n –ésima potência de um número complexo z , que se conhece como fórmuladeMoivre:

(cos sin ) cos sin , ni n i nθ θ θ θ+ = + (com n =inteiro).

Se ( )cos sin ,z r iθ θ= + então ( ) cos sin ,nz R iφ φ= + onde nR r= e 2n kφ θ π= ± com o inteiro k escolhido, tal que – .π θ π< ≤ A regra para calcular n –ésima raiz de um número complexo pode ser escrita assim:

( )0 cos sin ,nw r in nθ θ= +

é certamente a n –ésima raiz de z , pois 0 .nw z= No entanto, esta não é a única n –ésima raiz de z ; os números

2 2 cos sin ,n

kk kw r i

n nθ π θ π+ + = +

onde 1, 2, 3, , ( 1)k n= … − são também n –ésimas raízes de z , pois .n

kw z= É costume chamar o número 0w de raiz principal de z (com 0k = ). Assim temos com 0w (uma raiz) e as ( 1)n − raízes kw , um total de n raízes de z . As n –ésimas raízes de um número complexo z estão sempre localizadas nos vértices de um polígono regular de n lados em um círculo de raio nR r= com centro na origem (Figura 3).

202 EADFísica

4 fUNÇÕES cOMPLEXAS E A fÓRMULA DE EULER

Números complexos z x iy= + podem ser considerados como variáveis, se x ou y (ou ambos) variarem. Se isso acontecer, então podemos formar funções complexas. Por exemplo, considere a equação 2.w z= Se escrevermos z x iy= + e ,w u iv= + segue-se, em geral que

2 2 ,u x y= − 2 .v xy=

Usando o exemplo anterior, vamos abrir as contas. Se 2 w z= com z x iy= + então:

( ) ( ) ( )22 2 2 2.w z x iy x iy x iy x ixy iyx i y= = + = + + = + + + =

2 2 2 2 2 22 ( 1) 2 ( ) (2 )x i xy y x y i xy x y i xy= + + − = − + = − +

,u iv= +

Figura 3. As n-ésimas raízes de um número complexo



4U

nida

de


separando parte real e imaginaria de ,w temos:

2 2 , e w u x yℜ = = − 2 . m w v xyℑ = =

Na representação gráfica de funções complexas, devemos trabalhar com quatro variáveis reais simultaneamente. Usamos então a ideia de transformação. Dois planos complexos distintos, o plano z e o plano ,w são dispostos lado a lado, e um ponto 0z é transformado no ponto ( )0 0 .w f z= Por exemplo, a fórmula 2w z= aplica

1z i= em 21 1,w i= = −

2 1z i= + em 22 (1 ) 2 ,...w i i= + =

3 1z = em 23 (1) 1,...,w = = etc.

Isso está ilustrado na Figura 4, onde também está indicado que a reta horizontal y 1= no plano z é transformada na parábola 2 1v u= + no plano .w

Funções algébricas de uma variável complexa são definidas por meio de operações algébricas, que são diretamente aplicáveis aos números complexos (as funções transcendentes podem requerer definições especiais). Por exemplo, a função exponencial xe (com x real). As propriedades básicas são

Figura 4. Transformação no plano complexo

204 EADFísica

1. 1 2 1x x xe e+ = 2 ,xe e 2. .( )x a axe e=

Desejamos uma função exponencial complexa ze com as mesmas propriedades. Escrevamos ;z x i y= + então

.z x i y x iye e e e+= = A quantidade xe é de fato um número real, mas como se define a exponencial do imaginário ?iye Supondo que iye pode-se representar por uma série de potências, como a série de Taylor centrada no ponto 0, y = temos

2 3( ) ( ) ( )1 , 1! 2! 3!

iy iy iy iye = + + + +…

então, reagrupando os termos

2 4 3 5

1 cos sin .2! 4! 1! 3! 5!

iy y y y y ye i y i y

= − + + − + …= +

Assim, podemos definir a função iye por meio de

cos y i sin .iye y= +

Esta é a fórmuladeEuler, e cumpre as propriedades desejadas:

1. 1 2 1 2( ) ,i y y iy iye e e+ = e

2. ( ) ,iy n inxe e= ( n inteiro)

são consequências das identidades

( )( )1 1 2 2cos sin cos siny i y y i y+ + =

1 2 1 2cos( ) sin( ),y y i y y= + + +

e

(cos sin ) cos sin .ny i y ny i ny+ = +



4U

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de


A definição da função exponencial complexa é dada pela fórmula

( )cos sin ,z xe e y i y= +

que tem as propriedades desejadas, e se reduz à função exponencial real se 0.m zℑ =

4.1 Aplicações da fórmula de Euler

A fórmula de Euler conduz à compacta representação polar dos números complexos

( )cos sin .iz x iy r i re θθ θ= + = + =

Suponha que um número complexo z seja multiplicado por ie α onde α é uma constante real. Então

( ) .i ie z reα θ α+=

Assim, o novo número pode ser obtido, fazendo girar, de um ângulo α em torno da origem, o ponto .z A fórmula de Euler também permite a descrição de quantidades reais que variam de forma senoidal por meio de exponenciais complexas. Uma fórmula geral para tal quantidade é

( ) cos( ),f t a tω θ= −

em que (amplitude), (frequência angular) e (fase) são constantes, e é uma variável real (geralmente o tempo). Considere a função complexa de uma variável real

( ) i tg t Be ω−=

em que B é uma constante complexa. Faça ,iB ae θ= então

( ) ( ) ( ) cos sini t i i tg t Be ae e a t ia tω θ ω θ ω θ ω− −= = = − + −

206 EADFísica

( ) ( ) cos sin .a t ia tω θ ω θ= − − −

Assim, ( ) ( ) .f t e g t=ℜ

As funções complexas de uma variável real podem ser tratadas pelos métodos do cálculo de variáveis reais. Por exemplo, se

( ) ( ) ( ) , g t u t i v t= + ( , )u v ≡ funções reais, então

,dg du dvidt dt dt

= +

etc. A diferenciação de i tBe ω− é muito simples:

( ) .i t i td Be i Bedt

ω ωω− −= −

O seguinte exemplo nos ensina o uso das exponenciais complexas. Considere um oscilado harmônico amortecido, sujeito a uma força externa variável. A equação diferencial a ser resolvida é

( )2

02 cos , x x x F tα ω ω ϕ+ + = −

2

2, , ,dx d xx x etcdt dt

= = …

em que as constantes 0, , ,Fα ω ϕ são reais, e ambas variáveis x e t são reais. Introduzindo agora uma função complexa

( ) ,i tf t Fe ω−=

em que ω pode ser real, mas F possa ser complexa. Seja ,iF Fe ϕ= então

( ) ( ) ( ) cos .i te f t e Fe F tω ϕ ω ϕ− −ℜ =ℜ = −



4U

nida

de


Considere a equação diferencial

202 ( ),x x x f tα ω+ + =

em que ( )x x t= é evidentemente complexo. O ponto é que, a parte real desta função complexa ( )x t é exatamente a solução da equação diferencial original (real). Isso pode ser verificado diretamente por substituição:

( ) ( ) ( ).x t e x t i m x t=ℜ + ℑ

Suponha que procuramos uma solução de estado constante para nosso problema de oscilador harmônico. Nossa intuição física sugere que deve ser uma função de ,ω ou seja, da forma ( )cos .A tω ψ− Isso, por sua vez, sugere que procuramos a solução de nossa equação complexa na forma

( ) ,i tx t Ae ω−=

em que ieF A ψ= é uma constante complexa. Se substituirmos este valor na equação para obter

2 202 ,A i A A Fω αω ω− − + =

de maneira que

2 20

.2FAiω αω ω

=− − +

E assim, o problema está essencialmente resolvido. A solução explícita do problema físico (real) será:

( ) ( )

2 20

.( ) 2

i ti t F ee x t e Ae e

i

ω ϕω

ω ω αω

− −− ℜ =ℜ =ℜ − −

Assim, podemos escrever

( ) ( ) )2 20

2 2 2 2 2 2 20 0

( 2 ] ,( ) 2 ( ) 4

i ti t Fe iF ei

ω ϕω ϕ ω ω αω

ω ω αω ω ω α ω

− −− − − +=− − − +

208 EADFísica

Agora, usando a regra

[ ]1 2 1 2 1 2 . . . ,e z z e z e z m z m zℜ =ℜ ℜ −ℑ ℑ

nós obtemos

( ) ( ) )2 20

2 2 2 2 2 2 20 0

( 2 ] ( ) 2 ( ) 4

i ti t Fe iF ee ei

ω ϕω ϕ ω ω αω

ω ω αω ω ω α ω

− −− − − + ℜ =ℜ − − − +

) ( )2 20

2 2 2 2 20

cos( ) 4

Ft

ω ωω ϕ

ω ω α ω

−= −− +

( )2 2 2 2 20

2 sin .( ) 4

F tαω ω ϕω ω α ω

+ −− +

O resultado anterior pode ser obtido sem usar os números complexos.

Assim o desafio consiste em procurar uma solução da equação diferencial

original. Hint: Proponha como solução cos sin ,x a t tω ω= + e por

substituição direta na equação diferencial obtenha as constantes , a b .

ATIVIDADES

5 fUNÇÕES PLURÍVOcAS E SUPERfÍcIES DE RIEMANN

Certas funções complexas são plurívocas, e consideradas formadas por ramos, com cada ramo uma função unívoca de .z Por exemplo, a função ( )f z z= pode ser dividida em dois ramos, segundo a fórmula usual para as raízes ( ) :iz re θ=

1. Ramo principal, ( ) /21 ,if z r e θ=

2. Segundo ramo, ( ) [( 2 )/2]2 .if z r e θ π+=



4U

nida

de


Do ponto de vista estritamente matemático, estas duas funções ( )1f z e ( )2f z são funções distintas. Observe que, o ramo principal não aplica o plano z sobre todo o plano w , mas somente sobre o semiplano direito ( ) 0 ,e wℜ > ao qual adicionamos o semieixo imaginário positivo. O semieixo imaginário negativo não está incluído. O segundo ramo aplica o plano z sobre o semiplano esquerdo

( ) 0e wℜ < juntamente com o semieixo imaginário negativo. Com exceção de 0,z = nenhum outro ponto do plano w (plano imagem) é duplicado para ambas as aplicações. Outra característica importante dos dois ramos é que cada ramo tomado separadamente é descontínuo no semieixo real negativo. Ou seja, os pontos ( )

1iz e π δ−= e ( )

2 ,iz e π δ− += onde δ é o número positivo menor, estão muito próximos um do outro. No entanto, suas imagens, pela aplicação do ramo principal, ( /2 /2)

1 1( ) if z e π δ−= e ( /2 /2)1 2 ) ,( if z e π δ− −= estão

muito distantes uma da outra. Por outro lado, observe que a imagem de 2z pela aplicação 2 ( ),f z

( /2 /2)2 2( ) ,if z e π δ+=

está muito próxima do ponto ( )1 1 .f z Parece que a continuidade da aplicação pode ser conservada se trocamos de ramo, quando atravessarmos o semieixo real negativo. Para dar um significado mais preciso, devemos definir o conceito de uma função contínua de uma variável complexa: seja ( )w f z= definida numa vizinhança do ponto

0z e seja ( )0 0.f z w= Dizemos que ( )f z é contínua em 0z, se ( ) 0 f z w→ sempre que 0 z z→ no sentido que, dado δ (arbitrariamente pequeno), a desigualdade ( ) 0 f z w δ− < se verifique sempre que 0 z z− < for verdadeira, para suficientemente pequeno. Existe uma representação de ambos os ramos por meio de uma solução proposta por Riemann: imagine dois planos z separados, cortados ao longo do semieixo real negativo de ‘menosinfinito’a zero. Imagine que os planos

210 EADFísica

estão superpostos um sobre o outro, mas que retêm suas identidades separadas, igual a duas folhas de papel postas uma sobre a outra. Suponha que o segundo quadrante da folha superior seja colado, ao longo do corte, ao quarto quadrante da folha inferior, para formar uma superfície contínua (Figura 5). Agora é possível iniciar uma curva Cno terceiro quadrante da folha superior, contornar a origem e atravessar o semieixo real negativo, penetrando no terceiro quadrante da folha inferior, em um movimento contínuo (sem sair da superfície). A curva pode continuar na folha inferior em torno da origem, penetrando no segundo quadrante da folha anterior. Imagine agora o segundo quadrante da folha inferior colado ao terceiro quadrante da folha superior ao longo do mesmo corte (independentemente da primeira colagem). A curva C pode, então, prosseguir penetrando na folha superior e pode retornar a seuponto inicial. Este processo de juntar e colar dois planos conduz à formação de uma superfíciedeRiemann, que é considerada como uma superfície contínua formada por duas folhas de Riemann (Figura 7). Mas a reta entre o segundo quadrante da folha superior e o terceiro quadrante da folha inferior deve ser considerada distintadareta entre o segundo quadrante da folha inferior e o terceiro quadrante da folha superior. Aqui é onde o modelo do papel falha. Segundo este modelo, o semieixo real negativo aparece como uma reta onde as quatro bordas se encontram. No entanto, a superfície de Riemann não possui tal propriedade; há dois semieixos reais positivos, e dois semieixos reais negativos. A aplicação ( ) ,f z z= pode ajudar a visualizar isso: o ramo principal aplica a folha de Riemann superior (excluindo o semieixo real negativo) sobre a região 0e wℜ > do plano .w Também, a reta que une o segundo quadrante superior com o terceiro inferior é também aplicada pelo ramo principal sobre o semieixo imaginário positivo. A folha de Riemann inferior (excluindo o semieixo real negativo) é aplicada pelo segundo ramo sobre



4U

nida

de


a região 0. e wℜ < A reta que une o segundo quadrante inferior com o terceiro quadrante inferior é aplicada (pelo segundo ramo) sobre o semieixo imaginário negativo. Deste modo, toda a superfície de Riemann é aplicada de maneira 1-1, sobre o plano w ( 0z = é levado em 0,w = e este caso não pertence a nenhum dos ramos, pois o ângulo polar θ não está definido quando 0z = ).

A divisão de uma função plurívoca em várias ramos é, em grande parte, arbitrária. Por exemplo, existem várias maneiras de dividir a função ( ) f z z= em dois ramos. No entanto, em todas elas haverá uma linha de ramificação (ou de corte), estendendo de 0 z = ao infinito. A superfície de Riemann é obtida unindo-se duas folhas de Riemann através

Figura 5. Superfície de Riemann

Figura 6. Superfície de Riemann

212 EADFísica

do corte, e esta superfície é única. O ponto 0,z = em que todas as linhas de corte devem terminar ou principiar, é chamado de um ponto de ramificação. A posição do ponto de ramificação é determinada pela natureza da função plurívoca e é independente da escolha dos ramos. Esta técnica pode ser expandida a outras funções plurívocas. Algumas exigem mais que duas folhas de Riemann, por exemplo, ( ) 3f z z= exige três. Algumas exigem duas folhas e dois pontos de ramificação, como por exemplo ( ) ( )1 ( 1) f z z z= − + etc. Há funções que exigem um número infinito de folhas de Riemann, como por exemplo ( )f z zα= com α irracional, e algumas das funções transcendentes, que estão exemplificadas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968).

A função logaritmo é definida como sendo a inversa da função exponencial. Resolvendo w ie z r e θ= = para achar w , obtenha: log 2 ,w r i i nθ π= + + com n inteiro.

6 fUNÇÕES ANALÍTIcAS. O TEOREMA DE cAUcHY

Já foi definido no item anterior 5, o conceito de continuidade de uma função complexa, assim é possível verificar que a soma, o produto e o quociente (exceto a divisão por zero) de duas funções contínuas são contínuos. Ainda mais, uma função contínua de uma função contínua é também contínua. Seja C uma curva suave por pedaços no plano complexo. Se ( )f z for contínua sobre ,C então a integralcomplexa

ATIVIDADES



4U

nida

de


( ) ,C

f z dz∫

poderá ser definida e representada em termos das integrais reais, ficando

( ) ( ), ( , )f z u x y i v x y= + e dz dx i dy= +

isso fornece

( ) ( )( ) ,C C C

f z dz u dx v dy i v dx u dy= − + +∫ ∫ ∫

onde sabemos que existem as integrais reais ( )C

u dx v dy−∫ e

( ) .C

v dx u dy+∫ A curva C pode ser aberta ou fechada, mas em

qualquer caso devemos especificar a direção de integração.

Uma mudança na direção de integração resulta em mudança

do sinal da integral. As integrais complexas são, portanto,

redutíveis a integrais reais curvilíneas e possuem as seguintes

propriedades:

( ) ( ) ( )( ( )) ,C C C

f z g z dz f z dz g z dz+ = +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ,C C

kf z dz k f z dz=∫ ∫

( ) ( ) ( )1 2

,C C C

f z dz f z dz f z dz= +∫ ∫ ∫

com k = constante complexa, e onde C foi decomposta em duas curvas 1C e 2 .C O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula

( ) ,C

f z dz ML≤∫

214 EADFísica

em que, ( ) M máx f z= sobre ,C e L é o comprimento de .C

Agora definiremos a derivada de uma função complexa: dando a z um acréscimo z∆ (com z∆ complexo) obtemos ( )f z z+ ∆ e podemos escrever

( ) ( ) ( )'

0

( ) lim .

z

f z z f zdf z f zdz z∆ →

+ ∆ −= =

∆

Como no caso de funções reais este limite pode ou não existir. Também é importante notar que z∆ pode-se aproximar de zero de uma maneira arbitrária, ou seja, z z+ ∆ pode-se aproximar de z ao longo de qualquer curva ou por meio de qualquer sequência. Esta é uma exigência muito forte que acarreta que a função ( )f z tem que ser “bem comportada” no ponto a ,z a fim de ser diferenciável. A função ( )f z é analítica (regular, ou holomorfa) no ponto z , se possui derivada em z e em todos os pontos de uma vizinhança de z (pequena, mas finita). Esta exigência adicional leva a muitas boas propriedades para as funções analíticas, tais como a existência de derivadas de todas as ordens. A existência da derivada em todos os pontos de uma vizinhança acarreta que a derivada é contínua (ver Boxe 1). Também é um problema fácil de verificar (usando as propriedades de funções reais) que as derivadas de funções complexas obedecem às regras usuais:

( ) 1 21 2 ,dw dwd w w

dz dz dz+ = +

( ) 2 11 2 1 2 ,dw dwd w w w w

dz dz dz= +

,dw dw ddz d dz

ζζ

=



4U

nida

de


onde ( )w w ζ= e ( )zζ ζ= e, por exemplo,

( ) 1 ,n nd z n zdz

−=

com n inteiro etc. Assim, as diferenciais de funções complexas são definidas de maneira análoga às diferencias das funções reais. Se ( ) ( ) ( ), , ,w f z u x y iv x y= = + então a definição da derivada poderá ser rescrita como

( )( ) ( ) ( )'

00

, ( , ) [ , , ] lim .

xy

u x x y y u x y i v x x y y v x yf z

x i y∆ →∆ →

+ ∆ + ∆ − + + ∆ + ∆ − =∆ + ∆

O valor limite no lado direito deve ser o mesmo quando z∆ tende arbitrariamente para 0. Em particular, faça

z x∆ = ∆ (ou seja, aproxime-se ao longo do eixo real); então

( )' .u vf z ix x∂ ∂

= +∂ ∂

Alternativamente, faça z i y∆ = ∆ (aproxime-se ao longo do eixo imaginário); então

( )' .v uf z iy y∂ ∂

= +∂ ∂

Segue-se que, para uma função diferenciável ,w u i v= + devemos ter

, . u v u vx y y x∂ ∂ ∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂ ∂

Estas são as equações ou condições de Cauchy-Riemann, que se seguem diretamente da definição da derivada. Se além disso, ( )f z for analítica, então ' ( )f z deve ser contínua, o que implica que as derivadas parciais de u e v sejam contínuas. O teorema recíproco também vale: Se

( ),u x y e ( ),v x y possuem derivadas de primeira ordem, satisfazendo as condições de Cauchy-Riemann em uma

216 EADFísica

vizinhança de z , então ( ) f z u i v= + é analítica em .z Uma das mais importantes propriedades das funções analíticas é expressa pelo teorema de Cauchy: se ( )f z éanalíticaemumdomínio D simplesmenteconexo,eC umacurvasimplesfechadaemD (suaveporpedaços),então

( ) 0.C

f z dz =∫

Há uma recíproca do teorema de Cauchy, conhecida como oteoremadeMorera:se f(z) é contínua em um domínio

D, e se ( ) 0.C

f z dz =∫ para todo caminho simples fechado em

D com interior também em ,D então ( )f z é analítica em .D

O teorema de Cauchy vale para domínios multiplamente conexos, desde que o interior do caminho seja simples fechado e C esteja dentro do domínio (ou seja, que o domínio não esteja em volta de um buraco. Veja a Figura 7).

Figura 7 Superfície de Riemann

A anulação de uma integral de contorno (uma integral ao longo de um caminho simples fechado) está estreitamente



4U

nida

de


relacionada com a independênciadocaminho de integração

Agora, se ( ) 0,C

f z dz =∫ para qualquer caminho simples

fechado, então a integral 0

( )z

zf dζ ζ∫ é independente do

caminho (entre z e 0z ). Suponha agora que fixamos o ponto

0.z Se a integral 0

( )z

zf dζ ζ∫ é independente do caminho,

então deve representar uma função de .z Esta função é uma função primitiva de ( )f z (ou uma integral indefinida de

( )f z ), o que se segue do teorema fundamental do cálculointegral: se ( )f z é analítica em um domínio D simplesmente conexo, então a função

( )0

( )z

zF z f dζ ζ= ∫

é também analítica em ,D e ( ) ( / ) ( ).f z d dz F z=

a. Usando a referência [1] mostre o teorema anterior.

b. Mostre que duas funções primitivas quaisquer devem diferir por uma constante (complexa).

ATIVIDADES

7 OUTROS TEOREMAS DE INTEGRAIS. A fÓRMULA DA INTEGRAL DE cAUcHY

Para o estudo das aplicações, devemos notar que, em todas elas as condições enunciadas no teorema de Cauchy devem ser verificadas. Considere a integral

1 , C

I dzz a

=−∫ ( )tan .a cons te=

A pergunta que nós fazemos é a seguinte: esta

218 EADFísica

integral é nula ou não? Em geral, ( ) 1/ ( )f z z a= − é uma função analítica, mas deixa de ser no ponto .z a= A função não é nem definida neste ponto e não pode possuir uma derivada. Suponha que a curva ,C da definição de ,I seja uma curva simples fechada. Então, se o ponto z a= está no exterior da curva, o teorema de Cauchy é aplicável, e 0.I =.Se estiver no interior, o teorema de Cauchy não pode ser aplicado. De fato, a integral não é igual a zero. Se C for um círculo de rádio R com centro em ,z a= então é fácil calcular a integral, fazendo R .eiz a θ= + Neste caso, Reidz i dθ θ= e

1 1 ( Re ) ( Re )

ii

C

I dz i dz a a a

π θθπ

θ−

= =− + −∫ ∫

( )1 Re 2 .Re

ii i d id i

π πθθπ π

θ θ π− −

= = =∫ ∫ Não é muito difícil mostrar que o resultado é verdadeiro para qualquer caminho simples fechado em torno do ponto .z a= Suponha que 1C esteja totalmente contida no interior do círculo C (Figura 8). Então, um estreito canal constituído pelas curvas 1B e 2B pode ser construído para ligar o interior de 1C com ,C e o teorema de Cauchy pode ser aplicado à região sombreada. Pode-se construir um domínio D de maneira tal que a região sombreada esteja no seu interior. A integral ao longo de 1C é no sentido dos ponteiros do relógio. Se fizermos os lados 1B e 2B do canal se aproximarem um de outro, as integrais ( ) 1/ ( )f z z a= − ao longo de 1B e 2B se cancelarão (no limite), deixando-nos a afirmativa

( )1

( ) 0,C C

f z dz f z dz+ =∫ ∫

onde a primeira integral é tomada no sentido oposto ao dos ponteiros dos relógios; e o segundo, no sentido dos ponteiros do relógio. Tornando o sentido da segunda



4U

nida

de


integração anti-horário, obtemos

( )1

( ) ,C C

f z dz f z dz=∫ ∫

(com ambos os sentidos anti-horários). Se C estiver totalmente contida no interior de 1,C a demonstração será semelhante, e se C e 1C se cortarem, a demonstração seria

Figura 8. Integral de Cauchy

ainda mais simples.

Se a integral I for calculada ao longo de um caminho fechado, que não é simples, seu valor pode não ser 2 .iπ Nos casos de interesse prático, seu valor será 2 ,n iπ onde n é o número de vezes que o caminho percorre em torno de z a= , no sentido anti-horário, menos o número de vezes que percorre em torno de z a= no sentido horário. A integral ( ) ,

Cf z dz∫ pode-se anular mesmo que

220 EADFísica

o teorema de Cauchy não se aplique. Por exemplo, se calculamos a integral

1 ,( )nC

J dzz a

=−∫

em que n é um inteiro positivo diferente da unidade e o contorno é um círculo de raio R em torno de .z a= Usando

R ,eiz a θ= + obtemos

1

1 (1 ) (1 ) | 0 1

nn i n i nRJ i R e d e

nπ θ θ π

ππθ

−+ − − − +−−

= = =−∫

Este resultado é correto para qualquer caminho fechado em torno de .z a=

A função ( )f z do teorema de Cauchy deve ser unívoca. Pode ser o ramo de uma função plurívoca, mas tendo o cuidado que esse ramo seja analítico. Assim, por exemplo, na integral

1,

zzdz

=∫

ao longo do círculo de raio unitário e centro na origem, devemos especificar o ramo da função .z Suponha que seja o ramo principal, ou seja,

( /2)

1

4 .3

i i

zzdz e i e d i

π θ θ

πθ

+

= −= = −∫ ∫

Aqui o teorema de Cauchy não se aplica, pois ( )f z não é analítica no interior do círculo 1.z = Os pontos onde a função deixa ser analítica estão no eixo real de 1x = − a

0,x = ponto em que ( )f z nem é contínua. Por mais que

( )f z seja contínua em 0,z = não é analítica neste ponto. Seja agora a mesma integral

2 1zzdz

+ =∫



4U

nida

de


tomada em torno do ponto 2z = − n (Figura 9). Se o ramo principal figura na integração, o teorema de Cauchy não será aplicável. Agora, podemos dividir a z nos dos ramos abaixoRamo A: ( /2)

[( 2 )/2]

0 ,

0.

i

i

z r e se

z r e se

θ

θ π

θ π

π θ+

= < ≤

= − < ≤

Ramo B:

[( 2 )/2]

( /2)

0 ,

0.

i

i

z r e se

z r e se

θ π

θ

θ π

π θ

+= < ≤

= − < ≤

Aqui o corte está ao longo do semieixo real positivo, e cada ramo é analítico no interior do círculo | 2 | 1,z + = e sobre sua circunferência, assim o teorema de Cauchy pode

ser aplicado.

O teorema de Cauchy pode ser generalizado de várias maneiras. Deixamos este aprofundamento no tema

Figura 9. Integral de Cauchy para a função .z

222 EADFísica

aos alunos interessados que podem revisar a referência do Butkov (BUTKOV, 1968). O teorema de Cauchy pode ser usado para deduzir muitas outras propriedades das integrais, sendo a mais básica a fórmula da integral de Cauchy: se ( )f z é analítica no interior de uma curva C e sobre ela, e se o ponto z a= está no interior de ,C então

( ) ( )2 .-

f z dzif a

z aπ=∫

Usando a referência do Butkov (BUTKOV, 1968), mostre o teorema anterior.

ATIVIDADES

8 SEQUêNcIAS E SÉRIES cOMPLEXAS

Um estudo sério das funções analíticas precisa saber como representá-las em forma de séries. Analisemos primeiro as sequências de números complexos. Uma sequência infinita de números complexos 1 2 , , .nz z z= … converge para o limite (complexo) ,z se

.nz z ε− <

Para valores suficientemente grandes de ;n o número ε é um número arbitrariamente pequeno. A convergência de sequências complexas pode ser reduzida à das sequências reais por meio do seguinte teorema fundamental: asequência nz convergepara ,z x i y= + seesomentese ne zℜ convergepara ,x e nm zℑ converge para .y Este teorema, assim como outros a seguir, serão



4U

nida

de


enunciados sem uma demonstração formal. Aqueles alunos com suficiente curiosidade podem revisar as demonstrações do Butkov (BUTKOV, 1968). As sequências convergentes podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas (termo a termo), e os teoremas usuais sobre limites são válidos:

( )lim lim lim , n n n nz zζ ζ± = ±

( )lim lim lim ,n n n nz zζ ζ= etc.

Analisemos agora as séries complexas. Uma série infinita de números complexos

1

nn

z∞

=∑ é convergente se a

sequência nS de suas somas parciais

1

,n

n kk

S z=

=∑

for uma sequência convergente. Fazendo lim nS S= , escrevemos usualmente que

1

.nn

S z∞

=

=∑ Se a sequência das somas parciais não convergir, dizemos então que a série é divergente. É muito importante notar que, sob certas circunstâncias, séries divergentes podem ter significado bem definido e que são muito usadas em aplicações. Uma série é absolutamente convergente se a série (real) dos módulos

1

| |nn

z∞

=∑

for uma série convergente. Uma série absolutamente convergente é convergente. Muitas vezes, para mostrar a convergência de uma série complexa, pode-se induzir se ela é absolutamente convergente. A seguir, numeramos os testes mais comuns para analisar a convergência de

224 EADFísica

uma série complexa:Te Usando a referência doButkov (BUTKOV,1968),mostreoteoremaanterior.stedacomparação: Se | |n nz a≤ e na∑ convergem, então

nz∑ converge absolutamente.Teste da razão: Se 1| / | ,n nz z k+ ≤ para todo n suficientemente grande e 1,k < então nz∑ converge absolutamente. Se 1| / | ,n nz z k+ > para n suficientemente grande, e 1,k > então nz∑ diverge.Teste da raiz: Se | | 1,n

nz k≤ < para n suficientemente grande, então nz∑ converge absolutamente, e se

| | 1,nnz k≥ > para n suficientemente grande, então nz∑

diverge. A divergência de uma série pode ser mostrada usando o teste do n -ésimo termo: se nz não tende para zero, então a série nz∑ diverge. Muitas vezes é necessário ‘reduzir’ o problema de convergência de uma série complexa ao de duas séries reais, usando o seguinte teorema: a série n n nz x i y= +∑ ∑ ∑ converge para ,S P iQ= + se e somente nx∑ converge para ,P e y∑ converge para .Q Os termos de uma série complexa podem depender de uma variável complexa .z As séries mais comuns são as séries de potências, por exemplo,

2 3

1

1 n

n

z z z z∞

=

= + + + +…∑

Muitas destas séries de potências somente convergiram, se o valor da variável z está restrita a uma certa região. A série anterior, por exemplo, converge absolutamente pelo teste da razão se 1,z < e pelo mesmo teste diverge se 1.z > O teste da razão não é decisivo, se 1,z = mas então o teste do n -ésimo termo mostra a divergência da série. A série de potências acima converge absolutamente em todos os pontos dentro de um círculo de raio 1,R = chamado de círculo de convergência, onde



4U

nida

de


R é o raio de convergência. O conceito de raio de convergência pode ser aplicado a toda série de potência. Com efeito, se uma série

de potências é convergente em todos os pontos no interior deste círculo. O problema é, então, achar a cota superior de

,r que será o raio de convergência procurado. Estudemos agora a sequência de funções. A sequência

( ) nf z de funções definidas em uma região R ( z pertence a R ), converge para uma função limite ( )f z em ,R se

( )lim ( )nnf z f z

→∞=

para cada z em .R Por exemplo, as somas parciais da série

2 3

1

1 n

n

z z z z∞

=

= + + + +…∑

formam uma sequência de funções (polinômios)

( ) 2 3

0

1 n

kn

k

f z z z z z=

= = + + + +…∑

e esta sequência converge para a função ( ) 1/ (1 )f z z= − na

1- Mostre que a série

2 3 41 3 9 27 81 z z z z− + − + −…

tem raio de convergência igual a 1/ 3.

2- Mostre que a série

2 3 41 2! 3! 4! z z z z+ + + + +…

tem raio de convergência igual a 0.

ATIVIDADES

226 EADFísica

região aberta 1.z < Podemos ver isto, fazendo

( )1 1

2 3

0

11 1 1

n nnk

nk

z zf z z z z zz z

+ +

=

−= = + + + +…= −

− −∑ e

1

lim 0,1

n

n

zz

+

→∞=

− para 1.z <

Assim, temos que a função ( ) 1/ (1 )f z z= − é a soma da série anterior (somente para 1z < ):

0

1/ (1 ),n

n

z z∞

=

= −∑ (para 1z < ).

Existem mais aplicações, teorias e critério de convergência para as séries de funções. Vocês podem encontrar estas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968). Para finalizar esta seção, é importante conhecer o chamado teorema de Weierstrass: se os termos da série ( )nf z∑ são analíticos no interior de uma curva simples fechada e sobre ela, e a série converge uniformemente sobre C , estão sua soma é uma função analítica (dentro de ,C e sobre C) e a série pode ser diferenciada, ou integrada um número arbitrário de vezes.

9 SÉRIES DE TAYLOR E DE LAURENT

Considere uma série de potências ( ) ,nz a− onde a é um número complexo fixo:

2 30 1 2 3 ( ) ( ) ( )c c z a c z a c z a+ − + − + − +…

Se esta série converge para algum valor 0z a≠ (para

0 ,z a= a série sempre converge), então é absolutamente convergente em todos os pontos do interior do círculo

0 0z a R− = com centro no ponto .a Além disso, será uniformemente convergente dentro de um círculo de raio



4U

nida

de


,R menor do que 0.R Segue-se que a série de potências acima representa, dentro de um círculo R (pelo menos), uma função complexa

( )0

( ) ,nn

n

f z c z a∞

=

= −∑

e segundo o teorema de Weierstrass, esta função é analítica dentro do círculo. Assim, podemos afirmar que toda série de potências com um raio de convergência não nulo representa uma função regular em certa vizinhança do ponto .z a=

A afirmação recíproca é também verdadeira: toda função ( )f z analítica em z a= pode ser desenvolvida numa série de potências

( ) ( )0

.nn

n

f z c z a∞

=

= −∑

válida em certa vizinhança do ponto .a Esta série, conhecida como série de Taylor, é única, e os coeficientes nc podem ser obtidos pela fórmula

1 ( ) .!

n

n nz a

d f zcn dz

=

=

Usando a Referência (BUTKOV, 1968), mostre o teorema anterior.

ATIVIDADES

228 EADFísica

As séries de potências podem ser generalizadas para conter potências negativas de ( ) ,z a− ou seja,

( ) .nn

n

c z a∞

=−∞

−∑

Tais séries podem ser divididas em duas partes:

( )0

, nn

n

c z a∞

=

−∑ e 1

,( )

mm

m

cz a

∞−

= −∑

e a série original convergirá desde que ambas as partes convirjam. A série de potências positivas convergirá dentro de um círculo de convergência 2R com centro em .z a= A série das potências negativas convergirá para fora de certo raio 1,R com centro em .z a= Podemos deduzir que

2 1 ,R R> e a série

( ) ,nn

n

c z a∞

=−∞

−∑

convergirá dentro do anel

1 2.R z a R< − <

Pode acontecer que 2 1,R R< e assim nossa série divergirá em toda parte.

Teorema: toda função ( )f z analítica em um anel

1 2.R z a R< − <

pode ser desenvolvida em uma série de potências negativas e positivas de ( )z a−

( ) ( ) .nn

n

f z c z a∞

=−∞

= −∑



4U

nida

de


Esta série, conhecida como sériedeLaurent, é única para um anel dado, e os coeficientes ,nc podem ser obtidos de

1

1 ( ) ,2 ( )n n

f z dzci z aπ +

Γ

=−∫

onde Γ é um círculo de raio ,R tal que 1 2.R R R< <

ATIVIDADES

Usando a Referência do Butkov (BUTKOV, 1968), mostre o teorema de Laurent.

A parte da série de Laurent, consistindo de potências positivas de ( )z a− é chamada de parteregular. Em muitas das aplicações ( )f z não é analítica em ,z a= e o n-ésimo coeficiente da série não pode ser associado a n-ésima derivada de ( )f z em a porque ela pode não existir. A parte da série de Laurent com potências negativas é chamada de parteprincipal. Se esta parte principal é idêntica a zero, então

( )f z é analítica em ,z a= e a série de Laurent será idêntica à série de Taylor.Exemplo 1. Uso de séries geométricas. A função

( ) 1/ ( )f z z a= − com a =constante complexa não nula.

Sabemos que

2 3 4

0

11 (| | 1)1

n

n

z z z z z zz

∞

=

+ + + + +…= = <−∑

Portanto

( ) ( )0

1 1 1 1 ( / ) .1 /

n

n

f z z a z az a a z a a

∞

=

= = − = − <− − ∑

230 EADFísica

Esta expressão é a série de Taylor em torno do ponto 0.z = Seu raio de convergência é | |,R a= porque à distância R da origem existe o ponto ,z a= no qual ( )f z deixa de ser analítica, sendo este o único ponto onde ( )f z não é analítica. Portanto, ( )f z deveria possuir uma série de Laurent em torno de 0,z = que deveria ser válida para .z a>

Escreva

( ) 1 1 1 .1 /

f zz a z a z

= =− −

Se | |,z a> então / 1,a z < e então podemos desenvolver

( )0

1 ( / ) , .1 /

n

n

a z z aa z

∞

=

= >− ∑

Portanto,

( ) ( )10 0

1 1 ( / ) , .

nn

nn n

af z a z z az a z z

∞ ∞

+= =

= = = >− ∑ ∑

E esta é a série de Laurent desejada. A função ( )f z pode ser desenvolvida por meio deste método em torno de qualquer ponto ;z b= com efeito, escreva

( ) ( )1 1 1 , ( ).

( ) ( )f z b a

z a z b a b a bξ= = = ≠

− − − − − −

Então,

( ) ( )0 0

1 1 ( ) , ,( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

z bf z z b a ba b a b a b a b

ξ∞ ∞

= =

−= − = − − > −

− − − −∑ ∑

ou



4U

nida

de


( ) ( )10

( ) , . ( )

n

nn

a bf z z b a bz b

∞

+=

−= − > −

−∑

ATIVIDADES

a. Desenvolva em série de Laurent a seguinte função:

( ) ( )2

1 ,2 2

f zz i z ia

=− + +

usando (BUTKOV, 1968) com o método de decomposição racional.

b. Desenvolva em série de Laurent:

( ) 2

1 ,( 1)

f zz

=−

Usando (BUTKOV, 1968) com o método de diferenciação.

c. Desenvolva em série de Laurent:

( ) log(1 ),f z z= +

usando (BUTKOV, 1968) com o método de integração.

10 ZEROS E SINGULARIDADES

O ponto z a= chama-se de zero (ou raiz) da função ( ),f z se ( ) 0.f z a= = Se ( )f z for analítica em ,z a= então

sua série de Taylor

( ) ( )0

nn

n

f z c z a∞

=

= −∑

deverá ter 0 0.c = Se 1 0,c ≠ o ponto z a= é chamado de

232 EADFísica

zero simples, ou zero de ordem um. Também pode ser que

1,c ou outros coeficientes seguintes sejam nulos. Seja mc o primeiro coeficiente que não se anula, então dizemos que ozeroédeordem .m A ordem de um zero pode ser avaliada, calculando-se

( )lim( )nz a

f zz a→ −

para 1,2,3, ;n = … o mais baixo valor de ,n para o qual este limite não se anulará, é igual à ordem do zero. Se uma função ( )f z é analítica na vizinhança de um ponto ,z a= com exceção do ponto ,z a= então dizemos que a função possui uma singularidade isolada, ou um ponto singular isolado em .z a=

Podemos distinguir as singularidades pelos comportamentos da função no limite de z a→ de maneira arbitrária:

1. ( )f z permanece limitada, ou seja, ( )f z B≤ para um B fixo.2. ( )f z não é limitada e ( )| |f z se aproxima do infinito, ou seja ( )f z M> (qualquer M ) para z a ε− < (algum ε ).3. Nenhum dos casos acima acontece, e ( )f z oscila. Alguns exemplos demonstrativos dos casos anteriores são as funções:

Caso 1. ( ) sin /f z z z=

Caso 2. ( ) 1/ sinf z z=

Caso 3. ( ) 1/ .zf z e=

É importante notar que para função do Caso 1:

( ) sin /f z z z= com esta expressão não define o valor a função em z=0. Usando a seguinte expressão

( ) sin , 0zf z zz

= ≠

( ) 1 , 0f z z= =



4U

nida

de


redefine-se a função ( )f z em 0,z = e em os outros pontos. Vamos demonstrar como exercício a afirmativa sobre o Caso 1. Para isto, notemos que ( )f z é analítica no anel ,z a Rρ < − < situado na vizinhança de .z a= Pelo teorema de Cauchy, para um ponto z qualquer dentro do anel (Figura 10), teremos

( ) ( ) ( )1 1 . 2 2

f d f df z

i z i zγ

ζ ζ ζ ζπ ζ π ζΓ

= +− −∫ ∫

Vamos mostrar que a segunda integral deve ser nula para todo .ρ Fazendo ( ) ( ),z a z aζ ζ− = − − − e observando que

( ) ( ) .a z a z a a z aζ ζ ρ− − − ≥ − − − = − −

Então, para um z fixo

( )1 1 2 .

2 2f d B B

i z z a z aγ

ζ ζ ρπρπ ζ π ρ ρ

≤ =− − − − −∫

A integral deve ser independente de ρ devido à analiticidade do integrando. Ela é menor que um número positivo arbitrário (para ρ suficientemente pequeno), e deve ser igual a zero. Assim, mostramos que ( )f z se aproxima ao limite

( ) ( )1 lim ,2z a

f df z

i aζ ζ

π ζ→=

−∫

234 EADFísica

Figura 10. Aplicação do teorema de Cauchy no anel .z a Rρ < − <

Então: (i) ( )lim z a

f z→

existe, (ii) ( ) f a está definida por este limite, e a função ( ) ,f z redefinida desta maneira é analítica em .z a=

Do estudo anterior, temos que as singularidades isoladas do primeiro tipo são chamadas de singularidadesremovíveis. O segundo tipo de singularidade isolada, quando

( )| | f z →∞ se ,z a→ é chamado de um polo. Como a singularidade é isolada, deve existir uma série de Laurent

( ) ( ) ,nn

n

f z c z a∞

=−∞

= −∑

válida para 0 z a R< − < (para algum R). Se a parte principal é finita, a série resulta em

( ) ( ) ,nn

n m

f z c z a∞

=−

= −∑



4U

nida

de


então ( )f z tem um polo de ordem m e .z a= A recíproca também é válida, ou seja, se ( )f z tem um polo em ,z a= deve possuir uma série de Laurent com a forma acima ( 0 ).para z a R< − <

Vejamos um exemplo: a função ( ) cos f z ec z= possui a seguinte série de Laurent válida para 0 z R< < (com Rarbitrário)

3 51 1 7 31 cosec6 360 15120

z z z zz

= + + + +…

donde se conclui que possui um polo simples na origem. Podemos achar a ordem de um polo sem precisar conhecer a série de Laurent da função. Isto pode-se fazer calculando

( )lim ( ),n

z az a f z

→−

para 1, 2, 3, ;n = … o menor valor de ,n para o qual este limite existe, fornecerá a ordem do polo. Observe que este limite não pode ser zero! O terceiro tipo de singularidade é conhecido como singularidade essencial. Aqui, a série de Laurent, válida para 0 z a R< − < (com R arbitrário), deve ter uma parte principal infinita. Por exemplo, a função 1/ ( ) zf z e= possui a seguinte série de Laurent válida para 0 z R< < (com Rarbitrário):

1/2 3

1 1 1 1 11 2! 3!

zez z z

= + + + +…

Como a parte principal é infinita, a função possui uma singularidade essencial em 0.z = Além das singularidades isoladas, as funções complexas podem deixar de ser analíticas por outras causas. Um dos motivos mais comuns é um ponto de ramificação. Analisemos, por exemplo, a função ( ) .f z z= Para todo

236 EADFísica

ponto, exceto a origem, é possível construir uma vizinhança e achar um ramo de z que será analítico nessa vizinhança. É evidente que não pode haver série de Taylor, ou de Laurent, válida na região 0 z a R< − < (para certo R ), em torno do ponto de ramificação .z a= No entanto, são válidas séries de Laurent para 1 2.R z a R< − < Por exemplo, vejamos o comportamento da função 2 1.z − Ela pode ser desenvolvida na seguinte série de Laurent

2

3 5 7

1 1 1 1 1 1 5 11 2 8 16 128

z zz z z z

− = − − − − −…

Esta série é válida para 1,z > e representa um ramo da função 2 1z − que é analítica nesta região. A linha de corte une dois pontos de corte 1z = + e 1,z = − e não se estende até o infinito. Substituindo z por ( 1),z − obtemos uma série de Laurent com centro no ponto de ramificação

1.z = + Esta última convergirá para 1 2.z − >

Uma função analítica pode também possuir um número infinito de singularidades isoladas, convergindo para um certo ponto limite. Consideremos, por exemplo, a função

( ) 1 1csc . sin(1/ )

f zz z

= =

ATIVIDADES

O denominador possui polos simples sempre que

1 ( 1, 2, )z nnπ

= = ± ± …

Assim, nestes pontos a função ( )f z possui polos simples e a sequência destes polos converge para a origem.



4U

nida

de


a. Desenvolva em série de Laurent a função 2 1,z − para obter o resultado

23 5 7

1 1 1 1 1 1 5 11 2 8 16 128

z zz z z z

− = − − − − −…

usado no item anterior.

11 O TEOREMA DO RESÍDUO E SUAS APLIcAÇÕES

Seja ( )f z analítica em uma vizinhança de ,z a= exceto em z a= (ou é analítica em z a= ou tem uma singularidade isolada). Seja C uma curva simples fechada no interior de esta vizinhança e em torno de ,z a= então a integral

( ) 1Re ( )2 C

s f a f z dziπ

= ∫

independe da escolha de C e, é chamada de resíduo da função no ponto .z a= Logo, se f(z) é analítica em z a= (o ponto z a= é chamado de ponto regular), e o resíduo é zero. Se z=a é uma singularidade isolada, então o resíduo pode ser ou não zero. Vejamos um par de exemplos:1. ( ) 1/ ;f z z= o resíduo em 0z = é igual à unidade. Usando a definição anterior da integral

( ) 01Re 0 Re (1/ | ) (1/ )

2zC

s f z s z z dziπ== = = ∫

Podemos calcular a integral fechada em torno da origem, usando como curva C , a circunferência de raio fixo ,R e mudando a variável iz Re θ=

1 1 1 (1/ ) ( )2 2

ii

C

z dz d Rei i Re

θθπ π

= ∫ ∫

238 EADFísica

2 2

0 0

1 1 2 12 2 2

ii

i ii e d di e i i

π πθ

θ θ θ ππ π π

= = = = ∫ ∫

Pela fórmula para o coeficiente n –ésimo da série

de Laurent 1Ã

1 ( ) ,2 ( )n n

f z dzci z aπ +

= −

∫ vemos que o resíduo é

igual ao coeficiente 1,c− da série de Laurent

( ) ( ) ,nn

n

f z c z a∞

=−∞

= −∑

que é válido para 0 z a R< − < (com algum R ).

ATIVIDADES

1. Mostre que, o resíduo para ( ) 21/f z z= em 0,z = é igual a zero.2. Usando a fórmula para o coeficiente n –ésimo da série de Laurent, mostre que o resíduo igual ao coeficiente 1 c− da série de Laurent ( ) ( ) .n

nn

f z c z a∞

=−∞

= −∑

Os resíduos de uma função em suas singularidades isoladas se aplicam ao cálculo de integrais, complexas ou reais, baseado no teorema dos resíduos: se ( )f z éanalíticanointeriordeumcontornofechadoC esobreC ,excetoemumnúmerofinitodesingularidadesisoladasem 1 2 3, , , , nz a a a a= … todassituadasnointeriordeC,então

1

( ) 2 Re ( ).n

kkC

f z dz i s f aπ=

= ∑∫



4U

nida

de


Figura 11. Regiões usadas no teorema dos resíduos.

Existem vários métodos para o cálculo de resíduos:

Método 1: Através da definição

( ) 1Re ( ) ,2 C

s f a f z dziπ

= ∫

com um contorno C , escolhido de forma conveniente. Este método é útil quando conhecemos a função primitiva de

( )f z , e se esta tem um ponto de ramificação em .z a= Por exemplo, a função ( ) 1/f z z= com primitiva ( ) Log .F z z= Aqui, qualquer ramo de Logz pode ser escolhido, mas preservando a relação

( ) ( )' ( ) ,dF zf z F zdz

= =

o contorno fechado deve ser desconexo e devemos aplicar o processo do cálculo do limite apropriado. Por exemplo. Figura 11(b):

1 lim / lim ( ) ( ) 2 .A

B A B AC B

dz dz z Log A Log B iz

π→ →

= = − + =∫ ∫

A demonstração deste teorema pode ser um bom entretenimento para alunos ousados, usando a técnica de cortar canais entre o contorno C , e os pequenos círculos 1C

2 , C … em torno de cada singularidade. Figura 11(a).

240 EADFísica

Usamos aqui o ramo principal, que possui uma descontinuidade 2 iπ sobre o semieixo real negativo. Pela definição da função: Log( ) log z 2 ,Z inπ= + onde n corresponde ao ramo da descontinuidade da superfície de Riemann, resulta em Log( ) log A, 0,A n= = e Log( ) log B 2 , 1.B i nπ= + = Pelo sentido da curva na integral, temos que Log( ) Log( ) log A log B 2A B iπ− + = − + +

Método 2: No caso de um polo simples no ponto

,z a= podemos usar a fórmula

( ) ( ) ( )Res lim .z a

f a z a f z→

= −

O cálculo do limite pode-se obter por substituições, ou através do uso de limites já conhecidos. Vejamos isto com um exemplo. Seja ( ) 2

tan .zf zz

= Então

( ) 20 0 0 0

tan sin 1 sin 1Res 0 lim lim lim .lim 1.cos cosz z z z

z z zf zz z z z z→ → → →

= = = =

Porque conhecemos o valor do limite fundamental

0

sinlim 1,z

zz→

= e 0

1lim 1cosz z→

= e usamos a propriedade

distributiva do produto para os limites.

Método 3: Quando temos um polo de ordem ,m em ,z a= vale a seguinte fórmula:

( ) ( ) ( )1

1

1Res lim [ ( )] .1 !

mm

mz a

df a z a f zm dz

−

−→

= − −

Usando a fórmula anterior para a função ( ) 4/ ,zf z e z= onde temos um polo de ordem 4m = em zero, assim vemos que

( ) ( )3

4 430 0

1 1Res 0 lim [ ( / )] lim 1/ 6.3 ! 6

z z

z z

df z e z edz→ →

= = =



4U

nida

de


Método 4: É utilizado quando temos um polo simples, e quando ( )f z tem a forma

( ) ( ) / ( ),f z z zϕ ψ=

em que ( ) 0aϕ ≠ e ( )zψ tem um zero simples em .z a= Neste caso

( )Res ( ) / '( ).f a a aϕ ψ=

Observemos que, se z a= é um zero simples de ( ),zψ então '( )aψ não se pode anular. Vejamos isto com

um exemplo. Seja a função ( ) / sin ,zf z e z= onde temos um zero em 0.z = Logo ( )'sin cosz z=

( ) 0 0Res 0 [ / (sin ) '] | [ / cos ] | 1.z zz zf e z e z= == = =

Método 5: Aqui desenvolveremos a função ( )f z em série de Laurent e obtemos daí o resíduo. Este procedimento é muito útil se podemos escrever a ( )f z como um produto de funções com séries de Laurent já conhecidas. Assim, a série para ( ) f z é obtida por multiplicação e o coeficiente

1c− pode ser achado por inspeção. Por exemplo, usemos este método com a função ( ) 4/ ( ,2)( 1)tzf z e z z= + − onde procuramos o resíduo em 1.z = Como primeiro passo, faremos uma mudança de variáveis para transferir o polo para a origem, com as transformações

1 1,z zω ω− = → = +

então

( )( ) ( )

( 1)

4 4 41 ( 3)( 2) 1 ( 1 2) 1 1

tz t tt

z

e e ef z ez z

ω ω

ω ω ωω ω

+

= += → =

++ − + + + −

Agora vamos expandir em séries as funções te ω e 1/ ( 3) :ω +

242 EADFísica

2 32 31

2! 3!t t te tω ω ω ω= + + + +… ( qualquerω )

2 3

2 3

1 1 1 1 1 3 3 1 / 3 3 3 3 3

ω ω ωω ω

= = − + − +… + +

( )3 .ω <

No terceiro passo, calculamos (por inspeção) o coeficiente de 3ω , formando o produto das duas séries (lembremos que ainda temos o fator 4 ω− na expressão de ( )f z ):

3 2

3 2

1 1 .3 3 3! 3 3.2!

t t t − + − − …

No quarto passo, calcula-se o resíduo

( )3 2 1Res 1 .

18 18 27 81t t t tf e

= − − +

O teorema do resíduo pode ser aplicado ao cálculo de uma grande variedade de integrais definidas, sejam integrais no campo real ou no campo complexo. Vejamos alguns exemplos dos métodos mais usados.Exemplo 1. Seja a integral

2

20, (| | 1)

1 2 cosdI p

p pπ θ

θ= ≠

− +∫

Esta integral pode-se transformar numa integral de linha no plano complexo, usando a substituição .iz e θ= Logo,

( )1, cos 1/2

dzd z ziz

θ θ= = +

então, a integral é

( ) (1 )C

dzIi z p pz

=− −∫

onde C é o círculo unitário ( )1z = no plano .z O integrando



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nida

de


possui dois polos: em z p= e 1/ .z p= Se | | 1,p < o polo z p= está no interior do contorno, enquanto que o polo

1/z p= está fora. Assim que, precisamos somente do resíduo em ;z p= que resulta

2

1 1 ;(1 )i p−

Portanto, a integral agora é

2 2

1 1 22 ; ( 1)(1 ) (1 )

I i pi p p

ππ= = <− −

Se 1,p > o resíduo será em 1/ ,z p= é será igual a

2

1 1 ;( 1)i p −

Portanto, a integral agora é

( )2 2

1 1 22 ; 1 .( 1) ( 1)

I i pi p p

ππ= = >− −

Ambos os resultados podem ser combinados assim

( )2

2 ; 1 ,| 1|

I ppπ

= ≠−

enquanto que, a integral não está definida para 1.p =

Este método pode ser usado para integrais do tipo 2

0(cos ,sin ) , I R d

πθ θ θ= ∫ em que (cos ,sin )R θ θ é uma

função racional de cos θ e sin .θExemplo 2. Consideremos a seguinte integral real

2 2 2 2lim , ( 0) R

RR

dx dxI ax a x a

+∞ +

→∞−∞ −

= = >+ +∫ ∫

Assim, a integral 2 2

R

R

dxx a

+

− +∫ pode ser tratada como parte

da integral complexa 2 2/ ( )cdz z a+∫ calculada sobre o

244 EADFísica

contorno ,C como se mostra na Figura 12. Dessa maneira (podemos fazer z x= sobre o eixo real):

2 22 2 2 2/ ( ) .

R

R

cR C

dx dzdz z ax a z a

+

−

+ = ++ +∫ ∫ ∫

Podemos calcular a integral sobre o semicírculo RC quando R é muito grande, assim, é conveniente escrever

2 2 2 2 2

1 1 1 , 1 /z a z a z

=+ +

se z R= é muito grande, então 2 2 2 2| / | /a z a R= é pequeno e 2 2|1 / | a z+ é quase igual, ou muito próximo de um (Figura 13). Observemos, então, que 2 2|1 / | 1/ 2a z+ > para ,R a> e em consequência

( )2 2

1 2 para 2 .|1 / |

R aa z

< >+

Isto leva à

( )22 2

1 2 para 2 . R aRa z

< >+

Usando a estimativa

2 2 2 2 2

1 2 2 máx máx . | | | |

RC

dz R Rz a z a R R

ππ π≤ < =+ +∫

Então

2 2lim 0.| |

RR

C

dzz a→∞

=+∫

Vemos que, a integral 2 2/ ( )RC

dz z a+∫ é independente

do raio R (pelo menos quando R for maior do que a ),

pois a única singularidade do integrando dentro de C é em



4U

nida

de


,z ai= e assim pelo teorema do resíduo

( )2 2 1/ ( ) 2 Re 2 ,2C

dz z a i sf ai iai a

ππ π+ = = =∫

(para todas as C , tais que R a> ). Logo, se fizermos R →∞teremos

2 22 2 2 2/ ( ) lim lim ,

R

R

R RC R C

dx dzdz z ax a z a

+

→∞ →∞−

+ = ++ +∫ ∫ ∫

que se reduz a

( )2 2 0 .dx aa x aπ +∞

−∞

= >+∫

Figura 12. Contorno de integração para o Exemplo 2

O processo anterior pode ser aplicado às integrais do tipo

( ) ,( )

P x dxQ x

+∞

−∞∫

em que ( )P x e ( )Q x são polinômios em ,x e: (i) ( )Q x não

deve ter zeros reais, e (ii) o grau de ( )Q x deve exceder o

246 EADFísica

grau de ( )P x , de pelo menos dois (de outra maneira a in-

tegral sobre o semicírculo RC talvez não tenda para zero). Para tais integrais se cumpre que

( ) 2 Res( )

P x dx iQ x

π+∞

−∞+

= ∑∫

onde Res+∑ é a soma dos resíduos do integrando no semi-

plano superior.

Exemplo 3. Considere a integral real

( )2 2

cos 0 .xI dx ax a

+∞

−∞= >

+∫

Observemos, em primeiro lugar, que

2 2

1 cos .2

xI dxx a

+∞

−∞=

+∫

Fazendo a substituição de x por z não funcionará, pois cos z não é bem comportada no plano superior; não é

limitada. No entanto a função ize é limitada no semiplano

superior, pois ,iz y ixe e e−= como | | 1ixe = (para todo x real),

enquanto que | | 1ye− ≤ para todos os y não negativos. As-sim, a integral complexa

2 2 2 2 2 2

R

iz ix izR

R CC

e e eJ dz dx dzz a x a z a

+

−= = +

+ + +∫ ∫ ∫

é calculada sobre o contorno mostrado na Figura 12. Note-mos que,

2 2lim 0.R

iz

CR

e dzz a→∞

=+∫

Também, a integral resulta usando o teorema dos resíduos



4U

nida

de


( )2 Res 2 ,2eJ i f ai i e

ai a

ααππ π

−−= = =

de maneira que, a integral

( )2 2 2 2 2 2

cos sin 0 ,ixe x xdx dx i dx e a

x a x a x a aαπ+∞ +∞ +∞ −

−∞ −∞ −∞≡ + = >

+ + +∫ ∫ ∫

Como o lado direito é real, segue-se que

( )2 20

cos 1 0 .2

xI dx e ax a a

απ+∞ −= = >+∫

Exemplo 4. Considere a integral real

0

sin ,xI dxx

+∞= ∫

Ao igual que antes, podemos fazer

sin sin1/ 2 1/ 2 ,x zI dx dz

x z+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

Como sin z não é bem comportada no semiplano superior, tentaremos calcular a integral complexa sobre um caminho (eixo real) que é aberto (por enquanto). Como

sin /z z é contínuo em 0,z = podemos deformar o contorno como é mostrado na Figura 13, e dizer que

´0

sinlim . Cr

zI dzz→

= ∫

248 EADFísica

Figura 13. Contorno de integração para o Exemplo 4

Usando agora

( )1sin ,2

iz izz e ei

−= −

o problema agora é calcular

1 2´ ´0 0lim e lim

iz iz

C Cr r

e eI dz I dzz z

−

→ →= =∫ ∫

Para 1,I escolhemos o contorno como usualmente. Figura 14(a). É possível mostrar (fica como atividade) que a integral

sobre 'C se aproxima a zero, ou seja

´ 0

iz

C

e dzz

=∫

Para 2 ,I fecharemos o contorno pelo semiplano inferior como mostra a figura 5.14 (b). Ora, | |ize− é limitado no semiplano inferior e a integral sobre 'RC tende para zero. Por outro lado, observemos que (a) existe uma contribuição dada pelo polo na origem e (b) a integração no sentido horário introduz uma mudança de sinal. Assim, obtemos

( )´

2 Res 0 2 iz

C

e dz i f iz

π π−

= − = −∫



4U

nida

de


Apresentamos nesta Unidade os números complexos. Definimos e aprendemos as suas propriedades fundamentais. Como os números complexos podem ser considerados como variáveis, então, conseguimos formar as funções complexas. Estudamos as condições de continuidade e as noções de analiticidade destas funções. Pudemos definir as propriedades de derivação e integrabilidade destas funções de variável complexa. Analisamos suas aplicações para resolver alguns problemas físicos associados às soluções de equações diferenciais. Finalmente, pudemos calcular integrais reias e complexas usando as funções complexas.

RESUMINDO

Figura 14. Contorno de integração para o Exemplo 4.

Combinando ambos os resultados

( ) ( )1 2sin 1 1 0 2 .

2 2x dx I I i

x i iπ π

+∞

−∞= − = + =∫

250 EADFísica

REfERêNcIAS

CERRI C. e MONTEIRO M. S., CAEM - Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (2001), http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf

BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Pub-lishing Company Inc., United States of America, 1968.



4U

nida

de

Suas anotações

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ministério da educação -...

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