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Mínimo común múltiplo

El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.

El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:

¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar. Aquí tienes ejemplos:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números. Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...

Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Calcular el mínimo común múltiplo

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:

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Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15

Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....

Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)

EJEMPLO: Calcular el MCM entre 24 y 45 (Más ejemplos) Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos (¿qué son los números primos?): 24 | 2 45 | 3 12 | 2 15 | 3 6 | 2 5 | 5 3 | 3 1 | 1 1 | 1 ¿Cómo se descomponen los números? 24 = 23.3 45 = 32.5 Luego, el MCM se calcula multiplicando todos los "factores" (comunes y no comunes) que aparecen en la descomposición de los números, con el mayor exponente con que aparecen (¿comunes y no comunes?) (¿mayor exponente?). Los "factores" son los distintos números que aparecen en la columna derecha de la descomposición: 2, 3 y 5 en este ejemplo (el 1 no se toma en cuenta). Podemos decir que la cantidad de veces que aparece el factor en la descomposición de un número es igual a su "exponente". Por ejemplo, ponemos que:

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24 = 23.3 Porque el 2 aparece 3 veces en la columna derecha, y el 3 aparece una sola vez. El exponente para 2 es 3, y el exponente para 3 es 1 (31 = 3, entonces el 1 no se pone). 45 = 32.5 Porque el 3 aparece 2 veces, y el 5 aparece una sola vez. Entonces, para calcular el m.c.m., hay que mirar cada factor, en los dos números, a ver dónde aparece en mayor cantidad (o mayor exponente), y cuál esa cantidad: El factor 2: Aparece en el 24, y está 3 veces (o elevado a la 3). No aparece en el 45. Así que la mayor cantidad de veces que aparece (o mayor exponente) es 3. En el m.c.m. hay que poner el 2 elevado a la 3 (23). El factor 3: Aparece en el 24, y está 1 vez (o elevado a la 1, o sin elevar). Aparece 2 veces (o elevado a la 2) en el 45. La mayor cantidad de veces es 2. En el m.c.m hay que poner el 3 elevado a la 2 (32). El factor 5: No aparece en el 24. Y aparece 1 vez en el 45 (o elevado a la 1, o sin elevar). En el m.c.m. hay que poner el 5 sin elevar (que es como si estuviera elevado a la 1). MCM = 23.32.5 = 8.9.5 = 360

EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS - DUDAS ¿A qué le llamo "los factores"? En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números (primos) que aparecen en la columna derecha en la descomposición de los números entre los cuales queremos encontrar el m.c.m. (sin contar el 1, que aquí no tiene relevancia, y además no es primo). ¿Qué significa "factores comunes y no comunes"? Factores comunes son los que aparecen en la descomposición de ambos números. Y factores no comunes son los que aparecen en la descomposición de uno solo de los números. En este ejemplo: 24 | 2 45 | 3

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12 | 2 15 | 3 6 | 2 5 | 5 3 | 3 1 | 1 1 | 1 El único factor en común es el 3, porque aparece en la descomposición del 24 y del 45. En cambio el 2 es un factor "no común", y el 5 también. Cuando la regla para obtener el m.c.m. dice que es el producto de los factores "comunes y no comunes", está queriendo decir que es el producto de todos los factores. Pero aclara "comunes y no comunes", para diferenciarse de la regla de m.c.d., donde sólo hay que poner los factores comunes. ¿Qué significa "con el mayor exponente"? Podríamos cambiar la idea de "mayor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derecha descomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece tres veces (23) en la descomposición de 24, y ninguna vez en la descomposición del 45. La mayor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el m.c.m. ponemos 23. En cambio el 3, aparece una sola vez en el 24 y dos veces en el 45. La mayor cantidad, el mayor exponente del 3 es dos. Por eso en el m.c.m ponemos 32. Y el factor 5 aparece una sola vez en el 45, ésa es entonces la mayor cantidad de veces que aparece: una vez. En el m.c.m. hay que poner 51, que es igual a 5. La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna derecha de la descomposición. Así: 24 = 2.2.2.3 Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 23 por la definición de potencia. Entonces la cantidad de veces que está un factor termina siendo el exponente al que está elevado ese factor: 24 = 23.3 ¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo, Múltiplo Común Mínimo o MCM? El MCM entre varios números es el menor número que es múltiplo (¿qué es un múltiplo?) de todos ellos. Es decir, entre todos los múltiplos que tienen en común, el menor. En el ejemplo al principio de la página, calculé que el MCM entre 24 y 45, que me dió 360. Eso significa que 360 es el menor número que es múltiplo, al mismo tiempo, de 24 y de 45. Eso es lo mismo que decir que 360 es el menor número que es divisible tanto por 24 y 45, ya que el múltiplo de un número es divisible por éste número (¿por qué?).

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Múltiplos de 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, 336, 360, etc. Múltiplos de 45: 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, etc. El primer múltiplo de ambos número que encontramos, o sea, el menor de ellos, es 360. Podía haber seguido buscando múltiplos de los dos números y encontraría muchos más que son comunes a ambos. Pero el menor de ellos es 360. Y como decía antes, 360 es divisible por ambos: 360 |__24__ 120 15 00 / 360 |__45__ 00 8 / ¿Para qué me sirve hallar el Mínimo Común Múltiplo? Para encontrar el denominador común en una suma o resta de fracciones con distinto denominador, por ejemplo. También sirve para resolver algunos problemas en los que varias cosas se repiten con determinada frecuencia, y hay que averiguar cuando sucederán esas cosas al mismo tiempo. A veces, el Mínimo Común Múltiplo entre varios números es uno de ellos: Eso pasa cuando uno de los números es múltiplo de los otros. Ejemplo: 15 | 3 45 | 3 5 | 5 15 | 3 1 | 1 5 | 5 1 | 1 MCM = 32.5 = 45 Al ser 45 múltiplo de 15, y obviamente ser múltiplo de sí mismo, es el menor múltiplo que tienen en común, ya que el menor múltiplo posible de 45 es 45. Múltiplos de 15: 15 - 30 - 45 - 60 - 75 - etc. Múltiplos de 45: 45 - 90 - 135 - 180 - etc. ¿Qué es un múltiplo?

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Un número es múltiplo de otro cuando se puede obtener multiplicando a ese número por cualquier número natural. Por ejemplo: 6 es múltiplo de 3, porque se puede obtener multiplicando a 3.2 = 6 20 es múltiplo de 4, porque se puede obtener multiplicando a 4.5 = 20 Para obtener los múltiplos de un número, basta con multiplicarlo por los números naturales. Los múltiplos de un número son infinitos. Por ejemplo: Obtener los 5 primeros múltiplos de 7: 7.1 = 7 7.2 = 14 7.3 = 21 7.4 = 28 7.5 = 35 Los múltiplos son: 7, 14, 21, 28 y 35 Obtener 4 múltiplos de 9: 9.5 = 45 9.12 = 108 9.100 = 900 9.550 = 4950 Son múltiplos de 9: 45, 108, 900 y 4950. Y si un número es múltiplo de otro, se lo puede dividir exactamente por él, es decir, el resto de la división es cero. Por ejemplo, vimos que 108 es múltiplo de 9, y: 108 |__9__ 18 12 00 / Y eso es lógico porque ¿cómo obtuvimos el 108? Multiplicando a 9.12. Como multiplicación y división son operaciones "inversas", si divido al 108 por 9 obtengo 12. Y si dividido al 108 por 12, obtengo 9. Entonces, también se puede decir que un número es múltiplo de otro cuando puede dividirse exactamente por él.

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Más ejemplos del cálculo de MCM: 12 | 2 50 | 2 6 | 2 25 | 5 3 | 3 5 | 5 1 | 1 1 | 1 12 = 22.3 50 = 2.52 MCM = 22.3.52 = 300 168 | 2 250 | 2 180 | 2 84 | 2 125 | 5 90 | 2 42 | 2 25 | 5 45 | 3 21 | 3 5 | 5 15 | 3 7 | 7 1 | 1 5 | 5 1 | 1 1 | 1 168 = 23.3.7 250 = 2.53 180 = 22.32.5 MCM = 23.32.53.7 = 63000