mihai n. pascu 1 octombrie 2014 - cs.unitbv.rocs.unitbv.ro/~pascu/stoch/cursstochproc.pdf · 1...

Procese StochasticeNotite de curs

Mihai N. Pascu

1 Octombrie 2014

Cuprins

1 Elemente de teoria proceselor stochastice 31.1 Spatiu de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Asteptare conditionata ın raport cu o σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Timpi de oprire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Transformari martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Inegalitati si teoreme de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7 Miscarea Browniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Integrala stochastica 462.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Integrala stochastica Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Extensii ale integralei stochastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Formula Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Aplicatii ale proceselor stochastice 603.1 Aplicatii la rezolvarea unor ecuatii diferentiale (formula Feynman-Kac) . . 60

3.1.1 Ecuatii diferentiale stochastice (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2 Timpi de oprire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3 Integrale stochastice si timpi de oprire . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.4 Aplicatii la rezolvarea probabilista a unor ecuatii cu derivate partiale 65

3.2 Aplicatii in finante (formula Black-Scholes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.1 Modele de crestere (investitii bancare, cresterea populatiei, etc) . . 683.2.2 Formula Black-Merton-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bibliografie 75

2

Capitolul 1

Elemente de teoria proceselorstochastice

3

1.1. SPATIU DE PROBABILITATE 4

1.1 Spatiu de probabilitate

Definitia 1.1.1. Data fiind o multime nevida Ω 6= ∅, numim σ–algebra pe Ω o familienevida F ⊂ P(Ω) = A : A ⊂ Ω de parti a lui Ω, cu proprietatile:

i) F este ınchisa la complementara, adica

A ∈ F =⇒ Ac ∈ F

ii) F este ınchisa la reuniuni numarabile, adica

A1, A2, . . . ∈ F =⇒∞⋃n=1

An ∈ F .

Exemplul 1.1.2. Pentru o multime Ω 6= ∅, se verifica usor ca F1 = ∅,Ω (σ-algebra“minimala”) si F2 = P(Ω) = F : F ∈ Ω (σ-algebra “maximala”) sunt σ-algebre pe Ω.

Pentru o σ-algebra F arbitrara a unei multimi de evenimente elementare Ω are loc

F1 ⊂ F ⊂ F2,

unde F1 = ∅,Ω este σ-algebra minimala si F2 = P(Ω) este σ-algebra maximala pe Ω.

Exemplul 1.1.3. Data fiind o submultime arbitrara S ⊂ P (Ω), ea nu este ın generalo σ-algebra. Se poate demonstra ca exista o σ-algebra minimala ce contine pe S, notataprin σ (S), si numita σ-algebra generata de S.

Faptul ca σ (S) este o σ-algebra minimala ce contine pe S ınseamna ca σ (S) este oσ-algebra, S ⊂ σ (S), si oricare ar fi o alta σ-algebra F cu proprietatea ca S ⊂ F rezultaσ (S) ⊂ F .

In general are loc incluziunea S ⊂ σ (S), cu egalitate numai ın cazul ın care S este oσ-algebra pe Ω.

Exemplul 1.1.4. Un exemplu important de σ-algebra generata de o familie de multimieste σ-algebra multimilor Boreliene din R, definita prin

B = B (R) = σ (A ⊂ R : A multime deschisa ın R) (1.1)

numita σ-algebra Boreliana pe R.

Cateva din proprietatile unei σ-algebre sunt continute ın urmatoarea:

Propozitia 1.1.5. Daca F este o σ–algebra pe Ω, atunci au loc urmatoarele:i) ∅,Ω ∈ Fii) Pentru orice n ≥ 1 si A1, . . . , An ∈ F , avem A1 ∪ . . . ∪ An, A1 ∩ . . . ∩ An ∈ F

iii) Pentru orice sir de evenimente A1,A2, . . . ∈ F , avem∞⋂n=1

An ∈ F

iv) A,B ∈ F =⇒A∆Bdef= (A−B) ∪ (B − A) ∈ F

Demonstratie. Exercitiu.

O multime nevida Ω pentru care s-a definit o σ–algebra F se numeste spatiu masurabil,si se noteaza (Ω,F).

Mihai N. Pascu – Notite curs Procese Stochastice

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA PROCESELOR STOCHASTICE 5

Definitia 1.1.6. Numim (masura de) probabilitate pe spatiul masurabil (Ω,F) o functieP : F → [0,∞) cu proprietatile:

i) P (Ω) = 1ii) Oricare ar fi evenimentele A1, A2, . . . ∈ F incompatibile (disjuncte) doua cate doua,

are loc egalitatea

P

(∞⋃n=1

An

)=∞∑n=1

P (An) .

Definitia 1.1.7. Numim spatiu de probabilitate un triplet (Ω,F , P ) unde

• Ω 6= ∅ este multimea evenimentelor elementare;

• F este o σ–algebra a lui Ω;

• P este o masura de probabilitate pe spatiul masurabil (Ω,F).

Are loc urmatoarea:

Propozitia 1.1.8 (Proprietati ale masurii de probabilitate). Daca (Ω,F , P ) este unspatiu de probabilitate, atunci au loc urmatoarele:

1. P (∅) = 0

2. P (A1 ∪ . . . ∪ An) = P (A1) + . . . + P (An), oricare ar fi A1, . . . , An ∈ F disjunctedoua cate doua

3. P (A) ≤ P (B), oricare ar fi A,B ∈ F cu A ⊂ B

4. 0 ≤ P (A) ≤ 1, oricare ar fi A ∈ F

5. P (Ac) = 1− P (A), oricare ar fi A ∈ F

6. P (B − A) = P (B)− P (A), oricare ar fi A,B ∈ F cu A ⊂ B

7. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), oricare ar fi A,B ∈ F .

Demonstratie. Exercitiu.

Exemplul 1.1.9. In cazul aruncarii unui zar, putem considera ca spatiu de probabilitate(Ω,F , P ), unde

• Ω = 1, 2, . . . , 6

• F = P(Ω) = ∅, 1 , 2 , . . . 6 , 1, 2 , 1, 3 , . . . , 5, 6 , . . . , 1, 2, . . . , 6

• P : F → [0,∞), P (1) = P (2) = . . . = P (6) = 16

Exemplul 1.1.10. In cazul aruncarii unui ban, putem considera ca spatiu de probabilitate(Ω,F , P ), unde

• Ω = B, S

• F = P (Ω) = ∅, B , S , B, S


1.1. SPATIU DE PROBABILITATE 6

• P : F → [0,∞), P (B) = P (S) = 12

(sau P (B) = p, P (S) = 1 − p,0 < p < 1, ın cazul ın care banul este “masluit”)

Exemplul 1.1.11. In cazul aruncarii a doua monede, putem considera ca spatiu de pro-babilitate (Ω,F , P ), unde

• Ω = (B,B) , (B, S) , (S,B) , (S, S)

• F = P (Ω)

• P : F → [0,∞), P ((B,B)) = P ((B, S)) = P ((S,B)) = P ((S, S)) = 14

Exercitii

Exercitiul 1.1.1. Data fiind o familie de multimi S ⊂ P (Ω), sa se demonstreze ca

⋂A - σ-algebraS⊂A

A

este o σ-algebra ce contine pe S, ce coincide cu σ (S) (σ-algebra minimala ce contine peS).

Exercitiul 1.1.2. Sa se demonstreze ca σ-algebra Boreliana pe R definita de (1.1) poatefi descrisa alternativ ca σ (S), unde S este oricare din urmatoarele familii de multimi:

a) S = A ⊂ R : A multime ınchisa ın R

b) S = (a, b) : a, b ∈ R, a < b

c) S = [a, b) : a, b ∈ R, a < b

d) S = [a, b] : a, b ∈ R, a < b

e) S = (a, b] : a, b ∈ R, a < b

f) S = (−∞, a) : a ∈ R

g) S = (−∞, a] : a ∈ R



1.2 Asteptare conditionata ın raport cu o σ-algebra

Un concept important ın cele ce urmeaza este notiunea de asteptare conditionata (saumedie conditionata), care poate fi gandita ca o extindere a probabilitatii conditionate deun eveniment. O alta interpretare este aceea de proiectie a variabilei aleatoare pe unanumit subspatiu de variabile aleatoare (a se vedea Exercitiul 1.2.4).

Fie (Ω,F , P ) un spatiu de probabilitate fixat si G ⊂ F o σ-algebra de evenimentecontinuta ın F .

Reamintim ca o variabila aleatoare pe (Ω,F , P ) este o functie X : Ω→ R masurabilaın raport cu σ-algebrele corespunzatoare (F pe Ω, respectiv σ-algebra Boreliana B pe R),adica cu proprietatea

X−1 (A) = ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A ∈ F , oricare ar fi A ∈ B. (1.2)

Definitia formala a asteptarii conditionate este urmatoarea:

Definitia 1.2.1. Fie X o variabila aleatoare integrabila pe spatiul de probabilitate (Ω,F , P )si G ⊂ F o σ-algebra de submultimi din F . Numim asteptare conditionata a lui X ınraport cu σ-algebra G o variabila aleatoare G-masurabila Y cu proprietatea

E [X;A] = E [Y ;A] , A ∈ G. (1.3)

Consistenta definitiei rezulta este data de urmatoarea:

Propozitia 1.2.2. Daca X este o variabila aleatoare integrabila pe (Ω,F , P ) si G ⊂ Feste o σ-algebra continuta ın F , atunci asteptarea conditionata a lui X ın raport cu σ-algebra G exista si este unica cu exceptia unei multimi de probabilitate zero.

Demonstratie. Pentru a demonstra unicitatea, sa consideram doua variabile aleatoare Y1,2

care sunt G-masurabile si verifica

E[Y1;A] = E[X;A] = E[Y2;A], A ∈ G.

Cum Y1,2 sunt G-masurabile, multimea Aε = ω ∈ Ω : Y1 (ω) > Y2 (ω) + ε apartineσ-algebrei G oricare ar fi ε > 0, si din egalitatea anterioara obtinem

E [Y1 − Y2;Aε] = E [Y1;Aε]− E [Y2;Aε] = E [X;Aε]− E [X;Aε] = 0.

Pe de alta parte, din definitia multimii Aε, pentru ω ∈ Aε avem Y1 (ω) − Y2 (ω) > ε,si deci obtinem

0 = E [Y1 − Y2;Aε] ≥ E [ε;Aε] = εP (Aε) ,

de unde rezulta P (Aε) = 0 oricare ar fi ε > 0.Obtinem deci

P (Y1 > Y2) = P

( ⋃0<ε∈Q

Aε

)≤∑

0<ε∈Q

P (Aε) = 0,

si deci Y1 ≤ Y2 a.s. (adica cu exceptia unei multimi de probabilitate zero).Schimband rolurile lui Y1 si Y2, ın mod similar se obtine Y2 ≤ Y1 a.s., si deci Y1 = Y2

a.s., demonstrand astfel unicitatea.


1.2. ASTEPTARE CONDITIONATA IN RAPORT CU O σ-ALGEBRA 8

Pentru a demonstra existenta, sa observam mai ıntai ca datorita liniaritatii mediei,este suficient sa consideram cazul X ≥ 0 (cazul general se obtine scriind X = X+ −X−,unde X+ = max X, 0 ≥ 0 si X− = max −X, 0 ≥ 0, si folosind liniaritatea mediei).

Reamintim teorema Radon-Nikodym: daca µ si ν sunt doua masuri σ-finite pe unspatiu masurabil (X,S) si masura ν este absolut continua ın raport cu masura µ, atunciexista o functie masurabila f : X → [0,∞) (derivata Radon-Nikodym a masurii ν ınraport cu masura µ, notata si f = dν

dµ) cu proprietatea ca

ν (A) =

∫A

fdµ, A ∈ S. (1.4)

Cum X ≥ 0, rezulta ca

ν (A) =

∫A

XdP = E [X;A] , A ∈ G,

este o masura pe spatiul masurabil (Ω,G), si cum X este presupusa variabila aleatoareintegrabila, rezulta ca

ν (Ω) = E [X; Ω] = EX <∞,si deci masura ν este finita (si deci si σ-finita).

De asemenea, restrictionand masura de probabilitate P la σ-algebra G, adica definind

µ (A) = P (A) , A ∈ G, (1.5)

obtinem o masura σ-finita µ definita pe (Ω,G).Folosind din nou faptul ca X este o variabila aleatoare integrabila rezulta

ν (A) =

∫A

XdP = 0

oricare ar fi A ∈ G cu µ (A) = P (A) = 0, si deci masura ν este absolut continua ın raportcu masura µ.

Din teorema Radon-Nikodym rezulta ca exista o variabila aleatoare Y : Ω → [0,∞)masurabila ın raport cu σ-algebra G, astfel ıncat

ν (A) =

∫A

Y dµ, A ∈ G,

sau echivalentE [X;A] = E [Y ;A] , A ∈ G, (1.6)

ıncheiand astfel demonstratia.

Din propozitia anterioara rezulta ca asteptarea conditionata a variabilei aleatoare X ınraport cu σ-algebra G din Definitia 1.2.1 este unica pana la egalitatea a.s. a doua variabilealeatoare (o relatie de echivalenta), si ın continuare vom nota prin E [X|G] pentru aceastaclasa de echivalenta. Asa cum se obisnuieste, vom identifica aceasta clasa de variabilealeatoare egale a.s. printr-un reprezentant al clasei, adica vom scrie E [X|G] = Y , si vomıntelege aceasta ca o egalitate a.s. de variabile aleatoare (Y se mai numeste o versiune aasteptarii conditionate E [X|G]).

Fixand σ-algebra G din definitia de mai sus, se poate demonstra ca asteptarea conditio-nata E [· |G] are proprietatile obisnuite ale unei medii: este liniara, monotona, si verificateoremele de convergenta dominata si monotona corespunzatoare (a se vedea Exercitiile1.2.2 si 1.2.3 de la sfarsitul acestei sectiuni).



Propozitia 1.2.3. Fie X,X 1, X2 variabile aleatoare integrabile pe un spatiu de probabi-litate (Ω,F , P ) si G ⊂ F o σ-algebra continuta ın F . Au loc urmatoarele:

i) E [· |G] este liniara, adica

E [a1X1 + a2X2|G] = a1E [X1|G] + a2E [X2|G] , (1.7)

oricare a1, a2 ∈ R.

ii) E [· | E ] este monotona, adica daca X1 ≤ X2 a.s., atunci

E [X1|G] ≤ E [X2|G] (1.8)

iii) E (E [X|E ]) = EX

iv) Daca X este masurabila ın raport cu σ-algebra G, atunci E [X|G] = X.

v) Daca X este independenta de σ-algebra G, atunci E[X|G] = EX.

vi) Daca Y este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra G astfel ıncıt XYeste o variabila aleatoare integrabila, atunci

E[XY |G] = Y E[X|G]. (1.9)

vii) Daca E ⊂ G este o σ-algebra continuta ın G, atunci

E[E[X|E ]|G] = E[E[X|G]|E ] = E[X|E ] (1.10)

viii) (Inegalitatea Jensen pentru asteptarea conditionata) Daca f : R→ R esteo functie convexa pentru care f(X) este o variabila aleatoare integrabila, atunci

f (E[X|G]) ≤ E[g(X)|G]. (1.11)

Demonstratie. i) Notand Yi = E [Xi|G], i = 1, 2, rezulta ca a1Y1 + a2Y2 este o variabilaaleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra G, si din liniaritatea mediei obtinem

E [a1Y1 + a2Y2;A] = a1E [Y1;A] + a2E [Y2;A]

= a1E [X1;A] + a2E [X2;A]

= E [a1X1 + a2X2;A] ,

oricare ar fi A ∈ G, si deci conform definitiei avem

E [a1X1 + a2X2|G] = a1Y1 + a2Y2 = a1E [X1|G] + a2E [X2|G] .

ii) Daca X1 ≡ 0, atunci X2 ≥ X1 ≡ 0 este o variabila aleatoare ne-negativa, si dindemonstratia Propozitiei 1.2.2 avem E [X2|G] ≥ 0 = E [0|G], ıncheiand astfel demonstratiaın acest caz.

Pentru cazul general, cum X2 −X1 ≥ 0, aplicand demonstratia anterioara obtinem

E [X2 −X1|G] ≥ 0,



si folosind liniaritatea asteptarii conditionate obtinem

E [X2|G]− E [X1|G] ≥ 0,

sau echivalentE [X2|G] ≥ E [X1|G] ,

ıncheiand astfel demonstratia.iii) Rezulta imediat din Definitia (1.3) a asteptarii conditionate, considerand A = Ω:

E (E [X|G]) = E (E [X|G] ; Ω) = E (X; Ω) = EX.

iv) Cum variabila aleatoare X este presupusa masurabila ın raport cu σ-algebra G siverifica (trivial) egalitatea

E [X;A] = E [X;A] , A ∈ G,

conform Definitiei 1.2.1 a asteptarii conditionate avem E [X|G] = X.v) Cum EX este o variabila aleatoare constanta, ea este ın particular G-masurabila.

Pentru A ∈ G arbitrar, cum X si G sunt independente, rezulta ca X si 1A sunt variabilealeatoare independente, si deci obtinem

E [X;A] = E [X 1A] = EX · E1A = EX · P (A) = E [EX;A] .

Conform Definitiei 1.2.1 a asteptarii conditionate avem deci E [X|G] = EX.vi) Sa consideram mai ıntai cazul ın care Y = 1B cu B ∈ G.Deoarece prin definitie E [X|G] este o variabila aleatoare G-masurabila, rezulta ca

Y E [X|G] = 1B E [X|G] este o variabila aleatoare G-masurabila (fiind un produs de vari-abile aleatoare G-masurabile).

Pentru un eveniment A ∈ G arbitrar, deoarece A∩B ∈ G, conform definitiei asteptariiconditionate E [X|G] avem:

E [1BE [X|G] ;A] = E [E [X|G] ;A ∩B] = E [X;A ∩B] = E [1BX;A] ,

si deci conform definitiei asteptarii conditionate avem ın acest caz

E [1BX|G] = 1BE [X|G] ,

adica afirmatia din enunt este verificata pentru Y = 1B cu B ∈ G.Folosind liniaritatea asteptarii conditionate rezulta ca relatia

E [Y E [X|G]] = Y E [X|G]

este de asemenea verificata pentru variabile aleatoare Y de forma Y =∑

i bi1Bi cu Bi ∈ Gsi bi ∈ R. Trecand la limita (folosind teorema convergentei dominate pentru asteptareaconditionata) rezulta ca relatia anterioara este verificata pentru variabile aleatoare Ymasurabile ın raport cu σ-algebra G astfel incat XY este o variabila aleatoare integrabila,ıncheiand astfel demonstratia.

vii) Sa observam ca, conform definitiei E[X|E ] este o variabila aleatoare E-masurabila,si cum E ⊂ G, E[X|E ] este de asemenea G-masurabila. Conform punctului iv), rezultadeci

E [E[X|E ]|G] = E[X|E ],



ıncheiand astfel prima parte a demonstratiei.Pentru un eveniment arbitrar A ∈ E , cum E ⊂ G, avem si A ∈ G, si din definitia

asteptarilor conditionate E[X|G] si E[X|E ] obtinem:

E[E[X|G];A] = E [X;A] = E [E[X|E ];A] ,

oricare ar fi A ∈ E .Cum E[X|E ] este prin definitie o variabila aleatoare E-masurabila, conform Definitiei

1.2.1 a asteptarii conditionate rezulta

E[E[X|G]|E ] = E[X|E ],

ıncheiand astfel demonstratia.viii) Cum f este o functie convexa, se poate arata ca pentru x0 ∈ R arbitrar fixat

exista c (x0) astfel ıncat

f (x) ≥ f (x0) + c (x− x0) , x ∈ R.

Inlocuind x = X (ω) si x0 = E [X|G] (ω) obtinem

f (X (ω)) ≥ f (E [X|G] (ω)) + c (E [X|G] (ω)) (X (ω)− E [X|G] (ω)) ,

de unde aplicand asteptarea conditionata, si folosind liniaritatea si monotonia acesteia,obtinem

E [f (X) |G] ≥ E [ f (E [X|G]) + c (E [X|G]) (X − E [X|G]) |G]

= E [ f (E [X|G]) |G] + E [c (E [X|G]) (X − E [X|G]) |G]

= f (E [X|G]) + c (E [X|G])E [(X − E [X|G]) |G]

= f (E [X|G]) + c (E [X|G]) (E [X|G]− E [X|G])

= f (E [X|G]) + c (E [X|G]) · 0= f (E [X|G]) .

In demonstratia anterioara am folosit faptul ca c (E [X|G]) este o variabila aleatoareG-masurabila. Aceasta rezulta din faptul ca functia x0 7→ c (x0) este o functie masurabilasi faptul ca E [X|G] este o variabila aleatoare G-masurabila.

O alta intepretare pe care o putem da asteptarii conditionate (ın cazul variabileloraleatoare de patrat integrabil) este ca o proiectie din L2(P,F ,Ω) pe L2(P,G,Ω). Maiprecis, se poate arata (a se vedea Exercitiul 1.2.4) ca E [X|G] este variabila aleatoareG-masurabila care este cea mai apropiata ın norma L2(P,F ,Ω) de variabila aleatoare X.

Cu aceasta intepretare, proprietatile iv) si vii) din propozitia anterioara afirma caproiectia unui element din L2(P,G,Ω) pe L2(P,G,Ω) este el ınsusi, respectiv ca proiectiaunei proiectii a unui element din L2(P,F ,Ω) coincide cu proiectia pe cel mai mic dintresubspatiile considerate.

Exercitii

Exercitiul 1.2.1 (Inegalitatea Cebasev pentru asteptarea conditionata). Daca X esteo variabila aleatoare de patrat integrabil pe spatiul de probabilitate (Ω,F , P ) si G ⊂ F oσ-algebra continuta ın F , atunci oricare ar fi a > 0 are loc inegalitatea

P (|X| ≥ a|G) ≤ 1

a2E[X2|G

]Mihai N. Pascu – Notite curs Procese Stochastice


Exercitiul 1.2.2 (Teorema convergentei monotone pentru asteptarea conditionata). DacaXn ≥ 0 este un sir crescator de variabile aleatoare nenegative cu Xn ↑ X pentru n→∞,atunci

E [Xn|G] ↑ E [X|G] .

Exercitiul 1.2.3 (Teorema convergentei dominata pentru asteptarea conditionata). DacaXn este un sir de variabile aleatoare integrabile cu Xn → X a.s. pentru n → ∞ si|Xn| ≤ Y oricare ar fi n ≥ 1, unde Y este o variabila aleatoare integrabila, atunci

E [Xn|G]→ E [X|G]

Exercitiul 1.2.4. Sa se arate ca daca X este o variabila aleatoare de patrat integrabilpe spatiul de probabilitate (Ω,F , P ) si G ⊂ F este o σ-algebra continuta ın F , atunciasteptarea conditionata E [X|G] este cea mai apropiata variabila aleatoare G-masurabilaY ın distanta L2(Ω,F , P ) de X, adica E [X|G] minimizeaza expresia

E[(X − Y )2]

pentru Y ∈ L2(Ω,G, P ).

Indicatie: Pentru Y ∈ L2(Ω,G, P ) are loc inegalitatea

E[(X − Y )2] = E

[(X − E [X|G])2]+ 2E [(X − E [X|G]) (E [X|G]− Y )] +

E[(E [X|G]− Y )2]

≥ E[(X − E [X|G])2]+ 2E [(X − E [X|G]) (E [X|G]− Y )] ,

si se arata ca a doua medie din membrul dreapt este egala cu zero.

Exercitiul 1.2.5. Daca evenimentele Ai ∈ F cu P (Ai) > 0, i = 1, 2, . . . formeaza opartitie disjuncta a lui Ω si E = σ (A1, A2, . . .) este σ-algebra generata de evenimen-tele Ai, atunci pentru orice variabila aleatoare integrabila X pe spatiul de probabilitate(Ω,F , P ) are loc

E[X|E ] (ω) =∑i≥1

E[X;Ai]

P (Ai)1Ai (ω) , ω ∈ Ω. (1.12)

In particular, daca X (ω) = 1B (ω) este functia indicator a unui eveniment B ∈ F ,are loc

E[1B|E ] (ω) =∑i≥1

P (B | Ai) 1Ai (ω) , ω ∈ Ω, (1.13)

iar daca ın plus A1 = A ∈ F si A2 = Ac, atunci

E[1B| ∅, A,Ac,Ω] (ω) = P (B|A) 1A (ω) + P (B|Ac) 1Ac (ω) , ω ∈ Ω (1.14)

(asteptarea conditionata ın raport cu o σ-algebra poate fi privita deci ca o extensie aprobabilitatii conditionate de un eveniment).

Exercitiul 1.2.6. Daca Ω = [0, 1), F = B ([0, 1)) este σ-algebra multimilor Boreliene din[0, 1), P este masura Lebesgue, X : [0, 1)→ R este o functie integrabila si Ai = [ i−1

2n, i

2n),

i = 1, 2, . . . , 2n, sa se determine E[X|G] unde G = σ (A1, A2, . . . , , An) este σ-algebragenerata de evenimentele A1, . . . , An.



1.3 Martingale

Consideram un spatiu de probabilitate (Ω,F , P ) fixat si o multime nevida ordonata T .In lucrarea de fata vom fi interesati ın principal de cazul discret T = N = 0, 1, 2, . . . saude cazul continuu T = [0,+∞), si vom gandi parametrul t ∈ T ca reprezentand timpul.

Definitia 1.3.1. Numim filtratie pe (Ω,F , P ) o colectie crescatoare de σ-algebre (Ft)t∈Tcontinute ın F , adica

Fs ⊂ Ft ⊂ F , oricare ar fi s, t ∈ T cu s < t.

Spunem ca filtratia (Ft)t∈T este continua la dreapta daca oricare ar fi t ∈ T avem

Ft+ :=⋂s>t

Fs = Ft. (1.15)

Spunem ca filtratia (Ft)t∈T este completa daca oricare ar fi t ∈ T , Ft contine toatemultimile P -neglijabile, adica toate multimile N ⊂ Ω cu proprietatea ca

inf P (F ) : N ⊂ F ∈ F = 0

(aceasta nu implica ınsa faptul ca N ∈ F , adica multimea N nu este neaparat o multimemasurabila; ea are ınsa probabilitatea exterioara nula).

Spunem ca filtratia (Ft)t∈T verifica conditiile uzuale daca ea este continua la dreaptasi contine toate multimile P -neglijabile.

Observatia 1.3.2. Sa observam ca ın cazul discret T = N, conditia (1.15) revine laF0 = F1 = F2 = . . .

In lucrarea de fata, toate filtratiile considerate verifica conditiile uzuale, cu exceptiacazului cand se specifica explicit contrariul, si a cazului discret T = N.

Definitia 1.3.3. O colectie (Mt)t∈T de variabile aleatoare Mt : Ω→ R se numeste adap-tata filtratiei (Ft)t∈T daca oricare ar fi t ∈ T variabila aleatoare Mt este masurabila ınraport cu σ-algebra Ft, adica daca

M−1t (B) = ω ∈ Ω : Mt (ω) ∈ B ∈ Ft,

oricare ar fi multimea Boreliana B ∈ B (notam aceasta prin Mt ∈ Ft).

Cerinta anterioara devine naturala daca gandim σ-algebra Ft ca fiind formata dintoata informatia disponibila despre procesul M pana la timpul t (adica Ft contine toateevenimentele despre stim ca au avut loc sau nu pana la momentul t).

Exemplul 1.3.4. Sa consideram cazul aruncarii de doua ori a unei monede, si sa notamprin Ω = B, S spatiul evenimentelor elementare (B pentru aparitia banului, respectiv Spentru aparitia stemei) si F = P (Ω) = ∅, SS, SB,BS,BB,Ω.

Dupa prima aruncare a banului stim daca s-a obtinut stema sau banul, dar nu cu-noastem ınca nimic despre rezultatul celei de a doua aruncari. Cu alte cuvinte, dupa primaaruncare a banului stim daca au avut loc sau nu urmatoarele evenimente: ∅ (evenimen-tul imposibil), SS, SB (evenimentul constand ın aparitia banului la prima aruncare),BS,BB (evenimentul constand ın aparitia banului la prima aruncare) si Ω (evenimen-tul sigur). Informatia cunoscuta dupa prima aruncare este deci continuta ın σ-algebra F1

data deF1 = ∅, SB, SB , BS,BB ,Ω .


1.3. MARTINGALE 14

Dupa a doua aruncare cunoastem rezultatul atat a primei cat si a celei de a douaaruncari (adica toata informatia despre cele doua aruncari), si deci aceasta informatieeste continuta ın σ-algebra F2 = P (Ω) .

Considerand Mn ca reprezentand numarul de fete stema obtinute ın primele n aruncari(n = 1, 2), atunci evident

M−11 (B) =

∅, 0, 1 /∈ BBS,BB , 0 ∈ B, 1 /∈ BSB, SB , 0 /∈ B, 1 ∈ BΩ, 0, 1 ∈ B

∈ F1

pentru orice multime Boreliana B ∈ B, si deci M1 este o variabila aleatoare masurabilaın raport cu σ-algebra F1.

Cum F2 = P (Ω), este eveident ca variabila aleatoare M2 este F2 masurabila, si saobservam ca M2 nu este masurabila ın raport cu F1 (nu putem determina numarul desteme ın cele doua aruncari cunoscand numai prima aruncare!). Pentru a observa aceasta,consideram spre exemplu B = 1 si observam ca

M−12 (B) = M−1

2 (1) = BS, SB /∈ F1,

si deci variabila aleatoare M2 nu este masurabila ın raport cu σ-algebra F1.

Sa observam ca data fiind o colectie de variabile aleatoare (Mt)t∈T putem ıntotdeaunadetermina o filtratie ın raport cu care colectia data este adaptata, astfel: considerandFt = σ(Xs : s ≤ t) - cea mai mica σ-algebra ın raport cu care variabilele aleatoare Ms

pentru s ≤ t sunt adaptate, este usor de observat ca (Ft)t∈T formeaza o filtratie si cafiecare variabila aleatoare Mt este adaptata ın raport cu Ft. Aceasta filtratie se numestefiltratie naturala generata de Mt.

Exemplul 1.3.5. Consideram trei aruncari succesive ale unei monede si definim vari-abilele aleatoare (Mn)n=1,2,3 prin Mn = +1 daca la a n-a ıncercare s-a obtinut stema siMn = −1 ın caz contrar. Daca Fn = σ (Mm : m ≤ n), n = 1, 2, 3, reprezinta filtratianaturala generata de Mn, este usor de observat ca evenimentul F = M3 = 1,M2 = −1apartine lui F3, dar nu apartine nici lui F1, nici lui F2: stim daca evenimentul F a avutloc sau nu la a treia ıncercare, dar nu putem determina daca evenimentul F a avut locsau nu numai dupa prima/primele doua aruncari ale monedei (pentru a sti daca eveni-mentul F a avut loc este nevoie sa cunoastem valoarea variabilei aleatoare M3, care estecunsocuta numai la a treia aruncare a banului).

Putem acum sa definim conceptul important de martingala (si cele ınrudite de sub-martingala, respectiv supermartingala), dupa cum urmeaza:

Definitia 1.3.6. O colectie (Mt)t∈T de variabile aleatoare integrabile adaptate filtratiei(Ft)t∈T se numeste

a) martingala (sau mai precis martingala ın raport cu filtratia (Ft)t∈T ) daca oricarear fi s, t ∈ T cu s < t avem a.s.

E [Mt|Fs] = Ms (1.16)

b) submartingala daca oricare ar fi s, t ∈ T cu s < t avem a.s.

E [Mt|Fs] ≥Ms (1.17)



c) supermartingala daca oricare ar fi s, t ∈ T cu s < t avem a.s.

E [Mt|Fs] ≤M. (1.18)

Considerand Mt ca fiind averea unui jucator la momentul t si Ft informatia disponibiladespre joc pana la acest moment de timp, putem gandi martingala ca fiind modelulmatematic al unui “joc cinstit”, deoarece relatia (1.16) arata ca valoarea asteptata acastigului la momentul t din viitor, data fiind informatia despre joc pana la momentulprezent s (informatie continuta ın σ-algebra Fs), este egala cu valoarea Ms a averii lamomentul prezent. In mod similar, putem gandi submartingalele si supermartingalele cafiind jocuri ce favorizeaza, respectiv defavorizeaza jucatorul

Cuvantul martingala are cel putin alte doua semnificatii. Prima se refera la o partedin harnasamentul unui cal (ce trece prin zabala si se leaga sub gatul calului), care ılımpiedica pe acesta sa ısi ridice prea mult capul si astfel sa rastoarne calaretul din sa.Dupa cum vom vedea, martingalele (definite mai sus) au o proprietate ınrudita acesteia,ın sensul ca ele nu iau valori foarte mari sau foarte mici cu probabilitate apropiata de 1,fiind constante ın medie. O a doua semnificatie a termenului martingala este legata dejocurile de noroc, si reprezinta o strategie de pariere populara ın Franta secolului 18. Inaceasta strategie, jucatorul dubleaza miza dupa fiecare joc pierdut, astfel ıncat la primuljoc castigat sa ısi recupereze toate perderile anterioare plus un castig egal cu miza pariatainitial. Modelul matematic al acestui joc constituie o martingala, ın sensul definitiei demai sus.

Prezentam ın continuare doua exemple de martingale: o martingala ın timp discret siuna ın timp continuu.

Exemplul 1.3.7. Consideram urmatorul joc: se arunca ın mod repetat o moneda, si lafiecare aruncare jucatorul castiga 1 leu daca apare stema si pierde 1 leu ın caz contrar.

Notand prin Xn variabila aleatoare reprezentand rezultatul celei de-a n-a aruncari(consideram Xn = +1 ın cazul aparitiei stemei si Xn = −1 ın caz contrar) pentru n ≥ 1si X0 = 0, si definind

Mn =n∑i=0

Xi, n ∈ N,

(Mn)n∈N este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N data de Fn = σ(Xi : i =0, 1, . . . n), deoarece Mn este o variabila aleatoare integrabila si masurabila ın raport cu Fnoricare ar fi n ∈ N, si oricare ar fi m,n ∈ N cu m < n avem (presupunand ca aruncarilesuccesive ale monedei sunt independente):

E [Mn|Fm] = E [X0 + . . .+Xn|Fm]

= X0 + . . .+Xm + E [Xm+1 + . . .+Xn|Fm]

= Mm + E [Xm+1 + . . .+Xn]

= Mm + 0

= Mm,

deoarece variabilele aleatoare Xi sunt Fm-masurabile pentru i = 0, . . . ,m si independentede Fm pentru i = m+ 1, . . . , n, si deoarece

EXi = (+1) · P (Xi = 1) + (−1) · P (Xi = −1)

= (+1) · 1

2+ (−1) · 1

2= 0,


1.3. MARTINGALE 16

oricare ar fi i ∈ N∗.

Ca un exemplu de martingala ın timp continuu avem:

Exemplul 1.3.8. Fie Y o variabila aleatoare integrabila pe spatiul de probabilitate (Ω,F , P )si (Ft)t≥0 o filtratie. Atunci Mt = E [Y |Ft] este o martingala ın raport cu filtratia (Ft)t≥0.

Din definitia asteptarii conditionate rezulta ca variabila aleatoare Mt este masurabilaın raport cu σ-algebra Ft si integrabila, si din proprietatile asteptarii conditionate (Propozitia1.2.3) pentru 0 ≤ s < t avem:

E [Mt|Fs] = E [E [Y |Ft] |Fs] = E [Y |Fs] = Ms.

In anumite conditii, reciproca acestui rezultat este de asemenea adevarata: data fiind omartingala (Mt)t≥0 ce verifica anumite conditii de regularitate (spre exemplu daca (Mt)t≥0

este o colectie uniform integrabila de variabile aleatoare cu traiectorii continue la dreapta,atunci Mt converge ın L1(Ω,F , P ) la o variabila aleatoare), putem determina o variabilaaleatoare integrabila Y (variabila aleatoare Y este limita ın L1(Ω,F , P ) a variabileloraleatoare Mt pentru t→∞) astfel ıncat

Mt = E [Y |Ft] , t ≥ 0.

Notand M∞ = Y , aceasta arata ca putem considera Mt ca fiind o martingala cuparametrul t ∈ [0,+∞], numita si martingala ınchisa.

Sa observam ca daca (Mt)t∈T este o martingala, calculand media ın relatia (1.16)obtinem:

EMt = E (E [Mt|Fs]) = EMs,

oricare ar fi s, t ∈ T cu s < t, care arata ca media unei martingale Mt este constanta ınraport cu parametrul t ∈ T .

Deci, ıntr-un joc martingala, valoarea medie a averii unui jucator la fiecare moment aljocului este constanta, fiind egala cu valoarea initiala a averii jucatorului. Ne putem puneproblema daca este posibil sa gasim o strategie pentru a asigura un “castig garantat”, adicadaca exista un moment de timp la care daca oprim jocul, valoarea asteptata a castiguluijucatorului este mai mare decat averea sa initiala. Dupa cum vom vedea, aceasta nu esteposibil, deoarece

EMN = EM0,

pentru orice timp de oprire N marginit.Pentru a demonstra acest rezultat, introducem mai ıntai conceptul de timp de oprire

sau timp optional.

Exercitii

Exercitiul 1.3.1. Sa se arate ca ın cazul discret T = N, conditia (1.16) din definitiamartingalei este echivalenta cu conditia

E (Mn+1 | Fn) = Mn, n ∈ N.

Sa se enunte conditii echivalente conditiilor (1.17) si (1.18) din definitia submartin-galei, respectiv a supermartingalei, si sa se demonstreze.

Indicatie: inductie matematica.



Exercitiul 1.3.2. Sa se arate ca daca X este o variabila aleatoare integrabila pe spatiulde probabilitate (Ω,F , P ) si (Fn)n∈N este o filtratie pe acest spatiu de probabilitate, atunciXn = E (X | Fn), n ∈ N, este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Exercitiul 1.3.3 (Martingalul drum aleator simplu). Fie X1, X2, . . . un sir de variabilealeatoare independente si identic distribuite ce iau numai valorile +1 si −1 cu probabilitatiegale.

Sa se demonstreze ca Sn =∑n

i=1Xi (numit si drum aleatoare simplu) este o martingalaın raport cu filtratia Fn = σ (X1, . . . , Xn).

Exercitiul 1.3.4. In notatia exercitiului anterior, sa se demonstreze ca S2n este o sub-

martingala iar Mn = S2n − n este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Exercitiul 1.3.5. Fie U1, U2, . . . un sir de variabile aleatoare independente si identicdistribuite cu medie EUi = 1 pentru orice n ∈ N∗. Sa se arate ca Pn = U1 · . . . Un este unmartingal ın raport cu filtratia Fn = σ (U1, . . . , Un).

Exercitiul 1.3.6 (Martingalul lui de Moivre). Fie X1, X2, . . . un sir de variabile aleatoareindependente si identic distribuite ce iau numai valorile +1 si −1, cu probabilitatile p ∈(0, 1), respectiv q = 1− p, si fie Sn =

∑ni=1 Xi si Fn = σ (X1, . . . , Xn), n ∈ N∗.

Sa se demonstreze ca Mn =(qp

)Sneste o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Exercitiul 1.3.7 (Urna lui Polya). O urna contine initial r bile rosii si a bile albastre.Din urna se extrage la ıntamplare o bila, si se pun ınapoi ın urna doua bile de aceeasiculoare cu cea extrasa. Notam cu Xn numarul de bile rosii din urna dupa cea de a n-aextragere din urna si Fn = σ (X0, . . . Xn), n ∈ N.

Sa se arate ca Mn = 1n+r+a

Xn este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Exercitiul 1.3.8. Fie X1, X2, . . . un sir de variabile aleatoare si identic distribuite avandfunctia de densitate g, si presupunem ca g (x) 6= 0 oricare ar fi x ∈ R. Daca f este ofunctie de densitate arbitrar fixata, sa se arate ca

Mn =f (X1) · . . . · f (Xn)

g (X1) · . . . · g (Xn), n ∈ N∗,

este o martingala ın raport cu filtratia Fn = σ (X1, . . . , Xn).

Exercitiul 1.3.9. Daca (Mn)n∈N este o submartingala si φ este o functie convexa crescatoareastfel ıncat φ(Ml) este o variabila aleatoare integrabila oricare ar fi n ≥ 1, atunci φ(Mn)este o submartingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Indicatie: inegalitatea Jensen pentru asteptarea conditionata.

Exercitiul 1.3.10. Sa se arate ca daca (Mn)n∈N o martingala ın raport cu filtratia(Fn)n∈N si φ este o functie convexa astfel ıncat φ(Mn) este o variabila aleatoare integrabilaoricare n ∈ N, atunci (φ(Mn))n∈N este o submartingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Indicatie: inegalitatea Jensen pentru asteptarea conditionata.


1.4. TIMPI DE OPRIRE 18

1.4 Timpi de oprire

Reamintim ca am notat prin T ⊂ [0,∞) o familie ordonata de parametrii (ın principalsuntem interesati de cazul discret T = N sau de cazul continuu T = [0,∞)).

Definitia 1.4.1. O variabila aleatoare S : Ω → T ∪ ∞ se numeste timp de oprire ınraport cu filtratia (Ft)t∈T daca

S ≤ t = ω ∈ Ω : S(ω) ≤ t ∈ Ft, t ∈ T, (1.19)

si se numeste timp optional daca

S < t = ω ∈ Ω : S(ω) ≤ t ∈ Ft, t ∈ T. (1.20)

In general, prima aparitie a unui eveniment (a se vedea Exercitiul 1.4.1) este un exem-plu de timp de oprire sau de timp optional.

Legatura ıntre notiunea de timp de oprire si timp optional este data de urmatoarea:

Propozitia 1.4.2. Daca S este un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t∈T , atunci Seste un timp optional ın raport cu aceasta filtratie. Reciproc, daca S este un timp optionalın raport cu filtratia (Ft)t∈T , atunci S este un timp de oprire ın raport cu filtratia (continuala dreapta) (Ft+)t∈T .

In particular, daca filtratia (Ft)t∈T este continua la dreapta, atunci cele doua notiunicoincid.

Demonstratie. Consideram cazul T = [0,∞) (demonstratia este similara ın cazul T = N).Prima parte rezulta din descompunerea

S < t =∞⋃n=1

S ≤ t− 1

n

∈∞⋃n=1

Ft− 1n⊂ Ft,

respectiv partea a doua din descompunerea

S ≤ t =⋂ε>0

S < t+ ε ∈⋂ε>0

Ft+ε = Ft+,

valabile pentru orice t ≥ 0.

Observatia 1.4.3. Sa observam ca ın cazul discret T = N, conditia (1.19) din definitiaanterioara este echivalenta cu

S = n = ω ∈ Ω : S(ω) = n ∈ Fn, n ∈ N, (1.21)

deoarece daca este verificata aceasta conditie atunci

S ≤ n = ∪nm=0ω ∈ Ω : S(ω) = m ⊂ ∪nm=0Fm = Fn

si deci S este un timp de oprire, si reciproc, daca S este un timp de oprire atunci

S = n = S ≤ n ∩ S ≤ n− 1c ∈ Fn ∪ Fn−1 = Fn.



Considerand ca σ-algebra Ft contine toata informatia disponibila pana la momentult, putem interpreta conditia (1.19) a definitiei anterioare ca exprimand faptul ca putemdecide daca timpul de oprire S a avut loc sau nu pana la momentul t (reamintim caS = S(ω) este o variabila aleatoare) considerand numai informatia pana la acest momentde timp, adica Ft. Cu alte cuvinte, decizia de oprire S se bazeaza numai pe informatiadisponibila la momentul prezent, si nu pe informatia din viitor, ceea ce ın mod naturaleste de asteptat, ın special ın cazul jocurilor!

Cateva proprietati ale timpilor de oprire sunt continute ın urmatoarea:

Propozitia 1.4.4. Fie (Ft)t∈T o filtratie continua la dreapta. Atunci:

a) S = s-constant este un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t∈T ;

b) Daca S este un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t∈T si s ≥ 0 este o constanta,atunci S + s este un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t∈T ;

c) Daca S1,2 sunt timpi de oprire in raport cu filtratia (Ft)t∈T , atunci S1 ∧ S2 =min S1, S2, S1 ∨ S2 = max S1, S2 si S1 + S2 sunt de asemenea timpi de oprireın raport filtratia (Ft)t∈T ;

d) daca Sn este un sir de timpi de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t∈T , atunci infn Sn,supn Sn, lim inf Sn si lim supSn sunt de asemenea timpi de oprire ın raport cufiltratia (Ft)t∈T .

Demonstratie. a) Rezulta imediat deoarece pentru un t ≥ 0 arbitrar fixat avem S ≤ t =s ≤ t = Ω sau ∅, dupa cum s ≤ t sau s > t.

b) Fie t ≥ 0 arbitrar fixat. Daca t < s, atunci S + s ≤ t = ∅ ∈ Ft, iar pentru t ≥ savem

S + s ≤ t = S ≤ t− s ∈ Ft−s ⊂ Ft.

c) Primele doua afirmatii rezulta imediat din

S1 ∧ S2 ≤ t = S1 ≤ t ∪ S2 ≤ t ,

respectivS1 ∨ S2 ≤ t = S1 ≤ t ∩ S2 ≤ t .

Pentru a arata ca S1 + S2 este un timp de oprire, folosim descompunerea

S1 + S2 > t = S1 > t, S2 = 0 ∪ S1 = 0, S2 > t ∪ S2 ≥ t, S1 > 0 ∪∪0 < S2 < t, S1 + S2 > t ,

si observam ca primele trei evenimente apartin lui Ft, iar ultimul apartine de asemenealui Ft deoarece

0 < S2 < t, S1 + S2 > t =⋃

r∈(0,t)∩Q

S1 > t− r, r < S2 < t .

d) Faptul ca inf Sn si supSn sunt timpi de oprire rezulta imediat observand ca

inf Sn ≥ t =∞⋂n=1

Sn ≥ t ,



respectiv

supSn ≤ t =∞⋂n=1

Sn ≤ t .

Faptul ca lim inf Sn si lim supSn sunt de asemenea timpi de oprire rezulta din prima partea demonstratiei, observand ca lim inf Sn = supn≥1 infk≥n Sk si lim supSn = infn≥1 supk≥n Sk.

Pentru un timp de oprire S si un proces stochastic (Mt)t∈T date, definim procesulMS = (MS∧t)t∈T oprit la timpul de oprire S prin:

MS∧t = MS(ω)∧t (ω) , ω ∈ Ω, t ∈ T, (1.22)

si σ-algebra determinata de timpului de oprire S (formata din evenimentele pentru careputem decide daca au avut sau nu loc pana la timpul de oprire S) prin

FS = F ∈ F : F ∩ S ≤ t ∈ Ft, oricare ar fi t ∈ T . (1.23)

Urmatoarea teorema arata ca oprind o sub/super/martingala la un timp de oprire,procesul astfel obtinut ramane o sub/super/martingala:

Teorema 1.4.5. Daca (Mn)n∈N este o sub/super/martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈Nsi S : Ω → N este un timp de oprire ın raport cu aceasta filtratie, atunci (XS∧n)n∈N estede asemenea o sub/super/martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Aceeasi concluzie este valabila si ın cazul sub/super/martingalelor (Mt)t≥0 ın timpcontinuu si a timpilor de oprire S : Ω → [0,∞) ın ipoteza suplimentara ca procesul(Mt)t≥0 este continuu la dreapta ın orice punct t ≥ 0.

Demonstratie. Vom da demonstratia doar ın cazul martingalelor ın timp discret.

Sa consideram mai ıntai cazul ın care Xn este o submartingala, si sa notam Yn = XS∧n,n ∈ N. Observam ca procesul Yn poate fi reprezentat sub forma

Yn = XS∧n =n∑

m=0

Xm1S=m +Xn1S>n, n ∈ N. (1.24)

Deoarece

S > n = S ≤ nc ⊂ Fn

si

S = m = S ≤ m ∩ S ≤ m− 1c ∈ Fm, m ∈ N,

toate variabilele din membrul drept al relatiei (1.24) sunt variabile aleatoare Fn masurabile,si deci Yn este de asemenea o variabila aleatoare Fn-masurabila, oricare ar fi n ∈ N.

De asemenea, deoarece Xn sunt variabilele aleatoare integrabile, avem

E |Yn| = E |XS∧n| ≤n∑

m=0

E |Xn| <∞, n ∈ N,

si deci Yn sunt de asemenea variabile aleatoare integrabile, oricare ar fi n ∈ N.



Din relatia (1.24) obtinem Yn+1−Yn = (Xn+1 −Xn) 1S>n, si folosind faptul ca 1S>neste o variabila aleatoare Fn-masurabila si ca (Xn)n∈N este o submartingala, obtinem

E (Yn+1 − Yn | Fn) = E((Xn+1 −Xn) 1S>n | Fn

)= 1S>nE (Xn+1 −Xn | Fn)

= 1S>n (E (Xn+1| Fn)−Xn)

≥ 1S>n (Xn −Xn)

= 0,

sau echivalent

E (Yn+1 | Fn) ≥ Yn,

oricare ar fi n ∈ N, ceea ce demonstreaza ca (Yn)n∈N este o submartingala, ıncheianddemonstratia ın acest caz.

Daca (Xn)n∈N este o supermartingala, atunci (−Xn)n∈N este o submartingala, si con-form demonstratiei anterioare rezulta ca (−XS∧n)n∈N este o submartingala, sau echivalent(XS∧n)n∈N este o supermartingala.

Cazul ın care (Xn)n∈N este o martingala rezulta din cazurile anterior demonstrate,folosind faptul ca un proces stochastic este o martingala daca si numai daca este ınacelasi timp si o submartingala si o supermartingala.

Cu aceasta pregatire, putem acum demonstra un rezultat important, si anume ca ıntr-un joc martingala media averii unui jucator la un timp de oprire marginit este egala cuvaloarea initiala a averii jucatorului, si deci nu putem spera sa gasim o strategie (adicaun timp de oprire marginit) care asigura un “castig garantat”. Mai precis avem:

Teorema 1.4.6 (Teorema Doob a timpului optional de oprire - cazul discret). Daca(Mn)n∈N este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N, N este un timp de oprire ınraport cu aceasta filtratie si exista o constanta K astfel ıncat N ≤ K a.s., atunci

EM0 = EMN = EMK .

Daca Mn este o submartingala, atunci

EM0 ≤ EMN ≤ EMK ,

iar daca Mn este o supermartingala, atunci

EM0 ≥ EMN ≥ EMK .

Demonstratie. Cum timpul de oprireN este marginit de constantaK, avemN ∈ 0, 1, . . . , Ka.s. Avem

EMN =K∑k=0

E (MN ; N = k) =K∑k=0

E (Mk; N = k) .

Pentru k ∈ 0, 1, . . . , K arbitrar fixat, deoarece

N = k = N ≤ k ∩ N ≥ k= N ≤ k ∩ (N ≤ k − 1c) ∈ Fk ∩ F(k−1)∨0 ⊂ Fk



este un eveniment continut ın Fk, si folosind faptul ca Mn este o martingala si definitiaasteptarii conditionate, obtinem:

E (Mk; N = k) = E (E [Mk+1|Fk] ; N = k) = E (Mk+1; N = k) ,

si inductiv

E (Mk; N = k) = E (Mk+1; N = k) = . . . = E (MK ; N = k) .

Combinand cu egalitatea anterioara obtinem

EMN =K∑k=0

E (MK ; N = k) = EMK = EM0,

demonstrand astfel prima afirmatie a teoremei.

Daca Mn este o submartingala, o demonstratie similara arata ca

EMN ≤ EMK .

Pentru a obtine cealalta inegalitate, folosim faptul ca Mn∧N este o submartingala (con-

form Teoremei 1.4.5) si obtinem

EM0 = EM0∧N ≤ EMK∧N = EMN ,

deoarece N ≤ K a.s.

DacaMn este o supermartingala, atunci−Mn este o submartingala, si folosind demonstratiaanterioara obtinem

E (−M0) ≤ E (−MN) ≤ E (−MK) ,

sau echivalent

EM0 ≥ EMN ≥ EMN ,


O teorema similara teoremei anterioare are loc si pentru martingale ın timp continuu:

Teorema 1.4.7 (Teorema Doob a timpului de oprire - cazul continuu). Daca (Mt)t≥0 esteo martingala continua la dreapta ın raport cu filtratia (Ft)t≥0, T este un timp de oprireın aceasta filtratie si exista o constanta K astfel T ≤ K a.s., atunci

EM0 = EMT = EMK .

Daca (Mt)t≥0 este o submartingala, atunci

EM0 ≤ EMT ≤ EMK ,

iar daca (Mt)t≥0 este o supermartingala, atunci

EM0 ≥ EMT ≥ EMK .



Demonstratie. Sa consideram cazul ın care (Mt)t≥0 este o martingala (demonstratia estesimilara ın celelalte cazuri).

Din Teorema 1.4.5 rezulta ca (MT∧t)t≥0 este de asemenea o martingala, si deci ınparticular avem

EM0 = EMT∧t, t ≥ 0.

In particular, pentru t = K, si folosind ipoteza asupra marginirii timpului de oprire Tobtinem

EM0 = EMT∧K = EMT ,


De remarcat ca ipoteza ca timpul de oprire T este marginit este esentiala ın teoremeleanterioare, dupa cum o demonstreaza spre exemplu Exercitiul 1.4.7.

Cu toate acestea, putem ınlocui ipoteza de marginire a timpul de oprire din acesteteoreme cu ipoteza ca (Mt)t∈T este o familie uniform integrabila. Are loc urmatoarea:

Teorema 1.4.8 (Teorema Doob generala). Daca (Mt)t≥0 este o martingala continua ladreapta ın raport cu filtratia (Ft)t≥0, T este un timp de oprire a.s. finit ın raport cuaceasta filtratie astfel ıncat familia (Mt∧T )t≥0 este uniform integrabila, atunci

EM0 = EMT .

Daca (Mt)t≥0 este o submartingala, atunci

EM0 ≤ EMT ,

iar daca (Mt)t≥0 este o supermartingala, atunci

EM0 ≥ EMT .

Demonstratie. In ipotezele date, (MT∧t)t≥0 este o martingala, si deci are loc

EM0 = EMT∧t, t ≥ 0.

Cum T este un timp de oprire a.s. finit si martingala Mt este continua, rezulta calimt→∞MT∧t = MT , si trecand la limita ın egalitatea anterioara (folosim aici ipoteza ca(MT∧t)t≥0 este uniform integrabila, si deci MT∧t converge ın L1), obtinem

EM0 = limt→∞

EMT∧t = E(

limt→∞

MT∧t

)= EMT .

Demonstratia ın cazul ın care (Mt)t≥0 este o sub / supermartingala este similara.

Mai mentionam ca ipoteza din teorema anterioara asupra uniform integrabilitatii fa-miliei (Mt∧T )t≥0 poate fi ınlocuita cu oricare din conditiile:

a) Exista o variabila aleatoare integrabila Y astfel ıncat |Mt| ≤ Y , oricare ar fi t ≥ 0;

b) Exista o variabila aleatoare integrabila Y astfel ıncat Mt ≤ E (Y |Ft), oricare ar fit ≥ 0.



Exercitii

Exercitiul 1.4.1. Pentru un proces stochastic (Xt)t≥0 adaptat ın raport cu o filtratie(Ft)t≥0 si avand traiectorii continue la dreapta si B ∈ B o multime Boreliana, notam prinSB timpul de intrare al procesului X ın multimea B, adica

S (ω) = inf t ≥ 0 : Xt ∈ B (1.25)

a) Sa se arate ca daca B este o multime deschisa si X are traiectorii continue ladreapta, atunci SB este un timp optional ın raport cu filtratia (Ft)t≥0

b) Sa se arate ca daca B este o multime ınchisa si X are traiectorii continue, atunciSB este un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t≥0.

Exercitiul 1.4.2. Sa se demonstreze ca daca S este un timp de oprire ın raport cu filtratia(Ft)t∈T atunci

FS = F ∈ F : F ∩ S ≤ t ∈ Ft, oricare ar fi t ∈ T

este o σ-algebra si ca S este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu aceasta.Daca S (ω) = s, ω ∈ Ω, unde s ≥ 0 este o constanta, cine este FS?

Exercitiul 1.4.3. Daca S1 ≤ S2 sunt timpi de oprire, sa se demonstreze ca FS1 ⊂ FS2.

Exercitiul 1.4.4. Sa se arate ca daca (Mt)t≥0 este o sub/super/martingala continua ladreapta ın raport cu filtratia (Ft)t≥0 si S : Ω→ [0,∞) este un timp de oprire ın raport cufiltratia (Ft)t≥0, atunci (Mt∧S)t≥0 este de asemenea o sub/super/martingala.

Indicatie: teorema Doob a timpului de oprire.

Exercitiul 1.4.5. Fie X1, X2, . . . un sir de variabile aleatoare nenegative si t ≥ 0 arbitrarfixat. Sa se arate ca

S = S (t) := 1 + max n : X1 + . . .+Xn ≤ t

este un timp de oprire (se va preciza filtratia corepunzatoare).

Exercitiul 1.4.6. O persoana joaca urmatorul joc: se arunca o moneda, si daca aparestema persona castiga 1 leu, iar ın caz contrar pierde un leu. Persoana are 10 lei, sihotaraste sa joace acest joc pana cand sau castiga 50 de lei, sau ısi pierde toti banii. Careeste valoarea medie a sumei de bani pe care persoana o are atunci cand paraseste jocul?Care este probabilitatea ca persona sa aiba 50 de lei atunci cand paraseste jocul? Dar saaiba 0 lei?

Exercitiul 1.4.7. Fie X1, X2, . . . un sir de variabile aleatoare independente si identicdistribuite cu P (Xn = ±2n) = 1

2, n = 1, 2, . . . , si sa notam Mn = X1 + . . . + Xn si

Fn = σ (X1, . . . , Xn) σ-algebra generata de X1, . . . , Xn.a) Sa se arate ca (Mn)n∈N este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N;b) Sa se arate ca S = inf n ≥ 1 : Xn > 0 este un timp de oprire cu filtratia (Fn)n∈N;c) Sa se arate ca EMS 6= EM0. Contravine aceasta Teoremei 1.4.6?



1.5 Transformari martingale

Transformarile martingale sunt varianta discreta a integralei stochastice Ito introdusa ınSectiunea 2.2.

Pentru a intoduce notiunea de transformare martingala, introducem mai ıntai notiuneade proces previzibil, dupa cum urmeaza.

Definitia 1.5.1. Un proces stochastic (Yn)n≥1 se numeste previzibil ın raport cu filtratia(Fn)n∈N daca Yn este o varaibila aleatoare masurabila ın raport cu filtratia Fn−1 pentruorice n ≥ 1.

Observatia 1.5.2. Din definitie rezulta imediat ca daca un proces este previzibil ın raportcu o anumita filtratie el este si adaptat ın raport cu aceasta filtratie, dar reciproca nu esteın general adevarata.

Ideea de proces previzibil apare natural ın diverse situatii, atunci cand valoarea unuianumit proces la momentul n este bine determinata de informatia disponibila pana lamomentul n− 1, ca ın urmatorul exemplu.

Exemplul 1.5.3. Reamintim jocul din Exemplul 1.3.7: se arunca ın mod repetat o mo-neda, si daca apare stema jucatorul castiga 1 leu, iar ın caz contrar acesta pierde 1 leu.Dupa cum am vazut ın exemplu mentionat, definind Xn = +1 daca la a n-a aruncare amonedei a aparut stema si Xn = −1 ın caz contrar (si considerand X0 = 0), atunci Mn =∑n

i=0Xi este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N data de Fn = σ (X0, . . . , Xn), cereprezinta averea jucatorului dupa jocul n ∈ N.

Modificam acest joc dupa cum urmeaza: jucatorul are dreptul sa modifice miza ın joculn ≥ 1 (evident ınainte de aruncarea monedei!), si ın cazul cand apare stema el va castigade doua ori valoarea pariata, iar ın caz contrar va pierde suma pariata. Notand cu Ynmiza pariata ın jocul n ≥ 1, castigul jucatorului ın jocul n este YnXn, iar averea sa dupaacest joc este

n∑i=1

YiXi =n∑i=1

Yi (Mi −Mi−1) . (1.26)

Este usor de observat ca (Yn)n≥1 este un proces previzibil ın raport cu filtratia (Fn)n∈N(valoarea mizei ın jocul n este determinata ınainte de acest joc, si deci Yn ∈ Fn−1) sica jocul astfel definit este un joc cinstit, adica formula (1.26) defineste o martingala ınraport cu filtratia (Fn)n∈N.

Definitia 1.5.4. Fie (Mn)n∈N o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N si (Yn)n≥1 unproces previzibil ın raport cu aceasta filtratie. Definim transformarea martingala a proce-sului M ın raport cu procesul Y ca fiind procesul notat Y •M definit prin

(Y •M)n = M0 +n∑i=1

Yi (Mi −Mi−1) , n ≥ 1, (1.27)

si (Y •M)0 = M0.

Observatia 1.5.5. Unii autori prefera sa considere ın definitia anterioara ca valoareinitiala a transfomarii martingale (Y •M)0 = 0.


1.5. TRANSFORMARI MARTINGALE 26

Revenind la jocul din exemplul de mai sus, observam ca averea jucatorului dupajocul n este data de transformarea martingala Y •M , si deci Y •M este ın acest cazo martingala. Aceasta nu este o coincidenta, deoarece asa cum si numele o sugereaza,transformarea martingala este o martingala, dupa cum rezulta din urmatoarea:

Propozitia 1.5.6. Daca (Mn)n∈N este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N si(Yn)n≥1 este un proces marginit si previzibil ın raport cu filtratia (Fn)n≥1, atunci trans-formarea martingala Y •M este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Demonstratie. Deoarece (Mn)n∈N este o martingala, conform definitiei Mn ∈ Fn suntvariabile aleatoare integrabile oricare ar fi n ∈ N.

Deoarece procesul (Yn)n∈N este presupus marginit si previzibil ın raport cu filtratia(Fn)n∈N, rezulta ca

|(Y •M)n| ≤ |M0|+n∑i=1

|Yi| |Mi −Mi−1| ≤ |M0|+K

n∑i=1

|Mi|+ |Mi−1|

si deci (Y •M)n este o variabila aleatoare integrabila, masurabila ın raport cu filtratiaFn, oricare ar n ∈ N.

Pentru n ≥ 1 arbitrar fixat, deoarece Yn+1 ∈ Fn, din proprietatile asteptarii conditionatesi faptul ca (Mn)n∈N este o martingala, obtinem:

E((Y •M)n+1 |Fn

)= E ((Y •M)n + Yn+1 (Mn+1 −Mn) |Fn)

= E ((Y •M)n |Fn) + E (Yn+1 (Mn+1 −Mn) |Fn)

= (Y •M)n + Yn+1E (Mn+1 −Mn|Fn)

= (Y •M)n + Yn+1 (E (Mn+1|Fn)− E (Mn|Fn))

= (Y •M)n + Yn+1 (Mn −Mn)

= (Y •M)n ,


Teorema anterioara arata ca o transformare martingala este tot o martingala. Inmod analog, putem defini transformarea sub/supermartingala, si, ın ipoteza suplimen-tara ca procesul previzibil considerat este si nenegativ, vom arata ca aceasta este osub/supermartingala.

Definitia 1.5.7. Fie (Xn)n∈N o sub/supermartingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N si(Yn)n≥1 un proces previzibil ın raport cu aceasta filtratie. Definim transformarea sub/super-martingala a procesului X ın raport cu procesul Y ca fiind procesul notat Y • X definitprin

(Y •X)n = X0 +n∑i=1

Yi (Xi −Xi−1) , n ≥ 1, (1.28)

si (Y •X)0 = X0.

Are loc urmatoarea:

Propozitia 1.5.8. Daca (Xn)n∈N este o sub/supermartingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈Nsi (Yn)n≥1 este un proces nenegativ, marginit si previzibil ın raport cu filtratia (Fn)n≥1,atunci transformarea martingala Y • X este o sub/supermartingala ın raport cu filtratia(Fn)n∈N.



Mai mult, daca 0 ≤ Yn ≤ 1 pentru orice n ≥ 1, atunci

E (Y •X)n ≤ EXn, n ∈ N,

ın cazul ın care (Mn)n∈N este o submartingala, respectiv

E (Y •X)n ≥ EXn, n ∈ N, (1.29)

ın cazul ın care (Xn)n∈N este o supermartingala.

Demonstratie. Demonstratia faptului ca (Y •X)n este o variabila aleatoare integrabila siFn masurabila este identica cu cea din propozitia anterioara.

Considerand cazul ın care (Xn)n∈N este o submartingala, deoarece Yn+1 ≥ 0, similardemonstratiei din propozitia anterioara obtinem:

E((Y •X)n+1 |Fn

)= E ((Y •X)n + Yn+1 (Xn+1 −Xn) |Fn)

= E ((Y •X)n |Fn) + E (Yn+1 (Xn+1 −Xn) |Fn)

= (Y •X)n + Yn+1E (Xn+1 −Xn|Fn)

= (Y •X)n + Yn+1 (E (Xn+1|Fn)− E (Xn|Fn))

≥ (Y •X)n + Yn+1 (Xn −Xn)

= (Y •X)n ,

si deci (Y •X)n∈N este o submartingala. In mod similar se demonstreaza ca daca (Xn)n∈Neste o supermartingala atunci (Y •X)n∈N este de asemenea o supermartingala, ıncheiandprima parte a demonstratiei.

Pentru partea a doua a demonstratiei, sa presupunem ca 0 ≤ Yn ≤ 1 pentru oricen ≥ 1 si (Xn)n∈N este o submartingala. Conditionand de σ-algebra Fi−1 si folosind faptulca Yi ∈ F−1 pentru orice i ≥ 1, obtinem

E (Yi (Xi −Xi−1)) = E (E (Yi (Xi −Xi−1) |Fi−1))

= E (YiE ((Xi −Xi−1) |Fi−1))

= E (Yi (E (Xi|Fi−1)− E (Xi−1|Fi−1)))

= E (Yi (E (Xi|Fi−1)−Xi−1))

≤ E (1 · (E (Xi|Fi−1)−Xi−1))

= E (E (Xi|Fi−1)−Xi−1)

= EXi − EXi−1.

Adunand relatiile obtinute pentru i = 1, . . . , n obtinem

E (Y •X)n = E

(X0 +

n∑i=1

Yi (Xi −Xi−1)

)

= EX0 +n∑i=1

E (Yi (Xi −Xi−1))

≤ EX0 +n∑i=1

(EXi − EXi−1)

= EXn.

Cazul ın care (Xn)n∈N este o supermartingala este similar celui anterior, cu diferentaca ın acest caz E (Xi|Fi−1)−Xi−1 ≤ 0, de unde rezulta ca ın acest caz avem E (Y •X)n ≥EXn, ıncheiand astfel demonstratia.



Ca o aplicatie a transformarilor martingale, prezentam o alta demonstratie a Teoremei1.4.5:

Teorema 1.5.9 (Teorema timpului optional de oprire). Daca (Mn)n∈N este o sub/super/martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N si τ este un timp de oprire a.s. finit ın raport cufiltratia (Fn)n∈N, atunci (Mτ∧n)n∈N este de asemenea o sub/super/martingala.

Mai mult, au loc inegalitatile

EM0 = EMτ∧n = EMn, n ∈ N, (1.30)

ın cazul ın care (Mn)n∈N este o martingala,

EM0 ≤ EMτ∧n ≤ EMn, n ∈ N, (1.31)


EM0 ≥ EMτ∧n ≥ EMn, n ∈ N, (1.32)

ın cazul ın care (Mn)n∈N este o supermartingala.

Demonstratie. Considerand

Yn =

1, n ≤ τ0, n > τ

, n ≥ 1, (1.33)

este usor de verificat ca (Yn)n≥1 este un proces previzibil ın raport cu filtratia (Fn)n∈N, sica are loc egalitatea

Mτ∧n = (Y •M)n , n ∈ N,

adica procesul (Mτ∧n)n∈N este o transformare sub/super/martingala. Prima partea ademonstratiei rezulta acum folosind Propozitia 1.5.6 si Propozitia 1.5.8.

Pentru partea a doua, ın cazul ın care (Mn)n∈N este o martingala, deoarece Y •M esteo martingala, obtinem

EMτ∧n = E (Y •M)n = E (Y •M)0 = EM0 = EMn.

Daca (Mn)n∈N este o sub/supermartingala, deoarece conform definitiei avem 0 ≤ Yn ≤1 pentru orice n ≥ 1, folosind partea a doua a Propozitiei 1.5.8 obtinem

EMτ∧n = E (Y •M)n ≤ EMn, n ∈ N,


EMτ∧n = E (Y •M)n ≥ EMn, n ∈ N,

ın cazul ın care (Mn)n∈N este o supermartingala.De asemenea,

EMτ∧n = E (Y •M)n ≥ E (Y •M)0 = EM0, n ∈ N,


EMτ∧n = E (Y •M)n ≤ E (Y •M)0 = EM0, n ∈ N,

ın cazul ın care (Mn)n∈N este o supermartingala, ıncheiand astfel demonstratia.



Observatia 1.5.10. Se poate demonstra ca ın ipoteza suplimentara de continuitate ladreapta a procesului, teorema anterioara este valabila si ın cazul proceselor cu parametrucontinuu.

Asa dupa cum se poate usor demonstra, un proces nedescrescator (Xn)n∈N este osubmartingala ın raport cu filtratia naturala. Teorema urmatoare arata ca modulo omartingala este valabila si reciproca acestui rezultat. Mai precis, are loc urmatoarea:

Teorema 1.5.11 (Teorema Doob de descompunere a submartingalelor). Daca (Xn)n∈Neste o submartingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N, atunci exista o martingala (Mn)n∈N ınraport cu filtratia (Fn)n∈N si un proces (An)n∈N a.s. nedescrescator, previzibil ın raportcu filtratia (Fn)n∈N cu A0 ≡ 0 astfel ıncat

Xn = Mn + An, n ∈ N. (1.34)

Mai mult, procesele (Mn)n∈N si (An)n∈N cu proprietatile enuntate sunt unic determi-nate.

Demonstratie. Sa observam ca daca exista procese M si A cu proprietatile enuntate pen-tru care are loc relatia de descompunere (1.34), atunci deoarece An, An−1,Mn−1 ∈ Fn−1

pentru orice n ≥ 1, folosind proprietatile asteptarii conditionate si faptul ca (Mn)n∈N esteo martingala, obtinem:

An − An−1 = E (An|Fn−1)− E (An−1|Fn−1)

= E (Xn −Mn|Fn−1)− E (Xn−1 −Mn−1|Fn−1)

= E (Xn|Fn−1)−Mn−1 − E (Xn−1|Fn−1) +Mn−1

= E (Xn −Xn−1|Fn−1) ,

oricare ar fi n ≥ 1.

Cum A0 ≡ 0, obtinem

An =n∑i=1

(Ai − Ai−1) =n∑i=1

E (Xi −Xi−1|Fi−1) , n ≥ 1, (1.35)

fapt ce demonstreaza unicitatea descompunerii (procesul (An)n∈N fiind unic, din relatia(1.34) rezulta ca procesul (Mn)n∈N este de asemenea unic).

Pentru a demonstra existenta, observam ca procesul (An)n∈N cu A0 ≡ 0 si definitpentru n ≥ 1 de relatia (1.35) este a.s. nedescrescator (deoarece (Xn)n∈N fiind o submar-tingala avem E (Xi −Xi−1|Fi−1) = E (Xi|Fi−1)−Xi−1 ≥ 0 a.s. oricare ar fi i ≥ 1) si esteprevizibil ın raport cu filtratia (Fn)n∈N.

Definind procesul (Mn)n∈N prin Mn = Xn − An, n ∈ N, este usor de observat ca(Mn)n∈N este o martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N, deoarece Mn este o variabilaaleatoare integrabila (deoarece Xn si An sunt variabile aleatoare integrabile), masurabila



ın raport cu σ-algebra Fn (deoarece Xn ∈ Fn si An ∈ Fn−1 ⊂ Fn), si are loc

E (Mn+1|Fn) = E (Xn+1 − An+1|Fn)

= E (Xn+1|Fn)− An+1

= E (Xn+1|Fn)−n+1∑i=1

E (Xi −Xi−1|Fi−1)

= E (Xn+1|Fn)− E (Xn+1 −Xn|Fn)−n∑i=1


= E (Xn+1|Fn)− E (Xn+1|Fn) +Xn −n∑i=1


= Xn − An= Mn,

oricare ar fi n ∈ N.Procesele (Mn)n∈N si (An)n∈N astfel construite verifica proprietatile enuntate si are loc

relatia (1.34), ıncheiand astfel demonstratia.

Teorema anterioara este valabila si ın cazul submartingalelor cu parametru continuu,dupa cum urmeaza:

Teorema 1.5.12 (Teorema Doob-Meyer de descompunere a submartingalelor). Fie (Xt)t≥0

o submartingala continua ın raport cu filtratia (Ft)t≥0 ce verifica conditiile uzuale. Dacapentru orice a ≥ 0 colectia

Xτ : τ -timp de oprire, τ ≤ a a.s. (1.36)

este uniform integrabila, atunci exista o martingala continua (Mt)t≥0 ın raport cu filtratia(Ft)t≥0 si un proces continuu si nedescrescator (At)t≥0 cu A0 ≡ 0 si adaptat ın raport cufiltratia (Ft)t≥0, astfel ıncat a.s. are loc

Xt = Mt + At, t ≥ 0. (1.37)

Mai mult, procesele (Mt)t≥0 si (At)t≥0 din descompunerea anterioara sunt unic deter-minate (a.s.).

Daca ın plus colectia

Xt : τ -timp de oprire, τ <∞ a.s. (1.38)

este uniform integrabila, atunci (Mt)t≥0 si (At)t≥0 sunt de asemenea colectii de variabilealeatoare uniform integrabile.

Demonstratie. A se vedea spre exemplu [KaSh], pag. 24 – 27.

Exercitii

Exercitiul 1.5.1. Sa se arate ca daca (Xt)t≥0 este o submartingala continua la dreapta ınraport cu filtratia (Ft)t≥0 ce verifica conditiile uzuale, atunci conditia (1.36) este verificatapentru orice a ≥ 0 ın oricare din urmatoarele conditii:

i) Xt ≥ 0 a.s. pentru orice t ≥ 0;

ii) Xt se poate scrie sub forma Xt = Mt + At, t ≥ 0, unde (Mt)t≥0 este o martingalacontinua la dreapta si (At)t≥0 un proces continuu la dreapta si nedescrescator.



1.6 Inegalitati si teoreme de convergenta

Ca si aplicatii a teoremei timpului optional de oprire (Teoremele 1.4.5 – 1.4.8 sau Teorema1.5.9), obtinem informatii despre comportamentul traiectoriilor sub/super/martingalelor.O prima aplicatie se refera la inegalitati privind maximul acestor procese, numite si ine-galitati maximale.

Pentru un proces (Xn)n∈N vom nota prin

X∗n = max0≤m≤n

Xm si X∗∞ = sup0≤m

Xm, (1.39)

maximul procesului pana la momentul curent, respectiv maximul tuturor valorilor proce-sului.

Are loc urmatoarea:

Teorema 1.6.1 (Prima inegalitate maximala). Daca (Xn)n∈N o submartingala ın raportcu filtratia (Fn)n∈N, atunci oricare ar fi a > 0 are loc inegalitatea

P (X∗n ≥ a) ≤ EX+n

a, n ∈ N, (1.40)

iar daca (Xn)n∈N este o supermartingala nenegativa ın raport cu filtratia (Fn)n∈N, atuncioricare ar fi a > 0 are loc inegalitatea

P (X∗n ≥ a) ≤ P (X∗∞ ≥ a) ≤ EX+0

a, n ∈ N. (1.41)

Demonstratie. Sa presupunem ca (Xn)n∈N este o submartingala. Inlocuind eventual sub-martingala Xn prin submartingala

X ′n = X+n (= max Xn, 0 ≥ Xn) ,

fara a restrange generalitatea putem considera ca Xn ≥ 0 oricare ar fi n ∈ N.Este usor de observat ca τ = inf n ∈ N : Xn ≥ a ∈ N ∪ ∞ este un timp de oprire

ın raport cu filtratia (Fn)n∈N , si deci pentru n ∈ N arbitrar fixat, τ ∧ n este un timp deoprire a.s. finit. Conform teoremei timpului optional de oprire (Teorema 1.5.9) rezulta ca

EXτ∧n∧m ≤ EXm, m ∈ N,

si ın particular pentru m = n obtinem

EXτ∧n ≤ EXn, n ∈ N.

Cum Xn ≥ 0 pentru orice n ∈ N, obtinem

EXτ∧n ≥ E (Xτ∧n · 1τ≤n) = E (Xτ · 1τ≤n) ≥ E (a · 1τ≤n) = aP (τ ≤ n) .

Din definitia timpului de oprire τ obtinem τ ≤ n = X∗n ≥ a, si din cele douainegalitati anterioare rezulta deci

P (X∗n ≥ a) = P (τ ≤ n) ≤ EXn

a, n ∈ N,

relatie care ımpreuna cu observatia initiala ıncheie prima parte a demonstratiei.


1.6. INEGALITATI SI TEOREME DE CONVERGENTA 32

Pentru partea a doua, presupunand ca (Xn)n∈N este o supermartingala nenegativa, siprocedand similar demonstratiei anterioare, obtinem

P (X∗n ≥ a) ≤ EX0

a, n ∈ N.

Deoarece (X∗n)n∈N este un sir nedescrecator de variabile aleatoare, exista a.s. limitaX∗∞ = limn→∞X

∗n.

Pentru ε > 0 suficient de mic, rezulta ca X∗∞ ≥ a ⊂⋃n∈N X∗n ≥ a− ε, si cum

(X∗n ≥ a− ε)n∈N este un sir nedescrescator de evenimente, din teorema de continuitatea probabilitatii obtinem

P (X∗∞ ≥ a) ≤ P

(⋃n∈N

X∗n ≥ a− ε

)= lim

n→∞P (X∗n ≥ a− ε) ≤ EX0

a− ε.

Cum ε > 0 a fost arbitrar ales, trecand la limita cu ε 0 obtinem

P (X∗∞ ≥ a) ≤ EX0

a,


Exemplul 1.6.2. Ca si aplicatie, sa consideram din nou martingala (1.26) din Exercitiul1.5.3. Ne punem urmatoarea problema: daca jucatorul intra ın joc cu X0 = 100 de lei, sidoreste sa maximizeze probabilitatea de a castiga 200 lei, care este probabilitatea maximade a atinge acest scop, si care strategie ıi garanteaza obtinerea castigului de 200 de lei cuaceasta probabilitate maxima?

Considerand ca jucatorul pariaza Yn ≥ 0 lei ın jocul n (Yn = 0 pentru orice n ≥ N ıncazul ın care pierde toti banii dupa jocul N), este usor de observat ca averea Xn jucatoruluidupa n jocuri este

Xn = 100 +n∑i=1

Yi (Mi −Mi−1) = 100 + (Y •M)n , n ≥ 1,

si deci conform Propozitiei 1.5.6 rezulta ca Xn este o martingala (si deci ın particular osupermartingala, nenegativa datorita conditiei de oprire a jocului dupa ce jucatorul pierdetoti banii).

Conform teoremei anterioare, rezulta ca

P (X∗∞ ≥ 200) ≤ EX0

200=

100

200=

1

2,

pentru orice strategie (Yn)n∈N pe care jucatorul o foloseste ın acest joc.Pentru a obtine probabilitatea maxima de 1

2, este usor de observat ca alegand sa parieze

toti cei 100 de lei ın primul joc (si sa paraseasca jocul dupa aceea, adica Y1 = 100 si Yn = 0pentru n ≥ 2), jucatorul ısi maximizeaza probabilitatea de a obtine 200 de lei ınainte dea pierde toti banii.

Urmatoarea teorema stabileste o limita superioara a numarului mediu de traversaricrescatoare a unui interval de catre o semimartingala, definit dupa cum urmeaza.



α

β

σ0 σ1 τ2τ1 n

Mn

Figura 1.6.1: Timpii de oprire σn si τn din definitia numarului de traversari crescatoareUn ((α, β];M).

Pentru numere reale α < β arbitrar fixate si un proces (Xn)n∈N fixat, introducemtimpii de oprire (σn)n∈N si (τn)n≥1 definiti inductiv prin

τ 0 = 0, σ0 = min n ≥ τ 0 : Xn ≤ α ,τm = min n ≥ σm−1 : Xn > β , σm = min n ≥ τm : Xn ≤ α , m ≥ 1,

(1.42)

si definim numarul de traversari crescatoare (upcrossings) a intervalului (α, β] de catreprocesul X pana la momentul n prin

Un ((α, β];X) = max m ≥ 0 : τm ≤ n , n ∈ N. (1.43)

(folosim conventia obisnuita min∅ = +∞ si max∅ = −∞).In mod similar, ınlocuind ın (1.42) definitia timpului de oprire τ 0 prin

τ 0 = inf n ≥ 0 : Xn > β , (1.44)

definim numarul de traversari descrescatoare (downcrossings) a intervalului (α, β] de catreprocesul X pana la momentul n prin

Dn ((α, β];X) = max m ≥ 0 : σm ≤ n ∨ 0, n ∈ N. (1.45)

Are loc urmatoarea:

Teorema 1.6.3 (Teorema inegalitatilor de traversari crescatoare). Fie (Xn)n∈N o sub-martingala ın raport cu filtratia (Fn)n∈N. Atunci pentru orice numere reale α < β si oricen ∈ N au loc inegalitatile

EUn ((α, β];X) ≤ EX+n + |α|β − α

si EDn ((α, β];X) ≤ E (Xn − α)+

β − α. (1.46)

Daca ın plus supn∈NEXn <∞, atunci

EU∞ ((α, β];X) , ED∞ ((α, β];X) <∞

oricare ar fi α < β, si deci procesul (Xn)n∈N traverseaza numai de un numar finit de oriorice interval (α, β].



Demonstratie. Sa observam mai ıntai ca eventual ınlocuind submartingala Xn prin sub-martingala X ′n = Xn − α, deoarece Un ((α, β];X) = Un ((0, β − α];X ′) si

EX ′+n = E((Xn − α)+) = E

|Xn − α|+Xn − α2

≤ E|Xn|+ |α|+Xn − α

2≤ EX+

n + |α| ,

este suficient sa demonstram ca pentru orice β > 0 si n ∈ N are loc inegalitatea

EUn ((0, β];X) ≤ EX+n

β, (1.47)

adica fara a restrange generalitatea problemei putem considera cazul α = 0.De asemenea, eventual considerand submartingala X ′′n = X+

n ≥ 0 (deoarece functiaf (x) = x+ = max x, 0 este o functie convexa nedescrescatoare si Xn este o submartin-gala, conform inegalitatii Jensen pentru asteptarea conditionata rezulta ca X ′′n = f (Xn)este o submartingala), deoarece Un ((0, β];X) = Un ((0, β];X ′′) si EX ′′+n = EX ′′n = EX+

n ,este suficient sa demonstram ca oricare ar fi submartingala nenegativa Xn si β > 0, n ∈ Nare loc inegalitatea

EUn ((0, β];X) ≤ EXn

β.

Fara a restrange deci generalitatea problemei, putem presupune ca α = 0 si Xn ≥ 0este o submartingala nenegativa.

Definim procesul (Yn)n∈N ca fiind egal cu 1 atunci cand procesul X se afla ıntr-otraversare crescatoare a intervalului (0, β], si 0 ın rest, adica

Yn =

1, daca n ∈ ∪∞m=0(σm, τm+1]0, ın rest

. (1.48)

Se poate verifica faptul ca procesul (Yn)n∈N astfel definit este previzibil ın raport cufiltratia (Fn)n∈N (adica Yn ∈ Fn−1 pentru orice n ≥ 1 si Y0 ≡ 0).

Cum X este o submartingala si Y este un proces nenegativ, marginit si previzibil,conform Propozitiei 1.5.8 rezulta ca transformarea martingala Y •X este o submartingala.Mai mult, deoarece 0 ≤ Yn ≤ 1 oricare ar fi n ∈ N, conform aceleiasi propozitii rezulta caavem

E (Y •X)n ≤ EXn, n ∈ N. (1.49)

Sa observam ca deoarece Yn ∈ 0, 1 si Yn = 1 doar daca procesul Xn se afla ıntr-otraversare crescatoare a intervalului (0, β], avem

(Y •X)n =n∑i=1

Yi (Xi −Xi−1) =∑

i∈1,...,n:Yi=1

(Xi −Xi−1) ≥ βUn ((0, β];X) , (1.50)

deoarece daca pentru un anumit m ∈ N avem τm+1 ≤ n < σm+1 atunci conform definitieitimpilor de oprire σ si τ , pentru orice k = 0, . . . ,m avem:

τm+1∑i=σm+1

(Xi −Xi−1) = Xτm+1 −Xσm > β − 0 = β,

(adica suma corespunzatoare unei bloc complet de valori 1 ale procesului Y este mai maredecat β), iar daca σm+1 ≤ n < τm+2 avem

n∑i=τm+1+1

(Xi −Xi−1) = Xn −Xσm+1 = Xn − 0 = Xn ≥ 0



(adica suma corespunzatoare unui bloc incomplet de valori 1 ale procesului Y este nene-gativa).

Din (1.49) si (1.50) obtinem

EUn ((0, β];X) ≤ E (Y •X)nβ

≤ EXn

β, n ∈ N,

care ımpreuna cu observatiile de la ınceputul demonstratiei ıncheie prima parte a demonstratiei.Partea a doua a demonstratiei fiind similara, o omitem.

Cu aceasta pregatire, putem acum demonstra urmatoarea teorema de convergenta asubmartingalelor:

Teorema 1.6.4 (Teorema de convergenta a (sub)martingalelor). Fie Xn o submartingalaın raport cu filtratia (Fn)n∈N pentru care supn∈NE |Xn| < ∞. Atunci a.s. exista limitaX∞ = limn→∞Xn, si ın plus variabila aleatoare X∞ este a.s finita si integrabila.

Demonstratie. In ipoteza de uniform marginire a mediei, din teorema anterioara rezultaca Xn traverseaza orice interval (α, β] numai de un numar finit de ori cu probabilitate 1.

In particular, considerand familia I a intervalelor de forma (α, β] cu α, β ∈ Q numererationale, cum acestea formeaza o multime numarabila, rezulta ca probabilitatea ca Xn

sa traverseze de o infinitate de ori un interval (α, β] ∈ I este egala cu zero.Cum multimea numerelor rationale este densa ın R, aceasta arata ca procesul Xn

converge a.s. pentru n→∞ (ın caz contrar, procesul Xn ar traversa de o infinitate de oriun anumit interval din familia de intervale I), si deci limita X∞ = limn→∞Xn exista a.s.

De asemenea, din lema Fatou obtinem

E |X∞| = E limn→∞

|Xn| = E lim inf |Xn| ≤ lim inf E |Xn| ≤ supn∈N

E |Xn| <∞,

si deci variabila aleatoare X∞ este integrabila, si deci ın particular este a.s. finita,ıncheiand astfel demonstratia.

Ca o consecinta a teoremei anterioare obtinem urmatorul rezultat de convergenta asupermartingalelor nenegative:

Consecinta 1.6.5. Daca (Xn)n∈N este o supermartingala nenegativa ın raport cu filtratia(Fn)n∈N, atunci exista a.s. limita X∞ = limn→∞Xn, si ın plus X∞ este o variabilaaleatoare a.s. finita si integrabila.

Demonstratie. Cum Xn este o supermartingala nenegativa, rezulta ca Yn = −Xn este osubmartingala, si avem

E |Yn| = E |−Xn| = EXn ≤ EX0, n ∈ N,

si deci supn∈NE |Yn| = EX0 <∞.Conform teoremei anterioare rezulta ca submartingala Yn converge a.s. catre o varia-

bila aleatoare integrabila Y∞, sau echivalent ca limita

limn→∞

Xn = − limn→∞

Yn = −Y∞ =: X∞

exista a.s., si X∞ = −Y∞ este o variabila aleatoare integrabila, a.s. finita.



Rezultatele din aceasta sectiune, prezentate ın cazul proceselor cu parametru discret,se pot extinde si la cazul proceselor cu parametru continuu. Astfel, corespunzator Teore-melor 1.6.1 si 1.6.3, ın cazul proceslor cu parametru continuu are loc urmatoarea:

Teorema 1.6.6. Fie (Mt)t≥0 o submartingala cu traiectorii continue si 0 ≤ s < u < ∞,α < β si a > 0 numere reale arbitrare fixate. Au loc urmatoarele inegalitati:

i) (Prima inegalitatea submartingala)

P

(sups≤t≤u

Mt ≥ a

)≤ EM+

u

a. (1.51)

ii) (A doua inegalitate submartingala)

P

(infs≤t≤u

Mt ≤ −a)≤ EM+

u − EMs

a. (1.52)

iii) (Inegalitatile de traversari crescatoare si descrescatoare) Daca U[s,u] ([α, β];M)si D[s,u] ([α, β] ;M) reprezinta numarul de traversari crescatoare (upcrossing), res-pectiv traversari descrescatoare (downcrossing), ale intervalului [α, β] de catre pro-cesul (Mt)s≤t≤u, atunci

EU[s,u] ([α, β] ;X) ≤ EX+u + |α|β − α

si ED[s,u] ([α, β] ;X) ≤ E (Xu − α)+

β − α(1.53)

iv) (Inegalitatea maximala a lui Doob)

E

(sups≤t≤u

Mt

)p≤(

p

p− 1

)pEXp

u, p > 1. (1.54)

Demonstratie. A se vedea spre exemplu [KaSh], pag. 13 – 15.

Corespunzator teoremei de convergenta a submartingalelor cu parametru discret (Te-orema 1.6.4), ın cazul submartingalelor cu parametru continuu are loc urmatoarea:

Teorema 1.6.7 (Teorema de convergenta a submartingalelor). Daca (Xt)t≥0 este o sub-

martingala continua la dreapta si supt≥0EM+t <∞, atunci a.s. exista limita limt→∞Xt =

X∞, si ın plus X∞ este o variabila aleatoare a.s. finita si integrabila.

Demonstratie. Rezulta din teorema anterioara, demonstratia fiind similara cu cea a Teo-remei 1.6.4. Pentru detalii se poate vedea spre exemplu [KaSh], pag. 17 – 18.

Asa dupa cum se stie, convergenta simpla (a.s.) a variabilelor aleatoare nu implicaconvergenta ın medie, conditia suplimentara necesara fiind aceea de uniform integrabili-tate. Reamintim urmatoarea:

Definitia 1.6.8. O colectie (Xα)α de variabile aleatoare se numeste uniform integrabiladaca

limM→∞

supαE(|Xα| 1|Xα|≥M

)= 0. (1.55)



Cateva conditii suficiente de uniform integrabilitate a unei colectii de variabile alea-toare sunt date de urmatoarea:

Observatia 1.6.9 (Conditii suficiente de uniform integrabilitate). Daca X este o varia-bila aleatoare integrabila, cum |X| 1|X|≥M ≤ |X| si limM→∞ |X| 1|X|≥M = 0, din teoremaconvergentei dominate rezulta ca limM→∞E |X| 1|X|≥M = 0, si deci colectia X esteuniform integrabila.

Mai general, ın mod similar se poate arata ca daca X1, . . . , Xn sunt variabile aleatoareintegrabile, atunci colectia X1, . . . , Xn este uniform integrabila.

De asemenea, daca X este o variabila aleatoare integrabila, atunci colectia de variabilealeatoare Y ∈ L1 : |Y | ≤ X este uniform integrabila.

Un ultim criteriu de suficienta pentru uniform integrabilitate este urmatorul: o colectie(Xα)α de variabile aleatoare uniform marginite ın Lp, p > 1, (adica supαE |Xα|p < ∞)este uniform integrabila.

Teorema urmatoare da conditii necesare si suficiente de uniform integrabilitate a uneicolectii de variabile aleatoare:

Teorema 1.6.10 (Conditii necesare si suficiente de uniform integrabilitate). Fie (Xα)αo colectie de variabile aleatoare integrabile. Urmatoarele conditii sunt echivalente:

i) (Xα)α este o colectie uniform integrabila de variabile aleatoare;

ii) (Xα)α este o colectie uniform marginita ın L1 (adica supαE |Xα| < ∞) si absolutcontinua, adica oricare ar fi ε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat

supαE [Xα;A] < ε,

oricare ar fi A ∈ F cu P (A) < δ;

iii) (Dunford-Pettis) Colectia (Xα)α este relativ compacta ın topologia slaba, adicaorice sir (Xn)n∈N ⊂ (Xα)α contine un subsir (Xnk)k∈N convergent, astfel ıncat pentruorice variabila aleatoare marginita Y avem

E (XnkY ) →k→∞

E (X∞Y ) , (1.56)

unde X∞ = limk→∞Xnk .

iii) (de la Vallee-Poussin)Exista o functie crescatoare G : [0,∞) → [0,∞) astfelıncat

limt→∞

G (t)

t=∞ si sup

αE (G (|Xα|)) <∞ (1.57)

Din teorema anterioara, folosind teorema de convergenta a submartingalelor, obtinemurmatoarea:

Teorema 1.6.11. Daca (Mt)t≥0 este o martingala (submartingala nenegativa) continuala dreapta, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i) (Mt)t≥0 este o colectie uniform integrabila de variabile aleatoare;

ii) (Mt)t≥0 converge ın L1;



iii) (Mt)t≥0 converge a.s. catre o variabila aleatoare integrabila M∞, si (Mt)0≤t≤∞ este o(sub)martingala.

Demonstratie. Rezulta din teorema anterioara folosind teorema de convergenta a submar-tingalelor. A se vedea spre exemplu [KaSh], pag. 18 sau [?], pag. 48 – 50.

Observatia 1.6.12. In cazul ın care Mt este o submartingala, implicatiile i) =⇒ ii) =⇒iii) din teorema anterioara au loc si fara ipoteza suplimentara ca Mt ≥ 0 oricare ar fit ≥ 0.

Exercitii

Exercitiul 1.6.1. Fie (Xn)n∈N o supermartingala nenegativa ın raport cu flitratia (Fn)n∈N.Sa se arate ca pentru orice ω ∈ Ω, Xn (ω) = 0 implica Xm (ω) = 0 oricare ar fi m ≥ n.

Exercitiul 1.6.2. Fie (Xn)n≥1 un sir de variabile aleatoare independente cu medii EXn =0 pentru orice n ≥ 1 si supn≥1EX

2n <∞.

a) Sa se arate ca Mn =∑n

i=1 Yi este o martingala ın raport cu filtratia Fn = σ (Y1, . . . , Yn);b) Sa se arate ca EM2

n ≤ n supn≥1EX2n pentru orice n ≥ 1;

c) Sa se arate ca P(supn≤2m |Mn| > ε2m

)≤ supn≥1 EX

2n

ε22moricare ar fi m ≥ 1;

d) Sa se deduca legea numerelor mari pentru sirul de variabile aleatoare (Xn)n≥1, adica

limn→∞

X1 + . . .+Xn

n= 0 a.s.

Exercitiul 1.6.3. Fie (Xn)n≥1 un sir de variabile aleatoare independente si identic dis-

tribuite, cu P (X1 = −1) = p si P (X1 = −1) = 1− p, p ∈ (12, 1].

a) Sa se demonstreze ca Mn =∑n

i=1 Yi−an este o submartingala ın raport cu filtratiaFn = σ (X1, . . . , Xn) pentru o alegere convenabila a parametrului a ∈ R;

b) Sa se demonstreze ca limn→∞Mn

n= a a.s;

c) Sa se demonstreze ca limn→∞Mn = +∞ a.s.

Exercitiul 1.6.4. Sa se arate ca daca X este o variabila aleatoare integrabila, atuncicolectia X este uniform integrabila.

Exercitiul 1.6.5. Sa se arate ca daca X1, . . . , Xn sunt variabile aleatoare integrabile,atunci colectia X1, . . . , Xn este uniform integrabila.

Exercitiul 1.6.6. Sa se arate ca daca X este o variabila aleatoare integrabila, atuncicolectia Y ∈ L1 : |Y | ≤ X este uniform integrabila.

Exercitiul 1.6.7. Sa se arate ca o colectie (Xα)α de variabile aleatoare uniform marginiteın Lp, p > 1, (adica supαE |Xα|p <∞) este uniform integrabila.



1.7 Miscarea Browniana

Miscarea Browniana a fost pentru prima data observata de catre botanistul scotian RobertBrown ın 1828, cand a observat miscarea neregulata a unor granule mici de polen aflatepe suprafata unui lichid (aceasta miscare neregulata este rezultatul coliziunilor aleatoaredintre granulele de polen si moleculele lichidului).

Ca obiect matematic, miscarea Browniana a fost studiata pentru prima data de catreLouis de Bachelier (1900) ın legatura cu teoria bursei de valori, si de catre Albert Einstein(1905), care a folosit-o pentru a verifica teoria moleculara a caldurii. Ei au conjecturatmulte din proprietatile miscarii Browniene, dar a durat mult timp pana cand s-a pututdemonstra existenta procesului cu proprietatile specificate (a se vedea Definitia 1.7.1 demai jos). In 1923, Norbert Wiener a demonstrat consistenta definitiei cu propritatilespecificate (din acest motiv miscarea Browniana este numita uneori si proces Wiener), simai tarziu, ın 1951, Monroe David Donsker a dat o demonstratie completa a convergenteidrumurilor aleatoare catre miscarea Browniana.

Miscarea Browniana poate fi construita ca limita unui drum aleator, dupa cum ur-meaza: pe un spatiu de probabilitate (Ω,F , P ) fixat, consideram variabilele aleatoare(Yn)n∈N∗ independente si identic distribuite, cu

P (Yn = 1) = P (Yn = −1) =1

2, n ∈ N∗,

si definim drumul aleator (Sn)n∈N prin

Sn =

∑ni=1 Yi, n ∈ N∗

0, n = 0, n ∈ N.

Figura 1.7.1: Cateva traiectorii ale drumului aleator (Sn)n∈0,1,...,100 ıncepand la S0 = 0.

Unind punctele consecutive (n, Sn), n = 0, 1, 2, . . . prin segmente de dreapta, obtinemun grafic asemanator traiectoriei neregulate descrise de granulele de polen observate deBrown (a se vedea Figura 1.7.1).

Cum EYi = 0 si Var (Yi) = E (Yi − EYi)2 = 1 oricare ar fi i ∈ N∗, obtinem

ESn = 0 si Var (Sn) = n,

si din teorema limita centrala rezulta ca

Sn√n→n→∞

B1,


1.7. MISCAREA BROWNIANA 40

1

Bt

0

Figura 1.7.2: O traiectorie a unei miscari Browniene 1-dimensionale Bt ınceputa la B0 = 0.

ın distributie, unde B1 este o variabila aleatoare normala N (0, 1).Putem extinde constructia anterioara pentru a obtine un proces Bt definit pentru toti

timpii t ≥ 0, considerand

Bt = limn→∞

S[nt]√n, t ≥ 0,

unde am notat prin [x] partea ıntreaga a numarului real x (cel mai mare ıntreg mai micsau egal cu x).

Se poate arata ca procesul Bt astfel construit este o miscare Browniana ın sensulDefinitiei 1.7.1 (pentru demonstratie, a se vedea spre exemplu [KaSh]).

Consideram un spatiu de probabilitate (Ω,F , P ) fixat. Numim proces stochastic pe(Ω,F , P ) o familie (Xt)t≥0 de variabile aleatoare indexate dupa parametrul t ≥ 0 astfelıncat X(t, ω) = Xt(ω) : [0,∞)× Ω→ R este o functie masurabila ın raport cu σ-algebraprodus B × F .

Definitia 1.7.1. O miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la 0 ∈ R este un processtochastic Bt pe (Ω,F , P ) cu urmatoarele proprietati:

i) P (B0 = 0) = 1;

ii) Pentru orice 0 ≤ s < t, Bt − Bs este o variabila aleatoare normala N (0, t − s) cumedie 0 si dispersie t− s, independenta de σ-algebra σ (Br : r ≤ s) generata de Br,pentru r ≤ s;

iii) Pentru aproape orice ω ∈ Ω, functia t ∈ [0,∞)→ Bt(ω) este continua.

Asa cum am indicat anterior, faptul ca un proces cu aceste proprietati exista, nu esteimediat (a se vedea spre exemplu [Ok] pentru o demonstratie a acestui fapt).

Doua extensii imediate ale definitiei mai sus sunt urmatoarele:

- miscarea Browniana 1-dimensionala ınceputa la x ∈ R, definita ca x+ Bt, unde Bt

este o miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la 0 ∈ R;

- miscarea Browniana n-dimensionala ınceputa la x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, definita caBt = (B1

t , . . . , Bnt ), unde B1

t , . . . , Bnt sunt miscari Browniene 1-dimensionale inde-

pendente ıncepute la x1, . . . , xn ∈ R.



Pentru a indica faptul ca miscarea Browniana Bt porneste din punctul x, se obisnuiestesa se noteze prin P x si Ex masura de probabilitate corespunzatoare, respectiv media ınraport cu masura de probabilitate P x.

Cateva din proprietatile miscarii Browniene sunt continute ın urmatoarea:

Propozitia 1.7.2 (Proprietati ale miscarii browniene). Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala pe (Ω,F , P x) ınceputa la x ∈ Rn.

a) Distributiile finit-dimensionale ale Bt sunt date de

P x(Bt1 ∈ F1, . . . , Btk ∈ Fk) =∫F1×···×Fk

p(t1, x, x1)p(t2 − t1, x1, x2) . . . p(tk − tk−1, xk−1, xk)dx1dx2 . . . dxk,

oricare ar fi k ∈ N∗, 0 ≤ t1 < . . . < tk si multimile Boreliene F1, . . . , Fk ⊂ Rn, unde

p(t, x, y) =1

(2πt)n/2e−|x−y|2

2t2

este densitatea distributiei normale N (x, t2) cu medie x si dispersie t2 ın Rn.

b) Pentru n = 1, media si covarianta sunt date deExBt = xcov(Bs, Bt) = s ∧ t

pentru oricare s, t ≥ 0;

c) Pentru apoape toti ω ∈ Ω, traiectoriile t ∈ [0,∞)→ Bt (ω) ale miscarii Brownienenu sunt diferentiabile ın nici un punct t ∈ [0,∞);

d) Variatia totala pe orice interval finit [0, T ] este infinita, adica

sup∆

n∑i=1

∣∣Bti −Bti−1

∣∣ =∞ a.s.,

unde supremumul este considerat pentru toate partitiile ∆ : 0 = t0 < t1 < . . . < tn aleintervalului [0, T ];

e) Variatia patratica corespunzatoare unei partitii ∆n : 0 = t0 < t1 < . . . < tn aintervalului [0, T ] converge ın L2(P ) catre T , adica

V 2T (∆n) :=

n∑i=1

∣∣Bti −Bti−1

∣∣2 → T ,

ın L2(P ) cand ‖∆n‖ := max1≤i≤n

|ti − ti−1| → 0.

Daca ın plus∑

n≥1 ‖∆n‖ <∞, convergenta precedenta este si aproape sigura.

Demonstratie. a) Pentru k = 1 afirmatia rezulta din Definitia 1.7.1 ii).

Pentru k = 2, conditionand de Bt1 , si folosind proprietatea Markov si independenta



incrementilor miscarii Browniene, obtinem:

P x(Bt1 ∈ F1, Bt2 ∈ F2) =

∫F1

P x(Bt1 ∈ dx1, Bt2 ∈ F2)

=

∫F1

P x(Bt2 ∈ F2 |Bt1 = x1 )P x(Bt1 ∈ dx1)

=

∫F1

P x1(Bt2−t1 ∈ F2)P x(Bt1 ∈ dx1)

=

∫F1

∫F2

P x1(Bt2 ∈ dx2)P x(Bt1 ∈ dx1)

=

∫F1

∫F2

p(t2 − t1, x1, x2)p(t1, x, x1)dx2dx1

=

∫F1×Fk

p(t1, x, x1)p(t2 − t1, x1, x2)dx1dx2.

Cazul general rezulta acum prin inductie dupa k.

b) Avem

ExBt = x+ Ex (Bt −B0) = x+ 0 = x,

deoarece Bt −B0 este o variabila aleatoare normala N (0, t).

Pentru 0 ≤ s < t arbitrar fixati, avem:

cov(Bs, Bt) = Ex [(Bt − ExBt) (Bs − ExBs)]

= Ex [(Bt −Bs +Bs − x) (Bs − x)]

= Ex (Bt −Bs)Ex (Bs − x) + Ex

[(Bs − x)2]

= 0 · 0 + s

= s,

deoarece Bt − Bs si Bs − x sunt variabile aleatoare independente, si Bs − x = Bs − B0

este o variabila normala N (0, s).

In mod similar, pentru s > t ≥ 0 arbitrar fixati, avem cov(Bs, Bt) = t, si combinandcu cazul anterior obtinem:

cov(Bs, Bt) = s ∧ t.

c) Pentru o demonstratie a se vedea spre exemplu [KaSh], pag.110.

d) Conform punctului e) rezulta ca variatia patratica pe orice interval este finita, sideci variatia de ordinul ıntai pe orice interval este infinita.

e) Consideram o partitie ∆n : 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T fixata, si notam ∆tk =tk − tk−1 si ∆Bk = Btk −Btk−1

, k = 1, . . . , n.



Folosind independenta incrementilor si Exercitiul 1.7.3, obtinem

E

( n∑k=1

(∆Bk)2 − T

)2 = E

( n∑k=1

(∆Bk)2 −

n∑k=1

∆tk

)2

= E

[n∑

i,j=1

((∆Bi)

2 −∆ti) (

(∆Bj)2 −∆tj

)]

=n∑i=1

E((∆Bi)

2 −∆ti)2

=n∑i=1

E((∆Bi)

4 − 2∆ti (∆Bi)2 + (∆ti)

2)=

n∑i=1

4!

22 · 2!(∆ti)

2 − 2∆ti∆ti + (∆ti)2

= 2n∑i=1

(∆ti)2

≤ 2 ‖∆n‖n∑i=1

∆ti

= 2T ‖∆n‖ → 0

pentru ‖∆n‖ → 0, si deci∑n

k=1 (∆Bk)2 → T ın L2(P ), ıncheiand prima parte a demonstratiei.

Cea de a doua afirmatie rezulta din demonstratia anterioara folosind lema Borel-Cantelli.

Cateva din proprietati de invarianta ale miscarii Browniene la transformari geometricesunt continute ın urmatoarea:

Propozitia 1.7.3. Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa la x ∈ Rn.

a) (Invarianta la translatie) Pentru orice y ∈ Rn, Bt = (y − x)+Bt este o miscareBrowniana n-dimensionala ınceputa la y ∈ Rn.

b) (Invarianta la scalare) Pentru orice constanta c > 0, Bt = 1cBc2t este o miscare

Browniana n-dimensionala ınceputa la 1cx ∈ Rn;

c) (Invarianta la rotatie) Pentru orice matrice ortogonala U ∈ Mn×n(R) (adica

UUT = In), Bt = UBt este o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa la Ux ∈Rn.

Demonstratie. a) Conform definitiei, daca Bt este o miscare Browniana n-dimensionalaınceputa la x ∈ Rn, atunci

Bt = x+Wt,

pentru o miscare Browniana n-dimensionala Wt ınceputa ın origine.Rezulta ca

Bt = (y − x) +Bt = (y − x) + x+Wt = y +Wt,

unde Wt este o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa ın origine, si deci conformdefinitiei Bt este o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa la y ∈ Rd.



b) Deoarece Bt este un vector n-dimensional format din n miscari Browniene 1-dimensionale independente, este suficient sa consideram cazul n = 1.

Daca Bt este o miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la x ∈ R si c > 0, rezultaca

P (B0 = 0) = P (1

cB0 = 0) = P (B0 = 0) = 1

si deoarece Bc2t − Bc2s este o variabila aleatoare normala N (0, c2t − c2s), obtinem ca

Bt − Bs = 1c

(Bc2t −Bc2s) are este o variabila aleatoare normala N(0, t− s), pentru orice0 ≤ s < t.

De asemenea, functia t ∈ [0,∞) → Bt(ω) = 1cBc2t(ω) este continua ın t a.s. pe Ω,


c) Similar demonstratiei anterioare, cu probabilitate 1 procesul Bt = UBt ıncepe ın

punctul B0 = Ux si are traiectorii continue.

Deoarece componentele procesului Bt−Bs sunt variabile aleatoare normale N (0, t−s)independente si U este o matrice ortogonala, putem calcula functia caracteristica a uneicomponente Bk

t − Bks (1 ≤ k ≤ n) a procesului Bt − Bs dupa cum urmeaza:

Eeiv(Bkt −Bks ) = Eeiv∑nl=1 ukl(B

lt−Bls) =

= En∏l=1

eivukl(Blt−Bls)

=n∏l=1

Eeivukl(Blt−Bls)

=n∏l=1

e−v2u2kl2

(t−s)

= e−v2(t−s)

∑nl=1 u

2kl

= e−v2(t−s),

oricare ar fi v ∈ R, ceea ce arata ca Bkt −Bk

s este o variabila aleatoare normala N (0, t−s).

Deoarece componentele procesului Bt − Bs sunt variabile aleatoare normale, pentru ademonstra independenta acestora este suficient sa aratam ca sunt necorelate.



Avem

cov(Bkt − Bk

s , Blt − Bl

s

)= E

(Bkt − Bk

s

)(Blt − Bl

s

)= E

n∑i=1

uki(Bit −Bi

s)n∑j=1

ulj(Bjt −Bj

s)

=n∑i=1

n∑j=1

ukiuljE(Bit −Bi

s)(Bjt −Bj

s)

=n∑i=1

n∑j=1

ukiuljcov(Bit −Bi

s, Bjt −Bj

s)

=n∑i=1

n∑j=1

ukiuljδij(t− s)

= (t− s)n∑i=1

ukiulj

= δkl(t− s)= 0,

oricare ar fi k, l ∈ 1, . . . , n cu k 6= l, ıncheiand astfel demonstratia.

Exercitii

Exercitiul 1.7.1. Daca Bt este o miscare Browniana 2-dimensionala ınceputa la B0 = 0,sa se calculeze P (Bt ∈ B(0, r)).

Exercitiul 1.7.2. Sa se calculeze functia caracteristica EeiuBt a unei miscari Browniene1-dimensionale Bt ınceputa la B0 = 0.

Exercitiul 1.7.3. Folosind dezvoltarea ın serie functiei exponentiale si exercitiul anterior,sa se arate ca pentru o miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la B0 = 0 avemEB4

t = 3t2.Mai general, sa se arate ca

EB2nt =

(2n)!

2n · n!tk, n ∈ N.


Capitolul 2

Integrala stochastica

46

CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICA 47

2.1 Introducere

In acest capitol vom prezenta constructia integralei stochastice Ito∫ t

0HsdMs, undeMs este

o martingala locala (cel mai adesea miscare Browniana) iar Hs este un proces stochasticadaptat filtratiei corespunzatoare lui Ms, cu proprietatea ca E

∫ t0H2sd〈M〉s <∞.

Incepem prin a considera cazul ın care integratorul Ms este miscarea Browniana 1-dimensionala. Deoarece conform Propozitiei 1.7.2 traiectoriile miscarii Browniane Bt

au variatie infinita, nu putem defini integrala∫ t

0HsdBs ca o integrala de tip Lebesgue-

Stieltjes. Cheia constructiei este izometria ın L2 (2.3) de mai jos, care ne va permitesa definim integrala stochastica

∫ t0HsdBs ca fiind limita ın L2(P ) a unui sir de variabile

aleatoare convenabil alese.Pe un spatiu de probabilitate (Ω,F , P ) fixat, consideram o miscare Browniana 1-

dimensionala Bt ınceputa la B0 = 0, si presupunem ca filtratia corespunzatoare (Ft)t≥0

verifica conditiile uzuale (σ-algebra Ft este continua la dreapta si completa pentru oricet ≥ 0).

Ideea constructiei este urmatoarea:

1. daca f(s, ω) = φ(ω)1[a,b)(s) este un proces elementar, definim∫ t

0

f(s, ω)dBs = φ(ω) (Bb∧t −Ba∧t) ,

si extindem prin liniaritate definitia la cazul ın care f(s, ω) este un proces simplu(o combinatie liniara finita de procese elementare);

2. daca E∫∞

0f 2(s, ω)ds < ∞, aproximam procesul f(s, ω) prin procese simple fn(s, ω),

si definim ∫ t

0

f(s, ω)dBs = limn→∞

∫ t

0

fn(s, ω)dBs (ın L2(P )).

In aceasta constructie, sunt cateva elemente care trebuiesc demonstrate: existentasirului de aproximare fn(s, ω), convergenta sirului

∫ t0fn(s, ω)dBs (ın L2(P )), si independenta

limitei ın raport cu alegerea sirului de aproximare fn(s, ω).

2.2 Integrala stochastica Ito

Definim clasa I a integranzilor ca fiind clasa functiilor

f(t, ω) : [0,∞)× Ω→ R

ce verifica urmatoarele conditii:

i) f(t, ω) este un proces stochastic, adica functia (t, ω) ∈ [0,∞) × Ω → f(t, ω) estemasurabila ın raport cu σ-algebra produs B × F ;

ii) f(t, ·) este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra Ft pentru oricet ≥ 0;

iii) E∫∞

0f 2(s, ω)ds <∞.


2.2. INTEGRALA STOCHASTICA ITO 48

Numim proces elementar un proces stochastic f(t, ω) ∈ I de forma

f(t, ω) = φ(ω)1[a,b)(t).

Observam ca proprietatile ii) si iii) mai sus revin ın acest caz la faptul ca variabilaaleatoare φ = φ(ω) este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra Fa, res-pectiv ca variabila aleatoare φ2 este integrabila. Definim ın acest caz integrala stochasticaprin ∫ t

0

φ(ω)1[a,b)(s)dBs(ω) = φ(ω) (Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω)) . (2.1)

Numim proces simplu un proces stochastic f(t, ω) ∈ I ce poate fi scris ca o combinatieliniara finita de procese elementare, adica

f(t, ω) =N∑i=1

φi(ω)1[ai,bi)(t),

unde φi = φi(ω) sunt variabile aleatoare Fai-masurabile de patrat integrabil, 1 ≤ i ≤ N ,si 0 ≤ a1 < b1 ≤ . . . ≤ aN < bN . Definim integrala stochastica ın acest caz prin liniaritate,adica ∫ t

0

N∑i=1

φi(ω)1[ai,bi)(s)dBs(ω) =N∑i=1

φi(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω)) . (2.2)

Integrala stochastica a functiilor simple astfel definita are urmatoarele proprietati:

Propozitia 2.2.1. Daca f ∈ I este un proces simplu marginit, atunci integrala stochas-tica

Nt(ω) =

∫ t

0

f(s, ω)dBs(ω)

este o martingala continua si are loc egalitatea

E

[(∫ t

0

f(s, ω)dBs(ω)

)2]

= E

∫ t

0

f 2(s, ω)ds. (2.3)

Demonstratie. Pentru a demonstra prima afirmatie, datorita liniaritatii integralei stochas-tice, este suficient sa consideram cazul ın care f ∈ I este un proces elementar marginit

f(t, ω) = φ(ω)1[a,b)(t),

unde φ(ω) este o variabila aleatoare Fa-masurabila marginita de patrat integrabil si 0 ≤a < b.

Daca procesul φ este marginit de constanta K, obtinem

|Nt(ω)−Ns(ω)| = |φ(ω) (Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω))− φ(ω) (Bb∧s(ω)−Ba∧s(ω))|≤ K |Bb∧t(ω)−Bb∧s(ω)|+K |Ba∧t(ω)−Ba∧s(ω)| ,

si continuitatea procesului Nt rezulta din continuitatea miscarii Browniene Bt.Pentru a arata ca Nt este o martingala ın raport cu filtratia (Ft)t≥0, trebuie sa aratam

ca oricare ar fi 0 ≤ s < t avem E (Nt|Fs) = Ns.In functie de pozitiile relative ale lui a, b, s si t, distingem urmatoarele cazuri:



1. a < s < t < b

Avem

E (Nt|Fs) = E (φ(ω) (Bt(ω)−Ba(ω)) |Fs)= φ(ω) (E (Bt(ω)−Bs(ω)|Fs) + E (Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))= φ(ω) (E (Bt(ω)−Bs(ω)) +Bs(ω)−Ba(ω))

= φ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))

= φ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))

= Ns,

deoarece ın acest caz Bt − Bs este o variabila aleatoare independenta de σ-algebraFs, iar Bs −Ba este o variabila aleatoare Fs-masurabila.

2. a < s < b < t

Avem

E (Nt|Fs) = E (φ(ω) (Bb(ω)−Ba(ω)) |Fs)= φ(ω) (E (Bb(ω)−Bs(ω)|Fs) + E (Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))= φ(ω) (E (Bb(ω)−Bs(ω)) +Bs(ω)−Ba(ω))

= φ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))

= φ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))

= Ns,

deoarece ın acest caz Bb − Bs este o variabila aleatoare independenta de σ-algebraFs iar Bs −Ba este o variabila aleatoare Fs-masurabila.

3. Pentru cele patru cazuri ramase de considerat demonstratia fiind similara, o omitem.

Pentru a demonstra ultima afirmatie, consideram un proces simplu f ∈ I, dat de

f(t, ω) =N∑i=1

φi(ω)1[ai,bi)(t),

unde φi(ω) sunt variabile aleatoare Fai-masurabile marginite de patrat integrabil, 1 ≤ i ≤N , si 0 ≤ a1 < b1 ≤ . . . ≤ aN < bN .

Folosind independenta incrementilor miscarii Browniene si faptul ca variabilele alea-toare φi, φj sunt Fai , respectiv Faj -masurabile, obtinem:

E[φi(ω)φj(ω) (Bbi∧t −Bai∧t)

(Bbj∧t −Baj∧t

)]=

E(φ2i (ω)

)(bi ∧ t− ai ∧ t) , i = j

0, i 6= j



de unde rezulta

E

[(∫ t

0

f(s, ω)dBs(ω)

)2]

= E

[N∑i=1

φ2i (ω) (Bbi∧t −Bai∧t)

2

]+

+ E

[ ∑1≤i<j≤N

φi(ω)φj(ω) (Bbi∧t −Bai∧t)(Bbj∧t −Baj∧t

)](2.4)

= E

[N∑i=1

φ2i (ω) (bi ∧ t− ai ∧ t)

]

= E

∫ t

0

f 2(s, ω)ds,


Pentru de a extinde definitia integralei stochastice la cazul general al unui procesf(s, ω) ∈ I avem nevoie de urmatoarea lema, care arata ca un proces f(s, ω) ∈ I poatefi aproximat prin procese simple marginite, ın urmatorul sens:

Lema 2.2.2. Daca f(t, ω) ∈ I, exista un sir de procese simple marginite fn(t, ω) ∈ Iastfel ıncat

E

∫ ∞0

(f(s, ω)− fn(s, ω))2 ds −→n→∞

0. (2.5)

Folosind acest rezultat, putem acum demonstra urmatoarea:

Teorema 2.2.3. Oricare ar fi procesul f(t, ω) ∈ I si sirul de procese simple marginite(fn(t, ω))n∈N ⊂ I cu

E

∫ ∞0

(f(s, ω)− fn(s, ω))2 ds −→n→∞

0,

procesul Nnt (ω) =

∫ t0fn(s, ω)dBs(ω) converge ın L2(P ), uniform ın raport cu t ∈ [0,∞),

catre o martingala continua Nt(ω).Mai mult, limita este independenta de alegerea sirului (fn(t, ω))n∈N folosit ın aproxi-

marea functiei f(t, ω).

Inainte de a prezenta demonstratia, sa observam ca dat fiind un proces f ∈ I, dinLema 2.2.2 rezulta ca exista un sir de functii simple fn ∈ I ce verifica conditia (2.3) maisus. Putem asadar enunta urmatoarea:

Definitia 2.2.4 (Integrala stochastica Ito ). Definim integrala stochastica Ito a unuiproces stochastic f(t, ω) ∈ I ın raport cu miscarea Browniana Bt prin∫ t

0

f(s, ω)dBs = limn→∞

∫ t

0

fn(s, ω)dBs,

unde fn(t, ω) este un sir de procese simple marginite ce verifica relatia (2.5) de mai sus.

Demonstratie. Sa observam mai ıntai ca daca g ∈ I este un proces simplu marginit, dinPropozitia 2.2.1 rezulta ca Mt =

∫ t0g(s, ω)dBs(w) este o martingala continua si are loc

egalitatea

EM2t = E

(∫ t

0

g(s, ω)dBs(ω)

)2

= E

∫ t

0

g2(s, ω)ds ≤ E

∫ ∞0

g2(s, ω)ds <∞,



si deci

supt≥0

EM2t ≤ E

∫ ∞0

g2(s, ω)ds <∞.

Conform teoremei de convergenta a martingalelor (Teorema 1.6.7) rezulta ca limitaM∞ = limt→∞Mt exista aproape sigur si avem

EM2∞ = lim

t→∞E

(∫ t

0

g(s, ω)dBs(ω)

)2

= limt→∞

E

∫ t

0

g2(s, ω)ds

= E

∫ ∞0

g2(s, ω)ds <∞.

Cum diferenta a doua procese simple este de asemenea un proces simplu, aplicandrezultatul anterior procesului g(s, ω) = fn(s, ω) − fm(s, ω) si folosind inegalitatea Doob(Teorema 1.6.6 iv)), obtinem

E

(supt≥0

(Nnt −Nm

t )2

)≤ cE

∫ ∞0

(fn(s, ω)− fm(s, ω))2 ds

≤ 2cE

∫ ∞0

((fn(s, ω)− f(s, ω))2 ds+

∫ ∞0

(fm(s, ω)− f(s, ω))2 ds

→ 0

pentru n,m→∞, conform ipotezei.Rezulta ca (Nn

t (ω))n∈N este un sir Cauchy ın L2(P ), uniform ın raport cu t ≥ 0.Cum L2(P ) este un spatiu metric complet, rezulta ca Nn

t converge ın L2(P ) catre unproces pe care ıl notam Nt = Nt(ω).

Deoarece Nnt converge la Nt ın L2(P ) (uniform ın raport cu t ≥ 0), exista un subsir

Nnkt care converge aproape sigur catre Nt, uniform ın raport cu t ≥ 0. Din Propozitia

2.2.1 rezulta ca procesele Nnt sunt continue, si deci procesul limita Nt este de asemenea

un proces continuu ın variabila t.Conform aceleiasi propozitii, Nn

t este o martingala, si deci oricare ar fi 0 ≤ s < t avem

E (Nnt |Fs) = Nn

s ,

de unde prin trecere la limita cu n → ∞ rezulta ca Nt este de asemenea o martingala(faptul ca E (Nn

t |Fs)→ E (Nt|Fs) pentru n→∞ rezulta din

E((E (Nn

t |Fs)− E (Nt|Fs))2) = E((E (Nn

t −Nt|Fs))2)≤ E

(E((Nn

t −Nt)2 |Fs

))= E

((Nn

t −Nt)2)→ 0,

pentru n→∞).Pentru a demonstra independenta limitei de sirul de aproximare fn ∈ I considerat, sa

consideram un alt sir de procese simple fn ∈ I cu

E

∫ ∞0

(f(s, ω)− fn(s, ω)

)2

ds −→n→∞

0,



si sa notam Nnt =

∫ t0fn(s, ω)dBs(ω).

Conform demonstratiei anterioare, avem

E

(supt≥0

(Nnt − Nn

t

)2)≤ cE

(∫ ∞0

(fn(s, ω)− fn(s, ω)

)2

ds

)→ 0

pentru n→∞, si deci limita Nt este independenta de alegerea sirului de aproximare Nnt

considerat.

Exemplul 2.2.5. Ca un exemplu, sa calculam integrala stochastica∫ t

0BsdBs folosind

definitia integralei stochastice.Consideram f(t, w) = Bt si definim sirul fn(t, ω) =

∑2n−1n=0 Btj1[tj ,tj+1)(t), unde tj =

tnj = t j2n

.Din independenta incrementilor miscarii Browniene obtinem:

E

(∫ t

0

(fn(s, ω)− f(s, ω)2 ds

)= E

2n−1∑j=0

∫ tj+1

tj

(Btj −Bs

)2ds

=2n−1∑j=0

∫ tj+1

tj

(s− tj)ds

=2n−1∑j=0

1

2(tj+1 − tj)2

=t2

2 · 2n→ 0

pentru n → ∞, si deci fn(t, ω) este de fapt un sir de aproximare al procesului f(t, ω) ınsensul relatiei (2.5).

Conform definitiei integralei stochastice avem deci∫ t

0

BsdBs = limn→∞

∫ t

0

fn(s, ω)dBs(ω)

= limn→∞

2n−1∑j=0

Btj(Btj+1−Btj)

= limn→∞

1

2

2n−1∑j=0

(B2tj+1−B2

tj− (Btj+1

−Btj)2)

=1

2(B2

t −B20)− 1

2t.

Incheiem aceasta sectiune cu doua observatii.

Observatia 2.2.6. In exemplul anterior am obtinut∫ t

0

BtdBt =1

2

(B2t −B2

0

)− 1

2t,

formula ce difera de formula obisnuita de integrare∫ t

0

BsdBs =1

2B2s

∣∣s=ts=0

=1

2(B2

t −B20),



ın cazul integralei Lebesgue-Stieltjes (daca aceasta integrala s-ar fi putut aplica procesuluiBt). Aceasta se datoreaza faptului ca miscare Browniana nu este un proces cu variatiemarginita (si deci integrala

∫ t0BsdBs nu este definita ın sensul Lebesgue-Stieltjes), dar

este un proces cu variatie patratica local marginita, fapt ce conduce, conform definitieiintegralei stochastice, la aparitia termenului suplimentar 1

2t din formula anterioara. In

Sectiunea 2.4 vom obtine formula generala de integrare prin parti pentru integrala sto-chastica, numita formula Ito.

Observatia 2.2.7. Spre deosebire de integrala Lebesgue-Stieltjes, alegerea punctului in-termediar s∗i produce valori diferite ale integralei stochastice. In aceasta sectiune am con-struit integrala stochastica Ito, integrala ce corespunde alegerii punctului intermediar calimita inferioara a intervalului considerat, adica este s∗i = si. Exista si alte constructii aleintegralei stochastice, spre exemplu alegerea s∗i = si+si+1

2conduce la integrala stochastica

Stratonovich.

2.3 Extensii ale integralei stochastice

Exista cateva extensii ale integralei stochastice construite ın sectiunea anterioara, obtinuteın principal prin ınlocuirea integratorului miscare Browniana Bt (o martingala continua),printr-o martingala continua generalaMt cu variatie patratica (local) finita. Aplicatiile dinpartea a doua a cartii au ın vedere miscarea Browniana, pentru care constructia prezentataeste suficienta; din acest motiv, nu vom prezenta constructia integralei stochastice ın cazulgeneral. Pentru constructia generala a integralei stochastice Ito se poate consulta spreexemplu [Ba1], [KaSh] sau [Ok].

Prezentam ın continuare cateva definitii necesare prezentarii rezultatelor din sectiuneaurmatoare.

Un proces Mt se numeste martingala locala daca exista un sir (Sn)n∈N de timpi deoprire cu proprietatea ca Sn →∞ a.s. si (Mt∧Sn)t≥0 este o martingala de patrat integrabilpentru orice n ∈ N.

In mod similar, un proces (At)t≥0 se numeste proces cu variatie locala marginita dacaexista un sir (Sn)n∈N de timpi de oprire cu proprietatea ca Sn →∞ a.s. si (At∧Sn)t≥0 esteun proces cu variatie marginita pentru orice n ∈ N.

Numim semimartingala un proces Xt = Mt +At, unde Mt este o martingala locala iarAt este un proces cu variatie locala marginita.

Daca Xt este o martingala de patrat integrabil cu traiectorii continue, din inegalitateaJensen pentru asteptarea conditionata rezulta ca X2

t este o submartingala cu traiectoriicontinue. Conform teoremei de descompunere Doob-Meyer rezulta ca X2

t poate fi scris ınmod unic sub forma

X2t = Mt + At,

unde Mt este o martingala cu traiectorii continue, At este un proces crescator cu traiectoriicontinue cu A0 = 0, si Mt, At sunt adaptate filtratiei lui Xt.

Procesul crescator At astfel construit se numeste variatia patratica a procesului Xt,si se noteaza 〈X〉t. Din discutia de mai sus, rezulta ca acest proces poate fi caracterizatca fiind unicul proces crescator ınceput la 〈X〉0 = 0, adaptat filtratiei lui Xt, pentru careprocesul

X2t − 〈X〉t

este o martingala ın raport cu filtratia lui Xt.


2.3. EXTENSII ALE INTEGRALEI STOCHASTICE 54

Extindem notiunea de variatie patratica ın cazul a doua procese, dupa cum urmeaza:daca Xt si Yt sunt martingale de patrat integrabil cu traiectorii continue, definim variatiapatratica a lui Xt si Yt prin

〈X, Y 〉t =1

2(〈X + Y 〉t − 〈X〉t − 〈Y 〉t) ,

si observam ca aceasta definitie o generalizeaza pe cea precedenta, ın sensul ca variatiapatratica a lui Xt este data de

〈X〉t = 〈X,X〉t.

Daca Xt = Mt + At este o semimartingala (unde Mt este o martingala locala iar Ateste un proces de variatie locala marginita), definim variatia patratica a procesului Xt cafiind variatia patratica a partii sale martingale, adica

〈X〉t = 〈M〉t.

Exercitii

Exercitiul 2.3.1. Fie Bt o miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la B0 = 0. Sase arate ca

∫ t0sdBs = tBt −

∫ t0Bsds.

Exercitiul 2.3.2. Fie Bt o miscare Browniana 1-dimensionala ınceputa la B0 = 0. Sase arate ca

∫ t0B2sdBs = 1

3B3t −

∫ t0Bsds.

Exercitiul 2.3.3. Sa se arate ca daca Bt este o miscare Browniana 1-dimensionalaınceputa la B0 = 0, atunci Mt = B2

t − t este o martingala. Care este variatia patratica alui Bt?

Exercitiul 2.3.4. Sa se arate ca daca Mt este o martingala continua de patrat integrabil,atunci

n−1∑i=0

(Mti+1

−Mti

)2

converge ın probabilitate la variatia patratica 〈M〉t atunci cand norma partitiei 0 = t0 <t1 < . . . < tn = t tinde catre 0.



2.4 Formula Ito

In Exemplul 2.2.5 din Sectiunea 2.2 am calculat integrala stochastica∫ t

0BtdBt folosind

definitia. Acest mod de calcul al integralei stochastice este ınsa rareori folosit ın practica,alternativa fiind folosirea “regulilor calculului stochastic”, care ın afara proprietatilor debaza ale integralei stochastice (liniaritatea, spre exemplu) constau ın ceea ce se numesteformula Ito.

Situatia este similara cu cea a calculului integral Riemann (sau Lebesgue-Stieltjes),unde rareori o integrala se calculeaza cu ajutorul definitiei, folosindu-se ın general o for-mula cunoscuta, o schimbare de variabila convenabila sau integrarea prin parti. FormulaIto poate corespunde formulei de derivare a functiilor compuse (asa numita regula alantului) ın cazul calculului stochastic, foarte utila ın practica pentru calculul integralelorstochastice.

Prezentam ın continuare o prima varianta 1-dimensionala a formulei Ito:

Teorema 2.4.1 (Formula Ito ın cazul 1-dimensional ). Fie Xt o semimartingala cu tra-iectorii continue si f : R→ R o functie pentru care derivata de ordinul doi exista si estecontinua. Atunci cu probabilitate 1 are loc

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

f ′(Xs)dXs +1

2

∫ t

0

f ′′(Xs)d〈X〉s, t ≥ 0. (2.6)

Demonstratie. Fie Xt = Mt + At, unde Mt este o martingala locala si At un proces cuvariatie locala marginita.

Vom considera mai ıntai cazul ın care procesele |Mt|, 〈M〉t si∫ t

0|dAt| sunt marginite

de o constanta N . Deoarece f este o functie de clasa C2, fara a restrange generalitateaputem presupune ca f , f ′ si f ′′ sunt functii marginite, adica |f | , |f ′| , |f ′′| ≤ K.

Pentru t > 0 si ε > 0 arbitrar fixate, consideram o partitie aleatoare 0 = S0 ≤ S1 ≤ . . .a intervalului [0, t], unde Sn = Sn(ε, ω) sunt timpii de oprire (depinzand de ε) definiti prin

S0 = 0

Sn+1 = t ∧ inf

s > Sn :

|Ms −MSn| , 〈M〉s − 〈M〉Sn ,∫ sSn|dAu| sau s− Sn > ε

Aplicand teorema Taylor functiei f de clasa C2 pe intervalul

[XSi , XSi+1

](i = 0, 1, . . .),

obtinem

f(XSi+1) = f(XSi) + f ′(XSi)

(XSi+1

−XSi

)+ (2.7)

1

2f ′′(XSi)

(XSi+1

−XSi

)2+Ri,

si din continuitatea uniforma a functiei f ′′ rezulta ca restul Ri verifica

|Ri| ≤ r (ε) (Si+1 − Si)2 , (2.8)

cu r(ε)→ 0 pentru ε 0.Adunand relatiile obtinute pentru i = 0, 1, . . ., obtinem

f(XSn+1) = f(XS0) +n∑i=0

f ′(XSi)(XSi+1

−XSi

)+

1

2

n∑i=0

f ′′(XSi)(XSi+1

−XSi

)2+

n∑i=0

Ri.


2.4. FORMULA ITO 56

Sa observam ca deoarece toate procesele din definittia timpului de oprire Sn suntcontinue, avem Sn → t pentru n→∞, si deci pentru n→∞ obtinem:

f(Xt) = f(X0) +∞∑i=0

f ′(XSi)(XSi+1

−XSi

)+

+1

2

∞∑i=0

f ′′(XSi)(XSi+1

−XSi

)2+∞∑i=0

Ri,

relatie ce demonstreaza formula (2.6) daca aratam ca prima, a doua si a treia serie de maisus converg la

∫ t0f ′(Xs)dXs,

∫ t0f ′′(Xs)d〈X〉s si respectiv la 0 pentru ε 0.

Pentru a demonstra prima convergenta, sa observam ca

∞∑i=0

f ′(XSi)(XSi+1

−XSi

)=

∫ t

0

fε(s, ω)dXs(ω)

=

∫ t

0

f ′ε(s, ω)dMs(ω) +

∫ t

0

f ′ε(s, ω)dAs(ω),

unde fε(s, ω) =∑∞

i=0 f′(XSi(ω))1[Si(ω),Si+1(ω))(s).

Din continuitatea functiei f ′ si a procesului Xs rezulta ca fε(s, ω) → f ′(s, ω) pentruε 0, si cum toate functiile implicate sunt presupuse marginite pentru s ∈ [0, t], dinteorema convergentei dominate rezulta ca

∫ t

0

fε(s, ω)dAs →ε0

∫ t

0

f ′(s, ω)dAs. (2.9)

In mod similar avem∫ t

0(f ′(s, ω)− fn(s, ω))2 d〈M〉s → 0 pentru ε 0, si din marginirea

functiei f ′(s, ω) si a procesului 〈M〉s, folosind din nou teorema convergentei dominate,obtinem

E

∫ t

0

(f ′(s, ω)− fε(s, ω))2d〈M〉s →

ε00.

Conform definitiei integralei stochastice avem

∫ t

0

fε(s, ω)dMs →ε0

∫ t

0

f ′(s, ω)dMs, (2.10)

si combinand cu relatiile (2.9) si (2.10) obtinem

limε0

∫ t

0

fε(s, ω)dXs = limε0

∫ t

0

fn(s, ω)dMs + limε0

∫ t

0

fε(s, ω)dAs

=

∫ t

0

f ′(s, ω)dMs +

∫ t

0

f ′(s, ω)dAs

=

∫ t

0

f ′(s, ω)dXs.



Pentru a demonstra a doua convergenta, folosim reprezentarea

∞∑i=0

f ′′(XSi)(XSi+1

−XSi

)2=∞∑i=0

f ′′(XSi)(MSi+1

−MSi

)2

+ 2∞∑i=0

f ′′(XSi)(MSi+1

−MSi

) (ASi+1

− ASi)

+∞∑i=0

f ′′(XSi)(ASi+1

− ASi)2,

si observam ca din marginirea functiei f ′′ si a procesului∫ t

0|dAs| avem∣∣∣∣∣

∞∑i=0

f ′′(XSi)(MSi+1

−MSi

) (ASi+1

− ASi)∣∣∣∣∣ ≤

≤∞∑i=0

|f ′′(XSi)|∣∣MSi+1

−MSi

∣∣ ∣∣ASi+1− ASi

∣∣≤

∞∑i=0

Nε∣∣ASi+1

− ASi∣∣

= Nε∞∑i=0

∣∣ASi+1− ASi

∣∣≤ Nε

∫ t

0

|dAs| ≤ εN2 → 0,

a.s. pentru ε 0, si ın mod similar∣∣∣∣∣∞∑i=0

f ′′(XSi)(ASi+1

− ASi)2

∣∣∣∣∣ ≤ Nε∞∑i=0

∣∣ASi+1− ASi

∣∣≤ Nε

∫ t

0

|dAs|

≤ εN2 → 0,

a.s. pentru ε 0.

Ramane de aratat deci ca termenul∑∞

i=0 f′′(XSi)

(MSi+1

−MSi

)2converge la

∫ t0f ′′(Xs)d〈M〉s.

Pentru aceasta, consideram procesul nedescrescator Cεs definit prin

Cεs =

∑i:Si+1≤s

(MSi+1

−MSi

)2,

si observam ca din constructia timpilor de oprire Si avem Cεs → 〈M〉s ın probabilitate

pentru ε 0. Alegand deci un sir convenabil (εj)j∈N cu εj 0 pentru j → ∞, avem

Cεjs → 〈M〉s a.s., oricare ar fi s ∈ [0, t]. Din continuitatea functiei f ′′ si a procesului Xs,

obtinem ∫ t

0

f ′′(Xs)dCεjs →

j→∞

∫ t

0

f ′′(Xs)d〈M〉s (2.11)

Deoarece functia f ′′ este continua, ea este uniform continua pe intervalul [−2N, 2N ],si deci pentru δ > 0 fixat exista ε = ε (δ) > 0 astfel ıncat |f ′′(x)− f ′′(y)| < δ oricare ar fi


2.4. FORMULA ITO 58

x, y ∈ [−2N, 2N ] cu |x− y| < ε (δ). Din presupunerea initiala avem |Xs| = |Ms + As| ≤2N oricare ar fi s ≥ 0, si deci obtinem∣∣∣∣∣

∞∑i=0

f ′′(XSi)(MSi+1

−MSi

)2 −∫ t

0

f ′′(Xs)dCεs

∣∣∣∣∣ (2.12)

=

∣∣∣∣∣∞∑i=0

∫ Si+1

Si

f ′′(XSi)− f ′′(Xs)dCεs

∣∣∣∣∣≤ δ

∞∑i=0

∫ Si+1

Si

dCεs

= δCεt ,

oricare ar fi ε < ε (δ).Alegand ε = εj ın ınegalitatea anterioara si combinand cu (2.11), trecand la limita

dupa j →∞ obtinem

∞∑i=0

f ′′(XSi)(MSi+1

−MSi

)2 →∫ t

0

f ′′(Xs)d〈M〉s,

a.s. pentru ε = εj 0, ıngheiand astfel demonstratia celei de a doua convergente.Pentru a demonstra ultima convergenta, sa observam ca din relatia (2.8) avem

∞∑i=0

|Ri| ≤ r(ε)∞∑i=0

(XSi+1

−XSi

)2,

unde r(ε)→ 0 pentru ε 0.

Deoarece seria∑∞

i=0

(XSi+1

−XSi

)2converge la 〈M〉t < ∞ ın probabilitate pentru

ε 0, rezulta ca seria∑∞

i=0 |Ri| → 0 ın probabilitate pentru ε 0, si deci un subsirconvenabil ales converge catre 0 a.s., ıncheiand astfel demonstratia teoremei ın cazulparticular considerat.

Pentru a demonstra cazul general, consideram timpul de oprire

TN = inf

t > 0 : |Mt| > N or 〈M〉t > N or

∫ t

0

|dAs| > N

,

unde N > 0 este arbitrar fixat.Procesul XN

t = Xt∧N verifica ipoteza cazului particular al teoremei demonstrat ante-rior, si deci cu probabilitatea unu avem

f(XNt ) = f(XN

0 ) +

∫ t

0

f ′(XNs )dXN

s +1

2

∫ t

0

f ′′(XNs )d〈XN〉s, t ≥ 0,

sau echivalent

f(Xt∧N) = f(X0∧TN ) +

∫ t∧TN

0

f ′(Xs)dXs +1

2

∫ t∧TN

0

f ′′(Xs)d〈X〉s, t ≥ 0.

Pentru N →∞ avem TN →∞ a.s., si deci din relatia anterioara obtinem

f(Xt) = f(X0) +

∫ t

0

f ′(Xs)dXs +1

2

∫ t

0

f ′′(Xs)d〈X〉s, t ≥ 0,

a.s., ıncheiand astfel demonstratia.



Formula Ito 1-dimensionala din Teorema 2.4.1 se poate generaliza la cazul proceselormultidimensionale Xt, demonstratia fiind similara celei din cazul 1-dimensional.

Teorema 2.4.2 (Formula Ito generala). Fie Xt = (X1t , . . . , X

nt ) un proces n-dimensional,

unde X1t , . . . , X

nt sunt semimartingale cu traiectorii continue si f : Rn → R este o functie

avand derivate partiale de ordinul doi continue.Atunci a.s. pentru orice t ≥ 0 are loc egalitatea

f(Xt) = f(X0) +n∑i=1

∫ t

0

∂f

∂xi(Xs)dX

is +

1

2

n∑i,j=1

∫ t

0

∂2f

∂xi∂xj(Xs)d〈X i, Xj〉s.

Exercitii

Exercitiul 2.4.1. Fie Bt o miscare Browniana 1-dimensionala. Sa se foloseasca formulaIto pentru a arata ca B2

t − t este o martingala.

Exercitiul 2.4.2. Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala si fie f : Rn → R ofunctie cu derivate partiale de ordinul doi continue. Sa se arate ca a.s. are loc relatia

f(Bt) = f(B0) +

∫ t

0

∇f(Bt) · dBt +1

2

∫ t

0

∆f(Bt)dt, t ≥ 0

Exercitiul 2.4.3. Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala si fie u : Rn → R ofunctie armonica avand derivate partiale de ordinul doi continue. Sa se arate ca u(Bt)este o martingala.

Exercitiul 2.4.4. Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa la B0 = 0, sidefinim Mt = eBt−

12t

a) Sa se arate ca Mt este a local martingala;

b) Sa se calculeze 〈M〉t si sa se arate ca Mt este a martingala;

c) Sa se calculeze EeBt.

Exercitiul 2.4.5. Fie Bt o miscare Browniana n-dimensionala ınceputa la B0 = 0 sipentru n ∈ N definim

βn(t) = E (Bnt ) , t ≥ 0.

a) Sa se foloseasca formula Ito pentru a arata ca daca n ≥ 2 avem a.s.

βn(t) = n(n− 2)

∫ t

0

βn−2(s)ds, t ≥ 0;

b) Sa se calculeze E (Bnt ) pentru n = 1, 2, 3, 4.

c) Sa se foloseasca formula din partea a) pentru a arata ca

E (Bnt ) =

(2k)!k!2k

tk, n = 2k0, n = 2k + 1


Capitolul 3

Aplicatii ale proceselor stochastice

3.1 Aplicatii la rezolvarea unor ecuatii diferentiale

(formula Feynman-Kac)

Referinte bibliografice:

1. Evans, Introduction to stochastic differential equations

2. Bass, Probabilistic techniques in Analysis

3. Friedman, Stochastic differential equations and Applications

3.1.1 Ecuatii diferentiale stochastice (EDS)

Definim mai ıntai o clasa mai larga de procese stochastice (ce include ca si caz particularmiscarea Browniana), ca si solutii ale unor ecuatii diferentiale stochastice Ito (abreviateın continuare EDS), definite dupa cum urmeaza.

Consideram (Bt)t≥0 o miscare Browniana m-dimensionala fixata, si X0 o variabila alea-toare n-dimensionala, independenta de miscarea Browniana (Bt)t≥0. Consideram (Ft)t≥0

filtratia naturala generata de B si X0 (ce verifica conditiile uzuale), adica

Ft = σ (X0, Bs : 0 ≤ s ≤ t) , t ≥ 0.

Consideram T > 0 arbitrar fixat, si functii a : Rn × [0, T ] → Mn×m (R) si b : Rn ×[0, T ]→ Rm date.

Definitia 3.1.1. Numim solutie a ecuatiei diferentiale stochastice Ito

Xt = X0 +

∫ t

0

a (Xs, s) · dBs +

∫ t

0

b (Xs, s) ds (3.1)

pentru t ∈ [0, T ], un proces stochastic n-dimensional (Xt)0≤t≤T cu proprietatile:

i) Xt este (progresiv) masurabil ın raport cu filtratia Ft, 0 ≤ t ≤ T

ii) b (Xs, s) ∈ L1m ([0, T ])

iii) a (Xs, s) ∈ L2n×m ([0, T ])

60

CAPITOLUL 3. APLICATII ALE PROCESELOR STOCHASTICE 61

ce verifica ecuatia (3.1) a.s. pentru orice t ∈ [0, T ].

Observatia 3.1.2. Daca X este o solutie a ecuatiei diferentiale stochastice anterioare,din proprietatile integralei stochastice si a integralei Lebesgue-Stieltjes, rezulta ca X esteaproape sigur un proces cu traiectorii continue.

Exemplul 3.1.3. Considerand ın definitia anterioara m = n = 1 , b ≡ 0, a (Xs, s) =Xsf (s), cu f : [0, T ]→ R functie data, si X0 ≡ 1, obtinem EDS

Xt = 1 +

∫ t

0

f (s)XsdBs.

In acest caz, folosind formula Ito putem verifica faptul ca

Xt = e∫ t0 f(s)dBs− 1

2

∫ t0 f

2(s)ds, 0 ≤ t ≤ T,

este solutie a ecuatiei date.Intr-adevar, notand Yt =

∫ t0f (s) dBs − 1

2

∫ t0f 2 (s) ds, Yt este o semimartingala cu

variatie patratica 〈Y 〉t =∫ t

0f 2 (s) ds. Aplicand formula Ito functiei u (x) = ex si proce-

sului Y , obtinem

u (Yt) = u (Y0) +

∫ t

0

u′ (Ys) dYs +1

2

∫ t

0

u′′ (Ys) d〈Y 〉s

sau echivalent

eYt = 1 +

∫ t

0

eYs(f (s) dBs −

1

2f 2 (s) ds

)+

1

2

∫ t

0

eYsf 2 (s) ds

= 1 +

∫ t

0

f (s) eYsdBs,

si deci Xt = eYt este solutie a ecuatiei diferentiale stochastice date.Se poate demonstra ca solutia gasita este si singura solutie a ecuatiei date (are loc

unicitatea solutiei pentru EDS data).

Exemplul 3.1.4. Similar, solutia ecuatiei diferentiale stochastice

Xt = X0 +

∫ t

0

f (s)XsdBs +

∫ t

0

g (s)Xsds

cu f, g : [0, T ]→ R este data de

Xt = X0e∫ t0 f(s)dBs− 1

2

∫ t0 f

2(s)ds+∫ t0 g(s)ds.

Exemplul 3.1.5 (Miscarea Browniana geometrica). Un caz particular al exemplului an-terior este cazul f (x) ≡ σ si g (x) ≡ µ pentru doua constante σ si µ date. In acest cazobtinem ecuatia diferentiala stochastica

Xt = X0 +

∫ t

0

σXsdBs +

∫ t

0

µXsds, (3.2)

cu solutia

Xt = X0eσBt+(µ− 1

2σ2)t. (3.3)

Dupa cum vom vedea, ecuatia (3.2) modeleaza evolutia Xt a pretului stocului la mo-mentul de timp t ≥ 0 (σ se numeste volatilitatea stocului, iar µ se numeste coeficientul dedrift al stocului), iar solutia (3.3) a acesteia se numeste miscare Browniana geometrica.


3.1. APLICATII LA REZOLVAREA UNOR ECUATII DIFERENTIALE (FORMULAFEYNMAN-KAC) 62

Similar ecuatiilor diferentiale obisnuite, folosind metoda iteratiilor succesive si lemaGronwall se pot demonstra rezultate de existenta si unicitate a ecuatiilor diferentialestochastice. Are loc urmatoarea.

Teorema 3.1.6 (Teorema de Existenta si Unicitate pentru EDS). Sa presupunem cafunctiile a : Rn × [0, T ]→Mn×m (R) si b : Rn × [0, T ]→ Rn sunt continue si verifica

||a (x, t)− a (y, t)|| ≤ L ||x− y||||b (x, t)− b (y, t)|| ≤ L ||x− y|| , oricare ar fi x, y ∈ Rn, t ∈ [0, T ]

si||a (x, t)|| ≤ L (1 + ||x||)||b (x, t)|| ≤ L (1 + ||x||) , oricare ar fi x ∈ Rn, t ∈ [0, T ]

pentru o anumita constanta L.Atunci pentru orice variabila aleatoare n-dimensionala X0 independenta de miscarea

Browniana m-dimensionala B, ce verifica E (X20 ) < ∞, exista o solutie X ∈ L2

n (0, T ) aecuatiei

Xt = X0 +

∫ t

0

a (Xs, s) · dBs +

∫ t

0

b (Xs, s) ds (3.4)

si ın plus aceasta este unica traiectorial, adica daca X, X sunt doua solutii ale ecuatiei(3.4) cu traiectorii continue, atunci

P(Xt = Xt oricare ar fi t ∈ [0, T ]

)= 1.

Demonstratie. A se vedea spre exemplu [Evans, pp. 90 - 94).

3.1.2 Timpi de oprire

Consideram un spatiu de probabilititate (Ω,F , P ) fixat si (Ft)t≥0 o filtratie ce verificaconditiile uzuale (continua la dreapta, contine toate multimile P -neglijabile).

Reamintim ca am definit un timp de oprire ın raport cu filtratia (Ft)t≥0 ca fiind ovariabila aleatoare τ : Ω→ T ∪ ∞ cu proprietatea

τ ≤ t = ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t ∈ Ft, ∀t ≥ 0. (3.5)

Am aratat ca daca τ este un timp de oprire, atunci evenimentele τ < t = ω ∈ Ω :τ(ω) < t ∈ Ft, si deci si τ = t = ω ∈ Ω : τ(ω) = t ∈ Ft, oricare ar fi t ≥ 0.

De asemenea, am aratat ca pentru orice t0 ≥ 0 fixat, τ ≡ t0 este un timp de oprire, sidaca τ 1,2 sunt timpi de oprire, atunci

τ 1 ∧ τ 2 = min τ 1, τ 2 si τ 1 ∨ τ 2 = max τ 1, τ 2 (3.6)

sunt de asemenea timpi de oprire.Un exemplu important de timp de oprire este cel al (primei) atingeri a unei multimi

de catre un proces stochastic (spre exemplu de catre miscarea Browniana).

Teorema 3.1.7. Fie ∅ 6= D ⊂ Rn o multime nevida, ınchisa sau deschisa. Daca Xeste solutie a EDS (3.1) si a, b, si X0 verifica conditiile teoremei de existenta si unicitate(Teorema 3.1.6), atunci timpul de intrare a lui X ın multimea D, definit prin

τD = inf t ≥ 0 : Xt ∈ D ,

este un timp de oprire.



Demonstratie. Fie tii≥1 o multime numarabila densa ın [0,∞).Sa presupunem mai ıntai ca D este o multime deschisa. Este usor de observat ca

τD ≤ t = ∪ti≤t Xti ∈ D ,

si cum Xti ∈ D ∈ Fti ⊂ Ft oricare ar fi ti ≤ t, obtinem τD ≤ t ∈ Ft oricare ar fit ≥ 0, si deci τD este un timp de oprire daca D este multime deschisa.

Daca D este multime ınchisa, consideram multimile deschise Dn definite prin

Dn =

x ∈ Rn : dist (x,D) <

1

n

, n ≥ 1.

Este usor de verificat ca are loc relatia

τD ≤ t = ∩∞n=1 ∪ti≤t Xti ∈ Dn ,

si cum Xti ∈ Dn ∈ Fti ⊂ Ft oricare ar fi ti ≤ t, obtinem si ın acest caz ca τD este untimp de oprire.

Observatia 3.1.8. In general, pentru o multime D ⊂ Rn data, variabila aleatoare

τ = sup t ≥ 0 : Xt ∈ D

reprezentand ultima vizita a procesului X ın multimea D nu este ın general un timpde oprire (motivul intuitiv este ca evenimentul τ ≤ t depinde nu numai de informatiapana la momentul t, ci si de evolutia de dupa acest timp a procesului, si deci nu este omultime Ft-masurabila.

3.1.3 Integrale stochastice si timpi de oprire

Sa consideram f ∈ L2 (0, T ), B o miscare Browniana 1-dimensionala, si τ un timp deoprire ın raport cu filtratia naturala a miscarii Browniene ce verifica a.s. 0 ≤ τ ≤ T .Definim integrala stochastica

∫ t0f (s) dBs oprita la timpul de oprire τ ca fiind∫ τ

0

f (s) dBs =

∫ T

0

1s≤τf (s) dBs. (3.7)

Are loc urmatoarea.

Lema 3.1.9. Daca f ∈ L2 (0, T ) si 0 ≤ τ ≤ T este un timp de oprire marginit de T ,atunci

E

(∫ τ

0

f (s) dBs

)= 0 (3.8)

si

E

((∫ τ

0

f (s) dBs

)2)

= E

(∫ τ

0

f 2 (s) ds

). (3.9)

Demonstratie. Cum f (·) ∈ L2 (0, T ) rezulta ca si 1·≤τf (·) ∈ L2 (0, T ), si din definitiaintegralei stochastice rezulta ca

Mt =

∫ t

0

1s≤τf (s) dBs, 0 ≤ t ≤ T,



este o martingala. In particular, folosind definitia integralei stochastice oprita la timpulde oprire τ , obtinem

E

∫ τ

0

f (s) dBs = E

∫ T

0

1s≤τf (s) dBs = EMT = EM0 = 0.

Tot din constructia integralei stochastice (formula de izometrie) avem

E

((∫ τ

0

f (s) dBs

)2)

= E

((∫ T

0

1s≤τf (s) dBs

)2)

= E

(∫ T

0

(1s≤τf (s))2 ds

)= E

(∫ T

0

1s≤τf2 (s) ds

)= E

(∫ τ

0

f 2 (s) ds

).

Observatia 3.1.10. Lema anterioara se poate usor generaliza la cazul unei miscari Brow-niene m-dimensionale.

Sa consideram acum o miscare Browniana m-dimensionala Bt = (B1t , . . . , B

mt ), o

functie u = u (x, t) = u (x1, . . . , xn, t) de clasa C2 (Rn × [0, T ]) si X o solutie a EDS

Xt = X0 +

∫ t

0

a (Xs, s) dBs +

∫ t

0

b (Xs, s) ds, (3.10)

pentru care sunt verificate ipotezele Teoremei 3.1.6 (a = (aij)1≤i≤n,1≤j≤m si b = (bi)1≤i≤n).Aplicand formula Ito functiei u si procesului X, obtinem

u (Xt, t)− u (X0, 0) =

=

∫ t

0

∂u

∂t(Xs, s) ds+

n∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs, s) dX

is +

1

2

n∑i,j=1

∫ t

0

∂2u

∂xi∂xj(Xs, s) d〈X i, Xj〉s

=

∫ t

0

(∂u

∂t+

1

2

n∑i,j=1

m∑k=1

∂2u

∂xi∂xjaikajk

)(Xs, s) ds+

n∑i=1

m∑k=1

∫ t

0

(∂u

∂xiaik

)(Xs, s) dB

ks

=

∫ t

0

(∂u

∂t+ Lu

)(Xs, s) ds+

∫ t

0

∇u · a dBs,

unde am notat

Lu =1

2

n∑i,j=1

aij∂2u

∂xi∂xj+

n∑i=1

bi∂u

∂xi,

aij =m∑k=1

aikajk,

si

∇u · a dBs =m∑k=1

(n∑i=1

aik∂u

∂xi

)dBk

s .



Egalitatea anterioara are loc aproape sigur pentru orice traiectorie si orice 0 ≤ t ≤ T .Fixand o traiectorie ω ∈ Ω si ınlocuind t prin τ = τ (ω), obtinem

u (Xτ , τ)− u (X0, 0) =

∫ τ

0

(∂u

∂t+ Lu

)(Xs, s) ds+

∫ τ

0

∇u · b dBs.

Trecand la medie, si folosind lema anterioara obtinem

Eu (Xτ , τ)− Eu (X0, 0) = E

∫ τ

0

(∂u

∂t+ Lu

)(Xs, s) ds.

Asa cum vom vedea, aceasta relatie va permite rezolvarea probabilista a anumitorecuatii diferentiale.

3.1.4 Aplicatii la rezolvarea probabilista a unor ecuatii cu deri-vate partiale

Consideram D ⊂ Rn un domeniu marginit si avand frontiera suficient de neteda.

Teorema 3.1.11. Solutia ecuatiei12∆u = −1 ın Du = 0 pe ∂D

este data deu (x) = E (τx) , x ∈ D,

unde τx = inf t ≥ 0 : Xt ∈ ∂D este timpul de atingere a frontierei de catre miscareaBrowniana Xt = x+Bt ınceputa la x ∈ D.

Mai general, se poate demonstra urmatoarea.

Teorema 3.1.12 (Formula Feynman-Kac). Consideram un domeniu marginit D ⊂ Rn

cu frontiera neteda si c, f : D → R functii suficient de regulate, cu c ≥ 0 ın D, pentrucare problema

−12∆u+ cu = f ın D

u = 0 pe ∂D(3.11)

are solutie unica.In aceste ipoteze, solutia problemei anterioare este data de

u (x) = E

(∫ τx

0

f (Xt) e−∫ t0 c(Xs)dsdt

), x ∈ D,


Demonstratie. Considerand Z procesul definit de

Zt = −∫ t

0

c (Xs) ds, t ≥ 0,



avemdZt = −c (Xt) dt,

si aplicand formula Ito procesului Z si functiei ex, obtinem

Yt = eZt = 1 +

∫ t

0

eZsdZs = 1−∫ t

0

c (Xs)Ysds.

Aplicand din nou formula Ito functiei (x, y) ∈ Rn × R 7→ u (x) y ∈ R si proceselorXt = x+Bt si Yt, obtinem

u (Xt)Yt − u (X0)Y0 =

=

∫ t

0

u (Xs) dYs +n∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs)YsdB

is +

1

2

n∑i,j=1

∫ t

0

∂2u

∂xi∂xj(Xs)Ysd〈Bi, Bj〉s

= −∫ t

0

c (Xs)u (Xs)Ysds+n∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs)YsdB

is +

1

2

n∑i,j=1

∫ t

0

∂2u

∂xi∂xj(Xs)Ysδijds

= −∫ t

0

c (Xs)u (Xs)Ysds+n∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs)YsdB

is +

1

2

∫ t

0

∆u (Xs)Ysds

= −∫ t

0

(−1

2∆u (Xs) + c (Xs)u (Xs)

)Ysds+

n∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs)YsdB

is.

Inlocuind t prin τx (timp de oprire a.s. finit cu Eτx <∞, deoarece D este un domeniumarginit), si aplicand teorema Doob a timpului de oprire, obtinem

E (u (Xτx)Yτx)− u (x) = −E∫ t

0

(−1

2∆ (Xs) + c (Xs)u (Xs)

)Ysds

+En∑i=1

∫ t

0

∂u

∂xi(Xs)YsdB

is

= −E∫ t

0

f (Xs) e−∫ t0 c(Xs)dsds,

deoarece u este o solutie a ecuatiei (3.11). De asemenea, cum u|∂D = 0 si Xτx ∈ ∂D,avem u (Xτx) = 0, si din egalitatea anterioara obtinem

u (x) = E

∫ t

0

f (Xs) e−∫ t0 c(Xs)dsds,


Teorema 3.1.13. Solutia ecuatiei12∆u = 0 ın Du = g pe ∂U

unde g : ∂D → R este o functie continua este data de

u (x) = E (g (Xτx)) , x ∈ D,




Teorema 3.1.14. Solutia ecuatiei12∆u = 0 ın D

u = 1 pe Γ1 ⊂ ∂Uu = 0 pe Γ2 = ∂U − Γ1

unde esteu (x) = E (g (Xτx)) , x ∈ D,

unde g = 1 pe Γ1 si g = 0 pe Γ2, iar τx = inf t ≥ 0 : Xt ∈ ∂D este timpul de atingere afrontierei de catre miscarea Browniana Xt = x+Bt ınceputa la x ∈ D.


3.2. APLICATII IN FINANTE (FORMULA BLACK-SCHOLES) 68

3.2 Aplicatii in finante (formula Black-Scholes)

3.2.1 Modele de crestere (investitii bancare, cresterea populatiei,etc)

Unul din cele mai simple modele de crestere este cel al cresterii exponentiale. In acestmodel, notand cu Pt cantitatea de interes la momentul t ≥ 0, presupunem ca rata deschimbare a lui Pt, adica dPt

dt, este proportionala cu cantitatea prezenta Pt. Notand cu r

constanta de proportionalitate, aceasta revine la

dPtdt

= rPt. (3.12)

Ecuatia anterioara este un exemplu simplu de ecuatie diferentiala cu variabile separa-bile. Separand variabilele, obtinem

dPtPt

= rdt,

de unde prin integrare obtinem

ln |Pt| = rt+ C,

sau echivalent

Pt = ert+C . (3.13)

Pentru a determina constanta de integrare C, folosim conditia initiala (presupunemca valoarea initiala P0 a cantitatii de interes este cunoscuta), obtinand P0 = eC . Solutiaecuatiei (3.12) este deci

Pt = P0ert, t ≥ 0,

fapt ce justifica numele modelului (ın acest model cantitatea studiata are o crestereexponentiala).

Sa observam ca desi modelul anterior este util ın studiul unei populatii (de pesti,iepuri, etc) pentru valori mici sau moderate ale lui t ≥ 0, pentru valori mari ale lui tmodelul nu este fezabil, deoarece limt→∞ Pt = ∞ pentru r > 0. Acest lucru nu este ınsaposibil, deoarece din considerente de mediu (spatiu, hrana, etc) nu putem avea o populatieinfinita.

O varianta a modelului exponential de crestere (3.12) este asa numitul model logisticde crestere al populatiei, ın care presupunem ca populatia verifica urmatoarea ecuatiediferentiala

dPtdt

= rPt (K − Pt) . (3.14)

Valoarea K este o constanta (numita si capacitate maxima), si se observa ca dacaPt ∈ (0, K) atunci rata de crestere dPt

dt> 0 este pozitiva, si este negativa (sau zero) ın

caz contrar. Aceasta modificare a modelului face ca valoarea populatiei sa nu mai tindaspre infinit atunci cand t→∞, si este mai adecvata ca si model de crestere a populatieipentru valori mari ale lui t. Si ın acest caz ecuatia anterioara este o ecuatie cu variabileseparabile ce poate fi rezolvata explicit:

1

Pt (K − Pt)dPt = rdt⇔

(1

Pt+

1

K − Pt

)dPt = Krdt,



de unde prin integrare se obtine

ln

∣∣∣∣ PtK − Pt

∣∣∣∣ = Krt+ C,

de unde se obtinePt

K − Pt= eKrt+C ⇔ Pt =

K

1 + e−Krt−C,

si folosind conditia initiala obtinem

Pt =K

1 +(KP0− 1)e−Krt

, t ≥ 0.

Graficul catorva solutii generice (pentru diverse valori P0 ale populatiei initiale) esteindicat ın Figura ???.

Un alt model de crestere este cel al banilor depusi la banca. In general, bancile oferao dobanda anuala de r% din suma initial depusa P0, si calculeaza dobanda lunar. Notandcu Pt valoarea contului dupa t ani, avem

Pt = P0

(1 +

r

12

)12t

.

Daca banca ar calcula dobanda zilnic, valoarea contului dupa n ani ar fi

Pt = P0

(1 +

r

365

)365t

,

ceea ce este mult mai convenabil! (comparati cele doua valori anterioare pentru o anumitavaloare a lui r, spre exemplu r = 0.04 si t = 1 an).

Ce s-ar ıntampla daca am putea convinge banca sa calculeze dobanda mult mai des,spre exemplu ın fiecare ora, ın fiecare minut, sau ın fiecare secunda? Intrebarea revine laa determina ce se ıntampla cu valoarea din banca

Pt = P0

(1 +

r

N

)Ntpentru N →∞. Nu este greu de observat ca pentru N →∞ limita cantitatii de mai suseste

Pt = limN→∞

P0

((1 +

r

N

)Nr

)rt= P0e

rt, (3.15)

si deci obtinem din nou modelul (3.12) de crestere exponentiala. Acest model de dobandabancara se numeste model cu dobanda calculata ın timp continuu (continuous compoun-ded interest).

Modelele prezentate anterior sunt modele deterministe, ce nu iau ın vedere factoriialeatori. In cele ce urmeaza vom fi ınsa interesati ın modele probabiliste, spre exempluın modelarea pretului unui anumit stoc, care este o variabila aleatoare (nu este o cantitatedeterminista, ın sensul ca nu putem determina o anumita formula pentru a prevedea cuexactitate pretul la un moment de timp viitor).

Modificam asadar ecuatia (3.12) de crestere exponentiala prin includerea unui fac-tor aleator, reprezentat de o miscare Browniana 1-dimensionala Bt ınceputa la B0 = 0.



Notand cu St valoarea unei unitati de stoc la momentul de timp t ≥ 0, consideram ecuatiadiferentiala stochastica

dSt = µStdt+ σStdBt, t ≥ 0, (3.16)

ın care µ si σ sunt anumite constante ce depind de stocul considerat (σ se numestevolatilitatea stocului, iar µ este valoarea medie a exponentialei stocului).

Pentru a rezolva ecuatia anterioara, aplicam formula Ito procesului St si functieif (x) = lnx, si obtinem

d (lnSt) =1

StdSt +

1

2

(− 1

S2t

)d〈S〉t.

Inlocuind ın ecuatia anterioara diferentiala dSt prin valoarea din (3.16), si diferentialavariatiei patratice d〈S〉t prin σ2d〈B〉t = σ2dt (deoarece stocul St este dat de (3.16),variatia sa patratica este egala cu variatia integralei stochastice

∫ t0σStdBt, care conform

constructiei este∫ t

0σ2S2

t d〈B〉t =∫ t

0σ2S2

t dt), si obtinem:

d (lnSt) =1

St(µStdt+ σStdBt)−

1

2

1

S2t

σ2S2t dt

= µdt+ σdBt −1

2σ2dt

=

(µ− σ2

2

)dt+ σdBt,

sau echivalent ın forma integrala

lnSt = lnS0 +

∫ t

0

(µ− σ2

2

)ds+

∫ t

0

σdBs

= lnS0 +

(µ− σ2

2

)s

∣∣∣∣s=ts=0

+ σBs|s=ts=0

= lnS0 +

(µ− σ2

2

)t+ σBt.

Obtinem deci ca procesul St este dat explicit de formula

St = S0e

(µ−σ

2

2

)t+σBt , t ≥ 0, (3.17)

si numim acest proces miscare Browniana geometrica cu parametrii µ si σ.

Sa observam ca pentru valori apropiate de zero ale volatilitatii σ, procesul St se com-porta aproximativ determinist (poate fi aproximat de un model de crestere exponentialcu r = µ), dar are ınglobat factorul aleator reprezentat de miscarea Browniana Bt. Pen-tru valori mai mari ale volatilitatii σ, influenta factorului aleator Bt este mai mare, siaceasta se traduce printr-un stoc mai imprevizibil (ce poate avea cresteri/scaderi multmai mari sau mai bruste). In toate cazurile ınsa (pentru orice valori ale parametrilor µsi σ), miscarea Browniana geometrica St are valori ne-negative, asa cum se poate observadirect din formula (3.17).



3.2.2 Formula Black-Merton-Scholes

O optiune Europeana de cumparare de actiuni (European call option) este uncontract ce da dreptul cumparatorului de a cumpara actiuni de stoc (pentru simplitatepresupunem ca este vorba de o singura actiune), la o anumita data fixata numita matu-ritatea T a contractului, pentru un anumit pret fixat K (strike price).

Daca la maturitate T a contractului pretul stocului este sub valoarea K, evidentcumparatorul optiunii nu ısi va exercita dreptul (contractul da dreptul, nu obligatia de acumpara actiuni!), deoarece el poate cumpara actiuni la un pret mai mic decıt K de pepiata libera, fara a apela la contract. Daca ınsa la maturitatea T a contractului pretulstocului este K + a > K, cumparatorul optiunii ısi va exercita dreptul, si va cumpara oactiune la pretul K conform contractului, pe care o va putea vinde imediat pentru K + alei pe piata libera, obtinand astfel un castig de (K + a)−K = a lei!

Castigul cumparatorului ın ambele situatii poate fi descris de formula

|ST −K|+ = max ST −K, 0 ,

numita valoarea contractului, ın care St reprezinta valoarea unei actiuni de stoc la mo-mentul t ≥ 0 (ST este deci pretul stocului la maturitatea T a contractului).

Black-Merton-Scholes au ıncercat1 sa raspunda la urmatoarea ıntrebare: care ar trebuisa fie pretul “corect” de vanzare al unei optiuni de stoc?

Anterior cercetarilor lor, brokerii au ıncercat sa determine (empiric) probabilitatile va-lorii stocului ST la maturitatea contractului, si sa stabileasca pretul optiunii de cumpararefolosind aceste valori (suma de valori ınmultite cu probabilitati), o metoda empirica, faraun fundament matematic (si cu posibilitatea de ruinare a bankerilor!).

In schimb, asa cum vom vedea, formula Black-Scholes stabileste matematic o formulaexacta de calcul a optiunii de cumarare, ın functie de valorile anumitor parametrii cedepind de stocul considerat (modul de calcul al acestor parametrii este si ın prezent oproblema de cercetare).

Pentru a simplifica problema, consideram ca: pretul St al stocului este dat de o miscareBrowniana geometrica cu parametrii µ si σ (ecuatia (3.16) cu solutia data de (3.17)), sipresupunem ca putem depozita bani ın banca la rata fixa r calculata ın timp continuu,pentru orice interval de timp (dobanda bancara este modelata de ecuatia (3.12). Maipresupunem ca brokerul, banca si pentru cumpararea/vanzarea de actiuni nu se percepcomisioane suplimentare.

Ideea principala ın modelul Black-Scholes este ca pretul unei optiuni de cumparare(pentru o maturitate T si un pret K fixat) este o functie determinista V (s, t) ce depindenumai de momentul t al vanzarii optiunii si de pretul St = s al stocului la momentul detimp t (a se vedea Figura 3.2.1).

Pentru a determina functia V , vom ıncerca sa determinam o strategie pentru broker, ceıi va permite (fara a-si asuma nici un risc, adica fara pierderi sau castiguri suplimentare)sa-si stabileasca un portofoliu (o combinatie de actiuni si bani depozitati ın banca), acarui valoare Xt la momentul de timp t este exact egala cu pretul V (t, St) al optiunii lamomentul respectiv, oricare ar fi 0 ≤ t ≤ T .

In particular, XT = V (T, ST ), si deci la maturitatea contractului brokerul va aveaexact suma necesara pentru a ındeplini cerintele contractului.

1Si au reusit, motiv pentru care Merton si Scholes au primit premiul Nobel pentru Economie ın 1997,Black decedand ın 1995.



Figura 3.2.1: Pretul V (s, t) al optiunii de cumparare depinde numai de momentul t alvanzarii si de pretul stocului s = St la momentul respectiv.

Sa prespunem ca brokerul ıncepe cu o anumita suma de bani X0 (care este de fapt sumape care o primeste de la cumparatorul optiunii), pe care o investeste ın doua instrumentefinanciare: actiuni si bani depozitati ın banca.

Sa presupunem ca la momentul de timp t ∈ [0, T ], brokerul are ın portofoliu ∆t actiuni,iar restul de bani, adica Xt−∆tSt ıi depune la banca. Ecuatia diferentiala pentru Xt este

dXt = ∆tdSt + r (Xt −∆tSt) dt, (3.18)

si semnifica faptul ca schimbarea dXt a valorii portofoliului este datorata schimbarii dSta valorii stocului (ınmultita cu numarul de actiuni detinute), plus dobanda acumulatapentru banii depusi ın banca.

Sa observam ca Xt si V (t, St) sunt valori monetare la momentul t din viitor. Acestevalori corespund ın prezent (la momentul de timp 0) valorilor e−rtXt si e−rtV (t, St). Vomobtine ecuatia Black-Scholes impunand conditia ca cele doua valori sa fie egale la oricemoment de timp, adica e−rtXt = e−rtV (t, St) pentru orice t ∈ [0, T ], si deci si diferentialelelor vor fi egale:

d(e−rtXt

)= d

(e−rtV (t, St)

).

Pentru a calcula diferentiala d (e−rtXt), aplicam formula Ito procesului Xt si functieif (t, x) = e−rtx. Avem

∂f

∂t(t, x) = −re−rtx, ∂f

∂x(t, x) = e−rt,

∂f

∂x2(t, x) = 0,

si deci obtinem

d(e−rtXt

)= −re−rtXtdt+ e−rtdXt +

1

20 · d〈X〉t = −re−rtdt+ e−rtdXt

(restul termeniilor ce contin derivatele de ordin doi ale lui f sunt nuli deoarece covariatiilecorespunzatoare sunt nule).

Folosind ecuatia (3.18) a portofoliului, obtinem

d(e−rtXt

)= −re−rtXtdt+ e−rt (∆tdSt + r (Xt −∆tSt) dt)

= ∆te−rt (dSt − rStdt) .

Folosind ın continuare ecuatia (3.16) a stocului, obtinem

d(e−rtXt

)= ∆te

−rt (µStdt+ σStdBt − rStdt)= (µ− r) ∆te

−rtStdt+ σe−rt∆tStdBt. (3.19)



Pentru a calcula diferentiala d (e−rtV (t, St)), aplicam formula Ito procesului St sifunctiei f (t, x) = e−rtV (t, x). Avem

∂f

∂t(t, x) = −re−rtV (t, x) + e−rt

∂V

∂t(t, x) ,

∂f

∂x(t, x) = e−rt

∂V

∂x(t, x) ,

∂f

∂x2(t, x) = e−rt

∂2V

∂x2(t, x) ,

si deci obtinem

d(e−rtV (t, St)

)=

(−re−rtV (t, St) + e−rt

∂V

∂t(t, St)

)dt+ e−rt

∂V

∂x(t, St) dSt

+1

2e−rt

∂2V

∂x2(t, St) d〈S〉t.

Folosind din nou ecuatia (3.16), obtinem echivalent

d(e−rtV (t, St)

)=

(−re−rtV (t, St) + e−rt

∂V

∂t(t, St)

)dt (3.20)

+e−rt∂V

∂x(t, St) (µStdt+ σStdBt) +

1

2e−rt

∂2V

∂x2(t, St)σ

2S2t dt

= e−rt(−rV (t, St) +

∂V

∂t(t, St) + µSt

∂V

∂x(t, St) +

1

2σ2∂

2V

∂x2(t, St)

)dt

+e−rtσSt∂V

∂x(t, St) dBt.

Egaland integralele stochastice (ın raport cu dBt) si integrale Riemann (ın raport cudt) din (3.19) si (3.20), obtinem sistemul

(µ− r) ∆te−rtSt = e−rt

(−rV (t, St) + ∂V

∂t(t, St) + µSt

∂V∂x

(t, St) + 12σ2 ∂2V

∂x2(t, St)

)σe−rt∆tSt = e−rtσSt

∂V∂x

(t, St),

sau dupa simplificare(µ− r) ∆tSt = −rV (t, St) + ∂V

∂t(t, St) + rSt

∂V∂x

(t, St) + 12σ2 ∂2V

∂x2(t, St)

∆t = ∂V∂x

(t, St).

Cea de a doua relatie din sistem arata cum trebuie sa procedeze brokerul pentru caportofoliul sau sa aibe o valoare egala la orice moment de timp cu valoarea optiunii:

∆t =∂V

∂x(t, St) . (3.21)

Pentru a determina functia V , ınlocuim valoarea lui ∆t ın prima ecuatie din sistem,pentru a obtine

(µ− r)St∂V

∂x(t, St) = −rV (t, St) +

∂V

∂t(t, St) + µSt

∂V

∂x(t, St) +

1

2σ2∂

2V

∂x2(t, St) ,

sau echivalent

∂V

∂t(t, St) +

1

2σ2∂

2V

∂x2(t, St) + rSt

∂V

∂x(t, St)− rV (t, St) = 0.



Sa observam ca pentru ca aceasta ecuatie sa fie adevarata pentru orice valoare s = Sta stocului St, este suficient ca functia V = V (t, s) sa verifice ecuatia determinista

∂V

∂t(t, s) +

1

2σ2∂

2V

∂x2(t, s) + rSt

∂V

∂x(t, s)− rV (t, s) = 0, (3.22)

ce reprezinta ecuatia Black-Scholes.Rezolvand aceasta ecuatie diferentiala ımpreuna cu conditia terminala V (T, s) =

|s−K|+ se obtine formula Black-Scholes pentru pretul unei optiuni Europene cu ma-turitate T si pret de vanzare K

V (t, s) = sΦ (d1)−Ke−r(T−t)Φ (d2) , 0 ≤ t ≤ T , s > 0, (3.23)

unde

d1 =ln s

K+(r + 1

2σ2)

(T − t)σ√T − t

si d2 =ln s

K+(r − 1

2σ2)

(T − t)σ√T − t

,

iar

Φ (x) =1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy

este functia de distributie normala standard.Pentru a rezolva ecuatia Black-Scholes, se efectueaza transformari convenabile (de

variabila si de functie), ce reduc ecuatia Black-Scholes la ecuatia diferentiala a caldurii,pentru care solutia este cunoscuta.

Exercitiul 3.2.1. a) Sa se efectueze schimbarea de variabile

x = lns

K

τ =σ2

2(T − t)

si sa se arate ca functia u (τ , x) = 1KV (t, s) verifica ecuatia diferentiala

∂u

∂τ=∂2u

∂x2+ (k − 1)

∂u

∂x− ku,

unde k = 2rσ2 .

b) Sa se determine constantele convenabile α, β ∈ R pentru care functia u (τ , x) =eαx+βτu (τ , x) verifica ecuatia caldurii

∂u

∂τ=∂2u

∂x2

cu conditia initiala u (0, x) = u0 (x) =∣∣∣e k+1

2x − e k−1

2x∣∣∣.

c) Folosind faptul ca solutia ecuatiei anterioare a ecuatiei caldurii este data de

u (t, x) = Exu0 (B2t) =

∫ ∞−∞

u0 (y)1√4πt

e−(y−x)2

4t dy,

sa se deduca solutia V (s, t) a ecuatiei Black-Scholes data de formula (3.23).


Bibliografie

[Ah] L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, third edition (1978).

[Ba] C. Bandle, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman, London (1980).

[BaBu] R. Banuelos and K. Burdzy, On the ”Hot Spots” conjecture of J. Rauch, J. ofFunct. Ann. 164 (1999), pp. 1 – 33.

[Ba1] R. F. Bass, Probabilistic Techniques in Analysis, Springer, New York (1995).

[Ba2] R. F. Bass, Diffusions and Elliptic Operators, Springer, New York (1998).

[BaBu1] R. F. Bass and K. Burdzy, Fiber Brownian motion and the “hot spots” problem,Duke Math. J. 105 (2000), pp. 25 – 58.

[BaHs1] R. F. Bass and E. P. Hsu, Some potential theory for reflecting Brownian motionin Holder and Lipschitz domains, Ann. Probab. 19 (1991), pp. 486 – 508.

[BaHs2] R. F. Bass and E. P. Hsu, Pathwise uniqueness for reflecting Brownian motion inEuclidean domains, Probab. Theory Related Fields 117 (2000), pp. 183 – 200.

[BuKe] K. Burdzy and W. Kendall, Efficient Markovian couplings: Examples and coun-terexamples, Ann. Appl. Probab. 10 (2000), No. 2, pp. 362 – 409.

[BuWe] K. Burdzy and W. Werner, A counterexample to the ”hot spots” conjecture,Ann. of Math. 149 (1999), No. 1, pp. 309 – 317.

[Ch] I. Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, Orlando(1984).

[Do] W. Doeblin, Expose de la theorie des chaınes simples constants de Markoff a unnombre fini d’etats, Revue Math. de l’Union Interbalkanique 2 (1938), pp. 77 –105.

[Li1] T. Lindvall, W. Doeblin 1915 – 1940, The Annals of Probability 19 (1991), No.3, pp. 929 – 934,

[Li2] T. Lindvall, Lectures on the Coupling Method, Mineola, NY, Dover Publications(1992).

[Du] P. L. Duren, Univalent Functions, New York, Springer (1983).

[Du] R. Durrett, Brownian motion and Martingales in Analysis, Wadsworth, Belmont,CA (1984).

75

BIBLIOGRAFIE 76

[Go] G. M. Goluzin, Geometric theory of functions of a complex variable, Trans. ofMath. Monographs, Vol. 26, American Mathematical Society (1969).

[Ho] H. Hochstadt, Integral equations, New York, Wiley (1973).

[ItKe] K. Ito and H. P. McKean, Diffusion processes and Their Sample Paths, Springer-Verlag, New York, second edition (1974).

[JeNa] D. Jerison and N. S. Nadirashvili, The ”hot spots” conjecture for domains withtwo axes of symmetry, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), No. 4, pp. 741 – 772.

[KaSh] I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Secondedition, Springer-Verlag, New York (1991).

[Ka] B. Kawohl, Rearrangements and Convexity of Level Sets in PDE, Lecture Notesin Mathematics, Vol. 1150, Springer-Verlag, Berlin (1985).

[Na] N. S. Nadirashvili, On the multiplicity of the eigenvalues of the Neumann pro-blem, Soviet. Math. Dokl. 33 (1986), pp. 281 – 282.

[Ok] B. Øksendal , Stochastic differential equations: An introduction with applica-tions, sixth edition, Springer (2003).

[On] M. D. ONeill, McMillan type theorems on boundary behavior of conformal ma-ppings, Preprint (available online at http://math.mckena.edu/moneill).

[Pa1] M. N. Pascu, Scaling coupling and the Hot Spots problem, Trans. Amer. Math.Soc. 354 (2002), no. 11, pp. 4681 – 4702. MR 2003i:60141

[Pa2] M. N. Pascu and Maria E. Gageonea, Partial Green functions for killed and re-flecting Brownian motion in smooth domains, Bull. Transilvania Univ. of Brasov,Vol. 11 (2004), No. 46, pp. 29 - 39.

[Pa3] M. N. Pascu, A probabilistic proof of the fundamental theorem of Algebra, Proc.Amer. Math. Soc. 133 (2005), pp. 1707 – 1711.

[Pa4] M. N. Pascu, Probabilistic approaches to eigenvalue problems, Ph. D. thesis,University of Connecticut, Storrs, USA (2001).

[Po] Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of Conformal maps, Springer, New York(1991). MR 95b:30008

[Pr] P. E. Protter, Stochastic integration and differential equations, second edition,Springer (2004).

[Ta] H. Tanaka, Stochastic differential equations with reflecting boundary conditions,Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), pp. 511 – 537.

[Th] H. Thorisson. Coupling, stationarity, and regeneration. Springer-Verlag, NewYork (2000).


mihai n. pascu 1 octombrie 2014 - cs.unitbv.rocs.unitbv.ro/~pascu/stoch/cursstochproc.pdf · 1...

Documents