CURSO DE HIDROLOGÍA APLICADACURSO DE HIDROLOGÍA APLICADA

ESTADÍSTICA APLICADA A LA

HIDROLOGÍA

Ing. Jaime Ing. Jaime ProañoProaño S. S. M.Sc.M.Sc.

• Los procesos Hidrológicos son de naturaleza estocástica,

es decir, que su distribución en el tiempo y en el espacio

es tal que, en parte son determinísticos (predecibles) y en

parte aleatorios (al azar).

• Algunas veces, la variabilidad aleatoria es muy grande

comparada con la determinística, de modo que se comparada con la determinística, de modo que se

justifica un tratamiento de proceso aleatorio puro, tal

como cuando no existe correlación entre observaciones

adyacentes, en tal caso, la salida del sistema hidrológico

se considera, estocástica, independiente en el espacio y

en el tiempo..

• Este comportamiento es típico de eventos

Hidrológicos extremos, tal como crecidas o

sequías; y de datos Hidrológicos medios sobre

intervalos de tiempo largos, como intervalos de tiempo largos, como

precipitación anual. En este capitulo se

describen los datos Hidrológicos

pertenecientes a un proceso aleatorio puro,

mediante el uso de parámetros y funciones

estadísticas

Definiciones

• Probabilidad (P) = Es una medida de la

verosimilitud de la ocurrencia de un suceso

aleatorio.

Series Estadísticas

• Se llama serie a una secuencia conveniente de

datos. Sea cual fuere la serie, los datos deben

provenir de una longitud de registro tan largo

como sea posible para que sirva de base

confiable al cálculo de las probabilidades, pues confiable al cálculo de las probabilidades, pues

los datos de las series es una muestra de lo que

ha ocurrido y que es factible que se repita.

• Se recomiendan series de datos mayores de 10

años y que sean consistentes, es decir, que

reflejen su lugar de origen.

Frecuencia ( f )

• Frecuencia ( f ) = Es el número de veces que

un evento ( Precipitación, Creciente, etc. ) de

una magnitud especificada es igualado o

superado en un periodo determinado.superado en un periodo determinado.

• La frecuencia entre ese determinado número de

años se llama probabilidad de excedencia

• P( X ≥ x ) = f / T

Período de Retorno ( Tr )

• También llamado Intervalo de Recurrencia, es

el intervalo promedio, en años, entre

acontecimientos, que igualan o exceden una

magnitud dada, también es el inverso de la magnitud dada, también es el inverso de la

probabilidad de excedencia.

Ejemplo 5.1.

• Si una precipitación de 50 mm en una hora

ocurre con una frecuencia de 10 veces en un

período de 100 años su probabilidad de

excedencia será:

Método para estimar la frecuencia de

valores extremos:

• Para ciertos sucesos extremos como picos de

crecientes y precipitaciones no hay un límite

físico, siempre habrá la posibilidad de esperar

un suceso mayor.

• Gumbel (Pérez Machado. 1979) propuso para • Gumbel (Pérez Machado. 1979) propuso para

muestras grandes que la probabilidad P de la

ocurrencia de un valor mayor o igual que

cualquier valor X se expresa como:

•

• Si se agrupa la Ec. 5.6 y se toman los logaritmos

neperianos, luego despejando y sustituyendo el

valor de P = 1/Tr, tenemos:

• Existen dos métodos para el ajuste de los datos a

la distribución de valores extremos.

• Uno consiste en el cálculo de x con la ayuda de

la fórmula 5.11, después de un cálculo previo de

x y σx. x y σx.

• El otro consiste en situar los datos en un gráfico

adecuado, que se llama gráfico de probabilidad

de valores extremos, y trazar una recta de ajuste,

la cual facilita una extrapolación más allá del

intervalo cubierto por los datos.

• No obstante, es oportuno recordar que la

extrapolación puede dar lugar a un error de

muestreo considerable.

• El gráfico de probabilidad de valores extremos

tiene la ordenada lineal, que corresponde a la tiene la ordenada lineal, que corresponde a la

variable que se estudia y en la abscisa hay dos

escalas que se corresponden (Figura 5.2), la

escala de Tr que se ubica en la parte superior y

en la inferior la escala de probabilidad (de

excedencia o de no ocurrencia).

• También se presenta como abscisa la escala

lineal de la variable reducida.

• Los Tr de cada suceso extremo se plotean en el

gráfico cuando se obtienen mediante la

Ecuación de W. Weibull:Ecuación de W. Weibull:

• La probabilidad o riesgo (J) de que un suceso

máximo con una probabilidad promedio P esté

contemplado durante un período de N años

viene dada por:viene dada por:

• J = 1 – (1 – P) N (5.15)

• J es la probabilidad que como mínimo iguala o

excede al suceso con Tr por año.

•

• Si la probabilidad de que no ocurra un suceso en

cualquier año es q, la probabilidad J de que el

suceso ocurra en cualquier período de N años es:

• J = 1 – qN

• La Tabla 5.4 se ha calculado con la ecuación 5.15 y

muestra la probabilidad de que un suceso de un

intervalo de recurrencia, Tr, sea igualado o

excedido, durante períodos de diversas longitudes.

Conversión de Profundidades de

Precipitación a Intensidad:

• Es de gran utilidad para el ingeniero tener los

registros de precipitación en términos de

intensidad, es decir, expresada en mm/hr.

• Es necesario, para calcular la intensidad de la • Es necesario, para calcular la intensidad de la

lluvia a partir de los registros pluviográficos,

determinar el máximo incremento de lluvia

caída en un intervalo de tiempo (∆t) y

convertirlo a mm/hr, multiplicando por 60/∆t,

si el intervalo es en minutos, y por 1/∆t si el

intervalo es en horas.

•

• Los registros pluviográficos producen un gráfico

de tal forma que la pendiente entre los quiebres

de la curva son una medida de la intensidad.

Estas intensidades pueden calcularse tabulando

cada punto de quiebre y efectuando las cada punto de quiebre y efectuando las

divisiones correspondientes de precipitación

acumulada sobre tiempo de acumulación.

• En la Tabla 5.5 se presentan las intensidades

máximas correspondientes a la tormenta que se

presenta en la Figura 5.1.

Estimación de la Frecuencia de la Lluvia a

partir de una Serie Suficientemente Larga de

Datos Medidos:

• Ejemplo 5.2:

• Método Gráfico:

• Pasos a seguir:

• Se seleccionan las precipitaciones máximas

para diferentes duraciones de una estación

registradora de lluvia, correspondientes a su

período de funcionamiento como las escogidas

en la Tabla 5.6.

• Si lo que se desea es construir las curvas

Intensidad-Duración-Frecuencia estas

precipitaciones se deben convertir a

Intensidades en la Tabla 5.6.Intensidades en la Tabla 5.6.

• Los datos así obtenidos se ordenan de mayor a

menor (Tabla 5.7), se le asigna el número de

orden 1 al valor mayor, 2 al que le sigue, 3 al

siguiente, y así sucesivamente hasta agotar la siguiente, y así sucesivamente hasta agotar la

serie.

• Se calcula el período de retorno o intervalo de

recurrencia Tr, a cada uno de los valores

ordenados, mediante la fórmula 5.14.

••

• Se plotean, en el papel de probabilidades

extremas Gumbel Tipo I, cada una de las

precipitaciones contra su período de retorno Tr

calculado.

•

• Se traza una línea recta de ajuste a través de los

puntos ploteados.

• Nota : Muchas veces, en el gráfico de

probabilidades extremas, es preferible utilizar la

escala de las probabilidades de No Ocurrencia escala de las probabilidades de No Ocurrencia

y, a tal efecto, se hace una conversión de los Tr

mediante la fórmula.

• Con la curva de frecuencia de precipitaciones

obtenida, se puede determinar la precipitación

máxima, de la duración que se requiera, para

un período de retorno Tr, que se desee al un período de retorno Tr, que se desee al

extrapolar la recta. (Ver Figura 5.2).

Método Analítico (Método de Factor de

Frecuencia):

• Pasos a seguir:

• Se seleccionan las precipitaciones máximas para

diferentes duraciones de una estación registradora de

lluvia, correspondientes a su período de funcionamiento

como las escogidas en la Tabla 5.6.

• Si lo que se desea es construir las curvas Intensidad-

Duración-Frecuencia estas precipitaciones se deben

convertir a Intensidades en la Tabla 5.6.

• Se calcula la media aritmética y la desviación estándar

(por este método no es necesario ordenar la serie) con la

ecuación 5.9. (Ver Tabla 5.8)

• Se obtiene el valor del factor de frecuencia K

(Ec. 5.13) mediante las tablas 5.1, 5.2 y 5.3

para cada período de retorno deseado.

• Se calcula la precipitación o intensidad

máxima de la duración seleccionada para un

período de retorno determinado, mediante la

fórmula X = X + K σx. (Ver Tabla 5.9).

• Ambos métodos arrojan resultados muy

parecidos dependiendo de la habilidad del

analista al trazar la recta de mejor ajuste.

• La ecuación X = X + K σ viene a significar • La ecuación X = X + K σx viene a significar

la de la recta de mejor ajuste.

• Ejemplo: De la Tabla 5.7 para un período de

retorno Tr = 50 años y Duración 1 hora.

Análisis de Intensidad – Duración –

Período de Retorno:

• Con este método se obtiene en una estación la

intensidad de precipitación correspondiente a

una duración y período de retorno dado.

• Del análisis de los pluviogramas se construyen

curvas llamadas de intensidad – duración –curvas llamadas de intensidad – duración –

período de retorno.

• Existen varios métodos para construir estas

curvas; se describirá el más sencillo y más

usado.

• Los pasos a seguir son los siguientes:

• Se analizan las lluvias de mayor intensidad de

todo el período de registro del aparato y se

seleccionan las láminas máximas precipitadas

para diferentes duraciones.

• Las lluvias de corta duración y fuerte intensidad • Las lluvias de corta duración y fuerte intensidad

son, usualmente, las más destructivas.

• Las de larga duración y moderada intensidad,

pudieran, en ciertos casos, de acuerdo a la

humedad inicial del suelo, causar notables

daños.

•

• Este análisis se hace leyendo los totales de lluvia

registrada en el pluviograma para 5, 10, 15

minutos, etc., o para 15, 30, 45 minutos, según se

trate de un instrumento de registro diario o

semanal. semanal.

• También se hacen lecturas para las duraciones de

1, 3, 6, 9, 12 y 24 horas.

• La selección de las lluvias a ser estudiadas se

hacen a simple vista, o mediante una plantilla

transparente, a la misma escala de la gráfica,

donde están señaladas los intervalos que se

desean analizar.desean analizar.

• Esta plantilla se sobrepone sobre la gráfica y se

anotan las lluvias de mayor valor de todo el

período de la estación para ser escogida la

máxima de cada año. Habrá tantas como años de

registro tenga la estación (Tabla 5.6).

•

• De acuerdo a las duraciones seleccionadas se pasan los

datos de precipitaciones de la Tabla 5.7 a intensidades

máximas de precipitaciones (mm/hora) como se señala

en la Tabla 5.8.

• Se traslada la información de la tabla anterior (Tabla

5.8) al papel de probabilidades extremas de Gumbel y 5.8) al papel de probabilidades extremas de Gumbel y

se obtiene la Figura 5.3.

• En esta figura se seleccionaron, leídos en las rectas de

mejor ajuste (las cuales deben coincidir con las que

señala la ecuación 5.11), los valores de intensidades de

acuerdo a las distintas duraciones y períodos de retornos

que convengan. Tabla 5.9.

• Los datos contenidos en la Tabla 5.6, se

reagrupan en orden decreciente según su

magnitud y se les asigna un número de orden

para que se les calculen sus correspondientes Tr

y probabilidad de no ocurrencia mediante las y probabilidad de no ocurrencia mediante las

fórmulas 5.14 y 5.16, respectivamente.

• Ver Tabla 5.7.

• Los datos de la anterior tabla (Tabla 5.9) se

plotean en papel aritmético y se trazan curvas

alisadas. Figura 5.4.

Papel de Probabilidades Extremas

Curva Intensidad – Duración – Período de

Retorno

• Las curvas que relacionan precipitaciones,

intensidad – duración – período de retorno se

pueden construir en distintos tipos de papel

como los ya señalados.

• También pueden trazarse en papel • También pueden trazarse en papel

semilogarítmico y en doble logaritmo (log-log),

como se señala en las figuras 5.5, 5.6, 5.7 y 5.8.

• En todas las figuras señaladas se pueden

observar las siguientes características:

• Las curvas de precipitación se ubican en forma

ascendente respecto a las duraciones. Figuras

5.5 y 5.7.5.5 y 5.7.

• Las curvas de intensidad se ubican en orden

descendente (orden contrario) respecto a las

duraciones. Figuras 5.3, 5.6 y 5.8.

• Que las curvas de intensidad se ubican en orden

ascendente respecto a los Tr. Figura 5.4.

• Que para un mismo período de retorno Tr, a

medida que aumenta la duración baja la

intensidad.intensidad.

• Que para una misma duración, al aumentar Tr

aumenta la intensidad.

Curva Precipitación – Duración – Período

de Retorno

. Curva Intensidad – Duración – Período de

Retorno

Curva Precipitación – Duración –

Período de Retorno

Curva Intensidad – Duración – Período de

Retorno

Mapas de Intensidad o Profundidad –

Duración – Período de Retorno:

• Las relaciones entre intensidad - duración –

período de retorno calculados representan

valores puntuales observados en cada estación.

• Si en un plano se ubican las estaciones con las

informaciones que suministran esas curvas, se informaciones que suministran esas curvas, se

pueden obtener las curvas generales para una

zona al trazar las isolíneas de igual precipitación

o intensidades de precipitación para duraciones

y períodos de retornos respectivos.

• Isolíneas de intensidad – duración – frecuencia

de lluvia para la región Central de Venezuela, de

donde se han sacado las Figuras 5.9 y 5.10; el

Atlas de Profundidad – Duración – Frecuencia

de Lluvias en Venezuela de la actual División de de Lluvias en Venezuela de la actual División de

Hidrología del M.A.R.N.R. (antiguo M.O.P).

• También existen otros trabajos de igual mérito.

El fin primordial de estos trabajos es el poder

determinar el intervalo de recurrencia o la

frecuencia con que ocurren determinadas frecuencia con que ocurren determinadas

precipitaciones en las diferentes zonas del país.

Curvas de Intensidad – Duración – Período de Retorno.

Duración: 15 minutos. Período de retorno 25 años.

Curvas de Intensidad – Duración – Período de Retorno.

Duración: 30 minutos. Período de retorno 25 años.

• Los datos suministrados por estas curvas son

fundamentales en el diseño de numerosas obras de

ingeniería:

• Así son útiles en el diseño de obras de riego

planificadas,planificadas,

• para el cálculo de los drenajes de alcantarillas,

carreteras, ferrocarriles, de calles, aeropuertos y

pistas de aterrizajes, campos deportivos

• y en todos aquellos sitios donde el agua acumulada

ponga en peligro la infraestructura de una obra de

ingeniería.

• En obras de acueductos y cloacas, para la

determinación de períodos de concentración de

hoyas.

• En el diseño de puentes y aún en el de las

viviendas para el cálculo de las superficies de viviendas para el cálculo de las superficies de

techos a drenar.

• En protección de inundaciones y canalizaciones

de ríos.

• En el drenaje de estacionamientos y otras

aplicaciones de acuerdo a la durabilidad de la

obra a servir.

Ejemplo 5.3. En la Tabla se presentan los

caudales máximos para un Río.

• Ajustar la Distribución Gumbel Tipo I a los datos

de caudales.

• Determinar el Caudal Máximo para 50 Años de

Período de Retorno (Q50)

• Determinar el Riesgo asociado a Q .• Determinar el Riesgo asociado a Q50.

• Determinar el Caudal de Diseño si se quiere reducir

el riesgo asociado a Q50 a la mitad.

• Determinar el Tr para un caudal de diseño de 924

m3/s.

•

• MUCHAS GRACIAS POR • MUCHAS GRACIAS POR

SU ATENCIÓN