micii matematicieni 1 -...

72
1 Micii MATEMATICIENI Motto: ”Explozivul cel mai puternic nu este bomba atomică, ci ideea omenească(Grigore Moisil, matematician român -1906-1973) Sunt onorat să deschid numărul 6 al Revistei “Micii matematicieni”, printr-un mesaj plin de emoţie şi prietenie, adresat celor care prin munca şi talentul lor au dat relief ştiinţific acestei noi apariţii editoriale şi concursului cu acelaşi nume. Constat cu bucurie că matematica reprezintă încă pentru mulţi dintre voi acea fascinaţie pe care anticii au descoperit-o cu naturaleţe şi cu o logică impecabilă, iar contemporanii, căutători de soluţii inedite, făuritori de axiome şi teoreme, de legi matematice şi leme au adus-o la expresii rafinate şi subtile. Celor care s-au lăsat seduşi de porţile deschise de Pitagora şi Arhimede, de Euclid şi Newton, dar care sunt mândri şi de sclipirea minţii lui Traian Lalescu, Gheorghe Tiţeica, Grigore Moisil sunt dator să le spun că salut strădania lor de a se apleca asupra calculelor şi gândirii raţionale , de a găsi conexiuni între matematică şi alte ştiinţe sau chiar arte, de a-şi reinventa astfel propriul potenţial creator. Recomand tuturor “micilor matematicieni” să cultive mereu pasiunea pentru cea care este considerată “regina ştiinţelor” - matematica şi să vadă în ea una din modalităţile de a-şi dezvolta personalitatea, de a înţelege această ştiinţă asociată de regula cu logica, raţiunea, concizia, ca pe un stimulator al sensibilităţii, un drum spre împlinire, o deschidere de “Cale lactee” pe care se poate avansa dezinvolt, competiţional, în spiritul unui joc aducător de satisfacţie şi a cărui Odisee ar putea fi marca de succes a fiecăruia dintre voi. Urez Revistei “Micii matematicieni”, realizatorilor şi colaboratorilor ei, o lungă, fructuoasă şi mereu originală existenţă, căci voi ne daţi garanţia că pasiunea pentru matematică rezonează frumos cu succesul personal şi profesional. Q.E.D. PROF. NICU MIRON , INSPECTOR DE SPECIALITATE, ISJ IAŞI

Upload: donhan

Post on 07-Feb-2018

264 views

Category:

Documents


11 download

TRANSCRIPT

1 Micii MATEMATICIENI

Motto: ”Explozivul cel mai puternic nu este bomba atomică,

ci ideea omenească” (Grigore Moisil, matematician român -1906-1973)

Sunt onorat să deschid numărul 6 al Revistei “Micii matematicieni”, printr-un mesaj plin

de emoţie şi prietenie, adresat celor care prin munca şi talentul lor au dat relief ştiinţific acestei noi

apariţii editoriale şi concursului cu acelaşi nume.

Constat cu bucurie că matematica reprezintă încă pentru mulţi dintre voi acea fascinaţie pe

care anticii au descoperit-o cu naturaleţe şi cu o logică impecabilă, iar contemporanii, căutători de

soluţii inedite, făuritori de axiome şi teoreme, de legi matematice şi leme au adus-o la expresii

rafinate şi subtile. Celor care s-au lăsat seduşi de porţile deschise de Pitagora şi Arhimede, de

Euclid şi Newton, dar care sunt mândri şi de sclipirea minţii lui Traian Lalescu, Gheorghe Tiţeica,

Grigore Moisil sunt dator să le spun că salut strădania lor de a se apleca asupra calculelor şi gândirii

raţionale , de a găsi conexiuni între matematică şi alte ştiinţe sau chiar arte, de a-şi reinventa astfel

propriul potenţial creator.

Recomand tuturor “micilor matematicieni” să cultive mereu pasiunea pentru cea care este

considerată “regina ştiinţelor” - matematica şi să vadă în ea una din modalităţile de a-şi dezvolta

personalitatea, de a înţelege această ştiinţă asociată de regula cu logica, raţiunea, concizia, ca pe un

stimulator al sensibilităţii, un drum spre împlinire, o deschidere de “Cale lactee” pe care se poate

avansa dezinvolt, competiţional, în spiritul unui joc aducător de satisfacţie şi a cărui Odisee ar putea

fi marca de succes a fiecăruia dintre voi.

Urez Revistei “Micii matematicieni”, realizatorilor şi colaboratorilor ei, o lungă,

fructuoasă şi mereu originală existenţă, căci voi ne daţi garanţia că pasiunea pentru matematică

rezonează frumos cu succesul personal şi profesional.

Q.E.D.

PROF. NICU MIRON ,

INSPECTOR DE SPECIALITATE, ISJ IAŞI

2 Micii MATEMATICIENI

PANTEON

RETROSPECTIVE AFECTIVE

Motto: „Matematicile pun în joc puteri sufleteşti

care nu sunt cu mult diferite de cele solicitate de poezie şi de arte” (Ion Barbu)

Profesorul Petru Oprişanu s-a născut la 7 iulie 1936, în comuna Flămânzi, judeţul Botoşani. A terminat cursurile liceale la Liceul teoretic A. T. Laurian din Botoşani, iar în 1959, devine absolventul Facultăţii de matematică din cadrul Universităţii A.I. Cuza , Iaşi. Între 1 septembrie 1959 şi 1 septembrie 1962 este inspector-metodist în cadrul secţiei de învăţământ din raionul Hârlău. De la 1 septembrie 1962 până la 31 august 1998, când devine pensionar, activează ca profesor de matematică la Liceul teoretic Ştefan cel Mare din Hârlău. O perioada de timp,între 24 august 1990 şi 06.03.1992 este viceprimar al orașului Hârlău. S-a stins din viaţă în decembrie 2010.

Îmi vine greu să evoc acum toate zilele minunate în care am fost împreună, dar şi dificultăţile prin care am trecut, toate momentele de incertitudine în care a ştiut să aducă echilibru şi raţiune în situaţii pe care le credeam fără ieşire, căci domnul profesor Petru Oprişanu era una din acele persoane rare pentru care buna convieţuire cu ceilalţi, comunicarea deschisă şi sinceră era vitală. Toate acestea au devenit însă amintiri şi vor fi cu atât mai preţioase cu cât domnul profesor a conturat o adevărată şcoală de matematică în liceul nostru, un stil de lucru care ne-a fost şi ne rămâne un reper de excepţională valoare.

Dar, marile lui calităţi umane s-au făcut simţite nu numai la şcoală, ci şi acasă, în familie, în societate, unde a câştigat respectul tuturor celor care l-au cunoscut şi care l-au apreciat, bucurându-se de firea lui calmă şi plină de umor, de modestia care l-a caracterizat o viaţă şi de dorinţa constantă de a ajuta pe oricine. Întotdeauna am fost sigur că voi găsi o mână prietenească, întinsă să mă ajute, o vorbă de împăcare, un cuvânt care să vindece, un sfat dat din inimă şi dezinteresat, un om sincer care nu a întors nimănui spatele şi care a ştiut ce înseamnă şi jertfa de sine.

Cu fineţea care îi stătea în fire, s-a pus pe sine în umbră pentru a-i valoriza pe alţii, a recunoscut cu sinceritate meritele şi aportul altora la obţinerea unor succese, deşi contribuia şi el din plin la acestea. Dar educaţia de bună calitate pe care a avut-o şi pe care a dăruit-o necondiţionat miilor de elevi, care i-au fost discipoli l-a aşezat în rândul oamenilor de bun simţ, de verticalitate morală şi de loialitate pe care trebuie să recunoaştem că le găsim din ce în ce mai rar…

Să-i fim recunoscători domnului Profesor pentru moştenirea spirituală pe care ne-a lăsat-o şi-i asigurăm pe membrii familiei sale de întreaga noastră preţuire şi compasiune, căci cel care nu ne mai poate privi şi auzi acum ne lasă mai singuri, mai trişti şi mai îndureraţi. Nu locul din cancelarie este greu de umplut, căci mereu vor veni alte generaţii de tineri profesori, ci locul din suflet, fiindcă acolo s-a adunat toată căldura prieteniei şi omeniei sale, acolo ne-a rămas imaginea unui profesor cum se întâmplă tot mai greu sa aflăm.

În galeria de profesori de elită cu care colegiul nostru se poate mândri, domnul profesor Petru Oprişanu va rămâne străjerul de gardă al unei generaţii cărei îi deschidem larg porţile pentru a fi mentori celor care optează pentru a-şi desăvârşi educaţia în şcoala noastră.

PROF. AUREL NEICU,

DIRECTOR AL COLEGIULUI NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÍRLĂU

3 Micii MATEMATICIENI

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

MICKEY-MOUSE GEOMETRU

DAN BRÂNZEI ALEXANDRU NEGRESCU

Îl cunoaşteţi pe Mickey-Mouse ? Vreţi să fiţi voi primii care aflaţi lucruri noi despre el ? Aflaţi că are un frate mai grozav ca el, Mickey-Mouse Geometru; îi place să fie dezmierdat Mimogi. Este foarte stilat, arată ca în figura de mai jos, în care voi puteţi vedea două cercuri: unul de rază r este capul lui Mimogi, unul de rază 2r îi adăposteşte plămâni, inimă, stomac etc. Fig. 1. Pricepeţi desigur că cercurile sunt tangente; nu putem gândi nici cap despărţit de trup, dar nici înfundat în trunchi. Mai deduceţi că înălţimea sa actuală este 6r. El creşte rapid ca Făt Frumos; este mai simplu să spunem cât este r la o anumită oră. Vă rog să

vă abţineţi să-i desenaţi ochi, sprincene, bot, mustăţi, picioare, gheare, codiţă; Mimogi ţine foarte mult să arate sobru, esenţializat, uşor desenabil de către copii. Când un copil îl desenează corect, Mimogi se bucură mai tare decât dacă ar afla că Tom a fost surprins de câinele Frendy în cuşca sa. (Despre motanul Tom şi câinele Frendy veţi afla detalii cu alte ocazii, dacă veţi dori). Vă voi relata despre Mimogi numai vinerea şi numai în săptămâni în care sunt mulţumit de voi. Astăzi povestim despre modul în care se odihneşte Mimogi, ca să aibă putere să crească şi să facă fapte notabile (mai ales contra motanilor prea leneşi ca să înveţe geometrie). Ca şi vouă, lui Mimogi îi place să doarmă într-un pat de formă dreptunghiulară. Nu le poate suferi pe cele în formă de paralelogram sau trapez; susţine că acestea sunt stricate. Nu prea îi plac nici cele care arată ca patrulatere inscriptibile; când era vremea să afle ceva despre utilitatea lor, fusese foarte ocupat să facă un nod la coada lui TomCat. Sunt şi printre voi dintre aceea care s-au străduit în această direcţie şi au rămas cu inscriptibilele neînvăţate? Revenim. Mimogi doarme în paturi dreptunghiulare. Nu este conformist şi acceptă să doarmă strâmb, ca în figura 2. Nu tolerează să nu încapă în întregime în pat. (Vouă v-ar place?) Acum, patul pe care îl îndrăgeşte (şi în care încape extrem de confortabil) are dimensiunile a, b (cu a b). Mimogi vrea să afle cât de mult poate să crească până să fie obligat să schimbe patul. Îi puteţi spune voi? Primul care răspunde (corect şi argumentat) primeşte o bucată mare de caşcaval, să o împartă cu Mimogi. (Acesta nu primeşte mâncare de la străini, sau pisici, sau motani; numai de la prieteni care ştiu geometrie).

Altă vineri. Săptămâna asta aţi fost silitori şi ascultători. Numai Monica a venit de două ori la oră cu aceeaşi uniformă. Şi Nasty nu a mâncat cornul. ... Doriţi extemporal sau să vă relatez despre neurofiziologia lui Mimogi? În a doua variantă veţi avea şi o temă suplimentară pentru acasă. .... Sistemul simpatic plus parasimpatic al lui Mimogi este extrem de geometric. Din fiecare punct al scoarţei lui Mimogi, să spunem M, pleacă rectiliniu spre periferia corpului un nerv spre un punct M’. Deduceţi că toţi aceşti nervi trec prin gâtul T al lui Mimogi. Fiindcă toţi aceşti nervi sunt distribuiţi pe drumuri de lungimi minime, Mimogi are o viteză de reacţie proverbială. Cel mai lung dintre aceşti nervi, AA’, ajunge la codiţa A’. (Poate din cauza acestui surplus de lungime, Mimogi întârzie uneori să dea din coadă).

4 Micii MATEMATICIENI

Aflaţi că Mimogi are o suferinţă. La fiecare mijloc M” al unui nerv (MM’) apare o durere; cam cum simţiţi voi când vă loviţi în cot. Doctorul de familie i-a spus că trebuie să acopere zona dureroasă cu un plasture calmant negru care nu prea se găseşte la farmacii, dar din care îi poate da fâşia pe care o are.

Cei dintre voi care vor să îl ajute pe Mimogi, să traseze acasă traseul pe care trebuie aplicat plasturele. Dacă nu reuşeşte nimeni, nu vă voi mai putea relata vinerea competiţii eroice ale lui Mimogi şi TomCat. ...

Răspunsul este un loc geometric, care constă într-un cerc de rază r/2 care trece prin T şi are centrul pe (AA’). Mimogi nu se teme de doctori şi de pisici, voi nu vă temeţi de locuri geometrice şi de demonstraţii. Doctorul Cărbune i-a şi lipit plasturele. Mimogi vă mulţumeşte şi vouă. Promite că o să lege o tinichea ultra-sonoră (cu declanşare automată) de coada lui TomCat. Priviţi figura 4 şi spuneţi dacă vă place cum arată Mimogi cu acest plasture protector. Altă vineri, la clasa a VIII-a. ... - Nu copii! Vouă nu vă spun poveşti cu Mimogi. Voi sunteţi mari şi ştiţi că nu pot exista fiinţe bidimensionale. Mimogi este doar imaginea pentru desene animate. Adevăratul actor, care capătă mulţi dolari de la Hollywood să se lase filmat, este o fiinţă tridimensională, Momigo. - Cum arată? Îi place şi lui să îl desenăm? - Aflaţi de la cei din altă clasă descrierea lui Mimogi. Momigo este identic, dar în loc de cercuri (de raze r şi 2r) are sfere (de aceleaşi raze, tangente între ele). - L-am desenat şi arată la fel ca Mimogi. Nu se confundă? - În primul rând, trebuie să ştiţi câ Momigo a avut meningită când a fost mic şi din cauza asta poartă un fes special. Când filmează îşi scoate fesul, dar cere de 7 ori mai mulţi bani pe minut pentru acest timp. Şi dacă este desenat fără fes cere daune; spune că ar putea răci dacă are o imagine neprotejată termic. - Ce fel de fes? Se găseşte de cumpărat? - Nu se găseşte. Este fabricat numai la comandă de firma Mad and Sons. Are în interior un sistem telescopic de prelungire cu o pelerină transparentă. Când plouă, Momigo declanşează desfacerea pelerinei; aceasta este tangentă şi la burdihanul lui Momigo. - Am înţeles. Ştiu să-l desenez. E bine? - Destul de bine. Noi convenim ca atunci când desenăm sfere sau conuri să trasăm şi arce de cerc pentru a intui mai uşor că suntem în spaţiu. - Ştiu. ... Acuma desenul este bun? - Acceptabil. Arată-l colegilor. - Pfui! E gras şi urât. Nici n-are pantaloni! - Asta nu te priveşte pe tine, Iulia. Doar nu te-a peţit. Aceasta este realitatea care îl dă pe ecrane pe Mimogi. ... - Momigo fugăreşte pisici? - Din contra! Se simte el vinovat că Mimogi nu a stabilit relaţii cordiale cu pisicile. Are o vilă specială cu 33 de etaje pentru pisici, fiecare etaj dintre acestea de câte 99 de centimetri înălţime. În vilă locuiesc şi se hrănesc 7777 de pisici. În fiecare cameră sunt calorifere speciale pe care pisicile pot să stea tolănite. Pisicile au lapte, smântână, peşte, carne tocată, ficat prăjit, slănină (cu şorici) şi pârjoale la discreţie. În interior are o scară în spirală dublă, un iaz cu peşti şi plopi. - Am socotit! Vila este înaltă de 32 metri şi 67 de centimetri. Cresc plopii atât de înalţi? - Ai calculat bine, dar te-ai grăbit când ai gândit. Eu am povestit că fiecare etaj pentru pisici are 99 de centimetri înălţime, dar nu am spus nimic despre grosimea planşeelor dintre etaje. Există şi etaje destinate îngrijitorilor de pisici. Şi Momigo are un apartament personal aici. Vila este mai înaltă. Plopii nu ajung până sus, dar există artefacte de acoperişuri pentru concerte romantice. - Lui Momigo îi plac concertele romantice de feline?

5 Micii MATEMATICIENI

- Eşti exagerat de curios! Nu ştim nici dacă îi place şi nici dacă ascultă. Poate are metodişti speciali pentru astfel de concerte: producţie, înregistrare, distribuţie. Mulţi filantropi se dovedesc a fi nişte investitori subtili. - Pisicile din vila Momigo au şoricei sau şobolani cu ajutorul cărora să facă sport şi pe care să-i prindă? - Exclus! Filozofia lui Momigo este pacifist declarată: o specie să nu discrimineze alta! - Momigo o să încerce să-i înveţe pe tigri să devină vegetarieni? Ar putea plăti nişte oameni să-i ducă pe tigri la păscut, să le arate cu degetul ce ierburi sunt benefice sănătăţii lor şi să-i pocnească peste bot când încearcă să îngere buruieni toxice. Nu cumva a rămas un pic sisi după meningită? - Nu cred că priveşti cu respectul necesar strădaniile lui Momigo. Să-i recunoaştem generozitatea! - Momigo face vreun sport? - Nu cunosc astfel de amănunte personale. - I-ar prii! Ar mai slăbi! Ştim şi noi un burduhos care nu poate învăţa fiindcă legăturile nervoase nu trec prin osânză. - Vasilică! Nu te felicit pentru această intervenţie. O să foloseşti primul moment prielnic să ceri scuze. Ştim amândoi de la cine. Raportul razelor este acelaşi, 2, şi la iubitul vostru Mimogi şi la cel pe care îl priviţi duşmănos, Momigo. - Da, dar la Mimogi raportul ariilor este patru, iar la Momigo raportul volumelor este opt. Asta contează! - Petrişor! Nu mărimea capului contează, ci modul în care este organizat şi antrenat creierul. - Cunosc această aserţiune. Cândva, un poet se exprima despre altul: are capul mic, dar creierul îi încape lejer înăuntru. Oare gândea asta ca o laudă? ... - Constat încotro se îndreaptă simpatiile şi antipatiile voastre subiective. Data viitoare despre cine o să vreţi să vă relatez: despre imagine Mimogi sau sursa Momigo? ...

Altă vineri. Transfer vina de a nu fi completat acest text unui prieten care se ocupă cu încadrări de desene în pagină. Sar deci peste imaginile motanului Tom şi câinelui Frendy. Vă spun doar situaţia problematică (pe scurt).

Se ştie bine că Frendy aleargă de două ori mai repede decât Tom. Acum aceştia stau tolăniţi în puncte A, B. Mimogi ştie că atunci când Tom ia startul spre el, să-l înţăncoşeze, Frendy sesizează dorinţa de agresiune, ia startul simultan şi îl flocăie pe Tom, pentru a-l învăţa cum să se comporte civilizat şi să-i interzică fizic înţăncoşări.

Întrebarea este: cam care este domeniul în care poate hălădui în siguranţă Mimogi?

PROFESOR UNIVERSITAR DOCTOR, UNIVERSITATEA ALEXANDRU IOAN CUZA, IAŞI

PROFESOR, ŞCOALA NR. 9 ELENA CUZA, IAŞI

6 Micii MATEMATICIENI

PROPRIETĂŢI ALE TRIUNGHIULUI ISOSCEL

TEMISTOCLE BÂRSAN Cu cunoştinţele de geometrie plană ce nu depăşesc programele şcolare şi cu instrumentele de lucru aflate la îndemâna elevilor din şcolile noastre se pot întreprinde mici studii asupra unor figuri sau configuraţii geometrice. Vom face un astfel de lucru luând ca teren al ostilităţilor una dintre cele mai simple figuri geometrice – TRIUNGHIUL ISOSCEL. Elevul care va parcurge rândurile de mai jos va găsi că ar fi putut şi el face la fel. Este tocmai ce ne-am propus: să arătăm elevilor că pot scrie o Notă şi să-i índemnăm să nu íntârzie s-o facă.

*** Fie ABC un triunghi oarecare şi M un punct pe latura BC. Pentru notăm obişnuit elementele sale: a, b, c, A, B, C, p, R, r, S. Pentru triunghiul ABM elementele corespunzătoare vor fi marcate cu indicile 1, iar pentru triunghiul ACM cu indicele 2. Este cunoscut rezultatul următor: DACĂ RAZELE CERCURILOR CIRCUMSCRISE TRIUNGHIURILOR ABM ŞI ACM SUNT EGALE, ATUNCI TRIUNGHIUL ABC ESTE ISOSCEL CU .

Într-adevăr, utilizând formula obţinem echivalenţele successive:

.

De fapt am arătat mai mult, anume că triunghiul isoscel este caracterizat de proprietatea din enunţ.

***

Enunţăm şi abordăm următoarea: PROBLEMĂ. Cum va fi triunghiul ABC dacă ín locul cercurilor circumscrise vom considera cercurile ínscrise ín triunghiurile ABM şi ACM şi vom cere ca razele lor să fie egale ? Vom vedea că pentru anumite poziţii ale punctului M pe BC (adică pentru anumite ceviene AM) va rezulta că triunghiul este isoscel, dar ín general această proprietate nu este adevărată. PROPOZIŢIA 1. Dacă AM este mediană şi , atunci este isoscel.

DEMONSTRAŢIE: Evident, ariile triunghiurilor ABM şi ACM sunt egale, adică . Avem:

, căci .

PROPOZIŢIA 2. Dacă AM este bisectoare şi , atunci este isoscel.

DEMONSTRAŢIE: Conform teoremei bisectoarei, avem (1). Pe de altă parte,

ABC

AB AC4 R S a b c

1 2

c BM AMR R

4 1

b CM AM

S

4 2

c BM

S

;d A BC BMb CM

;d A BC CM

b c

1 2r r ABC

1 2S S

11 2

Sr r 2

1

S

p 1 2

2

p p c BM AMp

b CM AM b c BM CM

1 2r r ABCBM c

CM b

7 Micii MATEMATICIENI

, de unde (2).

Din (1) şi (2) rezultă că şi, deci, .

PROPOZIŢIA 3. Dacă AM este ínălţime şi , atunci este isoscel.

DEMONSTRAŢIA 1: În maniera precedentelor demonstraţii, obţinem echivalenţele successive:

(3). Cu teorema lui

Pitagora, avem (4). Din (3) şi (4) rezultă că , de unde

şi, după efectuarea calculelor, .

DEMONSTRAŢIA 2: Se ştie (sau se stabileşte uşor) că íntr-un triunghi dreptunghic de catete b, c şi

ipotenuză a, raza cercului ínscris este dată de formula . Aplicând acest rezultat la

şi , vom putea scrie:

(5). Cum (teorema lui Pitagora), pe baza relaţiei (5) urmează că

, de unde , adică .

PROPOZIŢIA 4. Dacă AM este ceviană Gergonne (adică M este punctul de contact al cercului ínscris cu latura BC) şi , atunci este isoscel.

DEMONSTRAŢIE: În acest caz, după cum este cunoscut, şi . Avem:

.

PROPOZIŢIA 5. Dacă AM este ceviană Nagel (adică M este punctul de contact al cercului A-exínscris cu latura BC) şi , atunci este isoscel.

DEMONSTRAŢIE: Relativ la ceviana Nagel avem: şi ( unde

). Ca urmare, (căci şi, la fel, ). Deoarece

triunghiurile ABM şi ACM au şi , rezultă că sau, echivalent, .

Aşadar AM este mediană şi, conform Propoziţiei 1, este isoscel.

1 11

2

p rSBM BM h

CM CM h S

2 2p r1

2

p c BM AM

p b CM AM

BM c AM

CM b AM

c c AM

b b AM

b c

1 2r r ABC

1 21 2

1 2 1 2

S S BM CM BM c AM BM BM c hr r

p p p p CM b AM CM CM b h

2 2 2

2 2 2

BM c h

CM b h

2 2 2

2 2 2

c h c h

b hb h

2c h

2b h

c h c h b h b h

c h c h

b h b h

b c

2

b c ar

ABM ACM 1 2r r BM h c CM h b BM CM c b 2 2 2 2BM CM c b

2 2c b BM CM BM CM c b a 0c b b c a b c

1 2r r ABCBM p b CM p c

1 21 2

1 2

S Sr r

p p

BM CM

c h BM b h CM

BM c h BM

CM b h CM

BM c h

CM b h

p b c h

p c b h

0

2 0a b c c h

b c h b c a b ca b c b h

1 2r r ABCBM p c CM p b 2 p a b c

1 2p p 12 p c BM AM p AM 22 p p AM

1 2r r 1 2p p 1 2S S BM CM

ABC

8 Micii MATEMATICIENI

OBSERVAŢII: 1) Evident, dacă este isoscel, cevienele din Propoziţiile 1-5 coincid şi rezultă imediat

că . Tot uşor se arată că, dacă este isoscel şi , atunci ceviana AM este

mediana triunghiului. 2) Se poate arăta (exerciţiu !) că propoziţii de tipul precedentelor au loc şi atunci când AM

este median sau, mai general, ceviană de ordinal k.

***

În încheiere, rămâne să vedem dacă nu cumva, pentru o ceviană AM oarecare, egalitatea atrage după sine faptul că este isoscel – cum se íntâmplă ín cazul egalităţii razelor

cercurilor circumscrise triunghiurilor ABM şi ACM. Răspunsul este negative şi decurge din următoarea construcţie: Punctul este proiecţia lui pe dreapta . Dreapta se află la distanţa faţă de paralela

. Punctul este intersecţia bisectoarei unghiului cu dreapta . Tangenta din A la

cercul intersectează ín punctul . Repetând construcţia precedentă obţinem

punctele (ca intersecţie a dreptei cu bisectoarea unghiului ) şi (ca intersecţie a

tangentei din A la cercul cu dreata ) ş.a.m.d.

Pentru , triunghiul nu este isoscel, dar cercurile ínscrise ín triunghiurile

şi au razele egale cu .

PROBLEMĂ PROPUSĂ. Înlocuiţi condiţia (sau sau sau ) cu o altă

condiţie relativă la triunghiurile ABM şi ACM şi cercetaţi ín mod similar noul context.

PROFESOR UNIVERSITAR DOCTOR, UNIVERSITATEA TEHNICĂ GHEORGHE ASACHI,

IAŞI

ABC1 2r r ABC 1 2r r

1 2r r ABC

1B A 1B X d

1B X 1I

1AB X

1;I dC 1B X 2B

2I 2AB X 3B

2 ;I dC 1B X

1, 2,3,...k 2k kAB B

1k kAB B 1 2k kAB B d

1 2R R 1 2r r 1 2S S 1 2p p

A

1I 2I3I

1B 2B 3B 4 .....BX

9 Micii MATEMATICIENI

APLICAŢII ALE UNEI INEGALITĂŢI A LUI CAUCHY ÎN REZOLVAREA UNOR SISTEME DE ECUAŢII NESTANDARD

MARIA ANTON În această notă ne propunem să rezolvăm, prin metode vectoriale, unele ecuaţii şi sisteme de ecuaţii netipice. Metoda are la bază o inegalitate lui A. Cauchy (1789-1857), referitoare la

produsul scalar a doi vectori, şi anume: , cu egalitate când vectorii şi sunt

coliniari, adică au coordonatele direct proporţionale.

APLICAŢIA 1. Să se rezolve în sistemul .

REZOLVARE: În reperul ortonormat tridimensional , se consideră vectorii şi

. Obţinem că , , . Dacă

tripletul este soluţie a sistemului, atunci şi . Obţinem

. Conform inegalităţii lui Cauchy, deducem că vectorii şi sunt coliniari, adică

, de unde , , . Înlocuind ín a doua ecuaţie a sistemului,

obţinem .

Prin urmare, .

APLICAŢIA 2. Să se rezolve în sistemul .

REZOLVARE: În reperul ortonormat tridimensional , se consideră vectorii

şi . Atunci , ,

. Dacă tripletul ar fi soluţie a sistemului, atunci am avea

şi . Cum obţinem că , ín contradicţie

cu inegalitatea lui Cauchy. Prin urmare, sistemul nu are soluţie, adică .

APLICAŢIA 3. Să se rezolve în sistemul .

a b a b

a

b

2 2 2 38

2 3 5 38

x y z

x y z

; , ,O i j k

, ,a x y z

2,3,5b

2 3 5a b x y z

2 2 2a x y z

2 2 22 3 5 38b

, ,x y z 38a b

38 38 38a b

a b a b

a

b

.

2 3 5

notx y zk 2x k 3y k 5z k

2 2 3 3 5 5 38k k k 1k 2,3,5S

4 4 4

2 2 2

10

2 3 5 25

x y z

x y z

; , ,O i j k

2 2 2, ,a x y z

2,3,5b

2 2 22 3 5a b x y z

4 4 4a x y z

2 2 22 3 5 38b

, ,x y z

25a b

10 38 380a b

25 380 a b a b

S

4 4 4

5 5 5

6 6 6

4 9 14

4 9 14

4 9 14

x y z

x y z

x y z

10 Micii MATEMATICIENI

REZOLVARE: În reperul ortonormat tridimensional , se consideră vectorii

şi . Avem relaţiile următoare: ,

, . Dacă tripletul ar fi soluţie a sistemului, atunci

şi . Obţinem . Conform inegalităţii lui Cauchy,

deducem că vectorii şi sunt coliniari, adică . Înlocuind în a

doua ecuaţie a sistemului, obţinem . Prin urmare, .

APLICAŢIA 4. Să se rezolve în ecuaţia .

REZOLVARE: Condiţiile de existenţă impune ca . În reperul ortonormat bidimensional

, se consideră vectorii şi . Avem:

, , Dacă

ar fi soluţie a ecuaţiei, atunci . Conform inegalităţii lui Cauchy, deducem că vectorii

şi sunt coliniari, adică , de unde ecuaţia exponenţială

. Se observă că este soluţie unică. Într-adevăr, dacă atunci

(contradicţie), iar dacă

atunci (contradicţie).

Deci, .

PROFESOR, LICEUL TEORETIC ION NECULCE,

TÂRGU FRUMOS, IAŞI

; , ,O i j k

2 2 2, 2 ,3a x y z

3 3 3, 2 ,3b x y z

5 5 54 9a b x y z

4 4 44 9a x y z

6 6 64 9b x y z

, ,x y z

14a b

14 14 14a b

a b a b

a

b 3 3 3

2 2 2

2 3

2 3

x y z

x y z x y z

5 1x 1x y z 1,1,1S

1 13 2 5 2 9 25

2 2x x x xx x

1 1,

4 4x

; ,O i j

3 ,5x xa 1 1

2 , 22 2

b x x

1 13 2 5 2

2 2x xa b x x

2 23 5 9 25x x x xa

12

2b x 1

22

x 1

x a b a b

a

b

12

3 25 1

22

x

x

x

x

9 25 4 9 25x x x xx 0x 0x 0descrescătoare 9 9

25 25

x

9 25 0x x 4 9 25 0 0x xx x 0x

0descrescătoare 9 9

25 25

x

9 25 0x x 4 9 25 0x xx 0x

0S

11 Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA APLICATĂ ÎN STUDIUL UNOR PROBLEME DE FIZICĂ

ANCA MARIA BOBÎRNĂ

În numărul precedent al revistei am iniţiat prezentarea unor probleme de fizică în a căror rezolvare se apelează la noţiuni matematice mai dificile. Continuăm prezentarea cu probleme de curent alternativ, în care se folosesc reprezentarea geometrică (prin fazori) sau reprezentarea analitică (în complex).

Unei mărimi oscilatorii liniar armonice de forma i se poate asocia:

Un fazor a cărui origine coincide cu originea axelor de coordonate, extremitatea fazorului, se roteşte în sens trigonometric cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia oscilaţiei, la momentul iniţial face cu axa Ox un unghi egal cu faza iniţială a oscilaţiei, iar modulul fazorului este

egal cu amplitudinea a oscilaţiei reprezentate;

un număr complex al cărui modul este egal cu valoarea maximă A şi al cărui argument

este egal cu faza mărimii oscilatorii . Cu ajutorul reprezentării în complex se pot scrie legile lui Kirchhoff în curent alternativ sub forma cunoscută din curent continuu:

( legea I ), ( legea a II-a ).

Impedanţa unei bobine se scrie: , iar pentru un condensator: .

Calculul impedanţei echivalente a unui circuit se poate face cu relaţiile cunoscute pentru calculul rezistenţei echivalente din circuitele de curent continuu

; .

În această idee vom aborda două probleme de curent alternativ, prezentând rezolvarea lor ín fazorial şi în complex. PROBLEMA 1. Aflaţi impedanţa circuitului din figura 1 dacă se cunosc pulsaţia a curentului alternative şi valorile R, L, C ale rezistorului, bobinei, respective condensatorului.

SOLUŢIA 1. Impedanţa circuitului este dată de relaţia , unde este

tensiunea aplicată circuitului, iar intensitatea curentului din ramura principală. Se reprezintă diagrama fazorială a circuitului (fig.2), din care se exprimă intensitatea I a curentului din ramura principală în funcţie de şi din ramurile legate în paralel.

Avem: (1).

Se are în vedere că ; ;

, unde şi sunt reactanţa

inductivă a bobinei, respectiv reactanţa capacitivă a condensatorului. Înlocuind în relaţia (1)

02 sina A t

0

2A

a 2

0i ta Ae

1

0n

kk

I

1 1

n m

k l lk l

E I Z

LiXRZ CiXRZ

1 2 ...s nZ Z Z Z 1 2

1 1 1 1...

p nZ Z Z Z

UZ

I U

I

1I 2I

2 2 2 01 2 1 2 12 cos 90I I I I I

1 2 2L

UI

R X

CX

UI 2

01 1 2 2

cos 90 sin L L

L

U X

U R X

LX L

CX C

1

I

LU U

RU 2I

1I

1.2fig

,

1I R L

2I C

IU

.1fig

12 Micii MATEMATICIENI

mărimile de mai sus şi ţinând cont de definiţia impedanţei se găseşte, în urma unui calcul simplu

.

SOLUŢIA 2. Impedanţele celor două ramuri sunt , , de unde se calculează

impedanţa echivalentă a grupării paralel: , de unde găsim

. Impedanţa circuitului modulul numărului complex , adică

PROBLEMA 2. Se dă circuitul din fig.3 cu elementele de circuit având valorile , şi .

Se cer: a) impedanţa circuitului b) intensităţile curenţilor din fiecare ramură dacă tensiunea aplicată circuitului este de 100V. SOLUŢIA 1. Diagrama fazorială a circuitului este fig. 4 , unde I este intensitatea a curentului din ramura principală. Avem:

(2), (3),

(4).

În urma înlocuirilor în (2) şi ţinând seama de

, dar obţinem .

b) Din (3) şi (4) avem: şi , apoi din (2) obţinem .

SOLUŢIA 2. a) Impedanţele din ramuri sunt , .

Impedanţa echivalentă în complex este , de unde . atunci

impedanţa circuitului este . b) Intensitatea curentului electric se obţine

din: , de unde valoarea intensităţii curentului electric

. Din teoremele lui Kirchhoff în complex: şi

rezultă că şi , de unde şi

. PROFESOR DE FIZICĂ,

COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

22222

222

1

CRLC

LRZ

LiXRZ 1 CiXZ 2

CL iXiXRZZZ

11111

21

22222

322

)1(

)(

CRLC

CLLCRiRZ

Z

2 2 2 3 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

( )

(1 ) 1

R R C L L C R LZ Z

LC R C LC R C

,21 R 4LX 52R 10CX

2 2 21 2 1 2 1 22 cosI I I I I

221

1

LXR

UI

222

2

CXR

UI

1 2 1 2 1 2cos cos cos sin sin

1 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2

3

5CL

L C L C

XR R X

R X R X R X R X

I

UZ 42,5Z

1 10 5I A 2 4 5I A 340 18, 44I A iiXRZ L 4211 iiXRZ C 10522

21

111

ZZZ

17

6710

21

21 i

ZZ

ZZZ

10 855,42

17Z Z

1702 7 6

7 6

UI i

Z i

AII 44,1885236492 21 III

22110 ZIZI iI 21101 iI 2142 AI 51041101

AI 544142

U

I

1I

2I 2R

1R

CX

LX

.3figI

1I

2I

U

1RU

2RU

LU

CU

12

.4fig

13 Micii MATEMATICIENI

VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ

Această rubrică conţine în acest număr informaţii despre: o concursul MICII MATEMATICIENI , ediţia a VI a din 26 martie 2011 ; o subiecte date la TESTAREA ELEVILOR de clasa a IV a în vederea înscrierii în clasa a V a ; o proiectul educaţional SUPER MATE în anul şcolar 2010-2011; o activităţi ale cercului de matematicǎ CLUBUL MATEMATIENILOR în anul şcolar 2010-2011 o concursul de creaţie matematică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-2012.

CONCURSUL MICII MATEMATICIENI

EDIŢIA A VI-A, 26 MARTIE 2011

În ziua de 26 martie 2011, s-a desfǎşurat la Hârlǎu a VI a ediţie a concursului MICII

MATEMATICIENI organizat de COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU în parteneriat cu INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN, IAŞI şi Asociaţia RECREAŢII MATEMATICE, IAŞI. Ne face deosebita plăcere să menţionăm prezenţa unor invitaţi importanţi din judeţ, îndrumători activi pentru multe generaţii de elevi şi studenţi: PROF. DR. DAN BRÂNZEI, UNIVERSITATEA ALEXANDRU IOAN CUZA, IAŞI, PROF. DR. TEMISTOCLE BÂRSAN, UNIVERSITATEA GHEORGHE ASACHI, IAŞI, LECTOR DR. MONICA BURLICĂ, UNIVERSITATEA GHEORGHE ASACHI, IAŞI, PROF. MIHAI HAIVAS, INSTITUTUL DE CERCETĂRI ECONOMICE GHEORGHE ZANE, IAŞ I, PROF. ALEXANDRU NEGRESCU, IAŞI. Organizatorii cu sprijinul sponsorilor au oferit premii în bani şi diplome tuturor câştigǎtorilor concursului. Este o datorie de onoare sǎ mulţumesc pe aceastǎ cale sponsorilor celei de a VI-a ediţii a concursului MICII MATEMATICIENI : ASOCIAŢIA PĂRINŢILOR ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU; PRIMĂRIA ORAŞULUI HÂRLĂU; S.C. COTNARI S.A. ; COPY CENTER HÂRLĂU; C.M.I. DR. STELA TATIANA NEICU; RESTAURANT ŢĂPUŞĂ; BRD GRUPE SOCIETE GENERALE, FILIALA HÂRLĂU.

şi contăm în continuare de sprijinul lor. Prin participarea a 306 elevi din cel puţin 22 de unităţi şcolare din judeţ, se poate spune că am încheiat cu un real succes a VI-a ediţie a concursului. Aşteptăm cu interes profesorii şi învăţătorii care doresc să se implice în buna organizare a ediţiei a VII a din 28 aprilie 2012 şi să ne contacteze . Vă mulţumim anticipat pentru participare . Prezentǎm în continuare lista premianţilor şi subiectele propuse spre rezolvare.

REZULTATELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI , EDIŢIA A VI-A, HÂRLĂU, 26 MARTIE 2011

CL.

NUME ŞI PRENUME

ŞCOALA DE

PROVENIENŢĂ

PROFESORUL CLASEI

PUNCTE

PRE-MIUL

14 Micii MATEMATICIENI

III

GHEORGHIAN VIVIANA ALEXANDRA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILICA TEODORESCU 60 I

III LEAGĂN DAN ADRIAN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU GABRIELA ONOFREI 54 II III LEAGĂN MARIA IASMINA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU GABRIELA ONOFREI 52 III III MELINTE DENISA ANDREEA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILICA TEODORESCU 45 M III BERNAT DIANA ŞC O. BĂNCILĂ, BOTOŞANI DANIELA ORĂŞANU 44 M III BAILĂU LARISA GEORGIANA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU CARMEN NICULESCU 43 M

III IFTIME BOGDAN CRISTIAN LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI

SILVIA ŞORODOC VALERICA IFTIMI 43 M

III CIRLAN DARIA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILICA TEODORESCU 40 MIII NECHITA BIANCA ŞC O. BĂNCILĂ, BOTOŞANI DANIELA ORĂŞANU 37 M III VINTUR ANTONIA LIC. M. COSTIN, PAŞCANI ZENOVIA GHEORGHINCĂ 36,5 M III BULEI IASMINA ŞC. AL. CEL BUN, IAŞI ANA COJOCARU 35,5 M III CLODNISCHI DARIAN ŞC. NR. 17, BOTOŞANI NICOLETA BORFOTINA 35 M III MIHĂILĂ DENISA MARIA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU GABRIELA ONOFREI 35 MIII SIMINA DENISA ELENA ŞC. I. CANTACUZINO, PAŞCANI LIDIA CRAMARIUC 35 MIII TARPESCU ELIZA FLORINA ŞC. I. CANTACUZINO, PAŞCANI LIDIA CRAMARIUC 34,5 M III ABABEI MĂDĂLINA ŞC O. BĂNCILĂ, BOTOŞANI DANIELA ORĂŞANU 33 M III DȊRVARIU DARIA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU CARMEN NICULESCU 33 M III BARHAN IOANA ELIZA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI LINA NECHITOAIA 32 M III BĂTĂIOSU ADELINA ŞC. NR. 17, BOTOŞANI NICOLETA BORFOTINA 32 M III CIUBUC TEODOR COSMIN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU CARMEN NICULESCU 32 M III GHEMIŞ DARIUS MARIAN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU GABRIELA ONOFREI 32 M III

POSTELNICU ŞTEFAN CĂTĂLIN LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI SILVIA ŞORODOC VALERICA IFTIMI 31,5 M

III AVRAM MATEI SEBASTIAN ŞC O. BĂNCILĂ, BOTOŞANI DANIELA ORĂŞANU 31 M IV POPESCU ADANA COLEGIUL C. NEGRUZZI, IAŞI ANGELA HUŢANU 60 I IV IOSUB MARIAN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILE ROZNOVĂŢ 57 II IV ROŞU RADU LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI TEODORA COVRIG 54,5 III IV TENCHIU TEODOSIA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILE ROZNOVĂŢ 53 M IV PETRESCU BOGDAN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU MARIETA MUŞEI 50 M IV MOCANU ALEXANDRU ŞC. NR. 17, BOTOŞANI NASTASIA RADA 49,5 M IV ONOFREI TUDOR ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILE ROZNOVĂŢ 49 M IV CIORNEI ILINCA ŞC. NR. 17, BOTOŞANI NASTASIA RADA 47,5 M IV ALEXANDRU ALEXANDRA COLEGIUL C. NEGRUZZI, IAŞI ANGELA HUŢANU 43,5 M IV PORUŞNIUC PATRICIA ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU VASILE ROZNOVĂŢ 43,5 M IV COVALCIUC ALEXANDRU ŞCOALA PRIMARĂ FEG ELENA ŞTEFĂNESCU 43 M IV LEUCIUC MARIA ŞCOALA PRIMARĂ FEG ELENA ŞTEFĂNESCU 41 M IV OLARIU ANDREEA ŞC. I. CREANGĂ, TG. FRUMOS MARIA BOTEZATU 41 M IV PRICOP ANA ŞC. I. CREANGĂ, TG. FRUMOS MARIA BOTEZATU 41 M IV ROMAN BIANCA C.N. ROMAN-VODĂ, ROMAN CAMELIA MANEA 41 M IV TURCULEŢ DARIA COLEGIUL C. NEGRUZZI, IAŞI ANGELA HUŢANU 41 M IV COSTEA TEODORA ŞCOALA PRIMARĂ F.E.G. ELENA ŞTEFĂNESCU 40 M IV MERTIC LUCIA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI TEODORA COVRIG 39,5 M IV MUSTEAŢĂ ROBERT ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU MARIETA MUŞEI 37,5 M IV VICOL ŞTEFAN ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU MARIETA MUŞEI 37,5 M IV NOROCEA RADU COLEGIUL C. NEGRUZZI, IAŞI ANGELA HUŢANU 35,5 M IV ONIŞORU ANA C.N. ROMAN-VODĂ, ROMAN CAMELIA MANEA 35,5 M IV BĂDĂLUŢĂ IONUŢ ŞC. NR. 17, BOTOŞANI NASTASIA RADA 34,5 M IV TIMOFTE BIANCA ŞC. I. CREANGĂ, TG. FRUMOS MARIA BOTEZATU 34,5 M IV ANIŢOAIE ANDRA IOANA S.A.M. , LUNGANI CONSTANTIN IGNAT 33 M V BUZATU ANDREEA C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI IONICA MARCOVSCHI 55 I V CĂLIN CONSTANTIN LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU IOAN SĂCĂLEANU 46 II V VORNICU DENISA LIC. I. NECULCE, TG. FRUMOS TURNEA MIHAELA 45 III V PODOVEI ANDREEA ŞC. NR. 17, BOTOŞANI DANIELA CLIPA 40 M V ION NELA LIC. M. COSTIN, PAŞCANI ALINA CRĂCIUN 37,5 M V PAVĂL MARIA MAGDALENA LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU IOAN SĂCĂLEANU 36 M

15 Micii MATEMATICIENI

V MAXIM ALEX C.T. UNIREA, PAŞCANI ADRIANA ANTON 34 M VI GRIGORIU MARIA-GABRIELA C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CLAUDIA POPESCU 45 I VI HRISCU ILINCA ŞC. NR. 17, BOTOŞANI DANIELA CLIPA 40,5 II VI POPESCU FLAVIUS C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CLAUDIA POPESCU 40,5 II VI CUCUIEŢ SILVIU ŞC. NR. 17, BOTOŞANI DANIELA CLIPA 37 III VI POSTOLACHI MARIA C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CLAUDIA POPESCU 27 M VI TĂNASĂ DORU DUMITRU LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU GHEORGHE OANCEA 22 M VI PRICOP CĂTĂLIN ADELIN LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU GHEORGHE OANCEA 20 M VII MURARIU MARIA LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU IOAN SĂCĂLEANU 27 IVII ANCUŢA ŞTEFANA DAMIANA C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI VASILE PRICOP 14,5 IIVII CONDURACHE PATRICIA EMA LIC. I. NECULCE, TG. FRUMOS MIHAELA TURNEA 14,5 II VII MIHALACHI ANGELA LIC. I. NECULCE, TG. FRUMOS MIHAELA TURNEA 13 III VII HÎRTOPANU DENIS ŞC. I. CANTACUZINO, PAŞCANI MĂRIOARA SPIRIDON 11 M VIII CLIPA ŞTEFAN ŞC. NR. 17, BOTOŞANI DANIELA CLIPA 50 I VIII PRISTAVU IONELA LARISA LIC. M. COSTIN, PAŞCANI ALINA CRĂCIUN 44,5 II VIII CHIUARIU TRAIAN C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI IONICA MARCOVSCHI 44 III VIII ŢOGAN SÎNZIANA C.N. M. SADOVEANU, PAŞCANI IONICA MARCOVSCHI 38,5 M VIII PORUŞNIUC COSMIN GEORGE ŞC P. RAREŞ, HÂRLĂU IOAN RĂUŢU 34,5 M VIII IFRIM RAREŞ CRISTIAN LIC. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU IOAN SĂCĂLEANU 30,5 M

SUBIECTELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI EDIŢIA A VI-A, 26 MARTIE 2011

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE NOTĂ: FIECARE SUBIECT SE PUNCTEAZĂ DE LA 0 - 20 PUNCTE.

CLASA A III-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (25 PUNCTE): 1. Efectuaţi :

a)

b) 2. Puneţi paranteze pentru a obţine rezultatul dat: . Verificaţi ! 3. Produsul a trei numere este 54. Care sunt numerele, dacă suma lor este 14 ? 4. Spunem că două numere de două cifre sunt gemene dacă produsul cifrelor unuia este egal cu

produsul cifrelor celuilalt. Aflaţi numerele gemene cu numărul 23. SUBIECTUL II (25 PUNCTE): 1. Cotcodac e găinuşa ce íşi hrăneşte puii alternativ, fără a face discordie íntre ei. Din 6 ín 6 metri

ea găseşte câte un gândăcel. Ştiind că poteca este de 30 metri, aflaţi câţi gândăcei primeşte Sprintinel, puiul cel mic.

2. Unui număr i se adaugă la sfârşit cifra 0, apoi se scade din el numărul iniţial şi se obţine diferenţa 18. Care a fost numărul iniţial ?

SUBIECTUL III (10 PUNCTE): O veveriţă strânge alune pentru iarnă. Ea parcurge drumul de la casa ei până la alun íntr-un minut, iar la íntoarcere are nevoie de un timp de două ori mai mare decât la dus, pentru că se íntoarce, de fiecare dată, cu câte două alune. În cât timp va aduce la casa ei 100 alune ?

SUBIECTE ELABORATE/MODIFICATE/SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF.GHEORGHE OANCEA, ÎNV. : MARIETA MUŞEI, MIRELA MUNTENU ŞI MARIA CREŢU

4 7 7 3 7 7 7 8

110 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 2 1 5 4 49

16 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢII. BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE. 1.a) Calculul este

. Punctaj acordat: efectuarea calculelor din …2,8p; efectuarea

înmulţirilor: şi ….1,4p; răspuns final .... 0,8p. b) . Fiecare scădere câte 0,5p . Total: 5p. 2. Punctaj acordat: stabilirea locului parantezei…3p; verificarea egalităţii … 2p. Avem .

3. Punctaj acordat: descompunerea numărului 54 ín produs de trei factori….3p; stabilirea variantei corecte: căci …2p. 4. Punctaj acordat: stabilirea produsului cifrelor numerelor gemene: …2p; identificarea variantelor de descompunere a numărului 6 ca produs de doi factori şi anume:

…1,5p; numerele gemene sunt: 16, 23, 32, 61…1,5p. 1. Punctaj acordat: stabilirea numărului de interval: ….5p; găsirea numărului de

gândăcei: ….5p; numărul de gândăcei primiţi de Sprintinel: …5p. 2.Punctaj acordat: prin adăugarea cifrei 0 la sfârştul numărului , el se măreşte de 10 ori…3p; scrierea relaţiei: …3p; aflarea valorii …4p.

Punctaj acordat: stabilirea drumurilor dus-ntors: …3p; aflarea timpului necesar

pentru un drum dus-íntors: minute…3p; determinarea timpului necesar veveriţei: minute….4p.

CLASA A IV-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE):

1. Aflaţi x din egalitatea : .

2. Din jumătatea triplului celui mai mare număr par format din trei cifre diferite, scădeţi triplul dublului celui mai mic număr fomat din trei cifre pare distincte.

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. Un elev are la matematică patru note care reprezintă patru numere impare consecutive cu

proprietatea că dacă le adunăm cu dublul lor obţinem numărul 72. Care sunt notele pe care le are elevul ? (se consideră notă un număr de la 1 la 10 inclusiv).

2. Găsiţi o altă rezolvare a problemei de la punctul a), diferită de cea găsită anterior. SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1. Maimuţele Lulu şi Momo au cules banane. După ce Lulu íşi dublează numărul de banane,

Momo íi ia 8 banane. După trei astfel de ‘operaţii’, Lulu nu mai are nicio banană. Câte banane a avut la ínceput Lulu ? (Momo a promis că íi va da ínapoi bananele lui Lulu).

2. De ziua sa, Ana trebuie să stingă lumânările aprinse pe tort, ce reprezintă numărul anilor ímpliniţi. La fiecare suflare , ea stinge jumătate din lumânări. Ce vârstă a ímplinit Ana dacă din şase suflări a stins toate lumânările de pe tort ?

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF. IOAN SĂCĂLEANU, ÎNV. MARIA TEREZA RUGINĂ ŞI ÎNV. MARIA SIMIONESCU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

a) Punctaj acordat: pentru …2p; pentru calculul

…2p; pentru …1p; pentru

I 4 7 7 3 7 7 7 8 28 21 7 7 7 8 7 7 7 7 8

0 7 7 8 0 56 56 ... 0

0 7 0 7 8 56 56110 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

3 2 1 5 4 49 3 3 5 4 49 9 5 4 4 45 4 49 49 49 A

54 9 3 2 9 3 2 14 2 3 6

6 1 6 2 3 3 2 6 1 II 30 6 5:

5 1 6 6 2 3:a

10 18a a 2a III 100 2 50:

1 2 3 50 3 150

2011 10 4 3 2 2011 2 2011 2011x : :

I 2011 10 : 4 : 3 2 2011 2 4022x

2011 10 : 4 : 3 2 2011 2011x 10 : 4 :3 2 2011 0x

17 Micii MATEMATICIENI

…1p; …1p; …1p; pentru …1p;

. Deci …1p. b) Punctaj acordat: cel mai mare număr par, scris cu cifre diferite este 986…1,5p; triplul său este

…1,5p; jumătatea triplului este …1,5p; cel mai mic număr, scris cu cifre pare diferite este 204…1,5p; dublul său este …1,5p; triplul dublului este

…1,5p; efectuarea scăderii ….…1p. Soluţia 1 (din barem): Cum suma notelor adunatǎ cu dublul lor este 72 rezultǎ cǎ suma celor

patru note este . Cele mai mari note impare diferite au suma . Cum numerele consecutive sunt diferite rezultǎ cǎ notele elevului sunt 3, 5, 7 şi 9. Soluţia 2: Notele elevului pot fi 1, 3, 5, 7 şi 9, fiind numere impare. Cum sunt şi consecutive rezultǎ 2 situaţii: 1) dacǎ cele patru note sunt 1,3,5 şi 7 atunci suma lor este 16, iar adunatǎ cu dublul lor obţinem

48, nu convine. 2) dacǎ cele patru note sunt 3, 5, 7 şi 9 atunci suma lor este 24, care adunatǎ cu dublul lor ne dǎ

72. Prin urmare notele elevului sunt 3, 5, 7 şi 9. Soluţia 3: Notele elevului pot fi 1, 3, 5, 7 şi 9, fiind numere impare. Cum elevul are 4 note impare consecutive, adicǎ diferite rezultǎ cǎ trebuie sǎ eliminǎm o notǎ, notatǎ cu x. Suma notelor pe care le are elevul este pe de o parte , iar din enunţ deducem cǎ suma este

. Obţinem . Deci notele elevului sunt 3, 5, 7 şi 9. Soluţia 4: Notăm cu nota cea mai mică şi atunci celelalte note sunt: , , . Suma notelor este egală cu: . Obţinem ecuaţia

, de unde

, adică . Prin urmare notele la matematică sunt: 3, 5, 7, 9 . Punctaj acordat: aflarea sumei celor patru note: …4p; reprezentarea grafică sau scrierea relaţiilor…5p; aflarea unei părţi …2p; aflarea notelor: 3,5,7,9 …4p.

b) Pentru a doua metodă de rezolvare se acordă 5p. a) Notăm cu , numărul de banane pe care le-a avut iniţial Lulu. Exerciţiul problemei:

, de unde . Punctaj acordat: numărul de banane ínainte de a 3-a operaţie este …3p; numărul de

banane ínainte de a 2-a operaţie este …3p; numărul de banane pe care Lulu le-a avut

la ínceput este banane…4p.

b) Punctaj acordat: observaţia că la a 6-a astfel de operaţie nu poate fi decât o singură lumânare…3p; la a 5-a: …1p; la a 4-a: …1p; la a 3-a: …1p; la a 2-a:

…1p; la prima suflare, adică numărul anilor ímpliniţi: ani …3p.

CLASA A V-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE):

1. Arătaţi că numărul este pătrat perfect, unde

10 : 4 : 3 2 0x 10 : 4 : 3 2x 10: 4 6x 10 : 2x 10: 2x 5x

3 986 2958 2958 2 1479:2 204 408

3 408 1224 1479 1224 255 II

72:3 24 9 7 5 3 24

1 3 5 7 9 25x x 72:3 24 25 24 1x x

2 1k 2 3k 2 5k 2 7k 2 1 2 3 2 5 2 7 8 16k k k k k

8 16 2 8 16 72k k 8 16 16 32 72k k 24 48 72k 24 72 48k 24 24k 1k

72 3 24: 24 12 4 3 :

III a

2 8 2 8 2 8 0a 2 8 2 8 8 : 2a 2 8 2 8 4a 2 8 12: 2a

2 6 8a 14: 2a 7a 0 8 2 4 :

4 8 2 6 : 6 8 2 7 :

2 1 2 2 2 4 2 4 8 2 8 16 2 16 32

20112012 2010a b a b

18 Micii MATEMATICIENI

şi .

2. Arătaţi că nu este prim, oricare ar fi cifrele . SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. Să se determine numerele de forma ştiind că împărţind acest număr la obţinem câtul

egal cu şi restul egal cu . 2. Arătaţi că suma cifrelor numărului este divizibilă cu 2010. SUBIECTUL III (20 PUNCTE): Vârstele celor şapte pitici sunt numere naturale consecutive, iar cel mai mic pitic are vârsta un număr prim. Ştiind că Alba ca Zăpada este cea mai tânără dintre pitici şi că ímpreună ínsumează 172 ani, aflaţi vârsta fiecăruia.

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: OANA SPÂNU, OANA RĂDEANU ŞI NICOLETA PANŢÂRU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

1. Pentru ... 3p , iar pentru aflarea

lui ...4p. Aflarea lui ... 3p.

Atunci este pătrat perfect ....5p.

2. Avem ...4p

Deci nu este primcăci este divizibil cu 3, iar ... 1p.

1. Avem: …2p; …2p; de

unde ..2p. Dacă atunci …2p. Dacă atunci

. Deci ...2p.

2. Avem: ….5p. Suma cifrelor numărului A

este , de unde A este divizibil cu 2010….5p. Notăm cu vârsta celui mai mic pitic şi cu , vârsta Albei ca Zăpada. Din enunţ avem

şi ….3p, de unde găsim

…4p. Din rezultă …4p Din

rezultă ….4p. Găsim , care este prim …2p. Vârstele

piticilor sunt 19, 20, 21, 22, 23, 24, şi 25, iar Alba are 18 ani…..3p.

CLASA A VI-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE): 1. a) Arătaţi că are loc egalitatea : pentru orice .

b) Folosind a) calculaţi : . 2. Arătaţi că numărul nu este pătrat perfect, dar este divizibil

cu un pătrat perfect.

201120 5 2 6 2 22 4 1024 10 2 6 2011 2010 2011a : 2 1 1b x x x x x : : :21 3 78x abc cba bca a b c , ,a b c

xyzt yzt

1x 2x201110 2008A

I 201120 10 10 2 6 22 2 2 10 2 6 2011 2011 2010a :102a 102 2011

100 64 36 2011 0 2011 2011 1b

2011 2011 22012 2010 2012 2012 1 2012a b a b

102 120 111 21 3 78 123 117 33 3 41 39 11x a b c a b c a b c a b c

41 39 11 1a b c

II 1 2xyzt yzt x x 000x yzt yzt x yzt 2x

999 2yzt x 1x 999 2 997yzt yzt 2x

999 1 998yzt yzt 1997;2998xyzt

2011

2007

10 2008 10...00000 2008 99...9 7992A

2007 9 7 9 9 2 2007 9 3 9 9 2010 III p a

a p 1 2 ... 6 172p p p p a 7 21 172p a

7 151p a 0a 7 151p 151

7p 21,5.p a p

151151 7 18,875

8p p p p 19p

2 2a b a b a b ,a b2 2 2 2 2 2 22011 2010 2009 2008 .... 3 2 1

2 3 2010 20111 3 3 3 ... 3 3N

19 Micii MATEMATICIENI

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): Perechile de unghiuri , respectiv sunt adiacente şi

. Se ştie că măsurile sunt direct

proporţionale cu numerele şi , iar măsurile sunt invers proporţinale cu şi , unde sunt numere prime care verifică .

a) Să se determine numerele m, n şi p. b) Să se calculeze măsurile unghiurilor şi .

c) Dacă, în plus, unghiurile sunt adiacente, iar punctul M se găseşte în semiplanul determinat de dreapta OD şi punctul C, astfel încât şi N astfel încât

este bisectoarea , să se demonstreze că este şi bisectoarea .

SUBIECTUL III (20 PUNCTE): Un pătrat magic este un tabel având suma pe fiecare linie, pe fiecare coloană şi pe diagonală pe aceeaşi valoare. Tabelul alăturat este un pătrat magic completat cu cifre nenule şi distincte.

a) Arătaţi că . b) Demonstraţi că în colţurile pătratului sunt numai cifre pare. c) Găsiţi toate pătratele magice ce se pot forma.

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE:

PROFESORII: MIHAELA ŢURNEA, BOGDAN DORNEANU ŞI PETRONELA CIOBANU SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

1. a) Avem ... 5p(=3p+2p).

b) Observă , ... , ...3p.

Atunci expresia ... 3p.

2. ...2p

Cum ultima cifră a lui este 1, rezultă că ultima cifră

...2p Ultimele cifre ale lui N sunt . Deci, N nu este pătrat perfect căci pătratul unui număr cu ultima cifră 0 are forma ...1p. Grupăm termenii lui N câte 2 :

. Deci, N este divizibil cu

pătratul ...4p. a) Din este număr par şi, cum este şi prim, rezultă că …3p.

Din este divizibil cu 5, dar este prim, rezultă că şi …3p.

b) Din enunţ se obţin relaţiile: , . Rezultă

că …4p. Obţinem că ,

şi … 2p.

c) Din realizarea corectă a figurii obţinem că , de unde

,AOB BOC ,BOC COD 0140m AOB m BOC m COD ,AOB BOC

m n ,BOC COD pn , ,m n p 10 2 82m n p

,AOB BOC CODAOC COD

090m DOM

ON COM ON AOD

5x

I a b a b a b a a b b 2a ba ab 2 2 2b a b

2 22011 2010 2011 2010 2011 2010 2011 2010 2 23 2 3 2 22011 2010 2009 2008 ... 3 2 1 1006 2011 2023066

2 3 4 5 6 7 2008 2009 2010 2011 4 20081 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3 40 1 3 .. 3N 43 k 4 20081 3 .. 3 1 502 1 3U U

...20

...00

2 20101 3 3 1 3 ... 3 1 3N 2 4 20104 1 3 3 ... 3N 24 2

II 10 2 82m n p m 2m 5 40n p p p 5p 7n

2 7

m AOB m BOC

5 7m BOC m COD

00140

102 7 5 14

m AOB m BOC m COD

020m AOB

070m BOC 050m COD

m MOD m MOC m COD

a b c d x e m n p

20 Micii MATEMATICIENI

...2p. Avem ,

căci bisectoarea ...3p . Rezultă că ,

dar cum rezultă că bisectoarea ...3p

a) Suma tuturor cifrelor din pătratul magic este ...1p. Rezultă că

suma pe fiecare linie, pe fiecare coloană şi pe fiecare diagonală este ...1p. Adunând cifrele de pe linia, coloana şi de pe cele 2 diagonale pe care se află obţinem , de unde ...4p. b) Vom arăta că oricare din cifrele 1, 3, 7 sau 9 nu poate fi plasat într-un colţ al pătratului magic. Vom raţiona pentru cifra 9, pentru celelalte făcându-se raţionamente similare. Într-adevăr, dacă vom plasa într-un colţ pe 9 atunci în colţul opus va fi cifra 1, căci suma pe digonală este 15 ....2p. Rezultă că că cifra 7 se află ori pe linia sau coloana lui 9, fals căci suma lor depăşeşte 15 ori pe linia sau coloana lui 1, deasemenea fals căci cealaltă cifră ar fi , în contradicţie cu faptul că cifrele sunt distincte ...2p. Prin urmare, colţurile sunt ocupate numai de numere pare. c) Poziţia cifrei 8 se află într-un colţ. Atunci în colţul opus este 2. Dacă plasăm cifra 6 într-unul din colţurile neocupate putem completa întregul pătrat magic. Cum cifra 8 poate ocupa 4 colţuri, iar cifra 6 numai 2 dintre colţurile rămase rezultă că avem

pătrate magice . Fiecare pătrat descoperit se punctează cu 1p. Total: 8p.

CLASA A VII-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE):

1. Să se determine numărul prim ştiind că partea întreagă a numărului este 6. 2. Arătaţi că nu există un număr întreg astfel încât . 3. a) Descompuneţi în factori expresia .

b) Folosind descompunerea de la a) să se calculeze:

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): Tâmplarul şcolii vrea să construiască o scară având forma trapezoidală cu dimensiunile treptelor din figura alăturată. Se ştie că

, şi .

a) Stabiliţi câte trepte are scara. b) Calculaţi câte scânduri de lungimea 3,5 m trebuie să cumpere

tâmplarul pentru a putea confecţiona scara cu cât mai puţin material ca reziduu.

c) Care este lungimea totală a materialului pierdut. SUBIECTUL III (20 PUNCTE): Se consideră cu şi . Punctele S şi T se află pe laturile AB,

respectiv BC astfel íncât . Dreptele AT şi CS se intersectează ín P.

Demonstraţi că . SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE:

PROFESORII: CONSTANTIN NASTASĂ, CRISTINA MACOVEI ŞI ROXANA ROPOTĂ

0 0 090 50 40m MOC 0120

2m MON m CON m COM

ON COM 070m NOD m MOD m MON

0140m AOD ON AOD

III10 9

1 2 ... 9 452

45:3 15x 3 45 4 15x

3 60 45x 3 15x 5x

15 1 7 7

4 2 8

ab ab0x 2011 25 2 0x x x

3 2x x

4 7 2 6 9 2 8 11 2 ... 2010 2013 2

5 8 2 7 10 2 9 12 2 ... 2009 2012 2E

1 2 2 3 1... 20n nA A A A A A cm / 3, 4AA m /1 10nAA A A cm

ABC AB AC 040m BAC

010m BAT m BCS 2BT PT

8 3 41 5 96 7 2

/A

2A

30cm

40cm

50cm.

.

.

1A

3A

nA

A

21 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

1. Din ... 2p. Prin ridicare la pătrat, obţinem ... 1p. Deci,

, căci este număr prim ... 1p. 2. Presupunem prin absurd că există un astfel de număr. Împărţind prin obţinem

… 1p. Se observă că este pătrat perfect … 1p. Prin urmare şi

este pătrat perfect. Atunci ultima sa cifră poate fi 0, 1, 4, 9, 6 sau 5 … 1p, afirmaţie în contradicţie cu faptul ca ultima cifră a lui este 2 dacă x este par sau 7 dacă x este impar … 1p. Conform metodei reducerii la absurd rezultă că nu există cu proprietatea din enunţ … 1p. 3.a) Avem: ... 5p.

b) Observaţia că ; ; ... ; ... 2p. Observaţia că ; ; ... ; ... 2p.

Deci ... 2p.

a) Din ... 2p. Numărul de intervale dintre trepte

este , iar numărul de trepte este ... 1p. b) Lungimile treptelor sunt: , , ..., ... 3p.

Materialul necesar are lungimea de

... 3p.

Numărul de sc scânduri este 8, căci ... 1p c) Din rezultă că se folosesc 5 scânduri fără a pierde material. ... 5p. Pentru treapta de 120 cm, cele de 340 cm se folosesc 3 scânduri ...2p. Pierderea de material este ...3p.

Triunghiul ABC este isoscel, deci ...2p. Deoarece

şi rezultă că ...2p.

Avem (cazul UU), de unde ...3p. În plus,

(unghi comun) ...3p , de

unde ...3p. Deoarece ...3p şi dreptunghic în P, rezultă că

(teorema unghiului de ) ...3p. Deci ...1p

CLASA A VIII-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (30 PUNCTE):

1. Fie expresia : .

a) Aduceţi la forma cea mai simplă ín condiţiile de existenţă determinate ín prealabil.

b) Pentru ce valori ale lui , partea íntreagă a numărului este inversul lui ?

I 6 6 7ab ab 36 49ab

41ab ab0x

2010 5 2x x 22010 1005x x 5 2x

5 2x0x

2 23 2 3 2 2 2 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x x x

4 7 2 5 6 6 9 2 7 8 2010 2013 2 2011 2012 5 8 2 6 7 7 9 2 8 9 2009 2012 2 2010 2011

5 6E

7 ... 2010 2011 2012

6

7 ... 2010 2011

5 2012 10060

II / /1 1 1 320n n nAA AA A A A A A A cm

320: 20 16 16 1 17 1 10 1 20l 2 10 2 20l 17 10 17 20 190l cm

/1 2 17... 2l l l AA 10 1 2 ... 17 20 17

17 1810 20 17 2 340

2

17 90 20 2 340 1870 680 2550 25,5cm m

25,5 : 3,5 7, 2350 190 160 180 170 150 100 60 40 140 110 30 70 130 80 90 50

3 350 120 2 340 150 cm

III 070m ABC m ACB

0 0 040 10 30m TAC 0 0 070 10 60m ACS 090m APC

BAT BCS BT AB BT BS

BS BC AB BC SBT CBA

LUL

BST BCA 070m BST m BCA BST TBS BT TS 030m TSP TSP

2

STPT 030 2BT PT

2

222

16

33)1)(1(

1

221

1

1)(

x

xxxxx

x

x

x

xxE

E x

x E x E x

22 Micii MATEMATICIENI

2. a) Demonstraţi că pentru orice are loc inegalitatea: .

b) Arǎtaţi cǎ are loc inegalitatea: .

SUBIECTUL II (15 PUNCTE): Trei elevi au scris fiecare câte 60 de cuvinte. Analizând listele, s-au şters cuvintele care s-au găsit cel puţin de două ori. După această operaţie s-a constatat că un elev a rămas pe listă cu 40 de cuvinte, altul cu 48, iar ultimul mai are pe listă 43. Să se demonstreze că cel puţin un cuvânt a fost scris de toţi trei. SUBIECTUL III (15 PUNCTE): Să se arate că tetraedrul care are lungimile muchiilor laterale egale cu şi care fac între ele unghiuri de , , respectiv are două înălţimi egale.

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: MIRCEA POPA, RAMONA DARIE ŞI IULIANA BLANARIU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

1.a) Efectuând calculele, obţinem

…4p

…4p, de unde prin simplificare: , adică ….2p. Din

condiţiile de existenţă: şi rezultă ín final că …1p.

b) Cum partea întregă rezultă că …1p, de unde obţinem că

. Cum …2p. Rămâne soluţia deoarece

; şi …2p.

2. a) Avem …3p , de unde

…2p, , adevărată …2p. b)

Însumând inegalităţile obţinute pentru , atunci suma din membrul stâng este mai mare

ca , q.e.d. ….4p + 3p.

Notăm cu , , mulţimea cuvintelor scrise de primul elev, de al doilea elev, respectiv de

al treilea. Notăm cu , , şi cu , numărul de cuvinte şterse numai de pe listele A şi B, numai de pe A şi C, numai de pe B şi C, respectiv numai de pe listele A, B, C. ….2p. Se obţin relaţiile: , şi …3p. Vom arăta că . Presupunem, prin absurd, că . Obţinem sistemul format din

, , . Adunăm primele două ecuaţii:

0;2012x2012 1006

x x

x

1 2 3 2011

... 20112011 2010 2009 1

3060 090 0120

I 2 2

22

( 1)( 1) 3 11 1( ) 1 2

1 1 16

x x x x xx xE x

x x x

2 2

1)2

1 ( 1)( 1 3 )( ) 1

1 16xx x x x x

E xx x

2 2

2

1 1 ( 1)( 2 1)( )

1 16

x x x x xE x

x x

24

( )x

E x 2

1x

2( 1)x

2

( 1)

16

x

x

1

4

xE x

1x 0x 2; 3; 5;1;3x

E x 4

1x

41x Đ

2; 3; 5;0;1;3x x 0;1;3x 3x

1 1

0 0 42 0

EE

1 11 0 2

2 1E

E

13 1

3E

E

22

:2 2

1

2012 1006 2012 1006 2012 1006x

x x x x x

x x x

2 21006 2012x x 22 22 1006 1006 0 1006 0x x x

1, 2011k

1 2 3 .. 2011 2011 1006

1006

10062011

II A B Ca b c p

60 40 20a b p 60 48 12a c p 60 43 17b c p 0p 0p

20a b 12a c 17b c

23 Micii MATEMATICIENI

, contradicţie cu . Prin urmare, şi cum

rezultă că , adică cel puţin un cuvânt a fost scris de toţi trei … 10p.

Notăm VABC tetradrul cu şi , ,

. Notăm cu înălţimile tetraedrului duse din X. Volumul este

...3p. Ducem . În cu

, avem ...3p. Atunci

aria ...3p. Cum este isoscel cu un unghi de rezultă că este

echilateral, iar aria sa este ...3p. Cum rezultă că înălţimile

....3p.

***

ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI

GRIGORE C. MOISIL

Profesorul Grigore C. Moisil a devenit un nume vehiculat de extreme de mulţi, dar cunoscut de extreme de puţini. Pentru cei tineri, el face parte din panoplia istoriei – alături de Ştefan cel Mare sau Constantin Brâncuşi de exemplu. Moisil era cunoscut în ţară mult mai mult decât un om de ştiinţă. Era o personalitate publică, cu dese apariţii la televiziune (între anii 1966-1973 programul TV nu era încă redus la două ore pe zi, iar cultul personalităţii nu acaparase încă tot ce se citea sau scria) şi în medii culturale. Aproape săptămânal exista o apariţie a academicianului în spaţiul public. Cu un farmec de inegalat, profesorul devenise celebru prin replicele pe care le servea interlocutorilor săi şi care – dincolo de efectul imediat mai mult sau mai puţin comic – erau pline de o adâncă înţelepciune.

*** Pe parcursul acestui număr al revistei, vom presăra sub titlul D’ALE LUI MOISIL câteva dintre vorbele de duh ale academicianului Grigore C, Moisil, împrăştiate cu dărnicie de-a lungul anilor.

D’ALE LUI MOISIL

Cineva l-a întrebat: CREDEŢI CĂ E POTRIVIT CA UN PROFESOR SĂ FACĂ GLUME LA CURSURI ?

Profesorul Moisil a răspuns: ŞTIINŢA NU E TRISTĂ, DECÂT PENTRU UNII. O reporteră spune la un moment dat, în cursul unui interviu: -ŞTIŢI CĂ ADEVĂRUL SUPĂRĂ !

Moisil: PE MINE O TEOREMĂ DE MATEMATICĂ NU M-A SUPĂRAT NICIODATĂ. Un prieten îi spune într-o zi:

MATEMATICA ASTA PE CARE O PREDICI TU, M-AM SĂTURAT DE EA PÂNĂ LA GÂT. 

Moisil: DAR MATEMATICĂ SE FACE DE LA GÂT ÎN SUS!

CULEASĂ DE NEICU MARA

152 32 2 17 32

2a b c a a a 0p

p 1p

III 3VA VB VC 090m AVB 060m CVB

0120m AVC , , ,Xh X A B C

1 1 1

3 3 3VAB C VBC A VAC BV A h A h A h ,AM CV M CV VAM

090m VMA 060m AVM 0sin 60AM

VA

3

2 3

AM

3

2AM

1 3 3

2 4VACA VC AM VBC 060

2 31 3 3

4 4VBC

VCA VBC VACA A

A Bh h

24 Micii MATEMATICIENI

TESTAREA ABSOLVENŢILOR DE CLASA A IV-A ÎN VEDEREA ÎNSCRIERII ÎN CLASA A V-A

VARIANTA NR. 1, MAI 2011 SUBIECTUL I (22 PUNCTE): Micşoraţi cel mai mic număr de trei cifre distincte cu triplul

numărului , ştiind că .

SUBIECTUL II (30 PUNCTE): Află numărul necunosut din egalităţile: a) ; b) ; c) .

SUBIECTUL III (25 PUNCTE): 1. În timp ce vulpea mănâncă 2 peşti, ursul mănâncă 4 peşti. împreună au mâncat 30 peşti. Aflaţi câţi peşti a mâncat ursul. Justificaţi răspunsul. 2. Într-o scădere, scăzătorul este cu 125 mai mic decât descăzutul. Diferenţa este jumătate din scăzător. Aflaţi descăzutul, scăzătorul şi diferenţa. SUBIECTUL IV (13 PUNCTE): Micşoraţi cel mai mic număr impar de trei cifre cu triplul numărului , ştiind că .

VARIANTA NR. 2, MAI 2011 SUBIECTUL I (30 PUNCTE): 1. Stabileşte valoarea de adevăr a egalităţilor, notând cu A pe cele adevărate şi cu F pe cele false:

a) ; b)

2. În curtea bunicii 3 vulpi pândesc 5 pui, dar şi pe Azorel, câinele. Câte picioare se află ín curte ? SUBIECTUL II (22 PUNCTE): Să se determine numerele consecutive , , din egalitatea:

.

SUBIECTUL III (28 PUNCTE): 1. Bunica are 52 ani, iar mama 30. Peste 2 ani suma vârstelor bunicii, mamei şi Laurei va fi 93 ani.

Aflaţi câţi ani are Laura. 2. Un bunic are 61 ani. Cei 5 nepoţi ai săi au vârstele de 15, 11, 10, 6, respectiv 3 ani. Aflaţi peste

câţi ani vârsta bunicului va fi egală cu suma vârstelor nepoţilor. SUBIECTUL IV (10 PUNCTE): Nepoata bunicii ínşiră mărgele pentru păpuşa ei astfel: una roşie, una galbenă, una verde, una albă, una roşie, una galbenă, una verde, una albă,… ínsumând 28. a) Câte mărgele are de fiecare fel ? b) Ce culoare va avea a 17-a mărgică ?

VARIANTA NR. 3, MAI 2011 SUBIECTUL I (32 PUNCTE): Aflaţi numărul necunoscut din fiecare dintre egalităţile următoare

a) ;

b) . SUBIECTUL II (22 PUNCTE): 1. George are lei, iar Mihai are lei. Dacă Mihai cheltuieşte 10 lei, acum cei doi au sume

egale. Determinaţi numărul . 2. Dimineaţa, o cioară zboară pe prima creangă şi croncăne o dată, apoi zboară pe a doua creangă

şi croncăne două ori, apoi zboară pe a treia creangă şi croncăne trei ori şi aşa mai departe. a) De câte ori va croncăni pe a 8-a creangă ? b) Pe a câta creangă va sta cioara când va croncăni a 46-a oară ?

SUBIECTUL III (28 PUNCTE): Suma a două numere este 240, iar diferenţa lor este de 2 ori mai mare decât numărul mai mic. Să se afle cele 2 numere şi apoi, să se determine câtul şi restul ímpărţirii dintre succesorul numărului mai mare cea mai mare cifră. SUBIECTUL IV (8 PUNCTE): Cei 12 oameni aflaţi íntr-o cameră poartă cămaşă. 6 dintre ei poartă haină, 4 dintre ei poartă vestă, iar 3 poartă şi haină şi vestă. Câţi sunt doar ín cămaşă ?

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: IOAN SĂCĂLEANU, AUREL NEICU, GHEORGHE OANCEA, RAMONA DARIE

a 10 10 8 8 9 6 3 3 6a : :

528 8 4 490c 17 3 9 5 14a 8 28 4 15 5 67b b : :

a 10 10 10 7 8 9 88 4 3 2a : : :

10 6 3 5 10 1400 26 8 6 7 21 4 4 : :

a b c

2011 3 729 9 9 1984a b c : :

100 5 29 8 6 4 10 279 9 1755 5 5 190a : : :1 2 3 4 5 6 2011 2011 1001 9 1001b : :

a 2 aa

25 Micii MATEMATICIENI

PROIECTUL EDUCAŢIONAL SUPER MATE

Iată că a mai trecut un an!...Un an bogat, plin de realizări. Realizări care nu s-au obţinut

uşor. S-au obţinut datorită pregătirii de zi cu zi a elevilor, îndrumaţi de învăţătorii lor. La toate

acestea s-a adăugat activitatea de sâmbătă cu sâmbătă, susţinută de cadrele didactice implicate în

PROIECTUL EDUCAŢIONAL SUPER MATE.

Pentru aceasta le mulţumim învăţătorilor şi profesorilor care au renunţat la timpul lor liber

şi au venit la şcoală sâmbăta:

ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. LUMINIŢA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. VASILICA TEODORESCU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. PETRONELA CIOBANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. VASILE ROZNOVĂŢ, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. MIRCEA POPA, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU,

PROF. GEORGETA ROPCEANU, ŞCOALA DIN SLOBOZIA,

ÎNV. CĂTĂLINA EŞANU, ŞCOALA DIN PÎRCOVACI,

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU.

În cele două grupe de la clasele a III-a şi a IV-a sunt cuprinşi elevi de la şcolile: Hîrlău,

Pîrcovaci, Maxut, Deleni, Zagavia, Scobinţi, Poiana Deleni, Slobozia. Chiar dacă este vânt, ploaie,

ger sau vreme bună aceşti copii vin sâmbătă de sâmbătă pentru că le place ceea ce fac, le place

matematica.

Proiectul se bucură de un real interes, deoarece toate cadrele didactice sprijină această

activitate, iar cei implicaţi direct, indiferent de şcoală, formează o echipă de lucru, sprijinindu-se

reciproc, găsind soluţii variate de rezolvare a subiectelor, ceea ce îi atrage pe elevi şi mai mult.

Ne mândrim cu rezultate deosebite obţinute şi anul acesta la concursurile la care au

participat elevii noştri.

Deoarece a devenit o necesitate în viaţa şcolii noastre, elevii, părinţii şi cadrele didactice şi-

au exprimat dorinţa ca proiectul să-şi deruleze activitatea şi în anii următori.

RESPONSABIL AL CENTRULUI 6,

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

26 Micii MATEMATICIENI

CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI

Vom prezenta activitatea cercului CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI desfăşurată în 2010-2012. 1. Pregătirea concursurilor şcolare prin rezolvarea problemelor propuse în diverse reviste.

Astfel, unii membri ai cercului au apărut la Rubrica rezolvitorilor în revistele: GAZETA MATEMATICĂ, BUCUREŞTI

CLASA A V-A (PROFESOR ÎNDRUMĂTOR AUREL NEICU) Musteaţă Robert Andrei (7-11/2011); Deleanu Radu (10+11/2011); Maticiuc Cosmin (10+11/2011); Petcu Stelian(10+11/2011); Vicol Ştefan (10+11/2011); Bezedică Robert (11/2011); Florişteanu Bianca (11/2011); Pavăl Mihai (11/2011). CLASA A VI-A (PROFESOR ÎNDRUMĂTOR IOAN SĂCĂLEANU) Bârzu Antonia Alexandra (10/2011); Călin Constantin (10/2011); Ciobanu Laura Maria (10/2011); Loghin Andrei Florin (10/2011); Munteanu Claudia (10/2011); Petraş Iolanda (10/2011).

REVISTA DE MATEMATICĂ ALPHA, CRAIOVA CLASA A VI-A (PROFESOR ÎNDRUMĂTOR IOAN SĂCĂLEANU) Bârzu Antonia Alexandra (1+2/2011); Călin Constantin (1/2011); Ciobanu Laura Maria (1/2011); Loghin Andrei Florin (1/2011); Munteanu Claudia (1+2/2011); Petraş Iolanda (1/2011) Luchian Amalia Andreea(1+2/2011); Habdulea Georgiana(1/2011); Buzămurgă Raluca Georgiana (1+2/2011); Huţanu Denisa (1+2/2011); Formagiu Anisia (1+2/2011); Habdulea Gabriel (1/2011); Aştefănesei Daniel (1/2011); Puhă Alexandru (1/2011); Lungu Marina Diana (1/2011); Cotnăreanu Marian (1/2011); Ursan Otniel Eduard (1/2011); Pavăl Maria (1/2011); Gheorghiţă Alexandra (2/2011); Nastasă Ana Maria (2/2011); Vulpe Eusebiu Gabriel (2/2011); Aursulesei Laura Ioana (1/2011) .

2. Rezultate obţinute la Concursuri (premii şi menţiuni) Participarea elevilor la următoarele concursuri:

o CONCURSUL ŞCOLAR NAŢIONAL DE COMPETENŢĂ ŞI PERFORMANŢĂ COMPER

Clasa a V-a – mentor Aurel Neicu; clasele a VI-a şi a VIII-a –mentor Ioan Săcăleanu o

CONCURSUL INTERNAŢIONAL DE MATEMATICĂ MATHEMATIQUES SANS FRONTERES Clasa a V-a – mentor Aurel Neicu; clasa a VI-a şi a IX-a –mentor Ioan Săcăleanu Rezultate obţinute la diverse concursuri:

o OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ , ETAPA JUDEŢEANĂ

Clasa a V-a ( Aurel Neicu) Musteaţă Robert Andrei (M/2012); Clasa a VI-a (Ioan Săcăleanu) Călin Constantin (M/2012).

o CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI

Clasa a IX-a (Ioan Săcăleanu): Spiridon Gabriela (P1-jud+M-naţional/2011); Ceucă Răzvan (M-jud/2011). (Gheorghe Oancea): Leahu Andrei (P1-jud/2012); Curecheriu Ionela Alexandra (P3-jud/2012). Clasa a X-a (Ioan Săcăleanu): Pletan Denisa Elena (P2-jud/2012), Spiridon Gabriela (M-jud/2012); Găină Petronela Bianca (M-jud/2012); Pintilii Alina Sînzîiana (M-jud/2012). Clasa a XI-a (Iuliana Blanariu): Dorcu Irina Lucreţia(M-jud/2011), Pânzariu Valeriu (M-jud/2012) . (Ramona Darie): Proca Mihaela (P1-jud/2012). Clasa a XII-a (Ioan Săcăleanu): Atasiei Denisa (M-jud/2011), Atârgoviţoaiei Anca (M-jud/2011); Gavriluţă Alexandra (M-jud/2011).

27 Micii MATEMATICIENI

o CONCURSUL DE MATEMATICĂ FLORICA T. CÂMPAN

Clasa a VII-a (Ioan Săcăleanu): Murariu Maria (M/2011). o

CONCURSUL INTERDISCIPLINAR HENRI COANDĂ Clasa a VI-a (Ioan Săcăleanu / Anca Bobîrnă): Călin Constantin, Puhă Alexandru (M/2012); Clasa a VII-a (Ioan Săcăleanu / Florentina Sârbu): Bobîrnă Costin Petru (MS/2011). Clasa a VIII-a (Ioan Săcăleanu / Anca Bobîrnă): Huţanu Mădălina (MS/2011); Mititelu Melissa Florina (M/2011); Călinescu Ana Maria (M/2011).

o CONCURSUL INTERJUDEŢEAN SPERANŢE OLIMPICE

Clasa a V-a (Ioan Săcăleanu): Puhă Alexandru (P2/2011); Suruniuc Alexandru (P3/2012); Bortaş Ionuţ (PS/2012). ( Aurel Neicu) Musteaţă Robert Andrei (M/2012). Clasa a VIII-a (Ioan Săcăleanu): Mititelu Melissa Florina (M/2011).

o CONCURSUL MICII MATEMATICIENI

Clasa a V-a (Ioan Săcăleanu): Călin Constantin (P2/2011); Pavăl Maria (M/2011). Clasa a VI-a (Gheorghe Oancea): Tănase Doru (M/2011); Pricop Cătălin (M/2011) Clasa a VII-a (Ioan Săcăleanu): Murariu Maria (P1/2011) Clasa a VIII-a (Ioan Săcăleanu): Ifrim Rareş (M/2011)

o CONCURSUL DE MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE

Clasa a VII-a (Gheorghe Oancea, Florentina Sârbu, Mirela Oancea, Tatiana Vatavu): Agheorghiesei Tudor (P1/2012); Pricop Cătălin Adelin (P2/2012); Dolhescu Alexandra Cătălina (P3/2012); Cernescu Bogdan Florin (M/2012); Ciubuc Remus Mihail (M/2012); Cozma Roxana Elena (M/2012); Matei Dragoş Adelin(M/2012); Puiu Vlad Gabriel(M/2012)

CATEDRA DE MATEMATICA

A COLEGIULUI NAŢINAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

***

CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI S-au înscris la EDIŢIA A IV-A DIN FEBRUARIE 2012 următorii elevi: PREMIUL AL III-LEA (20 ron) LEONARD VÎRLAN (5 probleme) ELEV, CLASA A VIII-A, DE LA COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA MENŢIUNE (15 ron) ANDREEA CĂTĂLINA LOGHIN ( 3 probleme) ELEVĂ, CLASA A VIII-A, DE LA COLEGIUL NAŢIONAL, ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

FELICITĂRI ! Premiile se vor înmâna la festivitatea de deschidere a concursului MICII

MATEMATICIENI din 28 aprilie 2012.

28 Micii MATEMATICIENI

PROBLEME ŞI SOLUŢII Această rubrică conţine enunţurile şi soluţiile PROBLEMELOR PROPUSE în numărul 5 al revistei MICII MATEMATICIENI din martie 2011. MATEMATICA PITICĂ P. 67 : Verificaţi, prin calcul egalitǎţile:

.

Gǎsiţi o altǎ modalitate de a verifica aceste egalitǎţi, diferitǎ de cea prin calcul ! INST. ELEONORA-DIANA BUCICĂ, ŞCOALA DEALUL VIILOR, CĂTUNELE, GORJ

SOLUŢIE: Efectuând înmulţirile se obţin rezultatele: ,

, , . O altă modalitate de a verifica aceste egalităţi

constă ín a folosi descompunerea ín produs a fiecarui factor din egalitate . De exemplu, pentru a verifica ultima egalitate: scriem pe , pe , pe , iar pe

. Atunci egalitatea devine , iar adevărul ei rezultă din

proprietatea de asociativitate şi comutativitate a operaţiei de ínmulţire.

P. 68 : Câte picioare au cinci familii de iepuri a câte trei iepuraşi fiecare? INST. GABRIELA-LILIANA ONOFREI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: O familie de iepuri are 5 membri, adică picioare. Cele 5 familii vor avea picioare.

P. 69 : Aflaţi din egalitatea: .

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE:

. Deci . P. 70 : Rica e gǎinuşa ce îşi hrǎneşte cei doi pui alternantiv, fǎrǎ a face discordie între ei. Din 4 in 4 metri ea gǎseşte câte un gândǎcel. Ştiind cǎ poteca este de 20 metri , aflaţi câţi gândǎcei primeşte Roro , puiul cel mic. ÎNV. MARIA-TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Reprezentarea grafică este: Prin urmare, Rica a găsit 6 gândăcei,iar Roro a primit

gândăcei. P. 71 : Două bucăţi de pânză au aceeaşi lungime. După ce s-au vândut 36 m din prima şi 50 m din a doua, în prima rămâne de 2 ori mai multă pânză decât în a doua. Câţi metri de pânză a avut fiecare bucată de pânză.

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

12 42 21 24

12 63 21 36

12 84 21 48

13 62 31 26

24 63 42 36

24 84 42 48

26 93 62 39

36 84 63 48

12 42 21 24 504

12 63 21 36 756

12 84 21 48 1008

13 62 31 26 806

24 63 42 36 1512

24 84 42 48 2016

26 93 62 39 2418

36 84 63 48 3024

36 84 63 48 36 9 4 84 7 12 63 9 7 48 4 12 9 4 7 12 9 7 4 12

5 4 20 5 20 100

x 2011 10 : 4 :3 2 2011 2 2011 2011x

2011 10 : 4 : 3 2 2011 2 4022x 2011 10 : 4 :3 2 2011 2011x

10 : 4 :3 2 2011 0x 10 : 4 : 3 2 0x 10 : 4 : 3 2x 10: 4 6x

10: 2x 10: 2x 5x

6: 2 3

G _____ G _____ G ______ G _______ G _______ G 4 m 4 m 4m 4m 4m

29 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIA 1(a autoarei): Din datele problemei şi analizând schiţa alăturată, deducem că diferenţe de metri vândute dintre cele două bucăţi reprezintă ce a rămas din a doua bucată după vânzare, adică (m). Deci la început bucăţile aveau : (m) SOLUŢIA 2: Notăm cu , lungimea comună a celor două bucăţi de pânză. Din enunţ se deduce egalitatea: , de unde metri.

P. 72 : La un concurs de întrebări au participat două echipe, una cu 4 copii şi cealaltă cu 6 copii. Dacă fiecare din copii unei echipe propune câte o întrebare pentru fiecare din copii echipei adverse, câte întrebări vor fi în total?

INST. GABRIELA-LILIANA ONOFREI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: O echipă propune , iar cealaltă . În total vor fi propuse 48 íntrebări. P. 73 : Dacǎ adunǎm numǎrul bondarilor cu dublul numǎrului fluturilor care au vizitat dimineaţǎ trandafirii din grǎdinǎ obţinem 61 de insecte, iar dacǎ adunǎm numǎrul fluturilor cu dublul numǎrului bondarilor, obţinem 68 insecte. Câţi bondari şi câţi fluturi au fost în grǎdinǎ ?

ÎNV. MARIA-TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu şi cu numărul bondarilor, respectiv al fluturilor. Obţinem egalităţile (1) şi . Înmulţind ultima relaţie cu 2 găsim: , de unde

. Folosind (1) obţinem . Înlocuim ín

(1) şi obţinem , de unde . Deci 18 fluturi şi 25 bondari.

P. 74 : Un milionar lasă moştenire 1 000 000 euro pentru soţia sa, cei doi fii şi două fiice. Conform testamentului, soţia trebuie să primească de două ori mai mult decât un fiu, iar un fiu de două ori mai mult decât o fiică. Ce sumă primeşte fiecare?

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Dacă notăm cu suma moştenită de o fiică. Atunci un fiu moşteneşte , soţia

. Obţinem: , de

unde . În concluzie, o fiică primeşte 100000 euro, fiecare fiu suma de 200000 euro, iar soţia suma de 400000 euro.

P. 75 : Câtul a două numere este 6, dar dacă iau din numărul mai mic 5 şi adaug numărului mai mare, câtul lor devine 7. Determinaţi cele două numere.

ÎNV. MARIA ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA CORP B, IAŞI SOLUŢIE: Dacă şi sunt numerele cerute atunci avem şi . Înlocuind

pe obţinem: . Cele

două numere sunt 40 şi 240.

P. 76 : Câte pagini are o carte dacǎ la numerotarea ei, cifra 0 a fost folosită de 36 de ori ? PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

SOLUŢIE: De la pagina 1 până la 99 cifra 0 a fost folosită de 9 ori, pentru pagina 100 de 2 ori. De la pagina 101 până la 109 cifra 0 a fost folosită de 9 ori, iar de la pagina 110 până la 199 de íncă 9 ori. Pentru pagina 200 cifra 0 a fost utilizată de 2 ori, iar de la pagina 201 la 205 de íncă 5 ori. Aşadar, până la pagina 205, cifra 0 a fost folosită de 9+2+9+9+2+5=36 de ori, adică cartea are 205 pagini.

143650 64361414

x

36 2 50x x 36 2 100 100 36 2 64x x x x x

4 6 24 6 4 24

b f

2 61b f 2 68b f 4 2 136b f

3 2 136b b f 3 61 136b 3 75 25b b 25 2 61f 2 36f

p 2 p

2 2 4p p 2 2 2 4 1000000p p p 2 4 4 1000000p p p

10 1000000 100000p p

a b 6a b 5 7 5a b

a 6 5 7 5b b 6 5 7 35b b 35 5 7 6b b 40 b

|-----|-----|-----| prima bucată

|-----| a doua bucată

--36--|

|------50-----

30 Micii MATEMATICIENI

P. 77 : Într-un număr de 3 cifre, din joacă, Radu inversează cifra zecilor cu cea a unităţilor.El observă că dacă adună numărul astfel format cu numărul iniţial, suma obţinută este un număr de 4 cifre de forma .Care poate fi cifra unităţilor sumei obţinute? Dar numărul iniţial ?

INST. CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA CORP B, IAŞI SOLUŢIA 1: Folosind algoritmul de adunare cu trecere peste ordin,din adunarea dată ín enunţ

deducem că şi (ordinul sutelor), de unde . Cum atunci (ordinul zecilor), de unde , iar

. Prin urmare, numerele sunt 992, 983, 974, 965, 956, 947, 938 şi 929. SOLUŢIA 2 (la nivel de clasa a V-a): Fie numărul . Prin inversare se obţine numărul . Avem (1). Dacă atunci numerele şi sunt mai mici ca 900, de unde , adică , fals. Prin urmare . Înlocuind şi folosind scrierea ín baza 10 relaţia (1) devine: .

Scoatem factorul comun 11 şi găsim . Deducem că este multiplul lui 11.

Deci şi . Numerele sunt 992, 983, 974, 965, 956, 947, 938 şi 929. P. 78 : Într-o cutie sunt numai bile de trei culori: roşii, galbene şi negre. Numai 27 dintre ele nu sunt negre, numai 39 nu sunt roşii. Câte bile de fiecare culoare sunt în cutie ştiind cǎ numǎrul bilelor roşii este de douǎ ori mai mic decât numǎrul bilelor negre ?

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Vom nota cu , şi numărul bilelor roşii, galbene, respectiv negre din cutie. Cum numai 27 dintre ele nu sunt negre, deducem că . Din faptul că numai 39 nu sunt roşii găsim că . Diferenţa lor ne dă şi cum mai avem obţinem

şi . Deci sunt 12 bile roşii, 15 galbene şi 24 negre. P. 79 : Aflaţi numǎrul ştiind cǎ dacǎ mǎrim cu 2 dublul vecinilor sǎi obţinem numere pare vecine cu 36 .

ÎNV. MARIA-TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm numărul căutat cu . Vecinii săi sunt şi . Numerele pare vecine lui 36 sunt 34 şi 38. Avem: şi , adică şi , de unde

.

P. 80 : Arǎtaţi cǎ pentru orice are loc egalitatea: .

ÎNV. MIHAELA-RAMONA, ŞCOALA MIROSLAVA, IAŞI

SOLUŢIE: Succesiv, avem:

, de unde , adică

, evident adevărată. P. 81 : Maimuţele Lulu şi Momo au plecat la cules banane. După ce Lulu îşi dublează numărul de banane, Momo îi ia 8 banane. După trei astfel de ,,operaţii”, Lulu nu mai are nicio banană. Câte banane a avut la început Lulu? ( Momo a promis că-i va da înapoi bananele lui Lulu)

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu , numărul de banane pe care le-a avut iniţial Lulu. Exerciţiul problemei este

, de unde .

d192

192abc acb d 10b c 1 19a a 2 18 9a a 10c b 1 12b c 11c b

1d abc acb

192abc acb d 9a abc acb

1800abc acb 192 1800d 9a 900 10 900 10 1800 12b c c b d 11 11 12b c d

11 12b c d 12d

1d 11b c

r g n27r g

39g n 12n r 2n r 12r 2 12 24n 27 12 15g

a 1a 1a 2 1 34a 2 1 38a 1 17a 1 19a

18a

0a : : 2 :1 1 1a a a a a a a

: : 2 :1 1 1a a a a a a a : 1:1 1 1a a a a

: 1:1 1 1a a a a : 1 1 1a a a a : 1a a a a

1 1a a

a

2 8 2 8 2 8 0a 2 8 2 8 8 : 2a 2 8 2 8 4a 2 8 12: 2a

2 6 8a 14: 2a 7a

31 Micii MATEMATICIENI

P. 82 : Suma a 3 numere naturale este 150. Dacă micşorez jumătatea primului număr cu 10, jumătatea celui de-al doilea cu 20 şi jumătatea celui de-al treilea cu 30 obţin 3 numere consecutive impare, în ordine crescătoare. Care sunt numerele ?

ÎNV. MARIA ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA CORP B, IAŞI SOLUŢIE: Vom nota cu , , numerele consecutive impare şi cu , , numerele cerute. Avem , de unde , din

, iar din , de unde . Înlocuind ín suma obţinem . Se găsesc numerele

, şi . P. 83 : Suma a trei numere este 2040. Împǎrţind primul numǎr la al doilea obţinem câtul 2 şi restul 314, iar împǎrţind pe al doilea la al treilea se obţine câtul 1 şi restul 114. Aflaţi numerele.

INST. MARIAN CIUPERCEANU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Notăm cu a, b, c numerele. Avem . Din teorema împărţirii cu rest obţinem cu şi cu . Înlocuind b găsim

, de unde . Din sumă reiese că

, de unde , iar şi .

P. 84 : Andrei, Ioana şi Rareş au la un loc 2010 RON. Ei primesc de la bunicul lor câte o sumǎ de bani astfel: Ioana primeşte cu un RON mai mult ca Andrei, iar Andrei cu doi RON mai puţin decât Rareş. În acest fel, sumele lor devin egale.

a) Câţi RONI a avut iniţial fiecare ? b) Ce sumǎ a primit fiecare de la bunicul lor dacǎ au în total 3513 RON ?

PROF. CONSTANŢA TUDORACHE, ŞCOALA ŞTEFAN BÂRSĂNESCU, IAŞI SOLUŢIE: a) Notăm cu A, I şi R sumele avute iniţial de Andrei, Ioana şi respective Rareş, iar cu S suma primită de Rareş de la bunicul. Atunci Andrei primeşte , iar Ioana . Se obţin relaţiile: (1) şi , de unde deducem că şi

. Înlocuim ín (1): şi .

b) Avem căci sumele au devenit egale. Cum rezultă că .

. Deci Andrei primeşte 500 roni, Ioana 501, iar Rareş 500 roni. P. 85 : Cei patru copii ai unei familii au împreunǎ 48 ani. Diferenţele vârstelor copiilor celor mai apropiaţi, în ordine crescǎtoare, sunt numere consecutive. Sǎ se afle vârstele copiilor, ştiind cǎ în familie existǎ fraţi gemeni.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Cei patru copii ai familiei formează 3 diferenţe de vârstă. Acestea sunt 0, 1, respectiv 2, deoarece în familie există fraţi cu aceiaşi vârstă (fraţi gemeni). Prin urmare vârstele copiilor sunt numere de forma: . Suma acestora este , de unde . Deci, vârstele copiilor sunt 11, 11, 12 şi respective 14. P. 86 : Aflaţi numerele de forma astfel încât .

PROF. NELU TUDORACHE, LICEUL TEORETIC VASILE ALEXANDRI, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Cum factorul rezultă că . Dacă atunci 2010 trebuie să se

ímpartă exact la 2009, fals. Deci , de unde .

Obţinem , de unde şi . Găsim .

n 2n 4n a b c: 2 10a n : 2 10 2 20a n a n : 2 20 2b n

: 2 22b n 2 44b n : 2 30 4c n : 2 34c n 2 68c n 150a b c 6 132 150n 6 18 3n n

2 3 20 26a 2 3 44 50b 2 3 68 74c

2040a b c 2 314a b 314 b 1 114b c 114 c

2 314 114a c 2 742a c 2 742 114 2040c c c 4 856 2040c 4 1184 296c c 410b 2 296 742 1334a

2S 1S 2010A I R 2 1A S I S R S 2A R

1I R 2 1 2010R R R 3 2010 3R 2007 :3 669R 670I 671A

3 3513R S 669R 669 1171S 502S

, , 1, 3a a a a 4 4 48a 4 44 11a a

abc 7 8 2009 2010a b c

2009 2010c 0;1c 0c

1c 7 8 2010 2010a b 7 8 1a b

7 8 1a b 8a 9b 891abc

32 Micii MATEMATICIENI

NOTA REDACŢIEI: La nivelul clasei a VI-a mai există o soluţie obţinută din , de unde şi . Găsim numerele 671 şi 891. P. 87 : Suma vârstelor celor patru copii ai unei familii este de 10 ani. Aflaţi vârstele copiilor ştiind cǎ în familie nu sunt gemeni.

PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Din faptul că ín familie nu sunt gemeni rezultă că vârstele copiilor sunt diferite. Atunci suma vârstelor celor 4 copii este cel puţin egală cu suma celor mai mici vârste posibile, adică

. Pentru ca suma vârstelor să fie 10 trebuie ca vârstele copiilor să fie 1, 2, 3 şi 4 ani. P. 88 : Dacǎ cifrele lui verificǎ , sǎ se arate cǎ este numǎr palindromic (adicǎ este egal cu rǎsturnatul sǎu).

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Egalitatea din enunţ se scrie , de unde şi . Obţinem numărul palindromic . MATEMATICA GIMNAZIALĂ CLASA A V-A 5.53 : Spunem cǎ douǎ numere de douǎ cifre sunt “gemene” dacǎ produsul cifrelor unuia este egal cu produsul cifrelor celuilalt. Gǎsiţi numerele gemene ale numǎrului 23.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Fie un număr geamăn al lui 23. Atunci . Cum rezultă că numerele căutate sunt 16, 23, 32 şi 61.

5.54 : Calculaţi ştiind cǎ şi .

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIE: Înmulţind cu 2 relaţia (1) obţinem , pe care o scădem din relaţia (2) şi găsim (3). O ínmulţim cu 2 şi obţinem , pe care o scădem din (2). Atunci (4). Înmulţim cu 3 pe (1), de unde şi o scădem din (2), de unde (5) . Înmulţim relaţiile (3), (5) şi (4) şi obţinem valoarea cerută şi anume că .

5.55 : Vârsta lui Mihai este o cincime din vârsta lui Viorel. Aflaţi vârsta celor doi copii ştiind cǎ împreunǎ totalizeazǎ 13 ani.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu şi V, vârsta lui Mihai, respectiv a lui Viorel. Avem şi . Găsim , iar vârsta lui Viorel este de 10

ani şi 10 luni. 5.56 : Suma a şapte numere naturale este egală cu 650. Este posibil ca produsul lor să se termine în 2009 ?

PROF. ALINA CRĂCIUN, LICEUL TEORETIC MIRON COSTIN, PAŞCANI

7 8 1a b 6a 7b

1 2 3 4 10

abcd 2010 2011 11 11 2011 2010a b c d a b c d abcd

2011 2010 11 11 2011 2010c c d d a a b b 10 10d c a b dc ab a d b c abba

ab 2 3 6a b 6 1 6 2 3 3 2 6 1

2 2b c c a a b 31a b c 2 3 4 105a b c

31a b c 2 2 2 62a b c 2 3 4 105a b c 2 43b c 2 4 86b c

2 19a b 3 3 3 93a b c 12c a

2 2 43 12 19 9804b c c a a b

M 5V M 13V M 13: 6 12 12 : 6 2 2M ani luni ani luni

33 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Dacă ar fi posibil ca produsul celor şapte numere să se termine ín 2009 atunci produsul ar fi impar, de unde ar rezulta că cele şapte numere ar fi toate impare. Ca urmare suma lor ar fi impară ceea ce ar rezulta că 650 să fie impar, absurd. Deci nu este posibil ca produsul să se termine în 2009. 5.57 : Se considerǎ egalitatea: . Sǎ se determine numǎrul ştiind cǎ dǎ câtul 74 la împǎrţirea cu 3.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din rezultă că

, de unde . Atunci . Din şi

şi teorema ímpărţirii cu rest, deducem restul 0 şi câtul egal cu . Pe de altă parte câtul este 74. Obţinem . Prin urmare numărul este 222. 5.58 : Descoperiţi regula după care s-a format următorul şir de numere: 2; 35; 6; 32; 10; 29; 14; 26; 18; 23. Folosind aceeaşi regulă alcătuiţi un şir din zece numere, astfel încât ultimul număr să fie 19, iar penultimul să fie 24.

ÎNV. MARIA CREŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Scriem şirul dat astfel: 23; 18; 26; 14; 29; 10; 32; 6; 35; 2. Se observă că termenii şirului de pe poziţii impare cresc din 3 ín 3, iar cei de pe poziţii pare descresc din 4 ín 4. Pornind de la 19; 24 şi aplicând regula găsită obţinem:19; 24; 22; 20; 25; 16; 28; 12; 31; 8. Inversând ordinea termenilor se obţine şirul căutat: 8; 31; 12; 28; 16; 25; 20; 22; 24; 19. 5.59 : Se considerǎ egalitatea : cu . Demonstraţi cǎ dacǎ şi numai dacǎ cifrele , şi sunt consecutive.

PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIA 1: (a autorului): Din algoritmul operaţiei de scădere cu trecere peste ordin şi din

(căci ), rezultă că , adică (1) şi (2).

: În ipoteza că , vom demonstra că cifrele , şi sunt consecutive. Din (1) obţinem

că şi cum rezultă cerinţa exerciţiului.

: În ipoteza că cifrele , şi sunt consecutive, vom demonstra că . Avem . Înlocuind ín (1) obţinem că , adică .

SOLUŢIA 2: (Ioan Săcăleanu): Scrierea ín baza 10 a ne dă (3).

: Dacă cifrele , şi sunt consecutive atunci şi . Înlocuind ín (3)

obţinem , adică .

: Dacă atunci (3) devine : . Scoatem pe 11

factor comun : (4). Rezultă că este multiplul lui 11 (5).

Dacă atunci şi din (5) .

Înlocuind ín (4) găsim că . Deci , şi sunt consecutive. Dacă atunci . Ţinând cont de (5) avem situaţiile :

o dacă şi cum rezultă , fals căci x este cifră ;

o dacă şi din (4) : . Deci , şi sunt consecutive.

5.60 : Sǎ se scrie numǎrul ca produsul de trei numere naturale consecutive. PROF. OANA ALEXE, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

11 100abc a c abc

11 100abc a c 100 10abc c a a 00 0abc c a a abc caa a b c 111 3 37abc aaa a a 3 37 0abc a

0 3 37 a37 74 2a a

9ab xy 0y a bx a y

9 10y 0y 9 10y b 1y b 1x a a b x a y

1y a 1x a x a y a b 1y a

1 1a b a b9ab xy 10 9 10a b x y

x a y 1a x 2y x

10 1 9 10 2x b x x 10 10 11 11x b x 1b x a ba b 11 9 10a x y 11 11 11 2a x y x

11 1 2a x y x 2y x

2 0y x 0 2 9y x y 2 0 2y x y x 1a x x a y

2 0y x 0 2 2 11x y x 2 11 9x y x y 0y 10x 2 0x y 2y x 1a x x a y

32010 2010n

34 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Avem . Din

nou vom scoate factorii comuni obţinând : ,

adică numărul se scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive. NOTA REDACŢIEI: Orice număr de forma cu se poate scrie ca produsul a

trei numere naturale consecutive astfel : .

5.61 : Arǎtaţi cǎ numǎrul se divide cu 19 pentru orice numǎr natural .

PROF. DR. CRISTIAN DINU, COLEGIUL NAŢIONAL CAROL I, CRAIOVA

SOLUŢIE:Avem , de

unde . Prin urmare se divide cu 19 pentru orice numǎr natural

5.62 : Sǎ se determine numerele de forma ştiind cǎ împǎrţind acest numǎr la obţinem

câtul egal cu şi restul egal cu PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Din enunţ avem: , de unde

. Dacă atunci . Dacă

atunci . Deci .

5.63 : Scrieţi numǎrul 2009 ca sumǎ de douǎ pǎtrate perfecte.

PROF. VICTOR SĂCEANU, DROBETA TURNU SEVERIN

SOLUŢIE: Avem .

5.64 : Sǎ se determine restul împǎrţirii numǎrului la numǎrul .

PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, IAŞI

SOLUŢIE: Avem: . Deoarece

rezultă că . Scoatem pe

175 ín factor comun . Cum rezultă, din unicitatea

ímpărţirii cu rest că restul ímpărţirii lui la 175 este 75, iar câtul . 5.65 : Moş Crǎciun şi-a propus sǎ împartǎ cadouri elevilor clasei a V-a de la Liceul din Hîrlǎu în 2 ore şi 13 minute în durate egale. Totuşi, activitatea sa a durat 2 ore şi 43 minute întrucât timpul acordat primilor cinci copii a fost de 15, 14, 13, 12 şi de 11 minute. a) Care este durata pe care şi-a propus-o Moşul cel mult aşteptat ? b) Câţi copii sunt în clasa vizitatǎ ?

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: a) Fie durata pe care şi-a propus-o Moşul. Timpul acordat ín plus celor 5 copii este de

minute. Pe de altă parte, el este .

Egalăm: minute. b) Moş Crăciun şi-a propus distribuirea copiilor ín minute. Cum pentru fiecare copil sunt necesare 7 minute rezultă că numărul copiilor este .

3 2 22010 2010 2010 2010n 22010 2010 1 2010 2010 1

2010 1 2010 2010 1 2009 2010 2011n

3n p p / 0;1p

1 1n p p p

6 4 3 1 3 1 3 2 3 32 3 4 3 7 4 3n n n n n na n

32 4 3 1 3 1 3 2 3 3 3 32 2 3 3 4 4 3 3 7 12 12 48 36 12 7 12n n n n n n n na

3 312 48 36 7 12 19n na a n

xyzt yzt

1x 2.x

1 2xyzt yzt x x 000 2x yzt yzt x yzt x

1000 2x yzt x x 999 2yzt x 1x 999 2 997yzt yzt

2x 999 1 998yzt yzt 1997;2998xyzt

2 2 2 2 2 2 22009 49 41 7 25 16 7 5 7 4 35 28

201135 100 175

2011 201035 100 35 35 100not

a 1005235 35 100a 235 175 7 1005

175 7 35 100a 1005 1005175 7 35 175 75a

1004 1005175 175 7 35 1 75a 75 175

a 1004 1005175 7 35 1a

n43 13 30 15 14 13 12 11n n n n n

65 5 30n 5 35n 7n 2 60 13 133

133: 7 19

35 Micii MATEMATICIENI

5.66 : Arătaţi că numărul nu este pătrat perfect, dar este divizibil cu un pǎtrat perfect.

PROF. GABRIELA POPA, ŞCOALA NR. 43 DIMITRIE A. STURDZA, IAŞI SOLUŢIE: Vom grupa cei 2012 termeni ín 503 grupe de câte 4. Scoatem din fiecare grupă ín factor :

,

de unde N este divizibil cu 4, care este pătratul lui 2. Cum N este divizibil cu 10 rezultă că pentru a fi pătrat perfect el trebuie să aibă cifra zecilor egală cu 0. Aceasta este dată de ultima cifră a

numărului , care este 2 căci ultima cifră a paratezei este . Prin

urmare , deci N nu este pătrat perfect. 5.67 : Sǎ se arate cǎ nu existǎ numǎr de douǎ cifre pentru care suma cifrelor sale sǎ fie egalǎ cu suma cifrelor succesorului sǎu.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIA 1: Fie numărul şi succesorul său. Presupunem că ar exista un astfel de

număr. Atunci (1). Dacă atunci , şi , iar (1) devine

, adică , absurd. Deci , de unde . Dacă atunci şi , iar (1) devine , de unde , absurd. Deci şi , .

Atunci (1) devine , adică , absurd. Prin urmare presupunerea că ar exista un astfel de număr este falsă. În concluzie nu există un astfel de număr. SOLUŢIA 2: Fie numărul şi succesorul său. Atunci , de unde . Ţinând cont de obţinem

. Cum trei termeni sunt divizibili cu 9 rezultă că şi al patrulea, adică 1 este divizibil cu 9, absurd. Deci nu există un astfel de număr. 5.68 : Considerăm toate numerele naturale de trei cifre, scrise numai cu cifre pare, şi le calculăm produsul cifrelor. Adunăm toate aceste produse obţinute. Care este rezultatul?

PROF. PARASCHIVA MÂRZA-LEŞAN, PROF. ALEXANDRU NEGRESCU, ŞCOALA ELENA CUZA, IAŞI SOLUŢIE: Considerăm umerele de o cifră pară: 0, 2, 4, 6, 8. Suma lor este . Luând toate numerele de două cifre, ambele pare: 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, ..., 86, 88, obţinem produsele 2 0, 2 2, 2 4, 2 6, 2 8, 4 0, ..., 8 6, 8 8, a căror sumă este egală cu 2 (0 + + 2 + 4 + 6 + 8) + 4 (0 + 2 + 4 + 6 + 8) + 6 (0 + 2 + 4 + 6 + 8) + 8 (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = = (2 + 4 + 6 + 8) (0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 20 20 = 202. Considerând numerele de trei cifre, toate trei pare: 200, 202, 204, 206, 208, 220, ..., 886, 888, avem produsele lor: 2 0 0, 2 0 2, 2 0 4, 2 0 6, 2 0 8, 2 2 0, 2 2 2, 2 2 6, ..., 8 8 6, 8 8 8, a căror sumă este: 2 (0 0 + 0 2 + 0 4 + 0 6 + 0 8 + 2 0 + 2 2 + 2 4 + ... + 8 8) + 4 (0 0 + 0 2 + 0 4 + ... + 8 8) + 6 (0 0 + 0 2 + 0 4 + ... + 8 8) + 8 (0 0 + 0 2

+ 0 4 + ... + 8 8) = (2 + 4 + 6 + 8) , al doilea factor fiind calculat

când am luat numerele de două cifre în discuţie. Deci suma căutată are valoarea egală cu 20 202 = 203 = 8000. 5.69 : Arǎtaţi cǎ existǎ o mulţime ce conţine 2011 numere naturale consecutive şi care satisface simultan condiţiile:

Existǎ douǎ mulţimi disjuncte şi astfel încât ;

2 3 2010 20111 3 3 3 ... 3 3N

2 3 4 2 3 2008 2 31 3 3 3 3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3N 4 20084 10 1 3 ... 3N

4 20084 1 3 ... 3 503 3U

...20N

ab 1xyt ab a b x y t 9b 1b t y a 0x

0 1a b a b 0 1 9b 0t 9a 0x 1y a 9 0 1 0a a 9 1 9a 1x 0y

9 9 1 0 0 18 1

ab 1xyt ab 10 1 100 10a b x y t 9 1 99 9a a b x x y y t a b x y t

9 1 99 9a x y

0 2 4 6 8 20

220

0 0 0 2 0 4 ... 8 8

A

a B C A B C

36 Micii MATEMATICIENI

Orice element din nu se poate scrie ca diferenţa a douǎ elemente din ;

Orice element din nu se poate scrie ca diferenţa a douǎ elemente din . PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, IAŞI

SOLUŢIE: Fie o mulţime de numere consecutive având forma .

Notăm cu C, mulţimea numerelor impare din . Elementele mulţimii C au diferenţele oricăror

două elemente un număr par, care nu poate fi din C, căci în C sunt numai numere impare. Prin urmare, este índeplinită condiţia c), adică orice element din nu se poate scrie ca diferenţa a douǎ elemente din . Alegem mulţimea , adică mulţimea numerelor pare din . Mulţimile

C şi B índeplinesc condiţia a), adică şi . Rămâne să determinăm

astfel íncât să fie índeplinită condiţia b). Elementele mulţimii B au diferenţele ín mulţimea . Pentru a fi índeplinită condiţia b) trebuie ca B să nu conţină nicio diferenţă, adică

. Deci, orice mulţime cu verifică condiţiile date.

5.70 : O mulţime are suma celor 52 elemente ale sale egalǎ cu 2008. Determinaţi o astfel de mulţime care conţine cele mai multe numere impare.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Se ştie că . Cum

şi mulţimea căutată, pe care o notăm cu A trebuie să conţină cât mai multe numere impare rezultă că A are 44 elemente, numere impare a căror sumă este 1936, acestea fiind 1, 3, …, 87. Celelalte 8 elemente sunt numere pare şi au suma egală cu . Cum suma

rezultă că acestea sunt 2, 4, …, 16. Prin urmare singura mulţime este .

CLASA A VI-A 6. 43 : Un tren porneşte în traseu cu un număr de pasageri. Ştiind că în prima staţie urcă un pasager, în a doua staţie coboară doi, în a treia urcă trei, în a patra coboară patru pasageri şi aşa mai departe, să se determine cu câţi pasageri a pornit trenul dacă în a 28 a staţie coboară toţi pasagerii.

PROF. IULIANA BLANARIU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Dacă este numărul de pasageri cu care porneşte trenul ín traseu atunci

.

Prin urmare pasageri. 6. 44 : Aflaţi câţi divizori are suma numerelor de forma ştiind cǎ .

PROF. VICTOR SĂCEANU, DROBETA TURNU SEVERIN

SOLUŢIE: Din condiţia rezultă , unde . Cum

rezultă că . Cum . Deci

şi . Dând valori lui a se obţin numerele:189; 287; 385; 483 şi 581. Suma acestor numere este , iar numărul de divizori ai săi este egal cu .

b B B

c C C

1, 2, 3,..., 2011nA n n n n

nA

CC /nB A C nA

B C nA B C n

2, 4,6,..., 2010

1 2011 2010n n nA 2010n

21 3 5 ... 2 1n n 2 22 44 1 1936 2008 2025 2 45 1

2008 1936 72 2 4 6 ... 16 72

1;3;5;...;87;2;4;...;16A

x1 2 3 4 ..... 27 28 0x 1 2 3 4 ..... 27 28 0x 1 14 0x

14x

abc 16 8 11a c b

16 8 11a c b 8 2 11a c b 8 11b 8,11 1

8 b 0,8b 0 2 0 8 2 0 11 0 0a a c a c b b

8b 2 11a c 2 1 1189 287 385 483 581 1925 5 7 11

2 1 1 1 1 1 12

37 Micii MATEMATICIENI

6. 45 : Pe ruta Hîrlǎu-Iaşi, un automobil Opel Astra a consumat pânǎ la Târgu Frumos din benzina pe care o avea în rezervor. Continuând, pânǎ la Podu Iloaie a mai consumat 20% din rest, rǎmânându-i pânǎ la Iaşi 5,6 litri de benzinǎ. Cu câţi litri de benzinǎ a plecat la drum ?

PROF. OANA ALEXE, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu cantitatea (ín litri) de benzină cu care a plecat la drum. La Târgu Frumos

mai are , iar la Podu Iloaie: . Se

obţine litri.

6. 46 : Se dau unghiurile adiacente şi . Bisectoarele lor formeazǎ un unghi cu mǎsura de 600. Ştiind cǎ are masura de douǎ ori mai mare decât , aflaţi mǎsura unghiului format de bisectoarea unghiului cu semidreapta .

PROF. MARCELA GOŞMAN, LICEUL TEORETIC ION CREANGĂ, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Fie bisectoarea , bisectoarea . Avem , de unde

.

Cum rezultă că şi . Unghiul cerut se

calculează astfel: .

6. 47 : Determinaţi mulţimile ştiind cǎ toate elementele sale sunt numere

naturale prime şi cǎ între ele are loc egalitǎţile: . PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din relaţia dată în enunţ rezultă că cu . Pentru rezultă

că şi sunt de parităţi diferite. Deoarece singurul număr prim şi par este 2 şi

cum toate elementele din A sunt prime rezultă că şi el prim. Pentru

rezultă că , prim. Pentru avem

, care nu este prim. Deci . Atunci şi .

6. 48 : Sǎ se demonstreze cǎ numǎrul este subunitar, unde verificǎ

egalitatea: . PROF. GABRIELA POPA, ŞCOALA NR. 43 DIMITRIE A. STURDZA, IAŞI

SOLUŢIE: În condiţiile existenţei numărului , vom calcula .

Înmulţim relaţia precedentă cu baza şi obţinem , de unde

25%

x(2525 75 3

100 100 4

x xx x

5) (43 20 3 3 3 12 3

4 100 4 4 20 20 5

x x x x x x

3

5,65

x 28

3 5 5,6 3 28 9, 33

x x x x

AOB COBBOC AOB

AOB OC

OM AOB ON BOC 060m MON

060m MOB m BON 01 160

2 2m AOB m BOC 0120m AOB m BOC

2m BOC m AOB 040m AOB 080m BOC

0 0 0 01 160 60 80 100

2 2m MOC m MON m NOC m BOC

1 2; ;...; nA a a a1

1 2 , 1, 1kk ka a k n

1 2 3 .... na a a a 2n 1k

2 1 1a a 2a 1a

1 2a 2 11 1 2 3a a

2k 13 2 2a a 3 33 2 5a a 3k 2

4 3 2a a

4 5 4a 4 9a 2;3;5A 2;3A 2;3;5A

1 2 3

1 1 1 1...

2 2 2 2abc abc

1779abbc abb ab a

not

abc n1 2 3

1 1 1 1...

2 2 2 2

not

nS

1

2 2 3 1

1

2

1 1 1 1...

2 2 2 2 2n n

S

S

38 Micii MATEMATICIENI

, adică . Determinăm numerele . Avem:

.

Dacă atunci , fals. Deci, .

Dacă atunci , căci altfel am avea , adică , fals. Obţinem .

Dacă atunci , de unde şi .

Prin urmare, pentru numărul este subunitar.

6. 49 : Demonstraţi cǎ dacǎ şi numai dacǎ , unde şi

şi . PROF. GHEORGHE OANCEA, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: , deoarece

. Din rezultă că . Atunci

.

6. 50 : Aflaţi numerele naturale nenule x, y, z, t, ştiind că .

PROF. PARASCHIVA MÂRZA-LEŞAN, PROF. ALEXANDRU NEGRESCU, ŞCOALA ELENA CUZA, IAŞI

SOLUŢIE: Cum iar şi , rezultă că şi , de unde

avem că . Raţionând ca mai înainte, obţinem că şi , de unde

deducem că . În mod asemănător, şi , adică .

Aşadar, , , şi . 6. 51 : Arǎtaţi cǎ nu existǎ numǎr întreg nenul pentru care .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Presupunem prin absurd că există un astfel de număr. Împărţind prin obţinem

. Se observă că este pătrat perfect. Prin urmare şi este pătrat

perfect. Atunci ultima sa cifră poate fi 0, 1, 4, 9, 6 sau 5, afirmaţie în contradicţie cu faptul ca ultima cifră a lui este 2 dacă x este par sau 7 dacă x este impar. Conform metodei reducerii la absurd rezultă că nu există cu proprietatea din enunţ.

1

1 1

2 2 2n

SS

12 1

2nS S

11 1

2nS S abc

1000 100 10 100 10 10 1779a b b c a b b a b a 889 98 1779a b c

3a 889 98 889×3 1779>2667a b c 1;2a

1a 98 890b c 9b 8b 98 98 8 9b c 890 793 8c

2a 98 1b c 0b 1c

198;201abc 1 2 3

1 1 1 1...

2 2 2 2abc

2 2

2011

a b 2 2

2011

a ba b 2011a b

a b

2 22 2011 2 2 2 2011 22

2011 2011 2011

a ba b a b bb

aa a a a 2011b a

,a b 2011a M2 2

2011

a ba b

2 2

2011

a ba 2 2

2011

a b

157 1130

1

xy

zt

157 75

30 30 *x

11

11

yz

t

5x 1 71 30

1y

zt

1 30 24

1 7 7y

zt

4y 1 2

1 7zt

1 7 13

2 2z

t 3z 1 1

2t 2t

5x 4y 3z 2t

x 2011 25 2 0x x x

0x 2010 5 2x x 22010 1005x x 5 2x

5 2x 0x

39 Micii MATEMATICIENI

6. 52 : Fie unghiurile adiacente şi astfel încât . Aflaţi măsurile

celor două unghiuri ştiind că acestea sunt invers proporţionale cu 0,01(9) şi 0,1. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: şi , de

unde şi .

Atunci . Prin urmare

şi .

6. 53 : Determinaţi astfel încât ecuaţia să aibă soluţie unică.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Cum ,

unde soluţia ecuaţiei date, rezultă că şi este soluţie. Din ipoteza că ecuaţia are soluţie unică rezultă că . Înlocuind pe în ecuaţie obţinem:

6. 54 : Aflaţi numerele astfel încât ultima cifrǎ a numǎrului sǎ fie 8 .

PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, IAŞI

SOLUŢIE: Notăm cu , ultima cifră a numărului . Se ştie că . Prin urmare,

avem că , de unde există astfel încât

, adică . Dacă cu atunci

, relaţie verificată numai pentru r {1, 2, } de unde n {4q+1, 4q+2,

}, q 0. 6. 55 : a) Construiţi mediatoarea unui segment dat folosind doar un echer. b) Se dǎ unghiul de mǎsurǎ . Ştiind cǎ , construiţi cu ajutorul

unui echer un triunghi echilateral . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: a) Fie segmental dat . Cu echerul putem construe

numai unghiuri drepte. Construim perpendiculara ín A pe AB şi alegem un punct S. În acest punct, construim perpendicular pe AS, care intersectează perpendicular ín B pe AB ín punctual T. Se formează dreptunghiul ABTS. Notăm cu O, intersecţia diagonalelor sale. Ducem din O perpendiculara OM pe AB,

. Dreapta OM este mediatoarea căutată.

Într-adevăr, avem ca diagonal ín dreptunghi, de unde . Deci OM este

mediatoarea segmentului , conform proprietăţii mediatoarei.

b) Folosind procedeul de la a) , construim mediatoarele segmentelor şi .

ABC BCD 120Om ABD

120Om ABC m BCD ( ) 0,01(9) 0,1not

m ABC m BCD k

19 150

900m ABC k m ABC k

1

1010

m BCD k m BCD k

50 10 60m ABC m BCD k k k 60 120 20O Ok k

100Om ABC 20Om BCD

m 1 ... 2000x x x m

2000 1999 ... 1 2000 1999 ... 1a a a a a a a a m

a 2000x a 2000 1000a a a 1000a

1001 10001000 ... 2 1 0 1 2 ... 1000 2 1 2 ... 1000 2 1001000

2m

n 1 2 3 ...2012 na

U x x 4 32 8kU

1 2 ... 1 2 ...2012 8 2 8n nU U k1 2 ... 4 3n k 1 8 6n n k 4n r 0;1;2;3r

24 4 4 2r r

AOB 0150 AO OB

ABC

AB

M AB

AT BS OA OB

AB

AO OB

O

A BM

S T

40 Micii MATEMATICIENI

Acestea se intersectează íntr-un punct C. Într-adevăr, dacă ele ar fi paralele atunci perpendicularele OM şi ON pe ele

coincide, de unde este unghi alungit

, absurd (M, N sunt mijloacele lui , respectiv ).

Vom arăta că triunghiul căutat este , adică el este echilateral. Conform proprietăţii mediatoarei obţinem, pentru mediatoarea CM, că , iar pentru CN, că

, de unde , adică este isoscel.

Din suma unghiurilor patrulaterului CMON obţinem că

. Deoarece CM şi CN

sunt ínălţimi ín triunghiurile isoscele , respectiv rezultă că ele sunt şi bisectori, adică

şi . Prin ínsumare, avem ,

de unde şi cum este isoscel, rezultă că el este echilateral.

6. 56 : Fie P un punct în interiorul unghiului cu măsura de , iar M şi N simetricele

punctului P faţă de şi . Arătaţi .

Prof. Gabriela Popa, Şcoala Dimitrie A. Sturdza, Iaşi SOLUŢIE: Notăm cu S, mijlocul lui şi cu T, mijlocul lui . Avem: şi

. Din M şi P simetrice faţă de rezultă că , de unde este

dreptunghic în S (1). Din N şi P simetrice faţă de rezultă că

, de unde este dreptunghic în T (2). Adunând (1) şi

(2), obţinem că , de unde .

CLASA A VII-A 7. 35 : Se considerǎ predicatul matematic: ” Suma dintre diferenţa şi suma numerelor

şi este egalǎ cu suma dintre produsul şi câtul numerelor a şi b, unde şi ”. a) Gǎsiţi astfel încât propoziţia sǎ fie adevǎratǎ pentru orice .

b) Determinaţi astfel încât propoziţia sǎ fie adevǎratǎ pentru orice . PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem echivalenţele:

(1)

a) Pentru ca sǎ fie adevǎratǎ pentru este necesar şi suficient ca .

b) este adevǎratǎ pentru orice dacă şi numai dacă .

AOB 0 0 0180 150 180mAOB

AO OB

ABC

AC CO

BC CO AC CB ABC

0 0 0 0 0360 90 150 90 30m MCN

CAO BAO 1

2m MCO m ACO 1

2m NCO m BCO 1

2m MCN m ACB

060m ACB ABC

XOY 075

OX OY4

MP PNOP

PM PN 2MP PS 2NP PT OX OS MP OPS

PS OP 2MP OP OY

OT NP OPT PT OP 2PN OP

4MP PN OP 4

MP PNOP

, :P a b a

b a b a ,P a b b

b ,P a b a

, :P a b 0a

a b a b a b bb

, :P a b 22ab ab a

, :P a b 2 2 0ab ab a , :P a b 2 2 1 0a b b , :P a b 21 0a b

,P a b b 0a

,P a b a 21 0 1b b

A B

M N

C

0150

01 501 5

01 501 5

O

41 Micii MATEMATICIENI

7. 36 : Un elev asociazǎ unor poligoane numere astfel: pǎtratului numǎrul 6, pentagonului numǎrul 10, hexagonului 15, iar heptagonului numǎrul 21. Ce număr credeţi cǎ va asocia octogonului ?

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA SOLUŢIA 1: Dacă scădem din numerele asociate poligoanelor date numărul laturilor sale se observă:

; ; şi .

Atunci (cu am notat numărul asociat octogonului).

SOLUŢIA 2: (eleva Ana Ioana Călinescu): Notăm cu , numărul asociat poligonului cu laturi.

Avem: , , şi . Se observă că , , .

Deducem că . Deci, numărul asociat octogonului este 28.

NOTA REDACŢIEI: Este binecunoscut faptul că numărul diagonalelor unui poligon convex cu

laturi este dat de formula (Într-adevăr, oricare vârf formează diagonală numai cu

vârfuri întrucât cu vârfurile vecine formează latură, iar cu el însuşi un punct. Cum avem vârfuri rezultă astfel de segmente. Cum fiecare astfel de segment apare ín numărătoare pentru

fiecare capăt al său, adică de 2 ori rezultă formula noastră.). Prin urmare numărul asociat poligonului este suma dintre numărul laturilor sale şi numărul de diagonale.

7. 37 : Numerele întregi sunt direct proporţionale cu numerele întregi . Determinaţi ştiind cǎ suma pǎtratelor diferenţelor acestora este 56.

PROF. GHEORGHE OANCEA, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: cu şi , de unde

(1). Notând cu rezultă prin adunarea cu (1) că şi prin

scăderea din (1) că cu de aceeaşi paritate. Din enunţ, avem:

. Prin urmare, numerele căutate sunt

.

7. 38 : Dacǎ cel mai mare divizor comun al numerelor , şi este 6, demonstraţi cǎ

numǎrul este numǎr iraţional. Prof. Dr. Cristian Dinu, Colegiul Naţional Carol I, Craiova

SOLUŢIE: Numerele sunt pare şi, cum rezultă că ele sunt divizibile cu 3.

Conform criteriului de divizibilitate, avem: şi

şi . Prin însumare rezultă

. Deducem că , şi . Obţinem că ,

4 4 36 4 2

2

5 5 310 5 5

2

6 6 315 6 9

2

7 7 321 7 14

2

8 8 38 8 20 28

2x x x

x

nx n

4 6x 5 10x 6 15x 7 21x 5 4 4x x 6 5 5x x 7 6 6x x

8 7 7 21 7 28x x n

3

2

n n 3n

n

3n n

, ,a b c , 1, 2 1p p p , ,a b c

rapoarte

egale=

1 2 1 2 1

a b c a b

p p p p

, , ,a b c p 0; 1p

a b c x c a 2

b xc

2

x ba

,x b

2 2 2 2 2 2 56c b c a b a 2 22 2 56c a 28c a c a 1

28b x

; 16;12 , 16; 12 , 16; 12 , 16;12x b x b

; ; 8;6;2 , 8; 6;14 , 8; 6; 14 , 8;6; 2c a b

2ab 4bc 8ca2 2 2a b c

2; 4; 8 6ab bc ca

3 32 1a b a b 34b c

3 2b c 3 38 1a c a c 32 4a b c

3 2a b c 3 1c 3a 3 1b 23 1c

42 Micii MATEMATICIENI

şi , de unde . Se ştie că nici un pătrat perfect nu este de

această formă. Prin urmare, este un număr iraţional.

7. 39 : Bisectoarea unghiului A al paralelogramului ABCD intersectează latura [BC] în punctul M, iar bisectoarea unghiului AMC trece prin punctul D. Ştiind că , aflaţi

măsurile unghiurilor paralelogramului. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

SOLUŢIE: Avem: şi . Din ABCD

paralelogram rezultă că . Din

cu secanta AM avem

(alterne interne), iar cu DM:

(alterne interne).

Avem: , căci este alungit, iar din

suma unghiurilor : , de unde

. Înlocuim pe şi obţinem că

, de unde

. Deci şi .

7. 40 : Determinaţi numerele ştiind că .

PROF. NECULAI GOŞMAN, ŞCOALA GARABET IBRĂILEANU, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Termenul generic al sumei este , .

Atunci

. Suma se scrie

. Deci .

7. 41 : Arǎtaţi cǎ numǎrul este iraţional.

PROF. RAMONA DARIE, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Vom demonstra afirmaţia prin metoda reducerii la absurd. Presupunem, prin absurd că

este raţional , de

unde .

Dacă atunci , absurd.

23a 2

3 1b 2 2 23 2a b c

2 2 2a b c

0 /36 30m MDC

.not

m BAM m DAM x .not

m AMD m DMC y

2m C m A x BC AD m AMB m MAD x

m CMD m MDA y 02 180x y CMB

CMD 0 / 02 36 30 180x y 0 04 2 73 360x y 02 180y x 0 0 04 180 73 360x x

03 107x 0 / 0 /105 120 : 3 35 40x 0 0 /2 180 35 40y 0 /144 20 : 2y 0 /72 10y 0 / 0 /2 35 40 71 20m C 0 /108 40m D m B

/ 1n 2

2

5 9 15 3...

1 2 2 3 3 4

n n

n n

2 2

2 2

3 3 1 11 3

1 1

k k k k

k k k k k k k k

2,k n

2

2

5 9 15 3 1 1 1 1 1 1... 1 3 1 3 ... 1 3

1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 1

n n

n n n n

1

1 11 1 ... 1 3

1 2n ori

1

2

1

3

1...

2n

1

1n

1

1n

3 11

1n

nn n

3 3 3

1 2n

n nn n n

31;3n

n 3n

2008 2011 2012

2009 2011 2010

not2008 2011 2012=

2009 2011 2010p

2008 2011 2012 2009 2011 2010p p

2008 2009 2011 2010 2012p p

2008

2009p

2010 20122011

2008 2009

p

p

2011

A

BC

D

M

xx

y y

0 /36 30

x

y

43 Micii MATEMATICIENI

Dacă atunci , absurd.

În concluzie, numǎrul este iraţional.

7. 42 : Determinaţi şi ştiind cǎ şi cǎ mulţimea

are cardinalul egal cu 2. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din relaţia rezultă că . Deoarece cardinalul mulţimii

este 2 rezultă că şi .

NOTA REDACŢIEI: Enunţul are un surplus de informaţii. Este suficient să se precizeze numai una din cele 3 inegalităţi date pentru a rezolva problema. 7. 43 : În trapezul cu şi se considerǎ E mijlocul segmentului

, , şi .

Să se arate că a) F este mijlocul lui ; b) ; c) . PROF. LIVIU BARBU, PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, IAŞI

SOLUŢIE: Din cu secanta AC şi cum şi

(opuse la vârf) rezultă că (cazul ULU) (1) şi

(2).

a) Din , adică F este mijlocul lui .

b) Din (2) şi (a) avem EF linie mijlocie în , de unde şi cum F este mijlocul lui

rezultă că DF linie mijlocie în , de unde .

c) Fie S, mijlocul lui . Cum D este mijlocul lui rezultă că DS este linie mijlocie în

. Dar, E este mijlocul lui (2) rezultă că EH este linie

mijlocie în H este mijlocul lui . Obţinem că . Deci .

7. 44 : Sǎ se arate cǎ triunghiul ale cǎrui laturi au lungimile , , şi verificǎ relaţia:

este dreptunghic.

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: Egalitatea din enunţ este

2008

2009p

20080 2011 2010 2012

2009 2010 2008 2012 2009

2008 2011 2012

2009 2011 2010

a b2011 20102011

2011

1

1

a a a

b b b

; ; 2011;2012a b

2011 2010a a

b b

1a

a bb

; ; 2011;2012a b 2011a 2012b

ABCD AB DC 2AB DC AC F DE AB BCADG H GE AB

AB 4 DE BG 3 HF AF

DC ABT

DCE EAF

CE AE

DEC AEF DCE FAE DC AF

DE EF 1

2 2AB DC AF FB AF FB AF AB

ACB DF BG

AB ABG 2

2 4BG DF BG DE

AH AG

AHG. . .T l m

DS GH EH DS DF

DSF SF SH HF AS 3 HF AF

a b c

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1: a b c

c a c a c b b c b a

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a c a c b c c b a ba b c

a c a c b c c b a b

44 Micii MATEMATICIENI

, adică triunghiul este dreptunghic

(reciproca lui Pitagora).

7. 45 : Fie un triunghi oarecare cu . În exteriorul triunghiului se

consideră triunghiurile echilaterale ABD şi ACE. Fie punctele S atfel încât AESD să fie paralelogram.

a) Arătaţi că

b) Arătaţi că BSC este echilateral. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Pentru uşurinţa demonstraţiei vom nota . Avem egalitatea :

(unghiuri în jurul punctului S).

Deoarece AESD paralelogram rezultă că (1), (2) şi (3)

. Din (1) obţinem: . Dacă notăm

(au măsurile de 60O – y) (4) . Suma unghiurilor în ne dă : . Folosind relaţiile

obţinem , conform cazului de congruenţă LUL, că (5). Avem:

Din rezultă că , adică . Deci ,

Din congruenţa de la şi se obţine că CBS este echilateral.

7. 46 : În pătratul , considerăm mijlocul laturii şi cu .

Notăm şi . Să se arate că:

a) ;

b) şi , unde .

PROF. MIRELA MARIN, ŞCOALA ALEXANDRU VLAHUŢĂ, IAŞI

SOLUŢIE: a) Din şi (alterne interne), rezultă (cazul U.U.), deci (1). Din , şi relaţia (1), rezultă că

, iar de aici . fiind mijlocul laturii ,

urmează că , deci este triunghi dreptunghic isoscel.

Deci (2).Din deducem că

este inscriptibil şi deci (3) şi (4).

4 4 4 4 4 42

4 4 4 4 2 2

a c c b a bc

a c b c a b

4 4 4 4 4 4 4 4 4 42

4 4 4 2 2

b a b c a c a b a bc

a c b a b

4 4 4

2

4 2 2

c a bc

c a b

2 2 2 2

22 2

a b a bc

a b

2 2 2a b c

ABC 60Om BAC

60Om BSC

60Om BAC x

( ) 360Om BSC m DSE m DSB m CSE

DSE BAE DS AE AD SE

120Om DSE m BAE x m AES yCES SDB DSB

0 0180 120m DSB m SDB m DBS y m DBS 2 , 3 , 4

ECS DSB CSE SBD 120 120O Om DSE m DSB m CSE x y m DBS m DBS 240O x y

180Om DAE m AES 120 180O Ox y 60Oy x

240 300O Om DSE m DSB m CSE x y ( ) 360 300 60O O Om BSC 6

5 6

ABCD P AB M CP DM CP

DM BC N BM DC E

DME EMC

EF BC3

DCEF AC DM F

DMC CBP DCM CPB CDM PCB CDN PCB

CD BC 90m DCN m PBC DCN CBP CN BP P AB

BN BP BPN

1 1P N 180m B m PMN PBNM 1 2P M 1 1N M A B

CD

P

NM

E

F

1

11

2

45 Micii MATEMATICIENI

Din relaţiile (2), (3) şi (4) rezultă că , iar de aici urmează imediat concluzia, căci

şi , ca unghiuri opuse la vârf.

b) Din faptul că este dreptunghic isoscel, rezultă că , deci şi .

Cum , deducem că , iar de aici patrulaterul

este inscriptibil. De aici rezultă . Prin urmare şi

cum , rezultă . Conform teoremei fundamentale a asemănării rezultă că

, de unde . Dar , deci

.

7. 47 : Fie cu şi bisectoarea interioară a

unghiului cu . Calculaţi în funcţie de , şi :

a) distanţa de la la ; b) lungimea segmentului , fiind mijlocul ipotenuzei.

PROF. GABRIELA POPA, ŞCOALA DIMITRIE A. STURDZA, IAŞI

SOLUŢIE: Notăm cu . Ducem , şi , .

Cum rezultă că MSAT este un dreptunghi. Dar, în plus ,

adică (din proprietatea bisectoarei) rezultă că MSAT este pătrat, de unde şi

. Cum . Din prima

egalitate obţinem că distanţa , iar din a doua, că . Avem

Atunci .

CLASA A VIII-A 8. 33 : Pentru ce valori ale lui ,

are inversul un numǎr întreg ?

PROF. MARCELA GOŞMAN, ŞCOALA ION CREANGĂ, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Efectuând calculele obţinem

, de

unde prin simplificare: , adică . Cum inversul

1 2M M

1M CME 2M DME BPN 1 45m P 045m DME

45m FCE m ACD FCE FME FMCE

180 90m FEC m DMC FE DCBC DC EF BC

DEF DCN 2

DE EF DE CN DEEF EF

DC CN DC

EF EC

2 3DC DE EC EF EF EF

ABC 0( ) 90m BAC , , ,AB c AC b BC a AM

A M BC a b c

M AB MO O

; 0d M AB x MS AB S AB MT AC T AC0( ) 90m BAC ; ;d M AB d M AC

MS MT AS x

BS c x . .T f a

MS AC BSM BAC BS SM BM c x x BM

BA AC BC c b a

bcx

b c

x a ac

BMb b c

2 2

BC aBO

2

2 2 2

ab ac ac a b ca acMO BO BM

b c b c b c

x

2

222

16

33)1)(1(

1

221

1

1)(

x

xxxxx

x

x

x

xxE

2 22

2

( 1)( 1) 3 11 1( ) 1 2

1 1 16

x x x x xx xE x

x x x

2 2

1)2

1 ( 1)( 1 3 )( ) 1

1 16xx x x x x

E xx x

2 2

2

1 1 ( 1)( 2 1)( )

1 16

x x x x xE x

x x

24

( )x

E x 2

1x

2( 1)x

2

( 1)

16

x

x

1

4

xE x

46 Micii MATEMATICIENI

numărului este .

Din condiţiile de existenţă: şi rezultă ín final că .

8. 34 : Fie . Calculaţi . PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE:

.Deci

8. 35 : Arǎtaţi cǎ , unde ,

iar , în condiţiile de existenţǎ necesar impuse.

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: Calculele ne conduc la

.

Aducem la o expresie mai simplă:

Descompunem numitorii obţinând:

, de unde avem

.

Prin urmare ín condiţiile de existenţă necesar impuse şi anume , şi .

8. 36 : Trei elevi au scris fiecare câte 60 de cuvinte. Analizând listele, s-au şters cuvintele care s-au găsit cel puţin de două ori. După această operaţie s-a constatat că un elev a rămas pe listă cu 40 de cuvinte, altul cu 48, iar ultimul mai are pe listă 43. Să se demonstreze că cel puţin un cuvânt a fost scris de toţi trei.

PROF. ALINA CRĂCIUN, LICEUL TEORETIC MIRON COSTIN, PAŞCANI SOLUŢIE: Notăm cu , , mulţimea cuvintelor scrise de primul elev, de al doilea elev, respectiv de al treilea. Notăm cu , , şi cu , numărul de cuvinte şterse numai de pe listele A

E x 4

41 1 1; 2 4;1;2;4 2; 3; 5;0;1;3

1x x x

x

Đ

1x 0x 2; 3; 5;1;3x

8 2 15 8 2 15x 2010( 2 3)x

2 2 2 25 2 5 3 3 5 2 5 3 3x 2 2

5 3 5 3x

5 3 5 3x 5 3 5 3x 2 3x 2010 2010( 2 3) 0 0x

x y2

2 2 3 2 2 3

1 1 2

2 2 2 2 4

a b ay

a b a b a b ab a a b ab b

2 2 2

2 2 3 2 2 3 2

6 4 4 9 12 3 2: :

2

b a a b ab ab ax

a b a a b ab a a b

2 2 2

2 2

2 3 2 2 2 2 3 3:

2

b a a a b b ax

a b a b a a ab b

3 2

a b

a b a

2

2

2 3 2 3 2:

a bb a b ax

a b a b a b

3 2b a

2 3 2b ax

a b a b

a b

3 2b a2

xa b

2

2 22 2

1 1 2

2 2 2

a b ay

a b a b a a b b a ba b ab

2 ) 2

2 2 2

1 1 2

2 2

a b a b ay

a b a b a b a ba b

2 2)) 2

2 2 2

2 2 1 2

22

a ba b a b ay

a b a b a ba b

2) 22)

2 2

43

2

a b a a ba by

a b a b a b

2 2 2

2

3 4 2

2

a b a b a a ab by

a b a b

2 2 2 2

2

3 3 3 2

2

a ab ab b a ab by

a b a b

24 2a aby

24 2b ab

2 22 a b a b

2 24 a by

2 22 a b a b

2y

a b

x y a b 3 2b a 0a

A B Ca b c p

47 Micii MATEMATICIENI

şi B, numai de pe A şi C, numai de pe B şi C, respectiv numai de pe listele A, B, C. Se obţin relaţiile: , şi . Vom arăta că

. Presupunem, prin absurd, că . Obţinem sistemul format din , ,

. Adunăm primele două ecuaţii: ,

contradicţie cu . Prin urmare, şi cum rezultă că , adică cel puţin un cuvânt a fost scris de toţi trei. 8. 37 : Aflaţi pǎtratele perfecte ale unui numǎr prim, având forma .

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fie un număr prim astfel încât . Atunci . Cum

rezultă că sau , de unde ,

dintre care valabilă este . Deci numărul căutat este 289 căci şi .

8. 38 : Fie numerele şi , reprezentând partea întreagǎ, respectiv partea fracţionarǎ a

numǎrului real . Sǎ se determine numerele numerele ştiind cǎ .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem cu şi . Relaţia din enunţ devine:

. Ţinând cont de rezultă

că şi cum obţinem . Pentru

. Pentru . Deci .

8. 39 : Fie numărul: , . Să se determine astfel încât numărul

să aibă 946 de divizori. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

SOLUŢIE: Avem . Se obţine următoarea descompunere în factori primi a numărului A:

. Atunci numărul divizorilor numărului A este dat de

. Obţinem ecuaţia . Cum

rezultă că . Deci .

8. 40 : Arǎtaţi cǎ numǎrul nu este un pǎtrat perfect. PROF. MINA MERLĂ, ŞCOALA ŢUŢORA, IAŞI

60 40 20a b p 60 48 12a c p 60 43 17b c p 0p 0p 20a b 12a c

17b c 152 32 2 17 32

2a b c a a

a 0p p 1p

24 35,n n

p 2 24 35p n 2 2 35n p n p

0 2 2n p n p 2 1

2 35

n p

n p

2 5

2 7

n p

n p

, 9;17 , 3;1n p

17p 2289 17 2289 4 9 35

p f

x , ,p f x2010

2011

x fp

x p f p 0;1f 2011 2010p x f

2011 2010p p f f 2010 2011p f 2011

2010

pf 0 1f

0 2010 2011p 2011

02010

p p 0;1p 0 0p f

0x 2010 2010 40211 1

2011 2011 2011p f x

40210;

2011x

22009 2009 ... 2009nA n nA

22009 7 41

11

11 2 ... 2 222009 7 41 7 41n nn n

n nnA

11 1 1

2

n nN A n n

2 21 2 1892n n n n

1892 43 44 2 1 43n n 1 42n n 1 6 7n n 6n

4 2 22011 2 2010 4021

48 Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Avem . Aplicăm formula pătratului unui

binom: . Eliminăm parantezele:

,de unde

. Pentru

ca numărul să fie pătrat perfect ar trebui ca să fie divizibil cu 2, absurd. Prin urmare numărul nu este pătrat perfect.

8. 41 : Rezolvaţi în mulţimea ecuaţia .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Descompunând membrul drept al ecuaţiei şi simplificând cu , ecuaţia este

. Efectuăm calculele şi

obţinem . Trecem toţi termenii

ín acelaşi membru şi grupăm: ,

de unde obţinem descompunerea: . Trebuie ca cel puţin un

factor să fie nul. Obţinem şi soluţia convenabilă .

8. 42 : Existǎ numere reale distincte şi nenule care sǎ verifice egalitatea ?

PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIA 1: Efectuăm calculele şi transformăm astfel

, de unde

. Deci nu există astfel de numere distincte.

SOLUŢIA 2: Grupăm astfel: şi apoi aducem la acelaşi numitor

astfel: . Aducem la

acelaşi numitor: . Soatem în factor: .

Restrângem ca pătrat: şi obţinem: , de unde . Răspuns: NU.

8. 43 : a) Arǎtaţi cǎ numǎrul 2011 este numǎr prim.

b) Fie mulţimea infinitǎ de numere raţionale . Demonstraţi cǎ

mulţimea A conţine un singur numǎr întreg. PROF. DR. CRISTAN DINU, COLEGIUL NAŢIONAL CAROL I, CRAIOVA

SOLUŢIE: a)Folosim regula de recunoaştere a unui număr prim (Ciurul lui Eratostene). Îl împărţim

not. 2 242011 2 2011 1 2 2011 1a

4 2 2 2 22011 2 2011 2 2011 1 4 2011 4 2011 1a

4 22011 2 2011 4 2011a 22 4 2011 4 2011 1 22 2 22011 2 2011 1a

22 22011 1 2011 1a 32011 1 2011 1 2010 2012 2 1005 503a

a 1005 503a

3 2

2

2011 2011 2010 2010

12011 2011

x x x x

xx

2 1x 2

2

2010 12011 2011

12011 2011

x xx

xx

2011 2011

20102011 2011

xx

x

22011 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2010x x x x

2 2011 2011 2010 2011 2010 2011 2011 0x x x x

2011 1 2010 2011 0x x

1 2010 2011x 2011x

2 2

1 2

2

a

a b a a b

2 2 2 2 22 4a a b a b a b a a b 3 2 3 2 2 3 3 22 2 4 4a a b a a b ab b a ab 3 2 3 2 2 34 4 3 3 0a ab a a b ab b

3 2 2 33 3 0a a b ab b 30a b a b

2 2

1 1 10

2

a

a b a b a b a

2 2 2

2 2

20

2

a ab a b a a b

a a ba b a b

2 20

2

b b a b a

a a ba b a b

2 22 0ab b a b a a b 2 22 0b a b ab a

20b a b a 3

0b a a b

2013 2014 2015, , ,...

2 3 4A

49 Micii MATEMATICIENI

pe 2011, pe rând cu numerele prime, în ordine crescătoare, până ajungem la un cât mai mic sau egal cu împărţitorul. Ȋmpărţind pe 20011 la 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 şi 43 se constată că la fiecare împărţire câtul este mai mic decât împărţitorul. Deoarece câtul împărţirii lui 2011 la 47 este 42 şi rezultă, conform regulii, că 2011 este număr prim.

b) Elementele mulţimii A sunt de forma , unde şi . Pentru

obţinem că . Vom demonstra că 2 este singurul număr íntreg din mulţimea A.

Presupunem, prin absurd, că ar mai exista ín mulţimea A un număr íntreg . Cum

rezultă că există şi astfel încât , de unde

. Deoarece este divizor al lui numărului prim 2011 rezultă că

şi , ín contradicţie cu presupunerea noastră. Prin urmare, conform metodei de demonstraţie prin reducere la absurd deduce că .

MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9. 30 : Determinaţi funcţia liniară , ştiind că, pentru orice x număr real au loc

următoarele relaţii: .

PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

“SOLUŢIA AUTORULUI”: Avem: ,

obţinute pentru x = 0. Funcţia f fiind liniară este de forma , deci:

. Deci .

NOTA REDACŢIEI.i. Enunţul problemei are deficienţe majore. Vom analiza condiţiile date în enunţ. Relaţia a doua din enunţ: nu este índeplinită de nicio

funcţie . Într-adevăr, pentru avem , de unde

găsim , iar pentru avem .

Obţinem , absurd.

Eliminând relaţia a doua din enunţ, problema se reduce la a determina o funcţie liniară , care índeplineşte relaţia ,

, . Efectuând calculele se ajunge la

42 472011 k

k

k 2k 2011k

2011 20112

2011A

2n n A

k 2k 2011 kn

k

2011n k k

1 2011k n k 2011k 2n

2A

:f ( 1) 2 (2 ) 2 (1) 4 1

2 (2 ) ( 1) 3 (2) 3 4

f x f x f x

f x f x f x

(1) 2 (2) 2 (1) 1

(1) 2 (2) 3 (2) 4

f f f

f f f

(1) 2 (2) 1

(1) (2) 4

f f

f f

2 1

1 3

f

f

f x ax b

2 1 4

3 7

a b a

a b b

4 7f x x

2 (2 ) ( 1) 3 (2) 3 4f x f x f x :f 1x 2 (1) (2) 3 (2) 3 1 4f f f

1(1) (2)

2f f 0x 2 (2) (1) 3 (2) 4f f f (1) (2) 4f f

14

2

f x ax b ( 1) 2 (2 ) 2 (1) 4 1f x f x f x x ( 1) 2 (2 ) 2 4 1a x b a x b a b x x

50 Micii MATEMATICIENI

relaţia , . Prin

urmare am găsit funcţia , .

Mai mult, se poate determina funcţia numai din , fără a mai fi necesară condiţia de liniaritate a funcţiei. Într-adevăr, atribuind lui

obţinem ,

(1). Atribuind lui , ultima relaţie ne dă: .

Folosind (1) găsim , de unde

. Pentru rezultă . Deci, este legea

funcţiei căutate. 9. 31 : Să se rezolve, în mulţimea numerelor reale ecuaţia: .

PROF. IONICA MARCOVSCHI, PAŞCANI, IAŞI

SOLUŢIA1:Avem

adică , de unde , care verifică .

SOLUŢIA 2: (elevele: Ana Ioana Călinescu şi Mara Neicu) După împărţirea cu 2, ecuaţia dată poate fi privită ca ecuaţie ca una de gradul al II-lea ín având coeficienţii , şi

, de unde, pentru a avea soluţii este suficient ca ,

adică . Obţinem , de unde .

9. 32 : Demonstraţi cǎ, pentru orice este adevǎratǎ urmǎtoarea propoziţie matematicǎ:

. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Presupunem, prin absurd că există astfel íncât .

Însumând de la , pătratul obţinem

, de unde

, absurd. Prin urmare, este adevărată propoziţia enunţată. NOTA REDACŢIE. O altă rezolvare a problemei, tot prin metoda reducerii la absurd, constă în a

reduce propoziţia dată la a arăta că ecuaţia: nu are soluţii

3 5 3 4 1a x a b x x 4 173 4 şi 5 3 1 ,

3 9a a b a b

:f 4 17

3 9f x x

( 1) 2 (2 ) 2 (1) 4 1f x f x f x x 2x x :

(3 ) 2 ( ) 2 (1) 4 2 1f x f x f x (3 ) 2 ( ) 2 (1) 4 7f x f x f x x 3x x : ( ) 2 (3 ) 2 (1) 4 3 7f x f x f x

( ) 2 2 ( ) 2 (1) 4 7 2 (1) 4 5f x f x f x f x

4( ) 2 (1) 3

3f x x f 1x 5

19

f 4 17

3 9f x x

2 22 2 2 2 10 14 0x y xy x y

22 2 2 22 1 6 9 2 2 2 2 2 2 0x x y y x y x y x y

2 2 21 3 2 0x y x y 1x 3y 2 0x y

x 1a 1b y 2 5 7c y y 2 21 4 5 7 0y y y

2 23 3 0 3 3 0 3y y y 2 2 1 0x x 1x

x 1 2 3 ... 2010 2011 503x x x x x x

x 1005

0

2 2 1 503k

x k x k

0,1005k 2 2

2 1 2 2 2 1 2 1x k x k x k x k

1005 1005 1005 1005

2 2

0 0 0 0

2 1 2 2 2 1 2 1k k k k

x k x k x k x k

22011

0

2 503 1006i

x i

22011

2

0

0 0, 0,2011i

x i x i i

1 2 ... 2011x x x x

2011 1005

2

1 0

1005 2 2 1 0k k

x k x k k

51 Micii MATEMATICIENI

reale

, evidentă.

9. 33 : Arǎtaţi cǎ există astfel íncât numerele şi să fie simultan raţionale.

PROF. ION PĂTRAŞCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: Notăm şi . Avem , de unde

. Dacă atunci

, fals. Deci , de unde cu soluţiile .

9. 34 : Demonstraţi cǎ dacǎ cu

atunci . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Grupăm astfel:

, echivalentă cu

. Aducem la acelaşi numitor ín paranteză:

, de

unde sau căci şi .

9. 35 : Arǎtaţi cǎ: , .

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: Pornind de la . Dezvoltând

paratezele, obţinem: şi

analoagele: şi . Adunându-le şi grupându-le

convenabil, obţinem inegalitatea dorită.

9. 36 : Dacă astfel încât , arătaţi că . PROF. PARASCHIVA MÂRZA-LEŞAN, PROF. ALEXANDRU NEGRESCU, ŞCOALA ELENA CUZA, IAŞI

SOLUŢIA 1:(autorii) Ţinând seama de ipoteză, inegalitatea de arătat devine , adică , de unde , care este echivalentă cu .

0 22011 1005

1 1

4 1005 2 2 1 0k k

k k k

22011 1005 10052

1 1 1

4 1005 4 2 0k k k

k k k

22011 1005 10052 2

1 1 1

4 1005 8 1005 0k k k

k k k

1005 10052 2

1 1

4 1005 8039 0k k

k k

/x 3 2x x 2x x

3 2x x a 2x x b 3 2 22a x x x x x x

2 21a x x x x x 1a x b b 1a b x b 1b

1

a bx

b

1b 2 1 0x x 1,2

1 5

2x

2

sin sin sin sin sin sin

a b

a a b b b a a b a b

, 0;1a b

a b

1 10

sin sin sin sin sin sin sin sin

a b

a a b b a b b a a b a b

sina a sin sina b a a

sin sin

sin sin sin sin

b b b a

a a b b a b

sin sinb b b a

sin

0sin sin sin sin

a b

b a a b a b

sin 1 10

sin sin sin sin sin sin

a b b

a b a a b b b a a b

sin sin sin

0sin sin sin sin sin sin

a b b a b b a b a

a b a a b b b a a b

2

sin sin sin 0a b b b a

a b sin sina b a b , 0;1 0;2

a b

sin 0b

2 x x y y z z y z x z x y x y z , ,x y z

2

0x y x y 2 0x y x xy y

2 2 0x x x y y x x y y x y y x x y y x y y x

x x z z x z z x y y z z y z z y

, ,a b c 2 2 2a b ab c 2 2ac bc a b

2ac bc ab c 2 0ac ab bc c 0a c b c b c 0a c c b

52 Micii MATEMATICIENI

Să presupunem că . Atunci , de unde , adică şi . De aici obţinem că , deci .

Aşadar, .

Dacă , atunci , de unde şi iar . De aici, avem că , deci . Aşadar, şi

, care implică .

Egalitatea are loc dacă . SOLUŢIA 2: Adunăm la pe şi obţinem , de unde

(1). La aceeaşi egalitate adunăm pe : , de unde

(2). Avem succesiv: , de unde

. Cum

(2) ne dă deducem că , adică . De aici

obţinem Întrucât din enunţ avem . SOLUŢIA 3: (Ioan Săcăleanu) Din

. Cum rezultă că şi au acelaşi semn, de unde obţinem că

(1). Din . Cum rezultă

că şi au acelaşi semn, de unde obţinem că (2). Înmulţirea lui (1) cu

(2) ne dă

adică . Ţinând seama de obţinem inegalitatea cerută. SOLUŢIA 4:(Aurel Neicu) Inegalitatea din enunţ se transformă echivalent astfel:

, adevărată.

9. 37 : Fie fracţia astfel încât cu . Arǎtaţi cǎ

şi calculaţi valoarea lui .

PROF. LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Fracţia devine succesiv: .

Avem . Deci . Valoarea lui este

a c 2 2 2 2a b ab c a 2 0b ab 2b abb a 2 2 2 2 2 2 2

0

c a b ab a ab b a a b b b

c b

0a c c b

a c 2 2 2 2a b ab c a 2 0b ab 2b ab b a 2 2 2 2 2 2 2

0

c a b ab a ab b a a b b b

c b 0a c

0c b 0a c c b

a b c 2 2 2a b ab c 3ab 2 2 22 3a b ab c ab

2 2 3a b c ab ab 2 2 2 2c ab a b ab

22 0c ab a b

1

22 2 2 4 23 3c a b c c ab c abc

222 2 2 2 2 2 2 22c a b c abc a b abc a b 222 2 2c a b c ab ab c ab

2 0ab c ab 222 2c a b c ab 2c a b c ab 2 2ac bc a b 2 2 2c ab a b

2 2 2a b ab c 2 2 2a c ab b a c a c b a b

, , 0a b c a c a b 0a c a b 2 2 2a b ab c 2 2 2a ab c b a a b c b c b , , 0a b c

a b c b 0a b c b

20a b a c c b 0a c c b 2 0ac ab c bc

2 0ac ab c bc 2ac bc ab c 2 2 2c ab a b

2ac bc ab c

2 2c a b c ab 222 2c a b c ab 2 2 2 4 2 2 22 2c a ab b c abc a b

2 2 4 2 2 22 2enunt

c c ab ab c abc a b 4c 2 22c ab abc 4c 22abc 2 2a b

2 2 2

: abc ab a b 2c ab 2 2

enunt

a b ab ab 22 22 0 0a ab b a b

12

10 6 2

1xF x

x x x

7F x 0x 1

F x Fx

2F x x

34 4 8 4 42

10 6 2 2 22 8 4

1 1 1 1 1

1

x x x x xF x x

x x x x xx x x

2 2

22

1 1 1 1F x F x

x x x x

1F x F

x

2F x x

53 Micii MATEMATICIENI

(1). Din rezultă că (2), de

unde , de unde (3), căci .

Înmulţind (2) cu (3), găsim , de unde (4). Produsul egalităţilor din

(2) şi din (4) ne dă , de unde . Conform lui (1) obţinem

.

9. 38 : Fie cu , , . Se notează cu intersecţia dintre mediana şi bisectoarea a unghiului cu . Să se determine, în funcţie de lungimile

laturilor triunghiului ABC, numerele reale x şi y astfel încât să aibă loc relaţia PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Notăm cu , vectorul de poziţie al punctului X faţă de punctual O, ales arbitrar.

Se ştie că din rezultă că , unde valoarea lui k se obţine aplicând teorema

bisectoarei ín : căci D este mijlocul lui . Înlocuind pe ,

se obţine relaţia . Alegând , găsim

, de unde . Ȋn vectorul median este

. Cum şi scrierea unui vector ín baza

este unică rezultă şi .

9. 39 : Demonstraţi cǎ, dacǎ atunci .

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

SOLUŢIE: Numerele nu pot fi de acelaşi semn, pentru că am avea un termen al sumei din

ipoteză mai mare decât suma, adică . Fără a restrânge generalitatea şi .

Atunci există astfel ca . Din enuţ . Efectuând calculele,

obţinem că sau

. Ȋn ambele situaţii, egalitatea este adevărată, căci membrii au valoarea egală cu

şi

22 2 5

2 52

1 1F x x x x x

xx x

7F x 2

2

17x

x

22 1 1 1

2 2 7x x xx x x

21

9xx

13x

x 0x

33

1 121x x

x x 3

3

118x

x

55

1 1126x x

x x 5

5

1123x

x

2 123F x x

ABC AB c AC b BC a P BDCE BCA E AB

PA x PB y PC

Xr OX

BP k PD

1B D

P

r k rr

k

CP BCD 2BP BC ak

PD CD b AC k

2 2P B Da b r b r a r

O P

2 2a b PP b PB a PD

2

bPD PB

a

PCA

2

PA PCPD

b

PA PB PCa

PA x PB y PC

,PB PC b

xa

1y

1 1 1 1

x y z x y z

2011 2011 2011 2011 2011 2011

1 1 1 1

x y z x y z

, ,x y z1 1

x y z x

0x , >0y z

0p x p 1 1 1 1

y z y z p p

yz p p x y 2 0 0p py pz yz p y p z x p y

x p z

2011 2011 2011 2

1 1 1 1

x y z p

2

1

p

2011 2011

1 1

z z 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011

1 1 1

x y z p p z z

54 Micii MATEMATICIENI

NOTA REDACŢIEI. O abordare a problemei din perspectiva teoriei polinoamelor (cl. a XII-a) este: cu notaţiile , şi rezultă că x, y, z sunt soluţii ale ecuaţiei

(relaţiile lui Viette). Avem , adică ,

deci , adică două

dintre x, y, z sunt numere opuse, de unde având exponent impar rezultă uşor, egalitatea cerută.

9. 40 : Arǎtaţi cǎ are loc inegalitatea: .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIA 1:(autorul) Aplicând inegalitatea mediilor şi anume:

pentru termenul generic al sumei din membrul stâng, adică pentru , obţinem

că , . Atunci suma din

membrul stâng este mai mare ca , q.e.d.

SOLUŢIA 2:(eleva Mara Neicu): Aplicăm , grupând ín prealabil termenii egali

depărtaţi de extremi:

. Egalitate nu poate fi căci altfel am avea , absurd.

9. 41 : Sǎ se rezolve în ecuaţia cu parte întreagǎ: .

PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: . Numărul

2011 este prim. Atunci . Verificând în

ecuaţie, se constată că nicio valoare a lui nu o verifică. Deci ecuaţia nu are soluţii.

9. 42 : Determinaţi numǎrul real din egalitatea: .

PROF. ROXANA MIHAELA ROPOTĂ, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Ecuaţia din enunţ este echivalentă:

.

Aplicăm sinusul diferenţei

1S x y z 2S xy xz yz 3S xyz

3 21 2 3 0t S t S t S

1xy xz yz

xyz x y z

3 1 2S S S

3 2 21 2 1 2 1 20 0t S t S t S S t S t S 1 , .t S x y z x y z

1 2 3 2011... 2011

2011 2010 2009 1

geometricā armonicām m2ab

aba b

2012

k

k1, 2011k

2 1 2201212012 2012 2012 10061

2012

kk k k kk

kk k k kk

1, 2011k

1 2 3 .. 2011 2011 1006

1006

10062011

2, , 0a b

a bb a

1 2011 2 2010 1005 1007 1006...

2011 1 2010 2 1007 1005 1006

de1005ori

2+2+...+2 1 2 1005 1 2011 1 2011

2

2

3 3 3 2017

3 3 2

x x

x x x

3 2017

2

x

x

3 2 2011

2

x

x

2011

32x

20112x D

2 1; 2011;1;2011x 3; 2013; 1;2009x

x

a0 0

20114

sin10 cos10

a aa

0 0 0 0cos10 2011 sin10 4 sin10 cos10a a a

0 0 0cos10 2011 sin10 2 sin 20a a a 0 0 0 0cos10 2011 sin10 2 sin 30 10a a a

0 0 0 0 0 0cos10 2011 sin10 2 sin 30 cos10 cos30 sin10a a a

55 Micii MATEMATICIENI

. Raţionalizăm şi obţinem .

CLASA A X-A 10. 27: Determinaţi imaginea funcţiei , .

PROF. CONSTANTI NASTASĂ, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Considerăm funcţia pătratică , , care admite minim ín vârful

parabolei . Deoarece şi , atunci imaginea

funcţiei este mulţimea . Din tabelul de variaţie:

deducem că .

10. 28: Să se rezolve în ecuaţia: .

PROF. LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Avem:

Soluţiile ecuaţiei sunt rădăcinile de ordin 2011 ale unităţii: .

10. 29: Rezolvaţi ecuaţia exponenţialǎ: .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: , echivalentă cu

0cos10a 0 012011 sin10 2 cos10

2a a 2

3

2a 0sin10 2011 3a a

2011

3 1a

2011 2011 3

2a

:f 2 3f x arctg x arctgx

g : 2 3g t t t

3 9;

2 4V

;2 2

arctg

: f x g arctg x

f ;2 2

f g

2 2

m i n i m

3

2 2 2

6 9 6-

4 4 4

x

g

29 6Im ;

4 4f

2011 2011 2011 2011

20111 2 3 2010... 2011

2 3 4 2011

x x x xx

2011 2011 2011

2) 3) 2011) 20111 2 20101 1 ... 1 1 0

2 3 2011

x x xx

2011 2011 2011

20111 1 1... 1 0

2 3 2011

x x xx

2011 1 1 1

1 ... 1 02 3 2011

x

2011 1x

2 2cos sin , 0,2010

2011 2011k

k kx i k

2

2 2

2

1

x x

x x x x

e e

xe x e e x e

2 22

2 2

1)1) ) )1 10

1 1

x x x xxx e x e e x ex x

x x x x

e e

x xe x e e x e

x xxe e xe

2 2 2

2

1

x x x

x x

x e xe e

e x e x

2x xxe e

20

1x xe x e x

2

2 2

1 10

1

x x

x x x x

x e e

x e x e e x e

56 Micii MATEMATICIENI

, de unde

. Rezultă că sau sau .

10. 30: Să se rezolve ecuaţia logaritmicǎ: .

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Arătăm că este soluţie

, adevărată. Vom căuta soluţii şi .

Schimbăm ín baza şi aplicăm proprietăţile logaritmilor:

. Deci .

CLASA A XI-A

11. 21: Dacă , arǎtaţi cǎ este un numǎr natural, pǎtrat perfect.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Avem , unde . Se verifică uşor că .

Deoarece putem aplica formula binomului lui Newton: echivalentă

căci , .

Prin urmare , . Atunci determinantul din enunţ este

, care

evident este un număr natural, pătrat perfect.

22 2

2 20

1

x xx x x x

x x x x

x e e e x e e x e

x e x e e x e

2 2

1 1 0x x x xx e e e x e x

2 2

1 0x xx x e e 0x 1x 2.

2 0;1inj

x xe e x x x

33 2 3 6

1log log log

3 23

x xx

1x 33 2 3 6

1 1 1log log 1 log

3 23 3

63

11 0 log 3

2

1

6 3 23 3

11 1 26 3 1 1 1

3 36 3 2

0x 1x

1x 6

3

log log 3 log log log 3 1

log 3 log 2 2log 3x x x x x

x x x

x x x

6

23 6

1 log 3 log 31 1 1

log 3 log 2 2log 3 log 3

x x

x x x x

6log 2) log 31 log 3 3

log 3 log 2 log 3

xxx

x x x

62 log 3x

1

2 1 log 3 3 log 2 0x x 31 log 3 log 2x x

31 log 3 2 24x x 1;24S

2 1

0 2A

2det ... nA A A

22A I B 0 1

0 0B

2 , , 2nB O n n

2 22 2I B B I 22nnA I B

2

1 20 1 2 22 2 2 2

0

2 2 2 2 ...n

n k n n nn k k n nn n n n n

kO

A C I B C I C I B C I B C B

2nB O 2n

11

2

2 22 2

0 2

n nn n n

n

nA I n B

n

1

221 12 2 3

1 1

1

2 2

det ... det det 2 2 2 2 ... 2

0 2

n nk k

n nk kn k k n

nk kk

k

k

A A A A

57 Micii MATEMATICIENI

11. 22: Matricea degeneratǎ verificǎ .

Determinaţi urma matricea A . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din teorema lui Cayley-Hamilton avem , unde notăm cu

urma matricei A. Cum rezultă că . Se arată uşor prin inducţie că , pentru .Înlocuim ín relaţia dată:

, de unde . Obţinem

şi , de unde . Prin urmare urma matricei .

11. 23: Fie , Să se determine astfel încât

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

SOLUŢIE: =

şi

11. 24: Demonstraţi cǎ are loc inegalitatea: .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIA1: Trebuie să arătăm

. Considerăm funcţia , . Derivata

sa este

, de unde obţinem că f este o funcţie descrescătoare.

Pentru avem , de unde . Pentru găsim

, q.e.d.

SOLUŢIA 2: Funcţia , este continuă pe şi

derivabilă pe fiind elementară. Conform teoremei lui Lagrange rezultă că există

2A 2011 2010 200922012 2011A A A O

22 2detA trA A A I O

r trA det 0A 2A r A 1n nA r A n 2010 2009 2008

22012 2011r A r A r A O

2008 222012 2011r r r A O 2008

22011 1r r r A O

0,1, 2011r 2A O 0r 0;1;2011trA

RMA 3 .

233

101

34352

na

a

a

A Rna , .AAt

AAt

n

aa

a

103

23143

35 2

na

a

a

233

101

34352

nn

a

aa

1023

432

Rn

a

aa

123

0432

Rn

a

aa

4

0432

4 1

4

a sau a

a

n R

4a .Rn

ln 2011 ln 2010 2011 2010

2011 2010 2 2010

2 2

2011 2010ln 2011 ln 2010

2 2010

2011 1ln

2010 2 2010

1 1 1ln 1

2010 2 2010 0;f : ln 1

2

xf x x

// 1 1 1

121 2

f x xx x

/ 1 1

2 1 4f x

x x

/ 2 1

4 1

x xf x

x x

2

/1

0, 0;4 1

xf x x

x x

0x 0f x f ln 1 02

xx

1

2010x

1 1 1ln 1

2010 2 2010

2010; 2011g : lng x x 2010; 2011

2010; 2011

58 Micii MATEMATICIENI

un punct astfel íncât . Din

rezultă că , de unde inegalitatea

cerută. CLASA A XII-A

12. 22: Se consideră matricea şi cu elemente din . Sǎ se

determine mulţimea şi matricea cu .

PROF. MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD

SOLUŢIE: Considerăm matricea astfel încât . Din

notând , .

Demonstrăm prin inducţie matematică propoziţia , .

I. Arătăm că este adevărată , adevărată.

II. Ştim că adevărată . Demonstrăm că adevărată

2010; 2011c /ln 2011 ln 2010 1

2011 2010f c

c

2010; 2011c1 1 2 2011 2010

2010 2 2010 2 2010c

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

A

1̂0̂0̂

0̂1̂0̂

0̂0̂1̂

3I 7Z

3 7( ) ( )C A X M Z A X X A nA n

73 ZM

ihg

fed

cba

X

ACX XAAX

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba ˆ ˆ2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 3 2 3

a b c a b c

d e f d e f

g h i g h i

0̂,b c d e f g

i

e

a

Xˆ0̂0̂

0̂ˆ0̂

0̂0̂ˆ

,be ci

c

b

a

X

ˆ0̂0̂

0̂ˆ0̂

0̂0̂ˆ

7,, Zcba

:P n

n

n

n

nA

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

1n

1P

1

1 1

1

ˆ ˆ ˆ1 0 0

ˆ ˆ ˆ0 2 0

ˆ ˆ ˆ0 0 3

A

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

A A A

)(kP

k

k

k

kA

3̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂

( 1)P k

59 Micii MATEMATICIENI

, echivalentă cu

adevărată.

Deci, rezultă, conform metodei inducţiei matematice că adevărată .

12. 23: Fie o funcţie continuă care admite derivată de ordin doi continuă şi

Să se demonstreze că

PROF. MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD

SOLUŢIE: Avem , căci

integrala unei funcţii pozitive este un număr pozitiv. 12. 24: Determinaţi funcţiile , numǎr prim astfel încât

pentru orice . PROF. AUREL NEICU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Se ştie că dacă p este număr prim atunci formează o structură de corp

comutativ. Notăm . Cum este element neutru rezultă că . Pentru

ín egalitatea din enunţ obţinem că . Folosind

distributivitatea . La fel, , de

unde ……….. la fel .

Deci, sunt astfel de funcţii , pentru .

12. 25: Determinaţi primitivele funcţiei , .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, LICEUL TEORETIC ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Facem schimbarea de variabilă: cu . Funcţia

este bijectivă deoarece , este continuă pe fiind compunerea a două funcţii

elementare şi mai mult, este strict crescătoare fiind compunerea a două funcţii strict crescătoare.

13̂0̂0̂

0̂2̂0̂

0̂0̂1̂1

1

1

k

k

k

kA

1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 0 1 0 0 1 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 0 0 2 0 0 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 3 0 0 3 0 0 3 1

k k

k k

k k

1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 0 0 1 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 2 0 0 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 3 3 0 0 3 1

k k

k k

k k

1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 0 1 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 0 0 2 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 3 1 0 0 3 1

k k

k k

k k

P 1 adevărată

P k P k+1

P n n

Rbaf ,:

.0)()( bfaf / /( ) ( ) 0b

a

f x f x dx

/ 2 2/ / / /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b b b

ba

a a a

I f x f x dx f x f x f x dx f x dx prin părţi

: p pf p f x y f x f y

, px y

, ,p

1̂ pf a 1̂ ˆ ˆ1 1f a

1̂x y ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1f f f ˆ ˆ ˆ2 1 1f a a

ˆ ˆ ˆ2 1 1f a ˆ ˆ2 2f a ˆ ˆ ˆ3 1 2f f ˆ ˆ1 2f f

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 1 2 1 2f a a a ˆ ˆ3 3f a 1 1f p a p

p :a p pf af x a x ˆ ˆ0,1,..., 1pa p

: 1,f

2010

22011ln

1

xf x x

x

2011 1x t t : 0, 1,

Im 1, 0,

60 Micii MATEMATICIENI

Deoarece este derivabilă pe fiind compunerea a două funcţii elementare şi are derivata

diferită de zero pe rezultă că sunt índeplinite condiţiile aplicării

metodei schimbării de variabilă. Atunci primitivele F ale funcţiei f se calculează astfel:

.

Prin metoda integrării prin părţi obţinem succesiv:

Transformând ín fracţii simple :

. Prin urmare

primitivele funcţiei f sunt cu .

***

ZÂMBETUL ŞTIINŢEI

D’ALE LUI MOISIL

Marea calitate a unui profesor este de a fi bucuros când e depăşit de elevii săi. Se ştie că un profesor bun e cel care te face ca lucrurile mai grele să ţi se pară uşoare. Într-adevăr, dacă este ceva cu care trebuie să rămână absolventul de cursuri liceale, acel

ceva este învăţatul de a gândi just. Un matematician de obicei e întrebat la ce serveşte matematica şi abia dacă găseşte o ocazie

să spună că e frumoasă şi că lui îi serveşte în primul rând că îi este dragă. Înţelegerea unui fenomen îţi schimbă modul de a vedea întreaga lume şi matematica îţi serveşte şi ţie să ai cunoştinţe plus.

O teoremă e o scrisoare de dragoste către un necunoscut, către acela care îi prinde nu numai înţelesul, ci şi toate subînţelesurile.

Să nu se teamă nimeni de lucrurile abstracte, mai ales în matematică; matematica-tocmai pentru că este matematică, este abstract. Cu cât un lucru este mai abstract, cu atât el îmbrăţişează domenii mai vaste şi deci este aplicabil în mai multe multe cazuri concrete.

Matematica va fi limba latină a viitorului, obligatoriu pentru toţi oamenii de ştiinţă. Tocmai pentru că matematica permite accelerarea maximă a circulaţiei ideelor ştiinţifice.

CULESE DE NEICU MARA

0,

/

20102011

1

2011 1t

t

0,

20102011 1t

F x

20112

20102011

1ln 1

2011 1t

t t

2011

2011

2 21

1

1 1ln 1

2011 t x

t x

dt t dtt

2011

/

2

1

1 1ln 1

2011t x

F x t dtt

2011 2011

/

2 21 1

1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln 1

2011 2011 1t x t x

F x t t dt t dtt t t t t

2011

2011 20111 1

21

1 1 1 1ln 1

2011 1t x t x

t x

F x t dt dtt t t

2011 1

2011 1

20112 2011 2 2

1 1 1 1 1ln ln ln

2011 1 2011 2011 1t x

t x

F x x t Kx t

2011

2011 2 2011

1 ln 1 1ln

2011 1 2011K

x xF x K

x x

K

61 Micii MATEMATICIENI

PROBLEME PROPUSE

MATEMATICA PITICĂ P. 89: Arătaţi că 5 : 2 3 1 14 :15 3: 1 2 45 :15 2 : 2 2011 2012 .

ÎNV. RAMONA MIHAELA ADAM, ŞCOALA MIROSLAVA, IAŞI P. 90: În faţa unui bloc se joac10 copii. Câte fete şi câţi băieţi sunt, dacă fiecare fată are 3 fraţi, iar două fete sunt surori.

ÎNV. MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P. 91: Care sunt numerele de trei cifre consecutive care adunate cu răsturnatul lor dau 444. PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

P. 92: Află valoarea lui a din egalitatea: 1 2 3 4 15 4 280 : 4 20 2a a a a .

ÎNV. SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI P. 93: Mama a cumpărat bomboane și le împarte copiilor săi. Dacă împarte câte 3 bomboane fiecărui copil îi rămân 8 bomboane, iar dacă împarte câte 5 bomboane, atunci un copil rămâne fără bomboane și altul primește numai 4 bomboane.Câți copii și câte bomboane are mama?

ÎNV. MARIA CREŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 94: Merele din 9 lăzi cântăresc 225 kg. Cât cântăresc merele din 13 lăzi de aceeaşi mărime?

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

P. 95: De-a lungul gardului din faţa şcolii sunt 11 pomi. Ce distanţă este între primul şi ultimul pom, dacă între al doilea şi al şaptelea pom sunt 20 metri ?

ÎNV. MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 96: Împărţind două numere se obţinem câtul 8 şi restul 2. Ştiind că deímpărţitul este cu 1546 mai mare decât suma dintre ímpărţitor, cât şi rest, să se afle suma celor două numere.

PROF. CONSTANŢA TUDORACHE, ŞCOALA ŞTEFAN BÂRSĂNESCU, IAŞI P. 97: Oana şi Ana au în coşuleţ fiecare un număr de alune. Numărul alunelor Anei este cu 8 mai mare decât împătritul numărului alunelor Oanei, iar diferenţa dintre întreitul numărului alunelor Oanei şi sfertul numărului alunelor surorii este 28. Câte alune avea fiecare fetiţă în coşuleţ?

ÎNV. MARIA ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI P. 98: Suma a trei numere este 270. Dacă din fiecare se scade acelaşi număr, atunci se obţine numerele 24, 81 şi 132. Care sunt cele trei numere.

PROF. MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD

P. 99: Un concurs de tenis se desfăşoară în sistem eliminatoriu (cine pierde iese din concurs). Câţi concurenţi sunt, dacă pentru desemnarea câştigătorului s-au jucat 31 meciuri ?

ÎNV. MARIETA MUŞEI, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

62 Micii MATEMATICIENI

P. 100: Mihai scrie două numere naturale cu suma 150. El observă că, uneori, dacă şterge una din cifrele primului număr îl obţine al doilea număr. Care pot fi cele două numere naturale care adunate dau 150? Găsiţi toate soluţiile.

ÎNV. MARIA ILIE, PROF. CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI

P. 101: Trei prieteni au plecat la o pizzeria. Întrebându-l pe ospătar cât costă o pizza, el le răspunde că costă 2 euro şi o jumătate de pizza. Cât au plătit cei trei prieteni pentru trei pizza de acelaşi fel ?

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 102: Un copil a cumpărat un pix cu un sfert din banii pe care îi avea, iar cu jumătate din suma rămasă a cumpărat o carte. Câţi lei a avut copilul dacă i-au rămas 3 lei?

ÎNV. SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI P. 103: Calculaţi a 30-a parte din produsul a trei numere natural ştiind că jumătăţile lor sunt numere consecutive a cor sumă este 57.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 104: La concursul VOCEA ROMÂNIEI au participat 240 de concurenţi. La prima preselecţie au plecat două treimi dintre concurenţi, iar la cea de-a doua preselecţie trei sferturi. Aflaţi câţi concurenţi au ajuns în semifinală.

ANDREEA CĂTĂLINA LOGHIN, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU P. 105: Doi frați au împreună un număr de mașinuțe. Unul dintre ei are cu 8 mașinuțe mai mult. Dacă le-ar împărți în mod egal ar avea câte 15 mașinuțe. Câte mașinuțe are fiecare?

ÎNV. MARIA CREŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 106: Mara are într-un coş un număr de nuci. Dă Anei jumătate din nuci şi încă două, Irinei jumătate din cele rămase şi încă două nuci şi constată că în coş mai sunt 8 nuci. Câte nuci au fost iniţial în coş?

ÎNV. MARIA ILIE, PROF. CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI P. 107: Cezar şi-a propus să rezolve problemele din tema de vacanţă în 20 zile. A reuşit să rezolve cu 3 probleme mai multe pe zi, astfel terminându-le în doar 15 zile. Câte probleme a avut de rezolvat în vacanţă ?

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 108: Aflaţi numărul natural care împărţit la 40 dă restul mai mare decât 38, iar câtul este dublul treimii restului.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P. 109: Două familii A şi B au câte 4 copii. Despre familia A se ştie că diferenţele vârstelor copiilor sunt numere consecutive, că există fraţi gemeni şi că suma vârstelor copiilor este 48 ani. Despre familia B se ştie că nu există fraţi gemeni şi că suma vârstelor copiilor este 10 ani. Aflaţi vârstele copiilor din cele două familii.

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

P. 110: Câte numere naturale de două cifre dau la ímpărţirea la 8 câtul egal cu o treime din rest ?

PROF. CORNELIU CONSTANTIN ILIE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI

63 Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa a V-a

5.71 : Determinaţi numerele de forma xyzt pentru care 1 3 1 56157xyzt xyzt . PROF. IULIANA BLANARIU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

5.72 : Determinaţi ultima cifră nenulă a produsului ba , unde 864 753 a şi 141210 732 b .

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD 5.73 : Să se scrie numărul 216 2013 ca sumă de trei cuburi perfecte

PROF. GHEORGHE SPIRIDON, LICEUL ECONOMIC NICOLAE IORGA, PAŞCANI

5.74 : Determinaţi numerele de forma abc , ştiind că 2

abc cba aa . PROF. GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M. BUSUIOC, PAŞCANI

5.75 : Bunica culege merele şi le pune în cutii. Ea constată că dacă pune câte 30 mere în cutie, îi rămân 12 mere, iar dacă pune câte 38 mere în cutie îi rămân 2 cutii goale. Câte cutii şi câte mere avea bunica?

ÎNV. SILVIA ŞORODOC, ŞCOALA NICOLAE IORGA, PAŞCANI

5.76 : Să se determine numărul abc ştiind că 1779abbc abb ab a . PROF. GABRIELA POPA DIMITRIE A. STURDZA, IAŞI

5.77 : Să se compare numerele 552164a şi 3682197b .

PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 5.78 : Determinaţi restul împărţirii numărului 4 8 12 100... 4567a n n n n la 5, unde n .

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

5.79 : Fie numărul natural de forma aabc literele reprezentând cifre consecutive. Aflaţi numărul ştiind că suma cifrelor este 11

PROF. MARIA BOTH, ŞCOALA ŞICLĂU, ARAD 5.80 : Există numerele ,a b astfel íncât 5 2 1 6 2 1 5 2 6 2 1a b a b a b a b ?

PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, PAŞCANI

5.81 : Aflaţi numărul ab din egalitatea: 4 32ab ba a b . PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

5.82 : Vlăduţ are în clasă 34 de colegi. Dintre toţi, 18 elevi îndrăgesc limba română, 19 matematica, iar 13 istoria. Se mai ştie că 10 elevi îndrăgesc limba română şi matematica, 5 elevi limba română şi istoria, 4 elevi matematica şi istoria, iar 3 elevi îndrăgesc toate cele trei discipline. Câţi elevi nu îndrăgesc nici unul dintre obiectele mai sus amintite ?

PROF. MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

64 Micii MATEMATICIENI

5.83 : Terenul de fotbal al unei şcoli, de formă dreptunghiulară, este înconjurat de o pistă de atletism. Dacă lungimea este de 2 ori mai mare decât lăţimea terenului, perimetrul fiind egal cu 90 de metri, aflaţi aria terenului de fotbal şi perimetrul terenului de sport ştiind că lăţimea pistei de atletism este de 3 metri.

PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.84 : La un concurs se acordă pentru premiul I, 5 puncte, pentru premiul al II-lea 3 puncte, iar pentru al III-lea, 2 puncte. Aflaţi numărul de premii primite de elevii unei şcoli ştiind că au obţinut 25 de puncte şi cel puţin câte două premii din fiecare. Justificaţi

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD 5.85 : Să se scrie numărul 2013138 ca sumă de trei pătrate.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.86 : Suma de 2011 lei este împărţită mai multor copii. Aflaţi cel mai mic număr de copii la care poate fi împărţită suma ştiind că fiecare copil primeşte o sumă de bani care se exprimă printr-o putere a lui 2.

PROF. ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI

5.87 : La Concursul de Matematică „H. Coandă” participă copii cu vârstele între 8 şi 15 ani, printre care şi doi gemeni. La întrebarea dacă mai au fraţi şi ce vârstă au, gemenii au răspuns: „Mai avem un frate, vârsta sa se scrie cu două cifre identice, iar suma vârstelor tuturor este un număr de două cifre în care cifra a doua este de două ori mai mare decât prima”. Determinaţi vârstele tuturor celor trei fraţi.

PROF. GABRIELA SĂNDULESCU, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAI EMINESCU, IAŞI 5.88 : Dacă n este un număr natural care nu se termină în cifra 0, notăm r n numărul scris cu

aceleaşi cifre, în ordine inversă. Aflaţi numerele naturale n de trei cifre, care nu se termină în cifra 0, pentru care 4 3r n n .

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

5.89 : Seismologii români au constatat că în regiunea Vrancea, din România, cutremurele se produc după intervale de timp egale, dar nu neapărat după un număr întreg de zile. Se poate întâmpla ca în acest secol primul cutremur din zona Vrancea să se fi petrecut într-o zi de luni, al doilea într-o zi de marţi iar al patrulea într-o zi de duminică? Justificaţi răspunsul.

PROF. BOGDAN BÂRZOI, COLEGIUL NAŢIONAL GARABET IBRĂILEANU, IAŞI Clasa a VI-a

6. 57 : Fie 1 2 3 2011

10 10 10 ... 105 5 5 5

a

. Aflaţi numărul real x ştiind că are loc

egalitatea: 23 7x a . PROF. GHEORGHE SPIRIDON, LICEUL ECONOMIC NICOLAE IORGA, PAŞCANI

6. 58 : Să se determine numerele de forma 2009 3 5x y care are 60 divizori ( ,x y ). PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

65 Micii MATEMATICIENI

6. 59 : Demonstraţi că are loc inegalitatea: 2 2 2

1005 1 1 1 2010...

2012 2 3 2011 2011 .

PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

6. 60 : Arătaţi că are loc egalitatea: 2001 2000 2001

1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 ...

2 3 4 6 8 12 2 3 2 2

.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 6. 61 : Aflaţi valoarea expresiei numerice:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... ... 1 ...

3 4 2013 2 3 2012 3 4 2013 2 3 2012

.

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

6. 62 : Aflaţi cea mai mică fracţie care înmulţită pe rând cu 48

49 şi

72

25 dă rezultate numere naturale

PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6. 63 : Fie numărul natural

2012 2012

2012...2012 2de ori

n . Aflaţi restul împărţirii numărului n la 45.

PROF. GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M. BUSUIOC, PAŞCANI 6. 64 : Să se afle Ncba ,, ştiind că sunt verificate simultan egalitaţile: 200122 bcacba ,

19992 ca şi 20002 cba . PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

6. 65 : Calculaţi suma: 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 ... 2013 20121 1 1 ... 1

. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

6. 66 : În ABC , înălţimea BM şi bisectoarea CN se intersectează în D, M AC , N AB .

Dacă măsurile ACB , DMN , DNM sunt direct proporţionale cu numerele 6, 2, şi 4, să se arate că 3 DM BM .

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

6. 67 : Numerele abc şi 1abc au suma cifrelor cuburi perfecte. Determinaţi numărul abc . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

6. 68 : Aflaţi numerele întregi x pentru care fracţiile 8 3

5

x ;

8 2

5

x şi

8 7

5

x sunt simultan

numere întregi. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

6. 69 : Din localitatea A ş i B pornesc simultan unul către celălalt două camioane care se întâlnesc după 8 ore. Primul parcurge în 4 ore cât parcurge al doilea în 3 ore, iar distanţa dintre localităţi este de 840 km.

PROF. MARIA BOTH, ŞCOALA ŞICLĂU, ARAD

66 Micii MATEMATICIENI

CLASA A VII-A

7. 48 : Determinaţi cifra a , ştiind că 2 25 5 5 190a a a ’

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

7. 49 : Determinaţi x şi numerele de forma abac ştiind că avem relaţia 29 5 2x b abac .

PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

7. 50 : Demonstraţi inegalitatea: 4 12 24

2 6 123 5 7 .

PROF. GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M. BUSUIOC, PAŞCANI

7. 51 : Determinaţi numerele ,x y ştiind că 2 3 2a b x y , unde 2 1a , 1

2 1b

.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

7. 52 : Aduceţi la forma cea mai simplă expresia:

2013

2012

2012

2012

3

6615

625

2625

.

PROF. ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI

7. 53 : Arătaţi că are loc egalitatea: 4 2 6 6 2

2 42 2 4

11 ,

1 1 1

x x x x xx x x

x x x

.

PROF. GHEORGHE OANCEA , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 7. 54 : Fie triunghiul isoscel ABC şi H, intersecţia dintre mediana AM cu înălţimea CE. Calculaţi suma distanţelor de la H la vârfurile triunghiului dacă 12BC cm , iar 10AB AC cm .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

7. 55 : Fie date numerele reale strict pozitive x, y, z. Să se demonstreze că numerele 2 2a z y , 2 2b x z , 2 2c x y pot fi lungimile laturilor unui triunghi ascuţitunghic.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 7. 56 : Triunghiul dreptunghic ABC are 090m A şi 015m C . Demonstraţi că are loc

egalitatea: 4AB AC

AC AB .

PROF. GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M. BUSUIOC, PAŞCANI 7. 57 : Arătaţi că numărul 2 2 2 2 21 2 3 4 ... 2013 671A este multiplu de 3.

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

7. 58 : Arătaţi inegalitatea: 3 2 3

2 6 4 6 2

3

1 2

a b a b a

a b a b a

pentru orice ,a b .

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

67 Micii MATEMATICIENI

7. 59 : Se dă un triunghi echilateral. Folosind doar un echer, construiţi un hexagon regulat în care vârfurile triunghiului să fie vârfuri ale hexagonului.

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA 7. 60 : Fie ABC un triunghi echilateral, D BC astfel încât DC BC şi E AC astfel încât AE AC . Dacă DE AB F , arătaţi că 3 AEF ABC .

PROF. ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI CLASA A VIII-A 8. 44 : Pe rombul ABCD se ridică perpendiculara EA (ABC) . Notăm cu P, Q, M sunt mijloacele segmentelor EB, ED, respectiv, EC. Arătaţi că aria triunghiului PQM este independentă de lungimea segmentului AE.

PROF. ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI

8. 45 : Dacă numărul real x verifică 22 5 2 0x x , calculaţi 22

1x

x şi 4

4

1x

x .

PROF. ELENA ANDONE, ŞCOALA VASILE CONTA, IAŞI

8. 46 : Fie numerele 5 1

2a

şi

5 1

2b

. Să se arate că 2n na b , oricare ar fi n .

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

8. 47 : Să se determine numărul de forma ab ştiind că are loc egalitatea 2 2

1 1 1

8a b .

CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA 8. 48 : Să se determine funcţiile f şi g de gradul întâi care trec prin punctul A(8,5) şi formează cu axa Oy un triunghi isoscel de arie 40.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

8. 49 : Să se demonstreze că 11065757 22 xxxx , pentru orice x R. PROF. ANA MĂRIOARA SPIRIDON, ŞCOALA IORDACHI CANTACUZINO, PAŞCANI

8. 50 : Găsiţi trei numere reale cu suma lor egală cu 3

2 şi cu suma pătratelor lor egală cu

3

4.

PROF. GHEORGHE IACOB, GRUP ŞCOLAR M. BUSUIOC, PAŞCANI

8. 51 : Să se arate că ecuaţia x2 + y3 + z5 + t6 = u60 are o infinitate de soluţii cu x, y, z, t, u * .

PROF. ALINA ŞI MIHAI CRĂCIUN, PAŞCANI 8. 52 : Fie A, B, C, M puncte necoplanare date. Proiecţia punctului M pe planul triunghiului ABC se notează cu P. Dacă M este egal depărtat de vârfurile triunghiului ABC, P este un punct care

aparţine dreptei AC, 060m BMC şi 030m BCA , să se determine distanţa de la punctul M la

dreapta BC şi distanţa de la punctul P la planul triunghiului MBC în funcţie de a MA . PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

68 Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9. 43 : Aflaţi numerele reale pozitive 1 2 2012, ,...,a a a din egalitatea:

20121 2

2 2 21 2 20121 2 2012

1 1 1... 2012 ...

1 1 11 1 1

aa a

a a aa a a

LEONARD VÎRLAN, ELEV, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

9. 44 : Fie numerele , ,x y p cu x y astfel încât 2xy p px py . Demonstraţi că ;p x y PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

9. 45 : Se consideră punctele distincte A, B şi C având distanţele între ele de AB c , BC a ,

AC b şi trinomul asociat 2 2 2 2 2 2T x b x b c a x c .

a) Arătaţi că puntele A, B, C sunt coliniare dacă şi numai dacă trinomul T x este pătrat

perfect pentru orice x . b) Arătaţi că puntele A, B, C sunt necoliniare dacă şi numai dacă trinomul T x este pozitiv

perfect pentru orice x . PROF. LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

9. 46 : Compară x cu y , unde 2010 2011 2012

2011 2012 2010x şi

2010 2012 2011

20112012 2010y .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9. 47 : Fie şirul de numere naturale n n

a . Demonstraţi că, pentru orice n numărul A

poate fi scris ca sumă a a două pătrate perfecte, unde 2 2 2 21 2 31 1 1 ... 1nA a a a a .

CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

9. 48 : Arătaţi că 4 4

3 3sin cossin cos sin cos 0,

cos sin

x xx x x x x

x x

.

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

9. 49 : Există numere reale a şi b astfel încât 9 6 2 3 5 3 3 2 1 8a b b a a b ? PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

9. 50 : Dacă în proporţia a c

b d suma extremilor este egală cu suma mezilor atunci pentru orice

n are loc egalitatea 2 2 2 2n n n n

a d c b . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

9. 51 : Demonstraţi 2 2 22 2 21 1 2 2 12012 2012 ... 2012 100 3n nx x x x x x n ,

pentru orice n , 1 2, ,..., nx x x şi 1 1nx x . PROF. ALINA ŞI MIHAI CRĂCIUN, PAŞCANI

69 Micii MATEMATICIENI

9. 52 : Fie ABC un triunghi oarecare. Se consideră punctele 1 2,B B AC şi 1 2,C C AB astfel

încât 1 2AB CB şi 1 2AC BC şi se notează cu , 1, 2i i iM BB CC i ( 1M şi 2M se numesc

puncte izotomice în ABC ). Dacă 1 2

1 2

M B M B

M C M C şi 1 1 2 2

1 1 2 2

M B M B

M C M C , atunci 1 1 2 2BC B C B C .

TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI CLASA A X-A

10. 31: Rezolvaţi ecuaţia trigonometrică: 23 1 cos4cos 3cos

2

xx x

.

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

10. 32: Să se arate că numărul 1! 2! 3! ... 2011!a este număr iraţional. CRISTINA ENE, ELEVĂ, COLEGIUL NAŢIONAL, FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA

10. 33: Rezolvaţi ecuaţia: 2 2 2

cos sin sin coscos sin 3

sin cos sin cos cos sin 2

x tgx x x tgx xtgx x x

x x tg x tgx x x tgx x x

.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 10. 34: Fie T mulţimea triunghiurilor înscrise într-un cerc dat de rază R şi f :T funcţia

definită prin

3 sin sin sin sin sin sin

sin sin sin 1 cos cos cos

abc a b c a B C b A C c A Bf t

A B C A B C

, unde a, b, c, A,

B, C sunt notaţiile obişnuite pentru elementele triunghiului t . a) Să se determine mulţimea f T .

b) Aflaţi mulţimea 0T pentru care 0f T , unde f T este dat. TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI

10. 35: Să se determine n ştiind că pentru orice ,k k n este adevărată egalitatea:

1 1

n nk kn nn n k k

n nk kn n

C AC A

A C

.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

CLASA A XI-A

11. 25: Se dă matricea , .3 RMA Să se determine numerele Ryx , astfel

încât să fie verificată egalitatea 23A xA yI . Aflaţi matricea ,nA n .

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

204

020

402

A

70 Micii MATEMATICIENI

11. 26: Determinaţi m pentru care soluţiile sistemului

x y z a

x my z a

x my mz b

să aibă

componentele întregi ştiind că 2011a b . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

11. 27: Să se determine m astfel încâ funcţia :f , 2 2012 xf x x x m e să fie

pozitivă şi descrescătoare. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

11. 28: Să se demonstreze că 11lnln

ln

n xnx n n

xn

e xe x

ex

pentru orice x şi , 2n n .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU CLASA A XII-A

12. 26: Să se arate că polinomul 2 21f X X m X n X cu m n este ireductibil

peste inelul polinoamelor cu coeficieţi întregi cu o singură nedeterminată. PROF. LAURENŢA DOCA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

12. 27: Se consideră şirul de integrale NndxxI nn ,sin

2

0

.

a) Să se arate că şirul NnnI este descrescător;

b) Să se calculeze 2

lim

n

n

n I

Işi

1

lim

n

n

n I

I;

c) Să se arate că 1 nn IIn nu depinde de n. PROF. MARIA BOTH, GRUP ŞCOLAR IULIU MANIU, ARAD

12. 28: Demonstraţi egalitatea: 1

1 1log log

ln

n nn nn n

nx x n

n pentru orice 1;n .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

12. 29: Fie funcţia :f de două ori derivabilă pe cu / 0 0f şi 1 /

01f x dx f . Să

se arate că există 0;1c astfel încât / / /

0

cf x dx f c f c f c .

PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

71 Micii MATEMATICIENI

RUBRICA REZOLVITORILOR

Au dat soluţii corecte la PROBLEMELE PROPUSE în numărul 5 următorii elevi:

COLEGIUL NAŢIONAL FRAŢII BUZEŞTI, CRAIOVA, DOLJ

CLASA A IV-A (Înv. Roxana Popescu): Ciornei Andreea (10); Pogaci Alexandru (10). CLASA A VII-A (Prof. Ileana Didu): Giubergeanu Vlad (10) CLASA A VIII-A (Prof. Maria Ionescu): Vîrlan Leonard (14)

ŞCOALA NR. 22 MIRCEA ELIADE, CRAIOVA, DOLJ

CLASA A V-A (prof. Lavinia Trincu): Ştefănescu Andrei (10) CLASA A VI-A (prof. Florin Banea): Gheonea Cristina (10)

ŞCOALA NR. 2 TRAIAN, CRAIOVA, DOLJ

CLASA A VI-A (prof. Mariana Mărculescu): Gulin Cătălin Vasile (10)

COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, IAŞI

CLASA A V-A (prof.Aurel Neicu) Musteaţă Robert Andrei (10); Deleanu Radu (10); Maticiuc Cosmin (10); Petcu Stelian(10); Vicol Ştefan (10); Bezedică Robert (10); Florişteanu Bianca (10); Pavăl Mihai (10). CLASA A VI-A (prof.Ioan Săcăleanu) Călin Constantin (12); Puhă Alexandru (10) Bârzu Antonia Alexandra (10); Ciobanu Laura Maria (10); Loghin Andrei Florin (10); Munteanu Claudia (10); Petraş Iolanda (10); Năstasă Georgiana (10); Pavăl Maria Magdalena (10). CLASA A VII-A (prof. Gheorghe Oancea): Agheorghiesei Tudor (10); Pricop Cătălin Adelin (10); Dolhescu Alexandra Cătălina (10); Cernescu Bogdan Florin (10); Ciubuc Remus Mihail (10); Cozma Roxana Elena (10); Matei Dragoş Adelin(10); Puiu Vlad Gabriel(10). CLASA A VIII-A (prof.Ioan Săcăleanu) Murariu Maria (10). CLASA A IX-A (prof. Gheorghe Oancea): Leahu Andrei (15); Curecheriu Ionela Alexandra (14); Nuca Ana Maria (10); Ivănuţă Roxana Ioana (10); Coroeanu Ioana Andreea (10). (prof. Iuliana Blanariu): Chiperi Loredana Mihaela (10); Marţin Gabriel Dumitru (10); Zapan Ioana Gabriela (10). (prof. Ioan Săcăleanu): Scripcariu Gabriel (10); Călinescu Ana Ioana (15); Neicu Mare (15); Mititelu Melisa Florina (12); Şalariu Simona Gabriela (10); Brânză Carla Gabriela (10); Călinescu Monica Georgiana (10); Cernescu Mihaela Carmen (10); Davidescu Daniel Dumitru (10); Buzilă Bianca Maria (10); Ifrim Rareş Cristian (10); Lucan Gabriela (10); Munteanu Vlad (10); Tanasă Maria (10). CLASA A X-A (prof. Ioan Săcăleanu): Pletan Denisa Elena (12), Spiridon Gabriela (12); Găină Petronela Bianca (12); Pintilii Alina Sînzîiana (12) , Ceucă Răzvan (12).. CLASA A XI-A (prof. Iuliana Blanariu): Dorcu Irina Lucreţia(10), Pânzariu Valeriu (10) . (prof. Ramona Darie): Proca Mihaela (10). (prof.Ioan Săcăleanu): Ciubotaru Alexandra (10); Ponor Cosmina (10).

72 Micii MATEMATICIENI

CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ

te invită să îţi pui la încercare intuiţia, perspicacitatea , creativitatea în conceperea de probleme originale LA EDIŢIA V-A DIN FEBRUARIE 2013. Acum ai ocazia să propui şi tu probleme, nu numai să rezolvi problemele propuse de alţii. Aşadar, este o invitaţie la efort, care va fi încununată de satisfacţii pe măsură, pentru acei elevi care au înţeles că matematica nu înseamnă numai probleme “încruntate” de calcul, mai mult sau mai puţin asemănătoare, ci înseamnă creativitate, imaginaţie, efort de gândire, toate grefate pe o solidă pregătire teoretică.

Concursul se adresează tuturor elevilor (clasele I-XII) . Elevii pot participa DOAR CU PROBLEME ORIGINALE. Problemele care nu sunt originale nu vor fi publicate sau nu vor participa la premiere. Fiecare problemă propusă trebuie sǎ fie însoţită de rezolvarea completă. Expediaţi problemele folosind una din variantele:

prin poştă , pe adresa Colegiului Național “ Ştefan cel Mare” , Hîrlău , str. Mihai Eminescu, nr. 5 , cu menţiunea Pentru concursul “Cea mai frumoasǎ problemǎ”

direct prof. Ioan Săcăleanu prin e-mail, pe adresa : [email protected]

În luna februarie a fiecărui an vor fi stabiliţi câştigătorii pentru fiecare clasă . Va fi premiat autorul celei mai originale probleme. Alte informaţii găsiţi pe site-ul colegiului http://www.colegiulharlau.info/

ÎN ATENŢIA ELEVILOR ! Numele elevilor ce vor trimite redacţiei soluţii corecte la problemele din rubrica PROBLEME

PROPUSE vor fi menţionate în RUBRICA REZOLVITORILOR . Se va ţine seama de următoarele reguli: 1. Pot trimite soluţii la minim 10 probleme propuse în acest număr ; pe o foaie va fi redactată

soluţia unei singure probleme; 2. Elevii din clasele III—VI au dreptul să trimită soluţii la problemele propuse până la clasa lor şi

pentru orice clasă mai mare. Elevii din clasele VII-XII pot trimite soluţii la problemele propuse pentru clasa lor, pentru orice clasă mai mare şi din două clase mai mici , imediat anterioare.

3. Vor fi menţionate următorele date personale: NUMELE ŞI PRENUMELE, TELEFON-EMAIL, CLASA, ŞCOALA, LOCALITATEA ŞI PROFESORUL CLASEI.

4. Plicul cu problemele rezolvate se va trimite prin poştă pe adresa REDACŢIE:

COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5 sau

va fi adus direct PROF. IOAN SĂCĂLEANU.