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7/23/2019 Mi Librito

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Mi LibritoGravedades Fisicas


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ndice general

1 Gravedad 1

1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Mecnica clsica: ley de la gravitacin universal de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Problema de los dos cuerpos y rbitas planetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Mecnica relativista: Teora general de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Efectos gravitatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Mecnica cuntica: bsqueda de una teora unificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 La interaccin gravitatoria como fuerza fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Aceleracin 13

2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Aceleracin media e instantnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Medicin de la aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Componentes intrnsecas de la aceleracin: aceleraciones tangencial y normal . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Movimiento rectilneo acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Aceleracin en mecnica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i


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ii NDICE GENERAL

3 Teora de la relatividad 21

3.1 Conceptos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Formalismo de la teora de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.3 Magnitudes fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.4 El intervalo relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.5 Cuadrivelocidad, aceleracin y cuadrimomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.6 El tensor de energa-impulso (Tab) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.7 El tensor electromagntico (Fab) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


4 Mecnica newtoniana 37

4.1 Importancia de la mecnica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Descripcin de la teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Posicin, velocidad y aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.2 Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.3 Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.4 Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.5 Relaciones con otras teoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Pndulo 42

5.1 Pndulo simple o matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.1 Ecuacin del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.2 Perodo de oscilacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.3 Solucin de la ecuacin de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Pndulo esfrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.1 Perodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2 Solucin de la ecuacin de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


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NDICE GENERAL iii


6 Pndulo simple equivalente 52

6.1 Deduccin de la longitud reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.6.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.6.2 Imgenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.6.3 Licencia de contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


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Captulo 1

Gravedad

Lagravedades una de las cuatrointeracciones fundamentales. Origina laaceleracinque experimenta un cuerpo fsicoen las cercanas de unobjeto astronmico. Tambin se denominainteraccin gravitatoriaogravitacin.

Por efecto de la gravedad tenemos la sensacin de peso. Si estamos situados en las proximidades de un planeta, experi-mentamos una aceleracin dirigida hacia la zona central de dicho planeta si no estamos sometidos al efecto de otrasfuerzas. En la superficie de la Tierra, la aceleracin originada por la gravedad es 9.81 m/s, aproximadamente.

Albert Einsteindemostr que: Dicha fuerza es una ilusin, un efecto de la geometra del espacio-tiempo. La Tierradeforma elespacio-tiempode nuestro entorno, de manera que el propio espacio nos empuja hacia el suelo. [1] Aunquepuede representarse como uncampo tensorialdefuerzas ficticias.

La gravedad posee caractersticas atractivas, mientras que la denominadaenerga oscuratendra caractersticas de fuerzagravitacional repulsiva, causando la aceleradaexpansin del universo.

1.1 Introduccin

La gravedad es una de las cuatrointeracciones fundamentalesobservadas en la naturaleza. Origina los movimientos a granescala que se observan en eluniverso: larbitade laLunaalrededor de laTierra, las rbitas de losplanetasalrededor delSol, etctera. A escala cosmolgica es la interaccin dominante, pues gobierna la mayora de los fenmenos a gran escala(las otras tres interacciones fundamentales son predominantes a escalas ms pequeas, el electromagnetismo explica elresto de los fenmenos macroscpicos, mientras que la interaccin fuerte y la interaccin dbil son importantes solo aescala subatmica).

El trmino gravedad se utiliza tambin para designar la intensidad del fenmeno gravitatorio en la superficie de losplanetas o satlites.Isaac Newtonfue el primero en exponer que es de la misma naturaleza la fuerza que hace que losobjetos caigan con aceleracin constante en la Tierra (gravedad terrestre) y la fuerza que mantiene en movimiento losplanetas y las estrellas. Esta idea le llev a formular la primera teora general de la gravitacin, la universalidad delfenmeno, expuesta en su obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Einstein, en lateora de la relatividad generalhace un anlisis diferente de la interaccin gravitatoria. De acuerdo con estateora, la gravedad puede entenderse como un efecto geomtrico de la materia sobre el espacio-tiempo. Cuando ciertacantidad de materia ocupa una regin del espacio-tiempo, provoca que ste se deforme. Visto as, la fuerza gravitatoriano es ya una misteriosa fuerza que atrae, sino el efecto que produce la deformacin del espacio-tiempo de geometrano eucldea sobre el movimiento de los cuerpos. Segn esta teora, dado que todos los objetos se mueven en el espacio-tiempo, al deformarse ste, la trayectoria de aqullos ser desviada produciendo su aceleracin, que es lo que denominamosfuerza de gravedad.

1
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_eucl%C3%ADdeahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_no_eucl%C3%ADdeahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrellahttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Solhttps://es.wikipedia.org/wiki/Planetashttps://es.wikipedia.org/wiki/Tierrahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lunahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbitahttps://es.wikipedia.org/wiki/Universohttps://es.wikipedia.org/wiki/Interacciones_fundamentaleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Expansi%C3%B3n_m%C3%A9trica_del_espaciohttps://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_oscurahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_ficticiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzashttps://es.wikipedia.org/wiki/Pesohttps://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_astron%C3%B3micohttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Interacciones_fundamentales


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2 CAPTULO 1. GRAVEDAD

Isaac Newtonformul laley de gravitacin universal.

1.2 Mecnica clsica: ley de la gravitacin universal de Newton

En la teora newtoniana de la gravitacin, los efectos de la gravedad son siempre atractivos, y la fuerza resultante secalcula respecto delcentro de gravedadde ambos objetos (en el caso de la Tierra, el centro de gravedad es su centro de
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton


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1.2. MECNICA CLSICA: LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL DE NEWTON 3

Albert Einsteinformul laRelatividad Generalpuede es tambin unateora relativistade la gravitacin.
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein


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Fuerzas mutuas de atraccin entre dos esferas de diferente tamao. De acuerdo con la mecnica newtoniana las dos fuerzas son igualesen mdulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posicindelcentro de gravedadconjunto de ambas esferas.

masas, al igual que en la mayora de los cuerpos celestes de caractersticas homogneas). La gravedad newtoniana tieneun alcance terico infinito; pero la fuerza es mayor si los objetos estn prximos, y mientras se van alejando dicha fuerzapierde intensidad. Adems Newton postul que la gravedad es unaaccin a distancia(y por tanto a nivel relativista no esuna descripcin correcta, sino solo una primera aproximacin para cuerpos en movimiento muy lento comparado con lavelocidad de la luz).

La ley de la gravitacin universal formulada por Isaac Newton postula que la fuerza que ejerce una partcula puntual conmasam1sobre otra con masam2es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional alcuadrado de ladistanciaque las separa:

F21 = G m1m2|r2r1|2 u21

dondeu21es elvector unitarioque dirigido de la partcula 1 a la 2, esto es, en la direccin del vector r21 =r2 r1, yGes laconstante de gravitacin universal, siendo su valor aproximadamente 6,674 1011 Nm/kg.

Por ejemplo, usando la ley de la gravitacin universal, podemos calcular la fuerza de atraccin entre la Tierra y un cuerpode 50 kg. La masa de la Tierra es 5,974 1024 kg y la distancia entre el centro de gravedad de la Tierra (centro de latierra) y el centro de gravedad del cuerpo es 6378,14 km (igual a 6 378 140 m, y suponiendo que el cuerpo se encuentresobre la lnea del Ecuador). Entonces, la fuerza es:

F =G m1m2d2

= 6.67428 1011505.974102463781402 = 490.062N

La fuerza con que se atraen la Tierra y el cuerpo de 50 kg es 490.062 N (Newtons,Sistema Internacional de Unidades),lo que representa 50 kgf (kilogramo-fuerza,Sistema Tcnico), como caba esperar, por lo que decimos simplemente queel cuerpopesa50 kg.

Dentro de estaley emprica, tenemos estas importantes conclusiones:

Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas. El hecho de que los planetas describan una rbita cerrada alrededordel Sol indica este hecho. Una fuerza atractiva puede producir tambin rbitas abiertas, pero una fuerza repulsivanunca podr producir rbitas cerradas.
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbitahttps://es.wikipedia.org/wiki/Empirismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pesohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_T%C3%A9cnicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo-fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Newton_(unidad)https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_a_distanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad


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1.2. MECNICA CLSICA: LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL DE NEWTON 5

Tienen alcance infinito. Dos cuerpos, por muy alejados que se encuentren, experimentan esta fuerza. La fuerza asociada con la interaccin gravitatoria es central. A mayor distancia menor fuerza de atraccin, y a menor distancia mayor la fuerza de atraccin.

A pesar de los siglos, hoy sigue utilizndose cotidianamente esta ley en el mbito del movimiento de cuerpos incluso a

la escala del Sistema Solar, aunque est desfasada tericamente. Para estudiar el fenmeno en su completitud hay querecurrir a la teora de laRelatividad General.

1.2.1 Problema de los dos cuerpos y rbitas planetarias

Dos cuerpos orbitando alrededor de sucentro de masasen rbitas elpticas.

La ley de Newton aplicada a un sistema de dos partculas o dos cuerpos, cuyas dimensiones fsicas son pequeas compa-radas con las distancias entre ellos, lleva a que ambos cuerpos describirn unacurva cnica(elipse, parbola o hiprbola)respecto a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa del sistema, que adems coincidir con uno delos focos de la cnica. Si la energa total del sistema (energa potencial ms energa cintica de los cuerpos) es negativa,entonces las curvas cnicas que dan la trayectoria de ambos cuerpos sern elipses. Ese resultado fue la primera deduc-cin terica de que los planetas reales se mueven en trayectorias que, con bastante aproximacin, son elipses, y permitiexplicar diversas observaciones empricas resumidas en lasleyes de Kepler.

1.2.2 Problema de los tres cuerpos

De acuerdo con la descripcin newtoniana, cuando se mueven tres cuerpos bajo la accin de su campo gravitatorio mutuo,como el sistema Sol-Tierra-Luna, la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatoriasejercidas por los otros dos. As lasecuaciones de movimientoson fciles de escribir pero difciles de resolver ya que nosonlineales. De hecho, es bien conocido que la dinmica del problema de los tres cuerpos de la mecnica clsica es unadinmica catica.

Desde la poca de Newton se ha intentado hallar soluciones matemticamente exactas del problema de los tres cuerpos,hasta que a finales del siglo XIXHenri Poincardemostr en un clebre trabajo que era imposible una solucin generalanaltica (sin embargo, se mostr tambin que por medio de series infinitas convergentes se poda solucionar el problema).Solo en algunas circunstancias son posibles ciertas soluciones sencillas. Por ejemplo, si la masa de uno de los tres cuerpos
https://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://es.wikipedia.org/wiki/Caos_deterministahttps://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_movimientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masashttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_General


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Movimiento caticode tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado.

es mucho menor que la de los otros dos (problema conocido comoproblema restringido de los tres cuerpos), el sistemapuede ser reducido a un problema de dos cuerpos ms otro problema de un solo cuerpo.

1.3 Mecnica relativista: Teora general de la relatividadAlbert Einsteinrevis la teora newtoniana en su teora de la relatividad general, describiendo la interaccin gravitatoriacomo una deformacin de la geometra del espacio-tiempopor efecto de la masa de los cuerpos; el espacio y el tiempoasumen un papel dinmico.

Segn Einstein, no existe el empuje gravitatorio; dicha fuerza es una ilusin, un efecto de la geometra. As, la Tierradeforma el espacio-tiempo de nuestro entorno, de manera que el propio espacio nos empuja hacia el suelo. Una hormiga,al caminar sobre un papel arrugado, tendr la sensacin de que hay fuerzas misteriosas que la empujan hacia diferentesdirecciones, pero lo nico que existe son pliegues en el papel, su geometra.[1]
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1.3. MECNICA RELATIVISTA: TEORA GENERAL DE LA RELATIVIDAD 7

Representacin esquemtica bidimensional de la deformacin del espacio-tiempo en el entorno de la Tierra.

Una representacin del paraboloide de Flamm, cuya curvatura geomtrica coincide con la delplano de la eclptica o ecuatorialde unaestrellaesfricamente simtrica.

La deformacin geomtrica viene caracterizada por el tensor mtricoque satisface lasecuaciones de campo de Einstein.La fuerza de la gravedad newtoniana es solo un efecto asociado al hecho de que un observadoren reposo respecto ala fuente del campo no es unobservador inercialy por tanto al tratar de aplicar el equivalente relativista de las leyes deNewtonmidefuerzas ficticiasdadas por lossmbolos de Christoffelde la mtrica del espacio-tiempo.

Clculo relativista de la fuerza aparente

En presencia de una masa esfrica, el espacio-tiempo no es plano sino curvo, y el tensor mtricogque sirve para calcularlas distancias viene dado en coordenadas usuales (t,r,,), llamadamtrica de Schwarzschild:
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Schwarzschildhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos_de_Christoffelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_ficticiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercial#Sistemas_inerciales_en_mec%C3%A1nica_relativistahttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_campo_de_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecl%C3%ADptica


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g= c2 1 2GMc2r

dt dt+ 1 2GM

c2r

1dr dr+r2 d d+sin2 d d

dondeGes laconstante de gravitacin universal,Mes la masa de la estrella, y ces lavelocidad de la luz. La ecuacinde lasgeodsicasdar la ecuacin de las trayectorias en el espacio-tiempo curvo. Si se considera una partcula en reposorespecto a la masa gravitatoria que crea el campo, se tiene que sta seguir una trayectoria dada por las ecuaciones:

d2r

d2= +

GM

(c2r 2GM)r

dr

d

2

r 2GMc2

GM

r3

dt

d

2

d2t

d2= 2 GM

(c2r 2GM)r

dr

d

dt

d

La primera de estas ecuaciones da el cambio de la coordenada radial, y la segunda da la dilatacin del tiemporespectoa un observador inercial, situado a una distancia muy grande respecto a la masa que crea el campo. Si se particularizanesas ecuaciones para el instante inicial en que la partcula est en reposo y empieza a moverse desde la posicin inicial,se llega a que la fuerza aparente que medira un observador en reposo viene dada por:

d2r

d2=

r 2GM

c2

GM

r3

dt

d

2= GM

r2

1 2GMc2r

dt

d

2 GMr2

Esta expresin coincide con la expresin de la teora newtoniana si se tiene en cuenta que ladilatacin del tiempo gra-vitatoria para un observador dentro de un campo gravitatorio y en reposo respecto a la fuente del campo viene dadopor:

dt

d

2=

1 2GM

c2r

1

Ondas gravitatorias

Adems, la relatividad general predice la propagacin deondas gravitatorias. Estas ondas solo podran ser medibles silas originan fenmenos astrofsicos violentos, como el choque de dos estrellas masivas o remanentes delBig Bang. Estasondas han sido detectadas[cita requerida] de forma indirecta en la variacin del periodo de rotacin de plsares dobles. Porotro lado, las teoras cunticas actuales apuntan a una unidad de medida de la gravedad, elgravitn, comopartculaqueprovoca dicha fuerza, es decir, como partcula asociada al campo gravitatorio.

1.3.1 Efectos gravitatorios

Con la ayuda de esta nueva teora, se pueden observar y estudiar una nueva serie de sucesos antes no explicables o no

observados:

Desviacin gravitatoria de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: la frecuencia de la luzdecrece al pasar por una regin de elevada gravedad. Confirmado por elexperimento de Pound y Rebka(1959).

Dilatacin gravitatoria del tiempo: los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo mslentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atmicossituados sobre la superficie terrestre y los relojes en rbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPSpor sussiglas en ingls). Tambin, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeos, las diferentes pruebas realizadascon sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
https://es.wikipedia.org/wiki/GPShttps://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Pound_y_Rebkahttps://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADcula_elementalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pulsarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Big_Banghttps://es.wikipedia.org/wiki/Onda_gravitatoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Dilataci%C3%B3n_del_tiempo#Dilataci%C3%B3n_del_tiempo_por_gravitaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dilataci%C3%B3n_del_tiempo#Dilataci%C3%B3n_del_tiempo_por_gravitaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Dilataci%C3%B3n_del_tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_gravitaci%C3%B3n_universal


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1.4. MECNICA CUNTICA: BSQUEDA DE UNA TEORA UNIFICADA 9

Efecto Shapiro(dilatacin gravitatoria de desfases temporales): diferentes seales atravesando un campo gravita-torio intenso necesitan mayor tiempo para hacerlo.

Decaimiento orbital debido a la emisin deradiacin gravitatoria. Observado en plsares binarios.

Precesin geodsica: debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientacin de un giroscopio en rotacin cambiar

con el tiempo. Esto est siendo puesto a prueba por el satliteGravity Probe B.

1.4 Mecnica cuntica: bsqueda de una teora unificada

Representacin grfica del entramado de bucles que definen el espacio-tiempo segn lagravedad cuntica de bucles.

Aunque an no se dispone de una autntica descripcin cuntica de la gravedad. Todos los intentos por crear una teorafsica que satisfaga simultneamente los principios cunticos y a grandes escalas coincida con la teora de Einstein dela gravitacin, han encontrado grandes dificultades. En la actualidad existen algunos enfoques prometedores como lagravedad cuntica de bucles, lateora de supercuerdas o la teora de twistores, pero ninguno de ellos es un modelocompleto que pueda suministrar predicciones suficientemente precisas. Adems se han ensayado un buen nmero deaproximaciones semiclsicas que han sugerido nuevos efectos que debera predecir una teora cuntica de la gravedad.
https://es.wikipedia.org/wiki/Twistorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_supercuerdashttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad_cu%C3%A1ntica_de_bucleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad_cu%C3%A1ntica_de_bucleshttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravity_Probe_Bhttps://es.wikipedia.org/wiki/Precesi%C3%B3n_geod%C3%A9sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Onda_gravittoriahttps://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Shapiro


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Seccin bidimensional proyectada en3Dde unavariedad de Calabi-Yaude dimensin 6 embebida enCP4, este tipo de variedades seusan para definir unateora de supercuerdasen diez dimensiones, usada como modelo degravedad cunticayteora del todo.

Por ejemplo,Stephen Hawkingusando uno de estos ltimos enfoques sugiri que un agujero negro debera emitir ciertacantidad de radiacin, efecto que se llamradiacin de Hawkingy que an no ha sido verificado empricamente.

Las razones de las dificultades de una teora unificada son varias. La mayor de ellas es que en el resto deteoras cunticasde camposla estructura del espacio-tiempo es fija totalmente independiente de la materia, pero en cambio, en una teoracuntica de la gravedad el propio espacio-tiempo debe estar sujeto a principios probabilistas, pero no sabemos comodescribir unespacio de Hilbertpara los diversos estados cunticos del propio espacio-tiempo. As La unificacin de lafuerza gravitatoria con las otras fuerzas fundamentales sigue resistindose a los fsicos. La aparicin en el Universo demateria oscurao una aceleracin de la expansin del Universo hace pensar que todava falta una teora satisfactoria de lasinteracciones gravitatorias completas de las partculas con masa.

Otro punto difcil, es que de acuerdo con los principios cunticos, el campo gravitatorio debera manifestarse en cuantoso partculasbosnicastransmisoras de la influencia gravitatoria. Dadas las caractersticas del campo gravitatorio, la su-
https://es.wikipedia.org/wiki/Bos%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuantohttps://es.wikipedia.org/wiki/Materia_oscurahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica_de_camposhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_cu%C3%A1ntica_de_camposhttps://es.wikipedia.org/wiki/Radiaci%C3%B3n_de_Hawkinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawkinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_todohttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad_cu%C3%A1nticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_supercuerdashttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_proyectivo_complejohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Calabi-Yauhttps://es.wikipedia.org/wiki/3D


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1.5. VASE TAMBIN 11

puesta partcula que transmitira la interaccin gravitatoria, llamada provisionalmentegravitn, debera ser una partculasin masa (o con una masa extremadamente pequea) y un espn de 2. Sin embargo, los experimentos de deteccin deondas gravitatorias todava no han encontrado evidencia de la existencia del gravitn, por lo que de momento no es msque una conjetura fsica que podra no corresponderse con la realidad.

1.4.1 La interaccin gravitatoria como fuerza fundamentalLa interaccin gravitatoria es una de las cuatro fuerzas fundamentalesde la Naturaleza, junto alelectromagnetismo, lainteraccin nuclear fuertey la interaccin nuclear dbil. A diferencia de las fuerzas nucleares y a semejanza del electro-magnetismo, acta a grandes distancias. Sin embargo, al contrario que el electromagnetismo, la gravedad es una fuerza detipo atractiva aunque existen casos particulares en que las geodsicas temporales pueden expandirse en ciertas regionesdel espacio-tiempo, lo cual hace aparecer a la gravedad como una fuerza repulsiva, por ejemplo la energa oscura. stees el motivo de que la gravedad sea la fuerza ms importante a la hora de explicar los movimientos celestes.

1.5 Vase tambin

Ingravidez

Anomala gravitatoria anomala geoidal Campo gravitatorio Interacciones fundamentales Teora general de la relatividad Teora de supercuerdas

Superfuerza

1.6 Referencias

[1] Michio Kaku,El universo de Einstein, p. 76.

1.6.1 Bibliografa

Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane (2001). Physics v. 1(en ingls). Nueva York: John Wiley &Sons.ISBN 0-471-32057-9.

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physicsfor Scientists and Engineers (en ingls) (6 edicin). Brooks/Cole.ISBN 0-534-40842-7.

Tipler, Paul Allen; Gene Mosca (2004).Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves,Thermodynamics(en ingls) (5 edicin). W.H. Freeman & Company. p. 650. ISBN 0-7167-0809-4.

Wald, Robert M. (1994).Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics(en ingls).Chicago University Press. p. 205.ISBN 0-226-87027-8.

Wald, Robert M. (1984).General Relativity(en ingls) (12 edicin). Chicago University Press. p. 491. ISBN 0-226-87033-2.
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1.6.2 Enlaces externos

Wikcionariotiene definiciones y otra informacin sobregravedad.Wikcionario

Wikimedia Commonsalberga contenido multimedia sobreGravedad.Commons

Wikiquotealberga frases clebres de o sobreGravedad.Wikiquote Medida de la constante G de la Gravitacin Universal, en sc.ehu.es(ac. 04-04-09). http://curious.astro.cornell.edu/question.php?number=310 Los secretos de la gravedad.
http://www.astronoo.com/es/articulos/gravedad.htmlhttp://curious.astro.cornell.edu/question.php?number=310http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/constante/constante.htmhttps://es.wikiquote.org/wiki/:Gravedadhttps://es.wikiquote.org/wiki/:Gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikiquotehttps://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gravitationhttps://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gravitationhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commonshttps://es.wiktionary.org/wiki/:gravedadhttps://es.wiktionary.org/wiki/:gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionario


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Captulo 2

Aceleracin

Enfsica, laaceleracines una magnitudvectorialque nos indica la variacin develocidadporunidad de tiempo. En elcontexto de lamecnica vectorial newtonianase representa normalmente pora oa y sumdulopora . Sus dimensionesson[LT2]. Su unidad en elSistema Internacionalesm/s2.

En la mecnica newtoniana, para un cuerpo conmasaconstante, la aceleracin del cuerpo es proporcional a la fuerzaqueacta sobre l mismo (segunda ley de Newton):

F= ma a= Fm

dondeF es la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo, m es lamasadel cuerpo, y a es la aceleracin. La relacinanterior es vlida en cualquiersistema de referencia inercial.

2.1 IntroduccinDe acuerdo con lamecnica newtoniana, una partcula no puede seguir una trayectoria curva a menos que sobre ellaacte una cierta aceleracin como consecuencia de la accin de una fuerza, ya que si sta no existiese, su movimientosera rectilneo. Asimismo, una partcula en movimiento rectilneo solo puede cambiar suvelocidadbajo la accin deuna aceleracin en la misma direccin de su velocidad (dirigida en el mismo sentido si acelera; o en sentido contrario sidesacelera).

Algunos ejemplos del concepto de aceleracin seran:

La llamadaaceleracin de la gravedaden la Tierra es la aceleracin que produce la fuerza gravitatoria terrestre;su valor en la superficie de la Tierra es, aproximadamente, de 9,8 m/s2. Esto quiere decir que si se dejara caerlibremente un objeto, aumentara su velocidad de cada a razn de 9,8 m/s por cada segundo (siempre que omitamoslaresistencia aerodinmicadel aire). El objeto caera, por tanto, cada vez ms rpido, respondiendo dicha velocidada la ecuacin:

v= at = gt= 9, 8 t

Una maniobra de frenada de un vehculo, que se correspondera con una aceleracin de signo negativo, o desacele-racin, al oponerse a la velocidad que ya tena el vehculo. Si el vehculo adquiriese ms velocidad, a dicho efectose le llamara aceleracin y, en este caso, sera de signo positivo.

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https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_aerodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Segundohttps://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatoriohttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_ley_de_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Metro_por_segundo_al_cuadradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


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14 CAPTULO 2. ACELERACIN

Definicin de la aceleracin de una partcula en un movimiento cualquiera. Obsrvese que la aceleracin no es tangente a la trayectoria.

2.2 Aceleracin media e instantnea

Cada instante, o sea en cada punto de latrayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto enmdulo como en direccin al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La direccin de la velocidad cambiar debido a

que la velocidad es tangente a la trayectoria y sta, por lo general, no es rectilnea. En la Figura se representan los vectoresvelocidad correspondientes a los instantesty t+t, cuando la partcula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. Elcambio vectorial en la velocidad de la partcula durante ese intervalo de tiempo est indicado por v, en el tringulovectorial al pie de la figura. Se define laaceleracin mediade la partcula, en el intervalo de tiempo t, como el cociente:

a =a= vt

Que es un vector paralelo a vy depender de la duracin del intervalo de tiempo tconsiderado. La aceleracin instan-tnea se la define como el lmite al que tiende el cociente incremental v/tcuando t0; esto es laderivadadel vectorvelocidad con respecto al tiempo:

a=limt0 vt = dvdt

Puesto que la velocidad instantneava su vez es la derivada del vectorposicinrrespecto al tiempo, la aceleracin es laderivada segunda de la posicin con respecto del tiempo:

a= d2r

dt2

De igual forma se puede definir la velocidad instantnea a partir de la aceleracin como:

v v0 =tt0

dvdt

dt
https://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoria


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2.3. COMPONENTES INTRNSECAS DE LA ACELERACIN: ACELERACIONES TANGENCIAL Y NORMAL 15

Se puede obtener la velocidad a partir de la aceleracin medianteintegracin:

v=t0a dt+v0

2.2.1 Medicin de la aceleracin

La medida de la aceleracin puede hacerse con un sistema de adquisicin de datos y un simpleacelermetro. Los acele-rmetros electrnicos son fabricados para medir la aceleracin en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementosconductivos, separados por un material que varia su conductividad en funcin de las medidas, que a su vez sern relativasa la aceleracin del conjunto.

2.2.2 Unidades

Las unidades de la aceleracin son:

Sistema Internacional

1 m/s2

Sistema Cegesimal

1 cm/s2 = 1Gal

2.3 Componentes intrnsecas de la aceleracin: aceleraciones tangencial ynormal

En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleracin apuede descomponerse en dos

componentes (llamadas componentes intrnsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangenciala (en la di-reccin de la tangente a la trayectoria), llamadaaceleracin tangencial, y una componente normala (en la direccin dela normal principal a la trayectoria), llamadaaceleracin normalocentrpeta(este ltimo nombre en razn a que siempreest dirigida hacia el centro de curvatura).

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de direccin al pasar deun punto a otro de la trayectoria (esto significa que no es constante) obtenemos

a= dvdt

= ddt

(v et) = dvdt et+vdetdt

=atet+v( et)

siendoetelvector unitario tangentea la trayectoria en la misma direccin que la velocidad y la velocidad angular.Resulta conveniente escribir la expresin anterior en la forma

a= dvdt

=atet+ v2

en= atet+anen

siendo

enelvector unitario normala la trayectoria, esto es dirigido hacia el centro de curvatura de la misma,

elradio de curvaturade la trayectoria, esto es el radio de lacircunferencia osculatriza la trayectoria.

Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleracin son:
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_osculatrizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_curvaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_centr%C3%ADpetahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_normalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_tangencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gal_(unidad)https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_CGShttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceler%C3%B3metrohttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n


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Componentes intrnsecas de la aceleracin.

at= dvdt

an= v2

Cada una de estas dos componentes de la aceleracin tiene un significado fsico bien definido. Cuando una partcula semueve, suvelocidadpuede cambiar y este cambio lo mide la aceleracin tangencial. Pero si la trayectoria es curva tambincambia la direccin de la velocidad y este cambio lo mide la aceleracin normal.

Si en el movimiento curvilneo la velocidad es constante (v=cte), la aceleracin tangencial ser nula, pero habruna cierta aceleracin normal, de modo que en un movimiento curvilneo siempre habr aceleracin.

Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la aceleracin normalse escribe comoa =v2/R.

Si la trayectoria es rectilnea, entonces el radio de curvatura es infinito () de modo que a=0 (no hay cambio enla direccin de la velocidad) y la aceleracin tangencial a ser nula o no segn que la velocidad sea o no constante.

Los vectores que aparecen en las expresiones anteriores son los vectores del triedro de Frnetque aparece en lageometradiferencial de curvasdel siguiente modo:

etes el vector unitario tangente a la curva.
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvashttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvashttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas#Vectores_tangente,_normal_y_binormal:_Triedro_de_Fr%C3%AAnet-Serrethttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad


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2.3. COMPONENTES INTRNSECAS DE LA ACELERACIN: ACELERACIONES TANGENCIAL Y NORMAL 17

enes el vector unitario normal a la curva.

es el vectorvelocidad angularque es paralelo al vector binormal a la curva.

2.3.1 Movimiento circular uniforme

Cinemtica del movimiento circular.

Un movimiento circular uniforme es aquel en el que la partcula recorre una trayectoria circular de radioRcon velocidadconstante, es decir, que la distancia recorrida en cada intervalo de tiempo igual es la misma. Para ese tipo de movimientoel vector de velocidad mantiene su mdulo y va variando la direccin siguiendo una trayectoria circular. Si se aplican lasfrmulas anteriores, se tiene que la aceleracin tangencial es nula y la aceleracin normal es constante: a esta acelera-cin normal se la llama aceleracin centrpeta. En este tipo de movimiento la aceleracin se invierte en modificar latrayectoria del objeto y no en modificar su velocidad.

a= dvdt

= dvdt

et+ v2

Ren= 0 et+ v2R en= 2Ren
https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular


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2.3.2 Movimiento rectilneo acelerado

En el Movimiento Rectilneo Acelerado, la aceleracin instantnea queda representada como la pendiente de la recta tangente a la curvaque representa grficamente la funcinv(t).

Si se aplican las frmulas anteriores al movimiento rectilneo, en el que slo existe aceleracin tangencial, al estar todoslos vectores contenidos en la trayectoria, podemos prescindir de la notacin vectorial y escribir simplemente:

a= dvdt

Ya que en ese tipo de movimiento los vectoresay v son paralelos, satisfaciendo tambin la relacin:

v(t) = v0+

t

0a()d

La coordenadas de posicin viene dada en este caso por:

x(t) = x0+v0t+t0

(t )a()d

Un caso particular de movimiento rectilneo acelerado es elmovimiento rectilneo uniformemente variadodonde la ace-leracin es adems constante y por tanto la velocidad y la coordenadas de posicin vienen dados por:

v(t) = v0+at, x(t) = x0+v0t+ at2

2
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniformemente_variado


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2.4. ACELERACIN EN MECNICA RELATIVISTA 19

2.4 Aceleracin en mecnica relativista

2.4.1 Relatividad especial

El anlogo de la aceleracin enmecnica relativistase llama cuadriaceleracin y es uncuadrivectorcuyas tres componen-tes espaciales para pequeas velocidades coinciden con las de la aceleracin newtoniana (la componente temporal para

pequeas velocidades resulta proporcional a la potencia de la fuerza dividida por la velocidad de la luz y la masa de lapartcula).

En mecnica relativista la cuadrivelocidad y la cuadriaceleracin son siempre ortogonales, eso se sigue de que la cuadri-velocidad tiene un (pseudo)mdulo constante:

U U= c2 2U dUd

= 0 2U A= 0

Dondeces la velocidad de la luz y el producto anterior es el producto asociado a lamtrica de Minkowski:

V W :=(V, W) = VV

2.4.2 Relatividad general

Enteora general de la relatividadel caso de la aceleracin es ms complicado, ya que debido a que el propio espacio-tiempoes curvo (vercurvatura del espacio-tiempo), una partcula sobre la que no acta ninguna fuerza puede seguir unatrayectoria curva, de hecho la lnea curva que sigue una partcula sobre la que no acta ninguna fuerza exterior es una lneageodsica, de hecho en relatividad general la fuerza gravitatoria no se interpeta como una fuerza sino como un efecto dela curvatura del espacio-tiempo que hace que las partculas no trayectorias rectas sino lneas geodscias. En este contextola aceleracin no geodsica de una partcula es un vector cuyas cuatro componentes se calulan como:

A = dU

d +

,

U

U

Aqu =0,1,2,3(componente temporal y tres componentes espaciales). Se aprecia que cuando lossmbolos de Christoffel una partcula puede tener aceleracin cero aunque su cuadrivelocidad no sea constante, eso sucede cuando la partculasigue una lnea geodsica de un espacio-tiempo de curvatura no nula.

2.5 Vase tambin

Cinemtica Velocidad Derivada

Cada libre

2.6 Referencia

2.6.1 Bibliografa

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004).Physics for Scientists and Engineers(6th ed. edicin). Brooks/Cole.ISBN 0-534-40842-7.
https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0534408427https://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_librehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos_de_Christoffelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_general_de_la_relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Minkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad


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Tipler, Paul (2004).Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics(5thed. edicin). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.

Ortega, Manuel R. (1989-2006).Lecciones de Fsica (4 volmenes).Monytex.ISBN 84-404-4290-4,ISBN 84-398-9218-7,ISBN 84-398-9219-5,ISBN 84-604-4445-7.

Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001).Physics(en ingls). Nueva York: John Wiley & Sons.ISBN 0-471-

32057-9.

Tipler, Paul A. (2000).Fsica para la ciencia y la tecnologa (2 volmenes). Barcelona: Ed. Revert.ISBN 84-291-4382-3.

2.7 Enlaces externos

Wikcionariotiene definiciones y otra informacin sobreaceleracin.Wikcionario

Serie de vdeos explicativos sobre la aceleracin en cada libre enYouTube

Chile Cientfico: Anlisis del Movimiento Circular Acceleration and free fall- a chapter from an online textbook (en ingls) Science aid: Movement(en ingls) Science.dirbix: Acceleration(en ingls) Acceleration Calculator(en ingls) Motion Characteristics for Circular Motion(en ingls)
http://web.archive.org/web/http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/circles/u6l1b.htmlhttp://www.ajdesigner.com/constantacceleration/cavelocitya.phphttp://web.archive.org/web/http://science.dirbix.com/physics/accelerationhttp://www.scienceaid.co.uk/physics/forces/motion.htmlhttp://www.lightandmatter.com/html_books/1np/ch03/ch03.htmlhttp://www.chilecientifico.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=201&Itemid=33https://es.wikipedia.org/wiki/YouTubehttps://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-eshttps://es.wiktionary.org/wiki/:aceleraci%C3%B3nhttps://es.wiktionary.org/wiki/:aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8429143823https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8429143823https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:BookSources/0-471-32057-9https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:BookSources/0-471-32057-9https://es.wikipedia.org/wiki/ISBNhttps://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8460444457https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8439892195https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8439892187https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8439892187https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8440442904http://www.uco.es/users/fa1orgim/monytexcohttps://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0716708094


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Captulo 3

Teora de la relatividad

Lateora de la relatividadincluye tanto a la teora de larelatividad especialcomo a la derelatividad general, formuladasporAlbert Einsteina principios delsiglo XX, que pretendan resolver la incompatibilidad existente entre lamecnicanewtonianay elelectromagnetismo.

La teora de la relatividad especial, publicada en 1905, trata de lafsicadel movimiento de los cuerpos en ausencia defuerzasgravitatorias, en el que se hacan compatibles lasecuaciones de Maxwelldel electromagnetismo con una refor-mulacin de las leyes del movimiento.

La teorade la relatividad general, publicadaen 1915, es unateora de la gravedad que reemplazaa la gravedadnewtoniana,aunque coincide numricamente con ella paracampos gravitatorios dbilesy pequeas velocidades. La teora generalse reduce a la teora especial en ausencia de campos gravitatorios.

No fue hasta el 7 de marzo de 2010 que fueron mostrados pblicamente los manuscritos originales de Einstein por partede laAcademia Israel de Ciencias, aunque la teora se haba publicado en 1905. El manuscrito contiene 46 pginas detextos y frmulas matemticas redactadas a mano, y fue donado por Einstein a laUniversidad Hebrea de Jerusalnen1925 con motivo de su inauguracin.[1][2][3]

3.1 Conceptos principales

El supuesto bsico de la teora de la relatividad es que la localizacin de los sucesos fsicos, tanto en el tiempocomo enelespacio, son relativos al estado de movimiento delobservador: as, la longitud de un objeto en movimiento o el instanteen que algo sucede, a diferencia de lo que sucede en mecnica newtoniana, no son invariantes absolutos, y diferentesobservadores en movimiento relativo entre s diferirn respecto a ellos (las longitudes y los intervalos temporales, enrelatividad son relativos y no absolutos).

3.1.1 Relatividad especial

La teora de la relatividad especial, tambin llamada teora de la relatividad restringida, fue publicada por Albert Einstein

en 1905 y describe lafsicadel movimiento en el marco de unespacio-tiempoplano. Esta teora describe correctamenteel movimiento de los cuerpos incluso a grandes velocidades y sus interacciones electromagnticas y se usa bsicamentepara estudiarsistemas de referencia inerciales(no es aplicable para problemas astrofsicos donde el campo gravitatoriodesempea un papel importante).

Estos conceptos fueron presentados anteriormente por Poincary Lorentz, que son considerados como precursores dela teora. Si bien la teora resolva un buen nmero de problemas del electromagnetismo y daba una explicacin delexperimento de Michelson-Morley, no proporciona una descripcin relativista adecuada del campo gravitatorio.

Tras la publicacin del artculo de Einstein, la nueva teora de la relatividad especial fue aceptada en unos pocos aos porla prctica totalidad de los fsicos y los matemticos. De hecho, Poincar o Lorentz haban estado muy cerca de llegar al

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https://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Michelson-Morleyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Antoon_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_Hebrea_de_Jerusal%C3%A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Academia_Israel%C3%AD_de_Cienciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n_para_campos_gravitatorios_d%C3%A9bileshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Electromagnetismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtonianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XXhttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_especial


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22 CAPTULO 3. TEORA DE LA RELATIVIDAD

mismo resultado que Einstein. La forma geomtrica definitiva de la teora se debe a Hermann Minkowski, antiguo profesorde Einstein en la Politcnica de Zrich; acu el trmino espacio-tiempo(Raumzeit) y le dio la forma matemticaadecuada.[nota 1] Elespacio-tiempo de Minkowskies unavariedad tetradimensionalen la que se entrelazaban de unamanera insoluble las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En este espacio-tiempo de Minkowski, el movimiento deuna partcula se representa mediante sulnea de universo(Weltlinie), una curva cuyos puntos vienen determinados porcuatro variables distintas: las tres dimensiones espaciales ( x ,y ,z ) y el tiempo (t ). El nuevo esquema de Minkowski

oblig a reinterpretar los conceptos de la mtrica existentes hasta entonces. El concepto tridimensional de puntofuesustituido por el desuceso. La magnitud dedistanciase reemplaza por la magnitud de intervalo.

3.1.2 Relatividad general

La relatividad general fue publicada por Einstein en1915, y fue presentada como conferencia en laAcademia de CienciasPrusianael 25 de noviembre. La teora generaliza el principio de relatividadde Einstein para unobservadorarbitrario.Esto implica que las ecuaciones de la teora deben tener una forma de covarianciams general que lacovariancia deLorentzusada en la teora de la relatividad especial. Adems de esto, la teora de la relatividad general propone que lapropia geometra del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia de materia, de lo cual resulta una teora relativista delcampo gravitatorio. De hecho la teora de la relatividad general predice que el espacio-tiempo no ser plano en presenciade materia y que la curvatura del espacio-tiempo ser percibida como un campo gravitatorio.

Debe notarse que el matemtico alemnDavid Hilbertescribi e hizo pblicas las ecuaciones de la covarianza antes queEinstein. Ello result en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein, pero probablemente sea ms, porque es unateora (o perspectiva) geomtrica. La misma postula que la presencia de masa o energa curva al espacio-tiempo, y estacurvatura afecta la trayectoria de los cuerpos mviles e incluso la trayectoria de la luz.

Einstein expres el propsito de la teora de la relatividad general para aplicar plenamente el programa de Ernst Machde la relativizacin de todos los efectos deinercia, incluso aadiendo la llamadaconstante cosmolgicaa sus ecuacionesde campo[4]para este propsito. Este punto de contacto real de la influencia de Ernst Machfue claramente identificadoen 1918, cuando Einstein distingue lo que l bautiz como elprincipio de Mach(los efectos inerciales se derivan de lainteraccin de los cuerpos) del principio de la relatividad general, que se interpreta ahora como el principio de covarianzageneral.[5]

3.2 Formalismo de la teora de la relatividad

3.2.1 Partculas

En la teora de la relatividad una partcula puntual queda representada por un par ((), m) , donde() es una curvadiferenciable, llamadalnea de universode la partcula, y m es un escalar que representa la masa en reposo. El vectortangente a estacurvaes unvector temporalllamadocuadrivelocidad, el producto de este vector por la masa en reposo dela partcula es precisamente elcuadrimomento. Este cuadrimomento es un vector de cuatro componentes, tres de estascomponentes se denominan espaciales y representan el anlogo relativista delmomento linealde la mecnica clsica, laotra componente denominada componente temporal representa la generalizacin relativista de la energacintica. Adems,dada una curva arbitraria en el espacio-tiempo, puede definirse a lo largo de ella el llamado intervalo relativista, quese obtiene a partir del tensor mtrico. El intervalo relativista medido a lo largo de la trayectoria de una partcula es

proporcional al intervalo detiempo propioo intervalo de tiempo percibido por dicha partcula.

3.2.2 Campos

Cuando se consideran campos o distribuciones continuas de masa se necesita algn tipo de generalizacin para la nocin departcula. Un campo fsico posee momentum y energa distribuidos en el espacio-tiempo, el concepto de cuadrimomentose generaliza mediante el llamadotensor de energa-impulsoque representa la distribucin en el espacio-tiempo tanto deenerga como demomento lineal. A su vez uncampodependiendo de su naturaleza puede representarse por un escalar,un vector o un tensor. Por ejemplo el campo electromagnticose representa por un tensor de segundo orden totalmente
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electromagn%C3%A9ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_energ%C3%ADa-impulsohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrimomentohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivelocidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Glosario_de_relatividad#Vhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_universohttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Machhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Machhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_cosmol%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Inerciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Machhttps://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_gravitatoriohttps://es.wikipedia.org/wiki/Materiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Covariancia_de_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Covariancia_de_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_covarianciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Academia_de_Ciencias_Prusianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Academia_de_Ciencias_Prusianahttps://es.wikipedia.org/wiki/1915https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_universohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuarta_dimensi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_pseudoriemannianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo_de_Minkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski


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3.2. FORMALISMO DE LA TEORA DE LA RELATIVIDAD 23

antisimtrico o2-forma. Si se conoce la variacin de un campo o una distribucin de materia, en el espacio y en el tiempoentonces existen procedimientos para construir su tensor de energa-impulso.

3.2.3 Magnitudes fsicas

En relatividad, estasmagnitudes fsicasson representadas por vectores 4-dimensionales o bien por objetos matemticosllamados tensores, que generalizan los vectores, definidos sobre un espacio de cuatro dimensiones. Matemticamente estos4-vectores y 4-tensores son elementos definidos delespacio vectorial tangentealespacio-tiempo(y los tensores se defineny se construyen a partir delfibrado tangenteo cotangente de la variedad que representa el espacio-tiempo).

Igualmente adems decuadrivectores, se definen cuadritensores (tensores ordinarios definidos sobre elfibrado tangentedel espacio-tiempo concebido comovariedad lorentziana). La curvatura del espacio-tiempo se representa por un 4-tensor(tensor de cuarto orden), mientras que la energa y el momento de un medio continuo o el campo electromagnticoserepresentan mediante 2-tensores (simtrico eltensor energa-impulso, antisimtrico el de campo electromagntico). Loscuadrivectores son de hecho 1-tensores, en esta terminologa. En este contexto se dice que una magnitud es un invarianterelativistasi tiene el mismo valor para todos losobservadores, obviamente todos los invariantes relativistas son escalares(0-tensores), frecuentemente formados por la contraccin de magnitudes tensoriales.

3.2.4 El intervalo relativista

El intervalo relativista puede definirse en cualquier espacio-tiempo, sea ste plano como en la relatividad especial, o curvocomo en relatividad general. Sin embargo, por simplicidad, discutiremos inicialmente el concepto de intervalo para elcaso de un espacio-tiempo plano. El tensor mtrico delespacio-tiempo plano de Minkowskise designa con la letra ij, yen coordenadas galileanas oinercialestoma la siguiente forma:[nota 4]

gij =ij =

c2 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Elintervalo, la distancia tetradimensional, se representa mediante la expresinds2 , que se calcula del siguiente modo:

ds2 =gijdxidxj

ds2 =c2(dx0)2 (dx1)2 (dx2)2 (dx3)2

ds2 =c2dt2 dx2 dy2 dz2 =c2dt2 (dx2 +dy2 +dz2)ds2 =c2dt2 dl2

Los intervalos pueden ser clasificados en tres categoras: Intervalosespaciales(cuandods2 es negativo),temporales(sids2 es positivo) ynulos(cuando ds2=0). Como el lector habr podido comprobar, los intervalos nulos son aquellos quecorresponden a partculas que se mueven a la velocidad de la luz, como los fotones: La distancia dl2 recorrida por el fotnes igual a su velocidad (c) multiplicada por el tiempodty por lo tanto el intervalo ds2=c2dt2dl2 se hace nulo.

Los intervalos nulos pueden ser representados en forma de cono de luz, popularizados por el celebrrimo libro de StephenHawking,Historia del Tiempo. Sea un observador situado en el origen, elfuturo absoluto(los sucesos que sern percibidospor el individuo) se despliega en la parte superior del eje de ordenadas, elpasado absoluto(los sucesos que ya han sidopercibidos por el individuo) en la parte inferior, y el presente percibido por el observador en el punto 0. Los sucesos queestn fuera del cono de luz no nos afectan, y por lo tanto se dice de ellos que estn situados en zonas del espacio-tiempoque no tienenrelacin de causalidadcon la nuestra.
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_del_Tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawkinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawkinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Cono_de_luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_inercialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo_de_Minkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_energ%C3%ADa-impulsohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electromagn%C3%A9ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_lorentzianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Magnitudes_f%C3%ADsicashttps://es.wikipedia.org/wiki/Forma_diferencial


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Imaginemos, por un momento, que en la galaxia Andrmeda, situada a 2,5 millones de aos luz de nosotros, sucedi uncataclismo csmico hace 100.000 aos. Dado que, primero: la luz de Andrmeda tarda 2 millones de aos en llegar hastanosotros y segundo: nada puede viajar a una velocidad superior a la de los fotones, es evidente, que no tenemos manera deenterarnos de lo que sucedi en dicha Galaxia hace tan slo 100.000 aos. Se dice por lo tanto que el intervalo existenteentre dicha hipottica catstrofe csmica y nosotros, observadores del presente, es un intervalo espacial( ds2 < 0),y por lo tanto, no puede afectar a los individuos que en el presente viven en la Tierra: Es decir, no existe relacin de

causalidad entre ese evento y nosotros.

Anlisis

El nico problema con esta hiptesis, es que al entrar en un agujero negro, se anula el espacio tiempo, y como ya sabemos,algo que contenga algn volumen o masa, debe tener como mnimo un espacio donde ubicarse, el tiempo en ese caso,no tiene mayor importancia, pero el espacio juega un rol muy importante en la ubicacin de volmenes, por lo que estoresulta muy improbable, pero no imposible para la tecnologa.

Podemos escoger otro episodio histrico todava ms ilustrativo: El de laestrella de Beln, tal y como fue interpretadaporJohannes Kepler. Este astrnomo alemn consideraba que dicha estrella se identificaba con una supernova que tuvolugar el ao 5 a. C., cuya luz fue observada por los astrnomos chinos contemporneos, y que vino precedida en los aosanteriores por varias conjunciones planetarias en la constelacin de Piscis. Esa supernova probablemente estall hace miles

de aos atrs, pero su luz no lleg a la tierra hasta el ao 5 a. C. De ah que el intervalo existente entre dicho evento y lasobservaciones de los astrnomos egipcios y megalticos (que tuvieron lugar varios siglos antes de Cristo) sea un intervaloespacial, pues la radiacin de la supernova nunca pudo llegarles. Por el contrario, la explosin de la supernova por un lado,y las observaciones realizadas por los tres magos en Babilonia y por los astrnomos chinos en el ao 5 a. C. por el otro,estn unidas entre s por unintervalo temporal, ya que la luz s pudo alcanzar a dichos observadores.

Eltiempo propioy el intervalo se relacionan mediante la siguiente equivalencia: cd=ds, es decir, el intervalo es igual altiempo local multiplicado por la velocidad de la luz. Una de las caractersticas tanto del tiempo local como del intervaloes su invarianza ante las transformaciones de coordenadas. Sea cual sea nuestro punto de referencia, sea cual sea nuestravelocidad, el intervalo entre un determinado evento y nosotros permanece invariante.

Esta invarianza se expresa a travs de la llamadageometra hiperblica: La ecuacin del intervalo dstiene la estructurade una hiprbola sobre cuatro dimensiones, cuyotrmino independientecoincide con el valor del cuadrado del intervalo( ds2=dt2dl2 ), que como se acaba de decir en el prrafo anterior, es constante. Las asntotasde la hiprbola vendran a

coincidir con el cono de luz.

3.2.5 Cuadrivelocidad, aceleracin y cuadrimomentum

En el espacio-tiempo de Minkowski, las propiedades cinemticas de las partculas se representan fundamentalmente portres magnitudes: Lacuadrivelocidad(o tetravelocidad) , lacuadriaceleraciny elcuadrimomentum(o tetramomentum).

La cuadrivelocidad es uncuadrivectortangente a la lnea de universo de la partcula, relacionada con la velocidad coor-denada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, estavelocidad coordenadase define con la expre-sin newtoniana dxi/dt, donde(t, x1, x2, x3) son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por elobservador, para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendra dada por(1, v1, v2, v3) . Sin embargo, esta medidanewtoniana de la velocidad no resulta til en teora de la relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por di-ferentes observadores no son fcilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. As en relatividad se introduceuna modificacin en las expresiones que dan cuenta de la velocidad, introduciendo uninvariante relativista. Este invarian-te es precisamente eltiempo propiode la partcula que es fcilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentesobservadores. Usando la relacin entre tiempo propio y tiempo coordenado: dt = d se define lacuadrivelocidad[propia]multiplicando por las de la velocidad coordenada:u =v= dxi/d .

La velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos,mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia ytiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio ( ds/d), o lo que es lo mismo,a la velocidad de la luzc. Para partculas sin masa, como los fotones, el procedimiento anterior no se puede aplicar, y lacuadrivelocidad puede definirse simplemente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos.
https://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Invariante_relativistahttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivectorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrimomentohttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadriaceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivelocidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_propiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Estrella_de_Bel%C3%A9n


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Lacuadriaceleracinpuede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad (ai =dui/d). Su magnitudes igual a cero en los sistemas inerciales, cuyas lneas del mundo son geodsicas, rectas en el espacio-tiempo llano deMinkowski. Por el contrario, las lneas del mundo curvadas corresponden a partculas con aceleracin diferente de cero,a sistemas no inerciales.

Junto con los principios de invarianza del intervalo y la cuadrivelocidad, juega un papel fundamental laley de conserva-cin del cuadrimomentum. Es aplicable aqu la definicin newtoniana del momentum (p= u ) como la masa (en este

caso conservada, ) multiplicada por la velocidad (en este caso, la cuadrivelocidad), y por lo tanto sus componentes sonlos siguientes: (m, p1, p2, p3) , teniendo en cuenta que m= . La cantidad demomentum conservadoes definidacomo la raz cuadrada de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum conservado, al igual que el intervalo yla cuadrivelocidad propia,permanece invariante ante las transformaciones de coordenadas, aunque tambin aqu hay quedistinguir entre loscuerpos con masay los fotones. En los primeros, la magnitud del cuadriomentum es igual a la masamultiplicada por la velocidad de la luz ( |p| = c). Por el contrario, el cuadrimomentum conservado de los fotonesesigual a la magnitud de sumomentum tridimensional( |p| =p).Como tanto la velocidad de la luz como el cuadrimomentum son magnitudes conservadas, tambin lo es su producto,al que se le da el nombre deenerga conservada ( Econ =|p|c), que en los cuerpos con masa equivale a la masamultiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado ( Econ = c2 , la famosa frmula de Einstein) y en los fotonesalmomentum multiplicado por la velocidad de la luz (Econ= pc)

Componentes

(p0, p1, p2, p3)

(,v1,v2,v3)

(m, p1, p2, p3)

Magnitud del cuadrimomentum |p| = p p=

m2c2 p2 =

E2

c2p2

Magnitud en cuerpos con masa |p| = p p= mu u = c

Magnitud en fotones (masa = 0) |p| = p p=

m2c2 p2 =

p2 =p

Energa Econ= c|p| =cp p=

E2 p2c2

Energa en cuerpos con masa (cuerpos en reposo, p=0) Econ=

m2c4 p2c2 Econ= mc2Energa en fotones (masa en reposo = 0) Econ=

m2c4 p2c2 =

p2c2 =pc

La aparicin de la Relatividad Especial puso fin a la secular disputa que mantenan en el seno de la mecnica clsica lasescuelas de los mecanicistas ylos energetistas. Losprimeros sostenan, siguiendo a Descartesy Huygens, que la magnitud

conservada en todo movimiento vena constituida por el momentumtotal del sistema, mientras que los energetistas -quetomaban por base los estudios de Leibniz- consideraban que la magnitud conservada vena conformada por la suma dedos cantidades: Lafuerza viva, equivalente a la mitad de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado ( mv2/2)a la que hoy denominaramos energa cintica, y la fuerza muerta, equivalente a la altura por la constante g ( hg),que correspondera a la energa potencial. Fue el fsico alemnHermann von Helmholtzel que primero dio a la fuerzasleibnizianas la denominacin genrica de energa y el que formul la Ley de conservacin de la energa, que no se restringea la mecnica, que se extiende tambin a otras disciplinas fsicas como la termodinmica.

La mecnica newtoniana dio la razn a ambos postulados, afirmando que tanto el momentum como la energa son mag-nitudes conservadas en todo movimiento sometido a fuerzas conservativas. Sin embargo, la Relatividad Especial dio unpaso ms all, por cuanto a partir de los trabajos de Einstein y Minkowski el momentum y la energa dejaron de serconsiderados como entidades independientes y se les pas a considerar como dos aspectos, dos facetas de una nicamagnitud conservada: el cuadrimomentum.

3.2.6 El tensor de energa-impulso (Tab)

Tres son las ecuaciones fundamentales que en fsica newtoniana describen el fenmeno de la gravitacin universal: laprimera, afirma que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamenteproporcional al cuadrado de su distancia (1); la segunda, que el potencial gravitatorio ( ) en un determinado punto esigual a la masa multiplicada por la constanteGy dividida por la distancia r(2); y la tercera, finalmente, es la llamadaecuacin de Poisson(3), que indica que el laplaciano[nota 5] del potencial gravitatorio es igual a 4G, donde es ladensidad de masa en una determinada regin esfrica.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_von_Helmholtz


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F = GMmr2

(1) = GMr

(2) = 4G(3)

Sin embargo, estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos razones:

En primer lugar la masa no es una magnitud absoluta, sino que su medicin deriva en resultados diferentesdependiendo de la velocidad relativa del observador. De ah que la densidad de masa no puede servir deparmetro de interaccin gravitatoria entre dos cuerpos.

En segundo lugar, si el concepto de espacio es relativo, tambin lo es la nocin de densidad. Es evidente quelacontraccin del espacioproducida por el incremento de la velocidad de un observador,impide la existencia dedensidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de Lorentz.

Por todo ello, resulta necesario prescindir del trmino , situado en el lado derecho de la frmula de Pois-son y sustituirlo por un objeto geomtrico-matemtico que permanezca invariante ante las transformaciones deLorentz: Dicho objeto fue definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre detensor de energa-momentum( T ). Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentum p que atraviesa una hipersuperficie , normal al vector unitario u . De este modo, el tensor de energa momentum puede expresarse mediante la siguienteecuacin:

p =

Td

O lo que es lo mismo: El componente p del tetramomentum es igual a la integral de hipersuperficie ddel tensor detensin-energa. En un fluido ideal, del queestn ausentestanto la viscosidad como la conduccin de calor, loscomponentesdel tetramomentum se calculan de la siguiente forma:

T =

+ Pc2

uu P g

donde es ladensidad de masa-energa(masa por unidad de volumen tridimensional), Pes lapresin hidrosttica,u es lacuadrivelocidad del fluido, y g es lamatriz inversa del tensor mtrico de la variedad .

Adems, si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo respecto al fluido, entonces, eltensor mtrico viene constituido simplemente por la mtrica de Minkowski:

g ==diag(c2,1,1,1)

g = =diag

1

c2,1,1,1

Puesto que adems la tetravelocidad del fluidorespecto al observador en reposoes:

u = (1, 0, 0, 0)

como consecuencia de ello, los coeficientes del tensor de tensin-energa son los siguientes:

T =

0 0 00 P1 0 00 0 P2 00 0 0 P3


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Donde es ladensidad de masa, y Pison los componentes tridimensionales de la presin hidrosttica. Como vemos,el campo gravitatorio tiene dos fuentes diferentes: La masa y el momentum del fluido en cuestin. Los efectos gravitatoriosoriginados por la masa se denominan efectos gravitoelctricos, mientras que aquellos que se deben al momentum recibenel nombre deefectos gravitomagnticos. Los primeros tienen una intensidad c2 superior a los segundos, que slo semanifiestan en aquellos casos en los que las partculas del fluido se mueven con una velocidad cercana a la de la luz(se habla entonces de fluidos relativistas): Es el caso de los chorros (jets) que emanan del centro de la galaxia y que se

propulsan en las dos direcciones marcadas por el eje de rotacin de este cuerpo csmico; de la materia que se precipitahacia un agujero negro; y del fluido estelar que se dirige hacia el centro de la estrella cuando se sta entra en colapso. Eneste ltimo caso, durante las fases finales del proceso de contraccin de la estrella, la presin hidrosttica puede llegar aser tan fuerte como para llegar a acelerar el colapso, en lugar de ralentizarlo.

Podemos, a partir del tensor de tensin-energa, calcular cunta masa contiene un determinado volumen del fluido: Reto-mando la definicin de este tensor expuesta unas lneas ms arriba, se puede definir al coeficiente T00 como la cantidadde momentum p0 (esto es, lamasa) que atraviesa la hipersuperficie d0. En el espacio-tiempo de Minkowski, la hi-persuperficie d0es aquella regin que se define por las tres bases vectoriales normales al vector dx0 : 0es, portanto, un volumen tridimensional, definido por los vectores base e 1(ejex),e 2(ejey), y e 3(ejez). Podemos por tantoescribir:

p0

=

T00

d0

m=

dV

Del mismo modo, es posible deducir matemticamente a partir del tensor de tensin-energa la definicin newtoniana depresin, introduciendo en la mentada ecuacin cualquier par de ndices que sean diferentes de cero:

p1 =

T11d1

La hipersuperficie d1es aquella regin del espacio-tiempo definida por los tres vectores unitarios normales a dx1(setrata de los dos vectores espaciales, e 2y e 3, correspondientes a los ejesyy z; y del vector temporal e 0o dt, comose prefiera). Esta definicin nos permite descomponer la integral de hipersuperficie en una integral temporal (cuyointegrando viene definido por dt) y otra de superficie (esta vez bidimensional, dS):

p1 =

S

P1dS1dt

Finalmente, derivamos parcialmente ambos miembros de la ecuacin respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que lafuerza no es ms que la tasa de incremento temporal del momentum obtenemos el resultado siguiente:

F1 = SP1dS1Que contiene la definicin newtoniana de la presin como fuerza ejercida por unidad de superficie.

3.2.7 El tensor electromagntico (Fab)

Las ecuaciones deducidas por el fsico escocs James Clerk Maxwell demostraron que electricidad y magnetismo no sonms que dos manifestaciones de un mismo fenmeno fsico: el campo electromagntico. Ahora bien, para describir laspropiedades de este campo los fsicos de finales del siglo XIX deban utilizar dos vectores diferentes, los correspondienteslos campos elctrico y magntico.


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Fuelallegadadela Relatividad Especial la que permitidescribir las propiedadesdelelectromagnetismo con un sloobjetogeomtrico, elvector cuadripotencial, cuyo componente temporal se corresponda con el potencial elctrico, mientras quesus componentes espaciales eran los mismos que los del potencial magntico.

A = (V, Ax, Ay, Ay)

De este modo, el campo elctrico puede ser entendido como la suma del gradiente del potencial elctrico ms la derivadatemporal del potencial magntico:

E= V At

y el campo magntico, como el rotacional del potencial magntico:

B= A

Las propiedades del campo electromagntico pueden tambin expresarse utilizando un tensor de segundo orden denomi-nadotensor de Faradayy que se obtiene diferenciando exteriormente al vector cuadripotencial A

F = A A

F =

0 Ex/c Ey/c Ez/cEx/c 0 Bz ByEy/c Bz 0 BxEz/c By Bx 0

; F =

0 Ex Ey EzEx 0 Bz ByEy Bz 0 BxEz By Bx 0

La fuerza de Lorentz puede deducirse a partir de la siguiente expresin:

f =qFu

F =q(E+u v)Dondeqes la carga yu la cuadrivelocidad de la partcula.

3.3 Vase tambin

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Teora de la relatividad especial

Teora de la relatividad general Glosario de relatividad

3.4 Notas

[1] El espacio eucldeo es una variedad tridimensional. El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad de cuatro dimensiones, delas cuales tres son espaciales y una temporal.
https://es.wikipedia.org/wiki/Glosario_de_relatividadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especialhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Portal:F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_Faradayhttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_Especial


33/61

3.5. REFERENCIAS 29

[2] Es decir,el espacio eucldeo.La letra E corresponde a la inicial del matemtico Euclides, y el nmero 3 al nmero de dimensionesespaciales.

[3] M4 es el espacio-tiempo de Minkowski. M es la inicial de Minokwski y 4 es el nmero de dimensiones de las que se componela variedad.

[4] Conviene sealar que existen dos convenciones, la ms usada en teora cuntica relativista usa 00>0y el resto de componentes

negativas, mientras que en cosmologa y relatividad se usa ms comnmente 00

mi librito

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